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数 学通 讯 —— ２ ｏ０ ９年 第 ｌ１ 、 １ ２期 （ 上半月）
・辅 教 导 学 ・
另 类 解 法 引 出意 外 发 现 孙 芸 （江苏 省 海 门 中学 ，２２ ６１ ００）
有 一 次 笔者 布置 了这 样 一 道解 析几 何 作 业 题 ：
『 ｆ Ⅱ且
题
Ｉ ＡＦ２ １．１ ＢＦ２ ｌ＝ （ ａ－ ｅ ｘ１）（口一 ２）
已 知椭 圆 Ｃ 的 中 心
Ｉ
在 坐标 原 点 ， 焦 点 在 ｚ轴 上 ，
’
＝ （２一 １ ｚ ）（２一 １ ｚ：）
椭 圆 ｃ上 的 点 到 焦点 的距 离
一
一 ４一 （ ｚｌ＋ ｚｚ）＋ １
的 最 大值 为 ３， 最小值为 １ ．
ｌｚ ２
（１）求 椭 圆 Ｃ 的 标 准
一 ４ 一 丽十 ＋ 鼎 雨 一４ 一 鬻 丽
方程；
（ ２） 如 图 １， 过椭 圆 Ｃ 的
图１
②
． ． ．Ｉ ＡＦ ｌ・ ｉ ＢＦ１ Ｉ一 （２ａ— ｌ ＡＦ２ １）（２ａ—
右 焦 点 Ｆ。的 直 线 ｚ与 椭 圆 Ｃ 交 于 Ａ，Ｂ两 点 ， 设 左
焦 点 为 Ｆ ， 求Ｉ ＡＦ １．Ｉ ＢＦ ｌ 的最 值 ．
ｌ ＢＦｚ １ ）一 １６—４Ｉ ＡＢｌ＋ 』 ＡＦ２ Ｉ・ｌ ＢＦ２ Ｉ＝ １６—４（４
旦 一 ——） ３ － ｂ ４ ｋ ｚ ） ＋ 十 ４ 一 丽一 一 警卫 ～ ４上 ３ ｑ － ４ ｋ ｚ ④ ③ 一
本题第（ １ ） 问的答案是等＋等一１ （ 过程略） ， 对
・
于第（ ｚ）问 ， 大 部 分学 生 采 用 的 常 规 思 路是 ： 分直线 ｌ 的 斜 率 ｈ存 在 和 不 存 在 两 种 情 形 讨 论 ， 在 斜 率 存
．
＇ ｋ ＥＲ 。３ ≤ｉ Ａ Ｆ １ １ ・ Ｉ Ｓ Ｆ ｌ ＜孕
综上所述， ３≤｝ ＡＦ １．１ ＢＦ ｌ ≤竿 ｎ ｒ ， 即Ｉ ＡＦ Ｉ．
在 的情 形 中 ， 采 用 设 而 不 求 的 思想 方 法 ， 通 过 联 立 直 线 ｚ和 椭 圆 Ｃ 的 方 程 ， 根 据 韦 达 定 理 求 出 ＋ ｚｚ 、 ｚ ｚ。（含 ）， 再 结 合 椭 圆 的 焦半 径公 式 把 Ｉ ＡＦ ｌ－
ｌ ＢＦ ｌ 表 示 成 ｋ的 函数 ， 进 而求 出最 值 ． 然而 ， 有 一 部 分 学 生 却 运 用 椭 圆 的 定 义 给 出 了
Ｉ Ｂ Ｆ ｌ 的最小值为３ ， 最大值为孕． 上述 解 法 正 确 但绕 了 弯路 ， 反 思 解 答 过 程 ，笔 者
意外 发现 其 中隐 藏 的 规 律 ： Ｏ ）￣ Ｐ［ ＡＢＩ ＝
，
如 下 的另 类 解 答 ． （ ￣ ＰＩ ＡＦ２Ｉ・Ｉ ＢＦｚｔ－
解
， 从 而有
由（ １ ） 知 口＝２， ６一 ， ｃ ｌ， ｅ 一÷ ， ［ ＡＦｚ１．Ｉ ＢＦ２Ｉ — ３ Ｉ ＡＢＩ
当直 线 ｚ的 斜率 ｋ不 存 在 时 ，Ｉ ＡＦｚ Ｉ＝ ｌ ＢＦｚ ｌ一
÷ ，ｌ ＡＦ１ Ｉ・Ｉ ＢＦ１ Ｉ ＝（ ２ ａ— Ｉ ＡＦｚ １ ）（ ２ ａ— Ｉ ＢＦｚ Ｉ ） ：
．
利 用 这个 规 律 ，可 以将 上 述 解 法 作 如 下 的改 进 ：
由１ Ａ Ｆ ｚ ｌ ・ ｊ Ｂ Ｆ ｚ ｊ ＝￣ － Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ， 得
．
当 直 线 ｌ的斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 ｌ的方 程 为 ｙ ＝ ｈ（ ｘ－ － １）（奄∈ Ｒ）， Ａ（ｚｌ， ｙ１），Ｂ（３ ｃ ２， Ｙ２），
Ｉ ＡＦ１ Ｉ・Ｉ ＢＦ１ Ｉ＝ （２ａ－ Ｉ ＡＦ２ １）（２ａ－ Ｉ ＢＦ２ １） 一４ａ 一 ２ａ（１ Ａ Ｉ ＋Ｉ ＢＦ Ｉ）＋ ｝ ＡＦ２ Ｉ・ｌ ＢＦｚ ｌ
＝１６—４１ ＡＢＩ ＋ ３ １ ＡＢ［ ＝１ ６一
＼ 由
髑
ｌ
，
又３：丝 ≤ Ｉ Ａ引 ≤２ 口 ４
，
ｎ
・ ．
故有计一 ￣ Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝等 ． ’ ．
．
３ ≤ｌ Ａ Ｐ １ ．Ｉ Ｂ Ｆ ｆ ≤孕， 即Ｉ Ａ Ｆ Ｉ ． １ Ｂ Ｆ ｌ
的最小值为３ ， 最大值为孕．
１ ＡＢＩ＝ （ａ－ ｅｘ１）＋ （ ａ－ ｅ ｘ２）
＝ ２ｎ— ｅ（ｚ１＋ ｚ ）一 ４一 ４ 而 ｋ ２
．
①
意外发现Ｉ ＡＦ ２ １．Ｉ ＡＦ Ｉ ＝÷Ｉ Ａ ＢＩ ， 避免了③
・
辅教导学 ・
数 学 通 讯 —— ２ＯＯ９年 第 ｌｌ、 １２期 （上 半 月 ）
变 形 的麻 烦 ，改 进 了 －原 解 答 ．此 时 自然 想 到 ：对 于 任
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定理 ｌ 过 椭 圆 ＋
１（ｎ＞ ６＞ ｏ）的右 焦
意 的椭 圆， 是 否也有 Ｉ Ａ Ｉ．１ ＡＦ２ ｊ ＝ｍ Ｊ ＡＢｌ 这样 点 Ｆ２的直线 ｚ与 椭 圆交于 Ａ， Ｂ 两点 ， 设左 焦点 为
的规 律 呢 ？如 果 有 ， 其 中 ｍ 又 等 于 多少 呢 ？ ｙＺ
设 过 椭圆 ｘｚ
１ ＿
ＦＪ， 则
一 １的 右 焦 点 Ｆ２的 直 线 ｚ与 （ １ ）Ｉ ＡＦｚＩ・Ｉ ＢＦｚＩ ＝ Ｉ ＡＢＩ ；
椭圆交于 Ａ， Ｂ两 点 ，左 焦 点 为 Ｆｔ．
（ ２）Ｉ ＡＦｚ Ｉ・ Ｉ ＢＦｚ ｌ的 最 小 值 为 ５ ４
当直 线 ｌ的斜 率 ｋ不 存 在 时 ，ｌ ＡＦ２ ｌ ＝Ｉ ＢＦ２ ｌ ＝
，
譬， 所以ｔ Ａ Ｂ Ｉ ＝ ， Ｉ Ａ Ｆ ｚ ｔ ・ ｌ Ｂ Ｆ ｚ ｌ ＝ ５ ４ ， 故有
最 大 值
为 ｂ２
（ ３）Ｉ ＡＦｌ Ｉ・Ｉ ＢＦｌ Ｉ的 最 小 值 为 ６ ２，最 大 值
Ｉ ＡＦｚＩ・ｌ ＢＦ２Ｉ ＝ ５２ ｌ ＡＢＩＩ 为
．
当直 线 ｚ的 斜 率 ｋ存 在 时 ， 设 直 线 ｌ的 方 程 为 Ｙ 用 同样 的方 法 可 以证 明 ， 对 于 双 曲线 、抛 物 线 也
＝ｋ（ ｘ－ －ｃ ）（ｋＥＲ）， Ａ（ ｚｌ， ｙ１）， Ｂ（ ｘｚ， ｙｚ），
有 类 似 的性 质 ， 证 明 留给 读 者 ．
ｆＹ ｋ（ｘ—ｃ）
由 信＋ 荸一 消 去 得
定 理 ２ 过 双 曲 线 一 一 １（ｎ＞ ｏ，６＞ ｏ）的
右 焦 点 Ｆ２的 直 线 ｚ与 双 曲 线 右 支 交 于 Ａ ， Ｂ两点 ，
（６。＋ 口。 ） 一 ２ａ。ｃ ｋ。 ｚ＋ （ｃ。ｋ 一 ｂ２）＝ Ｏ，
设 左 焦 点 为 Ｆ１，则
故有ｚ 。 ＋ 一 华 ， （ｃ…ｋ
ｔ 砣 ■
（１）Ｉ ＡＦ，１．Ｉ ＢＦｚＩ ＝ ５２ ｌ ＡＢｌ ；
）
一’
（２）ｔ ＡＦ。ｌ・Ｉ ＢＦｚ Ｉ的 最 小 值 为 ５ ４ ，
无最大值 ；
． ． ．Ｉ ＡＢｌ一 （ａ－ ｅｘ１）＋ （ ａ－ ｅ． Ｔ ｃ ｚ） 一 ２ａ－ ｅ（ ｘｌ＋ ｚ２） ｚ
。一
ｃ
’ —
（ ３）ｌ Ａ Ｆ１ １．１ ＢＦ Ｉ 的 最 小 值 为
２ａ ｃｋ０
２ａｂ０（矗０＋ １）
ａ２ ｋｚ — － ｑ － ｂ ２ — ｉ
最大值．
，
定 理 ３ 过抛 物 线 Ｙ。一２ｐｘ（ｐ＞ Ｏ）的焦 点 Ｆ 的
ｆ ＡＦ２ Ｉ・ｆ ＢＦ２ ｆ＝ （ 口一 １）（ 口一啦 ）
直 线 ｚ与 抛 物 线 交 于 Ａ ， Ｂ两点 ， 则
一 口 － ａｅ（ｘ１＋ ｚ２）＋ ｅ。ｚ１ｚ２ 一
一
，
一
２ａ０ｃｋ
（ １ ）Ｉ ＡＦＩ・ｌ ＢＦＩ ＝要Ｉ ＡＢＩ ；
ｃ。 口。（ｃ ２ 一 ｂ２）
ａ ｚ ｋ ｚ ． — ｑ － ｂ ｚ 。 ｑ － － ｄ ｒ‘■蠢
一
—
（２）｝ ＡＦｆ・ＩＢＦｆ ≥ Ｐ ．
二 垒 ｚ ：± ： ± ＝ 芝
以上 从 学 生 的 一 个 另 类 解 法 出 发 ，通 过 反 思 探
ａ０ ｋ。＋ ６２
一
！ 二 ： ± 一 口０ｋ０＋ ｂｚ
±
， 无
索 ，意 外 发 现 了 圆 锥 曲 线 的 一 个 有 趣 性 质 ，案 例 虽 ．
ａ２ｋｚ＋ ｂｚ ’
小 ，却 很有 意义 ．记 得 著 名 教 育 家 波 利 亚 所 说 ：“没有
． ． ．Ｉ ＡＦｚ １．Ｉ ＢＦｚ ｆ 一 ｂ ２ Ｉ Ａ引
一
．
道 题 是 可 以解 决 得 十 全 十 美 的 ，总 剩 下 些 工 作 要
做， 经 过 充 分 的探 讨 总 结 ，总 会 有 点 滴 的 发 现 ，总 能 综 上 所 述 ，［ ＡＦｚｉ・［ ＢＦｚＩ一 ５２ ｌ ＡＢＩ
改 进 这 个 解答 ， 而 且 在 任 何 情 况下 ， 我 们 都 能 提 高 自
．
利用 Ｉ ＡＦ２Ｉ．ＩＢＦｚ ｌ一 ５２ Ｉ ＡＢｌ这 个 重 要 的 性
己对 这 个 解答 的 理 解 水 平 ” ．他 打 比方 说 ： “在 你 找 到 第 一 个 蘑 菇 （或 作 出第 一 个 发 现 ）后 ， 要 环 顾 四周 ，因
质， 进一步可得等≤Ｉ Ａ Ｆ ｌ ・１ Ｂ Ｆ 。 Ｉ ｂ ２ ， 而且 ｌ ＡＦ Ｉ・Ｉ ＢＦｔ Ｉ 一 （２ａ— ｌ ＡＦ２ Ｉ）（２ａ— ＩＢＦ２ Ｉ ）＝４ａ。 一
２口Ｉ ＡＢＩ ＋［ ＡＦｚ ｆ．Ｉ ＢＦｚ ｉ一 ４ 一 — ４ａ ｚ－ ｂｚ ＩＡＢＩ ・
，
又 因 为 ≤ ｆ ＡＢ【 ≤ ２ｎ， 所 以 ｂＺ￣ ［ Ａ ‘ 。Ｆ 『．［ ＢＥ ｆ ≤
旦三
，
于 是 得 到椭 圆 的 如 下性 质 ．
为 它 们 总是 成 堆 生 长 的 ” ．本 案 例 不 就 说 明 了 这 一 点 吗？同时 ， 这 也 启 示 我 们 在 平 时 的 解 题 中 ，应 注 重 解 题反思 ， 因 为 解 题 反 思 往 往 会 给 我 们 带 来 意 外 的 收 获 ，同时 还 能 帮 助 我 们 巩 固 知 识 、发 展 智 力 和 提 升 能力．
ｆ收 稿 日期 ： ２００９－ ０７－ ０１）