辅教导学 ・
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数 学 通 讯 —— ２ＯＯ９年 第 １１、１２期 （上半 月）
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平 凡 中见 真谛 黄丽生 （山 东 枣庄 市第 三 中学 ．２７７１００）
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５）
（３ｘ－ － ｙ－ － ６≤ Ｏ，
号 口 Ｄ ＋号 ＝（ 旦 ａ ＋詈 Ｄ ） ・ 了 ａ十 ｂ）
满足约束 条件ｊｘ－ｙ＋２ ≥ｏ，若 目标 函数 ｚ—ａｘ＋
≥ｃ × ＋ × ｚ 一警．
Ｉ ｚ≥０， ≥０，
ｂ ｙ （ ａ ￣ ＞ Ｏ ， ６ ＞ｏ ） 的最大值为１ ２ ， 则詈＋号的最小值
方 法 与 规律 ： 解 题 的 开 始 阶段 仍然 使 用 的是 “１”
的代 换 法 ， 接 下 来 借 助 二 维柯 西不 等 式 实 现 了 放 缩 ，
（ Ａ ） 警 Ｏ ．
（ Ｂ ） 号． ．
（ ｃ ） 婴．
（ Ｄ） ４ ．
排 除思 维 障碍 ，干 净 利 落 ，一 气 呵 成 ． 胖 孟 ＿ ｊ
‘柯 西 不 亏 式 的
Ｊ Ｉ
， ｌ Ｐ
几何意义） 直线ｚ ： √詈 ＋ 外 一 点 Ｐ（
．
√詈） 到直 线ｚ 的距离Ｐ Ｍ不 大 于 ＰＯ（ ￣ｉ ｌ图 １），即 Ｉ ＰＯｆ ≥
本题转化为在号十号一１ （ ｎ ＞ｏ ， ６ ＞ｏ ） 的条件下， 求
≥ ，
得
６ —２ ｎ ＋３ ｂ ￣２ ｊ ６ ￣ － Ｇ （ Ｄ， 即 １ 了 ２； 所以号＋詈≥２
√ ≥ ４ ②， 导致错选（ Ｄ ） ． 原因是不等式①等号成
图 １
ｆ ＰＭ １ ０． 得
÷ 口 ＋÷ Ｄ 的最小值的问题． 很 多 学 生 极 易 产 生 以下 错 解 ：由了 ａ十 ｂ＝ １
０ ＼ ｊ
ｆ 一
６
等 号 在 点 Ｍ 与 点 Ｏ 重 合 时取 到 ，此 时 口一６． 方 法 与规 律 ： 美 国 著 名数 学教 育家 玻 利 亚 说 过 ， “对 于 一 个 非 几 何 问 题 ，去 找 一 个 清 晰 的 几 何 表 达
３ ： Ｔ ｎ
，
Ｄ
即 ３ａ＝２ｂ，二 者 等 号 成 立 的 条件 不 一 致 ．
式， 可 能 是 走 向 解答 的重 要 一 步 ” ．而 二 维 柯 西 不 等 式 恰 好 有 其 几 何 背 景 （点 到 直 线 的 垂 线 段 最 短 ），充 分挖掘代数问题的几何背景 ， 构 造 适 当 的几 何 图形 ，
解法１ （ “ １ ” 的代换法） 三＋ 口 ÷一（ ＋ 口 ｛） Ｄ
丢 ＝ ＋（ ÷＋詈） ≥ ＋２ 一 警， 且等号成立 的条 件 是 口＝ ６： ６ 故选 （Ａ）．
常 常 可 以收 到 意 想 不 到 的 解 题 效 果 ， 同 时 也 可 培 养 我 们 的发 散 思 维 和 创 造 性 思 维 的 能 力 ．
解法４ （ 向量不等式法） 令ｐ （ √寺，
，
￣ ＠ － － ） ｃ ， 测…＝ ＋ ， 方法与规律： 本题将号＋詈写成（ 号＋詈）・ Ｎｆ ．
２ａ ＋ ３ｂ —
，
。ｆ ｐＩ ・
这 是 一 种 常用 的技 巧 ，称 之 为 “１， ， 的代换法． ・
．
解法 ２ （运 用柯 西 不 等 式 ）（人教 Ａ 版 选 修 ４
．
。 ≥１
口ｌ ｚ，
（ ＋詈） ・ （ 了 ａ十 ｂ ） ≥（ √号＋ √詈
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数 学通 讯— — ２ＯＯ９年 第 ｌ１、１２期 （上 半 月 ） ２ 十， ３ － ２５
百
．
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就不一定能奏效． 只有当 ＝警时求出的ｂ 的值在０
．
方 法 与规 律 ： 本 题 构 造 向量 求 最 值 ， 使 得新 教 材 中 向量 这 一 工 具 得 到应 用 ，虽 然解 法 并 不 很 好 想 ，但
９ Ｃ
ｏ ｃ
＜６ ＜２的范围内时， 才是最小值 ， 否则警就不是
其 意 义仍 不 可 低估 ． 解 法 ２与 解 法 ４“ 异 曲 同 工 ”， 令
最 小值 ， 应 当另 寻 他 法加 以解 决 ．
人赏心悦 目， 这 种 “高 屋 建 瓴 ”的解 题 途 径 体 现 了较
解 法 ８ （数 形 结合 ）在
平面直角 坐标 系 中 ， 由 已 知
高的思维品质．
解法５ （ 三角代换法） 由条件号＋号 １ （ ｎ ＞
ａ
Ｊ
＼ ２
ｂ 十 百
一 １（ 口＞ Ｏ，６＞ Ｏ）知 一
动点 Ｐ（ ｎ ， ６ ） 在直线导 ＋
ｏ ， ６ ＞０ ） ， 令詈＝Ｃ Ｏ Ｓ ｚ ａ ， 号：ｓ ｉ ｎ ２ 口 ，
ｏ
号 口＋ ’ 一 ｂ ３ Ｃ Ｏ Ｓ 。 口 ＋ ’ ２ ｓ ｉ ｎ 口 ＝ ３ ｓ …“ ｚ一 ’ ＿ ３ ２ ＿ ｃ ｓ 一了 ２十 ３十了 ２ ｔ ａ ｎ ２ 十号ｃ ０ ｔ ２ ａ ‘
一 １（第 一 象 限 内部 分 ）上 运 动， 如 图 ２所示 ，由图 可 知 ， ａ
－
ｆ － ｂ ｃ ｏｔａ ＝ ３ ，
十
≥萼＋ｚ √詈ｔ ａ ｎ ２ ・ ３ ｃ 。 ２ ａ 一警． 方法与规律 ： 在 三 角 函数 里 ， “１小 十 八 变 ， 记 住
。
ｍ
２
变形 得
一
Ｄ
３
●
图 ２
＿ ｛ Ｉ 二 十 ： 切 。 ｎ 口 — 一 ， 且 ｔ 衄
３
一了 ， 。 。ｋ— ，
正、 余 弦 ”， 已成 为 解 题 的 口诀 ， 说 的是 遇 到 和 为 １的 两个 变量 ， 一般地 以正 、 余 弦代换 之 ， 如 此 变 形 往 往
．
丢 ｎ Ｏ ＋詈 一（ ÷ 口 Ｄ ＋詈 ） ＋詈 ６ ＋号≥ ｂ ．
会有所发现． 接下来 ， 就 是运用 均值不等 式求最值 ，
方 法与 规 律 ：高 考 复 习 时 ，切 忌 就 题 论 题 ，浮 光
应注意“ 一正 、 二定 、 三 相 等 ”， 重 视配 凑 技 巧 的 运 用 ．
掠影 ， 满足做题数量不如潜心钻研追求做题 质量 ． 一
解法 ６ （变 元 增 量 法 ）由 百 ａ 十 ｂ一 １（ ４＞ Ｏ ６
题 多 解 对 全方 位 地 巩 固 基 础 知 识 是 必 要 的 ．本 题 似
，
＞ ０）， 得 ０＜ ３ ＜ １，０＜ ２ ＜ １，即 Ｏ＜ ａ＜ ３， Ｏ＜ｂ＜ ２，
故设号一号＋ ｍ； ３一 ３ ＋ ， 由以上两式分别表示 出 口， ６代 入 Ｔ ａ 十 ｂ一１ 解 得 ｒ ａｎ＝ －１， ，
丢＋詈一号＋ｍ ＋号＋ｎ ≥萼＋ｚ 一
乎与图形无关， 其实将条件“ 导＋ ｂ＝１ （ ｎ ＞０， ６ ＞ ｏ） ” 联想到“动点 Ｐ（ ａ， ６ ）在直线÷ ＋告 ＝１（ 第一象 限 内部 分 ）上 运 动 ”，可 以顺 利 解 决 ．解 法 ８揭 示 的是 “联 想 ”的成 功在 于基 础 知 识 的 丰 厚 积 垫 ， 通 过 联 想 往 往 可 以得 到 以“他 山 之 石”铺设 解 题 途 径 的机 缘 ．
．
方法与规律 ： 解 法 ５与解 法 ６解 法 类 似 ， 都 使 用 了均 值 不 等 式 ．而 解 法 ６中 的 “ｍ ＝ １”需 要 点 时 间 才 能 算 出 ，值 得 细 心 品味 ， 深人研究 ， 把握基础知 识， 只有 做 到“胸 有 成 竹 ”、“细 致 入 微 ”为 我 所 用 时 才 能 “得 心 应 手 ”而 随机 应 变 ！
解法 ７ （判别式法）设三 ＋÷ Ｄ 一ｋ， 则 ｎ＝ ，
代人号＋睾＝１ ， 整理得３ ６ 。 一（ ５ ＋６ ） ６ ＋
２．试 题 评 析 本 题是 一道 线 性 规 划 问题 ， 创 新 意 识 浓 厚 ．打破 常 规 — — 根 据 已 知 条 件 求 目标 函数 的 最 值 ，而 是 把
线 性 目标 函数 的 最 值 当作 条 件 ， 求 二 元 函 数 的 最 值 问题 ．该 题 的 编 拟思 想 体 现 了 课 程 标 准理 念 和 教 材 的设 计 意图 ，简 朴 中显 特 色 ， 平 凡 中见 真 谛 ． 试 题 的解 法 具 有 开放 性 ，能 让 不 同知 识 层 次 、不 同知 识 侧 重 的 考 生有 不 同 的发 挥 ， 体 现 了新 课 程 “能 让 不 同学 生 学 习不 同 数 学 ”的 以人 为本 的人 文 理 念 ，
彰显 了 “ 由 知 识 立 意 转 向 能 力 立 意 ”的 命 题 理 念 ．此 题 启示 我 们 ， 数 学 教学 应 加 强 数学 知识 间 的联 系 ， 突
１８＝０，’ ． ．由解 法 ６，知 ０＜ ６＜ ２，由 △≥ ０，解 得 ≥
出数学思想方 法 的挖掘 、 提炼 和渗 透 ； 注 重 思 维 探
警， 一 ２， ．６ ３＞ 一 ￣ ２ ６ ５ ・ ．
究， 突 出培 养 学 生 面 对 新 问 题 的选 择 应 变 能 力 和 分 析、 解决问题的能力．
方法与规律 ： 本 题 运 用 的 是 判 别式 法．运 用 此 法
是有前提的 ， 如 果 将 题 中 限制 条 件 “０＜ ６＜ ２”去 掉 ， 此 法 总 能 解 决 问 题 ．侣 有 了 “Ｏ＜ ６＜ ２”的 限 制 。此 法
（收 稿 日期 ： ２００９一Ｏ７—１７）