Exem 12 8

EXEMPLO 1 S: r = 5 cos(2q) (m) . q = 3t2 (rad/s) q0 = 0° em t0 = 0 s P: Velocidade e aceleração em q = 30.

E: Obter o tempo em que q = 30° e calcular os termos requeridos, com o uso da regra da cadeia (movimento plano). t

Solução:

.

t

θ – θ0 =  q dt =  3t2 dt = t3 (rad) t0

0

Em q = 30, q = π / 6 = t3. Portanto, t = 0,806 s.

EXEMPLO 1 (cont.) . q = 3t2 = 3(0,806)2 = 1,95 rad/s .

..

q = 6t = 6(0,806) = 4,84 rad/s2 r = 5 cos(2q) = 5 cos(π/3) = 2,5m

.

.

..

.2

r = –10 sen(2q)q = –10 sen(π/3)(1,95) = –16,9 m/s

..

r = –20 cos(2q)q – 10 sen(2q)q

= –20 cos(π/3)(1,95)2 –10 sen(π/3)(4,84) = – 80 m/s2 Substituindo na equação da velocidade, tem-se

. . v = rur + rquθ = – 16,9ur + 2,5(1,95)uθ v =

(16,9)2 + (4,88)2 = 17,6 m/s

EXEMPLO 1 (cont.)

Já substituindo na equação da aceleração, obtém-se

..

a = (r–

.

rq2 )u

r

..

..

+ ( rq + 2rq )uθ

a = [– 80 – 2,5(1,95)2]ur + [2,5(4,84) + 2(–16,9)(1,95)]uθ a = – 89,5ur – 53,8uθ m/s2 a = (89,5)2 + (53,8)2 = 104 m/s2

EXEMPLO 2 S: A velocidade escalar do carro é constante e igual a 1,5 m/s.

P: A aceleração do carro (como grandeza vetorial).

Obs.: A tangente à rampa, num ponto qualquer, forma, com a linha horizontal associada, um ângulo f, dado por f=

tan-1[

12 ] = 10,8° 2p(10)

A razão acima relaciona a diferença em altura entre 2 pontos correspondentes e consecutivos na rampa e a projeção, no plano, da distância entre eles.

E: Usar coordenadas cilíndricas. Sendo r constante, todas as suas derivadas serão zero (movimento tridimensional).

EXEMPLO 2 (cont.)

Solução: Como r é constante, a velocidade, que é sempre tangente à trajetória, tem 2 componentes (em coord. cilíndricas):

.

.

vq = rq = v cosf e vz = z = – v senf

.. v cosf Portanto, q = ( ) = 0,147 rad/s e q = 0 rad/s2 . r .

.

..

Tem-se ainda que vz = z = – v senf = – 0,281 m/s e z = 0 ,

.

..

além de r = r = 0 .

..

.2

..

..

..

Assim, a = ( r – rq )ur + (rq + 2rq)uθ + zuz

.2

a = (– rq )ur = –10(0,147)2ur = – 0,216ur m/s2 .