Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár by Edutus Főiskola

MODERN ÜZLETI TUDOMÁNYOK FŐISKOLÁJA

Nagyné Csóti Beáta MATEMATIKAI PÉLDATÁR

ELİSZÓ Ez a példatár elsısorban azzal a céllal készült, hogy a Modern Üzleti Tudományok Fıiskolája matematika oktatásához az elsı év elsı félévében válogatott és kidolgozott példákkal segítséget adjon. A példatár Dr. Csernyák László: Analízis c. tankönyv elméleti anyagára alapozva készült. Célja az, hogy a tárgyalt feladatokon és megoldásaikon keresztül a hallgatók matematikai ismeretei egy olyan alap eszközbázishoz csatlakozzanak, amelynek segítségével a gazdasági élet különbözı területein adódó problémákat matematikai formában meg tudják fogalmazni és meg is tudják oldani. Minden fejezet elején megtalálhatók azok a legfontosabb definíciók és tételek, amelyeknek ismerete szükséges a fejezetben szereplı feladatok megoldásához. A tételek bizonyítására nem tértem ki, mivel azok megtalálhatók a fıiskolán használt, fent említett tankönyvben. Az egyes feladatcsoportokba kerülı feladatok általában azonos típusúak, amelyeknek a megoldása is azonos gondolatmenetet igényel, de a bevezetı feladatok után a többiek már valami új részlépést is tartalmaznak. Igyekeztem szem elıtt tartani azt is, hogy eredményesen tudják használni a könyvet a különbözı matematikai tudásszinttel a fıiskolánkra kerülı nappali és levelezı tagozatos hallgatók. A matematikában járatos olvasó hiányolhat belıle bizonyos részeket: trigonometrikus függvények és az ezekre épülı feladatok, racionális törtfüggvények integrálása, helyettesítéses integrálás, pénzügyi számítások, stb... Mivel a szaktárgyak nem igénylik például a trigonometrikus függvények tárgyalását, mert az adott szinten oktatott gazdasági folyamatokat nem kell velük jellemezni, ez kimaradt a törzsanyagból. Természetesen amint szükségét látják össz fıiskolai szinten az alaposabb tárgyalásnak, a példatár a most kimaradt részekkel bıvíthetı. Hálás köszönetemet fejezem ki ezúton is Dr. Bonifert Domonkosnak, a szegedi Juhász Gyula Tanárképzı Fıiskola docensének lektori munkája során adott értékes megjegyzéseiért, Kovács Ferenc kollégámnak a grafikonok összeállításáért és Gálfi Attila kollégámnak a számítógépes szerkesztésben adott segítségéért. Tatabánya, 1995.

Nagyné Csóti Beáta

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

5 I. VALÓS SZÁMSOROZATOK D.1.1. Függvényen olyan hozzárendelést értünk, amely egy H halmaz minden eleméhez egy K halmaz pontosan egy elemét rendeli ( H ≠ ∅ é sK ≠ ∅ ). A H halmazt a függvény értelmezési tartományának, a képelemek halmazát a függvény értékkészletének nevezzük. Az f függvény értelmezési tartományát általában D f -fel, értékkészletét R f -fel jelöljük. D.1.2. Valós számsorozatnak olyan speciális függvényt nevezünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok halmazának egy részhalmaza. ∞ Jelölése: a: n a a(n); {an } n=1 ; {an } ; ( a1 , a2 ,...)

Az an -et a sorozat általános tagjának nevezzük. A sorozatot leggyakrabban általános tagjának megadásával adjuk meg, de megadhatjuk utasítással vagy rekurzív definícióval is. D.1.3. Az {an } valós számsorozatot felülrıl korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K valós szám, amelynél a sorozat minden tagja kisebb vagy vele egyenlı. Az {an } felülrıl korlátos: ⇔ ∃K∀n( an ≤ K ) . Az {an } valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k valós szám, aminél a sorozat minden tagja nagyobb vagy vele egyenlı. Az {an } alulról korlátos: ⇔ ∃k∀n( an ≥ k ) . A definícióban szereplı K-t a sorozat felsı korlátjának, k-t a sorozat alsó korlátjának nevezzük. Az

{an }

sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrıl is korlátos,

azaz létezik olyan k és K, hogy minden n-re k ≤ an ≤ K teljesül. Az {an } számsorozat korlátos, ha létezik olyan M valós szám, hogy minden nre an ≤ M .

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

Az {an } korlátos: ⇔ ∃M∀n( an ≤ M ) . Megjegyzés: 1. A korlátosságra adott két definíció ekvivalens egymással. 2. Alulról (felülrıl) korlátos sorozatnak végtelen sok alsó (felsı) korlátja van. D.1.4. Alulról (felülrıl) korlátos {an } sorozat legnagyobb alsó (legkisebb felsı) korlátját a sorozat alsó határának (felsı határának) vagy (szuprémumának) nevezzük, és inf( an )-nel (sup( an )-nel) jelöljük.

infimumának

Megjegyzés: Bizonyítható, hogy alulról korlátos sorozatnak van infimuma és felülrıl korlátos sorozatnak van szuprémuma. D.1.5. Az {an } sorozatot növekvınek (csökkenınek) nevezzük, ha minden n-re an ≤ an +1

( an ≥ an+1 ) teljesül.

Megjegyzés: A növekvı vagy csökkenı sorozatokat monoton sorozatoknak nevezzük. D.1.6. Az {an } sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik olyan A valós szám, amire teljesül, hogy bármely környezetébıl a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja marad ki. (Ez a definíció szemléletes, de konkrét sorozat konvergenciájának vizsgálatánál matematikailag nehezen kezelhetı, ezért ekvivalens átfogalmazásra is szükség van.) Az {an } sorozat konvergens, ha létezik olyan A(∈ R ) , hogy bármely pozitív ε hoz megadható olyan (esetleg ε -tól függı) N küszöbszám, hogy minden ennél nagyobb n-re an -nek A-tól való eltérése kisebb, mint ε . Az {an } konvergens: ⇔ ∃A∀ε (> 0)∃N (ε )∀n( n > N ⇒ an − A < ε ) . Az A számot a sorozat határértékének nevezzük.

I. Valós számsorozatok Jelölése:

a n → A;

lim a n = A .

n→∞

A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük. D.1.7. Ha az {an } sorozat olyan tulajdonságú, hogy - bármely K valós számhoz megadható olyan (K-tól függı) N valós szám, hogy valahányszor n>N, mindannyiszor an >K teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az {an } a plusz végtelenbe divergál (határértéke plusz végtelen). Jelölése:

a n → ∞;

lim a n = ∞

n→∞

- bármely k valós számhoz megadható olyan (k-tól függı) N valós szám, hogy valahányszor n>N, mindannyiszor an <k teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az {an } a mínusz végtelenbe divergál (határértéke mínusz végtelen). Jelölése:

a n → −∞;

lim a n = −∞

n→∞

Megjegyzés: A plusz végtelenbe vagy a mínusz végtelenbe divergáló sorozatokat valódi divergens sorozatoknak nevezzük. D.1.8. ∞ Legyen {nk } k =1 pozitív egészekbıl álló szigorúan monoton növekvı sorozat. Az

{a } nk

∞ k =1

∞

sorozatot az {an } n=1 sorozat részsorozatának nevezzük.

Szemléletesen: Ha egy sorozatból végtelen sok tagot kiválasztunk abban a sorrendben, amelyben ezek a tagok az eredeti sorozatban szerepeltek, a sorozatnak egy részsorozatát kapjuk. D.1.9. ∞ ∞ ∞ Az {ak } k =1 és {bl } l=1 sorozatok fésős egyesítésén egy olyan {cn } n=1 sorozatot értünk, amely felbontható két részsorozatra úgy, hogy az egyik részsorozat min∞ ∞ den tagja az {ak } k =1 , a másik sorozat minden tagja a {bl } l=1 sorozathoz tartozik az eredeti sorozatok sorrendjében.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

D.1.10. Az α számot az {an } torlódási pontjának nevezzük, ha {an } -nek létezik olyan részsorozata, ami α -hoz konvergál. D.1.11. Az an = a1 + ( n − 1)d

( a1, d ∈ R )

általános tagú sorozatot számtani sorozatnak

nevezzük. (Megjegyzés: Bizonyítható, hogy bármely tagja, az elsıt kivéve, a tıle szimmetrikusan elhelyezkedı tagok számtani közepe: a + an + k   ∀n(≥ 2)∀k  k < n ⇒ an = n− k  .)   2 D.1.12. Az an = a1q n−1

( a1, q ∈ R )

általános tagú sorozatot mértani sorozatnak nevez-

zük. (Megjegyzés: Bizonyítható, hogy bármely tagjának abszolútértéke, az elsıt kivéve, a tıle szimmetrikusan elhelyezkedı tagok mértani közepe: ∀n(≥ 2)∀k k < n ⇒ an = an − k an+ k .)

(

)

D.1.13.

1 általános tagú sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. n (Megjegyzés: Bizonyítható, hogy bármely tagja, az elsıt kivéve, a tıle szimmetrikusan elhelyezkedı tagok harmonikus közepe:     2  .) ∀n(≥ 2)∀k  k < n ⇒ an = 1 1   +   an − k an+ k  

Az an =

TÉTELEK: T.1.1. Bármely növekvı (csökkenı)

{an }

sorozat alulról (felülrıl) korlátos és

inf( an )=min( an )= a1, (sup( an )=max( an )= a1).

I. Valós számsorozatok

T.1.2. Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke van. T.1.3. Minden konvergens sorozat korlátos. T.1.4. Ha {an } sorozat konvergens, akkor minden részsorozata is konvergens, és a részsorozatok határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlı. Ha an → ∞ , akkor minden részsorozata is a végtelenbe divergál. Ha an → −∞, akkor minden részsorozata is a mínusz végtelenbe divergál. T.1.5. Ha an → A és bn → A , akkor minden fésős egyesítésük is A-hoz konvergál. T.1.6. Ha egy sorozat felbontható két konvergens, közös határértékkel rendelkezı részsorozatra, akkor az eredeti sorozat is konvergens, és határértéke a részsorozatok közös határértéke. T.1.7. Konvergens sorozatnak pontosan egy torlódási pontja van, ami egyben a sorozat határértéke. T.1.8. Ha egy sorozat korlátos és egyetlen torlódási pontja van, akkor konvergens. T.1.9. (Rendırelv vagy közrefogási szabály) Ha valahonnan kezdve minden n-re an ≤ bn ≤ cn teljesül és lim a n = lim cn =A, n →∞

n →∞

akkor lim b n = A is teljesül. n →∞

T.1.10. Ha valahonnan kezdve minden n-re an ≤ bn , és a két sorozat konvergens, akkor lim a n ≤ lim b n . n →∞

n →∞

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

T.1.11. Ha egy sorozat növekvı (csökkenı) és korlátos, akkor konvergens is és határértéke a sorozat felsı (alsó) határával egyenlı. T.1.12. a) b) c) d)

1 → ∞. an 1 Ha an → 0 és an < 0 ( ∀n − re ), akkor → −∞. an 1 Ha an → ∞ , akkor → 0+ (pozitív értékeken keresztül). an 1 Ha an → −∞ , akkor → 0− (negatív értékeken keresztül). an

Ha an → 0 és an > 0 ( ∀n − re ), akkor

T.1.13. A következı táblázatból az {an } és {bn } sorozatok összegére és szorzatára megfogalmazható határértéktételek olvashatók ki. Például, az "összeadás táblázat" második sorának második oszlopában levı kifejezés a következı tételt jelenti: Ha an → A és bn → B , akkor an + bn → A + B . A 3.sor 1. oszlopának jelentése: Ha an → ∞ és bn → −∞, akkor az összegsorozat határértékérıl nem tudunk mit mondani, további vizsgálatok (átalakítások) szükségesek a konvergencia vagy divergencia eldöntésére. Az összeadás táblázata: (A, B valós szám) B -∞ -∞ -∞ -∞ A -∞ A+B ? ∞ ∞ A szorzás táblázata: (A, B pozitív valós szám) -∞ -B 0− 0+ -∞ ? ? ∞ ∞ -A AB ∞ 0+ 0− ? 0− 0+ 0+ 0− − − ? 0+ 0+ 0 0 − A -∞ -AB 0 0+ -∞ -∞ ? ? ∞

∞ ?

∞ ∞ B -∞ -AB 0− 0+ AB

∞

∞ -∞ -∞ ? ?

∞ ∞

I. Valós számsorozatok

Megjegyzések: 1. Az összeadási táblázatból két sorozat különbségének határértékére vonatkozó állítások is leolvashatók, tekintve, hogy an − bn = an + ( − bn ) . Fel kell még használni , hogy ha bn → B , akkor − bn → − B , ill. ha bn → ∞ , akkor − bn → −∞ . 2. A szorzási táblázatból két sorozat hányadosának határértékére vonatkozó a 1 állítások is leolvashatók, mivel n = an ⋅ . Annak a tételnek az ismerete kell bn bn 1 1 még, hogy ha bn → B( ≠ 0) , akkor → , a többi eset a T.1.12. tételben szerebn B pel. T.1.13. Néhány nevezetes sorozat határértéke: ha q >1  ∞  1 ha q =1  lim q n =  n→∞ ha q <1  0 nem lé tezik ha q ≤ −1 lim n a = 1 ha a > 0

n→∞

lim n n = 1

n→∞

an = 0 , ahol a tetszıleges valós szám. n →∞ n ! lim

 1 lim  1 +  = e n→∞  n

 α lim  1 +  = e α , ahol α tetszıleges valós szám. n→∞  n

FELADATOK Írjuk fel a következı sorozatok elsı 5 tagját, majd a 10. tagot! n −1 1. an = 2. an = −3 n + 7 n n +1 −1) ( 1 3. an = 4. an = n n! n an = ( −1) ⋅ n 5. 6. an = 3 ⋅ 2 n

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 1 + 2 + 3 +... + n n

an = 8 + 2 n

an =

an = n + ( n + 1) + ( n + 2)+...+2n

10.

an = ∑ ∑ k

i =1 k =1

11.

1, ha n páratlan  an =  1  n , ha n páros

12.

2−n , ha n an =  n 2 , ha n

páratlan páros

Írjuk fel az alábbi, rekurzív módon definiált sorozatok elsı néhány tagját! a +1 13. ha n ≥ 2 és a1 = 0 an = n−1 an−1 + 2 a 14. an = n−1 ha n ≥ 2 és a1 = −5 4 6 an = 15. ha n ≥ 2 és a1 = 0 an−1 + 1 16. a n = a n − 2 + a n −1 ha n ≥ 3, a1 = 0, a 2 = 1 Határozzuk meg a következı sorozatok általános tagját!  1 2 3 4   2 4 8 16  17. 18.  0, , , , ,... 1, , , , ,...  4 9 16 25   3 9 27 81  20. 19. (3, 7, 11, 15, 19,...) (1; − 1; 1; − 1; 1; − 1;...) 21.

 −1 1 −1 1  1, , , , ,...  2 4 8 16 

22.

(0,2; 0,22; 0,222;...)

23.

 3 2 5 4   0, , , , ,...  2 3 4 5 

24.

(1;

25.

1 2 3 4   , , , ,... 2 3 4 5 

26.

, ; 1,0625;...) (1,5; 1,25; 1125

− 0,1; 0,01; − 0,001;...)

27. a) Adjunk meg egy növekvı számtani sorozatot! Vizsgáljuk korlátosság szempontjából! b) Adjunk meg egy csökkenı számtani sorozatot! Vizsgáljuk korlátosság szempontjából! c) Adjunk meg egy olyan növekvı számtani sorozatot, amelynek elsı tagja nem egyenlı a sorozat differenciájával!

I. Valós számsorozatok

28.

29. 30.

31. 32. 33.

d) Adjunk meg egy olyan számtani sorozatot, amely egyben mértani sorozat is! e) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely csökkenı és kvóciense nagyobb egynél! f) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely növekvı és kvóciense kisebb egynél! g) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely nem monoton! h) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely nem monoton és nem is konvergens! i) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely nem konvergens, de monoton! j) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely konvergens, de nem monoton! Adjunk meg olyan mértani, majd mértanitól különbözı sorozatokat, amelyek kielégítik a következı feltételeket! a) növekvı és felülrıl korlátos. b) növekvı és felülrıl nem korlátos. c) csökkenı és alulról korlátos. d) csökkenı és alulról nem korlátos. e) nem monoton, de korlátos. f) nem monoton és alulról se, felülrıl se korlátos. Adjunk meg olyan sorozatot, amely nem monoton, felülrıl korlátos, de alulról nem! Adjunk meg olyan sorozatot, amely korlátos és teljesül rá a következı: a) inf( an )=min( an ), és sup( an )=max( an ). b) inf(an )=min(an ), és sup(an ) ≠ max(an ) c) inf(an ) ≠ min(an ), és sup(an )=max(an ). d) inf( an ) ≠ min( an ), és sup( an ) ≠ max( an ). Fogalmazzuk meg szavakkal, majd írjuk le matematikai jelekkel, mit jelent az, hogy az {an } sorozat nem konvergens! A definíció alapján bizonyítsuk be, hogy a

{(−1) } sorozat nem konvern

gens! Fogalmazzuk meg szavakkal, majd írjuk le jelekkel, mit jelent az, hogy a) az {an } sorozat felülrıl nem korlátos. b) az {an } sorozat alulról nem korlátos. c) az {an } sorozat nem korlátos.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár Az {an } sorozat felülrıl nem korlátos, de alulról korlátos. Következik-e

34.

ebbıl, hogy {an } a 35.

végtelenbe divergál?

Szemléltessük egy példán keresztül, hogy a korlátosság a konvergenciának nem elegendı feltétele! Igaz-e a következı állítás: az {an } sorozat pontosan akkor konvergens,

36. 37.

a) b) 38. a) b) c) d) e) 39. 40. 41. a) b) c) d)

ha egy torlódási pontja van? 1 Adjunk meg az   sorozatnak olyan részsorozatát általános tagjával, n 1 amit úgy kapunk az   sorozatból, hogy n véges sok tagját elhagyjuk. végtelen sok tagját elhagyjuk. 1 Adjunk meg az   sorozat következı feltételeket kielégítı részsorozan tait: a sorozat elsı 5 tagját hagyjuk el. a sorozat elsı 14 tagját hagyjuk el. a sorozat minden páros indexő tagját elhagyjuk. a sorozat minden páratlan indexő tagját elhagyjuk. a sorozat elsı négy tagját elhagyjuk, majd az 5. tagtól kezdve csak minden harmadikat tartjuk meg. Van-e a harmonikus sorozatnak olyan részsorozata, ami mértani sorozat? Mit állíthatunk a 37-38. feladatokban megadott sorozatok határértékérıl? Tekintsünk egy olyan mértani sorozatot, amely se alulról, se felülrıl nem korlátos! Adjunk meg olyan részsorozatát, amely felülrıl korlátos. alulról korlátos. valódi divergens és növekvı. valódi divergens és csökkenı.

Vizsgáljuk a következı sorozatokat monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából! n +1 4n + 6 2n + 4 42. an = 43. an = 44. an = n 4 n −1 3n − 3 n −1 6n − 7 10n + 1 45. 46. 47. an = an = an = 5n + 1 3n − 2 12n + 6

I. Valós számsorozatok 48.

5n − 2 n+2 5n + 3 49. 50. an = an = 5 − 10n 3 n − 11 9 − 2n (Vegyük észre, hogy abból, hogy a számláló nagyobb a nevezınél, nem következik, hogy a sorozat növekvı!) an =

Vizsgáljuk a következı sorozatokat monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából! n 1 an = ( −1) 52. an = 2− n + 3 51. 2n 2 32n − 1 2 ⋅ 2n − 5 53. 54. an = a = n 3n 2n n+2 2 2 −8 n 55. an = 56. an = 2 n+3 1− 2 n! 32n+2 n 57. an = 58. an = n! 2 + n2 2 12 + 22 + 32 +...+ n 2 ( n − 1) 1 + 2 + 3+... + n n + 1 59. 60. an = − an = − n +1 5 n+2 4 61.

an =

2( −1) 3

3 n +1

62.

an =

1 − 2 + 3−... −2 n 1 + 2 + 3 +... +2 n

Bizonyítsuk be, a konvergencia definíciója alapján, hogy az alábbi sorozatok konvergensek, majd adjunk meg az ε1 = 10−2 , ε 2 = 10−5 , ε 3 = 10−6 -hoz a küszöbszámot! (A bizonyítás csak akkor kezdhetı el, ha elıször megsejtjük a sorozat határértékét!) 5n + 7 2n + 1 4 n +1 63. 64. 65. an = an = an = 8n − 5 4n + 3 7 − 5n 2n − 5 n2 − 1 n+2 66. 67. 68. an = an = 2 an = 8 − 3n n +1 3 n − 51 n n n (−1) 69. 70. 71. an = 1 − an = an = 2 n 2n + 1 2n − 1 n2 + 2 8 5n 72. an = 73. 74. an = a = n 5 − 7n 52n + 10 ( n + 1)(2 − n)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

Számítsuk ki a következı sorozatok határértékét! 4n + 3 75. 76. an = 5n + 4 n( n + 1) 77. an = 2 78. 2n + 5 79.

an =

n2 + 1 3 n2 − 2n + 1 6n + 1

80.

81.

an =

n3 − 20 n2 + 3 100n2 + 8 n − 5

82.

83.

an =

85.

an =

87.

an =

89.

an =

91.

an =

3 n+1 4 n−1 + 5 n cn + c−n , c ≠ ±1 , c n − c− n 4

93.

84.

c≠0

n3 + 2 n 3n − 5

88.

n2 + 1 + n 3

n6 + 1 n3 − 2 n2 + 1 + 3 n4 + 1

90.

92. n6 + 6 n5 + 2 − 5 n7 + 3 n3 + 1 1 1 1 1 an = + + +...+ 94. 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n( n + 1) 4

(

)

95.

an = n

96.

an =

97. 98.

an = n2 + 6n + 1 − n2 + 5 n + 3 an = 3 n + 1 − 3 n 1− n 8 an = 1− n 2

99.

86.

n +1 − n

( n + 1)( n + 2) − ( n − 1)( n − 2)

10000n2 n3 + 6 n − 5 5 n +1) ( an = 3n 5 3 n 2 + 1 ( n + 3) − ( n + 4) an = n(2n − 1)( n + 6) − 2 n3

an =

(

an =

)

2 n − 5− n n

 1 n +1   +5  2

 1 7n −    2  1    7

−n

− n +1

+ 3− n

2 + 5n n −2 n2 + 1 + n an = n+ 2 n − 3 n2 an = n2 + 1 + n 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3+...+ n( n + 1) an = n3 an =

an = n + 1 − n − 1

I. Valós számsorozatok 100.

an =

1 + a + a2 +... + a n , 1 + b + b2 +... + bn

a <1 b <1

A monoton, korlátos sorozatokra vonatkozó tétel alapján lássuk be, hogy a következı sorozatok konvergensek, majd egy alkalmas részsorozat választásával a határértékét is adjuk meg! n n2 2n 101. an = n 102. an = n 103. an = 2 3 n! n

 α Felhasználva, hogy lim  1 +  = e α , adjuk meg a következı sorozatok határn→∞  n értékét! n +1

104.

 1 an = 1 +   n

106.

1  an = 1 +   3n 

108.

 n + 3 an =    n − 1

 3n − 1  an =    3n + 2 

110.

3n + 2

112.

 4n − 2  an =    4n + 5 

114.

 1 1 an =  +   2 n

116.

 3n + 2  an =    2n − 7 

118.

 n 2 + 1 an =  2   n 

120.

 1 + 2 + 3+...+ n  an =     n2

105.

1   an = 1 −   n + 1

107.

 2 an = 1 −   n

109.

 n − 2 an =    n + 3

111.

 2n + 1  an =    2n − 5 

113.

1  an =  2 +   n

115.

 2n + 1 an =    3n − 1 

117.

 n + 1 an =    n 

119.

 n 2 − 5 an =    2n 2 

2 n +1

n+2 3

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

Mutassuk meg, hogy a következı, rekurzív definícióval adott sorozatok monotonak és korlátosak, majd számoljuk ki a határértéküket is! 3 an−1 121. a1 = , an = n ≥ 2 esetén. 4 1 + 2an−1 122. a1 = 2, an = 2 + an−1 n ≥ 2 123. a1 = 7, an = 2 + an−1 n ≥ 2 124. a1 = 0, an = 6 + an−1 n ≥ 2 125. a1 = 10, an = 6 + an−1 n ≥ 2 a +1 126. a1 = 0, an = n−1 n≥2 an−1 + 2 2a + 3 127. a1 = 1, an = n−1 n≥2 an−1 + 3 6 128. a1 = 0, an = n≥2 1 + an−1 129. Valamely pénzintézetnél kamatos kamatra elhelyezünk t 0 Ft-ot. A kamatláb p %-os. A felnövekedett értékek az évek számától függı sorozatot alkotnak. a) Írjuk fel a sorozat elsı három tagját; b) Írjunk fel rekurzív összefüggést a sorozat elemeire; c) Fejezzük ki a sorozat n-edik elemét rekurziómentesen! 130. Felvettünk t 0 Ft kölcsönt, amit évi egyenlı részletekben kell majd törlesztenünk. Elıször a kölcsön felvétele után 1 évvel törlesztünk. Az n = 1, 2, 3, ... évek eltelte után a még fenálló tartozások sorozatot alkotnak. a) Írjuk fel a sorozat elsı 4 elemét; b) Milyen feltételek mellett lesz a sorozat monoton csökkenı; c) Határozzuk meg, hogy mekkora lesz az évi törlesztés (annuitás), és hány év alatt egyenlítjük ki a teljes tartozásunkat?

I. VALÓS SZÁMSOROZATOK - MEGOLDÁSOK 1.

5. 6. 7.

−1, 6, 10,

1 2 3 4 9 , , , , ... a10 = 2 3 4 5 10 1, −2, −5, −8, ... a10 = −23 −1 1 −1 1 −1 , , , , ... a10 = 2 3 4 5 10 1 1 1 1 1 , , , , ... a10 = 2 6 24 120 10! 2, −3, 4, −5, ... a10 = 10 12, 24, 48, 96, ... a10 = 3072 12, 16, 24, 40, ... a 10 = 1032

16.

n(n + 1) n + 1 3 5 11 , 2, , 3, ... a10 = an = = 2 2 2 2n 2 3, 9, 18, 30, 45, ... a10 = 165 n( n + 1) 3n an = ( n + 1)n + = ( n + 1) 2 2 1, 4, 10, 20, 35, ... a10 = 220 n i( i + 1) n( n + 1)( n + 2) an = ∑ = 2 6 i =1 1 1 1 , 1, , 1, ... a10 = 1, 2 24 10! 1 1 1 , 4, , 16, , ... a10 = 1024 2 8 32 8 21 55 1 3 0, , , , , , ... 2 5 13 34 89 −5 −5 −5 −5 −5, , , , , ... 4 16 64 256 6 42 78 0, 6, , , , ... 7 13 55 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

17.

an =

8. 9.

10.

11. 12. 13. 14. 15.

n −1 n2

18.

 2 an =    3

n −1

20 19. 21. 23. 25. 27.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár a n = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1  −1 an =    2

a n = ( −1)

22.

1 1  1 an = 2 + +...+ n   10 100 10 

24.

 −1 an =    10 

26.

an = 1 + 0, 5 n

n −1

1 an = 1 + ( −1) n n an = n +1 n

n +1

20.

vagy a n = ( −1)

n −1

stb.

n −1

Az an = a1 + ( n − 1)d számtani és an = a1qn−1 mértani sorozatoknál az a1 , d ill. q értékeket kell az alábbi feltételeknek megfelelıen megválasztani: a) d ≥ 0 , a1 tetszıleges valós szám. Ha d=0, akkor a sorozat konstanssorozat, így korlátos is, ha d>0, akkor a sorozat csak alulról korlátos, felülrıl nem. Alsó határa a sorozat elsı tagja. -3 ≤ an pl.: an = −3 + ( n − 1)8 = 8n − 11,

bn = n

1 ≤ bn

b) d ≤ 0 , a1 tetszıleges valós szám. Ha d =0, akkor a sorozat konstanssorozat, így korlátos is, ha d<0, akkor a sorozat csak felülrıl korlátos, alulról nem. Felsı határa a sorozat elsı tagja. pl.: an = 7 − ( n − 1)5 = −5n + 12 , an ≤ 7 bn = − n , bn ≤ −1 c) pl.: an = 3 n + 2 , (d>0) d) pl.: an = 4, (kvóciense 1, differenciája 0.) e) pl.: an = −2 n , ( a1 <0) n

 1 f) pl.: an = −  , ( a1 <0 és q ∈(0,1) )  2 n

 1 g) pl.: an =  −  , ( q<0 és a1 ≠ 0)  2 n

h) pl.: an = ( −2) , (q < -1 és a1 ≠ 0) i) pl.: an = 3 ⋅ 2 n növekvı bn = −3 ⋅ 2 n csökkenı Ha q>1 és a1 >0, akkor a sorozat növı, ha q>1 és a1 <0, akkor a sorozat csökkenı.

I. Valós számsorozatok - Megoldások

 −2  j) pl.: an = −5  , ( a1 ≠ 0, q ∈( −1,0) )  7

28. 1 2n n  5 c) an = 3   11

a) an = −

 −1 e) an =    5

bn = 5 − bn =

3 n+4

1 n

bn = ( −1)

1 n

an = 25 n

bn = n!

an = ( −3)2n

bn = −3 n 2

an = ( −5)

bn = ( −1) n

29. n = 2k  0 ha an =  − n ha n = 2 k − 1

30. a) an = ( −1)

4 n+7 8 c) a n = 5 + n 1  − 1 ha n = 2 k − 1 d) a n =  n 1 1 − ha n = 2k  n b) an = 2 −

rövidebben: a n = ( −1)

n −1

n −1 n

31. Az {an } nem konvergens: ∀A∃ε ( > 0)∀N∃n( n > N

an − A ≥ ε ) azaz,

ha bármely valós számnak van olyan környezete, amin kívül a sorozatnak végtelen sok tagja van. 32. Megmutatjuk, hogy egyetlen valós szám se lehet a sorozatnak határértéke. I. A:=1, megmutatjuk, hogy a sorozat nem konvergál 1-hez. ε: = 1. Az 1-nek 1 sugarú környezetén kívül a sorozatnak végtelen sok tagja van. II. A:= −1 , ε: = 1. A -1-nek 1 sugarú környezetén kívül a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

III. "A" legyen ±1-tıl különbözı és ε: =

min ( d ( A,1), d ( A,−1))

2 "A" ezen környezetében a sorozatnak egyetlen tagja sincs, így nem lehet határértéke sem.

33. a) {an } felülrıl nem korlátos: ∀K∃n( an > K ) , azaz ha bármely valós számnál létezik a sorozatnak nagyobb tagja. b) {an } alulról nem korlátos: ∀k∃n( an < k ) , azaz ha bármely valós számnál létezik a sorozatnak kisebb tagja. c) {an } nem korlátos, ha alulról vagy felülrıl nem korlátos. 34. n = 2k 0, ha Nem. Pl.: a n =  n , ha n = 2 k − 1

35. Pl.:

{(−1 )} korlátos, de nem konvergens. n

36. Nem. Például a 11. feladatban szereplı sorozatnak egy torlódási pontja van, a 0, mégsem konvergens. 37.  1  a)    n + 10 

1    n!

38.  1  a)    n + 5 1 d)    2n 

b) e)

 1     n + 14   1     3n + 2 

 1     2 n − 1

39. n  1   1   Van. Pl.:  n  =     2   2  

40. 1 T.1.4.-re hivatkozva a részsorozatok az   sorozat határértékéhez konvern gálnak, azaz 0-hoz.

I. Valós számsorozatok - Megoldások

41.

{(−2) } . A feltételnek megfelelı részsorozatok: b) } {(−2) } n

A sorozat pl.: a)

{(−2)

2 n +1

c) lásd b) rész

lásd a) rész

42. an = 1 +

1 1 alakból látható, hogy csökkenı; 1 < a n ≤ 2 ; valamint 1 + → 1 n n

43. 1. megoldás 4( n + 1) + 6 4n + 6 −28 − = < 0, 4( n + 1) − 1 4n − 1 (4n + 3)(4n − 1) mivel a nevezı minden pozitív egész számra pozitív. A fenti egyenlıtlenség pedig azt jelenti, hogy a sorozat csökkenı. 2. megoldás 4n + 6 7 alakból látható, hogy {an } csökkenı. an = =1+ 4n −1 4n −1 10 4n + 6 1 < a n ≤ , valamint →1 3 4n −1 an +1 − an =

44. 1. megoldás an +1 − an =

45.

−2 < 0 a csökkenést jelenti n( n − 1)

2. megoldás 2 3  an = 1 +  alakból is a csökkenés olvasható le.  3 n − 1 2 8 2n + 4 2 < an ≤ , valamint → 3 3 3n − 3 3 1. megoldás an +1 − an =

6 > 0 , a sorozat növekvı. (5n + 6)(5n + 1)

46.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 2. megoldás 1 6 5n + 1) − ( 6 5 =1− an = 5 alakból látható a növekedés. 5n + 1 5 5(5n + 1) 1 n −1 1 0 ≤ an < , valamint → 5 5n + 1 5 3 növekedı 3n − 2 −1 ≤ a n < 2 , valamint a sorozat határértéke: 2.

an = 2 −

47.

5 2 növekvı − 6 6n + 3 11 5 5 ≤ an < , valamint a sorozat határértéke: 18 6 6 an =

48. 49.

50.

51.

3 1 1 A sorozat növekvı; − ≤ an < − , határértéke : − . 5 2 2 A sorozat a 4. tagtól kezdve csökkenı −3 −4 −5 1 a1 = , a2 = , a3 = , a4 = 6 > a5 > a6 >... > an >... > 8 5 2 3 −5 1 ≤ an ≤ 6 , a sorozat határértéke: 2 3 A sorozat növı az 5. tagtól kezdve. 8 13 18 −5 a1 = , a2 = , a3 = , a4 = 23, a5 = −28 < a6 < a7 <... < 7 5 3 2 −5 −28 ≤ an ≤ 23 , határértéke: 2 Váltakozó elıjelő sorozat, tehát nem monoton; korlátos: tárértéke: 0.

−1 1 ≤ an ≤ , a ha2 8

52. an > an+1 1 1 1 1 7 > n+1 = n , csökkenı a sorozat; 3 < an ≤ , a határértéke: 3. n 2 2 2 2 2

I. Valós számsorozatok - Megoldások

53. 32n − 1 32n +2 − 1 < egyenlıtlenség teljesülése minden n-re azt jelenti, hogy a 3n 3 n+1 sorozat növekvı. 8 1 ≤ an , an = 3 n − n alakból látszik, hogy a sorozat felülrıl nem korlátos és 3 3 a végtelenbe divergál.

54. an = 2 −

5 −1 alakból látszik, hogy növı a sorozat, ≤ an < 2 és határértéke a n 2 2

55. Megmutatjuk, hogy ha n ≥ 2, akkor n+2 2n n 2n +3 − 8 2n+ 2 − 8 2 16 ⋅ 2 − 48 ⋅ 2 + 1 an +1 − an = − = ≥ 0 teljesül. 1 − 22 n + 5 1 − 22 n + 3 1 − 22 n +5 1 − 22 n + 3

(

)

)(

)

A 16 x 2 − 48 x + 1 ≥ 0 egyenlıtlenség megoldásából csak az x ≥

56.

6 + 35 4

jöhet számításba. 6 + 35 A 2n ≥ egyenlıtlenség megoldásából pedig adódik, hogy a 2. tagtól 4 kezdve növekvı a sorozat. −8 ≤ an ≤ 0 127 4 8 − 2n n+2 n 2 −8 2 2 → 0−0 = 0 = 2 n+3 1 0−8 1− 2 −8 2n 2 Megmutatjuk, hogy n ≥ 2-re a sorozat csökkenı.

( n + 1)2 ≤ n2 , ( n + 1)! n ! 2

 1 1 +  ≤ n + 1  n

 1 1 +  < e ≤ n + 1 teljesül n=2-tıl, tehát a sorozat innen csökkenı.  n 0 < an ≤ 2 A konvergenciát a közrefogási szabály (T.1.9.) alapján vizsgáljuk.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

n2 n2 < majdnem minden n-re teljesül. A két szélsı sorozat n ! n( n − 1)( n − 2)

0-hoz tart, így a közrefogott sorozat is 0-hoz tart. 57.

a n +1 − a n =

n +1 2 + (n + 1)

−

n 2 + n2

n 4 + 2n 3 + 3n 2 + 4n + 2 − n 4 + 2n 3 + 3n 2

n 2 + 2n + 3 n 2 + 2 tehát növekvı a sorozat. 3 n 1 ≤ an < 1, = →1 2 3 2 n +2 1+ 2 n

> 0,

58. 2 n+2 32 n+ 4 32 n + 2 3 (8 − n) an +1 − an = − = ≤ 0 teljesül n=8-tól kezdve. Innen ( n + 1)! n ! ( n + 1)! csökkenı a sorozat. 0 < an < 9609 Mivel a sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens is. Határértékét jelöljük A-val. T.1.4. alapján {an+1} is konvergens és harárértéke szintén A-val

egyenlı, másrészt 32 n+ 4 32 n+ 2 9 an +1 = = → A⋅0 = 0 ( n + 1)! n ! n + 1 ami a sorozat határértéke.

T.1.2.-re

hivatkozva

59.

an =

1 + 2+...+ n n + 1 ( n + 1)( n − 2) − = n+2 4 4( n + 2)

n 2 + 8n + 2 > 0 , növekvı a sorozat. 4( n + 2)( n + 3) 2 n −1 − n2 − n − 2 −1 n → ∞, = ≤ an és felülrıl nem korlátos. 8 4n + 8 6 4+ n an +1 − an =

A=0,

I. Valós számsorozatok - Megoldások

60. 2

n( n + 1)(2 n + 1) ( n − 1) 4n 2 + 17 n − 6 an = − = > 0 növekvı, végtelenbe di6( n + 1) 5 30

vergál, csak alulról korlátos. 61. 2( −1)

( −1)n

n →0=0 3 3 n +1 3+ 1 3 n 2 −2 Az a 2 n = 3 >0 csökkenı; az a 2 n−1 = 3 <0 növekvı rész3 2n − 1 + 1 3 2n + 1 sorozata az eredeti sorozatnak. E kettı megállapításból felírható: 1 2 − ≤ an ≤ 3 . 2 3 2 +1

Nem monoton a sorozat.

62.

63.

Adjuk meg egyszerőbben az általános tagot! (1 − 2) + (3 − 4)+...+((2n − 1) − 2n) −1 an = = . Ez a sorozat növekvı, han(2n + 1) 2n + 1 −1 tárértéke a 0, és ≤ an < 0 . 3 Sejtés: A =

5 8

5n + 7 5 − < ε egyenlıtlenséget kell megoldani n-re vonatkozóan. 8n − 5 8 81 +5 , tehát a következı kifejezés adhatja az ε -hoz tartozó kün > 8ε 8 81 +5 szöbszámot: N (ε ) = 8ε 8 N (ε 1 ) = 127, N (ε 2 ) = 126563, N (ε 3 ) = 1265625 64. Sejtés: A =

1 2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 2n +1 1 − < ε egyenlıtlenséget kell megoldani. 4n + 3 2 1 −3 , tehát a következı kifejezés adhatja az ε -hoz tartozó küszöbn > 2ε 4 1 −3 számot: N (ε ) = 2ε 4 N (ε 1 ) = 11 N (ε 2 ) = 12499 N (ε 3 ) = 124999

65. 4 Sejtés: A=− . Oldjuk meg a következı egyenlıtlenséget: 5 4n +1 4 + <ε 7 − 5n 5 33 +7 5 ε , amibıl összefüggést nyerhetünk az ε -hoz tartozó küszöbszámra: n> 5 33 +7 N (ε ) = 5ε 5 N (ε 1 ) = 133 N (ε 2 ) = 132001 N (ε 3 ) = 1320001 66. 1 +8 N (ε ) = 3ε 3 N (ε 1 ) = 13

67. n2 − 1 −1 < ε n2 + 1 2 <ε 2 n +1 2−ε n>

N (ε 2 ) = 11113

N (ε 3 ) = 111113

I. Valós számsorozatok - Megoldások 2−ε

N (ε ) =

ha ε <2, ha ε >2, akkor minden sorozattag 1-nek ε sugarú

környezetében van. N (ε 1 ) = 14 N (ε 2 ) = 447

N (ε 3 ) = 1414

68. 1 3 n+2 1 − <ε 3 n − 51 3 57 < ε ha n>17 3(3n − 51) 57 57 + 51 + 51 3ε <n N (ε ) = 3ε 3 3 N (ε 1 ) = 650 N (ε 2 ) = 633350

Sejtés: A=

N (ε 3 ) = 6333350

69. Sejtés: A = 1 1 N (ε ) =

70. Sejtés: A =

N (ε 1 ) = 100

N (ε 2 ) = 100000

1 2

1 −1 2 N (ε ) = ε 2

N (ε 1 ) =

49 2

N (ε 2 ) =

71. I. megoldás A szokásos eljárást követve kapjuk, hogy 1 + 1 + 8ε 2 . 4ε II. megoldás Sejtés: A = 0 n an − 0 = 2 2n −1 N (ε ) =

N (ε 3 ) = 1000000

49999 2

N (ε 3 ) =

499999 2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár Azt mutatjuk meg, hogy majdnem minden n-re teljesül az lıtlenség. Elıször felsı becslést adunk az n 2

2n −1

≤

n 1 = . 2n − n 2n −1

n 2

2n −1

n 2

2n −1

-re:

+1 1 < n. Tehát N (ε ) = ε < ε teljesül, ha ε . 2 2n −1 2 101 10 5 106 N (ε 2 ) = N (ε 3 ) = Így N (ε 1 ) = 2 2 2 Viszont

72.

I. megoldás A szokásos eljárást követve kapjuk, hogy N (ε ) =

(ε + 1) +

9ε 2 + 18ε + 1 . 2ε

II. megoldás Sejtés: A = -1 n+4 n+4 2n 2 an + 1 = < 2 = 2 − n 2 + n + 2 ( n= n − n − 2 n − 2 n n − 2 >2) 2 2 2 < ε , ha + 2 < n , tehát N (ε ) = + 2 . n−2 ε ε N (ε 1 ) = 202 N (ε 2 ) = 200002 N (ε 3 ) = 2000002 73. Sejtés: A = 0 8 8 an − 0 = = n , n 5−7 7 −5 8 8 8  < ε , ha + 5 < 7 n , azaz log 7  + 5 < n . n ε  ε 7 −5 8  lg + 5 ε  8  . Tehát N (ε ) = log 7  + 5 = ε  lg 7 N (ε 1 ) = log 7 805 ≈ 3,43 N (ε 2 ) = log 7 800005 ≈ 6,98 N (ε 3 ) = log 7 8000005 ≈ 8,17

< ε egyen-

I. Valós számsorozatok - Megoldások

74. I. megoldás A szokásos eljárást követve kapjuk, hogy N (ε ) = log 5

1 + 1 − 40ε 2 . 2ε

II. megoldás Sejtés : A=0 an − 0 =

5n 5

+ 10

, viszont

5n 5

+ 10

5n 5

1 5

, ugyanakkor

1 5n

< ε , ha

 1 log 5   < n . ε 2 ≈ 2,86 lg 5 6 N (ε 3 ) = log 5 10 6 = ≈ 8,58 lg 5

N (ε 1 ) = log 5 100 =

75. 4n + 3 = 5n + 4 76.

104 10 n n = →0 3 6 5 n + 6n − 5 1+ 2 − 3 n n 4

77.

3 n→4 4 5 5+ n

1 n( n + 1) 1 + n 1 = → 2 2n + 5 2 + 5 2 2 n

78.

( n + 1)5 → 1 3n5

N (ε 2 ) = log 5 105 =

5 ≈ 7,15 lg 5

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

79.

80.

81.

−1 −2 n 2 + 6 n + 1 → 2 6 12 n + 8 n + 1

−9 −9 n 2 − 47 n − 61 → 2 11 11n − 6 n 3 n2 → ∞ 8 5 100 + − 2 n n n − 20 +

82.

2 n − 5− n n

 1 n +1   +5  2

 2  1   −   5   5 = →0 n  1   +5  10 

83.  3 3   5

3n+1 = →0 4 n−1 + 5n 1  4  n   +1 4  5

84. n

85.

7 n − 2n 1 + 7 n−1 3n

 2 1−    7 = →7 1 1 + 21n 7

c n + c − n c2 n + 1 = c ≠ ±1, c ≠ 0 c n − c − n c2 n − 1 a) ha c < 1, akkor c n → 0,

ezért

c 2n + 1 c 2n − 1

→ -1

I. Valós számsorozatok - Megoldások n

1  1 ha c > 1 , akkor < 1 , és   → 0 ,  c c

ezért

c 2n − 1

1+ = 1−

1 c 2n → 1 1 c 2n

86. 2 +5 = n → 5 n − 2 1− 2 n

2 + 5n

87. 4

n 3 + 2n = 3n − 5

1 2 + n n3 →0 5 3− n

88. n +1 + n n+ 2

1 1 + 2 n n →1 2 1+ n

89.

1 1 1 + + 4 2 n +1 + n n n n →0 = 3 6 1 n +1 3 1+ n6 2

90. 3

n− n 2

1− 3

n +1 + n

= 1+

1 n

1 +1 n2

→

1 2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

91.

(

n3 − 2n 2 + 1 − 3 n 4 + 1 4

n 6 + 6 n5 + 2 − 5 n 7 + 3n3 + 1

)

n4 + 1 2 1 1− + 3 − 6 n n n9

= 4

6 2 10 + − n n6

(

)

n 7 + 3n 3 + 1

→1

3 2

( n -nel osszuk végig a számlálót is, nevezıt is! Alkalmazzuk a következı átalakításokat: n3 = 6 n9 = 4 n 6 = 10 n15 .) 92. 1(1 + 1) + 2(2 + 1)+...+ n( n + 1) 12 + 1 + 22 + 2 + 32 + 3+...+ n 2 + n = = n3 n3 n( n + 1)(2 n + 1) n( n + 1) ( n + 1)( n + 2) 1 = + = → 3 3 2 6n 2n 3n 3

93. 1 1 1 + +...+ = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n( n + 1) 1  1  1   1 1  1 1  1 = 1 −  +  −  +  −  +...+ − →1  = 1−  2   2 3  3 4   n n + 1 n +1

94. n +1 − n −1 =

(

n +1 − n −1

)(

n +1 + n −1

2 →0 n +1 + n −1

95. n

(

)

n +1 − n =

n +1 + n −1

n 1 → 2 n +1 + n

96.

( n + 1)( n + 2) − ( n − 1)( n − 2) → 3 97. n2 + 6 n + 1 − n 2 + 5 n + 3 →

1 2

I. Valós számsorozatok - Megoldások

98. 3

n +1 − 3 n =

→0

( n + 1) + 3 n( n + 1) + 3 n2 a3 − b3 = ( a − b)( a 2 + ab + b2 ) azonosság alapján.) 3

(Az

99. 1 − n 23

=1+ n 2 + n 4 → 3

1− 2 n

100. a n +1 − 1 b − 1 1− b → n +1 a −1 b −1 1− a 101.

n n +1 n −1 csökkenı a sorozat − = n+1 ≥ 0, 2 n 2 n+1 2 n 1 0< n ≤ 2 2 Mivel monoton és korlátos a sorozat, ezért konvergens is. Határértéke legyen A. A sorozat minden részsorozata is A-hoz konvergál, így egyrészt {an } konvergál A-hoz, másrészt n +1 n 1 1 an+1 = n+1 = + n+1 → A + 0 n 2 2 2⋅2 2 1 T.1.2. alapján A = A , ami csak akkor teljesül, ha A=0. Tehát a sorozat 2 0-hoz konvergál.

102. A sorozat a 2. tagjától kezdve monoton csökkenı, korlátos, így konvergens is. Az elızı feladathoz hasonlóan legyen a sorozat határértéke A. Ekkor a2n → A , de a2n = 103.

4 n2 , ezért A = A . 0, azaz A = 0. 3n 3n

Csökkenı és korlátos a sorozat, határértéke pedig a 0. 104. n

 1  1 1 +  1 +  → e ⋅1 = e  n  n

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

105. n +1

1   1 −   n + 1

−1

1   −1 −1 1 −  → e ⋅1 = e  n + 1

106. 3

1  1 +   3n 

→3 e

107.

 1 − 

2  n

n 2

 −2  → e 

( )

= e −4

108. 1. megoldás n −1  4   1 +     n − 1  2. megoldás

4   4 2 8 1 +  → e ⋅1 = e  n − 1

( )

 n + 3    n   n −1   n 

2 n +1

 3  n   3  2 1 +   1 +  e3  n    n  = → = e8 n 2 −1 2  1    1  e 1 −   1 −   n    n 

( ) ( )

109. 1. megoldás n+2

5   n − 2 3  = 3 1 −     n + 3  n + 3 2. megoldás 3

2  n

 3  3 1 +  1 +   n  n

 1 − 

2  n

 1 − 

→

n +3

e −2 e

5   1 −   n + 3

= 3 e−5

−1

→ 3 e −5

I. Valós számsorozatok - Megoldások

110. 1. megoldás 2

2 n   − 13  1  1 −   e     3n   → = e−2 n 2 2 2   3 2  e  1 +      3n   2. megoldás 2

3n + 2 −2  3   3  3 −3 1 − 1 −     → e     3 n + 2 3 n + 2  

( )

2 3

= e −2

111.

 2n + 1     2n − 5 

 4n − 2     4n + 5 

3n + 2

→ e6

112. →e

−21 4

113. 1. megoldás n

1 1   n  2 +  = 2 ⋅ 1 +    2n  n

→∞

2n  n  1   2 → ∞ é s 1 +  → e  2n   

2. megoldás 1  2 < 2 +   n

1  ⇒ 2 < 2 +  ,  n n

{ }

a 2 n sorozat végtelenbe divergál,

n  1   szükségképpen a  2 +   sorozat is. n   

114. 1. megoldás n

 1 1  1  2 2  +  =   1 +  → 0 ⋅ e = 0  2 n  2  n  2. megoldás 1 1 1 5 < + ≤ a 3. tagtól kezdve teljesül, ekkor 2 2 n 6

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár n

 1  1 1  5   < +  ≤   2  2 n  6 Mivel a két szélsı sorozat 0-hoz tart, a közrefogási szabály alapján a vizsgált sorozat is 0-hoz tart.

115. 1. megoldás n

1  n 1 +  5  2n   2 6 → ⋅ e =0 0   n  3  1 1 −   3n  2. megoldás 2 2n +1 7 < ≤ 3 3n −1 8 n n n  2  2 n + 1  7 < ≤        3  3n − 1  8 A két közrefogó sorozat 0-hoz tart, ezért a vizsgált sorozat is 0-hoz tart. 116. n

 3  3n + 2    <   2  2n − 7  telenbe divergál.

 3 és mivel   → ∞ , ezért a vizsgált sorozat is vég 2

117.

 n + 1    n 

 n + 1 n  =     n   n

 n + 1 2≤  , ezért  n  divergál.

 n + 1 2 ≤   n  n

is teljesül, így a sorozat a végtelenbe

118. n

 n 2 + 1 2≤n  2   n 

< n 3 , a két szélsı sorozat 1-hez tart, így a közrefogott

sorozat is 1-hez tart.

I. Valós számsorozatok - Megoldások

119. I. megoldás n

 n 2 − 5  1 =   2   2  2n 

5  1 − 2   n 

n n

5  1 − 2   n 

 1 → 0 ⋅1 = 0 , mivel   → 0 és  2

→ e−5 . Ezért majdnem minden n-re: n2

1 5 1 1  5 1  < 1 − 2  < 4 , amibıl n 6 < n 1 − 2  < n 4 adódik. 6  n  e e e  n  e A közrefogási szabály alapján a vizsgált sorozat 1-hez tart, tehát az eredeti sorozat 0-hoz konvergál. II. megoldás n2 − 5 1 Mivel → , ezért majdnem minden n-re teljesül a következı: 2 2 2n n n n 2  n 2 − 5 1 n −5 3  1  3 < < , amibıl következik, hogy   <   <  .  4  4 4 4 2 n2  2n 2  A közrefogási szabály alapján mivel a két szélsı sorozat 0-hoz tart, így a közrefogott sorozat is 0-hoz tart. 120. n

1 1   n + 1  1   +  =  ⋅  → e⋅0 = 0  2 2n   n   2 121. 3 3 3 3 a1 = , a2 = , a3 = , a4 = ,... 4 10 16 22 Sejtésünk, hogy a sorozat általános tagja rekurziómentesen: 3 an = 6n − 2 Teljes indukcióval bizonyítható állításunk. I. n=1-re teljesül az állítás. II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül az állítás, és ezt felhasználva lássuk be n = k+1-re is az állítást! 3 ak 3 6 k −2 = , amit be akartunk látni. ak +1 = = 6 1 + 2 ak 1 + 6( k + 1) − 2 6k − 2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár A sorozat rekurziómentes alakjából látható, hogy monoton csökkenı, kor3  látos  0 < an ≤  , és konvergens, határértéke a 0.  4

122. a1 = 2 , a2 ≈ 1, 85, a3 ≈ 1, 96, a4 ≈ 1, 99,... A képzési szabálynak van értelme, hiszen könnyen bizonyítható, hogy minden n-re an > 0. Sejtésünk, hogy a sorozat növı és felsı határa a 2. a) an < 2 bizonyítása teljes indukvióval: I. n=1-re teljesül az állítás II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül az állítás! III. Ezt felhasználva lássuk be, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás! ak +1 = 2 + ak < 2 + 2 = 2 Ezzel beláttuk, hogy minden pozitív egészre teljesül az állítás. b) a növekedés bizonyítása I. n=1-re teljesül az állítás, hiszen a1 < a2  2 < 2 + 2 

II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül az állítás, azaz ak ≤ 2 + ak ! III. Ezt felhasználva lássuk be, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás, azaz ak +1 ≤ 2 + ak +1 . De ak +1 = 2 + ak , és 2 + ak +1 = 2 + 2 + ak . A 2 + ak ≤ 2 + 2 + ak az indukciós feltevés alapján teljesül , azaz az állítás minden n-re igaz. Mivel a sorozat monoton és korlátos, ebbıl következik, hogy konvergens is. Jelöljük a sorozat határértékét A-val. Mivel an = 2 + an−1 és an−1 → A is teljesül, így a sorozat határértékére teljesül, hogy A = 2 + A , amibıl A1 = 2, A2 = -1. Mivel a sorozat minden tagja pozitív, ezért A = 2. 123. A 122. feladat mintájára lássuk be, hogy 2 < an minden n-re, majd azt, hogy csökkenı a sorozat és lim a n = 2 n →∞

124. A 122. feladat mintájára lássuk be, hogy an < 3 minden n-re, majd azt, hogy növekvı a sorozat és lim a n = 3 ! n →∞

I. Valós számsorozatok - Megoldások

125. A 122. feladat mintájára lássuk be, hogy an > 3 minden n-re, majd azt, hogy csökkenı a sorozat és lim a n = 3! n→∞

126. Egyszerően belátható, hogy minden n ≥ 2 esetén an > 0 (ezért a képzési szabálynak minden n-re van értelme, másrészt minden n-re an < 1:   a +1 1 = 1− < 1 . Tehát a sorozat korlátos.  an = n−1 an−1 + 2 an−1 + 2   A növekedés bizonyítása teljes indukcióval: I. n=1 re az állítás igaz. II. Tegyük fel, hogy n=k-ra igaz az állítás, azaz ak ≤ ak +1 ! III. Ennek felhasználásával igazoljuk, hogy az állítás n=k+1-re is igaz, azaz igaz a következı reláció:ak +1 ≤ ak +2 . a +1 1 , valamint ak +1 = k =1− ak + 2 ak + 2 a +1 1 ak +2 = k +1 = 1− ak +1 + 2 ak +1 + 2 Felhasználva az indukciós feltevést, azt kapjuk, hogy ak +1 ≤ ak +2 . Tehát az állítás minden n-re igaz. A sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens. Jelöljük határértékét Aval! A-ra teljesülnie kell az alábbinak: A +1 −1 + 5 . Az egyenlet két megoldásából A = értéket kapjuk a A= A +2 2 sorozat határértékére, mivel a sorozat minden tagja pozitív, ugyanakkor az egyenlet másik megoldása negatív. 127. Mutassuk meg, hogy minden n-re 0 < an < 2 , majd azt, hogy a sorozat növekvı. A határérték meghatározása a 122. feladat mintájára történhet. −1 + 13 lim a n = . n →∞ 2 128. 6 42 78 a4 = , a5 = 7 13 55 csökkenı, és a2n > 2

a1 = 0 a2 = 6 a3 =

Sejtésünk: {a2 n }

a6 = 2

64 a7 = 1,723,... 133

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

{a2 n−1} növekvı, és a2n−1 < 2 a) a2n > 2 bizonyítása teljes indukcióval I. n=1-re teljesül II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül, és ezt felhasználva lássuk be n=k+1re. 6 6 36 36 a2k +2 = = = 6− > 6− =2 a2k + 7 1 + a2k +1 1 + 6 2+7 1 + a2k Ez azt jelenti, hogy a sorozat összes páros indexő tagja 2-nél nagyobb. b)Annak bizonyítása, hogy a páros indexő tagokból álló részsorozat csökkenı I. n=1-re teljesül II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül, és ezt felhasználva lássuk be n=k+1re is az állítást! 36 6− ≤ a2k a2k + 7 0 ≤ ( a2 k − 2)( a2 k + 3) Az elızı részben kapott eredmény alapján ez a reláció minden k-ra teljesül, így a sorozat monoton csökkenı. A páratlan indexő tagokra vonatkozó állítások teljesen hasonlóan bizonyíthatók. a1 ≤ an ≤ a2 , tehát a sorozat korlátos is. Mivel a sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens is, határértékét jelöljük A-val. A részsorozatok konvergenciájára vonatkozó té6 . Az egyenlet két megoldásából tel alapján teljesülnie kell, hogy A = 1+ A csak az A=2 jöhet számításba.Tehát a sorozat 2-höz konvergál. 129. p  p    a) t0 , t1 = t0 1 +  , t2 = t0 1 +   100   100  p   b) t0 = t0 , tn = tn −1 1 +   100  p   c) t n = t0 1 +   100 

n>0

I. Valós számsorozatok - Megoldások 130. 1 p   Egyszerőség kedvéért 1 +  -at jelöljük r-rel, az -et v-vel, az éves  100  r törlesztést, -annuitást- a-val! a) t0 = t0 t1 = t0r − a t2 = t0r 2 − a(r + 1)

(

)

t3 = t0r 3 − a r 2 + r + 1 = t0r 3 − a

r n −1 r −1 t0 (r − 1) ≤ a szavakkal, az annuitásnak nagyobbnak kell

t n = t0r n − a b) t n ≤ t n−1

r3 − 1 r −1

lenni, mint a kölcsön évi kamata. r − 1 t0 v − 1 c) a = t 0 r n n = r − 1 v vn − 1 lg a − lg( a − t0 (r − 1)) n= lg r

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

45 II. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK D.2.1. Ha az f függvény értelmezési tartományának minden egyes x értékére teljesül, hogy -x is eleme az értelmezési tartománynak és f ( x ) = − f ( − x ) , akkor a függvényt páratlannak nevezzük; ha f ( x ) = f ( − x ) teljesül, akkor párosnak. Megjegyzés: Páros függvény grafikonja az y tengelyre, páratlan függvény grafikonja az origóra szimmetrikus. D.2.2. Az f belsı és g külsı függvénybıl összetett függvénynek nevezzük azt a F = g( f ) függvényt, aminek értelmezési tartománya f értelmezési tartományának azon x pontjaiból áll, amelyekre f ( x ) eleme a g függvény értelmezési tartományának, és minden ilyen x pontban F ( x ) = g( f ( x )) . D.2.3. Ha az f függvényhez létezik olyan f -sal jelölt függvény, amire teljesül, hogy minden f értelmezési tartományához tartozó x -re f ( f ( x )) = x , és minden f

(

)

értékkészletébe tartozó x -re f f ( x ) = x , akkor azt mondjuk, hogy f és f egymás inverz függvényei. Az inverz függvény grafikonja az eredeti függvény grafikonjának az y = x egyenlető egyenesre vonatkozó tükörképe. D.2.4. (A folytonosság két, egymással ekvivalens definíciója) Cauchy-féle értelmezés: Legyen f az x 0 egy környezetében értelmezett! Akkor mondjuk, hogy az f függvény folytonos x 0 pontban, ha f ( x0 ) -nak bármely ε sugarú környezetéhez megadható az x 0 -nak olyan δ sugarú környezete, hogy valahányszor x benne van x 0 -nak δ sugarú környezetében, mindannyiszor f ( x ) benne van f ( x0 ) -nak

ε sugarú környezetében. Jelekkel: f x 0 -ban folytonos :⇔ ∀ε (> 0)∃δ (> 0)∀x x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) < ε

(

)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

Heine-féle értelmezés: Legyen f az x 0 egy környezetében értelmezett! Akkor mondjuk, hogy f folytonos x 0 -ban, ha minden x 0 -hoz konvergáló { x n } sorozatra teljesül, hogy az

{ f ( x )} függvényérték-sorozat f ( x ) -hoz konvergál. Jelekkel: f x -ban folytonos :⇔ ∀{ x }( x → x ⇒ f ( x ) → f ( x )) 0

D.2.5. Függvény határértékét az alábbi esetekben kell definiálni: a) véges helyen vett véges határérték; b) véges helyen vett végtelen határérték; c) végtelenben vett véges határérték; d) végtelenben vett végtelen határérték. Ezen definíciók csak jelekkel kerülnek ismertetésre. Az olvasóra bízzuk, hogy a fenti definíciók alapján szöveggel is megfogalmazza ıket. a) Legyen f az x 0 egy környezetében (esetleg x 0 kivételével) értelmezve! C:

lim f ( x) = A: ⇔ ∀ε (> 0)∃δ (> 0)∀x(0 < x − x

< δ ⇒ f ( x) − A < ε

x → x0

lim f ( x ) = A: ⇔ ∀{x }∀n( x n

→ x0 , xn ≠ x0 ⇒ f ( xn ) → A)

x → x0

b) Legyen f az x 0 egy környezetében (esetleg x 0 kivételével) értelmezve! C: lim f ( x ) = ∞: ⇔ ∀K∃δ (> 0)∀x ( 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x ) > K ) x → x0

lim f ( x ) = ∞: ⇔ ∀{x }∀n( x n

→ x 0 , x n ≠ x0 ⇒ f ( x n ) → ∞ )

x → x0

lim f ( x ) = −∞: ⇔ ∀k∃δ (> 0)∀x(0 < x − x < δ ⇒ f ( x ) < k ) H: lim f ( x ) = −∞: ⇔ ∀{ x }∀n( x → x , x ≠ x ⇒ f ( x ) → −∞) C:

x → x0

lim f ( x ) = A: ⇔ ∀ε (> 0)∃K∀x( x > K ⇒ f ( x ) − A < ε ) x →∞

lim f ( x ) = A: ⇔ ∀{x }( x n

→ ∞ ⇒ f ( xn ) → A)

x →∞

lim f ( x ) = A: ⇔ ∀ε (> 0)∃k∀x( x < k ⇒ f ( x ) − A < ε ) H: lim f ( x ) = A: ⇔ ∀{ x }( x → −∞ ⇒ f ( x ) → A) C:

x →−∞

)

II. Egyváltozós függvények d)

lim f ( x ) = ∞: ⇔ ∀K∃N∀x( x > N ⇒ f ( x ) > K ) x →∞

lim f ( x ) = ∞: ⇔ ∀{x }( x → ∞ ⇒ f ( x ) → ∞) C: lim f ( x ) = −∞: ⇔ ∀k∃N∀x ( x > N ⇒ f ( x ) < k )

x →∞

lim f ( x ) = −∞: ⇔ ∀{x }( x → ∞ ⇒ f ( x ) → −∞) C: lim f ( x ) = ∞: ⇔ ∀K∃N∀x( x < N ⇒ f ( x ) > K ) H:

x →∞

x →−∞

lim f ( x ) = ∞: ⇔ ∀{x }( x → −∞ ⇒ f ( x ) → ∞) C: lim f ( x ) = −∞: ⇔ ∀k∃N∀x ( x < N ⇒ f ( x ) < k ) H:

x →−∞

lim f ( x ) = −∞: ⇔ ∀{x }( x n

→ −∞ ⇒ f ( xn ) → −∞)

x →−∞

A határértékek Heine-féle definíciója alapján a sorozatoknál ismertetett határértéktételek (T.1.13. táblázatai) analóg módon átfogalmazhatók függvények összegének, szorzatának, különbségének, hányadosának adott pontban (végtelenben) vett határértékérıl szóló tételekké. TÉTEL: Legyen f az x 0 egy környezetében értelmezett! Az f függvény az x 0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha ott létezik határértéke, és az egyenlı a x 0 -beli függvényértékkel, azaz lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0

A függvénytranszformációkról: 1. Az f ( − x ) függvény grafikonja az f ( x ) grafikonjának y tengelyre vonatkozó tükörképe. 2. A - f ( x ) függvény grafikonja az f ( x ) grafikonjának x tengelyre vonatkozó tükörképe. 3. Az f ( x ) + a függvény grafikonja az f ( x ) grafikonjának y tengely mentén való eltolásával kapható, mégpedig pozitív irányúval, ha a pozitív, és negatív irányúval, ha a negatív. 4. Az f ( x + a ) függvény grafikonja az f ( x ) függvény grafikonjának x tengely mentén történı eltolással kapható, mégpedig negatív irányúval, ha a pozitív, és pozitív irányúval, ha a negatív.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

5. Az a . f ( x ) függvény grafikonja az f ( x ) grafikonjának y tengely menti nyújtásával áll elı, ha a >1, ill. zsugorításával. ha 0< a <1. ( A 2.pont miatt elegendı csak pozitív a eseteket vizsgálni.) 6. Az f ( ax ) függvény grafikonja az f ( x ) grafikonjának x tengely menti nyújtásával áll elı, ha 0< a <1, ill. zsugorításával, ha a >1. ( Az 1.pont miatt elegendı csak pozitív a eseteket vizsgálni.)

FELADATOK

Megállapodás: Ha nem írjuk ki a függvény értelmezési tartományát, akkor az a valós számok halmazának az a legbıvebb részhalmaza, ahol a függvény értelmezhetı. Minden egyéb esetben feltüntetjük a függvény értelmezési tartományát a függvény megadásakor. Elemi alapfüggvények és grafikonjai: Hatványfüggvények: Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi pozitív egész kitevıjő hatványfüggvényeket! 1. f1( x ) = x f 2 ( x ) = x 2 f3 ( x ) = x 3 f 4 ( x ) = x 4 f5 ( x ) = x 5 Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi negatív egész kitevıjő hatványfüggvényeket! 2. g1 ( x ) = x −1 g2 ( x ) = x −2 g3 ( x ) = x −3 g4 ( x ) = x −4 Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi törtkitevıjő hatványfüggvényeket! f1( x ) = x f 2 ( x ) = 3 x f 3 ( x ) = 4 x 3. 4.

g1 ( x ) = x 3

h1( x ) = x 3

−2

g2 ( x ) = 3 x 2 −1

h2 ( x ) = x 2

g3 ( x ) = 5 x 5 −1

h3 ( x ) = x 3

Exponenciális és logaritmus függvények Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi függvénypárokat! f1( x ) = 2 x f 2 ( x ) = 3x 6.

II. Egyváltozós függvények 7.

f1( x ) = log 2 x

f1( x ) = 2 x

f 2 ( x ) = log3 x

f 2 ( x ) = 3x

f1( x ) = log 2 x

f 2 ( x ) = log3 x

10.

 1 g1 ( x ) = 2− x =    2

11.

g1 ( x ) = log 1 x

 1 g2 ( x ) = 3− x =    3

g1( x ) = 2− x

12.

g2 ( x ) = log 1 x

g2 ( x ) = 3− x

13.

g1 ( x ) = log 1 x

g2 ( x ) = log 1 x

Írjuk fel a g(f(x)) összetett függvényt és értelmezési tartományát, ha f ( x) = 1 + x2 g ( x ) = ln x 14. 15.

f ( x ) = ln x

16.

f ( x) = 1 + ex

1 x2 g( x ) = x 3

17.

f ( x) = ex

g( x ) =

18.

f ( x) = x

1 + x2 1 − x2 g ( x ) = ln x

19.

f ( x ) = ln x

g ( x ) = ln x

g( x ) =

{ [ ]}

Határozzuk meg a következı y = f g h( x )

alakú függvények összetevıit,

szétbontva az y =f (v); v = g(w); w = h(x) szimbólumoknak megfelelıen! 2 y = log 2 1− x 2 21. y = 2 x −1 20. 22. y = lg 2 x 2 + 1

(

)

Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát! 1 f ( x ) = lg( x + 3) 23. 24. f ( x) = 1 − x2 1 25. f ( x) = 26. f ( x) = 1 − 1 − x2 1 + x2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár x

27.

f ( x) =

29.

f ( x) = 6x + 1 − 2 − x

x 2 − 3x

28.

f ( x ) = lg

30.

f ( x) =

5x − x 2 4 1 1

1− 2x

Alkalmazzuk a függvénytranszformálás módszerét a következı függvények felvázolására! 2 31. f ( x ) = − ( x + 2) + 3 32. f ( x ) = lg( x − 3) 33.

f ( x ) = −2x −1

35.

f ( x) =

39.

x+2 x 2x − 1 f ( x) = x+4 f ( x) = x + 1

41. 43.

37.

34.

f ( x ) = 2− x +1

36.

f ( x) =

40.

x x+2 4x + 3 f ( x) = −2 x + 5 f ( x ) = lg x

f ( x ) = lg x

42.

f ( x) = 2x

f ( x ) = ( x − 2)( x + 3)

44.

f ( x) = x2 − x − 2

38.

Vizsgáljuk a következı függvényeket paritás szempontjából! 2 x 45. f ( x ) = 2x 46. f ( x) = 2 x −1 x 1 f ( x) = + f ( x) = 3 x2 + 1 47. 48. 2 x 49. f ( x ) = x 3 − 3x + 7 50. f ( x) = − x4 + 2x2 + 5 51.

f ( x) = x 2 + x − 6

52. Vázoljuk az f ( x ) =

2 x 2 − 5 x − 12 függvény grafikonját és igazoljuk a definíx−4

ció alapján, hogy a) lim f ( x ) = 11 x →4

b) az x 0 = 1 pontban folytonos a függvény! x2 + x − 2 53. Vázoljuk az f ( x ) = 2 függvény grafikonját és igazoljuk, hogy x − 4x + 3

II. Egyváltozós függvények

−3 2 x →1 b) az x 0 = 5 pontban folytonos a függvény!

lim f ( x ) =

54. Igazoljuk definíció alapján, hogy a Dirichlet-féle függvény sehol nem folytonos és értelmezési tartományának egyetlen pontjában sincsen határértéke! A Dirichlet-féle függvény: 1, ha x racioná lis f ( x) =  0, ha x irracioná lis Adjuk meg a következı határértékeket! 2 56. 55. lim lg x + 3x + 12 x →8

57.

(

)

x 2 −1 lim 2 x →0 2 x − x − 1

lim

58.

63.

65. 67.

(1 + x ) − (1 + 5x )

x 2 + x5 x 2 − 3x − 10 lim x+2 x →−2 2 x − 6x + 9 lim x2 − 9 x →3 x 2 − 7 x + 10 2 lim x → 2 x + 9 x − 22 x4 + 2x2 − 3 lim x 2 − 3x + 2 x →1

69.

lim x →2

71. 73.

(x (x

1 2

lim

(1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3x ) − 1 x

x →0

60.

x →0

61.

x→

59.

lim 4 (3x − 7)

)

−x−2

62. 64.

66. 68.

x 2 − 5x + 6 2 lim x →3 x − 8 x + 15 x 2 − 3x 4 3 lim x →0 x + 2 x + x x 2 − 4x + 3 lim x 2 −1 x →1 x 3 + 3x 2 + 2 x lim x2 − x − 6 x →−2 x 4 − 8 x 2 + 15 lim x4 − x2 − 6 x→ 3

20 10

)

− 12 x + 16

x 2 − 5x + 6 3 2 lim x →2 x − 2 x − x + 2 x 4 − 16 lim x−2 x →2

70.

lim x x →1

72. 74.

x3 − 1 − 2x + 1

x3 + 8 lim x →−2 x + 2 xn −1 (n pozitív egész) lim x −1 x →1

75.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár xm −1 n lim x →1 x − 1

(

m, n ∈ Z+

)

76.

8x3 − 1 lim1 6 x 2 − 5x + 1 x→ 2

77. 79.

x3 − 2x2 − x + 2 lim x 3 − 3x − 2 x →2 5   3 −   lim 3 1 − x5  x →1  1 − x

78. 80.

3   1 − x3  x →1 12   1 − 3   lim x − 8 x →2  x − 2



lim  1 − x

−

Határozzuk meg a következı függvények adott pontbeli határértékét! 81. 83. 85. 87. 89.

1− x x −1 x →1 2 x − x lim x −1 x →1 x +9 −3 lim x x →0

lim

93.

lim

1 + x2 −1 2x

lim

x −1 − 2 x −5

lim

−2 + x + 3 x2 −1

x →0

84.

x →5

86.

x →1

3− x +3 lim x 2 − 36 x →6 x →2

91.

82.

88.

lim

ax − x x−a

lim

1 + 5x − 1 + 2x x

x→a

x + 2x − 4 − x − x + 2 x 2 − 3x + 2

x + 7 − 3x + 1 lim 4x + 8 − 7x − 1 x →3 1− 4 x lim 3 x x →1 1 −

90.

x →0

lim

92.

x →0

8 + 3x − x 2 − 2 x + x2

Adjuk meg a következı végtelenben vett határértékeket! ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) 94. lim x →∞ (5x − 1)5 95. 97.

(2 x − 3)20 (3x + 2)30 lim x →∞ (2 x − 1)50

lim x →∞

x x2 + 1

96.

lim x →∞

98.

lim x →∞

x3 + 2x − 1 3x + 2 1 + 4x 2 x −1

II. Egyváltozós függvények

99.

x →∞

101.

1 + 2x x

100.

x +3 x +4 x 2x + 1

102.

lim 1 + lim x →∞

103.

lim

105.

lim x →∞

107.

x →∞

x +x −x

104.

x →∞

x5 + 6x2 + 3 − x 2

x5 + 4x − 7 + 2x 2

lim x( ( x + a)( x + b) − x )

106.

lim x →∞

x −4 x −8

x3 + 1

1 − 3 x2 + 1 3

lim  x →∞

2x2 + 4 x2 + x x + x − x − x 

108.

   1 1 x −  lim x →∞  a + 1 a   x

110.

 x3 x2  −   lim 2 3x + 2  x →∞  2 x − 4

x →∞

109.

lim

x 3

x+ x+ x x +1

lim x →∞

x2 +1 − x

x →∞

lim x +

( a ≠ 0)

Határozzuk meg az alábbi racionális törtfüggvények határértékét ±∞ -ben! − x 5 + 4 x 3 − 2 x 2 − 3x + 5 111. f ( x) = 3x 5 + x 4 − 4 x 2 + 3 x − 2 1 + 3x − 7 x 2 112. f ( x) = 1 − 4x + 6x2 (1 − x ) x 2 + 3 113. f ( x) = 5x 3 − 2 3x 4 + x 3 − 2 114. f ( x) = −x4 + 5 8 x 7 + 15 x 5 − 2 x 2 + 1 115. f ( x) = 8 − x + x7 − 2x6 + x − 1 ( x − 1)( x + 10)( x + 12) 116. f ( x) = x 4 − 3x + 16 x −1 117. f ( x) = 2 x ax 2 + bx + c 118. f ( x) = 3 d≠0 dx + ex 2 + fx + g

(

)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

119.

f ( x) =

120.

f ( x) =

121.

f ( x) =

122.

f ( x) =

123.

f ( x) =

124.

f ( x) =

125.

f ( x) =

x 4 − 2 x 3 + 5x − 1 − x 3 + 7 x 2 − 12 7 x 4 + 5x 3 − 4 x + 2 2x3 − 6x 2 + 5 3x11 + 7 x 9 − 6 x 5 + 11 2x 6 + 7x4 + 1 5 2 x + 4 x 4 − 3x 3 + 8 x3 − 4x2 − 7 5 x13 + 3x 5 − 20 x + 4 3x 7 − 4 x 4 + x 2 − 1 −2 x 9 + 8 x 7 − 6 x 2 − 1 3x 5 − 9 x 3 − x − 1 8 x 8 − 12 x 3 + 3x + 4 − x 6 + 5x 4 − x 2 + 2

Vizsgáljuk a következı függvények határértékét azokban a pontokban, ahol nincsenek értelmezve! x3 x+2 126. 127. f ( x) = f ( x) = 2 2 x −1 ( x − 1) 1 8x − 2 129. f ( x ) = 2 x +1 x+4 x3 − x 2 + x − 1 130. f ( x) = x3 − x Vizsgáljuk a következı függvények határértékét a szakadási helyeken és ±∞ ben! x 3 + 2 x 2 − 3x x2 −1 131. f ( x) = 2 132. f ( x) = 4 x − 4x + 3 x − 2x2 + 1 x 2 − 5x + 6 3x 2 + 6 x − 45 133. f ( x) = 4 134. f x = ( ) x − 3x 2 − 4 2 x 2 + 12 x + 10 1 1 135. f ( x ) = 3 x +1 136. f ( x) = 1 1+ 2x x2 − 9 1 137. f ( x) = 2 138. f ( x) = 3 1 x ( x − 3) 1− x 2−2

128.

f ( x) =

55 II. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK - MEGOLDÁSOK

Az 1.-13. feladatokhoz tartozó függvénygrafikonok: y f4

g g2 3

g2 4

f2 3

3 g1

f2 2

2 f1

0 -2

-1

0 0

2 x

-2

-1

-2

-3 f5

2 x

-3 g1

-4

f 1 ( x) = x

f 2 ( x) = x 2

f 3 ( x) = x 3

f 4 ( x) = x 4

1 x 1 g3 ( x) = 3 x

1 x2 1 g4 ( x ) = 4 x

g1 ( x ) = 2.

f 5 ( x) = x 5

g2 ( x) =

f2 f3

1 0 -2

-1

-2

f 1 ( x) = x

f 2 ( x) = 3 x

f 3 ( x) = 4 x

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

g3 g2

2 g2 1 0 -2

-1

g1 ( x ) = x 3

g 2 ( x) = 3 x 2

g 3 ( x) = 5 x 5

y 2

1 h1 0 -3

-2

-1

h3 -1

-2

h1 ( x ) =

−2 x3

h2 ( x ) =

−1 x2

h3 ( x ) =

−1 x3

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

y g2

5 h1

1 x

0 -2

-1

0 0

-2

-1

h1 ( x ) = 2 x

-1

h2 ( x ) = 3 x

10.

 1 g1 ( x ) =    2

 1 g 2 ( x) =    3

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár y

6 5 4

3 2 1

x 0 -2

-1

-2

f 1 ( x ) = log 2 x

7. y

f 1 ( x) = 2 x

6 5 4 3

2 1

x 0 -2

-1

-2

f 2 ( x ) = log 3 x

f 2 ( x) = 3 x

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

y 4 3 f1 2 1

0 -2

-1

-2 -3 -4

f 1 ( x ) = log 2 x

4 g1

f 2 ( x ) = log 3 x

3 2 1

0 -4

-3

-2

-1

-2

-4

g1 ( x ) = log 1/ 2 x

-3

11.

g1 ( x ) = 2 -x

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár y

4 g1

3 2 1

0 -4

-3

-2

-1

-2

-3 -4

g 2 ( x ) = 3 -x

g 2 ( x ) = log 1/3 x

12.

y 4 3 2 1

0 -2

-1

6 g2

-2 -3

-4

13.

g1 ( x ) = log 1/ 2 x

g 2 ( x ) = log 1/3 x

II. Egyváltozós függvények - Megoldások 14.

(

g ( f ( x )) = ln 1 + x 2

15. g ( f ( x )) =

16.

)

x ∈R

1 ln 2 x

(

g ( f ( x )) = 1 + e x

x ∈ R + \ {1}

)

x ∈R

17. g ( f ( x )) =

18.

1 + e2 x 1 − e2 x

g ( f ( x )) = ln x

x ∈ R \ {0} x ∈ R \ {0}

19. g ( f ( x )) = ln(ln x )

20. w = h( x ) = 1 − x 2 v = g ( w) = w

y = f ( v ) = log 2 v 21. w = h( x ) = x 2 − 1 v = g ( w) = w y = f ( v ) = 2v 22. w = h( x ) = x 2 + 1 v = g( w) = lg w

y = f (v) = v 2 23.

(−3, ∞) 24.

R \ {±1} 25.

x ∈(1, ∞)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

26. −1,1 27.

(−∞,0) ∪ (3, ∞) 28.

(0,5) 29.  −1   6 ,2   

30.

R 31. Az f(x) grafikonját az x 2 függvény grafikonjából a következı transzformációs lépéseken keresztül kapjuk: x 2 grafikonját x tengely mentén negatív irányba 2 egységgel eltoljuk: ( x + 2)2 ; ezt az x tengelyre tükrözzük: −( x + 2)2 ; a kapott grafikont az y 2

tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel eltoljuk: −( x + 2) + 3 . 32. A lgx függvény grafikonját az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel eltoljuk. 33. A 2 x függvény grafikonját az x tengely mentén pozitív irányba egy egységgel eltoljuk: 2 x −1 , majd ezt tükrözzük az x tengelyre. 34. A 2 x grafikonját az y tengelyre tükrözzük: 2 −x , majd ezt az x tengely mentén negatív irányba 1 egységgel eltoljuk. 35.

x +2 2 1 függvény grafikonját az y tengely irányában = 1 + , az x x x 2 kétszeresére nyújtjuk: , majd ezt y tengely pozitív irányában 1 egységx gel eltoljuk.

Mivel

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

36. x 2 1 az függvény grafikonját az x tengely mentén =1− x +2 x +2 x 1 negatív irányba 2 egységgel eltoljuk: ; ezt az y tengely irányában x +2 2 −2 kétszeresére nyújtjuk: ; majd tükrözzük az x tengelyre: ; végül x +2 x +2 a kapott görbét az y tengely mentén pozitív irányba 1 egységgel eltoljuk.

Mivel

37. 9 2 x − 1 2( x + 4) − 9 , = = 2− x+4 x+4 x+4 ebbıl az alakból már láthatók. Mivel

38.

4x + 3 13 1 = −2 − ⋅ , −2 x + 5 2 x−5 2 alakból már láthatók.

Mivel

transzformációs

lépések

a transzformációs lépések ebbıl az

39. Az x +1 függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy az x függvény grafikonját az x tengely mentén negatív irányba 1 egységgel eltoljuk. 40. A lgx függvény grafikonjának az x tengely alatti részét az x tengelyre tükrözzük, az x tengely feletti részét és az (0,1) pontot helyben hagyjuk. 41. A lgx függvény grafikonja és az y tengelyre vonatkozó tükörképe együtt adja a lg x függvény grafikonját. 42. Az x grafikonját az y tengely irányában kétszeresére nyújtjuk. 43. Az ( x − 2)( x + 3) függvény képe egyenesállású parabola, ami az x tengelyt a (2,0) és a (-3,0) pontokban metszi. A grafikon −3, 2 intervallumhoz tartozó ívét az x tengelyre tükrözzük, a többi részt változatlanul hagyjuk. 44. Mivel x 2 − x − 2 = ( x + 1)( x − 2) , tovább lásd a 43. feladat megoldását!

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

45. f ( x ) = f ( − x ) , a függvény páros 46. A függvény páratlan 47. A függvény páratlan 48. A függvény páros 49. A függvény se nem páros, se nem páratlan, mert nem teljesül például: f (1) = f ( −1) , sem pedig f (1) = − f ( −1) . 50. A függvény páros 51. A függvény se nem páros, se nem páratlan, mivel a függvény két zérushelyére nem teljesül, hogy egymás ellentettjei. 52. 3  2( x − 4) x +   3 2  D f = R \ {4} f ( x) = = 2 x +   x−4 2 a) A Heine-féle definíció alapján Legyen { xn } tetszıleges 4-hez tartó sorozat, de a sorozattagok között ne 1  1  szerepeljen a 4! Pl.: 4 −  , 4 +  , 4 n +1 n + 1 . Tekintsük az { xn } n  n  hez tartozó függvényérték-sorozatot: 3  f ( xn ) = 2 x n +  .  2

{

}

3  A határértéktételek alapján a függvényértéksorozat 2 4 +  = 11 -hez  2 tart. A Cauchy-féle definíció alapján Rögzítsük ε -t tetszılegesen: ε 0 ( > 0) , keressük meg a hozzá tartozó δ -t!

3  0 < 2 x +  − 11 < ε 0  2 0 < 2x − 8 < ε0

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

ε0

, ez azt jelenti, hogy δ (ε 0 ) =

ε0

lehet. Mivel ε -t tetszıle2 2 gesen rögzítettük, ezért bármely pozitív valós számhoz megadható a definícióban szereplı megfelelı δ . b) A Heine-féle definíció alapján Legyen { x n } tetszıleges 1-hez konvergáló sorozat! 0< x −4 <

3  3 +  = 21 +  = 5 = f (1)  2 2 n→∞ n→∞ Tehát a függvény az x 0 =1 pontban folytonos. A Cauchy-féle definíció alapján ε 0 ( > 0) tetszıleges rögzített valós számhoz keressünk δ -t!



lim f ( x ) = lim 2 x n

3  f ( x ) − f ( x0 ) = 2 x +  − 5 = 2 x − 2 = 2 x − 1 .  2 ε De 2( x − 1) < ε 0 , ha x − 1 < 0 . 2 Tehát tetszıleges ε ( > 0) -hoz a δ (ε ) =

ε 2

megfelel.

53. f ( x) =

( x − 1)( x + 2) = 1 + 5 x −3 ( x − 1)( x − 3)

D f = R \ {1,3}

a) Heine-féle definíció alapján Legyen { x n } tetszıleges 1-hez konvergáló sorozat, de a sorozattagok között az 1és a 3 ne szerepeljen! Tekintsük az { xn } -hez tartozó függvényérték-sorozatot: 5 . A sorozatoknál megismert határértéktételek alapján a xn − 3 −3 sorozat határértéke: . 2 f ( xn ) = 1 +

Cauchy-féle definíció alapján ε 0 ( > 0) tetszıleges rögzített valós számhoz keressünk δ -t! Elegendı az x 0 =1-nek az 1 sugarú környezetében okoskodni, azaz legyen 0 < x − 1 < 1. Ekkor 1 < x − 3 < 3 .

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 3 5 3 5 x −1 5 = 1+ + = < x −1 , 2 x −3 2 2x −3 2 5 2ε de x − 1 < ε 0 , ha 0 < x − 1 < 0 . 2 5  2ε  Tehát tetszıleges ε (> 0) -hoz a δ (ε ) = min 1,  megfelel.  5 b) A Heine-féle definíció alapján Legyen { x n } tetszıleges 5-höz konvergáló sorozat ( xn ≠ 1) ! f (x) +

5 7 → = f (5) . xn − 3 2 A Cauchy-féle definíció alapján ε 0 ( > 0) tetszıleges rögzített valós számhoz keressünk δ -t! f ( xn ) = 1 +

Elegendı az x 0 = 5 pontnak az 1 sugarú környezetében okoskodni. Ekkor 7 5 7 5x −5 5 1 < x − 3 < 2. f ( x ) − = 1 + − = < x−5 . 2 x −3 2 2x −3 2 5 2ε De x − 5 < ε 0 , ha x − 5 < 0 . 2 5  2ε  Tetszıleges ε (> 0) -hoz a δ (ε ) = min 1,  megfelel.  5 54. Legyen x 0 ∈ Q . Megmutatjuk, hogy x 0 -ban nem folytonos a függvény, sıt határértéke sincs ebben a pontban. Legyen xn, → x0 xn, ≠ x0 , xn, ∈ Q tetszıleges. Ekkor f x n, = 1 kons-

(

)

( )

tanssorozat, aminek határértéke 1. Legyen xn,, → x0 x n,, ∈ R \ Q . Ekkor f xn,, = 0 konstanssorozat, aminek

(

határértéke 0. Tekintsük az xn,

{ }

)

{ }

és xn,,

( )

sorozatok fésős egyesítését! Ez a sorozat is

x 0 -hoz konvergál. Jelöljük a két sorozat fésős egyesítését

{ xn } -nel!

f ( xn ) függvényértéksorozatnak két torlódási pontja van, tehát nem konvergens. Létezik tehát olyan

{ f ( x )} divergens. n

{xn }

sorozat, amely x 0 -hoz konvergál, de

Ez azt jelenti, hogy racionális helyen nincs határérté-

ke a függvénynek, akkor viszont folytonos se lehet itt. Irracionális helyeken a vizsgálat analóg a fent leírtakkal.

II. Egyváltozós függvények - Megoldások 55.

lim lg( x

)

+ 3x + 12 = lg 100 = 2

x →8

56. 3



lim 4 (3x − 7) = 2 2 − 7 = −11 x

x→

1 2

57. x2 −1

0 −1

= =1 lim 2 0 − 0 −1 x→0 2 x − x − 1 58.

lim (6 x

)

+ 12 x + 6 = 6

x→0

59.

lim

(1 + x )5 − (1 + 5x ) = x 2 + x5

x →0

x 3 + 5 x 2 + 10 x + 10 = 10 lim x3 + 1 x →0

60.

( x − 3)( x − 2)

lim ( x − 3)( x − 5) = x →3

−1 2

61.

lim

( x + 2)( x − 5) = x+2

x →−2

lim ( x − 5) = −7 x →−2

62. x ( x − 3)

lim x( x x →0

)

+ 2x 2 + 1

= −3

63.

( x − 3)2 = 0 lim x →3 ( x − 3)( x + 3) 64.

( x − 1)( x − 3)

lim ( x − 1)( x + 1) = −1 x →1

65.

( x − 2)( x − 5)

−3

lim ( x − 2)( x + 11) = 13 x →2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

66. x( x + 2)( x + 1)

lim ( x + 2)( x − 3)

x →−2

−2 5

67.

)(

−1 x2 + 3

lim ( x − 1)( x − 2) lim x →1

( x + 1)( x 2 + 3) x−2

x →1

= −8

68.

(x lim ( x x→ 3

2 2

)( − 3)( x

) = −2 + 2) 5

− 3 x2 − 5 2

69.

( x − 2)20 ( x + 1)20 = 320 =  3 10   20 10 lim 610  2  x → 2 ( x − 2) ( x + 4) 70.

( x − 1)( x 2 + x + 1) =3 lim 2 x →1 ( x − 1)( x + x − 1) 71.

( x − 2)( x − 3)

x − 3 −1 = 2 −1 3

lim x ( x − 2) − ( x − 2) = lim x x →2

x →2

72.

lim ( x + 2) lim x →−2

( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) x+2

x →−2

= 12

73.

− 16

lim ( x − 2) lim x →2

( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) x−2

x →2

= 32

74.

lim x →1

−1

x −1

lim

( x − 1)(1 + x + x 2 +...+ x n−1 ) x −1

x→1

75.

( (

) )

( x − 1) 1 + x + x 2 +...+ x m−1 m xm −1 = lim = n lim 2 n −1 n x →1 x − 1 x →1 ( x − 1) 1 + x + x +...+ x

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

76.

(

)

(2 x − 1) 4 x 2 + 2 x + 1 8x3 − 1 = lim1 6 x 2 − 5x + 1 lim1 (2 x − 1)(3x − 1) = 6 x→ x→ 2

77.

( x − 2)( x 2 − 1) 1 = lim 2 3 x → 2 ( x − 2)( x + 2 x + 1) 78. 

lim  1 − x x →1

−

3  −1 ( x − 1)(2 x + 1) = lim = 3 2 1− x  2 x →1 (1 − x )(1 + x ) 1 + x + x

(

)

79.

(

)

( x − 1) 3x 3 + 6 x 2 + 4 x + 2 5   3 − = −1  = 3 lim 2 1 − x 5  lim 1 + x + x 2 + x3 + x 4 x →1  1 − x x →1 (1 − x ) 1 + x + x

(

)(

)

80.  1

12 2 + 2x + 4

lim  x − 2 − ( x − 2)( x x →2



)

 ( x − 2)( x + 4) = 1 = lim 2  2 x → 2 ( x − 2) x + 2 x + 4 

(

)

81.

lim

(1 − x )(1 + x ) = −2 x −1

x →1

82.

lim x →0

1 + x2 − 1 x2 = lim =0 2x x →0 2 x 1 + x2 + 1

(

)

83.

lim x →1

x  

( x ) − 1 3

x −1

= lim

(

)(

x −1

x→1

84.

lim x →5

x −1 − 2 x −5 1 = lim = x −5 4 x →5 ( x − 5) x −1 + 2

(

) =3

x −1 x + x +1

)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

85.

lim x →0

x +9 −3 = lim x x→0 x

(

)

x +9 +3

1 6

86.

lim

−2 + x + 3 x −1 1 = lim = 2 x −1 8 x →1 ( x − 1)( x + 1) 2 + x +3

lim

3− x + 3 6− x −1 = lim = 2 x − 36 72 x → 6 ( x − 6)( x + 6) 3 + x +3

x →1

(

)

87. x →6

(

)

88.

lim

ax − x ax − x 2 −x −1 = lim = lim = x−a 2 ax x → a ( x − a) ax + x x→a x +

lim

x 2 + 2x − 4 − x 2 − x + 2 = x 2 − 3x + 2

x→a

(

)

89. x →2

lim x →2

3( x − 2)

( x − 2)( x − 1)(

x 2 + 2x − 4 + x2 − x + 2

)

3 4

90.

lim

1 + 5x − 1 + 2 x 3x 3 = lim = x 2 x→ 0 x 1 + 5x + 1 + 2 x

lim

( −2 x + 6) 4 x + 8 + 7 x − 1 2 2 x + 7 − 3x + 1 = lim = 3 4x + 8 − 7x − 1 x →3 ( − 3x + 9) x + 7 + 3x + 1

x →0

91.

x →3

(

)

( (

) )

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

92.

lim x→0

8 + 3x − x 2 − 2 x + x2

= lim x→0

= 3x − x 2

(

2   x + x   3 8 + 3x − x 2  + 2 3 8 + 3x − x 2 + 4   2

)

x (3 − x )   x(1 + x )  3 8 + 3x − x 2  + 2 3 8 + 3x − x 2 + 4   2

3 1 = 12 4

93.

(

)

(1 − x ) 1 + 3 x + 3 x 2 1− 4 x 3 = lim = lim 3 3 4 4 4 x x →1 1 − x →1 (1 − x ) 1 + x+ x+ x

(

)

94.

lim x →∞

( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) = 1 55 (5x − 1)5

95. 20

lim x →∞

(2 x − 3) (3x + 2) (2 x + 1) 50 20

lim x →∞

3   3 1  1 −   +   2x   2 x  1  1 +   2x

= lim

 2 x − 3   3x + 2       2x   2x   2 x + 1    2x 

x →∞

 3 =   2

96.

lim x →∞

x 3 + 2x − 1 = lim 3x + 2 x →∞

2 1 − 3 2 x x =1 2 3 3+ x

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

97. x

lim

x 2 +1

x →∞

98. 1 + 4x 2 =2 x −1

lim x →∞

99. 1 + 2x = 2 x

lim 1 + x →∞

100.

lim x + x →∞

x 3

x +1

1 2

101.

lim

x2 4 x + x3 x2 = 2 2 1 2+ x

1+ 6

x →∞

x = 4 x2 = 6 x3

( x > 0)

102. x+ x+ x = lim x +1 x →∞

lim x →∞

1 1 + x x3 =1 1 1+ x

103. 4

lim

x +x −x x2 +1 − x

x →∞

1 1 + −1 x x3 = −1 1 1 1+ 2 − x x

= lim x →∞

104. 1

lim x →∞

1− x +1 3

2x2 + 4 x2 + x

= lim

− 3 1+

x →∞

1 x2

+x x8

)

−1 − 3 4 = 3 2 2

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

105.

lim x →∞

4 3

x 5 + 6x 2 + 3 − x 2 5

x + 4 x − 7 + 2x

−1 2

106.

lim 

x + x − x − x  = lim x →∞

x →∞

lim

1 1 1+ + 1− x x

x →∞

2 x

x+ x + x− x

107.

(

lim

a ⋅ b ha a + b = 0  =  ∞ ha a + b > 0 ∞ a + b ab 1+ + 2 + 1  −∞ ha a + b < 0 x x

x →∞

( x + a)( x + b) − x ) = lim

x(( a + b) x + ab)

lim x

x→∞

x 2 + ( a + b) x + ab + x

( a + b) x + ab

x →∞

108.    1 1 1 −x −1  x x −  = lim x  −  = lim 2 = 2 lim a x →∞ x →∞ a x + a  a + 1 a  x→∞  ax + 1 a    x 109.

lim x →∞

x −4 = lim x − 8 x →∞

x2 4 − 3 x x =0 8 1− x

110.  x3 x2  x4 + 2x3 + 4x2 − = =∞   lim 2 3 2 3x + 2  lim x →∞  2 x − 4 x→∞ 6 x + 2 x − 12 x − 8 111.

lim f ( x ) = x →∞

−1 3

lim f ( x ) = x→−∞

−1 3

( a ≠ 0)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

112.

lim f ( x ) =

−7 6

lim f ( x ) =

−7 6

lim f ( x ) =

−1 5

lim f ( x ) =

−1 5

x →∞

x →−∞

113. x →∞

x →−∞

114.

lim f ( x ) = −3 lim f ( x ) = −3 x →∞

x →−∞

115.

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x →∞

x →−∞

116.

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x →∞

x →−∞

117.

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x →∞

x →−∞

118.

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x →∞

x →−∞

119.

lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = ∞ x →∞

x →−∞

120.

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ x →∞

x →−∞

121.

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ x →∞

x →−∞

122. 123. 124. 125.

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = − ∞ lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = − ∞ lim f ( x ) = −∞ x →∞

x →−∞

x →∞

x →−∞

x →∞

x →−∞

x →∞

x →−∞

II. Egyváltozós függvények - Megoldások

126.

lim ( x − 1) x →1

127.

=∞

x+2

lim ( x − 1)( x + 1) = ∞

lim ( x − 1)( x + 1) = −∞ ,

x →1+

128. 129.

x →1−

határérték nem létezik. x+2 = −∞ lim x →−1+ ( x − 1)( x + 1) határérték nem létezik. 8x − 2 = −∞ lim + x +4 x →−4 határérték nem létezik. lim f ( x ) = ∞

x+2

lim ( x − 1)( x + 1) = ∞ , x →−1−

lim x →−4

lim f ( x ) = 1 .

lim f ( x ) = ∞ .

)

lim f ( x ) = −∞ , x →−1+

x → 0−

x →−1−

Tehát a 0 és a -1 pontban nem létezik határértéke a függvénynek, az 1 pontban létezik és az 1. x ( x − 1)( x + 3) f ( x ) = lim = ∞, f ( x ) = −∞ , lim lim x →∞ x →∞ ( x − 1)( x − 3) x →−∞ x →1

lim f ( x ) = ∞ , x →3+

lim f ( x ) = −∞ . x →3−

Tehát az 1 pontban létezik határértéke a függvénynek, a 3 pontban pedig nem létezik. 1 f ( x) = f ( x) = 0 f ( x) = 0 lim lim ( x − 1)( x + 1) x →∞ x →−∞

lim f ( x ) = ∞ ,

lim f ( x ) = −∞ ,

határérték nem létezik.

lim f ( x ) = −∞

lim f ( x ) = ∞ ,

hatáérérték nem létezik.

x →1+

x →−1+

133.

x →−1−

lim f ( x ) = −∞ ,

(

lim f ( x ) = −2 . 132.

8x − 2 = ∞, x +4

határérték nem létezik. x 2 + 1 ( x − 1) f x = = ∞, ( ) lim lim x → 0+ x → 0+ x ( x − 1)( x + 1) x →1

131.

−

lim f ( x ) = 0 ,

x →−1+

130.

f ( x) =

x →1−

x →−1−

( x − 2)( x − 3) f ( x) = 0 ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 1) lim x →∞

lim f ( x ) = 0 x →−∞

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár −1

lim f ( x ) = 20 , x →2

134.

x →−5

x →−1+

x →−1−

lim f ( x ) = 1

lim lim

1 f ( x) = 2 f ( x) = 0 ,

x →0+

x →−2 −

lim f ( x ) = ∞ . x →−1−

x →−∞

lim f ( x ) = 2 lim f ( x ) = 1 , x →−∞

határérték nem létezik.

x →0−

( x − 3)( x + 3) 3 x 2 ( x − 3) lim f ( x ) = ∞ f ( x) =

x →0

138.

lim f ( x ) = −∞ ,

x →−1+

x →∞

137.

lim f ( x ) = ∞ .

Tehát -5 pontban létezik, -1 pontban nem létezik határértéke a függvénynek. lim f ( x ) = ∞ , lim f ( x ) = 0 , határérték nem létezik. x →∞

136.

x →−2 +

Tehát a 2 helyen létezik határértéke a függvénynek, a -2 helyen pedig nem létezik. 3( x − 3)( x + 5) 3 3 , f ( x) = , f ( x) = , f ( x) = lim lim 2 2 2( x + 1)( x + 5) x →∞ x →−∞

lim f ( x ) = 3 . 135.

lim f ( x ) = −∞ ,

lim f ( x ) = 1 , x →∞

lim f ( x ) = 0 , x →∞

lim f ( x ) = 0 , x →−∞

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = 1 , x →3

x →−∞

lim f ( x ) = 2 ,

lim f ( x ) = 0 ,

határérték nem létezik.

lim f ( x ) = −∞ ,

lim f ( x ) = ∞ ,

határérték nem létezik.

x →1

x →0+

x →1−

x →0−

77 III. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS D.3.1. Legyen f függvény az x 0 pont egy környezetében értelmezve! A f ( x ) − f ( x0 ) d x0 ( x ) = Dd x0 = D f \ { x0 } x − x0 függvényt az f függvény x 0 pontjához tartozó különbségihányados vagy differenciahányados függvényének nevezzük.

(

)

D.3.2. Az f függvényt x 0 pontban differenciálhatónak nevezzük, ha az f függvény x 0 -hoz tartozó differenciahányados függvényének létezik x 0 -ban véges határértéke, azaz létezik a következı véges határérték: f ( x ) − f ( x0 ) lim x − x0 x → x0 Ezt a véges határértéket f ′( x0 ) -lal jelöljük és a függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának nevezzük. D.3.3 Ha az f függvény x 0 -ban differenciálható, akkor az ( x0 , f ( x0 )) ponton átmenı,

f ′( x0 ) iránytangenső egyenest az f függvény grafikonja x 0 pontbeli érintıjének nevezzük. D.3.4. Azt a függvényt, aminek értelmezési tartománya az f értelmezési tartományának azon x 0 pontjaiból áll, ahol f differenciálható és minden ilyen x 0 helyen az f ′( x0 ) értéket veszi fel, az f differenciálhányados függvényének nevezzük. Jelölése: f ′ , f ′( x ) . D.3.5. Az f függvényt korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete korlátos. Az értékkészlet legnagyobb alsó korlátja a függvény alsó határa - infimuma, legkisebb felsı korlátja a függvény felsı határa - szuprémuma. Amennyiben az alsó. ill. felsı határok maguk is függvényértékek, rendre az abszolút minimum, ill. abszulút

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

maximum elnevezést használjuk. Közös elnevezésük: az f függvény totális (abszolút) szélsıértékei. D.3.6. Az f függvénynek x 0 -ban helyi minimuma (maximuma) van, ha van az x 0 -nak olyan környezete, amelyben f ( x0 ) a legkisebb (legnagyobb) függvényérték. Közös elnevezésként a helyi szélsıérték kifejezést használjuk. D.3.7. Az f függvényt ( a, b) intevallumon növekvınek (csökkenınek) nevezzük, ha

minden

x1, x2 ∈ ( a, b) é s x1 < x2

eseté n f ( x1 ) ≤ f ( x2 ),

( f ( x ) ≥ f ( x )) 1

teljesül. D.3.8. Az f függvényt az ( a, b) intevallumon konvexnek (konkávnak) nevezzük, ha ehhez az intervallumhoz tartozó grafikon bármely két pontját összekötö szakasz a grafikon felett (alatt) halad. Konvex és konkáv ívek találkozási pontját inflexiós pontnak nevezzük. D.3.9. Legyen az f függvény az x 0 ≠ 0 pont egy környezetében értelmezve és f ( x0 ) ≠ 0 . Ha az f függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor az f -nek x 0 -hoz tartozó relatív differenciahányadosának x 0 -ban vett határértékét az f függvény x 0 helyen vett elaszticitásának (rugalmasságának) nevezzük, aminek értéke: f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) x0 E ( f ( x0 )): = lim = f ′( x 0 ) x − x f ( x0 ) 0 x → x0 x0 Megadja, hogy az x -nek x 0 -ról történı 1%-os növekedéséhez az f ( x0 ) hány %os változása tartozik. Ha az elaszticitás értéke negatív, akkor csökkenésrıl, ha pozitív, akkor növekedésrıl van szó.

III. Differenciálszámítás

TÉTELEK: T.3.1. Ha f és g differenciálható x 0 -ban, akkor f ± g, f ⋅ g függvények is differencif álhatók x 0 -ban és függvény is differenciálható x 0 -ban, feltéve, hogy g g ( x0 ) ≠ 0 , és differenciálhányadosukra teljesül:

( f ± g )′ ( x0 ) = f ′( x0 ) ± g ′( x0 ) ( f ⋅ g )′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ⋅ g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) ′ f ′( x 0 ) ⋅ g ( x 0 ) − f ( x 0 ) g ′( x 0 )  f   ( x0 ) = g 2 ( x0 )  g T.3.2. Ha az f belsı függvény differenciálható x 0 -ban és a g külsı függvény differenciálható f ( x0 ) -ban, akkor a g( f ) összetett függvény is differenciálható x 0 -ban és teljesül: ′

( g ( f )) ( x ) = g ′ ( f ( x )) f ′ ( x ) 0

T.3.3. Néhány elemi alapfüggvény differenciálhányadosa: ′ ′ ′ ′ 1 x c = cx c −1; e x = e x ; a x = a x ln a; (ln x ) = ; x

( )

(log a x )′ = x ln a ;

T.3.4. (L`Hospital-szabályok) Ha az f és g differenciálható x 0 pont valamely környezetében, továbbá f ′( x ) f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 vagy lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ és létezik a lim x → x 0 g ′( x ) x → x0 x → x0 határérték, akkor

f ( x)

f ′( x )

lim g( x ) = lim g ′( x ) . x → x0

x → x0

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

T.3.5. Ha f és g differenciálható valamely ( a, ∞ ) intervallumon és

lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ x →∞

lim x →∞

vagy

x →∞

f ′( x ) határérték, akkor g ′( x )

lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 és létezik a x →∞

lim x →∞

x →∞

f ( x) f ′( x ) . = lim g( x ) x→∞ g ′( x )

T.3.6. Az ( a, b) -on differenciálható f függvény akkor és csak akkor növekvı (csökkenı) az ( a, b) -on, ha minden x ∈ ( a , b) esetén f ′( x ) ≥ 0 , ( f ′( x ) ≥ 0 ). T.3.7. Ha az f függvény x 0 -ban differenciálható és x 0 -ban helyi szélsıértéke van, akkor f ′( x0 ) = 0 . T.3.8. Ha f függvény x 0 valamely környezetében differenciálható és f ′( x0 ) = 0 és x 0 ban létezik f ′′( x0 ) is, akkor f ′′( x0 ) > 0 esetén f -nek x 0 -ban helyi minimuma, f ′′( x0 ) < 0 esetén f -nek x 0 -ban helyi maximuma van. T.3.9. Az ( a, b) -on kétszer differenciálható f függvény az ( a, b) -on akkor és csak akkor konvex (konkáv), ha minden x ∈ ( a, b) eseté n f ′′( x ) ≥ 0, ( f ′′( x ) ≤ 0) . T.3.10. Ha az f függvény x 0 pont valamely környezetében kétszer differenciálható és x 0 -ban inflexiós pont van, akkor f ′′( x0 ) = 0 .

III. Differenciálszámítás

FELADATOK

1. Határozzuk meg az alábbi függvények grafikonjai azon szelıinek iránytangenseit, amelyek az x1 = 1 és x 2 = 9 abszcisszájú pontokhoz tartoznak! 1 b) f ( x ) = x c) f ( x ) = a) f ( x ) = log 3 x d) f ( x ) = e− x x 2.

Mutassuk meg, hogy az f ( x ) = x 2 függvény differenciálható a 3, 5, 7

pontokban és a ∈ R (tetszılegesen rögzített) helyen! 3. Az értelmezési tartományuk mely pontjaiban differenciálhatók az alábbi függvények? Határozzuk meg a differenciálhányados függvényeket is! 1 a) f ( x ) = x 2 d) f ( x ) = x b) f ( x ) = x 3 c) f ( x ) = x e) f ( x ) = 3 x 4.

Adjuk meg az f ( x ) = x függvény differenciálhányados függvényét!

5. f legyen a valós számok halmazán kétszer differenciálható páros függvény. Mit állíthatunk f ′ és f ′′ függvényekrıl paritás szempontjából? 6. Határozzuk meg a következı függvények grafikonjai x 0 = 5 abszcisszájú pontjaihoz tartozó érintık iránytangenseit, majd az ( x0 , f ( x0 )) ponthoz tartozó

érintık egyenletét! a) f ( x ) = x 2 − 8 x + 16

b) f ( x ) = 2 x − 1

c) f ( x ) =

1 x−6

Deriváljuk a következı függvényeket: I. Hatványfüggvények 7.

f ( x) = x + x + 3 x

f ( x) = 3 x 2 −

2 x

8. 10.

1 1 1 + +3 x x x 5 f ( x ) = + 20 lg100 − 4 ⋅ 310 x f ( x) =

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár x7 1 − 5 7 5x

11.

f ( x) =

13.

f ( x) =

15.

f ( x) = x

17.

f ( x) =

19. 21.

f ( x) =

14.

f ( x) =

1 x x

16.

f ( x) =

18.

f ( x ) = 5x 8 −

20.

1   f ( x) = 3 x  − x +   x

23.

f ( x) =

25.

f ( x) = ex x2 − 2x + 2

27.

3 x 3 x −1 5

x 3 x − 43 x − 2 x 2 x f ( x) = 2x 2 f ( x) = x 2

(

x − 3x 3

x2  1  ln x −  2 2

28.

f ( x) =

30.

f ( x ) = a + x 3 b + x 2 (c + x )

32.

f ( x) =

34.

f ( x ) = ln

(

)(

)

( x + 1) x ( x − 1)( x 2 + x + 1)

1 x ln x f ( x) = x

5x x 4 x 3 2 + 2 x x x

)

II. Szorzat- és hányadosfüggvények 6x + 3 22. f ( x) = 4x − 3 x 2 + 3x − 5 f ( x) = 2 24. 2x + 7x − 2 26. f ( x ) = xe x

36.

13 x x

12.

1 2x + 5

(

29.

) f ( x ) = (5 − 3x )( 4 + x ) f ( x ) = (1 − x )(1 − x )(1 − x )

31.

f ( x) = 3

33.

f ( x ) = x 5 5x

35.

f ( x ) = x ln x

38.

f ( x) = 5 1 + 3 x 2

1 + ex x + 2x

III. Összetett függvények 37.

f ( x) = x + x

III. Differenciálszámítás

(

39.

f (x) =

41.

f ( x ) = (3x + 5)

43.

f ( x ) = 3e− x

45.

f ( x ) = ee

( )

47.

f ( x ) = e x −1

49.

f ( x ) = e− x + e

51.

f ( x ) = ln(ln x )

x +2

)

5x 2 + 1

+6 x −4

(

f ( x) = 3 x3 + x3

42.

f ( x ) = e2x +3

44.

f ( x ) = ex

46.

f ( x ) = ee

48.

f ( x ) = 23x +

50.

f ( x ) = ln 1 − x 2

52.

f ( x ) = ln 3x + 1

54.

f ( x ) = 23x + 1

56.

f ( x ) = ln

58.

f ( x) = 1 + 3 1 + x

61.

f ( x) = 3 1 + 3 1 + 3 x

63.

f ( x) =

65.

f ( x ) = ln

67.

f ( x ) = ln

x +1

(

)

53.

f ( x ) = ln x 2 + x + 1

55.

f ( x) =

57.

59.

1− x + x 2 1+ x + x 2 1 + ex f ( x ) = ln 1 − ex 1 3x − 2 f ( x) = ln 2 6 3x + 2

)

40.

(

)

(

)

1 1− x

IV. Vegyes feladatok 60.

f ( x) = x + x + x

62.

f ( x ) = (1 + x ) 5 x − 2 x 3 + 2 x + 1

64.

f ( x) =

(

x 2 ln 3 + e2 + 1 e

−x 2

(

66.

f ( x ) = ln x + x 2 + 4

68.

1− x 2 f ( x ) = 5 ln 2 x +4

)

69.

f ( x) =

)

1− x

1+ x 1− x x x 2 +1

(

)

ln e2 x + 1 e

x 2 +1

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

70.

f ( x) =

72.

f ( x) =

1 x x 2 +1 1

2π e

74.

f ( x) =

76.

f ( x) =

x2 2

1 2

(

1+ x x + 1+ x

)

1 1

f ( x ) = ln

73.

f ( x) =

75.

f ( x ) = x ln 2 x + 1 + x 2

77.

f ( x) =

f ( x ) = 1 + e2x ⋅ log x e ⋅ 4 x

79.

f ( x) = x −

2x3 2 4

(5 + x )

(

2 − e1− x 78.

e2x 1+ e2x

71.

)

e2x + e−2x e2x − e−2x 1 x−

1 x

Az alábbi függvények deriválásakor -amennyiben szükséges- használjuk az f ( x)

g( x)

g x ln f x =e ( ) ( )

( f ( x) > 0) átalakítást!

80.

h( x ) = x x

82.

h( x ) = ex + x e + x x

81.

h( x ) = ex + ee + x e

83.

h( x ) = x x

A következı határértékek kiszámításához használjuk a L`Hospital-szabályt! (Elıször vizsgáljuk meg, teljesülnek-e a L`Hospital-szabály feltételei, ha szorzatfüggvény határértékét kell megadni, írjuk át a függvényt két olyan függvény hányadosának alakjára, amelyekre teljesülnek a szabály feltételei!) x 2 − 5x + 6 x m −1 84. 85. lim 3 2 lim n x →2 x − 2 x − x + 2 x →1 x − 1 ln x e x − e− x 86. 87. lim lim x x x →0 x →∞ −x 88. 89. lim x ln x lim xe x →0 +

90.

x →∞

lim x

1 2 x2

91.

x →0

92.

 1

x →1



lim  x − 2 − ln( x − 1)  x →2+

 1

93.

1 

lim  ln x − x − 1 lim x x →0 +

III. Differenciálszámítás

94.

lim

(

) ( x3

x →0

96.

)

x ex + 1 − 2 ex − 1 x 2

xe lim x x →∞ x + e

95.

x 2 − 1 + ln x lim ex − e x →1

97.

e x − e− x lim x → 0 ln (1 + x )

Függvénydiszkusszió

A függvénydiszkusszió alapsémája I. a) Értelmezési tartomány meghatározása (ha nem jelzik) b) Tengelymetszetek, jeltartás vizsgálata c) Paritás, periodicitás vizsgálata d) Határértékek megadása ±∞ -ben, vagy az értelmezési tartomány végpontjaiban, valamint a szakadási helyeken. II. e) Differenciálhatósági halmaz megadása f) Monotonitás, helyi szélsıérték vizsgálata III. g) Konvexitás, inflexiós pont vizsgálata IV. h) A függvény grafikonjának felvázolása V. i) A függvény abszolút szélsıértékeinek megadása, értékkészletének megadása. Végezzük el a következı függvények vizsgálatát a fenti séma alapján! 2 98. f ( x ) = 3x − x 3 99. f ( x ) = ( x + 1)( x − 2) 100.

f ( x ) = 2x 2 − x 4

101.

f ( x ) = 2x 3 − 3x 2 + 1

102.

f ( x) = x 3 − 4x 2 + 4x

103.

f ( x ) = x 4 − 5x 2 + 4

104.

f ( x ) = x 3 − 6x 2 + 9x − 1

105.

f ( x) =

106.

f ( x) =

107.

f ( x) =

108.

f ( x ) = 3x 5 − 5x 4 + 4

109.

f ( x) = x +

110.

f ( x) =

111.

f ( x) =

x 2 ( x − 1)

(1 + x ) 1− x x2

(1 + x )3 2x 1+ x 2

1 x

x2 x −1

86 112. 114.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 1 1− x 2 6x f ( x) = 3 x +1 f ( x) =

x x −1

113.

f ( x) =

115.

f ( x) = ex

2 x − 1) ( =

x2 f ( x) = 2 x − 2x + 1 f ( x ) = xe x ln x f ( x) = x

119.

x2 +1 f ( x ) = xe − x

121.

f ( x ) = x ln x

122.

f ( x ) = x 2 ln x

123.

f ( x) =

124.

f ( x) =

116. 118. 120.

117.

f ( x)

x e ( x −1) x

(2 x + 1)2

Görbe érintıjére vonatkozó feladatok Határozzuk meg a következı függvények grafikonjainak a) az y = 0 ordinátájú pontjához (pontjaihoz) tartozó érintı (érintık) egyenletét (egyenleteit)! b) Hány fokos szögek alatt metszi az x tengelyt a függvény görbéje? x −1 125. f ( x ) = ( x − 1) x 2 − 2 x − 3 126. f ( x) = 2 x +1 127. f ( x ) = ln (3 − x ) 128. f ( x ) = e2x − 1

(

129.

)

Határozzuk meg az f ( x ) = x 2 − 3x + 1 függvény grafikonjának x = 2

abszcisszájú pontjához húzott érintı egyenletét! Mekkora területő háromszöget alkot ez az egyenes a tengelyekkel? x−4 függvény grafikonjának a koordix−2 nátatengelyekkel alkotott metszéspontjaiba húzott érintıi párhuzamosak egymással!

130.

Mutassuk meg, hogy az f ( x ) =

III. Differenciálszámítás 131.

Legyen f ( x ) = x 3 − x + 1 . Határozzuk meg a függvénygrafikon azon

pontjainak koordinátáit, ahová húzott érintık párhuzamosak az y = 2 x − 1 egyenlető egyenessel! 132. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az y = x 2 − 5 x + 2 egyenlető parabolát érinti és átmegy a (0,−2) koordinátájú ponton! 1 Milyen szög alatt metszi egymást az y = 4 − x 2 egyenlető parabola és az 2 y = − x + 4 egyenlető egyenes?

133.

134.

Az f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 − 23x + 112 függvény grafikonjának mely pontjaihoz

húzott érintık zárnak be 45o-os szöget az x tengellyel? 135.

Milyen szög alatt metszi az y =

tő parabolát?

1 egyenlető hiperbola az y = x 2 egyenlex

Szöveges szélsıértékfeladatok 136.

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami átmegy a P(2 ,4) ponton

és a koordináta-tengelyek pozitív oldalaival a legkisebb területő háromszöget zárja közre! 137.

Egy adott termék termelési költsége a termelt mennyiség függvényében: K ( x ) = 0,1x 3 − x 2 + 50 x + 100 .

Állapítsuk meg, hogy mekkora termelés esetén lenne az egységre esı átlagköltség minimális! 138.

Fejezze ki a p( x ) = 60 − 0,015 x valamely árucikk egységárának alakulá-

sát a kínált mennyiség függvényében! Mennyit kell az árucikkbıl eladni, hogy maximális árbevételhez jussunk? 139. Valamely termék kg-ban kifejezett kereslete és annak p Ft-os egységára között az f ( p) = −2 p + 180 összefüggés áll fenn.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár a) Hány Ft-os egységár mellett lenne az árbevétel maximális, és hány Ft ez a maximum? b) Mekkora kereslet tartozik ehhez az egységárhoz?

140.

Valamely termék nyereségfüggvénye: N ( x ) = −4 x 2 + 250 x − 270 , költ-

ségfüggvénye: K ( x ) = 70 x + 2 . Határozzuk meg, milyen x mellett vesz fel maximális értéket az árbevétel függvénye! 141.

Valamely árucikk iránti keresletet az f ( x ) = e

−

x +8 100

keresleti függvény

fejezi ki, ahol x az egységárat, f ( x ) pedig a hozzá tartozó keresletet jelenti. a) Milyen egységár mellett maximális az árbevétel? b) Mekkora az ehhez tartozó kereslet? Elaszticitás 142.

Valamely árucikk iránti keresletet az x egységártól függıen az 250 f ( x) = x > 0 függvény írja le. Állapítsuk meg, hogy hány %-kal csökx + 18 ken a kereslet, ha a cikk árát p = 7-rıl 1%-kal megnöveljük! 1 keresleti függvényt az 1, 6 -ban. Határozzuk 1+ x meg a hozzá tartozó elaszticitásfüggvényt, és annak értékkészletét!

143.

Tekintsük az f ( x ) =

89 III. DIFFERENCIÁLSZÁMITÁS - MEGOLDÁSOK

1. log 3 9 − log 3 1 1 = 9 −1 4 9− 1 1 b) tg α = = 9 −1 4 1 −1 1 c) tg α = 9 =− 9 −1 9 −9 −1 e −e d) tg α = 9 −1

a) tg α =

x2 − 9 = ( x + 3) = 6 lim x − 3 lim x →3 x →3 x 2 − 25 = lim ( x + 5) = 10 lim x −5 x →5 x →5 x 2 − a2 = lim ( x + a ) = 2 a lim x−a x→a x→a

3. a) f ′( x ) = 2 x , lásd 2. feladat. b) Legyen x 0 ∈ R tetszılegesen rögzített. Megmutatjuk, hogy x 0 -ban differenciálható a függvény. 3 x 3 − x0 2 2 = lim x 2 + xx0 + x0 = 3x0 , tehát f ′( x ) = 3x 2 lim x − x x → x0 x → x0 0 1 1 − x0 − x −1 x x0 c) lim = lim = 2 , ha x 0 ≠ 0 . Tehát x0 x → x0 x − x0 x → x0 xx0 ( x − x 0 ) −1 f ′( x ) = 2 x ≠ 0 x d) Legyen x 0 tetszıleges pozitív valós szám!

(

)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

lim x → x0

= lim x → x0

x − x0 = lim x − x0 x → x0 1

(

x + x0

)

x − x0

(

x − x0

)(

x + x0

)

1 = 2 x0

(ha x 0 ≠ 0 ).

A függvény a 0 pontot kivéve, az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható. 1 A fentiekbıl következıen f ′( x ) = x≠0 2 x 3 3 x − 3 x0 x − 3 x0 1 = lim e) lim = , ha 2 2 2 3 3 3 x − x   x → x0 x → x0 0 x − 3 x0  x + 3 xx0 − 3 x0  3 x0 1 x 0 ≠ 0 . Tehát f ′( x ) = x≠0 3 3 x2

(

)

 1 ha x > 0 f'(x)=  −1 ha x < 0 Az f függvény x 0 = 0 -ban nem differenciálható, mivel a két féloldali differenciálhányados nem egyenlı. x −0 x −0 = 1 lim = −1 lim x →0 + x − 0 x →0 − x − 0 5. Ha f ( x ) = f ( − x ) minden x-re, akkor

f ′( x ) = − f ′( − x ) az összetett

függvény differenciálási szabálya alapján. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy f ′ függvény páratlan . Hasonlóan látható be, hogy páratlan függvény deriváltja páros. 6. a) P(5;1)

f ′( x ) = 2 x − 8

b) P(5;3)

f ′( x ) =

c) P(5;−1)

f ′( x ) =

f ′(5) = 2

f ′(5) =

2x − 1 −1

( x − 6)

y = 2x − 9 1 3

1 4 x+ 3 3

f , (5) = −1 y = − x + 4

III. Differenciálszámítás - Megoldások 7. f ′( x ) = 1 +

1 2 x

1 3

3 x2

8. f ′( x ) =

−1 1 1 − − 2 3 3 x 2 x 3 x4

9. f ′( x ) =

3 x

1 x3

10. f ′( x ) = 11.

−5 x2

f ′( x ) = x 6 + 12.

1 x6

′  −31  −1 f ′( x ) =  x  = 3   3 x4 13. f ′( x ) =

1 8

8 x7

14. f ′( x ) =

1 33 x 2

15. f ′( x ) = 16. f ′( x ) = 17. f ′( x ) =

3 88 x 5 25 4 x 4

−8 515 x 23

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

18. f ′( x ) = 40 x 7 +

6 3 − 3 x x5

19. ′ −5  3 −23  −9 10 1 3 f ′( x ) =  x − 2 x − x  = + − 5 8 3 2 x 2  4 x 3 x 20. −1 ′  56  −5 1 f ′( x ) =  − x + x 6  = 6 − 6 6 x 6 x7  

21. ′  52 5 3 5 x − 15 x 4 f ′( x ) =  x − 3 x  = 2  

22. f ′( x ) =

6(4 x − 3) − (6 x + 3)4

(4 x − 3)

−30

(4 x − 3)2

23. f ′( x ) =

−2

(2 x + 5)2

24. f ′( x ) =

(2 x + 3)(2 x 2 + 7 x − 2) − ( x 2 + 3x − 5)(4 x + 7)

(2 x

)

+ 7x − 2

25.

(

)

f ′ ( x ) = e x x 2 − 2 x + 2 + e x ( 2 x − 2) = e x x 2 26. f ′( x ) = (1 + x )e x 27. f ′( x ) = −9x 2 + 10x − 12 28. 1 x2 1  f ′( x ) = x  ln x −  + ⋅ = x ln x  2 2 x

x 2 + 16 x + 29

(2 x

)

+ 7x − 2

III. Differenciálszámítás - Megoldások

29.

(

′

(

)(

= − 1− x 2 1− x 3

30.

′

)) ⋅ (1 − x ) + ((1 − x )(1 − x )) ⋅ (1 − x ) = ) + 2 x( x − 1)(1 − x ) + 3x ( x − 1)(1 − x ) =

f ′( x ) = (1 − x ) 1 − x 2

= −6 x 5 + 5x 4 + 4 x 3 − 2 x − 1

(

)

(

)

(

)(

f ′( x ) = 3 x 2 b + x 2 ( c + x ) + 2 x a + x 3 ( c + x ) + a + x 3 b + x 2 31. ex f ′( x ) =

(

 1  x + 2x − 1 + ex  + 2 x ln 2 2 3 3 x 

) ( (

)

x + 2x

)

32. f ′( x ) =

(2 x + 1)( x 3 − 1) − ( x 2 + x )3x 2

( x − 1) 3

33. f ′( x ) = 5 x 4 5 x + x 5 5 x ln 5 34. f ′( x ) = 35.

−1 2x

f ′( x ) = ln x +1 36. f ′( x ) = 37.

1 − ln x x2

f ′( x ) =

1 x+ x 2

f ′( x ) =

1 1 + 3 x2 5

(

)

−1 2

1   2 x 1 + =  2 x 2 x+ x

38.

(

)

−4 5

⋅

2 3

3 x

)

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

39.

(

f ′( x ) = 4

)

x +2 ⋅

2 x

(

)

x +2 x

40.

f ′( x ) =

2 3 x + x 3

(

−1 3 3

)

 3  ⋅  3x 2 + x  = 2   1 2

 x 2 x 2 +  2   3

x3 + x3

41. f ′( x ) = 6(3x + 5)4 5x 2 + 1 + (3x + 5)

10 x

(

)

44 5 x 2 + 1

42. f ′( x ) = 2e2x +3 43. f ′( x ) = 3e− x

+6 x −4

( − 2 x + 6)

44. f ′( x ) = 2 xe x

45.

( )

f ′( x ) = eex

′

x ′ x = eex ⋅ e = eex +1 vagy  ee  = ee ln ee = eex ⋅ e = eex +1

( )

46. x

f ′ ( x ) = ee ⋅ e x 47.

′ 2 1+  1+ x2−1  −2 f ′( x ) =  e  = e x −1 ⋅   ( x − 1)2 48. f ′( x ) = 23 x +

 1  ⋅ ln 2 3 +  3  3 x2 

49. f ′( x ) = − e − x +

1 2 x

( )

III. Differenciálszámítás - Megoldások

50. f ′( x ) =

−2 x 1− x 2

f ′( x ) =

1 x ln x

51. 52.

′ 3x 1  2 f ′( x ) =  ln 3x + 1  = 2 2  3x + 1

(

)

53.

( (

))

f ′( x ) = 2 ln x 2 + x + 1

′

4x + 2 x + x +1 2

54.

(

)

(

)

f ′( x ) = 4 23 x + 1 23x 3 ln 2 = 12 ln 2 ⋅ 23 x 23x + 1

55.

(

) (

)

f ′( x ) =

2 2 1 1 + x + x 2 (2 x − 1) x + x + 1 − 1 − x + x (2 x + 1) ⋅ 2 2 1 − x + x2 1 + x + x2

f ′( x ) =

1 − x +1

(

)

56. 57.

′ x x x x  1 + ex  1 − ex e 1 − e + 1 + e e 2e x I. megoldás f ′( x ) =  ln = ⋅ =  2 1 − e2 x  1 − ex  1 + ex 1 − ex

(

) (

(

( (

)

(

II. megoldás f ′( x ) = ln 1 + e x − ln 1 − e x

))

′

)

e ex 2e x + = 1 + e x 1 − e x 1 − e2 x x

58. f ′( x ) =

1 3

⋅

2 1 + 1 + x 33 (1 + x )

59. f ′( x ) =

3x + 2 2 6

(

3x − 2

)

⋅

(

) (

3x + 2 −

(

3x − 2

3x + 2

)

1 3x − 2 2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

60. f ′( x ) =

  1 1  1 +  1 +    2 x  2 x+ x+ x  2 x+ x

61. f ′( x ) =

1 33 1 + 3 1 + 3 x 

⋅

(

33 1 + 3 x

)

⋅

1 3 x2 3

62. f ′( x ) =

(

)(

)

5x − 2 x 3 + 2 x + 1 + 2

(

)(

3 5 (1 + x ) x 3 + 2 x + 1 + 2 5x − 2

(

)

+3 x 3 + 2 x + 1 3x 2 + 2 (1 + x ) 5 x − 2

63.

) 2 −12−xx

(

2x 1 − x2 − x 2 + 1 f ′( x ) =

1 − x2

(

)

2x 1 − x2 + x3 + x 2 3

(1 − x )

64. 2

f x′( x ) =

((

(

(e ) − x2

)

2 x 1 + x 2 ln 3 + e2 + 1 =

e− x 2 x ln 3 + e− x (2 x ) x 2 ln 3 + e2 + 1

)

− x2

65. ′ 1 1 1  1 1  f ′( x ) =  ( ln (1 + x ) − ln(1 − x )) =  + = 2  2  1 + x 1 − x  1 − x2

66. f ′( x ) =

 2x  1 +  = x + x2 + 4  2 x2 + 4 

1 2

x +4

67. ′ 1 1 x 1   2 f ′( x ) =  ln x − ln x + 1  = − 2 = 3   2 x x +1 x + x

(

)

− x 3 + 3x 2 3

(1 − x )

III. Differenciálszámítás - Megoldások

68.

(( (

)

) ))

(

f ′( x ) = 5 ln 1 − x 2 − ln x 2 + 4

′

2x  −50 x  −2 x = 5 − 2 = 2 4 1− x x + 4  − x − 3x 2 + 4

69. 2e2 x x 2 +1 2e 2 x 2x x 2 +1 e − ln e + 1 e 2 x − 2 x ln e2 x + 1 2x 2x e + 1 e + 1 f ′( x ) = = 2 2 x 2 +1 e x +1 e

(

)

(

)

( )

70. x 2 +1 2x + ln x ⋅ −x 2 x 2 +1 2 x +1

f ′( x ) = 71.

′ 1 2e2 x  1 1  f ′( x ) =  ln e2 x − ln 1 + e2 x  =  2 − = 2x  2  2 1 + e  1 + e2 x

(

))

(

72. − x −2x f ′( x ) = e 2π

73. f ′( x ) =

(

6x 2 5 + x2

2 3

) − 2 x 4(5 + x ) 2 x = 10 x (3 − x ) (5 + x ) (5 + x ) 3

2 8

2 5

74. 2x f ′( x ) = −

2 1+ x

(x +

 x  1 + x 2 + 1 + x 2 1 +   1 + x2 

)

(1 + x )( x + 2

1 + x2

)

= −

)

(

) x+

f ′( x ) = ln 2 x + 1 + x 2 + 2 x ln x + 1 + x 2 ⋅ 2

(

= ln x + 1 + x

(

2 x ln x + 1 + x 2 1 + x2

)

3 2 2

(1 + x )

75.

(

x 1 + x2 = 1 + x2

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

76. f ′( x ) =

1 1− x

1   (1 − x )  2 − e1− x   

77. ′  2e −2 x  −8 f ′( x ) = 1 + 2 x = −2 x   e −e  e 2 x − e −2 x

(

)

78. e2x

4x 4 x 1 + e2x ln 4 − + 1 + e2x 4 x 2 x ln x ln x 1 + e2x ln x ln e 1   =  log x e =   ln x ln x  f ′( x ) =

⋅

79. 1 2 x4 − x2 + 2 x f ′( x ) = 1 + = 2 2 1  x2 − 1 x −   x 1+

(

)

80. ′

( ) = (e )

f ′( x ) = x x

x ln x

′

= x x (ln x + 1)

81. e

f ′( x ) = ex ex e−1 + ee ex + ee x e −1 82. ′ ′ ′ x x e x f ′( x ) = e x x x + ee ln x + e x ln x = e x x x ( ln x + 1) +

( ) (

) (

)

x e 1 xe   + x e e x  ln x +  + x x  ex e−1 ln x +   x x 

83. ′  1x ln x  1 − ln x f ′( x ) =  e  = x x x2  

(

)

III. Differenciálszámítás - Megoldások 84. x 2 − 5x + 6 2x − 5 −1 = lim 2 = lim 3 2 3 x →2 x − 2 x − x + 2 x →2 3 x − 4 x − 1

85. x m −1 mx m −1 m = = lim n lim n −1 n x →1 x − 1 x →1 nx 86. e x − e− x = lim e x + e − x = 2 lim x x →0 x →0

(

87.

lim x →∞

)

ln x 1 = lim = 0 x x →∞ x

88.

lim x ln x = lim x →0

x →0

89.

lim xe

= lim

−x

x →∞

ln x = lim 1 x →0+ x

1 x = ( − x ) = 0− −1 lim + x →0 x2

x 1 = lim x = 0 x e x →∞ e

90. 1 2 lim x e x x →0

′ 1  1  x2  2 e 1 x  e 2 = lim e x = ∞ = lim = lim ′ 1 x →0 x →0 x →0  1  2 x2 x  1 x2

91. 1 1− 1  x − 1 − ln x  1 x − = lim =  = lim x −1 x − 1 lim x →1  ln x x →1 ( x − 1) ln x x →1 ln x + x x −1 1 1 = lim = lim = 2 x →1 x ln x + x − 1 x →1 ln x + 2

100

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

92. 1 −1  1 ln ( x − 1) − x + 2 1  x −1   − = = = lim lim x−2 ln ( x − 1)  lim x →2+  x − 2 x → 2+ ( x − 2) ln ( x − 1) x → 2+ ln x − 1 + ( ) x −1 2− x −1 −1 = lim = lim = 2 x → 2+ ( x − 1) ln ( x − 1) + x − 2 x → 2+ ln ( x − 1) + 2 93.

lim x

x →0 +

= lim ex ln x = 1 (lsd. 88. feladat) −

x →0 +

94.

lim

(

) (

x ex + 1 − 2 ex − 1 x3

x →0

e x ( x − 1) + 1 xe x 1 = = lim lim 3x 2 6 x →0 x →0 6 x

95. x 2 − 1 + ln x = lim lim ex − e x →1 x →1

1 x =3 x e e

2x +

96.

lim x + e x →∞

97.

x 2

= lim x →∞

x +2 2 x +4 e 1 2 = lim 4x = lim x = 0 + x 1+ e x →∞ x →∞ e2 2e 2

e x − e− x e x + e− x = =2 lim lim 1 x → 0 ln (1 + x ) x →0 x +1

Megjegyzés: A 105.-124. feladatok táblázataiban szerepelnek a függvények szakadási helyei, mégpedig úgy, hogy a szakadási hely oszlopa üresen marad.

III. Differenciálszámítás - Megoldások 98. f ( x ) = 3x − x 3 ,

f′ f ′′ f

x<-1 + konvex csökkenı

-1<x<0 + + konvex növekvı

lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = ∞ , x →∞

f ′′( x ) = −6 x

f ′( x ) = 3(1 − x )(1 + x ) ,

Df = R, x=-1 0 + helyi min. f(-1) = -2

101

x=0 0<x<1 + + 0 infl. konkáv pont növekvı f(0) = 0

Rf =R

x=1 0 helyi max. f(1) =2

1<x konkáv csökkenı

A függvény páratlan.

x →−∞

Megjegyzés: ha a függvény páros vagy páratlan, vizsgálatát elegendı vagy csak a nemnegatív, vagy csak a nempozitív valós számok halmazán elvégezni. A többi feladatnál, ha a függvény páros, vagy páratlan, a táblázatba csak a leszőkített halmazon történı vizsgálat kerül. y

20 15

5 x

0 -3

-2

-1

-3

-2

-1

-5

-10

-15

-20

98. feladat ábrája

0 1

99. feladat ábrája

102

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

99. 2 f ( x ) = ( x + 1)( x − 2) , D f = R ,

f′ f ′′ f

x<0 + konkáv növekvı

x=0 0 h. max. f(0) = 4

f ′( x ) = 3x( x − 2) ,

0<x<1 konkáv csökkenı

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

x=1 0 infl. pont f(1) = 2

f ′′( x ) = 6( x − 1)

1<x<2 + konvex csökkenı

x=2 0 + h.min. f(2) = 0

2<x + + konvex növekvı

Rf =R

x →−∞

100. f ( x) = x2

( 2 − x)( 2 + x), f ′′( x ) = 4(1 − 3 )(1 + 3 )

f ′( x ) = 4 x (1 − x )(1 + x ),

D f = R,

A függvény páros. 0

(0,

0 + h. min.: 0

f′ f ′′ f

3 ) 3

+ + konvex növekvı

3 3 + 0 inflexiós pont:

lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

(

5 9

(1, ∞ )

0 helyi és egyben abszolút maximum: 1

konkáv csökkenı

3 ,1) 3

+ konkáv növekvı

R f = ( −∞,1]

x →−∞

101. Df = R, f′ f ′′ f

(- ∞ ,0) + konkáv növekvı

1 2 f ( x ) = 2( x − 1)  x +   2 0 0 h. max.: 1

(0;0,5) konkáv csökkenı

f ′( x ) = 6 x ( x − 1)

0,5 0 infl. pont: 0,5

(0,5;1) + konvex csökkenı

f ′′( x ) = 6(2 x − 1) 1 0 + h. min.: 0

(1, ∞ ) + + konvex növekvı

III. Differenciálszámítás - Megoldások

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

103

Rf =R

x →−∞

10 5

15 x

0 -3

-2

-1

-5

-10

0 -3

-2

-1

-15

-5

-20

-10

-25

-15

-30

-20

100. feladat ábrája

x 1

101. feladat ábrája

102.

2 3

(- ∞ , )

f′ f ′′ f

2  f ′( x ) = 3( x − 2) x −  ,  3 2 4 4 4 ( , ) ( ,2) 3 3 3 3

f ( x ) = x ( x − 2) ,

Df = R

+ konkáv növekvı

0 helyi max.

0 konkáv infl. pont csökkenı

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

x →−∞

Rf =R

+ konvex csökkenı

f ′′( x ) = 6 x − 8 2

(2, ∞ )

0 + helyi min.

+ + konvex növekvı

104

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár y

20 15

15 x

0 -1

-5

-10

x -3

-2

-1

-15

-5

-20

-10

102. feladat ábrája

103. feladat ábrája

103. D f = R f ( x ) = ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2)  30   30  f ′′( x ) = 12 x −  ⋅ x +  6   6   A függvény páros. 0 30 30 (0, ) 6 6 f′ 0 f ′′ 0 f helyi konkáv inflexiós max. 0

csökkenı

pont

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = ∞ , x →∞

x →−∞

(

 10   10  f ′( x ) = 4 x  x −  x +  2  2  

30 10 , ) 6 2

+ konvex csökkenı

 9  R f =  − , ∞  4 

10 2 0 + helyi és absz. mim.

(

10 , ∞) 2

+ + konvex növekvı

III. Differenciálszámítás - Megoldások

105

104. Df = R, f ( x) = x3 − 6x2 + 9x − 1

f′ f ′′ f

(- ∞ ,1) + konkáv növekvı

f ′( x ) = 3( x − 1)( x − 3)

1 0 helyi max.

(1,2) konkáv csökkenı

2 0 infl. pont

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

f ′′( x ) = 6( x − 2) (2,3) + konvex csökkenı

3 0 + helyi min.

(3, ∞ ) + + konvex növekvı

Rf =R

x →−∞

0 -10

-6

-4

-2

-5 x

0 -1

-8

-10

-5

-15

-10

-20

-15

-25

-20

-30

104. feladat ábrája

105. feladat ábrája

106

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

105. D f = R \ {-1} , f ′′( x ) =

f′ f ′′ f

f ( x) =

f ′( x ) =

(1 + x )3

x 3 (4 + x )

(1 + x )4

12 x 2

(1 + x )5

x < -4 + konkáv növekvı

x = -4 0 helyi max.

-4 <x < -1 x = -1 -1<x<0 + konkáv konvex 256 csökkenı csökkenı f ( −4) =

x=0 0<x 0 + 0 + helyi min. konvex f(0)=0 növekvı

−27

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ x →∞

−

x →−1

x →−∞

x →−1

 −256  Rf = R \  ,0  27 

106. D f = R \ {-1} , f ( x) =

x 2 ( x − 1)

( x + 1)

(- ∞ ;

f′ f ′′ f

17 + 3 ) −2

+ konkáv növekvı

1 5

f′ f ′′ f

f ′( x ) =

(

x x 2 + 3x − 2

( x + 1) 17 + 3 −2

0 helyi max.

(0; )

1 5

konkáv csökkenı

0 inflexiós pont

)

f ′′( x ) =

17 + 3 ,-1) −2

(

2(5 x − 1)

( x + 1)4 -1

konkáv csökkenı

1 5

( ,

4 ) 17 + 3

+ konvex csökkenı

(-1,0)

+ konkáv növekvı

0 max.

0,56

x>0,56

0 + helyi min.

+ + konvex növı

III. Differenciálszámítás - Megoldások

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = −∞ , x →∞

-4

-2

0 -6

-8

Rf =R

x →−1

x →−∞

-10

107

-5

-10

0 -5

-2,5

2,5

-1

-15

-2 -20 -3 -25

-4

-30

-5

106. feladat ábrája

107. feladat ábrája

107. Df = R, f ( x) =

2x 1 + x2

f ′( x ) =

−2( x − 1)( x + 1)

)

f ′′( x ) =

(

)(

4x x − 3 x + 3

( x + 1)

)

A függvény páratlan.

f′ f ′′ f

0 + 0 inflexiós pont

(0,1) + konkáv növı

1 0 helyi és absz. max.

(1, 3 ) konkáv csökkenı

3 0 inflexiós pont

( 3 , ∞) + konvex csökkenı

108

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x →∞

108. Df = R,

f′ f ′′ f

R f = −1,1

x →−∞

f ( x ) = x 4 (3x − 5) + 4 (- ∞,0)

(0,1)

+ konkáv növekvı

0 0 helyi max.

konkáv csökkenı

0 infl. pont

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

f ′′( x ) = 60 x 2 ( x − 1)

4 3

( , ∞)

0 + helyi min.

+ + konvex növekvı

(1, ) + konvex csökkenı

4 3

Rf =R

x →−∞

-1

0 -3

f ′( x ) = 5 x 3 (3x − 4)

-5

-2,5

-2

-1

-4

-2

-6

-3

-8

-4

-10

-5

108. feladat ábrája

0 2,5

109. feladat ábrája

III. Differenciálszámítás - Megoldások

109

109. D f = R \ {0} ,

f ( x) = x +

1 x

f ′( x ) =

( x − 1)( x + 1) x

f ′′( x ) =

2 x3

A függvény páratlan. f′ f ′′ f

(0,1) + konvex csökkenı

1 0 + helyi minimum

(1, ∞ ) + + konvex növekvı

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

x →0+

x →−∞

x →0 −

R f = R \ ( −2,2) 110.

D f = R \ {0} ,

f′ f ′′ f

(- ∞ ,0) + + konvex növekvı

f ( x) = 0

1− x x2

(0,2) + konvex csökkenı

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 , x →∞

x →−∞

f ′( x ) =

x−2 x3

2 0 + helyi és absz. min.

(2,3) + + konvex növekvı

lim f ( x ) = ∞ , x →0

f ′′( x ) =

−2( x − 3) x4

3 + 0 inflexiós pont

(3, ∞ ) + konkáv növekvı

 1  R f =  − , ∞  4 

110

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár y 9

-5

-3

-1 -2

-6

x -5

-3

-1 -1

5 -10

110. feladat ábrája

111. feladat ábrája

111.

D f = R \ {1}

f′ f ′′ f

(- ∞ ,0) + konkáv növekvı

f ( x) = 0 0 helyi max.

x2 x −1

f ′( x ) =

(0,1) konkáv csökkenı

x( x − 2)

( x − 1)

f ′′( x ) =

(1,2) + konvex csökkenı

( x − 1)3

2 0 + helyi min.

(2, ∞ ) + + konvex növekvı

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

R f = R \ (0,4)

x→−∞

x →1+

x →1−

III. Differenciálszámítás - Megoldások

111

112.

D f = R \ {±1} ,

f ( x) =

1 1 − x2

f ′( x ) =

2x 2 2

(1 − x )

f ′′( x ) =

(

)

−2 3x 2 + 1

)

−1

A függvény páros. 0 0 + helyi minimum

f′ f ′′ f

(0,1) + + konvex növekvı

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 , x →∞

x →1+

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ ,

x →1−

x →−1−

(1, ∞ ) + konkáv növekvı

lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = ∞ , R = R \ [0,1)

x →−∞

x →−1+

x -5

-3

-1 -1

x -3

-1

1 -1

-3

-5

112. feladat ábrája

113. feladat ábrája

112

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

113. D f = R \ {±1} ,

x f ( x) = 2 x −1

f ′( x ) =

(

)

− x2 + 1

)

−1

f ′′( x ) =

(

)

2 x x2 + 3

)

−1

A függvény páratlan. 0 0 inflexiós pont

f′ f ′′ f

(0,1) konkáv csökkenı

(1, ∞ ) + konvex csökkenı

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 ,

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ ,

Rf =R

x →∞

x →1+

x →−∞

x →−1+

x →1−

x →−1−

114. D f = R \ {−1} ,

f ( x) =

6x x3 + 1

(- ∞ ,-1)

f′ f ′′ f

+ + konvex növekvı

f ′( x ) = -1

(

)

−6 2 x 3 − 1

( x + 1) 3

(-1,0)

+ konkáv növekvı

+ 0

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x →∞

Rf = R

x →−∞

f ′′( x ) =

(0, 3

1 ) 2

+ konkáv növekvı

(

)

36 x 2 x 3 − 2

( x + 1) 3

1 3 2 0 helyi max.

1 3 , 2) 2

konkáv csökkenı

0 infl. pont

lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = ∞ x →−1+

x →−1−

(3 2 , ∞ ) + konvex csökkenı

III. Differenciálszámítás - Megoldások

113 y

x -5

-3

-1 -2

5 3

-6

1 x -5

-3

-10

114. feladat ábrája

-1 -1

115. feladat ábrája

115. 1

D f = R \ {0} ,

f ( x) = e x

(- ∞ ;0,5) konkáv csökkenı

f′ f ′′ f

-0,5 0 inflexiós pont

lim f ( x ) = 1 lim f ( x ) = 1, x →∞

x →−∞

R f = R \ {1}

f ′( x ) =

−1 x e x2

(-0,5;0) + konvex csökkenı

f ′′( x ) = 0

2x + 1 x e x4

(0, ∞ ) + konvex csökkenı

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = 0 , x →0+

x →0−

114

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

116. D f = R \ {1} ,

(- ∞ ,

f′ f ′′ f

f(x)=

−1 ) 2

konkáv csökkenı

x2 x 2 − 2x + 1

(0,1)

+ konvex csökkenı

0 + helyi és abszolút minimum

+ + konvex növekvı

lim f ( x ) = ∞ ,

2(2 x + 1)

( x − 1) 4

(1, ∞ ) + konvex csökkenı

R f = R + ∪ {0}

x →1

x →−∞

( x − 1) 3

(

lim f ( x ) = 1 lim f ( x ) = 1, x →∞

f ′′( x ) =

−1 ,0) 2

−1 2 0 inflexiós pont

−2 x

f ′( x ) =

3 5

3 1

1 x -5

-3

-1 -1

116. feladat ábrája

-5

-3

-1

5 -1

117. feladat ábrája

5 x

III. Differenciálszámítás - Megoldások

115

117. Df = R

f ( x) =

f′ f ′′ f

(- ∞ ;- 3 ) + + konvex növekvı

f′ f ′′

(0;1) + konvex csökkenı

( x − 1)2 2

f ′( x ) =

- 3 + 0 infl. pont

(- 3 ,-1) + konkáv növekvı

x +1

1 0 + helyi és absz. min.

)

(

(-1,0) konkáv csökkenı

( 3, ∞) + konkáv növekvı

+ 0 infl. pont

)

−4 x x 2 − 3

f ′′( x ) =

-1 0 helyi és absz.max.

(1, 3 ) + + konvex növekvı

lim f ( x ) = 1 lim f ( x ) = 1, x →∞

2( x − 1)( x + 1)

)

0 0 infl. pont

R f = 0, 2

x →−∞

118. Df = R

f′ f ′′ f

f ( x ) = xe x

(- ∞ ;-2) konkáv csökkenı

f ′( x ) = ( x + 1)e x

-2 0 inflexiós pont

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = 0 , x →∞

x →−∞

f ′′( x ) = ( x + 2)e x

(-2,-1) + konvex csökkenı

[

R f = − e−1 , ∞

-1 0 + helyi és absz. min.

)

(-1, ∞ ) + + konvex növekvı

116

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

2 x -5

-3

-1

-2

118. feladat ábrája 119. Df = R

f′ f ′′ f

f ( x ) = xe− x (- ∞ ;-2) + konkáv növekvı

f ′( x ) = (1 − x )e− x

-2 0 helyi és absz. max.

(-2,-1) konkáv csökkenı

(

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = −∞ , x →∞

R f = −∞, e−1

x →−∞

-3

-1

-2

f ′′( x ) = ( x − 2)e − x -1 0 infl. pont

(-1, ∞ ) + konvex csökkenı

]

-6

-10

119. feladat ábrája

5 x

III. Differenciálszámítás - Megoldások

117

120. D f = R +,

f′ f ′′ f

f (x) =

ln x x

f ′( x ) =

(0,e)

+ konkáv növekvı

0 helyi és absz. max.

x →0

f ′′( x ) =

2 ln x − 3 x3

(e, e 2 ) konkáv csökkenı

( e2 , ∞ ) + konvex csökkenı

0 infl. pont

R f = −∞, e−1

(

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = −∞ , x →∞

1 − ln x x2

]

y 1 0 -1

-1

9 x

-2 -3 -4 -5

120. feladat ábrája 121. D f = R +,

f′ f ′′ f

f ( x ) = x ln x (0, e−1 ) + konvex csökkenı

f ′( x ) = ln x + 1

f ′′( x ) =

e−1 0 + helyi és abszolút minimum

1 x ( e−1 , ∞ ) + + konvex növekvı

118

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

[

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = 0 , x →0

x →∞

122. D f = R +,

f ( x ) = x 2 ln x −3

f′ f ′′ f

R f = − e −1, ∞

f ′( x ) = x (2 ln x + 1)

−3

(0, e 2 ) konkáv csökkenı

−3

f ′′( x ) = 2 ln x + 3

−1

(e 2 ,e 2 ) + konvex csökkenı

e2 0 inflexiós pont

−1

(e 2 , ∞ ) + + konvex növekvı

e2 0 + helyi. és absz. min.

 1  R f = − e −1, ∞   2

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = 0 , x →0+

x →∞

)

123. D f = R \ {1} , f ( x) =

f′ f ′′ f

x ( x − 1)e x

(- ∞ ,0) + konvex csökkenı

f ′( x ) = 0 0 inflexiós pont

)

( x − 1) 2 e x (0,1) konkáv csökkenı

lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = ∞ , x →∞

(

− x2 − x + 1

f ′′( x ) =

x ( x 2 − 2 x + 3)

( x − 1) 3 e x (1, ∞ ) + konvex csökkenı

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →1+

x →−∞

x →1−

Rf =R 124.  −1  Df = R \   , 2

f ( x) =

(2 x + 1)

f ′( x ) =

x 2 (2 x + 3)

(2 x + 1)

f ′′( x ) =

(2 x + 1) 4

III. Differenciálszámítás - Megoldások (- ∞ ,

f′ f ′′ f

−3 ) 2

+ konkáv növekvı

−3 2

(

0 helyi maximum

−3 −1 , ) 2 2

−1 2

(0, ∞ )

+ konkáv növekvı

0 0 inflexiós pont

+ + konvex növekvı

lim f ( x ) = −∞

lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) = −∞ , x →∞

−1 ,0) 2

(

konkáv csökkenı

119

Rf =R

1 x →− 2

x →−∞

125. f ′( x ) = 3x 2 − 6 x − 1 P1(1,0), P2 ( −1,0), P3 (3,0),

f ′(1) = −4, f ′( −1) = 8, f ′(3) = 8,

y = −4( x − 1) y = 8( x + 1) y = 8( x − 3)

α1 ≈ 104, 036 o α 2 ≈ 82, 875 o α3 = α2

126. a)

P(1,0),

f ′( x ) =

α ≈ 7,125

P(2,0),

f ′( x ) =

α = 135o

P(0,0),

α ≈ 63, 435

− x2 + 2x + 1

)

1 f ′(1) = , 8

1 ( x − 1) 8

127. 1 , x−3

f ′(2) = −1,

y = −x + 2

128. f ′( x ) = 2e 2 x ,

f ′(0) = 2,

y = 2x

129. f ′( x ) = 2 x ,

f ′(2) = 1,

f (2) = −1,

y = x−3

Az érintı és a koordináta-tengelyek metszéspontjai: A(0,-3), B(3,0). A keletkezett derékszögő háromszög területe: 4,5 területegység.

120

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

130. x = 0,

f ( x ) = 2,

M1(0,2)

x = 4,

f ( x ) = 0,

M 2 ( 4,0 )

f ′( x ) =

( x − 2)

f ′(0) =

1 = f ′(4) , 2

ami éppen a két egyenes párhuzamosságát jelenti. 131. f ′( x ) = 3x 2 − 1 = 2 kell, hogy telejsüljön. Ez pontosan akkor áll, ha x = 1

vagy x = -1. A keresett pontok: P1(11 , ) P2 ( −11 , ). 132.

(

)

m = f ′( x0 ) = 2 x0 − 5 , ami a parabola x0 , x0 − 5 x0 + 2 pontjához húzott

érintı meredeksége. Az érintı egyenlete:

y − y0 = m( x − x0 ) .

y + 2 = (2 x0 − 5) x

  2 y − x0 + 5 x0 − 2 = (2 x0 − 5)( x − x0 )

Ezt kielégíti: x 0 = ±2 e1: y = − x − 2

e2 : y = −9 x − 2 adott pontra.

Ennek megoldása:

egyenlető, a parabolát érintı egyenesek illeszkednek az

133. x2 = − x + 4 x1 = 0, x 2 = 2 2 f ′( x ) = − x f ′(0) = 0 f ′ ( 2) = − 2

4−

g ′( x ) = −1

g ′(0) = −1 g ′(2) = −1

α 1 = 0 α 2 = 135o β1 = 116, 56o β 2 = 135o A két görbe P1(0,4) pontban 45o-os szögben metszi egymást, P2 (2,2) o

pontban pedig 18, 435o-os szögben. 134. Az f ′( x ) = 6 x 2 − 18 x − 23 = 1 egyenletet kielégítı értékek a grafikon kérdéses pontjainak abszcisszáját adják meg. P1( −1124 , ), P2 (4,4) .

III. Differenciálszámítás - Megoldások

121

135. 1 = x2 x

−1 x2 g ′( x ) = 2 x f ′( x ) =

x =1

f ′(1) = −1

α = 135o

g ′(1) = 2

β = 63,435o

A két görbe 71, 565o-ban metszi egymást. 136. 4   y − 4 = m( x − 2) P1( 0,−2 m + 4) P2  2 − ,0  m  8 függvény abszolút szélsıértékének helyét keressük. T ( m) = 8 − 2m − m 8 Ennek szükséges feltétele: T ′( m) = 0 . T ′( m) = −2 + 2 . m = ±2 m megoldások közül m = −2 helyen van a függvénynek abszolút minimuma. A keresett egyenes egyenlete: y = −2 x + 8.

137. Az egységre esı átlagköltséget kifejezı függvény: K ( x) 100 k( x) = = 0,1x 2 − x + 50 + . x x k ′( x ) -nek x = 10-nél van zérushelye. Itt valóban van szélsıérték. 138. Az f ( x ) = 60 x − 0,015x 2 függvénynek x = 2000-nél van abszolút szélsıértéke, mégpedig maximuma. 139. a)

Az f ( p) = −2 p 2 + 180 p másodfokú függvénynek 45-nél van ab-

szolút maximuma, a maximum értéke: 4050. b) (−2) ⋅ 45 + 180 = 90 . 140. N ( x ) + K ( x ) másodfokú függvénynek abszolút maximuma van, mégpe-

dig x=40 értéknél. 141. −x

a) Az f ( x ) = xe100

abszolút maximum. b) f (100) ≈ 59874 .

függvény szélsıértéke x = 100-nál van, mégpedig

122

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

142. f ′( x ) =

−250

( x + 18)

7 ⋅ ( −0,4) = −0,28 . Tehát 0,28%-kal csökken a ke10

reslet. 143. −x . x +1 értékkészlete. E ( f ( x )) =

 −6 −1 A  ,  intervallum az elaszticitás függvény 7 2

123 IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D.4.1. Egy F függvényt a f függvény primitív függvényének nevezünk valamely (véges vagy végtelen) intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x 0 pontjában F ′( x0 ) = f ( x0 ) teljesül. A primitív függvény jelölése:

∫ f ( x )dx .

D.4.2. Az [a,b] intervallum egy B n beosztásán egy olyan (n+1) elemő

pontrendszert értünk, amelyre x0 = a, xn = b, xi−1 < xi

{ x0 , x1,..., xn } (i = 1,2,..., n) teljesül.

Az x i −1, x i -t az i-edik részintervallumnak nevezzük. D.4.3. Az [a,b]-on korlátos f függvénynek [a,b] egy B n beosztásához tartozó alsó közelítı összegén (felsı közelítı összegén) a következıt értjük: n

sn ( f , Bn ):= ∑ mi ( xi − xi−1 ) , ahol

mi =

i =1

n   S n ( f , Bn ): = ∑ M i ( xi − xi−1 ), ahol  i =1 

inf f ( x ) ;

x ∈[ xi −1 , xi ]



Mi =

sup f ( x )

x ∈[ xi −1 , xi ]



D.4.4. Az [a,b] egy B n beosztásának finomságán (δ n ) a beosztás leghosszabb részintervallumának hosszát értjük:

δ n = max ( xi − xi−1 ) 1≤ i ≤ n

D.4.5. ∞ Az [a,b] egy { Bn } n=1 beosztássorozatát minden határon túl finomodónak nevezzük, ha δ n → 0.

124

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

D.4.6. Az [a,b] intervallumon korlátos f függvényt [a,b]-on Riemann-integrálhatónak ∞

nevezzük, ha f -nek az [a,b] bármely minden határon túl finomodó { Bn } n=1 beosztássorozatára teljesül, hogy

lim s ( f , B ) = lim S ( f , B ) n

n→∞

Ezt a közös határértéket nevezzük az f függvény [a,b] intervallumon vett határozott integráljának. b

Jelölés: I = ∫ f ( x )dx a

D.4.7. a

∫ f ( x )dx: = 0 ∫ f ( x )dx: = − ∫ f ( x )dx Improprius integrálok D.4.8. (véges sok pontban nem értelmezett függvény improprius integrálja) Tegyük fel, hogy f függvény [a,b]-ban az x1 < x 2 <... < x n pontok kivételével mindenütt értelmezett korlátos függvény. Legyen ϕ egy olyan korlátos függvény, ami [a,b] minden pontjában értelmezett és a fenti xi (i = 1,2,..., n) pontok kivé-

telével ϕ ( x ) = f ( x ) . Ha ϕ integrálható [a,b]-on, akkor f függvényt az [a,b]-on improprius értelemben integrálhatónak nevezzük, és a következıképpen definiáljuk: b

∫ a

f ( x )dx:= ∫ ϕ ( x ) dx a

Megjegyzés: Bizonyítható, hogy az improprius integrál független attól, hogy az f értelemzését hogyan bıvítjük ki azokra a pontokra, ahol eredetileg nem volt értelmezve. D.4.9. (Nem korlátos függvény improprius integrálja) Tegyük fel, hogy az f függvény értelmezett az (a,b) intervallum minden pontjában, de az a pont környezetében nem korlátos. Ha az f függvény bármely b

[ a + ε , b] (0 < ε < b − a)

intervallumon integrálható és a

lim ∫ f ( x )dx ε →0 a +ε

határ-

IV. Integrálszámítás

125

érték létezik, akkor az f függvényt az [a,b]-on improprius értelmemben integrálhatónak nevezzük és integrálját a következıképpen definiáljuk: b

∫

f ( x )dx: = lim

∫ f ( x )dx

ε →0 a +ε

D.4.10. (Végtelen intervallumon vett improprius integrálok) Legyen az f függvény bármely x ≥ a helyen értelmezve és tegyük fel, hogy b

lim ∫ f ( x )dx határérték létezik, akfüggvénynek az [ a, ∞) intervallumon vett improprius

bármely véges [a,b]-on integrálható! Ha a

b→∞

kor ezt a határértéket az f

integráljának nevezzük, azaz ∞

∫

f ( x )dx: = lim ∫ f ( x )dx b→∞

Hasonlóan definiálhatók a következı integrálok is: b

∫

f ( x )dx: = lim ∫ f ( x )dx a →−∞ a

−∞ ∞

∫

f ( x )dx: = lim ∫ f ( x )dx

−∞

a→−∞ , a b→∞

TÉTELEK

T.4.1. Ha F a f függvénynek primitív függvénye, akkor bármely C valós szám esetén F+C is primív függvénye f -nek. T.4.2. Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek egymástól. T.4.3. Néhány alapintegrál:

∫ 1dx = x + C

c ∫ x dx =

x c+1 + C c ≠ −1 c +1

∫ x dx = ln x + C

126

x x ∫ e dx = e + C

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

x ∫ a dx =

ax +C ln a

T.4.4. Ha az f és g függvénynek létezik primitív függvénye, akkor összegüknek is létezik , és ∫ ( f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g( x )dx . T.4.5. Ha f -nek létezik primitív függvénye, akkor bármely c(∈ R ) -re cf -nek is létezik, és

∫ cf ( x )dx = c ∫ f ( x )dx T.4.6. a) Ha f differenciálható függvény és nem 0, akkor f ′( x ) ∫ f ( x ) dx = ln f ( x ) + C b) Ha f differenciálható függvény, akkor f c +1 ( x ) c f x f x dx = + C ( c ∈ R \ {−1} esetleg ′ ( ) ( ) ∫ c +1

f ( x ) > 0) .

T.4.7. (Parciális integrálás módszere) Ha f és g valamely intervallumon differenciálhatók és f ′g -nek létezik primitív függvénye, akkor fg ′ -nek is létezik, és

∫ f ( x )g ′( x )dx = f ( x ) g( x ) − ∫ f ′( x ) g( x )dx T.4.8. Ha f függvény integrálható egy intervallumon, akkor ezen intervallum bármely részintervallumán is integrálható. T.4.9. b

Ha f integrálható az [a,b]-on és a<c<b, akkor

∫ a

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx . a

IV. Integrálszámítás

127

T.4.10. Ha f integrálható az [a,c] és a [c,b] intervallumokon, akkor integrálható az [a,b]on is, és b

∫

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx

T.4.11. Az [a,b]-on integrálható f függvény c konstansszorosa is integrálható ezen az intervallumon, és b

∫ cf ( x )dx =c ∫ f ( x )dx a

T.4.12. Az [a,b]-on integrálható f és g függvények összege is integrálható ezen az intervallumon, és b

∫ ( f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx T.4.13. (Newton-Leibniz formula) Ha f folytonos az [a,b] intervallumon és F a f függvény egy primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor b

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) = [ F ( x )]

Geometriai jelentése: b

Ha f ( x ) ≥ 0 , akkor

∫ f ( x )dx értéke annak a tartománynak a területe, amelyet az a

y = f ( x ) egyenlető görbe, az x tengely, az x = a és x = b egyenlető egyenes határol.

128

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

FELADATOK Vezessük vissza alapintegrálokra a következı integrálok meghatározását! 1.

∫ (3 − x ) dx

∫ x (5 − x ) dx

1− x  ∫  x  dx

∫

x ⋅5 x dx 6 x

∫ (2 x

x + 23 x 2 − 1 dx 4 x

10.

∫ (1 − x )(3x − 1)(2 x + 1)dx

∫

x +1 dx x 4

∫

11.

∫ (2

13. 15. 17.

)

+ 3x dx

e3 x + 1 ∫ e x + 1 dx x 4 − 16 ∫ x 2 + 4 ( x − 2)dx

(

)

Határozzuk meg az f ( x ) = a grafikonja áthalad a P0 (113 , ) ponton a)

18.

12.

14. 16.

∫

1 dx x3

x 5

)

+ 4 x −7 dx

(1 − x )2 dx

x3 x 2 x +1 − 5x −1 ∫ 10x dx ex − e− x ∫ e x dx e− x − x ∫ xe− x dx

5 primitív függvényei közül azt, amelyiknek x

P0 ( − e,−8) ponton!

1 függvénynek olyan primitív függvénye, amelyik x grafikonja áthalad a P0 ( −3,7) ponton?

Van-e az f ( x ) =

Az integrálandó függvényeket alakítsuk át úgy, hogy az szabály alkalmazható legyen! x +3 19. ∫ x 2 − 2 x − 15 dx

20.

x+4

f ′( x )

∫ f ( x ) dx = ln f ( x ) + C

∫ x( x + 8) dx

IV. Integrálszámítás 6 x + 15

21.

∫ ( x − 2)( x + 7) dx

23.

∫ πx + 1 dx

25. 27. 29. 31. 33.

e3 x ∫ e3x + 3 dx x ∫ x + 1 dx x+2 ∫ 2 x − 1 dx 1 ∫ x ln x dx

∫

22.

∫ x − 1 dx

24.

∫ 3x

26. 28. 30. 32.

4 dx 2 x ln x ⋅ log x 3

129

34.

18 x − 27 dx 2 − 9 x − 11 e2 x − 26 ∫ 52 x − e2 x dx 3x − 1 ∫ x + 7 dx x+4 ∫ x − 4 dx 1 ∫ x ln x(ln(ln x )) dx e x − e− x ∫ e x + e− x dx

Az integrálandó függvényeket alakítsuk át úgy, hogy az f c +1 ( x ) c f x f x dx = + C ( c ∈ R \ {−1}) szabály alkalmazható legyen! ′ ∫ () () c +1 4

41.

∫ ( x − 2) dx ∫ (3x + 5) dx ∫ 2 x (3x + 7) dx ∫ x + 1dx

43.

∫ − x ⋅ ( 3x

45. 47. 49.

35. 37. 39.

42.

∫ 2 (4 x + 3) dx ∫ x (2 x − 5)dx ∫ 2 x + 5dx ∫ 3x 7 x − 1dx

44.

∫ (3x + 4) dx

∫ e (2 − e ) dx

46.

∫

ln x ln x dx x

48.

∫

ln ( x + 5) dx x+5

50.

)

+ 5 dx

36. 38. 40.

ln x dx x ln 5 x ∫ x dx 2 x ln x 2 − 1

∫

(

x −1

)dx

130

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

51.

∫

1 dx x +1

53.

∫

55.

57.

59.

∫

( x − 2) 2x

( −5 x

)

∫

1− e x

∫ 3

61.

∫ ( x + 3) dx

54.

∫

56.

4 dx

58.

dx x

3 2

(

2 ∫ x 1− x

)(

∫

x x2 + 6

e2 x 4

60.

)

1 − x 2 dx

62.

1 + e2 x

6x 2 − 2

∫ 4

(1 − 2 x )

52.

(

∫ x⋅

x − x3 5

)

1 dx ln x 3x 4

∫ 5

(

4x5 + 6

)

A következı integrálok meghatározásánál alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét! x −x 63. 64. ∫ xe dx ∫ xe dx 66.

69.

∫ xe dx ∫ ln xdx ∫ x e dx

70.

∫ (2 x + 3)e dx ∫ ( x − 5x + 3) ln xdx ∫ ln xdx

71.

∫ x ln

72.

∫

65. 67.

68.

2 x

xdx

x +2

ln x dx x2

73.

∫

74.

Határozzuk meg az f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 függvény grafikonja és a tengelyek

1 + x2

által körülzárt síkrész területét!

IV. Integrálszámítás

131

Számítsuk ki a következı egyenlető görbékkel határolt síkidomok területét! 3 75. y = ( x − 1) , x = 2, x = 0, y = 0 ,

83. 84. 85.

y = 1 − x 2 , x = 2, y = 0, 4 13 y= , y= −x 3x 3 y = ex , x = 0, x = 1, y = 0 , y = x 2, y = − x y = 2x − x 2 , y = − x y = x 2, y = x + 2 1 y = x 2 , y = 7 x 2 + 18 9 3 3 y=x , y= x y = x + 1, y = − x 2 + 3 y = −2 x 2 + 16x − 24, y = x 2 − 8 x + 12

86.

y = ( x + 3) ,

87.

y = ( x − 4) + 1,

76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

(

)

y = −x + 9

y = − x + 14 x − 39

A Newton-Leibniz formula alkalmazásával számítsuk ki a következı határozott integrálokat, majd döntsük el, hogy a kiszámolt érték egyenlı-e a függvény grafikonja és az x tengely által közrezárt síkidom területével a megadott intervallumon! Vázoljuk a kérdéses tartományokat koordináta-rendszerben! 8

88.

∫

xdx

−1

92.

89.

−1

∫ 1 − x dx

90.

1 ∫3 x dx

−2

Mekkora területet zár be az y = − x 4 + 4 egyenlető görbe, az (1,3) pontjához húzott érintı és az x tengely?

Improprius integrálok ∞

93.

∫ x dx

91.

∫ 1

1 dx x2

94.

∫ 0

1 dx x2

∞

95.

∫ x dx 3

132

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 1

96.

∫ 0

1 dx x3

∞

99.

∫

1 3

∞

97. 100.

∞

102. 105.

∫e

103.

∫

1 dx 3x − 4

101.

1 dx x

104.

1 ∫3 3 x dx

107.

∫

∫ ln xdx 0

∫ x dx 1

∫ 0 1

∫ −2

1 e

109.

1 ∫1 x dx

106.

∫ (3x − 2) dx

∞

1 ∫−2 3 x dx

98.

−∞

4 3

111.

dx 4

108.

∫ (1 + 3x ) ∞

−x

110.

1 dx x 1 dx 1− x

∫ x ln 0

Egy föld alatti létesítmény számára 800 m hosszú vágatot készítenek. A vágat készítésének költségei a kezdıponttól távolodva egyre nınek (ezt elsısorban a szállítási költségek növekedése indokolja). A költségszint alakulását a kezdıponttól méterben mért x távolság függvényében f ( x ) = 4000 + 2 x fejezi ki. A vágat hosszának alakulását a t idı (nap) függvényében a g(t ) = 5t − 0,005t 2 egyenlıség adja meg. Számítsuk ki, hogy mekkora a 6. és 7. hónapban végzett munka költsége, ha egy hónapra 25 munkanapot számítunk!

133 IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS - MEGOLDÁSOK

∫ (27 − 27 x

)

+ 9 x 4 − x 6 dx = 27 x − 9 x 3 + 9

x5 x 7 − +C 5 7

∫ x (5 − x ) dx = ∫ (625x 4

)

− 500 x 3 + 150 x 4 − 20 x 5 + x 6 dx =

x x 10 − 125 x 4 + 30 x 5 − x 6 + +C 3 3 7

=625 3.

∫ (1 − x )(3x − 1)(2 x + 1)dx = ∫ (−6 x =

)

+ 5x 2 + 2 x − 1 dx =

−3 4 5 3 x + x + x2 − x + C 2 3

4.  1

∫  x

−

2  −1 + 1 dx = − 2 ln x + x + C x  x

5. 1  2 x3  x + dx = +2 x +C   ∫ 3 x

6. −1

44 x 3 +C 3

1515 x17 +C 17

∫ x 4 dx = 7.

∫ x 15 dx = 8.

∫ (2 x

)

+ 4 x −7 dx =

1 6 2 −6 x − x +C 3 3

9. 5 −1  14  44 x 5 2412 x17 44 x 3 12 4 x + 2 x − x dx = + − +C   ∫ 5 17 3 

134

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

10. 1 2 −  − 43  1 33 5 2 3 3 ∫  x − 2 x + x 3  dx = −3 3 x − 3 x + 5 x + C

11.

∫ (4

)

+ 2 ⋅ 6 x + 9 x dx =

4x 6x 9x +2 + +C ln 4 ln 6 ln 9

12.   1 x 1  1  x  5− x 2− x   dx 2 − = 2 + +C ∫   5 5  2   − ln 5 5 ln 2

13.

∫ (e

)

− e x + 1 dx =

e2 x − ex + x + C 2

14. −2 x

e ∫ (1 − e )dx = x + 2 −2 x

15.

∫ ( x + 2)dx =

x2 + 2x + C 2

16. 1



∫  x − e  dx = ln x − e x

17. 5

∫ x dx = 5 ln x + C a, x 0 = 1 b, x0 = − e

f ( x 0 ) = 5 ln 1 + C = 13 C = 13 ⇒ F ( x ) = 5 ln x + 13 f ( x0 ) = 5 ln( − e) + C = −8 C = −13 ⇒ F ( x ) = 5 ln x − 13

18. 1 = 2 x + C , a függvény értelmezési tartománya nem tartalx mazza a -3 értéket.

Nincs.

∫

19. x +3

∫ ( x + 3)( x − 5)dx = ln x − 5 + C

IV. Integrálszámítás - Megoldások 20. 1 2( x + 4) 1 dx = ln x 2 + 8 x + C 2 ∫ 2 x + 8x 2

21. 3∫

2x + 5 dx = 3 ln x 2 + 5 x − 14 + C x + 5 x − 14

5∫

1 dx = 5 ln x − 1 + C x −1

22.

23. 2

∫ πx + 1 dx =

ln πx + 1 + C

24. 3∫

6x − 9 dx = 3 ln 3x 2 − 9 x − 11 + C 3x − 9 x − 11 2

25. 1 3e3x 1 dx = ln e3 x + 3 + C 3x ∫ 3 e +3 3

(

)

26. −1 −2e2 x + 52 −1 dx = ln 52 x − e2 x + C 2x ∫ 2 52 x − e 2

27.

∫

x +1−1 1   = ∫ 1 −  dx = x − ln x + 1 + C  x +1 x + 1

∫

3( x + 7) − 22 dx = 3x − 22 ln x + 7 + C x+7

∫

1 5 2 x − 1) + ( 2 2 dx = x + 5 ln 2 x − 1 + C 2x − 1 2 4

∫

x −4+8 dx = x + 8 ln x − 4 + C x−4

28.

29.

30.

135

136

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

31. 1

∫ x ln x dx = ln ln x

32. 1

∫ x ln x(ln(ln x )) dx = ln ln(ln x ) + C 33.

∫

4 ln 3 x ln 2 x ln x

dx =

4 ln ln x + C ln 3

34. e x − e− x x −x ∫ e x + e− x dx = ln e + e + C

(

)

35.

∫ ( x − 2)

5 x − 2) ( +C dx =

36. 4

2 (4 x + 3) +C 16

2 3 4(4 x + 3) dx = 4 ∫ 37.

1 (3x + 5) + C 2 3(3x + 5) dx = ∫ 3 9 38.

(

)

2x3 − 5 1 2 3 6 x 2 x − 5 dx = +C 6∫ 12

(

)

39.

(

)

2 3x 3 + 7 6 2 2 3 9 x 3x + 7 dx = +C 9∫ 63

(

)

40. 3

1 1 (2 x + 5) 2 + C 2 dx = 2 2 x + 5 ( ) 2∫ 3

IV. Integrálszámítás - Megoldások 41.

∫

x + 1dx =

33 ( x + 1)

42.

(

)

1 7x 2 − 1 3 2 2 dx = 14 x 7 x − 1 14 ∫ 7

(

)

3 2

43. 4 3

−1 6 x 3x 2 + 5 dx = ∫ 6

(

)

(

)

− 3x 2 + 5

7 3

44. 5

3 2(3x + 4) 2 1 3(3x + 4) 2 dx = +C ∫ 3 15

45.

(

− ∫ −e 2 − e x

x 2

) dx =

(

− 2 − ex

)

46. ln x ln 2 x dx = +C ∫ x 2

47. 3

∫

(ln x ) 2 dx = 2 x

ln 5 x +C 5

48. ln 5 x ln 6 x dx = +C ∫ x 6 49. ln ( x + 5) ln 2 ( x + 5) dx = +C ∫ x +5 2 50.

∫

(

) dx = ln ( x

2 x ln x 2 − 1 2

x −1

) +C

−1

137

138

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

51. −1

∫ ( x + 1) 2 dx =2

x +1 + C

52. −2

2 ∫ ( x + 3) dx = −4

3( x + 3)

53. 5

3∫ ( x − 2) 4 dx = −

−12 +C x−2

54. 1 2x x 2 + 6 ∫ 2

(

)

−1 2

dx = x 2 + 6 + C

55. −4 −1 1 −10 x −5x 2 + 3 dx = 3 +C ∫ 5 15 −5x 2 + 3

(

)

(

)

56. 1 2e 2 x 1 + e 2 x ∫ 2

(

)

−1 4

(

24 1 + e 2 x dx =

)

57.

(

− ∫ −e 1 − e x

)

−1 2

dx = −2 1 − e x + C

58.

(

)(

−2 ∫ −3x 2 + 1 x − x 3

)

−3 4

dx = −84 x − x 3 + C

59. −1 −6 x 2 1 − 2 x 3 6 ∫

(

)

−2 3

dx =

−3 1 − 2 x 3 +C 2

60. −1 1 55 ln 4 x 5 dx = ln x +C ( ) ∫x 4

61.

(

3 − 1 − x2 −1 2 2 −2 x 1 − x dx = 2 ∫ 5

(

)

IV. Integrálszámítás - Megoldások

139

62. 3 20 x 4 4 x 5 + 6 20 ∫

(

)

−4 5

35 4x 5 + 6 +C 4

dx =

63.

∫ xe dx = xe − ∫ e dx = e ( x − 1) + C x

64.

∫ xe

−x

dx = − xe − x + ∫ e − x dx = e− x ( − x − 1) + C

65. 2x ∫ xe dx = x

e2 x 1  x 1 − ∫ e2 x dx = e2 x  −  + C  2 4 2 2

∫ (2 x + 3)e

dx =(2 x + 3)e x + 2 − 2 ∫ e x + 2 dx = (2 x + 1)e x + 2 + C

66. x +2

67.

∫ 1⋅ ln xdx = x ln x − ∫ 1dx = x(ln x − 1) + C 68.

∫ (x

 x 3 5x 2   x 2 5x  − 5 x + 3 ln xdx =  − + 3x  ln x − ∫  − + 3 dx = 2 2  3   3 

)

 x 3 5x 2  x 3 5x 2 = − + 3x  ln x − + − 3x + C 2 9 4  3  69.

∫ x e dx = x e 2 x

2 x

(

)

− 2∫ xe x dx = e x x 2 − 2 x + 2 + C

(Lásd a 63. feladat eredményét!) 70.

∫ 1⋅ ln

(

)

xdx = x ln 2 x − 2∫ ln xdx = x ln 2 x − 2 ln x + 2 + C

(Lásd a 67. feladat eredményét!) 71. x2 2 x2 x2 x ln x − ∫ x ln xdx = ln 2 x − ln x + ∫ dx = 2 2 2 2 2 x  1 =  ln 2 x − ln x +  + C 2  2 2 ∫ x ln xdx =

140

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

72.

∫

ln x − ln x −1 − ln x 1 dx = ∫ x −2 ln xdx = − ∫ 2 dx = − +C 2 x x x x x

73. 1 x2 ∫ 2

2x 1+ x

= x 2 1+ x 2 −

dx = 2 3

(

)

1 2 x 2 1 + x 2 − ∫ 4 x 1 + x 2 dx = 2 2 3

(1 + x )

74. x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1)( x − 3) 1

T1 = ∫ 0

(

 x3  1 4 x − 4 x + 3 dx =  − 2 x 2 + 3x  = − 2 + 3 = 3 3 0 3

)

x3  T2 = −2 ∫ x − 4 x + 3 dx = −2  − 2 x 2 + 3x  = 3 1 1 1  4 8 = −2 − 8 + 6 − + 2 − 3 = 3  3 3 8 T = T1 + T2 = 3 2

(

)

75. 1

 ( x − 1) 4  1  = T = −2 ∫ ( x − 1) = −2  2  4  0 0 1

76. T=

8 3

77. Elıször meghatározzuk a metszéspontok abszcisszáit, így megkapjuk az integrációs intervallumot. 4 13 = −x 3x 3 4 = 13x − 3x 2 1  0 = 3 x −  ( x − 4)  3

IV. Integrálszámítás - Megoldások 1 x1 = , x 2 = 4 3 A kérdéses síkidom területe: 4

13x x 2 4  143 4 1 4  13 − − ln x  = + ln ≈ 4,63 T= ∫  − x −  dx =  3 3x  2 3 1  3  1 18 3 12

78. 1

T= ∫ e x = e − 1 0

79. Elıször meghatározzuk a metszéspontok abszcisszáit: x2 = −x x ( x + 1) = 0 x 1 = 0,

x 2 = -1 0

(

)

A kérdéses síkidom területe: T= ∫ − x − x 2 dx = −1

1 6

80. x( x − 3) = 0

2x − x 2 = −x

A metszéspontok abszcisszái: x 1 = 0, 3

(

)

A kérdéses terület: T= ∫ 2 x − x 2 + x dx = 0

x2 =3 27 = 4,5 6

81. x2 = x + 2

( x + 1)( x − 2) = 0 A metszéspontok abszcisszái: x 1 = -1, 2

(

)

A terület: T= ∫ x + 2 − x 2 dx = −1

x2 =2

9 2

82. A metszéspontok abszcisszáinak meghatározása: 1 x 2 = 7 x 2 + 18 9 x = ±1

(

)

141

142

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 1

104 1  A kérdéses terület: T= ∫  7 x 2 + 18 − x 2  dx =   9 27 −1

(

)

83. A metszéspontok abszcisszái: x3 = 3 x x = ±1, x =0 1

A terület: T= 2∫

(

)

x − x 3 dx = 2 ⋅

1 =1 2

84. A metszéspontok abszcisszái: x + 1 = − x2 + 3

( x − 1)( x + 2) = 0 x 1 = 1,

x 2 = -2 1

(

)

A kérdéses terület: T= ∫ − x 2 + 3 − x − 1 dx = −2

9 2

85. A metszéspontok abszcisszáinak meghatározása: −2 x 2 + 16 x − 24 = x 2 − 8 x + 12 3( x − 2)( x − 6) = 0 x 1 = 2, x2 =6 6

(

)

A terület: T= ∫ −3x 2 + 24 x − 36 dx = 32 2

86.

( x + 3)2 = − x 2 + 9 2 x ( x + 3) = 0 x 1 = 0,

x 2 = -3 0

(

)

A terület: T= ∫ −2 x 2 − 6 x dx = 9 −3

IV. Integrálszámítás - Megoldások 87.

( x − 4)2 + 1 = − x 2 + 14 x − 39 2( x − 4)( x − 7) = 0 x 2 = 4,

x2 =7 7

(

)

A terület. T= ∫ −2 x 2 + 22 x − 56 dx = 9 4

88. 8

∫

xdx = 11,25

Nem a kérdéses területet kaptuk.

−1

89. 2

∫ 1 − x dx = 2∫ ( x − 1)dx = 1

A kérdéses területet kaptuk.

90. 10

∫ x dx = ln 3

A kérdéses területet kaptuk.

91. 1

∫ x dx = − ln 2

Nem a kérdéses területet kaptuk.

−2

92. A függvény zérushelyei: −x 4 + 4 = 0 x =± 2 A meredekség meghatározása: f ′( x ) = −4 x 3 f ′(1) = −4 = m Az érintı egyenletének meghatározása: Adott az egyenes egy pontja P(1,3) és a meredeksége: m = 4. Az érintı egyenlete: y = −4 x + 7. 7  Az érintı a  ,0 pontban metszi az x tengelyt. 4 

143

144

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 7  1 T = 3 − 1 − 4  2

∫ (− x

)

+ 4 dx ≈ 0,3995

93. ∞

∫ 1

 −1  1 1  −1  dx = lim ∫ 2 dx = lim   = lim  + 1 = 1 2 x  β →∞ 1 x β →∞  x 1 β →∞  β

94. 1

∫ 0

1 1 1  −1   dx = lim ∫ 2 dx = lim   = lim  −1 +  = ∞ 2  α x α →0 α x α → 0  x α α →0

95. ∞

∫ 1

 −1 1  1 1 1  −1  dx = lim ∫ 3 dx = lim  2  = lim  2 +  = 3 x 2 2 β →∞ 1 x β →∞  2 x 1 β →∞  2β

96. 1

∫ 0

1 1 1   −1  −1  dx = lim ∫ 3 dx = lim  2  = lim  + 2  = ∞ 3  x 2 2α  α →0+ α x α → 0 +  2 x α α →0+

97. β

β   1 1 −4 dx = 3 1 + 3 x dx = =  ( ) 3 lim ∫1 (1 + 3x )4 lim ∫ β →∞ 3 1 β →∞  −9(1 + 3x )    ∞

 1 1  1 + = = lim  3 3 9 ⋅ 4 576 β →∞  −9(1 + 3β ) 

98. 0

0   1 1 1 −2 3(3x − 2) dx = lim   = ∫−∞ (3x − 2)2 dx = lim ∫ 6 α →−∞ 3 α α →−∞  −3(3x − 2)  α 0

99. ∞

∫ 1

∞

 −3  dx = lim  3  = 3 4 β →∞  x 1 x

1 3

100. ∞

1 1 β dx = lim [ln x ]1 = lim (ln β ) = ∞ ∫1 x dx = lim ∫ β →∞ 1 x β →∞ β →∞

IV. Integrálszámítás - Megoldások

145

101. 1

1 1 1 dx = lim [ln x ]α = lim ( − ln α ) = ∞ ∫0 x dx = lim ∫ α →0+ α x α →0+ α →0+ 102. β

∞

[

−x −x −x ∫ e dx = lim ∫ e dx = lim −e

β →∞ 1

β →∞

] = lim ( −e 1

−β

)

+ e −1 = e −1

β →∞

103. ∞

1 dx = lim 2 x x β →∞

[ ]

∫ 1

=∞

104. 1

1 1 dx = lim ∫ dx = lim 2 x + x x α →0 α α →0+

∫ 0

[ ]

105. 3

1 1 1 1 1 dx + lim ∫ 3 dx = ∫−2 3 x dx = −∫2 3 x dx + ∫0 3 x dx = lim ∫ 3 x α → 0− −2 x β →0+ β α

 33 x 2   33 x 2  −33 4 33 9 = lim  +  + lim   = + 2 2 2 2 α →0−  β 0 →      −2  β

106. ∞

∫ 3

1 dx = ∞ x

107. 1

∫ −2

1 1 dx = lim ∫ dx = 2 3 1− x α →1− −2 1 − x

108. 3

∫ 4 3

1 1 2 11 dx = lim ∫ dx = 3 3x − 4 3x − 4 4+ α α→

109. 1

∫ ln xdx = lim ∫ ln xdx = lim [ x ln x − x ]α = lim (−1 − α ln α + α ) = -1 1

α →0+ α

α →0+

146

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár Megjegyzés: A L`Hospital szabály alapján: lim α ln α = 0 α →0 +

110. 1 e

∫ 0

1 e

1 1  −1  e dx = dx = lim lim ∫ 2   =1 x ln 2 x α → 0+ α x ln x α → 0 +  ln x α

111. A g(t ) = 800 m egyenlet megoldásából t=200 nap adódik a teljes vágat elkészítéséhez szükséges idıtartamnak. Ez 200:25=8 hónap, tehát a 6. és 7. hónapban végig folyik még a munka. Meg kell adni, ezen két hónapban hányadik métertıl hányadik méterig haladtak a vágatban ahhoz, hogy a költséget ki tudjuk számolni. Ez a [126,175] idıintervallumot jelenti, ami a vágat hosszára vonatkozóan [546,875;721,875]. 721,875

∫ (4000 + 2 x )dx =922.030,25Ft 546,875

147 V. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK D.5.1. Legyen H ⊆ R n

( H ≠ ∅) !

Az n-változós valós értékő f függvényen egy

olyan hozzárendelést értünk, amely a H halmaznak minden pontjához egy valós számot rendel. Jelölése: f ( X ), f ( x1, x2 ,..., xn ), f : H → R, X a f ( X ) ( X ∈ H ), z = f ( X )

E jelöléseknél X-et változónak, ill. x i -t i-edik változónak nevezzük. f ( X ) egyidejőleg jelöli a függvény értékét, valamint a hozzárendelési módot is. A H halmazt az f függvény értelmezési tartományának, az értelmezési tartomány pontjaihoz rendelt valós számoknak a halmazát a függvény értékkészletének nevezzük. Ábrázolni legfeljebb kétváltozós függvényeket tudunk. Ha a függvény "elég jó tulajdonságú", akkor a függvény grafikonja egy felületet. Szokásos ábrázolás még az ú.n. szintvonalas ábrázolás (térképek). Szintvonalaknak az (x,y) sík azon görbéit nevezzük, ahol f ( x , y ) = c (állandó). Ez a módszer alkalmazható még háromváltozós esetben is, ekkor szintfelületet kapunk. D.5.2. I. Legyen f ( x , y ) kétváltozós függvény értelmezve P0 ( x0 , y0 ) pont egy környezetében! Tekintsük az f ( x , y0 ) függvényt! Ez egy egyváltozós függvény. Ha az

lim x → x0

f ( x , y0 ) függvény differenciálható az x 0 helyen, azaz létezik a

f ( x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) véges határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függx − x0

vény x változója szerint parciálisan differenciálható P0 ( x0 , y0 ) pontban. A fenti határértéket az f függvény P0 ( x0 , y0 ) pontbeli x szerinti parciális differenciálhányadosának nevezzük, és f x′( x0 , y0 ) -lal jelöljük.

148

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

A differenciálhányados-függvényre a következı jelölések használatosak még: ∂z ∂f ( x , y ) ∂f , , , f x′ ∂x ∂x ∂x Hasonlóan az f ( x , y ) kétváltozós függvényt y szerint parciálisan differenciálhatónak nevezzük a P0 ( x0 , y0 ) pontban, ha létezik a következı véges határérték:

lim y → y0

f ( x 0 , y ) − f ( x0 , y0 ) . y − y0

Ezt a határértéket az f ( x , y ) függvény P0 ( x0 , y0 ) pontban vett, y szerinti parciális differenciálhányadosának nevezzük, és f y′( x0 , y0 ) -lal jelöljük. A differenciálhányados-függvényre a következı jelölések használatosak még: ∂z ∂f ( x , y ) ∂f , , , f y′ ∂y ∂y ∂y

II. Ha az f ( X ) = f ( x1 , x2 ,..., x n ) n-változós függvény az A = ( a1 , a2 ,..., an ) pont valamely környezetében értelmezve van és létezik a következı véges határérték: f ( a1, a2 ,..., ai−1 , xi , ai+1,..., an ) − f ( a1, a2 ,..., ai−1, ai , ai+1 ,..., an ) , lim xi − ai xi → ai

(i = 1,2,..., n) akkor azt mondjuk, hogy az f ( X ) függvény x i szerint parciálisan differenciálható az A pontban. A fenti határérték az f ( X ) függvény A pontbeli, x i szerinti parciális differenciálhányadosa. Egy n-változós függvény minden változója szerinti parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvények differenciálhányadosa, amely egyváltozós függvényeket úgy kapjuk, hogy csak azt a független változót tekintjük változónak, ami szerint differenciálni akarunk, a többi konstansnak tekintendı a differenciálás során.

V. Többváltozós függvények

149

Ebbıl következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megismertünk. TÉTELEK

T.5.1. Ha az f ( x , y ) függvény vegyes másodrendő parciális differenciálhányadosai, vagyis az f xy′′( x , y ) és f yx′′ ( x , y ) függvények egy P0 ( x0 , y0 ) pontban folytonosak, akkor e pontban egyenlıek is egymással. T.5.2. Ha a P0 ( x0 , y0 ) pontban az f ( x , y ) függvény elsırendő parciális differenciálhányadosai nullával egyenlık, és a másodrendő parciális differenciálhányadosai folytonosak, akkor 2 f xx′′( x0 , y0 ) f yy′′ ( x0 , y0 ) − f xy′′ ( x0 , y0 ) > 0 (1) esetén f ( x , y ) -nak a P0 ( x0 , y0 ) pontban helyi szélsıértéke van, - mégpedig f xx′′( x0 , y0 ) < 0 esetén helyi maximuma, f xx′′( x0 , y0 ) > 0 esetén helyi minimuma-,

míg ha (1) negatív, akkor f ( x , y ) -nak P0 ( x0 , y0 ) -ban nincs helyi szélsıértéke. 2

Megjegyzés: Ha f xx′′( x0 , y0 ) f yy′′ ( x0 , y0 ) − f xy′′ ( x0 , y0 ) = 0 , akkor a helyi szélsıérték létezésérıl semmi biztosat nem tudunk mondani. Ilyen esetben más eljárással dönthetı el a kérdés.

FELADATOK

Határozzuk meg és rajzoljuk fel az R 2 -nek azt a legbıvebb részhalmazát, ahol a következı függvények értelmezhetık! −( x2 + y2 ) y 1. f ( x, y ) = 2. f ( x, y ) = e x 3.

f ( x, y ) = x + y

f ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2

150

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 1 x + y2 −1

f ( x , y ) = ln ( x + y )

f ( x, y ) =

f ( x, y ) = x 2 − y

f ( x, y ) = 1 − x 2 + y 2 − 1

Határozzuk meg a következı függvények szintvonalait, szemléltessük metszetei vizsgálatával az alábbi egyenletekkel jellemzett felületeket! 9. z=x+y 10. z = 1 − x 2 − y2 1 11. 12. z = x 2 + y2 z= 2 x + y2 −1 13. z2 = x 2 + y2 14. z 2 = x 2 + y2 −1 15. z = x 2 − y2 16. z = x2 + y Számítsuk ki az alábbi függvények elsırendő parciális differenciálhányadosait! 17. f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3xy 18. f ( x, y ) = x 4 + y 4 − 4 x 2 y 2 19.

f ( x , y ) = x 2 − 5xy + y 3 − x + 6

20.

f ( x, y ) = x y

21.

f ( x, y ) =

22.

f ( x, y ) = 1 − x 2 + y 2 − 1

23.

f ( x, y ) = y ⋅ x y

24.

f ( x, y ) = ex

25.

f ( x , y ) = x y ⋅ e− x

26.

f ( x, y ) =

27.

f ( x , y ) = ln ( − x − y )

28.

29.

f ( x, y ) =

31.

f ( x , y ) = ln x + e y

33. 35.

xy x + y2 2

x y2

+ 2 y +1

x2 + y2 x f ( x , y ) = xy + y

30.

f ( x , y ) = x ⋅ e xy

32.

f ( x, y ) =

f ( x , y ) = x y log y x

34.

f ( x , y ) = ln x 2 + y 2

f ( x , y ) = xy ln ( x + y )

36.

 x y 2 f ( x, y ) =  +  e− x  y x

(

)

x x e y

V. Többváltozós függvények

151

Keressük meg a következı függvények helyi szélsıértékeit! 37. f ( x, y ) = 2 + 2 x + 4 y − x 3 − y 3 38.

f ( x , y ) = x 2 − 8 xy + 18 y 2 + 6 x − 28 y + 1

39.

f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 4 xy + 8

40.

f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 − x − 2 y − 1

41.

f ( x , y ) = (1 − x ) + (2 + y ) − 4

42.

f ( x , y ) = 2 x 2 + y 2 − 2 xy + 4 x − 2 y + 5

43.

f ( x, y ) = x 2 − 6 x y 2 − 4 y

44.

f ( x , y ) = x y − 3xy + 2 y

45.

f ( x, y ) =

46.

(

)(

20 50 + + xy x y x + y xy f ( x, y ) = + xy 27

47.

f ( x , y ) = (3 − 2 x + y )e − y

48.

f ( x, y ) = e

49.

)

(

− x 2 − 2 xy + 2 y 2

)

Egy üzem két új terméket hoz forgalomba, jelöljük A-val az egyiket és Bvel a másikat! Az A önköltsége 25 Ft darabonként, a B-é pedig 30 Ft. A kereslet meghatározásának céljából piackutatást is végeztek. Azt találták, hogy ha x ill. y az A ill. B eladási ára, akkor az A és B termék iránti 1000 darabonkénti heti keresletet a k A = 5( y − x ) ill. k B = 30 + 5 x − 5, 75 y függvények írják le. Milyen eladási árak mellett érné el az üzem a maximális tiszta összbevételt?

152

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

153 V. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK - MEGOLDÁSOK

1. D f = ( R \ {0}) × R

2. Df = R × R = R2

(

D f = R × R + ∪ {0}

)

4. Df =

{( x, y)( x, y) ∈ R , x 2

}

+ y 2 ≤ 1 , azaz az x 2 + y 2 = 1 egyenlető kör-

vonalon és a körlap belsı pontjaiban értelmezett a függvény. 5. Df =

{( x, y)( x, y) ∈ R , x + y > 0} , azaz az y = − x egyenlető egyenes fö2

lötti pontok halmaza a függvény értelmezési tartománya. 6.

Df =

{( x, y)( x, y) ∈ R , x 2

}

+ y 2 ≠ 1 azaz az (x,y) sík pontjai, kivéve az

origó körüli egységsugarú körvonal pontjai alkotják a függvény értelemzési tartományát. 7.

Df =

{( x, y)( x, y) ∈ R , x 2

}

≥ y , azaz az (x,y) sík y = x 2 egyenlető para-

bolájának pontjai és a görbe alatti pontok alkotják a függvény értelmezési tartományát. 8.

Df =

{( x, y)( x, y) ∈ R , −1 ≤ x ≤ 1 2

(y ≥1

vagy

}

y ≤ −1)

9. Vegyük észre, hogy az egyenlet egy sík egyenlete! A szintvonalak: c = x + y egyenlető egyenesek; az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = c + y egyenlető egyenesek; az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = x + c egyenlető egyenesek.

154

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

xy sík -5

2 -3

-1 -1

5-5

10. A szintvonalak: c = 1 − x 2 − y 2

(0 ≤ c ≤ 1);

1 − c 2 = x 2 + y 2 egyenlető

körök. (Minél nagyobb c , annál kisebb a kör sugara, valamint minden c re origó középpontú kört kapunk. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = 1 − c2 − y 2

( −1 ≤ c ≤ 1);

1 − c 2 = z 2 + y 2 egyenlető körök,valamint

az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek:

z = 1 − x 2 − c2

(−1 ≤ c ≤ 1);

1 − c 2 = z 2 + x 2 egyenlető körök.

A felület: félgömb. z=1

z z=0,8

z=0,6

z=0,4

z=0

z=0,2

1 0 -1

1 -1

V. Többváltozós függvények - Megoldások

155

11. A szintvonalak: c = x 2 + y 2 egyenlető körök; az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = c2 + y 2 egyenlető egyenes állású parabolák.valamint az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = x 2 + c2 egyenlető egyenes állású parabolák. A felület egy egyenes állású forgási paraboloid, aminek csúcsa az origóban van, szimmetriatengelye pedig a z tengely. Az z = x 2 egyenlető parabolát kell a z tengely körül megforgatni, hogy az f ( x , y ) függvény grafikonját megkapjuk. z 50

z=5+y 2

40 30

z=20

20 10

z=0

5 -5

-3

-1

-5 -3 -1

12. 1 1 ; x 2 + y 2 = + 1 egyenlető körök. Ez 2 c x + y −1 azt jelenti, hogy a felület z tengelyő forgásfelület. Tekintsük a felületnek az (x,z) síkkal való metszetét! Ekkor 1 . Ennek a függvénynek a grafikonját kell a z teny = 0, f ( x ,0) = 2 x −1 gely körül megforgatni, hogy az f ( x , y ) függvény grafikonját megkapA szintvonalak: c =

juk. 13. A szintvonalak c2 = x 2 + y 2 egyenlető körök. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetei: z 2 = c2 + y 2 egyenlető hiperbolák, ha c ≠ 0; ha c = 0 , akkor z = y és z = − y egyenlető egyenesek. Hasonlóan adódnak az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek, mivel a felület z tengelyő forgásfelület. Elegendı az z = y és z = − y egyenlető egyeneseket a z tengely körül megforgatni,

156

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár hogy megkapjuk a felületet, ami egy kettıs körkúpfelület. (Az ábrán a fele látszik.) z 8

0 -5

-3

-1

5 -5

-3

-1

14. Df =

{( x, y)( x, y) ∈ R , x 2

}

+ y2 ≥ 1

c2 + 1 = x 2 + y 2

szintvonalak

egyenlető körök. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetei : z 2 − y 2 = c 2 − 1 egyenlető hiperbolák. Hasonlóan adódnak az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek, mivel a felület z tengelyő forgásfelület. Az x 2 − z 2 = 1 egyenlető hiperbola z tengely körüli megforgatásával kapjuk, tehát forgási hiperboloid a felület. (Az ábrán a felsı fele látszik.) z 5 4 3 2 1 0 -3

-1,5

-0

1,5

3 -3

-1,5

1,5

V. Többváltozós függvények - Megoldások

157

15. A szintvonalak c = x 2 − y 2 egyenlető hiperbolák. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = c2 − y 2 egyenlető fordított állású parabolák, az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = x 2 − c2 egyenlető egyenes állású parabolák. A felületet nyeregfelületnek, hiperbolikus paraboloidnak nevezzük. z

25 20 15 10 5 0 -5 -10 5

-15 2,5

-20

0 5

2,5

-2,5

-5

-25

-2,5

-5

16. A szintvonalak: c = x 2 + y egyenlető parabolák. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = c2 + y egyenlető egyenesek, az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek: z = x 2 + c egyenlető parabolák. 17. f x′( x , y ) = 3x 2 − 3 y

f y′( x , y ) = 3 y 2 − 3x

f x′( x , y ) = 4 x 3 − 8 xy 2

f y′( x , y ) = 4 y 3 − 8 x 2 y

f x′( x , y ) = 2 x − 5 y − 1

f y′( x , y ) = −5x + 3 y 2

18. 19.

158

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

20. f x′( x , y ) = yx y −1

f y′( x , y ) = x y ln x

21. f x′( x , y ) =

(

)

y x 2 + y2 − 2x 2 y

2 2

)

(

y y2 − x2

)

2 2

)

f y′( x , y ) =

(

x x2 − y2

)

2 2

)

22. f x′( x , y ) =

−x 1− x

f y′( x , y ) =

y 2

y −1

23. f x′( x , y ) = y 2 x y −1

f y′( x , y ) = x y + yx y ln x

24. f x′( x , y ) = 2 x ⋅ e x

+ 2 y +1

f y′( x , y ) = 2e x

+ 2 y +1

25. f x′( x , y ) = yx y −1e − x − x y e− x

f y′( x , y ) = e − x ⋅ x y ln x

26. x2 + y2 − x

2 x2 + y2 x2 + y2

f x′( x , y ) =

f y′( x , y ) =

− xy

+ y2

27. f x′( x , y ) =

1 x+ y

f y′( x , y ) =

1 x+ y

28. f x′( x , y ) = y +

1 y

 1 f y′( x , y ) = x 1 − 2  y  

29. f x′( x , y ) =

1 y2

f y′( x , y ) =

−2 x y3

30. f x′( x , y ) = e xy ( xy + 1)

f y′( x , y ) = x 2e xy

31. f x′( x , y ) =

1 x + ey

f y′( x , y ) =

ey x + ey

)

V. Többváltozós függvények - Megoldások

159

32. f x′( x , y ) =

1 xy x xy − y e + e ⋅ 2 y y x

f x′( x , y ) =

x y −1 ( y ln x + 1) ln y

f x′( x , y ) =

x x + y2

y 1 x  f y′( x , y ) = e x  − 2  y y 

33. f y′( x , y ) = x y

ln x  1   ln x −  ln y  y ln y 

34. f y′( x , y ) =

y x + y2 2

35. f x′( x , y ) = y ln( x + y ) +

xy x+ y

f y′( x , y ) = x ln ( x + y ) +

xy x+ y

36.  1 y  2  x y 2 f x′( x , y ) =  − 2  e − x +  +  e − x ( −2 x ) y x   y x 2  −x 1 f y′( x , y ) = e− x  2 +  x y

37. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = 2 − 3x 2 f xx′′( x , y ) = −6 x f y′( x , y ) = 4 − 3 y 2

f yy′′( x , y ) = −6 y

f x′( x , y ) = 0 ⇔

x=±

6 3

f y′( x , y ) = 0 ⇔

y=±

2 3 3

 6 2 3 P1  ,  3   3

f xy′′( x , y ) = f yx′′ ( x , y ) = 0  6 −2 P2  , 3  3

 − 6 2 3 P3  ,  3   3

3  

 − 6 −2 3  P4  ,  3   3

f xx′′( Pi ) f yy′′ ( Pi ) − f xy′′ ( Pi ) > 0 reláció P1 és P4 pontokra teljesül. Tehát ezeken a helyeken van a függvénynek helyi szélsıértéke, mégpedig mivel f xx′′( P1 ) < 0 , ezért P1 -ben helyi maximum van, és mivel f xx′′( P4 ) > 0 , ezért P4 -ben helyi minimum. P2 , P3 pontokban nincs helyi szélsıértéke a függ2 vénynek., mert f xx′′( P2 ) f yy′′ ( P2 ) − f xy′′ ( P2 ) < 0 teljesül, P3 -ra hasonlóan.

160

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

38. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = 2 x − 8 y + 6 f xx′′( x , y ) = 2 f y′( x , y ) = −8 x + 36 y − 28 A

f yy′′ ( x , y ) = 36

f xy′′( x , y ) = −8

2x − 8 y + 6 = 0   egyenletrendszer megoldása: x = 1, y = 1 . A −8 x + 36 y − 28 = 0

P(1, 1) pontban lehet csak helyi szélsıértéke a függvénynek. Itt van is, 2

mivel f xx′′( P) f yy′′ ( P) − f xy′′ ( P) = 8 > 0 , mégpedig helyi minimum, mivel f xx′′( P) > 0 . 39. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = 4 x 3 − 4 y f xx′′( x , y ) = 12 x 2 f y′( x , y ) = 4 y 3 − 4 x

f yy′′ ( x , y ) = 12 y 2

4 x 3 − 4 y = 0  4 y 3 − 4 x = 0

f xy′′( x , y ) = −4

x9 − x = 0

(

)(

)

x ( x − 1)( x + 1) x 2 + 1 x 4 + 1 = 0

A P1(0,0), P2 (11 , ), P3 ( −1,−1) pontokban lehet a függvénynek helyi szél2

sıértéke. f xx′′( P) f yy′′ ( P) − f xy′′ ( P) kifejezés a P2 , P3 -ban pozitív, ezért itt vannak helyi szélsıértékek, mégpedig mindkét pontban helyi minimum, mivel f xx′′( P) > 0 mindkét pontra. A P1 pontban nincs helyi szélsıérték. 40. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = 2 x − 1 f xx′′( x , y ) = 2 f y′( x , y ) = 4 y − 2 f yy′′ ( x , y ) = 4 f xy′′( x , y ) = 0  1 1 P ,   2 2

pontban a függvénynek helyi minimuma van, mivel 2

f xx′′( P) f yy′′ ( P) − f xy′′ ( P) pozitív itt, és f xx′′( P) > 0 .

V. Többváltozós függvények - Megoldások

161

41. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = −2(1 − x ) f xx′′( x , y ) = 2 f y′( x , y ) = 2( y + 2) f yy′′ ( x , y ) = 2 f xy′′( x , y ) = 0 P(1,−2) pontban a függvénynek helyi minimuma van, mivel

f xx′′( P) f yy′′ ( P) − f xy′′ ( P) pozitív, és f xx′′( P) > 0 . 42. A P( −1,0) pontban helyi minimuma van a függvénynek. 43. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = (2 x − 6) y 2 − 4 y f xx′′( x , y ) = 2 y 2 − 4 y

( f ′( x , y ) = ( 2 y − 4)( x y

) − 6x)

( f ′′ ( x , y ) = 2( x yy

) − 6x)

f xy′′( x , y ) = (2 x − 6)(2 y − 4)

(2 x − 6)( y 2 − 4 y ) = 0  (2 y − 4)( x 2 − 6 x ) = 0 

egyenletrendszer megoldása után a szélsıérték le-

hetséges helyei: P1(3,2) P2 (0,0) P3 (6,0) P4 (0,4) P5 (6,4) . Az

f xx′′( P) f yy′′ ( P) − f xy′′ ( P)

kifejezés csak P1(3,2) -re pozitív, csak itt van helyi szélsıérték, mégpedig maximum, mivel f xx′′( P1 ) < 0 . 44. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = 2 xy − 3 y f xx′′( x , y ) = 2 y 2 3 f y′( x , y ) = x − 3x + 8 y f yy′′ ( x , y ) = 24 y 2 f xy′′( x , y ) = 2 x − 3

162

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár   egyenletrendszer megoldása után a szélsıérték lehetx − 3x + 8 y = 0 3 9 séges helyei: P1(0,0) P2 (3,0) P3  , 3  . A P3 -ban helyi szélsıérték  2 32 

(2 x − 3) y = 0

van, mivel csak erre teljesül az f xx′′( P) f yy′′ ( P) − f xy′′ ( P) > 0 egyenlıtlenség. E pontban helyi minimuma van a függvénynek. 45. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! −20 40 f x′( x , y ) = 2 + y f xx′′( x , y ) = 3 x x −50 100 f y′( x , y ) = 2 + x f yy′′ ( x , y ) = 3 f xy′′( x , y ) = 1 y y A P(2,5) pontban helyi minimuma van a függvénynek. 46. A P(3,3) pontban helyi minimuma van a függvénynek. 47. 2

Mivel f x′( x , y ) = −2e− y sehol nem 0, ezért a függvénynek nincsen helyi szélsıértéke. 48. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányadosait! f x′( x , y ) = −(2 x − 2 y )e

(

− x 2 − 2 xy + 2 y 2

f y′( x , y ) = −( −2 x + 4 y )e

(

)

− x 2 − 2 xy + 2 y 2

)

( ) ( ( f ′′ ( x , y ) = ( 4 x + 16 y − 16 xy − 4)e ( f ′′( x , y ) = [( −2 x + 4 y )(2 x − 2 y ) + 2]e f xx′′( x , y ) = 4 x 2 + 4 y 2 − 8 xy − 2 e 2

− x 2 − 2 xy + 2 y 2

)

− x 2 − 2 xy + 2 y 2

)

− x 2 − 2 xy + 2 y 2

)

−2 x + 2 y = 0  egyenletrendszer megoldásából adódik, hogy a P(0,0) −4 y + 2 x = 0

pontban lehet helyi szélsıérték. Itt van is, mégpedig helyi maximum.

V. Többváltozós függvények - Megoldások

163

49. Az A jelő termékbıl a tiszta bevétel: 5000( y − x )( x − 25) , a B jelő termékbıl: 1000(30 + 5 x − 5,75 y )( y − 30) . A két termék eladásából származó tiszta bevétel összesen: f ( x , y ) = 1000 5( y − x )( x − 25) + (30 + 5 x − 5,75 y )( y − 30) .

[

]

Ennek

függvénynek az abszolút szélsıértékeit keressük. f y′( x , y ) = 1000(10 x − 11,5 y + 77,5) f x′( x , y ) = 1000(10( y − x ) − 25) −10 x + 10 y − 25 = 0   egyenletrendszer megoldásából a lehetséges szél10 x − 11,5 y + 77,5 = 0 sıértékhely: P(32,5; 35) . Itt valóban van szélsıérték, mégpedig maximum.

164

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

165 VI. MÁTRIXOK D.6.1. Bármilyen n ⋅ m számú aij

(i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m)

elrendezését n ⋅ m típusú mátrixnak nevezzük:   a11 a12 L  A := a21 a22 L n⋅m M M a  n1 a n 2 L

elem alábbi téglalap alakú

 a1m   a2 m  M  a nm 

Az n ⋅ m típusú mátrixnak n sora és m oszlopa van. Az aij -k a mátrix elemei, az indexelés az elem helyét jelöli a mátrixban: aij az i-edik sor j-edik oszlopában áll. A mátrix elemei lehetnek valós számok, komplex számok, vektorok, mátrixok, függvények, stb. Egy n ⋅ m típusú mátrix jelölése: A = aij , vagy ha a típus feltüntetésére nincs n⋅m

n, m

szükségünk, lehet A ill. aij jelölést is használni. D.6.2. Speciális mátrixok -Az 1 ⋅ m típusú mátrixot sorvektornak nevezzük és jelölésére latin kisbetőt használunk. Az oszlopvektortól való megkülönböztetés céljából * jel* lel látjuk el.: a . -Az n⋅1 típusú mátrixot oszlopvektornak nevezzük és latin kisbetővel jelöljük. -Az olyan oszlop- vagy sorvektort, aminek egyetlen eleme egyes, az öszszes többi zérus, egységvektornak nevezzük. * Jele: e i illetve e i , ahol i azt mutatja, hogy a vektor hányadik eleme az egyes. -Az olyan oszlop- vagy sorvektort, aminek minden eleme egyes, * összegzıvektornak nevezzük. Jelölése: 1 illetve 1 . -Az n ⋅ n típusú mátrixot n-edrendő kvadratikus vagy négyzetes mátrixnak nevezzük.

166

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár -Az olyan kvadratikus mátrixot, amelynek a fıátlón kívüli minden eleme zérus, diagonális mátrixnak nevezzük. Rövidebb jelölésére az a11 , a 22 ,..., a nn szimbólumot használjuk. -Az olyan diagonális mátrixot, aminek fıátlójában csupa egyes áll, egységmátrixnak nevezzük. Jele: E n . -Az olyan kvadratikus mátrixot, aminek minden sora és minden oszlopa egységvektor, permutáló mátrixnak nevezzük. -Az olyan kvadratikus mátrixot, amelynek a fıátlóra szimmetrikus elemei egyenlıek egymással, azaz ∀i , j − re a ij = a ji , szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Mátrixok közötti relációk D.6.3.

[a ]

ij n ,m

[ ]

= bij

n ,m

⇔ a ij = bij

(i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m)

Két mátrix egyenlı, ha megfelelı helyein álló elemek rendre egyenlıek.

D.6.4.

[a ]

ij n ,m

[ ]

≤ bij

n ,m

⇔ a ij ≤ bij

(i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m)

(Megjegyzés: Vannak olyan mátrixok, amelyek nem összehasonlíthatók a " ≤ " reláció szerint.) Mőveletek mátrixokkal D.6.5. Az A mátrix transzponáltján a következı mátrixot értjük: * * A = a ij n ,m := a ji m,n

[ ]

D.6.6. Az A és B mátrixok összegét a következı módon definiáljuk: a ij n ,m + bij n ,m := a ij + bij n ,m

[ ]

[

]

VI. Mátrixok

167

Megjegyzés: Az értelmezésbıl látható, hogy csak olyan mátrixok esetén értelmezzük az összeadást, amikor a két mátrixnak megegyezik a típusa. D.6.7. Az A mátrix λ -szorosát a következı módon definiáljuk: λ a ij n ,m := λa ij n ,m

[ ]

D.6.8. Két mátrix szorzatát a következıképpen értelmezzük:

[a ] ⋅ [b ] ij n ,m

ij m , p

, ahol cij : = ∑ a it ⋅ btj n, p

[ ]

: = cij

(i = 1,2,..., n; j = 1,2,... , p)

t =1

Azaz a szorzatmátrix i-edik sorának j-edik oszlopában az elsı tényezı i-edik sorvektorának és a második tényezı j-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata áll. Megjegyzés: Az értelmezésbıl látható, hogy csak olyan mátrixok esetén értelmezzük a szorzást, ahol az "elsı" mátrix oszlopindexe megegyezik a " második" mátrix sorindexével. D.6.9. Ha az A1, A 2 ,..., A k azonos típusú mátrixokat rendre megszorozzuk a λ 1, λ 2 ,..., λ k skalárokkal, és a kapott szorzatokat összeadjuk, akkor azt mondjuk, hogy az A1, A 2 ,..., A k mátrixoknak egy lineáris kombinációját képeztük. B = λ1 A1 + λ 2 A 2 +... + λ k A k .

FELADATOK

Írjuk fel a következı lineáris kombinációk által meghatározott mátrixot! a) A + 2B − C , ahol 1 0 −5 4 1 0   −1 1 0  3 1 2  2 −4 1     B=  C =  4 0 2 A=  0 −2 1  0 3 5   3 2 1       4 −3 4  1 0 −1  0 3 6

168

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

b) −2A + B − C , 1 −1 A = 0 2 2 −3

ahol 3 −2   1 −1 1 −2  0 3 6 5    5 −3 B = −1 7 4 5  C =  −1 −5 4 3   1 6 −1 −2  0 1 0 −1 4 8 

2. Határozzuk meg, hogy az a1, a2 , a3 vektoroknak melyik lineáris kombinációja állítja elı a c vektor, ha 1 2 1 0       a 1 =  0  a 2 = −1 a 3 = −1 és c =  3  −1  1   1  −5 3. Határozzuk meg, hogy az A1, A 2 , A 3 , A 4 mátrixoknak melyik lineáris kombinációja állítja elı a C mátrixot, ha  1 0 4 −1  −2 0   3 2 −2 5 A1 =  A2 =  A3 =  A4 =  C=      −1 1  −1 1  −1 2  0 −1  1 −2  Végezzük el a következı szorzásokat!

1  1 2 −1 1     3 0 1 5 ⋅  1    2 −1 2 1 2   −1

 0 1 −1 2 −1 0 [2 −3 1 1] ⋅ 1 −1 1  0 2 0

2 1 0  1

 2 −1 4   −1 0 2   2    ⋅ −1  3 1 −2      −1 −4 2 −1

VI. Mátrixok

169

 2 0 −3 1   −1 1 1 4  7. [1 2 −1 1] ⋅  1 −1 2 2     0 4 −1 −3 8. Bizonyítsuk be, hogy ha egy adott n ⋅ m típusú A mátrixot jobbról szorzunk egy m-edrendő egységvektorral, akkor eredményül A mátrix egy oszlopvektorát kapjuk, mégpedig annyiadik oszlopot, ahányadik sorban az egyes van az egységvektorban, azaz a   1j  aij ⋅ e j =  a2 j  n ,m M  ( m,1)   anj 

[ ]

Ha pedig az adott A mátrixot balról megszorozzuk az n-edrendő i-edik egységvektorral, akkor az A mátrix i-edik sorvektorát kapjuk. 9.

Bizonyítsuk be, hogy

*⋅

( 1,n )

10.

A ⋅e j = a

( n ,m ) ( m,1)

Bizonyítsuk be, hogy * ei ⋅ nA,m ⋅ m1,1 = ai1 + ai 2 +...+aim , ( ) ( ) ( 1,n )

azaz a szorzat az A mátrix i-edik sorában álló elemek összegét adja, valamint * 1 ⋅ A ⋅ e j = a1 j + a 2 j +...+a nj , ( 1,n ) ( n ,m) ( m,1)

azaz a szorzat az A mátrix j-edik oszlopában álló elemek összegét adja. 11.

Bizonyítsuk be, hogy 1* ⋅

A⋅ 1

szorzat skalár és A mátrix elemei ösz-

( 1,n ) ( n ,m ) ( m,1)

szegével egyenlı. Határozzuk meg az A ⋅ B és B ⋅ A mátrixokat (ha léteznek)!

170

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

12.

 1 3 −4  2 0 5   A= −1 2 2    3 −4 1 

13.

1 2 1 A=  2 4 2

14.

1 2 A=  −1  0

15.

 3 5 −2  A = 1 −2 3  2 −1 0 

16.

 4 5 8 1 1 1   A = −1 0 7  B = 1 1 1  3 −2 1 1 1 1

 3 2 −5 0  B = 1 4 −1 3  2 2 4 −3

3 1 B =  1 −1 −5 1 

3 0 4 0 −1 B=  1  0 −1 0   2 1 1 1 B = 1 1 1 1 1 1

Milyen következtetést tudunk levonni a fenti példák alapján a mátrixok közti szorzás kommutativitására vonatkozóan? 17.

Szorozzuk meg az A mátrixot mindkét oldalról a transzponáltjával:  1 3 −2  A =  5 −1 0  −3 2 −2

18.

Határozzuk meg a P = P ⋅ P szorzatot, ha

VI. Mátrixok

171

 2 −2 −4  P = −1 3 4  (projektormátrix).  1 −2 −3 3

19.

Határozzuk meg az N mátrixot, ha 1 1 3 N =  5 2 6  −2 −1 −3

20.

Mutassuk meg, hogy A ⋅ B = B ⋅ A , ha 1 2 3 −2 −1 −6   A =  3 2 0  B =  3 2 9  −1 −1 −1  −1 −1 −4 

21.

Adjuk meg az A ⋅ P és P ⋅ A mátrixokat, ha 4 −1 0 5 0 1 0 0  3 7 1 4    P = 0 0 1 0 A= 1 0 0 0 8 −5 −3 0     2 1 0 3 0 0 0 1 Észrevételei alapján válaszoljon az alábbi kérdésekre! a) Milyen permutáló mátrixszal kell egy tetszıleges negyedrendő mátrixot megszorozni ahhoz, hogy az elsı sorából harmadik, a második sorból elsı, a harmadik sorból negyedik, és a negyedik sorból második legyen? b) Milyen permutáló mátrixszal kell egy tetszıleges negyedrendő mátriszot megszorozni ahhoz, hogy az elsı oszlopából negyedik, a második oszlopából elsı, a negyedik oszlopából második legyen, a harmadik oszlop pedig a helyén maradjon? c) Indokoljuk meg az egységmátrix, mint speciális permutáló mátrix elnevezésének jogosságát! 22. Szorozzuk meg az elızı feladatban szereplı A mátrixot a következı diagonális mátrixszal jobbról, majd balról, majd fogalmazzuk meg, mit tapasztaltunk! D = 5,−3,0,1

172

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

23. Egy üzem három erıforrás felhasználásával négyféle terméket állít elı. A termékegységekre vonatkozó ráfordításokat (technológiai együtthatókat), az erıforrások egységárait, valamint az egyes termékekbıl gyártandó mennyiségeket (valamilyen egységben) az alábbi táblázat mutatja:

I. erıforrás II. erıforrás III. erıforrás Gyártandó mennyiség

1. termék

2. termék

3. termék

4. termék

4 1 2 100

3 3 1 200

5 0 2 300

2 3 2 100

Az erıforrások egységárai 6 10 12

A termékek elıállításakor -a felsorolt erıforrásokon kívül- még egyéb költségek (szerelési, csomagolási költségek stb.) is felmerülnek. Ezek nagysága az egyes termékekre vonatkozóan rendre: 22, 10, 16, 34. A termékek eladási ára a sorrendnek megfelelıen: 120, 140, 100, 110. Írjuk fel, majd számítsuk ki mátrixmőveletek segítségével, hogy mennyi a) az adott termelési programnak az erıforrásszükséglete, b) az egyes termékek önköltsége (elıállítási+egyéb), c) az adott termelési program megvalósítása révén az üzem árbevétele, d) az üzem nyeresége! 24. Egy üzem három erıforrás ségítségével négyféle terméket készít, a termelés technológiai mátrixa a következı táblázatból kiolvasható:

E1 E2 E3

T1 1 0 2

T2 3 2 1

T3 2 3 1

T4 4 3 2

Határozzuk meg a termelés anyagköltségét, erıforrásszükségletét, az egyes termékek egységre esı ú.n. fajlagos anyagköltségét, ha az üzemnek az egyes termékekbıl rendre 40, 25, 60, 50 db-ot kell elıállítania és az erıforrások egységárai rendre 10, 12, 8 egység! Végrehajtható-e a termelési program, ha az üzemnek az erıforrásokból rendre 450, 400, 300 egység áll rendelkezésre?

VI. Mátrixok

173

25. Egy élelmiszerüzletben egy eladó I., II., III., típusú ajándékcsomag összeállítására vesz fel rendeléseket, mégpedig az elsıbıl 3 db-ot, a másodikból 5 dbot, a harmadikból 4 db-ot. Az egyes csomagfajták összeállítását a következı táblázat mutatja (az egységeket megfelelıen választva tüntetjük fel): csokoládé (dkg) 25 20 0

I. csomag II. csomag III. csomag

ital (üveg) 1 1 2

kávé (doboz) 3 5 4

virág (szál) 2 3 2

a) Határozzuk meg az összes megrendelt csomag összeállításához szükséges árumennyiséget mátrixmőveletekkel, majd számoljuk is ki! b) Ha 10 dkg csokoládé 50 Ft, 1 üveg ital 200 Ft, 1 doboz kávé 350 Ft és 1 szál virág 60 Ft, akkor adjuk meg az egyes ajándékcsomag típusok értékét, majd az összes elkészített ajándékcsomag értékét! 26. Egy üzem N1, N2 nyersanyagokból az elsı munkafázisban F1, F2, F3, félkészterméket állít elı, majd ezekbıl a második munkafázisban V1 és V2 végterméket. Az egyes termékek egységenkénti anyag-, ill. félkésztermékszükségletét az alábbi táblázat mutatja: N1 N2

F1 5 1

F2 3 4

F3 2 6

F1 F2 F3

V1 1 2 5

V2 3 4 2

Melyik nyersanyagból mennyi szükséges az egyes végtermékekhez, és mekkora a nyersanyagszükséglet, ha V1-bıl 2000, V2-bıl 3000 egységet gyártanak? 27. Hat vállalat egymástól termékeket vásárol. A vállalatok jelei legyenek V1, V2,...,V6. Ezek a vállalatok egymástól a következı forintértékben vásárolnak: Vásárló vállalat V1 V1 V2 V2 V2 V2 V3 V3

Vásárolt érték (1000 Ft) 10000 5000 9000 4000 7000 1000 5000 8000

Eladó vállalat V2 V5 V3 V4 V5 V6 V1 V2

174

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár V3 V4 V4 V4 V5 V5 V6 V6 V6

2000 4000 5000 12000 8000 3000 2000 3000 5000

V4 V1 V3 V6 V1 V4 V2 V4 V5

Határozzuk meg mátrixaritmetikai eszközökkel, hogy mennyit vásárolnak az egyes vállalatok a többi vállalattól, ill. az egyes vállalatoktól mennyit vásárol a többi vállalat! Mennyi lesz az összes kezelési költség, ha ez a vásárolt értékek 5%-át teszi ki? 28. A Tatabányai Szénbányák Vállalat egy adott évben több szénféleséget termelt. Az elıállított szénféleségeket nagy számú vállalat vette át, ill. exportálta. E szénfajták közül az alábbiakból volt a legjelentısebb a termelés: Tatabányai kocka: S1 Tatabányai dió: S2 Felsıgallai dió: S3 Tatabányai rostált dara: S4 Dorogi rostált dara: S5 Tatabányai por: S6 Az adott évben a vállalat által termelt szénféleségek legnagyobb vásárlói a következık: Tatabányai Cement és Mészmő V1 Tatabányai Hıerımő V2 Dorogi Brikettgyár V3 MÁV V4 TÜKER V5 LIGNIMPEX (exportra) V6 Az adott évben az egyes szénféleségekbıl a felsorolt vásárlók által vásárolt mennyiségek az alábbi táblázatból olvashatók le. A táblázatban levı számok 1000 tonnákat jelentenek.

S1 S2

10 25

30 0

0 0

50 75

65 85

5 45

A szénfajták egységárai Ft/tonna 597 559

VI. Mátrixok S3 S4 S5 S6

20 0 0 0

15 0 25 130

0 0 50 35

30 25 25 0

120 35 0 0

175 0 150 0 0

527 135 195 140

A megvásárolt szénféleségek elszállítását (a vásárlókhoz) a Vállalat végzi 1 Ftért tonnakilóméterenként, melyet a vásárló fizet. A vásárlók átlagos távolsága a Vállalattól rendre 10, 15, 30, 70, 70, 180 km. Az exportra történı szállításnál az átlagtávolság a Vállalat és a határállomás közti távolságból adódik, mivel a határon túli szállítást a vásárló külföldi cég végzi. Feleljen mátrixmőveletekkel a következı kérdésekre: a) Az adott évben mennyi volt a fenti szénféleségekbıl a Vállalat összforgalma tonnában kifejezve? b) Az egyes vásárlók hány tonna szénféleséget vettek (külön-külön)? c) Az egyes vásárlók hány Ft-ért vásároltak szénféleségeket (külön-külön)? d) Mennyi volt a fuvarköltség vásárlónként? e) Mennyi volt a Vállalat bruttó bevétele (fuvarral együtt)? 29. Egy üzemben 1,2,...,j,...,m számú termékfajtát gyártanak 1,2,...,i,...,n számú erıforrás felhasználásával. Jelentse: aij = A a fajlagos erıforrásigényt,

[ ]

d j = d a termékekbıl óránként gyártott mennyiséget, tj = t

ni = n

kj = k

a termékek egységárát,

* *

az erıforrások egységárát, a termékeket terhelı egyéb költségeket, a napi munkaórák számát.

Írjuk fel a következı kérdésekre a feleleteket mátrixaritmetikai jelölésekkel: a) Mennyi a napi erıforrás-felhasználás erıforrásonként és összesen? b) Mennyi a napi nyereség a j-edik termékbıl, és mennyi az üzem összes nyeresége?

176

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

Feleljünk a fenti kérdésekre, ha 5  70  12     15 3 0 0 5 8 2 7 120    A = 2 6 10 0 0 d = 12 t = 250 n = 5 k =  8  h = 8 j = 2       5 5 3 2 5 3 6 340 6  2   80   7  30. 3 utazási iroda 4 országba szervez utat. Az utak árait és az irodáknál jelentkezık számát az alábbi táblázat mutatja: Cooptourist Ibusz Expressz Az utak ára.

Csehország 15 23 30 15000

Görögország 40 37 41 35000

Franciaország 23 18 12 45000

Szlovénia 21 25 30 20000

Adjuk meg mátrixmőveletekkel a következı kérdésekre a válaszokat: a) Hányan jelentkeztek összesen a négy útra az Ibusznál? b) A négy útra mennyit fizettek be összesen az Expressznél? c) A három iroda szervezésében összesen hányan utaztak Franciaországba? d) A csehországi útra jelentkezık összesen mennyi pénzt fizettek be a három irodánál? e) Hányan jelentkeztek a három irodánál összesen a négy külföldi útra? 31. Három üzletben háromfajta mosópor forgalmát vizsgálták egy adott napon. Az elsı táblázat a 2,4 kg-os mosóporok egységárát mutatja a három üzletben, a második táblázat az eladott mennyiségeket. Tomi Spar 570 Profi 530 Plus 550

Biopon 725 690 710

Ariel 715 650 700

Spar Profi Plus

Tomi 120 250 230

Biopon 140 250 240

Ariel 150 270 250

Adjuk meg mátrixmőveletekkel a következı kérdésekre a válaszokat: a) Mennyi volt a Spar adott napi összbevétele a három mosópor eladásából? b) Hányan vásároltak az adott napon a három üzletben összesen Biopont? c) Milyen értékben vásároltak Arielt a három üzletben összesen?

177 VI. MÁTRIXOK - MEGOLDÁSOK

1. a)

10 1 −5  3 −7 2   A + 2B − C =  −3 2 10     6 −6 −4  −1 −2 −11 −3  −2 A + B − C =  0 8 −10 8  −3 11 −9 −17

2. x a1 + ya2 + za3 = c, azaz a következı egyenletrenszert kell megoldani:

x + 2y + z = 0   −y − z = 3  − x + y + z = −5 x + 2 y + z = 0  y + z = −3  3 y + 2 z = −5  x−z=0  y + z = −3 − z = 4  x=2  y =1  z = −4 

Tehát a keresett lineáris kombináció:

2a 1 + a 2 − 4 a 3 = c

178

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

3. x A1 + y A2 + z A3 + t A4 = C

x + 4 y − 2 z + 3t = −2  x=2  − y + 2t = 5 y = −1   egyenletrendszer megoldása: − x + z − t = −1  z=3  2x − y − 2z + t = 1  t=2

Tehát a keresett lineáris kombináció: 2 A1 − A2 + 3 A3 + 2 A4 = C

4. 5. 6. 7.

[0,0,1] [1,−4,7,−9] [ −5,6,−1,2] [ −1,7,−4,4]

8.  a11 a  21  M  a n1

0 M  a12 ... a1 j ... a1m    0 a 22 ... a 2 j ... a 2 m    ⋅ 1 = M M M     0 a n 2 ... a nj ... a nm    M  0  

a11 ⋅ 0 + a12 ⋅ 0 + ... + a1 j ⋅1 + ... + a1m ⋅ 0  a1 j      a 21 ⋅ 0 + a 22 ⋅ 0 + ... + a 2 j ⋅1 + ... + a 2 m ⋅ 0 = a 2 j  M  M      a n1 ⋅ 0 + a n 2 ⋅ 0 + ... + a nj ⋅1 + ... + a nm ⋅ 0  a nj  A feladat másik részének bizonyítását a fent leírtak alapján az olvasóra bízzuk.

VI. Mátrixok - Megoldások

179

9.      a11    * ⋅  = [0... 0 1 0 ...0] a21 ⋅ e ei  A j   M (1,n )  (n ,m ) (m ,1)   a   n1   a1 j    a2 j  M  = [0... 0 1 0 ...0]  = aij aij    M  anj   

0  M    a12 ... a1 j ... a1m     0 a22 ... a 2 j ... a 2 m     ⋅ 1 = M M M     0 a n 2 ... anj ... a nm     M   0   

10.   a11 a12  a   21 a22    M M  *⋅ ⋅ =  [0... 0 1 0 ...0] ⋅  A 1 e  i  a ai 2  (1,n ) ( n,m )  (m,1)   i1  M M   a  n1 an 2  1 1 = [ai1 ai 2 ... aim ]  = ai1 + ai 2 + ... + aim M   1

Hasonlóan látható be a feladat másik része is.

... a1m    ... a2 m   1 M   1 ⋅  = ... aim   M    . M   1 ... anm  

180

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

11.   a11 a12 ... a1m     a a22 ... a2 m   1  21     M M   1 M  *⋅ ⋅  = [ ] ⋅ 1 1 ... 1  a   ⋅ M  = 1 (nA  (m1,1)  a ... a i 1 i 2 im  , m )  (1,n )      . M   1 M M  a n1 a n 2 ... anm    1  m n n n n 1 = ∑ ai1 ∑ ai 2 ... ∑ aim    = ∑∑ aij i =1 i =1  i=1  M  j =1 i =1  1 ami éppen a mátrixban szereplı összes elem összege.

12. −2 6 −24 21  12 −1 −12  16 14 10 −15 , B ⋅ A = 19 −11 17  A⋅ B =     3 10 11 0  −7 26 7     7 −8 −7 −15

13.  5 10 5  0 0 A⋅ B =  , B ⋅ A =  −1 −2 −1  0 0 −3 −6 −3 14.  4 −3 −1 8 0 −2 A⋅ B =  , −4 −1 1     0 −2 0 

a B ⋅ A szorzat nem létezik.

15. 6 6 6 6 2 1   A ⋅ B = 2 2 2, B ⋅ A = 6 2 1 1 1 1 6 2 1

VI. Mátrixok - Megoldások

181

16. 17 17 17  6 3 16   A ⋅ B =  6 6 6 , B ⋅ A = 6 3 16  2 2 2  6 3 16 A mátrixok közti szorzás nem kommutatív. 17. 7  14 2  A ⋅ A =  2 26 −17,  7 −17 17  *

4   35 −8  A ⋅ A = −8 14 −10  4 −10 8  *

18.  2 −2 −4  P = −1 3 4   1 −2 −3 2

19. 0 0 0 N =  3 3 9 , −1 −1 −3 2

0 0 0 N = 0 0 0 0 0 0 3

20. 1 0 0 A ⋅ B = B ⋅ A = 0 1 0 0 0 1 21. 0 1 A⋅ P =  −3  0

4 −1 3 7 8 −5 2 1

5 4 , 0  3

3 7 1 8 −5 −3 P⋅ A =  4 −1 0  2 1 0

4 0 5  3

A ⋅ P -vel oszlopcseréket, P ⋅ A -val sorcseréket érhetünk el.

182

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 0 0 a)  1  0

1 0 0 0 0 1 ⋅A 0 0 0  0 1 0

0 1 A⋅ 0  0

0 0 1 0 0 0 0 1 0  1 0 0

22. 20 3 15 −21 A⋅ D =  40 15  10 −3

0 0 0 0

5 4 0  3

 20 −5 0 25  −9 −21 −3 −12   D⋅ A =  0 0 0 0    1 0 3  2

Ha jobbról szorozzuk az A mátrixot a D mátrixxal, akkor az A mátrix oszlopait szorozza rendre a D megfelelı oszlopaiban álló konstansokkal. Ha balról, akkor az A sorait szorozza rendre a D megfelelı soraiban álló konstansokkal. 23. 4 3 5 2 T = 1 3 0 3 technológiai mátrix 2 1 2 2 a * = [6,10,12] árvektor p = [100,200,300,100]

programvektor

k = [22,10,16,34] f = [120,140,100,110]

egyéb költségek *

fogyasztói ár *

a) T ⋅ p = [2700,1000,1200] ennek ára: a ⋅ T ⋅ p = 40600 *

b) a ⋅ T + k = 80, 70, 70,100 *

c) f ⋅ p = 81000 *

(

)

d) f ⋅ p − a ⋅ T ⋅ p + k ⋅ p = 28000

VI. Mátrixok - Megoldások 24. 40 25 p =   c = [450,400,300] 60   50

1 3 2 4  * T = 0 2 3 3 a = [10,12,8] 2 1 1 2  *

anyagköltség a ⋅ T ⋅ p = 11030 erıforrásszükséglet: T ⋅ p = [435,380,265]

fajlagos anyagköltség: a ⋅ T = 26, 62, 64, 92 Mivel T ⋅ p < c , ezért a termelési program megvalósítható. 25. 25 1 3 2  A = 20 1 5 3  0 2 4 2 

p = [3,5,4]

 50  200 a=  350    60 

a) p ⋅ A = [175,16,50,29] 2620 b) A ⋅ a = 3130 1920

p ⋅ A ⋅ a = 31190

26.  1 3 5 3 2    21 31 T= ⋅ 2 4  =    1 4 6  39 31  5 2   2000 135000 T ⋅ =  3000 171000

183

184

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

27. 0 10  0 F= 0 5  0

0 5 0 8 9 0 4 2 7 0 1 0

8 0 0 0 2 5 0 0  0 3 3 0 0 5  12 0 0 *

F ⋅ 1 = [17,20,14,12,17,13] megadja, hogy az egyes vállalatoktól mennyit

vásárol a többi. *

1 F = [15,2115 , ,211110 , , ] megadja, hogy az egyes vállalatok mennyit vásárolnak a többitıl. *

1 ⋅ F ⋅ 1 = 93 ekkora értékő 1000 Ft-ban az összvásárlás értéke. Ebbıl következik, hogy 4650 Ft a kezelési költség.

28. 10 30 0 25 0 0  20 15 0 F= 0 0 0  0 25 50   0 130 35

5  75 85 45  30 120 0   25 35 150 25 0 0   0 0 0 

a = [597,559,527,135,195,140] * s = [10,15,30,70,70,180] *

a) 1 ⋅ F ⋅ 1 = 1050000 tonna *

b) 1 ⋅ F = [55,200,85,205,305,200] *

c) a ⋅ F = [30485,48890,14650,95835,154285,48390] a komponensek megadják, hogy az egyes vásárlók hány ezer forintért vásároltak szénféleséget.

VI. Mátrixok - Megoldások d) 1* ⋅ F ⋅ s = [550,3000,2550,14350,21350,36000] , ahol 0  10 0 0 0 0  0 15 0 0 0 0    0 0 30 0 0 0  s =  0   0 0 0 70 0  0 0 0 0 70 0     0 0 0 0 0 180 *

e) p ⋅ F ⋅ 1 + 1 ⋅ F ⋅ s ⋅ 1 = 470335

29. *

a) h ⋅ A ⋅ d ; h ⋅ ( A ⋅ d ) 1

[

(

)]

b) h e j ⋅ t − n ⋅ A ⋅ e j + e j ⋅ k ⋅ e j ⋅ d nyereség a j-edik termékbıl

[ ( *

)]

h t − n ⋅ A + k ⋅ d az összes nyereség.  488  1376 2800 3360 37944    944 

30. 15 15 40 23 21 35 A: = 23 37 18 25 p: =   45 30 41 12 30   20 * a) e2 ⋅ A ⋅ 1 = 103 *

b) e 3 ⋅ A ⋅ p = 3025 ezer Ft-ot *

c) 1 ⋅ A ⋅ e3 = 53 fı * * d) p ⋅ e1 ⋅1 ⋅ A ⋅ e1 = 1020 ezer Ft-ot. *

e) 1 ⋅ A ⋅ 1 = 315 fı.

185

186

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

31. 570 725 715 A: = 530 690 650 550 710 700 *

a) e1 ⋅ A ⋅ B ⋅ e1 *

b) 1 ⋅ B ⋅ e2 *

c) e3 ⋅ A ⋅ B ⋅ e3

120 140 150 B: = 250 250 270 230 240 250

187 IRODALOMJEGYZÉK B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyőjtemény (Tankönyvkiadó, Bp. 1971.) Denkinger Géza-Gyurkó Lajos: Analízis gyakorlatok (Tankönyvkiadó, Bp. 1992.) Szalay István: Határérték, folytonosság, differenciálhatóság Példatár (JATEPress, Szeged, 1991.) Leindler László: Analízis (Tankönyvkiadó, Bp. 1991.) Szerényi Tibor: Analízis (Tankönyvkiadó, Bp. 1977.) Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise Példatár (Mőszaki Kvk.,Bp. 1985.) Csernyák László: Analízis (Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp.) Szendrei János: Algebra és számelmélet (Tankönyvkiadó, Bp.) Gáspár László: Mátrixaritmetikai gyakorlatok (Tankönyvkiadó, Bp. 1992.) Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás (Mőszaki Kvk., Bp. 1970.) Geylon, Paul: MEMO BAC Nouveaux programmes 83/84. Math. D (Bordas, Paris, 1983.) Bognár Endre-Fejes Ferenc: Analízis feladatgyőjtemény jegyzet (Bp.1992.)

188

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

189

TARTALOMJEGYZÉK Elıszó .................................................................................................................... 3 I. Valós számsorozatok ......................................................................................... 5 I. Valós számsorozatok - Megoldások ................................................................ 19 II. Egyváltozós függvények ................................................................................. 45 II. Egyváltozós függvények - Megoldások .......................................................... 55 III. Differenciálszámítás ...................................................................................... 77 III. Differenciálszámítás - Megoldások ............................................................... 89 IV. Integrálszámítás .......................................................................................... 123 IV. Integrálszámítás - Megoldások ................................................................... 133 V. Többváltozós függvények ............................................................................ 147 V. Többváltozós függvények - Megoldások ..................................................... 153 VI. Mátrixok...................................................................................................... 165 VI. Mátrixok - Megoldások............................................................................... 177 Irodalomjegyzék ................................................................................................ 187