dr Sárkány Péter - Nagy Adrienn: Közgazdaságtan I. Mikroökonómiai feladatgyűjtemény by Edutus Főiskola

NAGY ADRIENN - DR. SÁRKÁNY PÉTER

KÖZGAZDASÁGTAN I. MIKROÖKONÓMIAI FELADATGYÜJTEMÉNY

BUDAPEST, 2010.

Szerzők: Nagy Adrienn tanársegéd Dr. Sárkány Péter főiskolai docens

Lektorálta: Dr. habil Solt Katalin egyetemi docens

ISBN: 978-963-87306-4-0  Nagy Adrienn − Sárkány Péter Minden jog fenntartva. A könyv egészének vagy részének újranyomtatása, másolása, bármilyen formában történő újraelőállítása akár mechanikus úton, illetve egyéb módon, beleértve minden információtárolási és hozzáférési rendszert is, a szerzők valamint a kiadó írásbeli engedélye nélkül tilos és büntetőjogi felelősségre vonással járhat.

Budapest, 2010.

Kiadó: Dr. T.O.P. Kft., Budapest Felelős vezető: Dr. Sárkány Péter ügyvezető

TARTALOMJEGYZÉK

Előszó .................................................................................................................... 5 I. Termelési lehetőség görbéje .............................................................................. 7 II. Kardinális hasznosság ................................................................................... 33 III. Ordinális hasznosság .................................................................................... 45 IV. Árupiaci kereslet .......................................................................................... 77 V. Termelési függvények ................................................................................... 95 VI. Költségek és profitok .................................................................................. 107 VII. Költségfüggvények .................................................................................... 115 VIII. Kínálat tökéletes versenynél..................................................................... 139 IX. Kínálat monopólium esetén ........................................................................ 159 X. Kínálatok összehasonlítása ........................................................................... 171 XI. Árupiaci egyensúly ..................................................................................... 187 XII. Függvények................................................................................................ 205

Előszó Az elméleti tantárgyak – így a mikroökonómia – oktatása, megértése, megtanulása, az összefüggések átlátása nem könnyű feladat. Ez a 255 példát tartalmazó gyűjtemény, amelyet a Tisztelt Olvasó most a kezében tart, megpróbál ebben segítségre lenni. Egyrészt olyan módon, hogy a feladatok megoldásánál nemcsak a végeredmény, hanem a részletes levezetés is szerepel. Másrészt a példák sokszínűsége, nehézségi szintjeinek fokozatos emelkedése és egyben a típusoknál szereplő feladatok sokasága is könnyebbé teszi a megértést. Az utolsó fejezetben szereplő táblázatok a mikroökonómia legfontosabb függvényeit, azok jellemzőit foglalja össze. De ezek kitöltése a Kedves Olvasó feladata. Éppen azért, hogy ezzel is ösztönözzük folyamatos tanulást, és kicsit a rendszerezés fontosságára próbáljuk felhívni a figyelmet. Az ún. Bologna-folyamat által létrejött változások miatt a korábban három félévben oktatott elméleti közgazdaságtan (mikroökonómia és makroökonómia) két félévre szűkült le. Ezért szükségessé vált bizonyos témakörök kihagyása az oktatásból, akár csak a példák szintjén, akár az elmélettel együtt. Jelen példatár ennek megfelelően került összeállításra, amelyhez átvettük egyrészt a korábban hoszszabb időn át oktatott Közgazdaságtani alapok, illetve a Mikroökonómia tantárgyhoz kapcsolódó jól bevált példatárak feladatait. Ugyanakkor számos példával is bővítettük és korszerűsítettük azokat, és kijavítottuk a fellelt hibákat, elütéseket. Természetesen nem szándékosan, de biztos maradtak még hibák e feladatgyűjteményben is. Éppen ezért nagy örömmel és köszönettel veszünk minden észrevételt, a továbblépést segítő ötletet, vagy a hibákra felhívó véleményt mind a hallgatóktól, mind a tantárgy szemináriumait vezető kollégáktól, mind pedig a téma iránt érdeklődő szakemberektől az alábbi email-címen: sarkany.peter@mutf.hu. A feladatgyűjtemény összeállítása során természetszerűleg felhasználtuk a Modern Üzleti Tudományok Főiskolájának korábbi vizsgapéldáit, és esetenként merítettünk más példatárakban talált ötletekből és más oktatók javaslataiból is. Éppen ezért szeretnénk külön megköszönni kollégánk, dr. Barsi Gusztávné munkáját, tanácsait. Szeretnénk köszönetet mondani Dr. habil Solt Katalin egyetemi docensnek, lektorunknak, aki véleményével nagyban hozzájárult a feladatgyűjtemény elkészítéséhez.

Budapest, 2010. szeptember

A Szerzők

I. Termelési lehetőség görbéje

I. TERMELÉSI LEHETŐSÉG GÖRBÉJE Feladatok 1. a) Rajzoljon fel egy tetszőleges termelési lehetőség-görbét X és Y termékek tekintetében! b) A megrajzolt ábrába jelölje be a következő pontokat: A Nem megvalósítható jószágkombináció B Nem hatékony erőforrás-felhasználással csak X terméket termelnek C Teljes és hatékony erőforrás-felhasználással további termékeket is tudnának előállítani D Csak Y terméket termelnek nem teljes erőforrásfelhasználással E Minden erőforrást az X termék előállítására használnak fel F Csak olyan módon tudnák az egyik termék előállítását növelni, ha a másikból kevesebbet termelnének c) A fentiek közül melyek a nem Pareto-hatékony kombinációk?

2. Egy társadalom X és Y jószágokat termel. A termelési lehetőség görbéjének egyenlete: X2 + 9*Y2 = 225. a) Rajzolja fel a termelési lehetőség görbéjét! b) Az alábbi táblázat jószágkombinációkat és azok értékelését tartalmazza. Az üres cellákba írja be vagy a hiányzó mennyiségeket, vagy a jószágkombinációk értékeléseinek a kombinációhoz illő eseteit az alábbi lehetőségek közül: 1. megvalósítható és Pareto-hatékony; 2. megvalósítható, de nem hatékony; 3. nem valósítható meg. X mennyisége 0 15 5 3

Y mennyisége 5

Megvalósítható és Pareto-hatékony 5 4

Értékelés

Megvalósítható, de nem hatékony Nem valósítható meg Megvalósítható, de nem hatékony

3 Nem valósítható meg

I. Termelési lehetőség görbéje

3. Az alábbi termelési lehetőség görbén mely pontra, vagy pontokra igaz az, hogy: a) csak egyik termékből termelnek, de nem hatékonyan; b) mindkét termékből termelnek, de nem hatékonyan; c) csak egyik termékből termelnek, és Pareto-hatékonyan; d) mindkét termékből termelnek, és Pareto-hatékonyan; e) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség) mellett nem termelhető kombináció; f) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség) mellett, csak az egyik termékre koncentrálva nem termelhető lehetőség; g) az erőforrások nincsenek kihasználva (több pontot kell jelölni!); h) az erőforrások teljes mértékben (Pareto-hatékonyan) kihasználásra kerülnek (több pontot kell jelölni!); i) adott feltételek mellett nem elérhető lehetőség (több pontot kell jelölni!). y termék mennyisége

B D E

C x termék mennyisége

I. Termelési lehetőség görbéje

4. Egy gazdaság tekintetében adott az alábbi termelési lehetőség görbe: Y = 196 – 2,8*X a) Mennyi az X illetve az Y termékekből a maximális termelés mennyisége? b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

5. Egy gazdaság tekintetében adott az alábbi termelési lehetőség görbe: 325 = 2,5*X + Y a) Mennyi az X illetve az Y termékekből a maximális termelés mennyisége? b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

6. Egy gazdaságban az Y = f(X) típusú termelési lehetőség görbéjének egyenlete a következőképpen írható fel: X = 242 – Y2/2 a) Maximálisan mennyi „X” illetve „Y” terméket tud a gazdaság előállítani? b) Írjon fel olyan konkrét termelési kombinációkat, amelyben mindkét termékből termelnek: b1) de nem használják ki az erőforrásokat teljes mértékben, b2) kihasználják az erőforrásokat teljes mértékben!

7. Egy gazdaságban az Y = f(X) típusú termelési lehetőség görbéjének egyenlete a következőképpen írható fel: Y = (1728 – 3*X)1/3 a) Maximálisan mennyi „X” illetve „Y” terméket tud a gazdaság előállítani? b) Írjon fel olyan konkrét termelési kombinációkat, amelyben mindkét termékből termelnek: b1) de nem használják ki az erőforrásokat teljes mértékben, b2) kihasználják az erőforrásokat teljes mértékben!

10.

I. Termelési lehetőség görbéje

8. Egy darab „A” termék előállításához 3 órára van szükség. A társadalom rendelkezésére összesen 360 óra áll. A „B” termékből – az erőforrások teljes felhasználásával – maximálisan 90 darabot képesek megtermelni. a) Írja fel a termelési lehetőség görbéjének egyenletét! b) Maximálisan mennyi „A” terméket tud a gazdaság megtermelni? c) Rajzolja fel a termelési lehetőségek görbéjét! d) Írjon fel egy olyan jószágkombinációt, amelynél mindkét termékből gyártanak, mégpedig Pareto-hatékony módon! e) Milyen következtetésre juthatunk annak ismeretében, hogy ténylegesen az „A” termékből 25 darabot és a „B” termékből 65 darabot állítanak elő?

9. Egy gazdaságban kétféle terméket állítanak elő. Ha csak „Y” terméket termelnek, akkor maximum 140 db készül el. Egy „X” termék előállításához 2 munkaóra szükséges. Pareto hatékony az a termelési kombináció, ha 100 db „X” és 100 db „Y” termék készül el. a) Írja fel az Y = f(X) típusú termelési lehetőség görbéjének egyenletét! b) Maximálisan mennyi „X” terméket tud a gazdaság előállítani?

10. Rajzoljunk egy lineáris termelési lehetőség görbét! Jelöljük ezt TLG1gyel! Az egyes tengelyeken az x és az y termék szerepel. Rajzoljunk egy olyan termelési lehetőség görbét, amely ehhez képest: a) több erőforrást tartalmaz (jelöljük TLG2-vel); b) az x terméknél technikai fejlesztést mutat (TLG3-mal jelöljük); c) mindkét terméknél technikai fejlesztést tartalmaz, de eltérő mértékben (jelöljük TLG4-gyel); d) azonos mértékű technikai fejlesztést mutat mindkét terméknél (TLG5-tel jelöljük)!

11. A következő ábrán két termékre és két erőforrásra rajzoltuk fel a termelési lehetőség görbéket. Mely pontra, vagy pontokra igaz az, hogy: a) csak egyik termékből termelnek, és mindkét erőforrás esetén nem hatékonyan; b) csak egyik termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén hatékonyan, de a másikból nem használják ki a rendelkezésre álló lehetőséget; c) csak egyik termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén hatékonyan, de a másik szempontjából nem elérhető módon; d) mindkét termékből termelnek, és mindkét erőforrás esetén nem hatékonyan;

I. Termelési lehetőség görbéje

11.

e) mindkét termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén hatékonyan, de a másikból nem használják ki a rendelkezésre álló lehetőséget; f) mindkét termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén hatékonyan, de a másik szempontjából nem elérhető módon; g) mindkét termékből termelnek, és Pareto-hatékonyan (azaz optimális megoldást választanak); h) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség) mellett nem termelhető kombináció; i) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség) mellett, csak az egyik termékre koncentrálva nem termelhető lehetőség; j) legalább az egyik erőforrás nincs kihasználva (több pontot kell jelölni!); k) mindkét erőforrás teljes mértékben (Pareto-hatékonyan) kihasználásra kerül; l) adott feltételek mellett legalább az egyik erőforrást tekintve nem elérhető lehetőség (több pontot kell jelölni!); m) adott feltételek mellett mindkét erőforrás szempontjából nem elérhető lehetőség. y termék mennyisége

B H

A G D E

J x termék mennyisége

12.

I. Termelési lehetőség görbéje

12. Egy gazdaságban összesen 90 egységnyi munka és 100 egységnyi tőke áll rendelkezésre. Egységnyi X termék termeléséhez 10 egység tőke és 6 egység munka kell. Egységnyi Y termék előállítása 8 egység tőke és 10 egység munka felhasználásával lehetséges. a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési tényezőt teljes mértékben kihasználják? b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéjét! c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőkéből! d) Számítsa ki a lehetséges határköltség adatokat!

13. Egy gazdaságban összesen 600 egységnyi munka és 500 egységnyi tőke áll rendelkezésre. A tőkéből egységnyi X termék előállításához 5 egység, Y termékhez 3 egység kell. Munkából egységnyi X termékhez 2 egység, Y termékhez 4 egység szükséges. a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési tényezőt teljes mértékben kihasználják? b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéjét! c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőkéből! d) Számítsa ki a lehetséges határköltség adatokat!

14. Egy gazdaságban rendelkezésre álló munkával és tőkével X és Y terméket állítanak elő. Ha a teljes munkamennyiséget X előállítására fordítják, akkor évente 22 ezer tonnát tudnak termelni. Ha az összes munkamennyiséget Y előállítására fordítják, akkor évente 8 ezer tonna előállítása lehetséges. Ha a teljes tőkemennyiséget X előállítására fordítják, akkor évente 11 ezer tonna a termelés. Ha a teljes tőkemennyiséget Y előállítására fordítják, akkor évente 12 ezer tonna termelhető. Összesen 88.000 munkamennyiség és 132.000 tőkemennyiség áll rendelkezésre. a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési tényezőt teljes mértékben kihasználják? b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéit! c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőkéből! d) Számítsa ki a lehetséges határköltség adatokat!

15. Egy gazdaságban rendelkezésre álló munkával és tőkével X és Y terméket állítanak elő. Ha a teljes munkamennyiséget X előállítására fordítják, akkor évente 160 darabot tudnak termelni. Ha az összes munka-

I. Termelési lehetőség görbéje

13.

mennyiséget Y előállítására fordítják, akkor évente 440 darabot termelnek. Ha a teljes tőkemennyiséget X előállítására fordítják, akkor évente 240 darab előállítása lehetséges. Ha a teljes tőkemennyiséget Y előállítására fordítják, akkor évente 220 darab a termelés. Összesen 8.800 munkamennyiség és 26.400 tőkemennyiség áll rendelkezésre. a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési tényezőt teljes mértékben kihasználják? b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéit! c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőkéből! d) Számítsa ki a lehetséges határköltség adatokat!

16. Egy gazdaságban a rendelkezésre álló összes munkaóra 1.600. Két terméket (X és Y) állítanak elő. Pareto-hatékonyak az alábbi allokációk: I. II.

160 db X és 400 db Y termék 280 db X és 100 db Y termék

a) Írja fel a termelési lehetőség lineáris Y = f(X) típusú függvényét! b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

17. Egy gazdaságban a rendelkezésre álló összes munkaóra 2.000. Két terméket (X és Y) állítanak elő. Pareto-hatékonyak az alábbi allokációk: I. II.

120 db X és 260 db Y termék 200 db X és 100 db Y termék

a) Írja fel a termelési lehetőség lineáris Y = f(X) típusú függvényét! b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

18. Adott három gazdaság, amelyekben a homogén x és y terméket termelik eltérő adottságokkal. A termelési lehetőségek görbéjének egyenletei az alábbiak: A gazdaságban: B gazdaságban: C gazdaságban:

y = 64 – x2/16 y = 64 – 2*x y = 64 – 16* x / 2

a) Mennyit termelhetnek az egyes gazdaságok x és y termékekből, ha valamennyi erőforrásukat csak az egyik, illetve a másik termelésére fordítják?

14.

I. Termelési lehetőség görbéje

b) Számítsa ki az egyes országok hány y-t tudnak termelni x = 4, x = 8 és x = 16 esetén! c) Állapítsa meg, hogy melyik országban érvényesül az állandó, a növekvő, illetve a csökkenő alternatív költségek tendenciája! Állítását különböző módon indokolja, így az x terméknek y termékben kifejezett alternatív költségeinek felhasználásával, grafikus ábrázolás alkalmazásával, illetve a derivált függvények alapján, x növelésével!

19. Három gazdaságban ugyanazt az x és y terméket termelik, igaz eltérő adottság mellett. A termelési lehetőségek görbéjének függvényeit a következőképpen írhatjuk fel: A gazdaságban: B gazdaságban: C gazdaságban:

24 = y + x3/9 72= 3*y + 12*x 48 = 2*y + 3* x

a) Maximálisan mennyi x illetve y terméket állíthatnak elő az egyes gazdaságok? b) Amennyiben x termékből két darabot, illetve négy darabot készítenek, akkor y termékből mennyit termelhetnek? c) Mit mondhatunk az egyes országokban az alternatív költségek tendenciájáról? Állítását három eltérő módon – az x terméknek y termékben kifejezett alternatív költségeinek felhasználásával, grafikus ábrázolás alkalmazásával, illetve a derivált függvények alapján, x növelésével – indokolja!

20. Egy gazdaságban összesen 25 egységnyi munka és 20 egységnyi tőke áll rendelkezésre. Egy darab x termék előállításához 3 egységnyi munkát és 4 egységnyi tőkét használnak fel, míg egy darab y előállításához 5 munkaegységre és 2 tőkeegységre van szükség. a) Írja fel külön a munkára és külön a tőkére a termelési lehetőség görbéjének egyenletét! b) Az egyenletek ismeretében rajzolja meg a gazdaság egészére vonatkozó termelési lehetőség görbét! c) Számolja ki az alábbi táblázat segítségével, hogy különböző mennyiségű, de egész számú x termékek előállítása esetén mennyit lehet yból előállítani! Mutassa ki, hogy ezekben az esetekben melyik termelési tényezőből és milyen mértékű felesleg található a gazdaságban! (y termékből nem egész számú mennyiségeket is értelmezünk.)

I. Termelési lehetőség görbéje

x y termelési termelési lehetősége lehetősége 0 1 2

15.

Erőforrásfelesleg megnevezése

Erőforrásfelesleg mennyisége

21. Amíg egy darab A termék előállításához 3 egység munkára és 5 egység tőkére van szükség, addig egy darab B termékhez ez 4, illetve 2 egység. Összesen 16 egység munka és 20 egység tőke áll rendelkezésre. a) Írja fel a munka, illetve a tőke termelési lehetőség görbéjének egyenletét! b) Ezek ismeretében rajzolja meg a gazdaság egészére vonatkozó termelési lehetőség görbét! c) Töltse ki az alábbi táblázatot! (Az A terméknél csak egész számú mennyiséget vegyen figyelembe, és mindaddig számítsa, amíg az előállítást a termelési tényezők azt lehetővé teszik! B termékből nem egész számú mennyiségeket is értelmezzen!) „A” termelési lehetősége 0 1 2

„B” termelési lehetősége

Munkafelesleg mennyisége

Tőkefelesleg mennyisége

22. Egy gazdaságban három termelési tényező van: tőke, munka és föld.

Ezekkel kétféle terméket − X-et és Y-t – állítanak elő. Egységnyi X előállításához 2 egység tőkére, 4 egység munkára és 3 egység földre van szükség. Egységnyi Y termeléséhez 5 egység tőke, 1 egység munka és 2 egység föld szükségeltetik. A gazdaságban összesen 32 egység tőke, 28 egység munka és 26 egység föld áll rendelkezésre. a) Mennyi az egyes termékekből a maximálisan előállítható mennyiség?

16.

I. Termelési lehetőség görbéje

b) Írja fel az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehetőség görbéjének egyenletét! c) Ábrázolja az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehetőség görbéket! d) Mennyi az X és Y termékből az optimálisan előállítható mennyiség?

23. Ha a gazdaságban rendelkezésre álló teljes tőkét X termék előállítására fordítják, akkor maximálisan 8 db-ot tudnak belőle készíteni. Ha csak Y termelésére fordítanák, akkor 6 db lenne a maximum. Munka esetében az X-nél 10 lenne az előállítható legtöbb darab, míg Y-nál csak 5. A föld tekintetében X-nél 16, és Y-nál 4 lenne a maximálisan elkészíthető darabszám. a) Ábrázolja az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehetőség görbéket! b) Írja fel az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehetőség görbéjének egyenletét! c) Mennyi az X és Y termékből az optimálisan előállítható mennyiség?

Megoldások 1) a) Tudjuk, hogy a termelési lehetőség görbéjénél a tengelyek az egyes termékeket jelentik, a tengelymetszetek pedig az adott jószágból maximálisan előállítható mennyiséget jelölik. A függvény alakja lehet egyenes, konkáv illetve konvex is. (Megrajzolását a hallgatóra bízzuk!) b) Az egyes pontok megrajzolásánál az alábbiakat kell figyelembe venni: A: a függvényen kívül kell elhelyezkednie B: az X tengely mentén kell lennie, de még a tengelymetszet előtt C: a függvényen belül kell ábrázolni D: az Y tengely mentén kell lennie, de még a tengelymetszet előtt E: az X tengelymetszetnél van F: a függvényen helyezkedik el Ezek után egy lehetséges megoldás:

I. Termelési lehetőség görbéje

17.

Y A D C F

c) Nem Pareto-hatékonyak az alábbiak: B, C, D

2) a) A függvény tengelymetszeteit a szokásos módon számíthatjuk ki, azaz a másik termékből előállítható mennyiséget nullának vesszük. A függvény alakjának rajzolásánál figyeljünk arra, hogy az másodfokú, vagyis alakja nem lehet egyenes, hanem konkáv. Most már egyszerű a dolgunk az ábra elkészítésénél, amelyet a következő oldalon közlünk! Y

b) A feladat megoldásához azt kell vizsgálnunk, hogy az egyenlet jobb és bal oldala hogyan viszonyul egymáshoz. A: Mivel 02 + 9*52 = 225, így megvalósítható és hatékony

18.

I. Termelési lehetőség görbéje

B: Mivel 152 = 225 és Pareto-hatékonyan megvalósítható, így Y = 0 a megoldás C: Mivel 52 + 9*52 > 225, így nem megvalósítható D: Mivel 32 = 9 és nem hatékonyan megvalósítható, így teljesülnie kell az 9*Y2 < 225–9=216 egyenlőtlenségnek, így Y < 4,9 lehet a megoldás E: Mivel 9*42 = 144 és nem megvalósítható, így teljesülnie kell az X2 > 225–144=81 egyenlőtlenségnek, így X > 9 lehet a megoldás F: Olyan X és Y kombinációt kell választanunk, amelyre igaz az, hogy X2 + 9*Y2 < 225 G: Mivel 32 + 9*32 = 90 < 225, így megvalósítható, de nem hatékony H: Olyan X és Y kombinációt kell választanunk, amelyre igaz az, hogy X2 + 9*Y2 > 225

3) Az alábbi termelési lehetőség görbén mely pontra, vagy pontokra igaz az, hogy: a) A b) B c) C d) D e) E

f) g) h) i)

F A és B C és D E és F

4) a) Egy termékből a maximálisan előállítható mennyiséget úgy kapjuk meg, ha a másik termékből készített mennyiséget nullának tekintjük: Xmax = 196/2,8 = 70 és Ymax = 196/1 = 196 b) Emlékezzünk arra, hogy az alternatív költségnek nagyon sok szinonimája van, így haszonáldozat, lehetőség költség, feláldozott haszon, határköltség. A következő példákban ezek bármelyike vagy akár az eredeti angol kifejezés, az opportunity cost is szerepelhet, nekünk ezek mindig ugyanazt kell, hogy jelentsék! Kiszámításának képlete például az „X” termék esetében: YOC = ∆X / ∆Y = x/y Így három lehetőség kínálkozhat számunkra: 1. Felveszünk két értéket X-re, például X=5 és X=10. Ezeknél a teljes erőforrás-felhasználást figyelembe véve Y=182 és Y=168 értékeket kapunk. Az előbbi képlet alapján tehát YOC = (10-5) / (168-182) = 5/14 = 0,36. 2. Felhasználjuk az egy termékhez szükséges erőforrás-igények hányadosát, azaz YOC = 1 / 2,8 = 0,36. Az XOC esetében YOC reciprokának számítása a kézenfekvő, azaz

I. Termelési lehetőség görbéje

19.

XOC = 1 / 0,36 = 2,78. 3. Az eredeti egyenlet X és Y együtthatói is a megoldást adják.

5) Az előző feladat megoldása alapján: a) Xmax = 325/2,5 = 130 és Ymax = 325/1 = 325 b) Vegyük figyelembe, hogy itt az egységnyi termék előállításához szükséges erőforrás-mennyiségek segítségével számítjuk ki az opportunity cost-okat, és ennek kiszámítása X esetében = LX/LY. Tehát: XOC = 2,5 / 1 = 2,5 és YOC = 1 / 2,5 = 0,4.

6) A korábbiak alapján: c) Xmax = 242/1 = 242 és Ymax = 2 ⋅ 242 = 22 b1) Olyan kombinációt kell választanunk, amelyre teljesül az X + Y2/2 < 242 egyenlőtlenség! (Például: Y=10 és X=190.) b2) Olyan termékpárost kell találnunk, amelynél igaz az, hogy X + Y2/2 = 242 egyenlőség! (Például: Y=10 és X=192.)

7) Köbre emelve az egyenlet mindkét oldalát és rendezve: 1728 = Y3 + 3*X 3

d) Xmax = 1728/3 = 576 és Ymax = 1728 = 12 b1) Olyan kombinációt kell választanunk, amelyre teljesül az Y3 + 3*X < 1728 egyenlőtlenség! (Például: Y=10 és X=240.) b2) Olyan termékpárost kell találnunk, amelynél igaz az, hogy Y3 + 3*X = 1728 egyenlőség! (Például: Y=3 és X=567.)

8) A feladat alapján az alábbiakat ismerjük („E”-vel jelölve az erőforrás általános alakját): EA = 3 óra/db E = 360 óra Bmax = 90 db Ebből következik, hogy EB = 360/90 = 4 óra/db. a) Mivel E = EA * QA + EB * QB ezért 360 = 3*QA + 4*QB b) Amax = 360/3 = 120 db. c) Ábránk a következőképpen néz ki:

20.

I. Termelési lehetőség görbéje

120

d) Teljesülnie kell a 3*QA + 4*QB = 360 egyenlőségnek. Jó megoldás például a QA = 20 és QB = 75. e) Helyettesítsük be az egyenletbe: 3*25 + 4*65 = 335. Mivel ez kevesebb, mint a rendelkezésre álló összes erőforrás (360), ezért egy olyan jószág-kombinációról van szó, amely megvalósítható, de nem hatékony.

9) Írjuk fel az ismert adatokat: Ymax = 140 db LX = 2 óra/db 100*LX + 100*LY = L A fenti információkból következik, hogy L = Ymax * LY = 140*LY. Használjuk fel az „L”-re vonatkozó egyenleteket és LX ismeretét: 100*2 + 100*LY = 140*LY. Vagyis 200 = 40*LY. Így LY = 5. Ebből adódik, hogy L = 140*5 = 700. a) QX*2 + QY*5 = 700 → Y = 140 – 2/5 * X b) Xmax = 700/2 = 350 db.

I. Termelési lehetőség görbéje

21.

10) c)

y termék mennyisége

TLG1

TLG2

TLG3

x termék mennyisége

y termék mennyisége

TLG1

TLG4

TLG5

x termék mennyisége

11) a) b) c) d) e)

A B C D E

f) g) h) i) j)

F G H J A, B, D és E

k) G l) C, F, H és J m) H

22.

I. Termelési lehetőség görbéje

12) Értelmezzük a szövegben megadottakat: L = 90 és K = 100 KX = 10 és LX = 6 LY = 10 KY = 8 és Mindezek alapján felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek: L = 90 = 6*X + 10*Y K = 100 = 10*X + 8*Y n) Tulajdonképpen az optimális pontot kell meghatároznunk, amely az egyenletrendszer megoldásából kapható meg: X = 5,4 db és Y = 5,8 db o) Ábránk megrajzolásához érdemes a tengelymetszeteket, vagyis a maximálisan előállítható mennyiségeket kiszámítani: L-nél: Xmax = 90/6 = 15 db Ymax = 90/10 = 9 db K-nál: Xmax = 100/10 = 10 db Ymax = 100/8 = 12,5 db Y

12,5

K felesleg

9 Optimum 5,8 L felesleg

L 5,4

c) Ábránkon megvastagítottuk a gazdaság egészére vonatkozó termelési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a feleslegeket! d) A határköltségek: L-nél: XOC = 6/10 = 3/5 YOC = 5/3 K-nál: XOC = 10/8 = 5/4 YOC = 4/5

13) Adataink értelmezése a következő: L = 600 és K = 500 KX = 5 és KY = 3 LX = 2 és LY = 4 Mindezek alapján felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek: L = 600 = 2*X + 4*Y K = 500 = 5*X + 3*Y

I. Termelési lehetőség görbéje

23.

a) Az optimális pont meghatározása érdekében meg kell oldanunk az egyenletrendszert: X = 14 db és Y = 143 db b) Az ábra könnyebb szerkesztéséhez érdemes a tengelymetszeteket, vagyis a maximálisan előállítható mennyiségeket kiszámítani: L-nél: Xmax = 600/2 = 300 db Ymax = 600/4 = 150 db K-nál: Xmax = 500/5 = 100 db Ymax = 500/3 = 167 db Y

K felesleg 167 150 143

K Optimum L felesleg

L 14

100

300

c) Ábránkon vastag vonal jelöli a gazdaság egészére vonatkozó termelési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a feleslegeket! d) A határköltségek: L-nél: XOC = 2/4 = 1/2 YOC = 2 K-nál: XOC = 5/3 YOC = 3/5

14) Az alábbiakról van szöveges információnk: L-nél: Xmax = 22.000 tonna Ymax = 8.000 tonna K-nál: Xmax = 11.000 tonna Ymax = 12.000 tonna L = 88.000 és K = 132.000 Ezek ismeretében kiszámíthatjuk az egy termék előállításához szükséges erőforrás-igényeket: LX = 88.000/22.000 = 4 LY = 88.000/8.000 = 11 KX = 132.000/11.000 = 12 KY = 132.000/12.000 = 11 Most már felírhatjuk az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségeket: L = 88.000 = 4*X + 11*Y K = 132.000 = 12*X + 11*Y a) Az egyenletrendszert megoldásával meghatározhatjuk az optimális pontot: X = 5.500 tonna és Y = 6.000 tonna

24.

I. Termelési lehetőség görbéje

b) Az ábra szerkesztésénél a maximálisan előállítható mennyiségeket, vagyis a tengelymetszeteket használjuk fel! Y

12 000

K felesleg

8 000 Optimum 6 000

L felesleg

L 5 500

11 000

22 000

c) Ábránkon vastag vonal jelöli a gazdaság egészére vonatkozó termelési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a felesleget! d) A határköltségek: L-nél: XOC = 4/11 YOC = 11/4 K-nál: XOC = 12/11 YOC = 11/12

15) Értelmezzük a megadott információkat: L-nél: Xmax = 160 db K-nál: Xmax = 240 db L = 8.800 és K = 26.400

Ymax = 440 db Ymax = 220 db

Ezen ismeretek birtokában kiszámíthatók az egy db előállításához szükséges erőforrás-igények: LX = 8.800/160 = 55 LY = 8.800/440 = 20 KX = 26.400/240 = 110 KY = 26.400/220 = 120 Így már felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek: L = 8.800 = 55*X + 20*Y K = 26.400 = 110*X + 120*Y a) Az optimális pont meghatározása érdekében meg kell oldanunk az egyenletrendszert: X = 120 és Y = 110 b) Az ábra megrajzolásánál használjuk fel, hogy a maximálisan előállítható mennyiségek, vagyis a tengelymetszetek adottak!

I. Termelési lehetőség görbéje

25.

440

L felesleg

220 Optimum K felesleg

110

K 120

160

240

c) Ábránkon vastag vonal jelöli a gazdaság egészére vonatkozó termelési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a felesleget! d) A határköltségek: L-nél: XOC = 55/20 = 11/4 YOC = 4/11 K-nál: XOC = 110/120 = 11/12 YOC = 12/11

16) Értelmezzünk adatainkat: L = 1.600 munkaóra L = LX*160 + LY*400 L = LX*280 + LY*100 a) A három egyenlet ismeretében kiszámíthatjuk: LX = 5 és LY = 2 Így egyenletünk: 1.600 = 5*X + 2*Y. Ezt átalakítva: Y = 800 – 2,5*X b) Az alternatív költségek: XOC = 5/2 YOC = 2/5

17) Az információk alapján tudjuk, hogy: L = 2.000 munkaóra L = LX*120 + LY*260 L = LX*200 + LY*100 a) A három egyenlet ismeretében kiszámíthatjuk: LX = 8 és LY = 4 Így egyenletünk: 2.000 = 8*X + 4*Y. Ezt átalakítva: Y = 500 – 2*X b) Az alternatív költségek: XOC = 8/4 = 2 YOC = ½

26.

I. Termelési lehetőség görbéje

18) A megoldás menete az alábbi: a) A megadott egyenletekbe x=0 illetve y=0 behelyettesítésével kiderül, hogy mindhárom gazdaságban maximum 64 db y terméket és 32 db x terméket tudnak előállítani. b) Helyettesítsük be a megadott értékeket és a következő kerekített adatokat tartalmazó táblázathoz jutunk a termelhető y termékre vonatkozóan: Megnevezés „A” gazdaság „B” gazdaság „C” gazdaság

x=4 63 56 41

x=8 60 48 32

x = 16 48 32 19

c) Az alternatív költségek tendenciájának meghatározása az alábbi képlet szerint: ∆y / ∆x. Ennek ismeretében a következő értékekhez jutunk: Érték 1. Gazdaság „A” (60-63)/(8-4)= 0,75 „B” (48-56)/(8-4)= 2 „C” (32-41)/(8-4)= 2,25

Érték 2. Tendencia növekvő (48-60)/(16-8)= 1,5 állandó (32-48)/(16-8)= 2 (19-32)/(16-8)= 1,625 csökkenő

A tendencia megállapítása görbe alakja alapján: Y

(4; 63) 64 60

(8; 60)

(4; 56) (8; 48)

(16; 48)

(4; 41) 40

(8; 32)

(16; 32) (16; 19)

20 10 4

„A” gazdaság függvénye konkáv alakú, azaz a függvény meredeksége nő, vagyis a tendencia is növekvő.

I. Termelési lehetőség görbéje

27.

„B” gazdaság termelési lehetőség görbéje egyenes, azaz konstans a függvény meredeksége, tehát a tendencia állandó. „C” gazdaság függvénye konvex alakú, azaz a függvény meredeksége és ezért a tendencia is csökkenő. A tendencia megállapítása a deriválás módszerével: „A” gazdaság: y’=(– 1/16)*2x=– x/8 Ha x nő, akkor y’is nő, így a tendencia növekvő. „B” gazdaság: y’=– 2 Mivel konstansról van szó, így x változása nem befolyásolja y’-t, tehát a tendencia állandó. „C” gazdaság: y’=(– 16)*(1/2)*(1/ 2 )*(1/ x )= – 1 / 8 2 x  Ha x nő, akkor y’csökken, így a tendencia csökkenő.

19) Rendezzük át az egyenleteket, és végezzük el az egyszerűsítéseket! „A” gazdaság: y = 24 – x3/9 „B” gazdaság: y = 24 – 4x „C” gazdaság: y = 24 – 3/2 x a) Az így megkapott egyenletekbe x=0 illetve y=0 behelyettesítésével kiderül, hogy mindhárom gazdaságban maximum 24 db y terméket és 6 db x terméket tudnak előállítani. b) Helyettesítsük be a megadott értékeket és a következő kerekített adatokat tartalmazó táblázathoz jutunk y termelésére vonatkozóan! Megnevezés „A” gazdaság „B” gazdaság „C” gazdaság

x=2 23 16 22

x=4 17 8 21

c) Az alternatív költségek tendenciájának meghatározása az előbbi képlet alapján. Mivel ∆x minden esetben 2-vel egyenlő, így elég csak a számláló, vagyis ∆y-t elemezni. „A” gazdaságban: 23-24= 1 és 17-23= 6 vagyis növekvő a tendencia. „B” gazdaságban: 16-24= 8 és 8-16= 8 vagyis állandó a tendencia. „C” gazdaságban: 22-24= 2 és 21-22= 1 vagyis csökkenő a tendencia.

28.

I. Termelési lehetőség görbéje

A tendencia megállapítása görbe alakjának segítségével:

24 23 22 21

(23; 2) (22;2)

(21; 4)

(17;4)

17 16

(16; 2)

(8; 4)

Az „A” gazdaság függvénye konkáv alakú, azaz a függvény meredeksége nő, vagyis a tendencia is növekvő. A „B” gazdaság termelési lehetőség görbéje egyenes, azaz konstans a függvény meredeksége, tehát a tendencia állandó. A „C” gazdaság függvénye konvex alakú, azaz a függvény meredeksége és ezért a tendencia is csökkenő. A tendencia megállapítása a deriválás módszerével: „A” gazdaság: y’=(– 3/2)*(x2/9)=– x2/6 Ha x nő, akkor y’is nő, így a tendencia növekvő. „B” gazdaság: y’=– 4 Mivel konstansról van szó, így x változása nem befolyásolja y’-t, tehát a tendencia állandó. „C” gazdaság: y’=(– 3/2)*(1/2)*(1/ x )=– 3 / 4 x  Ha x nő, akkor y’csökken, így a tendencia csökkenő.

20) Értelmezzük adatainkat: L = 25 és LX = 3 és LY = 5 és

K = 20 KX = 4 KY = 2

I. Termelési lehetőség görbéje

29.

a) Így már felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek: L = 25 = 3*X + 5*Y K = 20 = 4*X + 2*Y b) Az ábrázolás megkönnyítése érdekében számítsuk ki a tengelymetszeteket, azaz a maximálisan előállítható mennyiségeket: L-nél: Xmax = 25/3 = 8 1/3 db Ymax = 25/5 = 5 db K-nál: Xmax = 20/4 = 5 db Ymax = 20/2 = 10 db Y

L 5

c) A táblázat kitöltésekor az y termelési lehetősége kiszámításánál a rendelkezésre álló tőke és munka alapján előállítható mennyiségből a kisebbet kell figyelembe venni. Így táblázatunk az alábbi: x termelési lehetősége 0 1 2 3 4 5

21) a)

y termelési lehetősége 5 22/5 = 4,4 19/5 = 3,8 16/5 = 3,2 4/2 = 2 0

Erőforrásfelesleg megnevezése tőke tőke tőke tőke munka munka

Erőforrás-felesleg mennyisége 20 – 4*0 – 2*5 = 10 20 – 4*1 –2*4,4 = 7,2 20 – 4*2 – 2*2,8 = 4,4 20 – 4*3 – 2*3,2 = 1,6 25 – 3*4 – 5*2 = 3 25 – 3*5 – 5*0 = 10

Az egyes termelési tényezőkre vonatkozó egyenletek: L: 3A + 4B = 16 K: 5A + 2B = 20

30.

I. Termelési lehetőség görbéje

b) Az ábra könnyebb elkészítéséhez nézzük meg a maximális menynyiségeket: L-nél: Amax = 16/3 = 5 1/3 db Bmax = 16/4 = 4 db K-nál: Amax = 20/5 = 4 db Bmax = 20/2 = 10 db B

10 K

L 4

5 1

c) A helyesen kitöltött táblázat az alábbi: „A” termelési „B” termelési Munkafelesleg lehetősége lehetősége mennyisége 0 4 0 1 3,25 0 2 2,5 0 3 1,75 0 4 0 4

Tőkefelesleg mennyisége 12 8,5 5 1,5 0

22) a) Az egyes termelési tényezőknél a maximálisan előállítható menynyiségek: - tőke esetében: X-ből: 16 db Y-ból: 6,4 db - munka esetében: X-ből: 7 db Y-ból: 28 db - föld esetében: X-ből:8,7 db Y-ból:13 db Ennek alapján X-ből maximum 7 db, Y-ból maximum 6,4 db készíthető el. b) Az egyes termelési tényezők esetében az egyenletek az alábbiak: K: 2X + 5Y = 32 L: 4X + Y = 28 F: 3X + 2Y = 26

I. Termelési lehetőség görbéje

31.

c) Ábránk a következő: Y L

13 6,4

8,7

d) Az optimum megállapítása érdekében a három egyenletet kell megoldani, amelynek eredménye: X = 6 db és Y = 4 db

23) a)

Az alábbi ábrát készíthetjük el. Y

5 4 L 8

F 16

b) Az egyenes tengelyponti egyenletének általános képlete a következőképpen írható fel: b*X + a*Y = a*b ahol: a = az egyenes X tengelyen lévő metszéspontja (azaz Xmax) b = az egyenes Y tengelyen lévő metszéspontja (azaz Ymax) Így az egyes termelési tényezőknél az egyenletek az alábbiak: K: 6X + 8Y = 6*8 = 48 ⇒ 3X + 4Y = 24 L: 5X + 10Y = 5*10 = 50 ⇒ X + 2Y = 10 F: 4X + 16Y = 4*16 = 64 ⇒ X + 4Y = 16 c) Az egyenletrendszer megoldása alapján az optimum: X termékből 4 db, Y-ból 3 db.

32.

I. Termelési lehetőség görbéje

II. Kardinális hasznosság

33.

II. KARDINÁLIS HASZNOSSÁG Feladatok 1. Számítsa ki különböző módszerekkel (behelyettesítéssel, teljes négyzetté alakítással és deriválással) a telítődési pontot és a teljes haszon maximum értékét az alábbi függvény esetében: TU = − Q2 + 4Q − 1

2. Eltérő módszerek (behelyettesítéssel, teljes négyzetté alakítással és deriválással) segítségével adja meg, hogy mikor következik be a telítődés, és akkor a teljes haszon függvény milyen értéket vesz fel, ha alakja a következő: TU = − 3Q2 + 24Q − 38

3. Különböző módszerek (behelyettesítéssel, teljes négyzetté alakítással és deriválással) felhasználásával mutassa ki az alábbiakban megadott teljes haszon függvény telítődési pontját és maximális értékét: TU = − Q2 + 6Q − 4

4. Töltse ki az alábbi táblázat üresen hagyott részeit! Termék mennyisége 1 2 3 4 5 6

A termék összhaszna

A termék határhaszna 10

17 5 3 29

5. Egy számunkra kellemes érzeteket keltő termékből maximum csak 6 darabot kívánunk elfogyasztani. Ekkor 21 egységnyi lenne az összhaszon érzetünk, úgy hogy az utolsónak elfogyasztott termék hasznát 1 egységnek éreznénk. Négy termék elfogyasztásakor összesen 18 egységnyi lenne az összhaszon. Egyébként mind a 3., mind a 4.

34.

II. Kardinális hasznosság

termék esetében a határhaszon azonos, mégpedig három egységnyi. Két termék elfogyasztása után 12 egységnyi az összhaszon, míg az első termék határhaszna 7. Fentiek ismeretében készítsen egy táblázatot, amelyben feltünteti a termék mennyiségére, összhasznára és határhasznára vonatkozó adatokat!

6. Egy termék hasznossága tekintetében az alábbiakat tudjuk:

• Az első termék elfogyasztása 12 egységnyi hasznosságot okoz számunkra. • Ha az 5. termék után a 6.-at is elfogyasztjuk, akkor a hasznosságérzetük változatlan marad. • A 2. termék határhaszna 11 egységnyi. • Három egység elfogyasztása esetében az összhaszon 31 lesz. • A 4. termék határhaszna fele az első terméknek. • Amennyiben hat terméket fogyasztunk el, az összhaszon 39 egységnyi.

Készítsen egy olyan táblázatot, amelynek egyes oszlopai: a termék mennyisége, összhaszna és határhaszna! Az adatok ismeretében töltse ki a táblázatot!

7. Egy termék hasznosságával kapcsolatban az alábbiakat tudjuk: Q 1 2 3 4 5 6

10 16 20 22 23 21

a) Teljes haszon vagy határhaszon konkrét adatai szerepelnek a táblázat második oszlopában? Válaszát indokolja! b) A harmadik oszlopban a másik típusú hasznosság adatait írja be! Töltse ki a fejlécet is!

II. Kardinális hasznosság

35.

8. Egy termék hasznosságával kapcsolatban az alábbiakat tudjuk: Q 1 2 3 4 5 6

20 25

8 2

-2

a) Melyik oszlopban vannak a teljes haszon, illetve a határhaszon adatai? Válaszát indokolja! Töltse ki a fejlécet is! b) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!

9. Tudjuk, hogy a második termék számunkra 14 egységnyi hasznossággal, a negyedik termék 12 egységnyi hasznossággal rendelkezik. Ismerjük azt is, hogy a határhaszon függvény lineáris. Írja fel – többféle módszer (logika, két pont ismerete) alkalmazásával – a határhaszon függvény egyenletét!

10. Minden egyes termék elfogyasztásával 8 egységgel csökken a határhaszon. A 3. termék határhaszna: 160. Írja fel a határhaszon függvényét! Hányadik terméknél következik be a telítődés?

11. Minden egyes termék elfogyasztásával 4 egységgel csökken a határhaszon. Az 5. termék határhaszna: 52. Írja fel a határhaszon függvényét! Hányadik terméknél következik be a telítődés?

12. Egy diák esti kikapcsolódást tervez. Két időtöltés − tévézés és

olvasás − legjobb (számára a legnagyobb hasznosságot jelentő) kombinációját szeretné kiválasztani az alábbi feltételek mellett: • összesen 4 órát kíván kikapcsolódni, • egy-egy tevékenységgel csak egész órát, órákat szeretne eltölteni, • az első tévézés órája 25 egység hasznosságot jelent számára, a második 20-at, a harmadik 14-et, míg a negyedik már csak 6-ot, • olvasás tekintetében az alábbi hasznossági értékekkel „számol”: az első óráé 22, a másodiké 18, a harmadiké 16, míg a negyediké 15. Az egyes tevékenységekkel hány órát kellene eltöltenie, hogy hasznosságérzetét maximálja?

36.

II. Kardinális hasznosság

13. Egy főiskolás 450 Ft teljes felhasználásával szeretné egy nagyon meleg nyári napon „forróságérzetét” csökkenteni. Vásárolhat fagylaltot és/vagy ihat üdítőt. Egy gombóc fagylalt 50 Ft-ba, míg egy pohár üdítő 150 Ft-ba kerül. Tudományos alapon akarja a legnagyobb hasznosságérzetet elérni. Ennek megítéléséhez az alábbi hasznosságra vonatkozó adatokkal rendelkezik (figyelembe véve az egyes termékeknek a pénzéből megvásárolható mennyiségeit): Menny. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fagylalt 12 20 26 30 33 35 36 34 32

Üdítő 20 28 35

Számítsa ki a különböző lehetőségeket, és válassza ki azok közül a legjobbat!

14. Három különböző fajta termékre összesen 600 Ft-ot költhet el egy vásárló. Az „A” termék darabja 100 Ft-ba kerül, a „B” termék 150 Ft-ba és a „C” termék 200 Ft-ba. Fogyasztónk ízlésvilágának megfelelően az első „A” termék hasznossága 20 egységnyi, a 2. termék ebből 16 egységnyi hasznosságot „hordoz”, a 3. csak 12 egységet, a negyedik 8at, az ötödik 4-et, míg a hatodik 2-öt. A „B” termék esetében az első hasznossága 30 egység, a másodiké 25 egységnyi, a harmadiké 20 egységnyi és – az elkölthető jövedelemre tekintettel – már csak a negyedik termék hasznosságát kell megvizsgálnunk, amely 10 egységnyi. A „C” terméknél 40 egység az első termék hasznossága, 32 a másodiké és 22 a harmadiké. A lehetséges vásárlásokat figyelembe véve melyik termékkombináció nyújtja a fogyasztó számára a legnagyobb „élvezetet”?

15. Juliska és Jancsi ikertestvérek. Ezért minden termék hasznosságát egyformának érzik. (Tehát bármelyiküket kérdezik meg, ugyanazt a hasznosságérzetet válaszolják!) Két termék (csokoládé és üdítő) tekintetében az alábbi adatokat kapjuk:

II. Kardinális hasznosság

Megnevezés Első termék hasznossága Második termék hasznossága Harmadik termék hasznossága Negyedik termék hasznossága Ötödik termék hasznossága Hatodik termék hasznossága

37.

Csokoládé 10 8 7 5 2 1

Üdítő 14 9 6 2

Tegyük fel, hogy Juliska rendelkezik a csokoládékkal, míg Jancsikáé az összes üdítő. Hány cserét érdemes lebonyolítaniuk, ha abban állapodnak meg, hogy: a) 1 csokoládé = 1 üdítővel, b) 2 csokoládé = 1 üdítővel? (A cserét addig folytatják, amíg mindegyikük úgy érzi, hogy a megelőző helyzetéhez képest több az összhasznossága.)

16. Egy hölgy 5 darab X termékkel és 2 db Y termékkel, míg egy fiatalember 1 db X és 4 db Y termékkel rendelkezik. A termékekre vonatkozó „hasznossági tábla” a következő: HÖLGY FogyaszÖsszhaszon tott „X” „Y” menny. termék termék Egy 16 14 Kettő 30 26 Három 40 37 Négy 45 47 Öt 47 55 Hat 48 62

FIATALEMBER FogyaszÖsszhaszon tott „X” „Y” menny. termék termék Egy 18 10 Kettő 32 18 Három 42 25 Négy 47 31 Öt 50 35 Hat 52 36

Az előző feladatban a csere folytatására megfogalmazott feltételt figyelembe véve meddig érdemes cserélniük, ha: a) egy db „X” termékért egy darab „Y” terméket adnak, b) egy db „X” termék két db „Y” termékkel cserélendő, c) két db „X” termék ér egy db „Y” terméket?

38.

II. Kardinális hasznosság

Megoldások 1) Alkalmazzuk a behelyettesítés módszerét: Q = 1 esetében TU = 2 Q = 2 esetében TU = 3 Q = 3 esetében TU = 2 Amennyiben még nagyobb Q-t helyettesítünk be, akkor a függvény alakjából következően TU egyre inkább csökkenne, így maximumát Q = 2 esetében veszi fel. Végezzük el a teljes négyzetté alakítást: TU = −Q2 + 4Q –1 = −(Q2 – 4Q + 1) = −[(Q–2)2 –3] = − (Q – 2)2 + 3 Azaz Q = 2 esetében éri el a függvény a maximumot, amelynek értéke 3. Deriváljuk függvényünket: TU’ = − 2Q + 4 Tegyük ezt egyenlővé 0-val: − 2Q + 4 = 0 Rendezzük az egyenletet: Q=2 Ez jelenti tehát a maximális mennyiséget, amelynek összhaszna (TUba behelyettesítve) egyenlő 3.

2) Behelyettesítéssel:

Q = 1 → TU = - 17 Q = 2 → TU = - 2 Q = 3 → TU = 7 Q = 4 → TU = 10 Q = 5 → TU = 7 Vagyis a telítődési pont 4 terméknél következik be, és ekkor a teljes haszon értéke 10. Teljes négyzetté alakítással: TU = − 3Q2 + 24Q − 38 = − 3 (Q − 4)2 + 10 Így a maximum Q = 4 esetén következik be, és értéke 10 lesz. Deriválással: TU’ = − 6Q + 24 = 0 rendezése után: Q = 4 és TU = 10 eredményhez jutunk.

3) Behelyettesítéssel: Q=1 Q=2 Q=3 Q=4

→ → → →

TU = 1 TU = 4 TU = 5 TU = 4

II. Kardinális hasznosság

39.

Vagyis a telítődési pont 3 terméknél következik be, és ekkor a teljes haszon értéke 5. Teljes négyzetté alakítással: TU = − Q2 + 6Q − 4 = − (Q − 3)2 + 5 Így a maximum Q = 3 esetén következik be, és értéke 5 lesz. Deriválással: TU’ = − 2Q + 6 = 0 rendezése után: Q = 3 és TU = 5 eredményhez jutunk.

4) A megoldás érdekében az összhaszonra és a határhaszonra vonatkozó összefüggések felhasználására van szükségünk. A lépések menete a következő lehet (az ismert jelöléseket alkalmazva): TU1 = MU1 = 10 MU2 = TU2 – TU1 = 17 – 10 = 7 TU3 = TU2 + MU3 = 17 + 5 = 22 TU4 = TU3 + MU4 = 22 + 3 = 25 TU5 = TU6 – MU6 = 29 – 1 = 28 MU5 = TU5 – TU4 = 28 – 25 = 3

5) Első lépésként írjuk be szövegből adatainkat a táblázat megfelelő részeibe! Termék mennyisége 1 2 3 4

A termék összhaszna

A termék határhaszna 7

3 3

Az ismert összefüggések felhasználásával (az előző feladat megoldásának menete alapján) most már lehetőségünk van a táblázat többi részének kitöltésére is! Végül az alábbi eredményhez jutunk: Termék A termék A termék mennyisége összhaszna határhaszna 1 7 7 2 12 5 3 15 3 4 18 3 5 20 2 6 21 1

40.

II. Kardinális hasznosság

6) Írjuk be a szövegben megadottakat elkészített táblázatunkba! Termék mennyisége 1 2 3 4

A termék összhaszna 12

A termék határhaszna 11

31 az első termék fele 0

Ezután az összefüggések ismeretében töltsük ki a táblázat többi részét! Termék mennyisége 1 2 3 4 5 6

A termék összhaszna 12 23 31 37 39 39

A termék határhaszna 12 11 8 6 2 0

7) a) Az adatsorból látszik, hogy az értékek folyamatosan növekednek, majd csökken. Ez a teljes haszon függvényre jellemző. Tehát a második oszlop a teljes haszon adatait tartalmazza. b) Így a harmadik oszlopba a határhaszon értékeit kell beírni. Kiszámításához két összefüggés ismerete kell: egyrészt egy termék teljes haszna ugyanaz, mint az első termék határhasznával. másrészt az i. határhaszon megegyezik az i. teljes haszon és az (i-1). teljes haszon különbségével. Ennek alapján a kitöltött táblázat az alábbi módon néz ki: Q 1 2 3 4 5 6

TU 10 16 20 22 23 21

MU 10 6 4 2 1 -2

II. Kardinális hasznosság

41.

8) a) Az első oszlopban az adatok növekednek, a másodikban csökkennek, sőt negatív értéket is található közöttük. Az előbbi a teljes haszonra, az utóbbi jellemzők a határhaszonra igazak. b) A korábbi feladatok megoldásának ismeretében nincs nehéz dolgunk a hiányzó adatok beírásánál. Q 1 2 3 4 5 6

TU 12 20 25 27 28 26

MU 12 8 5 2 1 -2

9) Írjuk fel a megadott információkat: MU2 = 14 MU4 = 12 Logikai megoldás: Mivel lineáris függvényről van szó, a két adat ismeretében MU3 csak azok felezőpontjában helyezkedhet el (egyenlő azok számtani átlagával), azaz 13. Vagyis 1 egységgel csökken határhaszonfüggvényünk. Kiinduló értéke (MU1) ezért 15-tel egyenlő. Általános képlete pedig: MUX = 15 – (X–1)*1 = 16 – X, az egyenes egyenlete (y = a + b*x) alapján. Egy függvény két pontjának ismeretében alkalmazhatjuk a következő képletet: (y – y1)*(x2 – x1) = (x – x1)*(y2 – y1) Konkrét példánkban ez a következő: (y – 14)*(4 – 2) = (x – 2)*(12 – 14) Azaz: (y – 14)*2 = (x – 2)*(– 2) Ezt átrendezve kapjuk a feladat megoldásaként az alábbi egyenletet: y = 16 – x

10) Gyakorlatilag egy számtani sorozatról van szó, ahol d = 8. Tudjuk még, hogy MU3 = 160. Ebből következik, hogy MU1 = 160 + 2*8 = 176. Az előző feladat logikája szerint a függvény: MUX = 184 – 8*X Telítődési pont annál a mennyiségnél van, amelynél a határhaszon nulla, vagyis amikor X = 23. (Hiszen MU23 = 184 – 8*23 = 0.)

42.

II. Kardinális hasznosság

11) Az előzőhöz teljesen hasonló feladatról van szó: a számtani sorozatnál d = 4. Ismerjük még, hogy MU5 = 52. Ebből következik, hogy MU1 = 52 + 4*4 = 68. Függvényünk tehát: MUX = 72 – 4*X Telítődési pont annál a mennyiségnél van, amelynél a határhaszon nulla, vagyis amikor X = 18. (Hiszen MU18 = 72 – 4*18 = 0.)

12) Vegyük sorba a lehetőségeket és azok összhasznát! 0 óra tévézés és 4 óra olvasás ⇒ 22 + 18 + 16 + 15 = 71 1 óra tévézés és 3 óra olvasás ⇒ 25 + 22 + 18 + 16 = 81 2 óra tévézés és 2 óra olvasás ⇒ 25 + 20 + 22 + 18 = 85 3 óra tévézés és 1 óra olvasás ⇒ 25 + 20 + 14 + 22 = 81 4 óra tévézés és 0 óra olvasás ⇒ 25 + 20 + 14 + 6 = 65 Az adatokból kiderül, hogy a legnagyobb hasznosságérzetet 2-2 óra tévézés és olvasás jelenti a diák számára.

13) Nézzük meg a főiskolás lehetőségeit (és elért összhasznát) „forróságérzetének” csökkentése érdekében! 9 fagyi és 0 üdítő ⇒ 32 + 0 = 32 (Vegyük észre, hogy az árarányok következtében a fagylalt és az üdítő közötti „átváltás”: 3:1, azaz főiskolásunknak három fagyiról kell lemondania annak érdekében, hogy egy üdítőt vásárolhasson!) 6 fagyi és 1 üdítő ⇒ 35 + 20 = 55 3 fagyi és 2 üdítő ⇒ 26 + 28 = 54 0 fagyi és 3 üdítő ⇒ 0 + 35 = 35 Tehát a főiskolai hallgató akkor tudja a legnagyobb hasznosságélvezetet a maga számára „elkönyvelni”, ha 6 fagyit és 1 üdítőt vásárol.

14) Figyelembe véve az egyes termékek árait és azt, hogy a termékek nem oszthatók, a következő lehetőségek közül választhatunk: „A” menny. 6 4 3 2 0 1 0

„B” menny. 0 0 2 0 0 2 4

„C” menny. 0 1 0 2 3 1 0

Összhaszon 20+16+12+8+4+2 = 62 20+16+12+8+40 = 96 20+16+12+30+25= 103 20+16+40+32 = 108 40+32+22 = 94 20+30+25+40 = 115 30+25+20+10 = 85

II. Kardinális hasznosság

43.

A táblázatból kiderül, hogy az a legjobb választás, ha az „A” és „C” termékből 1-1 darabot, míg a „B”-ből 2 db-ot vásárol a fogyasztó.

15) Számítsuk ki a csere lehetőségeit mindaddig, amíg az legalább az egyik félnél az előző állapothoz képest kedvezőtlenebb lesz! Az induló készletek és azok összhaszna: Juliskánál: 6 csoki TU = 10+8+7+5+2+1 = 33 Jancsinál: 4 üdítő TU = 14+9+6+2 = 31. a) Amennyiben a csere alapja 1 db csoki = 1 db üdítő:

készlete 5cs + 1ü 4cs + 2ü 3cs + 3ü

Juliska TU TU vált. 33–1+14=46 nő 46–2+9=53 nő 53–5+6=54 nő

készlete 1cs + 3ü 2cs + 2ü 3cs + 1ü

Jancsi TU TU vált. 31–2+10=39 nő 39–6+8=41 nő 41–9+7=39 csökk.

Csere igen igen nem

b) Amennyiben a csere alapja 2 db csoki = 1 db üdítő: Juliska Jancsi Csere készlete TU TU vált. készlete TU TU vált. 4cs + 1ü 33–1–2+14=44 nő 2cs + 3ü 31–2+10+8=47 nő igen 2cs + 2ü 44–5–7+9=41 csökk. 4cs + 2ü 47-6+7+5=53 nő nem

16) Az induló készlet és a hasznosság: a Hölgynél: 5X + 2Y illetve TU = 47 + 26 = 73 a Fiatalembernél: 1X + 4Y illetve TU = 18 + 31 = 49. Nézzük meg a különböző csere-lehetőségeket és azok hatásait! a) Amennyiben a csere alapja 1 db X = 1 db Y és a Hölgy növeli Y-ból a készletét: készlete 4X + 3Y 3X + 4Y 2X + 5Y

Hölgy TU 45+37 = 82 40+47 = 87 30+55 = 85

TU vált. nő nő csökk.

készlete 2X + 3Y 3X + 2Y 4X + 1Y

Fiatalember TU TU vált. 32+25 = 57 nő 42+18 = 60 nő 47+10 = 57 csökk.

Csere igen igen nem

44.

II. Kardinális hasznosság

Amennyiben a csere alapja 1 db X = 1 db Y és a Hölgy növeli X-ből a készletét: Hölgy Fiatalember Csere készlete TU TU vált. készlete TU TU vált. 6X + 1Y 48+14 = 62 csökk. 0X + 5Y 0+35 = 35 csökk. nem b) Amennyiben a csere alapja 1 db X = 2 db Y és a Hölgy növeli Y-ból a készletét: Hölgy Fiatalember Csere készlete TU TU vált. készlete TU TU vált. 4X + 4Y 45+47 = 92 nő 2X + 2Y 32+18 = 50 nő igen 3X + 6Y 40+62 = 102 nő 3X + 0Y 42+0 = 42 csökk. nem Amennyiben a csere alapja 1 db X = 2 db Y és a Hölgy növeli X-ből a készletét: Hölgy készlete TU 6X + 0Y 48+0 = 48

Fiatalember Csere TU vált. készlete TU TU vált. csökk. 0X + 6Y 0+36 = 36 csökk. nem

c) Amennyiben a csere alapja 2 db X = 1 db Y és a Hölgy növeli Y-ból a készletét: Hölgy készlete TU TU vált. 3X + 3Y 40+37 = 77 nő

Fiatalember Csere készlete TU TU vált. 3X + 3Y 42+25 = 67 nő igen

III. Ordinális hasznosság

45.

III. ORDINÁLIS HASZNOSSÁG Feladatok 1. Adott egy fogyasztó alábbi költségvetési egyenese. Melyik pontjára, illetve pontjaira igaz, hogy: a) csak egyik terméket vásárolja a fogyasztó, de nem költi el teljes jövedelmét; b) mindkét termékből vásárol a fogyasztó, de nem költi el teljes jövedelemét; c) csak egyik terméket vásárolja a fogyasztó, és elkölti teljes jövedelmét; d) mindkét terméket vásárolja a fogyasztó, és elkölti teljes jövedelmét; e) adott feltételek (jövedelem és termék árak) mellett nem megvásárolható kombináció; f) adott feltételek (jövedelem és termék árak) mellett, csak az egyik termékre koncentrálva nem megvásárolható kombináció; g) a jövedelmét nem költötte el a fogyasztó (több pontot kell jelölni!); h) a jövedelmét teljes mértékben elköltötte a fogyasztó (több pontot kell jelölni!); i) adott feltételek mellett nem megvásárolható lehetőség (több pontot kell jelölni!). y termék mennyisége

B D E

C x termék mennyisége

46.

III. Ordinális hasznosság

2. Rajzoljunk egy költségvetési egyenest! Jelöljük ezt J1-gyel! Az egyes tengelyeken az x és az y termék szerepel. Rajzoljunk egy olyan költségvetési egyenest, amely ehhez képest: a) a fogyasztó megnövekedett jövedelemi helyzetét mutatja (jelöljük J2-vel); b) az x terméknél árcsökkenést fejez ki (J3-mal jelöljük); c) mindkét termék ára csökkent, de nem azonos mértékben (jelöljük J4-gyel); d) azonos mértékű árcsökkenést mutat mindkét terméknél (J5-tel jelöljük)!

3. A fogyasztó 1.000 Ft-nyi jövedelmet szán két termékre, amelyek közül az egyik ára 250 Ft/db, a másiké 8 Ft/db. a) Mennyi az egyes termékekből a fogyasztó által megvásárolható maximális mennyiség? b) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét! c) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége?

4. Egy adott fogyasztó 1.500 Ft-ot szán x és y termék megvásárlására. Az x termékből egy darab 100 Ft-ba kerül, míg az y termék ára ennek másfélszerese. a) Mennyibe kerül egy darab y termék? b) Hány darab x illetve y terméket tud megvenni a fogyasztó, ha adott jövedelmét csak az egyik termék vásárlására fordítja? c) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét! d) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége? e) Írjon fel olyan konkrét jószágkombinációt, amikor a fogyasztó mindkét termékből vásárol, és teljesen elkölti jövedelmét! (Csak egész mennyiségek vételére van lehetőség!) f) Meg tudja vásárolni adott jövedelméből az alábbi jószágkombinációkat a fogyasztó: i) 5 db x termék és 5 db y termék, ii) 8 db x termék és 5 db y termék, iii) 6 db x termék és 6 db y termék? Válaszát minden esetben indokolja!

5. Tegyük fel, hogy egy fogyasztó két termékre (x-re és y-ra) fordítandó jövedelméből vagy 12 db x terméket, vagy 10 db y terméket tud maximum megvenni. Egy darab y termék 60 Ft-ba kerül. a) Mennyi jövedelmet szán a fogyasztó összesen a két termékre? b) Mennyibe kerül egy darab x termék? c) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét! d) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége?

III. Ordinális hasznosság

47.

e) Hogyan változik a termékekből maximálisan megvásárolható mennyiség, ha a fogyasztó két termékre szánt jövedelme 50 %-kal megnő? f) Ábrázolja az új helyzetnek megfelelő költségvetési egyenest! g) Mennyi lesz az új egyenes meredeksége?

6. A fogyasztó x és y termékre összesen 2.000 Ft-ot kíván elkölteni. Az x termékből egy darab 40 Ft-ba kerül. Ha csak y terméket vásárolna, akkor 20 db-ot tudna maximum megvenni. a) Mennyibe kerül egy darab y termék? b) Maximum mennyi x terméket vehet meg a fogyasztó? c) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét! d) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége? e) Hogyan változik a termékekből maximálisan megvásárolható mennyiség, ha az eddig "0" forgalmi adós x terméket 25 %-os ÁFA terhelné? f) Ábrázolja az új helyzetnek megfelelő költségvetési egyenest! g) Mennyi lesz az új egyenes meredeksége?

7. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó részeit! I 3.000 2.000 4.800

px 75 80

py 200 20

40 20

xmax

ymax

30 40

px/py 4/3

160 45

3/4

8. Tegyük fel, hogy – ceteris paribus – az x termék ára a kétszeresére nő. a) Hogyan változik az x illetve az y termékből maximálisan megvásárolható mennyiség? b) Mennyi lesz az új költségvetési egyenes meredeksége, ha az eredeti árarány 2:3 volt?

9. Tegyük fel, hogy – minden más feltétel változatlansága mellett – a fogyasztó x és y termék vásárlására szánt jövedelme másfélszeresére nő. a) Hogyan változik az x illetve az y termékből maximálisan megvásárolható mennyiség? b) Mennyi lesz az új költségvetési egyenes meredeksége, ha az eredeti árarány 2:3 volt?

48.

III. Ordinális hasznosság

10. Egyik időszakról a másikra az x termék ára a háromszorosára nőtt, miközben az y termék ára a felére esik vissza. a) Hogyan változik az x illetve az y termékből maximálisan megvásárolható mennyiség? b) Mennyi lesz az új költségvetési egyenes meredeksége, ha az eredeti árarány 4:3 volt? c) Milyen változás következik be ezek után az egyes termékekből megvásárolható maximális mennyiségeknél, illetve a költségvetési egyenes meredekségénél, ha a fogyasztó a két termékre fordított jövedelmét a kétszeresére emeli?

11. Az alábbi ábra mely pontjára, illetve pontjaira igaz, hogy: a) a fogyasztó elkölti teljes jövedelmét, de nem éri el a jövedelemhez tartozó legnagyobb hasznosságot (több pontot kell jelölni!); b) a fogyasztó nem költi el teljes jövedelmét; c) a fogyasztó elkölti teljes jövedelmét, és eléri a jövedelemhez tartozó legnagyobb hasznosságot; d) a fogyasztó olyan hasznossági szintre lépne, amelyet a feltételek nem tesznek lehetővé; e) a fogyasztó olyan jószágkombinációt választ, amelyet nem tud a jövedelméből megvásárolni, bár az adott hasznossági szintet képes lenne elérni (több pontot kell jelölni!). y termék mennyisége

A E

F B

D G H x termék mennyisége

III. Ordinális hasznosság

49.

12. Adott két hasznos, és egyszerre (együtt) is szívesen fogyasztott jószág. a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét! b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket! c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul ki az optimális jószágkombináció!

13. Adott két hasznos, tökéletesen kiegészítő jószág. a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét! b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket! c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul ki az optimális jószágkombináció!

14. Adott két hasznos, tökéletesen helyettesítő jószág. a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét! b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket! c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul ki az optimális jószágkombináció!

15. Adott egy hasznos és egy semleges jószág. a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét! b) Jelölje, hogy melyik tengelyen melyik jószág szerepel! c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul ki az optimális jószágkombináció!

16. Adott egy hasznos és egy káros jószág. a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét! b) Jelölje, hogy melyik tengelyen melyik jószág szerepel! c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul ki az optimális jószágkombináció!

17. Adott két hasznos, de egyszerre (együtt) nem szívesen fogyasztott jószág. a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét! b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket! c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul ki az optimális jószágkombináció!

50.

III. Ordinális hasznosság

18. Határozza meg a következő függvények x, y szerinti határhaszon-függvényét, és a helyettesítési határrátákat: 1)

U = 2⋅ x⋅ y

U = 4 ⋅ x ⋅ y2

U = 3⋅ x ⋅ y

10)

U = x2 ⋅ y3

U = 5⋅ x ⋅ y

11)

U = 2⋅ x + y

U = x2 ⋅ y2

12)

U = x + 4⋅ y

U = x3 ⋅ y3

13)

U = 3⋅ x + 4 ⋅ y

U = x2 ⋅ y

14)

U = x3/ 2 ⋅ y3/ 2

U = 5⋅ x2 ⋅ y

15)

U = x ⋅ y3

U = x ⋅ y2

16)

U = ( x + 1) ⋅ ( y − 1)

19. Egy fogyasztó hasznossági függvénye: U = 2 ⋅ x 2 ⋅ y alakú. A fogyasztó x és y termékre összesen 6.000 egységnyi jövedelmet költ. Az x termék ára 80, az y termék ára 40 egység. a) Írja fel a helyettesítési határrátát! b) Írja fel x termék keresleti függvényét! c) Mennyit fogyaszt a termékekből a racionálisan választó fogyasztó? d) Mekkora a racionális fogyasztó által elért hasznosság? e) Mennyi az optimumban a helyettesítési határráta értéke? f) Írja fel az x termék Engel-görbéjének egyenletét!

20. Egy fogyasztó hasznossági függvénye U = 3 ⋅ x ⋅ y alakú, jövedelme 4.000 egységnyi. Az x termék ára 40 egység, az y termékből maximálisan vásárolható termékmennyiség 80. a) Mekkora az y termék ára? b) Mennyi x és y terméket vásárol a racionális fogyasztó? c) Mekkora ebben az esetben az elért hasznossága? d) Írja fel x illetve az y termék keresleti függvényét! e) Írja fel az x illetve az y termék Engel-görbéjét!

III. Ordinális hasznosság

51.

21. Egy fogyasztó hasznossági függvénye: U = 2 ⋅ x 2 ⋅ y . A fogyasztó jövedelme 2.400 egység, az y termék ára 100 Ft, míg ha az összes jövedelmét x termékre költi, akkor 60 darabot tud belőle venni. a) Hány x és hány y terméket vásárol a fogyasztó, ha optimálisan költi el a jövedelmét? b) Mekkora ebben az esetben az elért hasznossága? c) Írja fel x illetve az y termék Engel-görbéjét! d) Írja fel a fogyasztó keresleti görbéjét az x illetve az y termékre nézve!

22. A fogyasztó hasznossági függvénye: U = x ⋅ y . Adott árak és nominális jövedelem mellett optimális választása: x = 50 db, y = 100 db. Az y jószág ára: py = 25. a) Fejezze ki a helyettesítés határrátáját (MRS-t) és határozza meg konkrét számértékét az optimális választás pontjában! b) Mekkora ebben az esetben az x termék ára és mennyi a fogyasztó összes nominális jövedelme? c) Határozza meg az x és az y termék Engel-görbéjét abban az esetben, ha a két jószág ára nem változott! d) Írja fel az x és y termék keresleti görbéjét!

23. Egy fogyasztó hasznossági függvénye U = 5 ⋅ x ⋅ y alakú. A racionális fogyasztó x termékből 50 darabot vásárol. Ha 4.000 egységnyi jövedelméből csak x terméket vásárol, maximálisan 100 darabot vehet belőle. Az y termék ára 50 egység. a) Mennyi az x termék ára és az y termék mennyisége az optimális fogyasztó kosárban? b) Az x termék ára másfélszeresére nő. Hogyan hat ez a tény az x és y termékből vásárolt optimális mennyiségekre? c) Mekkora a teljes árhatás? d) Számítsa ki az árváltozás helyettesítési hatását és jövedelmi hatását a Hicks-féle jövedelem-kompenzációs módszert alkalmazva! e) Mekkora jövedelemkompenzációt kell adni a fogyasztónak?

24. A fogyasztó hasznossági függvénye: U = x 4 ⋅ y 4 . Adott árak és nominális jövedelem mellett optimális választása: x = 40 db, y = 4.000 Ft. (Tehát y összetett jószág, amelynek ára, Py = 1). a) Fejezze ki a helyettesítés határrátáját (MRS-t) és határozza meg konkrét számértékét az optimális választás pontjában! b) Mekkora ebben az esetben az x termék ára és mennyi a fogyasztó összes

52.

III. Ordinális hasznosság

c) d) e) f) g)

nominális jövedelme? Az x termék ára 80 Ft-ra csökken, miközben a fogyasztó nominális jövedelme változatlan. Számítsa ki az új optimális jószágkombinációt! Számítsa ki az árváltozás teljes hatását X termék keresletében! Mekkora lesz a helyettesítési és a jövedelmi hatás a Hicks-féle jövedelemkompenzációs módszer szerint? Mennyi a negatív jövedelemkompenzáció nagysága? Írja fel az ICC- és a PCC-görbe egyenletét!

25. Egy fogyasztó magatartása a következő hasznossági függvénnyel írható le:

U = x ⋅ y . Az x termék ára 6 Ft/db, az y termék ára 5 Ft/db és a fogyasztó rendelkezésére álló jövedelme 60 Ft. a) Az optimális jószágkosár hány db x és hány db y terméket tartalmaz? b) Mennyi az optimális jószágkosárnál a helyettesítési ráta? c) Az x termék ára 10 Ft/db-ra nő, míg az y terméké változatlan marad. Mennyi x és y terméket tartalmaz az optimális jószágkosár? d) Ha Slutsky-féle jövedelemkompenzációt alkalmaznak, akkor mekkora lenne a jövedelem-kiegészítés összege? e) Mennyi lesz az árváltozás teljes hatása? f) Bontsa fel a teljes hatást jövedelmi és helyettesítési hatásra az x termékre vonatkozóan! g) Írja fel az ICC- és a PCC-görbe egyenletét!

26. Egy fogyasztó x és y termékre vonatkozó preferenciáját az U = x 2 ⋅ y függvény fejezi ki. A két termékre elkölthető jövedelem 9.000 Ft. Az x termék ára 30 Ft. Az y termék ára másfélszerese az x termék árának. a) Írja fel a helyettesítési határráta általános értékét! b) Határozza meg mennyi x és y terméket fogyaszt az optimumban! c) Ha x termék árát az y termék árának szintjére emelik, mennyi lesz az optimális fogyasztási szerkezetben x és y mennyisége? d) Mennyi lesz a Slutsky-féle jövedelemkompenzáció nagysága? e) Határozza meg az árváltozás hatását, és bontsa fel az Slutsky-módszerrel!

27. Egy fogyasztó preferenciarendszere a következő hasznossági függvénnyel írha2 tó le: U = x ⋅ y . Az x termék ára 20 egység, míg y termék ára 30 egység. A fogyasztó a két termékre összesen 5.000 egységnyi jövedelmet költ el. a) Mennyi x és y terméket fogyaszt a racionális fogyasztó? b) Írja fel a helyettesítési határráták értékét az optimumban! c) Az x termék ára 1,5-szeresére nő. Hogyan változik meg az optimális fo-

III. Ordinális hasznosság

d) e) f) g) h)

53.

gyasztói kosár összetétele? Mekkora a teljes árhatás? Számítsa ki az árváltozás helyettesítési hatását és jövedelmi hatását a Hicks-féle jövedelem-kompenzációs módszert alkalmazva! Mekkora a szükséges jövedelemkompenzáció nagysága? Mennyi lenne a jövedelemkompenzáció nagysága a Slutsky-féle módszer esetében? Határozza meg a teljes árhatás nagyságát és Slutsky módszerét követve határozza meg a helyettesítési és jövedelmi hatást!

28. Egy fogyasztó x és y termékre vonatkozó preferenciáját az alábbi függvény fejezi ki: U = x3 ⋅ y3 A két termékre elkölthető jövedelem 15.000 Ft. Az y termékből maximum 500 db-ot, az x termékből maximum 300 db-ot tud a fogyasztó megvásárolni. a) Írja fel a helyettesítési határrátákat! b) Határozza meg, mennyibe kerül x és y termék! c) Határozza meg mennyi x és y terméket vásárol a fogyasztó optimális esetben! d) Ha az x termék ára négyszeresére nő, mennyi lesz az optimális fogyasztási szerkezetben x és y mennyisége? e) Határozza meg az árváltozás teljes hatását, valamint ennek Hicks-féle felbontását a két hatásra! f) Mennyi lesz ebben az esetben a Hicks-féle jövedelemkompenzáció nagysága? g) Miután meghatározta a teljes árhatást, végezze el ennek Slutsky-féle felbontását a két hatásra! h) Mennyi lesz ebben az esetben a Slutsky-féle jövedelemkompenzáció nagysága?

29. Egy fogyasztó a kávét csak tejszínnel szereti, illetve fogyasztja, mégpedig rögzített arányban: egy egység kávéhoz két egység tejszínt adagol. A fogyasztó havonta 1.800 forintot költ e két jószágra. Egyik hónapról a másik hónapra a tejszín ára 10 forintról 15 forintra növekedett, miközben egy adag kávé ára változatlanul 30 forint. a) Milyen viszonyban van a két termék? (Milyen típusúak a termékek?) b) Ábrázolja a két termék közömbösségi térképét! c) Ábrázolja a kiinduló költségvetési egyenest is! Jelölje a tengelymetszeteket! d) Mennyi kávé és tejszín lesz a fogyasztó optimális fogyasztási szerkezeté-

54.

III. Ordinális hasznosság

ben az árváltozás előtt és az árváltozás után? e) Határozza meg a helyettesítési, jövedelmi és a teljes árhatás nagyságát Slutsky-módszerrel!

30. Egy fogyasztó fagylaltot és tejszínhabot csak együtt, mégpedig rögzített arányban fogyasztja: 4 gombóc fagylalthoz 1 adag tejszínhabot kér. A fogyasztó havonta 1.200 Ft-ot költ erre a két termékre. Egyik hónapról a másikra a fagylalt ára 50 Ft/gombócról 75 Ft/gombócra emelkedik, miközben a tejszínhab egy adagjának ára változatlan 100 Ft marad. a) Milyen viszonyban van a két termék? (Milyen típusúak a termékek?) b) Ábrázolja a kiinduló költségvetési egyenest! Jelölje a tengelymetszeteket! c) Ábrázolja a két termék közömbösségi térképét! d) Hány gombóc fagylalt és hány adag tejszínhab szerepel az optimális fogyasztási kombinációban az árváltozás előtt és után? e) Számítsa ki a Slutsky-féle teljes árhatás, a helyettesítési és a jövedelmi hatás nagyságát!

31. Egy fogyasztó számára a fagylalt és a csokoládé tökéletesen helyettesítik egymás, egy tábla csokoládé vagy 4 gombóc fagylalt ugyanolyan hasznossággal bír. a) Ábrázolja a fogyasztó közömbösségi görbéit a fagylalt (x) és a csokoládé (y) vonatkozásában! Írja fel a közömbösségi görbe egyenletét! b) A fogyasztó heti zsebpénze 1.000 Ft, egy gombóc fagylalt 60 Ft, egy tábla csokoládé 250 Ft. Mennyi fagylaltot és csokoládét vásárol a haszonmaximalizáló fogyasztó? c) Adja meg a PCC és az ICC-görbék egyenletét!

32. Egy fogyasztó számára a presszó kávé és a cappuchino tökéletesen helyettesítik egymás, igaz, a presszó kávét 2-szer olyan erősnek érzi, mint a cappuchinot (azaz két cappuchino hasznossága ugyanolyan, mint egy presszó kávéé). a) Ábrázolja a fogyasztó közömbösségi görbéit a presszó kávé (x) és a cappuchino (y) vonatkozásában! Írja fel a közömbösségi görbe egyenletét! b) A fogyasztó havonta 5.000 Ft költ kávéféleségre. Egy presszó kávé 200 Ft, egy cappuchino 250 Ft. Mennyi kávét és cappuchinot vásárol a haszonmaximalizáló fogyasztó? c) Adja meg a PCC és az ICC-görbék egyenletét!

33. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az x termékből 200 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy az

III. Ordinális hasznosság

55.

x termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 120 darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelemkompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 140 darab x és 250 darab y terméket vásárolna. a) Határozza meg a teljes árhatás és Slutsky-módszerével a helyettesítési és jövedelmi hatás nagyságát! b) Milyen módon jellemezhető az x termék?

34. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az x termékből 200 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy az x termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 120 darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelemkompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 100 darab x és 250 darab y terméket vásárolna. a) Határozza meg a teljes árhatás és Slutsky-módszerével a helyettesítési és jövedelmi hatás nagyságát! b) Milyen módon jellemezhető az x termék?

35. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az x termékből 200 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy az x termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 120 darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelemkompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 170 darab x és 250 darab y terméket vásárolna. a) Határozza meg a teljes árhatás és Slutsky-módszerével a helyettesítési és jövedelmi hatás nagyságát! b) Milyen módon jellemezhető az x termék?

36. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az x termékből 170 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy az x termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 200 darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelemkompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 120 darab x és 250 darab y terméket vásárolna. a) Határozza meg a teljes árhatás és Slutsky-módszerével a helyettesítési és jövedelmi hatás nagyságát! b) Milyen módon jellemezhető az x termék?

56.

III. Ordinális hasznosság

Megoldások 1) a) A b) B c) C

d) D e) E f) F

g) A és B h) C és D i) E és F

2) a)

y termék mennyisége

x termék mennyisége

y termék mennyisége

x termék mennyisége

III. Ordinális hasznosság

57.

3) I 1000 = =4 Px 250 I 1000 = = = 125 Py 8

a) xmax = y max

125

A költségvetési egyenes tengelymetszeteinek jelentése: az adott tengelyen felvett termékből maximálisan megvásárolható mennyiség. Az egyenes negatív meredekségű, mert, ahhoz, hogy a fogyasztó a jövedelme teljes elköltése mellett növelhesse az egyik termékből elfogyasztott mennyiséget, a másik termékből kevesebbet kell fogyasztania.

c) Az egyenes meredekségét a termékek árainak aránya határozza meg: Px 250 = Py 8

a) Py=100*1,5=150 Ft ymax=10 b) xmax=15 c)

Px 100 = = 0,66& Py 150 e) I= Px*x+Py*y 1500=100*x+150*y Tetszőlegesen megadjuk x értékét. Ezt behelyettesítve a költségvetési egye-

58.

III. Ordinális hasznosság

nes egyenletébe, megkapjuk az y termékből vásárolható mennyiséget. Legyen x=6. 1500=100*6+150*y y=6 f) i) 1500>100*5+150*5 1500>1250, tehát meg tudja vásárolni, de nem költi el az összes jövedelmét, még 250 egységnyi jövedelme marad. ii) 1500<100*8+150*5 1500<1550, tehát nem tudja megvásárolni, ehhez még 50 egységnyi többletjövedelemre lenne szüksége. iii) 1500=100*6+150*6 1500=1500, tehát meg tudja vásárolni, a jövedelme teljes elköltése mellett.

a) I=ymax*Py=10*60=600 b) I 600 Px = = = 50 xmax 12 c)

I=600

I’=900

d) Px 50 5 = = Py 60 6 e) I’=600*1,5=900 x’max=900/50=18 y’max=900/60=15 f) A c) pontban ábrázolt egyenessel párhuzamos, tengelymetszetek értéke az e) pontban kiszámolt értékekre változik (I’=900). g) A termékek ára nem változott, tehát az egyenes meredeksége nem változott a d) pontban kiszámolt értékhez képest.

III. Ordinális hasznosság

59.

a) Py=2000/20=100 b) xmax=2000/40=50 c)

c) 40

d) Px 40 = = 0,4 Py 100 e) P’x=40*1,25=50 x’max=2000/50=40 f) A költségvetési egyenes elfordul az x termék tengelye mentén az origó felé. Az y tengellyel vett metszéspont nem változik (20), az x tengellyel vett metszéspont 40-re csökken. Nő az egyenes meredeksége. g) Px′ 50 = = 0,5 Py 100

7) I 3.000 2400 2.000 4.800 900

px 75 80 50 40 15

py 200 60 20 30 20

xmax 40 30 40 120 60

ymax 15 40 100 160 45

px/py 0,375 4/3 2,5 4/3 3/4

8) a) Az x termékből vásárolható mennyiség felére csökken, az y-ból vásárolható mennyiség nem változik. b) 4:3

60.

III. Ordinális hasznosság

9) a) Mindkét termékből másfélszeresére nő. b) Nem változik.

10) a) X termékből egyharmadára csökken, míg y termékből kétszeresére nő a maximálisan megvehető mennyiség. b) 12/1,5=8 c) A költségvetési egyenes meredeksége nem változik. Mindkét termékből kétszeresére nő a maximálisan megvásárolható termékmennyiség az a) pontbeli helyzethez képest.

11) a) b) c) d) e)

A, E és H B C F D és G

12) tej

a) – c)

I0 Optimum

kakaópor

III. Ordinális hasznosság

61.

13) tea

a) – c)

I0 Optimum U0 U1 U2

cukor

14)

fagyi

a) – c)

U0 I0

Optimum

jégkrém

c) Tökéletesen helyettesítő termékeknél az optimum valamelyik tengelyen található, vagy maga a költségvetési egyenes. Mivel az ábrázolt helyzetben a költségvetési egyenes meredeksége kisebb, mint a közömbösségi görbe meredeksége, az optimum az „x” tengelyen helyezkedik el, vagyis a fogyasztó csak jégkrémet vásárol, és az általa elérhető maximális hasznossági szint U1.

62.

III. Ordinális hasznosság

15) a) – c)

Optimum

I0 hasznos

16) káros

a) – c)

I0 Optimum hasznos

17) tej

a) – c) Optimum

I0 U0

U1 U2

dinnye

III. Ordinális hasznosság

63.

18) A határhaszon függvényeket úgy kapjuk, hogy a hasznossági függvényt parciálisan deriváljuk azon változó szerint, amelyre a határhaszon függvényt fel

∂U ∂U = MU MU = x y kívánjuk írni. Tehát ∂y . ∂x , valamint MRS y / x =

MU x MU y

MRS x / y =

MU y MU x

MU x = 2 y

MU y = 2 x

MRS y / x =

y x

MRS x / y =

x y

ii)

MU x = 3 y

MU y = 3x

MRS y / x =

y x

MRS x / y =

x y

iii)

MU x = 5 y

MU y = 5 x

MRS y / x =

y x

MRS x / y =

x y

iv)

MU x = 2xy 2

MU y = x 2 2 y

MRS y / x =

y x

MRS x / y =

x y

MU x = 3 x 2 y 3

MU y = x 3 3y 2

MRS y / x =

y x

MRS x / y =

x y

vi)

MU x = 2 xy

MU y = x 2

MRS y / x =

2y x

MRS x / y =

x 2y

vii)

MU x = 10 xy

MU y = 5 x 2

MRS y / x =

2y x

MRS x / y =

x 2y

viii)

MU x = y 2

MU y = 2 xy

MRS y / x =

y 2x

MRS x / y =

2x y

ix)

MU x = 4 y 2

MU y = 8 xy

MRS y / x =

y 2x

MRS x / y =

2x y

MU x = 2 xy 3

MU y = 3 y 2 x 2

MRS y / x =

2y 3x

MRS x / y =

3x 2y

xi)

MU x = 2

MU y = 1

MRS y / x = 2

MRS x / y = 1 / 2

xii)

MU x = 1

MU y = 4

MRS y / x = 1 / 4

MRS x / y = 4

64.

III. Ordinális hasznosság

3 4

MRS x / y =

4 3

3 12 y y MRS y / x = 2 x

MRS x / y =

x y

MRS x / y =

6x y

MRS y / x =

xiii)

MU x = 3

xiv)

MU x =

3 12 3 2 x y 2

MU y = x

xv)

MU x =

1 −12 3 x y 2

MU y = x 2 3 y 2

xvi)

U = x ⋅ y + y − x −1

MU y = 4

MU x = y − 1 MRS y / x =

y −1 x +1

MRS y / x =

y 6x

MU y = x + 1 MRS x / y =

x +1 y −1

19) MU x 4 xy 2 y = = MU y 2 x 2 x x b) Az x termék keresleti függvényének felírásához két egyenletet használunk. Egyrészt a fogyasztó optimális választására vonatkozó összefüggést, mely szerint az optimumban a helyettesítési határráta megegyezik az árak arányáMU x Px val (érintési feltétel): MRS y = = . MU y Py x Másrészt felhasználjuk a költségvetési egyenes egyenletét: I = Px ∗ x + Py * y . Mindkét összefüggésben változóként kezeljük Px-et. Az érintési feltételből y-t kifejezzük, majd behelyettesítjük a költségvetési egyenes egyenletébe. Az így kapott összefüggést x-re rendezzük. Px Px 2 y = 40 y = x 2 40 x 6.000=Px*x+40*y=1,5*Px*x x=4.000/Px c) A racionális fogyasztó, optimális fogyasztói kosarának összetételét az előző feladatban felhasznált összefüggésekkel kaphatjuk meg. Tehát szükségünk van az érintési feltételre, valamint a költségvetési egyenes egyenletére. MU x Px 80 2 y MRS y = = = y=x MU y Py 40 x x 6.000=80*x+40*y=120*x x’=50 y’=50

a) MRS y =

III. Ordinális hasznosság

65.

d) A kapott termékmennyiségeket helyettesítjük vissza a hasznossági függvénybe. U=2*502*50=250.000 MU x Px e) Tudjuk, hogy az optimumban MRS y = = . Ebből kiszámolhatjuk, MU y Py x hogy: MRSy/x=2 f) Az Engel-görbe felírása a már ismert érintési feltétel és a költségvetési egyenes segítségével történik, oly módon, hogy a jövedelmet (I) változóként szerepeltetjük az egyenletben. Érintési feltételből tudjuk, hogy: y=x Költségvetési egyenes: I=80*x+40*y=120*x x=I/120 Amennyiben y termékre kell felírnunk az Engel-görbét, az érintési feltételből x-et fejezzük ki, és azt helyettesítjük vissza a költségvetési egyenes egyenletébe.

20) a) Py=I/ymax=4.000/80=50 MU x Px 40 y b) MRS y = = = MU y Py 50 x x 4.000=40*x+50*y=80*x x=50 y=40 c) U=3*50*40=6.000 P y 50 y = Px x d) x = 50 x 4.000=Px*x+50*y=2*Px*x x=2000/Px 40 y = 40 x = Py y Py x 4.000=40*x+Py*y=2*Py*y y=2.000/Py e) I = 40*x + 50*y I = 80*x

x = I/80

40 y = 50 x

4x 5

66.

III. Ordinális hasznosság

40 y = 50 x

f) I=40*x+50*y I=100*y

y=I/100

21) a) Px = 2400/60 = 40 Py = 100 I = 2.400 = 40*x + 100*y MU x Px 40 2 y MRS y = = = MU y Py 100 x x 2.400=300*y y=8 x=40 b) Umax=2*402*8=25600 c) I=40*x+100*y 5*y=x I=300*y y=I/300 I=60*x x=I/60 2 y Px d) = 200 y = Px x x 100 2400=Px*x+100y=1,5*Px*x x=1600/Px 2 y 40 40 x = 2 Py ⋅ y = x Py 2400=40*x+Py*y=3*Py*y y=800/Py

22) a) MRS y / x =

y ; x

MRS opt = 2

b) Az optimumban MRS y = x

Px P , ebből 2 = x Py 25

px = 50 I = 50*x+25*y=50*50+25*100=5.000 c) I=50x+25y y 50 y = 2x x = 0,5 y = x 25 I=50*x+25*y=100*x

5y = x

III. Ordinális hasznosság

67.

x=I/100 I=50*x+25*y=50*y y=I/50 d) 5.000=Px*x+25*y 5.000=50*x+Py*y

y Px = x 25 y 50 = x Py

5000=2Px*x

x=2.500/Px

5000=2Py*y

y=2.500/Py

23) a) Px=4.000/100=40 y=(4.000-40*50)/50=40 b) P’x=40*1,5=60 y 60 6x = y= x 50 5 4.000=60*x+50*y=120*x x’=33,33 y’=40 c) TH=x’-x=33,33-50=-16,67 d) Hicks módszere azon a gondolaton alapszik, hogy a fogyasztónak az árváltozás után is képesnek kell lennie az eredeti hasznossági szint elérésére. Ennek megfelelően a jövedelemkompenzáció utáni optimális választás (x”, y”) kiszámításához az eredeti hasznossági szintre felírt hasznossági függvényt, és az árváltozás után felírt érintési feltételt használjuk. U=5*50*40=10.000 10.000=5*x*y 2000 6x és y= y= x 5 x”=40,83 y”=48,99 JH=x’-x”=33,33-40,83=-7,5 HH=x”-x=40,83-50=-9,17 e) A szükséges jövedelemkompenzáció nagyságát megkapjuk, ha elsőként kiszámoljuk, hogy mekkora lett a fogyasztó jövedelme, miután megkapta a jövedelemkompenzációt, majd ebből levonjuk az eredeti jövedelmet. I’=P’x*x”+Py*y”=60*40,83+50*48,99=4.899 ∆I=I’-I=899

24) a) MRS y / x =

4 x3 y 4 y = 4 y3 x4 x

68.

III. Ordinális hasznosság

y Px = x Py x=40 és Py=1 MRSy/x = 100

és y = 4.000

b) Az optimumban MRS y / x = Px=100

c) d) e)

f) g)

Px Py

100=Px/1

I = 40*100 + 4000*1 = 8.000 y 80 Px’ = 80 y = 80x 8.000 = 80*x + 80*x = x 1 x’ = 50 y’ = 4000 TH = 50 – 40 = + 10 Umax = 404*40004 = 160.0004 160.0004 = x4*y4 160000 és y = 80 x y= x x’’ = 44,7 y’’=3.577,7 HH = 44,7 – 40 = 4,7 JH = 50 – 44,7 = 5,3 I’=80*44,7+3.577,7=7.153,7 ∆I=I’-I=-846,3 Az ICC görbe különböző jövedelemszintekhez tartozó optimális fogyasztói kosarakat tartalmaz. Ezért felírásához felhasználhatjuk az árváltozás utáni optimum értékét (44,7; 3.577,7), valamint a jövedelemkompenzáció utáni optimális fogyasztói kosarat (50;4.000). Az egyenes egyenletének általános alakja: y=a*x+b ICC: 4.000=a*50+b 3.577,7=a*44,7+b a=79,68 b=16,04 ICC: y=79,68*x+16,04 A PCC görbe az egyik termék változó ára melletti optimális fogyasztói kosarakat tartalmaz. Ezért felírásához felhasználhatjuk az árváltozás utáni optimum értékét (50; 4.000), valamint a fogyasztó eredeti optimális fogyasztói kosarát (40;4.000). Az egyenes egyenletének általános alakja: y=c*x+d PCC: 4.000=c*50+d 4.000=c*40+d c=0 d=4.000 PCC: y=4.000

III. Ordinális hasznosság

69.

25) a) MRS y = x

MU x Px = MU y Py

y 6 6x = y= x 5 5 60=6*x+5*y=12*x x=5 y=6 MU x y 6 b) MRS y = = = MU y x 5 x 60=5*y+10*x c) P’x=10 y 10 = y = 2x x 5 60=20*x x’=3 y’=6 d) Slutsky szerint a fogyasztónak akkora jövedelemkompenzációt kell adni, hogy az árváltozás után is képes legyen az eredetileg kiválasztott termékmennyiség megvásárlására: ∆I=(P’x-Px)*x=(10-6)*5=20 e) Miután kiszámoltuk a szükséges jövedelem-kiegészítés mértékét, hozzáadjuk a fogyasztó eredeti jövedelméhez. Az így megkapott jövedelemszintre, a megnövekedett P’x árral felírjuk a költségvetési egyenes egyenletét, valamint az érintési feltételt. Így kiszámolhatjuk a fogyasztó optimális választását, amelyet a jövedelem-kiegészítés után vásárolna. I’=80=10*x+5*y 10 y = y = 2x 5 x 80=10*x+10*x x”=4 y”=8 e) TH: 3-5= -2 f) JH: 3-4= -1 HH: 4-5= -1 g) ICC: 8=4*a+b 6=3*a+b a=2 b=0 ICC: y=2x PCC: 6=5*c+d 6=3*c+d c=0 d=6 PCC: y=6

70.

III. Ordinális hasznosság

26) MU x 2 y = MU y x x Py = 30*1,5 = 45 9.000=30*x+45*y 30 2 y x = 3y = 45 x 9.000=135*y x = 200 y=66,7 Px’ = Py = 45 9.000=45x+45y 45 2 y = x = 2y 45 x x’ =133,3 y’ = 66,7 A Slutsky-féle jövedelemkompenzáció: ∆I= (px’- px)*x= (45-30)*200= 3000 Teljes árhatás: 133,3 – 200 = − 66,7 12000=45*x”+45*y” x = 2y x”= 177,78 HH: 177,78 − 200 = − 22,22 JH: 133,3 − 177,78 = − 44,45

a) MRS y = b)

d) e)

27) a) MRS y = x

MU x Px = MU y Py

2 y 20 x = y= x 30 3 5.000=20*x+30*y=30*x x=166,67 y=55,56 MU x 2 xy 2 y 2 * 55,56 b) MRS y = = 2 = = = 0,66& MU y x x 166,67 x c) P’x=20*1,5=30 2 y 30 x = y= x 30 2 5.000=30*x+30*y=45*x x’=111,11 y’=55,56

MRS x = y

MU y MU x

= 1,5

III. Ordinális hasznosság

71.

d) TH=x’-x=111,11-166,67=-55,56 e) Umax=166,672*55,56=1.543.395 1.543.395=x2y x 1543395 y= y= és 2 2 x x”=145,6 y”=72,8 JH=111,11-145,6=-34,49 HH=145,6-166,67=-21,07 f) I’=30*145,6+30*72,8=6.552 ∆I=6.552-5.000=1.552 g) ∆I=(30-20)*166,67=1666,7 h) TH=111,11-166,67=-55,56 I’=5.000+1.666,7=6.666,7 6.666,7=30*x”+30*y” x y= 2 6.666,7=45x” x”=148,15 y”=74,07 JH=111,11-148,15=-37,04 HH=148,15-166,67=-18,52

28) x y MRS x = y y x x px = 15.000/300 = 50 y 5 5x y= = x 3 3 15.000=50*x+30*y=100*x x=150 y=250 p’x=200 20 x y 200 y= = x 30 3 15.000= 200*x+30y=400x x’ = 37,5 y’ = 250 3 Umax= 150 *2503= x3y3 150 * 250 20x y= y= x és 3 x”=75 y”=500

a) MRS y = b) c)

py = 15.000/500 = 30

72.

III. Ordinális hasznosság

TH: 37,5-150 = − 112,5 HH: 75-150 = − 75 JH: 37,5- 75 = − 37,5 f) A Hicks-féle jövedelemkompenzáció: ∆I= 75*200+500*30 - 15000= 15000 g) A Slutsky-féle jövedelemkompenzáció: ∆I= (p’x- px)*x= (200-50)*150= 22500 22.500+ 15.000=37500 37.500= 200x + 30y 20x y= 3 37.500=400*x x”= 93,75 y”= 625 HH: 93,75-150 = − 56,25 JH: 37,5- 93,75 = − 56,25 h) ∆I= (p’x- px)*x= (200-50)*150= 22.500

29)

kávé

a) tökéletesen kiegészítők b) – c)

U0 I0

U2 Optimum

180

tejszín

d) legyen tejszín „x” termék és a kávé „y” termék mivel egy egységnyi y termékhez mindig két egységnyi x terméket fogyaszt, ezért az y-ból fogyasztott mennyiség mindig feleakkora lesz, mint ahány egység x terméket vásárol. Azaz: y=0,5x árváltozás előtt: 1800=10x+30y=25x x=72 y=36 árváltozás után: 1800=15x+30y=30x x’=60 y’=30

III. Ordinális hasznosság

73.

e) ∆I=(15-10)*72=360 I’=2160=15x+30y=30x x”=72 TH: x’- x=–12 HH: x”- x=0, JH: x’- x”=–12

30)

tejszínhab

a) tökéletesen kiegészítők b) – c)

Optimum

fagyi

d) Legyen a fagyi „x”, a hab „y” termék x=4y árváltozás előtt: 1200=50x+100y=300y y=4 x=16 árváltozás után: 1200=75x+100y=400y y’=3 x’=12 e) ∆I=(75-50)*16=400 I’=1600=75x+100y=400y y”=4 x”=16 TH: x’-x= - 4 HH: x”-x=0 JH: x’-x”=– 4

31) a) Közömbösségi görbe: (4;0) és (0;1) pontokon átmenő egyenes egyenlete: (y-0)(0-4)=(x-4)(1-0) -4y=x-4 4=x+4y U=x+4y (a közömbösségi görbe egyenlete), ahol „x” termék a fagylalt, „y” termék a csoki.

III. Ordinális hasznosság

csoki

74.

fagyi

b) I=1000 Px=60 Py=250 1000=60*x+250*y U=x+4y→ x=U-4y 1000=60*U-240*y+250*y 1000-10*y=60*U 16,67-0,167*y=U. Umax, ha y=0, tehát x=16,67 P MU x 1 60 c) x = = 0,24 < = = 0,25 , ezért az x tengellyel azonos az ICC és a Py 250 MU y 4 PCC görbe, tehát egyenletük y=0.

32)

cappuchino

a) Közömbösségi görbe: (1;0) és (0;2) pontokon átmenő egyenes egyenlete: (y-0)*(0-1)=(x-1)*(2-0) -y=2*x-2 2=2*x+y U=2*x+y

U0 U1 U2 presszó kávé

III. Ordinális hasznosság

75.

b) 5000=200*x+250*y U=2*x+y x=(U-y)/2 5000=100*U-100*y+250*y=100*U+150*y U=50-1,5*y Umax, ha y=0 50=2*x+y=2*x x=25 Px 200 MU x = = 0,8 < = 2 ICC és PCC is egybeesik az „x” tengellyel, c) Py 250 MU y tehát egyenletük: y=0

33) a) TH: 120-200 = - 80 HH: 140-200 = - 60 JH: 120-140 = - 20 b) Mivel a HH és a JH iránya azonos, így az x termék normál jószág.

34) a) TH: 120-200 = - 80 HH: 100-200 = - 100 JH: 120-100 = 20 b) Mivel a HH és a JH iránya ellentétes, de abszolút értékben a HH nagyobb, mint a JH, így az x termék inferior, de nem Giffen-jószág.

35) a) TH: 120-200 = - 80 HH: 170-200 = - 30 JH: 120-170 = -50 b) Mivel a HH és a JH iránya megegyezik, az x termék normál jószág.

36) a) TH=200-170=30 HH=120-170=-50 JH=200-120=80 b) Mivel a HH és JH iránya ellentétes, és JH abszolút értékben nagyobb, mint HH, az x termék Giffen-jószág.

76.

III. Ordinรกlis hasznossรกg

IV. Árupiaci kereslet

77.

IV. ÁRUPIACI KERESLET Feladatok 1. Megfigyelték, hogy egy adott termékből a mindenkor érvényesülő tényleges ártól függetlenül naponta 30.000 Ft értékben vásárolnak. a) Adja meg a termék keresleti függvényét! b) Milyen a termék keresletének árrugalmassága? c) Igazolja megállapítását két tetszőleges ár segítségével! d) Hogyan alakul az adott áraknál a termék értékesítéséből származó bevétel?

2. Megfigyelték, hogy egy adott termékből a mindenkor érvényesülő tényleges ártól függetlenül naponta 200 darabot vásárolnak. a) Adja meg a termék keresleti függvényét! b) Milyen a termék keresletének árrugalmassága? c) Igazolja megállapítását két tetszőleges ár segítségével! d) Hogyan alakul az adott áraknál a termék értékesítéséből származó bevétel?

3. Megfigyelték, hogy egy adott termékből 100 Ft-os egységár mellett a fogyasztók naponta a legkülönbözőbb mennyiségeket vásárolják meg. a) Adja meg a termék keresleti függvényét! b) Milyen a termék keresletének árrugalmassága? c) Igazolja megállapítását két tetszőleges ár segítségével! d) Hogyan alakul az adott áraknál a termék értékesítéséből származó bevétel?

4. Amennyiben egy termék ára 25 egység 44 darabot vásárolnak belőle. Ha az ár 20 egység lenne, akkor 60 darabot vennének belőle. a) Milyen a termék árrugalmassága? b) Hogyan változott a bevétel az árcsökkentés hatására?

5. Amennyiben egy termék ára 25 egység 44 darabot vásárolnak belőle. Ha az ár 20 egység lenne, akkor 55 darabot vennének belőle. a) Milyen a termék árrugalmassága? b) Hogyan változott a bevétel az árcsökkentés hatására?

78.

IV. Árupiaci kereslet

6. Amennyiben egy termék ára 25 egység 44 darabot vásárolnak belőle. Ha az ár 20 egység lenne, akkor 45 darabot vennének belőle. a) Milyen a termék árrugalmassága? b) Hogyan változott a bevétel az árcsökkentés hatására?

7. Egy termék keresleti görbéjének egyenlete: D = 300 – 10P. a) b) c) d) e) f) g)

Mennyi a telítődési mennyiség? Mennyi az elméleti rezervációs ár? Mennyi lenne a kereslet 10 Ft/db ár esetén? Mennyi lenne a termékből származó árbevétel, ha az egységár 20 Ft? Mennyi lenne ekkor a fogyasztói többlet? Írja fel az inverz keresleti függvény egyenletét! Milyen ár esetén lenne a kereslet 250 db?

8. Ha a termék ára 100 Ft/db, akkor 3500 db-ot vásárolnak belőle. Ha 200 Ft/db lenne az ár, akkor 3000 db-ot vennének. a) Írja fel a keresleti, illetve az inverz keresleti függvény egyenletét! b) Ha ingyen adnák a terméket, mennyi „fogyna el” belőle? c) Milyen ár mellett lépnének ki a vevők a piacról? d) Mennyit költenének a vevők 400 Ft/db egységár mellett, és mennyi lenne ekkor a fogyasztói többlet? e) Hogyan változna a vevők költekezése, illetve a fogyasztói többlet 500 Ft/db ár esetén? f) Mikor nagyobb a termék keresletének árrugalmassága, ha az ár 100 Ft/db-ról 200 Ft/db-ra változik, vagy ha 400 Ft/db-ról 500 Ft/db-ra nő?

9. Egy család havi jövedelme 45 ezer Ft. Ilyen jövedelemszint mellett havi 20 kg kenyeret fogyasztottak el. Miután a családfőt elbocsátották az állásából, a munkanélküli járadék alapján a család jövedelme 25 ezer Ftra csökkent. Ekkor változatlan kenyérár mellett havi 22 kg kenyeret fogyasztottak. Jellemezze a történteket!

10. Egy család teljes jövedelméből 4000 Ft-ot szán sajt, májkrém és újság vásárlásra. Ebből heti 85 dkg sajtot és 5 doboz májkrémet, valamint 3 szórakoztató újságot vesznek. Fizetésemelés következtében a három termékre 25 %-kal többet szánnak a „családi költségvetésből”. Így sajtból 1 kg-ot és májkrémből 3 dobozt vesznek meg. Újságvásárlási szokásán nem változtatnak.

IV. Árupiaci kereslet

79.

Milyen csoportba sorolható a sajt, a májkrém és az újság ennél a családnál a jövedelemhatás szempontjából? (Válaszához számítsa ki a három termék jövedelemrugalmasságát!)

11. Az „X” termék keresleti függvénye az alábbi: Dx = ahol:

I 20 ⋅ px p y I (a jövedelem) = 10 px (az „X” termék ára) = 5 py (az „Y” termék ára) = 4.

Számítsa ki a termék árrugalmasságát, jövedelemrugalmasságát és kereszt-árrugalmasságát!

12. Az „X” termék keresleti függvénye az alábbi: D x = 40 − ahol:

5 ⋅ px ⋅ p y I

I (a jövedelem) = 100 px (az „X” termék ára) = 10 py (az „Y” termék ára) = 20.

Számítsa ki a termék árrugalmasságát, jövedelemrugalmasságát és kereszt-árrugalmasságát!

13. Az „X” termék keresleti függvénye az alábbi: D x = 3000 + 5 ⋅ I − 4 ⋅ p y − 6 ⋅ p x − ahol:

1 ⋅ px ⋅ p y 2

I (a jövedelem) = 800 px (az „X” termék ára) = 16 py (az „Y” termék ára) = 8.

Számítsa ki a termék árrugalmasságát, jövedelemrugalmasságát és kereszt-árrugalmasságát!

80.

IV. Árupiaci kereslet

14. Az „X” termék keresleti függvénye az alábbi: D x = 4500 + 6 ⋅ I − 3 ⋅ 3 p y − 6 ⋅ 3 p x − 5 ⋅

p x2 py

ahol:

I (a jövedelem) = 800 px (az „X” termék ára) = 8 py (az „Y” termék ára) = 64. Számítsa ki a termék árrugalmasságát, jövedelemrugalmasságát és kereszt-árrugalmasságát!

15. Egy áru ára 6 pénzegységről 4 pénzegységre süllyedt, aminek következtében a kereslet: a) 35 egységnyire b) 35 egységgel c) 35 egységről változott. Számítsa ki a hiányzó keresleti adatokat, ha a kereslet árrugalmassága mindhárom esetben „– 2” egység?

16. Egy főiskolai büfében a 90 Ft-os egységárú rétesből naponta 150 dbot vásároltak, miközben a 145 Ft-ba kerülő üdítőből 80 üveggel. Amikor a rétes árát 20 %-kal megemelték, azt tapasztalták, hogy annak forgalma 120 db-ra esett vissza, de a – változatlan árú – üdítőből is csak 70 fogyott el. a) Hogyan alakul a rétes keresletének árrugalmassága? Értelmezze a kapott mutatót! b) Hogyan alakul az üdítő keresletének kereszt-árrugalmassága? Milyen a két termék „viszonya”? c) Hogyan alakult a rétes, illetve az üdítő árbevétele? d) Megérte a büfé üzemeltetőjének a rétes árát megemelni?

17. Egy főiskolai büfében a 60 Ft-os egységárú kávéból naponta 110 pohárral vásároltak, miközben a 45 Ft-ba kerülő teából 50 pohárral. Amikor a kávé árát 15 %-kal megemelték, azt tapasztalták, hogy annak forgalma 90 pohárra esett vissza, de a – változatlan árú – teából 60 fogyott el. a) Hogyan alakul a kávé keresletének árrugalmassága? Értelmezze a kapott mutatót! b) Hogyan alakul a tea keresletének kereszt-árrugalmassága? Milyen a két termék „viszonya”? c) Hogyan alakult a kávé, illetve az tea árbevétele? d) Megérte a büfé üzemeltetőjének a kávé árát megemelni?

IV. Árupiaci kereslet

81.

18. Az alábbi táblázat egy vállalati büfére vonatkozóan mutatja a „Frissítő” és az „Ébresztő” üdítők napi keresleti adatait az előbbi termék árváltozása előtt és után: „Frissítő” ára (Ft/pohár) 80 90

„Frissítő” fogyasztása (pohár/nap) 120 105

„Ébresztő” fogyasztása (pohár/nap) 80 100

Számítsa ki a lehetséges árrugalmassági mutatókat, és értelmezze azokat!

19. Egy műszaki boltban a színes televíziók készletcsökkentésének céljából a 60.000 Ft-os készülékek árát októberben 3.000 Ft-tal csökkentették. Ennek következtében a havi eladások száma 100 db-ról 150 db-ra nőtt. a) Számítsa ki a televíziók keresletének árrugalmasságát és jellemezze a kapott értéket! b) Mekkora árengedményt kellene a boltnak adnia (feltételezve, hogy az árrugalmasság az adott ártartományban ugyanaz), hogy a további készletek csökkentése céljából 50 db-bal több televíziót tudjanak értékesíteni? c) Mennyi az árbevétel nagysága szeptemberben, októberben és decemberben?

20. Egy műszaki cikkeket árusító kereskedő a forgalom növekedés reményében az általa árusított 20.000 Ft-os dvd-lejátszók árából 15 %os árengedményt adott, aminek következtében a havi forgalma az eddigi szokásos 100 db-ról 120-ra nőtt. a) Számítsa ki a dvd-lejátszók keresletének árrugalmasságát és jellemezze a kapott értéket! b) Mekkora árengedményt kellene a kereskedőnek adnia (feltételezve, hogy az árrugalmasság az adott ártartományban ugyanaz), hogy a további bevétel-növelés reményében 150 db dvd-lejátszót tudjon értékesíteni? c) Amennyiben egy akció keretében az eredeti ár feléért kínálnák a terméket (feltételezve, hogy az árrugalmasság az adott ártartományban ugyanaz) hány dvd-lejátszót tudnának eladni? d) Érdemes lenne a bevétel növelése érdekében a fenti lépéseket megtenni? (Azaz mennyi lenne az árbevétel nagysága az egyes esetekben?)

82.

IV. Árupiaci kereslet

Megoldások 1) A megoldásnál vegyük figyelembe, az a meghatározás, hogy 30.000 Ft értékben vásároltak, nem más, mint a bolt bevétele, vagyis az egységár és az eladott mennyiség szorzata. a) Tehát 30.000 = P*Q Ennek átrendezése alapján a keresleti függvény:

Q=D=

30.000 P

b) Egységnyi árrugalmasságú termékről van szó. c) Bizonyításképpen válasszunk két tetszőleges árat: P0=10 és P1=100. A függvénybe helyettesítve megkapjuk az ezekhez tartozó keresleteket: D0 = 3.000 és D1 = 300. Helyettesítsük be az ismert rugalmassági képletbe:

ε D( P) =

3000 − 300 10 + 100 ⋅ = −1 3000 + 300 10 − 100

d) A feladat megfogalmazása választ ad a kérdésre, ugyanis az ártól függetlenül mindig 30.000 Ft-ért vásárolnak naponta, azaz a bevétel nagysága változatlan.

2) A kiindulásként megadott adat szerint mindig 200 db-ot vásárolnak. a) Tehát: D = 200. b) Ha a keresett mennyiség nem függvénye az árnak, akkor teljesen árrugalmatlan termékről van szó. c) Bizonyításul vegyünk két tetszőleges árat: P0 = 10 és P1 = 100. A kereslet mindig ugyanaz, azaz 200. Helyettesítsük be az ismert rugalmassági képletbe:

ε D(P) =

200 − 200 10 + 100 ⋅ =0 200 + 200 10 − 100

d) Mivel a mennyiség változatlan, ezért minél nagyobb az ár, annál nagyobb lesz a bevétel is. Nézzük meg ezt adataink esetében: P0*Q = 10*200 = 2.000 < P1*Q = 100*200 = 20.000

3) Azt ismerjük, hogy a fogyasztó bármilyen mennyiséget hajlandó megvásárolni az adott 100 Ft-os egységár mellett. a) Mivel azt tudjuk csak, hogy P = 100, ezért D-re nem tudunk függvényt felírni! b) Ebben az esetben az ár szempontjából végtelenül rugalmas a termék.

IV. Árupiaci kereslet

83.

c) Bizonyságul választanunk kell két tetszőleges mennyiséget: D0 = 10 és D1 = 1.000. Az árról tudjuk, hogy mindig egyenlő 100 Ft-tal. Helyettesítsük be az ismert rugalmassági képletbe:

ε D(P) =

1000 − 10 100 + 100 ⋅ =∞ 1000 + 10 100 − 100

d) Erre a kérdésre – mivel az ár mindig ugyanaz – csak azt a választ adhatjuk, hogy minél többet vásárolnak a termékből, annál nagyobb lesz a bevétel.

4) Mindkét kérdés megválaszolásához elegendő az árbevételek alakulását megfigyelni, és nem kell a rugalmasság hagyományos képletével számolni. Példánkban igaz, hogy (Π-vel jelölve a bevételt) Π0 = 25*44 = 1.100 és Π1 = 20*60 = 1.200. Mivel árcsökkenés mellett (P1 < P0) a bevétel nő (Π1 > Π0), így a kereslet ár szempontjából rugalmas. Azaz a) árrugalmas termékről van szó, b) így árcsökkentés hatására a bevétel nő.

5) Az előző feladat megoldásának gondolatmenete alapján: árcsökkenés

mellett (P1 = 20 < P0 = 25) a bevétel változatlan (Π1 = 20*55 = 1.100 ≡ Π1 = 25*44 = 1.100), így a termék egységnyi árrugalmasságú. Azaz a) egységnyi árrugalmas termékről van szó, b) így árcsökkentés hatására a bevétel változatlan.

6) Az előbbi feladat megoldását követve: árcsökkenés mellett (P1 = 20 < P0

= 25) a bevétel is csökken (Π0 = 25*44 = 1.100 > Π1 = 20*45 = 900), így a termék az ár szempontjából rugalmatlan. Azaz a) árrugalmatlan termékről van szó, b) így árcsökkentés hatására a bevétel is csökken.

7) a) A telítődési mennyiség ott következik be, ahol az ár „nulla” lesz. A P=0 értéket a keresleti görbe egyenletébe helyettesítve 300-at kapunk, vagyis a telítődési mennyiség 300 db. b) Az elméleti rezervációs ár, ott van, ahol a mennyiség „nulla” értéket vesz fel. A D=0 értéket a keresleti görbe egyenletébe helyettesítve 30-at kapunk, vagyis az elméleti rezervációs ár 30 Ft/db. c) Helyettesítsük be a 10 Ft/db árat a keresleti függvénybe. Ekkor D=300-10*10=200 jön ki. Azaz 10 Ft/db egységár esetén a fogyasztók 200 db-ot vásárolnának.

84.

IV. Árupiaci kereslet

d) A termékből származó árbevétel kiszámításához az egységár mellett szükségünk van az eladott mennyiségre. Ezt úgy kapjuk meg, ha a 20 Ft/db egységárat a keresleti függvénybe helyettesítjük. Ilyen ár mellett a fogyasztók 100 db-ot vennének. A bevételt P*Q formában számíthatjuk ki, ami esetünkben 100*20=2000 Ft. e) A fogyasztói többlet kiszámításának képlete:

FT =

Qtény ⋅ ( Prez − Ptény ) 2

A képletbe a szükséges adatokat behelyettesítjük:

FT =

100 ⋅ (30 − 20) = 500 2

Azaz a fogyasztói többlet 500 Ft. f) Az inverz keresleti függvény egyenletét úgy kapjuk meg, ha a keresleti függvényünket P-re fejezzük ki. Esetünkben: P=30 – 0,1*Q. g) Nincs nehéz dolgunk, ugyanis a 250 db-ot az inverz keresleti függvénybe helyettesítve P=5 egységárat kapunk.

8) Ha a termék ára 100 Ft/db, akkor 3500 db-ot vásárolnak belőle. Ha 200 Ft/db lenne az ár, akkor 3000 db-ot vennének. a) A két adatpárt behelyettesítjük a lineáris egyenes képletébe, amelynek általános alakja: y = a + bx, a keresleti függvénynél pedig ennek alapján D = a + bP. 3500 = a + 100b 3000 = a + 200b Az első egyenletből a 2.-at kivonva: 500 = −100b, vagyis b = −5. Ezt bármelyik egyenletbe helyettesítve: a=4000 értéket kapunk. Azaz: y = 4000 – 5b. Vagyis: D = 4000 – 5P. Ebből következik az inverz keresleti függvény egyenlete: P = 800 – 0,2Q. b) Amikor azt kérdezik, mennyi „fogyna el” a termékből, ha ingyen adnák, valójában a telítődési mennyiségre kíváncsiak. Ez ott következik be, ahol P=0, vagyis 4000 db esetén. c) Amikor arra kérdeznek rá: milyen ár mellett lépnének ki a vevők a piacról, tulajdonképpen az elméleti rezervációs árra kíváncsiak. Ez ott van, ahol D=0, vagyis 800 Ft/db ár esetén. d) Ha 400 Ft/db lenne az egységár, akkor – a keresleti függvénybe való behelyettesítés alapján – 2000 db-ot vásárolnának a vevők. Ekkor P*Q alapján 800.000 Ft-ot költenének el a vevők, és a fogyasztói többlet – az előző példában megismert képlet alapján – 400.000 Ft lenne.

IV. Árupiaci kereslet

85.

e) Az előző pont alapján: ha P = 500 Ft/db, akkor D = 1500 db. Így az elköltött jövedelem: P*Q = 750.000 Ft. A fogyasztói többlet: 225.000 Ft. Vagyis a vevők 500 Ft/db ár mellett 50.000 Ft-tal kevesebbet költenének, mint 400 Ft/db ár mellett. Igaz ekkor a fogyasztói többlet is 175.000 Ft-tal csökkenne a korábbihoz képest. f) Az első adatpár: P = 100 Ft/db és 3500 db, illetve P = 200 Ft/db és 3000 db. Erre a kereslet árrugalmasságának képletét alkalmazva:

εD

( PX )

3000 − 3500 200 + 100 ⋅ = −2,31 3000 + 3500 200 − 100

A második adatpár: P = 400 Ft/db és 2000 db, illetve P = 500 Ft/db és 1500 db. Erre a kereslet árrugalmasságának képletét alkalmazva:

εD

X ( PX )

1500 − 2000 500 + 400 ⋅ = −1,29 1500 + 2000 500 − 400

Tehát az első esetben nagyobb a kereslet árrugalmassága abszolút értékben. Igaz, mindkét esetben ellentétes előjelű változások vannak (azaz az ár növekedését a kereslet csökkenése kíséri), és a termék árrugalmas (hiszen abszolút értékben mindkét rugalmassági mutató 1-nél nagyobb értéket vesz fel).

9) Ennél a családnál az adott szituációban a kenyér Giffen-jószágként viselkedik: a jövedelem hirtelen és drasztikus csökkenése következtében a család nem engedheti meg magának a korábbi jövedelmi szituációhoz képest például a húsáruk, sajtkészítmények, stb. fogyasztását, így kényszerűen a napi kalória-szükséglet megszerzése érdekében a kenyér fogyasztását helyezi előtérbe.

10) Helyettesítsük be a jövedelemrugalmasság képletébe az adatokat: 100 − 85 5000 + 4000 ⋅ = 0,73 100 + 85 5000 − 4000 3 − 5 5000 + 4000 ε Dmájkrém( I ) = ⋅ = −2,25 3 + 5 5000 − 4000 3 − 3 5000 + 4000 ε Dújság ( I ) = ⋅ =0 3 + 3 5000 − 4000

ε Dsajt ( I ) =

Mivel a sajt jövedelemrugalmassági mutatójának értéke 0 és 1 közé esik, így normál jószág. A májkrémnél a mutató negatív értéket vesz fel, így inferior jószágról van szó. Az újságnál a mutató értéke „nulla”, vagyis a termék jövedelemtől független jószág.

86.

IV. Árupiaci kereslet

11) Mindhárom

rugalmassági mutató étékének kiszámításához szükségünk van az adott feltételek melletti keresleti értékre, amelyet a képletbe történő behelyettesítéssel kaphatunk meg:

DX =

10 20 ⋅ = 10 5 4

A számításoknál a pontrugalmasság képletének alkalmazására van lehetőségünk, így első lépésként mindig a keresleti függvény parciális deriváltjait fogjuk kiszámítani. Ezt követi a rugalmassági képletbe történő behelyettesítés. Árrugalmasság:

∂DX 20 ⋅ I 1 (−20) ⋅ I = ⋅ (−1) ⋅ 2 = ∂p X pY pX pY ⋅ p X2

εD

( PX )

(−20) ⋅ I p X ⋅ = −1 pY ⋅ p X2 10

Tehát a termék egységnyi árrugalmasságú, és a negatív előjelből következően, ha 1 %-kal változik az ár, akkor a kereslet is 1 %-kal, de ellentétes irányba módosul. Jövedelemrugalmasság:

∂D X 20 = ∂I p X ⋅ pY

εD

(I )

20 I ⋅ =1 p X ⋅ pY 10

Tehát a termék egységnyi jövedelemrugalmasságú, vagyis a jövedelem 1 %-os változása esetén – a pozitív előjelből következően – a keresett mennyiség is 1 %-kal és azonos irányba módosul, azaz normál jószágról van szó. Kereszt-árrugalmasság:

∂D X 20 ⋅ I 1 (−20) ⋅ I = ⋅ (−1) ⋅ 2 = ∂pY pX pY p X ⋅ pY2

IV. Árupiaci kereslet

εD

( PY )

87.

(−20) ⋅ I pY ⋅ = −1 p X ⋅ pY2 10

Tehát a termék keresztárrugalmassága egységnyi, és a negatív előjelből következően, ha 1 %-kal változik az Y termék ára, akkor az X termék kereslet is 1 %-kal, de ellentétes irányba módosul, vagyis a két termék – és ez a fő következtetésünk – kiegészítő viszonyban áll egymással.

12) A megoldás menete az előző feladathoz hasonló: DX = 40 −

5 ⋅ 10 ⋅ 20 = 30 100

Árrugalmasság:

∂D X 5 ⋅ pY =− ∂p X I

εD

( PX )

=−

5 ⋅ pY p X ⋅ = −0,3 I 30

Azaz a termék az ár szempontjából rugalmatlan, és a negatív előjelből következően, ha 1 %-kal változik az ár, akkor a kereslet 0,3 %-kal, de ellentétes irányba módosul. Jövedelemrugalmasság:

∂D X 1 5 ⋅ p X ⋅ pY = (− 5) ⋅ p X ⋅ pY ⋅ (− 1) ⋅ 2 = ∂I I I2 5 ⋅ p X ⋅ pY I ε DX ( I ) = ⋅ = 0,3 30 I2 Tehát a termék a jövedelem szempontjából rugalmatlan, vagyis a jövedelem 1 %-os változása esetén – a pozitív előjelből következően – a keresett mennyiség 0,3 %-kal és azonos irányba módosul, azaz normál jószágról van szó. Kereszt-árrugalmasság:

∂D X (− 5) ⋅ p X = ∂pY I

88.

IV. Árupiaci kereslet

εD

( PY )

(−5) ⋅ p X pY ⋅ = −0,3 I 30

Tehát a termék keresztárrugalmassága 0,3, és a negatív előjelből következően, ha 1 %-kal változik az Y termék ára, akkor az X termék kereslete 0,3 %-kal, de ellentétes irányba módosul, vagyis a két termék – és ez a fő következtetésünk – kiegészítő viszonyban áll egymással.

13) A feladat megoldásának menete az előzőhöz hasonló: D X = 3000 + 5 ⋅ 800 − 4 ⋅ 8 − 6 ⋅ 16 −

16 ⋅ 8 = 6808 2

Árrugalmasság:

∂D X p = −6 − Y ∂p X 2

εD

( PX )

= (−6 −

pY p ) ⋅ X = −0,02 2 6808

Azaz a termék az ár szempontjából teljesen rugalmatlan. Jövedelemrugalmasság:

∂D X = +5 ∂I

εD

(I )

= 5⋅

I = 0,59 6808

Tehát a termék a jövedelem szempontjából rugalmatlan, azaz normál jószágról van szó. Kereszt-árrugalmasság:

∂D X p = −4 − X ∂pY 2

εD

( PY )

p  p  =  − 4 − X  ⋅ Y = −0,014 2  6808 

Tehát a termék kereszt-árrugalmassága közel nulla, vagyis a két termék viszonya – és ez a fő következtetésünk – közömbös, fogyasztásuk független egymástól.

IV. Árupiaci kereslet

89.

14) A megoldás lépései a korábbiakhoz hasonlók: D X = 4500 + 6 ⋅ 800 − 3 ⋅ 64 − 6 ⋅ 8 − 5 ⋅ 3

64 64

= 9273,5

Árrugalmasság:

∂D X 1 1 5 2 1 = (−6 ⋅ ⋅ )−( ⋅ ⋅ ) = −0,708 3 ∂p X 3 3 p X2 3 pY pX

εD

( PX )

= −0,708 ⋅

8 = −0,0006 9273,5

Azaz a termék az ár szempontjából teljesen rugalmatlan. Jövedelemrugalmasság:

∂D X = +6 ∂I

εD

(I )

=6⋅

800 = 0,518 9273,5

Tehát a termék a jövedelem szempontjából rugalmatlan, azaz normál jószágról van szó. Kereszt-árrugalmasság:

∂D X 1 1 1 = −3 ⋅ ⋅ − 5 ⋅ 3 p X2 ⋅ = −0,055 3 ∂pY 3 3 pY2 pY

εD

( PY )

= (−0,055) ⋅

64 = −0,0004 9273,5

Tehát a termék keresztár-rugalmassága gyakorlatilag nulla, vagyis a két termék – és ez a fő következtetésünk – közömbös viszonyban áll egymással.

15) Ez a példa – a rugalmasság számításán és a képlet értelmezésén túl – arra szeretné felhívni a figyelmet, hogy milyen fontos szerepük van a feladat értelmezésében a „ragoknak”, azaz nagyon pontosan kell minden

90.

IV. Árupiaci kereslet

egyes szót és így végződését is vizsgálni. Meglátjuk, hogy a három esetben három eltérő eredményre fogunk jutni! a) Azt tudjuk, hogy a kereslet 35 egységnyire változott, tehát ennyi lesz a kereslet új értéke. A korábbi keresleti adatot „x”-szel jelölve, az ívrugalmasság képlete az alábbi módon írható fel:

ε D( P) =

35 − x 4 + 6 ⋅ = −2 35 + x 4 − 6

Az egyenlet megoldása alapján: x = 15. Tehát a kezdeti kereslet értéke 15 egység volt. b) Ebben az esetben azt ismerjük, hogy a keresletnél tapasztalható változás mértéke 35 egység volt. Ezt értelmezhetnénk úgy is, hogy a kereslet ennyivel csökkent, de úgy is, hogy ennyivel emelkedett. Az előbbi megállapítás nem lehet helytálló, ugyanis normál jószágot feltételezve, ha az ár csökken (esetünkben erről van szó), akkor az a kereslet növekedését fogja maga után vonni. Ezt erősíti meg a rugalmasság mutatójának negatív előjele is. Tehát azt mondhatjuk, hogy a kezdeti kereslet értéke „x” volt, míg az új mennyiség „x+35”. Ennek alapján a rugalmasság képlete az alábbi:

ε D( P) =

( x + 35) − x 4 + 6 ⋅ = −2 ( x + 35) + x 4 − 6

Az egyenlet megoldása alapján: x = 26,25. Tehát ennyi volt az eredeti keresett mennyiség, míg az árváltozás utáni: 61,25. c) Jelen esetünkben a kezdeti keresleti értéket ismerjük (amely: 35), míg az újat nem. Tekintsük ezt „x”-nek. A képlet a következő módon néz ki:

ε D( P) =

x − 35 4 + 6 ⋅ = −2 x + 35 4 − 6

Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy az új keresleti mennyiség: 81,7.

16) A mutatók kiszámításához tudnunk kell a rétes új árát, amely a korábbi (90 Ft-os) ár 20 %-kal növelt értéke, azaz 108 Ft. A megoldásnál az ívrugalmassági képleteket fogjuk felhasználni. a) Árrugalmasság:

εD

X ( PX )

120 − 150 108 + 90 ⋅ = −1,22 120 + 150 108 − 90

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a rétes kereslete az ár szempontjából rugalmas, azaz 1 %-os árváltozás

IV. Árupiaci kereslet

91.

esetén a keresett mennyiség több mint 1 %-kal módosul, ellentétes irányba. b) Kereszt-árrugalmasság:

εD

( PY )

70 − 80 108 + 90 ⋅ = −0,73 70 + 80 108 − 90

A mutató előjeléből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a rétes és az üdítő (ahogyan várható volt) kiegészítő termékek, ugyanis a rétes árának növekedése esetén az üdítőből keresett mennyiség is csökken. c) A kérdés megválaszolásához töltsük ki az alábbi táblázatot: Árbevétel Rétes esetén Üdítőnél Összesen

Áremelés előtt 90*150 = 13.500 145*80 = 11.600 25.100

Áremelés után 108*120 = 12.960 145*70 = 10.150 23.110

Az adatokból látszik, hogy mind a rétesből, mind az üdítőből származó árbevétel csökkent az áremelés hatására. d) Nem érte meg a rétes árát megemelni, hiszen a napi bevétel 2.000 Ft-tal csökkent.

17) Kezdjük a kávé új árának meghatározásával, amely a régi ár (60 Ft) 15 %-kal növelt értéke, azaz 69 Ft. Most is az ívrugalmassági képleteket fogjuk felhasználni. a) Árrugalmasság:

εD

( PX )

90 − 110 69 + 60 ⋅ = −1,43 90 + 110 69 − 60

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a kávé kereslete az ár szempontjából rugalmas, azaz 1 %-os árváltozás esetén a keresett mennyiség több mint 1 %-kal módosul, ellentétes irányba. b) Kereszt-árrugalmasság:

εD

( PY )

60 − 50 69 + 60 ⋅ = 1,30 60 + 50 69 − 60

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a kávé és a tea (amint várható volt) helyettesítő termékek, ugyanis a kávé árának növekedése esetén a teából keresett mennyiség nő (a mutató pozitív értékéből következően).

92.

IV. Árupiaci kereslet

c) A kérdés megválaszolásához töltsük ki az alábbi táblázatot: Árbevétel Kávé esetén Teánál Összesen

Áremelés előtt 60*110 = 6.600 45*50 = 2.250 8.850

Áremelés után 69*90 = 6.210 45*60 = 2.700 8.910

Az adatokból látszik, hogy az áremelés hatására a kávénál csökkent, míg a teánál nőtt az árbevétel. d) Megérte meg a kávé árát megemelni, hiszen a napi összbevétel, ha minimális mértékben is, de nőtt. Azaz a kávé miatti forgalomcsökkenést ellensúlyozta a teáknál tapasztalható forgalombővülés.

18) A mutatók kiszámításánál az ívrugalmassági képleteit használjuk fel. a) Árrugalmasság:

εD

( PX )

105 − 120 90 + 80 ⋅ = −1,13 105 + 120 90 − 80

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a „Frissítő” kereslete az ár szempontjából rugalmas, azaz 1 %-os árváltozás esetén a keresett mennyiség több mint 1 %-kal módosul, ellentétes irányba. b) Kereszt-árrugalmasság:

εD

X ( PY )

100 − 80 90 + 80 ⋅ = 1,89 100 + 80 90 − 80

A mutató előjeléből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a „Frissítő” és az „Ébresztő” üdítők (ahogyan azt vártuk) helyettesítő termékek, ugyanis az előbbi árának növekedése esetén a másikból keresett mennyiség nő.

19) Írjuk fel a megismert adatokat: P0 = 60.000 D0 = 100 P1 = 57.000 D1 = 150 a) Helyettesítsük be az adatokat az árrugalmasság képletébe: 150 − 100 57000 + 60000 ε D( P) = ⋅ = −7,8 150 + 100 57000 − 60000 A termék árrugalmas és ellentétes irányú kapcsolat van az ár és a kereslet között. Azaz az árcsökkentés hatására a kereslet nő, és fordítva. b) Az árengedmény kiszámításához írjuk fel az első árcsökkentés utáni és a várt helyzetre vonatkozó adatpárt:

IV. Árupiaci kereslet

93.

P1 = 57.000 D1 = 150 D2 = 200 P2 = x Helyettesítsük be az értékeket az árrugalmasság képletébe, tudva azt, hogy annak értéke most is annyi (-7,8), mint az előző pontban kiszámított adat. 200 − 150 x + 57000 ε D( P) = ⋅ = −7,8 200 + 150 x − 57000 Az egy ismeretlenes egyenletet megoldva: x = 54.950. Vagyis az új ár 54.950 Ft/db lenne. Így az engedmény mértéke: 57.000 – 54.950 = 2.050 Ft c) Az egyes hónapokban a bevétel adatait az egységár és az eladott mennyiség szorzatából állapítjuk meg: szeptember: 60.000 * 100 = 6.000.000 október: 57.000 * 150 = 8.550.000 december: 54.950 * 200 = 10.990.000 Tehát a bevétel – az árcsökkentésből következő értékesített mennyiség növekedése miatt – hónapról-hónapra nő!

20) Írjuk fel a megismert adatokat: P0 = 20.000 D0 = 100 P1 = 17.000 D1 = 120 a) Helyettesítsük be az adatokat az árrugalmasság képletébe: 120 − 100 17000 + 20000 ε D( P) = ⋅ = −1,12 120 + 100 17000 − 20000 A termék árrugalmas és ellentétes irányú kapcsolat van az ár és a kereslet között. Azaz az árcsökkentés hatására a kereslet nő, és fordítva. b) Az árengedmény kiszámításához írjuk fel az első árcsökkentés utáni és a várt helyzetre vonatkozó adatpárt: P1 = 17.000 D1 = 120 P2 = x D2 = 150 Helyettesítsük be az értékeket az árrugalmasság képletébe, tudva azt, hogy annak értéke most is annyi (-1,12), mint az előző pontban kiszámított adat. 150 − 120 x + 17000 ε D( P) = ⋅ = −1,12 150 + 120 x − 17000 Az egy ismeretlenes egyenletet megoldva: x = 13.930. Vagyis az új ár 13.930 Ft/db lenne. Így az engedmény mértéke: 17.000 – 13.930 = 3.070 Ft c) Az elvileg értékesített mennyiség kiszámításához írjuk fel az eredeti és a várt helyzetre vonatkozó adatpárt:

94.

IV. Árupiaci kereslet

P1 = 17.000 D1 = 120 D2 = y P2 = 10.000 Helyettesítsük be az értékeket az árrugalmasság képletébe, tudva azt, hogy annak értéke most is annyi (-1,12), mint az előző pontban kiszámított adat. y − 120 10000 + 17000 ε D( P) = ⋅ = −1,12 y + 120 10000 − 17000 Az egy ismeretlenes egyenletet megoldva: y = 218. Vagyis a terméket az eredeti ár feléért értékesítve 218 db-ot lehetne eladni. d) Az egyes esetekben a bevétel adatait az egységár és az eladott mennyiség szorzatából állapítjuk meg: eredeti helyzet: 20.000 * 100 = 2.000.000 15%-os árcsökkentés utáni helyzet: 17.000 * 120 = 2.040.000 50%-os árcsökkentés utáni helyzet: 10.000 * 218 = 2.180.000 Tehát a bevétel – az árcsökkentésből következő értékesített mennyiség növekedése miatt –növekedne. Vagyis érdemes lenne az árcsökkentési akciókat végrehajtani!

V. Termelési függvények

95.

V. TERMELÉSI FÜGGVÉNYEK Feladatok 1. Egy vállalat a termeléséhez munkát és tőkét használ fel: L a foglalkoztatottak számát, K a felhasznált tőke mennyiségét jelöli. Az alábbi termelési függvényeket jellemezze homogenitás és skálahozadék szempontjából! 1)

1 3

2 3

Q = 4⋅ K ⋅ L

3 4

1 4

Q = 5⋅ K ⋅ L

Q = K 2 ⋅ L3 Q = K ⋅ L2

Q=K ⋅L

Q = 2⋅L

1/ 2

1 3

⋅K

1/ 2

1 2

Q=K ⋅L

1 2

2. A fenti függvényeknél írja fel a munka- és a tőke határtermék-függvényét, valamint az átlagtermék-függvényeket!

3. A fenti függvényeknél számítsa ki a munka- és a tőke termelési rugalmasságát! 4. A fenti függvényeknél írja fel a technikai helyettesítési határrátákat! 1 2

1 2

5. Egy vállalat termelési függvénye: Q = K ⋅ L

a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 25 egység, a munkatényező 100 egység? b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az esetben? c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombinációk esetén? d) Számítsa ki a munka parciális termelési rugalmasságát!

6. Egy vállalat termelési függvénye a következő: Q = 4 ⋅ K 1 2 ⋅ L . a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 64 egység, a munkatényező 81 egység? b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az eset-

96.

V. Termelési függvények

ben? c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombinációk esetén? d) Számítsa ki a munka parciális termelési rugalmasságát! 1

7. Ismert egy vállalat termelési függvénye: Q = 5 ⋅ K 2 ⋅ L2 . a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 6 egység, a munkatényező 25 egység? b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az esetben? c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombinációk esetén? d) Számítsa ki a munka parciális termelési rugalmasságát! 1 3

1 4

8. Ismert egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L . a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 216 egység, a munkatényező 625 egység? b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az esetben? c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombinációk esetén? d) Számítsa ki a munka parciális termelési rugalmasságát!

9. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó részeibe az alábbi kifejezések valamelyikét: „nő”, „csökken”, „> 1”, „< 0”, illetve „0< ... <1”: A parciális termelési függvény - inflexiós pontjáig - inflexiós pontja és felső érintési pontja között - felső érintési pontja és maximuma között - maximuma után

MPL

APL

εL

V. Termelési függvények

97.

10. Írja be átlagtermék és a határtermék kapcsolatában az alábbi relációs jelek („<”, „>”, „=”) valamelyikét a táblázat üres részébe: A parciális termelési függvény - inflexiós pontjáig - inflexiós pontjában - inflexiós pontja és felső érintési pontja között - felső érintési pontjában - felső érintési pontja és maximuma között - maximumában - maximuma után

APL … MPL

11. Adott az alábbi termelési függvény: Q = − L3 + 6 ⋅ L2 + 15 ⋅ L − 9 a) Meddig érdemes a munkát, mint termelési tényezőt növelni annak érdekében, hogy a kibocsátás még növekedjen? b) A munka milyen nagyságától növekszik lassuló ütemben a termelés?

12. Adott az alábbi termelési függvény: Q = −2 ⋅ L3 + 4 ⋅ L2 − 2 ⋅ L + 7 a) A munkát, mint termelési tényezőt milyen nagyságig érdemes növelni annak érdekében, hogy a kibocsátás még növekedjen? b) A munka milyen nagyságánál vált a termelés gyorsuló növekedésből lassulóba?

13. Egy vállalat termelési függvénye a következő: Q = 60 ⋅ L + 3 ⋅ L2 − L3 . A függvény ismeretében töltse ki az alábbi táblázatot! L MPL max APL max Q max

MPL

APL

εL

98.

V. Termelési függvények

14. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 20 ⋅ L + 15 ⋅ L2 − L3 . Töltse ki az alábbi táblázatot a megadott függvény alapján! L

MPL

APL

εL

MPL max APL max Q max

15. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 6 ⋅ K ⋅ L2 − K ⋅ L3 . Rövid távon a rendelkezésre álló tőke nagysága 4. Töltse ki az alábbi táblázatot a megadott adatok alapján! L

APL

MPL

εL

MPL max APL max Q max

16. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, ha tudjuk, hogy a rögzített tőke 1 2

nagysága: 2, és a vállalat termelési függvénye: Q = 5 ⋅ K ⋅ L alakú. 2

Létszám

Termelés

Határtermék

Átlagtermék

Termelési rugalmasság

Átlagtermék

Termelési rugalmasság

1 4 9 25 49

17. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait! Termelés

Létszám

Határtermék

1 2 5

0,5 1 1

7 9

1,5 1,11

V. Termelési függvények

99.

18. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait az alábbiak ismeretében: Létszám

Termelés

20 40

Átlagtermék

Határtermék

Termelési rugalmasság

6,67

9 4 140

19. Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! L 0 4 6

Q 0 5

MPL

APL

εL

2,5 2

12 13 15

1 1,5

20. Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! L

APL 2

4 3 14 6 20

MPL 2 2 5

2,8 2,7 2

εL 1 1 1,67 0,89 0,74 0,8

100.

V. Termelési függvények

Megoldások 1) A skálahozadék típusának megállapításához a tényezők mennyiségét αszorosára növeljük. Ezt követően a zárójelek felbontásával, majd az egyenlet tagjainak „átcsoportosításával” arra törekszünk, hogy az α-szorzó mögött előálljon az eredeti termelési függvény. Az így előállított végső alakból az „α” kitevőjének nagyságából már megállapítható a skálahozadék milyensége. 1 3

2 3

1 3

2 3

(α ⋅ K ) ⋅ (α ⋅ L) = α ⋅ K ⋅ L Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, a kibocsátás is α-szorosára növekszik, a függvény állandó skálahozadékú, és elsőfokú homogén.

(α ⋅ K ) 4 ⋅ (α ⋅ L) 4 = α ⋅ K 4 ⋅ L4 Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, a kibocsátás is α-szorosára növekszik, a függvény állandó skálahozadékú, és elsőfokú homogén. ii)

iii)

1 2

2 ⋅ (α ⋅ K ) ⋅ (α ⋅ L) = α ⋅ 2 ⋅ K ⋅ L Mivel a tényezőket α-szorosára növel-

ve, a kibocsátás is α-szorosára növekszik, a függvény állandó skálahozadékú, és elsőfokú homogén. 1 3

5 6

1 2

1 3

1 2

(α ⋅ K ) ⋅ (α ⋅ L) = α ⋅ K ⋅ L Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, a kibocsátás ennél kisebb mértékben nő, a függvény csökkenő skálahozadékú, és 5/6-od fokú homogén. v) Mivel a tényezőket α-szorosára növel4 ⋅α ⋅ K ⋅α ⋅ L = α 2 ⋅ 4 ⋅ K ⋅ L ve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálahozadékú, és másodfokú homogén.

iv)

1 2

5 2

1 2

5 ⋅ (α ⋅ K ) ⋅ (α ⋅ L) = α ⋅ K ⋅ L Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálahozadékú, és 2,5-ed fokú homogén vii) (α ⋅ K ) 2 ⋅ (α ⋅ L) 3 = α 5 ⋅ K 2 ⋅ L3 Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálahozadékú, és ötödfokú homogén viii) (α ⋅ K ) ⋅ (α ⋅ L) 2 = α 3 ⋅ K ⋅ L2 Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálahozadékú, és harmadfokú homogén vi)

V. Termelési függvények

101.

ii)

iii)

APK = K

−1 4

1 4

⋅L

−1 2

APL = 2 ⋅ K ⋅ L 1 2

⋅L

1 3

APL = K ⋅ L APK = K

−2 3

1 2

⋅L

−1 2 1

⋅ L2

MPK = 4 ⋅ L

5 MPL = ⋅ K 2 ⋅ L 2 2

MPK = 10 ⋅ K ⋅ L

−1 2

APK = 2 ⋅ K

−1 2

1 3

−1

vi)

−3 4

1 2

1 ⋅K ⋅L 2 −2 1 1 MPK = ⋅ K 3 ⋅ L2 3 MPL = 4 ⋅ K APL = 4 ⋅ K

MPL =

3 4

APL = K ⋅ L

MPL = K ⋅ L

−1 2

−1

Q APL = = K 3 ⋅ L 3 L −2 2 Q 3 APK = = K ⋅ L3 K

−1 2

1 2

MPK = K iv)

−1

∂Q 2 MPL = = ⋅ K 3 ⋅ L3 ∂L 3 −2 2 ∂Q 1 3 MPK = = ⋅ K ⋅ L3 ∂K 3 −3 3 1 4 MPL = ⋅ K ⋅ L 4 4 −1 1 3 4 MPK = ⋅ K ⋅ L4 4 1

APK = 4 ⋅ L

APL = 5 ⋅ K ⋅ L 2

1 2

−1 2

1 2

APK = 5 ⋅ K ⋅ L

vii)

MPL = 3 ⋅ K ⋅ L

APL = ⋅K ⋅ L2

MPK = 2 ⋅ K ⋅ L3

APK = K ⋅ L3

viii)

MPL = 2 ⋅ K ⋅ L

APL = K ⋅ L

MPK = L2

APK = L2

εL =

εK =

ii)

εL

εK

iii)

εL

iv)

εL

3) MPL 2 = APL 3 1 = 4 1 = 2 1 = 2 =1

εK εK εK

MPK 1 = APK 3 3 = 4 1 = 2 1 = 3 =1

102.

V. Termelési függvények

vi) vii) viii)

1 2 εL = 3 εL = 2

εL =

εK = 2 εK = 2 εK =1

4) i)

iii)

iv)

vi)

vii)

viii)

MP K L = MPL 2 K 3L = K L = K 2L = 3K L = K 4L = K 2L = 3K L = 2K

MRTS L =

MRTS K

MRTS L

ii)

MPL 2 K = MPK L K = 3L K = L 3K = 2L K = L K = 4L 3K = 2L 2K = L

MRTS K =

MRTS K MRTS K MRTS K

MRTS L MRTS L MRTS L

5) 1 2

Q = 25 ⋅ 100 = 50 Q APK = = 2 K

a) K=25 L=100 Q b) APL = = 0,5 L 1

1  K 2 MPL = ⋅   = 0,25 2 L K c) MRTS K = = 0,25 L L d) ε L =

1 2

MPL 0,25 = = 0,5 APL 0,5

1  L 2 MPK = ⋅   = 1 2 K L MRTS L = =4 K K

V. Termelési függvények

103.

6) 1 2

1 2

Q = 4 ⋅ 64 ⋅ 81 = 288 APK=4,5

a) L=64 K=81 b) APL=3,56 1

 K 2 MPL = 2 ⋅   = 1,78 L K c) MRTS K = = 1,27 L L MPL 1,78 d) ε L = = = 0,5 APL 3,56

 L 2 MPK = 2 ⋅   = 2,25 K L MRTS L = = 0,79 K K

a) L=25 b) APL=36

Q = 5 ⋅ 6 ⋅ 25 = 900

MPL = 2,5 ⋅

1 2

K=6

APK=150 2

K 1 2

= 18

L K c) MRTS K = = 0,06 L 4⋅ L MPL 18 d) ε L = = = 0,5 APL 36

1 2

MPK = 10 ⋅ K ⋅ L = 300 MRTS L = K

4⋅ L = 16,67 K

8) a) L=625 K=216 b) APL=0,096 1

−3

MPL = 0,5 ⋅ K 3 ⋅ L 4 = 0,024 3⋅ K = 0,26 L 4⋅ L MPL 0,024 d) ε L = = = 0,25 APL 0,096 c) MRTS K =

1 3

1 4

Q = 2 ⋅ 216 ⋅ 625 = 60 APK=0,28 −2 1 2 MPK = ⋅ K 3 ⋅ L4 = 0,092 3 4⋅ L = 3,86 MRTS L = K 3⋅ K

104.

V. Termelési függvények

9) A parciális termelési függvény MPL APL εL - inflexiós pontjáig nő nő >1 - inflexiós pontja és felső érintési pontja között csökken nő >1 - felső érintési pontja és maximuma között csökken csökken 0< ..<1 - maximuma után csökken csökken <0

10) A parciális termelési függvény - inflexiós pontjáig - inflexiós pontjában - inflexiós pontja és felső érintési pontja között - felső érintési pontjában - felső érintési pontja és maximuma között - maximumában - maximuma után

APL … MPL < < < = > > >

11) Következő két feladatunk esetében a megoldás a következőképpen kereshető meg: a) A növekedés a függvény maximális értékéig tart. Ezt a pontot az első derivált segítségével számíthatjuk ki! b) A gyorsuló növekedés lassulóvá, de még mindig emelkedővé, az inflexiós pontnál válik, ennek megállapításához a második deriváltra van szükségünk! Természetesen mindkét esetben a derivált függvények előjelvizsgálatát is el kell végeznünk! Konkrét példánkban tehát: 2 a) Q' = −3 ⋅ L + 12 ⋅ L + 15 = 0 . A másodfokú egyenlet megoldó képletét kell alkalmazni azzal, hogy L csak nullánál nagyobb értéket vehet fel! Így L = 5 a jó megoldás, tehát ennél a pontnál található a függvény maximuma. b) Q ' ' = −6 ⋅ L + 12 = 0 . Ezen egyenlet megoldása L = 2. Azaz eddig a pontig gyorsuló, utána lassuló ütemű a növekedés (egészen L=5 pontig).

12) Nézzük a deriváltak megoldásait! 2 a) Q' = −6 ⋅ L + 8 ⋅ L − 2 = 0 .

→ L=1 (A függvénynek valójában két helyi szélső értéke van, az L=1/3 és az L=1, de az előbbi helyi minimum, az utóbbi a helyi maximum. Ez a derivált függvény (Q’) előjelváltásának vizsgálatából derül ki.)

V. Termelési függvények

105.

b) Q ' ' = −12 ⋅ L + 8 = 0 .

→

2 3

13) MPL max APL max Q max

L 1 1,5 5,58

Q 62 93,375 254,47

MPL 63 62,25 0

APL 62 62,25 46

εL 1,01 1 0

L 5 7,5 10,627

Q 350 571,875 706,4

MPL 95 76,25 0

APL 70 76,25 66,47

εL 1,357 1 0

L 2 3 4

Q 64 108 128

MPL 48 36 0

APL 32 36 32

εL 1,5 1 0

14) MPL max APL max Q max

15) MPL max APL max Q max

16) Létszám

Termelés

Határtermék

Átlagtermék

1 4 9 25 49

20 40 60 100 140

20 6,67 4 2,5 1,67

20 10 6,67 4 2,86

Termelés

Létszám

Határtermék

Átlagtermék

1 2 5 8 10

2 3 5 7 9

0,5 1 1,5 1,5 1

0,5 0,67 1 1,14 1,11

Termelési rugalmasság 1 0,67 0,6 0,625 0,58

17) Termelési rugalmasság 1 1,5 1,5 1,32 0,9

106.

V. Termelési függvények

18) Létszám

Termelés

Átlagtermék

Határtermék

1 4 9 25 49

20 40 60 100 140

20 10 6,67 4 2,86

20 6,67 4 2,5 1,67

Termelési rugalmasság 1 0,67 0,6 0,6 0,58

19) L 0 2 4 6 7 10

Q 0 5 9 12 13 15

MPL 2,5 2 1,5 1 0,67

APL 2,5 2,25 2 1,86 1,5

εL 1 0,89 0,75 0,54 0,45

L 0 1 2 3 5 6 8

Q 0 2 4 9 14 16 20

APL 2 2 3 2,8 2,7 2,5

MPL 2 2 5 2,5 2 2

εL 1 1 1,67 0,89 0,74 0,8

20)

VI. Költségek és profitok

107.

VI. KÖLTSÉGEK ÉS PROFITOK Feladatok 1. Helyettesítse a számokat a megfelelő költség-, bevétel- és profitnevekkel! 8

2 6

2 5

2 1

2. Ha a számviteli profit megegyezik a normál profittal, akkor érdemes-e a termelést hosszú távon folytatni? (Segítségül: akkor érdemes folytatnia, ha legalább a gazdasági költségeket fedezi a bevétel!)

3. Ha a számviteli profit meghaladja a normál profitot, akkor realizálható-e gazdasági profit?

4. Ha van (pozitív) számviteli profit, akkor realizálható-e normál profit? 5. Ha egy vállalkozás gazdasági profitja negatív, akkor számvitelileg is veszteséges a cég?

6. Ha egy cég a számviteli profit szempontjából veszteséget mutat, akkor gazdaságilag lehet még nyereséges?

7. Ha a vállalkozás gazdasági profitja pozitív, akkor számviteli szempontból is nyereséges?

8. Ha a cég számviteli szempontból nyereséges, akkor gazdasági értelemben is pozitív eredményt tud felmutatni?

9. Ha egy vállalkozás normál profitja negatív, akkor milyen értéket vesz fel a számviteli, illetve a gazdasági profitja?

108.

VI. Költségek és profitok

10. Jelölje a táblázatban, hogy a felsoroltak milyen költségelemek! Explicit költség

Megnevezése

Elszámolható implicit költség

Alternatív költség

Vállalkozó korábbi munkabére Bérleti díj Amortizáció Fűtési díj Feladott vállalkozás profitja Anyagbeszerzés értéke Ingatlan értékcsökkenése Forgóeszköz beszerzés Vízdíj Alkalmazott bére Cég által felvett hitel kamata Rezsi díjak Induláshoz eladott, magánszemély tulajdonában lévő értékpapír hozama Alkalmazotti bérek járuléka Folyóköltség

11. Egy vállalkozás tekintetében az alábbi adatok ismertek: Számviteli profit: El nem számolható implicit költség: Összes explicit költség: Összes gazdasági költség:

5.400 eFt 3.200 eFt 3.300 eFt 7.700 eFt

Mennyi a cég: gazdasági profitja, számviteli költsége, amortizációja, árbevétele és összes implicit költsége?

12. Egy vállalkozás alábbi adatait ismerjük: - árbevétel - explicit ktg. - amortizáció - gazdasági ktg.

6000 eFt 2800 eFt 400 eFt 4800 eFt

Számítsa ki az implicit és számviteli költséget, valamint a normál profit, a számviteli profit, a gazdasági profit összegét!

VI. Költségek és profitok

109.

13. Egy vállalkozás adatai a következők: - El nem számolható implicit költség: 2000 eFt - Gazdasági profit: − 1200 eFt - Árbevétel: 4100 eFt - Amortizáció: 900 eFt Számítsa ki a vállalkozás számviteli- és normálprofitját, explicit, összes implicit, számviteli és gazdasági költségét!

14. Számítsa ki a vállalkozó explicit, implicit, számviteli és gazdasági költségét, valamint számviteli és normál profitját, ha a vállalkozás alábbi adatait ismeri: - tervezett árbevétel: - amortizáció: - gazdasági profit: - el nem számolható implicit költség:

3000 eFt 200 eFt − 200 eFt 1200 eFt

15. Állapítsa meg a vállalkozás összes implicit és számviteli költségét, valamint számviteli, gazdasági és normálprofitját az alábbi adatok birtokában! - Elszámolható implicit költség - Explicit költség - Gazdasági költség - Értékesített termék mennyisége egységára

100 eFt 700 eFt 1200 eFt 1800 db 1200 Ft/db

16. Egy cég 600 ezer darab terméket gyárt egy évben. Az egységár 20 Ft. A vállalat éves értékcsökkenése 400 ezer Ft. Az összes explicit költség 7,6 millió Ft. Gazdasági profitként 2.100 ezer Ft nyereséget ért el a vállalat. Számítsa ki az alábbi adatokat! Implicit költség Gazdasági költség Számviteli költség

Normál profit Számviteli profit Bruttó profit

110.

VI. Költségek és profitok

Megoldások 1) A költség- és profitmegnevezések az alábbiak: Implicit költség

Explicit költség

Elszámolha- El nem számolható Explicit költség tó implicit implicit költség = költség Normál profit Számviteli költség

Gazdasági profit Gazdasági profit

Számviteli profit

Gazdasági költség

Gazdasági profit

Összes bevétel

2) Tudjuk, hogy a számviteli profit egyenlő a gazdasági profit és a normál profit összegével. A kiinduló állításból következik, hogy a gazdasági profit nulla, azaz az árbevétel megegyezik a gazdasági költséggel. Tehát érdemes a termelést hosszú távon folytatni.

3) Ismerjük, hogy a számviteli profit egyenlő a gazdasági profit és a normál profit összegével. A kiinduló állításból következik, hogy a gazdasági profit nagyobb, mint nulla, azaz realizálható gazdasági profit.

4) A számviteli profit egyenlő a gazdasági profit és a normál profit összegével. A kiinduló állításból következik, hogy a számviteli profit nagyobb vagy egyenlő a gazdasági profittal, így a normál profit nem lehet negatív. De a normál profit definíciójából is egyértelműen következik ez a megállapítás, hiszen az el nem számolható implicit költséget jelent, amely nagy valószínűséggel minden vállalkozásnál felmerül.

5) Ha egy vállalkozás gazdasági profitja negatív, akkor számvitelileg bármilyen eredményt elérhet a cég. Az eredmény attól függ, hogy a normál profit milyen nagyságú. (Emlékezzünk arra az összefüggésre, hogy a Számviteli profit = Gazdasági profit + Normál profit.)

VI. Költségek és profitok

111.

6) Amennyiben egy cég a számviteli profit szempontjából veszteséget mutat, akkor gazdaságilag biztosan nem lehet nyereséges, még akkor sem, ha a normál profitja „nulla”. (Az összefüggés, amit felhasználtunk: Gazdasági profit = Számviteli profit – Normál profit.)

7) Ha a vállalkozás gazdasági profitja pozitív, akkor számviteli szempontból is biztos, hogy nyereségesnek kell lennie, ugyanis a számviteli profit a gazdasági és a normál profit összege.

8) Amennyiben egy cég számviteli szempontból nyereséges, akkor gazdasági értelemben bármilyen eredményt fel tud mutatni, hiszen a gazdasági profitot úgy kapjuk meg, hogy a számviteli profitból levonjuk a normál profitot. Így a kapott eredmény bármilyen előjelet felvehet.

9) Ez beugrató kérdés, mivel egy vállalkozás normál profitja sohasem lehet negatív, az csak „nulla” vagy pozitív értékű lehet.

10) Jelöljük a táblázatban X-szel, hogy melyik költségelemről van szó! Megnevezése Vállalkozó korábbi munkabére Bérleti díj Amortizáció Fűtési díj Feladott vállalkozás profitja Anyagbeszerzés értéke Ingatlan értékcsökkenése Forgóeszköz beszerzés Vízdíj Alkalmazott bére Cég által felvett hitel kamata Rezsi díjak Induláshoz eladott, magánszemély tulajdonában lévő értékpapír hozama Alkalmazotti bérek járuléka Folyóköltség

Explicit költség

Elszámolható implicit költség

Alternatív költség X

X X X X X X X X X X X X X X

112.

VI. Költségek és profitok

11) Használjuk fel az ismert összefüggéseket! (Most és a továbbiakban mindig csak egy lehetséges megoldást mutatunk be, de hangsúlyozzuk, hogy az eredmények más lépésekkel, illetve más sorrendben is kiszámolhatók.) Gazdasági profit = számviteli profit – el nem számolható implicit költség = 5.400 – 3.200 = 2.200 eFt Számviteli költség = összes gazdasági költség – el nem számolható implicit költség = 7.700 – 3.200 = 4.500 eFt Amortizáció (elszámolható implicit költség) = számviteli költség – összes explicit költség = 4.500 – 3.300 = 1.200 eFt Árbevétel = összes gazdasági költség + gazdasági profit = 7.700 + 2.200 = 9.900 eFt Összes implicit költség = amortizáció + el nem számolható implicit költség = 1.200 + 3.200 = 4.400 eFt

12) Az előző feladatban használt összefüggések alapján: Számviteli profit = árbevétel – explicit költség – elszámolható implicit költség = 6.000 – 2.800 – 400 = 2.800 eFt Gazdasági profit = árbevétel – gazdasági költség = 6.000 – 4.800 = 1.200 eFt Normál profit = számviteli profit – gazdasági profit = 2.800 – 1.200 = 1.600 eFt Számviteli költség = árbevétel – számviteli profit = 6.000 – 2.800 = 3.200 eFt Implicit költség = elszámolható implicit költség + el nem számolható implicit költség = 400 + 1.600 = 2.000 eFt

13) Az ismert összefüggéseket alkalmazzuk, de figyelnünk kell arra, hogy „veszteséges” a cég, hiszen gazdasági profitja negatív! Gazdasági költség = árbevétel – gazdasági profit = 4.100 – (–1.200) = 5.300 eFt Implicit költségek = el nem számolható implicit költségek + elszámolható implicit költségek = 2.000 + 900 = 2.900 Számviteli profit = gazdasági profit + el nem számolható implicit költség = (–1.200) + 2.000 = 800 eFt Normál profit = el nem számolható implicit költség = 2.000 eFt Számviteli költség = árbevétel – számviteli profit = 4.100 – 800 = 3.300 eFt

VI. Költségek és profitok

113.

Explicit költség = számviteli költség – elszámolható implicit költség = 3.300 – 900 = 2.400 eFt

14) Az előző feladathoz teljesen hasonló a helyzet, hiszen most negatív előjellel szerepel a gazdasági profit! Implicit költség = elszámolható implicit költség + el nem számolható implicit költség = 200 + 1.200 = 1.400 eFt Gazdasági költség = árbevétel – gazdasági profit = 3.000 – (–200) = 3.200 eFt Explicit költség = gazdasági költség – implicit költség = 3.200 – 1.400 = 1.800 eFt Számviteli költség = explicit költség + elszámolható implicit költség = 1.800 + 200 = 2.000 eFt Számviteli profit = árbevétel – számviteli költség = 3.000 – 2.000 = 1.000 eFt El nem számolható implicit költség = normál profit = 1.200 eFt

15) A korábbiak alapján tudjuk a feladatot megoldani, csak arra kell ügyelnünk, hogy az árbevétel adatát ki kell számolnunk, mégpedig az egységár és az értékesített mennyiség szorzata alapján. Azaz az árbevétel = 1.200 Ft/db * 1.800 db = 2.160 eFt. Normál profit = el nem számolható implicit költség = gazdasági költség – elszámolható implicit költség – explicit költség = 1.200 – 100 – 700 = 400 eFt Gazdasági profit = árbevétel – gazdasági költség = 2.160 – 1.200 = 960 eFt Számviteli profit = gazdasági profit + normál profit = 960 + 400 = 1.360 eFt Számviteli költség = árbevétel – számviteli profit = 2.160 – 1.360 = 800 eFt Implicit költség = elszámolható implicit költség + el nem számolható implicit költség = 100 + 400 = 500 eFt

16) Először az árbevételt számítjuk ki: 600.000 db * 20 Ft/db = 12.000.000 Ft. A vállalat éves értékcsökkenése, amely 400 ezer Ft, nem más, mint az elszámolható implicit költség. Most már felírhatjuk az összefüggéseket! Gazdasági költség = Árbevétel – gazdasági profit = 12.000 – 2.100 = 9.900 eFt

114.

VI. Költségek és profitok

Számviteli költség = explicit költség + elszámolható implicit költség = 7.600 + 400 = 8.000 eFt Számviteli profit = árbevétel – számviteli költség = 12.000 – 8.000 = 4.000 eFt Implicit költség = gazdasági költség – explicit költség = 9.900 – 7.600 = 2.300 eFt Normál profit = implicit költség – elszámolható implicit költség = 2.300 – 400 = 1.900 eFt Bruttó profit = árbevétel – explicit költség = 12.000 – 7.600 = 4.400 eFt

VII. Költségfüggvények

115.

VII. KÖLTSÉGFÜGGVÉNYEK Feladatok 1. Feltételezve, hogy a parciális termelési függvény gyorsuló ütemben növekvő szakaszát vizsgáljuk, milyen alakú a rövid távú: a) fix költségfüggvény, b) változó költségfüggvény, c) teljes költségfüggvény, d) átlagos fix költségfüggvény, e) átlagos változó költségfüggvény f) átlagköltség-függvény, g) határköltség-függvény?

2. Feltételezve, hogy a parciális termelési függvény lassuló ütemben növekvő szakaszát vizsgáljuk, milyen alakú a rövid távú: a) fix költségfüggvény, b) változó költségfüggvény, c) teljes költségfüggvény, d) átlagos fix költségfüggvény, e) átlagos változó költségfüggvény f) átlagköltség-függvény, a) határköltség-függvény?

3. Egy ábra segítségével mutassa be a fixköltség-, a változóköltség- és a teljesköltség-függvények kapcsolatát, ha a parciális termelési függvény általános esetét vizsgáljuk! Ne feledkezzen meg a tengelyek és a függvények elnevezéséről!

4. Készítsük el az előző feladatnak megfelelő ábrát, amennyiben a parciális termelési függvényünk lineáris! Jelöljük a tengelyeket és függvényeket is! Mit jelent a gyakorlatban az, hogy a parciális termelési függvény lineáris?

5. Rajzolja fel a tökéletes verseny feltételei között működő vállalat fix- és átlagos fix költségfüggvényét egy koordináta-rendszerbe! Miért ilyenek a fenti függvények alakja?

116.

VII. Költségfüggvények

6. Rajzolja fel egy koordináta rendszerbe a tökéletes piaci verseny feltételei mellett egy vállalat átlagköltség-, illetve átlagos változó költség-függvényét! Szövegesen indokolja a két függvény alakjának kapcsolatát!

7. Egy ábra segítségével mutassa be a határköltség-, az átlagos változóköltség- és az átlagköltség-függvények kapcsolatát! Ne feledkezzen meg a tengelyek elnevezéséről sem!

8. Egy vállalat teljes költség függvénye: TC = 4 ⋅ q 3 − 2 ⋅ q 2 + 8 ⋅ q + 56 . a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit! b) Számolja ki a vállalat költségeit q=3 esetére! c) Milyen kibocsátási szint mellett lesz a változó inputtényező átlagtermékének maximális értéke?

9. Egy vállalat teljes költség függvénye: TC = 5 ⋅ q 3 − 10 ⋅ q 2 − 25 ⋅ q + 1500 . a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit! b) Számolja ki a vállalat költségeit q=10 esetére! c) Milyen kibocsátási szint mellett lesz a változó inputtényező átlagtermékének maximális értéke?

10. Egy vállalat teljes költség függvénye: TC = −q 3 + 15 ⋅ q 2 + 500 . a) Határozza meg azt a kibocsátási szintet, amely mellett a változó inputtényező átlagterméke maximális! b) Számítsa ki, hogy milyen kibocsátás mellett lesz a vállalat határköltsége minimális! c) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényt! d) Számítsa ki azok értékeit, ha a termelés nagysága: 9!

11. Egy tökéletes verseny vállalatának teljes költségét ezer Ft-ban a következő öszszefüggés adja meg:

TC = (q − 8) 2 a) Rövid távú vagy hosszú távú költségfüggvényről van szó a példában? Válaszát indokolja is! b) Van-e a vállalatnak fix költsége? Ha igen, akkor mennyi? Ha nem, akkor miért nem? c) Írja fel a vállalat költségfüggvényeit! d) Számítsa ki a azok értékét q = 20 termelési nagyságnál!

VII. Költségfüggvények

117.

12. Egy tökéletes verseny vállalatának teljes költségét ezer Ft-ban a következő öszszefüggés adja meg: TC = (q − 2) 2 + 60 . a) Rövid távú vagy hosszú távú költségfüggvényről van szó a példában? b) Van-e a vállalatnak fix költsége? Ha igen, akkor mennyi? Ha nem, akkor miért nem? c) Írja fel a vállalat többi költségfüggvényét! d) Mekkora a vállalat költségfüggvényeinek értéke q=10 termelési nagyságnál?

13. Egy tökéletes verseny vállalatának teljes költségét ezer Ft-ban a következő öszszefüggés adja meg: TC = (q − 5) 2 + 23 a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit! b) Mekkora a vállalat rövid távú költségfüggvényeinek értéke q=12 termelési nagyságnál?

14. Egy tökéletes verseny vállalatának átlagköltségét ezer Ft-ban a következő öszszefüggés adja meg:

64 +4 q a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit! b) Mekkora a vállalat rövid távú költségfüggvényeinek értéke q=10 termelési nagyságnál? AC = q +

15. Egy tökéletes verseny keretei között működő vállalat átlag-költségfüggvénye: 100 q a) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényeket! b) Számítsa ki a költségfüggvények értékeit q = 40 termelési nagyságnál! AC = q 2 − 36 ⋅ q +

16. Egy egytermékes vállalat határköltség-függvénye: MC = 3 ⋅ q 2 − 20 ⋅ q + 40 , ahol „q” a termelés mennyisége. A fix költség: 500. a) Írja fel a többi rövidtávú költségfüggvényt! b) Számítsa ki azok értékeit 10 nagyságú termelés esetén!

118.

VII. Költségfüggvények

17. Egy tökéletes verseny keretei között működő vállalat átlagos változó költségfüggvénye: AVC = 2 ⋅ q 2 − 12 ⋅ q . A vállalat fix költsége 100 egységnyi. a) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényeket! b) Számítsa ki a költségfüggvények értékeit q=8 termelési nagyságnál!

18. Az alábbi isocost egyenes mely pontjára, vagy pontjaira igaz az, hogy: a) csak egyik termelési tényezőt vásárolja a termelő, de nem használja fel a teljes összköltséget; b) mindkét termelési tényezőből vásárol a termelő, de nem használja fel a teljes összköltséget; c) csak egyik termelési tényezőt vásárolja a termelő, és felhasználja a teljes összköltséget; d) mindkét termelési tényezőt vásárolja a termelő, és felhasználja a teljes összköltséget; e) adott feltételek (összköltség és termelési tényező árak) mellett nem megvásárolható kombináció; f) adott feltételek (összköltség és termelési tényező árak) mellett, csak az egyik termelési tényezőre koncentrálva nem megvásárolható kombináció; g) az összköltséget nem használta fel a termelő (több pontot kell jelölni!); h) az összköltséget felhasználta a termelő (több pontot kell jelölni!); i) adott feltételek mellett nem megvásárolható lehetőség (több pontot kell jelölni!). K (tőke) mennyisége

A B D E

C L (munka) mennyisége

VII. Költségfüggvények

119.

19. Rajzoljunk egy isocos egyenest! Jelöljük ezt TC1-gyel! Az egyes tengelyeken a tőke és a munka mennyisége szerepel. Rajzoljunk egy olyan isocost egyenest, amelynél ehhez képest: a) a termelő felhasználható összköltsége nőtt (jelöljük TC2-vel); b) az egyik termelési tényező (pl. a munka) ára csökkent (TC3-mal jelöljük); c) mindkét termelési tényező ára azonos mértékben csökkent (jelöljük TC4gyel); d) mindkét termelési tényező ára csökkent, de eltérő mértékben (TC5-tel jelöljük)!

20. Az alábbi ábra mely pontjára, illetve pontjaira igaz, hogy: a) a termelő felhasználja az összköltséget, de nem éri el az ahhoz tartozó legnagyobb termelési szintet (A) b) a termelő nem használja fel az összköltséget (B) c) a termelő felhasználja az összköltséget, és eléri az ahhoz tartozó legnagyobb termelési szintet (C) d) a termelő olyan termelési szintre lépne, amelyet a feltételek nem tesznek lehetővé (D) K (tőke) mennyisége

D C

L (munka) mennyisége

120.

VII. Költségfüggvények

21. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 4 ⋅ K ⋅ L , ahol L a foglalkoztatottak száma, K a felhasznált tőke mennyisége. a) Írja fel a technikai helyettesítés határrátáját! b) Mi az optimális tényező felhasználás hosszú távon, ha TC = 200, PL = 10, PK = 20? c) Mi az optimális tényező felhasználás rövid távon, ha TC = 200, PL = 10, illetve PK = 20 és tudjuk, hogy K = 2,5?

22. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L , ahol L a foglalkoztatottak száma, K a felhasznált tőke mennyisége. a) Írja fel a technikai helyettesítés határrátáját! b) Mi az optimális tényező felhasználás hosszútávon, ha TC = 200, PL = 5 és PK = 25? c) Mi az optimális tényező felhasználás rövid távon, ha TC = 200, PL = 10, illetve PK = 25 és tudjuk, hogy K = 2,5? 3 4

1 4

23. Egy vállalat termelési függvénye Q = 10 ⋅ K ⋅ L . A vállalat számára a munka 1 egységbe, a tőke 5 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 800. a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximális kibocsátást eredményező tőke és munka mennyiséget! b) Rövid távon a tőke rendelkezésre álló mennyisége 81. Mennyi lesz rövid távon a maximális kibocsátást eredményező munka mennyiség?

24. Egy vállalat termelési függvénye Q = 2 K ⋅ L . A vállalat számára a munka 5 egységbe, a tőke 12 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 2400. a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximálisan előállítható termékmennyiséget! b) Rövid távon a tőke rendelkezésre álló mennyisége 120. Mennyi lesz rövid távon a maximális kibocsátás nagysága?

25. Egy vállalat a termelési folyamat során egy egység tőkéhez mindig egy egység munkát használ fel, s ezzel egy egységnyi kibocsátásra képes. A vállalat számára a munka 1 egységbe, a tőke 3 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 40. a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximálisan előállítható termékmennyiséget! b) Rövid távon a rendelkezésre álló tőke mennyisége 5. Mennyi lesz rövid távon a maximális kibocsátás nagysága?

VII. Költségfüggvények

121.

26. Egy vállalat a termelési folyamat során egy egység tőkéhez mindig három egység munkát használ fel, s ezzel egy egységnyi kibocsátásra képes. A vállalat számára a munka 10 egységbe, a tőke 90 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 360. a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximálisan előállítható termékmennyiséget! b) Rövid távon a rendelkezésre álló tőke mennyisége 2. Mennyi lesz rövid távon a maximális kibocsátás nagysága?

27. Egy vállalat termelési függvénye: Q = K ⋅ L2 . A vállalat számára a munka 3 egységbe, a tőke 12 egységbe kerül. A vállalat 8000-es kibocsátás szintet akar elérni. Határozza meg adott feltételek mellett azt a tőke-munka kombinációt, amelylyel a vállalat minimális költségekkel tudja megtermelni a kívánt kibocsátásszintet! 1 2

28. Egy vállalat termelési függvénye: Q = K ⋅ L2 . A vállalat számára a munka 5 egységbe, a tőke 20 egységbe kerül. A vállalat 800-as kibocsátás szintet akar elérni. Határozza meg adott feltételek mellett azt a tőke-munka kombinációt, amelylyel a vállalat minimális költségekkel tudja megtermelni a kívánt kibocsátásszintet!

29. Töltse ki a táblázatot, ha ismerjük a munka egységárát: PL = 600! L 1 3

MPL

158 268 372

APL 50

53,14 49

30. A vállalat tőkefelhasználása K = 10, a munka ára PL = 50. a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! b) Mennyi a tőke ára?

122.

VII. Költségfüggvények

L (fő) 0 6 11 15 21 31 45 63

Q (edb) 0 10 20 30 40 50 60 70

MPL

APL

TC (eFt) 600

31. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, amely egy tökéletesen versenyző vállalatra vonatkozik! L (fő) 0 1 2

Q (db) 0 2

MPL

APL

εL

FC (Ft) VC (Ft) TC (Ft) 600 100

2,5 2

8 1

1500

32. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, annak ismeretében, hogy a munka egységára: 1200! Input (L) 2 4 6 8

Output (Q) 40

APL

MPL

AVC

30 28 200 200

33. Az alábbi táblázat egy tökéletesen versenyző vállalat néhány adatát mutatja. a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait, ha a vállalat tőkefelhasználása K = 10, és a munka ára PL=100! b) Mennyi a tőke ára?

VII. Költségfüggvények

Q 0 10 20 30 40 50 60

123.

MPL

APL

AVC

1400 20

1200 40

34. Töltse ki az alábbi táblázatot, ha PL = 20! L 0 1 2

Q 0 2

AFC AVC AC

APL MPL

35 9

3 100

100

16 8

εL

2 2,5

35. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L . Teljes költsége: 1.000. Profitmaximalizáló kibocsátás mellett a munka egységének ára 25, a tőkéé pedig 100. a) Mennyi tőkét és munkát használ fel ilyen körülmények között a vállalat? b) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit, ha a rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: K=4!

36. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 4 ⋅ K ⋅ L . Teljes költsége: 2.000. Profitmaximalizáló kibocsátás mellett a munka egységének ára 10, a tőkéé pedig 40. a) Mennyi tőkét és munkát használ fel ilyen körülmények között a vállalat? b) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit, ha a rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: K=16!

37. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L . A vállalat által rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: 4. A felhasznált munka egy egységének ára 4, a tőkéé pedig 8. a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit! b) Számítsa ki ezek konkrét értékeit, ha a tőke átlagterméke: 5!

124.

VII. Költségfüggvények 1 2

38. Ismert egy vállalat termelési függvénye: Q = 5 ⋅ K ⋅ L . A vállalat rövid távú 2

tőkefelhasználása: K = 2. a) Írja fel a rövid távú költségfüggvényeket, ha PL = 200, PK = 1000! b) Számítsa ki ezek konkrét értékeit, ha a tőke átlagterméke: 80!

39. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ L2 ⋅ K 2 . A rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: 4, egységára: 1000. A munka egységára: 200. A fenti információk alapján töltse ki a táblázatot! Q 0 512 1152

AFC

AVC

40. Egy vállalat termelési függvénye: Q = L1 2 ⋅ K 2 . A rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: 9, egységára: 200. A munka egységára: 50. A fenti információk alapján töltse ki a táblázatot! Q 0 162 324

AFC

AVC

MC -

41. Csökkenő skálahozadékot feltételezve: a) b) c) d)

Milyen alakú a hosszú távú átlagköltség-függvény? Milyen alakú a hosszú távú határköltség-függvény? Milyen alakú a hosszú távú teljesköltség-függvény? Milyen kapcsolat van a hosszú távú átlag- és határköltség-függvény között?

42. Állandó skálahozadékot feltételezve: a) b) c) d)

VII. Költségfüggvények

125.

43. Növekvő skálahozadékot feltételezve: a) b) c) d)

Megoldások 1) a) b-c) d) e-g)

vízszintes egyenes lassuló ütemben növekvő monoton csökkenő, konvex és közelít a vízszintes tengelyhez monoton csökkenő, konvex

a) b-c) d) e-g)

vízszintes egyenes gyorsuló ütemben növekvő monoton csökkenő, konvex és közelít a vízszintes tengelyhez monoton növekvő, konvex

3) C TC VC

126.

VII. Költségfüggvények

4) C

A parciális termelési függvény lineáris, ha a munka határterméke állandó, azaz ha a termeléshez felhasznált munka mennyiségét növeljük, a termelés a függvény teljes értelmezési tartományán ugyanakkora értékkel növekszik.

TC VC

5) C

FC vízszintes egyenes, mert a fix költség nagysága nem függ a termelés nagyságától. AFC értéke csökkenő, mert a konstans FC-t a növekvő Q-val osztva, AFC-re egyre kisebb értékeket kapunk.

AFC

6) C

AC AVC

AC és AVC közötti távolság csökkenő, mert AC és AVC különbsége az átlagos fix költség (AFC), amelynek értéke a termelés növekedésével csökken.

VII. Költségfüggvények

127.

7) C AC MC AVC

8) TC 56 = 4q 2 − 2q + 8 + VC = 4q 3 − 2q 2 + 8q q q VC AVC = = 4q 2 − 2q + 8 FC = 56 q dTC dVC FC 56 AFC = = MC = = = 12q 2 − 4q + 8 q q dq dq b) TC=170 VC=114 FC=56 AC=56,67 AVC=38 AFC=18,67 MC=104 c) Rövid távon a változó inputtényező a munka, tehát azt a kibocsátási szintet keressük, amely mellett APL maximális. A termelési függvények és a rövid távú költségfüggvények között fennálló összefüggés alapján ez ugyanannál a kibocsátásnál lesz, ahol AVC minimális. AVC-t minimumában metszi MC, tehát: AVC=MC 4q 2 − 2q + 8 = 12q 2 − 4q + 8 q=4

a) AC =

9) a) VC = 5q 3 − 10q 2 − 25q

AVC = 5q 2 − 10q − 25 b) TC=5250 AVC = 375

FC = 1500

AFC =

VC = 3750 AFC = 150

AC = 5q 2 − 10q − 25 +

1500 MC = 15q 2 − 20q − 25 q FC = 1500 AC = 525 MC = 1275

1500 q

128.

VII. Költségfüggvények

c) Rövid távon a változó inputtényező a munka, tehát azt a kibocsátási szintet keressük, amely mellett APL maximális. A termelési függvények és a rövid távú költségfüggvények között fennálló összefüggés alapján ez ugyanannál a kibocsátásnál lesz, ahol AVC minimális. AVCmin = MC 5q 2 − 10q − 25 = 15q 2 − 20q − 25 q=1

10) a) Rövid távon a változó inputtényező a munka, tehát azt a kibocsátási szintet keressük, amely mellett APL maximális. A termelési függvények és a rövid távú költségfüggvények között fennálló összefüggés alapján ez ugyanannál a kibocsátásnál lesz, ahol AVC minimális. AVCmin = MC Először fel kell írni a szükséges függvényeket: VC = −q 3 + 15q 2 AVC = −q 2 + 15q MC = −3q 2 + 30q Vagyis: − q 2 + 15q = −3q 2 + 30q q=7,5 b) A határköltség függvénynek ott lesz szélsőértéke, ahol az elsőrendű deriváltja nullával egyenlő. dMC = −6q + 30 = 0 dq q=5 c) VC = −q 3 + 15q 2 AVC = −q 2 + 15q MC = −3q 2 + 30q 500 500 AFC = AC = −q 2 + 15q + FC = 500 q q d) TC=986 VC=486 AVC=54 MC=27 FC=500 AFC=55,6 AC=109,6

11) a) Bontsuk fel a zárójelet! TC = q 2 − 16q + 64 Tehát a költségfüggvény rövid távú, mert van fix költsége a vállalatnak. b) Igen van, FC=64 c) VC = q 2 − 16q MC = 2q − 16 FC = 64

VII. Költségfüggvények

129.

AFC =

AVC = q − 16 d) VC=80 AVC=4

FC=64 AFC=3,2

64 q

AC = q − 16 +

TC=144 AC=7,2

64 q

MC=24

12) a) Bontsuk fel a zárójelet! TC = q 2 − 4q + 64 Tehát a költségfüggvény rövid távú, mert van fix költsége a vállalatnak. b) Igen van, FC = 64 c) VC = q 2 − 4q FC = 64 MC = 2q − 4 64 64 AFC = AC = q − 4 + AVC = q − 4 q q d) VC = 60 FC = 64 TC =124 MC = 16 AVC= 6 AFC = 6,4 AC = 12,4

13) a) TC = q 2 − 10q + 48 AC = q − 10 + b) TC=72 AC = 6

VC = q 2 − 10q

FC = 48

48 48 AVC = q − 10 FC = q q VC = 24 FC = 48 AVC = 2 AFC = 4

MC = 2q − 10 MC = 14

14) a) TC = q 2 + 4q + 64 64 AC = q + 4 + q b) TC =204 AC = 20,4

VC = q 2 + 4q

AVC = q + 4 VC = 140 AVC= 14

FC = 64 64 AFC = MC = 2q + 4 q FC = 64 AFC = 6,4 MC = 24

15) a) TC = q 3 − 36q 2 + 100

VC = q 3 − 36q 2 100 AVC = q 2 − 36q AFC = q b) TC = 6.500 VC = 6.400 FC=100

FC = 100

MC = 3q 2 − 72q

130.

VII. Költségfüggvények

AC = 162,5

AVC = 160

AFC = 2,5 MC = 1.920

16) a) TC = q 3 − 10q 2 + 40q + 500 500 AC = q 2 − 10q + 40 + q b) TC=900 VC=400 AC=90 AVC=40

VC = q 3 − 10q 2 + 40q

AVC = q 2 − 10q + 40 FC=500 AFC=50

FC = 500 500 AFC = q

MC=140

17) a) VC = 2q 3 − 12q 2

TC = 2q 3 − 12q 2 + 100 100 100 AC = 2q 2 − 12q + AFC = q q b) FC=100 VC = 256 TC = 356 AFC = 12,5 AVC = 32 AC = 44,5

MC = 6q 2 − 24q

MC = 192

18) a) A b) B c) C

d) D e) E f) F

g) A és B h) C és D i) E és F

19) a)

tőke mennyisége

TC1

TC2

TC3

munka mennyisége

VII. Költségfüggvények

131.

tőke mennyisége

TC1

TC5

TC4

munka mennyisége

20) a) A b) B

c) C d) D

21) 4K K = L 4L L b) Hosszú távon a vállalat arra törekszik, hogy a rendelkezésre álló költségkeretből egy olyan tőke-munka kombinációt vásároljon meg, amellyel a legmagasabb kibocsátási szintet tudja elérni. Ez a tőke-munka kombináció az isocost egyenes és egy isoquant görbe érintési pontjában található. Ezért az optimális tényezőmennyiségek kiszámításához két egyenletet kell felhasználni. Az isocost egyenes egyenletét: TC=PL*L+PK*K, valamint az érintési feltételt, amely szerint az optimális tényezőkombinációra felírható: MPL PL MRTS K = = L MPK PK 200=20*K+10*L K 10 így 2*K = L = L 20 200 = 20*K + 10*(2*K) K = 5 és L = 10 a) MRTS K =

132.

VII. Költségfüggvények

c) Rövid távon az isocost egyenes egyenletébe behelyettesítve az ismert adatokat, rögtön adódik a munka hiányzó értéke. 200 = 20*2,5 + 10*L azaz L = 15 és K = 2,5

22) 2K K = L 2L L b) 200=5*L+25*K K 5 5*K=L = L 25 200=5*5*K+25*K=50*K K = 4 és L = 20 c) 200=10*L+25*2,5=10*L+62,5

a) MRTS K =

azaz L = 13,75 és K = 2,5

23) a) 800=L+5K=4L K 1 5*K=3*L = 3⋅ L 5 800=L+5K=4L K = 120 és L = 200 b) 800=L+5*81 azaz

L=395 és K = 81

24) a) 2400=5*L+12*K K 5 12*K=5*L = L 12 2400=5*L+5*L=10*L K=100 és L=240 Q=310 b) 2400=5L+12*120 azaz

L=192 és Q=303,6

25) 1 1 ⋅L+ ⋅K 2 2 Rögzített a tőke és munka aránya: K=L Az isocost egyenes egyenlete: 40=L+3*K Ebből következik, hogy 40=L+3*L=4*L L=10 és K=10 Q=10 b) A rögzített K/L arányból következik, hogy K=L=5. A termelési függvénybe helyettesítve Q=5 adódik.

a) Termelési függvény: Q =

VII. Költségfüggvények

133.

26) 1 1 ⋅L+ ⋅K 6 2 Rögzített a tőke és munka aránya: 3*K=L Az isocost egyenes egyenlete: 360=10*L+90*K Ebből következik, hogy 360=10*L+30*L=40*L K=3 és L=9 Q=3 b) A rögzített K/L arányból következik, hogy 3*K=3*2=L=6 A termelési függvénybe helyettesítve Q=2 adódik.

a) Termelési függvény: Q =

2 27) 8000 = K ⋅ L

8000 L2

8000 L2 TC értéke annál az „L” értéknél lesz minimális, ahol a függvény elsőrendű deriváltja nulla. 192.000 TC ′ = 3 − =0 L3 Az egyenlet megoldása: L=40 „L” értékét a termelési függvénybe helyettesítve adódik: K=5 TC = 3 ⋅ L + 12 ⋅ K = 3 ⋅ L + 12 ⋅

1 2

2 28) 800 = K ⋅ L

640.000 L4

640.000 L4 TC értéke annál az „L” értéknél lesz minimális, ahol a függvény elsőrendű deriváltja nulla. 51.200.000 TC ′ = 5 − =0 L5 Az egyenlet megoldása: L=25,23 „L” értékét a termelési függvénybe helyettesítve adódik: K=1,58 TC = 5 ⋅ L + 20 ⋅ K = 5 ⋅ L + 20 ⋅

134.

VII. Költségfüggvények

29) L 1 3 5 7 9

Q 50 158 268 372 470

MPL 50 54 55 52 49

APL 50 52,7 53,6 53,14 52,2

VC 600 1.800 3.000 4.200 5.400

30) a) L (fő) 0 6 11 15 21 31 45 63

Q (edb) MPL 0 10 1,67 20 2 30 2,5 40 1,67 50 1 60 0,71 70 0,56

APL 1,67 1,81 2 1,9 1,61 1,33 1,11

TC (eFt) 600 900 1.150 1.350 1.650 2.150 2.850 3.750

b) PK = FC/K = 600/10 = 60

31) L (fő) 0 1 2 4 9

Q (db) 0 2 5 8 13

MPL 2 3 1,5 1

APL 2 2,5 2 1,44

εL n.é. 1 1,2 0,75 0,69

Input (L) 2 4 6 8 10

Output (Q) 40 100 156 200 200

APL

MPL

AVC

20 25 26 25 20

20 30 28 22 0

60 40 42,86 54,55 -

60 48 46,15 48 60

FC (Ft) VC (Ft) TC (Ft) 600 600 0 100 600 700 600 200 800 600 400 1.000 1.500 600 900

32)

VII. Költségfüggvények

135.

33) a) L 0 4 7 9 12 16 22

Q 0 10 20 30 40 50 60

MPL 2,5 3,33 5 3,33 2,5 1,67

APL 2,5 2,86 3,33 3,33 3,125 2,73

FC VC TC MC AC AVC 1000 0 1000 1000 400 1400 40 140 40 1000 700 1700 30 85 35 1000 900 1900 20 63,33 30 1000 1200 2200 30 55 30 52 1000 1600 2600 40 32 1000 2200 3200 60 53,33 36,67

b) PK=FC/K=1000/10=100

34) L 0 1 2 3 5 6 8

Q 0 2 4 9 14 16 20

FC 100 100 100 100 100 100 100

VC 0 20 40 60 100 120 160

TC 100 120 140 160 200 220 260

AFC AVC AC MC 50 10 60 10 35 25 10 10 11,1 6,7 17,8 4 8 7,1 7,1 14,2 6,25 7,5 13,75 10 5 8 13 10

APL MPL εL 2 2 1 2 2 1 3 5 1,67 2,8 2,5 0,89 2 2,7 0,74 2,5 2 0,8

35) a)

MRTS K / L =

MPL K = MPK L

Profitmaximalizáló kibocsátás mellett:

MPL PL = MPK PK

K 25 ebből 4 K = L = L 100 Isocost – egyenes egyenlete: 1.000=25*L+100*K=50*L Ebből L=20 és K=5 Q2 b) Q=4 L ebből L = 16 Q2 FC = PK ⋅ K = 4 ⋅ 100 = 400 VC = PL ⋅ L = 25 ⋅ = 1,56 ⋅ Q 2 16 2 TC = VC + FC = 1,56 ⋅ Q + 400 AVC = 1,56 ⋅ Q

136.

VII. Költségfüggvények

AC = 1,56 ⋅ Q +

400 Q

AFC =

400 Q

MC = 3,125 ⋅ Q

36) a)

MRTS K / L =

MPL K = MPK L

Profitmaximalizáló kibocsátás mellett:

MPL PL = MPK PK

K 10 = ebből 4 K = L L 40 Isocost – egyenes egyenlete: 2.000=10*L+40*K=20*L Ebből L=100 és K=25

Q = 4 16 ⋅ L = 16 ⋅ L

FC = PK ⋅ K = 40 ⋅ 16 = 640

TC = VC + FC = 0,039 ⋅ Q 2 + 640 640 AC = 0,039 ⋅ Q + Q

Q2 ebből L= 256 2 Q VC = PL ⋅ L = 10 ⋅ = 0,039 ⋅ Q 2 256 AVC = 0,039 ⋅ Q 640 AFC = MC = 0,078 ⋅ Q Q

37) a)

Q=4 L

ebből

Q2 L= 16

Q2 FC = PK ⋅ K = 8 ⋅ 4 = 32 VC = PL ⋅ L = 4 ⋅ = 0,25 ⋅ Q 2 16 2 TC = VC + FC = 0,25 ⋅ Q + 32 AVC = 0,25 ⋅ Q 32 32 AC = 0,25 ⋅ Q + AFC = MC = 0,5 ⋅ Q Q Q Q b) APK = = 5 és tudjuk még, hogy K=4. K Q2 Ebből kiszámolható, hogy Q=20 és L = = 25 16 FC= 32 VC= 100 TC= 132 AFC=1,6 AVC=5 AC=6,6 MC=10

VII. Költségfüggvények

137.

38) Q = 20 L

ebből

FC = PK ⋅ K = 2 ⋅ 1.000 = 2.000

Q2 L= 400

VC = PL ⋅ L = 200 ⋅

Q2 = 0,5 ⋅ Q 2 400

TC = VC + FC = 0,5 ⋅ Q 2 + 2.000 AVC = 0,5 ⋅ Q 2.000 2.000 AC = 0,5 ⋅ Q + AFC = Q Q Q b) APK = = 80 és tudjuk még, hogy K=2. K

MC = Q

Q2 Ebből kiszámolható, hogy Q=160 és L = = 64 400

FC= 2.000 AFC=12,5

VC= 12.800 AVC=80

TC= 14.800 AC=92,5

MC=20

39) Q 0 512 1152 FC = PK ⋅ K

AFC 7,81 3,47

FC AVC VC MC 4000 0 0 4000 1,56 800 1,56 4000 1,04 1200 0,625

Mivel K=4, ezért: Q = 32 ⋅ L2 és így: L =

Q 32

Ha Q=0 akkor L is 0. VC = PL ⋅ L

MC =

TC=VC+FC

AC =

AFC FC AVC 1800 0 11,11 1800 1,23 5,55 1800 2,47

VC 0 200 800

TC = AFC + AVC Q

∆VC ∆Q

40) Q 0 162 324

MC 1,23 3,7

138.

VII. Költségfüggvények

FC = PK ⋅ K

Mivel K=9, ezért: Q = 81 ⋅ L és így: L =

Q2 6561

Ha Q=0 akkor L is 0. VC = PL ⋅ L MC =

TC=VC+FC

∆VC ∆Q

41) a) b) c) d)

monoton növekvő, konvex monoton növekvő, konvex gyorsuló ütemben növekvő LAC az LMC alatt halad

a) b) c) d)

vízszintes egyenes vízszintes egyenes lineárisan növekvő LMC=LAC

a) b) c) d)

monoton csökkenő, konvex monoton csökkenő, konvex lassuló ütemben növekvő LAC az LMC felett halad

42)

43)

AC =

TC = AFC + AVC Q

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

139.

VIII. KÍNÁLAT TÖKÉLETES VERSENYNÉL Feladatok 1. Egy ábra segítségével mutassa be a teljes bevétel- és a teljesköltség-függvények kapcsolatát, ha a parciális termelési függvény általános esetét vizsgáljuk! Egy alatta lévő koordinátarendszerben rajzolja be az összprofit alakulását! Mindkettőnél jelölje azt a termelési mennyiséget és bevételnagyságot, amelytől a vállalat eredménye pozitívvá válik! Ne feledkezzen meg a tengelyek és a függvények elnevezéséről!

2. Készítsük el az előző feladatnak megfelelő ábrát, amennyiben a parciális termelési függvényünk lineáris! Egy alatta lévő koordinátarendszerben rajzolja be az összprofit alakulását! Mindkettőnél jelölje a tengelyeket és függvényeket, és azt a bevételi értéket illetve kibocsátási nagyságot, amelytől a vállalat nyereséges lesz!

3. Egészítse ki tökéletes verseny feltételei esetén az alábbi mondatokat: Ha az ár kisebb, mint …………………………, akkor a vállalat nem termel. Ha az ár éppen egyenlő a …………………………, akkor a vállalat az üzembezárási pontban van. Ha az ár nagyobb, mint …………………………, de kisebb, mint ……………………….., akkor a vállalat – veszteség mellett – rövid távon fenntarthatja termelését. Ha az ár éppen egyenlő a …………………………, akkor a vállalat fedezeti pontban van. Ha az ár nagyobb, mint …………………………, akkor a vállalat biztosan termel, és ……………………. realizál.

4. Tökéletesen versenyt feltételezve töltse ki az alábbi táblázatot! Jellemző P < AVCmin P = AVCmin AVCmin < P < ACmin P = ACmin P > ACmin

Termel-e a vállalat?

TR és TC kapcsolata

TR és VC kapcsolata

Van-e gazdasági profit?

140.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

5. Készítsen egy ábrát, amelyben költségfüggvények segítségével bemutatja egy tökéletes verseny feltételei között működő vállalat – rövid távú – kínálati függvényét! Jelölje a tengelyeket és függvényeket, valamint a nevezetes pontokat!

6. Egy tökéletesen versenyző iparágban a késztermék ára 50 pénzegység. Egy vállalatáról ismertek még az alábbi adatok: q 0 TC 10

1 40

2 65

3 80

4 5 6 7 8 85 105 135 185 265

Határozza meg a vállalat profitmaximumhoz tartozó termelését és profitját!

7. Egy tökéletesen versenyző iparág egy vállalatáról tudjuk a következőket: q 0 TC 40

1 2 4 5 9 13 16 90 130 200 230 410 610 790

Határozza meg a vállalat profitmaximum melletti termelését és profitját, ha a termék ára 50 pénzegység!

8. Számítsuk ki az alábbi költségfüggvénnyel rendelkező – tökéletes piaci verseny feltételei mellett tevékenykedő – vállalatok üzembezárási és fedezeti pontját! a) TC = (q − 2) 2 + 60 b) TC = (q − 5) 2 + 23 64 c) AC = q + +4 q

9. Írjuk fel a fenti esetekre a vállalatok (rövid távú) kínálati függvényét! 10. Egy tökéletesen versenyző vállalat éppen a fedezeti pontján termel. a) Mennyi a késztermék ára, ha a vállalat összköltség függvénye: TC = 128 + 4 ⋅ q + 2 ⋅ q 2 ? b) Mennyit termel ebben az esetben a vállalat? c) Mekkora az az ár, ami alatt már nem lenne hajlandó termelni a vállalat? d) Milyen termelési nagyságnál jönne ez létre?

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

141.

11. Egy

tökéletesen versenyző vállalat teljes költség függvénye: TC = 4 ⋅ q 2 + 8 ⋅ q + 10 . a) Milyen piaci ár mellett alakul ki a vállalat üzemszüneti pontja, ha a vállalat tökéletesen versenyző? b) Milyen árnál és termelési mennyiségnél éri el a vállalat a fedezeti pontját?

12. Egy tökéletes verseny feltételei között működő vállalat átlagköltség függvénye: 32 . A termék piaci ára: 400 pénzegység q a) Mennyi lesz a vállalat profitmaximumot biztosító kibocsátása? b) Mennyi lesz a vállalat maximális profitja? c) Mekkora kibocsátásnál van a vállalat fedezeti pontja? AC = 0,5 ⋅ q + 200 +

13. Egy tökéletesen versenyző vállalat határköltség függvénye: MC = 12 ⋅ q . A vállalat fix költsége: 1.000 egység. A termék piaci ára: 180 egység. a) Határozza meg a fenti feltételek mellett a vállalat kibocsátását és a realizált profit nagyságát! b) Mekkora lenne az a piaci ár és kibocsátás, ahol a vállalat csak normálprofitot realizálna?

14. Egy iparágban a tökéletes verseny feltételei érvényesülnek. Az iparág egy vállalatának teljes költség függvénye: TC = q 2 + 8q + 10 . A piacon kialakult ár 28 egység. Az iparág egészében érvényesülő keresleti függvény: P = 528 − Q a) Határozza meg egy vállalat kibocsátását, valamint az iparágban működő vállalatok számát a fenti feltételek mellett! b) Határozza meg azt az ártartományt, amelyben a vállalat rövidtávon még veszteség esetén is folytatja termelését!

15. Egy iparágban a tökéletes verseny feltételei érvényesülnek. Az iparág egy vállalatának teljes költség függvénye: TC = q 3 + 16 ⋅ q + 50 . A piacon kialakuló ár 91 egység. Az iparág egészében érvényesülő keresleti függvény: P = 301 − Q . a) Határozza meg egy vállalat kibocsátását, valamint az iparágban működő vállalatok számát a fenti feltételek mellett! b) Határozza meg, mekkora ár mellett realizál a vállalat csak normálprofitot!

142.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

16. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye: Q D = 2270 − 100 ⋅ P . Az iparágban működő vállalatokat azonos költségviszonyok jellemzik. Egy vállalat teljes költség függvénye: TC = 10 + 5 ⋅ q 2 + 4 ⋅ q . a) Határozza meg az iparágban kialakuló egyensúlyi árat, ha az iparágban 100 vállalat működik! b) Mekkora lesz egy vállalat kibocsátása és az általa realizált profit nagysága?

17. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő: Q D = 600 − 120 ⋅ P . Az iparágban 6 vállalat működik, a vállalatok költségfüggvénye azonos, TC = 2 ⋅ q + 0,0125 ⋅ q 2 . a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kínálatot! b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fogyasztói többlet nagyságát!

18. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő: Q D = 300 − 10 ⋅ P . Az iparágban 10 vállalat működik, a vállalatok költségq2 . 2 a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kínálatot! b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fogyasztói többlet nagyságát!

függvénye azonos, TC = 10 ⋅ q +

19. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő: Q D = 300 − 10 ⋅ P . A termék egyensúlyi ára 20. a) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fogyasztói többlet nagyságát! b) Határozza meg az iparágban kialakult összpiaci keresletet! c) Hány vállalat működik az iparágban, ha tudjuk, hogy a vállalatok költségfüggvénye azonos: MC = 10 + 2 ⋅ q , és fix költséggel a vállalatoknak nem kell számolniuk?

20. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő: Q D = 600 − 120 ⋅ P . A termék egyensúlyi ára 3. a) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fogyasztói többlet nagyságát!

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

143.

b) Határozza meg az összpiaci kínálatot! c) Hány vállalat működik az iparágban, ha tudjuk, hogy a vállalatok költségfüggvénye azonos: MC = 2 + 0,025 ⋅ q , és fix költséggel a vállalatoknak nem kell számolniuk?

21. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti és kínálati függvénye a következő: Q D = 300 − 10 ⋅ P és Q S = 10 ⋅ P − 100 . a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kínálatot! b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fogyasztói többlet nagyságát! c) Hány vállalat működik az iparágban, ha a vállalatok költségfüggvénye azonos: MC = 10 + q , és fix költséggel a vállalatoknak nem kell számolniuk?

22. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti és kínálati függvénye a következő: Q D = 600 − 120 ⋅ P és Q S = 240 ⋅ P − 480 . a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kínálatot! b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fogyasztói többlet nagyságát! c) Hány vállalat működik az iparágban, ha a vállalatok költségfüggvénye azonos: MC = 2 + 0,025 ⋅ q , és fix költséggel a vállalatoknak nem kell számolniuk?

23. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L . Profitmaximalizáló kibocsátás mellett a munka egységének ára 25, a tőkéé pedig 100. A rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: K=4. A piaci ár jelenleg P=125. a) Határozza meg, hogy milyen termelési szintnél van a vállalat üzembezárási és fedezeti pontja! b) Mennyi az elérhető maximális profit nagysága? c) Rövid távon termel-e a vállalat, ha az ár 60, illetve 40?

24. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 4 ⋅ K ⋅ L . Profitmaximalizáló kibocsátás mellett a munka egységének ára 10, a tőkéé pedig 40. A rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: K=16. A piaci ár jelenleg 39. a) Határozza meg, hogy milyen termelési szintnél van a vállalat üzembezárási és fedezeti pontja! b) Mennyi az elérhető maximális profit nagysága?

144.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

c) Rövid távon termel-e a vállalat, ha az ár 20, illetve 5?

25. Egy vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L . A vállalat által rövidtávon felhasznált tőke mennyisége: 4. A felhasznált munka egy egységének ára 4, a tőkéé pedig 8. a) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat az üzembezárási pontban? b) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat a fedezeti pontban? 1 2

26. Ismert egy vállalat termelési függvénye: Q = 5 ⋅ K ⋅ L . A vállalat rövid távú 2

tőkefelhasználása: K = 2. A munka egységára: 200, míg a tőkéé: 1.000. a) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat az üzembezárási pontban? b) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat a fedezeti pontban?

27. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő: Q D = 600 − 120 ⋅ P . Az iparágban 6 vállalat működik, a vállalatok termelési függvénye azonos: q = (4 ⋅ L + 64)1 / 2 . A munka egységára 0,05. a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kínálatot! b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és a fogyasztói többlet nagyságát!

28. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő: Q D = 300 − 10 ⋅ P . Az iparágban 10 vállalat működik, a vállalatok termelési függvénye azonos, q = (4 ⋅ L + 100)1 / 2 . A munka egységára 2. a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kínálatot! b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és a fogyasztói többlet nagyságát!

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

145.

Megoldások 1) TR TC

2) TR TC

П Q*

146.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

3) a) b) c) d) e)

AVCmin AVCmin AVCmin + ACmin ACmin ACmin + gazdasági profitot

4) Termel-e a vállalat? nem lehet igen igen igen

Jellemző P < AVCmin P = AVCmin AVCmin < P < ACmin P = ACmin P > ACmin

TR és TC kapcsolata TR < TC TR < TC TR < TC TR = TC TR > TC

TR és VC kapcsolata TR < VC TR = VC TR > VC TR > VC TR > TC

Van-e gazdasági profit? nincs nincs nincs nincs van

5) C

A határköltség függvény AVC minimuma feletti szakasza a vállalat kínálati függvénye. AVCmin és MC metszéspontja az üzembezárási pont, ACmin és MC metszéspontja a fedezeti pont.

AC MC AVC

q 0 TC 10 MC P=MC miatt: q=7 Π = 7*50-185 = 165

6) 1 40 30

2 65 25

3 80 15

4 5 6 7 8 85 105 135 185 265 5 20 30 50 80

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

147.

7) q 0 TC 40 MC -

1 2 4 5 9 13 16 90 130 200 230 410 610 790 50 40 35 30 45 50 60

P=MC miatt: q=13 Π = 13*50-610 = 40

8) A fedezeti pont és az üzembezárási pont kiszámításához minden esetben először fel kell írni az AC, AVC és MC függvényeket. A fedezeti pontot az AC=MC, az üzembezárási pontot az AVC=MC összefüggésből számoljuk ki. 64 a) TC = q 2 − 4q + 64 AC = q − 4 + q MC = 2q − 4 AVC = q − 4 Fedezeti pont: AC=MC q=8 Üzembezárási pont: AVC=MC q=0 48 AC = q − 10 + b) TC = q 2 − 10q + 48 q MC = 2q − 10 AVC = q − 10 Fedezeti pont: AC=MC q=7 Üzembezárási pont: AVC=MC q=0 2 c) TC = q + 4q + 64 MC = 2q + 4 AVC = q + 4 Fedezeti pont: AC=MC q=8 Üzembezárási pont: AVC=MC q=0

9) A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvény üzembezárási pont feletti szakasza. A vállalat P=MC teljesülése esetén realizál maximális profitot. a) P = MC = 2q − 4 P = 2q − 4 a vállalat inverz kínálati függvénye P+4 , ha P>0 q= 2 b) P = MC = 2q − 10 P = 2q − 10 P + 10 , ha P>0 q= 2

148.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

c) P = MC = 2q + 4 P = 2q + 4 P−4 , ha P>4 q= 2

10) a) MC = 4 + 4q

AC =

128 + 4 + 2q q

P = MC = AC

MC = 4 + 4q = AC =

128 + 4 + 2q q

q=8 b) A vállalat nem termel, ha a piaci ár kisebb, mint az üzembezárási ponthoz tartozó ár. AVC = 4 + 2q Üzembezárási pont: P=MC=AVC MC = 4 + 4q = AVC = 4 + 2q q=0 P=4 c) q=0

11) a) MC = 8q + 8 VC = 4q 2 + 8q P = MC = AVC q=0 P=8 10 b) AC = 4q + 8 + q P = MC = AC q=1,58 P=20,65

AVC = 4q + 8

12)

a) P = MC alapján határozhatjuk meg a kibocsátás nagyságát. TC = 0,5q 2 + 200q + 32 MC = q + 200 P = 400 = MC = q + 200 q=200 b) Π = TR − TC = P ⋅ q − TC

Π = 400 ⋅ 200 − (0,5 ⋅ 200 2 + 200 ⋅ 200 + 32) = 19.968

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

149.

c) P = MC = AC q + 200 = 0,5q + 200 +

32 q

q=8

13)

a) P = MC alapján határozhatjuk meg a kibocsátás nagyságát. P = 180 = MC = 12q q=15 TC = 6q 2 + 1.000 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Π = 180 ⋅ 15 − (6 ⋅ 15 2 + 1.000) = 350 b) A vállalat csak normálprofitot a fedezeti pontban realizál. P = MC = AC 1.000 AC = 6q + q 1.000 MC = 12q = AC = 6q + q q=12,91 P=154,9

14)

a) P = MC alapján határozhatjuk meg egy vállalat kibocsátását. MC = 2q + 8

P = MC 28 = 2q + 8 q=10 Az iparág keresleti függvényébe helyettesítve kapjuk az összkereslet értékét: 28 = P = 528 − Q Q=500 Az iparágban működő vállalatok száma: n =

Q 500 = = 50 q 10

b) A vállalat rövid távon veszteség ellenére is termel az üzembezárási pont és a fedezeti pont közötti ártartományban. Fedezeti pont: P = MC = AC 10 AC = q + 8 + MC = 2q + 8 q

150.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

q=3,16 P=14,32 Üzembezárási pont: P = MC = AVC AVC = q + 8

MC = 2q + 8

q=0 P=8 A keresett ártartomány: 8 ≤ P < 14,32

15)

a) P = MC alapján határozhatjuk meg egy vállalat kibocsátását. MC = 3q 2 + 16 P = MC 91 = 3q 2 + 16 q=5 Az iparág keresleti függvényébe helyettesítve kapjuk az összkereslet értékét: 91 = P = 301 − Q Q=210 Q 210 Az iparágban működő vállalatok száma: n = = = 42 q 5 b) A vállalat csak normálprofitot a fedezeti pontban realizál. P = MC = AC 50 AC = q 2 + 16 + q 50 MC = 3q 2 + 16 = AC = q 2 + 16 + q q=2,924 P=41,64

16) a) Első lépésben fel kell írni egy vállalat kínálati függvényét. Mivel az iparágban működő vállalatokat azonos költségviszonyok jellemzik, ebből már meghatározható az iparág kínálati függvénye. Azt egyenlővé téve az iparág keresleti függvényével, megkapjuk az egyensúlyi árat. A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvény üzembezárási pont feletti szakasza. MC = 10q + 4 P = MC = 10q + 4 P = 10q + 4 a vállalat inverz kínálati függvénye

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

151.

P−4 , ha P>4 10 P−4 Q S = n ⋅ q = 100 ⋅ = 10 P − 40 10 Az egyensúlyi ár: QS = QD 10 P − 40 = 2270 − 100 P P=21 b) P = 21 = MC = 10q + 4 q=1,7 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Π = 21 ⋅ 1, ,7 − (10 + 5 ⋅ 1,7 2 + 4 ⋅ 1,7) = 4,45 q=

17) a) A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvény üzembezárási pont feletti szakasza. MC = 0,025q + 2 P = MC = 0,0,25q + 2 P = 0,025q + 2 a vállalat inverz kínálati függvénye q = 40 P − 80 , ha P>2 Q S = n ⋅ q = 6 ⋅ (40 P − 80) = 240 P − 480 Az egyensúlyi ár: QS = QD 240 P − 480 = 600 − 120 P P=3 Q=240 b) P = 3 = MC = 0,025q + 2 q=40 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Π = 3 ⋅ 40 − (2 ⋅ 40 + 0,0125q 2 ) = 20 A fogyasztói többlet kiszámításához ismernünk kell a rezervációs ár nagyságát. Ezt megkapjuk, ha a keresleti függvényben a keresett mennyiség helyébe nullát helyettesítünk. (Prez − Ppiaci )⋅ Q (5 − 3) ⋅ 240 FT = = = 240 2 2

152.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

18) a) A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvény üzembezárási pont feletti szakasza. MC = 10 + q P = MC = 10 + q P = 10 + q a vállalat inverz kínálati függvénye q = P − 10 , ha P>10 Q S = n ⋅ q = 10 ⋅ ( P − 10) = 10 P − 100 Az egyensúlyi ár: QS = QD 10 P − 100 = 300 − 10 P P=20 Q=100 b) P = 20 = MC = 10 + q q=10 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC

Π = 20 ⋅ 10 − (10 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 10 2 ) = 50 A fogyasztói többlet kiszámításához ismernünk kell a rezervációs ár nagyságát. Ezt megkapjuk, ha a keresleti függvényben a keresett mennyiség helyébe nullát helyettesítünk. (Prez − Ppiaci )⋅ Q = (30 − 20) ⋅100 FT = = 500 2 2

19)

a) MC = 10 + 2q P = MC = 10 + 2q 20 = 10 + 2q q=5 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függvényt: TC = 10 ⋅ q + q 2 Π = 20 ⋅ 5 − (10 ⋅ 5 + 5 2 ) = 25 (Prez − Ppiaci )⋅ Q = (30 − 20) ⋅100 FT = = 500 2 2 b) Q D = 300 − 10 P = 100

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

c) n =

153.

Q 100 = = 20 q 5

20)

a) MC = 0,025q + 2 P = MC = 0,0,25q + 2 3 = 0,025q + 2 q=40 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függvényt: TC = 2q + 0,0125q 2 Π = 3 ⋅ 40 − (2 ⋅ 40 + 0,0125 ⋅ 40 2 ) = 20 (Prez − Ppiaci )⋅ Q = (5 − 3) ⋅ 240 FT = = 240 2 2 b) Q D = 600 − 120 P = 240 Q 240 c) n = = =6 q 40

21) a) Az egyensúlyi ár: QS = QD 10 P − 100 = 300 − 10 P P=20 QS=100 b) P = 20 = MC = 10 + q q=10 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függvényt: TC = 10q + 0,5q 2 Π = 20 ⋅ 10 − (10 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 10 2 ) = 50 A fogyasztói többlet kiszámításához ismernünk kell a rezervációs ár nagyságát. Ezt megkapjuk, ha a keresleti függvényben a keresett mennyiség helyébe nullát helyettesítünk. (Prez − Ppiaci )⋅ Q (30 − 20) ⋅100 = FT = = 500 2 2

154.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

c) n =

Q 100 = = 10 q 10

22) a) Az egyensúlyi ár: QS = QD 240 P − 480 = 600 − 120 P P=3 QS=240 b) P = 3 = MC = 0,025q + 2 q=40 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függvényt: TC = 2q + 0,0125q 2 Π = 3 ⋅ 40 − (2 ⋅ 40 + 0,0125q 2 ) = 20 (Prez − Ppiaci )⋅ Q = (5 − 3) ⋅ 240 = 240 FT = 2 2 Q 240 c) n = = =6 q 40

23) Q=4 L

Q2 ebből L = 16

FC = PK ⋅ K = 4 ⋅ 100 = 400

Q2 VC = PL ⋅ L = 25 ⋅ = 1,5625 ⋅ Q 2 16 AVC = 1,5625 ⋅ Q 400 AFC = MC = 3,125 ⋅ Q Q

TC = VC + FC = 1,5625 ⋅ Q 2 + 400 400 AC = 1,5625 ⋅ Q + Q a) Fedezeti pont: 400 = MC = 3,125 ⋅ Q AC = 1,5625 ⋅ Q + Q Q=16 P=50 Üzembezárási pont: AVC = 1,5625 ⋅ Q = MC = 3,125 ⋅ Q Q=0 P=0

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

155.

b) P = MC alapján 125 = 3,125 ⋅ Q Q = 40

Π = 125 ⋅ 40 − (1,5625 ⋅ 40 2 + 400) = 2100

c) Ha P = 60 akkor a vállalat rövid távon termel, és gazdasági profitot realizál, mert 60 > 50 , azaz magasabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár. Ha P = 40 akkor a vállalat rövid távon termel, de veszteséges, mert 60 > 40 > 0 , azaz ez az ár magasabb, mint az üzembezárási ponthoz tartozó ár, de alacsonyabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár.

24) Q = 4 16 ⋅ L = 16 ⋅ L

Q2 ebből L = 256

FC = PK ⋅ K = 40 ⋅ 16 = 640

VC = PL ⋅ L = 10 ⋅

Q2 = 0,039 ⋅ Q 2 256

TC = VC + FC = 0,039 ⋅ Q 2 + 640 AVC = 0,039 ⋅ Q 640 640 AC = 0,039 ⋅ Q + AFC = MC = 0,078 ⋅ Q Q Q a) Fedezeti pont: 640 AC = 0,039 ⋅ Q + = MC = 0,078 ⋅ Q Q Q=128,1 P=9,99 Üzembezárási pont: AVC = 0,039 ⋅ Q = MC = 0,078 ⋅ Q Q=0 P=0 b) P = MC 39 = 0,078 ⋅ Q

Q = 500 Π = 500 ⋅ 39 − (0,039 ⋅ 500 2 + 640) = 9.110 c) Ha P = 20 akkor a vállalat rövid távon termel, és gazdasági profitot realizál, mert 20 > 9,99 , azaz magasabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár. Ha P = 5 akkor a vállalat rövid távon termel, de veszteséges, mert 9,99 > 5 > 0 , azaz ez az ár magasabb, mint az üzembezárási ponthoz tartozó ár, de alacsonyabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár.

156.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

25) Fel kell írni a számításhoz szükséges rövid távú költségfüggvényeket: Q = 2 ⋅ 4L = 4 ⋅ L Q2 16 VC = PL ⋅ L = 0,25 ⋅ Q 2 AVC = 0,25 ⋅ Q MC = 0,5 ⋅ Q TC = 0,25 ⋅ Q 2 + 32 32 AC = 0,25 ⋅ Q + Q a) AVC = 0,25 ⋅ Q = MC = 0,5 ⋅ Q Q=0 P=0 32 b) AC = 0,25 ⋅ Q + = MC = 0,5 ⋅ Q Q Q=11,3 P=5,66 L=

26) Fel kell írni a számításhoz szükséges rövid távú költségfüggvényeket: Q = 5 ⋅ K 2 ⋅ L = 20 ⋅ L

Q2 L= 400 VC = PL ⋅ L = 0,5 ⋅ Q 2 AVC = 0,5 ⋅ Q MC = Q TC = 0,5 ⋅ Q 2 + 2.000 2.000 AC = 0,5 ⋅ Q + Q a) AVC = 0,5 ⋅ Q = MC = Q Q=0 P=0 2.000 b) AC = 0,5 ⋅ Q + = MC = Q Q Q=63,25 P=63,25

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

27) q = (4 L + 64)

1 2

L = 0,25q 2 − 16 2 a) VC = PL ⋅ L = 0,0125q − 0,8 MC = 0,025q P = MC = 0,025q P = 0,025q q = 40 P , ha P>0

Q S = n ⋅ q = 6 ⋅ 40 P = 240 P Egyensúlyi ár: QS = QD

240 P = 600 − 120 P P=1,67 QS=400 Q 400 b) q = = = 66,67 n 6 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC = 1,67 ⋅ 66,67 − (0,0125 ⋅ 66,67 2 − 0,8) = 56,36 (Prez − Ppiaci )⋅ Q (5 − 1,67 ) ⋅ 400 FT = = = 666,67 2 2

28) q = (4 L + 100)

1 2

L = 0,25q 2 − 25 2 a) VC = PL ⋅ L = 0,5q − 50 MC = q P = MC = q P=q q = P , ha P>0

Q S = n ⋅ q = 10 ⋅ P = 10 P Egyensúlyi ár: QS = QD

10 P = 300 − 10 P P=15 QS=150

157.

158.

VIII. Kínálat tökéletes versenynél

Q 150 = = 15 n 10 Π = TR − TC = P ⋅ q − TC = 15 ⋅ 15 − (0,5 ⋅ 15 2 − 50) = 162,5 (Prez − Ppiaci )⋅ Q = (30 − 15) ⋅150 FT = = 1125 2 2

b) q =

IX. Kínálat monopólium esetén

159.

IX. KÍNÁLAT MONOPÓLIUM ESETÉN Feladatok 1. Készítsen egy ábrát, amelyen bemutatja, hogyan alakul ki a monopólium által termelt mennyiség és a hozzá tartozó ár! Jelölje a tengelyeket és a függvényeket is!

2. Egy monopólium összes költségét a következő függvénnyel jellemezhetjük: TC = 5 ⋅ Q 2 + 6 ⋅ Q + 10 . Az adott termék piacán a kereslet a következő egyenlettel írható le: Q = 30 − P . A profitmaximum pontjában a) mennyit termel a monopólium, b) milyen áron értékesíti termékét, c) mennyi a teljes költsége, és d) mekkora a megtermelt profit nagysága?

3. Egy monopólium összes költségét a következő függvénnyel jellemezhetjük: TC = 100 ⋅ Q 2 + 150 ⋅ Q + 50 . Az adott termék piacán a kereslet a következő P egyenlettel írható le: Q = 69 − . 50 a) Mennyit termel és milyen áron értékesít a monopólium a profitmaximum pontjában? b) Mekkora a megtermelt profit nagysága?

4. Egy iparágban a következő keresleti összefüggés érvényes: Q = 50 − 0,1 ⋅ P . Az iparági termelés költségfüggvénye: TC = 4000 + 50 ⋅ Q + 2,5 ⋅ Q 2 . a) Tiszta monopólium esetén mekkora a termelés és az ár? b) Mekkora a monopólium profitja? c) Mekkora fogyasztói többlet nagysága?

5. Egy iparág keresleti görbéje: Q = 600 − 0,2 ⋅ P . Az iparági termelés költségfüggvénye: TC = 1,5 ⋅ Q 2 + 400 ⋅ Q + 180.000 . a) Tiszta monopólium esetén mekkora a termelés és az ár? b) Mekkora a monopólium profitja?

160.

IX. Kínálat monopólium esetén

c) Mekkora a fogyasztói többlet nagysága?

6. Egy monopolista iparág keresletét a következő összefüggéssel jellemezhetjük:

Q = 800 − 0,5 ⋅ P . A monopólium teljesköltség-függvénye az alábbi módon írha-

tó le: TC = 0,5 ⋅ Q 2 − 50 ⋅ q + 150.000 . Számítsa ki mekkora lesz a piacon az ár, a termelt mennyiség és a monopólium profitja!

7. Egy monopolista iparág inverz keresletét a következő összefüggéssel jellemezQ . A monopólium teljesköltség-függvénye: 2 TC = 0,5 ⋅ Q 2 − 160 ⋅ Q + 100.000 . Számítsa ki mekkora lesz a piacon az ár, a termelt mennyiség és a monopólium profitja!

hetjük:

P = 600 −

8. Egy monopólium átlagköltség-függvénye: AC =

Q 20.0000 + 80 + . Az iparág 4 Q

Q . 4 a) Mennyit termel a monopólium, mekkora az ár és a profit nagysága? b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén, mekkora lenne a vállalat termelése? c) Hogyan változik a fogyasztói többlet nagysága, ha elsőfokú árdiszkriminációt vezet be a vállalat a piacon?

inverz keresleti függvénye: P = 1.350 −

9. Egy

monopolhelyzetben lévő vállalat változó költség függvénye: VC = 3 ⋅ Q 2 + 5 ⋅ Q . Fix költsége: 1200. A piacot jellemző keresleti függvény: Q D = 6.250 − 10 ⋅ P . a) Mennyit termel a monopólium, mekkora a piaci ár és a profit nagysága? b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén mekkora a termelés nagysága? c) Hogyan változik a fogyasztói többlet nagysága, ha elsőfokú árdiszkriminációt vezet be a vállalat a piacon?

10. Egy iparágban egyetlen vállalat működik, amelynek határbevételi függvénye: MR = 1000 − 20 ⋅ Q . A profitmaximalizáló kibocsátás mellett a határköltség 280, s az átlagköltsége éppen itt minimális. a) Számolja ki a monopólium kibocsátását és a realizálható profit nagyságát! b) Mennyi lesz a monopóliumnál a fogyasztói többlet nagysága?

IX. Kínálat monopólium esetén

161.

11. Egy iparágban egyetlen vállalat működik, amelynek határbevételi függvénye: MR = 2800 − 8 ⋅ Q . A profitmaximalizáló kibocsátás mellett a határköltség 880, és az átlagköltsége éppen itt minimális. a) Számolja ki a monopólium kibocsátását és a realizálható profit nagyságát! b) Mennyi lesz a monopóliumnál a fogyasztói többlet nagysága?

12. Egyetlen vállalat termel a napelem-piacon. Termelését a következő termelési függvény jellemzi: Q = L1 / 2 ⋅ K 1 / 2 . A munka ára 90 egység, a tőke ára 40. Rövidtávon a rögzített tőke mennyisége: 16. Az összpiaci keresletet a következő 2 egyenlet adja meg: Q = 2.880 − ⋅ P 3 a) Hány napelemet érdemes termelnie a vállalatnak? b) Mennyi munkaráfordítást használ ekkor a vállalat? c) Mekkora ebben az esetben a vállalat által realizált profit nagysága?

13. Egy monopolista vállalat termelési függvénye: Q = 2 ⋅ K ⋅ L . A vállalat rövidtávon 5 egységnyi tőkét használ fel. A tőke egységára 4, míg egy munkaóra 5 pénzegység. A termék iránti kereslet a következő függvénnyel írható le: Q D = 120 − 6 ⋅ P . a) Határozza meg a vállalat kínálatát! b) Mennyi a vállalat által realizálható profit? c) Határozza meg a fogyasztói többlet nagyságát!

14. Egy monopólium két külön piacra termel. Az egyik piacon a Q1 = 900 − 1,5 ⋅ P1 , a másikon a Q2 = 450 − 3 ⋅ P2 összefüggéssel írható le a kereslet. A vállalat összes költsége a következő függvénnyel írható le: 2 TC = Q − 800 ⋅ Q + 250.000 . a) Mennyit termel a monopólium és milyen áron, ha nem alkalmaz harmadfokú árdiszkriminációt? b) Mekkora ebben az esetben a profit nagysága? c) Ha a monopólium harmadfokú árdiszkriminációt alkalmaz, hogyan változik a monopólium profitja?

162.

IX. Kínálat monopólium esetén

15. Egy monopolista iparág keresletét két jól körülhatárolható fogyasztói csoport alkotja. A két fogyasztói csoport keresleti függvénye: Q1 = 3.500 − 2 ⋅ P1 és Q2 = 2.500 − P2 . A monopólium teljesköltség-függvénye az alábbi:

TC = 0,5 ⋅ Q 2 − 100 ⋅ Q + 850.000 . a) Számítsa ki mekkora lesz a piacon az ár, a termelt mennyiség és a monopólium profitja árdiszkrimináció nélkül (az MC az MR-t a keresleti függvény közös szakaszán metszi)! b) Számítsa ki, hogy árdiszkrimináció esetén a vállalat milyen áron és mekkora mennyiséget fog értékesíteni a két fogyasztói csoportnak! c) Hogyan és mennyivel változtatja az árdiszkrimináció a monopólium profitját?

Megoldások 1) MR MC P

P(Q) MC

MRM QM

2) a) A monopólium profitmaximumot biztosító kibocsátása MR=MC összefüggés alapján határozható meg. A monopólium határbevételi (MR) függvényének meredeksége kétszerese az inverz keresleti függvény meredekségének.

IX. Kínálat monopólium esetén

MC = 10 ⋅ Q + 6 P = 30 − Q MR = 30 − 2 ⋅ Q MC = MR 10 ⋅ Q + 6 = 30 − 2 ⋅ Q Q=2 b) P=30-Q=28 c) TC = 5 ⋅ 2 2 + 6 ⋅ 2 + 10 = 42 d) Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC Π = 2 ⋅ 28 − 42 = 14

3) a)

MC = 200 ⋅ Q + 150 P = 3.450 − 50 ⋅ Q MR = 3.450 − 100 ⋅ Q

MC = MR 200 ⋅ Q − 150 = 3.450 − 100 ⋅ Q Q=11 P=3.450-50*11=2.900 b) Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC

Π = 2.900 ⋅ 11 − (100 ⋅ 112 + 150 ⋅ 11 + 50) = 18.100

4) a)

MC = 5 ⋅ Q + 50

P = 500 − 10 ⋅ Q MR = 500 − 20 ⋅ Q MC = MR 5 ⋅ Q + 50 = 500 − 20 ⋅ Q Q=18 P=500-10*18=320 b) Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC

Π = 320 ⋅ 18 − (4.000 + 50 ⋅ 18 + 2,5 ⋅ 18 2 ) = 50 (Prez − Ppiaci ) ⋅ Q = (500 − 320) ⋅ 18 = 1620 c) FT = 2 2

163.

164.

5) a)

IX. Kínálat monopólium esetén

MC = 3 ⋅ Q + 400

P = 3.000 − 5 ⋅ Q MR = 3.000 − 10 ⋅ Q MC = MR 3 ⋅ Q + 400 = 3.000 − 10 ⋅ Q Q=200 P=3.000-5*200=2.000 b) Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC

Π = 2.000 ⋅ 200 − (1,5 ⋅ 200 2 + 400 ⋅ 200 + 180.000) = 80.000 (Prez − Ppiaci ) ⋅ Q = (3.000 − 2.000) ⋅ 200 = 100.000 c) FT = 2 2

MC = Q − 50 P = 1.600 − 2 ⋅ Q MR = 1.600 − 4 ⋅ Q

MC = MR Q − 50 = 1.600 − 4 ⋅ Q Q=330 P=940

Π = 122.250

MC = Q − 160 P = 600 − 0,5 ⋅ Q MR = 600 − Q MC = MR Q − 160 = 600 − Q Q=380 P=410

Π = 44.400

8) a)

TC = AC ⋅ Q = 0,25 ⋅ Q 2 + 80 ⋅ Q + 20.000 MC = 0,5 ⋅ Q + 80

IX. Kínálat monopólium esetén

165.

P = 1.350 − 0,25 ⋅ Q MR = 1.350 − 0,5 ⋅ Q MR = MC 1.350 − 0,5 ⋅ Q = 0,5 ⋅ Q + 80 Q=1.270 P=1.032,5 Π = 786.450 b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a monopólium határbevételi függvénye egybeesik az inverz keresleti függvénnyel. A vállalat P=MC összefüggés alapján határozza meg kibocsátását. P = MC 1.350 − 0,25 ⋅ Q = 0,5 ⋅ Q + 80 Q=1693,3 c) Árdiszkrimináció előtt: (Prez − Ppiaci ) ⋅ Q = (1.350 − 1.032,5) ⋅ 1270 = 201.612,5 FT = 2 2 Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a fogyasztó többlet eltűnik, tehát a fogyasztói többlet változása: − 201.612,5

9) TC = VC + FC = 3 ⋅ Q 2 + 5 ⋅ Q + 1.200 a) MC = 6 ⋅ Q + 5 P = 625 − 0,1 ⋅ Q MR = 625 − 0,2 ⋅ Q

MR = MC 625 − 0,2 ⋅ Q = 6 ⋅ Q + 5 Q=100 P=615 Π = 29.800 b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a monopólium határbevételi függvénye egybeesik az inverz keresleti függvénnyel. A vállalat P=MC összefüggés alapján határozza meg kibocsátását. P = MC

625 − 0,1 ⋅ Q = 6 ⋅ Q + 5 Q=101,6 c) Árdiszkrimináció előtt: FT =

rez

− Ppiaci ) ⋅ Q

(625 − 615) ⋅ 100 = 500

2 2 Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a fogyasztó többlet eltűnik, tehát a fogyasztói többlet változása: − 500.

166.

IX. Kínálat monopólium esetén

10)

MR = MC 1.000 − 20 ⋅ Q = 280 Q=36 A határbevételi függvényből visszavezethető az inverz keresleti függvény, hiszen a határbevételi függvényről tudjuk, hogy a meredeksége az inverz keresleti függvény meredekségének kétszerese: MR = 1.000 − 20 ⋅ Q P = 1.000 − 10 ⋅ Q P=640 Tudjuk, hogy a monopólium átlagköltsége minimális, ha MC=880. Ismert, hogy a határköltség függvény az átlagköltség függvényt a minimumában metszi. Ebből következik, hogy MC = AC = 280 . Vagyis: TC = AC ⋅ Q = 280 ⋅ Q Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC = 12.960 (Prez − Ppiaci ) ⋅ Q = (1.000 − 640) ⋅ 36 = 6.480 b) FT = 2 2

11) a)

MR = MC

2.800 − 8 ⋅ Q = 880 Q=240 A határbevételi függvényből visszavezethető az inverz keresleti függvény, hiszen a határbevételi függvényről tudjuk, hogy a meredeksége az inverz keresleti függvény meredekségének kétszerese: MR = 2.800 − 8 ⋅ Q P = 2.800 − 4 ⋅ Q P=1.840 Tudjuk, hogy a monopólium átlagköltsége minimális, ha MC=880. Ismert, hogy a határköltség függvény az átlagköltség függvényt a minimumában metszi. Ebből következik, hogy MC = AC = 880 . Vagyis: TC = AC ⋅ Q = 880 ⋅ Q Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC = 230.400 (Prez − Ppiaci ) ⋅ Q = (2.800 − 1.840) ⋅ 240 = 115.200 b) FT = 2 2

IX. Kínálat monopólium esetén

12)

a) TC = PL ⋅ L + PK ⋅ K Q = 4⋅ L Q2 L= 16

Q2 + 40 ⋅ 16 = 5,625 ⋅ Q 2 + 640 16 MC = 11,25 ⋅ Q

TC = 90 ⋅

P = 4.320 − 1,5 ⋅ Q MR = 4.320 − 3 ⋅ Q MR = MC 4.320 − 3 ⋅ Q = 11,25 ⋅ Q Q=303,16 b) L=5744 c) P=3865,3 Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC = 654.193

13)

a) TC = PL ⋅ L + PK ⋅ K Q = 10 ⋅ L Q L= 10 Q TC = 5 ⋅ + 4 ⋅ 5 = 0,5 ⋅ Q + 20 10 MC = 0,5 P = 20 − 0,167 ⋅ Q MR = 20 − 0,33 ⋅ Q MR = MC

20 − 0,33 ⋅ Q = 0,5 Q=58,5 b) P=10,25 Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC = 550,375

167.

168.

IX. Kínálat monopólium esetén

c) FT =

rez

− Ppiaci ) ⋅ Q 2

(20 − 10,25) ⋅ 58,5 = 285,1875 2

14)

a) MC = 2 ⋅ Q − 800 Mivel a monopólium két elkülönült piacra termel, fel kell írni az összkeresleti függvényt. Mivel a két piacon eltérő a rezervációs ár, a függvénynek töréspontja lesz: Q = 900 − 1,5 ⋅ P 1. ha Q≤675 és P>150 2. ha Q>675 és P<150 Q = 1.350 − 4,5 ⋅ P A határbevétel függvények az inverz keresleti függvényből származtatva, a következőképpen alakulnak: 1. ha Q≤337,5 MR = 600 − 1,33 ⋅ Q MR = 300 − 0,44 ⋅ Q 2. ha Q>337,5 Mivel a profitmaximumban MR=MC, ekkor 1. 600 − 1,33 ⋅ Q = 2 ⋅ Q − 800 Q=420, nem lehetséges megoldás, mert nem teljesül a Q≤337,5 feltétel 2. 300 − 0,44 ⋅ Q = 2 ⋅ Q − 800 Q=450, ezt behelyettesítve a Q = 900 − 1,5 ⋅ P keresleti függvénybe, P=300 értéket kapunk. b) Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC = 42.500 c) Q=450 esetén MC=100. Ha árdiszkriminációt alkalmaz a vállalat, akkor mindkét piacon külön határozza meg az árat oly módon, hogy az adott piac határbevételi függvényének értéke megegyezzen az összpiaci határköltség értékével. 1. piacon: Q1 = 900 − 1,5 ⋅ P1 P1 = 600 − 0,66 ⋅ Q1 MR1 = 600 − 1,33 ⋅ Q1 MR1 = MC alapján Q1=375 Az 1. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget és P1=350 árat kapunk.

IX. Kínálat monopólium esetén

169.

2. piacon: Q2 = 450 − 3 ⋅ P2 P2 = 150 − 0,33 ⋅ Q2 MR2 = 150 − 0,66 ⋅ Q2 MR2 = MC alapján Q2=75 A 2. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget és p2=125 árat kapunk. Π = TR1 + TR2 − TC = P1 ⋅ Q1 + P2 ⋅ Q2 − TC =

= 350 ⋅ 375 + 125 ⋅ 75 − (450 2 − 800 ⋅ 450 + 250.000) = 48.125 Vagyis a profit nagysága 5.625 egységgel nőtt.

15)

a) MC = Q − 100 Mivel a monopólium két elkülönült piacra termel, fel kell írni az összkeresleti függvényt. Mivel a két piacon eltérő a rezervációs ár, a függvénynek töréspontja lesz: 1. ha Q≤750 és P>1.750 Q = 2.500 − P 2. ha Q>750 és P<1.750 Q = 6.000 − 3 ⋅ P A határbevétel függvények az inverz keresleti függvényből származtatva, a következőképpen alakulnak: 1. ha Q≤375 MR = 2.500 − 2 ⋅ Q 2. ha Q>375 MR = 2.000 − 0,66 ⋅ Q Mivel a profitmaximumban MR=MC, ekkor 1. 2.500 − Q = Q − 100 Q=1.300, nem lehetséges megoldás, mert nem teljesül a Q≤375 feltétel 2. 2.000 − 0,66 ⋅ Q = Q − 100 Q=1.260, ezt behelyettesítve a Q = 6.000 − 3 ⋅ P keresleti függvénybe, P=1.580 értéket kapunk. b) Π = TR − TC = P ⋅ Q − TC = 437.000 c) Q=1.260 esetén MC=1.160. Ha árdiszkriminációt alkalmaz a vállalat, akkor mindkét piacon külön határozza meg az árat oly módon, hogy az adott piac határbevételi függvényének értéke megegyezzen az összpiaci határköltség értékével.

170.

IX. Kínálat monopólium esetén

1. piacon: Q1 = 3.500 − 2 ⋅ P1 P1 = 1.750 − 0,5 ⋅ Q1 MR1 = 1.750 − Q1 MR1 = MC alapján Q1=590 Az 1. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget és P1=1.455 árat kapunk. 2. piacon: Q2 = 2.500 − P2 P2 = 2.500 − Q2 MR2 = 2.500 − 2 ⋅ Q2 MR2 = MC alapján Q2=670 A 2. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget és P2=1.830 árat kapunk. Π = TR1 + TR2 − TC = P1 ⋅ Q1 + P2 ⋅ Q2 − TC =

= 1.455 ⋅ 590 + 1.830 ⋅ 670 − (0,5 ⋅ 1.260 2 − 100 ⋅ 1.260 + 850.000) = 566.750 Vagyis a profit nagysága 93.750 egységgel nőtt.

X. Kínálatok összehasonlítása

171.

X. KÍNÁLATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA Feladatok 1. Hasonlítsa össze egy ábrán a tökéletes versenyző vállalat és a monopólium profitmaximumhoz tartozó kínálati mennyiségét és árát! Jelölje a függvényeket és tengelyeket!

2. Mutassa be egy-egy ábrán a fogyasztói többlet nagyságának alakulását tökéletes verseny és monopólium esetén! Nevezze el a függvényeket és tengelyeket!

3. Mutassa be egy-egy ábrán a termelői- és fogyasztói holtteher-veszteség nagyságát monopólium esetén (a tökéletes versenyhez képest). Jelölje a függvényeket és tengelyeket!

4. Egy iparág keresleti görbéje: Q D = 50 − 0,5 ⋅ P . Az iparági termelés átlagköltsége: AC = 25. a) Tiszta monopólium esetén mekkora a termelés és az ár? b) Tökéletes verseny esetén mekkora a termelés és az ár? c) Mennyivel csökken a fogyasztói többlet monopólium esetén a tökéletes versenyhez képest?

5. Egy termék iránti (inverz) piaci kereslet a következő függvénnyel írható le:

P = 200 − 4 ⋅ Q . a) Mennyit termelne egy tökéletesen versenyző vállalat, ha a piacon kialakult ár 60 pénzegység, és a vállalat változó költségfüggvénye: VC = 5 ⋅ q 2 + 20 ⋅ q ? b) Mennyit termelne ez a vállalat, ha az adott termék piacán egyedüli kínáló volna?

6. Egy piacot a következő keresleti és kínálati függvények jellemeznek: P P és QS = − 75 . A vállalatok változó költségfüggvénye: 2 5 2 VC = 7,5 ⋅ q . A fix költség 1000 egység. a) Tökéletes versenyt feltételezve, mekkora az adott piacon termelt egyensúlyi mennyiség és ár? b) Hány vállalat működik az iparágban? Mekkora lenne egy vállalat profitja? QD = 100 −

172.

X. Kínálatok összehasonlítása

c) Monopolista viszonyokat feltételezve, mekkora az adott piacon termelt egyensúlyi mennyiség és ár, valamint az összprofit?

7. Egy egytermékes vállalat költség-függvénye: TC = 10 ⋅ Q 2 + 200 ⋅ Q + 36500 , ahol Q a termelés mennyisége. Az iparág keresleti függvénye az alábbi: Q D = 400 − 0,2 ⋅ P . Töltse ki a következő táblázatot!

Piactípus

Összes Egységár mennyiség

Összes bevétel

Összes Összes fogyaszprofit tói többlet

Tökéletes verseny Monopólium

8. Ismerjük, hogy egy ágazatban a teljes költség-függvény az alábbi módon írható TC = 10.000 + 100 ⋅ Q + 5 ⋅ Q 2 . P Q D = 100 − . 10 Töltse ki a következő táblázatot! fel:

Piactípus Tökéletes verseny Monopólium

Összes mennyiség

Egységár

keresleti

Összes bevétel

függvény

Összes profit

alábbi:

Összes fogyasztói többlet

X. Kínálatok összehasonlítása

173.

9. Írja be az alábbi táblázatba az egyes piaci szerkezetekre jellemző tulajdonságokat! Jellemzők

Tökéletes verseny

Monopolisztikus verseny

Oligopólium

Duopólium

Monopólium

Piaci szereplők száma Cégek mérete Az ágazat koncentrációs foka Be- és kilépési korlát Állami beavatkozás lehetősége Az ár szempontjából játszott szerep A termék jellege

10. Töltse ki az alábbi − az ágazat egészére vonatkozó – táblázatot, ha bármilyen piacszerkezet esetén a vállalatok állandó (konstans) határköltséggel rendelkeznek és lineáris, P = a − b*Q alakú az ágazat inverz keresleti függvénye! Piactípus Tökéletes verseny Monopólium Cournotduopólium Stackelbergduopólium Bertrandduopólium

Mennyiség (Q)

Egységár (P)

Profit

Q/QTV (%)

174.

X. Kínálatok összehasonlítása

11. Jelölje az alábbi táblázatban az egyes duopólium modellekre jellemző meghatározásokat! Jellemzők

Duopólium modell Cournot Stackelberg Bertrand

Egyidőben hoznak döntést Azonos határköltségek esetén mindketten ugyannyit termelnek A másik vállalat árát figyelik Az egyikük hamarabb hozza meg döntését A másik vállalat termelését figyelik A két vállalat pozíciói (erősségei) hasonlóak Azonos határköltségek esetén sem termelnek egyforma mennyiséget A két vállalat pozíciói (erősségei) eltérőek

12. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans és megegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Mennyit (hány %-ot) termel az ágazat a tökéletes verseny 100 %-os kínálatához képest: monopóliumnál, Stackelberg-duopólium esetén, Cournot-duopólium esetében, Bertrand-duopóliumnál?

13. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans és megegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Mennyit (hány %-ot) termel egy vállalat a tökéletes verseny 100 %-os kínálatához képest: Stackelberg-duopólium esetén a vezető vállalat, Stackelberg-duopólium esetén a követő vállalat, Cournot-duopólium esetén egy vállalat, Bertrand-duopóliumnál egy vállalat, monopolista vállalat?

X. Kínálatok összehasonlítása

175.

14. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans és megegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Tegye sorrendbe az ágazat egész kínálatát, olyan módon, hogy 1-sel jelölje a legkisebbet és 4-sel a legnagyobbat: tökéletes verseny esetén, Stackelberg-duopólium esetén, monopólium esetén, Cournot-duopólium esetén!

15. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans és megegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Tegye sorrendbe az ágazat egész kínálatát, olyan módon, hogy 1-sel jelölje a legnagyobbat és 4-sel legkisebbet: Bertrand-duopólium esetén, Stackelberg-duopólium esetén, monopólium esetén, Cournot-duopólium esetén!

16. Egy termék iránti keresletet a következő keresleti függvény írja le: Q D = 1000 − 5 ⋅ P . A fenti terméket gyártók határköltsége 150, bármilyen piacszerkezet esetén és bármely vállalatnál. Mekkora a termelt mennyiség és az egységár, ha az ágazatban: a) a tökéletes verseny, b) a monopólium, c) a Cournot duopólium, d) a Stackelberg duopólium feltételei állnak fenn?

17. Egy termék iránti keresletet a következő keresleti függvény írja le: Q D = 1.000 − 10 ⋅ P . A fenti terméket gyártók határköltsége 50, bármilyen piacszerkezet esetén és bármely vállalatnál. Mekkora az egységár, a termelt mennyiség és a fogyasztói többlet, ha az ágazatra: a) a tökéletes verseny. b) a monopólium, c) a Cournot duopólium, d) a Stackelberg duopólium feltételei jellemzőek?

176.

X. Kínálatok összehasonlítása

18. Egy termék iránti keresletet a következő keresleti függvény írja le: 1 ⋅ Q . A fenti terméket gyártók határköltsége MC=50, bármilyen 12 piacszerkezet esetén és bármely vállalatnál. Töltse ki az alábbi táblázatot! P = 100 −

Piactípus

Összes mennyiség

Egységár Összes fogyasztói többlet

Összbevétel

Tökéletes verseny Monopólium Cournotduopólium Stackelbergduopólium Bertrandduopólium

19. Egy termék iránti keresletet a Q D = 1.500 − 10 ⋅ P keresleti függvény mutatja. Akár egy, akár két vállalat állítja elő a terméket, a határköltség-függvényük mindig konstans, pontosan 100 egység. Töltse ki az alábbi táblázatot! Piactípus

Összes Egységár mennyiség

Összes fogyasztói többlet

Összbevétel

Tökéletes verseny Monopólium Cournotduopólium Stackelbergduopólium Bertrandduopólium

20. Egy termék iránti keresletet a Q D = 2000 − 20 ⋅ P keresleti függvény mutatja. Akár egy, akár két vállalat állítja elő a terméket, a határköltség-függvényük mindig konstans, pontosan 50 egység. Töltse ki az alábbi táblázatot, szükség

X. Kínálatok összehasonlítása

177.

esetén egész számokra kerekítve! Piactípus

Összes mennyiség

Egységár

Összes fogyasztói többlet

Monopólium Cournot-duopólium Stackelberg-duopólium Bertrand-duopólium

21. Egy termék iránti keresletet a Q D = 2200 − 20 ⋅ P keresleti függvény mutatja. Bármely vállalat, amely e termék gyártásával foglalkozik, annak határköltsége konstans, MC = 10. a) Mekkora a fogyasztói többlet, ha Cournot duopóliumként működik a két vállalat? b) Mekkora a fogyasztói többlet, ha Stackelberg duopóliumként működik a két vállalat? c) Mekkora lenne a fogyasztói többlet monopólium esetén? d) Mekkora lenne a fogyasztói többlet tökéletes verseny esetén?

22. Egy termék iránti keresletet a Q D = 3000 − 15 ⋅ P keresleti függvény mutatja. Akár egy, akár két, akár több vállalat állítja elő a terméket, a határköltségfüggvényük mindig konstans, pontosan 40 egység. Töltse ki az alábbi táblázatot! Piactípus Tökéletes verseny Monopólium Cournot-duopólium Stackelberg-duopólium

Összes mennyiség

Egységár

Összes fogyasztói többlet

178.

X. Kínálatok összehasonlítása

23. Írja be az alábbi táblázatba a monopolisztikus versenyre jellemző meghatározásokat! Szimmetria keresleti görbe

Jellemző

Aszimmetria keresleti görbe

Ki változtatja meg az árat? Árrugalmassága a másikhoz képest Meredeksége a másikhoz képest

Megoldások 1) Az ábrából látható, hogy a QTV > QM ugyanakkor PM > PTV. Azaz a tökéletesen versenyző iparág több terméket állít elő, mint a monopólista, és kisebb áron értékesít.

PM PTV MRM

P(Q)

QM QTV

2) P

Prez

PTV

PTV MRM QM QTV

P(Q)

MRM Q

QM QTV

P(Q) Q

X. Kínálatok összehasonlítása

179.

Tökéletes versenyben a fogyasztói többlet a rezervációs ár és a tökéletes versenyben érvényesülő piaci ár (PTV) által ”határolt terület” a keresleti függvény ( P − PTV ) ⋅ QTV alatt. Nagysága: FT = rez . 2 Monopólium esetén a fogyasztói többlet úgyszintén a rezervációs ár és a piaci ár (PM) által ”határolt terület” a keresleti függvény alatt. Nagysága: ( P − PM ) ⋅ QM FT = rez . A fogyasztói többlet nagysága tökéletes verseny esetén 2 nagyobb, hisz a monopólium kevesebbet termel, és magasabb áron értékesít.

3) P Prez

Fogyasztói holtteher-veszteség Termelői holtteher-veszteség

PTV MRM QM QTV

P(Q) Q

A termelői és fogyasztói holtteher-veszteség abból fakad, hogy a monopólium kevesebbet termel, és magasabb áron értékesít, mint a tökéletesen versenyző iparág. A fogyasztói holtteher-veszteség nagysága: (P − PTV ) ⋅ (QTV − QM ) . A termelői holtteher-veszteség nagysága az HTV fogy = M 2 alábbi módon határozható meg (feltételezve, hogy a határköltség függvény fel(P − MRM ) ⋅ (QTV − QM ) felé ívelő szára lineáris): HTVterm = TV . 2

4) A monopólium kibocsátását MR=MC egyenlőségből határozhatjuk meg. A monopólium határbevételi függvényének felírásához a lineáris inverz keresleti függvényt vesszük alapul: a monopólium határbevételi függvénye kétszer olyan meredek, mint az inverz keresleti függvény. Tehát, ha annak alakja: P = a − b ⋅ Q , akkor a határbevételi függvény monopólium esetén

180.

X. Kínálatok összehasonlítása

MR = a − 2 ⋅ b ⋅ Q alakú. P = 100 − 2 ⋅ Q a) MR = 100 − 4 ⋅ Q MC = 25 MR = MC

100 − 4 ⋅ Q = 25 QM = 18,75 A kapott mennyiséget visszahelyettesítve az inverz keresleti függvénybe kapjuk meg a monopólium által meghatározott árat: PM = 100 − 2 ⋅ 18,75 = 62,5 P = MC 100 − 2 ⋅ Q = 25

QTV = 37,5

PTV = MC = 25 c) A rezervációs ár: Prez = 100 (100 − 62,5) ⋅ 18,75 FTM = = 351,5625 2 (100 − 25) ⋅ 37,5 = 1.406,25 FTTV = 2 A fogyasztói többlet 1.054,6875 egységgel csökkent a tökéletes versenyhez képest.

a) MC = 10 ⋅ q + 20 P = MC 60 = 10 ⋅ q + 20 q=4 P = 200 − 4 ⋅ Q b) MR = 200 − 8 ⋅ Q MR = MC 200 − 8 ⋅ Q = 10 ⋅ Q + 20 Q = 10

X. Kínálatok összehasonlítása

181.

6) P P = − 75 5 2 P = 250 Q = 50 b) Egy vállalat kibocsátása: MC = P 15 ⋅ q = 250 q = 16,67

a) 100 −

Az iparágban működő vállalatok száma: n =

Q 50 = =3 q 16,67

Egy vállalat profitja: Π = P ⋅ q − TC = 250 ⋅ 16,67 − (7,5 ⋅ 16,67 2 + 1.000) = 1.083,33 c) Inverz keresleti függvény: P = 500 − 5 ⋅ Q A monopólium határbevételi függvénye: MR = 500 − 10 ⋅ Q MR = MC 500 − 10 ⋅ Q = 15 ⋅ Q Q = 20 P = 400 Π = 400 ⋅ 20 − (7,5 ⋅ 20 2 + 1.000) = 4.000

MC = 20 ⋅ Q + 200 P = 2.000 − 5 ⋅ Q A monopólium határbevételi függvénye: MR = 2.000 − 10 ⋅ Q Tökéletes verseny kibocsátása: P=MC alapján Monopólium kibocsátása: MR=MC alapján Rezervációs ár: 2.000 Piactípus

Összes Összes beEgységár mennyiség vétel

Összes Összes fogyaszprofit tói többlet

Tökéletes verseny

1.640

118.080

15.340

12.960

Monopólium

1.700

102.000

17.500

9.000

182.

X. Kínálatok összehasonlítása

MC = 100 + 10 ⋅ Q P = 1.000 − 10 ⋅ Q A monopólium határbevételi függvénye: MR = 1.000 − 20 ⋅ Q Tökéletes verseny kibocsátása: P=MC alapján Monopólium kibocsátása: MR=MC alapján Rezervációs ár: 1.000

Piactípus

Összes Összes beEgységár mennyiség vétel

Összes Összes fogyaszprofit tói többlet

Tökéletes verseny

550

24.750

125

10.125

Monopólium

700

21.000

3.500

4.500

9) Jellemzők

Tökéletes verseny

Monopolisztikus verseny

Oligopólium

Duopólium

Monopólium

Piaci szereplők száma

sok

több, nem túl sok

néhány

kettő

egy

Cégek mérete

kicsi

közepes

nagy

alacsony

közepes

viszonylag nagy

nagy

közel 100 %

kicsi (nincs)

közepes (létezhet)

nagy (van)

kicsi

közepes

nagy

árelfogadó

árelfogadó, ármeghatározó

ármeghatározó

homogén

differenciált

homogén

Az ágazat koncentrációs foka Be- és kilépési korlát Állami beavatkozás lehetősége Az ár szempontjából játszott szerep A termék jellege

X. Kínálatok összehasonlítása

183.

10) Piactípus Tökéletes verseny Monopólium Cournotduopólium

Stackelbergduopólium Bertrandduopólium

Mennyiség (Q) a − MC b a − MC 2⋅b 2 ⋅ (a − MC ) 3⋅b 3 ⋅ (a − MC ) 4⋅b a − MC b

Egységár (P)

Profit

Q/QTV

a + MC 2 a + 2 ⋅ MC 3 a + 3 ⋅ MC 4

(a − MC ) 2 4⋅b 2 ⋅ (a − MC ) 2 9⋅b 3 ⋅ (a − MC ) 2 16 ⋅ b

1 2 2 3 3 4

11) Jellemzők

Duopólium modell Cournot Stackelberg Bertrand

Egyidőben hoznak döntést

Azonos határköltségek esetén mindketten ugyannyit termelnek

A másik vállalat árát figyelik

Az egyikük hamarabb hozza meg döntését A másik vállalat termelését figyelik A két vállalat pozíciói (erősségei) hasonlóak Azonos határköltségek esetén sem termelnek egyforma mennyiséget A két vállalat pozíciói (erősségei) eltérőek

X X

X X X

184.

X. Kínálatok összehasonlítása

12) Monopóliumnál Stackelberg-duopólium esetén Cournot-duopólium esetében Bertrand-duopóliumnál

50 % 75 % 66,67 % 100 %

Stackelberg-duopólium esetén a vezető vállalat Stackelberg-duopólium esetén a követő vállalat Cournot-duopólium esetén egy vállalat Bertrand-duopóliumnál egy vállalat Monopolista vállalat

50 % 25 % 33,3 % 50 % 50 %

13)

14) Tökéletes verseny esetén Stackelberg-duopólium esetén Monopólium esetén Cournot-duopólium esetén

4., mert 100 % 3., mert 75 % 1., mert 50 % 2., mert 66,7 %

Bertrand-duopólium esetén Stackelberg-duopólium esetén Monopólium esetén Cournot-duopólium esetén

1., mert 100 % 2., mert 75 % 4., mert 50 % 3., mert 66,7 %

15)

16) Mivel a keresleti függvény lineáris, és állandó a határköltség, a termelt menynyiségek meghatározásakor alkalmazhatók a fenti példákban gyakorolt arányok. Elegendő a tökéletes versenyre jellemző kibocsátást kiszámolni, majd a megfelelő szorzót alkalmazni a további piaci szerkezetekre. P = 200 − 0,2 ⋅ Q P = MC 200 − 0,2 ⋅ Q = 150 QTV = 250 PTV = 150 a) QM = QTV ⋅ 50% = 125 b) QC = QTV ⋅ 66,67% = 166,67 c) QS = QTV ⋅ 75% = 187,5

PM = 175 PC = 166,67 PS = 162,5

X. Kínálatok összehasonlítása

185.

17) A megoldás menete hasonló a 14. feladathoz. P = 100 − 0,1 ⋅ Q MC = 50 a) QTV = 500 PTV = 50 FT b) QM = 250 PTV = 75 FT c) QC = 333,33 PC = 66,67 FT d) QS = 375 PS = 62,5 FT

Prez = 100 = 12.500 = 3.125 = 5.544,45 = 7.031,25

18) Piactípus

Összes mennyiség

Összbevétel

Tökéletes verseny

600

15.000

30.000

Monopólium

300

3.750

22.500

400

66,67

6.660

26.680

450

62,5

8.437,5

28.125

600

15.000

30.000

Cournotduopólium Stackelbergduopólium Bertrandduopólium

19)

Egységár Összes fogyasztói többlet

P = 150 − 0,1 ⋅ Q Piactípus

Prez = 150

Összes Egységár mennyiség

Összes fogyasztói többlet

Összbevétel

Tökéletes verseny

500

100

12.500

50.000

Monopólium

250

125

3.125

31.250

333

116,67

5.544,45

38.861,1

375

112,5

7.031,25

42.187,5

500

100

12.500

50.000

Cournotduopólium Stackelbergduopólium Bertrandduopólium

186.

20)

X. Kínálatok összehasonlítása

P = 100 − 0,05 ⋅ Q

Prez = 100 Összes mennyiség 500

Piactípus Monopólium

Egységár

Összes fogyasztói többlet

6.250

Cournot-duopólium

667

11.006

Stackelberg-duopólium

750

13.875

1.000

25.000

Bertrand-duopólium

21) Érdemes a feladat megoldását a d) kérdésnél kezdeni! a) b) c) d)

P = 110 − 0,05 ⋅ Q Q = 1.333 Q = 1.500 Q = 1.000 Q = 2.000

22) P = 200 −

Prez = 110 P = 43 P = 35 P = 60 P = 10

1 ⋅Q 15

Piactípus Tökéletes verseny

FT FT FT FT

= 44.655 = 56.250 = 25.000 = 100.000

Prez = 200 Összes mennyiség 2.400

Egységár

Összes fogyasztói többlet

192.000

Monopólium

1.200

120

48.000

Cournot-duopólium

1.600

85.600

Stackelberg-duopólium

1.800

108.000

23) Jellemző

Szimmetria keresleti Aszimmetria kegörbe resleti görbe Ki változtatja meg az árat? mindegyik vállalat egy vállalat Árrugalmassága a másikhoz képest kisebb nagyobb Meredeksége a másikhoz képest meredekebb kevésbé meredek

XI. Árupiaci egyensúly

187.

XI. ÁRUPIACI EGYENSÚLY Feladatok 1. Egy termék keresleti görbéjének egyenlete: D = 40 − 5 ⋅ P a) Rajzolja meg a fenti keresleti görbét, majd rajzoljon be az ábrába egy tetszőlegesen elhelyezkedő rugalmas kínálati görbét! Grafikusan határozza meg az egyensúlyi ár, valamint az egyensúlyi kereslet és kínálat nagyságát! b) Rajzoljon be az ábrába egy-egy olyan keresleti és kínálati görbét, ami mellett az eredeti feladat egyensúlyi ára változatlan, miközben az egyensúlyi kereslet és kínálat mennyisége módosul! c) Számítsa ki az eredeti feladat keresleti görbéjéből a kereslet árrugalmasságát, ha az ár 4-ről 6-ra nő! d) Az eredeti görbéhez írja fel egy olyan lineáris kínálati görbe egyenletét, amelynél az egyensúlyi ár 5 egység!

2. Egy áru ára 10 pénzegységről 8 pénzegységre süllyedt, aminek következtében a kereslet 28 egységnyire változott. a) Mekkora volt az eredeti kereslet, ha a kereslet árrugalmassága „– 2” egység? b) Rajzolja le a fenti termék lineárisnak feltételezett keresleti görbéjét! c) Adja meg egy olyan lineáris kínálati görbe egyenletét, amelyet az ábrába berajzolva az egyensúlyi ár 5 lesz!

3. Egy termék kínálati görbéjének egyenlete: S=

1 ⋅P+2 2

a) Rajzolja meg a fenti kínálati görbét, majd rajzoljon be az ábrába egy tetszőlegesen elhelyezkedő rugalmas keresleti görbét! Grafikusan határozza meg az egyensúlyi ár, valamint az egyensúlyi kereslet és kínálat nagyságát!

188.

XI. Árupiaci egyensúly

b) Rajzoljon be az ábrába egy-egy olyan keresleti és kínálati görbét, ami mellett az eredeti feladat egyensúlyi ára nő, de az egyensúlyi kereslet és kínálat nem változik! c) Számítsa ki az eredeti feladat kínálati görbéjéből a kínálat árrugalmasságát, ha az ár 4-ről 6-ra nő!

4. Egy termék keresleti és kínálati függvénye a következő: Q D = 20 − 2 ⋅ P

QS = 4 ⋅ P − 10 a) Számítsa ki az egyensúlyi árat és az egyensúlyi mennyiséget! b) Rajzolja meg a piac Marshall-keresztjét!

5. Egy termék piaca tekintetében az alábbiakat ismerjük: P=

S 5 − 11 11

D = 165 − 5 ⋅ P a) Mennyi az adott feltételek mellett az egyensúlyi ár és az egyensúlyi mennyiség? b) Rajzolja meg az adott piac Marshall-keresztjét! Jelölje a tengelymetszeteket is! Ne feledkezzen meg a függvények és a tengelyek elnevezéséről sem!

6. Egy adott piac tekintetében az alábbiakat ismerjük: P = 60 −

D 3

S = 5+ 4⋅ P a) Számítson ki az adott piacon egy konkrét árat és a hozzá tartozó mennyiséget, amelynél a piac a túlkereslet állapotában van! b) Tegye ugyanezt meg túlkínálati helyzetre is!

XI. Árupiaci egyensúly

189.

7. Egy termék piaca tekintetében az alábbiakat ismerjük: P = 17 − P=

D 5

S −1 4

a) Mennyi az adott feltételek mellett az egyensúlyi ár és az egyensúlyi mennyiség? b) Rajzolja meg az adott piac Marshall-keresztjét! Jelölje a tengelymetszeteket is! Ne feledkezzen meg a függvények és a tengelyek elnevezéséről sem!

8. Ha egy termék ára 3 pénzegység, akkor kínálata 21 egység. Ha az ár 7 pénzegység, akkor kínálata 33 egység. Keresleti függvénye az alábbi:

D = 60 − 3 ⋅ P

a) b) c) d)

Írja fel a lineáris kínálati függvényt! Mi az adott termék egyensúlyi ára és mennyisége? Jellemezze a piacot 17 egységárnál! Hogyan alakul a termék keresletének, illetve kínálatának árrugalmassága, ha az ár 5 pénzegységről 9 pénzegységre változik! e) Értelmezze a kapott mutatókat!

9. Egy adott piac tekintetében az alábbiakat ismerjük. Ha az ár 10 egység, akkor a kereslet értéke 50. Amennyiben az ár 25 egységre emelkedik, akkor a kereslet 20 egységre csökken. A keresleti függvény lineáris. Ezek mellett tudjuk, hogy: S = 15 + 3 ⋅ P a) Jellemezze az adott piacot 12 egységár mellett! b) Számítsa ki a kínálat árrugalmasságát, ha az ár 10 egységről 8 egységre csökken!

10. Amennyiben egy termék ára 15 pénzegység, akkor kereslete 95 egység, míg kínálata 60. Ha az ár 23 pénzegység, akkor kereslete 71 egység és kínálata 92 egység. a) Írja fel a lineárisnak tekintett keresleti és a kínálati függvényeket! b) Milyen egységár és mennyiség mellett kerül a piac egyensúlyba? c) Jellemezze a piacot 17 egységárnál! d) Hogyan alakul a termék keresletének, illetve kínálatának árrugalmassága, ha az ár 17 pénzegységről 21 pénzegységre változik! Értelmezze a kapott mutatókat!

190.

XI. Árupiaci egyensúly

11. Amennyiben egy termék ára 8 pénzegység, akkor kereslete 84 egység, míg kínálata 28. Ha az ár 20 pénzegység, akkor kereslete 60 egység és kínálata 88 egység. a) Írja fel a lineáris keresleti és a kínálati függvényeket! b) Milyen egységár és mennyiség mellett kerül a piac egyensúlyba? c) Jellemezze a piacot 10 egységárnál! d) Mennyivel és milyen irányban tér el a kereslet a kínálattól, ha az ár 20 egység?

12. Amennyiben egy termék ára 12 pénzegység, akkor 240 darabot keresnek belőle, míg a kínálata 78 darab. A piac 30 egységár és 150 darabos mennyiségnél van egyensúlyban. a) Írja fel a termék lineáris keresleti, illetve kínálati függvényeinek egyenletét! b) Milyen ár mellett lenne a piacon 100 darab a kereslet? c) Milyen ár esetén a lenne a kereslet 90-nel több, mint a kínálat? d) Jellemezze a piacot 250 darabos keresletnél? e) Mit tudunk a piacról mondani, ha a kínálat 250 darab?

13. Ha egy terméket ingyen adnának, akkor a fogyasztók 200 darabot keresnek belőle. A lineáris keresleti függvény meredeksége „mínusz 3”. Tudjuk még, hogy:

P= a) b) c) d) e) f) g) h)

S 48 − 5 5

Írja fel a termék keresleti függvényének egyenletét! Mi az adott piacon kialakuló egyensúlyi ár és mennyiség? Milyen ár mellett kínálnak 158 db terméket a termelők? Mennyi lenne ekkor a kereslet nagysága? Milyen ár esetén szeretnének a fogyasztók 140 db-ot megvásárolni? Mennyi lenne ekkor a kínálat értéke? Milyen ár mellett lenne a túlkereslet nagysága 32 db? Milyen ár esetén lenne a túlkínálat 88 db?

14. Amennyiben egy terméket ingyen adnának, akkor 33 darabot keresnek belőle. Az ár 1 egységgel való növelésének hatására a kereslet 5 egységgel csökkenne. A kínálati függvénynek az árat jelölő tengelyen a metszéspontja háromnál van. Az ár 1 egységgel való növelése a kínálatot 4 egységgel emeli. a) Írja fel a termék lineáris keresleti, illetve kínálati függvényeinek egyenletét!

XI. Árupiaci egyensúly

191.

b) Hogyan alakul az egyensúlyi mennyiség és egyensúlyi ár? c) Hogyan alakul a kereslet, illetve a kínálat árrugalmassága, ha az egységár 5-ről 3-ra csökken? d) Értelmezze a kapott mutatók értékeit! e) Jellemezze a piacot P = 5 ár esetében!

15. Amennyiben egy terméket ingyen adnának, akkor 30 darabot keresnek belőle. Az ár 1 egységgel való növelésének hatására a kereslet 5 egységgel csökkenne. A kínálati függvénynek a mennyiséget jelölő tengelyen a metszéspontja 12-nél van. Az ár 1 egységgel való növelése a kínálatot 4 egységgel emeli. a) Írja fel a termék lineáris keresleti, illetve kínálati függvényeinek egyenletét! b) Hogyan alakul az egyensúlyi mennyiség és egyensúlyi ár? c) Hogyan alakul a kereslet, illetve kínálat árrugalmassága, ha az egységár 4-ről 6-ra nő? d) Értelmezze a kapott mutatók értékeit! e) Jellemezze a piacot P = 5 ár esetében!

Megoldások 1) Az ábra könnyebb megrajzolása érdekében számítsuk ki a tengelymetszeteket: ha P = 0, akkor D = 40, illetve ha D = 0, akkor P = 8. Még azt tudjuk, hogy függvényünk elsőfokú, ebből következik, hogy ábrázolva egyenest kapunk. a) A keresleti görbe megrajzolása után egy tetszőleges rugalmas kínálati görbét megrajzolva a következő ábrához juthatunk, ahol PE az egyensúlyi árat és QE az egyensúlyi mennyiséget jelöli. S

P 8

D E

192.

XI. Árupiaci egyensúly

b) Az új keresleti és kínálati ábra megrajzolásánál arra kell vigyáznunk, hogy az egyensúlyi ár változatlan maradjon, miközben az egyensúlyi mennyiség módosul (akár nő, akár csökken). Ennek megfelelően egy lehetséges megoldás található a következő oldalon. P

S D’ S’ 8

D E

E’

Q’E

Q c) A megadott árakat a keresleti görbe egyenletébe helyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó keresleti adatokat, így ha P = 4, akkor D = 20, illetve ha P = 6, akkor D = 10. Az ívrugalmasság képletét alkalmazhatjuk:

εD

( PX )

10 − 20 6 + 4 ⋅ = −1,67 10 + 20 6 − 4

Az érték alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmas termékről van szó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kereslet több mint 1 %-kal módosul, méghozzá ellentétes irányba. d) Mivel lineáris görbéről van szó, így alkalmazható a két ponton átmenő egyenes egyenletének képlete. Az egyik pont adott: az 5 egységnyi egyensúlyi ár. Az egyensúlyi pontban a kínálati és a keresleti mennyiség megegyezik egymással, ezért a keresleti függvényből kiszámítható az értéke, amely 15. Az egyenlet felírása érdekében lehetne egy tetszőleges másik pontot is felvenni, de a legegyszerűbb az origóból kiindulni. A képlet az alábbi: (y – y1)*(x2 – x1) = (y2 – y1)*(x – x1) Behelyettesítve: (y – 15)*(0 – 5) = (0 –15)*(x – 5) Amelyet átrendezve kapjuk a következő egyenletet: y = 3x. Azaz a kínálati görbe egyenlete: S = 3*P

XI. Árupiaci egyensúly

193.

2) A már korábban megismert módszereket használjuk! a) Azt tudjuk, hogy a kereslet 28 egységnyire változott, tehát ennyi lesz a kereslet új értéke. A korábbi keresleti adatot „x”-szel jelölve, az ívrugalmasság képlete az alábbi módon írható fel:

ε D( P) =

28 − x 8 + 10 ⋅ = −2 28 + x 8 − 10

Az egyenlet megoldása alapján: x = 17,8. Tehát a kezdeti kereslet értéke 17,8 (kerekítve: 18) egység volt. b) A lineáris keresleti görbe egyenletét akkor tudjuk felírni, ha megoldjuk a két ponton átmenő egyenes egyenletét, amelynek két pontját a rugalmasság kiszámításánál használtuk fel. Ennek alapján: (y – 18)*(8 – 10) = (28 – 18)*(x – 10) A rendezés után: y = –5x + 68 Tehát a keresleti görbe egyenlete: D = 68 – 5*P Az ábra megrajzolásánál használjuk fel két ismert pontunkat! A függvény a következő: P 10 8

Q c) Mivel lineáris görbéről van szó, így alkalmazható a két ponton átmenő egyenes egyenletének képlete. Az egyik pont adott: az 5 egységnyi egyensúlyi ár. Az egyensúlyi pontban a kínálati és a keresleti mennyiség megegyezik egymással, ezért a keresleti függvényből kiszámítható az értéke, amely 43. Az egyenes megszerkesztéséhez lehetne egy tetszőleges másik pontot is felvenni, de a legegyszerűbb az origóból kiindulni. A képletbe helyettesítve az alábbit kapjuk: (y – 43)*(0 – 5) = (0 – 43)*(x – 5)

194.

XI. Árupiaci egyensúly

Amelyet átrendezve kapjuk a következő egyenletet: y = 8,6x Azaz a kínálati függvényünk egyenlete: S = 8,6*P Ábránkban nem ezt, hanem egy tetszőleges kínálati függvényt tüntetünk fel, bemutatva ezzel a grafikai megoldás lehetőségét! P 10 8 S 5 D

3) A kínálati görbe megszerkesztéséhez számítsuk ki a tengelymetszeteket: ha P = 0, akkor S = 2, és amennyiben S = 0, akkor P = – 4. Utóbbinak közgazdasági értelme nincs (hiszen „mínusz” árról nem beszélhetünk), és csak a rajz elkészítését segíti. a) Ábránk a tetszőleges, de lineáris keresleti görbe berajzolása után a következő lehet: P

-4

XI. Árupiaci egyensúly

195.

b) Az új keresleti és kínálati ábra megrajzolásánál arra kell vigyáznunk, hogy az egyensúlyi ár emelkedjen, miközben az egyensúlyi mennyiség változatlan marad. Ennek megfelelően egy lehetséges megoldást a következő: S’

S E’

P E’ PE

E D’ D

-4

c) A megadott árakat a kínálati görbe egyenletébe helyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó kínálati adatokat, így ha P = 4, akkor S = 4, illetve ha P = 6, akkor S = 5. Az ívrugalmasság képletét alkalmazhatjuk:

εS

( PX )

5−4 6+4 ⋅ = 0,56 5+4 6−4

Az érték alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmatlan termékről van szó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kínálat kevesebb mint 1 %-kal módosul, méghozzá azonos irányba.

4) A két függvény felírásánál a korábbi feladatoktól eltérő, de a gyakorlatban használt jelölést alkalmaztunk. b) Az egyensúlyi ár és mennyiség meghatározása érdekében a keresleti és kínálati egyenlet közös megoldását kell megtalálnunk: PE = 5 és QE = 10. b) Az ábra elkészítéséhez számítsuk ki a tengelymetszeteket: Ha P = 0, akkor D = 20 és S = – 10. (Utóbbi értéknek természetesen közgazdaságilag nincs értelme, ez csak az ábra megrajzolásához

196.

XI. Árupiaci egyensúly

szükséges.) Amennyiben D = 0, akkor P = 10, ha S = 0, akkor P = 2,5. Az ábrázolásnál felhasználhatjuk a kiszámított egyensúlyi adatokat is. Ezek után nézzük a következő oldalon található ábrát!

10 S 5 2,5 D -10

5) Az elsőként megadott függvény egy inverz kínálati függvény, amelyet „S”-re kell rendeznünk: S = 5 + 11*P. c) Az egyensúlyi értékek meghatározásához a két egyenletet kell egymással egyenlővé tenni. Az eredmény: PE = 10 és QE = 115. d) A feladat kéri, hogy a tengelymetszeteket is számoljuk ki: Ha P = 0, akkor D = 165 és S = 5. Amennyiben D = 0, akkor P = 33, és ha S = 0, akkor P = – 5/11. (Az utóbbi értéket közgazdaságilag nem értelmezzük, és csak az ábra megrajzolásához szükséges.) Az ábrázolásnál felhasználhatjuk a kiszámított egyensúlyi adatokat is. P

10 D

-5/11

115

165

XI. Árupiaci egyensúly

197.

6) Ebben a feladatban az inverz keresleti görbe egyenlete adott. Ennek átrendezésével juthatunk el a keresleti függvényhez: D = 180 – 3*P. a) Ahhoz, hogy egy túlkeresleti helyzetet megadjunk, ismernünk kell az egyensúlyi állapotot, amelyet a két függvény egyenlővé tétele után számíthatunk ki: PE = 25 és QE = 105. Túlkereslet akkor következik be, ha az ár az egyensúlyi szint alá süllyed, azaz esetünkben kisebb lesz, mint 25. Vegyük például a P = 20 esetét. Ekkor a kereslet 120, míg a kínálat 85 lesz. Ez valóban túlkeresleti helyzet, hiszen D > S. b) Az előző pont alapján túlkínálat akkor lesz, ha az ár az egyensúlyi szint (25) fölé emelkedik. Vegyük például a P = 30 esetét. Ekkor a kereslet 90, míg a kínálat 125 lesz. Ez valóban túlkínálat, hiszen teljesül az S > D feltétel.

7) Inverz keresleti és inverz kínálati görbe egyenlete van megadva. Ezek átrendezése után kapjuk meg a keresleti és kínálati függvényeket: D = 85 – 5*P és S = 4*P + 4. a) Az egyensúlyi értékek megállapításához a két egyenletet tegyük egyenlővé, amelynek megoldásai: PE = 9 és QE = 40. b) A feladat kéri, hogy a tengelymetszeteket is számoljuk ki: Ha P = 0, akkor D = 85 és S = 4. Amennyiben D = 0, akkor P = 17, és ha S = 0, akkor P = – 1. (Az utóbbi értéket közgazdaságilag nem értelmezzük, és csak az ábra megrajzolásához szükséges.) Az ábrázolásnál felhasználhatjuk a kiszámított egyensúlyi adatokat is. Ezek után nézzük az ábrát!

-1

198.

XI. Árupiaci egyensúly

8) A kínálati függvény két adatpárját ismerjük: P1 = 3 és S = 21, valamint P2 = 7 és Q2 = 33. a) A kínálati függvény felírásához két lehetőség kínálkozik. Első megoldás: A két ponton átmenő egyenes egyenleti képletét felhasználva felírhatjuk, hogy: (y – 21)*(7 – 3) = (33 – 21)*(x –3) Amelyet átrendezve kapjuk a következő egyenletet: y = 3x + 12 Azaz a kínálati függvényünk egyenlete: S = 12 + 3*P Második megoldás: A két adatpárt behelyettesítjük a lineáris egyenes képletébe, amelynek általános alakja: y = a + bx. 21 = a + 3b 33 = a + 7b Az egyenletrendszer megoldása: a = 12 és b = 3. Azaz: y = 12 + 3b. Vagyis: S = 12 + 3*P. b) Keressük meg a keresleti és a kínálati függvény közös megoldását: PE = 8 és QE = 36. c) Ismételten két lehetőség közül választhatunk. Első megoldás: Helyettesítsük be az adott árat a keresleti és kínálati függvénybe, és nézzük meg ezek viszonyát: D = 9 < S = 81. Azaz túlkínálati helyzet van a piacon. Második megoldás: Értelmezzük adatainkat! Az adott ár (P = 17) nagyobb, mint az egyensúlyi (PE = 8), ilyen esetben pedig ismert, hogy a piacon nagyobb lesz a kínálat, mint a kereslet. d) A megadott árakat a keresleti, illetve a kínálati görbe egyenletébe helyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó mennyiségi adatokat, így ha P = 5, akkor D = 45 és S = 27, illetve ha P = 9, akkor D = 33 és S = 39. Mindkét esetben az ívrugalmasság képletét alkalmazhatjuk:

εD

X ( PX )

ε S X ( PX ) =

33 − 45 9 + 5 ⋅ = −0,54 33 + 45 9 − 5

39 − 27 9 + 5 ⋅ = 0,64 39 + 27 9 − 5

XI. Árupiaci egyensúly

199.

e) Az értékek alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmatlan termékről van szó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kereslet is és a kínálat is kevesebb mint 1 %-kal módosul, az előbbi ellentétes, az utóbbi azonos irányba.

9) A piac jellemzéséhez szükségünk van a keresleti függvényre, amelynek két adatát ismerjük: ha P = 10, akkor D = 50 és amennyiben P = 25, akkor D = 20. A két adatpárt behelyettesítjük a lineáris egyenes képletébe, amelynek általános alakja: y = a + bx. 50 = a + 10b 20 = a + 25b Az egyenletrendszer megoldása: a = 70 és b = –2. Azaz: y = 70 – 2b. Vagyis: D = 70 – 2*P. a) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 12 egységárat! D = 46 < S = 51. Ez egy túlkínálati helyzet. b) A megadott árakat a kínálati görbe egyenletébe helyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó mennyiségi adatokat, így ha P = 10, akkor S = 45, illetve ha P = 8, akkor S = 39. Az ívrugalmasság képletét alkalmazhatjuk:

εS

X ( PX )

39 − 45 8 + 10 ⋅ = 0,64 39 + 45 8 − 10

A kapott érték alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmatlan termékről van szó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kínálat kevesebb mint 1 %-kal módosul, a változással azonos irányba.

10) Mind a keresleti-, mind a kínálati függvénynek két-két pontját ismerjük, amelyek segítségével felírhatjuk egyenletüket. P 15 23

D 95 71

S 60 92

a) A keresletnél: 95 = a + 15b 71 = a + 23b Az egyenletrendszer megoldása: a = 140 és b = –3. Azaz: y = 140 – 3b. Vagyis: D = 140 – 3*P. A kínálatnál: 60 = a + 15b

200.

XI. Árupiaci egyensúly

92 = a + 23b Az egyenletrendszer megoldása: a = 0 és b = 4. Azaz: y = 4b. Vagyis: S = 4*P. b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kell megtalálnunk, amely: PE = 20 és QE = 80. c) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 17 egységárat! D = 89 > S = 68. Ez egy túlkeresleti helyzet. Egyébként ezt behelyettesítés nélkül is megállapíthattuk volna. Ugyanis az adott ár kisebb, mint az egyensúlyi, és ilyen esetben a piacon a kereslet meghaladja a kínálatot. d) A megadott árakat a keresleti, illetve a kínálati görbe egyenletébe helyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó mennyiségi adatokat, így ha P = 17, akkor D = 89 és S = 68, illetve ha P = 21, akkor D = 77 és S = 84. Mindkét esetben az ívrugalmasság képletét alkalmazhatjuk:

89 − 77 17 + 21 ⋅ = −0,69 X ( PX ) 89 + 77 17 − 21 68 − 84 17 + 21 ε S X ( PX ) = ⋅ =1 68 + 84 17 − 21

εD

e) Az értékek alapján megállapíthatjuk, hogy a kereslet szempontjából árrugalmatlan termékről van szó, ahol 1 % -os árváltozás esetén a kereslet kevesebb mint 1 %-kal módosul, méghozzá ellentétes irányba. A termék kínálatának árrugalmassága egységnyi, és a kínálat változásának iránya azonos az árváltozás irányával.

11) A feladat megoldása az előzővel teljes mértékben azonos módon történik. P 8 20

D 84 60

S 28 88

a) A keresletnél: 84 = a + 8b 60 = a + 20b Az egyenletrendszer megoldása: a = 100 és b = –2. Azaz: y = 100 – 2b. Vagyis: D = 100 – 2*P. A kínálatnál: 28 = a + 8b 88 = a + 20b Az egyenletrendszer megoldása: a = –12 és b = 5.

XI. Árupiaci egyensúly

201.

Azaz: y = –12 + 5b. Vagyis: S = 5*P – 12. b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kell megtalálnunk, amely: PE = 16 és QE = 68. c) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 10 egységárat! D = 80 > S = 38. Ez egy túlkeresleti helyzet. Egyébként ezt behelyettesítés nélkül is megállapíthattuk volna. Ugyanis az adott ár kisebb, mint az egyensúlyi, és ilyen esetben a piacon a kereslet meghaladja a kínálatot. d) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 20 egységárat! D = 60 < S = 88. Ez egy túlkínálati helyzet, mivel a kínálat az adott árnál 28 egységgel meghaladja a keresletet, vagy az utóbbi szempontjából úgy is mondhatjuk: a megadott ár esetén a kereslet 28 egységgel elmarad a kínálattól.

12) A megoldás menete az előző feladathoz hasonló, azzal az ismert ténnyel, hogy egyensúlyi ár esetében mind a keresleti, mind a kínálati mennyiség megegyezik. P 12 30

D 240 150

S 78 150

a) A keresletnél: 240 = a + 12b 150 = a + 30b Az egyenletrendszer megoldása: a = 300 és b = –5. Azaz: y = 300 – 5b. Vagyis: D = 300 – 5*P. A kínálatnál: 78 = a + 12b 150 = a + 30b Az egyenletrendszer megoldása: a = 30 és b = 4. Azaz: y = 30 + 4b. Vagyis: S = 30 + 4*P. b) Helyettesítsük be a keresleti függvénynél a D helyére a 100 darabos értéket! 100 = 300 – 5*P megoldásával P = 40 a megoldás. c) A feladat szerint a kereslet 70 darabbal meghaladja a kínálatot, vagyis ha a keresett ár melletti kínálathoz hozzáadunk 90-et, akkor az keresleti adattal lesz egyenlő: D = S + 90 azaz 300 – 5*P = (30 + 4*P) + 90

202.

XI. Árupiaci egyensúly

vagyis 300 – 5*P = 120 + 4*P Ennek megoldása: P = 20. Tehát, ha a darabonkénti ár 20 egység, akkor a kereslet 70 darabbal lesz több, mint a kínálat. d) Számítsuk ki, hogy 250 darabos kereslet milyen ár mellett alakul ki. Ehhez a mennyiséget helyettesítsük be a keresleti függvénybe: 250 = 300 – 5*P Ennek megoldása: P = 10 Ilyen ár mellett a kínálatot úgy kapjuk meg, ha a kínálati függvénybe helyettesítjük ezt az árat: S = 120 + 4*10 = 160 Azaz: D=250 > S=160. Tehát túlkereslet van a piacon. e) Nézzük meg, hogy a 250 darabos kínálat milyen ár esetén alakul ki. Ezt a mennyiséget a kínálati függvénybe helyettesítve: 250 = 30 + 4*P Az eredmény: P = 55 Ekkor a kereslet: D = 300 – 5*55 = 25 Tehát: D=25 < S=250. Vagyis túlkínálati pozícióban van a piac.

13) A „szövegesen” megadott keresleti függvényünk mellett az inverz kínálati függvényünk adott. a) Az információk értelmezése alapján keresleti függvényünk: D = 200 – 3*P. b) Az inverz kínálati függvény átalakításával: S = 48 + 5*P. A két egyenlet alapján: PE = 19 és QE = 143. c) Helyettesítsük be a 158-as mennyiséget a kínálati függvénybe: 158 = 48 + 5*P Az eredmény: P = 22 d) A fenti árat a keresleti függvénybe helyettesítve: D = 200 – 3*22 = 134 Tehát P = 22 esetén a kereslet 134, azaz 24 egységgel kevesebb, mint a kínálat, amely 158. e) A 140-es értéket a keresleti függvénybe helyettesítve megkapjuk az ehhez tartozó árat: 140 = 200 – 3*P Ennek megoldása: P = 20 f) Ezt az árat a kínálati függvénybe helyettesítve: S = 48 + 5*20 = 148 Azaz P = 20 esetén a kínálat 148, ami 8 egységgel több, mint az ehhez az árhoz tartozó kereslet (140). g) A 32 egységnyi túlkereslet azt jelenti, hogy a kereslet 32-vel több, mint a kínálat. A keresleti és a kínálati mennyiség akkor lenne egyenlő, ha vagy a keresleti mennyiséget csökkentjük 32-vel, vagy a kínálatit növeljük 32-vel. Válasszuk az előbbit: D = (200 – 3*P) – 32 ≡ S = 48 + 5*P Azaz: 168 – 3*P = 48 + 5*P Ennek megoldása: P = 15

XI. Árupiaci egyensúly

203.

h) A 88 egységnyi túlkínálat azt jelenti, hogy a kereslet 88-nal több, mint a kínálat. A keresleti és a kínálati mennyiség akkor lenne egyenlő, ha vagy a keresleti mennyiséget növeljük 88-nal, vagy a kínálatit csökkentjük 88-nal. Válasszuk az utóbbit: D = 200 – 3*P ≡ S = (48 + 5*P) – 88 Azaz: 200 – 3*P = −40 + 5*P Ennek megoldása: P = 30

14) A megadott információk értelmezésével tudjuk a függvényeket megadni! d) A keresleti függvény esetében: A görbe kiinduló pontja, vagyis az ár tengelyén a metszéspontja 33-nál van. (Azaz ha P = 0, akkor D = 33.) Meredeksége pedig „–5”. Azaz: D = 33 – 5*P. A kínálati függvénynél: A görbe „közgazdaságilag értelmezett” kiinduló pontja, vagyis az ár tengelyén való metszéspontja 3-nál van. (De az előzőtől eltérően P = 3, ha S = 0.) Meredeksége pedig „+4”. Így a függvény „matematikai értelemben vett” kiindulópontja, vagyis a mennyiség tengelyen a metszéspontja „–12”-nél van. Azaz: S = 4*P – 12. b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kell megtalálnunk, amely: PE = 5 és QE = 8. e) A b) pontban kiszámoltak alapján tudjuk, hogy P = 5 egységárnál a termék piaca egyensúlyban van.

15) A feladat menete az előző példához hasonló, de a megoldáshoz az alapadatokat itt is értelmezni szükséges! e) A keresleti függvénynél: A görbe kiinduló pontja, vagyis az ár tengelyén a metszéspontja 30-nál van. Meredeksége pedig „–5”. Azaz: D = 30 – 5*P. A kínálati függvénynél: A görbe kiinduló pontja, vagyis a mennyiség tengelyén való metszéspontja 12-nél van. Meredeksége pedig „+4”. Azaz: S = 4*P + 12. b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kell megtalálnunk, amely: PE = 2 és QE = 20. e) Behelyettesítve a P = 5 egységárat: D = 5 < S = 32. Ez egy túlkínálati helyzet. Egyébként ezt behelyettesítés nélkül is megállapíthattuk volna. Ugyanis az adott ár nagyobb, mint az egyensúlyi, és ilyen esetben a piacon a kínálat meghaladja a keresletet.

204.

XI. Árupiaci egyensúly

XII. Függvények

205.

XII. FÜGGVÉNYEK Feladatok A következő táblázatokat minden hallgató saját maga töltse ki a tankönyv és az órai előadások alapján! (Tanulságos összefoglaló és hasznos ismeret lesz mind a táblázatok teljessé tétele, mind azoknak tanulmányozása! Biztosan megéri a kitöltéssel járó fáradságot!)

Amelyeknél: − „bármelyik” tényező lehet független vagy függő, azt beírtuk a táblázatba, és − ahol nem értelmezhető, vagy nem jellemző a lineáris eset, ott „szürkével” kihúztuk a táblázat celláját.

Kétdimenziós mikroökonómiai függvény/görbe neve termelési lehetőség görbéje teljes haszon függvény határhaszon függvény közömbösségi görbe költségvetési egyenes ICC-görbe Engel-görbe PCC-görbe keresleti görbe inverz keresleti görbe

A két tengelyen szereplő tényező megnevezése

A két tényező közül a függetlennek tekintett tényező bármelyik

bármelyik bármelyik

A függvény/görbe meredekségének típusa az alap-, vagy általános esetben

Lineáris vagy annak tekintett esetben a tengelymetszetek jelentése

206. Kétdimenziós mikroökonómiai függvény/görbe neve skálahozadéki termelési függvény parciális termelési függvény átlagtermék függvény határtermék függvény isoquant görbe isocost egyenes

XII. Függvények A két tengelyen szereplő tényező megnevezése

A két tényező közül a függetlennek tekintett tényező

A függvény/görbe meredekségének típusa az alap-, vagy általános esetben

Lineáris vagy annak tekintett esetben a tengelymetszetek jelentése

bármelyik bármelyik

költségfüggvények összbevételi függvény teljes profit függvény határbevételi függvény kínálati görbe inverz kínálati görbe életminőség közömbösségi görbe életminőség költségvetési egyenes egyéni munkakínálati görbe

2. Az alábbi táblázatba azt kell beírni, hogy milyen mikroökonómiai függvény(eke)t, és/vagy görbé(ke)t lehet szerepeltetni, ha a két tengelyen a megadott tényezők találhatók.

XII. Függvények

Két tengelyen szereplő tényező

két jószág mennyisége

a jószág ára és mennyisége a fogyasztó jövedelme és a termék mennyisége termelt mennyiség (kibocsátás) és a rögzített arányú termelési tényezők (tőke-munka) termelt mennyiség (kibocsátás) és a változó termelési tényező (tőke vagy munka) két termelési tényező mennyisége

207.

Az adott koordináta rendszerbe rajzolható mikroökonómiai függvények/görbék