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数 学 通讯 —— ２ ００ ９年 第 ｌｌ 、 １ ２期 （上半 月）
・专 论 荟 萃 ・
源 于一个 三 角 恒 等 式 的几个 三 角 问题 李红宇 （浙 江吴 兴 高 级 中 学 ．３１３００ ０）
在 锐 角 三 角形 中 ， 有 同学 们 熟 悉 的一 个 不 等 式 ： 在 锐 角Ｚ￣ＡＢＣ中 ， 有 ｓｉ ｎＡ＋ｓｉ ｎＢ＋ ｓ ｉ ｎＣ － ￣ ｃ ｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ ｃ ｏｓＣ
＝ ｛ ｓ ｉ ｎ （ Ａ一｛） ＋ｓ ｉ ｎ （ Ｂ 一手） ＋ｓ ｉ ｎ （ ｃ 一｝） 一ｓ ｉ ｎ ［ （ Ａ一手） ＋（ Ｂ一号） ＋（ ｃ 一｛） ］ ）
①
文 ［１］给 出了 它 的 一个 加强 式 ： 在 锐 角 ＡＡＢＣ中 ，
（ Ｂ一号） ＋（ ｃ一－ ２ － ） 一
．
＝
・４ｓｉ ｎ— —
ｓｉ ｎＡ＋ｓｉ ｎＢ＋ｓｉ ｎＣ＞ １＋ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ ②
据此 ， 我 们 首 先提 出 以 下 的 问题 ：
．
ｍ
（ ｃ 一｛） ＋（ Ａ一－ ２ － ）
—
—
—
—
—
一
问题 １ 在 Ａ ＡＢＣ 中 ，能 否 比较 Ｓ＝ ｓｉ ｎＡ＋ ｓ ｉ ｎＢ＋ ｓｉ ｎＣ与 Ｔ一 １＋ ｃ ｏｓ Ａ＋ ｃｏｓＢ＋ ｃｏｓ Ｃ的大 小？
．
ｍ
（ Ａ一号） ＋（ Ｂ一号）
—
—
—
—
—
一
若能 ， 该 如何 比较 ？ 为此 ， 先 建 立 如 下 三 角 恒 等式 ：
＝４ ｉ ｎ （ 一号） ｓ ｊ ｎ （ 一互 ４）
ｓｉ ｎａ＋ ｓｉ ＋ｓｉ ｎ） ＇ － ｓｉ ｎ（口＋卢＋ ｙ）
ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 字ｓ ｉ ｎ
③
证 明 左 边 ＝ ｓｉ ｎ＃＋ ｓ ｉ ｎｙ一 ［ｓｉ ｎ（ａ＋ 口＋ ）
ｎ （ 一手）
＝４ ｉ ｎ ‘ ７ ｒ 一虿 Ａ） ｓ ｉ ｎ ｒ ｃ 一 Ｂ） ｓ ｉ ｎ （ ｛一导）
＿ ｚｓｉ ｎ
ｃｏｓ
＝ ２
不妨设Ｏ ＜Ａ＜－ ￣， － Ｏ ＜Ｂ ＜－ ￣， － 则ｓ ｉ ｎ （ ｛一 ）
’ ｚｃ
ｉ ｎ 牛［ ｃ ｏ ｓ ～ｓ （
④
・
一ｓ ｉ ｍ］
］
十２ ｎ ｓ ｉ ｎ （ 一 孛）
ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 孛ｓ ｉ ｎ ． 利用三角恒等式 ③ ， 我 们 将 出 色 地 回答 以 上 提 出 的 问题 １． 因为 Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ＝ｉ ｒ， 所 以 Ｓ一 丁一 （ ｓｉ ｎＡ — Ｃ Ｏｓ Ａ）＋ （ｓ ｉ ｎＢ— ｃｏｓ Ｂ） ＋ （ｓ ｉ ｎＣ— ｃｏｓＣ）一 １
＝ ｓ ｉ ｎ （ Ａ一号） ＋ｓ ｉ ｎ （ Ｂ一｛）
＋ｓ ｉ ｎ （ ｃ—ｉ － ＇ Ｊ 一 ｉ ｎ ［ （ Ａ一手）
＞０ ＇ ｓ ｉ ｎ （ ｝一 导） ＞ｏ ． 当ｏ ＜ｃ ＜号时， ｓ ｉ ｎ （ 詈一 ｃ） ＞０ ， 由④式可得 Ｓ一
０，即 Ｓ＞ 丁
当ｃ 一号时 ｎ （ 号一等） ＝ｏ ， 由④式可得ｓ — Ｔ＝ Ｏ，即 Ｓ＝ Ｔ；
当号＜ｃ ＜ 时， ｓ ｉ ｎ （ 号一等） ＜ｏ ， 由④式可得 Ｓ— Ｔ＜ Ｏ，即 Ｓ＜
综上 ， 我 们 改进 和 完 善 了 文 ［１ ］的 加 强 式 ② ， 得 到 了下 面 的定 理 １． 定理 １
在 ＡＡＢＣ 中 ，记 Ｓ＝ ｓｉ ｎＡ ＋ ｓｉ ｎＢ＋
ｓ ｉ ｎＣ，丁＝ １＋ｃ ｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃ ｏｓＣ，则 （１）在 锐 角 △ＡＢＣ 中 ， 有 Ｓ＞ Ｔ；
＋（ Ｂ一号） ４ ＋（ ｃ一号 ４ ） ］ 一
（２）在 盲 角 △ ＡＢＣ 中 ， 有 Ｓ＝ Ｔ；