辅教导 学 ・
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数 学 通讯 — — 2OO9年 第 11、12期 (上 半 月 )
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浅谈 不 等式 证 明 中 的“变 形计" 邵贤虎 (江苏 省 江 浦 高 级 中 学 ,2118 00)
不 等式 的证 明 是 高 考 和 竞 赛 中重 要 的 内 容 ,证
3.合 理 换 元
明 的方 法 丰 富多 彩 , 其 中 变 形 的 技 巧 更是 精 彩 纷 呈 . 合 理而 有 效 地 变 形 经 常 能 化 难 为 易 ,化繁 为 简 , 优 化
+ 8c 4a+ + ’ + 3a +6 2 ≥筹 4 8 . ‘
b 3c
解题过程 , 展 示 数 学美 . 1.活用 常 数
如 虎 添 翼
例 1 已知 O< £ < 1, 口, b为 常 数 , 且 ab> O, 求
分 析 本 题 去 分 母 比 较 复 杂 ,发 现 分 子 比 分母 简单 , 故可对分母进行 换元 , 让分 母简单 起来 , 便 于
分式 运算 . 证 明 对 分母 进 行 换 元 ,令 一6+ 3c, 一8c+
证: + , _ ≥( n +6 ) . 分析
本 题 若 去 分母 , 将使待证不等式 复杂化 ,
4口,z=3口+26, 贝U z, , z> 0,
注意到 t 。+ (1一 )一1是 解 决 本题 的关 键 .
1
[ 。 +( 1 -t 。 ) ] ( 》+
. 1
. 1
一一 百 十 百 十 百 ,
证明等+ 一 × c 等+ ) 一
改 头 换面
例 3 已 知 口, b,c∈ R , 求证 :
6 =÷ 一素 + 1 z ,
)
1
, 1
1
百 十丽 一 一 n。+ b。+
+
b
= = 『— —— — — 一
于 是 n
≥ +6 。 + √ n 。‘ b 。 一
评 析 常数 是 代 数 式 中 活跃 的一 分 子 ,活 用 常 数, 充 分 发 挥 好 常 数 的 “过 渡 ”功 能 , 能 使 许 多 复 杂 的
例 2 已知 口, 6, c, d∈R, 口。+b。+c 2+d。 ≤ 1, 求 证 :(a+6) + ( 口+c) + ( n+d)‘+ (6+c) + ( 6+ d)‘+ (c+ ) ≤ 6.
本题 待 证 不 等 式 较 复 杂 , 但 仔 细 观 察 ,发
现 式 子 比较 对称 , 故 可采 用 对 偶 式 解 决 . 证 明 记 不 等 式 左边 为 A, 构 造 A 的 对 偶 式 B一 (口一 6) + (口一 c)‘+ (口一 d) + ( 6一 c) + (6 一
)‘+ (c— ) ,
则 有
b
I
9c
去( 考+ 等) + ÷( 孝+ 警) + 去( 等+ ) 一 6 1
≥ 1
1 6+ 1  ̄ 12 61 一
47 =
.
问题 的解 决 “如 虎 添 翼 ”.最 常见 的 常数 是 “0”和“1”, 本 题 巧 妙 地 发 挥 “1”的替 换 功 能 , 使 问题 豁 然 开 朗 . 2.巧 用 对 偶 对 称 和 谐
I
b+ 3c 8c+ 4a 3a+ 2b
一口 +b 0+2 l n6l 一( 口+6) 。 .
分析
’
评析
对 于_ 些 结 构 较 为 复 杂 、变 元 较 多 的 问
题 ,我 们 往 往 可 以 引 入 一些 新 的变 量 进 行 代 换 ,以 简 化其结构 , 优 化 形 式 ,使 原 来 较 复 杂 的 问 题 改 头 换 面 ,变 成 我 们 熟 悉 的基 本 问题 ,体 现 了化 归 的 思 想 .
合 理 的换 元 能 简 化 题 设 信 息 , 使 隐性 条 件 显 性 化 , 将 分 散 的条 件 联 系 起 来 , 对 发 现 解 题 的 思 路 、优 化 解 题
的过 程 起 到 积 极 的 推 进 作 用 . 4.分 拆 合 并 化 零 为 整 例 4 已 知数 列 {n }中 的 相 邻 两 项 a 一 ,n。 是 关 于 的 方 程 z 一 (3k+ 2‘)+ 3k ・2 一 0的 两 个
根, 且 n 2 1≤ % ( 一 1,2,3,… ),记 f(, 1 )= ÷
A+ B 一 6( + b + c + d + 2a b + 2a c0+ 2a0d + 2b0 cz+ 2b d。+ 2c2d3)一 6(n0+ 62+ c0+
d。)。≤ 6.
又 B> / o, 所 以 A≤ 6.
评 析 数 学 中 有 很 多 问题 有 着 和 谐 的 对 称 美 , 解 题 时若 能 挖 掘 与 利 用 这 种 关 系 ,往 往 会 有 意 想 不 到 的 收获 .在解 某 些 数 学 问 题 时 , 针 对 其 中 的 式 子 A
(
+ 3),L 一 二
+ 二
+ 二
+…+ . 求证: ÷≤L≤去( EN ’ ) . 分析
本 题 对 于 若 一项 一 项 地 计 算 ,将 很难
完成 , 合 理 地 分 拆 合 并 能起 到“四两 拨 千 斤 ”的效 果 . 证明
方 程 z。一 (3 + 2 )+ 3k・2 = 0的 两个
的特 点 ,为 其 配 凑 一 个 合 适 的 式 子 B,使得 由 A 和 B
根 为 z1= 3k, z2=2 , 易 求 得 口l= 2, 口2—3,n3—4, n4
之 间 的运 算 ,能 产 生 一些 有 用 的 关 系 式 , 促 使 问题 向
= 6, 口5— 8, 口6=9, n7=12, 口8— 16,当 ≥ 4时 ,易得
有 利 的方 向转 化 ,进 而 解 决 问 题 .
2 > 3 .