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数 学通 讯 —— ２ ｏ０ ９年 第 ｌ１ 、 １ ２期 （ 上半月）
・辅 教 导 学 ・
另 类 解 法 引 出意 外 发 现 孙 芸 （江苏 省 海 门 中学 ，２２ ６１ ００）
有 一 次 笔者 布置 了这 样 一 道解 析几 何 作 业 题 ：
『 ｆ Ⅱ且
题
Ｉ ＡＦ２ １．１ ＢＦ２ ｌ＝ （ ａ－ ｅ ｘ１）（口一 ２）
已 知椭 圆 Ｃ 的 中 心
Ｉ
在 坐标 原 点 ， 焦 点 在 ｚ轴 上 ，
’
＝ （２一 １ ｚ ）（２一 １ ｚ：）
椭 圆 ｃ上 的 点 到 焦点 的距 离
一
一 ４一 （ ｚｌ＋ ｚｚ）＋ １
的 最 大值 为 ３， 最小值为 １ ．
ｌｚ ２
（１）求 椭 圆 Ｃ 的 标 准
一 ４ 一 丽十 ＋ 鼎 雨 一４ 一 鬻 丽
方程；
（ ２） 如 图 １， 过椭 圆 Ｃ 的
图１
②
． ． ．Ｉ ＡＦ ｌ・ ｉ ＢＦ１ Ｉ一 （２ａ— ｌ ＡＦ２ １）（２ａ—
右 焦 点 Ｆ。的 直 线 ｚ与 椭 圆 Ｃ 交 于 Ａ，Ｂ两 点 ， 设 左
焦 点 为 Ｆ ， 求Ｉ ＡＦ １．Ｉ ＢＦ ｌ 的最 值 ．
ｌ ＢＦｚ １ ）一 １６—４Ｉ ＡＢｌ＋ 』 ＡＦ２ Ｉ・ｌ ＢＦ２ Ｉ＝ １６—４（４
旦 一 ——） ３ － ｂ ４ ｋ ｚ ） ＋ 十 ４ 一 丽一 一 警卫 ～ ４上 ３ ｑ － ４ ｋ ｚ ④ ③ 一
本题第（ １ ） 问的答案是等＋等一１ （ 过程略） ， 对
・
于第（ ｚ）问 ， 大 部 分学 生 采 用 的 常 规 思 路是 ： 分直线 ｌ 的 斜 率 ｈ存 在 和 不 存 在 两 种 情 形 讨 论 ， 在 斜 率 存
．
＇ ｋ ＥＲ 。３ ≤ｉ Ａ Ｆ １ １ ・ Ｉ Ｓ Ｆ ｌ ＜孕
综上所述， ３≤｝ ＡＦ １．１ ＢＦ ｌ ≤竿 ｎ ｒ ， 即Ｉ ＡＦ Ｉ．
在 的情 形 中 ， 采 用 设 而 不 求 的 思想 方 法 ， 通 过 联 立 直 线 ｚ和 椭 圆 Ｃ 的 方 程 ， 根 据 韦 达 定 理 求 出 ＋ ｚｚ 、 ｚ ｚ。（含 ）， 再 结 合 椭 圆 的 焦半 径公 式 把 Ｉ ＡＦ ｌ－
ｌ ＢＦ ｌ 表 示 成 ｋ的 函数 ， 进 而求 出最 值 ． 然而 ， 有 一 部 分 学 生 却 运 用 椭 圆 的 定 义 给 出 了
Ｉ Ｂ Ｆ ｌ 的最小值为３ ， 最大值为孕． 上述 解 法 正 确 但绕 了 弯路 ， 反 思 解 答 过 程 ，笔 者
意外 发现 其 中隐 藏 的 规 律 ： Ｏ ）￣ Ｐ［ ＡＢＩ ＝
，
如 下 的另 类 解 答 ． （ ￣ ＰＩ ＡＦ２Ｉ・Ｉ ＢＦｚｔ－
解
， 从 而有
由（ １ ） 知 口＝２， ６一 ， ｃ ｌ， ｅ 一÷ ， ［ ＡＦｚ１．Ｉ ＢＦ２Ｉ — ３ Ｉ ＡＢＩ
当直 线 ｚ的 斜率 ｋ不 存 在 时 ，Ｉ ＡＦｚ Ｉ＝ ｌ ＢＦｚ ｌ一
÷ ，ｌ ＡＦ１ Ｉ・Ｉ ＢＦ１ Ｉ ＝（ ２ ａ— Ｉ ＡＦｚ １ ）（ ２ ａ— Ｉ ＢＦｚ Ｉ ） ：
．
利 用 这个 规 律 ，可 以将 上 述 解 法 作 如 下 的改 进 ：
由１ Ａ Ｆ ｚ ｌ ・ ｊ Ｂ Ｆ ｚ ｊ ＝￣ － Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ， 得
．
当 直 线 ｌ的斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 ｌ的方 程 为 ｙ ＝ ｈ（ ｘ－ － １）（奄∈ Ｒ）， Ａ（ｚｌ， ｙ１），Ｂ（３ ｃ ２， Ｙ２），
Ｉ ＡＦ１ Ｉ・Ｉ ＢＦ１ Ｉ＝ （２ａ－ Ｉ ＡＦ２ １）（２ａ－ Ｉ ＢＦ２ １） 一４ａ 一 ２ａ（１ Ａ Ｉ ＋Ｉ ＢＦ Ｉ）＋ ｝ ＡＦ２ Ｉ・ｌ ＢＦｚ ｌ
＝１６—４１ ＡＢＩ ＋ ３ １ ＡＢ［ ＝１ ６一
＼ 由
髑
ｌ
，
又３：丝 ≤ Ｉ Ａ引 ≤２ 口 ４
，
ｎ
・ ．
故有计一 ￣ Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝等 ． ’ ．
．
３ ≤ｌ Ａ Ｐ １ ．Ｉ Ｂ Ｆ ｆ ≤孕， 即Ｉ Ａ Ｆ Ｉ ． １ Ｂ Ｆ ｌ
的最小值为３ ， 最大值为孕．
１ ＡＢＩ＝ （ａ－ ｅｘ１）＋ （ ａ－ ｅ ｘ２）
＝ ２ｎ— ｅ（ｚ１＋ ｚ ）一 ４一 ４ 而 ｋ ２
．
①
意外发现Ｉ ＡＦ ２ １．Ｉ ＡＦ Ｉ ＝÷Ｉ Ａ ＢＩ ， 避免了③