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数 学通 讯— — ２ＯＯ９年 第 １１、１２期 （上 半 月 ）
一
・辅 教 导 学 ・
道 高考题 的四 种 解答 韩天禧 （ 甘 肃 省 高 台 县第 一 中学 ，７３４３００）
题目
（２ａ＋ｃ）， ， ｌ 一２ｂｚ
（２００９高 考 全 国 卷 理 Ｉ Ｉ第 １１题 ）已 知 双
曲 线ｃ ： 手一ｙ ６ ２ 。 １ （ 口 ＞。 ， ６ ＞。 ） 的右焦点为Ｆ ， 过Ｆ
由① ② 两式 ， 解 得 ｅ＝ ．
且斜率为 的直线交 ｃ于 Ａ、 Ｂ两点 ， 若 ＝４砖 ，
评析
则 Ｃ 的 离心 率 为
（ Ａ） 喜．
（
）
②
根 据 右 焦 点 坐 标 和 ＡＢ 的斜 率 ， 先 求 出
两 端 点 Ａ 与 Ｂ 的 坐标 ， 再 利 用 双 曲 线 定 义 写 出 方 程 组 求解 ， 过程简单 ， 运算合理．
（ Ｂ ） ．
２．利 用 结论 巧 做
（ ｃ ） 詈．
（ Ｄ ） 詈．
课 本 例题 中有 这 样 一 个 结论 ：在平 面 坐标 系 中 ， 一
１．利 用 定 义 巧 做
解法 １ 记双曲线左焦点为 ， 设ｌ 赍 ｌ ＝ｍ，
个 动 点 Ｍ（ ｘ， ） 与 一个 定 点 Ｆ（ 士ｃ， ０）的距 离 和 它
到一条定直线 ｚ ： ｚ＝ 士 ＿ ａ ＝ － ＿ 的 距 离 比是 一 个 常 数 ｅ＝
则ｌ ｌ＝４ ｍ． 由双曲线定义得 ｌ 百 Ｉ＝２ ａ＋ｍ，Ｉ
的点 的轨 迹 是 ：当 Ｏ＜ ｅ＜ １时 是 椭 圆 ， 其 方 程 为
Ｉ ＝２ｎ
＋ ４ｍ．
＋ ＝ １（ ｎ＞ ６＞０）；当 Ｐ＞ １时 是 双 曲线 ，其 方 程
在／ ＸＢＦＦ＂ 中，ｌ ＦＦ，ｌ＝２ ｃ，由于直线 ＡＢ的斜
率为 ， 得 ＢＦ 号， 由余弦定理得（ ２ ｎ ＋优） 。 ＝ ４ｃ 。＋ｍｚ－４ｃ ｍｃｏｓ＂ ４ －， 化 简 为 （２ａ＋ｃ）ｍ＝２ｂｚ
①
为 ～ ＝ １（ 口＞ ｏ， ６＞ｏ）．这 个 定 点 Ｆ就 是 轨 迹 的 焦点 ， 这 条 对 应 的定 直 线 ｆ是 轨 迹 的 准线 ． 解 法 ３ 记 右 准 线 为 Ｚ，
同理 ，在△ ＡＦ 中得 （４ａ－２ｃ ）ｍ＝ｂ。
②
作 ＡＡ 上 ｚ，ＢＢ 上 ｌ，垂 足 依
由① ②两 式 解 得 ｅ＝ ．
次 为 Ａ 和 Ｂ ，再 作 ＢＨ 上
评析
设 出一 个 焦 半 径 长 ， 根 据 双 曲线 定 义 ，求
ＡＡ ， 垂 足 为 Ｈ．记 ｌ 赍 Ｉ—
出 另 一个 焦 半 径 长 ， 分 别 在两 个 焦 点 三 角 形 内 ，利 用
ｍ， 则ｌ ｌ一４ｍ， 从 上述 结
余 弦 定 理 写 出方 程 组 求 解 ， 这 样 利 用双 曲线 定义 ， 可
论得 ： Ｉ
ｒ
＇
‘ ＼ 毕 一 ／。
Ｊ一 ，Ｊ 亩 ｌ— Ｃ
避 免 复 杂 运算 ．
解法 ２ 设Ｊ 百 Ｉ－ ￣ － － ｍ， 则Ｊ Ｉ一４ｍ． 记双曲
里
，
则 Ｉ ＡＨ Ｉ ＝塑
图 ｌ ．
线 Ｃ的左焦点为 Ｆ （ 一ｃ， ｏ）， 由于直线 ＡＢ的斜率为 ，
一
￣ＡＢ ＦＦ ＇ 号， 又Ｆ （ ｃ ， ｏ ） ， 从而求得Ｂ （ ｃ 一号，
由直线ＡＢ的斜率为 碍 ＢＡＨ一要．
由Ｊ ＡＨＩ —Ｊ ＡＢ Ｉ ｃ ｏ ｓ 号解得 詈．
）， Ａ（ ＋２ ｍ， ２√ ）．
评析
根据双曲线定义有 ｆ ＡＦ＇ｌ—ｌ ＡＦｆ一２ ａ， 即
丽
～４ ｍ一２ 。，
有 些 结 论 ，它 源 于教 材 ， 又 高 于 教 材 ，这
不 正 是 高 考命 题 思路 之 一 吗 ？ 它不 是 公 式 、性 质 ，胜
似公式 、 性质． 不 失时机充 分应用 ， 可 避 免 复 杂 运 算
化 简 为
和推理． （４ａ一２ｆ）ｍ＝ｂ
同理， 由Ｉ ＢＦ ｌ —Ｉ ＢＦｌ＝２ ａ得
①
（下 转 第 ２９页 ）
辅教导学 ・
・
数 学通 讯 — — ２０Ｏ９年 第 １１、１２期 （上半 月）
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介 绍一道一元 二次方程根 的分布题 甘志国 （ 湖 北 省 十 堰 市 东 风 高 级 中 学 ，４４２００１）
题 目 设 集 合 Ａ＝ ｛（ ， ）ｌ ＝工２＋口 ＋ ２），Ｂ
＝｛ （ ， ）Ｉ ＝ｚ＋ １， Ｏ ＜ ｚ＜ ２）， Ａ ｎＢ是 单 元 素 集 ， 求 实 数 ｎ的取 值 范 围． 解
（３）如 图 ３，得 △； （口一 １） 一４；Ｏ， 口＝ 一 １或 ３． 当 口＝ 一１时 ， 方 程 ，（ ｚ）一０的 根 ｌ在 （ Ｏ， ２） 上； 当口 ３时 ， 方 程 ，（ｚ）＝ ０的根 一 １不 在 （０，２）上 ．所 以 只 有 ｎ＝ 一１满 足题 意．
题 意 即关 于 ｚ， Ｙ的方 程 组 ｆ ＝ Ｘ２Ｗ ａｘ＋ ２
’ 々
总之 ， 所求 ａ的取值 范围是 ≤ 一÷ 或 ｎ＝一１ ．
＼ ＝ｚ＋１（ ０＜ｚ＜２） 有唯一一组解 ， 也 即关 于 的 一 元 二 次 方 程 ｚ。 ＋（ 口 １）ｘ＋ １＝ Ｏ在 （Ｏ，２）上有 唯 一解 ．
注 这是某资料 上 的一道 例题 ， 原 例题 只 是 按 照 以 上情 形 （ １ ） 来 解答 的 ． 若 用 数 形 结 合 解 答 一 元 二
用 二 次 函数 来 求 解 ， 设Ｊ ｒ （ ｚ）＝ｚ － ４ －（ 口一 １） ｚ＋ １， 又要分三种情形 ：
次 方 程 根 的分 布 问 题 ， 一 定 要 注 意讨 论全 面 ， 否 则 容 易 出错 ． 另 解 同 上 解 法 得 ，题 意 即关 于 的一 元 二 次 方 程
一
Ｙ Ｊ Ｉ
Ｙ Ｊ Ｉ
Ｉ ．
． ／～ １ ＼． － ／一
Ｉ ＼ ０
Ｙ Ｊ Ｉ
ｆ
、
Ｄ ＼ｌ 一
ｌ ＼ ／
图 １
１ ／一
ｚ ＋ （口～ １） ＋ １＝ ０ 即 １一 口
．
０
图 ２
ｌ ２
一 ｚ＋ 二 在 （Ｏ，２）上 有 唯 一
解， 也 即 关 于 ， ｊ ，的 方 程 组
图 ３
ｒｙ １一 口
，
（ １ ）如图 １， 得 ，（ ２ ）一２ ａ＋３＜０， 即 ａ＜－ －昔 时 满足题意．
｛ ＝ ｚ ＋ ｊ １ （ 。 ＜ ＜ ２ ） 有唯
图 ４
解．
一
口
（ ２） 如图 ２， 得 ，（ ２ ）＝２ ａｄ－ ３＝０， 口＝一÷ ， 此时
由 图 ４得 ，１～口一 ２或 １－ ａ￣ ５ 即 ｎ≤ 一 ３或 ，
１
可 以检验 出方程 ，（ ｚ）＝０的根 ÷ ， ２恰 有一个 在 区
ｎ＝一１， 这就是所 求的 ｎ的取值 范围．
。
间（ Ｏ， ２） 上， 即 ｎ一 一 。时 也 满 足 题 意 ．
ｆ 收 稿 日期 ：２００９－０７—２４）
（上 接 第 ２８ 页 ）
ｚ
得 ９（３ａ。～６２）一 １６ｃ ，即 ９（４ａ。一ｃ２）＝ １６ｃ ，所 以
３．小 题 也 可 大 做 解 法 ４ 设 Ａ（ ｘ ， ）， Ｂ（勘 ， ），过 Ｆ（ｃ， Ｏ）且
３６ａ。一２５ｃ ０， 解 得 ｅ一 ．
斜率为 的直线方程为 ｊ ， 一 （ ｚ—ｃ ）， 即 ｚ＝墨 √ ＋
是： 设而不求 ， 整 体求 ．先 设 出 直 线 方 程 ， 由 于 方 程 中 有 参数 ， 想解又难解或解不 出， 只能 将 直 线 方 程代 入 双 曲 线方 程 ，整 理 出关 于 ｚ或 的 一元 二 次方 程 ，利 用 根 与 系数 的关 系整 体 求 解 ．可 本 题 是 纯 字 母 运 算 ， 尽 管方 法 与 过程 熟 练 可 运 算 量 很 大 ， 又 容 易 出错 ，
３
ｃ， 代入双曲线方程 ｎ。一告 ０ ＝１， 整理化简得（ ３ ａ。一 ｂ ）３ ， 。一 ２
。ｃ ｙ－３ｂ ＝０，于是 ①
短 时 间难 以完 成 ．
・ ＝一瓣３ｂ ４
②
利 用通 性 通 法 做 小 题 要 谨 慎 ，小 题 大 做 费 时 费 力 ．要 挖 掘 题 目的个 性特 征 ， 上 策 是 结 合 选 择 题 特 殊
由 ＝（ ｃ —ｚ ， 一 。）， 商 ＝（ ｚ。一ｃ， ｊ ， ）， ＝ ４菇 得 ＹＩ一 ～ ４ ，代 人 ①，②，得 ２＝ 一
２ ｂ２ ｃ
解 决 直 线 与 圆锥 曲 线 相 交 弦 问题 的 通 法
＋ｙｚ＝
。
一
０
评注
ｙｌ一 — ４（ — ３ａ 二 ， ’ ￣ — － ｂ ｚ）’ ，从 这 两 阴式 甲 中捎 消 云 去
性 巧做 ．
【收稿 日期 ： ２００９一Ｏ８一Ｏ６）