辅教导 学 ・
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数 学 通讯 — — ２ＯＯ９年 第 １１、１２期 （上 半 月 ）
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浅谈 不 等式 证 明 中 的“变 形计＂ 邵贤虎 （江苏 省 江 浦 高 级 中 学 ，２１１８ ００）
不 等式 的证 明 是 高 考 和 竞 赛 中重 要 的 内 容 ，证
３．合 理 换 元
明 的方 法 丰 富多 彩 ， 其 中 变 形 的 技 巧 更是 精 彩 纷 呈 ． 合 理而 有 效 地 变 形 经 常 能 化 难 为 易 ，化繁 为 简 ， 优 化
＋ ８ｃ ４ａ＋ ＋ ’ ＋ ３ａ ＋６ ２ ≥筹 ４ ８ ． ‘
ｂ ３ｃ
解题过程 ， 展 示 数 学美 ． １．活用 常 数
如 虎 添 翼
例 １ 已知 Ｏ＜ ￡ ＜ １， 口， ｂ为 常 数 ， 且 ａｂ＞ Ｏ， 求
分 析 本 题 去 分 母 比 较 复 杂 ，发 现 分 子 比 分母 简单 ， 故可对分母进行 换元 ， 让分 母简单 起来 ， 便 于
分式 运算 ． 证 明 对 分母 进 行 换 元 ，令 一６＋ ３ｃ， 一８ｃ＋
证： ＋ ， ＿ ≥（ ｎ ＋６ ） ． 分析
本 题 若 去 分母 ， 将使待证不等式 复杂化 ，
４口，ｚ＝３口＋２６， 贝Ｕ ｚ， ， ｚ＞ ０，
注意到 ｔ 。＋ （１一 ）一１是 解 决 本题 的关 键 ．
１
［ 。 ＋（ １ －ｔ 。 ） ］ （ 》＋
． １
． １
一一 百 十 百 十 百 ，
证明等＋ 一 × ｃ 等＋ ） 一
改 头 换面
例 ３ 已 知 口， ｂ，ｃ∈ Ｒ ， 求证 ：
６ ＝÷ 一素 ＋ １ ｚ ，
）
１
， １
１
百 十丽 一 一 ｎ。＋ ｂ。＋
＋
ｂ
＝ ＝ 『— —— — — 一
于 是 ｎ
≥ ＋６ 。 ＋ √ ｎ 。‘ ｂ 。 一
评 析 常数 是 代 数 式 中 活跃 的一 分 子 ，活 用 常 数， 充 分 发 挥 好 常 数 的 “过 渡 ”功 能 ， 能 使 许 多 复 杂 的
例 ２ 已知 口， ６， ｃ， ｄ∈Ｒ， 口。＋ｂ。＋ｃ ２＋ｄ。 ≤ １， 求 证 ：（ａ＋６） ＋ （ 口＋ｃ） ＋ （ ｎ＋ｄ）‘＋ （６＋ｃ） ＋ （ ６＋ ｄ）‘＋ （ｃ＋ ） ≤ ６．
本题 待 证 不 等 式 较 复 杂 ， 但 仔 细 观 察 ，发
现 式 子 比较 对称 ， 故 可采 用 对 偶 式 解 决 ． 证 明 记 不 等 式 左边 为 Ａ， 构 造 Ａ 的 对 偶 式 Ｂ一 （口一 ６） ＋ （口一 ｃ）‘＋ （口一 ｄ） ＋ （ ６一 ｃ） ＋ （６ 一
）‘＋ （ｃ— ） ，
则 有
ｂ
Ｉ
９ｃ
去（ 考＋ 等） ＋ ÷（ 孝＋ 警） ＋ 去（ 等＋ ） 一 ６ １
≥ １
１ ６＋ １ ￣ １２ ６１ 一
４７ ＝
．
问题 的解 决 “如 虎 添 翼 ”．最 常见 的 常数 是 “０”和“１”， 本 题 巧 妙 地 发 挥 “１”的替 换 功 能 ， 使 问题 豁 然 开 朗 ． ２．巧 用 对 偶 对 称 和 谐
Ｉ
ｂ＋ ３ｃ ８ｃ＋ ４ａ ３ａ＋ ２ｂ
一口 ＋ｂ ０＋２ ｌ ｎ６ｌ 一（ 口＋６） 。 ．
分析
’
评析
对 于＿ 些 结 构 较 为 复 杂 、变 元 较 多 的 问
题 ，我 们 往 往 可 以 引 入 一些 新 的变 量 进 行 代 换 ，以 简 化其结构 ， 优 化 形 式 ，使 原 来 较 复 杂 的 问 题 改 头 换 面 ，变 成 我 们 熟 悉 的基 本 问题 ，体 现 了化 归 的 思 想 ．
合 理 的换 元 能 简 化 题 设 信 息 ， 使 隐性 条 件 显 性 化 ， 将 分 散 的条 件 联 系 起 来 ， 对 发 现 解 题 的 思 路 、优 化 解 题
的过 程 起 到 积 极 的 推 进 作 用 ． ４．分 拆 合 并 化 零 为 整 例 ４ 已 知数 列 ｛ｎ ｝中 的 相 邻 两 项 ａ 一 ，ｎ。 是 关 于 的 方 程 ｚ 一 （３ｋ＋ ２‘）＋ ３ｋ ・２ 一 ０的 两 个
根， 且 ｎ ２ １≤ ％ （ 一 １，２，３，… ），记 ｆ（， １ ）＝ ÷
Ａ＋ Ｂ 一 ６（ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ＋ ２ａ ｂ ＋ ２ａ ｃ０＋ ２ａ０ｄ ＋ ２ｂ０ ｃｚ＋ ２ｂ ｄ。＋ ２ｃ２ｄ３）一 ６（ｎ０＋ ６２＋ ｃ０＋
ｄ。）。≤ ６．
又 Ｂ＞ ／ ｏ， 所 以 Ａ≤ ６．
评 析 数 学 中 有 很 多 问题 有 着 和 谐 的 对 称 美 ， 解 题 时若 能 挖 掘 与 利 用 这 种 关 系 ，往 往 会 有 意 想 不 到 的 收获 ．在解 某 些 数 学 问 题 时 ， 针 对 其 中 的 式 子 Ａ
（
＋ ３），Ｌ 一 二
＋ 二
＋ 二
＋…＋ ． 求证： ÷≤Ｌ≤去（ ＥＮ ’ ） ． 分析
本 题 对 于 若 一项 一 项 地 计 算 ，将 很难
完成 ， 合 理 地 分 拆 合 并 能起 到“四两 拨 千 斤 ”的效 果 ． 证明
方 程 ｚ。一 （３ ＋ ２ ）＋ ３ｋ・２ ＝ ０的 两个
的特 点 ，为 其 配 凑 一 个 合 适 的 式 子 Ｂ，使得 由 Ａ 和 Ｂ
根 为 ｚ１＝ ３ｋ， ｚ２＝２ ， 易 求 得 口ｌ＝ ２， 口２—３，ｎ３—４， ｎ４
之 间 的运 算 ，能 产 生 一些 有 用 的 关 系 式 ， 促 使 问题 向
＝ ６， 口５— ８， 口６＝９， ｎ７＝１２， 口８— １６，当 ≥ ４时 ，易得
有 利 的方 向转 化 ，进 而 解 决 问 题 ．
２ ＞ ３ ．
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数 学 通讯 —— ２００９年 第 ｌ１、１２期 （上 半 月 ）
又 凼 为 ｎ２ ｌ≤ ａ２ ｋ（ 一 １， ２，３，… ）， 所 以 当 ≥ ４
证 明 ． ‘ａ， ｂ， ｃ， ｄ∈ Ｒ ，
口口 ２ ｂ ÷ ， 一 口 １ ａ ２ ＋ 口 ３ 口 ４ ＝去 Ｚ ４ ．
分 析 本 题 若 去 分 母 ，相 当 复 杂 ，观 察 式 子 特 点， 可用分式性质放缩解决．
时 ，ａ 一ｌ＝３ｋ， 口２ ＾一２ ． 一
一
１
．
ａ
当 ｎ≥ ３时 ，
— Ｆ
Ｌ
＞
＋—ｌ ＿ 一—ｌ ＿ ＋…＋ 二
≥ １ ＋
１ —
一
—
（ —ｌ ＿ ＋—Ｌ ＋…＋——ｌ ＿一 ）
≥百 １＋ １ 一
６（ ＋ ＋…＋古） ＝百 １＋ ＞÷． 同时 ，
ｂ
＋
Ｉ
ｃ
十 Ｆ
Ｉ
ｄ
十 Ｆ
ｂ
ｊ ＋
＋
口＋ ６＋ ｃ＋ ｄ “
又
＋
＋
＋
＜
口 ＋ 口 ｂ ＋ ｂ ＋＋ 。 南ｄ ｃ ＋ ＋ ‘ 南ｄ ｃ ＋ ” ‘ ．１ ＜
＋ ：
＋ ＝
＋ ＝
＜２ ．
１ ＋ １ ＋ ． ． ．＋ 一
≤
＋ｃ
＋
评 析 放缩 的 变形 技 巧是 不 等 式 证 明 中较 难 的 技 巧 ．适 度 是 施 行 放 缩 的 一 大关 键所 在 ， 既 不宜 放 得
＋． ． ．＋
≤击一 ＋ 百 １ １ 十 １ ＋…＋ 古） 一
Ｉ
十 雨
．
・
５ ＝
・辅教 导 学 ・
量 一—Ｌ 三
过大 ， 也 不 宜 缩 得 过 小 ，只有 不 断 尝试 ， 不断调整 ， 不 畏失败 ， 不 断 积 累 才 能 达 到 “来 去 自如 ”的 境 界 ． ７．巧 妙 构 造 化 难 为 易 例 ７ 已 知 Ｏ＜ ｚ＜ ｙ＜ ｚ＜ 百 ａ －，求 证 ：ｓｉ ｎ２ｘ＋
２４ ９× ２ 、 ２４。
综上， 当ｎ ＥＮ 时， 寺≤ ≤羞・
ｓｉ ｎ２ｙ＋ ｓｉ ｎ２ｚ＜ － ４ －Ｚｓｉ ｎＸｃｏｓｙ＋ ２ｓｉ ｎｙｃｏｓ ｚ．
评 析 分拆 合 并 使 隐性 信 息 显 性 化 ， 使 分 散 条 件集中化 ， 有 利 于 问题 的解 决 ．具体 如何 分拆 合 并 需 要 平 时 解 题 中 不 断 尝 试 ，不 断 积 累 ，细 心 品 味 ， 逐 步 提高．
不 等 式 很 麻 烦 ．可 以 考 虑 把 要 证 的 不 等 式 进 行 等 价
５．正 难 则 反
ｓ ｉ ｎｘｃｏｓ ｙｑ－ｓｉ ｎｙｃ ｏｓ ｚ，只需 证
殊途 同归
例 ５ 已 知 Ｏ＜ ａ，ｂ， ｃ＜ ｌ， 求证 ： 口（１一 ｂ），６（１一
分析
如 果 直 接 从 三 角 知 识 人 手 ，那 么 证 出 该
变形， 即证明ｓ ｉ ｎ ｚ ｃ 。 ｓ ｚ ＋ｓ ｉ ｎ ｙ ｃ ｏ ｓ ｙ ｑ － ｓ ｉ ｎ ｚ ｃ ｏ ｓ ｚ ＜｛＋ ｓｉ ｎｘ（ＣＯＳＸ — ｃ ｏｓ ｙ）＋ ｓｉ ｎｙ （ｃ ｏｓ ｙ — ｃｏｓｚ）＋
ｃ ） ， ｃ （ １ 一ａ ） 中至少有一个不大于｛．
ｓ ｍｚｃｏｓ ｚ＜ Ｔ
分 析 本 题 直 接 证 明 比 较 困 难 ，可 考 虑 用 反 证法． ‘
证 明 借 助 单 位 圆 “ ＋ 一 １（如 图 １）去 考 虑 问
证明 １ ，
假 设 ｎ（１—６）， ６（１一ｃ）， ｃ（１一 ｎ）都 大 于
即ａ （ １ －６ ） ＞÷， ｂ （ １ 一ｃ ） ＞÷， ｃ （ １ 一ａ ） ＞÷， 则ａ （ １ —６ ）・ ｂ （ １ 一ｃ ）‘ ｃ （ １ 一口 ） ＞亩
①
题 ．由于 Ｏ＜ｚ＜ ｙ＜ ｚ＜ ＇ － ６－， “
故 可 在 单 位 圆 的 第 一 象 限
Ｊ 。
露一
内 圆 弧 上设 Ａ（Ｃ ＯＳ Ｘ， ｓｉ ｎｘ）， Ｂ （ｃｏｓ ｙ，ｓ ｉ ｎｙ），Ｃ （ＣＯＳＺ，
．
又 ａ（１－ ｂ）・ｂ（１－ ｃ ） ・ｃ（１－ ａ）
ｓｉ ｎｚ）．上 述 不 等 式 ① 的 左
＝ （ １－ａ） ］・［ ６ （ １－ｂ） ］．［ ｃ（ １ 一ｃ ） ］
边 的 几 何 意 义 为 图 中 三 个 小 矩 形 的 面积 之 和 ，由图 形 可 知 ，三 个 小矩 形 的 面 积
￣
１
～ ４
１
１
４
４
图 １
１ ，
６
１
与 ① 式 矛盾 ，所 以 假 设 不 成 立 ， 所 以 ｎ（１—６），ｂ
一
之和小于圆面积的÷ ， 即 ｓｔ＋Ｓ２ ＋ｓａ ＜÷ ， 故不等 式①成立 ， 从 而 原不 等 式 成 立 ．
（ １ －ｃ ） ， ｃ （ １ 一ｎ ） 中至少有一个不大于｛． 一
①
评 析 正 难 则 反 是 解 题 中重 要 的思 想 方 法 ，对 些 正 面 解 决 困难 的 问 题 往 往 起 到 非 常 好 的 效 果 ．
含 有 “至少 ”、 “至多 ”这 类 问题 经 常可 考 虑 反证 法 ， 体
评 析 构 造 法 是 根 据 数 学 问题 的条 件 或 结 论 所 具 有 的特 征 ， 通 过 创 造 性 思 维 构 造 出 相 关 的数 学 对 象 ，使 原 问题 得 以转 化 并 顺 利 解 决 ．构 造 法 解 题 贵 在 “ 创 新 ”， 在 解 题 时往 往 要 打破 常 规 ， 另辟蹊径．
现 了补 集 的思 想 ． ６．放 大 缩 小
来 去 自如
例 ６ 已 知 口， ６，ｃ，ｄＥ Ｒ＋，求 证 ：１＜ ｄ＋ ｄ＋ ｂ ｄ＜ ２． ｎ＋ ６＋ 。ｎ＋ ｃ＋ ‘ ＋ ｃ＋ …
（收 稿 日期 ： ２００９—０８—１６）
＋