２８
数 学通 讯— — ２ＯＯ９年 第 １１、１２期 （上 半 月 ）
一
・辅 教 导 学 ・
道 高考题 的四 种 解答 韩天禧 （ 甘 肃 省 高 台 县第 一 中学 ，７３４３００）
题目
（２ａ＋ｃ）， ， ｌ 一２ｂｚ
（２００９高 考 全 国 卷 理 Ｉ Ｉ第 １１题 ）已 知 双
曲 线ｃ ： 手一ｙ ６ ２ 。 １ （ 口 ＞。 ， ６ ＞。 ） 的右焦点为Ｆ ， 过Ｆ
由① ② 两式 ， 解 得 ｅ＝ ．
且斜率为 的直线交 ｃ于 Ａ、 Ｂ两点 ， 若 ＝４砖 ，
评析
则 Ｃ 的 离心 率 为
（ Ａ） 喜．
（
）
②
根 据 右 焦 点 坐 标 和 ＡＢ 的斜 率 ， 先 求 出
两 端 点 Ａ 与 Ｂ 的 坐标 ， 再 利 用 双 曲 线 定 义 写 出 方 程 组 求解 ， 过程简单 ， 运算合理．
（ Ｂ ） ．
２．利 用 结论 巧 做
（ ｃ ） 詈．
（ Ｄ ） 詈．
课 本 例题 中有 这 样 一 个 结论 ：在平 面 坐标 系 中 ， 一
１．利 用 定 义 巧 做
解法 １ 记双曲线左焦点为 ， 设ｌ 赍 ｌ ＝ｍ，
个 动 点 Ｍ（ ｘ， ） 与 一个 定 点 Ｆ（ 士ｃ， ０）的距 离 和 它
到一条定直线 ｚ ： ｚ＝ 士 ＿ ａ ＝ － ＿ 的 距 离 比是 一 个 常 数 ｅ＝
则ｌ ｌ＝４ ｍ． 由双曲线定义得 ｌ 百 Ｉ＝２ ａ＋ｍ，Ｉ
的点 的轨 迹 是 ：当 Ｏ＜ ｅ＜ １时 是 椭 圆 ， 其 方 程 为
Ｉ ＝２ｎ
＋ ４ｍ．
＋ ＝ １（ ｎ＞ ６＞０）；当 Ｐ＞ １时 是 双 曲线 ，其 方 程
在／ ＸＢＦＦ＂ 中，ｌ ＦＦ，ｌ＝２ ｃ，由于直线 ＡＢ的斜
率为 ， 得 ＢＦ 号， 由余弦定理得（ ２ ｎ ＋优） 。 ＝ ４ｃ 。＋ｍｚ－４ｃ ｍｃｏｓ＂ ４ －， 化 简 为 （２ａ＋ｃ）ｍ＝２ｂｚ
①
为 ～ ＝ １（ 口＞ ｏ， ６＞ｏ）．这 个 定 点 Ｆ就 是 轨 迹 的 焦点 ， 这 条 对 应 的定 直 线 ｆ是 轨 迹 的 准线 ． 解 法 ３ 记 右 准 线 为 Ｚ，
同理 ，在△ ＡＦ 中得 （４ａ－２ｃ ）ｍ＝ｂ。
②
作 ＡＡ 上 ｚ，ＢＢ 上 ｌ，垂 足 依
由① ②两 式 解 得 ｅ＝ ．
次 为 Ａ 和 Ｂ ，再 作 ＢＨ 上
评析
设 出一 个 焦 半 径 长 ， 根 据 双 曲线 定 义 ，求
ＡＡ ， 垂 足 为 Ｈ．记 ｌ 赍 Ｉ—
出 另 一个 焦 半 径 长 ， 分 别 在两 个 焦 点 三 角 形 内 ，利 用
ｍ， 则ｌ ｌ一４ｍ， 从 上述 结
余 弦 定 理 写 出方 程 组 求 解 ， 这 样 利 用双 曲线 定义 ， 可
论得 ： Ｉ
ｒ
＇
‘ ＼ 毕 一 ／。
Ｊ一 ，Ｊ 亩 ｌ— Ｃ
避 免 复 杂 运算 ．
解法 ２ 设Ｊ 百 Ｉ－ ￣ － － ｍ， 则Ｊ Ｉ一４ｍ． 记双曲
里
，
则 Ｉ ＡＨ Ｉ ＝塑
图 ｌ ．
线 Ｃ的左焦点为 Ｆ （ 一ｃ， ｏ）， 由于直线 ＡＢ的斜率为 ，
一
￣ＡＢ ＦＦ ＇ 号， 又Ｆ （ ｃ ， ｏ ） ， 从而求得Ｂ （ ｃ 一号，
由直线ＡＢ的斜率为 碍 ＢＡＨ一要．
由Ｊ ＡＨＩ —Ｊ ＡＢ Ｉ ｃ ｏ ｓ 号解得 詈．
）， Ａ（ ＋２ ｍ， ２√ ）．
评析
根据双曲线定义有 ｆ ＡＦ＇ｌ—ｌ ＡＦｆ一２ ａ， 即
丽
～４ ｍ一２ 。，
有 些 结 论 ，它 源 于教 材 ， 又 高 于 教 材 ，这
不 正 是 高 考命 题 思路 之 一 吗 ？ 它不 是 公 式 、性 质 ，胜
似公式 、 性质． 不 失时机充 分应用 ， 可 避 免 复 杂 运 算
化 简 为
和推理． （４ａ一２ｆ）ｍ＝ｂ
同理， 由Ｉ ＢＦ ｌ —Ｉ ＢＦｌ＝２ ａ得
①
（下 转 第 ２９页 ）