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辅教导学 ・
数 学 通 讯— — ２００９年 第 儿 、１２期 （上 半 月 ）
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对 一 道 创 新题 的 解 法 探 究 刘晓东 （浙 江 省吴 兴 高 级 中学 ，３１３ ０００）
对 考 生 能 力 特 别 是 创 新 能 力 的 考 查 ，一 直 是 高 考 的重 点 和 热点 ， 由此 而 出 现 的 精 彩 试 题 层 出不 穷 ， 本 文 与 各 位 共 同 欣 赏 ２００９年 高 考 中 的 一 道 创 新 题 ． 问题 （２００９年 北 京 理 ８）点 Ｐ 在 直 线 ｚ：Ｙ＝ｚ １上 ，若 存 在 过 Ｐ 的直 线 交 抛 物 线 Ｙ＝ｚ。于 Ａ， Ｂ 两点 ， 且ｌ ＰＡＩ ＝Ｉ ＡＢ Ｊ ， 则 称 点 Ｐ 为“ 点 ”， 那 么 下 列 结 论 中正 确 的 是 （ ） （ Ａ）直线 ｚ上 的所 有点 都是 “ 点 ”． （Ｂ）直 线 ｚ上 仅 有 有 限 个 点 是 “ 点 ”． （Ｃ）直 线 ｚ上 的所 有 点 都 不 是 “ 点 ”． （Ｄ）直线 ｚ上 有 无 穷 多 个 点 （但 不 是 所 有 的 点 ） 一
２ｍ 一 １＝ ０， 。 ．
解 法 ３ 设 Ｐ（ｘｏ， ． ＴＯ一 １），过 Ｐ 的 直线 设 为 ：Ｙ ＝矗（ｚ—Ｘ０）＋ｚｏ一 １， 则 由
／ｙ Ｘ２ ｌ — ｋ（ｚ— Ｘ０）＋ Ｘ０— １
得 ｚ 一ｋｘ＋ ｋｘｏ—Ｘｏ＋１ ０．
设 Ａ（ｘｌ， Ｙ１）， Ｂ（ ｚ２， Ｙ２）， 贝４ ｚｌ＋ｚ２＝ ｚｌｚ２一ｋｘｏ—ＸＯ＋ １
．
是“ 点 ”． １ 试 题 分 析
。 △一 （ ４ｍ一 １） 一 ４（２ｍ０— １）＝ ８ｍ。一 ８ｍ ＋ ５＞
０恒 成 立 ，所 以方 程 有 解 ，点 Ｐ存 在 ， 点 Ａ就存在 ， 故 选 （Ａ）．
由ｆ ＰＡｌ： ｌ ＡＢｌ，得 ＝ ，即 （ｚ 一 ， ｊ ， 一 Ｘｏ＋ １）一 （ｚｚ－ Ｘ１， Ｙｚ— １），
这 道 题 是 创 新题 ，即新 概 念 题 ．它考 查 的 重 心 不 再 是 数 学 知 识 本 身 ，而是 重 点 考 查 学 生 阅读 与理 解 、
所 以 ｚｌ— ｚ０一ｚｚ一飘 ，即 ２ｘｌ—ｚ。一 ＝０ ③ 、
信 息 迁 移 以及 学 生 的 学 习 潜 力 ， 考 查 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 ．问 题 解 决 流 程 ：阅 读 —— 理 解 —— 转 化 —— 求 解 ， 懈 决 问 题 的 关 键 在 于 理 解 和 转化． ２ 解 法探 究 通过对 问题 的理解 ，
由① 、 ③ 式得 － ２ ７ １一 下 ｋ＋Ｘｏ， ｚ
０ ／
ｊ
／
解法 １ 如 图 １，设 图 １
Ｐ（口，口一 １），Ｂ（Ｘ， ）， Ａ
。 一
—
线 ＰＴ 逆 时 针 旋 转 时 ，Ｉ ＡＢＩ 的 长 度 从 开 始 为 ０变 成 正 无 穷 大 ，ｊＰＡ ｉ 是 从 一 个 大 于 零 的 数 字 变 成 另 外 一 个 大 于 零
Ｏ ， ／
图 ２
正 无 穷 大 ，因 此 必 定 有 一 个 位 置使 Ｉ ＡＢＩ 一』 ＰＡＩ＝０．故 选 （ Ａ）．
１
一
广
． ｙ ｌ ‘
Ｊ ＰＡ Ｉ 从 一 个 负 数 连 续 变 化 到 －
代 入 ②
的 数 字 ，也 就 是 说 Ｉ ＡＢ Ｉ—
（勘 ，ｙｏ），Ａ 为 ＰＢ 的 中 ｘＺ ＋ａ
，
ｏ
因为 △一（一８ｘ。） 一 ８（一 ｚ３＋ ９ｘｏ一 ９）＝ ７２（ｚ３
切 线 ＰＡ 向 垂 直 于 ｚ 轴 的 直
＝ ｚ。上 ．
一
一． ＴＯ＋ １）＞ Ｏ恒 成 立 ， 所 以 方 程 有 解 ，点 Ｐ存 在 ，点 Ａ就存在 ， 故 选 （Ａ）．
Ｐ（ａ，ａ一 １），抛 物 线 ＝
／ ／ｙ＝ １ —
２ｋ－ Ｘｏ
式并整理得 ２ 一８ｘｏ 一商 ＋９ｘ。一 ９＝０，
解法 ４ 合情推理． 如 图 ２， 过 点 Ｐ 的 直线 从
ｚ。上 是 否 存 在 点 Ｂ，使 ＰＢ 的 中点 Ａ 也 在 抛 物 线
：
ｏ
可 将 问 题 转 化 为 ：已知 点
点 ，则 ． ＴＯ一＿ ｘ＋ ａ，
① ②
，
代人抛物线方 程得 ： ｘ２ Ｔ ＋ａ－１＝ ± ，
即 ｚ。一 ２口 一 （ 口。一 ２口＋ ２）一 ０．
对 于创 新 题 （即 新 概 念 题 ），理 解 题 意 成 了 解 题 的关 键 ．本 题 是 以考 生 较 为 熟 悉 的 抛 物 线 为 背 景 ，学
△＝ ４ａ ＋ ４（ 一 ２ａ＋ ２）一 ８（ｎ 一 ａ＋ １）＞ Ｏ，
生 在 阅读 和 理 解 上 较 容 易 把 握 ， 问题 也 易 于转 化 ， 给 学 生 提 供 了 足够 的思 维 空 间 ， 是 题 海 战 术 所 无 法 企
所以方程有 解 ， 点 Ｐ存 在 ， 点 Ａ 就 存 在 ，故 选
及 的， 从 上 面 的 四种 解 法 来 看 ，考生 只要 理解 了题 意
（Ａ）．
解 法 ２ 如 图 １，设 Ａ（ｍ， ），Ｐ（ｘ， Ｔ－ １），则 Ｂ ！
也 都 能 想 到 ，可谓 新 而 不 难 ， 这 也 许 正是 命 题 者 所 追
求 的， 也 是 对 新课 程理 念 最 好 的诠 释 ．
（２ｍ—ｚ，２ —ｚ＋１），因 为 Ａ， Ｂ 在 抛 物 线 Ｙ— Ｘ 上 ， 所 以
（收 稿 日期 ： ２００９—０７— ２４）