Kis Márta: Gazdasági matematika I. Analízis by Edutus Főiskola

KIS MÁRTA

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

ANALÍZIS OKTATÁSI SEGÉDANYAG

BUDAPEST, 2009.

Szerző: KIS MÁRTA

Lektorálta: KOVÁCS GERGELY BRUNNER ZSUZSANNA NAGYNÉ CSÓTI BEÁTA

ISBN 978 963 87306 3 3

Harmadik javított és bővített kiadás Minden jog fenntartva. A jegyzet egészének vagy részének újranyomtatása, másolása, bármilyen formában történő újraelőállítása akár mechanikus úton, illetve egyéb módon, beleértve minden információtárolási és hozzáférési rendszert is, a szerzők valamint a kiadó írásbeli engedélye nélkül tilos és büntetőjogi felelősségre vonással járhat.

Budapest, 2009. Kiadó: Dr.T.O.P. Kft., Budapest Felelős vezető: Dr. Sárkány Péter ügyvezető Nyomda: ALFADAT-PRESS Kft., Tatabánya Felelős vezető: W. Csoma Éva ügyvezető igazgató

TARTALOMJEGYZÉK

BEVEZETÉS .......................................................................................... 5 1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK ............................................ 7 2. VALÓS SZÁMSOROZATOK .............................................................. 35 3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK ................................................................. 57 4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ......................................................... 67 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ............................................................... 77 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA FÜGGVÉNYEK ELEMZÉSÉNÉL ................................................................................ 89 7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK ...................................................... 101 8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE........................................... 111 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK .................................................... 115 10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS .................................................................. 129 FELHASZNÁLT IRODALOM ............................................................... 147

BEVEZETÉS Az oktatási segédanyag, amelyet kezében tart az olvasó, elsősorban a gazdasági főiskolák analízist tanuló hallgatóinak készült. A segédanyag nem klasszikus matematikakönyv. Az elméleti részeknél nem kerül ismertetésre a mélyebb matematikai háttér, csupán anynyi, amennyi a gyakorlati feladatmegoldáshoz elengedhetetlen. Analízis tanulmányaink során nagy szükségünk van, a középiskolában tanult ismeretekre, ezért külön fejezetben kerültek összefoglalásra azok a középiskolai matematikai alapok, amik nélkülözhetetlenek a tananyag elsajátításánál. A fejezetek az alapfogalmak leírásával kezdődnek, melyeket általában egy könnyen érthető Mintapélda követ. Az egyes témakörök végén pedig a tanult anyag megértését elősegítő Gyakorló feladatok vannak, melyeknek a megoldásai az adott fejezet végén találhatók. A jegyzet nem tekinthető véglegesnek, folyamatosan kívánom bővíteni, újabb feladatokkal kiegészíteni. Amennyiben ötlete, javaslata van a könyvvel kapcsolatban, vagy valahol hibát vél felfedezni, köszönettel vesszem észrevételeit személyesen, vagy e-mailen keresztül (kis.marta.com@gmail.com). Végezetül köszönetet szeretnék mondani dr. Rejtő Kálmánnénak, Brunner Zsuzsannának, Nagyné Csóti Beátának és Kovács Gergelynek, hogy támogattak munkámban, értékes tanácsokkal láttak el, és segítségemre voltak a feladatanyag kialakításában. Budapest, 2009. szeptember A Szerző

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK Ebben a fejezetben, a középiskolában tanult fogalmak, algebrai átalakítások, egyenlet megoldási technikák közül kívánunk néhányat feleleveníteni – a teljesség igénye nélkül – azok kedvéért, akik régebben tanultak matematikát. Ezekre az algebrai készségekre nagy szükség lesz a későbbi feladatmegoldásoknál. 1.1 N EVEZETES SZÁMHALMAZOK  Természetes számok halmaza: N (0, 1, 2, 3 ...)

Valós számok Racionális számok

 Egész számok halmaza: Z ( ...–2, -1, 0, 1, 2 ...)  Racionális számok halmaza: Q (Felírhatók két egész szám hányadosaként.)

Egész számok Természetes számok

 Valós számok halmaza: R (Racionális és irracionális számok) Ábrázoljuk számegyenesen a következő számhalmazokat!

{x  R | 1  x  3}  [1;3[

{x  Z | 0  x  4} 1 2 3 1.2 M ŰVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL Algebrai mennyiségeknek nevezzük a számokat és a számokat jelentő betűket.1 Algebrai kifejezésnek nevezzük azt a kifejezést, amelyben algebrai mennyiségek összege, különbsége, szorzata (egész kitevőjű hatványa), 3a 2  2b 2 hányadosa és gyöke szerepel véges sokszor. Pl.: a b

1 2

Fekete Gy.: Matematika a felvételi vizsgára készülőknek. 49.o Denkinger G.: Matematikai zseblexikon. 15. o.

ANALÍZIS Együtthatónak nevezzük az algebrai kifejezésben a számszorzóit.3 Pl.: A 3a 2 kifejezésben az a 2 együtthatója 3.

változók

Egytagú az az algebrai kifejezés, amelyben az algebrai mennyiségeket a szorzás és az osztás végesszámú alkalmazásával kapcsoljuk össze. Pl.: 6 x 3 y A többtagú algebrai kifejezés az egytagúak összeadásával (illetve kivonásával) keletkezik. Pl.: 2ab  3a 2  b háromtagú. Ha algebrai kifejezésekkel műveleteket végzünk, akkor elvileg ugyanúgy járunk el, mint a számokkal végzett műveleteknél. Műveletek Egytagú kifejezés szorzása egytagúval:

3a(a 2 b)  3a 3 b Egytagú kifejezés szorzása többtagúval: 3a(a 2  b)  3a 3  3ab Többtagú kifejezés szorzása többtagúval: (2 x  3 y)(5x  y)  10x 2  2 xy  15xy  3 y 2  10x 2  17 xy  3 y 2 Nevezetes azonosságok

A 2xy és 15xy egynemű tagokat összevonjuk.

( a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ( a  b) 2  a 2  2ab  b 2 a 2  b 2  (a  b)(a  b)

Példák nevezetes azonosságok alkalmazására:

(2 x  y) 2  4 x 2  4 xy  y 2 (3x  6 y) 2  9 x 2  36xy  36 y 2 x 2  4 y 2  ( x  2 y)( x  2 y) 1  81a 2  (1  9a)(1  9a) 25x 2  20xy  4 y 2  (5x  2 y) 2 3

Fekete Gy.: Matematika a felvételi vizsgára készülőknek. 49.o

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK Szorzattá alakítás kiemeléssel

6 xy  3 y 2  3 y(2 x  y) 2

5a 2 b  10 ab  5ab ( a  2b )

3 x(a  b)  2 y (a  b)  (a  b)(3 x  2 y ) Műveletek törtekkel A törtek bővítésének és egyszerűsítésének az alapja az, hogy a tört értéke nem változik meg, ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nullától különböző mennyiséggel megszorozzuk, vagy elosztjuk. 3a 2 a Például: ( a, b  0 )  6ab 2b Gyakori hiba a törtek egyszerűsítésénél, hogy nem vesszük figyelembe azt a tényt, hogy a törtet egyszerűsíteni csak szorzótényezővel, azaz szorzattá alakítás után lehet! 5x 2 5x Hibás például a következő egyszerűsítés: 3 !  2 x 1 x 1 2 5x Az 3 tört nem egyszerűsíthető. x 1 A törteket szorzattá alakíthatjuk például kiemeléssel, vagy nevezetes azonosság alkalmazásával, mint ahogy azt az alábbi példa is mutatja. 6a  3b 3(2a  b)  ( 2a  b  0 ) 2 2 2 4a  4ab  b ( 2a  b) A szorzattá alakítás után pedig már egyszerűsíthetünk, jelen esetben 3(2a  b) 3 (2a  b) -vel :  ( 2a  b ) 2 2 a  b A törtek összeadása és kivonása csak akkor történhet meg, ha a nevezőjük egyenlő. Ha a két tört nevezője nem egyezik meg, akkor a törtek bővítésével közös nevezőre hozunk. Közös nevezőre hozás

3a 4b 3a(a  b)  4b(a  b) 3a 2  ab  4b 2    a b ab (a  b)(a  b) a2  b2

ANALÍZIS a c ac   b d bd

Törtek szorzása:

( b, d  0 )

Törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk: a c a d ad :    b d b c bc

( b, c , d  0 )

Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést! 5  1  6b   3 : ( 2b  3  0, b  3 / 2 )  2 b  3 2 b  3   Megoldás: 5 5  1  6b   1  6b 3(2b  3)   3 :     : 2 b  3 2 b  3 2 b  3 2 b  3 2 b  3     1  6b  6b  9 5 10 2b  3  :   2 2b  3 2b  3 2b  3 5 Hatványozás azonosságai

an  am  anm

( a, b  0; a, b  R  n, m  Z )

a  anm m a m n

 a nm n

a n  b n  a  b  an  a    n b b

a 

 a m



n am

a0  1 an 

a   a  n m

n m

a  m n a  nm a

a  n b  n ab

a n a  b b

1 an

 Gyakorló feladatok A hatványozás azonosságainak felhasználásával szüntesse meg a kitevőben szereplő összeget, különbséget, szorzatot, hányadost! a) a

n 4

b) a

2n 3

c) a

n 1 5

d) a

4n 6

e) a

3n  7 2

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

 Megoldás an a) a  4 a b) a 2 n  3  a 2n  a3  (a n )2  a3 n 4

c) a

n 1 5

d) a e) a

 5 a n 1  5 a n  a

4n 6

3n7 2

Az itt alkalmazott átalakításokra emlékezzünk majd vissza akkor, amikor a sorozatok határértékét vizsgáljuk!

a 4 n (a n ) 4  6  6 a a  a 3 n7  a 3n  a 7  ( a n ) 3  a 7

1.3 E GYENLETEK , EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Példa elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldására. x2 4 Cél: Ekvivalens átalakításokkal az egyik oldalra összegyűjteni az ismeretlent tartalmazó tagokat, a másik oldalra a konstansokat. Mindkét oldalát szorozzuk 4-gyel: 8x  12  x  2 , mindkét oldalból kivonunk x-et: 7x  12  2 , mindkét oldalhoz 12-t adunk: 7x  14 , az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 7-tel: x  2 .

 Oldjuk meg a következő egyenletet!

2x  3 

Példák másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldására A másodfokú egyenlet általános alakja: A másodfokú egyenletek megoldására használhatjuk az ún. megoldó-képletet, vagy másnéven gyökképletet:

ax2  bx  c  0 (a  0)

x1,.2

 b  b 2  4ac  2a

Amennyiben hiányos másodfokú egyenlettel van dolgunk (b=0 vagy c=0), egyszerűbben is eljuthatunk a megoldáshoz.

ANALÍZIS 2

1. Oldjuk meg a 10x  50 x  0 egyenletet! Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: 10 x( x  5)  0 . Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Jelen esetben 10 x  0 azaz x  0 , vagy x  5  0 azaz x  5 . Tehát az egyenletnek két megoldása van: x  0 és az x  5 . 2

2. Oldjuk meg a 2x  8  0 egyenletet! Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel: x 2  4  0 . Amennyiben az egyenlet megoldását a következőképpen folytatjuk: x 2  4 , ügyeljünk rá, hogy nem csak a 2 2  4 , hanem a (2) 2  4 . Tehát az egyenletünknek két megoldása van: x1  2 és x2  2 . 2

3. Oldjuk meg a x  4  5 x egyenletet! Rendezzük nullára, és megoldáshoz használjuk a másodfokú egyenlet megoldó képletét! Az egyenlet nullára rendezve: x 2  5 x  4  0 . A megoldó képletet felhasználva ( a  1 , b  5 , c  4 ): x1, 2

5  52  4  1  4 5  3   . 2 1 2

A megoldások: x1  4 és x 2  1.

Példa másodfokú egyismeretlenes egyenlőtlenség megoldására.

 Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget!

x2  5x  4  0

Másodfokú egyenlőtlenségeket grafikusan érdemes megoldani. Ábrázoljuk az f(x)  x 2  5x  4 másodfokú függvényt! Az előbbi feladatban az x 2  5 x  4  0 egyenlet megoldásakor már megkaptuk a másodfokú függvény zérushelyeit. Figyelembe véve, hogy + + az x2 együtthatója pozitív, a függvény képe egy _ egyenes állású (felfelé nyíló) parabola. x 1 4 Az ábráról leolvasható, hogy az x ]1;4[ értékek esetén lesz a függvényérték negatív. Az egyenlőtlenség megoldása: {x  R | 1  x  4} . Megjegyzés: Az itt említett feladattípusokon kívül szükségünk lesz még az abszolútértékes, törtes egyenletek, illetve egyenlőtlenségek megoldására is, de erre későbbi fejezetekben térünk majd ki részletesen. 12

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK 1.4. E GYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Az itt tárgyalt fogalmak az egyváltozós valós függvényekre vonatkoznak. Ahol az ”egy-változó” a független változó számára utal, a „valós” jelző pedig a valós számok halmazára, melyen a függvényt értelmezzük. A fogalom természetesen kiterjeszthető több változóra is, de ezzel későbbi fejezetben foglalkozunk majd. 1.4.1 A LAPFOGALMAK

Függvény A függvény mind a matematikában, mind a közgazdaságtanban fontos jelentőséggel bír. Függvényekkel tudjuk leírni a változók közötti kapcsolatot. Például a négyzet oldalhossza meghatározza a négyzet területét, az ár a kínálatot, a termelt mennyiség a költséget és így tovább. A függvény két halmaz (A és B) között létesít kapcsolatot. A függvény egy olyan hozzárendelés, mely az alaphalmaz (A halmaz) minden egyes eleméhez a B halmaz pontosan egy elemét rendeli. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a függvény egy egyértelmű hozzárendelés. Rajzban: A

Értelmezési tartomány A függvény megadásánál említett A halmaz a függvény értelmezési tartománya. Egy f függvény esetén jele: Df . Elemeit a matematikában független változónak nevezzük és általában x –szel jelöljük. Közgazdaságtanban, különböző betűket alkalmaznak a jelölésére a jelentésétől függően. Értékkészlet A függvény megadásánál említett B halmaz a függvény képhalmaza. A B halmaz azon részhalmazát, melybe tartozó értékeket a függvény felvesz, a függvény értékkészletének nevezzük. Egy f függvény esetén az értékkészlet jele: Rf . Elemeit függvényértékeknek, vagy függő változónak nevezzük és y –nal vagy f(x) – szel jelölik általában a matematikusok. Formálisan: R f   y

y  f  x , x  D f .

ANALÍZIS 1.4.2 F ÜGGVÉNYEK MEGADÁSA Függvényeket sokféleképpen adhatjuk meg. Képlet sem feltétlenül szükséges hozzá, néha elég egy mondat is, például „Minden számhoz (valós számhoz) rendeljük hozzá a négyzeténél eggyel nagyobb számot!”, vagy „Minden emberhez rendeljük hozzá az édesanyját!”. Megjegyzés: „Minden emberhez rendeljük a testvérét!” hozzárendelést azonban már nem tekintjük függvénynek. Miért? (Mert nem egyértelmű a hozzárendelés. Van, akinek több testvére van; illetve akad olyan is, akinek egy sincs.) Egy függvénymegadás akkor jó, ha minden elemhez pontosan egy elemet rendelünk, és a megadási módból kiderül, hogy mely elemekhez mely elemeket rendeltük. Nézzünk néhány lehetőséget függvény megadására:

f : R  R, x  x 2  1 f : x  x2  1

xR

f ( x)  x 2  1 Megállapodás: Amennyiben az értelmezési tartomány nincs megjelölve, akkor a függvény az összes olyan valós számra értelmezve van, amelynél a kijelölt műveletek elvégezhetők. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a függvény értelmezési tartománya, a valós számok ( R ) halmazának az a legbővebb részhalmaza ahol a függvény értelmezhető. 3x 2  5 x Például az f ( x )  függvény értelmezési tartománya: R \  2. 2x  4

A megadás történhet Venn-diagrammal, vagy nyíldiagrammal is, de ezeket a megadási módokat csak elvétve szokták alkalmazni. Jóval gyakrabban fordul elő a grafikonnal történő megadás a függvények körében. A következő fejezetben ezzel foglalkozunk.

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK 1.4.3 G RAFIKONOK

A függvények egyenletét kielégítő (x; y) számpárokat ábrázolhatjuk koordinátarendszerben. A koordináta-rendszer x tengelyét abszcisszatengelynek, y tengelyét ordinátatengelynek nevezzük. A koordinátasík minden pontját egy rendezett (azaz nem felcserélhető) valós számpárral tudjuk megadni. A számpár első tagját Pont (abszcissza; ordináta) abszcisszának, második tagját ordinátának nevezzük. Más szóval ezek az értékek a pont koordinátái. Az egyváltozós valós függvény grafikonjának (ábrájának, görbéjének) nevezzük a kétdimenziós koordinátarendszerben az (x ; f(x)) pontok halmazát, ahol x  D f . A függvény grafikon felvázolásakor keressük azokat a pontokat a koordinátarendszerben, melyek kielégítik a függvény egyenletét. Az így kapott görbe (grafikon) általában jól tükrözi a függvény tulajdonságait, ami nagy segítségünkre lehet a függvény jellemzésében. A független változót (az értelmezési tartomány elemeit) a vízszintes tengelyen, a függő változót (az értékkészlet elemeit) a függőleges tengelyen ábrázoljuk. Például ha az y  x 2  1 hozzárendelési szabály által meghatározott P( x; y) pontokat a koordinátarendszerben ábrázoljuk, akkor az itt látható grafikonhoz jutunk.

y     

x    

   

Megjegyzés: Közgazdaságtanban, bizonyos függvényeknél (pl. kereslet, kínálat) a két tengely felcserélődhet, ekkor a független változó a függőleges, a függő változó pedig a vízszintes tengelyen kerül ábrázolásra. Matematikában ilyen ábrázolást nem szoktunk alkalmazni, de a közgazdasági tanulmányaink során találkozhatunk vele. Figyeljünk rá!

ANALÍZIS 1.4.4 NEVEZETES FÜGGVÉNYEK

Fontosabb függvények

Görbe egyenlete

Grafikon x tengellyel párhuzamos egyenes pl.: y  2

KONSTANS FÜGGVÉNY



y  c (c  R)   













egyenes pl.: y  2 x  1 ELSŐFOKÚ FÜGGVÉNY

y  mx  b m0



  





parabola 2 pl.: y  x  2 x  1

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY

y  ax 2  bx  c (a



 0)    







1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK 3 2 pl.: y  x  3 x  x  3



HARMADFOKÚ FÜGGVÉNY

y  ax  bx  cx  d ( a  0)  

    



hiperbola

 2x  1 y  pl.: x 1 LINEÁRIS TÖRTFÜGGVÉNY

y

ax  b cx  d

( cx  d  0 )



    

  

 

A többi függvény esetében csak az alapfüggvény képletét közöljük.

ABSZOLÚTÉRTÉK FÜGGVÉNY

y x

          

   

ANALÍZIS

 

NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY

y  x x  R0

  



EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY

y  ax

0<a<1



     

     

LOGARITMUS FÜGGVÉNY

y  log a x

        





a>1

   

a>1

       

0<a<1



ELŐJEL FÜGGVÉNY

 1 ha x  0  y   0 ha x  0  1 ha x  0 

      

   

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK 1.4.5 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Lineáris függvénynek nevezzük az f ( x)  mx  b x  R egyváltozós valós függvényt; ahol m, b rögzített valós számok. m: megadja a függvény meredekségét b: megmutatja a függvény grafikonjának az y tengellyel vett metszéspontját Lineáris függvény képe egyenes. Amennyiben m  0 , konstans függvényről beszélünk; ha pedig m  0 , akkor elsőfokú függvénynek nevezzük. Amennyiben m  0 , akkor az elsőfokú függvény szigorú monoton növekvő; ha m  0 , akkor szigorú monoton csökkenő (lásd ábra). y y2 y2-y1

y m<0

m>0 m=0 b x

A függvény meredeksége megmutatja, hogy a független változó (x) egységnyi növekedésére, a függő változó (y) mekkora változása jut.

y1 x2-x1

m x

y2  y1 x2  x1

A tengelymetszetek ismeretéből hogyan határozható meg a függvény meredeksége? Amennyiben az egyenes x-tengellyel vett metszéspontját a-val, y-tengellyel vett metszéspontját b-vel jelöljük; az egyenes mereb deksége: m  (lásd ábra). a

y b

jobbra a lefele b

ANALÍZIS

 Gyakorló feladatok 1. Ábrázolja a következő egyenletű egyeneseket!

4 c) y  3 a) y   x  2 3 3 1 d) y   1  x b) y  x 2 2 Hol metszi az y  5 x  3 egyenletű egyenes az x, illetve y tengelyt?

Adja meg az y  4 x  7 egyenletű egyenes tengelyekkel vett metszéspontjainak a koordinátáit!

Ábrázolás nélkül határozza meg hogy, az alábbi pontok közül melyek vannak rajta az y  2 x  1 egyenletű egyenesen? P1(1;0)

P2(4;-9)

P3(1;-1)

P4(-3;-5)

P5(-2;5)

Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét mely átmegy a P1(2;1) P2(5; -6) pontokon!

Ábrázolás nélkül határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, ami az x tengelyt 4-nél, az y tengelyt 3-nál metszi!

1 Ábrázolás nélkül, határozza meg az y  x  5 függvény monoto3 nitását! Válaszát indokolja!

A P(4; 6) pont illeszkedik az y  mx  3 egyenletű egyenesre. Menynyi az egyenes meredeksége?

Az f ( x)  4 x  6 képlettel megadott lineáris függvénynek mekkora a függvényértéke x  5 -nél? 3 x  1 képlettel megadott lineáris függvény hol veszi fel 2 a 7-es függvényértéket?

10. Az f ( x ) 

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

 Megoldás 1.

a)   





   

2. x 

    

3 5







      

x     

y  3

 7  3.   ; 0  és (0;7)  4 

4. P3 és P5 van rajta a megadott egyenesen 7 17 5. y   x  3 3 3 6. y   x  3 4

7. Szigorú monoton növekvő, mert m  8. m 

3 4

9. f (5)  14 10. x  4 -nél

1 pozitív. 3

 y     

x   

ANALÍZIS 1.4.6 Függvénytranszformációk Az f(-x) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának y tengelyre vonatkozó tükörképe. A –f(x) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának x tengelyre vonatkozó tükörképe. Az f(x)+a függvény grafikonja az f(x) grafikonjának y tengely mentén „a” egységgel történő párhuzamos eltolásával kapható meg. Az f(x+a) függvény grafikonja az f(x) függvény grafikonjának x tengely mentén „mínusz a” egységgel történő párhuzamos eltolásával kapható meg. Az a*f(x) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának y tengely menti nyújtásával áll elő, ha a > 1, ill. zsugorításával, ha 0 < a < 1. Az f(ax) függvény grafikonja az f(x) grafikonjának x tengely menti nyújtásával áll elő, ha 0 < a < 1, ill. zsugorításával, ha a > 1.

 Gyakorló feladatok Ábrázoljuk függvény-transzformációval a következő egyenletű görbéket! a) y  x 2  2 2

b) y   x  3 c) y  

1 2 x 2 2

d) y  2 x  1  3

1 y  3 e) x2 f) y 

2 1 x3

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

 Megoldás a) y



      

    



x 













e) y

      

x 





x 

   

      







       

 



 

 











         

y x 



1.4.7 FÜGGVÉNYELEMZÉS

A függvény legfontosabb tulajdonságainak vizsgálatát függvényelemzésnek, más néven függvénydiszkussziónak nevezzük. É RTELMEZÉSI TARTOMÁNY , ÉRTÉKKÉSZLET

A függvény értelmezési tartományát általában a hozzárendelési szaxR bállyal együtt megadják. Pl.: f  x   x 2  1 Ha az értelmezési tartomány nincs megjelölve, akkor a függvény az öszszes olyan valós számra értelmezve van, amelynél a kijelölt műveletek elvégezhetők, vagyis az értelmezési tartomány a valós számok részhalmazának az a legbővebb részhalmaza, y ahol a függvény értelmezhető. Az értékkészlet tartalmazza az összes olyan elemet, amely a függvény értékeként előállhat. A függvény értékkészlete a grafikonjának felrajzolása után az y tengelyen olvasható le (lásd ábra).

Rf értékkészlet Df értelmezési tartomány

ANALÍZIS Z ÉRUSHELYEK

Zérushelynek nevezzük azokat a helyeket, ahol a függvényérték nullával egyenlő f  x   0 . Ezekben a pontokban metszi (vagy érinti) a függvény grafikonja az x tengelyt.

zérushelyek

K ORLÁTOSSÁG

A függvényt korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete korlátos. (Pontos definíciót lásd sorozatoknál.) Az értékkészlet legnagyobb alsó korlátja a függvény alsó határa - infimuma, legkisebb felső korlátja a függvény felső határa - szuprémuma. Lásd ábra. y Amennyiben az alsó. ill. felső határok maguk is függvényértékek, rendre az abszolút minimum, ill. abszolút maximum elnevezést használjuk.

felső határ alsó határ

S ZÉLSŐÉRTÉKEK

Az f(x) függvénynek a-ban helyi (lokális) minimuma van, ha van az anak olyan környezete, amelyben f(a) a legkisebb függvényérték. Az f(x) függvénynek a-ban helyi (lokális) maximuma van, ha van az anak olyan környezete, amelyben az f(a) a legnagyobb függvényérték. Az f(x) függvénynek a-ban abszolút (globális) minimuma van, ha f(a) a legkisebb függvényérték.

y helyi maximum

Az f(x) függvénynek a-ban abszolút (globális) maximuma van, ha f(a) a legnagyobb függvényérték.

helyi minimum abszolút minimum

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK F ÜGGVÉNY MONOTONITÁSA

Az f(x) függvényt az (a,b) intervallumon növekvőnek nevezzük, ha minden x1 < x2 (x1, x2(a,b)) esetén f(x1) f(x2) teljesül. Az f(x) függvényt az (a,b) intervallumon csökkenőnek nevezzük, ha minden x1 < x2 (x1, x2(a,b)) esetén f(x1) f(x2) teljesül. Amennyiben minden x1, x2(a,b) esetén f(x1) < f(x2), illetve f(x1) > f(x2); szigorú monoton növekvőnek, illetve szigorú monoton csökkenőnek nevezzük a függvényt az (a,b) intervallumon. F ÜGGVÉNY KONVEX , KONKÁV TULAJDONSÁGA

Az f(x) függvény, az (a,b) intervallumon konvex, ha ehhez az intervallumhoz tartozó grafikon bármely két pontját összekötő szakasz a grafikon felett halad.

konvex

A f(x) függvény, az (a,b) intervallumon konkáv, ha ehhez az intervallumhoz tartozó grafikon bármely két pontját összekötő szakasz a grafikon alatt halad.

konkáv

Konvex és konkáv ívek találkozási pontja az inflexiós pont.

inflexiós pont

ANALÍZIS P ARITÁS , PERIODICITÁS

Paritás szempontjából, egy függvény lehet páros, páratlan, de leggyakrabban se nem páros se nem páratlan. Páros a függvény, ha minden x értékre teljesül, hogy f(x) = f(–x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre. 2

Például: f ( x )  x Páratlan a függvény, ha minden x értékre teljesül, hogy f(x) = –f(–x). A páratlan függvény grafikonja az origóra szimmetrikus. 3 Például: f ( x )  x

A periodicitás a trigonometrikus függvények jellegzetes tulajdonsága, ezért ennek vizsgálatától most eltekinthetünk, csak a teljesség kedvéért említettük meg.

Mintapélda Vizsgáljuk meg az alábbi függvény tulajdonságait! (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, korlátosság, szélsőérték, monotonitás, konvexitás, paritás.) y 6

-5

-2

Értelmezési tartomány D f  x  R -5  x  12

Értékkészlet R f  y  R -2  y  6

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK Zérushely

x1   2 ; x 2  2 ; x 3  7 Korlátosság a függvény korlátos felső határa (szuprémum a) : 6 alsó határa (infimuma) : - 2

Szélsőértékek x  0 helyen absz. minimuma van, értéke - 2 x  5 helyen lokális maximuma van, értéke 3 x  7 helyen lokális minimuma van, értéke 0 x  12 helyen lokális maximuma van, értéke 3 Monotonitás x  - 5;0 x  0;5 x  5,7  x  7;12

sz. m. csökkenő sz. m. növekvő sz. m. csökkenő sz. m. növekvő

Konvexitás A függvény ábrája alapján feltehetjük, hogy az inflexiós pontok x=3 és x=6 helyen találhatók. Ennek alapján: x   5;3 konvex x  3;6  konkáv x  6;12 konvex

Paritás A függvény se nem páros se nem páratlan.

ANALÍZIS

 Gyakorló feladatok 1. Adott az

ex f ( x)  függvény grafikonja. x2

Vizsgáljuk meg a függvény alábbi tulajdonságait:



értelmezési tartomány,



értékkészlet,



zérushely,



szélsőérték,



monotonitás,



konvexitás,



korlátosság,



paritás.



ex f ( x)  x2



 

    



Ábrázolás nélkül határozza meg, hogy az y  x 2  3 függvény grafikonja hol metszi az x, illetve y tengelyt? x2  1 Az y  függvény grafikonja átmegy-e az (5;2) ponton? Vá2x  3 laszát indokolja!

Ábrázolás nélkül határozza meg, hogy hol metszi egymást az f ( x )  3 x és a g ( x)  x 2 függvény grafikonja!

Ábrázolás nélkül határozza meg az alábbi két függvény metszéspontjainak koordinátáit! f ( x )  3 x 2  4 x  1 g ( x )  2 x  10

Határozza meg az f ( x)  2 x 2  8x  10 függvény zérushelyeit!

Határozza meg az f ( x)  2 x 2  8x  10 függvény szélsőértékének helyét, jellegét, értékét és hogy hol csökkenő, illetve hol növekvő a függvény; tudva, hogy a függvény zérushelyei x  1-nél és x  5 nél vannak! 28

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK y

8. Rajzoljon az ábrán a P ponthoz egy tetszőleges szelőt, és a P ponthoz tartozó érintőt! Állapítsa meg az érintő meredekségének előjelét!

Az ábrán rajzolja be a megjelölt két ponthoz tartozó érintőket! Hasonlítsa össze a két érintő meredekségének nagyságát, amenynyiben a P1 ponthoz tartozó érintő meredekségét m1-el, P2 ponthoz tartozó érintő meredekségét m2-vel jelöljük!

y P2 P1 x

 Megoldások 1.

Értelmezési tartomány: Df = R\{2} Értékkészlet: Rf = R\[0; 20[ Zérushely: nincs Szélsőérték: helyi minimum x = 3, y = 20 Monotonitás: ]-; 2[ szigorú monoton csökken ]2; 3] szigorú monoton csökken [3; [ szigorú monoton nő Konvexitás:

]-; 2[ konkáv ]2; [ konvex

Korlátosság:

nem korlátos

Paritás: se nem páros, se nem páratlan 2. 3.

x-tengely metszet: x1  3, x2   3 ; y-tengely metszet: y  3 52  1 A megadott pont koordinátái kielégítik az egyenletet 2  , 25  3 ezért rajta van a függvény grafikonján.

ANALÍZIS 4.

x1  0

x2  3

P1 (1; 8)

zérushelyek: x1  1, x2  5

szélsőérték helye: x  2 (a két zérushely számtani közepe) jellege: maximum (mivel az x 2 együtthatója negatív, így lefele nyíló parabola a függvény képe, aminek maximuma van a csúcspontnál) értéke: y  18 (mivel f ( 2)  2  2 2  8  2  10  18 ) x  2 szigorú monoton növekvő

P2 (3; 16)

x  2 szigorú monoton csökkenő

8. y érintő P

szelő

A P ponthoz húzott érintő pozitív meredekségű.

9. y P2

m1  m2

P1 x

 Ajánlott gyakorló feladatok: Középiskolai tankönyvek, példatárak ide vonatkozó fejezetei

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK 1.4.8 I NVERZ FÜGGVÉNY

Olyan függvény esetén értelmezhető csak az inverz, amely az értelmezési tartomány és értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít. Mivel ez egy fontos szempont az inverz függvény vizsgálatakor, először nézzük meg, hogy mit értünk kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés alatt. Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, olyan speciális hozzárendelés, ahol az egyik halmaz minden elemének pontosan egy elem felel meg a másik halmazból, és viszont. Az y  x 2 x  R egyértelmű hozzárendelés, de nem kölcsönösen egyértelmű, mert ugyanazt az értéket több helyen is felveszi. Az ábrán látható, hogy például az y* függvényértéket két helyen is felveszi a függvény: f ( x1 )  f ( x2 )  y * .

y  x2 x R

x2 x

Szemléletesen egy függvény akkor nevezhető kölcsönösen egyértelműnek, ha az x tengellyel párhuzamos egyenesekkel metszve a függvény grafikonját, minden egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van a függvénygörbével.

Definíció: Legyen f olyan függvény, amely az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít. Az f függvény inverzén értjük azt a g-vel jelölt függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f értékkészlete, és egy y0 értékhez olyan értéket rendel, amely helyen az f függvény az y0 értéket vette fel, azaz g(y0)=x0. Szemléletesen:

Rg = Df x0

Dg = Rf y0

ANALÍZIS Egy függvényt, illetve inverz függvényét vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az értelmezési tartomány és az értékkészlet szerepet cserél, azaz Dg  R f és Rg  D f . Amennyiben egy koordináta rendszerben ábrázoljuk a függvényt és az ő inverzét; megállapíthatjuk, hogy az értelmezési tartomány, illetve értékkészlet szerepcseréjéből adódóan a grafikonok az y  x egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképei egymásnak.

y  x2

yx

x  R0 y x x  R0 x

A kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést megvalósító függvényeket invertálható függvényeknek is szokás nevezni. Megjegyzés: Sok olyan függvénnyel találkozhatunk melynek nincs inverze, mivel nem kölcsönösen egyértelműek. Például az y  x 2 x  R valós számok halmazán értelmezett függvény is ilyen. Azonban ha az említett függvény értelmezési tartományát leszűkítjük a nem negatív valós számok halmazára x  R0 akkor az y  x 2 függvénynek már létezik inverze, méghozzá az y  x fenti ábrán.)

x  R0 . (Ezt a két függvényt láthatjuk éppen a

? Hogyan kaphatjuk meg az inverz függvény képletét? Az inverz függvény definíciójára támaszkodva, a következő eljárást alkalmazzuk: a függvény képletében felcseréljük a független változó (x) és függő változó (y) szerepét, majd y-ra rendezzük. f : y  x2 x  y2 ( x, y  R0 )



xy f 1 : y  x Tehát az

függvény inverze az

= √ függvény ( ∈

Az f függvény inverzét általában f 1 -gyel jelöljük.

1. KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ALAPOK

Vizsgáljuk meg, hogy miként értelmezik az inverz függvényt a közgazdaságtanban! A közgazdaságtanban minden változó konkrét jelentéssel bír (ár, mennyiség stb.), így az inverz függvény meghatározásakor súlyos hiba lenne a változók betűjelét átírni (felcserélni), mint ahogyan azt tettük a fenti matematikai levezetésnél. Közgazdaságtanban az inverz függvény képletének meghatározásakor nincs más teendőnk, mint a kiindulási függvény képletét a másik változóra rendezni. Például = 300 − 2 keresleti függvény esetén; az inverz keresleti függvény képletét, az egyenlet árra (P) történő rendezésével kapjuk meg: = 150 − . Közgazdaságtanban az inverz függvény ábrázolásakor az eredeti függvény ábrájához képest a két tengely szerepét felcserélik, ebből következik, hogy az inverz-függvény csak egy másik koordinátarendszerben szemléltethető. A fenti példánál maradva ez azt jelenti, hogy míg az eredeti (keresleti) függvénynél, a vízszintes tengelyen a mennyiséget (D), a függőleges tengelyen az árat (P) ábrázoljuk; addig az inverz keresleti függvény esetében ez fordítva lesz; azaz a vízszintes tengelyen az ár (P), a függőleges tengelyen a mennyiség (D) szerepel majd. A fent leírt ábrázolási mód csak a közgazdaságtani alkalmazásoknál igaz. Vigyázzunk rá, hogy matematikában az x, y tengely szerepét soha ne változtassuk!

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK A valós számsorozat olyan speciális függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza (Z+), értékkészlete pedig a valós számok halmazának (R) egy részhalmaza. a : Z   R, n  an 2.1 S ZÁMSOROZATOK MEGADÁSA A sorozatot többféle megadási módja közül, mi az általános taggal (an) történő megadást használjuk. Például:

an 

2n  3 n 1

A sorozat első tagját megkaphatjuk, ha n helyére 1-et helyettesítünk: a1 = -1/2. A sorozat második tagját megkaphatjuk, ha n helyére 2-őt helyettesítünk: a2 = 1/3 stb. 2.2 S ZÁMSOROZATOK ÁBRÁZOLÁSA A sorozat első néhány tagját ábrázol-

hatjuk koordinátarendszerben 

vagy számegyenesen 

-1/2

1/3

-5

-1

2.3 S ZÁMSOROZATOK JELLEMZÉSE A sorozatok három fő tulajdonságát szoktuk vizsgálni: monotonitás, korlátosság, konvergencia. 2.3.1 M ONOTONITÁS

A sorozatnál az n-edik tagot követi az (n+1)-edik. A sorozat akkor szigorú monoton növekvő, ha minden tag után egy nála nagyobb tag következik, azaz a n 1  a n . Amennyiben az egyenlőtlenséget nullára rendezzük a n 1  a n  0 , a szigorú monoton növekedés definíciójához jutunk. Hasonlóan okoskodhatunk a szigorú monoton csökkenés esetében is.

ANALÍZIS

Ha a n 1  a n > 0 minden „n”-re, akkor a sorozat szigorú monoton növekvő. Ha a n 1  a n < 0 minden „n”-re, akkor a sorozat szigorú monoton csökkenő. Ha a n 1  a n  0 minden „n”-re, akkor a sorozat monoton növekvő. Ha a n 1  a n  0 minden „n”-re, akkor a sorozat monoton csökkenő. Egyébként nem monoton a sorozat. Monotonitás vizsgálata A sorozat monotonitását leggyakrabban a monotonitás definíciója alapján vizsgáljuk.

Mintapélda 2n  3 sorozatunk monotonitását! n 1 Az (n+1)-dik tagot megkapjuk, ha az általános tag képletében az n he2( n  1)  3 lyére (n+1)-et helyettesítünk: a n 1  ( n  1)  1 2n  1 a  A zárójel felbontása és összevonás után kapjuk: n 1 n2

Vizsgáljuk meg az a n 

A sorozat monotonitása attól függ, hogy (an+1 – an) pozitív vagy negatív. Vizsgáljuk meg az (n+1) –edik és az n –edik tag különbségének az előjelét!

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK a n 1  a n 

2n  1 2 n  3 2n  1n  1  2 n  3n  2     n2 n 1 n  2 n  1 Zárójelet felbontjuk a számlálóban.

Közös nevezőre hozunk. 2









2 n  2 n  n  1  2 n  4 n  3n  6 5   0 minden n –re n  2n  1 n  2 n  1 

A nevezőben nem bontjuk fel a zárójelet!

Összevonás a számlálóban.



Előjel vizsgálat.

A sorozat szigorú monoton növekvő!

2.3.2 K ORLÁTOSSÁG

Egy valós számsorozatot felülről korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan K valós szám, amelynél a sorozat minden tagja kisebb vagy vele egyenlő. Egy valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan k valós szám, aminél a sorozat minden tagja nagyobb vagy vele egyenlő. A definícióban szereplő K-t a sorozat felső korlátjának, k-t a sorozat alsó korlátjának nevezzük. Egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha alulról is és felülről is korlátos, azaz minden sorozattagra teljesül: k  a n  K Minden alulról korlátos sorozatnak végtelen sok alsó korlátja van, illetve minden felülről korlátos sorozatnak végtelen sok felső korlátja van. Ezek között azonban van egy, aminek kitüntetett szerepe van. Erre új fogalmat vezetünk be: Az alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határának, infimumának nevezzük. Jele: h (inf) Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határának, szuprémumának nevezzük. Jele: H (sup)

ANALÍZIS

Mintapélda 2n  3 sorozat monoton növekvő (lásd 2.3.1 mintapélda), ezért n 1 egy alsó korlátja a sorozat első tagja (a1 = –0,5). A an 

A felső korlát megállapításához alakítsuk át a sorozatot!

an 

2n  3 2(n  1)  5 5   2 2 n 1 n 1 n 1

Mivel az 5/(n+1) tört számlálója és nevezője is pozitív minden n-re, így a sorozat minden eleme kisebb kettőnél (2-ből egy pozitív számot kivonva 2-nél kisebb számhoz jutunk). Ezért a sorozat felülről is korlátos. Felső korlátja pl.:2. A sorozat korlátos, mivel van alsó és felső korlátja is. A sorozat minden tagjára teljesül:  0,5  a n  2 . Megjegyzés: A sorozat jellemzésekor a korlátosság vizsgálatát a monotonitás és a határérték megállapítása után ajánlott elvégezni: ha számegyenesen ábrázoljuk a sorozatot, a korlátok – amennyiben léteznek – az ábráról könnyen leolvashatók. 2.3.3 K ONVERGENCIA ( HATÁRÉRTÉK VIZSGÁLAT )

Az an sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik olyan „A” valós szám, hogy bármely környezetére teljesül, hogy valahonnan kezdve az összes sorozattag benne van ebben a környezetben. Elnevezések és jelölések A definícióban szereplő „A” valós számot a sorozat határértékének nevezzük. Azt a tényt, hogy az an sorozat konvergál „A” valós számhoz a következőképpen jelölhetjük, illetve olvashatjuk ki:  az an sorozat tart A-hoz : a n  A ;  az an sorozat határértéke (limesze) A: lim a n  A .

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK

Mintapélda Vizsgáljuk a an 

2n  3 sorozat határértékét! n 1

A sorozat határértékének vizsgálatakor azt figyeljük, hogy hova tartanak (konvergálnak) a sorozat tagjai, azaz ha „n tart végtelenbe”, a sorozattagok közelednek-e valamilyen valós számhoz? Röviden: n   akkor a n  ? Mielőtt kimondanánk a határértékekre vonatkozó tételeket, próbáljuk meg megsejteni a fenti sorozat határértékét! Ha

n   akkor 2n  3   és n 1   .

2n  3    ??? n 1  A  /  típusú sorozatok határértéke nem határozható meg általánosan. További átalakítás szükséges. lim

Az átalakítás lényege, hogy „megszabadulunk a nevezőben lévő  -től”. Mivel ennél a sorozatnál a nevezőben a  határértéket az „n” okozza, ezért leosztunk vele. Természetesen ügyelnünk kell arra, hogy átalakításunkkal a tört értéke ne változzon, így a számlálót és a nevezőt is osztanunk kell „n”-nel. 3 2 2n  3 n lim  lim 1 n 1 1 n Az „n”-nel való osztás után újból vizsgáljuk a határértéket: 3 1  0, 0 n n (Az itt látható következtetések helyességét, magunktól is könnyen beláthatjuk, de a teljesség kedvéért később a 2.4-es fejezetben, tétel formájában is kimondjuk.) 2  2 , 1  1 , ha n   , akkor

ANALÍZIS A határérték vizsgálatot egyszerűen így szoktuk leírni: 3 2 n  20  2 lim 1 1 0 1 n 2n  3 Tehát az an  sorozat konvergens. Határértéke : 2. n 1 Jel.: A=2 A határértéket többféleképpen is jelölhetjük: 2n  3 2 n 1

vagy

lim

2n  3 2 n 1

 Gyakorló feladatok Vizsgálja a következő sorozatokat monotonitás, konvergencia és korlátosság szempontjából! 1. a n 

6n  7 3n  2

3. an 

2n  1 5n  2

n2 2  3n n4 4. an  9  2n 2. an 

HATÁRÉRTÉKEKRE VONATKOZÓ NÉHÁNY NEVEZETES TÉTEL

A határérték unicitási tétele Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke van. Konvergens sorozat korlátosságára vonatkozó tétel Minden konvergens sorozat korlátos. Másképpen: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is.

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK Monoton és korlátos sorozat konvergencia tétele Ha egy sorozat növekvő és korlátos, akkor konvergens is, és határértéke a sorozat felső határával egyenlő. Ha egy sorozat csökkenő és korlátos, akkor konvergens is, és határértéke a sorozat alsó határával egyenlő. Divergens sorozat A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük. A divergens sorozatok közül azokat, amelyek +  -hez vagy –  -hez divergálnak valódi divergens sorozatoknak nevezzük. A többit nem valódi divergensnek hívjuk. Példa valódi divergens sorozatra: a n  3n  1. Példa nem valódi divergens sorozatra: a n   1n . 2.4 KONVERGENS SOROZATOK Konvergens sorozatok összegére, szorzatára és hányadosára vonatkozó tételek: Ha a n  A és bn  B ( A, B  R ), akkor an  bn  A  B,

an A  bn B

can  cA (c  R) ,

( bn  0, B  0 )

an  bn  A  B

ANALÍZIS Ha an   és bn  B ( B  R  ), akkor

bn a  0 , illetve n   . an bn

Ha an   és bn  B ( B  R  ), akkor

bn a  0 , illetve n   . an bn

További határértéktételek

Ha a n   , akkor a  0 . n 1 a   Ha n , akkor a  0 . n

1 Ha a n  0 és a n  0 , akkor a   . n 1

Ha a n  0 és a n  0 , akkor a   . n 2.4.1 H ATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS HATÁRÉRTÉKTÉTELEK ALAPJÁN

a) Polinomok hányadosa. Ötlet: a nevező legnagyobb fokszámú tagjával leosztunk. Megjegyzés A hányados-sorozat határértéke:  + vagy -, ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma.  0, ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma.  a legmagasabb fokszámú tagok együtthatóinak hányadosa, ha a számláló és a nevező fokszáma egyenlő.

Mintapélda Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét! a)

2n 2 an   3n

5n bn  3 n 1

n4  2 cn  4 5n  4n

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás: a)

2n 2 2n lim  lim    3n 3

(Mert

 típusú határérték.) 3

5 2 b) 5n 0 lim 3  lim n   0 1 n 1 1 3 1 n 2 c) n 2 n4  1  0  1 lim 4  lim 4 5n  4n 5 3 50 5 n 4

1

b) Gyökös kifejezést tartalmazó tört. Ötlet: Leosztunk egy alkalmas n hatvánnyal úgy, hogy 0-tól különböző konstanst kapjunk a nevezőben. 3

Mintapélda

Határozzuk meg az

an 

n 6  2n 4  n 2

n  9 n 4  2n

sorozat

határértékét! A nevezőben lévő kifejezések „nagyságrendjét” vizsgálva, figyelembe véve a gyökjelet is az „n”, a „ n 4  n 2 ”, a „ n ” közül az n 2 a legnagyobb, így ezzel osztunk le. (Vigyázzunk rá, hogy tagonként nem lehet gyököt vonni, azaz a  b  a  b !) 3

n 6  2n 4 n 2  2 3 2 n 6  2n 4  n 2 n n  lim  lim n  9n 4  2 n n 9n 4  2n  2 2 n n2 :n n 2  n 4  3 n6

ANALÍZIS

6 4 2 n  2 n n 2 3 3 1  1 6 2 2 2 n n n  lim  lim  3 1 2 n 9n 4  2n  9   n n3 n2 n4

Határérték tételek alapján

Egyszerűsítünk

A sorozat határértéke: 2/3. c) *Négyzetgyökös kifejezések különbsége. Ötlet: a négyzetgyökös kifejezés összegével (vagy különbségével) bővítünk.

Mintapélda Határozzuk meg az an  n  5  n  3 sorozat határértékét! A megoldás lényege, hogy bővítés útján visszavezetjük a feladatot az előző b) típusú sorozatra. Ehhez a következő lépéseket kell végrehajtanunk:  Konjugálttal bővítünk: lim n  5  n  3  lim







n5  n3  n5  n3  n5  n3

2 2  Felhasználjuk az ( a  b)( a  b)  a  b nevezetes azonosságot:

 lim

(n  5)  (n  3) n5  n3

 lim

n5  n3

 Vizsgáljuk a határértéket, mint azt tettük a b) típusnál: lim

8 8  0 n5  n3 

A sorozat határértéke tehát 0.

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK d) Exponenciális kifejezést (qn –t) tartalmazó tört. Vizsgáljuk meg a qn sorozat határértékét attól függően, hogy mekkora a hatvány alap (q)!

  ha q  1  1 ha q  1  lim q n   n   0 ha q  1 nincs ha q  1 A fenti tételünket felhasználva, nekiláthatunk az exponenciális kifejezést (qn) tartalmazó törtes sorozataink határértékének a vizsgálatához. Ötlet: Megszabadulunk a kitevőben lévő összegtől, szorzattól, illetve a negatív kitevőtől (qn alakra hozzuk); majd leosztunk a nevező legnagyobb alapú hatványával. Ezután megállapítjuk a sorozat határértékét, felhasználva a fenti qn –re vonatkozó tételünket. Figyelem! A határérték meghatározásánál elengedhetetlen a hatványozás azonosságainak a pontos ismerete.

Mintapélda Határozzuk meg az a n

n  1 / 3   5 n 1 lim

2 n  3  32n

n  1 / 3  5n 1 

2 n  3  32 n

3n 5n 5n  3  n n 5 9 5  9  lim  lim  8  2n  9n 8  2n 9n  n n 9 9 n n

q n alakra hozzuk n

sorozat határértékét!

 1 1  5      00 3 5 9  lim    0 n 0 1  2 8    1  9 45

„ q ” határérték tétel alapján

ANALÍZIS e) Euler típusú sorozatok. Mikor beszélünk Euler típusú sorozatokról? Ezt a típust felismerni a hatvány alapban, illetve a hatvány-kitevőben is felbukkanó „n” alapján lehet. Ebbe a csoportba tartozó sorozatoknak a határérték vizsgálatát az alábbi határértéktételek alapján végezhetjük el: n

  lim1    e  n n 

 1 lim1    e  2,7182 n   n

Mintapélda  2n  1  Határozzuk meg az a n    2 n  3  

5n  4

sorozat határértékét!

 2n  1  lim    2n  3 

5 n 4

1   4 1  2n  1   2 n   lim   lim    3  2n  3   1    2n  5

  1 2 n    12    1  e n    lim    1  n  3  3 2    e2   1  n     

  1 2 5 10    1  e  e   e10  

 Gyakorló feladatok (határérték számításra) Vizsgálja a következő sorozatokat konvergencia szempontjából! 5.

3 n 2  2 n

an  3

n 1

 1    3

n

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK 6.

an 

n 3  4 n 8  3n  6 n 2 16 n 4  n 3

 5n  3  an     5n  5 

6n 6  2n an   3n 2  10 9.

 n 1  an    n  2  

n7

10.

9 n  22n an  5 n 1 2.4.2 K ÜSZÖBSZÁMKERESÉS

Az an sorozatot konvergensnek neveztük (lásd 2.3.3), ha létezik olyan A valós szám, hogy bármely környezetére teljesül, hogy valahonnan kezdve az összes sorozattag benne van ebben a környezetben. A küszöbszám keresés lényege, hogy egy adott ( sugarú) környezet esetén határozzunk meg egy olyan számot (ez lesz a küszöbszám), amire teljesül, hogy az ennél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak mind beleesnek a határértéknek (A)  sugarú környezetébe. Gondoljuk meg, hogyan írható le matematikailag az, hogy egy sorozattag a sorozat határértékének (A-nak)  sugarú környezetébe esik! Egy sorozattag (a n ) akkor esik bele a határérték (A)  sugarú környezetébe, ha a n -nek az A-tól vett eltérése kisebb, mint epszilon ()! 47

ANALÍZIS Ezt jelekkel a következőképpen fejezhetjük ki:

an  A  

Rajzban: -

+

A küszöbszám kereséses feladatoknál adott a sorozat általános tagja ( a n ) , illetve az  értéke. A fenti abszolút értékes egyenlőtlenség megoldásával, pedig megkaphatjuk a küszöbszámot, vagyis azt a számot, aminél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak már mind bele tartoznak a határérték  sugarú környezetébe! MEGOLDÁS MENETE: Első lépésben megsejtjük a határértéket (A-t). Második lépés: behelyettesítünk a n  A   egyenlőtlenségbe és megoldjuk n-re. Harmadik lépés: értelmezzük a kapott eredményt és felírjuk a küszöbszámot (N).

Mintapélda 2n  3 konvergens sorozat, adjon küszöbszámot n 1   10 3 -hoz, majd értelmezze a kapott eredményt!

Adott az

an 

 Határérték: 2n  3 lim 2 n 1  Küszöbszám: A kérdésre a választ az a n  A   egyenlőtlenség megoldásával kaphatjuk meg. Helyettesítsük be az an , A és  értékét a fenti egyenlőtlenségbe: 48

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK 2n  3 1 2  n 1 1000

A bal oldalon hozzunk közös nevezőre: 2n  3  2(n  1) 1  n 1 1000

Bontsuk fel a zárójelet a bal oldal számlálójában: 2n  3  2n  2 1  n 1 1000

Vonjunk össze a számlálóban: 5 1  n  1 1000

Vegyük külön a számláló és a nevező abszolútértékét: 5 n 1



1 1000

Figyelembe véve az abszolútértéken belüli kifejezés előjelét bontsuk fel az abszolútértéket! Pozitív értéknél ez egyszerűen az abszolútérték elhagyását jelenti, negatív érték esetén pedig elhagyva az abszolútértéket a szám (kifejezés) ellentettjét írjuk. Mivel  5  5 és n  1  n  1 ezért: 5 1 adódik.  n  1 1000 Fejezzük be az egyenlőtlenség rendezését; szabaduljunk meg a törtektől, a nevezőkkel történő beszorzással. Megjegyzés: Mint tudjuk, az egyenlőtlenség szorzásánál arra ügyelnünk kell, hogyha negatív számmal szorzunk, akkor az egyenlőtlenség megfordul. Ezeknél a feladatoknál –ha a fenti megoldási utat követjük, és jól kezeljük az abszolút értéket–, akkor ez a probléma nem fordulhat elő; mivel mindig pozitív számmal szorzunk. 49

ANALÍZIS Folytatás (beszorzás után):

5000  n  1 4999  n 

N  4999

 Értelmezés: Tehát azt kaptuk, hogy az 4999-nél nagyobb indexű tagjai a so1 rozatnak már mind benne vannak az A = 2 határérték   1000 sugarú környezetében.

 Gyakorló feladatok (küszöbszám keresésre) 3n sorozathoz küszöbszámot, ha   10 2 , majd ér2n  5 telmezze a kapott eredményt!

11. Adjon az a n 

n 1 konvergens sorozatnál adjon küszöbszámot 11  2n   10 3 -hoz, majd értelmezze a kapott eredményt!

12. Az a n 

 Megoldások 1. Monotonitás: a n 1  a n 

6(n  1)  7 6n  7 (6n  1)(3n  2)  (6n  7)(3n  1)    3(n  1)  2 3n  2 (3n  1)(3n  2)

18n 2  3n  12n  2  (18n 2  21n  6n  7) 9   0  (3n  1)(3n  2) (3n  1)(3n  2)  sorozat nő

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK Konvergencia: 7 6n  7 n 62 lim  lim 2 3 3n  2 3 n Korlátosság: 6

a1  1   1  a n  2 2. Monotonitás: an1  an 

n3 n2 4    0  csökkenő 5  3n 2  3n 5  3n   2  3n 

Konvergencia: lim

n2 1  2  3n 3

Korlátosság:

1 3  an  3 5 3. Monotonitás: 2n  1 2n  1 9 an1  an     0  növekvő 5n  7 5n  2 5n  7   5n  2 Konvergencia: 2n  1 2 lim  5n  2 5 Korlátosság: 1 2  an  7 5

ANALÍZIS 4. Monotonitás: n5 n4 17 an1  an     0 ha n  5  7  2n 9  2n 7  2n   9  2n   5. tagtól növekvő (Ilyenkor tágabb értelemben vett monotonitásról beszélünk.) Konvergencia: n4 1 lim  9  2n 2 Korlátosság: Mivel a sorozat csak az 5. tagtól monoton, ezért a sorozat első 5 tagját ki kell számítanunk a korlátok meghatározásához. 5 6 7 a2  a3  a4  8 a5  9 7 5 3 Tudjuk, hogy az 5. tagtól a sorozat szigorú monoton növekvő és tart a –1/2-hez. a1 

10 5 0 -5

-5

-10

Felhasználva a fenti információkat, könnyen elkészíthető a sorozat ábrája, mely alapján megállapíthatóak a korlátok. Alsó korlát (k) a sorozat 5. tagja (-9), felső korlát (K) a sorozat 4. tagja (8). Röviden:  9  an  8

5. n

3 n 2  2 n

lim

n 1

1    3

n

1  2 3n 1 n     2 0 2 1 9  3 3 9  lim  lim   3  3n  3n 2 2 18

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK 6. 1 4 3  1 7  6 n  n  3n  6n n lim  lim n  4 3 1 16n  n 16  n 0 1 6 5   4 4 3

7. 4

 5n  3  lim   5n  5 

n   3 5 n  3     1     1  5 n n         lim   lim  n    1 n  5    1     1    5 n      n 

4  35  32 e   85    1    e   e 5   e   

8. 2 6n  2 n n    0     lim  lim 10  3n 2  10 3 2 30 3 n 6n 4 

9. n

 n 1  lim  n 2

n 7

 1 n 7 1    n 1   n 1   lim   lim   lim n   1  n 2 n2  1  2   n

 1 1   e n  lim   1  2  1  e3 n e  2 1     n

ANALÍZIS 10. n

9 n  22n lim 5 n 1

1 4 1 n    4 n 00 45n  5  9  lim  lim  0 n 55 5 5

11. lim

3n 3  2n  5 2

3n 3 1   2n  5 2 100 15 1  4n  10 100

ha n  3 :

15 1  4n  10 100 1500  4n  10

n  377 ,5



N  377

Értelmezés: Az 377-nél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak már 1 mind benne vannak az A = 3/2 határérték   sugarú környe100 zetében. 12.

lim

n 1 1  11  2n 2

n 1 1 1   11  2n 2 1000 2n  2  11  2n 1  2  (11  2n) 1000

2. VALÓS SZÁMSOROZATOK 13 1  2  (11  2n) 1000 11  2n , ha n  6 Vegyük figyelembe, hogy: 11  2n   2n  11 , ha n  6

A küszöbszám keresés szempontjából, az n<6 eset figyelmen kívül hagyható. 13 1 ha n  6 :  2  (2n  11) 1000 13000  4n  22 n  3255,5

 N  3255

Tehát az 3255-nél nagyobb indexű elemek már benne vannak az A = -1/2 határérték  

1 sugarú környezetében. 1000

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK 3.1 K AMATOS KAMAT SZÁMÍTÁSA „Évi R %-os kamatláb esetén n év alatt mekkora összegre nő az eredetileg k0 nagyságú tőkénk?” – kérdésre az alábbi képlet segítségével válaszolhatunk:

k n  k 0  (1  r ) n  k 0  q n ahol:

kn felnövekedett érték (pénzösszeg az n. évben) k0 az alaptőke n a futamidő (évek száma) r q

r =R/100 (kamatláb század része) q=1+r, a kamattényező

Például 10 000 Ft, 5% kamatláb mellett, 6 év alatt k6 = 10 000Ft· 1,056 = 13 401 Ft-ra nő. Megjegyzés: Megfigyelhető, hogy a felnövekedett értékek mértani sorozatot alkotnak.

 Gyakorló feladatok 1. Mennyi idő alatt duplázhatjuk meg pénzünket, ha az évi kamatláb a) 6%-os, b) 8%-os? 2. Egy Betéti Társaság évi 11%-os kamatra pénzt helyez el a bankba. Két év múlva felvesz belőle 800 eFt-ot. Hány forint volt az eredeti betét, ha a – behelyezéstől számított – 5. év végén 1350 eFt van a bankszámlájukon?

ANALÍZIS 3.1.1 Á RAJÁNLAT ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Mintapélda Egy gépet szeretnénk vásárolni, melyre két ajánlatunk van:  Az ár 220 000 Ft, melyet most kell kifizetni;  Az ár 280 000 Ft, melyből 140 000 Ft most fizetendő, a fennmaradó összegre kamatmentes haladékot kapunk, így azt két részletben 70-70 eFt-tal egyenlítjük ki kettő, illetve négy év múlva. Melyik ajánlat a kedvezőbb, ha végig 7 %-os kamatlábbal számolunk?

Megoldás A megoldás úgy történik, hogy választunk egy közös időpontot, amikor összehasonlítjuk a két ajánlatot. A kiválasztott időpont lehet akár a vásárlás időpontja, akár az utolsó részlet időpontja, de ettől eltérő időpont is választható. A lényeg hogy a kiválasztott időpontra meghatározzuk mindegyik összeg értékét, és ezeket vetjük össze. A kiválasztott időpont legyen most a vásárlás ideje! Az első ajánlat szerint ekkor 220 eFt-ot kell fizetni. A második ajánlat szerint most 140 eFt-ot fizetünk, továbbá kettő, illetve négy év múlva 70-70 eFt-ot. A kérdés úgy is felvethető, mennyi pénzzel kell most rendelkeznünk, hogy 7 %-os kamatláb mellett kettő, illetve négy év múlva 70 000 Ftunk legyen: 70000 k 0  1,07 2  70000  k0   61141 1,07 2 k 0  1,07 4  70000

 k0 

70000  53403 1,07 4

Vagyis a második ajánlat szerint a vételár a vásárlás időpontjában: 140000 Ft + 61141 Ft + 53403 Ft = 254544 Ft Ezért az első ajánlat a kedvezőbb.

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

 Gyakorló feladatok (árajánlat összehasonlításra) 3. Gépkocsink eladására két ajánlatot kapunk.  A vevő most fizet 500 eFt-ot, majd négy éven keresztül 100100 eFt-ot évente.  A vevő most fizet 700 eFt-ot, majd négy év múlva 200 eFt-ot. Melyik ajánlat kedvezőbb számunkra, ha az elkövetkező négy évben évi 12%-os kamatlábbal számolunk? 4. Mosogatógépet szeretnénk vásárolni, amire két ajánlatot kapunk:  Ár: 140 eFt /szállításkor fizetjük/.  Ár: 160 eFt , amelynek felét szállításkor kell fizetni, míg a másik felére 2 év kamatmentes haladékot kapunk. Hány %-os éves kamatláb mellett azonos a két ajánlat? 3.1.2 A Z INFLÁCIÓ FIGYELEMBEVÉTELE

Mintapélda Első példánkat elővéve, eddig kamatos kamatszámítással megállapítottuk, hogy 10 000 Ft, 5% kamatláb mellett, 6 év alatt k6 = 10 000Ft· 1,056 = 13 401 Ft-ra nő. Azonban ha évi 7 %-os az árszínvonal emelkedés akkor mekkora lesz a 6 év múlva rendelkezésünkre álló tőkénk vásárlóértéke?

Megoldás Felnövekedett tőkénk: k6=13401 Ft Ezzel szemben, a jelenleg 10000 Ft-ba kerülő áru 6 év múlva az ár6 színvonal emelkedése miatt 10000 1,07  15007 Ft-ba fog kerülni. Tehát tőkénk vásárlóértéke csökkent, hiszen 13401 Ft-unk van, de a korábbi 10000 Ft-os termékért 6 év múltán 15007 Ft-ot kellene fizetnünk. Pénzünk értéke 6 év elteltével tehát:

13401  0,893  89,3% 15007

Vagyis 10,7 % a vásárlóérték csökkenése.

ANALÍZIS Összefoglalva: R %-os évi kamatláb, F %-os évi árszínvonal emelkedés esetén a tőke vásárlóértéke n

R   1  100   szeresére változik n év alatt. F 1     100 

 Gyakorló feladatok 5. Hány %-kal változik a pénz vásárlóértéke 8 éves időszakban, ha a) az éves banki kamatláb 10%, és az éves infláció 9%, b) az éves banki kamatláb 9%, és az éves infláció 10%? 6. Legalább mekkora jövedelmezőséggel fektessük be pénzünket, ha 4 év alatt 8,5%-os infláció mellett kívánjuk megduplázni? 3.2 J ÁRADÉKSZÁMÍTÁS A rendszeresen, egyenlő időközökben fizetett összegek sorozatából álló pénzügyi konstrukciók esetében járadékról beszélünk. A fizetések célja lehet, hogy a befizető valamekkora pénzösszeget gyűjtsön össze, vagy, hogy a fennálló tartozását rendezze a befizetésekkel. Az első esetben gyűjtőjáradéknak, a második esetben törlesztőjáradéknak nevezzük.1 A járadékszámításnak több lehetséges módja van, azonban az egyszerűsítés kedvéért mi most csak azokkal az esetekkel foglalkozunk, ahol évente fizetünk, és minden évben azonos összegeket. 3.2.1 G YŰJTŐJÁRADÉK R %-os kamatláb esetén, n éven keresztül, minden év elején elhelyezünk „a” összeget egy pénzintézetnél. Kérdés: az utolsó befizetés után egy évvel mekkora összeg áll a rendelkezésünkre? 1

Csernyák, Analízis 243.o.

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK A befizetések egy n elemű mértani sorozat tagjait alkotják, melynek első tagja (az utolsó befizetés) aq, kvóciense q. Így az utolsó befizetés után egy évvel rendelkezésre álló összeget , a középiskolában tanult mértani sorozat összegképletével kaphatjuk meg.2 Gyűjtőjáradék képlete:

qn 1 S n  aq q 1 ahol:

n: q:

a futamidő (évek száma) a kamattényező (q=1+R/100) az évek során összegyűlt, és felnövekedett összeg annuitás (évente befizetett állandó összeg)

 Gyakorló feladatok (gyűjtőjáradék számításra) 7. Minden év elején 450 eFt-ot helyezünk el a bankba, éves 6,5%-os kamatra. a) Mennyi pénzünk gyűlik össze a 6. év végére? b) Hány év alatt gyűlik össze 6 millió Ft? 8. Minden év elején 980 eFt-ot helyezünk el a bankban éves 11%-os kamatra. a) Mennyi pénzünk gyűlik össze az 7. év végére? b) Hány év alatt gyűlik össze 15 millió Ft? 3.2.2 T ÖRLESZTŐJÁRADÉK R %-os kamatláb esetén felveszünk Vn összegű kölcsönt (esetleg kölcsönadunk ekkora összeget). A törlesztés a felvétel után egy évvel kezdődik, azonos időközönként, évente egyszer, azonos nagyságú részletekkel. Az adatok közti összefüggést a következő képlet mutatja, melyet szintén a mértani sorozat összegképletének segítségével vezethetünk le.3

2 3

Levezetés megtalálható Csernyák: Analízis Tk.-ben 244-245. old. Levezetés megtalálható Csernyák: Analízis Tk.-ben 246-247. old.

ANALÍZIS Törlesztőjáradék képletei:

a qn 1 Vn  n q q 1

1  vn Vn  av 1 v

ahol:

n: q: v:

a futamidő (évek száma) a kamattényező (q=1+R/100) a diszkonttényező (v=1/q) a kölcsön összege n évre annuitás (évente befizetett állandó összeg)

 Gyakorló feladatok (törlesztőjáradék számításra) 9. A bank évi 16%-os kamatláb mellett 1 év türelmi idővel, annuitástörlesztéssel ad kölcsönt. Mekkora összegű kölcsönt vehetünk fel 7 éves futamidőre; ha évente 200e Ft-ot tudunk a törlesztésre fordítani? 10. Felveszünk 4 millió Ft kölcsönt éves 18%-os kamatra. A törlesztést egy év múlva kezdjük el és évente 900 ezer Ft-ot fizetünk. Hány év alatt fizetjük vissza a tartozást? 11. Kétmillió Ft-ot helyezünk el évi 9,5%-os kamatra. Egy év elmúltával, 10 éven át egyenlő összegeket kívánunk felvenni úgy, hogy a 10-ik év végén ne maradjon pénzünk. Mennyi az annuitás öszszege? 12. Egy pénzintézetből 6 millió forint kölcsönt veszünk fel 17%-os éves kamatra. A törlesztést a felvétel után egy évvel kell megkezdeni, és évente egy összegben kell megfizetni. a) Ha 15 év alatt akarjuk törleszteni a hitelt, mennyi lesz az éves törlesztőrészlet? b) Ha az éves törlesztőrészlet 1 millió Ft, hány év alatt tudjuk visszafizetni a tartozásunkat?

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK 3.2.3 Ö SSZEGYŰJTÖTT PÉNZ FE LVÉTELE JÁRADÉK FORM ÁJÁBAN

Mintapélda 8 éven át minden év elején 100 000 Ft-ot helyezünk el egy pénzintézetnél. Évi 7 %-os kamatláb esetén mennyi pénzünk lesz a 8-adik év végén? A gyűjtőjáradék képlete alapján: 1,078  1 S8  100000  1,07  1097799 Ft 1,07  1 A fenti példát folytatva, az összegyűlt összeget járadék formájában szeretnénk visszakapni. A járadék összege legyen évi 150000 Ft, közben a kamatláb 6 %-ra csökkent. Hány éven keresztül vehetjük fel ezt az összeget? Megoldás: Úgy gondolkodhatunk, mintha mi adtunk volna kölcsönt a banknak, melyet 150000 Ft-os részletekben törleszt Tehát a törlesztőjáradék képlete alapján a következő egyenlethez ju150000 1,06 n  1  tunk: 1097799  1,06 n 1,06  1

Ezt az egyenletet kell megoldani az „n” ismeretlenre. Rendezzük az egyenletet! 1097799  0,06 1,06 n  1  150000 1,06 n

0,439  1,06 n  1,06 n  1

1  0,561 1,06n 1,7825  1,06n lg 1,7825  n lg 1,06 Ahonnan: n = 9,9, vagyis 10 évig kapjuk a 150000Ft-os járadékot.

ANALÍZIS

 Gyakorló feladat 13. Tíz éven keresztül évi 11 %-os kamatlábbal és 400eFt annuitással gyűjtésbe kezdünk. A gyűjtés befejezésétől számított 1 év múlva a tőkét 8 év alatt évjáradék formájában évi 10%-os kamat mellett feléljük. Mekkora a felélés évjáradéka?

 Megoldások 1. a) k0 ·1,06n = 2· k0



n=11,9 (év)

b) k0 ·1,08n = 2· k0



n= 9,006 (év)

2. Ha a jelen idő az 5. év vége: (k0·1,112- 800)·1,113 = 1350 

k0 = 1450,47 eFt

Ha a jelen idő a betét behelyezésének ideje: 1 1 k 0  1350   800   1450,457 eFt 5 2 1,11 1,11 3. a) 500  100 

1 1 1 1  100   100   100   803,735 eFt 2 3 1,12 1,12 1,12 1,124

b) 700  200 

1  827,1036 eFt 4 1,12

Nekünk – mint eladóknak – a második ajánlat a kedvezőbb! 4. 140 = 80 + 80 · 1/q2 

q = 1,1547

R=15,47%-os kamatláb mellett azonos a két ajánlat.

3. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK 5. a)  1,1  k0   1 , 09  

7,58%-kal nő a pénz vásárlóértéke

 1,09  k0   1 , 1   6.

7,05%-kal csökken a pénz vásárlóértéke

q4 k0   2k0 1,0854



q  1,29

Legalább 29%-os jövedelmezőséggel kell befektetni. 7. a) 1,0656  1 S 6  450  1,065   3385,291 eFt 0,065

b) 1,065n  1 S n  450  1,065   6000 0,065



n  9,45 év

8. a) 1,117  1 S 7  980 1,11   10642,246 eFt 0,11 1,11n  1 b) 15000  980 1,11   1,11n  2,5168  n  8,84 év 0,11

10.

200 1,167  1 V7    807,713 eFt 1,167 0,16

1,18 n  1 4 1,18  0,9  0,18 n



n  9,72 év

ANALÍZIS

11.

1,09510  1 2  1,095  a   a  0 ,3185 millióFt 0 ,095 10

12. a) 6 1,17

1,17 15  1  a 0,17

a  1,1269 millióFt

1,17 n  1 6 1,17  a  0,17 n

Nem létezik ilyen „n”!

17%-os kamat mellett akkorák a kamatok, hogy 1 millió Ft-os éves törlesztéssel nem lehet visszafizetni a 6 millió Ft-os kölcsönt. 13. 1,1110  1 S n  400eFt  1,11   7424 ,572 eFt  Vn 1,11  1 a 1,18  1 Vn  7424 ,572  8  1,1 1,1  1 a  1391,692 eFt

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 4.1. V ÉGTELENBEN VETT HATÁRÉRTÉK Az alábbiakban a + ∞ –ben vett határértéket tárgyaljuk, de hasonlóan vizsgálható a − ∞ –ben vett határérték is.

+ ∞ –ben vett határértéket úgy olvashatjuk le a függvény grafikonjáról, ha szemünkkel az x tengelyen haladunk a + ∞ felé, és közben figyeljük, hogy a függvényértékek hova tartanak. Akkor mondjuk, hogy az f(x) függvénynek végtelenben a határértéke A, ha minden xn sorozatra, melyre xn → ∞ teljesül, hogy f ( xn ) → A .

lim f (x ) = A

Jelölés:

x →∞

Megjegyzés: A definícióban szereplő „A” lehet valós szám, illetve a határérték tágabb értelmezése alapján + ∞ vagy − ∞ , mint ahogy azt az alábbi három ábra is mutatja.

4 2 −2

−2

lim f (x ) = 3 x →∞

2 1

6 5 4 3 2 1

8 10

−3 −2 −1−1

lim f ( x ) = ∞ x→∞

−3 −2 −1−1 −2 −3 −4 −5

lim f ( x ) = −∞ x →∞

ANALÍZIS

Mintapélda Adja meg a következő határértékeket!

12 + x 2 − 5 x 3 lim x → −∞ 6 x + x 2 + 2

x 2 − 3x + 4 lim x →∞ 6 x 2 + 2 x

+ ∞ -ben a határérték vizsgálatának módszere megegyezik a sorozatoknál tanultakkal. Például: x − 3x + 4 = lim x→∞ 6 x 2 + 2 x x →∞ 2

3 4 + x x2 = 1− 0 + 0 = 1 2 6+0 6 6+ x

1−

lim

− ∞ -ben is hasonlóan vizsgálhatjuk a határértéket, csak az előjelre kell figyelemmel lennünk. Például:

12 + 1 − 5x 2 12 + x − 5 x 0 + 1 − ( −∞) x lim lim = = =∞ x → −∞ 6 x + x 2 + 2 x → −∞ 6 2 0 +1+ 0 +1+ 2 x x 2

Gyakorló feladatok Adja meg a következő határértékeket! 5 x3 + 3 1. lim 3 x → +∞ 1 − 3 x

5 x3 + 3 5. lim 3 x → −∞ 1 − 3 x

x2 − 6x 2. lim 3 x → +∞ 2 x − x + 1

x2 − 6x 6. lim 3 x → −∞ 2 x − x + 1

4 x3 + x 3. lim 2 x → +∞ 2 x − x

4x4 + x 7. lim 2 x → −∞ 2 x − x

− x3 + 2 x 4. lim 2 x → +∞ x + 8

− x3 + 2 x 8. lim 2 x → −∞ x + 8

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 4.2. V ÉGES HELYEN VETT HATÁRÉRTÉK A véges helyen vett határértéket úgy vizsgálhatjuk, hogy egy tetszőleges xn sorozattal tartunk x0 ponthoz ( xn ≠ x0 ) , és vizsgáljuk, hogy f ( xn ) függvényértékek hova közelítenek. Például az itt látható ábrán megfigyelhetjük, hogy bármely xn sorozattal tartunk x0 –hoz (xn ≠ x0 ) , a függvény értékek 3 –hoz közelítenek. Ezt az alábbi módon jelöl- lim f ( x ) = 3

x → x0

jük:

A függvény határértékét azokban a pontokban is vizsgálhatjuk, ahol a függvény nincs értelmezve: Az itt látható függvénynek x0 –ban szakadása van, de határértéket tudunk vizsgálni a 3 szakadási helyeken is. Ahogy bármely xn sorozattal közelítünk x0 –hoz ( xn ≠ x0 ) , az f ( xn ) függvény értékek tartanak 3 –hoz. x0 Jelölése:

lim f ( x ) = 3

x → x0

Definíció: Akkor mondjuk, hogy az f(x) függvénynek x0 –ban a határértéke A, ha minden olyan xn sorozatra, melyre xn → x0 (és xn ≠ x0 ) teljesül, hogy f ( xn ) → A . ( x0 ∈ R ) Jelölés:

lim f (x ) = A

x → x0

Megjegyzés: A definícióban szereplő „A” lehet valós szám, illetve a határérték tágabb értelmezése alapján + ∞ vagy − ∞ , mint ahogy azt az alábbi három ábra is mutatja. 69

ANALÍZIS x0 A

x0 x0

lim f ( x ) = ∞

x → x0

lim f ( x ) = ∞

lim f (x ) = −∞

x → x0

1 x ∈ R /{0} függvény x határértékét vizsgáljuk 0–ban, láthatjuk, hogy különböző értéket kapunk, ha jobb oldalról vagy ha bal oldalról közelítjük a 0–t. Épp ezért 0–ban nincs határértéke a függvénynek.

Amennyiben az f ( x ) =

De azért megvizsgálhatjuk külön a jobb-, és külön a bal oldali határértékét az adott pontban: Ha jobbról (azaz 0 –nál nagyobb értékekkel) közelítünk a 0–hoz, akkor a függvény értékek tartanak a ∞ –be.

Jelölés:

lim+

x →0

1 =∞ x

Nullában az 1/ függvény jobboldali határértéke plusz végtelen. Ha balról (azaz 0–nál kisebb értékekkel) közelítünk a 0–hoz, akkor a függvény értékek tartanak a − ∞ –be.

Jelölés: lim− x→0

1 = −∞ x

Nullában az 1/ függvény baloldali határértéke mínusz végtelen.

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE Definíció: Ha minden olyan xn sorozatra, amelyre teljesül xn → x0 és xn > x0 , igaz, hogy f ( xn ) → A , akkor azt mondjuk, hogy az f (x) függvénynek Jelölés: lim f ( x ) = A a jobboldali határértéke x0 –ban A. x→x0 +

Ha minden olyan xn sorozatra, amelyre teljesül xn → x0 és xn < x0 , igaz, hogy f ( xn ) → A , akkor azt mondjuk, hogy az f (x) függvénynek a baloldali határértéke x0 –ban A. Jelölés: lim f ( x ) = A x→x0 −

Mintapélda

Adja meg a következő határértékeket! x−5 x 2 + x − 12 a) lim 2 b) lim 2 x → −4 x + 9 x + 20 x →2 4 − x

Törtfüggvények határértékének meghatározása véges helyen: Véges („x0”) helyen vett határérték esetén először behelyettesítéssel megpróbáljuk meghatározni a függvény határértékét. Amennyiben valós számot kapunk eredményül f(x0)∈R, és a függvény folytonos (lásd. 4.3) az adott pontban, a határérték megegyezik az így kapott helyettesítési értékkel. A behelyettesítéskor kétféle problémás esettel találkozhatunk: a) „0/0” alak: Ilyenkor számlálóból és nevezőből is kiemeljük (x-x0)-t, majd ezzel az (x-x0)-val egyszerűsítünk. Az így kapott függvény képletébe újból behelyettesítjük az a-t, s ezzel általában már megkapjuk a keresett határértéket. (Amennyiben így még nem jutunk eredményre, akkor attól függően, hogy mit kapunk, az itt leírt módszerek alkalmazásával tovább vizsgálódunk.) A szorzattá alakítás és egyszerűsítés helyett a 0/0 típusú problémás esetekben alkalmazható a L’Hospital szabály is, melyet később a 6.1.4-es fejezetben tárgyalunk. b) „c/0” alak: Ebben az esetben a határérték +∞ vagy -∞ lehet, vagy ha a jobb és baloldali határérték nem egyezik meg, akkor azt mondjuk, hogy nincs határértéke a függvénynek ebben a pontban. Tehát ezt az esetet jobb- és bal oldali közelítéssel vizsgáljuk. 71

ANALÍZIS Nézzünk mindegyik esetre egy-egy példát! a)

0 0 ⇒ típusú határérték 0 0 (x + 4)(x − 3) = lim x − 3 = −7 x 2 + x − 12 lim 2 = lim x →−4 x + 9x + 20 x →−4 (x + 4)(x + 5) x →−4 x + 5 f(-4 ) =

-3 x−5 c ⇒ lim típusú határérték x→2 4 − x 2 0 0 x−5 x−5 −3 lim+ = lim = =∞ 2 − x→2 4 − x x → 2 + (2 − x )(2 + x ) 0 x−5 x−5 −3 lim− = lim = = −∞ 2 x→2 4 − x x → 2 − (2 − x )(2 + x ) 0+ Nincs határértéke 2 - ben. f( 2 ) =

Gyakorló feladatok Adja meg a következő határértékeket! x2 − 9 9. lim 2 x →3 x − 3 x

x 2 − 8x 12. lim 2 x → 8 x − x − 56

x 2 + 3x − 4 10. lim 2 x→ −4 x + 6 x + 8

x 2 − 8x 13. lim 2 x → -7 x − x − 56

2 x 2 − 5x + 2 11. lim x→ 2 x2 − 4

4x + x 2 14. Adja meg az f ( x) = függvény határértékét a szakadási − 2x helyeken és a ±∞ -ben! 15. Határozza meg a következő függvény értelmezési tartományát, vizsgálja a függvény határértékét x = 3-ban x = 0-ban és mínusz végtelenben!

x 2 − 8 x + 15 f ( x) = x 2 − 3x 72

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 4.3. F ÜGGVÉNY FOLYTONOSSÁGA

Definíciók: Legyen f az x0 pont egy környezetében értelmezett! Az f függvényt az x0 pontban akkor nevezzük folytonosnak, ha ott létezik határértéke, és az egyenlő az x0 -beli függvényértékkel, azaz:

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

Ha az értelmezési tartomány egy pontjában a függvény nem folytonos, akkor abban a pontban a függvénynek szakadása van.

Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény folytonos függvény, ha az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos.

Tétel: A polinomfüggvények, a racionális törtfüggvények, az exponenciális függvények, a logaritmus függvények az értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak.

Megoldások 5x 3 + 3 5 1. lim = − 3 3 x → +∞ 1 − 3 x x 2 − 6x 2. lim 3 =0 x → +∞ 2 x − x + 1

ANALÍZIS 4x 4 + x 3. lim = −∞ 2 x → +∞ 2 x − x − x 3 + 2x 4. lim = −∞ 2 x → +∞ x + 8 5x 3 + 3 5 5. lim = − 3 3 x → −∞ 1 − 3 x x 2 − 6x 6. lim 3 =0 x → −∞ 2 x − x + 1 4x 4 + x 7. lim = −∞ 2 x → −∞ 2 x − x − x 3 + 2x 8. lim =∞ 2 x → −∞ x + 8

x2 − 9 ( x − 3)(x + 3) = lim (x + 3) = 6 = 2 9. lim 2 = lim x →3 x − 3 x x →3 x →3 x( x − 3) x 3 x 2 + 3x − 4 ( x + 4)( x − 1) = lim x − 1 = − 5 = 5 10. lim 2 = lim x→ −4 x + 6 x + 8 x → − 4 ( x + 4 )( x + 2 ) x→ −4 x + 2 −2 2 2 x 2 − 5x + 2 ( x − 2)(2 x − 1) = lim 2 x − 1 = 3 lim 11. lim = x→ 2 x → 2 ( x − 2 )( x + 2 ) x→ 2 x + 2 4 x2 − 4 x 2 − 8x x( x − 8) x 8 12. lim 2 = lim = lim = x → 8 x − x − 56 x → 8 ( x − 8)( x + 7 ) x→ 8 x + 7 15

x  lim  x→ -7 + x + 7 = −∞ x − 8x x = lim = 13. lim 2 ⇒ x x → -7 x − x − 56 x → -7 x + 7  lim =∞  x → -7 - x + 7 2

⇒

Tehát –7 –ben nincs határértéke.

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

4x + x 2 x(4 + x ) 4+ x 4 14. lim = lim = lim = = −2 x→ 0 − 2 x x→ 0 − 2 x x→ 0 − 2 −2 15. D f = {x ∈ R x ≠ 0; x ≠ 3} 0 f (3) = 0

f (0) =

⇒

c 0

x 2 − 8 x + 15 ( x − 3)(x − 5) = lim x − 5 = − 2 lim = lim 3 3 3 ( x − 3 )x x 3 x 2 − 3x

x−5  lim x − 8 x + 15 x − 5  0+ x = −∞ lim = lim = 2 x−5 0 0 x x − 3x lim = +∞  0− x 2

0-ban nincs határértéke

x 2 − 8 x + 15 lim =1 −∞ x 2 − 3x

⇒

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 5.1 D IFFERENCIÁLHÁNYADOS FOGALMA , GEOMETRIAI JELENTÉSE

Egy függvény vizsgálatakor nem elegendő annak megállapítása, hogy a függvény növekvő vagy csökkenő. A növekedés / csökkenés mértékének a meghatározása is fontos lehet. Az ábra jól mutatja, hogy az x változó egységnyi növekedésére a függvényértékek különböző mértékben változnak. A kérdés az, hogy hogyan lehetne számmal kifejezni a növekedés ütemét? Mivel a függvény meredeksége pontról pontra is változhat, ezért nem elegendő egységenként a növekedés mértékét vizsgálni. Olyan mutatószámra van szükségünk, mely a függvény tetszőleges pontjánál megmutatja a függvény viselkedését. Válasszunk egy tetszőleges x0 pontot, és vizsgáljuk a függvényt a pont környezetében! Vegyünk az x0 ponthoz közel eső x pontot. Ekkor a függvény „változásának mértékét” az x és x0 által meghatározott intervalf(x) lumon a következő módon száf(x)-f(x0) molhatjuk ki:

∆f (x ) f (x ) − f (x 0 ) = ∆x x − x0

f(x0) x-x0 x0

∆f ( x ) ∆x

különbségekből képzett

hányadost, az f függvény x0 pontbeli differenciahányadosának nevezzük. A differenciahányados geometriailag az (x, f(x)) és az (x0, f(x0)) pontokon áthaladó szelő meredekségét adja meg.

szelő

f(x)

f(x0) x0

ANALÍZIS Minél közelebb van az x pont az x0 -hoz, annál jobban jellemezhető a függvény x0 pont körüli szelők változása a fenti hányadossal. Ahogy az x pontot közelítjük x0 –hoz, a szelők közelednek az x0 pont érintőjéhez. Ez azt jelenti, érintő f (x ) − f (x0 ) hányadohogy az x − x0 x0 sok értéke (szelők meredeksége) közelítik az x0 ponthoz tartozó érintő meredekségét. Így megkaptuk az x0 ponthoz tartozó érintő meredekségét, méghozzá a szelők meredekségét leíró hányados sorozat határértékeként. Jelekkel:

lim x → x0

f (x ) − f (x0 ) x − x0

f ( x ) − f ( x0 ) határérték, akkor x − x x → x0 0 azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban deriválható (differenciálható), és a határértéket az f függvény x0 pontbeli deriváltjának nevezzük. Definíció: Ha létezik (és véges) a lim

Az x0 pontbeli deriváltat röviden

f ′( x 0 ) -al jelöljük.

Az x0 pontbeli derivált f ′( x0 ) megadja, a függvény x0 pontjához húzott érintő meredekségét

Megjegyzés: Miért fontos számunkra a derivált? A derivált segítségével a függvény néhány alapvető tulajdonságáról (monotonitás, szélsőértékek stb.) szerezhetünk információt anélkül, hogy a függvény grafikonját ismernénk. Tehát a deriválás az egyik nélkülözhetetlen eszköze a függvényvizsgálatnak. Deriválás útján olyan függvényt is képesek leszünk elemezni, fontosabb tulajdonságait megállapítani, melyről nincs különösebb tapasztalatunk, nem tartozik az alapfüggvények közé, csupán a hozzárendelési szabályát ismerjük. Erre azonban később, a 6. fejezetben térünk ki részletesen.

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

Mintapélda Határozzuk meg az f ( x) = x 2 függvény x0=2 pontbeli deriváltját! Általánosan, a pontbeli deriváltat a következő képlettel számíthatjuk ki: f (x ) − f ( x0 ) f ′( x 0 ) = lim x − x0 x → x0 A fenti képletbe kell behelyettesítenünk, a példának megfelelően f ( x) = x 2 és x0=2 : ( x − 2)( x + 2) x 2 − 22 f ′(2) = lim = lim x + 2 = 4 = lim x−2 x→2 x − 2 x→2 x→2

m=4

Tehát azt kaptuk, hogy az f ( x) = x 2 függvény deriváltja az x=2 pontban 4, ami szemléletesen azt jelenti hogy a vizsgált parabolának az x=2 pontjához húzott érintő meredeksége 4.

Ha az f ( x) = x 2 függvény más pontjában is kíváncsiak vagyunk a derivált értékére, akkor célszerű egy olyan képletet megadni, amelybe tetszőleges értéket helyettesítve megkaphatjuk az adott pontbeli derivált értékét. Ezt a függvényt nevezzük a derivált függvénynek. 2

Definíció: Az f függvény derivált függvényének nevezzük azt az f ′(x) függvényt, ami azokban a pontokban van értelmezve, ahol a függvény deriválható, és ezekben a pontokban a függvény értéke a pontbeli derivált értéke. A derivált függvény jelölése: f ′(x) vagy

df ( x ) dx

A derivált függvény meghatározását nevezzük deriválásnak. A deriválás műveletet a közgazdaságtan is széles körben alkalmazza.

ANALĂ?ZIS A VĂ LTOZĂ S MĂ&#x2030;RTĂ&#x2030;KE Ă&#x2030;S JELENTĹ?SĂ&#x2030;GE A KĂ&#x2013;ZGAZDASĂ GTANBAN

MatematikĂĄban a derivĂĄltat a fĂźggvĂŠny grafikonjĂĄhoz, az adott pontban rajzolt ĂŠrintĹ&#x2018; meredeksĂŠgekĂŠnt ĂŠrtelmeztĂźk. A kĂśzgazdasĂĄgtanban mĂĄs ĂŠrtelmezĂŠsek fontosabbak1. A fĂźggvĂŠny derivĂĄltjĂĄnak elĹ&#x2018;jelĂŠbĹ&#x2018;l megĂĄllapĂthatjuk a vĂĄltozĂĄs irĂĄnyĂĄt; de hogyan mutatja meg a derivĂĄlt, a vĂĄltozĂĄs mĂŠrtĂŠke? TegyĂźk fel, hogy valamely y mennyisĂŠg fĂźgg az x mennyisĂŠgtĹ&#x2018;l, ĂŠs ezt a kapcsolatot az alĂĄbbi fĂźggvĂŠny Ărja le. Adott esetĂŠn . Ha az vĂĄltozĂł ĂŠrtĂŠke -rĂłl -ra vĂĄltozik, ĂŠrtĂŠke -rĂłl -ra vĂĄltozik. Ez alapjĂĄn mondhatjuk, hogy a fĂźggvĂŠny ĂŠrtĂŠkĂŠnek megvĂĄltozĂĄsa: . Az mennyisĂŠg ĂĄtlagos megvĂĄltozĂĄsa az -tĂłl -ig terjedĹ&#x2018; intervallumon: Ami valĂłjĂĄban nem mĂĄs, mint az kĂźlĂśnbsĂŠgi hĂĄnyadosa. Amennyiben , intervallum hosszĂĄt csĂśkkentjĂźk, azaz 0, akkor fĂźggvĂŠny pillanatnyi vĂĄltozĂĄsĂĄt kapjuk az pontban; ami megfelel derivĂĄltjĂĄnak az pontban. megadja az pillanatnyi vĂĄltozĂĄsĂĄt az pontban A kĂśzgazdasĂĄgtudomĂĄny a derivĂĄlt elnevezĂŠs helyett a hatĂĄr (Margin) terminolĂłgiĂĄt hasznĂĄlja. Nevezetes hatĂĄrfĂźggvĂŠnyek a kĂśzgazdasĂĄgtanban a hatĂĄrkĂśltsĂŠg MC(q), a hatĂĄrbevĂŠtel MR(q), a hatĂĄrhaszon MU(x), ĂŠs a hatĂĄrprofit MÎ (q).2 A folytatĂĄsban nĂŠzzĂźk meg hogyan kaphatĂł meg nĂŠhĂĄny elemi alapfĂźggvĂŠny derivĂĄlt fĂźggvĂŠnye.

1 2

SydsĂŚter-Hammond: Matematika kĂśzgazdĂĄszoknak 107.o. A jegyzet 101. oldalĂĄn rĂŠszletesebben olvashatunk ezekrĹ&#x2018;l a fĂźggvĂŠnyekrĹ&#x2018;l.

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 5.2 ELEMI ALAPFÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJAI3 konstans függvény:

Pl.:

(c )′ = 0

5′ = 0

hatvány függvény:

Pl.: (x )′ = 4x 4

( xα )′ = α ⋅ xα −1 3

′ −1 1 −1 ′ = −1x − 2 = 2   = x x  x 1 ′   1 −21 ′ 1 2 x =  x  = x = 2 x   2 2 ′ ′   2 −31 2 3 2 3 x =x  = x = 3   3 3 x  

( )

exponenciális függvény:

′

Pl.: (2 ) = 2 x

(e )′ = e x

ln 2

′  1 x   1  x 1     =   ln   2  2    2 

logaritmus függvény:

(ln x )′ = 1

(log a x )′ =

Pl.: 3

(log 3 x )′ =

1 x ⋅ ln a

1 x ⋅ ln 3

A bizonyítások megtalálhatóak Csernyák L.: Analízis Tk.-ben (129.o.)

(a )′ = a x

⋅ ln a

ANALÍZIS 5.3 D IFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK 1. Függvény konstans-szorosának deriválása:

(c ⋅ f )′ = c ⋅ f ′ ′

Pl.: (5x ) = 5 ⋅ 7 x 7

(c: konstans)

= 35 x

′ − 18 6 −3 ′ = 6 ⋅ (− 3)x − 4 = 4  3  = 6x x x 

(

)

2. Összeg és különbség függvény deriváltja:

′ ± g ) = f ′ ± g′

(

)

′

−1

3 1 Pl:: 10 − x + 8 − ln x = 0 − x 4 + 8 x ln 8 − 4 x

3. Szorzat függvény deriváltja:

( f ⋅ g )′ =

f ′ ⋅ g + f ⋅ g′

Pl.: (x 4. Hányados függvény deriváltja:

′ f f ′ ⋅ g − f ⋅ g′   = g2 g 1 ′ 1 ⋅ ln x − x ⋅  x  x = ln x − 1 Pl.:   = 2 ln x ln 2 x  ln x 

′ ⋅ e x = 3x 2 ⋅ e x + x 3 ⋅ e x

)

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

( f ( g ))′ = f ′( g ) ⋅ g ′

5. Összetett függvény deriváltja:

Szavakkal egyszerűen úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a külső függvény deriváltját szorozni kell a belső függvény deriváltjával. Ahol a fenti példában az jelöli a külső függvényt, a belső függvényt. Vizsgáljuk meg, hogy a külső függvény típusától függően milyen esetekkel találkozhatunk, és ezeknél hogyan végezzük el a deriválás műveletét!

( f α )′ = α ⋅ f α −1 ⋅ f ′ ,α ∈ R (e f )′ = e f ⋅ f ′ f ′ (a ) = a f ⋅ ln a ⋅ f ′ (ln f )′ =

1 ⋅ f′ f (log a f )′ = 1 ⋅ f ′ f ⋅ ln a

Pl.:

((x

(e (3

+ ex

) ) = 5(x 5

) =e )′ = 3 ′

x 3 +8 x +1

5 x 2 +3 x

′

+ ex

x 3 +8 x +1

5 x 2 +3 x

(ln(6 x + 2))′ =

(log (2 x

) ⋅ (6 x 4

+ ex

)

⋅ (3x 2 + 8)

⋅ ln 3 ⋅ (10 x + 3)

1 ⋅6 (6 x + 2)

+ 18 x

))′ =

1 ⋅ (10 x 4 + 18) 5 (2 x + 18 x) ⋅ ln 7

ANALÍZIS

Gyakorló feladatok 1. Határozza

meg

f ( x ) = 5 x 3 x ⋅ ln x −

6 + e 4 x −1 2 x

függvény

deriváltfüggvényét!

x 2 − 3 x + 1 2 x +6 +e + ln x − 2 x 3 ⋅ x függvényt! f ( x) = x−6

2. Deriválja az

3. Adja meg az f ( x ) =

ln x , x ∈ ] 0; ∞ [ első és második deriváltját! x3

Deriváljuk a következő függvényeket! x 1 + x2

f ( x) =

f ( x) = x 8 8 x

f ( x ) = ln

12. f ( x ) = e x (x 2 + 3 x 5 ) 3

2a + a 2 13. f ( a) = a

1 1 + 2x

(

f ( p) = 1 + e p + e

32 a+1 f (a) = a3

f ( x) = x

10.

(8 x f ( x) =

14. f ( x) = 3 x 2 −

)

2 x

15. f ( x ) = e x (x 2 − 2 x + 2) 1 + ex 16. f ( x ) = 3 x + 2x

17. f ( x ) = 3e − x

+ 2x) ln x

ln x 2 18. f ( x ) = x

ln 4 p 11. f ( p ) = p 84

+6x−4

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

Megoldás 1. 7 35 52 1 f ′( x ) = ⋅ x ⋅ ln x + 5 x 2 ⋅ + 6 ⋅ 2 ⋅ x − 3 + e 4 x −1 ⋅ 4 = x 2 12 35 = ⋅ x 5 ⋅ ln x + 5 x 5 + 3 + 4e 4 x −1 2 x

( 2 x − 3)( x − 6 ) − (x 2 − 3 x + 1) 2 x+6 1 7 52 +e ⋅2 + − 2⋅ ⋅ x f ′( x ) = x 2 (x − 6 )2

3. 1 3 ⋅ x − ln x ⋅ 3 ⋅ x 2 1 − 3 ln x f ′( x ) = x = x6 x4

1 − 3 ⋅ x 4 − (1 − 3 ln x ) ⋅ 4 x 3 x f ′′( x ) = = x8 − 3x 3 − 4 x 3 + 12 x 3 ⋅ ln x 12 ln x − 7 = = x8 x5 4.

1 ⋅ (1 + x 2 ) − x ⋅ 2 x 1− x2 f ′( x) = = (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2

f ′( x) = 8 x 7 ⋅ 8 x + x 8 ⋅ 8 x ln 8

f ′( x) =

1 −2 −2 −2 ⋅ = (1 + 2 x) ⋅ = 2 2 1 1 + 2x (1 + 2 x ) (1 + 2 x) 1 + 2x

ANALÍZIS 7. 8.

f ′( p) = e + e p

1 −2 e p p ⋅ p =e + 2 2 p

′ 1  2 a +1 1  − 2 a + 1  3 2  1  3  2 32a +1 ln 3 ⋅ 2 ⋅ a 3 − 32a +13a 2 f ′(a ) =   3   =  3  ⋅ a6  a   2  a   

f ( x) = x

 1    x =  x x ⋅ x 4     

1 3

1 2

 17  24  =x  

17 − 24 17 f ′( x) = x = 24 7 24 24 x 3(8 x 2 + 2 x ) ⋅ (16 x + 2) ⋅ ln x − (8 x 2 + 2 x ) ⋅ 2

10. f ′( x) =

(ln x )2 4 ln 3 p ⋅

11. f ′( p ) =

1 ⋅ p − ln 4 p ⋅ 1 4 ln 3 p − ln 4 p p = p2 p2

12. f ′( x) = e x 3 x 2 ⋅ (x 2 + 3 x 5 ) + e x ⋅ (2 x + 15 x 4 ) 3

(2 ln 2 + 2a ) a − (2 + a ) 1 a − 2 2 13. f ′(a ) = a 1

1 x

5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 2

− 2 14. f ( x) = x − = x 3 − 2x 2 x 3

3 − 2 −3 2 1 f ′( x) = x + x 2 = 3 + 3 3 x x3

15. f ′( x) = e x (x 2 − 2 x + 2) + e x (2 x − 2) = e x x 2

16. f ′( x) =

(

)

x + 2 x − (1 + e x )(1 3 x −2 3 + 2 x ⋅ ln 2)

(

x + 2x

)

17. f ′( x) = 3e − x +6 x−4 ⋅ (− 2 x + 6 ) 2

1 ⋅ 2 x ⋅ x − ln x 2 ⋅ 1 2 2 − ln x 2 x = 18. f ′( x) = x2 x2

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA FÜGGVÉNYEK ELEMZÉSÉNÉL

6.1 A FÜGGVÉNYDISZKUSSZIÓ ALAPSÉMÁJA A függvény elemzésekor a különböző tulajdonságok vizsgálatát bizonyos esetekben egymástól függetlenül végezhetjük, de a teljes vizsgálat során érdemes az alábbi sorrendet követni. 6.1.1 É RTELMEZÉSI TARTOMÁNY MEGHATÁROZÁSA ( HA NEM JELZIK )

A valós számok lehető legbővebb részhalmazát kell megadni, ahol a függvény értelmezve van. (Például törteknél a nevező nem lehet nulla.) Értelmezési tartomány jele: Df 6.1.2 T ENGELYMETSZETEK , JELTARTÁS

x-tengelymetszet: Abban a pontban metszi a függvény grafikonja az x-tengelyt, ahol a függvényérték 0. f(x)=0 Ezt hívjuk zérushelynek. y-tengelymetszet: Abban a pontban metszi a függvény grafikonja az y-tengelyt, ahol az x = 0. 6.1.3 P ARITÁS

A páros illetve a páratlan függvények esetében elegendő az értelmezési tartomány nemnegatív értékein az elemzést elvégezni – ezzel időt takarítva meg –, mivel a többi tulajdonság a szimmetria miatt már kikövetkeztethető. 6.1.4 H ATÁRÉRTÉK

Határértékeket ±∞-ben, vagy az értelmezési tartomány végpontjaiban, valamint a szakadási helyeken szoktuk vizsgálni. A 4. fejezetben láthattunk példákat a határérték vizsgálatára, azonban létezik egyéb módszer is a határérték meghatározására. Például bizonyos esetekben alkalmazható a L’Hospital szabály, ami sok esetben lényegesen leegyszerűsíti a határérték vizsgálatát.

ANALĂ?ZIS Lâ&#x20AC;&#x2122;HOSPITAL SZABĂ LY Ă&#x2030;S ALKALMAZĂ SA FĂźggvĂŠny-hatĂĄrĂŠrtĂŠkszĂĄmĂtĂĄsnĂĄl gyakran talĂĄlkozunk olyan tĂśrtfĂźggvĂŠny hatĂĄrĂŠrtĂŠkĂŠnek a kiszĂĄmĂtĂĄsĂĄval, ahol a szĂĄmlĂĄlĂł ĂŠs a nevezĹ&#x2018; hatĂĄrĂŠrtĂŠke is 0, vagy mindkettĹ&#x2018; â&#x2C6;&#x17E;. Az ilyen hatĂĄrĂŠrtĂŠkeket vagy tĂpusĂş, Ăşn. ha tĂĄrozatlan alakĂş hatĂĄrĂŠrtĂŠkeknek nevezzĂźk. Ezzel azt is jelezzĂźk, hogy mĂŠg bizonyos ĂĄtalakĂtĂĄsok meggondolĂĄsok szĂźksĂŠgesek a hatĂĄrĂŠrtĂŠk kiszĂĄmĂtĂĄsĂĄhoz. Ezekben az esetekben segĂt nekĂźnk a Lâ&#x20AC;&#x2122;Hospital szabĂĄly. ĂŠ : Ha az ĂŠs fĂźggvĂŠnyek az pont kĂśrnyezetĂŠben differenciĂĄlhatĂłk ĂŠs itt ( ) * + 0,

tovĂĄbbĂĄ lim ) * lim ) * 0, /01

/01

vagy lim | ) *| lim | ) *| â&#x2C6;&#x17E;, /01 (

/01

) * hatĂĄrĂŠrtĂŠk lĂŠtezik, akkor /01 ( ) *

ĂŠs lim

) * ( ) * lim lim ( /01 ) * /01 ) *

amit Lâ&#x20AC;&#x2122;Hospital szabĂĄlynak nevezĂźnk.

MegjegyzĂŠs: 1. A tĂŠtel akkor is ĂŠrvĂŠnyes, ha a +â&#x2C6;&#x17E; vagy a â&#x20AC;&#x201C;â&#x2C6;&#x17E; -ben vett hatĂĄrĂŠrtĂŠket szĂĄmĂtjuk ki. 2. A tĂŠtel â&#x20AC;&#x201C;a feltĂŠtelek mĂłdosĂtĂĄsa mellettâ&#x20AC;&#x201C; egyoldali hatĂĄrĂŠrtĂŠk kiszĂĄmĂtĂĄsĂĄra is alkalmas. 3. Ha a Lâ&#x20AC;&#x2122;Hospital szabĂĄly alkalmazĂĄsa utĂĄn is vagy tĂpusĂş hatĂĄ rozatlan alakot kapunk, akkor a szabĂĄly termĂŠszetesen ĂşjbĂłl alkalmazhatĂł, feltĂŠve, ha f ĂŠs g tĂśbbszĂśr differenciĂĄlhatĂł.

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 6.1.5 M ONOTONITÁS , HELYI SZÉLSŐÉRTÉK

Monotonitás Az (a,b)-on differenciálható f(x) függvény akkor és csak akkor növekvő az (a,b)-on, ha minden x∈(a,b)-re f’(x)≥ 0. („Első derivált pozitív.”) Az (a,b)-on differenciálható f(x) függvény akkor és csak akkor csökkenő az (a,b)-on, ha minden x∈(a,b)-re f’(x)≤ 0. („Első derivált negatív.”) Szélsőérték Egy f(x) függvénynek egy adott (a) pontban csak akkor lehet szélsőértéke, ha f’(a)= 0. Azokat a pontokat, ahol f’(a)= 0 stacionárius pontoknak nevezzük. Ha meghatároztuk, hogy mely értékek esetén lesz f’(x)= 0 (azaz megkerestük a stacionárius pontjait), akkor megvizsgáljuk, hogy a kapott pontokban valóban szélsőértéke van-e a függvénynek illetve, hogy milyen a jellegük (minimum vagy maximum). Erre két módszer kínálkozik (melyek közül mindenki szabadon választhat). Egyik lehetőség: Monotonitás alapján, az első derivált előjelváltásának vizsgálatával állapítjuk meg a szélsőértékeket. Ilyenkor egy táblázatot készítünk, amelyben felvesszük azokat a pontokat, ahol az első derivált nulla (stacionárius pontok), illetve a stacionárius pontok által meghatározott intervallumokat. Majd vizsgáljuk az így keletkezett intervallumokban a derivált előjelét. Azoknál a stacionárius pontoknál, ahol az első derivált előjelet vált ott vannak a függvény szélsőértékei. Ha az első derivált előjele pozitívból megy át negatívba akkor maximuma, ha negatívból pozitívba, akkor minimuma van a függvénynek. Másik lehetőség a szélsőérték meghatározására: Második derivált előjelének vizsgálatával is következtethetünk a szélsőértékekre. Ha f’’(a) > 0 akkor f(x)-nek a-ban helyi minimuma, f’’(a) < 0 esetén f(x)-nek a-ban helyi maximuma van. Megjegyzés: Az itt megállapított szélsőértékek, helyi szélsőértékek.

ANALÍZIS 6.1.6 K ONVEXITÁS , INFLEXIÓS PONT

Míg az f(x) függvény monotonitást az első derivált, addig a konvexitást a második derivált f”(x) előjelének vizsgálatával dönthetjük el. Egy (a,b)-on kétszer differenciálható f(x) függvény az (a,b)-on akkor és csak akkor konvex, ha minden x∈(a,b) esetén f’’(x)≥ 0 . Egy (a,b)-on kétszer differenciálható f(x) függvény az (a,b)-on akkor és csak akkor konkáv, ha minden x∈(a,b) esetén f’’(x)≤ 0 . Inflexiós pont Egy f(x) függvénynek egy adott (a) pontban csak akkor lehet inflexiós pontja, ha f’’(a)= 0. Ha meghatároztuk, hogy mely értékek esetén lesz f’’(x)= 0, akkor megvizsgáljuk, hogy a kapott pont valóban inflexiós pont-e. Ezt legegyszerűbben a második derivált előjelváltása alapján tudjuk eldönteni. Ha a vizsgált pontban megváltozik a második derivált előjele, akkor ott inflexiós pontja van a függvényünknek. 6.1.7 G RAFIKON FELVÁZOLÁSA

Az előző pontokban megállapított függvény tulajdonságok figyelembe vételével felvázolható a függvény grafikonja. /Ha kigyönyörködtük magunkat, jöhet az utolsó két lépés. ☺/ 6.1.8 A BSZOLÚT ( GLOBÁLIS ) SZÉLSŐÉRTÉKEK

Abszolút minimum, illetve abszolút maximum megadása (amennyiben léteznek). A 6.1.5 pontban kapott helyi szélsőértékek közül kerülhetnek ki az abszolút, más néven globális szélsőértékek. Az abszolút szélsőértékeket legkönnyebben a függvény grafikonjáról olvashatjuk le. (Csak a felülről korlátos függvénynek lehet abszolút maximuma, és csak az alulról korlátos függvénynek lehet abszolút minimuma.) 6.1.9 É RTÉKKÉSZLET

Az értékkészletet – az f(x) függvényértékek halmazát –, szintén a függvény grafikonján állapíthatjuk meg legegyszerűbben. (A függvényértékeket az y-tengelyről olvashatjuk le.) A függvény értékkészletének a jele: Rf

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

Gyakorló feladatok 1. Határozza meg az f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 12, x ∈R függvény szélsőértékeinek helyét, jellegét és értékét! 2. Határozza meg az f ( x ) = x ⋅ e − x függvény monotonitási intervallumait, lokális szélsőérték helyeit, konvex/konkáv intervallumait, illetve inflexiós pontjának koordinátáit! 3. Határozza meg az f ( x ) = 5x 2 ⋅ ( x 2 − 24) x ∈R függvény konvex-, konkáv intervallumait, inflexiós pontjait! 4. Adott a következő függvény: f (x ) =

5x 1 + x2

D f := R + ∪ {0}

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk:

f' f"

x =0 + 0

0<x<1 + –

x =1 0 –

1<x< – –

x= – 0

]

[

3, ∞

– +

a) A függvénygrafikon felrajzolásához szükséges helyeken vizsgálja a függvény határértékét, vázolja a függvény grafikonját, majd adja meg a függvény értékkészletét! b) Mely intervallum(ok)on növekvő, illetve csökkenő a függvény? c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek? d) Hol van a függvénynek inflexiós pontja?

ANALÍZIS 5. Adott a következő függvény:

f (x ) =

1 x2 + 2x + 5

x∈R

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk ahol a megadásnál a 41 4 ket használtuk:

6√8 8

9 42,15 é< 4 1 =

x<-2,15 x= -2,15 -2,15<x<-1

f' f" f

+ +

+ 0

6√8 8

9 0,15 közelítő értéke-

x= -1 -1<x<0,15 x=0,15 0,15<x

+ –

0 –

– –

– 0

– +

a) Vizsgálja meg a függvény határértékét a függvénygrafikon felrajzolásához szükséges helyeken! b) Mely intervallum(ok)on növekvő, ill. csökkenő a függvény? c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek? d) Hol konvex és hol konkáv a függvény? Van-e inflexiós pontja a függvénynek? e) Vázolja a függvény grafikonját! f) Adja meg a függvény értékkészletét! 6. Adott a következő függvény:

x2 −1 f (x ) = 2 x +1

x∈R

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk:

f' f" f

1 > 4? 3

– –

1 4? 3

– 0

1 4? > > 0 3

– +

0 +

1 0> >? 3

+ +

1 ? 3

+ 0

1 ? > 3

+ –

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT a) Vizsgálja meg a függvény határértékét a függvénygrafikon felrajzolásához szükséges helyeken! b) Mely intervallum(ok)on növekvő, ill. csökkenő a függvény? c) Hol, milyen értelmű és mekkora helyi szélsőértéke(i) van(nak) a függvénynek? d) Hol konvex és hol konkáv a függvény? Van-e inflexiós pontja a függvénynek? e) Vázolja a függvény grafikonját! f) Adja meg a függvény értékkészletét!

7. Adott a következő függvény:

x2 f (x ) = x −1

x ∈ R /{1}

A függvény vizsgálatánál a következő táblázathoz jutunk:

f' f" f

+ –

0 –

0<x<1

– –

1<x<2

x=2

2<x

– +

0 +

+ +

ANALÍZIS

Megoldások 1.

f ( x ) = x3 − 6 x 2 + 12 f ′( x ) = 3 x 2 − 12 x = 0 3x( x - 4 ) = 0 x1 = 0 x2 = 4 x<0 + ↑

f' f f (0) = 12

x=0 0<x<4 x=4 0 – 0 Max. ↓ Min.

x>4 + ↑

f (4) = −20

A függvénynek az x=0 helyen lokális maximuma van, értéke 12, x=4 helyen abszolút minimuma van, értéke -20. 2.

f ( x) = x ⋅ e − x f ′( x ) = e − x + x ⋅ e − x ⋅ (− 1) = e − x (1 − x ) = 0 x =1 f′

x<1 + ↑

x=1 0 max.

x>1 ↓

Ha x<1, akkor a függvény szig. mon. nő, ha x>1, akkor szig. mon. csökken.

f ′′( x ) = e − x ⋅ (− 1) ⋅ (1 − x ) + e − x ⋅ (− 1) = e − x ( x − 2) = 0 x =2 x<2 x=2 x>2 f ′′ 0 + konkáv Infl. pont konvex f f (2 ) =

2 e2

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Ha x<2, a függvény konkáv. Ha x>2, a függvény konvex. Inflexiós pont: (2;

2 ) e2

f ( x ) = 5 x 4 − 120 x 2

f ′( x ) = 20 x 3 − 240 x f ′′( x ) = 60 x 2 − 240 = 0 ⇒ x1 = −2

]− ∞;−2[

]- 2;2[

konvex;

INFL1 (- 2;-400)

x2 = 2

konkáv;

]2;+∞[

konvex

INFL2 (2;−400)

4. a)

5x 0   = = 0  lim  2 1  0+ 1 + x 

lim ∞

5x =0 1 + x2

y 2,5 2,16

1 1,73

f (1) = 2,5

Rf = [0; 2,5]

b) [0;1] növekvő , c) ABSZ.MIN(0;0) , d) ABCD E√3;

G√8 H

[1; ∞ [ csökkenő ABSZ.MAX(1; 2,5)

I ~ ABCD )1,73; 2,16* 97

ANALÍZIS 5. a)

c) d)

lim

1 0 6 = 2 = 5

1 0 M 6 = 2 = 5

lim

N 4 ∞; 41N OöP QPő S41; ∞S T<öQQ Oő

UVWX. ZU[)41; 0,25*

N 4 ∞; 42,15N Q\OP S42,15; 0,15N Q\OQáP S 0,15 ; ∞ S Q\OP

ABCD)42,15; 0,19* é< ABCD)0,15; 0,19* e) y 0,25 0,19

-2,15

^_ N0; 0,25N

-1

0,15

6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 6. a)

b) c) d)

6 4 1 lim 6 1 =1

N 4 ∞; 0N T<öQQ Oő,

6 4 1 lim 6 1 M = 1

S 0; ∞ S OöP QPő

UVWX. ZAB)0; 41*

`4∞; 4a8` Q\OQáP, b

c4a8; a8` Q\OP , b

ca8 ; ∞c Q\OQáP b

ABCD d4a8; 40,5e é< ABCD da8; 40,5e b

e) y

1 -0,58

0,58

-0,5

-0,5 -1

^_ S41; 1S

ANALร ZIS 7. a)

6 lim โ 41

6 lim 4โ M 4 1 T U รผ PรฉOfO Q 1 4 g O รญij<รบ <l Q mรก<n o f P O. 0 6 p\gg\ m n o รกqรฉq รฉQ 1 4 g O: limr โ /0b 4 1 6 g \ m n o รกqรฉq รฉQ 1 4 g O: lims 4โ /0b 4 1 N 4 โ ; 0N OรถP QPล , S0; 1S T<รถQQ Oล N1; 2N T<รถQQ Oล , S2; โ S OรถP QPล

tuDvA. ZU[ )0; 0*

OnOT< nO nรณ< i\O

tuDvA. ZAB)2; 4*

N 4 โ ; 1 S Q\OQรกP

N 1 ; โ S Q\OP

^_ N 4 โ ; 0N x S4; โ S 100

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK 7.1 S ZÉLSŐÉRTÉK SZÁMÍTÁS A gazdasági életben gyakran kerülünk szembe olyan problémákkal, amikor különböző a közgazdaságban használt függvényeknél kell megkeresnünk azokat a pontokat, amikor a legkisebb az összköltség, vagy legnagyobb az árbevétel, stb. Az ilyen és ehhez hasonló feladatokat, – amikor valamit úgy kell megterveznünk, hogy bizonyos mennyiség minimális vagy maximális legyen, – szélsőérték feladatoknak nevezzük. A közgazdaságtudomány a derivált elnevezés helyett a határ (Margin) terminológiát használja. A közgazdaságtanban a tanulmányaink során találkozni fogunk az alábbi függvényekkel, mint például:  határköltség MC(q): a q mennyiségű áru előállításának költségét meghatározó TC(q) költségfüggvény deriváltja,  határbevétel MR(q): a q mennyiségű áru eladási értékét meghatározó TR(q) árbevétel függvény deriváltja,  határhaszon MU(x): az x terméknek a fogyasztó által megállapított értékét meghatározó TU(x) hasznossági függvény deriváltja,  határprofit MΠ(q): az árbevétel és a költség függvények különbségeként adódó Π(q) profit függvény deriváltja.

 Gyakorló feladatok 1.

Egy vállalkozás éves nyereségét (profitját) a  (q ) függvény adja meg (euróban), ahol q a legyártott és értékesített termékek darabszámát jelenti: q   2q 3  240q 2  7200q  25000 q  [0;35] Milyen intervallumban pozitív, illetve negatív a határprofit értéke? Adja meg a nyereség (profit) maximumát!

Egy vállalat termelésének összköltségét a TC q   0,01q 2  10q  40000 függvény adja meg, ahol q a legyártott termékek darabszámát jelenti. Határozza meg a minimális átlagköltséget abban az esetben, ha legfeljebb a) 5000 darabot; illetve b) 1500 darabot tudnak gyártani!

101

ANALÍZIS 3.

Egy vállalat éves nyereségét (profitját) a  (q ) függvény adja meg, ahol q a legyártott és értékesített termékek darabszámát jelenti: q   q 3  144q2  1620q  80000 Milyen intervallumban pozitív, illetve negatív a határprofit értéke? Adja meg a nyereség (profit) maximumát!

Ha egy cég x millió forintot költ reklámra, akkor a bevétele: B  x   2 x 3  270 x 2  10800x  50000 0  x  50 mFt lesz. Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken a bevétel csökken, illetve növekszik, ha növeljük a reklámköltségeket! Hány millió Ft-os reklámköltség esetén lesz a bevétel maximális és ez hány millió Ft-ot jelent?

Egy cég termeléséhez tartozó átlagköltség-függvény az 18000 q  1 AC q   20q  q képlettel fejezhető ki, ahol q a legyártott darabszámot jelenti. Adja meg azokat az intervallumokat, amelyeken az átlagköltség csökken, illetve növekszik, és keresse meg az átlagköltség minimumát!

Egy vállalat nyereségét a q   2q 3  330q 2  10800q  7000 függvény adja meg (euróban), ahol q a legyártott és értékesített mennyiséget jelenti (ezer db-ban). Adja meg a vállalat nyereségének maximumát, ha a) legfeljebb 120.000 db legyártására van lehetőség! b) legfeljebb 80.000 db legyártására van lehetőség!

Egy cég nyereségfüggvénye q   3q 3  351q 2  5040q  25000 (dollárban), ahol q a legyártott és értékesített termékek számát jelenti. Mennyi a nyereség maximuma, ha a cég termelése legfeljebb a) 80 darab? b) 60 darab?

102

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK 8.

Egy vállalat termelésének összköltségét a TC q   0,05q 2  30q  750000 függvény adja meg, ahol q a legyártott termékek darabszámát jelenti. Határozza meg a minimális átlagköltséget abban az esetben, ha legfeljebb a) 6000 darabot; illetve b) 2000 darabot tudnak gyártani!

Egy cég összköltség-függvénye TC q   ln q 2  5 , összbevételfüggvénye TR q   ln 200q  2 , ahol q a termelés során legyártott mennyiséget jelöli. Határozza meg a cég nyereségének (  (q ) ) maximumát amennyiben az összköltség és összbevétel millió euróban vannak megadva!

10. Valamely termék nyereségfüggvénye:  q   7 q 2  300q  120 , költségfüggvénye: TC q   120q  16 , ahol q a termelés során legyártott mennyiséget jelöli. Határozzuk meg, milyen q mellett vesz fel maximális értéket az árbevétel függvény (TR (q ) ), és mennyi a maximális bevétel, amennyiben az összköltség és a nyereség millió euróban vannak megadva!

103

ANALÍZIS 7.2 E LASZTICITÁS Vizsgáljuk meg, hogy hogyan hat valamely termék árának megváltozása a termék iránti keresletre. Kérdezhetjük, hogy hány darabbal változik meg a termék iránti kereslet, ha az ára 10 Ft-tal nő. Az így kapott szám több szempontból sem megfelelő az ár keresletre gyakorolt hatásának a mérésére. Például egy kifli 10 Ft-os árnövekedése jelentős, míg egy televízió 10 Ft-os árnövekedése jelentéktelen. A problémát kiküszöbölhetjük, ha relatív változásokat használunk. Azt vizsgáljuk, hogy hány százalékkal változik a kereslet, ha az ár 1%-kal nő. Az így kapott szám, amelyet a kereslet ár-elaszticitásának vagy árrugalmasságnak nevezünk, független lesz attól, hogy milyen mértékkel mértük a kereslet mennyiségét és a termék árát. Adott ponthoz tartozó elaszticitást (rugalmasságot) tetszőleges f(x) függvény esetében vizsgálhatunk. A pontbeli elaszticitás (rugalmasság) megadja, hogy az x-nek x0-ról történő 1 %-os növekedéséhez az f(x) hány %-os változása tartozik. Ezt képlettel a következőképpen fejezhetjük ki:

E x0 : lim x  x0

f x   f x0  f x0  x0  f  x 0  x  x0 f x0  x0

Egy f  x  függvény x0 ponthoz tartozó elaszticitása tehát az alábbi képlettel számolható:

E x0 

x0  f x 0  f  x0 

Az így kapott szám megadja, egy f(x) függvény esetében, hogy az x változó x0-ról történő egy százalékos növekedése a függvényérték hány százalékos változását eredményezi. Pozitív érték esetén növekedésről, negatív esetén pedig csökkenésről beszélünk.

104

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

Mintapélda Valamely árucikk iránti keresletet az x egységártól függően az 160 f x   x  0 függvény írja le. Állapítsuk meg, hogy hány x  11 %-kal csökken a kereslet, ha a cikk árát x = 5-ről 1%-kal megnöveljük! Megoldás menete: Deriváljuk a függvényt, kiszámítjuk az f(x) és az f’(x) függvényeknek az x0 pontban vett helyettesítési értékét. Az adott x0-t, és a számított f(x0) és f’(x0) értékeket behelyettesítjük az elaszticitás képletébe: x E x0  0 f  x0 . f  x0  Az f  x  

160 x  11

deriváltja: f  x  

 160 . x  112

Adott: x0 = 5 160  10 5  11  160 f  x0   f (5)   0,625 2 5  11

Behelyettesítés:

f  x 0   f (5) 

Elaszticitás: E 

x0 5  f ( x0 )    0,625  0,3125 f ( x0 ) 10

Tehát 0,3125%-kal csökken a kereslet, ha az árat 5-ről 1%-kal megnöveljük. (1%-nál kisebb elaszticitás esetén a kereslet változását rugalmatlannak nevezzük.)

105

ANALÍZIS

 Gyakorló feladatok 11. Adott a D p   7000  p 1,5 keresleti függvény. Határozza meg a függvény pontelaszticitását a p0  3 pontban, majd értelmezze a kapott eredményt! (p az eladási egységárat jelenti) 12. Adja meg az S ( p )  e 2 p 1 kínálati függvény pontelaszticitását a p0  5 pontban, majd értelmezze a kapott eredményt! (p az eladási egységárat jelenti) 13. Adott a D  p   8  e 50,05 p keresleti függvény. Hány %-kal csökken a kereslet, ha az egységárat 60-ról 1 %-kal megnöveljük? Adja meg a következő függvények az adott ponthoz tartozó elaszticitásának értékét, és értelmezze az eredményt! 14. f ( x)  3  24 x 5 15. f ( x )  4 

1 x2  3

1 16. f ( x)     5

x0 = 3 x0=2

6 x  5

x0=2

2 17. f ( x)  3  ln( x  5) 3

x0=3

18. f ( x)  2,752 x

x0=1

19. f ( x)  3  e 2 x  4

x0=5

20. f ( x)  5

 x4 3

21. f ( x)  e 0,5 x 10 22. f ( x) 

2x x2  3

x0=3 x0=1 x0=2

106

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

 Megoldások 1. q   2q 3  240q 2  7200q  25000 ( q  [0;35] )  q   6 q 2  480q  7200 6q 2  480q  7200  0 480  480 2  4  6  7200 480  240 q1, 2   12 12 q  [0;35]

0<q<20 + nő

Π’(q) Π(q)

q=20 0 helyi max

q1  20 q 2  60

0<q<35 – csökken

A határprofit [0; 20] intervallumon pozitív, és a [20; 35] intervallumon negatív. Π(20) = 39000 Nyereség (profit) maximuma: 39000 euró 2. TCq   0,01q 2  10q  40000 Átlagköltség: AC q  

TC q  q

40000 q 40000 AC q   0,01  0 q2 q 2  4000000 q  0 AC q   0,01q  10 

q  2000

0<q<2000 q=2000 q>2000

ACq  ACq  csökken

0 min.

107

+ nő

ANALÍZIS Ha maximum 5000 db-t tudunk gyártani, akkor q=2000 db esetén minimális az átlagköltség. AC2000  50 Ha 1500 db-t tudnak gyártani, akkor q=1500 esetén minimális az átlagköltség. AC1500  51,67 3.

határprofit negatív: (0;6) és (90;); határprofit pozitív: (6;90); max: Π(90)=211600

nő: (0;30); csökken: (30;50); max: x=30 mFt, B(30)=185000 mFt

csökken: (0;30); nő: (30;); min: q=30 db

AC(30)=1200 Ft

a) max: 90 edb;

Π(90)=236000

b) max: 80 edb;

Π(80)=217000

a) max: 70 db; Π(70)=313100 b) max: 60 db; Π(60)=288200

a) min. átlagköltség 3873 db-nál: 417,3 Ft b) min. átlagköltség 2000 db-nál: 505 Ft

nyereség maximuma: q=500; Π (500)=5,298 m euró

10. TR (q)   (q )  TC (q )

TRq   7 q 2  420q  104 TR' (q)  14q  420  0  q  30

[0;30] 

MAX (30;6196)

[30;[ 

108

7. GAZDASÁGI ALKALMAZÁSOK

 Elaszticitás megoldások 11. p0  3

D  p   7000  (1,5) p 2,5  10500 p 2,5 D 3  10500  (3) 2,5 D3  7000  (3) 1,5 E3 

p0 3 D ( p 0 )   (10500)(3)  2,5  1,5 1, 5 D( p 0 ) 7000  (3)

A kereslet 1,5%-kal csökken, ha az egységárat 3-ról 1%-kal megnöveljük. 12. S ( p )  e 2 p 1  2 S ( p 0 )  f (5)  e 25 1  2  e 9  2 S ( p 0 )  f (5)  e 9 5 9  2 e  10 e9 Értelmezés: Amennyiben az eladási egységárat 5-ről 1%-kal növeljük, a kínálat 10%-kal nő. E5 

13. p0  60

D  p   8e 50, 05 p   0,05 D60  8e 50,0560   0,05  8e 2  (0,05) D60  8e 50,0560  8e 2 E 60 

p0 60 D ( p 0 )  2 8e 2 (0,05)  3 D( p0 ) 8e

109

ANALÍZIS A kereslet 3%-kal csökken, ha az egységárat 60-ról 1%-kal megnöveljük. 14. -8,318

19. 10

15. -8/7

20. -1,609

16. 19,313

21. -0,5

17. 0,147

22. -7

18. 2,023

110

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE Határozzuk meg egy f(x) függvény P(x0 , y0 ) pontjához húzott érintő egyenletét!

P(x0;y0)

f(x)

Geometriai tanulmányainkból tudhatjuk, hogy a koordinátarendszerben egy P(x0 , y0 ) ponton átmenő m meredekségű egyenes egyenlete: y − y 0 = m( x − x 0 ) .

Amennyiben y-ra rendezzük az egyenletet a következő alakhoz jutunk: y = m( x − x0 ) + y 0 .

Az egyenletben a m paraméter értéke (érintő meredeksége) megegyezik az f(x) függvény x0 pontban vett differenciálhányadosával (deriváltjával): m = f ′( x 0 ) Mivel a P(x0 , y0 ) pont rajta van az f(x) függvény grafikonján, ezért a második koordinátáját a következőképpen is felírhatjuk: y 0 = f ( x0 )

A fenti összefüggések alapján egy f(x) függvény grafikonjának az x0 pontjába húzott érintő egyenes egyenlete:

y = f ′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) A fenti képletben az érintő felírásához három adatra van szükségünk: az érintési pont első koordinátájára (abszcissza): x0 , az érintési pont második koordinátájára (ordináta): y0 azaz f(x0), az érintő meredekségére: m azaz f’(x0). Az itt felsorolt adatok közül azonban elegendő az egyik ismerete, a többi az f(x) függvény képlete alapján kiszámolható. Nézzünk mindegyik lehetőségre egy-egy példát! 111

ANALÍZIS

Mintapélda

a) Adott az f ( x) = x 2 + 2 x − 1 függvény. Határozza meg az x0 = 5 abszcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét! Megoldás: Adott az x0, kiszámítjuk az f ( x0 ) -t és az f ′( x0 ) -t, majd behelyettesítünk az érintő egyenletébe.

f ( x0 ) = f (5) = 5 2 + 2 ⋅ 5 − 1 = 34 f ′( x) = 2 x + 2 f ′( x0 ) = f ′(5) = 2 ⋅ 5 + 2 = 12 Érintő egyenlete: y = f ′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) . Behelyettesítve: y = 12( x − 5) + 34 . Zárójel felbontása után kapjuk: y = 12 x − 26 . b) Adott az f ( x) = x 2 − 5 x − 3 függvény. Határozza meg az y 0 = −3 ordinátájú pontjaihoz húzott érintők egyenletét! Megoldás: Keressük meg először hogy az f ( x) = x 2 − 5 x − 3 függvény hol veszi fel az y = −3 függvényértéket! − 3 = x 2 − 5x − 3 0 = x 2 − 5x 0 = x( x − 5) x1 = 0 x2 = 5 Két helyen is felveszi az y = −3 értéket. Az x1 = 0 és az x2 = 5 helyen. Írjuk fel mindkét ponthoz az érintő egyenletét! Derivált: f ′( x) = 2 x − 5 Érintők meredekség:

f ′(0) = −5

P1 (0;−3)

e1 : y = −5 x − 3

P2 (5;−3)

e2 : y = 5 x − 28 112

f ′(5) = 5

(0;3) (0;-3)

(5;3) (5;-3)

8. GÖRBE ÉRINTŐJÉNEK AZ EGYENLETE c) Határozza meg az f ( x) = x 2 − 3 x + 1 függvény y = −5 x − 3 egyenletű egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét! Megoldás: Két egyenes akkor párhuzamos, ha azonos a meredekségük. Az y = −5 x − 3 egyenes meredeksége: –5, tehát a keresett érintőnek a meredeksége –5. Mivel az f(x) függvény deriváltja: és

f ′( x ) = 2 x − 3

f ′( x ) = m

ezért 2 x − 3 = −5 tehát

x = −1 .

Ez azt jelenti, hogy az x0 = −1 pontban keressük az érintőt.

f ( x0 ) = f (− 1) = 5 ′ 0 ) = m = −5 f (x

y = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 ) y = −5 ⋅ ( x + 1) + 5 y = −5 x

Gyakorló feladatok 1. Adja meg az f ( x) = − x 4 + 4 függvény P(1;3) pontjához tartozó érintőjének egyenletét! 2. Adja meg az f ( x ) = 2 ln( 2 x + 8) függvény x0 = -3 pontjához tartozó érintőjének egyenletét! 5 3. Adja meg az f ( x) = (2 − 3x) függvény y0 = 32 ordinátájú pontjához tartozó érintőjének egyenletét! 2 4. Adja meg az f ( x) = x − 3x + 1 függvény x0 = 1 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenletét!

113

ANALÍZIS

x 2 − 2x + 1 5. Adja meg az f ( x) = függvény y0 = 4 ordinátájú pontx2 jához tartozó érintőjének egyenletét! 6. Adja meg az f ( x) = 2 x + 5 függvény x0 = 2 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenletét!

4 függvény y = −3 x + 5 egyenessel párx huzamos érintőjének egyenletét!

7. Adja meg az f ( x) = x +

3 x+6 8. Adja meg az f ( x) = e függvény y = 3 x + 2 egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét!

Megoldások 1.

y = −4 x + 7

y = 2x + 6 + 2ln2

y = -240x + 32

y = -x

y = -36x + 16 és y = 4x + 8

y = −3 x + 8 és

y = 3x + 7

1 7 x+ 3 3 y = −3 x − 8

114

9. TĂ&#x2013;BBVĂ LTOZĂ&#x201C;S FĂ&#x153;GGVĂ&#x2030;NYEK

9. TĂ&#x2013;BBVĂ LTOZĂ&#x201C;S FĂ&#x153;GGVĂ&#x2030;NYEK Az elĹ&#x2018;zĹ&#x2018; fejezetekben egyvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠnyekkel foglalkoztunk. A mindennapi gyakorlatban azonban legtĂśbbszĂśr olyan esetekkel talĂĄlkozunk, amikor valamely mennyisĂŠget tĂśbb egymĂĄstĂłl fĂźggetlen tĂŠnyezĹ&#x2018; hatĂĄroz meg. PĂŠldĂĄul egy dolgozĂł munkabĂŠre fĂźgg az alapbĂŠr ĂŠs a pĂłtlĂŠkok nagysĂĄgĂĄtĂłl: MUNKABĂ&#x2030;R = ALAPBĂ&#x2030;R + PĂ&#x201C;TLĂ&#x2030;KOK

Itt valĂłjĂĄban kĂŠt nem negatĂv valĂłs szĂĄmhoz (alapbĂŠr, pĂłtlĂŠkok) egy nem negatĂv valĂłs szĂĄmot (munkabĂŠr) rendeltĂźnk. Ă&#x161;gy is mondhatjuk, hogy a munkabĂŠr kĂŠt vĂĄltozĂłnak (alapbĂŠr, pĂłtlĂŠkok) a fĂźggvĂŠnye, azaz egy kĂŠtvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠny, ahol x az alapbĂŠrt, y a pĂłtlĂŠkokat jelenti. A hozzĂĄrendelĂŠst tĂśbbfĂŠlekĂŠppen is jelĂślhetjĂźk: : , , vagy rĂśviden

: , , , de leggyakrabban az ,

jelĂślĂŠsi mĂłdot alkalmazzuk.

A kĂśzgazdasĂĄgtani gyakorlatban sokszor fordulnak elĹ&#x2018; kĂŠt- vagy tĂśbbvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠnyek. PĂŠldĂĄul egy termĂŠk ĂśnkĂśltsĂŠge fĂźgg az anyagkĂśltsĂŠgtĹ&#x2018;l, energiakĂśltsĂŠgtĹ&#x2018;l, bĂŠrtĹ&#x2018;l stb. A termelĂŠsi fĂźggvĂŠny ĂŠrtĂŠke fĂźgg a tĹ&#x2018;ke ĂŠs a munka nagysĂĄgĂĄtĂłl. EzĂŠrt e tĂśbbvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠnyek vizsgĂĄlatĂĄnak kiemelt jelentĹ&#x2018;sĂŠge van.

Ebben a fejezetben az egyszerĹąsĂŠg kedvĂŠĂŠrt kĂŠtvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠnyekkel foglalkozunk rĂŠszletesen, azonban nĂŠhĂĄny megĂĄllapĂtĂĄsunk, kĂśnnyen ĂĄltalĂĄnosĂthatĂł tĂśbbvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠnyekre is. 9.1 K Ă&#x2030;TVĂ LTOZĂ&#x201C;S FĂ&#x153;GGVĂ&#x2030;NYEK SZEMLĂ&#x2030;LTETĂ&#x2030;SE

MintapĂŠlda ElĹ&#x2018;szĂśr vizsgĂĄljuk a fenti egyszerĹąsĂtett munkabĂŠr fĂźggvĂŠnyt:

f ( x, y ) = x + y . BĂĄrmely (x, y)â&#x2C6;&#x2C6;Df ponthoz egyĂŠrtelmĹąen hozzĂĄrendelĹ&#x2018;dik egy fĂźggvĂŠnyĂŠrtĂŠk a fenti szabĂĄlynak megfelelĹ&#x2018;en. 115

ANALÍZIS Például: f (65000 , 30000 ) = 95000 Ezt a hozzárendelést úgy úgy is tekinthetjük, hogy bármely (x, y)∈Df ponthoz tartozik egy (x, y, f (x,y)) koordinátájú pont. Az így kapott pontok,, egy háromdimenziós koordináta rendszerben ábrázolhatók. ábrázolhat Ha a függvény "elég jó tulajdonságú", akkor a függvény grafikonja egy felület. Jelen elen esetben az hozzárendelés egy félsíkot határoz meg, melyet az alábbi ábrán láthaláth tunk: f(x,y) = x+y sík 140 120 100 80 60 40 20 0

30 0

y (pótlékok) 40

x (alapbér)

0 80

A kétváltozós függvények függvénye vizsgálatakor szokásos zokásos ábrázolási ábrázolás mód az ún. n. szintvonalas ábrázolás is (lásd: térképek). Szintvonalaknak Szintvonalak az (x, y)) sík azon görbéit nevezzük, ahol a függvényérték konstans f ( x, y ) = c .

Mintapélda Határozzuk meg a z = x 2 + y 2 egyenlettel megadott függvény szintvonaszintvon lait, illetve szemléltessük a felületet különböző metszeteinek metszetei a vizsgálatával! A szintvonalak: c = x 2 + y 2 egyenletű körök. ( c ∈ R ) Az (y, z)) síkkal párhuzamos metszetek: z = c 2 + y 2 egyenletű egyenlet egyenes állású parabolák.

116

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FÜGGVÉNY Az (x, z)) síkkal párhuzamos metszetek: z = x 2 + c 2 egyenletű egyenlet egyenes állású parabolák. 120 100 80 60 40 20 0 -10

-6

-2

A felület egy egyenes állású forgási paraboloid,, aminek a csúcsa az orior 2 góban van, szimmetriatengelye szimmetriatenge a z-tengely. A z = x egyenletű egyenlet parabolát kell a z-tengely tengely körül megforgatni, hogy az f ( x, y ) = x 2 + y 2 függvény grafikonját megkapjuk. Forgási paraboloid

50 40 30 20

4 1

10 -2 0 -5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Mintapélda

Határozzuk meg a z = x 2 − y 2 egyenlettel megadott függvény szintvonaszintvon lait, illetve szemléltessük a felületet különböző különböz metszeteinek a vizsgál vizsgálatával! A szintvonalak: c = x 2 − y 2 egyenletű hiperbolák. Az (y, z) síkkal párhuzamos metszetek: z = c 2 − y 2 egyenletű fordított állású parabolák. Az (x, z) síkkall párhuzamos metszetek: z = x 2 − c 2 egyenletű egyenes állású parabolák. 117

ANALÍZIS Ezt a felületet nyeregfelületnek nyeregfelüle nevezzük. Nyeregfelület

25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25

4 1 -2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-5 3

9.2 P ARCIÁLIS DERIVÁLÁS A függvény alaposabb vizsgálatához szükségünk lesz a parciális deriválderivá tak meghatározására. Egy n-változós változós függvény valamely változója szerinti parciális deriváltjáderivált nak meghatározásakor csak azt tekintjük változónak, amelyik am változó szerint differenciálni akarunk; akarunk a többi változót pedig konstansként kezelkeze jük a differenciálás során. A fentiekből következik, ezik, hogy a parciális deriváltak kiszámítására mindmin azon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megismertünk. x szerinti elsőrendű parciális deriváltfüggvény jelölése:

f x′ ( x, y )

f x′

∂f ∂x

y szerinti elsőrendű parciális deriváltfüggvény jelölése:

f y′ ( x, y )

f y′

∂f ∂y

118

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Amennyiben a parciális deriváltfüggvényt deriváljuk valamely változója szerint, a másodrendű parciális deriválthoz jutunk. A másodrendű parciális derivált függvényeknek az alábbi két csoportját különböztetjük meg: Tiszta másodrendű parciális derivált függvények: f xx′′ ( x, y )

f yy′′ (x, y )

Vegyes másodrendű parciális derivált függvények: f xy′′( x, y )

f yx′′ ( x , y )

Tétel: Ha az f ( x , y ) függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai,

vagyis az f xy′′( x , y ) és f yx′′( x, y ) függvények egy P0 ( x0 , y0 ) pontban folytonosak, akkor e pontban egyenlők is egymással.

Tehát

f xy′′ ( x, y ) = f yx′′ ( x, y )

mindazon pontokban, ahol a vegyes másodrendű parciális deriváltak folytonosak.

Mintapélda Adja meg a következő kétváltozós függvény elsőrendű parciális deriváltjait! f (x, y ) = ln 2 x 5 + 5 y 4 − 1 + 4 x 2 y + e −2 x +3 y

(

)

Megoldás:

1 4 − 2 x +3 y ⋅ 10 x + 8 xy + e ⋅ (− 2) 2 x5 + 5 y 4 − 1 1 3 2 − 2 x +3 y f y′ ( x, y ) = 5 ⋅ 20 y + 4 x + e ⋅3 2x + 5 y4 − 1 f x′( x, y ) =

Gyakorló feladatok

1. Számítsuk ki az f ( x , y ) = ln (e x − y ) függvény elsőrendű és másodrendű parciális deriváltjait! 2. Adja meg a következő kétváltozós függvény elsőrendű parciális deriváltjait! f ( x, y ) = 2 2 x + 3 y − xy 2 − ln (6 x 2 + 3 y 6 − 5)

3. Számítsuk ki az f ( x, y ) = ln (x + e y ) függvény elsőrendű és másodrendű parciális deriváltjait!

119

ANALÍZIS Számítsuk ki az alábbi függvények elsőrendű parciális deriváltjait! 4.

f ( x, y ) = 2 x 3 + y 3 − 3xy

f ( x, y ) = x 5 + y 5 − 3 x 2 y 2

10. f ( x, y ) = xy +

f ( x, y ) = 4 x 2 − 3 xy + y 3 + 19

f ( x, y ) = x

f ( x, y ) =

f ( x, y ) = x y ⋅ e − x

11. f ( x, y ) =

xy x2 + y2

x y

x y2

12. f ( x, y ) = x ⋅ e xy

9.3 K ÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY HELYI SZÉLSŐÉRTÉKÉNEK VIZSGÁLATA

Tétel: Ha a P0 ( x0 , y0 ) pontban az f ( x, y ) függvény elsőrendű parciális deriváltjai nullával egyenlők, és a másodrendű parciális deriváltjai folytonosak, akkor (1)

f xx′′( x0 , y0 ) f yy′′( x0 , y0 ) − f xy′′ ( x0 , y0 ) > 0 2

esetén f ( x, y ) -nak a P0 ( x0 , y0 ) pontban helyi szélsőértéke van,

f xx′′( x0 , y0 ) < 0 esetén helyi maximuma,

f xx′′( x0 , y0 ) > 0 esetén helyi minimuma,

míg ha (1) negatív, akkor f ( x , y ) -nak P0 ( x0 , y0 ) -ban nincs helyi szélsőértéke. Megjegyzés: Ha f xx′′( x0 , y0 ) f yy′′ ( x0 , y0 ) − f xy′′ ( x0 , y0 ) = 0 , akkor a helyi szélsőérték létezéséről semmi biztosat nem tudunk mondani. Ilyen esetben más eljárással dönthető el a kérdés. 2

120

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

Mintapélda Az alábbi kétváltozós függvénynek hol van szélsőértéke? Adja meg a szélsőérték jellegét (minimum vagy maximum)! f ( x, y ) = x 2 − 8 xy + 18 y 2 + 6 x − 28 y + 1

1. lépés: Mivel a szélsőérték vizsgálatához szükségünk lesz az elsőrendű és a másodrendű deriváltakra, ezért először számítsuk mindezeket. ′ f x ( x, y ) = 2 x − 8 y + 6

′ f y ( x, y ) = −8 x + 36 y − 28 ″ f xx ( x, y ) = 2

″ f xy ( x, y ) = −8

″ f yy ( x, y ) = 36

″ f yx ( x, y ) = −8

2. lépés: Lehetséges szélsőérték helyek meghatározása. Hol lehet a függvényünknek szélsőértéke? (A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy a függvény elsőrendű parciális deriváltjai nullával legyenek egyenlők.) f x′ ( x, y ) = 0  Egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg  f y′ ( x, y ) = 0 a lehetséges szélsőérték helyeket.

2x − 8 y + 6 = 0   − 8 x + 36 y − 28 = 0 2 x − 8 y = −6   − 8 x + 36 y = 28

/:4

2 x − 8 y = −6  ⊕ y =1 − 2 x + 9 y = 7 x =1 P(1;1) pontban lehet szélsőérték. /A P(1;1) stacionárius pont./

121

ANALÍZIS 3. lépés: Szélsőérték létezésének eldöntése. Valóban szélsőértéke van a függvénynek P(1,1) pontban? A szélsőérték létezését a D( x0 , y0 ) előjele dönti el. 2 D( x0 , y0 ) = f xx′′ ( x0 , y0 ) f yy′′ ( x0 , y0 ) − f xy′′ ( x0 , y0 )

Ha D( x0 , y0 ) > 0 , akkor van szélsőértéke a vizsgált P ( x 0 , y 0 ) pontban. Ha D( x0 , y0 ) < 0 , akkor nincs szélsőértéke a vizsgált pontban. (A D( x0 , y0 ) = 0 esetén további vizsgálatra lenne szükség, de ezzel az esettel nem fogunk foglalkozni.) Most vizsgáljuk meg a D( x0 , y0 ) értékét a P(1,1) pontunk esetében: 2 D(1,1) = f xx′′ (1,1) f yy′′ (1,1) − f xy′′ (1,1) D (1,1) = 2 ⋅ 36 − ( −8) 2 = 8 > 0

ezért P(1,1)-ben van szélsőértéke a függvénynek. 4. lépés: Szélsőérték jellegének eldöntése. Milyen jellegű szélsőérték van P(1;1) pontban? A szélsőérték jellegét (minimum vagy maximum), az x szerinti másodrendű parciális derivált f xx′′ előjele határozza meg a vizsgált pontban.

f xx′′( x0 , y0 ) < 0 esetén helyi maximuma,

f xx′′( x0 , y0 ) > 0 esetén helyi minimuma, van a függvénynek P0 ( x0 , y0 ) pontban. Vizsgáljuk meg a szélsőérték jellegét a P(1,1) pontunk esetében: ″ f xx ( x, y ) = 2 > 0 ⇒ minimuma van P(1;1)-ben.

122

9. TĂ&#x2013;BBVĂ LTOZĂ&#x201C;S FĂ&#x153;GGVĂ&#x2030;NYEK

GyakorlĂł feladatok HatĂĄrozza meg az alĂĄbbi kĂŠtvĂĄltozĂłs fĂźggvĂŠnyek helyi szĂŠlsĹ&#x2018;ĂŠrtĂŠkeinek helyĂŠt, jellegĂŠt (minimum vagy maximum), ĂŠrtĂŠkĂŠt! 13. f ( x, y ) = (3 â&#x2C6;&#x2019; x ) + (4 + 2 y ) â&#x2C6;&#x2019; 8 2

14. , 3 3 7 15. , 2 2 6 10 16. , 8 24 2 17. , 2 6 10 6 5 Ă llapĂtsuk meg, hogy a kĂśvetkezĹ&#x2018; fĂźggvĂŠnyeknek van-e a megadott pontokban szĂŠlsĹ&#x2018;ĂŠrtĂŠke! 18. , 2 2 3 1; 0

;

2; 3

19. , 2 9 2 24 10 0; 2

1; 1

3; 2

20. , 2 " " 2 0; 0

; 1

1; 2

21. , 2 4 3 1; 2

1; 1

123

ANALÍZIS

Megoldások 1.

1 ex x f x′ = x ⋅e = x e −y e −y 1 ⋅ (− 1) = − e x − y f y′ = x e −y

(

f xx′′ =

(

)

ex ex − y − ex ⋅ ex

−y

)

(

f yy′′ = (− ) ⋅ (− 1) ⋅ e x − y

(

=−

f y′ ( x, y ) = 2

′

1 fx = x + ey

ex ⋅ y

−y

)

−2

) ⋅ (− 1) = −2

2. f x′( x, y ) = 2 2 x +3 y ln 2 ⋅ 2 − y 2 − 2 x +3 y

−1

) ⋅ (− 1) = −

f xy′′ = f yx′′ = e ⋅ (− 1) ⋅ e − y x

)

1 x

−y

)

ex x

−y

)

12 x 6x2 + 3y6 − 5

18 y 5 ln 2 ⋅ 3 − 2 xy − 2 6x + 3y6 − 5 ″

f xx = −

′

1 fy = ⋅ey y x+e

″

f xy = −

(x + e )

y 2

″

f yy =

eyx

(x + e )

y 2

(x + e )

y 2

″

f yx = −

′ f x ( x, y ) = 6 x 2 − 3 y

′ f y ( x, y ) = 3 y 2 − 3 x

′ f x ( x, y ) = 5 x 4 − 6 xy 2

′ f y ( x, y ) = 5 y 4 − 6 x 2 y

′ f x ( x, y ) = 8 x − 3 y

′ f y ( x , y ) = −3 x + 3 y 2 124

(x + e )

y 2

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 7.

′

f x ( x, y ) = ′

f y ( x, y ) =

′ f y ( x, y ) = x y ⋅ ln x

′ f x ( x, y ) = yx y −1

(

)

y x 2 + y 2 − xy (2 x )

(

)

2 2

)

x x 2 + y 2 − xy (2 y )

)

2 2

y3 − x2 y

+ y2

)

x 3 − xy 2

+ y2

)

′ f x ( x, y ) = yx y −1 ⋅ e − x + x y ⋅ e − x ⋅ ( −1)

′ f y ( x, y ) = x y ln x ⋅ e − x

10.

11.

12.

y 1 ′ f x ( x, y ) = y + 2 = y + y y

x ′ f y ( x, y ) = x − 2 y − 2 xy − 2 x ′ f y ( x, y ) = = 3 4 y y

′

y2 1 f x ( x, y ) = 4 = 2 y y ′ f x ( x, y ) = 1 ⋅ e xy + x ⋅ e xy ⋅ y

′ f y ( x, y ) = x ⋅ e xy ⋅ x = x 2 ⋅ e xy 13.

f x′ = −6 + 2 x = 0

⇒ x=3

f y′ = 16 + 8 y = 0

⇒ y = −2

P(3,−2) stac. pont f xx′′ = 2 D = 16 > 0

f yy′′ = 8 ⇒

f xy′′ = 0 MIN (3;−2;−8)

125

ANALÍZIS 14. Első- és másodrendű parciális deriváltak: f ’x (x,y) =3x2-3 f ’’xx (x,y) =6x f ’’xy (x,y) =0

f ’y (x,y) =3y2-6y f ’’yy (x,y) =6y-6 f ’’yx (x,y) =0

Csak ott lehet szélsőérték, ahol az elsőrendű deriváltak 0-val egyenlők. Ezért a következő egyenletrendszert kell megoldani: 3x2-3=0 3y2-6y=0 Az egyenletrendszer megoldásai: P1( -1; 0 ) P2( -1; 2 ) P3( 1; 0 )

P4( 1; 2 )

A fenti pontok közül azokban van szélsőérték, amelyekre D(x0 ; y0 )= f’’xx(x0 ; y0 ) · f ’’yy(x0 ; y0 ) - f’’ 2xy (x0 ; y0 )> 0 teljesül. A feladat megoldását folytatva a következőket látjuk: D( -1; 0 ) = - 6·(-6)= 36 >0

⇒

P1( -1; 0 )-ben van szélsőérték

D( -1; 2 ) = - 6 · 6 = -36<0

⇒

P2( -1; 2 )-ben nincs szélsőérték

D( 1; 0 ) = 6·(-6) = -36<0

⇒

P3( 1; 0 )-ben nincs szélsőérték

D( 1; 2) = 6 · 6 = 36 >0

⇒

P4( 1; 2 )-ben van szélsőérték

Mivel P1(-1; 0 )-ben f ’’xx (x,y) = - 6 ⇒ P1-ben

maximum hely van.

Mivel P4( 1 ; 2 )-ben f’’xx (x,y) = 6 ⇒

P4-ben minimum hely van.

Maximum értéke: f ( -1 ; 0 ) = 9, Minimum értéke: f ( 1 ; 2 ) = 1 15. Első deriváltak nullával egyenlők a következő pontokban: P1( 0 ; 0 ) P2(1;1) Lokális minimumhely: P2(1;1) minimumérték: f(1;1)=8

126

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 16. Első deriváltak nullával egyenlők a következő pontokban: P1( 0 ; 0 ) P2(2;4) Lokális minimumhely: P2(2;4) minimumérték: f(1;1)= - 62 17. Első deriváltak nullával egyenlők a következő pontban: P1( 2 ; -3) P1-ben nincs szélsőérték. 18. Első- és másodrendű parciális deriváltak: f ’y (x,y) = 2x2+2x-6y f ’’yy (x,y) = - 6 f ’’yx (x,y) = 4x+2

f ’x (x,y) = 4xy+2y f ’’xx (x,y) = 4y f ’’xy (x,y) = 4x+2

I. Vizsgáljuk meg, hogy hol lehet a függvénynek szélsőértéke! (Csakis azokban a pontokban lehet a függvénynek szélsőértéke, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nullák.) Tehát szépen sorba behelyettesítjük a megadott pontokat az elsőrendű parciális deriváltakba, és vizsgáljuk, hogy nullát kapunk e. Kezdjük a P1 pont vizsgálatával! f ’x (-1;0) =4·(-1)·0+2·0=0 f ’y (-1,0)=2 · (-1)2 + 2 · (-1) – 6 · 0 = 0 Mindkét esetben nullát kaptunk, tehát P1-ben lehet szélsőérték. (Tovább kell majd vizsgálni ezt a pontot.) Lássuk a P2 pontot!

f ’x ;

 1  1   1  + 2⋅−  = 0  2   12   12 

= 4⋅− ⋅−

 f ’y ; = 2 ⋅  − 

1   + 2 ⋅− 2 

1  1  − 6 ⋅−  = 0 2  12 

Mindkét esetben nullát kaptunk, tehát P2-ben lehet szélsőérték. (Tovább kell majd vizsgálni ezt a pontot.)

127

ANALÍZIS Vizsgáljuk meg a P3 pontot! f ’x (2; 3) =4 ·2 ·3 + 2 ·3 ≠0 f ’y (2; 3) =2 · 22 + 2 · 2 - 6·3 ≠0 Elegendő lett volna P3-ban egyik helyettesítést meghatározni, mert ha már valamelyik elsőrendű parciális derivált nem egyenlő nullával a vizsgált helyen, akkor biztosan nincs szélsőérték abban a pontban. (P3-at nem kell tovább vizsgálni, mert itt biztosan nincs a függvénynek szélsőértéke.) II. Ha f’x (x0 ; y0 ) = 0 , f ’y (x0 ; y0 ) = 0 és D(x0;; y0) > 0 teljesül a kérdéses pontokban, akkor mondhatjuk, hogy van szélsőérték a vizsgált helyen. Vizsgáljuk tehát meg a D(x0;; y0) előjelét a kérdéses P1 , P2 pontokban! P1 esetében: D( -1; 0 ) = 0 · (-6) –( - 2)2 = -4<0 ⇒

P1(-1; 0 )-ben nincs szélsőérték. 2

P2 esetében: ⇒

P2  − 1 ;−  2

D( − 1 ;− 1 ) 2 12

1  12 

 4  4 36 =  −  ⋅ (−6) −   −  + 2  = = 2 > 0 12  12   2  

-ben van szélsőérték.

III. Már csak azt kell eldöntenünk, hogy milyen jellegű szélsőértéke van a függvénynek a P2 pontban. Ehhez az x szerinti másodrendű deriváltat hívjuk segítségül: Mivel f ’’xx

1  1  − ;−   2 12 

=−

4 < 0 ⇒ P2-ben maximum hely van. 12

Megjegyzés: A 13-17-es feladatokhoz képest tehát itt annyival volt egyszerűbb a dolgunk, hogy nem volt szükség a f ’x=0, f ’y=0 egyenletrendszer megoldására, mivel nem nekünk kellett a szélsőértéket megkeresni; csak ellenőrizni kellett, hogy mely pontokra teljesülnek az f ’x = 0, illetve az f ’y = 0 egyenlőségek. 19. Csak a P3-ban van szélsőérték, mégpedig minimumhely. 20. P1-ben maximumhely, P2-ben minimumhely van. 21. Csak a P1-ben van szélsőérték, mégpedig maximumhely.

128

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Korábban megismertük, hogyan lehet adott intervallumon az f függvény deriváltját meghatározni. Ebben a fejezetben egy fordított irányú művelettel foglalkozunk: azt keressük, hogy egy adott függvény mely függvénynek / függvényeknek a deriváltja. 10.1 H ATÁROZATLAN INTEGRÁL Egy F függvényt a f függvény primitív függvényének nevezünk valamely (véges vagy végtelen) intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x 0 pontjában F ′( x 0 ) = f ( x 0 ) teljesül. Ha F a f függvénynek primitív függvénye, akkor bármely C valós szám esetén F+C is primitív függvénye f -nek. Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek egymástól. Egy f függvény primitív függvényeinek halmazát, az f függvény határozatlan integráljának hívjuk.

∫ f ( x)dx

A határozatlan integrál jelölése: 10.1.1 N ÉHÁNY ALAPINTEGRÁL

∫1 dx = x + C ∫ e dx = e x

x α +1 ∫ x dx = α + 1 + C ax x ∫ a dx = ln a + C α

(α ≠ −1) 1 ∫ x dx = ln x + C

10.1.2 I NTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK :

Ha az f és g függvénynek létezik primitív függvénye, akkor összegüknek is létezik:

∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . 129

ANALÍZIS Ha f -nek létezik primitív függvénye, akkor bármely (c ∈ R ) -re cf -nek is

∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx .

létezik:

Ha f differenciálható függvény és nem 0, akkor

∫

f ′( x) dx = ln f ( x) + C . f ( x)

Ha f differenciálható függvény, akkor

∫

f α +1 ( x) f ( x) f ′( x)dx = +C α +1 α

(α ∈ R \ {− 1}

Ha f differenciálható függvény, akkor

esetleg

f ( x) > 0)

f ( x) f ( x) ′ e f ( x ) dx = e +C. ∫

* Parciális integrálás módszere: Ha f és g valamely intervallumon differenciálhatók és f ′g -nek létezik primitív függvénye, akkor fg′ -nek is létezik, és

∫ f ( x )g ′( x )dx = f ( x) g( x ) − ∫ f ′( x ) g( x )dx .

Mintapélda Adja meg a következő függvények primitív függvényeinek a halmazát (határozatlan integrálját)! a)

x + 23 x 2 − 1 dx ∫ 4 x

∫

2 3 ∫ 2 x (3x + 7 ) dx

5x ∫e

18x − 27 dx 2 3x − 9 x − 11 6

+10 x

⋅ (2 x + 2) dx

130

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldás: a) Ebben a formában egyik integrálási szabály sem alkalmazható, ezért bontsuk fel a törtet tagonkénti leosztással. Hozzuk egysze-

xα +1 +C rűbb alakra, majd az ∫ x dx = α +1 α

(α ≠ −1) alapintegrál

alapján integráljunk. 2 3

1 2

2 3

x + 23 x 2 − 1 x + 2x − 1 x x 1 dx = dx = + 2 − dx = ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 4 x x4 x4 x4 x4 1 4

= ∫ x + 2x

5 12

1 − 4

− x dx =

5 4

17 12

3 4

x x x +2 − +C = 5 17 3 4 12 4

4 24 12 4 4 4 24 4 = x4 + x − x + C = 4 x 5 + 12 x 17 − 4 x 3 + C 5 17 3 5 17 3

18x − 27 dx ∫ 2 3x − 9 x − 11 Alkalmazzuk az

∫

f ′( x) dx = ln f ( x) + C szabályt! f ( x)

f ( x) = 3x 2 − 9 x − 11

f ′( x) = 6 x − 9

Mivel a számlálóban a derivált helyett annak 3-szorosa áll, ezért kiemeljük a 3-at. (Konstans mindig kihozható az integrál elé.) Az így kapott függvényre már alkalmazható a fenti szabály:

18 x − 27 6x − 9 2 dx = 3 ∫ 3x 2 − 9 x − 11 ∫ 3x 2 − 9 x − 11 dx = 3 ln 3x − 9 x − 11 + C

131

ANALÍZIS c)

(

f ( x) = 2 x 2 3 x 3 + 7 Alkalmazzuk az

∫

)

f α +1 ( x) f ′( x) f ( x)dx = +C α +1

f ( x ) = 3x 3 + 7

f ' ( x) = 9 x 2

szabályt!

(α = 6)

2x2 helyett 9x2 kellene nekünk, hogy a szabály alkalmazható legyen. A 2-est kiemeljük az integrál elé (mert nincs rá szükségünk). 2 3 6 2 3 6 ∫ 2 x (3x + 7) dx = 2∫ x (3x + 7) dx

9x2-et úgy tudjuk kialakítani, hogy az integrál jel mögött 9-cel, az integrál jel előtt 1/9-del bővítünk. (Tehát 9-cel osztottunk is szoroztunk is, így az értéken nem változtattunk.)

2 ∫ x 2 (3 x 3 + 7) 6 dx =

2 2 3 6 ∫ 9 x (3 x + 7) dx 9

Most már alkalmazható a fenti integrálási szabály.

f ( x) = 3 x 3 + 7

f ' ( x) = 9 x 2

α=6

2 2 (3x 3 + 7) 7 2 2 3 6 + C = (3x 3 + 7) 7 + C ∫ 9 x (3x + 7) dx = 9 9 7 63 d)

5x ∫e

+10 x

⋅ (2 x + 2)dx

Alkalmazzuk az

f(x) = 5x 2 + 10x 5x ∫e

+10 x

∫e

f ( x)

f ′( x ) dx =e f ( x ) + C

szabályt!

f ′(x) = 10x + 10

2 2 1 1 ⋅ (2 x + 2)dx = ∫ e 5 x +10 x ⋅ (10 x + 10)dx = ⋅ e 5 x +10 x + C 5 5

132

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

Gyakorló feladatok Számítsa ki az alábbi integrálokat! 1.

3 2 ∫ (7 x + x ) (42 x + 2)dx 5

1 − 2x4 + 4 x dx ∫ 3x

2x 2 − x dx ∫ 3 4 x − 3x 2

9 x − 15 x 4 dx ∫ 2 3x − 2 x 5

Integrálja a következő függvényeket!

f (x ) =

8 x − 6 x2 + 3 3

15 x 2 − 50 x f (x ) = 3 x − 5 x 2 + 77

f ( x ) = 6 x x 2 + 19

8. 9.

(

5x 3 11. f ( x ) = x 4 + 7

)

(

f (x ) = 3x 2 x 2 − 7

f (x ) = 5 x ⋅

7x2 10. f ( x ) = 3 x +5

12. f (x ) =

)

13. f (x ) =

)

133

7x 2

+ 15

4x2

)

ANALÍZIS 10.2 H ATÁROZOTT INTEGRÁL Jelölés: b

∫ f (x )dx a a

Definíció szerint:

∫ f (x )dx := 0

∫ f (x )dx := −∫ f (x )dx

és

Tétel: Ha f függvény integrálható egy intervallumon, akkor ezen intervallum bármely részintervallumán is integrálható. Tétel:

integrálható

[a,b]-on

és

a<c<b,

akkor

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx . Tétel: Az [a,b]-on integrálható

rálható ezen az intervallumon, és

függvény c konstans szorosa is integb

∫ cf ( x )dx =c ∫ f ( x )dx .

Tétel: Az [a,b]-on integrálható f és g függvények összege is integrálható ezen az intervallumon, és

∫ ( f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx .

10.2.1 N EWTON -L EIBNIZ FORMULA

Ha f folytonos az [a,b] intervallumon és függvénye ezen az intervallumon, akkor b

∫

f ( x )dx = [F ( x )]a = F (b ) − F (a ) . b

134

F a f függvény egy primitív

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Határozott integrál geometriai jelentése: b

Ha f ( x ) ≥ 0 , akkor ∫ f ( x )dx értéke a

annak a tartománynak a területe, amelyet az y = f ( x ) egyenletű görbe, az x tengely, az x = a és x = b egyenletű egyenesek határolnak.

b b

Ha f ( x ) ≤ 0 , akkor ∫ f ( x )dx értéke, a

az y = f ( x ) egyenletű görbe, az x tengely, az x = a és x = b egyenletű egyenesek által határolt tartomány területének a –1-szerese.

Tehát az ∫ f ( x )dx értéke az y = f ( x ) egyenletű görbe, az x tengely, az a

x = a és x = b egyenletű egyenes által határolt tartomány előjeles területe. (Ha a tartomány az x tengely fölött van, akkor pozitív az értéke, ha alatta, akkor negatív.) Ne feledjük, a határozott integrál mindig egy valós szám.

Mintapélda a) A határozott integrál kiszámításánál mindig a Newton-Leibniz szabályt használjuk: b

b ∫ f ( x )dx = [F ( x )]a = F (b ) − F (a )

Feladat: Számítsa ki az alábbi határozott integrál értékét, és értelmezze a kapott eredményt! 1

4x ∫e

⋅ 2 x 2 dx

135

ANALÍZIS Megoldás:

f ′(x) = 12x 2

f(x) = 4x 3 + 5 1

∫e

4 x3 +5

[

3 1 1 4 x3 +5 1 ⋅ 2 x dx = ∫ e ⋅ 12 x 2 dx = e 4 x + 5 60 6

] = 16 (e 1

− e 5 ) = 1325,78

b) Két függvény által közrezárt síkidom területének meghatározásakor először megkeressük a függvények metszéspontjait. (f(x)=g(x)). Majd metszéspontot kapunk, metszésponttól metszéspontig kiszámítjuk a két függvény különbségének határozott integráljának az abszolútértékét. f (x) és g (x) által közrezárt síkidom területe: x2

T = ∫ f ( x) − g ( x)

ahol x1 és x2 a két görbe metszéspontja.

Feladat: Határozza meg az alábbi két függvény által közrezárt síkf ( x) = 2 x − x 2 g ( x) = − x idom területét! Megoldás: Metszéspontok meghatározása:

f ( x ) = g ( x)

2 1

2x − x = −x

−3 −2 −1 −1

0 = x − 3x 2

−2

0 = x( x − 3) x1 = 0 x 2 = 3 3

−3 −4 3

T = ∫ 2 x − x − ( − x ) = ∫ − x 2 + 3 x = … = 4,5 0

A két görbe által közrezárt síkidom területe 4,5 terület egység.

136

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS c) A függvény és az x tengely által közrezárt síkidom területének meghatározásához először megkeressük az x tengellyel vett metszéspontokat, azaz a függvény zérushelyeit (x1, x2). Majd kiszámítjuk a függvény határozott integrálját x1-től x2-ig (ahol x1<x2). A kérdéses terület, az így kapott szám abszolútértéke. x2

T = ∫ f ( x) , ahol x1 és x2 a függvény zérushelyei. x1

(Ez az eset tekinthető az előző (b, típusú) feladat speciális esetének is, nevezetesen annak, amikor g(x)=0, az x-tengely.) Feladat: Határozza meg az f ( x) = 0,5 x 2 − 0,5 x − 1 függvény és az x tengely által közrezárt síkidom területét! Megoldás: A fentiek értelmében először meghatározzuk az x tengellyel vett metszéspontokat (zérushelyeket)

f ( x) = 0 0,5 x − 0,5 x − 1 = 0 2

x1 = −1

∫ (0,5x

4 3 2 1 −3 −2 −1 −1 −2

x2 = 2

− 0,5 x − 1)dx = 2,25

x 1 2

4 5

−3 −4

−1

Az f ( x) = 0,5 x 2 − 0,5 x − 1 függvény és az x tengely által közrezárt síkidom területe: 2,25. d) A függvénygörbe és a tengelyek által közrezárt síkidom területének a meghatározásakor az x tengelyen a zérushelyek és az x = 0 értékek által meghatározott intervallumokon kell a függvényt integrálni, és az így kapott értékek abszolútértékeinek az összege adja a keresett területet.

137

ANALÍZIS 2 Feladat: Határozza meg az f ( x) = x − 4 x + 3 függvény és a tengelyek által bezárt síkrész területét!

Megoldás: x-tengely metszet (zérushely) meghatározása: f ( x) = 0 x 2 − 4x + 3 = 0

x1 = 1

5 4 3

x2 = 3

Külön kiszámítjuk a [0,1] intervallumon, és külön az [1,3] intervallumon a függvény és az x tengely által közrezárt síkrész területét, majd a kapott értékeket összegezzük.

−2 −1 −1

2 3

−2

 x3   x3  x2 x2 2 2 T = ∫ x − 4 x + 3 + ∫ x − 4 x + 3 =  − 4 + 3x +  − 4 + 3x = 2 2 0 1 3 0  3 1 1

= … = 1,33 + − 1,33 = 2,66

A függvénygörbének a tengelyekkel közrezárt síkrész területe: 2,66 területegység.

Gyakorló feladatok Számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét! Mit ad geometriailag a kapott számérték? 1

14. ∫ e 4 x

⋅ 2 x 2 dx

(4 x + 3)

15. ∫ 3 1

16. ∫ e x

(x − 2)

17. ∫ 4

6 x3 + 3 x + 2 x 18. ∫ dx 3x 1 2

⋅ 3 x 5 dx

138

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 19. Határozza meg mekkora területű síkidomot zár közre a következő függvény grafikonja az x tengellyel! f (x ) = − x 2 − 7 x + 8

20. Határozza meg mekkora területű síkidomot zár közre a következő két függvény grafikonja! f (x ) = x 2 − 4 x + 5

g ( x ) = 3x − 5

Számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét! 2

3 x −1 + 5 x −3 27. ∫ dx x 15 0 1

2 21. ∫ (e − 3x + )dx x 1 1

22.

∫e

2 x3 +3

⋅ 4 x dx 2

28.

∫

2 ln 4 x 23. ∫ 3 x dx 1

29.

9x 4 + 6x 24. ∫ 3x 5 + 5 x 2 dx 1 e

∫

14 x + 21 6 x + 18 2

(2 x + 7) 5 dx

−3 1

3x ( 9 x + 3 ) ⋅ e ∫ 30.

+2x

(3 ln x + 1) 2 dx 25. ∫ x 1 e

1 − 3x 2 + 5 x dx 31. ∫ 4 x 1 2

e3x 26. ∫ 4 + 5e 3 x dx 0

139

ANALÍZIS

Megoldások 1.

2 ∫ (7 x + x ) (42 x + 2)dx =2∫ (7 x + x) (21x + 1)dx = 5

(7 x = 2⋅

+x 7 2

)

7 2

5 2

(7 x 3 + x ) 7 +C = 4⋅ +C 7

1  −  3  1 2x 4x 2  1 − 2x + 4 x dx = ∫  − + dx = ∫ 3x 3 x 3 3     ln x x 4 8 x = − + +c 3 6 3 4

2x2 − x 1 12 x 2 − 6 x 1 dx = dx = ln 4 x 3 − 3 x 2 + C ∫ 3 ∫ 2 3 2 6 4 x − 3x 6 4 x − 3x

9 x − 15 x 4 3x − 5 x 4 3 6 x − 10 x 4 dx = 3∫ 2 dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 2 3x − 2 x 5 3x − 2 x 5 3x − 2 x 5 =

3 ln 3x 2 − 2 x 5 + C 2

1 1 1  − −  8 x − 6 x2 + 3 dx = ∫  8 ⋅ x 2 3 − 1 + 3 ⋅ x 3 dx = ∫ 3   x  

 ∫  8 ⋅ x − 1 + 3 ⋅ x  1 6

1 − 3

7 6

2 3

 dx = 8 ⋅ x − x + 3 ⋅ x + C =  7 2  6 3

140

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6

2 3

48 ⋅ x 9⋅ x 48 ⋅ 6 x 7 9 ⋅ 3 x2 = −x+ +C= −x+ +C 7 2 7 2

15 x 2 − 50 x dx = 5 ⋅ ln x 3 − 5 x 2 + 77 + C ∫ 3 2 x − 5 x + 77

(x ∫ 6 x(x + 19) dx = 3 ⋅ 9

+ 19 10

)

( 3(2 x =

(

) ( ) (2x − 7) + C − 7) +C =

)

5 3 3 2x 2 − 7 2 ∫ 3x 2 x − 7 dx = 4 ∫ 4 x 2x − 7 dx = 4 6 + C = 2

(

)

2 4 ∫ 5 x ⋅ x + 8 dx =

(

5 x +8 7 2 4 2

)

7 4

+C =

(

)

(

5 5 x +8 2 x x 2 + 8 dx = ∫ 7 2 2 4

(

3 4

)

7 20 4 2 x +8 +C 14

10.

7x2 7 3x 2 7 3 dx = dx = ln x +5 +C ∫ x3 + 5 3 ∫ x3 + 5 3

11.

5x 3 5 4x3 5 4 dx = dx = ∫ x 4 + 7 4 ∫ x 4 + 7 4 ln x + 7 + C 141

)

7 4

+C =

ANALÍZIS 12.

∫3

(x + 15) 7 (x + 15) = 2

(

dx = ∫ 7 x x + 15

1 3

+C =

)

−

(

2 3

(

7 dx = ∫ 2 x x 2 + 15 2

)

−

2 3

dx =

)

21 3 2 x + 15 + C 2

13.

4x 2

∫

(x + 5) 4 (x + 5) = 3

−

14. ∫ e

4 x3 +5

1 2

1 − 2

(

dx = ∫ 4 x x + 5 2

+C = −

)

−

3 2

8 3 x3 + 5

(

)

3 − 4 2 3 dx = ∫ 3 x x + 5 2 dx = 3

2 1 4 x3 +5 1 1 4 x3 +5 2 ⋅ 2 x dx = ∫ e ⋅12 x dx = ∫ e ⋅ 12 x 2 dx = 12 0 60 2

[

] (

) (

)

1 4 x 3 + 5 1 1 4⋅13 +5 1 4 ⋅0 3 + 5 e = e − e = e 9 − e 5 = 1325,78 0 6 6 6

Az e 4 x + 5 2 x 2 függvény, az x-tengely, az x = 0 és az x = 1 egyenletű egyenesek által határolt síkidom előjeles területe 1325,78 területegység. 3

15. 6

∫3 1

(4 x + 3)2 =

3 ⋅ 4

[

 1  2 6 6 2 −  (4 x + 3) 3  1 − dx = ∫ (4 x + 3) 3 dx = ∫ 4(4 x + 3) 3 dx =   = 1 4 1 1  ⋅4   3 1

]

4x + 3 1 =

3 ⋅ 4

(

)

27 − 3 7 = 0,81 te

142

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Ez azt jelenti, hogy a függvény görbéje, az x tengely, az x=1 egyenes és az x=6 egyenes által közrezárt terület 0,81 területegység.

16.

∫e 0

 e x +2  e3 e 2 5 ⋅ 3x dx =  = 6,34 te  = − 2 2 2   0 6

x +2 6

Ez azt jelenti, hogy a függvény, az x tengely, az x=0 egyenes és az x=1 egyenes által közrezárt terület 6,34 területegység.

( x − 2)

17. ∫ 4

dx = ∫ 1

3 ( x − 2)

5 4

dx = ∫ 3( x − 2)

−

5 4

1  −  2 1 2  −   ( x − 2) 4  1   = 3 = −12( x − 2) 4  = −12 4 =   1  x − 2 1   1  −   4 1

1   1 = −12 4 −4  nincs értelmezve! 1− 2   2−2 Értelmezési tartomány: D f = ]2; ∞[

1   3 2 2 3 6 x + 3x + 2 x 2 x2  18. ∫ dx =  x + x + ⋅  = 3 x 3 1  1 3  2 1 2

2 4 x =  x3 + x +  = 6,22 3 3  1

143

5 4

dx = 3∫ 1( x − 2) dx =

−

ANALÍZIS 19. f ( x ) = − x 2 − 7 x + 8 = 0

(

⇒

x1 = −8

x2 = 1 1

)

 x3 7x 2  2 ∫ − x − 7 x + 8 dx = − 3 − 2 + 8 x = 121,5 ⇒ T = 121,5 te −8   −8 1

2 20. x − 4 x + 5 = 3 x − 5

x2 −7x +10=0

(

⇒ x1 = 2 x2 =5 5

)

 x3 7x2  2 x − 7 x + 10 dx = − + 10 x ∫   = −4,5 ⇒ T = 4,5 te 3 2 2  2 5

 x  2 x2 21. ∫ (e − 3x + )dx = e − 3 + 2 ln | x | = x 2 1  1 2

= (e 2 − 6 + 2 ln 2) − (e −

22.

2x ∫e

3 + 2 ln 1) = 1,56 2

⋅ 4 x 2 dx = 85,55

2 ln 4 x 23. ∫ dx = 0,02 3 x 1 2

9x4 + 6x dx = 2,46 24. ∫ 5 2 1 3x + 5 x e

(3 ln x + 1) 2 dx = 7 25. ∫ x 1 e

144

10. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

e3 x 26. ∫ dx = 0,16 3x 4 + 5 e 0 1

3 x −1 + 5 x +3 27. ∫ dx = 0,17 x 15 0 1

28. ∫ 1

14 x + 21 6 x + 18 2

dx = 6,64

29. ∫ (2 x + 7) 5 dx = 11160,6 −3

30. ∫ (9 x + 3) ⋅ e 3 x

+2 x

dx = 221,12

1 − 3x 2 + 5 x 31. ∫ dx = 0,08 4 x 1 2

145

IRODALOMJEGYZÉK [1] CSERNYÁK L. (szerk.): Analízis. Matematika üzemgazdászoknak sorozat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1998. [2] BÁRCZY B.: Differenciálszámítás. Bolyai-könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1999. [3] BÁRCZY B.: Integrálszámítás. Bolyai-könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1992. [4] BALÁZSNÉ M. A.: Kvantitatív technikák I., Zsigmond Király Főiskola, Budapest, 2002. [5] BEKE M.: Bevezetés a differenciál és integrálszámításba. Gondolat, Budapest, 1965. [6] BRUNNER ZS. - KIS M. - NAGYNÉ CS.B.: Analízis gyakorló. T.O.P Kft. Tatabánya 2002.

Dr.

[7] BRUNNER ZS. - KIS M: Analízis oktatási segédletek levelező tagozatosoknak, Tatabánya, 2002. [8] CZÉTÉNYI CS. – FELBER M. – REJTŐ K. – ZIMÁNYI K.: Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához I. Szerk.: Albeker I., BGF KVIF, Budapest (2001-es javított kiadás). [9] DENKINGER - GYURKÓ: Matematikai analízis: Feladatgyűjte-mény. Tankönyvkiadó, Budapest. [10] DENKINGER – SCHARNITZKY – TAKÁCS - TAKÁCS: Matematikai zseblexikon. Akadámiai Kiadó, 1992. [11] FEKETE GY. (szerk.): Matematika a felvételi vizsgára készülőknek. Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. [12] FEKETE Z. – ZALAY M.: Többváltozós függvények analízise. Bolyai-könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2000. [13] NAGYNÉ CS. B.: Matematika példatár, TRI-MESTER, Tatabánya 1998. [14] SZABÓ I. – TÓTH A.: Analízis példatár. Kodolányi J. Főiskola, Székesfehérvár, 2005. [15] SYDSÆTER - HAMMOND: Matematika közgazdászoknak. Aula, 1998.