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数 学 通 讯— — ２ＯＯ９年 第 １１、１２期 （上 半 月 ）
・辅 教 导 学 ・
类 恒成 立 问题 的求解 通 法
一
林明成 彭清华 （四川 省 苍溪 中学 ，６２ ８４００）
下 面 是一 个 广 为 流 传 的 例 题 ：
ｇ （ｚ）一 ３ｘ 一 ３．
例１ 已知 两 个 函数 ，（ ｚ）＝ 一 ２ １ ｎｘ，ｇ（ ｚ）＝
当 变化时 ， ｇ （ ｚ）、 ｇ（ ｚ） 的变化关系如下表 ：
２ｂｘ－ － １
当 ６＞ 一 １时 ，若 对 任 意 ｚ∈ （ｏ，１３，都 有
．
ｇ （ ｚ）
，（ ） ≥ ｇ（ ） 成立 ， 求 实数 ｂ的 取值 范 围． 解
因 为
一
（
２（ ｘ＋ １）（ｘ－ － １）
一 —— —ｉ— 一
’
～
０
Ｏ
极 大
极 小
＋
所 以 ｇ（ ） 在 ［一 １， ２ ］上 的 最小 值 为 ｇ（ １） 一 一２． 由 ３一ｃ≤ 一 ２， 得 ｃ≥ ５．
分析
实 际上 ， 对 任 意 ｚ∈ｌ － 一１， ２］， 都 有 ，（ ｚ）
≤ｇ（ ｚ） 成立 ， 即函数 一ｚ 一２ ｚ—ｃ（ ｘＥ［一１， ２ ３ ）的 图象 恒 在 函数 ：Ｘ。一３ｘ（ ｘ∈［一 １， ２ ３）的 图 象 的 下
函数 ， 其最小值为 １ ． 图 ，
Ｏ
所 以 当 ｘＥ （Ｏ， １］时 ，（ ）为 减
ｙ＝ ２ｂ ｘ． 了 １
＋
ｇ（ｚ）
Ｊ Ｉ
／（ 一喜
（一 ｏｏ，一 １） 一１ （一 １， １） １ （１， ＋ ｃｏ）
则
方， 并 不 一定 要 求 ［ ，（ ｚ）］ ≤［ ｇ（ ｚ） ］． 我 们 观 察 图 ２，不 难 发 现
；２ ６ ＋号， 因为 ６ ＞ 一 １， ｘ６ （ Ｏ， １ ］，所 以 Ｙ ＞ Ｏ在 （ Ｏ， １ ］上
ｙ Ｊ ｌ
｛ ．
上 面 的解 法 是 错误 的 ． 正确 解 法 令 ｈ（ｚ）一 ｇ（ ）一 ，（ｚ）一
一２ ７ ． 。一
恒成立． ＋ｃ ．
所 以 函数 ＝ ２ ｂ ｘ－ 在 ｚ∈ （ ｏ， １］ 上为增函数 ， 其 最 大 值 为 ２６— １，
依题意２ ｛ 『 ６ ＞一ｈ 解得一＜ 一１ ＜６ ≤１ ≤， ， 即为所求
ｈ （ ｚ）一 ｇ（ｚ）一 ，（ｚ）一
图 ２
３ｘ 一 ２ｚ一 １．
当 变化 时 ， ｈ （ ｚ）、 ＾（ ）的变 化 关 系 如下 表 ： ，
Ｉ ２６— １≤ １．
一
’
１、 ３
１ ， ｌ １、 １ （１ ３ 、 ３’ ＋ ｏｏ） ，
，
范围．
ｈ （ｚ）
很 多 资料 上 的解 答 都 是 如 此 ．我 们 观 察 图 １，不
＾（ ｚ）
＋
Ｏ
０
极 大
极 小
＋
难 发 现 这 种解 法 的结 果 是 正 确 的 ， 而且简捷 、 巧妙．
但这种两边分别求 最值 的解法 不是 通法 ， 仅对
又 ｈ（１）＝ ｃ一 １， ｈ（一 １）一 ｃ＋ １， ’ ．
一
些 特 殊 情 形 适 用 ，因 而 常 常 误 导 了 学 生 ．请 看 下
．
， Ｉ （ ） 在 ［一 １， ２ ］上 的 最 小值 为 ｃ一１ ．
由 ｃ一 １≥Ｏ， 得 ｃ≥ １．
面一例 ： 故 实数 Ｃ的取 值 范 围为 ［１，＋ｏｏ）． 例２ 已知 两 个 函数 ，（ｚ）＝ｚ 一 ２ｚ—ｃ， ｇ（ｚ）一 ｚ。一 ３ｚ
．
若 对 任 意 ｚ∈［一 １， ２ ］， 都 有 ，（ ｚ） ≤ ｇ（ ｚ） 成
立 ，求 实数 ｃ的取 值 范 围．
说明 ： 这 种解 法 （ 作差 、 构 造 函 数 ）是 处 理 “ ，（ ） ≥ （ ｚ） 型 恒 成立 问题 ”的通 法 ，是 “ 万 能钥 匙 ”， 应 当 熟练掌握．
受 例 １思 路 的 影 响 ， 很 多 学 生 给 出 了如 下 解 法 ：
解 ＿ 厂（ ｚ） ＝ｚ 一 ２ ｚ— ｃ在 ［一 １， ２ ］上 的 最 大 值 为 － 厂（一 １）＝３一ｃ．
（收 稿 日期 ： ２００９—０７－０２）