2006 年全国普通高等学校招生统一考试 上海
数学试卷（文史类）
一．填空题 1．已知集合 A {1,3, m} ，集合 B {3, 4} ．若 B A ，则实数 m ＝
．
2．已知两条直线 l1 : ax 3 y 3 0, l2 : 4 x 6 y 1 0. 若 l1∥l2 ，则 a ____ ． 3．若函数 f (x ) ＝ a x （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数的图像过点 (2, 1) ，则 a ＝
n(n 2 1) ＝ n 6 n 3 1
4．计算： lim
．
．
5．若复数 z (m 2) (m 1)i 为纯虚数（ i 为虚数单位），其中 m R ，则 z 6．函数 y sin x cos x 的最小正周期是
．
．
7．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ，则双曲线的标准方程是___
．
2 8．方程 log 3 ( x 10) 1 log 3 x 的解是_______.
x y 3 0 x 2 y 5 0 9．已知实数 x、y 满足 ，则 y 2 x 的最大值是_________. x 0 y 0 10．在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的 两名都是女同学的概率是______ （结果用分数表示）． x
11．若曲线 y 2 1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是
．
12．如图，平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的 距离，则称有序非负实数对（ p ， q ）是点 M 的“距离坐标” 根据上述定义， “距离坐标”是（1，2）的点的 个数是________． 二．选择题 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（
）．
（A） AB DC （B） AD AB AC （C） AB AD BD （D） AD CB 0 14．如果 a 0 ， b 0 ，那么下列不等式中正确的是（ ） ． 1 1 （A） （B） a b （C） a 2 b 2 a b
（D） a b
15．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）． （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）． （A）48 （B）18 （C）24 （D）36 三．解答题
sin( ) 5 4 的值． 17．已知 是第一象限的角，且 cos ，求 13 cos 2 4
18．如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往
救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直
线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？
19．在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， ABC 90 , AB BC 1 ． （1）求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小； （2）若 A1C 与平面 ABC 所成角为 45 ，求三棱锥 A1 ABC 的体积．
20．设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且对任意正整数 n ， an S n 4096 ． （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ．对数列 {Tn } ，从第几项起 Tn 509 ？
21．已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F ( 3, 0) ,右顶点为 D (2, 0) ,设点
1 A(1, ) ． 2 （1）求该椭圆的标准方程； （2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程； （3）过原点 O 的直线交椭圆于点 B 、 C ，求 ABC 面积的最大值．
22．已知函数 y x
a 有如下性质：如果常数 a 0 ，那么该函数在 (0, a ] 上是减函数，在 [ a , ) 上是增函 x
数．
2b ( x 0) 的在 (0, 4] 上是减函数，在 [4, ) 上是增函数，求 b 的值； x c （2）设常数 c [1, 4] ，求函数 f ( x ) x (1 x 2) 的最大值和最小值； x c n （3）当 n 时正整数时，研究函数 g ( x ) x n （ (c 0) ）的单调性，并说明理由． x
（1）如果函数 y x