Capitolo campione 25 - Hubble (Scientifica SS2)

INTELLIGENZA ARTIFICIALE

EDUCAZIONE CIVICA STEM

HUBBLE

Andrea Brognara

la schematizzazione di punto materiale. Il punto materiale considerare tutto il corpo concentrato in un punto. Se il corpo è in moto, identifichiamo il moto del corpo con il moto del punto materiale.

Per esempio

● Un’automobile non è certamente un punto ma può essere considerata tale quando se ne studia il moto lungo un’autostrada: su 100 km di percorso i 4 m circa della sua lunghezza sono irrilevanti.

● Il nostro pianeta ha dimensioni tutt’altro che trascurabili, eppure può essere considerato come un punto in rapporto alle dimensioni del Sistema Solare.

Sistema di riferimento

È intuitivo capire che la posizione di un corpo è un concetto relativo: per avere senso deve essere riferita a un altro corpo o a un sistema di corpi.

Il sistema rispetto al quale è definita la posizione di un corpo prende il nome di sistema di riferimento.

Il caso più generale è quello in cui si vuole determinare la posizione di un corpo nello spazio tridimensionale. Per fare questo si può utilizzare un sistema di riferimento costituito da tre assi cartesiani. Una volta specificati gli assi, il loro orientamento e la loro origine si è in grado di determinare la posizione di un punto in modo univoco attraverso le tre coordinate del corpo rispetto a questi assi (F.1).

In alcune circostanze il moto del corpo avviene solo lungo una retta o su un piano. In questi casi per individuare la posizione del corpo sono sufficienti sistemi di riferimento unidimesionali o bidimensionali. Inoltre, come vedremo, i moti sul piano e nello spazio possono essere scomposti in due o tre moti unidimensionali, rispettivamente.

Per esempio

● Immaginiamo che l’autostrada del Sole sia rettilinea e fissiamo l’origine nel casello di Melegnano: l’autostrada è un sistema di riferimento unidimensionale e la posizione di un’automobile è individuata da una sola coordinata, cioè dalla sua distanza dal casello di Melegnano.

● Il sistema di coordinate sulla mappa cartacea di una città è bidimensionale: ogni punto, oppure ogni zona, è individuata da due coordinate (in genere una lettera e un numero).

● I tre spigoli di una stanza possono rappresentare un sistema di riferimento tridimensionale con origine nel vertice comune dei tre spigoli.

Traiettoria

Se un corpo si muove, la sua posizione cambia nel tempo: l’insieme delle posizioni che il corpo occupa forma una curva.

Si chiama traiettoria la curva nello spazio formata dalle posizioni che un corpo occupa durante il suo moto (F.2).

F.1 Sistema di riferimento cartesiano nello spazio. La posizione P di un corpo è specificata dalle coordinate (x, y, z)

Per esempio

La traiettoria

● di un’automobile che percorre una strada è la linea curva geometrica sovrapposta alla strada;

● di un atleta che corre i 100 m piani è una retta;

● di un oggetto che oscilla appeso a un filo è un arco di circonferenza.

F.2 Traiettoria descritta da un corpo che si muove nello spazio. Il verso indicato dalla freccia indica che il corpo passa prima per il punto P1 e poi per il punto P2

PROVA SUBITO

La legge oraria di un corpo è x(t) = 5 t + 1 s, con tutte le quantità espresse in unità del SI. Qual è la posizione occupata all’istante t = 3 s?

Legge oraria

Se un corpo si muove, per descrivere il suo moto non basta specificarne le diverse posizioni, ma occorre stabilire anche quando il corpo si trova in un determinato punto. Per fornire una descrizione completa del moto è pertanto necessario specificare dove il corpo si trova in ogni istante.

Ciò che occorre è quindi una relazione che leghi le posizioni occupate agli istanti di tempo. Questa relazione prende il nome di legge oraria.

La legge oraria di un moto è la funzione che permette di conoscere la posizione del corpo in un certo istante di tempo.

Per esempio

● La tabella degli orari in una stazione permette di sapere dove si trovano i treni nelle ore indicate. Per ogni treno sono indicate le stazioni e gli orari delle fermate successive alla partenza, cioè alcuni punti della legge oraria.

● Funzioni del tipo x =  x(t), come x(t) =  2  t, sono leggi orarie: noto il tempo t permettono di conoscere la posizione x del corpo sull’asse x Se un corpo si muove secondo la legge oraria x(t) = 2 t: – all’istante t = 0 s il corpo è nella posizione x = 2 ⋅ 0 = 0 m; – all’istante t = 1 s il corpo è nella posizione x = 2 ⋅ 1 = 2 m; – all’istante t = 2 s il corpo è nella posizione x = 2 ⋅ 2 = 4 m; e così via.

È importante non confondere la traiettoria con la legge oraria. La traiettoria è la curva percorsa dal corpo in moto e non contiene alcuna informazione sul tempo di percorrenza. Non è quindi possibile risalire alla legge oraria conoscendo solo la traiettoria.

Per esempio

Se la traiettoria è una strada, qualsiasi automobile che la percorre descrive la stessa traiettoria. D’altra parte esistono infiniti intervalli di tempi in cui la strada può essere percorsa, cioè ogni automobile può percorrere la stessa strada seguendo differenti leggi orarie.

È vero, però, il contrario: unendo le posizioni occupate dal corpo in ogni istante di tempo, si ottiene la sua traiettoria. Quindi, se si conosce la legge oraria di un corpo è possibile ricavarne la sua traiettoria.

IN PRATICA 1 Ricavare la traiettoria attraverso la legge oraria

Un corpo si muove in linea retta seguendo la legge oraria

x(t) = 3 t + 2

Tutte le quantità sono espresse in unità del SI.

Dove si trova il corpo negli istanti di tempo t0 = 0, t1 = 1 s e t2 = 2 s?

● Che cosa sai La legge oraria esprime la posizione del corpo in funzione di t. Questo ci permette di determinare le coordinate del corpo lungo l’asse x in qualunque istante di tempo.

● Procedimento Sostituendo nella legge oraria t0 = 0 otteniamo:

x(0) = 3 ⋅ 0 + 2 = 2 m

Al tempo t0 quindi il corpo si trova nel punto di coordinata x0 = 2 m. Procedendo in modo analogo per gli altri due istanti otteniamo le posizioni x1 = 5 m al tempo t1 = 1 s e x2 = 8 m al tempo t2 = 2 s.

Riportiamo sull’asse x le posizioni occupate dal corpo. In questo modo otteniamo tre punti che appartengono alla traiettoria del corpo.

I valori di tempo che abbiamo utilizzato per ricavare le posizioni x0, x1 e x2 sono arbitrari: se avessimo scelto altri valori non interi di t avremmo trovato i punti intermedi tra queste posizioni. Perciò, nel caso considerato, la traiettoria del corpo è una semiretta che giace sull’asse x e che ha origine nel punto x = 2 m.

● Rifletti La traiettoria del corpo è formata dall’insieme dei punti di coordinate x occupati dal corpo in ciascun istante di tempo.

Diagramma orario di un moto unidimensionale

Il moto unidimensionale è il caso più semplice da studiare. Per esempio, è unidimensionale il moto di un automobile che si muove in linea retta. Nel caso dei moti unidimensionali la legge oraria può essere rappresentata in una forma grafica intuitiva e facile da leggere: il diagramma orario.

Il diagramma orario di un moto unidimensionale è il grafico che rappresenta la posizione in funzione del tempo.

Il diagramma orario è dunque la rappresentazione della legge oraria su un piano cartesiano, avente il tempo t sull’asse delle ascisse e la posizione x sull’asse delle ordinate.

Diagramma

GEOGEBRA

Video Il grafico spazio-tempo

ESPLORA IL GRAFICO

Video Diagramma orario di un moto unidimensionale

Il grafico seguente è il diagramma orario di un moto unidimensionale: interpretiamolo insieme.

avvicinamento inversione del moto

punto di massimo allontanamento, inversione del moto

allontanamento punto di partenza

Il corpo parte dal punto x0 al tempo t0;

punto di massimo avvicinamento, inversione del moto

● si allontana dall’origine fino all’istante t1 nel quale raggiunge la posizione x1;

● nel punto x1 all’istante t1 il corpo si ferma e inverte il suo moto; tra t1 e t2 il corpo torna indietro e si avvicina nuovamente al punto di partenza fino a raggiungere la posizione x2;

● nel punto x2 all’istante t2 il corpo si ferma e inverte nuovamente il suo moto; tra t2 e t3 il corpo si allontana nuovamente fino a raggiungere la massima distanza dall’origine x3;

● nel punto x3 all’istante t3 il corpo inverte il suo moto per l’ultima volta e torna indietro.

IN PRATICA 2 Individuare posizioni e tempi sul diagramma orario

a. Dove si trova il corpo agli istanti di tempo seguenti?

– tA = 0,0 s;

– tB = 0,5 s;

– tC = 1,0 s;

– tH = 5,5 s;

– tI = 6,0 s.

b. In quali istanti di tempo la posizione del corpo è la stessa dell’istante tC?

c. Cosa accade al corpo negli istanti?

– tD = 2,0 s;

– tF = 4,0 s.

● Che cosa sai Il diagramma orario che rappresenta la legge oraria del moto ci permette di dedurre numerose informazioni sul moto compiuto dal corpo.

● Procedimento Per risolvere ciascun quesito è sufficiente osservare il diagramma mostrato in figura.

a. Negli istanti di tempo richiesti il corpo si trova nelle seguenti posizioni:

– x(tA) = xA = 0 m punto A

–

x(tB) = xB = 1,7 m punto B

– x(tC) = xC = 3,0 m punto C

– x(tH) = xH = 4,3 m punto H

– x(tI) = xI = 6,0 m punto I

b. Il corpo si trova nella stessa posizione dell’istante tC = 1,0 s agli istanti tE = 3,0 s (punto E) e tG = 5,0 s (punto G).

c. All’istante tD = 2,0 s (punto D) il corpo si trova nel punto xD = 4,0 m. Prima di questo istante il corpo si stava allontanando dall’origine, successivamente invece inizia ad avvicinarsi.

All’istante tD = 2,0 s quindi il corpo inverte il verso del proprio moto. In modo analogo, sempre osservando il grafico orario, si vede che tra gli istanti tD = 2,0 s e tF = 4,0 s il corpo si avvicina all’origine, mentre tra gli istanti tF = 4,0 s e tI = 6,0 s il corpo si allontana.

All’istante tF = 4,0 s pertanto il corpo inverte nuovamente il verso del proprio moto.

● Rifletti Quando i valori della coordinata x aumentano, il corpo si allontana dal punto di partenza, quando diminuiscono il corpo si avvicina all’origine. Nei punti in cui il verso del moto si inverte, la curva della legge oraria cambia inclinazione.

F.3 Man mano che scorre il tempo, il corpo in moto rettilineo occupa posizioni diverse sull’asse di riferimento.

2 La velocità

La velocità media

La velocità media di un corpo è il rapporto tra lo spostamento compiuto dal corpo e l’intervallo di tempo impiegato per compierlo.

Consideriamo un corpo che si muove lungo una retta con un moto la cui legge oraria è data da x(t). Le due posizioni occupate in due istanti di tempo t1 e t2 sono date rispettiva­

Lo spostamento del corpo è quindi dato da x(t2) x(t1), mentre l’intervallo di tempo impiegato è pari a t2 t1. Sostituendo nella definizione si ha:

=

PROVA SUBITO

Se un corpo percorre 30 m in 7,5 s qual è la sua velocità media?

)

Se indichiamo con ∆x = x2 x1 lo spostamento e con ∆t = t2 t1 l’intervallo di tempo, la definizione di velocità media può essere scritta come:

vm = x t

Le dimensioni della velocità media sono quelle del rapporto tra una lunghezza e un tempo:

vm [ ] = l t = l t 1 [ ]

L’unità di misura nel SI è il metro al secondo (simbolo m/s)

Un’altra unità di misura di uso comune è il kilometro all’ora (simbolo km/h). Ricaviamo ora l’equivalenza per passare da un’unità all’altra. Poiché sappiamo che 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s abbiamo:

1 km h = 1 km 1 h = 1000 m 3600 s = 1 3 , 6 m s

PROVA SUBITO

A quanti km/h corrisponde una velocità di 25 m/s?

Viceversa:

1 m s = 3 , 6 km h

Per esempio

Il ghepardo, durante una corsa, può raggiungere per brevi tratti la velocità di 120 km/h. A quanti m/s corrisponde questo valore?

120 km

1 h = 120 1000 m 3600 s = 120 m 3 , 6 s = 33 , 3 m s

Per trasformare i kilometri all’ora in metri al secondo devi perciò dividere la grandezza espressa in km/h per un fattore 3,6. Viceversa, per trasformare i metri al secondo in kilometri orari, devi moltiplicare per un fattore 3,6.

Poiché la velocità media è definita come un rapporto, il suo valore è tanto maggiore quanto più lo spostamento compiuto è grande e il tempo impiegato è piccolo. Rappresentiamo graficamente tutte le quantità che compaiono nella definizione di velocità media. Scegliamo sul diagramma orario un punto P1 di coordinate (t1; x1) e un punto P2 di coordinate (t2; x2), successivo a P1: la velocità media è pari al coefficiente angolare della retta secante che passa per il punto iniziale e il punto finale sul diagramma orario. Questa affermazione risulta evidente nel grafico che segue:

x re a secante che congiunge P1 e P2

diagramma orario il coe ciente angolare della re a secante è la velocità media x t

● Consideriamo la retta secante che congiunge P1 e P2: il suo coefficiente angolare è pari a vm = Δx Δt = x 2 x1 t 2 t 1 , ovvero, per definizione, alla velocità del corpo.

● Possiamo quindi concludere che il coefficiente angolare coincide con la velocità media. Riprendendo la definizione

si può notare che, per determinare la velocità media di un corpo basta conoscere le sue due posizioni (iniziale e finale) e l’intervallo di tempo impiegato a passare dall’una all’altra.

Per esempio

Due automobilisti entrano in autostrada dallo stesso casello, entrambi alle ore 12:00.

● Il primo automobilista non fa soste e, mantenendo un’andatura regolare, esce a un casello distante 200 km alle ore 14:00.

● Il secondo automobilista invece procede in modo spedito, poi fa una sosta e riparte sempre speditamente. Dopo un po’ accosta per fare una telefonata e poi riprende la guida. Infine, all’uscita dall’autostrada incontra nuovamente il primo automobilista.

Quanto vale la velocità media tenuta dai due automobilisti?

Entrambi hanno percorso 200 km in un tempo di 2 ore, quindi: vm = 200 km 2 h = 100 km h

Il valore ottenuto vale per entrambi gli automobilisti, anche se hanno affrontato il viaggio in modi diversi.

ESPLORA IL GRAFICO

Video

La velocità media

ESPLORA IL GRAFICO

Dunque non è necessario avere una dettagliata descrizione del moto per conoscere la velocità media. Tutti i corpi che percorrono una stessa distanza impiegando lo stesso intervallo di tempo hanno la stessa velocità media, indipendentemente dal tipo di moto che compiono tra la partenza e l’arrivo.

Video La velocità media è indipendente dal tipo di moto

tu i questi diagrammi orari passano per gli stessi punti P1 e P2 ● P1 = P(t1; x1) e P2 = P(t2; x2) sono rispettivamente i punti iniziale e finale dei moti rappresentati.

la re a secante passante per P1 e P2 è uguale per tu e le curve: i moti hanno tu i la stessa velocità media

F.4 Interpretazione grafica del segno della velocità media.

● La retta secante che passa per P1 e P2 è la stessa per tutti i moti la cui legge oraria passa per questi punti.

● Poiché la velocità media è il coefficiente angolare della retta secante, tutti i moti tra P1 e P2 hanno la stessa velocità media pari a vm = Δx Δt = x 2 x

Il segno della velocità media

Il segno della velocità media tra due istanti t1 e t2 > t1 dipende dal verso con cui si è mosso il corpo tra t1 e t2. Dalla (1) abbiamo infatti che:

● se x2 > x1, il corpo si è allontanato dall’origine e vm > 0;

● se x2 < x1 il corpo si è avvicinato all’origine e vm < 0;

● se x2 = x1 la posizione finale è uguale a quella iniziale e vm = 0.

Questo risultato può essere visualizzato in modo efficace sul diagramma orario considerando l’angolo α formato dalla secante al diagramma orario nei punti iniziale e finale con la direzione positiva dell’asse dei tempi (F.4)

● Se il corpo si è allontanato dall’origine, α < 90°.

● Se il corpo si è avvicinato all’origine, α > 90°.

● Se la posizione finale è uguale a quella iniziale, α = 0°.

Per esempio

Consideriamo il moto rappresentato dal seguente diagramma orario.

● Nell’intervallo di tempo [0 s; 2,0 s] il corpo si allontana dall’origine: la velocità media è positiva e vale:

vm = 4 , 0 m 0 m 2 , 0 s 0 s = 2 , 0 m/s

● Nell’intervallo di tempo [2,0 s; 3,0 s] il corpo si avvicina all’origine: la velocità media è negativa e vale:

vm = 3 , 0 m 4 , 0 m 3 , 0 s 2 s = 1, 0 m/s

● Nell’intervallo di tempo [3,0 s; 5,0 s] le posizioni iniziale e finale coincidono: la velocità media è nulla.

La velocità istantanea

La definizione di velocità media data non descrive le variazioni di velocità durante l’intervallo di tempo considerato.

Quindi non dà indicazioni su quanto rapidamente un corpo si sta muovendo in un particolare istante.

Per definire la velocità media si osserva il moto in due istanti distinti: se i due istanti coincidessero la definizione perderebbe significato. Ci domandiamo che cosa accade a vm quando si avvicinano sempre di più i due istanti e l’intervallo di tempo ∆t diventa sempre più piccolo. In questo caso si dice che ∆t “tende a zero”, e si scrive ∆t → 0 (F.5). x

x(t0 + Δt)

Riducendo l’intervallo di tempo ∆t, anche x(t0 + ∆t) si avvicina sempre di più alla posizione iniziale x0: quindi il punto P si avvicina al punto P0.

F.5 Per calcolare la velocità istantanea in un certo istante t0 consideriamo la velocità media nell’intervallo tra t0 e t0 + ∆t e riduciamo sempre di più l’intervallo di tempo ∆t.

Approfondisci Il concetto di limite e la velocità istantanea

Per esempio

Vediamo adesso che cosa accade concretamente, da un punto di vista numerico, se riduciamo sempre di più l’intervallo di tempo ∆t nel calcolo di una velocità.

Consideriamo la legge oraria x(t) = t2 + 4 t in cui tutte le unità sono espresse nel SI.

Calcoliamo la velocità media tra gli istanti di tempo t 0 = 1 s e t = t0 + ∆ t con ∆ t =

da cui si ricava vm = x t = 4 3 ( ) m 1 s = 1 m/s

Ripetiamo ora il calcolo con intervalli di tempo ∆t sempre più piccoli: i risultati ottenuti sono riportati nella tabella.

Si può notare che, da un certo punto in poi, ridurre ulteriormente ∆t produce variazioni sempre più piccole nel valore della velocità media. Man mano che istante iniziale e finale si avvicinano la velocità media tende a stabilizzarsi intorno a un valore limite pari a 2 m/s. Questo valore limite è proprio la velocità che il corpo possiede nell’istante t0 = 1 s.

A questo punto possiamo dare la definizione di velocità istantanea.

La velocità istantanea di un corpo in un certo istante di tempo è il valore limite a cui tende la velocità media calcolata su intervalli di tempo sempre più brevi.

A che cosa corrisponde, sul diagramma orario, la velocità istantanea?

Man mano che il secondo punto di rilevazione si avvicina al primo, la retta secante tende a coincidere con la retta tangente in quel punto e si ha il seguente risultato.

La velocità istantanea in un punto sul diagramma orario è pari al coefficiente angolare della retta tangente in quel punto.

se Δt 0 il punto P si avvicina a P0 lungo il diagramma orario

se Δt 0 la re a secante tende a coincidere con la re a tangente

la velocità istantanea è pari al coe ciente angolare della re a tangente

Infatti:

● se ∆t → 0 P tende a coincidere con P0;

● se ∆t → 0 la secante tende a coincidere con la tangente;

● quindi il coefficiente angolare della secante (la velocità media) tende a coincidere con il coefficiente angolare della tangente (la velocità istantanea).

ESPLORA IL GRAFICO

Video

La velocità istantanea

Per esempio

Consideriamo nuovamente la legge oraria x(t) = t2 + 4 t e determiniamo, questa volta graficamente, la velocità all’istante t0 = 1 s.

Nell’istante t0 la posizione occupata è

x0 = x(t0) = 3 m. Sul diagramma orario tracciamo la retta tangente nel punto P di coordinate (1 s; 3 m).

Per trovare il coefficiente angolare di questa retta consideriamo un altro punto sulla retta, il punto A(0 s; 1 m). Ricordiamo che il coefficiente angolare m è dato dal rapporto tra la differenza delle ordinate ∆x e la differenza delle ascisse ∆t:

Per quanto detto in precedenza, questo coefficiente è pari alla velocità istantanea del moto nell’istante t0 = 1 s, quindi v(1 s) = 2 m/s.

Il segno della velocità istantanea

Anche il segno della velocità istantanea dipende dal verso del moto del corpo. Poiché la velocità istantanea è uguale al coefficiente angolare della retta tangente al diagramma orario abbiamo che:

● negli intervalli di tempo in cui il corpo si allontana dall’origine la tangente forma un angolo acuto con la direzione positiva dell’asse dei tempi e quindi la velocità istantanea è positiva;

● negli intervalli di tempo in cui il corpo si avvicina all’origine la tangente forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell’asse dei tempi e quindi la velocità istantanea è negativa;

● negli istanti in cui il moto cambia verso la tangente è parallela all’asse dei tempi e quindi la velocità istantanea è nulla.

Questo risultato può essere visualizzato in modo efficace sul diagramma orario considerando l’angolo α formato dalla secante al diagramma orario nei punti iniziale e finale con la direzione positiva dell’asse dei tempi (F.6).

F.6 Interpretazione grafica del segno della velocità istantanea.

Per esempio

Consideriamo il moto rappresentato dal seguente diagramma orario.

= 0

● Negli intervalli [0 s; 2,0 s] e [4,0 s; 5,0 s] la velocità istantanea è positiva in quanto la tangente forma un angolo acuto con la direzione positiva dell’asse dei tempi.

● Nell’intervallo [2,0 s; 4,0 s] la velocità istantanea è negativa in quanto la tangente forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell’asse dei tempi.

● Negli istanti 2,0 s e 4,0 s la velocità istantanea è nulla in quanto la tangente è parallela all’asse dei tempi.

3 Il moto rettilineo uniforme

L’esempio più semplice di moto unidimensionale è il moto in cui la traiettoria è rettilinea e la velocità rimane costante nel tempo.

La legge oraria del moto rettilineo uniforme

Poiché la velocità si mantiene costante, la velocità media calcolata tra due istanti di tempo qualsiasi coincide con la velocità istantanea.

La legge oraria di un moto rettilineo uniforme con velocità costante v è la retta di equazione x(t) = x0 + v t

Il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme è, quindi, una retta: x

l’interce a x0 è la posizione di partenza la pendenza della re a è la velocità v

Ricordando l’equazione cartesiana della retta y = mx + q e paragonandola alla legge oraria del modo rettilineo uniforme, possiamo osservare che:

● m è il coefficiente angolare e coincide con la velocità costante v;

● x0 è l’intercetta e rappresenta la posizione di partenza. Infatti: x(0) = x0 + v 0 = x0.

Se confrontiamo due moti che iniziano nello stesso punto x0 ma con velocità diverse v1 > v2, i loro diagrammi orari saranno due rette aventi la stessa intercetta ma pendenze differenti.

a parità di spostamento Δx compiuto dall’inizio del moto

il corpo con velocità maggiore (v1 > v2) impiega un intervallo di tempo minore (Δt1 < Δt2)

Il moto del corpo con velocità maggiore è rappresentato da una retta con pendenza maggiore. A parità di spostamento compiuto, il corpo che si muove con velocità maggiore impiega un intervallo di tempo minore. Se nel grafico x­t il moto del corpo è rappresentato da una retta orizzontale, cioè con pendenza nulla, la posizione del corpo è costante: il corpo, quindi, è sempre fermo e la sua velocità è nulla.

IN PRATICA 3 Determinare la legge oraria del moto rettilineo uniforme

Un corpo parte da un punto posto a 2,0 m dall’origine di un sistema di riferimento e segue una traiettoria rettilinea. Mantenendo una velocità costante, dopo un intervallo di tempo di 3,0 s si trova nel punto di coordinata 3,5 m. Determina la legge oraria del moto del corpo.

● Che cosa sai Il corpo si muove con velocità costante su una traiettoria rettilinea. Il moto è rettilineo uniforme e la legge oraria è un’equazione del tipo x(t) = x0 + vt, dove x0 è la posizione iniziale del corpo, cioè x0 = 2,0 m.

● Procedimento In un moto rettilineo uniforme la velocità media e istantanea coincidono. Calcoliamo quindi v usando la definizione di velocità media:

v = 3 , 5 2 , 0 ( ) m

3 , 0 0 ( ) s = 0 , 50 m / s

Sostituiamo nella forma generale della legge oraria e otteniamo x(t) = 2,0 + 0,50 t

dove tutte le quantità sono espresse in unità del SI.

● Rifletti Nel caso di moto rettilineo uniforme, conoscendo la posizione in due istanti qualsiasi è possibile ricavare la legge oraria e poi, da questa, la posizione in tutti gli altri istanti.

Video Il moto rettilineo uniforme (video e videolaboratorio)

La legge oraria del moto rettilineo uniforme

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Moto rettilineo uniforme

GEOGEBRA

Video Il grafico velocità-tempo

Il grafico velocità-tempo nel moto rettilineo uniforme

Per calcolare lo spostamento compiuto ∆x in un certo intervallo di tempo ∆t, riprendiamo la definizione di velocità media

v = x t

e risolviamo rispetto a ∆x:

x = v t

Questa relazione ha un’importante interpretazione grafica. Tracciamo, per il moto rettilineo uniforme, il grafico velocità-tempo, avente il tempo sull’asse delle ascisse e la velocità sull’asse delle ordinate. Su questo grafico una velocità costante si rappresenta con una linea retta parallela all’asse delle ascisse.

una velocità costante si rappresenta con una linea orizzontale

l’area del re angolo v Δt coincide con lo spostamento compiuto nel tempo Δt

ESPLORA IL GRAFICO

v < 0

F.7 Lo spostamento compiuto da un corpo che si muove con velocità negativa è uguale all’area sottesa al grafico velocità-tempo presa con il segno meno.

Nel grafico precedente la velocità v e l’intervallo di tempo ∆t sono, rispettivamente, l’altezza e la base del rettangolo sotteso al grafico. Quindi, lo spostamento è uguale all’area sottesa al grafico velocità­tempo.

Se il corpo si muove con velocità negativa, il suo spostamento è negativo (F.7). Pertanto, in questo caso, lo spostamento è uguale all’area sottesa al grafico velocità­tempo presa con il segno meno.

Un’area che va presa con il segno positivo quando si trova sopra l’asse delle ascisse e con il segno negativo quando si trova sotto l’asse delle ascisse è detta area orientata. Applicando questa definizione si ottiene il seguente risultato.

Lo spostamento compiuto in un moto rettilineo uniforme è uguale all’area orientata del rettangolo sotteso al grafico velocità-tempo

Per esempio

Nella figura a fianco sono rappresentati i grafici velocità­tempo relativi al moto rettilineo uniforme di due corpi A e B.

Gli spostamenti compiuti dai due corpi nell’intervallo di tempo compreso tra 0 s e 8,0 s valgono

e corrispondono, rispettivamente, alle aree colorate in blu e in rosso.

IN PRATICA 4 Risolvere un problema con metodi diversi

In figura sono rappresentati due fotogrammi relativi al tratto finale di una gara ciclistica che vede tre ciclisti impegnati in una volata. Supponendo, data la brevità del tratto, che la velocità sia costante per tutti e tre i ciclisti, trova l’ordine di arrivo.

METODO ALGEBRICO

● Procedimento Con il righello si possono misurare le distanze di ciascuno dei tre ciclisti dalla linea di arrivo nel primo e nel secondo fotogramma. Consideriamo, per cominciare, il ciclista con la maglia verde. Se indichiamo con x Vi e x Vf le distanze dal traguardo nei due fotogrammi e con ∆t l’intervallo di tempo tra i due fotogrammi, la sua velocità è data da:

vV = xVi xVf t = xV t

Nota la velocità, possiamo determinare il tempo impiegato dal ciclista in verde a raggiungere il traguardo

t V = xVi vV

Sostituendo la relazione precedente si ottiene:

t V = xVi xV t

Allo stesso modo si procede per i ciclisti con la maglia rossa e blu:

t R = x Ri x R t t B = x Bi x B t

Noti questi tre tempi si può stabilire l’ordine di arrivo.

● Rifletti Se non viene specificato quanto vale ∆t e di quanto sono rimpicciolite le foto, non è possibile conoscere i valori veri delle velocità e dei tempi. Nonostante questo, poiché ∆t e il fattore di scala sono gli stessi per tutti i corridori, per conoscere l’ordine di arrivo basta conoscere i rapporti x Δx misurati sui fotogrammi: 32 ,5 4

L’ordine di arrivo è: Rosso, Verde, Blu.

METODO GRAFICO

● Procedimento Consideriamo i due fotogrammi successivi e fissiamo un sistema di riferimento avente origine nel punto in cui si trova nel primo fotogramma il ciclista in maglia verde.

Nella figura seguente, per semplicità, abbiamo posto i corridori su una stessa linea. Tenendo conto che i due fotogrammi sono in scala e che il moto dei ciclisti è supposto rettilineo uniforme, il diagramma orario di ciascun ciclista è dato da una retta che collega la parte iniziale delle loro biciclette nel primo e nel secondo fotogramma. Il ciclista che arriva prima è quello per cui il diagramma orario interseca per primo la retta corrispondente al traguardo. Il ciclista che vince è quello in maglia rossa, seguito dal ciclista in maglia verde e infine dal ciclista in maglia blu. t x

MATEMATICA IN GIOCO

Sistemi di equazioni lineari e leggi orarie

Un sistema di equazioni lineari, o sistema lineare, è un insieme di almeno due equazioni di primo grado, ognuna con una o più incognite. La soluzione del sistema (se esiste) corrisponde ai valori delle incognite che verificano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.

è un sistema lineare di due equazioni in due incognite (x e t). Per trovare la soluzione di questo sistema utilizziamo il metodo del confronto.

PROVA SUBITO

Poiché x = 3 t + 2 e, contemporaneamente, x = t + 6, possiamo uguagliare i due secondi membri:

3 t + 2 = t + 6 da cui si ricava t = 2

Ricavata la prima delle due incognite, sostituiamo il valore trovato in una delle equazioni del sistema e ricaviamo la seconda incognita:

La soluzione del sistema è:

t x

2 8 = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ t x 3 2 6 =+ =+ ⎧

Risolvere un sistema lineare

2 268 = =+= ⎧

Immaginiamo di voler analizzare il moto di due corpi A e B che si spostano contemporaneamente con leggi orarie diverse. Per stabilire in quale istante t e in quale posizione x i due corpi si incontrano utilizziamo un sistema di equazioni e rappresentiamo le rette corrispondenti sul piano cartesiano.

PROVA SUBITO

Due corpi A e B si muovono seguendo le leggi orarie:

Corpo A: x = 3 t + 2

Corpo B: x = t + 6

Tutte le quantità sono espresse in unità del SI. Immaginiamo di volere trovare, se esistono, l’istante di tempo e la posizione in cui i due corpi si incontrano. Per trovare questa posizione x e questo istante t risolviamo il sistema lineare:

3 2 6 =+ =+ ⎧

Questo sistema indica che nello stesso istante t entrambi i corpi occupano la stessa posizione x. Procedendo come nell’esempio precedente si trova:

2 8 = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ t x

Quindi i due corpi si incontrano dopo un tempo di 2 s dalla partenza, a una distanza di 8 m dall’origine del sistema di riferimento.

Lo stesso risultato può essere determinato graficamente tracciando i diagrammi orari dei due corpi, che nell’esempio considerato corrispondono a due rette Il punto di intersezione delle due rette coincide con la soluzione del sistema lineare.

Il sistema lineare e il moto rettilineo di due corpi

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CINEMATICA

descrizione quantitativa del moto, senza spiegare le cause

si può schematizzare un corpo in moto con un punto in moto: modello di PUNTO MATERIALE

si definiscono le posizioni dei corpi in moto rispetto a un SISTEMA DI RIFERIMENTO

la funzione tra posizione e tempo è la LEGGE ORARIA

da cui si ricava la TRAIETTORIA rappresentata con il DIAGRAMMA ORARIO

la curva nello spazio formata dalle posizioni occupate durante il moto

LA VELOCITÀ

nel modo unidimensionale

ISTANTANEA

MEDIA COSTANTE

è il valore limite a cui tende la velocità media se calcolata per intervalli di tempo sempre più brevi

è il rapporto tra lo spostamento compiuto e l’intervallo di tempo impiegato a compierlo velocità media e istantanea coincidono

MOTO RETTILINEO UNIFORME

la velocità costante sul diagramma orario è la pendenza della retta

la velocità costante sul diagramma velocità-tempo è una retta orizzontale

Fissa i concetti chiave

1 Il moto dei corpi e la legge oraria

1 Descrivi una situazione fisica in cui una barca a vela può essere considerata come un punto materiale in moto e una in cui tale schematizzazione non è valida.

PENSIERO CRITICO

2 Vero o falso?

Dalla legge oraria è possibile determinare la traiettoria. F V

1. Evidenzia i termini di cui devi conoscere il significato. Cerca e ripassa quelli che non ricordi bene.

Dalla legge oraria è possibile determinare la traiettoria

● Legge oraria: è la funzione che lega la posizione del corpo al tempo;

● Traiettoria: è la curva formata dalle posizioni che un corpo occupa durante il suo moto.

2. Individua la relazione tra i concetti chiave espressa dal quesito. Fai attenzione alle negazioni. Se si fa riferimento a un grafico, disegnalo e analizza attentamente i dettagli (etichette e scala degli assi, unità di misura ecc.)

Poiché la legge oraria fornisce la posizione di un corpo al passare del tempo, congiungendo le posizioni che il corpo occupa in istanti successivi puoi ricostruire la traiettoria.

3. Immagina degli esempi che confermino il quesito. Se non ne trovi, immagina dei controesempi che lo contraddicano. Per esempio puoi ricostruire il percorso (la traiettoria) di un treno a partire dalla tabella oraria delle sue fermate, cioè dai punti della sua legge oraria.

L’affermazione perciò è VERA

3 Vero o falso? Giustifica sul quaderno le tue risposte.

● Dalla traiettoria di un corpo in moto puoi ricavare la sua legge oraria. V F

● Un sistema di riferimento è un sistema rispetto al quale viene riferita la posizione dei corpi nello spazio. V F

● Il grafico della legge oraria riporta il tempo in ascissa e la velocità del corpo in ordinata. V F

● Il diagramma orario è il grafico della legge oraria. V F

● Il diagramma orario di un moto unidimensionale è un moto la cui legge oraria è una retta. V F

4 TROVA L’ERRORE Spiega perché la seguente affermazione non è corretta: la legge oraria di un moto unidimensionale è sempre rappresentata da una retta nel diagramma orario.

5 Data la legge oraria x(t) = 3 t 7 in unità del SI, al tempo t = 0 il corpo si trova nella posizione:

A x = 0

B x = 3

C x = 7

D x = 1

E Nessuna delle precedenti.

6 OSSERVA E RISPONDI Osserva la fotografia e completa.

La fotografia rappresenta la di uno sciatore.

7 COMPLETA Osserva il grafico e completa.

Nell’intervallo di tempo tra gli istanti ..................... e ..................... il corpo si dal punto di partenza , fino a raggiungere la posizione . Nell’istante il corpo il moto e torna alla posizione .

2 La velocità

8 Vero o falso? Giustifica sul quaderno le tue risposte.

● Per conoscere la velocità media con cui un treno viaggia tra Napoli e Firenze, occorre conoscere le durate di tutte le soste che effettua. V F

● Se in una gara due ciclisti partono e arrivano al traguardo insieme, hanno avuto la stessa velocità media. V F

● Nel momento in cui un corpo inverte il verso del proprio moto, la sua velocità istantanea è nulla. V F

● Dal grafico della traiettoria puoi ricavare il valore della velocità istantanea. V F

9

Uno dei sistemi per il rilevamento dell’eccesso di velocità si chiama Sistema Tutor. Esso misura il tempo impiegato da un’automobile per percorrere la distanza tra due punti di rilevamento. Successivamente calcola il rapporto tra la distanza delle stazioni e il tempo impiegato dall’auto. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

A Il Sistema Tutor rileva la velocità istantanea di un’automobile tra le due stazioni.

B Se la velocità segnata dal Tutor supera il limite, non è detto che l’autista abbia realmente mantenuto per tutto il tragitto una velocità sopra al limite.

C Se la velocità segnata dal Tutor non supera il limite, l’autista ha di certo viaggiato per tutto il tragitto con una velocità inferiore al limite consentito.

D Se l’autista ha superato i limiti ma rallenta subito prima di passare sotto la seconda stazione, certamente non prenderà la multa.

E Se l’autista non ha superato i limiti ma accelera subito prima di passare sotto la seconda stazione, certamente prenderà la multa.

10 GRAFICI Osserva il diagramma orario del corpo. Il corpo è in movimento con velocità costante e positiva nel tratto:

12 FORMULE INVERSE Inverti le formule come indicato.

a. Note la velocità media vm e la durata del moto ∆t, ricava lo spazio percorso: v m = v m = Δx Δt → Δx = =

vm ∆t

b. Noti la velocità media vm e lo spazio percorso ∆x, ricava il tempo impiegato:

v m = x t t =

x/vm

13 COMPLETA In figura è rappresentato il diagramma orario del moto di un corpo. t t1 t2 t0 x

La velocità media del corpo tra t0 e t1 è , tra t1 e t2 è e tra t 0 e t2 è

negativa positiva

14 COMPLETA In figura è rappresentato il diagramma orario del moto di un corpo.

11 GRAFICI Facendo riferimento al grafico, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

A La massima distanza dall’origine raggiunta è di 6 m.

B A 4 s il corpo inverte il verso del proprio moto.

C La velocità si annulla per la prima volta dopo 6 s dalla partenza.

D A 2 s il corpo è fermo.

E Tra 6 s e 8 s il corpo torna verso l’origine.

Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

A Il corpo parte con una velocità di 1 m/s e dopo 6 s ha una velocità pari a 5 m/s.

B Il corpo è fermo solamente nell’intervallo di tempo compreso tra 6 s e 8 s.

C La velocità del corpo è positiva solo nell’intervallo compreso tra 0 s e 2 s.

D Tra 0 s e 2 s la velocità media è positiva, tra 2 s e 4 s è negativa e a 2 s è nulla.

E Tra 3 s e 4 s la velocità media è negativa, è nulla negli istanti 2 s e 4 s ed è nulla tra 6 s e 8 s.

15 Completa la tabella a partire dalla definizione di velocità media. vm (m/s) x (m) t (s)

16 COMPLETA Completa le didascalie del diagramma orario di due moti rettilinei uniformi e dei corrispondenti grafici v-t

t (s) x (m)

● Dal grafico si osserva che i due corpi si muovono in verso e con velocità in modulo.

v (m/s) t (s)

PENSIERO CRITICO

19 Indica la risposta corretta.

Qual è la legge oraria (in unità SI) che corrisponde al diagramma in figura?

x t( ) = 1 2 t + 2

x t( ) = 1 2 + t opposto diverse

B x t( ) = 1 + t C x t( ) = 1 2 t + 1

● L’area grigia rappresenta lo percorso dal corpo che si muove con velocità

17 FORMULE INVERSE Inverti le formule come indicato.

a. Nota la posizione finale x(t), il tempo impiegato t e la velocità v, ricava il punto di partenza:

x(t) = x0 + v t → x0 =

b. Nota la posizione iniziale x0, quella finale x(t) e la velocità v, ricava il tempo impiegato:

x(t) = x0 + v t → t =

c. Nota la posizione iniziale x0, quella finale x(t) e il tempo impiegato t ricava la velocità:

x(t) = x0 + v t → v =

18 Completa la tabella sapendo che, riportando i valori tabulati su un grafico spazio-tempo, si ottiene una retta passante per l’origine la cui pendenza è:

k = 21 m 7, 0 s

x t( ) = 1 2 t + 1

1. Leggi tutte le opzioni. Escludi quelle che individui subito come errate.

Puoi escludere subito:

● le risposte A ed E, perché geometricamente rappresentano delle rette con intercetta diversa da 1.

● la risposta D, perché geometricamente rappresenta una retta con coefficiente angolare negativo, cioè tale per cui la coordinata x decresce all’aumentare di t

2. Analizza le opzioni rimanenti. Concentrati sui dettagli che differenziano le risposte rimaste.

Le leggi orarie rimanenti rappresentano due rette con coefficiente angolare diverso. Sostituisci a entrambe le equazioni un valore arbitrario di t, per esempio t = 4, e confronta il valore di x(t) ottenuto con il grafico fornito.

B x 4( ) = 1 + 4 = 5

Il punto individuato dalla legge oraria C giace sulla retta del diagramma fornito. Pertanto l’affermazione corretta è: C x 4( ) = 1 2 ⋅ 4 + 1 = 3

Leggi la risoluzione per passi degli Esercizi commentati

1 Il moto dei corpi e la legge oraria

ESERCIZIO RISOLTO

20 Due autoscontro si muovono secondo le leggi orarie indicate:

Autoscontro 1 → x t( ) = 1 2 t + 4

Autoscontro 2 → x t( ) = t 2 + 1

a. Disegna i diagrammi delle leggi orarie in unità del SI. b. In quale istante e in quale posizione l’autoscontro 1 urta l’autoscontro 2?

a. Per disegnare i diagrammi delle leggi orarie devi determinare le posizioni occupate dai due corpi in istanti di tempo successivi. Scegli dei valori di tempo arbitrari e sostituiscili nelle leggi orarie corrispondenti. Per esempio:

● t = 0 x 0( ) = 1 2

●

Note le coordinate dei punti delle due leggi orarie, puoi tracciare i diagrammi corrispondenti.

Esercizi di paragrafo

21 Costruisci il diagramma orario del moto di un corpo che al passare del tempo occupa le posizioni indicate nella tabella seguente. Il tempo è misurato in secondi e la posizione in metri.

b. Dalle tabelle e dai diagrammi delle leggi orarie, puoi osservare che all’istante t = 2 s entrambe le autoscontro si trovano nella posizione x(2) = 5 m. Pertanto le due macchine si urtano in x = 5 m, dopo un intervallo di tempo t = 2 s dalla partenza.

● Che cosa devi notare Entrambi i moti sono unidimensionali e avvengono sullo stesso asse x(t). Ciò che differenzia i due moti è la dipendenza dal tempo: lineare o quadratica.

22 Disegna il diagramma orario del moto di un corpo che si muove secondo la legge oraria x(t) = 5 2 t. In quale posizione si trova il corpo all’istante t = 2 s? [x = 1 m]

23 Nella tabella sono riportate, a diversi istanti di tempo, le posizioni occupate da un corpo che si muove lungo l’asse x di un sistema di riferimento cartesiano. Riporta sull’asse x i punti occupati dal corpo nei diversi istanti di tempo e costruisci il diagramma orario.

24 GRAFICI In figura è rappresentato il diagramma orario del moto di un corpo. Determina in quali istanti di tempo il corpo si trova nella posizione x = 4 m.

25 Nella figura sono riportate, a diversi istanti di tempo, le posizioni occupate da un corpo che si muove lungo l’asse x di un sistema di riferimento cartesiano. Riporta i dati della figura in una tabella oraria e traccia i punti sul diagramma orario.

26 Date le seguenti leggi orarie in unità del SI: x(t) = 5 t + 3 x(t) = 2 t + 4

a. Disegna il loro diagramma orario.

b. Se due corpi si muovono secondo queste leggi orarie, esiste un istante di tempo in cui si trovano nello stesso punto? Che significato ha questo risultato?

s]

27 GRAFICI In figura sono rappresentati i diagrammi orari di due coccinelle che si muovono, entrambe, lungo l’asse x. Determina:

a. le posizioni delle due coccinelle all’istante t = 0 s; b. l’istante di tempo nel quale le due coccinelle occupano la stessa posizione;

c. la distanza tra le due coccinelle all’istante t = 9 ms.

2 La velocità

ESERCIZIO RISOLTO

31 Un’automobile percorre una distanza di 20 km in 20 min. Successivamente percorre altri 60 km in 30 min. Calcola la velocità media dell’automobile nei due tratti e sull’intero percorso.

Leggendo attentamente il testo, puoi riassumere le informazioni in una tabella:

Lunghezza del tratto 1 d1 = 20 km

Durata del primo intervallo di tempo ∆t1 = 20 min = = (20/60) h = 1/3 h

Lunghezza del tratto 2 d2 = 60 km

28 Un corpo si muove seguendo la legge oraria

x (t) = 2 t + 7 dove tutte le quantità sono espresse in unità SI.

a. Completa la seguente tabella determinando le posizioni occupate dal corpo negli istanti indicati:

x(t)

7 8 9 10 11 14 17

b. Utilizzando i dati della tabella disegna su una retta orientata i punti relativi alle posizioni occupate dal corpo.

29 COMMENTATO Un corpo si muove secondo la legge oraria:

x(t) = 1,0 t 2 + 3,0 t + 10 con tutte le quantità espresse in unità del SI. Traccia per punti il grafico orario tra gli istanti interi compresi tra t1 = 0 s e t2 = 5 s. Descrivi poi qualitativamente il moto del punto.

30 GRAFICI Spiega perché il diagramma orario seguente può rappresentare il moto di un nuotatore durante una gara di 200 m stile libero. In quali istanti il nuotatore inverte il moto? Quanto è lunga la piscina? Da che cosa lo puoi intuire?

Durata del secondo intervallo di tempo ∆t2 = 30 min = = (30/60) h = 1/2 h

Per trovare la velocità media puoi applicare la definizione

v m = d t a ciascuno dei due tratti:

v m 1 = d 1 t 1 = 20 km 1 3 h = 60 km/h

v m 2 = d 2 t 2 = 60 km 1 2 h = 120 km/h

Per determinare la velocità media vm sull’intero percorso applica ancora la definizione.

La distanza totale percorsa è pari a d = d1 + d2 mentre il tempo totale impiegato è ∆t = ∆t1 + ∆t2. Ottieni:

v m = d 1 + d 2 t 1 + t 2

Dimensionalmente l’espressione è corretta in quanto hai: d 1 + d 2 t 1 + t 2 = l t

Sostituendo i valori numerici del problema ottieni:

v m = 20 + 60 ( ) km 1 2 + 1 3 ( ) h = 96 km/h

● Che cosa devi notare

È importante notare che la velocità media complessiva risulta diversa dalla media delle velocità dei due tratti che sarebbe pari a:

60 + 120 ( ) km/h 2 = 90 km/h

Il motivo è che il secondo tratto ha una durata maggiore del primo e pertanto l’auto viaggia per più tempo a una velocità media di 120 km/h.

Ricorda quindi sempre di non confondere la velocità media con la media delle velocità.

32 DIMENSIONI Quale delle seguenti espressioni potrebbe essere usata per esprimere la velocità di un corpo se le dimensioni fisiche della grandezza a sono quelle di una lunghezza, mentre b ha le dimensioni di un tempo?

33 Qual è la velocità media di uno scoiattolo, se per spostarsi lungo un tronco di 1,5 m impiega 0,33 s? [4,5 m/s]

34 Un treno percorre il tratto Milano-Bologna con una velocità media di 190 km/h. Se il treno impiega un tempo di 1 h e 8 min, quanto vale la distanza tra le due stazioni? [215 km]

35 Un automobilista va in retromarcia per 4,5 s a una velocità media di 8,0 m/s. Qual è lo spostamento effettuato? [ 36 m]

36 Un aereo percorre la tratta Roma-Torino in 1 h e 10 min mantenendo una velocità media pari a 450 km/h. Quanto vale la distanza tra Roma e Torino? [525 km]

37 Il miglior tempo registrato in F1 per il circuito dell’autodromo di Monza è stato 1 m 18,887 s, con una velocità media di 264,362 km/h. Quanto è lungo il circuito di Monza? [5793,0 m]

38 Per raggiungere la fidanzata Giulia, Dario deve guidare la sua moto in autostrada per ben 495 km. Se viaggerà tenendo una velocità media di 110 km/h, quanto tempo impiegherà per raggiungere Giulia? [4 h 30 min]

39 La distanza Terra-Sole è di 149 600 000 km. La luce che ci arriva dal Sole viaggia alla velocità di 3,00 108 m/s. Quanto impiega la luce solare a raggiungere la Terra? Esprimilo in secondi e in minuti. [499 s; 8 min 19 s]

40 GRAFICI In figura è riportato il diagramma orario del moto di un corpo. Determina le velocità medie negli intervalli di tempo [1 s; 3 s], [3 s; 4 s] e [1 s; 4 s].

41 Un ciclista deve percorrere una tappa di 120 km. Percorre i primi 80 km in 75 min, poi si ferma per una sosta di 15 min. Infine riparte impiegando altri 60 min per arrivare. Determina la velocità media complessiva che ha tenuto sull’intero tragitto. [48 km/h]

42 Un treno percorre un tratto di 100 km con una velocità media di 75 km/h e un tratto di 80 km con una velocità media di 120 km/h. Determina i tempi di percorrenza di ciascuno dei due tratti e la velocità media complessiva del treno. [1 h 20 min; 40 min; 90 km/h]

43 Se lungo la sua corsa un treno percorresse distanze uguali rispettivamente a 50,0 km/h, 60,0 km/h, 70,0 km/h quale sarebbe la velocità media sull’intero percorso?

[58,9 km/h]

44 Per andare in vacanza a Parigi, un turista spagnolo affronta un lungo viaggio in auto: percorre i primi 395 km del suo viaggio tenendo una velocità media di 100 km/h e i successivi 126 km procedendo a una velocità media di 50 km/h, a causa del traffico. Riuscirà a effettuare l’intero viaggio in 8,00 h, se nei 389 km rimanenti non può superare la velocità di 130 km/h? Giustifica la tua risposta. [no]

45 Un corpo percorre un tratto di lunghezza 10 m alla velocità media di 4,0 m/s. Successivamente percorre altri 15 m con una velocità media di 2,0 m/s. Trova la velocità media del corpo tra l’istante iniziale e quello finale del moto. Senza avere altre informazioni è possibile determinare la velocità del corpo all’istante di tempo t = 2,00 s?

[2,5 m/s; no]

46 Un corpo si muove secondo la legge oraria x(t) = t3 t + 1 dove tutte le quantità sono espresse in unità del SI. Calcola la velocità media del corpo negli intervalli di tempo [0 s; 2,00 s], [2,00 s; 3,00 s] e [0 s; 3,00 s].

[3,00 m/s; 18,0 m/s; 8,00 m/s]

47 GRAFICI A lato è riportato il diagramma orario relativo al moto di un corpo. Utilizzando il metodo grafico determina la velocità del corpo all’istante di tempo t = 1 s.

[8 m/s]

48 Un corpo si muove secondo la legge oraria x(t) = 3 t + 1. Completa la tabella per i valori di ∆t riportati.

49 Un corpo si muove secondo la legge oraria x(t) = t + 1. Calcola la velocità media tra l’istante t0 = 10 s e l’istante t0 + ∆t per gli intervalli di tempo della seguente tabella. Usa la calcolatrice.

–9,1 –0,1 –1

–9,01 –0,01 –1

–9,001 –0,001 –1

–9,0001 –0,0001 –1

Che cosa puoi dedurre dall’analisi dei risultati della tabella?

50 Un corpo si muove secondo la legge oraria x(t) = 2 t2 dove tutte le quantità sono espresse in unità del SI. Calcola la velocità media del corpo tra l’istante t0 = 1,00 s e l’istante t0 + ∆t nel caso in cui ∆t valga 0,1 s, 0,01 s, 0,001 s e 0,0001 s. Che cosa puoi dire sulla velocità del corpo all’istante t = 1,00 s?

[4,2 m/s; 4,02 m/s; 4,002 m/s; 4,0002 m/s]

51 GRAFICI Osserva il grafico che descrive il moto di due punti materiali A e B e determina:

a. la posizione iniziale di A e di B; b. la velocità di A e di B; c. l’istante e la posizione in cui si sono incontrati; d. la legge oraria di ciascun punto.

53 GRAFICI COMMENTATO In basso è riportato il diagramma orario relativo al moto di un corpo. Ricava la velocità di ciascuno dei tratti del grafico e disegna il diagramma velocità-tempo.

52 GRAFICI Un corpo si muove seguendo il seguente diagramma orario. Determina la sua velocità per ogni intervallo. Poi disegna il diagramma velocità-tempo.

3 Il moto rettilineo uniforme

54 Un corpo si muove per 12 s di moto rettilineo uniforme con una velocità di 7,0 m/s. Successivamente la sua velocità passa a 20 m/s e rimane costante per 8,0 s. Calcola la velocità media del corpo e disegna il grafico della legge oraria. Da che cosa è rappresentata su tale grafico la velocità media? [12 m/s]

55 La luce viaggia a una velocità costante pari a 2,998 ⋅ 108 m/s. Un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Esprimi tale distanza in kilometri. [9,46 ∙ 1012 km]

56 La distanza media tra la Terra e la Luna è di 3,80 105 km. Quanto tempo impiega un raggio di luce che parte dalla Terra a raggiungere la Luna? [1,27 s]

57 Un oggetto si muove per 20,0 s di moto rettilineo uniforme con una velocità di 12,0 m/s. La sua velocità passa a 6,00 m/s e rimane costante per 4,00 s. Calcola la velocità media del corpo. Dopo aver disegnato il grafico della legge oraria, ricava per via grafica la velocità media del corpo. [11,0 m/s]

58 I corpi A e B si muovono seguendo le leggi orarie xA(t) = 7,20 t + 12,0 e xB(t) = 6,40 t + 46,0 con tutte le quantità espresse in unità del SI. Determina, se esiste, l’istante di tempo e il punto in cui i due corpi si incontrano. [2,50 s; 30,0 m]

Suggerimento All’istante di tempo t in cui i due corpi si incontrano le loro leggi orarie sono uguali.

ESERCIZIO RISOLTO

59 Scrivi la legge oraria di un moto il cui diagramma orario è rappresentato in basso.

In questo tipo di problemi è essenziale osservare bene il grafico e da questo dedurre i dati del problema.

Il grafico riporta la posizione di un corpo in funzione del tempo: si tratta pertanto di un diagramma orario.

Il moto del corpo è rappresentato da un segmento, pertanto si tratta di un moto rettilineo uniforme.

La legge oraria è perciò del tipo:

x(t) = x0 + v t

Nella precedente equazione x0 rappresenta la posizione del corpo all’istante iniziale. Dal grafico vedi che questa vale x0 = 20,0 m.

Il moto è rettilineo uniforme e pertanto la velocità istantanea v coincide con la velocità media, che è pari al coefficiente angolare del segmento. Per calcolarlo prendi i due istanti t 0 = 0 s e t 1 = 5,00 s. In questi due istanti il corpo si trova rispettivamente nelle posizioni

x 0 = 20,0 m e x 1 = 0 m.

Sostituendo questi termini nella definizione di coefficiente angolare ottieni:

v = x 1 x 0 t 1 t 0 = 0 20, 0 ( ) m 5, 00 0 ( ) s = 4 , 00 m/s

● Che cosa devi notare

Il fatto che si ottenga una velocità negativa non deve sorprendere: infatti, sempre guardando il grafico, si nota che il corpo sta tornando verso l’origine

Sostituendo questi dati nella legge oraria del moto rettilineo uniforme si ottiene:

x(t) = 20,0 4,00 t dove tutte le unità sono espresse nel SI.

60 Dal test CISIA per le Facoltà Scientifiche del 2008

Due pedoni si muovono uno verso l’altro lungo un tratto di marciapiede rettilineo. Il primo ha velocità di 2 m/s, il secondo di 3 m/s. Dopo quanto tempo le due persone si incontrano?

A 15 s

B 5 s

C 30 s D Non è possibile determinarlo.

61 GRAFICI Scrivi la legge oraria di un moto il cui diagramma orario è rappresentato in basso.

62 GRAFICI Scrivi la legge oraria del moto del corpo A rappresentata nella figura di seguito. Il corpo B si muove secondo la legge oraria xB(t) = 1,5 t 2, dove t è espresso in secondi e xB in metri. Dopo aver tracciato sul diagramma la legge oraria di B, determina se i due corpi si scontrano. In caso affermativo trova, sia per via grafica sia per via analitica, il punto di incontro e l’istante di tempo in cui questo avviene.

63 Dal test CISIA per le Facoltà Scientifiche del 2009 Due pedoni si muovono lungo un tratto di marciapiede rettilineo, partendo allo stesso istante dallo stesso punto. Il primo ha velocità di 2 m/s, il secondo di 3 m/s. Dopo 100 s, quanto distano uno dall’altro? A 15 m B 5 m C 30 m D 100 m

64 Dopo aver percorso 2,5 km al trotto, un cavallo parte al galoppo tenendo una velocità media di 43 km/h per mezz’ora. Determina lo spostamento totale compiuto dal cavallo. [24 km]

65 Due telecamere registrano il passaggio di un falco che sta volando con un moto rettilineo uniforme. La velocità del falco è 160 km/h, la prima telecamera è posta in x = 4,80 m e il falco impiega 12,0 s a percorrere la distanza fra le due telecamere. Determina la posizione in cui si trova la seconda telecamera.

[538 m]

66 Quando un carrello in moto lungo una rotaia rettilinea si trova nel punto di coordinata x0 = 1,54 m, la sua velocità si attesta sul valore di 2,52 m/s che mantiene inalterato fino a tagliare il traguardo posto in x = 2,37 m. Determina quanto tempo ha impiegato il carrello per passare dalla coordinata x0 alla coordinata x

[0,329 s]

67 GRAFICI Determina gli spazi percorsi tra 0 s e 6 s dai corpi A e B i cui diagrammi velocità-tempo sono riportati nel grafico in figura. Se i due corpi partono dallo stesso punto, quanto vale la distanza finale tra A e B?

(m/s)

68 Un corpo si muove con una velocità costante pari a 5,00 m/s partendo dal punto di coordinata 2,00 m di un asse cartesiano x. Scrivi la legge oraria del moto, traccia il suo diagramma orario e calcola lo spazio percorso tra gli istanti t1 = 1,00 s e t2 = 1,20 s. [x(t) = 2,00 + 5,00 ∙ t, ∆x = 1,00 m]

69 Un corpo, muovendosi con una velocità costante, percorre 15,0 m nel verso positivo dell’asse x in un tempo di 20,0 s. Successivamente la sua velocità passa, in un tempo trascurabile, a 2,00 m/s e il corpo si muove di moto rettilineo uniforme per un tempo di 0,500 s. Calcola la velocità media del corpo e disegna i grafici velocità-tempo e spazio-tempo.

[0,683 m/s]

70 In tabella sono riportate le misure di posizione (in metri) e tempo (in secondi) di un moto rettilineo uniforme.

x (m) 10 14 30

t (s) 10 15 35

a. Traccia il diagramma orario del moto.

b. Scrivi la legge oraria del moto.

c. Determina in quale posizione si trova dopo 2 minuti.

d. Trasforma la velocità in km/h.

[x = 0,8 t + 2; 98 m; 2,9 km/h]

71 Una motociclista passa davanti a una macchina della polizia alla velocità di 144 km/h. Dopo 5,00 s la polizia parte all’inseguimento. Con quale velocità deve viaggiare per raggiungere la motociclista in 45,0 s di inseguimento, se quest’ultima mantiene la sua velocità costante? [160 km/h]

72 Dalle Olimpiadi di Fisica del 2006

Un automobilista frettoloso percorre una strada stretta sulla quale è imposto il limite di velocità a 70 km/h. Quando vede un tratto rettilineo di circa 2 km, l’automobilista aumenta la velocità fino a 100 km/h, correndo un grave rischio. Se il suo viaggio richiede complessivamente 38 minuti, quant’è – in percentuale –il tempo guadagnato dall’automobilista con questa manovra? [1,4%]

73 Un delfino mantiene la velocità di 10,0 m/s per 7,00 s, poi riduce la sua velocità dell’80% mantenendola per 60,0 s, e successivamente la riduce ulteriormente del 40%, mantenendola per 10 min. Supponendo che il delfino nuoti in linea retta, calcola lo spazio percorso in 30,0 s, in 90,0 s.

[116 m, 218 m]

74 Nel primo tratto di una corsa Licia percorre 360 m in 72,0 s. Successivamente continua a correre mantenendo una velocità costante di 8,00 m/s. Al termine della corsa la velocità media complessiva di Licia è 7,00 m/s. Quanto è durata in tutto la corsa e quanta strada ha fatto Licia?

[216 s; 1512 m]

75 Le auto A e B viaggiano di moto uniforme lungo due strade rettilinee che formano un angolo retto tra loro. Le auto sono passate nello stesso istante dall’incrocio delle due strade, dove una scavalca l’altra, con le velocità vA = 90 km/h e vB = 108 km/h. Calcola a quale distanza si trovano in linea d’aria, dopo 15 min. [35,1 km]

76 Un treno percorre una tratta di 150 km mantenendo una velocità costante pari a 200 km/h. Determina di quanto aumenterebbe percentualmente il tempo di percorrenza del treno se mantenesse una velocità costante:

a. inferiore del 25%; b. maggiore del 25%.

[33,3%; 20,0%]

77 GRAFICI COMMENTATO Due amici fanno una gara. Qui sotto è rappresentato il diagramma orario dei loro moti rettilinei.

Rispondi alle seguenti domande:

a. Quali sono le velocità di A e di B?

b. Quanti metri di vantaggio ha B su A al momento della partenza?

c. Dopo quanti secondi A sorpassa B?

d. Scrivi la legge oraria di A e di B

e. Quanto tempo impiega A per arrivare al traguardo?

f. Quanto tempo impiega B per arrivare al traguardo?

[vA = 4 m/s; vB = 2 m/s; 20 m; 10 s; xA = 4 t; xB = 2 t + 20; 15 s; 20 s]

78 Un carrello si muove di moto rettilineo uniforme con una velocità di 3,4 km/h, partendo a una distanza di 5,0 m dalla fine del binario. Dopo quanto tempo raggiungerà la fine del binario? Disegna il grafico x-t del moto del carrello. [5,3 s]

79 Una tennista colpisce con la racchetta una pallina da tennis. A seguito del colpo, la pallina inizia a muoversi di moto rettilineo uniforme. Se la pallina impiega 0,410 s a raggiungere la rete posta a 11,0 m di distanza, quanto tempo impiega complessivamente a raggiungere un muro posto 16,0 m dietro la rete?

[1,01 s]

80 Piero e Luca fanno jogging insieme. Piero lascia che Luca parta 6,0 m più avanti. Piero corre a una velocità costante di 4,0 m/s e Luca di 3,0 m/s. Ricava matematicamente e graficamente in quale istante e in quale posizione Piero raggiunge Luca. [6,0 s; 24 m]

81 Due motociclisti si muovono di moto rettilineo uniforme con velocità di 73 km/h e 52 km/h. Il secondo motociclista parte con un vantaggio di 20 km. Dopo quanto tempo il primo motociclista raggiunge il secondo? [57 min]

82 Giulio e Marco fanno una gita in bicicletta. Giulio si muove a una velocità costante di 6,0 m/s. Marco parte 10 m più avanti e si muove a una velocità di 5,0 m/s.

a. Scrivi le leggi orarie dei due moti.

b. Completa la tabella oraria relativa ai due moti.

t (s) xGiulio (m) xMarco (m)

c. Rappresenta sullo stesso grafico x-t le due leggi orarie e stabilisci quando e dove Giulio raggiungerà Marco.

[xGiulio(t) = 6 t ; xMarco(t) = 5 t + 10; 10 s; 60 m]

83 Due slitte A e B si trovano a distanza di 2,0 km e viaggiano di moto rettilineo in direzioni opposte con velocità costante in valore assoluto vA = 50 km/h e vB = 20 m/s. Supponendo che B abbia coordinata x0B = 0 al tempo t = 0, dopo quanto tempo e in che punto le due slitte si incontreranno? [58 s; 1,2 km]

84 Due treni della metropolitana viaggiano con velocità costanti e uguali in valore assoluto, in versi opposti su due binari paralleli. Se partono da due stazioni che distano 790 m e si incrociano dopo un tempo di 78 s, a quale velocità stanno viaggiando i due treni? [5,1 m/s]

85 Due canoe partono dal punto di noleggio in due istanti diversi e viaggiano lungo un fiume. Le posizioni occupate dalle due canoe sono indicate in tabella. Traccia i diagrammi orari dei due moti e trova il tempo dopo il quale la seconda canoa raggiunge la prima.

Problemi di riepilogo

86 Sara si trova a 150 m da una fontana e, pedalando in linea retta a velocità costante, la raggiunge in 25 s. Scrivi la legge oraria del moto di Sara. Se prosegue con lo stesso moto, a che distanza dalla fontana si troverà dopo un minuto e mezzo?

[x = (−150 m) + (6,0 m/s) t; 540 m]

87 GRAFICI Il seguente grafico rappresenta il moto di un muletto che sposta dei bancali in un magazzino, descritto rispetto al punto in cui il muletto viene caricato.

Leggi la risoluzione per passi degli Esercizi commentati

93 Durante un giro in bici, Viola percorre 3,5 km a 14 km/h e poi pedala per 20 min a 18 km/h. Calcola la durata del giro in bici e la velocità media sull’intero tragitto. [0,58 h; 16 km/h]

94 Un tir entra in autostrada al kilometro 25,0 e dopo 1,00 h e 15,0 min è al kilometro 172. Calcola la velocità media e scrivi la legge oraria del tir lungo questo tratto. [32,7 m/s; x = (25,0 103 m) + (32,7 m/s) t]

95 Un treno percorre un primo tratto di 55,0 km in 65,0 min, poi uno di 120 km in 55,0 min e infine uno di 30,0 km in 30,0 min. Calcola la velocità media in ciascun tratto e la velocità media sull’intero tragitto.

[50,9 km/h; 131 km/h; 60,0 km/h; 82 km/h]

96 GRAFICI Il seguente grafico rappresenta il diagramma orario del moto di un punto materiale.

Completa la tabella con i dati presenti nel grafico. t (min)

x (m)

88 Nel 2027 in Giappone entrerà in servizio un treno a levitazione magnetica che collegherà le città di Tokyo e Nagoya in soli 40,0 min. Sapendo che il percorso è lungo 351 km, determina la velocità media del treno ed esprimila in km/h. [526 km/h]

89 Vittorio ha annotato nella seguente tabella le sue posizioni durante un giro in bici rispetto alla partenza da casa. Determina la velocità media sui singoli tratti e quella sull’intero percorso.

t (min) 0 8,00 20,0 25,0 35,0 47,0 60,0 x (km) 0 1,40 4,40 5,90 7,90 12,1 15,9

[vm1 = 2,92 m/s; vm2 = 4,17 m/s; vm3 = 5,00 m/s; vm4 = 3,33 m/s; vm5 = 5,83 m/s; vm6 = 4,87 m/s; vm = 4,42 m/s]

90 Un automobilista entra in autostrada alle 7:45:00 al kilometro 25,0. Sapendo che il limite massimo di velocità è di 130 km/h, stabilisci se l’automobilista, rispettando i limiti di velocità, può uscire al kilometro 130 entro le 8:30:00. [no]

91 Durante un allenamento, Marco corre per 3,00 km a 9,00 km/h, per 2,00 km a 12,0 km/h e per 2,00 km a 11,0 km/h. Quanto tempo dura la corsa? Qual è la velocità media sull’intero percorso? [0,682 h; 10,3 km/h]

92 Un furgone percorre 65,0 km a 120 km/h e poi viaggia per 25,0 min a 45,0 km/h. Calcola la distanza totale percorsa e la velocità media sull’intero tragitto. [83,8 km; 87,4 km/h]

Determina:

a. gli intervalli di tempo in cui il punto è fermo e quelli in cui la velocità è massima in valore assoluto; b. la velocità media sull’intero percorso.

[a) [3s; 4s]; [6 s; 8 s]; [4s; 6 s]; b) 0,8 m/s]

97 Un insetto si muove lungo una direzione compiendo il seguente moto. Si allontana dal punto di partenza per 3,0 s con una velocità costante di 1,0 m/s. Poi inverte la direzione del moto e procede per 2,0 s con una velocità costante in valore assoluto uguale a 0,75 m/s. Infine, inverte di nuovo la direzione del moto e procede a velocità costante per 3,0 s, fino a quando la sua posizione rispetto al punto di partenza è uguale a 7,0 m. Disegna il diagramma orario del moto dell’insetto e calcola la velocità media sull’intero percorso. [0,88 m/s]

98 Un punto materiale si muove con la legge oraria x = (2,0 m) + (3,0 m/s) t. Completa la seguente tabella con le posizioni occupate dal punto materiale negli istanti indicati e disegna la legge oraria del moto.

t (s)

s (m)

99 William e Giovanni corrono lungo una pista di atletica rettilinea in direzioni opposte e inizialmente si trovano a 150 m di distanza l’uno dall’altro. William corre a 12,0 km/h, mentre Giovanni corre a 10,0 km/h. Scrivi le leggi orarie del moto dei due ragazzi. [xW = (3,33 m/s) t; xG = (150 m) + (−2,78 m/s) t; 24,5 s]

100 Per tornare a casa dalla palestra, Diego percorre con il suo scooter un tratto rettilineo che inizia a una distanza di 350 m dalla palestra e finisce quando il ragazzo ha raggiunto la sua abitazione. Diego percorre il tratto rettilineo in 6,00 min e 45,0 s viaggiando con una velocità costante di 40,0 km/h. Scrivi la legge oraria del moto di Diego e calcola la distanza tra la palestra e la casa di Diego. [x = (11,1 m/s) t; 4,85 ⋅ 103 m]

101 Durante una gara ciclistica, nell’ultimo rettilineo, il ciclista al comando ha un vantaggio di 600 m sul gruppo che insegue. Quando si trova a 1,90 km dal traguardo, un secondo ciclista si stacca dal gruppo e prova a raggiungerlo pedalando a una velocità costante di 40,0 km/h. Determina la velocità minima al di sotto della quale il ciclista al comando non deve scendere se vuole vincere la gara. [8,44 m/s]

102 GRAFICI Il seguente grafico rappresenta il diagramma orario di un’auto che viaggia in autostrada. Determina la velocità a cui viaggia l’auto. Sullo stesso grafico disegna il diagramma orario di una seconda auto che all’istante iniziale è dietro alla prima di 3,0 km e, viaggiando a velocità costante, la raggiunge dopo 10 min. Scrivi la legge oraria della seconda automobile.

104 Dopo essersi salutati, Lorella e Asia si allontanano in direzioni opposte, Lorella in bici e Asia in monopattino. Se Lorella pedala a una velocità costante di 15,0 km/h e Asia si muove col monopattino a una velocità costante di 12,0 km/h, determina l’istante in cui le due ragazze distano 2,50 km. A che distanza si trovano dopo 7,00 min dalla partenza? [333 s; 3,15 km]

105 GRAFICI Il grafico seguente rappresenta la legge oraria di un moto.

103 GRAFICI Il seguente grafico rappresenta il diagramma orario di due persone che camminano su un marciapiede in direzione opposta. Scrivi la legge oraria del loro moto e calcola l’istante di tempo in cui si incrociano.

a. Riporta sugli assi le unità di misura nel SI.

b. Individua sul grafico i tratti in cui il corpo si sta allontanando dall’origine e quelli in cui si sta avvicinando.

c. In quali istanti la velocità è nulla? [1 s; 3 s]

106 Calcola la velocità media di un corpo che si muove per un tratto di 5,00 m alla velocità di 1,25 m/s e per un tratto di 3,00 m alla velocità di 3,75 m/s. Disegna poi il diagramma orario. [1,67 m/s]

107 GRAFICI Il grafico rappresenta la legge oraria di un corpo.

a. Riporta sugli assi le unità di misura nel SI.

b. Leggendo il grafico completa la seguente tabella oraria. t (s) x (m) t (

) x (m)

108 GRAFICI In figura è rappresentato il diagramma orario del moto di un corpo. Calcola le velocità medie del corpo negli intervalli di tempo [0 s; 2,0 s], [2,0 s; 3,0 s], [3,0 s; 6,0 s], [6,0 s; 8,0 s].

(s)

[0 m/s; 2,0 m/s; 0 m/s; 2,0 m/s]

109 GRAFICI Un corpo compie un moto unidimensionale il cui diagramma orario è riportato in figura. Determina la velocità media del corpo negli intervalli di tempo [0 s; 2,0 s], [2,0 s; 3,0 s], [3,0 s; 4,0 s], [0 s; 4,0 s].

113 Il limite di velocità in autostrada è di 130 km/h. Per determinare la velocità media di percorrenza tra due caselli, l’orario di ingresso viene stampato sul biglietto di entrata. Al casello di uscita si rileva l’orario e si determina il tempo di percorrenza.

a. Un automobilista entra in autostrada alle ore 13:00 e deve uscire a un casello distante 180 km. Dopo 40 min si accorge di aver percorso 50 km. Qual è stata la sua velocità media in questo tratto?

b. Se la velocità media mantenuta sull’intero percorso è 90 km/h, in quanto tempo l’automobilista ha percorso il secondo tratto di strada? Ha rispettato i limiti di velocità nel secondo tratto? [75 km/h; 80 min; sì]

114 Un carrello posto su una rotaia compie uno spostamento pari a (3,27 ± 0,08) m in un intervallo di tempo (1,53 ± 0,02) s. Calcola la misura della velocità media del carrello.

[(2,14 ± 0,08) m/s]

115 Un corpo si muove per un certo intervallo di tempo mantenendo una velocità media di 15,0 m/s. Nel tratto successivo la sua velocità passa a 2,00 m/s e rimane costante per altri 5,00 s. Sapendo che la velocità media del corpo calcolata su tutti i tratti è 10,0 m/s, calcola il primo intervallo di tempo. [12,0 s]

t (s)

[1,0 m/s; 3,0 m/s; 2,0 m/s; 0,75 m/s]

110 Un’automobile viaggia a 80 km/h per un’ora e mezza e successivamente a 120 km/h per 30 minuti. Determina:

a. quanto è durato il viaggio; b. quale distanza ha percorso; c. qual è stata la velocità media.

[2 h; 180 km; 90 km/h]

111 Due corpi si muovono seguendo le leggi orarie in unità del SI: xA(t) = 30 t xB(t) = 75 + 20 t

Determina l’istante e la posizione in cui i due corpi si incontrano. [7,50 s; 225 m]

112 Osserva il grafico e ricava la velocità del corpo in ogni tratto. Poi calcola la velocità media del corpo. Disegna il grafico v-t e ricava graficamente lo spazio totale percorso. t (s)

x (m)

[2,8 m/s; 8 m/s; 4,0 m/s]

116 COMMENTATO In una corsa di 3000 metri piani un atleta, a causa di una penalità, parte con un ritardo di 25,0 s rispetto agli altri concorrenti. Se gli altri atleti che partecipano alla gara mantengono una velocità costante di 6,00 m/s, qual è la velocità minima con cui deve correre l’atleta penalizzato per vincere la gara?

[6,32 m/s]

117 Una macchinina giocattolo percorre il primo tratto di una pista con una velocità media pari a 2,00 m/s e il secondo tratto con una velocità media di 6,00 m/s. Complessivamente la macchinina percorre 180 m con una velocità media pari a 3,60 m/s. Determina la lunghezza di ciascuno dei due tratti e l’intervallo di tempo che la macchinina impiega a percorrerli.

[30,0 s; 20,0 s; 60 m; 120 m]

118 Elisa e Laura stanno correndo a velocità costante lungo una strada rettilinea. Rispetto all’inizio della strada, Elisa si trova a 280 m dopo 20,0 s e a 320 m dopo 30,0 s. Laura, invece, rispetto all’inizio della strada si trova a 160 m dopo 10,0 s e a 250 m dopo 25,0 s.

a. Scrivi le leggi orarie xE(t) e xL(t) di Elisa e Laura.

b. Determina, se esistono, l’istante di tempo e la posizione in cui si incontrano.

[xE(t) = 200 + 4 t; xL(t) = 100 + 6 t; 50 s; 400 m]

119 In una gara ciclistica un gruppo di corridori viaggia alla velocità di 60,0 km/h. A un certo punto un corridore del gruppo fora e perde 45,0 s per cambiare bicicletta. Con quale velocità dovrà riprendere a viaggiare per raggiungere il gruppo in 5,00 km? E per raggiungerlo in 3,00 km?

[70,6 km/h; 80,0 km/h]

120 COMMENTATO Due tir affiancati percorrono due corsie parallele dell’autostrada, il primo alla velocità di 30 m/s, il secondo alla velocità di 100 km/h. Se il conducente di uno dei due automezzi vede l’altro passargli completamente davanti in 8,0 s, quanto è lungo il tir più veloce?

[18 m]

121 Due treni che viaggiano a 90,0 km/h e 60,0 km/h si trovano a viaggiare in verso opposto su binari paralleli. Se la loro distanza iniziale è pari a 9,00 km dopo quanto tempo si incrociano?

[3 min 36 s]

122 GRAFICI In una rivista epidemiologica hai visto un grafico che illustra la progressione mensile dei casi di ebola quando, nel 2014, scoppiò l’epidemia. Fai una stima approssimativa della velocità media di propagazione della malattia, esprimendola in numero di casi al giorno, nel periodo che va dal 1° aprile 2014 al 15 agosto 2014.

124 GRAFICI Il grafico in basso rappresenta la legge oraria del moto di un corpo:

a. traccia il grafico velocità-tempo del moto;

b. determina per via grafica le velocità massime e minime del moto e gli istanti di tempo in cui vengono raggiunte tali velocità;

c. determina la velocità media tenuta dal corpo tra gli istanti t1 = 1,0 s e t2 = 2,5 s;

d. determina la velocità media complessiva tenuta dal corpo.

apr

[circa 13 casi al giorno]

123 Un treno parte dalla stazione A alle ore 12:00 e deve arrivare alla stazione B che si trova a una distanza di 150 km da A alle ore 13:15.

a. Con che velocità deve viaggiare il treno per mantenere una velocità costante?

Dopo aver percorso a tale velocità un tratto di 90,0 km, il macchinista è costretto, per via di lavori in corso, a dimezzare la velocità del treno per un tratto di 10,0 km.

b. Con quale velocità dovrà fare il resto del viaggio per arrivare in orario alla stazione B?

[120 km/h; 150 km/h]

[4,0 m/s; 2,0 m/s;

125 INGLESE Dal Physics Aptitude Test (PAT) del 2008

The graph below shows tide heights at Wadebridge on July 7th, 2008. At what time in the morning (to the nearest hour) is the tide height changing most rapidly? What is the rate of change in cm per minute at this time?

marea

altezza

velocità di variazione, tasso di cambiamento cm al minuto (cm/min)

Translate the terms: tide: height: rate of change: cm per minute: [at 7:00; 3.33 cm/min]

126 Un autotreno che si muove alla velocità di 72,0 km/h esce completamente dalla galleria di Baregg in Svizzera, lunga 1390 m, dopo 70 secondi e mezzo dall’ingresso in galleria. Qual è la lunghezza dell’autotreno? [20,0 m]

127 OSSERVA E RISPONDI Osservando i disegni seguenti, che rappresentano la posizione di tre nuotatori in due diversi istanti di tempo, stabilisci qual è l’ordine di arrivo dei nuotatori assumendo che il loro moto sia rettilineo uniforme.

Suggerimento Dal confronto dei disegni puoi disegnare il diagramma orario.

128 Catia deve partire da Bolzano e andare a Berlino a una conferenza. Ha calcolato che, per arrivare in tempo, deve guidare mantenendo una velocità media di 100 km/h. Un colpo di sonno però la costringe a fermarsi e nel primo quarto del tragitto la velocità media è di soli 80,0 km/h. Per arrivare in tempo alla conferenza quale velocità media deve mantenere Catia nella parte restante del viaggio? [109 km/h]

129 Armando e Mario vivono a 3,0 km di distanza e vanno a giocare basket in un campo che si trova sulla strada tra le loro due case. Armando va in bicicletta con una velocità media di 10 km/h. Mario vive più lontano e usa lo scooter, con una velocità di 20 km/h. Entrambi escono di casa alle 9:00 e arrivano al campo nello stesso istante.

a. Qual è l’ora di arrivo?

b. Quale distanza ha percorso ciascuno dei due? [9:06; 1,0 km; 2,0 km]

130 GRAFICI La legge oraria di un punto in moto è rappresentata dal seguente grafico. Quanto vale la velocità istantanea negli istanti t = 1 h, t = 2 h e t = 4 h? Qual è la velocità media tra gli istanti t = 2 h e t = 4 h?

131 Durante un allenamento, un pilota di Formula 1 effettua per tre volte lo stesso percorso. La prima volta tiene una velocità media di 180 km/h, la seconda volta la velocità media è 70,0 m/s. La terza volta il pilota impiega un tempo pari alla media aritmetica dei tempi impiegati le prime due volte. Qual è la velocità media tenuta per effettuare il percorso la terza volta? [210 km/h]

132 Un punto si muove di moto rettilineo dall’estremo A all’estremo B di un segmento. Nel primo tratto del segmento, di lunghezza x1, il punto mantiene una velocità media v1 Nel tratto restante, di lunghezza x2, la velocità media è v2 Esprimi quanto vale il rapporto tra x1 e x2 se la velocità media sull’intero percorso è uguale alla media geometrica di v1 e v2

[3 km/h; 0; 1 km/h; 0,5 km/h]

Suggerimento La media geometrica di n termini è uguale alla radice n-esima del prodotto degli n termini.

133 Il suono si propaga in aria alla velocità di circa 330 m/s. In una gara di 100 metri piani il segnale di partenza viene erroneamente dato dal punto di arrivo anziché dal punto di partenza. Un atleta che partecipa alla gara segna il tempo di 10,70 s.

a. Quanto tempo ha effettivamente impiegato nella corsa?

b. Qual è stata la sua reale velocità media?

c. Come classificheresti il tipo di errore di misura che viene commesso?

[10,4 s; 9,62 m/s; errore sistematico]

134 Usain Bolt, nei giochi olimpici di Rio del 2016, ha vinto la semifinale dei 200 m piani con un tempo di 19 secondi e 78 centesimi, compiendo l’intera corsa in soli 41 passi. Il secondo arrivato, André De Grasse, ha tagliato il traguardo con un tempo di 20 secondi e 2 centesimi e ha compiuto 50 passi. Assumi che i due atleti abbiano mantenuto costante la loro velocità durante la corsa.

a. Quanti metri avrebbe percorso Bolt se avesse fatto 50 passi?

b. A quale distanza dal traguardo si trovava De Grasse quando Bolt ha terminato la corsa?

[244 m; 2,40 m]

135 Martino e Sandra vivono a 9,00 km di distanza l’uno dall’altra. Oggi devono incontrarsi in un punto a 3,00 km di distanza da casa di Martino e a 6,00 km da casa di Sandra. Martino decide di muoversi a piedi (v1 = 1,10 m/s) e parte da casa alle 12:00. Sandra preferisce andare in bici (v2 = 4,35 m/s) ed esce di casa alle 12:08, impiegando 120 s per raggiungere il luogo in cui ha lasciato la bicicletta. I due riusciranno a raggiungere il luogo dell’appuntamento contemporaneamente? Nel caso ciò non avvenga, quanto dovrà aspettare la persona che arriva per prima?

[no; 748 s]

136 In un laboratorio della NASA si stanno testando due modelli di rover da usare su Marte. Uno dei due veicoli si muove di moto rettilineo alla velocità costante di 90 m/h. L’altro si muove di moto rettilineo con velocità costante lungo la stessa direzione e si trova inizialmente a una distanza di 20 m dal primo. Dopo 20 minuti i due veicoli distano 10 m. Esprimi, in m/s, le possibili velocità con cui può muoversi il secondo veicolo.

[0,017 m/s; 0; 0,033 m/s; 0,050 m/s]

Suggerimento Assumi che il primo veicolo si muova sempre nel verso positivo di un asse x. Considera quattro possibili casi che dipendono dalla posizione iniziale dei due rover.

137 Ada compie un’escursione panoramica in quad. Percorre metà della strada per metà del tempo a una velocità media di 30 km/h e per l’altra metà del tempo a una velocità di 20 km/h. Poi, stanca del panorama, percorre la seconda metà della strada a 50 km/h. Qual è la velocità media calcolata sull’intero percorso?

[33 km/h]

138 Giada ha percorso un tragitto lungo 220 km in due giorni differenti. Il primo giorno ha viaggiato a una velocità media di 110 km/h. Con quale velocità media ha viaggiato il secondo giorno se ha impiegato 18,0 minuti in meno rispetto al primo giorno? Esprimi il risultato in km/h.

[129 km/h]

139 Il grafico rappresenta la velocità in funzione del tempo di un corpo che parte dall’origine del sistema di riferimento. Calcola la velocità media tra gli istanti t = 0 s e t = 5,0 s e tra gli istanti

t = 5,0 s e t = 9,0 s. Determina la velocità media tra l’istante iniziale e l’istante finale e ricava lo spazio percorso tra gli istanti

t = 2,0 s e t = 5,0 s.

DAL TESTO AL RISULTATO

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140 Durante una gara ciclistica un gruppo di corridori, che si snoda su 900 m del percorso, pedala alla velocità costante di 40,0 km/h. Quanto tempo impiega l’ammiraglia, che si muove alla velocità di 60,0 km/h, ad arrivare alla testa del gruppo partendo dalla coda? Quanto tempo impiega una moto dell’organizzazione, che si muove alla stessa velocità dell’ammiraglia, a tornare indietro dalla testa alla coda del gruppo per prestare assistenza a un ciclista in difficoltà?

● Dal testo ai dati

In giallo sono evidenziati i dati espliciti, in azzurro i dati impliciti, in verde le incognite.

● d = 900 m è la distanza tra il primo e l’ultimo ciclista;

● vC = 40,0 km/h è la velocità costante del gruppo;

● vA = 60,0 km/h è la velocità dell’ammiraglia A;

● la moto M dell’organizzazione ha in modulo la stessa velocità dell’ammiraglia, ma verso opposto (tornare indietro): vM = 60,0 km/h;

● il tempo t impiegato da A per andare avanti, dalla coda alla testa del gruppo;

● il tempo T impiegato dalla moto per andare indietro, dalla testa alla coda del gruppo.

● Dai dati alle leggi

Da quando l’ammiraglia parte a quando raggiunge la testa della gara, il primo ciclista avanza, a velocità costante, di s nel tempo t. Quindi per il primo ciclista utilizziamo la legge oraria del moto rettilineo uniforme: s = vC t

L’ammiraglia deve percorrere, nel tempo t, uno spazio pari a s + d. Quindi la sua legge oraria è: s + d = vA t

Dalle due relazioni precedenti segue: t = d v A v C

Nel tempo T in cui la moto torna indietro, la coda (l’ultimo ciclista del gruppo) sarà avanzata di s ʹ

Quindi la legge oraria per la coda è

s ʹ = vA T

mentre per la moto è:

s ʹ d = vM T

Dalle due relazioni precedenti segue:

T = d v C v M

● Dalle leggi al risultato

Se sostituiamo i dati numerici nelle due formule trovate per t e T, otteniamo:

t = 162 s

T = 32,4 s

[1,0 m/s; 1,3 m/s;

141 GRAFICI Il grafico in basso rappresenta la legge oraria del moto di un corpo:

a. traccia il grafico velocità-tempo;

b. determina le velocità massime e minime del moto e gli intervalli di tempo in cui vengono raggiunte tali velocità;

c. determina la velocità media tenuta dal corpo tra gli istanti t1 = 1,0 s e t2 = 2,5 s;

d. calcola la velocità media complessiva tenuta dal corpo.

(m)

[1,5 m/s; 2,0 m/s; 1,3 m/s; 0,25 m/s]

142 GRAFICI Il grafico in basso rappresenta la legge oraria del moto di un corpo:

a. traccia qualitativamente il grafico velocità-tempo;

b. determina per via grafica le velocità massime e minime del moto e gli istanti di tempo in cui vengono raggiunte tali velocità;

c. determina la velocità media tenuta dal corpo tra gli istanti t1 = 1,0 s e t2 = 2,5 s;

d. determina la velocità media complessiva tenuta dal corpo.

144 Due autotreni entrano in autostrada da due caselli distanti 500 km e si muovono in direzioni opposte. L’autotreno A procede a una velocità di 50 km/h e il conducente dopo due ore di guida si ferma un’ora per riposare. L’autotreno B, che è entrato in autostrada 30 minuti dopo l’autotreno A, procede a una velocità di 100 km/h. Determina dopo quanto tempo si incontrano e a quale distanza dal casello di ingresso dell’autotreno A [4,0 h; 150 km]

145 Leonardo sta facendo un allenamento di velocità in bicicletta. La prima volta percorre la pista con 60 pedalate al minuto, al ritorno effettua 40 pedalate al minuto. Ripercorre la pista una seconda volta con 30 pedalate al minuto e torna indietro con 25 pedalate al minuto. L’allenamento è durato 15 minuti.

a. Quante “pedalate” è lunga la pista?

b. Quante pedalate al minuto vengono effettuate in media? [130 pedalate; 35 pedalate al minuto]

[2,0 m/s; 1,0 m/s; 1,0 m/s; 0,60 m/s]

143 Da un magazzino di Napoli un camion parte verso Bologna per consegnare delle cassette di limoni. Il camionista effettua il viaggio di andata alla velocità media di 80 km/h. In seguito si ferma per scaricare ed effettua il viaggio di ritorno (sempre rispettando i limiti di velocità) con una velocità media di 120 km/h. La velocità media sull’intero viaggio è di 15 km/h. Stabilisci quanto vale il rapporto tra il tempo impiegato per scaricare la merce e il tempo totale di viaggio.

[27/32]

146 Ester fa una passeggiata a cavallo tenendo una velocità media di 20 km/h nei tratti in terra battuta e una velocità media di 8,0 km/h nei tratti ghiaiosi. Sapendo che la lunghezza totale della strada è 18 km, se Ester termina il percorso in un’ora qual è il rapporto tra la lunghezza totale dei tratti in terra battuta e quella dei tratti ghiaiosi? [25/2]

147 GRAFICI In figura è rappresentato il diagramma orario di un corpo. Determina graficamente a quale istante di tempo la velocità istantanea è uguale alla velocità media del corpo tra gli istanti 0 s e 4,0 s.

[2,0 s]

148 Un museo ferroviario ospita un plastico in cui due trenini elettrici corrono lungo un tracciato chiuso a doppio binario e un dispositivo consente di invertire il senso di marcia. Supponi che ciascun trenino possa muoversi con velocità di modulo costante. Se quando i treni procedono nello stesso verso il tempo che intercorre tra un incontro e quello successivo è 15 volte maggiore del tempo che intercorre quando procedono in senso opposto, qual è il rapporto tra la velocità del trenino più veloce e quella del trenino più lento? [8/7]

ECCELLENZA

OCCHIO ALL’ERRORE!

● In generale, la velocità media di un corpo che percorre diversi tratti con velocità diverse, non è la media delle velocità del corpo in ciascun tratto. esercizi 42, 43, 91, 95

● Dal diagramma orario puoi ricavare tutte le informazioni sul moto di un corpo. Il coefficiente angolare della retta secante il diagramma in due istanti di tempo è pari alla velocità media, mentre il coefficiente angolare della retta tangente è pari alla velocità istantanea. Entrambe le velocità sono negative quando il corpo si muove verso l’origine del sistema di riferimento. esercizi 47, 105, 108, 109

PREPARATI ALL’ORALE

Esponi gli argomenti sviluppando i punti suggeriti nella scaletta data

1 Discuti la legge oraria e il moto dei corpi.

Per esporre l’argomento:

● introduci il concetto di sistema di riferimento e definisci la legge oraria descrivendo il suo significato;

● definisci la traiettoria di un moto e descrivi la differenza tra traiettoria e legge oraria;

● dai la definizione di diagramma orario e illustra, con un esempio, in che modo dalla lettura del diagramma orario si possano ricavare informazioni sul moto di un corpo.

2 Discuti la definizione di velocità media.

Per esporre l’argomento:

● spiega il motivo per cui si introduce la velocità media;

● dai la definizione di velocità media e scrivi la sua espressione matematica esponendo il significato di tutte le grandezze che compaiono;

● illustra, con un esempio, in che modo si può ricavare l’interpretazione grafica della velocità media su un diagramma orario.

3 Spiega il significato di velocità istantanea.

Per esporre l’argomento:

● soffermati sul motivo per cui è necessario definire la velocità istantanea e, in particolare, sul fatto che sia impossibile calcolare la velocità media in un istante;

● sviluppa i passaggi che portano alla definizione di velocità istantanea e, dopo aver ricavato la definizione, presenta un esempio numerico;

● illustra, con un esempio, in che modo si può interpretare la velocità istantanea su un diagramma orario.

4 Discuti il moto rettilineo uniforme.

Per esporre l’argomento:

● dai la definizione di moto rettilineo uniforme;

● descrivi la differenza che intercorre tra velocità istantanea e velocità media nel caso di moto rettilineo uniforme;

● scrivi l’espressione generale per la legge oraria del moto rettilineo uniforme, indicando il significato fisico di tutte le quantità che introduci;

● partendo dalla legge oraria, ricava il diagramma orario del moto rettilineo uniforme;

● spiega come vanno interpretate sul diagramma orario tutte le quantità che compaiono nella legge oraria;

● illustra il diagramma velocità-tempo del moto rettilineo uniforme e spiega come si interpreta sul diagramma lo spostamento compiuto da un corpo.