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数 学 通讯 —— ２ ００ ９年 第 ｌｌ 、 １ ２期 （上半 月）
・专 论 荟 萃 ・
源 于一个 三 角 恒 等 式 的几个 三 角 问题 李红宇 （浙 江吴 兴 高 级 中 学 ．３１３００ ０）
在 锐 角 三 角形 中 ， 有 同学 们 熟 悉 的一 个 不 等 式 ： 在 锐 角Ｚ￣ＡＢＣ中 ， 有 ｓｉ ｎＡ＋ｓｉ ｎＢ＋ ｓ ｉ ｎＣ － ￣ ｃ ｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ ｃ ｏｓＣ
＝ ｛ ｓ ｉ ｎ （ Ａ一｛） ＋ｓ ｉ ｎ （ Ｂ 一手） ＋ｓ ｉ ｎ （ ｃ 一｝） 一ｓ ｉ ｎ ［ （ Ａ一手） ＋（ Ｂ一号） ＋（ ｃ 一｛） ］ ）
①
文 ［１］给 出了 它 的 一个 加强 式 ： 在 锐 角 ＡＡＢＣ中 ，
（ Ｂ一号） ＋（ ｃ一－ ２ － ） 一
．
＝
・４ｓｉ ｎ— —
ｓｉ ｎＡ＋ｓｉ ｎＢ＋ｓｉ ｎＣ＞ １＋ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ ②
据此 ， 我 们 首 先提 出 以 下 的 问题 ：
．
ｍ
（ ｃ 一｛） ＋（ Ａ一－ ２ － ）
—
—
—
—
—
一
问题 １ 在 Ａ ＡＢＣ 中 ，能 否 比较 Ｓ＝ ｓｉ ｎＡ＋ ｓ ｉ ｎＢ＋ ｓｉ ｎＣ与 Ｔ一 １＋ ｃ ｏｓ Ａ＋ ｃｏｓＢ＋ ｃｏｓ Ｃ的大 小？
．
ｍ
（ Ａ一号） ＋（ Ｂ一号）
—
—
—
—
—
一
若能 ， 该 如何 比较 ？ 为此 ， 先 建 立 如 下 三 角 恒 等式 ：
＝４ ｉ ｎ （ 一号） ｓ ｊ ｎ （ 一互 ４）
ｓｉ ｎａ＋ ｓｉ ＋ｓｉ ｎ） ＇ － ｓｉ ｎ（口＋卢＋ ｙ）
ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 字ｓ ｉ ｎ
③
证 明 左 边 ＝ ｓｉ ｎ＃＋ ｓ ｉ ｎｙ一 ［ｓｉ ｎ（ａ＋ 口＋ ）
ｎ （ 一手）
＝４ ｉ ｎ ‘ ７ ｒ 一虿 Ａ） ｓ ｉ ｎ ｒ ｃ 一 Ｂ） ｓ ｉ ｎ （ ｛一导）
＿ ｚｓｉ ｎ
ｃｏｓ
＝ ２
不妨设Ｏ ＜Ａ＜－ ￣， － Ｏ ＜Ｂ ＜－ ￣， － 则ｓ ｉ ｎ （ ｛一 ）
’ ｚｃ
ｉ ｎ 牛［ ｃ ｏ ｓ ～ｓ （
④
・
一ｓ ｉ ｍ］
］
十２ ｎ ｓ ｉ ｎ （ 一 孛）
ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 孛ｓ ｉ ｎ ． 利用三角恒等式 ③ ， 我 们 将 出 色 地 回答 以 上 提 出 的 问题 １． 因为 Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ＝ｉ ｒ， 所 以 Ｓ一 丁一 （ ｓｉ ｎＡ — Ｃ Ｏｓ Ａ）＋ （ｓ ｉ ｎＢ— ｃｏｓ Ｂ） ＋ （ｓ ｉ ｎＣ— ｃｏｓＣ）一 １
＝ ｓ ｉ ｎ （ Ａ一号） ＋ｓ ｉ ｎ （ Ｂ一｛）
＋ｓ ｉ ｎ （ ｃ—ｉ － ＇ Ｊ 一 ｉ ｎ ［ （ Ａ一手）
＞０ ＇ ｓ ｉ ｎ （ ｝一 导） ＞ｏ ． 当ｏ ＜ｃ ＜号时， ｓ ｉ ｎ （ 詈一 ｃ） ＞０ ， 由④式可得 Ｓ一
０，即 Ｓ＞ 丁
当ｃ 一号时 ｎ （ 号一等） ＝ｏ ， 由④式可得ｓ — Ｔ＝ Ｏ，即 Ｓ＝ Ｔ；
当号＜ｃ ＜ 时， ｓ ｉ ｎ （ 号一等） ＜ｏ ， 由④式可得 Ｓ— Ｔ＜ Ｏ，即 Ｓ＜
综上 ， 我 们 改进 和 完 善 了 文 ［１ ］的 加 强 式 ② ， 得 到 了下 面 的定 理 １． 定理 １
在 ＡＡＢＣ 中 ，记 Ｓ＝ ｓｉ ｎＡ ＋ ｓｉ ｎＢ＋
ｓ ｉ ｎＣ，丁＝ １＋ｃ ｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃ ｏｓＣ，则 （１）在 锐 角 △ＡＢＣ 中 ， 有 Ｓ＞ Ｔ；
＋（ Ｂ一号） ４ ＋（ ｃ一号 ４ ） ］ 一
（２）在 盲 角 △ ＡＢＣ 中 ， 有 Ｓ＝ Ｔ；
・
专论荟萃 ・
数 学通 讯 —— ２ ＯＯ ９年 第 ｌ １、 １ ２期 （ 上半月）
（３）在 钝 角 △ＡＢＣ 中 ，有 Ｓ＜ ＴＩ
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ｓ ｉ ｎ （ 一号）
至 此 ，笔 者 追 忆 起 几 年 前 本 刊 上 的 一 个 三 角 形
＂－
７
＝ Ｓ ｓ ｉ ｎ （ － ｇ － 一 Ａ） ｓ ｉ ｎ （ 詈一詈 ｎ （ 詈一 导） ．
不 等式 ：
问题 ２ 在 △ ＡＢＣ 中 ， 求证 ：
由 此 易 知 ：当 △ ＡＢＣ 的 三 内 角 Ａ 、Ｂ 、Ｃ 至 少 有
ｓｉ ｒ ｒ Ａ＋ ｓ ｉ ｎＢ＋ｓｉ ｎＣ＜ ２（ｃｏｓ Ａ＋ ｃ ｏｓＢ＋ ｃ ｏｓＣ） ⑤ 一
以下 利 用 定 理 １给 出 它 的 一 种 简 洁 证 法 ．
证明
在 锐 角 三 角 形 ＡＢＣ中 ， 易证 ：
个为号时， Ｓ一尸； 当其中的两个内角都大于号、
另一个小于詈时， Ｓ＞Ｐ； 当其中的两个内角都小于
ｓｉ ｎＡ — ｓ ｉ ｎ（ Ｂ￣ Ｃ）一 ｓ ｉ ｎＢｃ ｏｓ Ｃ＋ ｃｏｓＢｓｉ ｎＣ
号、 另一个大于号时， Ｓ ＜Ｐ ．
＜ｃ ｏｓ Ｃ＋ ｃｏｓ Ｂ．
同理 ，ｓ ｉ ｎＢ＜ ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ Ｃ，
于是 ， 我们得到 ：
ｓｉ ｎＣ＜ ｃｏｓ Ｂ＋ ｃｏｓＡ ，
定 理 ２ 在 Ａ ＡＢＣ 中 ，记 Ｓ＝ ｓｉ ｎＡ ＋ ｓ ｉ ｎＢ＋
以上 三 式 相 加 ， 可得⑤式．
ｓ ｉ ｎＣ， Ｐ＝ （ｃｏｓＡ＋ ｃ ｏｓ Ｂ＋ ｃ ｏｓＣ），
而 在 直 角 或 钝 角 三 角形 ＡＢＣ 中 ，由定 理 １，有 ｓｉ ｎＡ ＋ ｓｉ ｎＢ＋ ｓｉ ｎＣ￣ ｌ＋ ｃｏｓ Ａ＋ ｃｏｓＢ＋ ｃｏｓＣ．
结合熟知的三角形 不等 式 ： ｃ ｏｓ Ａ＋ ｃ ｏｓ Ｂ＋ ｃ ｏｓ Ｃ ＞ １， 立 得
（ １ ） 当Ａ、 Ｂ、 Ｃ中至少有一个为号时， Ｓ —Ｐ； （ ２ ） 当Ａ、 Ｂ、 Ｃ中有两个都大于号时， Ｓ ＞Ｐ；
ｓｉ ｎＡ ＋ ｓｉ ｎＢ＋ ｓ ｉ ｎＣ＜ ２（ｃ ｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓＢ＋ ｃ０ｓＣ）．
（ ３ ） 当Ａ、 Ｂ、 Ｃ中有两个都小于詈时， Ｓ ＜Ｐ．
综 上 ，问题 ２获 证 ．
值得一提的是 ， 利 用 三 角 形 恒 等 式 ③ 我 们 还 可
我 们 还 发 现 ，当 ＡＡＢＣ 为 正 三 角 形 时 ， ① 式 的 左 边 ＝
，右边 ＝ ３
，
左边是右边 的 储 ． 于是 ， 我
们 又 有 以下 问题 ．
在③中， 用号一ａ 、 号一 、 号一ｙ分别 卢 、 ｙ ， 可 获 得 又 一 个 三 角 恒 等式 ：
问 题 ３ 在 Ａ ＡＢＣ 中 ，试 比 较 Ｓ— ｓｉ ｎＡ＋ｓｉ ｎＢ
＋ ｓｉ ｎＣ 与 Ｐ一 （ｃｏｓ Ａ－ ＋ ＇ ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）的大 小 ． 解
以获 得 以下 三 角 恒 等 式 和 三 角 形 恒 等式 ：
ｃ ｏｓ 口＋ ｃ ｏｓ ｆ ９ ＋ ｃ０ｓｙ＋ｃｏｓ（ 口＋ ＋ ｙ） 。ｓ
ｃｏｓ
利用 三角 形 恒 等 式 ③ ， 我 们 有
字ｃ ｏ ｓ
⑥
令 ③ 、⑥ 二 式 中 的 ａ＝ｆ ｌ＝ｙ，就 有 如 下 两 个 三 倍
Ｓ－Ｐ一（ ｓ ｉ ｒ ｈ Ａ一瓜 ｏｓ Ａ）＋（ ｓ ｉ ｎ Ｂ一瓜 ｏ ｓ Ｂ） ＋ （ｓｉ ｎＣ一√ ｏｓＣ）
一２ ［ ｓ ｉ ｎ （ Ａ一号） ＋ｓ ｉ ｎ （ Ｂ一号） ＋ｓ ｉ ｎ （ ｃ一号） ］
角公式 ： ｓｉ ｎ３ａ＝３ｓｉ ｎ ａ－ ４ｓ ｉ ｎ。 口
⑦
ｃｏｓ３ａ＝４Ｃ ＯＳ 。口一３ｃ ｏｓ ａ
⑧
在③ 、 ⑥二式中 ， 令 、 、 ｙ分 别 为 ＡＡＢＣ 的三 个
＝２｛ ｓ ｉ ｎ（ Ａ一要） ｄ ＋ｓ ｉ ｎ（ Ｂ－要） Ｏ ＋ｓ ｉ ｎ（ Ｃ－要 Ｊ ）
—ｓ ｉ ｎ ［ （ Ａ一号） ＋（ Ｂ一号） ＋（ ｃ一号） ］ ｝
（ Ｂ一号） ＋（ ｃ一号）
一 ２ ・４ｓｉ ｎ —— — — — —— Ｊ ＿
内角Ａ、 Ｂ， Ｃ， 可 得到如下两个三角形恒等式：
ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ｓ ｉ ｎ Ｂ ＋ｓ ｉ ｎ Ｃ ＝４ ｃ 。 ｓ ｃ 。 ｓ 导ｃ 。 ｓ Ｃ ⑨
ｃ 。 ｓ Ａ ＋ｃ 。 ｓ Ｂ ＋ｃ ０ ｓ Ｃ ＝１ ＋４ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 导ｓ ｉ ｎ Ｃ⑩ 看来 ， 这 个 三角 形 恒 等 式 ③ 还 真 的挺 有 用 的 呢 ！
（ ｃ一 ）＋ （Ａ－ － ） Ｊ
． —
—
—
—
Ｊ
—
一
参考文献 ： （Ａ － － ４ －）＋ （Ｂ一 ＇ ４ － －） ｄ
．
ｍ
—
—
—
—
Ｊ
—
一
＿ ８ Ｓ ｉ ｎ （ 半 一号 Ｊ ｎ Ｃ Ｔ ＋ Ａ 一号） ・
［１ ］陈继 雄 ．锐 角 三 角形 中 的 一 个 不 等 式 的 加 强 ． 数 学 通 讯 ．２００９（５、６月 半 月 ）．
（收 稿 日期 ： ２００９—０７－０６）