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数 学通 讯— — ２Ｏ０９年 第 １１、１２期 （上 半 月 ）
・专 论 荟 萃 ・
２００９年福 建卷 理科 １ ９题 的 引 申与简解 胡寅年 （福 建 省龙 岩 第 一 中 学 ．３６４０００）
２００９年 高 考 福 建 卷 理 科 １９题 ：已知 Ａ 、 Ｂ 分 别 ．
为 曲线 ｃ： ＋ 。一 ｌ（ ＞ ｔ ｏ， 口＞ ｏ）与 轴 的左 、 右 两
简 解 （Ｉ）设 Ｔ（ ａｃｏｓ０， ｂｓｉ ｎｆ １）（Ｏ≤ ２ ），由 于
Ａ（一口， Ｏ）， Ｂ（ａ， ０）， 直 线 ＡＴ 的方 程 为 一
个 交 点 ，直线 ｚ过 点 Ｂ 且 与 轴 垂 直 ，Ｓ为 ｚ上 异 于 点 Ｂ的一点 ， 连 结 ＡＳ交 曲线 Ｃ 于 点 Ｔ． （Ｉ）若 曲 线 Ｃ 为 半 圆 ，
．
ｙ Ｊ
ｃｏｓ０ １ （ｚ＋ 口）， ｎ（ ＋ ）、 … ’
。 ． ｓ ｃ 。 ， 蒿 ．
Ｚ
点 Ｔ 为 圆 弧 ＡＢ 的 三 等 分
直线 。ｓ的方 程 为 一
Ｓ
①
点， 试 求 出 点 Ｓ的坐 标 ； 一
（Ⅱ）如 图 １， 点 Ｍ 是 以
Ａ
Ｄ
Ｘ－ ｇｇ￣ＴＢ 的方 程 为 一
Ｂ
ＳＢ 为 直 径 的 圆 与 线 段 ＴＢ
直 线 ＯＳ 与 ＴＢ 互 相 垂 直 ∞ ｋｏ ｓ・ 朔 ＝
的交 点 ，试 问 ：是 否 存 在 ａ，
堕
图 １
．
！ 堕
一一１ 铮。ｚ 一２ｂ ｚ 甘 ：
ａ（ｃｏｓＯ＋ １） 口（ｃ ｏｓ Ｏ－ １）
使 得 Ｏ、Ｍ 、Ｓ三 点 共 线 ？若
…
…
．
…
（Ⅱ）由① 、② 消去 ， 得 ２一 一 ２ｂｚ ｚ（Ｘ－ － ａ），此
存在 ， 求 出 ａ的值 ； 若 不存 在 ， 请 说 明理 由． 对 于 第 （Ｉ）小 题 ，当 曲 线 ｃ 为半 圆 时 ，ｎ一 １，由 点 Ｔ为 圆
（ｚ一 ②
即为 动 点 Ｍ 的 轨迹 方 程 ， 整 理得
的三 等 分 点 得 ＢＯＴ＝６０。 或 １２０。 ． （ｘ－ － ２ ）ｚ
（１）当 ／ＢＯＴ＝６０。时 ， ／ ＳＡＥ＝ ３０。．
Ｔ
又 ＡＢ一２，故 在 △ ＳＡＥ 中 ， 有 ＳＢ—ＡＢ ・ｔ ａｎ３０。
： ， ． Ｓ （ １ ， 箪） ；
当ｎ 时， 动点Ｍ的轨迹是中心为（ 号， ｏ ） 、
（２）当 ＢＯＴ一１２０。 时 ，同理 可 求 得 点 Ｓ的 坐标
为（ １， ２√３） ． 综 上 ，Ｓ（１，
）或 Ｓ（１， ２
＋ 。 荸 ６ ０ ＿１ ＿
长半轴为号、 短 半轴为 雩的椭圆； 当ｎ 一 时， 动点Ｍ的轨迹是圆心为（ 号， ｏ ） 、
．
命 题 组 给 出 的第 （Ｉ Ｉ）小 题 的 两 种 标 准 答 案 ，解 法 都 很 繁 琐 ．本 小 题 若运 用 圆 、椭 圆 的 参 数 方 程 去 处
半径为号的圆； 当ｎ 时， 动点Ｍ的轨迹是中心为（ 号， ｏ ） 、
理， 解 法 就 简 单 多 了 ．本 文 将 它 引 申 为 更 一 般 的 情形． ｙＺ 引 申 已知 Ａ、 Ｂ 分 别 为 曲线 ｃ： ｘ２ Ｔ
一 １（４
长 半轴为 譬、 短 半轴为号的 椭圆． 对 于 ２０ ０９年 高 考 福 建 卷 理科 １ ９题 的第 （Ⅱ） 小
＞Ｏ， ６＞ Ｏ）与 ｚ 轴 的左 、右 两个 交 点 ，直 线 ｚ过 点 Ｂ 且 与 ｚ 轴垂 直 ，Ｓ为 直 线 ｚ上 的 一 点 ，连 结 ＡＳ交 曲
题 ，当 Ｏ、 Ｍ 、Ｓ三点 共 线 时 ，显 然 有 ＯＳ上 ＴＢ，所 以 ＝
压ｈ一 压一
线 Ｃ 于 点 丁．
（Ｉ）求 证 ： 直 线 ＯＳ与 ＴＢ 互 相 垂 直 的充 分必 要
条件是 ｎ＝√２ ６； （１ １）设 直 线 Ｏ５与 ＴＢ 的交 点 为 Ｍ ，求 点 Ｍ 的 轨迹 ．
（收 稿 日期 ：２００９－ ０６－ ２５）