辅教导学 ・
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数 学 通 讯 —— ２ＯＯ９年 第 １１、１２期 （上半 月）
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平 凡 中见 真谛 黄丽生 （山 东 枣庄 市第 三 中学 ．２７７１００）
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５）
（３ｘ－ － ｙ－ － ６≤ Ｏ，
号 口 Ｄ ＋号 ＝（ 旦 ａ ＋詈 Ｄ ） ・ 了 ａ十 ｂ）
满足约束 条件ｊｘ－ｙ＋２ ≥ｏ，若 目标 函数 ｚ—ａｘ＋
≥ｃ × ＋ × ｚ 一警．
Ｉ ｚ≥０， ≥０，
ｂ ｙ （ ａ ￣ ＞ Ｏ ， ６ ＞ｏ ） 的最大值为１ ２ ， 则詈＋号的最小值
方 法 与 规律 ： 解 题 的 开 始 阶段 仍然 使 用 的是 “１”
的代 换 法 ， 接 下 来 借 助 二 维柯 西不 等 式 实 现 了 放 缩 ，
（ Ａ ） 警 Ｏ ．
（ Ｂ ） 号． ．
（ ｃ ） 婴．
（ Ｄ） ４ ．
排 除思 维 障碍 ，干 净 利 落 ，一 气 呵 成 ． 胖 孟 ＿ ｊ
‘柯 西 不 亏 式 的
Ｊ Ｉ
， ｌ Ｐ
几何意义） 直线ｚ ： √詈 ＋ 外 一 点 Ｐ（
．
√詈） 到直 线ｚ 的距离Ｐ Ｍ不 大 于 ＰＯ（ ￣ｉ ｌ图 １），即 Ｉ ＰＯｆ ≥
本题转化为在号十号一１ （ ｎ ＞ｏ ， ６ ＞ｏ ） 的条件下， 求
≥ ，
得
６ —２ ｎ ＋３ ｂ ￣２ ｊ ６ ￣ － Ｇ （ Ｄ， 即 １ 了 ２； 所以号＋詈≥２
√ ≥ ４ ②， 导致错选（ Ｄ ） ． 原因是不等式①等号成
图 １
ｆ ＰＭ １ ０． 得
÷ 口 ＋÷ Ｄ 的最小值的问题． 很 多 学 生 极 易 产 生 以下 错 解 ：由了 ａ十 ｂ＝ １
０ ＼ ｊ
ｆ 一
６
等 号 在 点 Ｍ 与 点 Ｏ 重 合 时取 到 ，此 时 口一６． 方 法 与规 律 ： 美 国 著 名数 学教 育家 玻 利 亚 说 过 ， “对 于 一 个 非 几 何 问 题 ，去 找 一 个 清 晰 的 几 何 表 达
３ ： Ｔ ｎ
，
Ｄ
即 ３ａ＝２ｂ，二 者 等 号 成 立 的 条件 不 一 致 ．
式， 可 能 是 走 向 解答 的重 要 一 步 ” ．而 二 维 柯 西 不 等 式 恰 好 有 其 几 何 背 景 （点 到 直 线 的 垂 线 段 最 短 ），充 分挖掘代数问题的几何背景 ， 构 造 适 当 的几 何 图形 ，
解法１ （ “ １ ” 的代换法） 三＋ 口 ÷一（ ＋ 口 ｛） Ｄ
丢 ＝ ＋（ ÷＋詈） ≥ ＋２ 一 警， 且等号成立 的条 件 是 口＝ ６： ６ 故选 （Ａ）．
常 常 可 以收 到 意 想 不 到 的 解 题 效 果 ， 同 时 也 可 培 养 我 们 的发 散 思 维 和 创 造 性 思 维 的 能 力 ．
解法４ （ 向量不等式法） 令ｐ （ √寺，
，
￣ ＠ － － ） ｃ ， 测…＝ ＋ ， 方法与规律： 本题将号＋詈写成（ 号＋詈）・ Ｎｆ ．
２ａ ＋ ３ｂ —
，
。ｆ ｐＩ ・
这 是 一 种 常用 的技 巧 ，称 之 为 “１， ， 的代换法． ・
．
解法 ２ （运 用柯 西 不 等 式 ）（人教 Ａ 版 选 修 ４
．
。 ≥１
口ｌ ｚ，
（ ＋詈） ・ （ 了 ａ十 ｂ ） ≥（ √号＋ √詈