Nagyné Csóti Beáta
Valószínőségszámítási feladatok
Nagyné Csóti Beáta
Valószínőségszámítási feladatok
Nagy Duó Bt. Tatabánya, 2012
Írta: Nagyné Csóti Beáta
Lektorálta: Brunner Zsuzsanna Kis Márta Dr. Kovács Gergely Magyar Tímea
2. javított kiadás
Mőszaki szerkesztı: Nagyné Csóti Beáta
ISBN 978 963 08 0859 0
Kiadó: Nagy Duó Bt., Tatabánya Felelıs vezetı: Nagyné Csóti Beáta ügyvezetı Nyomta: Alfadat-Press Nyomdaipari Kft., Tatabánya
ELİSZÓ A feladatgyőjtemény elsısorban az EDUTUS Fıiskola (volt Modern Üzleti Tudományok Fıiskolája) hallgatóinak készült. Ennek megfelelıen mind tartalmában, mind felépítésében igazodik a gazdasági alapképzésben oktatott Gazdasági matematika II. tantárgy tematikájához. Követi Dr. Csernyák László Valószínőségszámítás c. tankönyvének jelölésrendszerét, ami a félév elméleti anyagát tartalmazza. Alapját a Valószínőségszámítás Példatár 2001-ben megjelent munkám jelenti. 10 év elég hosszú idı ahhoz, hogy nagytakarítást végezzünk a feladatok szövegében, áthelyezzük a hangsúlyokat, igazodjunk a hallgatók és a könyvet használó kollégák igényeihez. Külön köszönöm kollégáimnak, név szerint Brunner Zsuzsannának, Kis Mártának, Kovács Gergelynek, Máté Mariannának, hogy felajánlották és bátorítottak arra, hogy az elmúlt több mint 10 év alatt összeállított vizsgák feladataiból is válogassak, Magyar Tímeának a második kiadás lektorálásáért. Köszönet a tanszék minden oktató és nem oktató tagjának azért a légkörért, amit nap, mint nap megteremtenek, hogy lelkesedéssel, egymást segítve tudjunk együtt tenni közös céljaink elérése érdekében. Tatabánya, 2012.
Nagyné Csóti Beáta
TARTALOMJEGYZÉK
Előszó
Feladat Megoldás 3
Tartalomjegyzék
4
I.
Kombinatorika (1.-38.)
5
61
II.
Eseményalgebra (39.-48.)
13
71
III.
A valószínűségszámítás klasszikus képlete (49.-55.)17
75
IV.
Mintavételek (56.-75.)
19
81
V.
Feltételes valószínűség (76.-90.)
23
93
VI.
Teljes valószínűség tétele, Bayes –tétel (91.-105.) 29
99
VII.
Független események (106.-115.)
33
109
VIII.
A valószínűségi változók (116.-127.
35
113
IX.
Nevezetes diszkrét eloszlások (128.-151.)
39
121
X.
Nevezetes folytonos eloszlások (152.-175.)
45
137
XI.
Csebisev-egyenlőtlenség (176.-184.)
53
151
XII.
A nagy számok törvénye (185.-193.)
57
153
XIII.
Két rendszerező, összefoglaló feladat (194.-195.) 59
157
Irodalom
I. Kombinatorika
5 I. KOMBINATORIKA
1. a) b) c)
d) e) f)
2. a) b) c) d) e)
f)
3.
Egy cég vezetőjével 4 személy szeretne tárgyalni egy adott napon: A, B, C, D. Hányféle sorrendben írhatja be őket a titkárnő az előjegyzési naptárba? Írja fel az összes permutációt! Hányféle sorrendben hallgathatja meg őket a vezető, ha közülük D-vel feltétlenül először akar tárgyalni? A vezető C-től olyan információkat vár, amire szüksége van A-val folytatott tárgyalásánál, ezért C-nek meg kell előznie A-t. Hány ilyen eset van? B és D együtt érkeznek, ezért ők közvetlenül egymás után kerülnek sorra. Hány ilyen elrendezés van? Tárgyalás után meghívja ebédre mind a négy tárgyalópartnert. Kerek asztalhoz terítenek nekik. Hányféle módon foglalhatnak helyet? B és D, akik együtt érkeztek, egymás mellé ülnek. Hány ilyen eset van? Az idei Párizsi Autókiállításra az Audi, a BMW, a Citroën, a FIAT és a Honda is egy-egy új típusát viszi. Hányféle sorrendben mutathatják be az öt autót? Hányféle bemutatási sorrend van, ha az Audit és a BMW-t nem akarják közvetlenül egymást követve bemutatni? Hány olyan bemutatási sorrend van, ahol a Hondát harmadikként mutatják be? Hány olyan sorrendje van a bemutatásnak, ahol az Audi bemutatása megelőzi a Honda bemutatását? Az autókat egy kör alakú forgószínpadra teszik. Hány különböző elhelyezés van, ha az autókat a kör kerületére helyezik el (nem kerül egy sem középre)? Az Audi és a BMW is úgy gondolta, hogy ugyanabban a metál zöld színárnyalatban mutat legjobban az autójuk. Hány olyan elhelyezése lehetséges a forgószínpadon az autóknak, ahol a két zöld autó nem kerül egymás mellé?
Egy boltban az akciós termékeket a pénztárgép mögött egy hatpolcos állványon helyezik el. Egy-egy polcon azonos termékek állnak. a) Hányféle módon helyezhetik el a hat akciós terméket a polcokon? b) A kétféle akciós sampont nem akarják egymást követő polcra rakni. Hányféle elrendezési lehetőségből választhatnak ekkor?
6
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok c) Az egyik termékből különösen sok maradt, így neki a szemmagasságban levő második polcot választották. Hányféle elrendezés közül választhatnak ekkor az eladók? d) Észrevették, hogy a legalsó polcon lévő termék kevésbé fogy, ezért a polcos rendszer helyett az egyszintes, forgótányéros rendszert választották: egy kör alakú tálca hat cikkébe helyezik el a termékeket, mégpedig úgy, hogy egy cikkbe azonos termékek kerülnek. Hányféle elrendezése van így a termékeknek? e) Hányféle módon rakhatják ki a termékeket, ha a kétféle akciós sampont nem akarják egymás melletti rekeszbe tenni?
4.
Kertünkben 6 különböző helyre egy-egy új növényt szeretnénk ültetni. A kertészetben 12 fajta növény tetszik meg, ezek közül fogunk választani. a) Hányféle különböző módon nézhet ki a kert a vásárlás és beültetések után, ha nem feltétlenül kerülnek különböző növények a különböző helyekre? b) Hányféle különböző növénykosárral térhetünk haza a vásárlásból, ha különböző növényeket választunk? c) A 12 különböző fajta növény kétharmad része örökzöld, a többi színes, évelő virág. Hányféle módon állhat össze 6 különböző növényből a kosarunk úgy, hogy pontosan kettő színes, évelő virág legyen benne?
5.
Egy kerekasztal-beszélgetésre hét főt hív meg az egyik televíziócsatorna. a) Hányféle sorrendben mutathatja be őket a műsorvezető? b) Hányféle módon foglalhatnak helyet, ha a műsorvezető is az asztal mellé ül? c) Hányféle ültetési rend közül választhatnak, ha két adott beszélgető partner nem akar egymás mellé ülni?
6.
Az 1. feladatban említett cég vezetőjével 6 személy szeretne tárgyalni az adott napon, de ő csak négyet tud közülük délelőtt fogadni. a) Hányféleképpen írhatja be a kiválasztott négy személyt a naptárába, ha azt is feltünteti, milyen sorrendben kíván velük tárgyalni? b) A vezető kiválasztja azt a négy főt, akit még délelőtt tud fogadni, a többieket délutánra hívja vissza. Hány lehetősége van a négy fő kiválasztására?
7.
Egy vállalkozás fénymásoló gépek karbantartásával és javításával foglalkozik. Hét olyan szerelőt alkalmaz, akik kiszállnak az aktuális
I. Kombinatorika
7
munka elvégzésére. Egy adott napon öt helyre kell kimenni. Mind az öt helyen különböző korú és márkájú berendezés működik. Egy fő egy nap legfeljebb egy munkahelyre megy ki. a) Hányféle módon dönthet a főnök a kiszállásról? b) Július utolsó hetében mindenki szeretne szabadságra menni, de nem zárhatják be a boltot, három főre szükség van ahhoz, hogy ki tudják elégíteni a megbízásokat. Hányféle módon dönthetnek arról, kik mehetnek szabadságra? c) Az egyik fénymásoló cég három különböző, nagyobb értékű propagandaanyagot küld a szerviznek. Hányféle módon oszthatja el egymás között a hét dolgozó? 8.
Egy színház díszelőadást tart a szponzorainak. 10 jegyet küld az egyiknek. A jegyekre 15 jelentkező van. Hányféleképpen oszthatják ki a jegyeket, ha a) a jegyek nem számozottak, azaz a helyfoglalás érkezési sorrendben történik; b) a jegyek számozottak és egymás mellé szólnak? c) Az utóbbi esetben a kiosztás után a 10 szerencsés megnézi, hova szól a jegye, mert közülük négy barát egymás mellé szeretne ülni, így a megkapott jegyeket újraosztják. Hányféle módon oszthatják el egymást közt a kívánságnak megfelelően a jegyeket?
9.
Egy pályázatra 15 pályamű érkezett. Első, második és harmadik díjat, valamint egy dicsérő oklevelet osztanak ki közöttük. a) Hányféle díjazási sorrend alakulhat ki a pályázat elbírálásakor, ha mind a három díjat és a dicséretet is kiosztják, de mindenki legfeljebb egy díjat, ill. oklevelet kaphat? b) Az egyik cég különdíjat ajánl fel az egyik kategóriában. Odaítélése független a díjaktól és az oklevéltől. Ezzel együtt hányféle díjazási eredmény születhet?
10.
13 fős társaság sítúrára indul. Hatan nem kötöttek biztosítást. Kiválasztunk öt főt a társaságból úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel. a) Hányféle módon tehetjük ezt meg? b) Hány olyan eset van, amikor a kiválasztott öt fő között pontosan kettőnek nincs biztosítása? c) Legfeljebb kettőnek nincs biztosítása?
8
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
11. a) b) c) d) e)
12.
Egy gasztronómiai újság pályázatára 7 nő és 6 férfi küldte be receptjeit. Öt különböző díjat osztottak ki. Hányféle díjazási sorrend születhetett? Annyit tudunk, hogy az első, harmadik és ötödik díjat nő, a második és negyedik díjat férfi kapta. Hány ilyen eset van? Hány olyan eset van, amikor a díjazottak között van férfi? Hány olyan eset van, amikor a díjazottak között két férfi van? Hány olyan eset van, amikor a díjazottak között legfeljebb két férfi van? Egy munkahelyen a helyi szakszervezet nyári üdülési lehetőségeket biztosít tagjainak. 5 db 1 fős, 10 db 2 fős, 6 db 3 fős és 15 db 4 fős beutalója van. Az egyes típusokra rendre 6, 15, 8, 18 jelentkezés érkezett. Hányféle módon dönthetnek a beutalók sorsa felől az illetékesek?
13. A Morse-jelsorozat rövid „ti” és hosszú „tá” jelekből áll. a) Hány különböző hangot azonosíthatunk öttagú Morse-jelsorozattal? b) Hány különböző olyan öttagú jelsorozat van, ami pontosan két "ti"-t tartalmaz? c) Hány különböző olyan öttagú jelsorozat van, ami legalább három "ti"-t tartalmaz? 14.
Egy országban nincs két olyan ember, akiknek pontosan ugyanazok a fogai hiányoznának. a) Mekkora lehet legfeljebb az ország lakossága? b) Hány olyan ember lehet, akiknek pontosan három foguk hiányzik? c) Hány olyan ember lehet, akiknek legfeljebb két foga hiányzik?
15.
Egy útkereszteződésben hat olyan jelzőlámpa van, ami "tilos" és "szabad" utat jelez csak. a) Elvileg hányfajta beállítási módja van az útkereszteződés lámpáinak? b) Hányfajta olyan beállítási mód van, amikor pontosan két lámpa jelez szabad utat? c) Hányfajta olyan beállítási mód van, amikor legalább öt lámpa jelez szabad utat?
16.
Válaszoljon az előző feladat kérdéseire, ha minden jelzőlámpa az általunk megszokott, háromszínű. (Ne tegyünk különbséget a pirossárga és sárga jelzések között!)
I. Kombinatorika
9
17.
Egy kétemeletes raktárépület teherliftjébe a földszinten heten szállnak be a rakományukkal. A lift felmegy a második emeletre, miközben az utasok mind kiszállnak, beszálló viszont nincsen. a) Hányféleképpen történhet ez meg? b) Hány olyan eset van, amikor az első emeleten négyen szállnak ki? c) Hány olyan eset van, amikor az első emeleten legfeljebb ketten szállnak ki?
18.
Gondoljuk át az előző feladat megoldását raktárépületben ugyanilyen feltételek mellett!
négyemeletes
19.
Egy háromszintes új épületben 15 lakás van, mégpedig az első szinten 4, a másodikon 5, a harmadikon 6. Hányféleképpen költözhetnek be az új lakók, ha csak azt figyeljük, hogy ki, hányadik emeletre költözik?
20.
Egy baráti társaság kirándulni készül, de a menedékházig három autóval mennek majd. A sofőröket nem számítva 12 főt kell elhelyezni. Az egyik autóban még három, a másikban négy, a harmadik kisbuszban öt hely van. Hányféle elhelyezés van, ha senkinek nem számít, hogy melyik helyen ül az autóban?
21.
Az AIESEC helyi szervezete 4 olyan külföldi céggel tart fenn kapcsolatot, ahol szívesen látnak IV. éves hallgatókat féléves szakmai gyakorlatra. 7 fiú és 5 lány pályázik. Hányféle pályázat elbírálási döntés születhet, ha a) minden cég egy főt tud fogadni; b) az első cég négy főt, a második 3 főt, a harmadik és a negyedik 1-1 főt tud foglalkoztatni; c) az első cég kiköti még, hogy 2 fiút és 2 lányt küldjenek hozzájuk, a többi cégnek ilyen feltétele nincs?
22.
A Főiskolán a Csá-show szervezői egy alkalommal 5 vendéget hívtak meg a műsorba, 2 lányt és 3 fiút. a) Hányféle bemutatási sorrend van, ha a hölgyeket előbb mutatják be, mint a fiúkat? b) A vendégek a két műsorvezetővel egy kör alakú asztalhoz ülnek. Hányféleképpen foglalhatnak helyet akkor, ha a két műsorvezető egymás mellé ül? c) Az 5 vendég között kisorsolnak két különböző ajándékot, hányféle eredménye lehet a sorsolásnak, ha egy ember csak egy ajándékot kaphat?
10
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
23. Egy 12 fős baráti társaság (5 lány és 7 fiú) síelni indul. a) Hányféleképpen ülhetnek be a 3 autóba, ha mindegyikben 4-en utaznak? (Csak azt figyeljük, hogy ki melyik autóba ül, és nem teszünk különbséget az autón belüli helyek között.) b) Hányféleképpen juthatnak fel a pálya tetejére, ha olyan felvonó van, ami egyesével húzza fel őket? c) Egy önkiszolgáló étteremben ebédelnek. Hányféleképpen állhatnak be a sorba, ha az öt lányt előre engedik? d) Az esti vacsoránál 2 barátnő egymás mellé ül, ha egy kör alakú asztalnál foglalnak helyet. Hányféleképpen ülhet így asztalhoz a társaság? 24.
Egy bank egyik csoportja 8 munkakört lát el. A 8 fős csoport dolgozóit 15 jelentkező közül kell kiválasztani. Hányféleképpen állhat össze a csoport, ha 2 munkakört a 15 közül csak négyen, a többit bármelyik jelentkező képes ellátni?
25. Egy szervizben 12 szakmunkás és 10 segédmunkás dolgozik. a) Hányféleképpen szállhatnak ki 5 munkahelyre, ha minden munkahelyen egy szakmunkásra és egy segédmunkásra van szükség? b) Hányféleképpen szállhatnak ki 5 munkahelyre, ha minden munkahelyen két szakmunkásra és egy segédmunkásra van szükség? c) Hányféleképpen alkothatnak olyan szerelő brigádot, amiben 4 szakmunkás és három segédmunkás van? d) Premizálásnál 3 szakmunkást és 2 segédmunkást jutalmaznak. Hányféle jutalmazási lehetőség van, ha a prémiumok összege nem egyenlő? 26.
Egy kockát négyszer egymás után feldobunk. Hány olyan eset van, amikor a) a harmadik dobásra kapunk először hármasnál kisebb számot; b) van hármasnál kisebb dobásunk; c) csak a negyedik dobás legalább hármas?
27.
20 termék 20%-a selejtes. Kiválasztunk közülük 5 darabot egyesével úgy, hogy a vizsgálat után visszatesszük őket a következő választás előtt. a) Hány választási lehetőségünk van? b) Hány olyan eset van, amikor az első két termék selejtes, a többi jó? c) Hány olyan eset van, amikor az öt termék között kettő selejtes?
I. Kombinatorika
11
28.
Egy hét férfiből és négy nőből álló csoportból 6 embert kell kiválasztanunk úgy, hogy ezek között a) pontosan két nő legyen. b) legalább két nő legyen. c) legfeljebb két nő legyen. Hányféleképpen tehetjük ezt meg?
29. a) b) c)
Hány különböző rendszám adható ki Magyarországon (3 betű, 3 szám), ha nem zárunk ki a lehetségesekből egyet sem? (26 betű lehetséges) ha a betűk közt két mássalhangzó és egy magánhangzó van? ha a számok közt van páros?
30.
Öt lány és három fiú röplabdázik. Hányféleképpen alkothatnak két négy fős csapatot úgy, hogy mindkét csapatban legyen legalább egy fiú?
31.
Egy konferencián 52-en vesznek részt. Az első napi plenáris ülés végén küldöttséget kell választani. a) Hányféleképpen választhatnak a résztvevők maguk közül 5 fős küldöttséget? b) A konferencia a második napon szekcióülésekkel folytatódik. A plenáris ülésen döntenek az 5 szekció levezető elnökének személyéről. Hányféle lehetőség közül választanak a döntéskor, ha mind az 52 fő minden szekcióban képes lenne ellátni az elnöki posztot? c) Mekkora a b) kérdésre adott szám, ha az egyik szekció levezető elnöki tisztére csak 8 fő alkalmas szakmailag?
32. Négy diák vizsgázik egyszerre. a) Hányféle különböző vizsgalap tölthető ki a vizsgáról? b) Hányféle eredménye lehet a vizsgának, ha tudjuk, hogy pontosan ketten kaptak jelest? c) Hányféle eredménye lehet a vizsgának, ha tudjuk, hogy pontosan hárman kaptak közepesnél jobb jegyet? d) Hányféle eredménye lehet a vizsgának, ha tudjuk, hogy legfeljebb ketten kaptak legalább közepest? 33. Vegyük a Totó szerencsejátékot és tekintsünk el a +1 mérkőzéstől! a) Hány különböző módon tölthető ki egy egyhasábos Totó szelvény? b) Hány különböző módon tölthető ki egy egyhasábos Totó szelvény, amin pontosan 11 találat van? c) amin legalább 11 találat van?
12
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok d) e) f) g)
amin pontosan 5 találat van? amin legfeljebb 5 találat van? amin van olyan meccs, aminek az eredményét eltaláljuk? amin legfeljebb 3 meccs eredményét nem találjuk el?
34.
30 ember szavaz 5 javaslatról. Minden ember pontosan egy javaslatra adhatja le a szavazatát. a) Tegyük fel, hogy az első javaslat 3, a második 11, a harmadik 4, a negyedik 7 és az ötödik 5 szavazatot kapott! Hányféle voksolás eredményezheti ezt a kimenetelt? b) Tegyük fel, hogy az első javaslat 10, a második 5, a harmadik 9 szavazatot kapott, a maradék 6 szavazat a 4. és 5. javaslat közt oszlik meg valahogy. Hányféle voksolás eredményezhet ilyen kimenetelt?
35.
Egy önkiszolgáló étterem pultján 6 különböző leves és 9 különböző főzelék áll. Hányféle lehet egy 4 fős társaság együttes fogyasztása, ha mindenki eszik levest is, főzeléket is?
36.
Egy üzletlánc 10 fős reklámrészlege olyan feladatot kap, hogy a cég 3 arculatváltozásával ismertesse meg a közönséget. Hányféleképpen oszthatják ki maguk között a három munkát, ha a) egy fő legfeljebb egy arculatváltozáson dolgozhat, b) egy fő több arculatváltozást bemutató reklámot is kidolgozhat, c) minden arculatváltozást bemutató reklámon kétfős munkacsoport dolgozik és egy ember legfeljebb egy munkacsoportban lehet?
37.
Egy fenntartható fogyasztással foglalkozó konferencián három szekciót hirdettek meg. A Környezet szekcióban 8, Gazdaság szekcióban 10, a Közösség szekcióban 7 előadás hangzott el. a) A záró plenáris előadásra minden szekcióból kiválasztották a két legjobbat, akit díjaztak. Hányféleképpen alakulhatott a díjazott hat előadás kiválasztása? b) A záró plenáris előadáson a díjazottak 5-5 percben szólhattak munkájukról. Hányféle sorrendben kaphattak szót, ha az azonos szekcióból érkezőket közvetlen egymás után szólították.
38.
Az előző feladatban szereplő konferencián egy szponzor öt azonos különdíjat ajánlott fel. Hányféle olyan díjazási lehetőség van, ahol a) pontosan kettő díjazott van a Gazdaság szekcióból? b) van díjazott a Környezet szekcióból? c) legfeljebb kettő díjazott van a Közösség szekcióból?
II. Eseményalgebra ____________________________________________ 13 II. ESEMÉNYALGEBRA 39. a) b) c) d) e) f) g) 40. a) b) c) d)
41.
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Formalizálja a következőket: Az A, B, C események közül egyik sem következik be; pontosan 1 következik be; pontosan 2 következik be; legalább 1 következik be; legalább 2 következik be; legfeljebb 1 következik be; legfeljebb 2 következik be! Három részvény árfolyamváltozását vizsgáljuk. Fogalmazzuk meg a következő események ellentett eseményeit: legalább két részvény árfolyama nőtt; mindhárom részvény árfolyama csökkent az adott napon; van olyan részvény, aminek az árfolyama nem csökkent; legfeljebb egy részvény árfolyama nem nőtt az adott kereskedési napon. Egy vállalat egy napon három helyről (Ajka, Békés és Cegléd) vár nyersanyag-szállítmányt. Jelentse értelemszerűen A, B, C azokat az eseményeket, hogy a szállítmány az adott napon pontosan megérkezik az illető helyekről. Fejezze ki A, B, C eseményekkel és az eseményalgebrai műveletekkel a következő összetett eseményeket: mindhárom helyről pontosan érkezik a szállítmány; Békésről nem érkezik meg pontosan a szállítmány; csak Ceglédről érkezik pontosan a szállítmány; csak egy helyről érkezik meg pontosan a szállítmány; van olyan hely, ahonnan nem pontosan érkezik meg a szállítmány; legalább egy helyről pontosan érkezik a szállítmány; legfeljebb egy helyről nem érkezik meg pontosan a szállítmány; Ajkáról pontosan érkezik a szállítmány, de nem mindegyik szállítmány érkezik pontosan. a ceglédi és a békési szállítmány pontosan érkezik; Ábrázolja Venn-diagrammal is a fenti eseményeket! Fogalmazza meg szavakkal az alábbi összetett eseményeket, amennyiben lehetséges, többféle módon is-, ábrázolja Venndiagrammal őket, majd adja meg egymást páronként kizáró események összegeként!
14 _________________ Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok j) A ∩ B ∩ C k) ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) l) A ∪ B ∪ A ∪ C ∪ B ∪ C m) A ∪ B ∪ C n) A ∪ B ∪ C 42.
a) b) c) d) e) f) g) h)
Egy élelmiszer-áruházban háromfajta kenyér hétfői forgalmát vizsgálják, hogy az üzlet a megrendeléseit a kereslethez tudja igazítani. Jelentse Ai (i=1, 2, 3) azt, hogy az i-edik fajta kenyérből 10 kg-nál több marad zárás után az üzletben! Formalizálja, ill. fogalmazza meg szavakkal a következő eseményeket! Nem mindhárom fajta kenyérből maradt 10 kg-nál több; Legfeljebb egy fajta kenyérből marad 10 kg-nál több; Van olyan fajta kenyér, amiből 10 kg-nál több marad; Pontosan kétfajta kenyérből marad 10 kg-nál több; Mindhárom fajta kenyérből 10 kg-nál több marad; Legfeljebb három fajta kenyérből nem marad 10 kg-nál több a boltban; A2 ∩ A1 ∪ A2 ∪ A3 ;
( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A3 ) ∪ ( A2 ∩ A3 ) ;
i) A1 ∪ A2 ∪ A3 . j) Van-e a fentiek közt biztos, ill. lehetetlen esemény? k) Van-e olyan esemény a felsoroltak között, mely egy másikat maga után von? Szemléltesse Venn-diagramon a köztük levő kapcsolatot! l) Vannak-e a felsoroltak között teljes eseményrendszert alkotó események? m) Válasszon ki két olyan eseményt, melyek nem egymást kizáróak, egyik sem vonja maga után a másikat és szorzatuk elemi esemény, ill. nem elemi esemény! 43.
Minőségi ellenőrzés során egy nap 6 db gyártmányt ellenőriznek részletesen. Jelentse Ai (i=0, 1, 2,...,6) azt, hogy i db gyártmányban találtak minőségi kivetnivalót. Fogalmazza meg szavakkal a következő eseményeket! a) A0 ∪ A1 b) A0 ∩ A1 5 c) A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 = U Ai i =1
II. Eseményalgebra ____________________________________________ 15 6
d)
UA
i
i=0
e) Milyen kapcsolat van az Ai és A j ( i ≠ j ) események között? 44.
Egy pénzügyekkel foglalkozó cég a BKE állásbörzére elküldi egy képviselőjét azzal a céllal, hogy frissen végzett szakemberekkel kössön szerződést, de legfeljebb hattal Jelentse Ai (i=0,1,2,...,6) azt, hogy legfeljebb i db jelentkezőt vélt a képviselő az igényeiknek megfelelőnek. Fogalmazza meg szavakkal a következő eseményeket: a) A0 ∪ A1 ; b) A2 ∩ A5 ;
5 c) A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 = U Ai ; i =1 6
d)
IA
i
= A0 ∩ A1 ∩...∩ A6 !
i= 0
e) Milyen kapcsolat van az Ai és A j (i<j) események között? f) Formalizálja a következő eseményt: pontosan 3 friss diplomást vél igényeiknek megfelelőnek a vállalat képviselője! 45.
Egy cég igazgatói tanácsának ülésén három napirendi pont van: három, a cég működését érintő, módosító javaslatok elfogadásáról döntenek. Jelentse Ai (i=1,2,3) azt az eseményt, hogy a tanács az i-edik módosító javaslatot megszavazza! Fogalmazza meg szavakban a következő eseményeket: a) A3
b) A1 ∪ A2 ∪ A3 c) A2 ∪ A3 ;
(
)
d) A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A3 . e) f) g) h) 46.
Formalizálja a következő eseményeket: nem minden módosító indítványt szavazott meg a tanács; van olyan előterjesztés, amit megszavazott a tanács; csak a második módosító indítványt szavazta meg a tanács; csak kettő módosító indítványt szavazott meg a tanács. Egy precíziós műszereket gyártó üzem egy futószalagjának végénél egy minőségellenőr áll, akinek az a dolga, hogy a hibás alkatrészeket
16 _________________ Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok kivegye. Ez a személy kétféle hibát véthet munkája során: a hibás alkatrészt nem veszi észre és továbbengedi a szalagon, ill. egy hibátlan alkatrészt selejtesnek ítél és kidobja. Jelentse A azt az eseményt, hogy egy alkatrész selejtes és B azt, hogy az alkatrészt kidobják. Legyen a valószínűségi kísérlet az, hogy a minőségellenőr egy alkatrészt megvizsgál! a) Adjon meg ehhez a kísérlethez eseményteret! b) Adja meg szavakkal és formalizálja azt az eseményt, ami akkor következik be, ha a minőségellenőr jól végzi a munkáját! c) Adja meg azt az eseményt formalizálva, ami akkor következik be, amikor a minőségellenőr hibázik a munkája során.! 47.
a) b) c) d) e)
Egy élelmiszer-áruházban három pénztárgép dolgozik. Jelentse Ai (i=1,2,3) azt az eseményt, hogy az i-edik pénztárgéphez vásárló érkezik. Fejezze ki az Ai eseményekkel a következőket: csak egy pénztárgéphez érkezik vásárló; nem minden pénztárgéphez érkezik vásárló; legfeljebb két pénztárgéphez nem érkezik vásárló; csak a harmadik pénztárhoz nem érkezik vásárló! Fogalmazza meg szavakkal a következő eseményt: ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A3 ) ∪ ( A2 ∩ A3 ) ! Ábrázolja Venn-diagrammal, majd adja meg ezt az eseményt 4, egymást páronként kizáró esemény összegeként!
48.
a) b) c) d) e) f)
Egy közvélemény-kutatás során egy 10 kérdésből álló kérdőívet töltetnek ki a megkérdezettekkel, amelynek minden kérdésére igennel vagy nemmel kell válaszolni. Jelentse Ai (i=0,1,...,10)azt az eseményt, hogy egy kérdőíven legalább i db igen válasz szerepel. Az Ai (i=0,1,2,...,10) események közül melyik jelenti a biztos eseményt? Jelenti-e valamelyik a lehetetlen esemény? Milyen kapcsolat van az Ai és Ai +1 (i=0,1,...,9) események között? Fogalmazza meg, mit jelentenek a következő események: A5 ∩ A8 , A4 ∪ A7 , A6 ∩ A9 , A3 ∪ A6 . Formalizálja azt az eseményt, hogy a kérdőíven pontosan hat igen válasz szerepel! Teljes eseményrendszert alkotnak-e az A0 , A1 , ... A10 események? Válaszát indokolja!
III. A valószínűségszámítás klasszikus képlete
17
III. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KLASSZIKUS KÉPLETE 49. a) b)
c) d) e) f)
Egy vasútállomáson egymás mellett 9 telefonkészüléket szereltek fel. Ebből kettő nem üzemképes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy telefont, nem tudunk telefonálni vele? Ha nem üzemképes telefont választottunk, akkor átmegyünk egy másikhoz. Mennyi a valószínűsége, hogy ekkor sem tudunk telefonálni? Ha ekkor sem tudunk telefonálni, választunk egy következőt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ekkor már tudunk telefonálni? Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első próbálkozásra sikerül telefonálnunk? Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan két próbálkozás szükséges ahhoz, hogy sikeres hívásunk legyen? Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb két próbálkozás szükséges a sikeres telefonáláshoz?
50. a) b) c) d)
Feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy hármast dobunk; legalább hármast dobunk; háromnál nagyobbat dobunk; nem dobunk ötnél kisebbet?
51.
Ketten játszanak egy piros és egy kék dobókockával. Felváltva dobnak és egyszerre mindkét kockát feldobják. A játékos annyi forintot fizet B játékosnak, ahányat a piros kocka mutat és annyit kap B játékostól, amennyit a kék kocka mutat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobás alkalmával a két kockán különböző érték áll; mindkét kockával hármast dobnak; mindkét kockával legalább hármast dobnak; legalább az egyik kockával hármast dobnak; legalább az egyik kockával legalább hármast dobnak; legalább az egyik kockával legfeljebb kettest dobnak; legfeljebb egyik kockán van hatos; legfeljebb egy kockán van 6-nál kisebb; A játékos nyer; A játékos 2 Ft-ot nyer; B játékos legalább 2 Ft-ot nyer?
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
18
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
52. a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Egy kockát ötször egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind az öt kockán azonos értékűt dobunk; mind az öt kockán különböző értékűt dobunk; az első dobás eredménye 1, a többi pedig ettől különböző; az első dobás eredménye 1, a többi pedig ettől is és egymástól is különböző; csak egy darab egyes van az öt dobás között; két darab egyes dobás van, a többi pedig ettől különböző; pontosan két egyes dobás van, a többi pedig mind különböző értékű; pontosan két darab 3-nál kisebb dobás van; legalább kettő 3-nál kisebb dobás van?
53.
Tíz reklámfilm tervezetet értékelnek egy reklámügynökségen és a pályamunkákat pontozzák. Nem lehet két pályamunkát egyenlő pontszámmal értékelni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a bíráló bizottság a) elsőként foglalkozott az általa legjobbnak ítélt pályázattal, és utolsóként a legrosszabbal; b) egymás után foglalkozott a végül legjobbnak és legrosszabbnak ítélt pályamunkákkal?
54.
a) b) c) d)
55.
Egy porcelánboltban első, másod és harmadosztályú Zsolnay porcelánokat tartanak. Egy adott típusú vázából 6 db első osztályú, 5 db másodosztályú, 1 db harmadosztályú van. Az eladó szerint a minőségi különbségek csak tüzetesebb vizsgálattal fedezhetők fel, de a váza alján megtalálható a minősítés. A vevő kedvéért véletlenszerűen egymás mellé kiteszi a 12 db vázát. Mennyi a valószínűsége, hogy az első hat váza első osztályú; a 6 első osztályú vázát utolsóként rakta ki; az első osztályú vázák egymás mellé kerültek? A vevő kiválaszt egy vázát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy másodosztályút választ?
Egy polcra véletlenszerűen felrakunk 5 db két kötetes nyelvi szótárt: egy angolt, egy németet, egy spanyolt, egy franciát és egy oroszt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) a két orosz szótár egymás mellé kerül a polcra; b) a szótárak kötetei egymás mellé kerülnek a polcra?
IV. Mintavételek
19 IV. MINTAVÉTELEK
56.
a) b) c) d) 57. a) b) c) d) e) f)
Egy kartonban 6 db vanília, 6 db csokoládé és 6 db epres jégkrém van átlátszatlan egyszínű csomagolásban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két darab jégkrémet kiválasztva a dobozból különböző fajtájút választunk; ugyanolyan fajtájút választunk; legalább egy epreset választunk, csak egy csokoládésat választunk? Az előző feladatban szereplő, jégkrémeket tartalmazó kartonból három darabot választunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindhárom fajta jégkrémből veszünk; csak egyfajta jégkrémből veszünk; nem mindhárom azonos ízesítésű; legfeljebb kétfajta jégkrémből veszünk; pontosan két vanília ízűt választunk; legfeljebb két csokoládés jégkrémet választunk?
58.
Egy 20 elemű alkatrészhalmaz 40%-a selejtes. Visszatevés nélkül hatelemű mintát veszünk belőle. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) legalább egy selejtes lesz; b) legalább annyi selejt van, mint jó; c) legfeljebb kettő selejtes lesz?
59.
a) b) c) d) e) f) 60.
Egy 40 elemű alkatrészhalmazban 6 selejtes van. Visszatevéses mintavételezéssel 7 elemű mintát veszünk belőle. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 selejtes alkatrész lesz a mintában; pontosan 2 nem selejtes alkatrész lesz a mintában; legfeljebb 2 selejtest tartalmaz a minta; legalább 4 nem selejtest tartalmaz a minta; a mintának legfeljebb 15%-a selejtes; a mintában a nem selejtes alkatrészek aránya több, mit 85%?
Öt fiú és hét lány együtt mennek moziba. Kiválasztunk közülük hat főt. Mekkora a valószínűsége, hogy a) közöttük háromnál kevesebb a leány; b) ugyanannyi a fiú, mint a leány; c) egy fiú sincs közöttük;
20
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok d) egy lány sincs közöttük?
61.
a) b) c) d) e) f) 62.
a) b) c) d) e)
48 darab videokazetta közül minden negyedik hamisítvány. Visszatevéses mintavétellel hét elemű mintát veszünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintában pontosan 3 hamisítvány van; pontosan 5 eredeti kazetta van; van eredetit; nem mindegyik kazetta eredeti; több mint 75% az eredetiek aránya; is legfeljebb 25% a hamisítványok aránya? 15 db I. osztályú és 60 db II. osztályú alkatrészünk van összekeverve. Visszatevéses mintavételezéssel tízelemű mintát választunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta pontosan 3db I. osztályú alkatrészt tartalmaz; pontosan 6 db II. osztályú alkatrészt tartalmaz; legfeljebb 6 db I. osztályú alkatrészt tartalmaz; tartalmaz II. osztályú alkatrészt; ugyanolyan arányban tartalmaz I. osztályú alkatrészt, mint az egész alkatrészhalmaz?
63.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy lottószelvényt kitöltve k találatunk lesz (k=0,1,2,3,4,5)?
64.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy lottószelvényt kitöltve nyerünk vele?
65.
Egy húszlakásos ház elkészülésekor kiderül, hogy a lakásoknak csak 25%-a hibamentes, bár a többi is beköltözhető. Az első napon csak 8 lakásba költöznek be a lakók. Mennyi a valószínűsége, hogy a) csak három hibátlan lakásba költöznek be; b) legfeljebb három hibás lakásba költöznek be; c) ezeknek is csak 25%-a hibamentes?
66.
30 darab termék között 5 db selejtes. Visszatevés nélküli, majd visszatevéses mintavételt feltételezve melyik esemény bekövetkezésének van nagyobb valószínűsége: a) a 4 elemű mintában legalább egy selejtes van; b) a 8 elemű mintában legalább kettő selejtes van?
IV. Mintavételek 67.
a) b) c) d) e) 68.
a) b) c) d) e) f) 69.
21
30 fős csoport külföldi útra megy Az utasok 60%-a nem kötött biztosítást. Ha egyszerre kiválasztunk 5 utast, mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük pontosan hárman kötöttek biztosítást; legalább hárman kötöttek biztosítást; nem mindegyik kötött biztosítást; van, aki kötött biztosítást; többen nem kötöttek biztosítást közülük, mint ahányan kötöttek? 25 termék közül 18 I. osztályú. A termékek közül kiválasztunk 6 darabot. Visszatevés nélküli, majd visszatevéses mintavételezést feltételezve mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz I. osztályú termék a mintában; pontosan 2 nem I. osztályú termék van a mintában; a mintának legalább a fele nem I. osztályú; kétszer annyi a mintában az I. osztályú termék száma, mint a nem I. osztályúak száma; a mintában k db I. osztályú termék van (k=0,1,2,3,4,5,6); a mintában l db nem I. osztályú termék van? 45 láda gyümölcsből 30 I. osztályú. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 13 véletlenszerűen kiválasztott ládát véve az I. osztályú áru 60%nál több?
70.
Egy 500 darabból álló alkatrészhalmaz 10%-át az A üzem, 35%-át a B üzem, a többit a C üzem gyártotta. A gyártó üzem jele a termékeken megtalálható. Véletlenszerűen hatelemű mintát veszünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) a mintában van B üzem által gyártott alkatrész; b) a minta legfeljebb 2 db A üzem által gyártott alkatrészt tartalmaz; c) egyik alkatrészt sem a C üzem gyártotta; Oldja meg a feladatot visszatevéses és visszatevés nélküli mintavételt feltételezve!
71.
Egy vállalkozó a nagykereskedőtől alma, barack és citrom ízű rostos gyümölcslevet vásárolt. A vásárolt 300 literes tételben 4:5:3 az egyes üdítők részarány. Hat darab 1 literes dobozt véletlenszerűen kiválaszt egyszerre a vásárolt tételből. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) pontosan 2 db almalevet választott; b) legalább két barack ízű üdítőt választott; c) legfeljebb 2 citromos üdítőt választott;
22
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok d) választott alma ízű üdítőt is?
72.
a) b) c) d) 73.
Egy vidéki főiskola 180 hallgatójának 30 %-a vonattal jár haza a hétvégeken. Véletlenszerűen kiválasztva közülük egyszerre öt főt, mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztottak közt pontosan 1 fő nem vonattal jár haza; pontosan 3 fő vonattal jár haza; 30%-nál kevesebb a vonattal hazajárók aránya; 65%-nál több a nem vonattal hazajárók aránya? Válaszoljon a fenti feladat kérdéseire, ha visszatevéses mintavételezéssel élünk az 5 hallgató kiválasztásakor! Hasonlítsa össze a két különböző mintavételezéssel kapott eredményeket egymással! Mi indokolhatja a kicsi eltéréseket?
74.
Egy cég iktatott anyagainak 15%-át teszik ki különböző rendeletek. Valaki egy nap az irattárban egy fontos iratot keres. Levesz a polcról 20 db iktatott anyagot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) van közte rendelet; b) legfeljebb 4 rendelet van közte; c) ezeknek is 15%-át teszik ki a rendeletek?
75.
a) b) c) d) e) f)
Tapasztalat szerint a DOMUS bútoráruházban átlagosan miden ötödik vevő hitelkártyával fizet. Egy óra alatt 20 ügyfél vásárol bútort. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ugyanannyi ügyfél fizet hitelkártyával, mint amennyi készpénzzel; harmad annyi ügyfél fizet hitelkártyával, mint amennyi készpénzzel; többen fizetnek készpénzzel, mint hitelkártyával; legfeljebb 3 hitelkártyás fizetés történik; legalább 16 készpénzes fizetés történik? ezek között a hitelkártyával vásárlók aránya egyenlő az áruházban hitelkártyával fizetők részarányával?
V. Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség
23
V. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK, FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG 76.
a) b) c) d) e)
f)
g)
77.
Egy gimnázium 120 végzős hallgatóinak 30%-a műszaki felsőoktatásban szeretne továbbtanulni, közöttük 27-en emelt szintű érettségire jelentkeztek matematikából. Az összes végzőst tekintve viszont csupán 40 %-ot tesz ki az emelt matematika érettségire jelentkezettek száma. Véletlenszerűen kiválasztunk ebből a gimnáziumból egy végzős diákot. Jelölje M azt az eseményt, hogy a kiválasztott diák műszaki pályára készül, E azt, hogy emelt szintű érettségit tesz matematikából! Formalizálja és adja meg a valószínűségét a következő eseményeknek: a kiválasztott diák műszaki pályára és emelt matematika érettségire készül; a kiválasztott diák ugyan műszaki pályára készül, de nem tesz matematikából emelt érettségit; a kiválasztott diák emelt szintű matematika érettségire készül, de nem műszaki vonalon fog továbbtanulni; a kiválasztott diák nem műszaki vonalon szándékozik továbbtanulni és matematikából sem az emelt szintű érettségit választotta; ha tudjuk, hogy egy műszaki vonalat választó diákot választottunk, mennyi esélyünk van arra, hogy ő emelt szinten fog matematikából érettségizni; ha tudjuk, hogy ő emelt érettségit fog tenni matematikából, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy műszaki felsőoktatásba adta be a felvételijét; ha tudjuk, hogy nem műszaki vonalon fog továbbtanulni a kiválasztott diák, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy nem emelt szinten fog matematikából érettségit tenni? Egy üzlet nagy figyelmet fordít öko jellegére. Egy napon felmérést végzett vevői körében. 150 vevőjét arról kérdezte, tudatos vásárlónak tartja-e magát, figyel-e a termék ára mellett annak egészséges voltára, összetételére, származási helyére, stb., ill. vásárlásánál előnyben részesíti a bio élelmiszereket, még ha azok drágábbak is a bio címkét nem viselő társaiknál. A válaszok a következő módon oszlottak el: a vevők 70%-a vallotta magát tudatos fogyasztónak, de közülük csak 35en vásárolják a biotermékeket. Az összes megkérdezett között is csak 30%-ot tesz ki a biotermékeket előnyben részesítő vásárlók száma. Véletlenszerűen kiválasztjuk a bolt egy vevőjét. Jelöljük T-vel azt az eseményt, hogy tudatos vásárlónak vallja magát, B-vel azt, hogy
24
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
a) b) c) d) e)
78.
előnyben részesíti a bio címkét viselő termékeket vásárlásainál! Formalizáljuk és számoljuk ki a következő események valószínűségét: a kiválasztott vevő tudatos és biotermékeket is vásárló fogyasztó; a kiválasztott vevő tudatosnak vallja magát, de nem részesíti előnyben a biotermékeket; a kiválasztott vevő előnyben részesíti a bio termékeket, mégsem vallja magát tudatos fogyasztónak; a tudatos fogyasztók hány százaléka részesíti előnyben a biotermékeket; a magukat nem tudatos fogyasztónak beismerő vevők hány százaléka nem preferálja a bio élelmiszereket vásárlásánál? Egy vállalkozó két termelőtől is vásárol ugyanolyan fajta terméket. Mindkét termelő szállít első-, másod- és harmadosztályú terméket is. A vállalkozó árukészletét a következő táblázat mutatja: III. Összese n: osztályú 150 1000
A1 : I. osztályú
A2 : II. osztályú
A3 :
B1 első termelő B2 második term.
350
500
350
450
200
1000
Összesen:
700
950
350
2000
Kiválasztunk a kereskedő árukészletéből véletlenszerűen egy darabot. a) Mit jelentenek a következő kifejezések? Adja meg értéküket! P( A1 ) = P( B2 ) = P( A1 ∩ B2 ) = P( A1 B2 ) = P( B2 A1 ) = P( A2 ∪ B1 ) = a) b) c) d) e)
79.
(
)
P B2 A1 =
(
)
P A2 B 1 =
Formalizálja és adja meg a következő események valószínűségét: második termelőtől származó harmadosztályú terméket választunk; másodosztályú vagy az első termelőtől származó a kiválasztott termék; ha a kiválasztott termék másodosztályú, akkor az első termelőtől származik; ha nem harmadosztályú a termék, akkor a második termelőtől való; ha nem az első termelőtől származik, akkor legfeljebb másodosztályú a termék.
Egy felmérés szerint a lakosság 60%-a olvas megyei napilapot, 45%-a országos napilapot. A lakosság 30%-a mind a két fajtát olvassa. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy állampolgárt véletlenszerűen kiválasztva a) legalább az egyik fajtát olvassa;
V. Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség b) c) d) e) 80.
a) b) c) d) 81.
a) b) c) d) 82.
a) b) c) d)
83.
25
csak országos napilapot olvas; pontosan az egyik fajta napilapot olvassa; ha olvas megyei napilapot, akkor országosat is; ha országos napilapot olvas, akkor megyeit is? A reklámfilmek 70%-ában szerepel gyerek, 40%-ában autó, és 20%ában gyerek is és autó is. Véletlenszerűen megtekintve egy reklámfilmet, mennyi annak a valószínűsége, hogy csak autó szerepel benne a fentiek közül; gyerek sem és autó sem szerepel benne; ha szerepel benne gyerek, akkor autó is? he nem szerepel benne autó, akkor gyerek sem? Egy könyvesboltban képes útikönyveket keres a vásárlók 50%-a és ezek 20%-a szépirodalomból is választ. 25%-ot tesz ki azon vásárlók aránya, akik nem útikönyveket és nem is szépirodalmat keresnek. Véletlenszerűen kiválasztva egy vásárlót, mennyi annak a valószínűsége, hogy szépirodalmat vesz; csak szépirodalmat vesz; ha szépirodalmat vesz, akkor útikönyvet is választ hozzá; pontosan az egyik fajta könyvből választ a fentiek közül? Egy nyugdíjpénztár ügyfeleinek 40%-a 40 évesnél idősebb, 50%-a 5000 Ft feletti összeget fizet havonta. és 20%-ot tesz ki azon tagok száma, akik 40 évesnél idősebbek és 5000 Ft-nál magasabb összeget fizetnek havonta a pénztárnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy, a pénztárat felkereső tag 40 évesnél fiatalabb és a havonta befizetett pénzösszege nem haladja meg az 5000 Ft-ot; legfeljebb 5000 Ft-ot fizet havonta, de 40 évesnél idősebb; ha 40 évesnél idősebb, akkor 5000 Ft-nál többet fizet a pénztárnak havonta? Egymástól független események-e a következők: egy ügyfél 40 évesnél idősebb, ill. 5000 Ft feletti összeget fizet havonta? Válaszát indokolja!
A reggeli hírműsorokat a tévénézők 25%-a nézi, ezek 80%-a este is néz hírműsor. Az esti hírműsorokat a nézők 70%-a figyeli. Véletlenszerűen kiválasztva egy polgárt, mennyi annak a valószínűsége, hogy a) este sem és reggel sem néz hírműsort;
26
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok b) csak este néz hírműsort; c) ha reggel nem nézett hírműsort, akkor este megnézi azt; d) A tévénézők reggeli és esti hírműsor nézése egymástól független események-e? Válaszát indokolja!
84.
a) b) c) d)
Májusban egy kertészetben a vásárlók 60%-a vesz hagyományos muskátlit, 45%-a futó muskátlit keres, 27%-a pedig futóból is és hagyományos fajtából is vásárol. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott vásárló muskátli vásárlás céljából keresi fel a kertészetet; pontosan az egyik fajta muskátliból vásárol; vesz még futó muskátlis is, ha vásárolt hagyományosat is? A vásárlók futó és hagyományos muskátli vásárlása egymástól függetlenek-e? Válaszát indokolja!
85.
A friss közgazdász diplomások 20%-a legalább egy nyelvből felsőfokú nyelvvizsgával és 70%-a ECDL vizsgával rendelkezik. Sajnos a friss diplomások 25%-ának se felsőfokú nyelvvizsgája, se ECDL (vagy azzal egyenértékű) bizonyítványa sincsen. Egy cég pályázatot ír ki középvezetői beosztásra pályakezdő diplomásoknak, ahol mindkét követelménynek meg kell felelni a fentiek közül. Véletlenszerűen kiválasztva egy friss diplomás közgazdászt, mennyi annak a valószínűsége, hogy a) pályázhat erre a középvezetői beosztásra; b) csak ECDL bizonyítványa van a követelmények közül; c) ha van nyelvvizsgája, akkor pályázhat a kiírt helyre?
86. Egy autógumi kereskedő árukészletét a következő táblázat mutatja: a) A1 : Pirelli A2 : Good Year A3 : Michelin Összesen: B1 új B2 futózott
150
100
70
320
60
40
80
180
Összesen:
210
140
150
500
Kiválasztunk a kereskedő árukészletéből véletlenszerűen egy darabot Mit jelentenek a következő kifejezések? Adja meg értéküket! P( B1 ) = P( A3 ) = P( A3 ∩ B1 ) = P( A3 B1 ) = P( B1 A3 ) = P( A2 ∪ B1 ) =
(
)
P B2 A1 =
(
)
P A2 B 1 =
Formalizálja, majd adja meg a következő események valószínűségeket:
V. Valószínőségszámítási tételek, feltételes valószínőség
27
b) futózott gumit választottunk, feltéve, hogy Good Year márkájú; c) egy új Michelin márkájú a kiválasztott termék; d) ha nem újat választottunk, akkor az nem is Pirelli. 87.
a)
b)
c) d)
Egy TDK konferenciára 15 dolgozatot adtak be. Ebbıl ötöt II. éves, hatot III. éves és négyet IV. éves hallgató készített. A konferencián a prezentáció sorrendjét sorsolják. Mennyi annak a valószínősége, hogy elsınek egy másodéves, másodiknak egy harmadéves, harmadiknak megint egy másodéves, negyediknek pedig egy negyedéves kerül sorra? (Oldja meg a feladatot a szorzási szabály felhasználásával is!) elsınek egy negyedéves, másodiknak egy másodéves, harmadiknak szintén egy másodéves és negyediknek egy harmadéves kerül sorra? (Oldja meg a feladatot a szorzási szabály felhasználásával is!) ha az elsı két prezentáló másodéves, akkor a harmadik is az; ha az elsı két prezentáló harmadéves, akkor a harmadik nem harmadéves?
88.
Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az elsı permetezésnél a szúnyogok 80%-a elpusztult, az életben maradottakban viszont annyi ellenálló-képesség fejlıdött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 40%-a pusztult el. A harmadik irtás során a szúnyogok 20%-a pusztult már csak el. Mennyi annak a valószínősége, hogy a) egy szúnyog három irtószer-alkalmazást túlél; b) egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túlél, feltéve, hogy az elsıt túlélte?
89.
Egy fontos papírt keresünk négyfiókos íróasztalunkban. Annak valószínősége, hogy egyáltalán ebbe az íróasztalba tettük: 0,8. Mind a négy fiókban egyenlı valószínőséggel lehet. Már három fiókot megnéztünk és nem találtuk a papírt. Mennyi annak a valószínősége, hogy az negyedik fiókban megtaláljuk?
90.
Annak valószínősége, hogy egy adott üzembe az esedékes nyersanyagszállítmány délelıtt 9 és 12 óra között megérkezik: 0,9. A szállítmány 11 óráig nem érkezett meg. Mennyi annak a valószínősége, hogy délelıtt még megérkezik? (A megérkezés valószínősége arányos az idıintervallum hosszával.)
28
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
VI. Teljes valószínőség tétele és Bayes-tétel
29
VI. TELJES VALÓSZÍNŐSÉG TÉTELE ÉS BAYES-TÉTEL 91.
Valamilyen alkatrész gyártásával egy üzemben négy gép foglalkozik. Az elsı gép naponta 550 alkatrészt gyárt, a második 300-at, a harmadik 450-et, a negyedik 700-at. Az egyes gépeknél a selejtgyártás valószínősége rendre 2%, 5%, 6%, 4%. A kész alkatrészeket egy helyen győjtik. A gépek egy napi termelésébıl kiveszünk egy darab alkatrészt. a) Mennyi annak a valószínősége, hogy selejtes alkatrészt választottunk? b) A kivett alkatrészt megvizsgáljuk, és selejtesnek találjuk, mennyi annak a valószínősége, hogy a harmadik gép gyártotta? c) A kivett alkatrészt megvizsgáljuk, és jónak találjuk. Melyik gép gyártotta legnagyobb valószínőséggel?
92.
Tavasszal kertünk szépítésére 45 tı muskátlit, 20 tı rózsát, 35 tı begóniát vettünk. A szállítás során a muskátli 20%-a, a rózsa 10%-a és a begónia 40%-a megsérült. Véletlenszerően kiválasztva egy kiszállított növényt, mennyi annak a valószínősége, hogy a) nem sérült; b) ha tudjuk, hogy sérült, akkor az nem begónia?
93.
Egy repülıjáraton az I. és II. osztályú részek arányát akarják meghatározni, hogy a járatot optimális kihasználtság mellett tudják üzemeltetni. Az arány megállapításához a következı adatok állnak rendelkezésre: az utasok 40%-a diplomata, 25%-a üzletember, a többi turista. A diplomaták 20%-a, az üzletemberek 15%-a, a turisták 5%-a vesz I. osztályra jegyet. Véletlenszerően kiválasztunk egy utast. Mennyi annak a valószínősége, hogy a) I. osztályra váltott jegyet; b) ha nem I. osztályon utazik, akkor turista? c) A repülıgép 300 helyébıl hányat érdemes I. osztályúnak kialakítani és leválasztani?
94.
Egy mőgyőjtı tárgyainak 40%-a festmény, 25%-a bútor, a többi pedig valamilyen dísztárgy. A tavaszi nagy árverésen a festmények 20%-t, a bútorok 15%-át, a dísztárgyak 5%-át árverésre bocsátja. Véletlenszerően kiválasztunk egy tárgyat. Mennyi annak a valószínősége, hogy a) nem bocsátotta árverésre; b) ha nem árverezik el, akkor nem festmény?
30
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
95.
Egy üzemben 15 gépen gyártanak egyforma alkatrészeket, mindegyiken egyenlő számút. Az első hat gép együttvéve 3% selejtet termel, a következő öt gépnél együttvéve 2% a selejt, s végül a többi gépnél együttvéve 1%. A kész darabokat egy helyen gyűjtik. Ha mindegyik alkatrészt egyenlő valószínűséggel vehetjük ki a kész alkatrészek közül, a) mennyi annak a valószínűsége, hogy egy darabot kivéve, az selejtes lesz? b) mennyi annak a valószínűsége, hogy az első hat gép valamelyike gyártotta, feltéve, hogy nem selejtest választottunk?
96.
Egy gép átlagban munkaidejének ötödrészében az I. jelű, harmadrészében a II. jelű és többi idejében a III. jelű alkatrészen dolgozik. Az I. jelű alkatrész kidolgozása közben az erre fordított idő 10%-ában áll. A II. jelű kidolgozása közben végig dolgozik, a III. jelű kidolgozásakor a munkaidő 20%-ában áll. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott időpontban működik a gép? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha működik a gép, akkor éppen a II. jelű alkatrészt dolgozza ki?
97.
Egy menzán háromféle menüből választhatnak a hallgatók. Egy adott napon háromszor annyian választották az I. menüt, mint a II. menüt, a III. menüből pedig 1,5-szer annyi fogyott, mint az első kettőből együttvéve. Az I. menüt választók 60%-a innivalót is vásárolt, a II. menüt választóknál ez az arány csak 30% volt, a III. menühöz minden ötödik vásárolt innivalót. Találomra kiválasztva egy hallgatót mennyi annak a valószínűsége, hogy a) nem vásárolt innivalót; b) ha vásárolt innivalót, akkor a harmadik menüt választotta?
98.
Egy bútorüzletnek három cég szállít terméket. Az első cég szállítmánya az esetek 10%-ában késik, a második az esetek 85%-ában tudja tartani a határidőt, a harmadik cégnél átlagban hét szállítmányból kettő nem tudja tartani a határidőt. Véletlenszerűen kiválasztva egy szállítmányt a) mennyi annak a valószínűsége, hogy késéssel érkezik, ha tudjuk, hogy az I. cég 4-szer annyi szállítmányt indít a boltba, mint a III. cég és a III. cég harmadannyit szállít, mint a II. cég? b) mennyi annak a valószínűsége, hogy az I. cégtől érkezik a szállítmány, tudva azt, hogy nem késik?
VI. Teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel
31
99.
Egy kutyaiskola felmérést végzett az iskolába járó kutyák gazdáiról. Azt tapasztalta, hogy a gazdák 45%-a diák, 15%-a nyugdíjas, a többiek pedig középkorúak. A diák gazdák 85%-a együtt fut a kutyákkal, a nyugdíjas gazdáknál ez az arány mindössze 15%, a középkorúaknak 55%-a fut együtt kutyusával. Véletlenszerűen kiválasztva egy kutyát, mennyi annak a valószínűsége, hogy a) a gazdája vele együtt fut; b) ha nem fut, akkor nem diák?
100. Egy étterem a vendégkörére a következő megfigyeléseket tette: a férfiak és nők aránya 3:2, a gyerekek és felnőttek aránya: 1:4. A vacsora rendelésénél a férfiak 15%-a, a nők 10%-a, a gyerekek 85%-a rendel süteményt is. Véletlenszerűen kiválasztva egy vendéget, mennyi annak a valószínűsége, hogy a) rendelt süteményt; b) ha süteményt is rendelt, akkor gyerek; c) ha nem rendelt süteményt, akkor nő? 101. A műszaki ellenőrző osztály osztályozza az üzem által kibocsátott termékeket. Mindegyik termék a többitől függetlenül, 0,01 valószínűséggel lesz hibás. A vizsgálatban a hibákat 0,95 valószínűséggel fedezik fel, ezen kívül a sértetlen terméket 0,02 valószínűséggel hibásnak ítélhetik. Azokat a termékeket, amelyeket az ellenőrzés során a szabványtól eltérőnek minősítenek, kiselejtezik. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a) a jónak minősített termék selejtes b) a kiselejtezett termék selejtes! 102. Egy üzemben megfigyelték, hogy a férfiak 15%-ának vannak újító ötletei a gyártási folyamatot illetően. A nőknél ez az arány 10%. Ezen a munkahelyen 60 férfi és 90 nő dolgozik. a) Kiválasztunk véletlenszerűen egy főt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy volt újítási ötlete? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezen a munkahelyen a következő újítást nő terjeszti elő? 103. Egy nagy nemzetközi pályázaton kétféle szempontból vizsgálják az első körben megfelelt jelölteket, hogy a lehető legsokoldalúbbakat tudják kiválasztani a projekt megvalósításához: informatikai alapismeretek és nyelvismeret szempontjából. A pályázók 95%-ának informatikai előismeretei kielégítők, de sajnos 30%-uk nem
32
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok rendelkezik középfokú nyelvvizsgával. Az informatika előképzettség nélküli pályázók között viszont 35%-ot tesz ki a nyelvtudást igazolók aránya. Tetszőlegesen kiválasztva egy pályázót, mennyi annak a valószínűsége, hogy a) informatikai előismeretei is kielégítők és nyelvvizsgája is van; b) ha a jelöltnek van nyelvvizsgája, akkor informatikai előismeretei is kielégítők? c) Fogalmazzunk még meg jó néhány kérdést, amire az adatok alapján válaszolni tudnánk!
104. Tegyük fel, hogy egy üzemből kikerülő áru 80%-a I. osztályú. A kikerült termékeket vizsgálatnak vetik alá. Annak valószínűsége, hogy a vizsgálat során egy I. osztályú terméket nem I. osztályúnak minősítenek: 2%. Annak valószínűsége viszont, hogy egy nem I. osztályú terméket I. osztályúnak minősítenek: 5%. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy terméket I. osztályúnak minősítenek? b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy olyan termék, amely e vizsgálaton I. osztályú minősítést kapott, valóban I. osztályú? c) Mennyi a valószínűsége, hogy egy olyan termék, amely e vizsgálaton nem kapta meg az I. osztályú minősítést, valóban nem is I. osztályú? 105. Két város közötti távíró összeköttetés olyan, hogy a leadott távírójelek közül a pontok 40%-a vonallá torzul, a vonalak 30%-a pedig ponttá. A leadott jelek között a pontok és a vonalak aránya: 5:3. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy ha a vevő oldalon pontot kapnak, akkor az adó pontot továbbított!
VII. Független események valószínősége, Bernoulli-kísérletsorozat
33
VII. FÜGGETLEN ESEMÉNYEK VALÓSZÍNŐSÉGE, BERNOULLI-KÍSÉRLETSOROZAT 106. Egy irodaház két egymás melletti irodájában egy-egy telefon mőködik. Úgy tapasztalták, hogy az elsı irodában a munkaidı 20%-ában folytatnak telefonbeszélgetést, a második irodában a munkaidı 10%ában. Mennyi annak a valószínősége, hogy a munkaidı egy adott pillanatában a) legfeljebb egy vonalon folyik beszélgetés a két iroda közül; b) csak a második iroda vonala foglalt; c) egyik vonal foglalt, a másik szabad? 107. Egy üzem három szerelıcsarnokában állítanak elı alkatrészeket. Az elsı csarnokban a munkaidı 5%-ában áll a termelés mőszaki hiba miatt, a másodikban ez az arány 20%, a harmadik esetében pedig 15%. A munkaidı egy véletlenszerően kiválasztott idıpontjában mekkora valószínőséggel a) szünetel a termelés mindhárom csarnokban; b) szünetel pontosan két csarnokban a termelés; c) van olyan csarnok, ahol szünetel a termelés; d) van olyan csarnok, ahol nem szünetel a termelés; e) szünetel csak az egyik csarnokban a termelés; f) szünetel csak az elsı csarnokban a termelés? 108. Válaszoljon az elızı feladat kérdéseire, ha minden csarnokban a munkaidı 10%-ában szünetel a termelés mőszaki hiba miatt! 109. Egy naponta egyszer közlekedı személyvonat a hét elsı három munkanapján rendre 0,3; 0,2; 0,1 valószínőséggel késik egymástól függetlenül. Egy adott hét elsı három munkanapját vizsgálva mennyi annak a valószínősége, hogy a) csak hétfın nem késik a vonat; b) pontosan két nap késik a vonat; c) legfeljebb két napon késik; d) van olyan nap, amikor nem késik a vonat? 110. Válaszoljon az elızı feladat kérdéseire, ha a késés valószínősége minden nap 0,2! 111. Válaszoljon a 109. feladat kérdéseire, ha egy teljes héten át vizsgáljuk a késéseket, és a vonat minden nap 0,2 valószínőséggel késik!
34
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
112. Egy terméket az utolsó munkafázisban három félkésztermékből szerel össze egy automata gépsor. A félkésztermékek rendre 10%, 15%, 5%-a hibás. Az automata által előállított késztermékek közül kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) a termék hibás; b) a termékben legfeljebb két rész nem hibás; c) a termékben csak egy hibás rész van; 113. Egy televízió képernyőjén egyszerre három adó műsorának reklámsugárzását figyeljük. Az első műsoridejének 10%-ában, a második 20%-ában, a harmadik 15%-ában sugároz reklámot. Az egyes tévéadók műsorsugárzási időtartama közös, és reklámot egymástól függetlenül sugároznak. A műsoridő egy tetszőleges időpontjában mennyi annak a valószínűsége, hogy a) egyik sem sugároz reklámot; b) csak az első és a harmadik sugároz reklámot; c) pontosan két adó sugároz reklámot; d) van olyan adó, amelyik éppen nem sugároz reklámot; e) csak az első nem sugároz reklámot; f) csak egy nem sugároz reklámot? 114. A főiskolán átlagosan 10-ből 4-en voltak síelni az idén. Az összes hallgató közül kiválasztva 12 főt, mekkora a valószínűsége, hogy közülük a) ugyanannyian síeltek, mint ahányan nem; b) legfeljebb hárman nem voltak síelni; c) van olyan, aki volt síelni; d) nem mindenki volt síelni? 115. Tapasztalatok alapján tudjuk, hogy a rendszeresen lottózók 60%-a mindig ugyanazt az 5 számot írja a szelvényre. Nyolc lottózót megvizsgálva, mekkora a valószínűsége, hogy közülük a) hárman váltogatják számaikat; b) legalább hatan nem változtatják a számaikat; c) van olyan, aki nem állandó számokkal játszik; d) nem mind játszik állandó számokkal?
VIII. Valószínűségi változók és jellemzőik
35
VIII. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS JELLEMZŐIK 116. Négy készüléket választunk ki megbízhatósági vizsgálatra. A készülékek egymás után kerülnek vizsgálatra, de a vizsgálat megszakad, mihelyt valamelyik készülék nem felel meg a követelményeknek. Egy-egy készülék 0,6 valószínűséggel felel meg. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a megvizsgált készülékek száma! a) Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó eloszlását! b) Számolja ki várható értékét és szórását! c) Határozza meg és ábrázolja eloszlásfüggvényét! d) Fogalmazza meg, mely esemény valószínűségét jelenti a következő kifejezés: P(ξ = 3) e) Mely esemény valószínűségét adja meg F (2) ? (A F ( x ) függvény a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.)
117. A Malév naponta három járatot indít Európa egyik nagyvárosába. Annak valószínűsége, hogy a reggeli járaton nincs szabad hely: 0,9, annak valószínűsége, hogy a délin nincsen: 0,7 és annak, hogy az estin nincsen: 0,6. Véletlenszerűen kiválasztva egy napot, vizsgáljuk, hogy a napi három járat közül hány járaton nincsen szabad hely! Legyen a ξ valószínűségi változó azon járatok száma, amelyeken nincsen szabad hely! a) Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó eloszlását! b) Számolja ki várható értékét és szórását! c) Határozza meg és ábrázolja eloszlásfüggvényét! d) Adja meg a következő valószínűségeket: P(ξ = 2,5) , P(ξ < 2,5) ! 118. Oldja meg az előző feladatot azzal a módosítással, hogy minden járaton a kérdéses esemény valószínűsége egyaránt 0,8! 119. Addig dobunk kosárra, amíg be nem megy a labda. Legfeljebb 4-szer próbálkozhatunk, de amint sikerül bedobni abbahagyjuk a dobást. A ξ valószínűségi változó jelölje a dobások számát. Annak valószínűsége, hogy egy dobásunk sikeres 0,3. a) Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlását! b) Számoljuk ki a ξ várható értékét! c) Mely esemény valószínűségét adja meg F (4) ? (Fogalmazza meg szavakkal és adja meg értékét! A F ( x ) függvény a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.)
36
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
120. Egy műhelyben három különböző gép dolgozik egymástól függetlenül. Az első gépnél annak valószínűsége, hogy egy éven belül javítani kell, 0,2; a másodiknál 0,3, a harmadiknál 0,6. Legyen a ξ valószínűségi változó azon gépek száma, amelyeket egy éven belül javítani kell! a) Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó eloszlását! b) Számolja ki várható értékét és szórását! c) Határozza meg és ábrázolja eloszlásfüggvényét! d) Adja meg a következő valószínűséget: P(1 ≤ ξ < 3) ! e) Mely esemény valószínűségét adja meg következő kifejezés: P( M (ξ ) − D(ξ ) < ξ < M (ξ ) + D(ξ )) ? Számolja ki az értékét! 121. Oldja meg az előző feladatot azzal a módosítással, hogy minden gép meghibásodásának valószínűségét 0,3-nak tételezzük fel! 122. A kertben négy gyümölcsfa található, melyeket meg kell vizsgálni, hogy van-e valamilyen betegségük. A gyümölcsfák egymás után kerülnek vizsgálatra, de a vizsgálat megszakad, mihelyt valamelyik fánál betegséget tapasztalunk. A gyümölcsfák 75%-a teljesen egészséges. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a megvizsgált gyümölcsfák száma! a) Adja meg a valószínűségi változó eloszlását! b) Számolja ki a ξ várható értékét! c) Mely esemény valószínűségét adja meg F (3) ? (Fogalmazza meg szavakkal és adja meg értékét! A F ( x ) függvény a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.) 123. Egy műhelyben 6 gép működik egymástól függetlenül és minden gépnél 0,3 annak a valószínűsége, hogy egy éven belül meghibásodik. Legyen a ξ valószínűségi változó azon gépek száma, amelyeket egy éven belül javítani kell! a) Adja meg a valószínűségi változó eloszlását! b) Számolja ki várható értékét és szórását! c) Mely esemény valószínűségét adja meg a következő kifejezés: P ξ − M (ξ ) < D(ξ ) ? Számolja ki az értékét!
(
)
124. Ketten játszanak egy logikai társasjátékot. Az A játékos a kérdések 60%-ára, B játékos a kérdések 70%-ára tud válaszolni. Már régóta játszanak, és most megállapodnak abban, hogy befejezik a játékot, ha a soron következő tud válaszolni a kérdésére. Legrosszabb esetben 5
VIII. Valószínűségi változók és jellemzőik
37
kérdésre próbálnak választ adni, mert csak ennyi olyan kártya maradt az asztalon, amely kérdést tartalmaz. Az A játékoson van most a sor. Jelentse a ξ valószínűségi változó a maradékból felhúzott kártyák számát! Adja meg a valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! 125. Egy 25 fős osztályban heten nem készültek fel az órára. A tanár négy diákot feleltet. Legyen a valószínűségi változó a felelők között a készületlenek száma! Adja meg a valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! 126. Egy tanár dolgozatokat javít. Már csak négy dolgozat van hátra. Hogy sikerélménnyel térhessen aznap nyugovóra, elhatározza, hogy csak addig javít, amíg az első jeles dolgozat a kezébe nem kerül, a maradékot aznap már nem kezdi el javítani. Diákjainak 20%-a szokott jelest kapni. Legyen a valószínűségi változó a másnapra megmaradó javítatlan dolgozatok száma! a) Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlását! b) Mennyi a várható értéke a másnapi javításra megmaradó dolgozatok számának? c) Fogalmazza meg szavakkal és adja meg F(1) kifejezés számértékét! F(x) a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. 127. Adja meg a diszkrét valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását az eloszlásfüggvény ismeretében! Az eloszlásfüggvény a következő alakú: ha x ≤ −2 0 0,2 ha −2 < x ≤ 0 F ( x) = 0,3 ha 0 < x ≤ 4 0,7 ha 4 < x ≤ 5 1 ha 5 < x
38
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások
39
IX. NEVEZETES DISZKRÉT ELOSZLÁSOK BINOMIÁLIS, HIPERGEOMETRIKUS, POISSON- ELOSZLÁS 128. 40 db termék 20%-a selejtes. 4 elemű mintát veszünk visszatevéssel. Legyen a ξ valószínűségi változó a mintában található selejtes termékek száma, és legyen η a mintában található nem selejtes termékek száma! a) Adja meg a két valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! b) Mennyi annak valószínűsége, hogy a mintában több jó termék van, mint selejtes? 129. Oldja meg az előző feladatot azzal a módosítással, hogy a mintavételt visszatevés nélkül végezze! 130. Egy vállalkozás indításánál egy szerelőműhelybe 4 fő felvételére írnak ki pályázatot. A pályázatra tizenketten jelentkeznek. Ezek közül heten az A, öten a B nyugdíjpénztár tagjai. A műhelyfőnök kiválasztja a 4 legalkalmasabb személyt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott személyek között a) mind a 4 ugyanannak a pénztárnak a tagja; b) legalább annyian tagjai az A nyugdíjpénztárnak, mint a B-nek; c) legfeljebb három fő tagja a B nyugdíjpénztárnak? d) Mennyi a kiválasztott 4 személy között az A nyugdíjpénztár tagok számának várható értéke? 131. Egy reklámirodát félévente áltagosan 6 nagy reklámkampány kidolgozásával bízzák meg. Ezen megbízások száma Poisson-eloszlást követő valószínűségi változó. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő félévben a) háromnál több nagy reklámkampány kidolgozásával bízzák meg őket; b) a várható értéknél kevesebb ilyen volumenű munkával bízzák meg őket; c) érkezik hozzájuk ilyen volumenű megbízás? 132. Egy autókereskedésbe leadott 40 autó 70%-ának legalább egy koccanásos balesete volt, amire általában csak tüzetesebb vizsgálat után derül fény. Kiválasztunk öt autót és kipróbáljuk őket. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) nincs közöttük olyan, aminek volt balesete; b) legalább két autónak nem volt balesete;
40
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok c) a vártnál kevesebb olyan autót próbálunk ki, aminek volt balesete? d) A valószínűségi változó legyen a kipróbált autók között azok száma, amelyeknek nem volt balesete! Adja meg eloszlását, várható értékét és szórását!
133. Megfigyelések szerint a városi tűzoltóságot a bejelentések 5%-ában indokolatlanul riasztják. Egy januári héten 12 riasztást regisztráltak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) 3-nál több, de legfeljebb 6 esetben bizonyult a hívás indokolatlannak; b) a várható érték háromszorosánál kevesebb indokolatlan hívás volt a riasztások között, c) 10 esetben indokoltan riasztották a tűzoltókat; d) legalább 9 esetben indokoltan riasztották a tűzoltókat? 134. Egy vállalat esetében azon munkanapok száma, amikor egy adott munkását betegség miatt helyettesíteni kell Poisson-eloszlást követő valószínűségi változó, melynek várható értéke egy évet tekintve: 8. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy év alatt a) legalább öt, de a várható értéknél kevesebb napon kell a munkás helyettesítésről betegség miatt gondoskodni; b) legfeljebb három napon kell a munkás helyettesítéséről betegség miatt gondoskodni; c) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy negyedév alatt a munkás helyettesítéséről betegség miatt gondoskodni kell? d) Mekkora időtartamot tekintve mondhatjuk, hogy a munkás betegszabadságon töltött munkanapjainak átlagos száma 18? 135. A lakosság 30%-a szenved valamilyen allergiás betegségben. Munkatársaink közül véletlenszerűen kiválasztva 20 főt mennyi annak a valószínűsége, hogy a) a kiválasztottak között is 30%-nyi az allergiás betegek száma; b) a várható értéknél kevesebben szenvednek valamilyen allergiás betegségben; c) az allergiás betegek száma a várható értéket a szórásnál jobban megközelíti; 136. Egy vasúti pénztárnál munkanapokon reggel 5 és 6 között átlagosan kilencen váltanak jegyet. A jegyváltók száma Poisson-eloszlást követ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5:00 és 6:00 óra között a) 7-nél többen, de a várható érték másfélszeresénél kevesebben váltanak jegyet;
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások
41
b) a jegyet váltók száma a várható értéket a szórásnál jobban megközelíti. c) Mennyi az 5:00 és 5:10 között jegyet vásárló utasok számának várható értéke? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5:00 és 5:10 között lesz vevő a pénztárnál? 137. Egy távolsági buszjáraton a végállomáson felszállt 40 utas 40%-a 100 km-nél messzebbre utazik. A Volán véletlenszerűen kiválaszt hármat az utasok közül és karácsonyi ajándékként visszafizeti nekik a mentjegyük árát. Legyen a valószínűségi változó a kiválasztott utasok között azok száma, amelyek legfeljebb 100 km távolságra utaznak! a) Adja meg a valószínűségi változó eloszlását, várható értékét, szórását! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztottak között legfeljebb egy váltotta legfeljebb 100 km távolságra a jegyét? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztottak között legfeljebb egy váltotta 100 km-nél távolabbra a jegyét? 138. Egy informatikai cég számítógépeinek ötödrészéhez ajándékot csatol, amit véletlenszerűen helyeznek el a dobozokban csomagoláskor. A főiskola 15 db új gépet vásárolt. mennyi annak a valószínűsége, hogy a) 4-nél kevesebb dobozban lesz ajándék; b) a vásárolt gépeknek is ötödrészében lesz ajándék; c) a várható érték felénél is kevesebb dobozban lesz ajándék; d) a vártnál több dobozban nem lesz ajándék; e) azon dobozok száma, amelyekben van ajándék a várható értéktől a szórás kétszeresénél nagyobb mértékben tér el? 139. Egy tűzoltó kapitánysághoz kéthetente átlagosan 10 riasztás érkezik. A riasztások száma Poisson-eloszlást követő valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy két hét alatt a riasztások száma a) több mint a várható érték 200%-a; b) a várható értéket annak 20%-ánál jobban megközelíti; c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy hét alatt pontosan várható értéknyi lesz a riasztások száma? 140. Az elmúlt évi influenzajárvány mutatói szerint 20 főből átlagosan 3 fő betegedett meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 18 fős csoportban a) legfeljebb 3 influenzás beteg van; b) a várható értéknél több influenzás megbetegedés van; c) 15-nél több a meg nem betegedtek száma;
42
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok d) Adja meg a meg nem betegedett egyének várható értékét és szórását a csoportban!
141. Az elmúlt éveket figyelembe véve annak a valószínűsége, hogy egy kereskedési napon a BUX index a Bp-i Értéktőzsdén nőtt: 0,7 valószínűségű. Tegyük fel, hogy az egyes napokon az árfolyamváltozás az előző napitól független! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő három hét alatt (15 kereskedési nap) a) legalább 12 napon nő a BUX index; b) lesz olyan nap, amikor nem nő a BUX index; c) legalább várható értéknyi lesz azon napok száma, amikor nő a BUX index; d) azon napok számának a várható értéktől való eltérése, amikor a BUX index nő legfeljebb szórásnyi? 142. Egy üzletembert óránként átlagosan öten keresik mobil telefonján. A hívások száma Poisson-eloszlást követő valószínűségi változó. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a félórás ebédszünetében egyszer sem szólal meg a telefonja? b) Mennyi a hívások számának várható értéke az ebédszünete alatt? c) Mekkora valószínűséggel tér el a szórásnál nagyobb mértékben az ebédszünetben érkező hívások száma a várttól? 143. 8 nárciszhagyma közül átlagosan 7 Húsvétra kinyílik a kertészetben. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az egyik ágyásba elültetett 12 virághagyma között Húsvétra a) lesz virágzó nárcisz; b) a várható értéknél kevesebb, de legalább 7 virágozni fog? c) Mennyi lesz a virágzó nárciszok számának átlagos eltérése az átlagtól? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a virágzó nárciszok száma az átlagtól a szórásnál kevesebbel tér majd el? 144. A felmérések alapján a felnőtt férfiak 80%-a a legutóbbi futball EB legalább egy mérkőzését megnézte. Véletlenszerűen kiválasztva 14 főt mennyi annak a valószínűsége, hogy a) legalább 12 fő nézett meg legalább egy mérkőzést; b) van köztük olyan, aki egy meccset sem nézett meg; c) Határozza meg a következő kifejezés értékét: P ξ − M (ξ ) ≥ 2
(
)
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások
43
145. Egy házaló ügynök minden huszadik felkeresett családot rá tudja venni a kínált terméke megvásárlására. Egy nap 8 családot keres fel és egy hónapban 18 napot dolgozik. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) egy adott napon köt üzletet; b) egy adott napon legalább három üzletet köt; c) *egy hónap alatt megkötött üzleteinek a száma a várható értéket a szórás felénél jobban megközelíti? 146. Egy adott napilapban a helyesírási hibák száma ξ-vel jelölt, Poissoneloszlást követő valószínűségi változó. Tapasztalat szerint a lap az esetek 0,3%-ában hibátlanul jelenik meg. a) Mennyi a sajtóhibák számának várható értéke a lapban? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a lap 6 db sajtóhibát tartalmaz? 147. Egy autókereskedésben annak valószínűsége, hogy egy hét alatt legalább egy autót eladnak: 0,8775. Az eladott autók száma Poissoneloszlást követő valószínűségi változó. a) Átlagosan hány autót értékesítenek hetente ebben az autókereskedésben? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy héten legfeljebb 3 autót adnak el? 148. Egy távközlési csatornán 500 jelet adunk le. Mindegyik jel a többitől függetlenül 0,008 valószínűséggel torzulhat el. Valószínűségi változó legyen az 500 leadott jelből az eltorzultak száma! Binomiális, majd Poisson eloszlás feltételezése mellett adjunk választ a következő kérdésekre! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) két jel torzul csak el az adás során; b) a várható értéknél kevesebb jel torzul el a leadás során; c) legalább 497 jel nem torzul el a leadás során? 149. Egy életbiztosító társaságnak többek között 5.000 olyan életbiztosítása van, melyet azonos korú és szociális helyzetű emberek kötöttek. Annak a valószínűsége, hogy egy biztosított az év folyamán meghal. 0,003. Ezek a biztosítottak év elején 12.000 Ft-ot fizetnek be. A biztosított halála esetén a társaság 2 millió Ft-ot fizet a hozzátartozónak. a) Legalább hány halálesetnek kell bekövetkeznie, hogy a társaság ne legyen nyereséges? (A fenntartási költségeket ne számoljuk!) b) Mennyi ennek a valószínűsége? c) Mennyi a haszon várható értéke?
44
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok d) Mennyi annak a valószínűség, hogy legalább 16 millió Ft a társaság évi nyeresége?
150. Egy autóút egy adott szakaszán egy nap alatt átlagosan 8000 autó halad keresztül. A tapasztalat alapján annak valószínűsége, hogy ezen a szakaszon az autóval baleset történik: 0,00025. Valószínűségi változó legyen a 8000 autó közül a balesetet szenvedők száma! Binomiális, majd Poisson eloszlást feltételezve adjunk választ a következő kérdésekre! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő napon ezen a szakaszon a) 2 autó fog balesetet szenvedni; b) lesz baleset; c) a balesetek száma meghaladja a várható érték kétszeresét; 151. Egy város villamos energia ellátását az év 360 napján zavartalannak regisztrálják átlagosan. Valószínűségi változó legyen az év 365 napja között azok száma, amikor a város villamos energia ellátása nem zavartalan! Binomiális, majd Poisson eloszlás feltételezésével adjunk választ a következő kérdésekre! Mennyi annak valószínűsége, hogy egy fél év alatt a) 177 napon zavartalan a város villamos energia ellátása; b) legalább 178 napon zavartalan a város villamos energia ellátása; c) 176-nál kevesebb a zavartalan ellátású napok száma?
X. Nevezetes folytonos eloszlások
45
X. NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS, EGYENLETES, NORMÁLIS 152. Egy tízemeletes panelházban a lakásonkénti heti ivóvíz felhasználás normális eloszlást követő valószínűségi változó 1 m3 várható értékkel és 0,2 m3 szórással. Találomra kiválasztva egy lakást a házból, mekkora a valószínűsége, hogy a heti ivóvíz felhasználása a) több mint 1,3 m3; b) kevesebb, mint 0,9 m3; c) több mint 0,8 m3, de legfeljebb 1 m3? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy lakásban a heti ivóvízfogyasztás a várható értéktől legalább 0,5 m3-rel eltér? 153. Internetes levelezéseinket vizsgálva megállapítható, hogy kapott emailjeinkre a válaszolásig eltelt idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó, aminek várható értéke 8 óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő e-mailünkre a) 4 órán belül válaszolni fogunk; b) 5 óránál több, de egy napnál kevesebb időt kell várnia az eredeti üzenet feladójának; c) az átlagosnál hamarabb megküldjük a válaszunkat? d) Írja fel a b) részben megfogalmazott esemény valószínűségét az eloszlásfüggvény segítségével! e) Szemléltesse a b) részben megfogalmazott esemény valószínűségét az eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonján! Adja meg a síkidom területét meghatározó integrált! 154. Egy esztergagép első műszaki meghibásodásáig eltelt idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó, aminek várható értéke 3 év. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a gép a) már az első évben meghibásodik; b) a második évben hibásodik meg először; c) a harmadik évben hibásodik meg először; d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha a gép 4 évig nem hibásodott meg, akkor az azt követő fél éven belül meghibásodik? e) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha a gép az első meghibásodás várható értékéig nem hibásodott meg, akkor az azt követő fél éven belül meghibásodik? 155. Egy utcában a családi házak heti elektromos áram felhasználása normális eloszlást követő valószínűségi változó, melynek várható
46
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
a) b) c) d)
értéke 30 kWh és szórása 5 kWh. Találomra kiválasztva egy családi házat az utcából, mennyi annak a valószínűsége, hogy a heti áram felhasználása a várható értéket a szórás felénél jobban megközelíti; több mint 17,5 kWh; kevesebb, mint 40 kWh? 95%-os valószínűséggel legfeljebb mennyivel térhet el egy lakásban a heti elektromos áram felhasználás a várttól?
156. Egy nagy forgalmú részvény napi árfolyamának alakulása normális eloszlást követő valószínűségi változónak tekinthető, aminek várható értéke 1500 Ft, szórása 30 Ft. a) Az adott részvények hány százalékát adták el 1450 Ft-nál kevesebbért ezen a kereskedési napon? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az árfolyam eltérése a várható értéktől 1%-nál kisebb? c) A várható értéktől legfeljebb mekkora eltérés várható 85%-os biztonsággal? 157. Egy bevásárlóközpontban a pénztár előtt átlagosan 10 percet töltünk sorbaállással. A várakozással töltött idő ξ-vel jelölt, exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy a) 10 percnél többet töltünk sorbaállással; b) negyed órán belül sorra kerülünk; c) sorbaállásunk ideje a várható értéket a szórás felénél jobban megközelíti; d) ξ − 20 > 10 ; e) 100 bevásárló közül kb. hány várakozik a sorban 5 percnél kevesebbet? 158. A megfigyelések alapján a munkanélkülieknek átlagban fél év alatt sikerült elhelyezkedniük valahol. Tegyük fel, hogy a munkanélküliségben eltöltött idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó! Véletlenszerűen kiválasztunk egy munkanélküli személyt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) egy évnél több, de 1,5 évnél kevesebb ideig lesz munkanélküli; b) várható értéknél hosszabb ideig lesz munkanélküli; c) legfeljebb 2 hónapig lesz munkanélküli? d) Szemléltesse a sűrűségfüggvény grafikonján az előző pontban megfogalmazott esemény valószínűségét!
X. Nevezetes folytonos eloszlások
47
159. Egy dobozos margarin tömege ξ-vel jelölt valószínűségi változó, aminek várható értéke 250 g, szórása pedig 10 g. Kiválasztunk egy doboz 25 dkg-osnak feltüntetett margarinos dobozt tömegének ellenőrzésére. a) Írja fel a valószínűségi változó sűrűségfüggvényét! b) Próbálja nagyság szerinti növekvő sorrendbe tenni a következő eseményeket bekövetkezésük valószínűsége szerint: i. a dobozban levő margarin tömege 230 g és 240 g közé esik; ii. a dobozban levő margarin tömege 245 g és 255 g közé esik; iii. a dobozban levő margarin tömege 270 g és 280 g közé esik. c) A standardizálás után a ϕ(x) függvény (ϕ(x) a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye) grafikonján szemléltesse a fenti valószínűségeket! 160. Egy biztosító által egy adott hónapban a biztosítottaknak kifizetett pénzösszeg normális eloszlásúnak tekinthető, ξ-vel jelölt valószínűségi változó, melynek várható értéke 30 M Ft, szórása pedig 0,5 M Ft. Fogalmazza meg szavakkal, mely események valószínűségeit jelentik a következők! Számolás nélkül határozza meg, mely valószínűségek nagyobbak, ill. kisebbek 0,5-nél, majd számolással ellenőrizze sejtését! a) P(28,7 < ξ ≤ 30,8) b) P(ξ > 29,2) c) P(311 , ≥ ξ)
d) P( ξ − 30 < 0,8) e) P( ξ − 30 ≥ 1,2)
161. Egy üzem valamilyen terméke iránti kereslet normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 450 egység, szórása 45 egység naponta. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő napon a kereslet a) kevesebb lesz 420 egységnél; b) meghaladja a 460 egységet; c) a várható értéktől annak legfeljebb 15%-ával tér el? d) Milyen pontosságot biztosíthatunk a kereslet alakulására 90% valószínűséggel? 162. Egy automata gép kakaót csomagol 20 dkg-os kiszerelésben. A szórás értéke: 8 g. A valószínűségi változó legyen ξ, az egy zacskóba
48
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
a) b) c) d) e)
csomagolt kakaó tömege! Feltehető, hogy ξ normális eloszlást követ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy zacskóba 21 dkg-nál több kakaó kerül; legfeljebb 20,5 dkg kakaó kerül; legalább 19 dkg, de legfeljebb 22 dkg kerül; adagolt kakaó tömegének és várható értékének az eltérése nagyobb 2 dkg-nál? Az esetek 75%-ában milyen sugarú környezetébe esik a 20 dkg-os várható értéknek az egy zacskóba adagolt kakaó tömege?
163. Egy hölgy kedvenc időtöltése kedvesének megvárakoztatása, aminek várható értéke 20 perc. A várakoztatás hossza ξ-vel jelölt, exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó. Barátja ki nem mondott elve, hogy randevúról soha nem késik, de fél óránál többet nőre nem vár. Mennyi a valószínűsége, hogy a következő randevújuknál a) a hölgyre legfeljebb negyed órát kell várni? b) a hölgy 10 percnél többet, de 25 percnél kevesebbet késik? c) a megérkező hölgy hoppon marad? d) a hölgy késése a várható értéket 5 percnél jobban megközelíti? e) Fogalmazza meg szavakkal és adja meg a következő valószínűséget: P(ξ < 25 ξ > 10) 164. Statisztikai adatok alapján a 25 éves férfiak testmagassága normális eloszlásúnak tekinthető. Átlagosan 175 cm magasak, az átlagtól való átlagos eltérés pedig 6 cm statisztikai adatok alapján. a) Írja fel a 25 éves férfiak testmagasságának eloszlását jellemző sűrűség! Véletlenszerűen kiválasztunk egy 25 éves fiatalembert. Fejezzük ki a következő események valószínűségét az eloszlás sűrűségfüggvényének segítségével! b) 170 cm-nél magasabb a kiválasztott fiatalember. c) 178 cm-nél alacsonyabb a kiválasztott fiatalember. d) A kiválasztott férfi testmagassága legfeljebb 9 cm-rel tér el az átlagtól. e) A kiválasztott férfi pont 175 cm magas. Fejezzük ki a következő események valószínűségét az eloszlásfüggvény segítségével! f) 170 cm-nél alacsonyabb a kiválasztott férfi; g) legalább 178 cm magas a férfi; h) A kiválasztott férfi testmagassága 166 cm és 184 cm közé esik; i) A kiválasztott férfi nem pont 175 cm magas.
X. Nevezetes folytonos eloszlások
49
j) A 25 éves férfiak 85%-ának testmagassága a várható értéknek milyen sugarú környezetébe esik? 165. Egy palackozó üzem egy automata gépsorán 2 literes üdítőket palackoznak. A névleges térfogattól való átlagos eltérése 0,3 dl. Ha minőségellenőrzés során egy palack töltési térfogatát 1,95 liternél kevesebbnek, vagy 2,05 liternél többnek találják, akkor a gépet újraállítják. Valószínűségi változó legyen az egy palackba adagolt üdítő térfogata, amiről tudjuk, hogy normális eloszlást követ. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy palackot ellenőrizve a gépet nem kell újraállítani? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az egy palackba töltött üdítő mennyisége a várható értéke a szórás másfélszeresénél jobban megközelíti? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az egy palackba adagolt üdítő mennyisége legalább 0,75 dl-nél nagyobb mértékben tér el a várttól? d) Milyen pontosságot biztosíthatunk 0,95 valószínűséggel az üdítő térfogatára? 166. Egy benzinkútnál a személyautóval közlekedők legfeljebb 8%-ának apróbb ajándéktárgyat akarnak adni, ha bizonyos mennyiség felett tankolnak. A tapasztalatok alapján az autósok egyszerre átlagosan 25 litert tankolnak. Az átlagtól való átlagos eltérés az átlag 20%-a. Valószínűségi változó legyen az egyszeri tankolás mennyisége! Legalább hány literes tankolásra szóljon az ajándékra vonatkozó akció, ha tudjuk, hogy normális eloszlást követ az egyszeri tankolás mennyisége? 167. Egy irodai alkalmazott 10 és 12 óra között valamikor az órájára pillant, de az megállt. Annak a valószínűsége, hogy egy adott időtartam alatt az órájára néz arányos az időintervallum hosszával. A valószínűségi változó legyen az órára pillantás időpontja órában megadva! a) Adja meg a következő valószínűségeket: P(ξ < 12) , P(ξ < 11) , P(ξ < 10,5) , P(ξ < 10,2) , P(ξ < 10 + x ) . b) Adja meg a valószínűségi változó eloszlás, majd sűrűségfüggvényét! c) Határozza meg az alkalmazott órára pillantásának várható értékét és szórását! d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az órára pillantástól számítva még legalább negyed órát kell várnia az alkalmazottnak a déli harangszóra?
50
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
168. Villamos megállóban a várakozási időnk exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó, melynek várható értéke 4 perc. Ha véletlenszerűen kimegyünk a villamosmegállóba, mennyi annak a valószínűsége, hogy a) a vártnál kevesebbet kell várni a következő villamosra; b) több mint 2, de kevesebb, mit 10 percet kell várnunk; c) várakozási időnk a várttól a szórás háromnegyed részénél többel tér el; d) várakozási időnknek a várttól való eltérése legfeljebb a szórás 25%-a? 169. Telefonáláskor a tárcsázás befejezésétől legalább két másodpercnek el kell telnie a kapcsolásig. A tapasztalat azt mutatja, hogy a kapcsolásra az esetek 75%-ában 20 másodpercnél kevesebbet kell várni. A ξ valószínűségi változó legyen a tárcsázás befejezésétől a kapcsolásig eltelt idő! Annak a valószínűsége, hogy egy adott időtartamban megtörténik a kapcsolás, arányos az időtartam hosszával. a) Meddig terjedhet a tárcsázás befejezésétől a kapcsolás időtartama? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapcsolásra a vártnál kevesebbet kell várakozni? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy tárcsázástól a kapcsolásig legalább 6 másodpercet kell várni? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a tárcsázás befejezésétől számítva 8 és 14 másodperc közé esik a kapcsolásig szükséges idő? e) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapcsolás időpontja a vártat a szórásnál jobban megközelíti? 170. Telefonhívást várunk. Szavahihető barátunk megígérte, hogy 12 és 16 óra között telefonál. Legyen a ξ valószínűségi változó a hívás ideje, amiről tudjuk, hogy egyenletes eloszlást követ, azaz annak valószínűsége, hogy a hívás egy adott, 12 és 16 óra közötti időintervallumba esik, arányos az intervallum hosszával. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 12:00 és 12:30 közti félórás ebédidőben fog keresni? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 16 óráig tartó munkaidőnk utolsó negyed órájában fog keresni? c) 15 óra van és még mindig nem hívott a barátunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az elkövetkező negyed órában megérkezik a hívása?
X. Nevezetes folytonos eloszlások
51
171. Az autópályán kamerás rendszer figyeli a matrica nélkül autózókat. Két matrica nélkül közlekedő jármű között eltelt idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó, aminek várható értéke 30 perc. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy két szabálysértés 20 percen belül követi egymást? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy két szabálysértés rögzítése között legalább 40 perc telik el? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy két a szabálysértés rögzítés közt eltelt idő a várható értékét 5 percnél jobban megközelíti? d) Ábrázolja az eloszlás sűrűségfüggvényének a grafikonján az a) részben megfogalmazott eseményt és annak valószínűségét? Írja fel az ábrázolt síkidom területét megadó határozott integrált! 172. Egy metropolis egyenes sugárútjának 300 m-es szakaszát nemrégiben aszfaltozták. Az út alatt a távfűtés vízvezetékcsövek futnak, amit 30 éve fektettek le. Megrepedt a cső valahol ezen útszakasz alatt, és minden nap nagyon sok víz folyik el a rendszerből. A hiba az útszakasz minden pontján ugyanakkora valószínűséggel következhetett be, azaz a hiba helye egyenletes eloszlást követő valószínűségi változó. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a csőrepedés a) az első 50 m-en következett be; b) az utolsó 30 m-en következett be; c) az útszakasz egyik végétől legalább 75 m-re és a másik végétől legalább 100 m-re következett be? d) Mekkora valószínűséggel találják ott a hibát, ha az útszakasz középső részén valahol 20 m hosszúságban felszedik az aszfaltot? 173. Egy műhelyben csapágyakat gyártanak, melyek átmérője ξ-vel jelölt normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 15 cm. A csapágyak minőségi ellenőrzésen esnek át a gyártás után, ahol a termékek 10%-át selejtesnek ítélik. Selejtes egy csapágy, ha átmérője az előírttól, annak 0,5%-nál nagyobb mértékben tér el. a) Mekkora a szórás? b) Ha új gépet állítanak üzembe, mekkora szórást engedhetnek meg maximálisan, ha a kész csapágyak legfeljebb 5%-a lehet csak selejtes? c) Mennyi a következő két valószínűség az első, ill. a második esetben: P( ξ − 15 ≤ 0,09) P( ξ − 15 ≤ 2σ ) . 174. Egy matematikus hallgató egyetemista évei alatt autóstoppal közlekedik otthona és egyetemének városa között. Eddig azt
52
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
a) b) c) d) e)
tapasztalta, hogy az esetek ötödrészében fél órán belül felvették. Úgy gondolja, hogy várakozási ideje exponenciális eloszlást követ. Mennyi időt tölt egy-egy alkalommal átlagosan stoppolással a hallgató? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vártnál hamarabb felveszik? Mennyi annak a valószínűsége, hogy várakozási ideje a vártat a várható érték felénél jobban megközelíti? Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha egy órán belül nem veszik fel, akkor másfél órán belül sem veszik fel? Mennyi a következő valószínűség: P(ξ > 1 ξ > 0,5) ?
175. Annak valószínűsége, hogy adó visszatérítésünk az adóbevallás beadása után 15 napon belül megérkezik: 0,632. A bevallás beadásától a visszatérítésig eltelt idő exponenciális eloszlásúnak tekinthető. a) Adja várható értékét, eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Az adóbevallás benyújtása után hányadik napon teljesül, hogy 0,5 valószínűséggel legfeljebb eddig megérkezik az adó visszatérítés? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy héten belül megkapjuk az adó visszatérítést? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az adó visszatérítésig eltelt idő a várható értéket a szórás másfélszeresénél jobban megközelíti?
XI. Csebisev-egyenlőtlenség
53
XI. CSEBISEV-EGYENLŐTLENSÉG 176. Statisztikai adatok alapján egy európai államban az emberek átlagosan 70 évig élnek, az élethossznak az átlagtól való átlagos eltérése pedig 5 év. További információnk nincsen az élethossz eloszlásáról. Kiválasztunk véletlenszerűen egy embert ebből az országból. a) Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy élethossza az átlagot a szórás másfélszeresénél jobban megközelíti? b) Legalább 70%-os biztonsággal milyen pontossággal becsülhetjük meg az élethosszát? c) Fogalmazzuk meg, melyik esemény valószínűségét jelenti és adjunk becslést a következő kifejezés értékére: P( ξ − M (ξ ) ≥ 10) . (A valószínűségi változó a kiválasztott ember élethossza évben számolva.) 177. Egy üzlet napi forgalma a különböző sajtkészítményekből 150 kg várható értékű, 15 kg szórású valószínűségi változó, aminek eloszlásáról már információnk nincsen. a) Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a napi forgalomnak a várttól való eltérése kevesebb, mint 30 kg? b) Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább háromszoros szórásnyi eltérést tapasztalunk a várttól egy adott napon a forgalomban? c) Fogalmazza meg és adjon becslést a következő valószínűségre: P(105 < ξ < 195) 178. Egy almáskertben termett almák átmérőjének várható értéke 10 cm, szórása 2 cm. Tegyük fel, hogy az almák átmérője normális eloszlást követő valószínűségi változó! a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy alma átmérője a várható értéktől legfeljebb annak 40%-ával tér el? b) Adjon becslést az a) részben megfogalmazott esemény valószínűségére, ha az almák átmérőjének eloszlását nem ismerjük, csak a várható értékét és szórását, ezek pedig a fentiek! c) Az esetek legfeljebb 30%-ában legalább mennyivel tér el az alma átmérője a 10 cm-től? 179. Egy munkahelyen vizsgálják a szolgálati autók napi benzinfogyasztását. Statisztikai adatok alapján átlagosan 8 litert fogyasztanak, a fogyasztásnak az átlagtól való átlagos eltérése pedig 1,5 liter. Tetszőlegesen kiválasztunk egy szolgálati autót.
54
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok a) Feltételezve, hogy a fogyasztás normális eloszlást követ, mennyi annak a valószínűsége, hogy a fogyasztása a várható értéket 4,5 liternél jobban megközelíti? b) Becsüljük az a) részben megfogalmazott esemény valószínűségét, ha a fogyasztás eloszlását nem ismernénk, csak a várható értékéről és a szórásáról tudnánk azt, hogy a fenti! c) Legalább 0,8 valószínűséggel milyen határok közé esik egy tetszőlegesen kiválasztott szolgálati autó benzinfogyasztása?
180. Egy adott oktató által tartott előadás hossza valószínűségi változó, ami a tapasztalatok alapján normális eloszlást követ. Várható értéke 75 perc, szórása 2 perc. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő tanórájának a hossza a) 70 és 80 perc közé esik? b) Legalább mennyi az a) részben megfogalmazott esemény valószínűsége, ha a tanóra hosszának nem ismernénk az eloszlását, csak a várható értékét és a szórását. c) Olvassa ki és adjon becslést a következő valószínűségre: P( ξ − M (ξ ) ≥ 6) 181. Egy önkiszolgáló étteremben a rántott karaj átlagos tömege: 15 dkg, az átlagtól való átlagos eltérése, pedig a várható érték 10%-a. Feltételezve, hogy a hússzeletek tömege normális eloszlást követ, milyen valószínűséggel kapunk a) olyan szelet húst, aminek a tömege a várttól legalább 2 dkg-mal eltér? b) Adjon becslést az a) részben megfogalmazott esemény valószínűségére, ha a valószínűségi változó eloszlása nem ismert, de várható értéke és szórása a feladat szövege szerinti? 182. Egy szigorlatra a hallgatók átlagosan 50 órát készülnek, és a felkészülési időnek az átlagtól való átlagos eltérése 5 óra. Véletlenszerűen kiválasztunk egy szigorlatot tett hallgatót. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 40 és 60 óra közé esik a felkészülési ideje, ha a felkészülési idő normális eloszlást követő valószínűségi változó? b) Ha a felkészülési idő eloszlásáról nem tudjuk, hogy normális eloszlást követ, de a várható értéke és a szórása a feladat szövege szerinti, akkor az esetek legalább 75%-ában legfeljebb mennyivel térhet el a felkészülési idő a várttól?
XI. Csebisev-egyenlőtlenség c) Adjon becslést az a) részben megfogalmazott valószínűségére, ha felkészülési idő eloszlása nem ismert!
55 esemény
183. Egy élelmiszerüzletben egy nap alatt átlagosan 5000 vevő vásárol, a vásárlók számának az átlagtól való átlagos eltérése a várható érték 5 százaléka. Más információnk nincsen a vásárlószám eloszlásáról. a) Fogalmazza meg, mit jelent és adjon becslést a következő esemény valószínűségére: P( ξ − M (ξ ) < 375) b) Legalább 90%-os valószínűséggel a várható értéknek milyen sugarú szimmetrikus környezetébe esik a vásárlók száma egy adott napon az élelmiszerüzletben? c) Legalább mennyi a következő esemény valószínűsége: P(4250 < ξ < 5750) . 184. Egy textilgyárban előállított vég szövet hosszának várható értéke 35 m, szórása 0,3 m. a) Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a vég hossza legalább 1 m-rel eltér a várható értéktől? b) Legalább 95 %-os valószínűséggel milyen határok közé esik a vég szövet hossza? c) Ha azt is tudjuk, hogy egy vég szövet hossza normális eloszlást követő valószínűségi változó, akkor pontosan mennyi az a) részben megfogalmazott esemény valószínűsége? Hasonlítsuk össze az a) és c) rész eredményét!
56
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
XII. A nagy számok törvénye
57
XII. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE 185. Arra vonatkozóan kér információt a rendőrség, hogy az adózó polgárok hány százaléka követ el adócsalást. Mivel minden adóbevallást nem tudnak ellenőrizni, ezért 500 db-os mintából adnak becslést az adócsalás valószínűségére. a) Legalább 0,8 valószínűséggel, milyen hibahatáron belül lesz a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől mért eltérése? b) Ha a rendőrség 0,02 hibát enged meg maximálisan a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől való eltérésére, akkor ugyanilyen valószínűség mellett hány adóbevallás részletes elemzésére van szükség? 186. Egy választás előrejelzéséhez közvélemény kutatást végeznek. Egy női jelölt indul. a) Milyen hibahatár adható meg legalább 85%-os biztonsággal a női jelöltre leadott szavazatok alapján a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől való eltérésére, ha 1000 személyt kérdeznek meg előzetesen? b) Ha a "Kíváncsiak" 0,01-nál pontosabb becslést várnak a relatív gyakoriság alapján annak a valószínűségére, hogy valaki az illető hölgyre szavaz, akkor legalább 85%-os biztonsági szinten hány személy megkérdezésére van szükség? 187. Egy bevásárlóközpont vezetői azt szeretnék megtudni, hogy a vásárlók hány százaléka venné meg azt a terméküket, amelyet 50%-kal leáraznak. Erre az arányra a relatív gyakorisággal akarnak következtetni. a) Legalább hány főt kellene megkérdezni ahhoz, hogy a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől mért eltérése legalább 95%-os megbízhatósággal 0,05-nál kisebb legyen? b) 1500 fős mintánál mekkora a becslés hibája ugyanekkora megbízhatósági szinten? 188. Egy mintavételes feladat esetében annak az eseménynek a valószínűségére, hogy a minta tartalmaz selejtes elemet, számolás útján 0,7-et kaptunk. Ezt az elméleti eredményünket a kísérlet sokszori megismétléséből kapott relatív gyakoriság értékével szeretnénk megerősíteni.
58
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok a) Legalább hányszor ismételjük meg a kísérletet, hogy legalább 0,85 valószínűséggel a relatív gyakoriság a valószínűséget 0,02-nál jobban megközelítse? b) Milyen határok között várható ekkor azon esetek száma, amikor a minta tartalmaz selejtes elemet?
189. Egy 2000 elemű minta alapján a selejtarányt akarjuk becsülni. a) Legalább 0,9 valószínűséggel legfeljebb mekkora a becslés hibája? b) Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a becslés hibája legalább 0,05? 190. A tapasztalatok alapján egy bevásárlóközpontban minden ötödik vásárló 6000 Ft feletti összeget költ el. Egy adott napon 5000 fő vásárolt az üzletben. Határozzuk meg, hogy legalább 0,9 valószínűséggel milyen határok között várható a 6000 Ft feletti összegben költők száma az adott napon? 191. a) Legalább hányszor kell elvégezni a kockadobás kísérletét ahhoz, hogy a 3-nál kisebb szám dobásának valószínűségét a relatív gyakoriság legalább 0,85 valószínűséggel 0,01-nál jobban megközelítse? b) legalább 0,8 valószínűséggel milyen határok közé esik a 3-nál kisebb dobások száma, ha a kockadobás kísérletét 500-szor ismételjük meg? 192. Egy szövőgép 500 szállal dolgozik. Annak a valószínűsége, hogy egy szál egy meghatározott időtartam alatt elszakad: 0,008 minden szálra. Határozzuk meg, hogy legalább 0,95 valószínűséggel a) legfeljebb mekkora a szálszakadás relatív gyakoriságának az esemény valószínűségétől vett eltérése? b) milyen határok között várható a szálszakadások száma az adott időtartam alatt? 193. Egy vállalkozó tudja, hogy termékeinek csak 90%-a export minőségű. Az exportáló cég minőségi ellenőrzést végez egy tétel árun, és csak akkor fogadja el a tételt, ha legalább 88%-a minőségileg kifogástalan. Mekkora legyen a tételben a gyártmányok darabszáma, hogy legfeljebb 0,05 valószínűsége legyen annak, hogy a minőségileg kifogástalan termékek relatív gyakorisága a megfelelő valószínűségtől legalább 0,02-dal eltér?
XIII. Két összefoglaló, rendszerező feladat
59
XIII. KÉT ÖSSZEFOGLALÓ, RENDSZEREZŐ FELADAT 194.
a) b) c)
d) e) f)
g)
h)
195.
a)
b)
c)
Egy üzemben gépalkatrészeket gyártanak. Ezek élettartama a tapasztalatok alapján exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó 2 év várható értékkel. A kész alkatrészeket százasával dobozokba csomagolják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy gépalkatrész 2 hónapon belül tönkremegy? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a gépalkatrész a második negyedévben megy tönkre? Mennyi annak a valószínűsége annak, hogy egy gépalkatrész a harmadik negyedévben megy tönkre, feltéve, hogy az első félévben nem ment tönkre? Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5 db-ot kiválasztva az alkatrészek közül legalább három 2 hónapnál tovább működik? Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobozban a vártnál kevesebb gépalkatrész megy tönkre az első két hónapon belül? Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobozban azon gépalkatrészek száma, amelyek az első két hónapban tönkremennek, a várható értéket a szórás másfélszeresénél jobban megközelítik? Ha nem tudnánk (bár illenék), hogy milyen eloszlást követ az egy dobozban lévő azon alkatrészek száma, melyek élettartama 2 hónapnál kevesebb, de tudnánk, hogy várható értéke 8 és szórása 2,7, akkor milyen becslést adhatnánk az f) részben megfogalmazott esemény valószínűségére? Az a) részben megfogalmazott esemény valószínűségét akarjuk a relatív gyakorisággal becsülni. Hány gépalkatrész élettartamát vizsgáljuk, hogy a relatív gyakoriságból az esemény valószínűségét legalább 90%-ban 0,05-nál kisebb hibával közelítse? Egy üzemben gépalkatrészeket gyártanak. Ezek átmérője a tapasztalatok alapján 20 cm várható értékű és 0,8 mm szórású normális eloszlást követő valószínűségi változó. A gépalkatrészeket 50 db-os kiszerelésben árusítják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy selejtest gyártanak, ha egy alkatrészt selejtesnek tekintünk, ha átmérője a várható értéktől annak 1%-ánál nagyobb mértékben eltér? Adjon becslést a selejtgyártás valószínűségére, ha a gépalkatrészek átmérőjének, mint valószínűségi változónak az eloszlása nem ismert, de a várható értéke és szórása a fenti! Mennyi annak a valószínűsége, hogy 4 db-ot kiválasztva legalább három nem selejtes?
60 d)
e) f) g)
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok Legyen η a 4 db alkatrész között a nem selejtesek száma! Adja meg η eloszlását, várható értékét és szórását! Mit ad meg a következő kifejezés: F(M(η))? Fogalmazza meg szavakkal, majd számolja ki értékét! Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 50 db-os kiszerelésű csomagban a várható értéknél kevesebb gépalkatrész selejtes? Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobozban a selejtes alkatrészek száma a várttól legalább 2 db-bal eltér? Az f) részben számolással kapott valószínűséget tapasztalati tényekkel akarjuk megszilárdítani. Legalább hány darab doboz tartalmát kellene megvizsgálni, hogy az esetek legalább 70%-ában a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől az eltérése 0,01-nál kisebb legyen?
I. Kombinatorika Megoldások
61
I. KOMBINATORIKA Megoldások 1. a) 4!=24 A permutációk felírását a T. Olvasóra bízom. b) 3!=6 c) Minden permutációt vizsgáljunk olyan szempontból, hogy A előzi meg C-t, vagy fordítva! Minden olyan permutációhoz, amiben A előzi meg C-t, hozzá tudunk egyértelműen rendelni egy olyat, amiben C előzi meg A-t, mégpedig pontosan azt a permutációt, ami A és C helyének felcserélésével áll elő. Tehát az összes permutáció fele a kívánt tulajdonságú. Ez 12 eset. d) 3!⋅2=12 Amikor az egymás mellettiséget akarjuk biztosítani, akkor az összetartozó tagokat egy elemként szerepeltetjük tovább, mivel ők úgyis csak együtt mozgathatók, és külön vesszük fegyelembe azt, hogy egymással helyet cserélhetnek. e) (Ha a cég vezetője hívta meg a vendégeket ebédelni, akkor úgy illik, hogy velük tartson.) Kerek asztal esetén nem beszélhetünk "első hely"ről. Nekünk kell vonatkoztatási rendszert adni, mert amíg az első vendég le nem ül, addig minden hely egyenértékű. Legyen a vonatkoztatási rendszerünk kezdőpontja a cég vezetője. Mondhatjuk, hogy tőle jobbra haladva beszélünk első, második, harmadik, majd negyedik helyről. Erre a 4 helyre ültetjük le a 4 személyt. Ez összesen 4!-féleképpen lehet. Ne feledkezzünk meg azért arról, hogy 5 személy ül most az asztal mellett! f) 3!⋅2!=12. Ha B és D egymás mellett ül, akkor őket egy elemként szerepeltetjük. Öt fő helyett 4 elemmel számolunk. 4 elem kerek asztal köré 3!-féleképpen ülhet. Ha B és D helyet cserél, akkor szintén 3!féleképpen ülhetnek le együtt ebédelni. 2. a) 5!=120 b) Azt már ki tudjuk számolni, hány olyan eset van, amikor az Audi és a BMW egymás mellett lenne. Ha az összes permutációból kivonjuk a számunkra nem megfelelőket, akkor a kívánt eredményhez jutunk: 5!2⋅4!=72 eset c) 4!=24 eset, hiszen csak négy szabad helyünk van a négy megmaradt autó számára. A permutációk felírását a T. Olvasóra bízom. d) 5!/2=60 eset, hiszen az összes permutáció párba sorolható, ahol egy párt azon permutációk alkotják, melyek csak a két kitüntetett elem cseréjében különböznek egymástól.
62
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok e) 5!/5=4!=24 elhelyezés. Tekintsük az autók egy elhelyezését a kör kerületén! Minthogy a szerkezet forog, így az autóknak a nyugvó tárgyakhoz viszonyított helyzete nem jöhet számításba, csak egymáshoz viszonyított helyzetük számít. Ezért azok a sorrendek, amelyek a forgás során egymásba mennek át, nem tekinthetők különbözőnek. A kör mentén most öt elem van, így 5 olyan permutáció van, ami egymásban vihető. f) 4!-3!⋅2=12 elhelyezés lehetséges. Az összes lehetséges elhelyezések számából vonjuk ki azokat, amelyekben a két autó egymás mellé kerülne.
3. a) b) c) d) e) 4.
6!=720 6!-5!⋅2=480 5!=120 5!=120 5!-4!⋅2 =72
a) V126(i ) = 12 6 = 2985984 12 b) =924 6 4 8 c) ⋅ =420 2 4
5. a) 7! b) 7! A műsorvezetőhöz képest már lehet beszélni első, második,..., hetedik helyről, így a 7 főnek 7 különböző elhelyezéséről is. Persze arról se feledkezzünk meg, hogy nyolcan ülnek az asztal mellett! c) 7!-2⋅6!=3600 6. a) V64 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 6 6 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 b) = = = 15 Fogalmazzuk át a feladatot, miszerint ki 4 2 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 kell választani 4 főt a hat közül. Hányféleképpen tehetjük meg? Ahányféleképpen két főt nem választunk ki a hat közül tárgyalás céljából. 7. a) V75 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 =
7! = 2520 2!
I. Kombinatorika Megoldások
63
7 7 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 35 b) = = 4 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 7! c) V73 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = = 210 4!
8. 15 15 a) = = 3003 10 5 15! ≈ 1,09 ⋅ 1010 5! c) 7!⋅4!=120960 A 4 barátot egy elemként tekintjük, hiszen őket együtt mozgatjuk. A hat személyhez ők alkotják a hetedik elemet a permutációnál. A hét elem egy adott permutációjához 4! olyan elrendezés tarozik, ahol a barátok egymást közt cserélik a helyeket.
b) V1510 = 15 ⋅ 14 ⋅ ... ⋅ 6 =
9. a) V154 = 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 =
15! 15 = ⋅ 4! = 32760 11! 4
b) 32760⋅15=491400 10. 13 a) = 1287 5 6 7 b) = 525 2 3 6 7 6 7 6 7 c) + + = 756 2 3 1 4 0 5 11. 13! 13 a) V135 = = ⋅ 5! = 154440 8! 5 7 6 b) 7⋅6⋅6⋅5⋅5= ⋅ 3!⋅ ⋅ 2!=6300 3 2 13! 7! c) V135 − V75 = − = 151920 Az összes esetből kivonjuk azok számát, 8! 2 ! amikor a díjazottak közt nincs férfi, másképpen, amikor minden díjat nő kap.
64
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
5 d) ( 6 ⋅ 5)(7 ⋅ 6 ⋅ 5) = 63000 A binomiális együttható mutatja, hogy 2 hányféleképpen válaszható ki a két férfi helye a díjazási sorrendben. e) Nincs férfi a díjazottak között 7⋅6⋅5⋅4⋅3=2520 esetben. Egy férfi van a 5 díjazottak között (6)(7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4) = 25200 esetben, és két férfi van a 1 díjazottak között 63000 esetben. Ez összesen 90720 eset. (Ajánlom a T. Olvasónak, hogy a mintavételek után térjen vissza erre és azt ezt megelőző feladatra. Fedezze fel a kettő közti kapcsolatot és az esetleges különbséget, majd vonja le azt a következtetést, hogy visszatevés nélküli mintavételnél mindegy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére tekintettel vagyunk-e vagy sem, de a számolás sokkal egyszerűbb, ha nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére.) 6 15 8 18 6 15 8 18 12. = ≈ 4 ⋅ 108 5 10 6 15 1 5 2 3 13. 5 5 5 a) 2 5 = + +...+ = 32 . Már a felírás is kétféle gondolatmenetet 0 1 5 sugall, egy ismétléses variáción és egy kombináción alapulót. A variációra alapulónál onnan közelítünk, hogy az öt tag mindegyike kétféle lehet: "ti" vagy "tá" és természetesen számít az öt tag sorrendje. A kombináció felőli közelítés azt számolja össze, hány olyan jelsorozat van, amelyben nulla, pontosan egy, kettő, három, négy, ill. öt "ti" szerepel. Az esetek számlálásakor elegendő a "ti"-k helyét kiválasztani, a többi helyen úgyis "tá" van. 5 b) = 10 2 5 5 5 c) + + = 16 3 4 5 14. 32 32 32 a) 2 32 = + + ... + ≈ 4,3 ⋅ 10 9 Vagyis közel 4,3 milliárd fő. 0 1 32 Gondoltuk volna, hogy ennyire sok? Minden fognak két állapota van: megvan, vagy nincs. A másik megoldás az lehet, hogy összeszámoljuk a hiányzó fogak száma szerint az embereket.
I. Kombinatorika Megoldások 32 b) = 4960 3 32 32 32 c) + + = 529 0 1 2 15. 6 6 6 a) 2 6 = + +...+ = 64 0 1 6 6 b) = 15 2 6 6 c) + = 7 5 6 16. a) 36 = 729 6 b) ⋅ 12 ⋅ 2 4 = 240 2 6 6 c) ⋅ 15 ⋅ 2 1 + ⋅ 16 ⋅ 2 0 = 13 5 6 17. 7 7 7 a) 2 7 = + +...+ = 128 0 1 7 7 b) = 35 4 7 7 7 c) + + = 29 0 1 2 18. a) 4 7 = 16384 7 b) ⋅ 14 ⋅ 33 = 945 4 7 7 7 c) ⋅ 10 ⋅ 37 + ⋅ 11 ⋅ 36 + ⋅ 12 ⋅ 35 = 12393 0 1 2
65
66
Nagyné Csóti Beáta: Valószínőségszámítási feladatok
19.
20.
15 11 6 15! = 630630 Itt szintén két megoldást ötvöz a = 4 5 6 4!⋅ 5!⋅ 6! felírt kifejezés. Az elsı szerint kiválasztottuk az elsı szintre a majdan ott lakó 4 családot, a megmaradtak mentek egy emelettel feljebb, ott belılük ötöt választottunk, a maradék hat egyértelmően birtokba vehette a harmadik szintet. A második elképzelés szerint az osztozkodás történhetett papíron. A lakók listáján elég a számokat a családok mellé írni. 4 helyre egyest, 5 helyre kettest és hatra hármast. Az összes különbözı sorrendjüket az ismétléses permutációval határozhatjuk meg. 12 9 5 12 ! = 27720 = 3 4 5 3!⋅ 4!⋅ 5!
21. 12 a) 12⋅11⋅10⋅9= ⋅ 4! =11880 4 12 8 5 4 3 12 9! 12! b) = = = 554400 4 3 1 1 3 4!⋅ 3!⋅ 3! 9 4!⋅ 3! 7 5 8 5 4 c) = 235200 2 2 3 1 1 22. a) 2!⋅3!=12 b) 2!⋅5!=240 c) 5⋅4=20 23. 12 8 a) =34650 4 4 b) 12!=479001600 c) 5!⋅7!=604800 d) 10! ⋅2!=7257600 4 13 24. = 10296 2 6 25. 10 12! 10! 12 ⋅ = ⋅ 5!⋅ ⋅ 5! ≈ 3 ⋅ 109 a) V125 ⋅ V105 = 7! 5! 5 5
I. Kombinatorika Megoldások
67
12 10 8 6 4 12 10 10! ⋅ ⋅ 5! b) ⋅ 10 ⋅ ⋅ 9 ⋅ ⋅ 8 ⋅ ⋅ 7 ⋅ ⋅ 6 = ⋅ 2 2 2 2 2 10 2!⋅ 2!⋅ 2!⋅ 2!⋅ 2! 5 12 10 c) = 59400 4 3 12 10 5 d) 12⋅11⋅10⋅10⋅9= ⋅ 5!=1188000 3 2 2 26. a) 4⋅4⋅2⋅6=192 b) A "van hármasnál kisebb dobás" ellentétes eseménye az, hogy "nincs hármasnál kisebb" másképpen "minden dobás legalább 4 4 hármas". 6 − 4 = 1040 c) 2 3 ⋅ 4 = 32 27. a) 205 b) 4 2 ⋅ 16 3 = 65536 5 c) ⋅ 4 2 ⋅ 16 3 = 655360 2 28. 4 7 a) =210 2 4
4 7 4 7 4 7 b) + + = 371 2 4 3 3 4 2 4 7 4 7 4 7 c) + + =301 0 6 1 5 2 4 29. a) 26 3 ⋅ 10 3 = 17576000 3 b) 212 ⋅ 51 ⋅10 3 =6615000 2 c) 26 3 ⋅ 10 3 − 26 3 ⋅ 53 =15379000 3 5 30. = 30 A két csapat csak úgy állhat össze, ha egyikben kettő, a 2 2 másikban egy fiú van. Elég az egyik csapatot megalkotni, a másikat a maradékok alkotják.
68
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
31. 52 a) = 2598960 5 52 b) ⋅ 5!≈ 3,11875 ⋅ 10 8 5 8 51 c) ⋅ 4! =47980800 Először a kritikus helyre jelöljünk ki a szóba 1 4 jöhetők közül egyet! Ő már máshol nem lehet szekcióelnök, de az összes többi még igen, közülük választunk négyet, majd sorba rendezzük őket. 32. a) 54 = 625 Mind a négy diák ötféle jegyet kaphat egymástól függetlenül. 4 b) ⋅ 4 2 =96 2 4 c) ⋅ 2 3 ⋅ 31 =96 3 4 4 4 d) ⋅ 30 ⋅ 2 4 + ⋅ 31 ⋅ 2 3 + ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 =328 0 1 2 33. a) 313 =1594323 13 b) ⋅111 ⋅ 2 2 =312 11 13 13 13 c) ⋅ 111 ⋅ 2 2 + ⋅ 112 ⋅ 21 + ⋅ 113 ⋅ 2 0 =339 11 12 13
13 d) ⋅ 15 ⋅ 28 =329472 5 13 13 13 e) ⋅10 ⋅ 213 + ⋅11 ⋅ 212 + ... + ⋅15 ⋅ 2 8 = 0 1 5 f) 313 − 213 = 1586131 13 13 13 13 g) ⋅ 2 0 ⋅113 + ⋅ 21 ⋅112 + ⋅ 2 2 ⋅111 + ⋅ 2 3 ⋅110 0 1 2 3 34.
I. Kombinatorika Megoldások
69
30 27 16 12 30! = Készítsünk egy listát, ahol a 30 fő 3!⋅11!⋅4!⋅7!⋅5! 3 11 4 7 neve szerepel, pl. névsorban! Mindegyik alá írjuk azt a számot, ahányas javaslatra adta le a voksát. A papíron 3 db egyes, 11 db kettes, 4 db hármas, 7 db négyes és 5 db ötös lesz valamilyen sorrendben. Ezeknek a számoknak a különböző sorrendjei mind más-más voksolások eredményei. Az összes sorrendjét permutációval kapjuk, és mivel vannak ismétlődő elemek, a neki megfelelő képletet használhatjuk. 30 20 15 b) ⋅ 2 6 10 5 9 a)
35. 36.
64 ⋅ 94
10 a) ⋅ 3!= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 3 b) 310 10 8 6 c) 2 2 2 37. 8 10 7 a) 2 2 2 b) 3!⋅2 3 =48 38. 10 15 a) 2 3 25 17 b) − 5 5 7 18 7 18 7 18 c) + + 0 5 1 4 2 3
70
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
II. Eseményalgebra Megoldások
71
II. ESEMÉNYALGEBRA Megoldások 39. a) A ∩ B ∩ C b) A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C c)
( ) ( ) ( ) ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
d) A ∪ B ∪ C e) A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ ( A ∩ B ∩ C ) f)
( ) ( ) ( ) ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)
g) A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C 40. a) Legfeljebb egy részvény árfolyama nőtt. Kettőnél kevesebb részvény árfolyama nőtt. Legalább két részvény árfolyama nem nőtt. Egynél több részvény árfolyama nem nőtt. b) Legfeljebb két részvény árfolyama csökkent. Legalább egy részvény árfolyama nem csökkent. Van olyan részvény, aminek nem csökkent az árfolyama. Nem mind a három részvény árfolyama csökkent az adott napon. c) Nincs olyan részvény, aminek az árfolyama nem csökkent. Mindegyik részvény árfolyama csökkent. d) Legalább két részvény árfolyama nem nőtt. Legfeljebb egy részvény árfolyama nőtt. 41. a) A ∩ B ∩ C b) B c) A ∩ B ∩ C d) A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C
(
) (
) (
)
e) A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C f) A ∪ B ∪ C g) A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ ( A ∩ B ∩ C )
(
h)
) ( ) ( A ∩ ( B ∩ C) = A ∩ ( B ∪ C)
i)
B∩C
)
72
Nagyné Csóti Beáta: Valószínőségszámítási feladatok j) Nem teljesül, hogy mindhárom helyrıl pontosan érkezik a szállítmány. Legalább egy helyrıl nem érkezik pontosan a szállítmány. Legfeljebb két helyrıl érkezik pontosan a szállítmány. A∪ B∪C = A∩ B∩C ∪ A∩ B∩C ∪ A∩ B∩C ∪
( ) ( ) ( ) ∪( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
k) Legalább két helyrıl pontosan érkezik a szállítmány. A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ ( A ∩ B ∩ C)
(
) (
) (
)
l) Itt is elıször az átalakítás ajánlott, majd ennek nyelvi megfelelıjének megfogalmazása A ∩ B ∪ A ∩ C ∪ B ∩ C =
( ) ( ) ( ) = ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
Legalább két helyrıl nem érkezik meg pontosan a szállítmány. Legfeljebb egy helyrıl érkezik pontosan a szállítmány. m) Van olyan szállítmány, amelyik pontosan érkezik. ( A ∩ B ∩ C) ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪
(
) ( ) ( ∪( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
)
n) Nem teljesül, hogy van pontosan érkezı szállítmány. Másképpen: egyik szállítmány sem érkezik pontosan, vagyis mindhárom késik. A∩ B∩C 42. a) B = A1 ∩ A2 ∩ A3 = A1 ∪ A2 ∪ A3 b) C = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
(
) (
) (
c) D = A1 ∪ A2 ∪ A3
) (
d) E = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
(
) (
) (
e) F = A1 ∩ A2 ∩ A3 f) Ez biztos esemény. g) G = A2 ∩ A1 ∩ A2 ∩ A3 = h) i) j) k)
(
) (
)
(
)
)
)
= A2 ∩ A2 ∩ A1 ∩ A3 = ∅ ∩ A1 ∩ A3 = ∅ . Lehetetlen esemény. H: legalább kétfajta kenyérbıl 10 kg-nál több marad az üzletben. I: mindhárom fajta kenyérbıl 10 kg-nál több marad az üzletben. lsd. f) és g) részt! Az F és az I esemény elemi esemény. Mindegyik esemény maga után vonja a biztos eseményt. A C esemény maga után vonja B eseményt.
II. Eseményalgebra Megoldások
73
E esemény maga után vonja B, D és H eseményt is. F maga után vonja D-t és H-t. H esemény maga után vonja D eseményt. I=F, így ugyanaz vonatkozik I-re is, mint F-re. l) B és F teljes eseményrendszer alkot például, mert egyike sem lehetetlen, egymást kizáróak és összegük a biztos esemény. C és H események is teljes eseményrendszert alkotnak. m) B és H események nem egymást kizáróak, szorzatuk nem elemi esemény és egyik sem vonja maga után a másikat. Nincs olyan két esemény, amelyek egymást kizáróak, szorzatuk elemi esemény és egyik sem vonja maga után a másikat. 43. a) b) c) d) e) 44. a) b) c) d) e) f)
Legfeljebb egy gyártmányban találtak kivetnivalót. Lehetetlen esemény. legalább egy és legfeljebb öt gyártmányban találtak kivetnivalót. Biztos esemény. Ai és A j ( i ≠ j ) események egymást kizárják.
Legfeljebb egy jelentkezıt vél a képviselı igényeiknek megfelelınek. Legfeljebb két jelentkezıt vél a képviselı igényeiknek megfelelınek. Legfeljebb öt jelentkezıt vél a képviselı igényeiknek megfelelınek. Egy jelentkezıt sem talál alkalmasnak a képviselı. Ai maga után vonja A j eseményt, ha i<j. A3 ∩ A2
45. a) A tanács nem szavazza meg a harmadik javaslatot. b) A tanács legalább egy javaslatot nem szavaz meg. Van olyan javaslat, amit a tanács nem szavaz meg. Nem minden javaslatot szavaz meg a tanács. c) A tanács nem szavazza meg sem a második, sem a harmadik javaslatot d) A tanács az elsı két javaslatot megszavazza. e) Lásd b) résznél. f) A1 ∪ A2 ∪ A3 g) A1 ∩ A2 ∩ A3 h)
(A ∩ A 1
2
∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
) (
) (
)
74
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
46. a) H = {( j , m); ( j , k ); ( s, m); (s, k )} (j: a termék jó, s: a termék selejtes, m: a terméket megtartják, k: a terméket kidobják) b) A minőségi ellenőr akkor végzi jól a munkáját, ha a selejtes terméket kidobja, a jó terméket pedig megtartja. Formálisan: ( A ∩ B) ∪ A ∩ B .
(
)
c) Az ellenőr kétféle hibát véthet: selejtes alkatrészt nem dob ki, ill. jó alkatrészt kidob. A∩ B ∪ A∩ B
(
47. a)
) (
(A ∩ A 1
2
)
) (
) (
∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
)
b) A1 ∩ A2 ∩ A3 = A1 ∪ A2 ∪ A3 c) Legalább egy pénztárgéphez érkezik vásárló: A1 ∪ A2 ∪ A3 d)
(A ∩ A 1
2
∩ A3
)
e) Legalább két pénztárhoz érkezik vásárló: A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ ( A1 ∩ A2 ∩ A3 )
(
) (
) (
)
48. a) A0 a biztos esemény. b) Nem szerepel lehetetlen esemény a felsoroltak közt. c) Ai +1 maga után vonja Ai eseményt minden i-re. d) A5 ∩ A8 = A8 , A4 ∪ A7 = A4 , A6 ∩ A9 = B, A3 ∪ A6 = H . A B esemény akkor következik be, amikor 6,7 vagy 8 igen válasz van a kérdőíven. e) A6 ∩ A7 f) Nem alkotnak teljes eseményrendszer, hiszen nem egymást páronként kizáró események.
III. A valószínűségszámítás klasszikus képlete Megoldások
75
III. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KLASSZIKUS KÉPLETE Megoldások 49. a) b)
c)
d) e) f)
50. a) b) c) d) 51. a)
2 9 Összes lehetséges kimenetel száma: 8. Ha az egyik telefonnál állunk, akkor már csak 8 másik áll rendelkezésünkre ezután. Kedvező esetek száma: 1. Ha egy nem üzemképes telefonnál állunk, akkor már csak egy nem üzemképes telefon áll rendelkezésre. Az esemény valószínűsége: 0,125. Mivel ez biztos esemény, valószínűsége: 1. Ha két üzemképtelen telefont már kipróbáltunk, akkor további üzemképtelen telefont már nem tudunk választani, mert csak kettő volt. Így tehát biztos, hogy tudunk harmadik próbálkozásra telefonálni. 7 9 2⋅7 7 = 9 ⋅ 8 36 7 2 ⋅ 7 35 1 + = = 1− 9 9 ⋅ 8 36 36 A fenti összefüggésből alapján érdemes a megoldást az ellentétes esemény valószínűsége segítségével is végiggondolni. A c) részben láttuk, hogy legfeljebb három próbálkozásra sikerül telefonálnunk. A biztos eseményt tehát így is megfogalmazhatjuk. A feladatbeli esemény ellentétes eseménye pedig abban áll, hogy pontosan a harmadik próbálkozásra sikerül telefonálni. 2 ⋅1⋅ 7 1 Ennek valószínűsége: = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 36 1/6 4/6 3/6 2/6 6⋅5 5 1 = = 1− 6⋅6 6 6 A felírt összefüggés megint azt sejteti, talán az ellentétes esemény valószínűségének meghatározásából is célszerű lenne a kérdéses esemény valószínűségét megadni.
76
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
b) c) d)
Az ellentétes esemény: a két kockával ugyanazt az értéket dobjuk. 6 ⋅1 1 = Ennek valószínűsége: 6⋅6 6 1 1 = 6 ⋅ 6 36 4⋅4 4 = 6⋅6 9 Ezen az egyszerű feladaton keresztül végigkísérhetjük, hányféle módon számolhatjuk ki két esemény összegének a valószínűségét. megoldás I. Legyen A az az esemény, hogy az első dobás hármas, és B az az esemény, hogy a második dobás hármas! 1 ⋅ 6 6 ⋅ 1 1 ⋅ 1 11 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = + − = 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 II. megoldás Az összegeseményt felírjuk egymást páronként kizáró események összegeként. A valószínűség additív tulajdonsága szerint: P( A ∪ B ) = P A ∩ B + P A ∩ B + P( A ∩ B ) = 1 ⋅ 5 5 ⋅ 1 1 ⋅ 1 11 = + + = 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 III. megoldás Az ellentétes esemény valószínűségéből következtessünk az összegesemény valószínűségére! 5 ⋅ 5 11 P( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B = 1 − P A ∩ B = 1 − = 6 ⋅ 6 36 Felhasználtuk a De Morgan azonosságot, amikor az összegesemény ellentétes eseményét felírtuk az ellentétes események szorzataként. Szavakkal megfogalmazva: az, hogy nem teljesül, hogy legalább az egyik kockával hármast dobunk azt jelenti, hogy egyik kockával sem dobunk hármast. Kövessük nyomon a d) részben vázolt három megoldási módot ezen a feladaton! Legyen A az az esemény, hogy az első kockával legalább hármast dobunk, és B az az esemény, hogy a második kockával legalább hármast bobunk! 4 ⋅ 6 6 ⋅ 4 4 ⋅ 4 32 8 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = + − = = 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 9 P( A ∪ B ) = P A ∩ B + P A ∩ B + P( A ∩ B ) =
(
) (
(
e)
(
)
)
) (
(
)
)
III. A valószínűségszámítás klasszikus képlete Megoldások =
4 ⋅ 2 2 ⋅ 4 4 ⋅ 4 32 8 = = + + 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 9
77
2 ⋅ 2 32 8 = = 6 ⋅ 6 36 9 f) Kövessük nyomon a d) részben vázolt három megoldási módot ezen a feladaton is! Legyen A az az esemény, hogy az első dobás legfeljebb kettes, és B az az esemény, hogy a második dobás legfeljebb kettes! 2 ⋅ 6 6 ⋅ 2 2 ⋅ 2 20 5 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = + − = = 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 9 2⋅4 4⋅2 2⋅2 5 P( A ∪ B ) = P A ∩ B + P A ∩ B + P( A ∩ B ) = + + = 6⋅6 6⋅6 6⋅6 9 4 ⋅ 4 20 5 = = P( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B = 1 − P A ∩ B = 1 − 6 ⋅ 6 36 9 g) A legfeljebb egyik kockán van hatos úgy is megfogalmazható, hogy pontosan egy kockán van hatos, vagy egyik kockán sincs hatos. Ilyen átfogalmazással a feladat megoldása: Legyen A az az esemény, hogy az első kockával hatost dobunk, és B az az esemény, hogy a második kockával hatost dobunk! 1 ⋅ 5 5 ⋅ 1 5 ⋅ 5 35 + + = P A∩ B + P A∩ B + P A∩ B = 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 Vegyük észre, hogy ez az A és B események összegének valószínűsége! Szavakkal: legalább az egyik kockán nincs hatos. Próbálkozzunk az eredeti esemény még egy átfogalmazásával: nem teljesül, hogy mindkét kockával hatost dobunk. Tehát az ellentétes esemény valószínűségét számoljuk ki, és abból következtessünk az eredeti esemény valószínűségére! 1 ⋅ 1 35 1 − P( A ∩ B ) = 1 − = 6 ⋅ 6 36 A gyakorlás kedvéért lássuk be, hogy ez szintén A és B események összegének valószínűsége! 1 − P( A ∩ B ) = P A ∩ B = P A ∪ B
(
)
(
)
)
(
)
) (
)
P( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B = 1 − P A ∩ B = 1 −
(
) (
(
(
) (
(
)
)
(
)
h) Legyen A az az esemény, hogy az első kockával dobunk 6-nál kisebbet, és B azt, hogy a második kockával dobunk 6-nál kisebbet! Kövessük a g) feladat gondolatmenetét végig ezen a feladaton! Legfeljebb egy kockán van hatnál kisebb azt jelenti, hogy pontosan egyik kockán van hatnál kisebb, vagy egyiken sincs 6-nál kisebb.
78
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok 5 ⋅ 1 1 ⋅ 5 1 ⋅ 1 11 + + = 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 6 ⋅ 6 36 Fogalmazzuk meg az ellentétes eseményt! Mindkettő kockával 6-nál kisebb számot dobunk. 5 ⋅ 5 11 = 1 − P( A ∩ B ) = 1 − 6 ⋅ 6 36 Vegyük észre, hogy most is A és B események összegének valószínűségét adtuk meg. Az elkövetkezőkben még fontos lehet, ha úgy is meg tudjuk fogalmazni azt az eseményt, hogy "legfeljebb egy kockán van 6-nál kisebb", hogy "legalább egy kockán van a kettő közül legalább hatos". i) Az "A" játékos akkor és csak akkor nyer, ha a kék kocka többet mutat, mint a piros. A kedvező esetek számának megadásához meg kell határozni, hányféleképpen tudunk a 6 különböző elemből kiválasztani kettő különbözőt úgy, hogy az második szám nagyobb az elsőnél. Ez a feladat arra analóg, amikor n különböző elemből képeztünk k-tagú szigorúan monoton sorozatokat. Lásd: Tehát kiválasztjuk a két különböző elemet sorrendre való tekintet nélkül, majd mi állítjuk a két elemet egyértelműen nagyságrendi sorrendbe. 6 2 15 5 A megoldás tehát: = = 36 36 12 Célravezető az a mód is, amikor összeszámoljuk a lehetséges párokat: (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,3);...(5,6). Úgy is gondolkodhatunk, hogy ugyanannyiszor mutathat a piros kocka többet a kéknél, mint fordítva. 6 olyan eset van, amikor a piros és kék kocka ugyanannyit mutat. Ebből a kérdéses valószínűség: 36 − 6 2 = 15 36 36 j) Az "A" játékos 2 Ft-ot nyer, ha a kék kocka kettővel nagyobbat mutat, mint a piros. A kedvező esetek összeszámlálásához elég a piros kockával való dobási lehetőségeket számba venni, mivel ezzel a kék kockán levő érték már egyértelműen meghatározott. A piros kockával való dobási lehetőségek: 1,2,3,4. 4 1 = Az esemény valószínűsége: 36 9
(
) (
) (
)
P A∩ B + P A∩ B + P A∩ B =
III. A valószínűségszámítás klasszikus képlete Megoldások
79
k) B játékos 2 Ft-ot nyer 4/36 valószínűséggel, 3 Ft-ot nyer 3/36 valószínűséggel, 4Ft-ot 2/36 valószínűséggel és 5Ft-ot 1/36 valószínűséggel. B játékos legalább 2Ft-ot 10/36 valószínűséggel nyer. 52. 6 ⋅1⋅1⋅1⋅1 1 = 4 = 0,0008 a) 6⋅6⋅6⋅6⋅6 6 6 5! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 = 5 = 0,0926 b) 6⋅6⋅6⋅6⋅6 6 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 1 ⋅ 54 c) = 5 = 0,0804 6⋅6⋅6⋅6⋅6 6 5 1 ⋅ 4! 4 1⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 d) = = 0,0154 6⋅6⋅6⋅6⋅6 65 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5+...+5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1 5 ⋅ 54 e) = 5 = 0,4019 6⋅6⋅6⋅6⋅6 6 5 2 3 ⋅1 ⋅ 5 1 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 1 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 5 + ... + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ 1 2 f) = = 65 65 2 3 5 1 5 = = 0,1608 2 6 6 A számláló első tagja azt adja meg, hányféleképpen lehet az öt dobás között pontosan az első két dobás egyes. A második tagja azon esetek száma, amikor pontosan az első és a harmadik dobás az egyes, stb. A számlálónak annyi tagja van, ahányféleképpen az 5 hely közül ki tudjuk választani a két darab egyes dobás helyét. Észre kell vennünk azt is, hogy minden tag egyenlő. A többi átalakítás már célirányos volt, hogy további tanulmányaink során visszautalhassunk, hogy ebben a feladatban egy 5 hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozatról volt szó, ahol azt vizsgáltuk, hogy hányszor következik be az 1/6 valószínűségű egyes dobás az 5-ször, egymástól függetlenül megismételt kísérlet során. 5 2 ⋅1 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 1 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 3+...+5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 2 g) = = 0,0772 65 65 h) A megoldásnál kövessük az f) feladat gondolatmenetét!
80
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
5 2 3 ⋅ 2 ⋅ 4 2 3 5 2 4 2 = = 0,3292 65 2 6 6 i) Ha legalább kettő 3-nál kisebb dobás van, akkor a 3-nál kisebb dobások száma vagy pontosan 2, vagy pontosan 3, vagy pontosan 4, vagy pontosan 5. Tehát az összegesemény valószínűsége a valószínűség additív tulajdonsága alapján: 2 3 3 2 4 1 5 0 5 2 4 5 2 4 5 2 4 5 2 4 + + + =0,5391 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 A végeredmény megadása elég hosszadalmas számolgatást igényel. Juthatunk-e hamarabb eredményhez, ha más megoldási módot választunk? Fogalmazzuk meg, miben áll az ellentétes esemény! Legfeljebb egy darab háromnál kisebb dobásunk van az öt dobás között. Az esemény valószínűsége az ellentétes esemény valószínűségének felhasználásával: 5 2 0 4 5 5 2 1 4 4 1 − + = 0,5391 . 1 6 6 0 6 6 53. 8! a) = 0,0111 10! 2 ⋅ 9! b) = 0,2 10! 54. 6!⋅ 6! a) = 0,0011 12 ! b) 0,0011. Lásd az a) rész megoldását! A kedvező esetek összeszámlálásánál kezdhetjük a számunkra fontos helyeken szereplő elemek elhelyezésével. Itt például az utolsó helyeken kezdjük a számolást. 7 ⋅ 6!⋅ 6! c) = 0,0076 Az I. osztályú vázák 7-féleképpen helyezkedhetnek 12! el attól függően, hogy hány váza előzi meg őket a sorban. d) 5/12 55. 2 ⋅ 9! a) = 0,2 10!
2 5 ⋅ 5! b) = 0,0011 10!
IV. Mintavételek Megoldások
81
IV. MINTAVÉTELEK Megoldások 56.
18 ⋅ 12 12 = = 0,7059 18 ⋅ 17 17 A kedvező eseteket számoljuk össze a következő módon: az első jégkrémet 18-féleképpen választhatjuk, a második jégkrémet más csak a kiválasztottól különböző fajtájúból lehet választanunk. Különböző fajtájúból 12 db van. Másképpen: Válasszuk ki, melyik két fajta jégkrémből veszünk, majd az egyik fajtából is, másik fajtából is vegyünk egyet-egyet! 3 6 6 ⋅ ⋅ 2 1 1 12 = = 0,7059 17 18 2 b) Válasszuk ki, melyik fajtából kérünk, majd vegyünk abból kettő darabot! 3 6 ⋅ 1 2 5 = = 0,2941 17 18 2 Lehet úgy is gondolkodni, hogy az elsőt tetszőlegesen kiválasztjuk, a másodikat akkor már csak az abból a fajtából maradt 5 db-ból választhatjuk. 18 ⋅ 5 5 = = 0,2941 18 ⋅ 17 17 c) Legalább egy epres jégkrém választása pontosan egy, vagy pontosan kettő epres választását jelenti. 6 12 6 12 12 ⋅ + ⋅ 1 1 2 0 2 = 0,5686 1 − = 0,5686 18 18 2 2 Az ellentétes esemény (nem választunk epres jégkrémet) valószínűségével kifejezve:
a)
82
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
6 12 ⋅ 1 1 = 0,4706 d) 18 2 57. 63 a) = 0,2647 Ennél a megoldásnál nem voltunk tekintettel a 18 3 kiválasztott jégkrémek sorrendjére sem a kedvező esetek összeszámlálásánál, sem az összes lehetséges kimenetel számának megadásánál. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a kiválasztás sorrendjére is tekintettel vagyunk: 18 ⋅ 12 ⋅ 6 = 0,2647 18 ⋅ 17 ⋅ 16 A számláló is és a nevező is 3!-szorosára bővül. A lényeg az, hogy ne feledkezzünk meg arról, hogy ha a kedvező esetek összeszámlálásánál figyelembe vesszük a kiválasztott elemek sorrendjét, akkor az összes lehetséges kimenetel számolásánál is vegyük figyelembe. 6 3⋅ 3 18 ⋅ 5 ⋅ 4 b) = = 0,0735 18 ⋅ 17 ⋅ 16 18 3 c) a b) részben szereplő esemény ellentétes eseményének valószínűségét kell megadni: 0,9265. d) Legfeljebb kétfajta jégkrémből veszünk az ellentétes eseménnyel megfogalmazva: nem teljesül, hogy mindhárom jégkrémből veszünk. Ez az a) részben megfogalmazott esemény ellentétes eseménye. Valószínűsége: 0,7353. 6 12 ⋅ 2 1 180 e) = = 0,2206 816 18 3 f) Ha legfeljebb két csokoládés jégkrémet választunk, akkor csak az nem lehet, hogy három csokoládést választunk.
IV. Mintavételek Megoldások
83
6 3 = 0,9755 Valószínűsége: 1 − 18 3 58. a) N=20, M=8 selejtesek száma, N-M=12 a nem selejtesek száma, n=6, k=1,2,3,4,5,6, azaz csak 0 nem lehet. 8 12 0 6 p1 + p 2 + ... + p 6 = 1 − p 0 = 1 − =0,9762 20 6 8 12 8 12 8 12 3 3 4 2 6 0 b) p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = + + ... + =0,4551 20 20 20 6 6 6
c)
8 12 8 12 8 12 0 6 1 5 2 4 p 0 + p1 + p 2 = + + ... + =0,5449 20 20 20 6 6 6
59. N=40, 6 a selejtesek száma, 34 a nem selejtesek száma, n=7. a) M=6 selejt M/N=6/40=0,15 a selejtarány és k=3. 7 p3 = ⋅ 0,15 3 ⋅ 0,85 4 =0,0617 3 b) M=34 nem selejt M/N=0,85 a nem selejtesek aránya és k=2. 7 p 2 = ⋅ 0,85 2 ⋅ 0,15 5 =0,0012 2 c) M=6 selejt és k=0,1,2. 7 7 7 p 0 + p1 + p 2 = 0,15 0 ⋅ 0,85 7 + 0,151 ⋅ 0,85 6 + 0,15 2 ⋅ 0,855 =0,9262 0 1 2
d) M=34 nem selejt M/N=0,85 a nem selejtesek aránya és k=4,5,6,7. 7 7 7 p 4 + p 5 + ... + p 7 = 0,85 4 ⋅ 0,153 + 0,855 ⋅ 0,15 2 + ... + 0,857 ⋅ 0,15 0 = 4 5 7 =0,9879
e) M=6 selejt M/N=0,15 a selejtarány k<7*0,15=1,05.
84
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok 7 7 p 0 + p1 = 0,15 0 ⋅ 0,85 7 + 0,151 ⋅ 0,85 6 =0,7166 0 1
f) M=34 nem selejt M/N=0,85 selejtarány, k>7*0,85=5,95 7 7 p 6 + p 7 = 0,85 6 ⋅ 0,151 + 0,85 7 ⋅ 0,15 0 =0,7166 6 7
60.
N=12, 5 fiú és 7 lány, n=6
7 5 7 5 1 5 2 4 a) M=7, k=0,1,2 p1 + p 2 = + =0,1212 12 12 6 6 7 5 3 3 b) M=7, k=3 p 3 = =0,3788 12 6 5 7 0 6 c) M=5, k=0 p 0 = =0,0076 12 6
d) lehetetlen esemény, valószínűsége 0. 61. a) b) c)
N=48, p=0,25 hamisítványok részaránya a teljes halmazban, n=7 p=0,25 hamisítvány részaránya, k=3, p3=0,1730 p=0,75 eredetiek részaránya, k=5, p5=0,3115 p=0,75 eredeti részaránya, k=1,2,3,4,5,6,7 azaz csak 0 nem lehet 1- p0=0,9999 d) p=0,75 eredetiek részaránya, k csak 7 nem lehet, 1-p7=1-0,1335 e) p=0,75 k>5,25 p6+p7=0,4449 f) p=0,25 k<1,75 p0+p1=0,4449
62. a) b) c) d)
N=75 20%-a I. osztályú, 80%-a II. osztályú, n=10 0,2013 0,0881 0,9991 nem mind I. osztályú, a valószínűség közel 1.
IV. Mintavételek Megoldások
63.
64.
85
5 85 k 5 − k pk = k=0,1,2,3,4,5 90 5 32.801517 . 10123925 p0 = = 0,7463496 p1 = = 0,2303548 43.949.268 43.949.268 987700 35700 p2 = = 0,0224736 p3 = = 0,0008123 43.949.268 43.949.268 425 1 p4 = = 0,00000967 p5 = = 0,00000002 43.949.268 43.949.268 5 85 5 85 5 5 1 k5− k k 5 − k pk = ∑ = 1− ∑ = 0,0232956 ∑ 90 90 k =2 k =2 k =0 5 5
65. 5 15 3 5 30030 a) = = 0,2384 125970 20 8 b) A legfeljebb 3 hibás lakásba költözés azt jelenti, hogy legalább 5 hibátlan lakásba költöznek be. Mivel 5 hibátlan lakás van, ezért a legalább 5 hibátlan lakásba költözés most csak pontosan 5 hibátlan lakásba költözésként jöhet szóba. Ennek valószínűsége: 15 5 3 5 455 = = 0,0036 125970 20 8 c) A 8 lakás 25%-a 2 lakás. 15 5 6 2 50050 = = 0,3973 125970 20 8 66. Visszatevés nélküli mintavétellel
86
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok 5 25 5 25 4 4 k 4 − k 0 4 pk = ∑ = 1− = 0,5384 ∑ 30 30 k =1 k =1 4 4 Visszatevéses mintavétellel: 4− k k 0 4 4 4 4 4 5 25 4 5 25 5 p = = − = − = 0,5177 1 1 ∑ ∑ k 30 6 0 30 30 k =1 k =1 k 30 a) Visszatevés nélküli mintavétellel: 5 25 5 25 5 25 5 5 k 8 − k 0 8 1 7 pk = ∑ = 1− − = 0,4046 ∑ 30 30 30 k =2 k =2 8 8 8 A mintában a selejtesek száma maximálisan 5 lehet! Az összegzésnek csak 4 tagja van! Visszatevéses mintavétellel: k 8− k 8 8 8 5 25 p = = ∑ ∑ k k =2 k = 2 k 30 30 0 8 1 7 8 5 25 8 5 25 1 − − = 0,3953 0 30 30 1 30 30 Itt már lehet a mintában akár nyolc selejt is - annak ellenére, hogy csak 5 selejtes termék van - hiszen minden húzás előtt visszatesszük az előtte kiválasztott terméket. Mindkét fajta mintavételezés esetén annak nagyobb a valószínűsége, hogy a 4 elemű mintában van selejtes termék.
67.
18 utas nem kötött biztosítást és 12 utas kötött. A kitüntetett tulajdonság legyen az, hogy valaki kötött biztosítást. 12 18 3 2 220 ⋅ 153 a) p3 = = = 0,2362 142506 30 5
IV. Mintavételek Megoldások
87
12 18 12 18 12 18 3 2 4 1 5 0 b) p3 + p 4 + p5 = + + = 0,3043 30 30 30 5 5 5 12 18 5 0 792 c) 1 − p5 = 1 − = 1− = 0,9944 142506 30 5 12 18 12 18 5 5 k 5 − k 0 5 d) ∑ p k = ∑ = 1− = 0,9399 30 30 k =1 k =1 5 5 e) Legalább hárman nem kötöttek biztosítást. Ez úgy is fogalmazható, hogy legfeljebb ketten kötöttek biztosítást. 12 18 12 18 12 18 12 18 2 2 k 5 − k 0 5 1 4 2 3 pk = ∑ = + + = 0,6957 ∑ 30 30 30 30 k =0 k =0 5 5 5 5 68.
Először a visszatevés nélküli mintavételhez tartozó eredmények szerepelnek, majd őket követik a visszatevéses mintavételhez tartozó eredmények. A kitüntetett tulajdonság legyen az, hogy egy termék I. osztályú! 18 7 18 7 6 6 k 6 − k 0 6 7 a) ∑ pk = ∑ = 1− = 1− = 0,99996 177100 25 25 k =1 k =1 6 6
k 6− k 0 6 6 18 7 6 18 7 pk = ∑ = 1 − = 0,9995 ∑ 25 0 25 25 k =1 k =1 k 25 b) Ha pontosan kettő nem I. osztályú termék van a mintában, akkor pontosan 4 db I. osztályú termék van a mintában. 6
6
88
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok 18 7 4 2 3060 ⋅ 21 p4 = = = 0,3628 177100 25 6 4
2
6 18 7 p4 = = 0,3160 4 25 25 c) A mintának legalább a fele nem I. osztályú azt jelenti, hogy legfeljebb a fele I. osztályú. Hasonlítsuk össze a kétféle felírást a részletesen kiírt összeggel! 18 7 7 18 3 3 6 6 k 6 − k l 6 − l pk = ∑ = ∑ pl = ∑ ∑ 25 25 k =0 k =0 l =3 l =3 6 6 18 7 18 7 18 7 18 7 0 6 + 1 5 + 2 4 + 3 3 = 0,1937 25 25 25 25 6 6 6 6 k
6 18 7 pk = ∑ ∑ 25 k =0 k = 0 k 25 3
3
6− k
l
6 7 18 = ∑ pl = ∑ 25 l =3 l = 3 l 25 6
6
6− l
=
0 6 1 5 2 4 3 3 6 18 7 6 18 7 6 18 7 6 18 7 + + + = 0 25 25 1 25 25 2 25 25 3 25 25
=0,2196
d) 4 db I. osztályú és 2 db nem I. osztályú termék van a mintában. 18 7 4 2 =0,3628 25 6 4
2
6 18 7 =0,3160 4 25 25
IV. Mintavételek Megoldások 18 7 k 6 − k e) p k = 25 6
89
k
6 18 7 pk = k 25 25
6− k
k=0,1,2,3,4,5,6
7 18 l 6− l l 6 − l 6 7 18 f) pl = pl = l=0,1,2,3,4,5,6 l 25 25 25 6 69. A 13-nak a 60%-a 7,8. Ez azt jelenti, hogy a mintában legalább 8 db ládának I. osztályúnak kell lenni. 30 15 13 k 13 − k = 0,7935 ∑ 45 k =8 13 70. A termékből 50 db, B termékből 175 db, C termékből 275 db van. 175 325 175 325 6 k 6 − k 0 6 a) ∑ = 1− = 0,9258 500 500 k =1 6 6 6 6 6 0,35 k ⋅ 0,65 6−k = 1 − 0,35 0 ⋅ 0,65 6 =0,9246 ∑ k =1 k 0 50 450 2 k 6 − k b) ∑ = 0,9848 500 k =0 6 2
6
∑ k 0,1
k
⋅ 0,9 6−k =0,9842
275 225 0 6 c) p0 = = 0,0080 500 6 6 p 0 = 0,55 0 ⋅ 0,45 6 = 0,0083 0 k =0
90
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
71.
Alma ízű gyümölcsléből 100 liter, barack ízűből 125 liter és citrom ízűből 75 liter van. 100 200 2 4 a) = 0,3326 300 6 125 175 125 175 2 4 6 0 + ... + = 0,7944 b) 300 300 6 6
75 225 2 k 6 − k c) ∑ =0,8326 300 k =0 6 100 200 100 200 6 k 6 − k 0 6 d) ∑ =0,9144 = 1− 300 300 k =1 6 6 72. a) 0,0268 b) 0,1312 c) 0,5271 d) 0,5271 73. a) 0,0284 b) 0,1323 c) 0,5282 d) 0,5282 74.
20 elemű mintát veszünk egy olyan alaphalmazból, aminek számosságát nem ismerjük. Feltehető, hogy olyan nagy, hogy a visszatevéses mintavétellel kapott eredmények már jól közelítik a visszatevés nélküli mintavétellel kapott eredményeket. A kitüntetett tulajdonság az, hogy egy iktatott irat rendelet-e.
IV. Mintavételek Megoldások
20 ⋅ 0,8520− k = 1 − 0,150 ⋅ 0,8520 = 1 − 0,0388 = 0,9612 0 k =1 A kifejezés értékét a binomiális eloszlás táblázatából is kiírhatjuk. Először az n értékét keressük meg, utána k értékét, majd a p értékét. Ha p 0 és 0,5 közötti érték, más teendőnk nincsen. 4 20 b) ∑ 0,15 k ⋅ 0,85 20−k = 0,8298 k =0 k 20
a)
20
91
∑ k 0,15
k
c) A 20 irat 15%-a 3 irat.
20 3 17 0,15 ⋅ 0,85 = 0,2428 3
75. 20 a) 0,2 10 ⋅ 0,810 = 0,0020 10 20 b) 0,2 5 ⋅ 0,815 = 0,1746 5 9 20 l 20 k 20 − l 20 − k 0 , 8 ⋅ 0 , 2 = = 0,9974 0,2 ⋅ 0,8 ∑ ∑ l k l =11 k =0 20
c)
3
d)
20
∑ k 0,2
k
⋅ 0,8 20− k = 0,0115 + 0,0576 + 0,1369 + 0,2054 = 0,4114
k =0
e) Legalább 16 kézpénzes fizetés legfeljebb 4 hitelkártyás fizetést jelent. 20 20 4 l 20 k 20 − l 20 − k 0 , 8 ⋅ 0 , 2 = = 0,6296 0,2 ⋅ 0,8 ∑ ∑ l k l =16 k =0 f) Ha a 20 vásárló között is átlagosan minden ötödik fizet hitelkártyával, akkor 4 db hitelkártyás fizetésről szól a feladat. 20 4 16 0,2 ⋅ 0,8 = 0,2182 4
92
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
V. Valószínőségszámítási tételek, feltételes valószínőség Megoldások
93
V. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK, FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉG Megoldások 76. a) P(M ∩ E ) = 27 / 120 = 0,225 b) P M ∩ E = 9 / 120 = 0,075 c) d)
( ) P (E ∩ M ) = 21 / 120 = 0,175 P (M ∩ E ) = 63 / 120 = 0,525 P (E ∩ M ) = P (M ) P (M ∩ E ) P(M E ) = = P (E )
e) P(E M ) = f)
27 = 0,75 36 27 = 0,5625 48
63 ( ) P(PE(∩M M) ) = 84 = 0,75
g) P E M =
77. a) P(T ∩ B ) = 35 / 150 = 0,2333 b) P T ∩ B = 70 / 150 = 0,4667 c)
( ) P (B ∩ T ) = 10 / 150 = 0,0667
d) P(B T ) =
P(B ∩ T ) 35 = = 0,333 P(T ) 105
( ) P(PB(T∩)T ) = 35 = 0,7778 45
e) P B T = 78.
700 1000 350 = 0,35 , P( B2 ) = = 0,5 P( A1 ∩ B2 ) = = 0,175 2000 2000 2000 350 350 P( A1 B2 ) = = 0,35 P( B2 A1 ) = = 0,5 1000 700 1450 650 P( A2 ∪ B1 ) = = 0,725 P B2 A1 = = 0,5 2000 1300 500 P A2 B 1 = = 0,5 1000 b) P( A3 ∩ B2 ) = 200 / 2000 = 0,1
a) P( A1 ) =
(
(
)
c) P( A2 ∪ B1 ) = 1450 / 2000 = 0,725 d) P(B1 A2 ) = 500 / 950 = 0,5263
)
94
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
( ) P (A ∪ A B ) = 800 / 1000 = 0,8
e) P B2 A3 = 800 / 1650 = 0,4848 f)
1
2
1
79.
Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy egy lakos megyei napilapot olvas és B-vel azt, hogy országos napilapot olvas. A feladatban a következő valószínűségek adottak: P( A) = 0,6 ; P( B) = 0,45 ; P( A ∩ B) = 0,3 . Ezt a három összefüggést felhasználva adhatjuk meg a többi, összetett esemény valószínűségét. Ajánlom az összes feladat esetén a Venn-diagramos ábrázolást, nagymértékben megkönnyítheti munkánkat. a) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0,6 + 0,45 − 0,3 = 0,75
( ) P ((A ∩ B ) ∪ (A ∩ B )) = P ( A) + P (B ) − 2 ⋅ P ( A ∩ B ) = 0,45 P(( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B)) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B) = 0,3 + 0,15 = 0,45
b) P B ∩ A = P( B) − P( B ∩ A) = 0,45 − 0,3 = 0,15
c) P( B A) = d) P( A B) = 80.
P( B ∩ A) P( A)
P( A ∩ B ) P( B )
=
0,3 = 0,5 0,6
=
0,3 = 0,6667 0,45
Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a reklámfilmben szerepel gyerek és B-vel azt, hogy szerepel autó. A feladatban a következő valószínűségek adottak: P( A) = 0,7 ; P( B ) = 0,4 ; P( A ∩ B ) = 0,2 .
( ) P (A ∩ B ) = 1 − P (A ∩ B ) = 1 − P ( A ∪ B ) =
a) P B ∩ A = P( B) − P( B ∩ A) = 0,4 − 0,2 = 0,2 b)
= 1 − (P( A) + P(B ) − P( A ∩ B )) = 0,1 P( B ∩ A) 0,2 P( B A) = = = 0,2857 P( A) 0,7
( ) (P( B) ) = 00,,61 = 0,1667
c) P A B = 81.
P A∩ B
Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy egy vásárló útikönyvet választ és B-vel azt, hogy szépirodalmat. A feladatban a következő valószínűségek adottak:
V. Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség Megoldások
P( B A) = 0,2 ;
P( A) = 0,5 ;
(
95
)
P A ∩ B = 0,25 . Ábrázoljuk Venn-
diagrammal az eseményeket az eseménytérben. Ebből látható, milyen sorrendben érdemes meghatározni az egyes események valószínűségét. P( A ∪ B) = 1 − P A ∪ B = 1 − P A ∩ B = 0,75
(
)
(
)
P( A ∩ B) = P( A) P( B A) = 0,5 ⋅ 0,2 = 0,1
( ) P( B ∩ A) = P( A ∪ B) − P( A) = 0,75 − 0,5 = 0,25 P( B) = P( B ∩ A) + P( B ∩ A) = 0,1 + 0,25 = 0,35 P( B ∩ A) = 0,25 P A ∩ B = P( A) − P( A ∩ B) = 0,5 − 0,1 = 0,4
a) b)
P( A ∩ B )
c) P( A B) =
((
P( B )
) (
=
0,1 = 0,2857 0,35
)) (
) (
)
d) P A ∩ B ∪ A ∩ B = P A ∩ B + P A ∩ B = 0,65 82.
Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a pénztártag 40 évesnél idősebb és B-vel azt, hogy 5000 Ft feletti összeget fizet havonta. A feladatban a következő valószínűségek adottak: P( A) = 0,4 ; P( B) = 0,5 ; P( A ∩ B ) = 0,2 .
(
)
(
)
)
(
a) P A ∩ B = 1 − P A ∩ B = 1 − P( A ∪ B ) = = 1 − (P( A) + P(B ) − P( A ∩ B )) = 0,3 P B ∩ A = P( A) − P( A ∩ B ) = 0,2
b) P( B A) =
P( B ∩ A) P( A)
=
0,2 = 0,5 = P( B ) 0,4
c) A két esemény egymástól független. 83. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a tévénéző nézi a reggeli hírműsorokat és B-vel azt, hogy nézi az estieket. A feladatban a következő valószínűségek adottak: P( A) = 0,25 ; P( B A) = 0,8 ; P( B ) = 0,7 . Határozzuk meg először a szorzat esemény valószínűségét a szorzási szabály felhasználva: P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B A) = 0,2
(
)
a) P A ∩ B = 1 − P( A ∪ B) = 1 − ( P( A) + P( B) − P( A ∩ B )) = 0,25
96
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
(
)
b) P B ∩ A = P( B) − P( A ∩ B) = 0,5
P B∩ A ( ) (P( A) ) = 00,75,5 = 0,6667 ≠ P( B)
c) P B A =
d) A c) részben kapottak alapján definíció szerint látható, hogy a két esemény egymástól nem független. 84. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a vásárló hagyományos muskátlit vesz és B-vel azt, hogy futót. A feladatban a következő valószínűségek adottak: P( A) = 0,6 ; P( B) = 0,45 ; P( A ∩ B) = 0,27 . a) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0,78
((
) (
))
b) P A ∩ B ∪ A ∩ B = P( A) + P( B) − 2 ⋅ P( A ∩ B) = 0,51 c) P( B A) =
P( B ∩ A) P( A)
=
0,27 = 0,45 = P( B) 0,6
d) A c) részben kapottak alapján definíció szerint látható, hogy a két esemény egymástól független. 85. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a friss diplomásnak van felsőfokú nyelvvizsgája és B-vel azt, hogy van ECDL bizonyítványa. A feladatban a következő valószínűségek adottak: P( A) = 0,2 ; P( B ) = 0,7 ; P A ∩ B = 0,25 .
(
)
(
)
P( A ∪ B ) = 1 − P A ∩ B = 0,75
a) Ismert a következő összefüggés: P( A ∪ B) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B ) . Ebből P( A ∩ B ) kifejezhető. Értéke: 0,15. b) P B ∩ A = P( B) − P( A ∩ B) = 0,55
(
)
c) P( B A) =
P( B ∩ A) P( A)
=
0,15 = 0,75 0,2
86. 320 150 70 = 0,64 P( A3 ) = = 0,3 P( A3 ∩ B1 ) = = 0,14 500 500 500 70 70 P( A3 B1 ) = = 0,2187 P( B1 A3 ) = = 0,4667 320 150 360 120 P( A2 ∪ B1 ) = = 0,72 P B2 A1 = = 0,4138 500 290
a) P( B1 ) =
(
)
V. Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség Megoldások
(
97
)
220 = 0,6875 320 b) P(B2 A2 ) = 40 / 40 = 0,2857 P A2 B 1 =
c) P( A3 ∩ B1 ) = 70 / 500 = 0,14
(
)
d) P A1 B1 = 120 / 180 = 0,6667 87. a) A valószínűségszámítás klasszikus képlete alapján a megoldás 5⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 4 = 0,0147 . Ezt négy tört szorzataként is felírhatjuk, így a 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 megoldást a szorzási szabállyal is megadhatjuk: A1 legyen az az esemény, hogy az első prezentáló másodéves, A2 legyen az, hogy a második harmadéves, A3 legyen az, hogy a harmadik másodéves, A4 legyen az, hogy a negyedik negyedéves! Keresett a P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) kifejezés értéke. A szorzási szabály alapján ez a következővel egyenlő: P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 ∩ A2 )P( A4 A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = . 5 6 4 4 = ⋅ ⋅ ⋅ = 0,0147 15 14 13 12 4 5 4 6 b) ⋅ ⋅ ⋅ = 0,0147 lsd. az első rész megoldását a következő 15 14 13 12 módosítással: A1 legyen az az esemény, hogy az első prezentáló negyedéves, A2 legyen az, hogy a második másodéves, A3 legyen az, hogy a harmadik másodéves, A4 legyen az, hogy a negyedik harmadéves! 5 4 3 P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) 15 ⋅ 14 ⋅ 13 3 c) P( A3 A1 ∩ A2 ) = = = = 0,2308 5 4 P( A1 ∩ A2 ) 13 ⋅ 15 14 Értelemszerűen Ai (i=1,2,3) legyen az az esemény, hogy az i-edik prezentáló másodéves! 6 5 9 ⋅ ⋅ P A1 ∩ A2 ∩ A3 15 14 13 = 9 = 0,6923 d) P A3 A1 ∩ A2 = = 6 5 P( A1 ∩ A2 ) 13 ⋅ 15 14
(
)
(
)
98
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok Értelemszerűen Ai (i=1,2,3) legyen az az esemény, hogy az i-edik prezentáló harmadéves!
88.
Jelöljük Ai -vel (i=1,2,3) azt az eseményt, hogy a szúnyog az i-edik irtószer alkalmazást túléli, hiszen az a) részben a P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) valószínűséget kell meghatározni. Az adatok a következők: P A1 = 0,8 , P A2 A1 = 0,4 , P A3 A1 ∩ A2 = 0,2 .
( )
(
)
a) P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
(
)
= P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 ∩ A2 ) = 0,2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,096
b) P( A2 ∩ A3 A1 ) = 89.
P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) P( A1 )
=
0,2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,6 ⋅ 0,8 = 0,48 0,2
Jelöljük Ai -vel (i=1,2,3,4) azt az eseményt, hogy a papírt az íróasztal iedik fiókjába tettük. Az adatok a következők: P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = 0,8 . Az Ai események egymást kizárók, hiszen a papír egyszerre két fiókban nem lehet. Ebből következik, hogy felírható a következő összefüggés: P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + P( A4 ) . Tudjuk még, hogy mind a négy fiókban egyenlő valószínűséggel lehet a papír, P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) . Így P( Ai ) = 0,2 minden i-re.
) P(AP(∩A A∩ A∩ A∩ A∩ )A ) =
(
P A4 A1 ∩ A2 ∩ A3 =
1
2
3
1
2
4
3
P( A4 ) 0,2 = = 0,5 1 − P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) 1 − 3 ⋅ 0,2 Jelöljük Ai -vel (i=1,2,3,4) azt az eseményt, hogy a szállítmány 9-től kezdődően az i-edik órában megérkezik. Az adatok a következők: P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 0,9 . Az Ai események egymást kizárók, hiszen egy szállítmány egyszerre két időpontban nem tud megérkezni. Ebből következik, hogy felírható a következő összefüggés: P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) . Tudjuk még, hogy mind a három órában egyenlő valószínűséggel érkezik meg a szállítmány, azaz P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) . Így P( Ai ) = 0,3 minden i-re. =
90.
(
P A ∩A ∩A ) ( P( A ∩ A ) ) = 1 − PP( (AA∪) A ) = 1 − 02,3⋅ 0,3 = 0,75
P A3 A1 ∩ A2 =
1
2
1
3
2
3
1
2
VI. Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Megoldások
99
VI. TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES-TÉTEL Megoldások 91.
Jelöljük A-val azt az eseményt, aminek valószínűségét a feladat kérdezi! A: a kiválasztott alkatrész selejtes. Keressük meg a feltételeket adó B1 , B2 , B3 , B4 eseményeket! Ezek egyike sem lehetetlen esemény, egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény. Bi : a kiválasztott alkatrészt az i-edik gép gyártotta (i=1,2,3,4). Ezután gyűjtsük ki a feladat adatait! Az üzem napi termelése 2000 alkatrész. 550 P(B1 ) = P( A B1 ) = 0,02 2000 300 P (B 2 ) = P( A B2 ) = 0,05 2000 450 P(B3 ) = P( A B3 ) = 0,06 2000 700 P (B 4 ) = P( A B4 ) = 0,04 2000 a) A P( A) megadásához a teljes valószínűség tételét használjuk, ami szerint P( A) = P( A B1 ) ⋅ P(B1 ) + P( A B2 ) ⋅ P(B2 ) + ... + P( A B4 ) ⋅ P(B4 ) P ( A) = 0,02 ⋅
550 300 450 700 + 0,05 ⋅ + 0,06 ⋅ + 0,04 ⋅ = 0,0405 2000 2000 2000 2000 Az összefüggések láttatása céljából hozzuk a fenti kifejezést a következő alakra: 550 ⋅ 0,02 + 300 ⋅ 0,05 + 450 ⋅ 0,06 + 700 ⋅ 0,04 = 0,0405 2000 Ha a valószínűségszámítás klasszikus képletének alkalmazásával próbáltuk volna megoldani a feladatot (miért is ne) és nem a teljes valószínűség tételének sablonját alkalmazni, akkor ilyen alakban kaptuk volna a megoldást. Ellenőrizzük, hogy a nevezőben az összes lehetséges kimenetel van-e? Igen, mert 2000 termékből húzunk ki egy darabot. A számlálóban a kedvező esetek száma szerepel-e? Igen, mert 550-nek a 2%-a, a 300-nak az 5%-a, 450-nek 6%-a, valamint 700-nak 4%-a selejtes. 450 0,06 ⋅ ( ) ( ) P A B ⋅ P B P ( A ∩ B3 ) 3 3 2000 = 0,3333 b) P (B3 A) = = = P ( A) P ( A) 0,0405
100
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok A kérdés formalizálása után a feltételes valószínűség definíciójával visszavezettük a feladatot egy szorzatesemény valószínűségének meghatározására. Alkalmazzuk a szorzási szabályt, hogy az adatokat fel tudjuk használni! Mivel a nevezőben szerepel P( A) , amit az a) részben már meghatároztunk, nem érdemes a "kályháig" visszamenni, hogy a Bayes-tételt a tanult formába öntve tudjuk alkalmazni. Ennek ellenére javaslom ennek átgondolását és felírását is, nem minden hátsó szándék nélkül: P( A B3 ) ⋅ P(B3 ) P(B3 A) = = P( A B1 ) ⋅ P(B1 ) + P( A B2 ) ⋅ P(B2 ) + ... + P( A B4 ) ⋅ P(B4 ) 0,06 ⋅
=
450 2000
= 0,3333 550 300 450 700 0,02 ⋅ + 0,05 ⋅ + 0,06 ⋅ + 0,04 ⋅ 2000 2000 2000 2000 Közös nevezőre hozás és egyszerűsítés után a következőt kapjuk: 450 ⋅ 0,06 = 0,3333 550 ⋅ 0,02 + 300 ⋅ 0,05 + 450 ⋅ 0,06 + 700 ⋅ 0,04 A klasszikus képlet szerint a számlálóban a kedvező esetek száma szerepel, a nevezőben az összes lehetséges kimenetel. Ellenőrizzük, így van-e! Kezdjük az összes lehetséges kimenetellel. A kivett alkatrészről tudjuk, hogy selejtes, tehát csak az 550 db 2%-a meg a 300 db 5%-a, meg a 450 db 6%-a és a 700 db 4%-a közül választhatunk. Kedvező esetes száma: ahány darabot készített a harmadik gép közülük, annyi a kedvező esetek száma: a 450 db 6%-át. c) Ahhoz, hogy válaszolni tudjunk arra, melyik gép gyártotta legnagyobb valószínűséggel a kiválasztott jó alkatrészt, össze kell hasonlítanunk a
( ) P( B A) P( B A) P( B A) valószínűségeket.
P B1 A
2
3
4
Vegyük észre, hogy ha a feltételes valószínűség definíciója szerint két esemény valószínűségének hányadosaként írjuk fel a kifejezéseket, akkor a nevezője mind a négy kifejezésnek ugyanaz. Elég tehát csak a számlálók közül kiválasztani a legnagyobbat. A számlálókban szereplő szorzatesemény valószínűségét a szorzási szabállyal kaphatjuk meg: P A ∩ Bi = P A Bi ⋅ P( Bi ) , ahol i=1,2,3,4 lehet. Számoljuk ki a
(
)
(
)
valószínűségeket i=1,2,3,4 esetekben. 550 300 i=1 esetén 0,98 ⋅ = 0,2695 , i=2 esetén 0,95 ⋅ = 0,1425 , 2000 2000
VI. Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Megoldások
101
700 450 = 0,2115 , i=4 esetén 0,96 ⋅ = 0,336 2000 2000 A negyedik gép gyártotta legnagyobb valószínűséggel a kiválasztott jó terméket.
i=3 esetén 0,94 ⋅
92.
Adataink alapján a következő táblázatot tölthetjük ki: B1Muskátli B2:Rózsa B3:Begónia Összesen: A: Sérült 9 2 14 25 Nem sérült 36 18 21 75 Összesen: 45 20 35 100 a) P( A) = P( A B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A B2 ) ⋅ P( B2 ) + P( A B3 ) ⋅ P( B3 ) r 45 ⋅ 0,2 + 20 ⋅ 0,1 + 35 ⋅ 0,4 45 20 35 P ( A) = = 0,2 + 0,1 + 0,4 = 0,25 100 100 100 100 0,75 a valószínűsége annak, hogy a virág nem sérült meg a szállítás során. b) 11/25=0,44
93.
A: a véletlenszerűen kiválasztott utas I. osztályra váltott jegyet. B1 : a kiválasztott utas diplomata. B2 : a kiválasztott utas üzletember. B3 : a kiválasztott utas turista.
P( B1 ) = 0,40
P( A B1 ) = 0,20
P( B2 ) = 0,25 P( A B2 ) = 0,15
P( B3 ) = 0,35 P( A B3 ) = 0,05
( ) P( A B ) = 0,85 P( A B ) = 0,95 P A B1 = 0,8 2
3
a) P( A) = 0,2 ⋅ 0,4 + 0,15 ⋅ 0,25 + 0,05 ⋅ 0,35 = 0,135
( ) ( P()A)
b) P B3 A =
P A B3 ⋅ P( B3 )
=
0,95 ⋅ 0,35 = 0,3844 0,865
c) Az a) rész alapján az utasok 13,5%-a I. osztályon utazik általában, érdemes ezen a járaton 40 vagy 41 fős I. osztályú részt kialakítani. 94.
Adataink alapján a következő táblázatot vehetjük fel: B1festmény B2:bútor B3:dísztárgy A: eladó 0,4.0,2 0,25.0,15 0,35.0,05 Nem eladó 0,4.0,8 0,25.0,85 0,35.0,95 Összesen: 0,4 0,25 0,35
Összesen: 0,135 0,865 1
102
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
a) 0,865 b) 0,545/0,865=0,6301 95.
Legyen megint A az az esemény, aminek valószínűségét a feladat kérdezi: a kiválasztott alkatrész selejtes. Keressük meg a feltételeket adó B1 , B2 , B3 , eseményeket! Ezek egyike sem lehetetlen esemény, egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény. B1 : a kiválasztott alkatrészt az első hat gép valamelyike gyártotta. B2 : a kiválasztott alkatrészt a következő öt gép valamelyike gyártotta. B3 : a kiválasztott alkatrészt az utolsó négy gép valamelyike gyártotta. 6 P( B1 ) = P( A B1 ) = 0,03 P A B1 = 0,97 15 5 P( B2 ) = P( A B2 ) = 0,02 P A B2 = 0,98 15 4 P( B3 ) = P( A B3 ) = 0,01 P A B3 = 0,99 15 Az adatok kiírására vessünk még egy pillantást! Ha a feltételek valóban teljes eseményrendszer alkotnak, akkor valószínűségeik összege 1 kell legyen. Ellenőrizzük, az első oszlop összege tényleg 1e! Ez a tény segítségünkre lehet a teljes eseményrendszert alkotó feltételek megtalálásánál. Egy harmadik oszloppal bővült a táblázat, mert a b) kérdésben nem selejtes alkatrészekről van szó, tehát az A ellentétes eseménye is szerepet kap már. a) P( A) = P( A B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A B2 ) ⋅ P( B2 ) + P( A B3 ) ⋅ P( B3 )
( ( (
) ) )
6 5 4 + 0,02 ⋅ + 0,01 ⋅ = 0,0213 15 15 15 Most is megpróbálkozhatunk a feladatot a klasszikus képlettel megoldani. Jelöljük n-nel az egy gép által legyártott alkatrészek számát! 6n ⋅ 0,03 + 5n ⋅ 0,02 + 4n ⋅ 0,01 = 0,0213 15n 6 P A ∩ B1 P A B1 ⋅ P( B1 ) 0,97 ⋅ 15 = 0,3964 b) P B1 A = = = 0,9787 P A P A P( A) = 0,03 ⋅
( ) ( ( ) ) ( () )
Az adatoknál az ellentett események valószínűségei is szerepelnek. Ez egy idő után felesleges, mert triviális. A nevezőben pedig az a) részben
VI. Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Megoldások
103
megkapott értéket kell 1-re kiegészíteni, hogy megkapjuk az ellentett esemény valószínűségét. Nézzük most szigorún ragaszkodva a Bayes-tétel formalizmusához, hogyan néz ki a megoldás: P A B1 ⋅ P( B1 ) P B1 A = = P A B1 ⋅ P( B1 ) + P A B2 ⋅ P( B2 ) + P A B3 ⋅ P( B3 )
( ) ( )
( (
) )
(
)
6 15 = = 0,3964 5 4 6 0,97 ⋅ + 0,98 ⋅ + 0,99 ⋅ 15 15 15 Ezt az alakot alakítsuk úgy át, hogy felfedezhessük benne a klasszikus képlettel adódó megoldásunkat: 6n ⋅ 0,97 = 0,3965 6n ⋅ 0,97 + 5n ⋅ 0,98 + 4n ⋅ 0,99 A nevezőben láthatjuk az összes nem selejtes alkatrészek számát, a számlálóban pedig az első hat gép által gyártott nem selejtes alkatrészek számát. 0,97 ⋅
96.
Az első két feladat elkényeztetett bennünket, mert azt gondolhattuk, hogy kiválthatjuk a teljes valószínűség tételét és a Bayes-tételt is a klasszikus képlet alkalmazásával, most viszont az "időpillanatok" nem megszámlálhatóak. Beoszthatnánk ugyan a munkaidőt n db tetszőlegesen kicsi egyenlő időintervallumra és végigvezethetnénk a feladatot, de úgy hiszem, ez a megoldási mód már nehézkesebb és kicsit erőszakolt lenne. Fogalmazzuk meg, miben áll a kísérlet, mely eseményeket érdemes bevezetni! A kísérlet abban áll, hogy a munkaidő egy tetszőleges pillanatában a gépre tekintünk. Az A esemény legyen az a) kérdésben megfogalmazott esemény: működik a gép! B1 : az I. jelű alkatrészen dolgozik a gép. B2 : a II. jelű alkatrészen dolgozik a gép. B3 : a III. jelű alkatrészen dolgozik a gép.
104
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
( ) ( ) ( )
1 P( A B1 ) = 0,9 P A B1 = 0,1 5 1 P( B2 ) = P( A B2 ) = 1 P A B2 = 0 3 7 P( B3 ) = P( A B3 ) = 0,8 P A B3 = 0,2 15 A B1 , B2 , B3 események alkotnak teljes eseményrendszert, mert egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény. Ebből következően valószínűségeik összege: 1. Ezt felhasználva kaptuk meg P( B3 ) értékét. a) a teljes valószínűség tételének alkalmazásával határozzuk meg a kérdéses valószínűséget: P( A) = P( A B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A B2 ) ⋅ P( B2 ) + P( A B3 ) ⋅ P( B3 ) P( B1 ) =
1 1 7 P( A) = 0,9 ⋅ + 1 ⋅ + 0,8 ⋅ = 0,8867 5 3 15
b) P( B2 A) = 97.
P( A ∩ B2 ) P( A)
=
P( A B2 ) ⋅ P( B2 ) P( A)
1 3 = 0,3759 = 0,8867 1⋅
A valószínűségi kísérlet: véletlenszerűen kiválasztunk egy hallgatót, aki a menzán ebédelt. Jelentse A azt az eseményt, hogy a hallgató vásárolt innivalót, Bi pedig azt, hogy az i-edik menüt választotta (i=1,2,3)! A B1 , B2 , B3 események alkotnak teljes eseményrendszert, így valószínűségeik összege: 1. Ha az I. menüt háromszor annyian választották, mint a II. menüt, akkor háromszor akkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott hallgató az I. menüt választotta, mint annak, hogy a II. menüt. Ha P( B2 ) = p , akkor P( B1 ) = 3 p és P( B3 ) = 6 p . Összegzés után p=0,1-et kapunk.
P( B1 ) = 0,3
P( B2 ) = 0,1
P( B3 ) = 0,6
P( A B1 ) = 0,6
P( A B2 ) = 0,3
P( A B3 ) = 0,2
( ) P( A B ) = 0,7 P( A B ) = 0,8 P A B1 = 0,4 2
3
a) Innen a feladat formálissá válik, mert csak a képletbe kell beírni az adatokat: P A = P A B1 ⋅ P( B1 ) + P A B2 ⋅ P( B2 ) + P A B3 ⋅ P( B3 )
( )
(
)
(
)
(
)
VI. Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Megoldások
( )
105
P A = 0,4 ⋅ 0,3 + 0,7 ⋅ 0,1 + 0,8 ⋅ 0,6 = 0,67 b) P( B3 A) = 98.
P( A B3 ) ⋅ P( B3 ) P( A)
=
0,2 ⋅ 0,6 = 0,3636 0,33
A: késéssel érkezik a szállítmány. Bi : az i-edik cég szállítja a terméket (i=1,2,3). A B1 , B2 , B3 események alkotnak teljes eseményrendszert,
így valószínűségeik összege: 1. Ha P( B3 ) = p , akkor P( B1 ) = 4 p és
P( B2 ) = 3 p . Összegzés után p=0,125-et kapunk.
P( B1 ) = 0,5
P( A B1 ) = 0,1
( ) P( A B ) = 0,85 5 P( A B ) = 7 P A B1 = 0,9
P( B2 ) = 0,375 P( A B2 ) = 0,15 2 2 P( B3 ) = 0,125 P( A B3 ) = 3 7 a) A teljes valószínűség tétele alapján: 2 P( A) = 0,1 ⋅ 0,5 + 0,15 ⋅ 0,375 + ⋅ 0,125 = 0,1420 7 P A B1 ⋅ P( B1 ) 0,9 ⋅ 0,5 b) P B1 A = = = 0,5245 0,858 P A
( ) ( () )
99. a) 0,45.0,85+0,15.0,15+0,4.0,55=0,625 b) 0,3075/0,375=0,82 100. Ha a gyerekek és felnőttek aránya: 1:4, akkor a 100%-ot 5 egyenlő részre osztva a gyerekek 1*20%-nyian, a felnőttek 4*20%-nyian vannak. Mivel a felnőtteken belül a férfiak és nők aránya: 3:2, a 80%ot 5 egyenlő részre osztjuk, majd a kapott 16%-ot 3-mal, ill. 2-vel szorozva megkapjuk a százalékos részarányokat. Vezessük be a szükséges jelöléseket: A: a véletlenszerűen kiválasztott vendég rendelt süteményt. B1 : a kiválasztott vendég férfi. B2 : a kiválasztott vendég nő. B3 : a kiválasztott vendég gyerek. P( B1 ) = 0,48
P( B2 ) = 0,32 P( B3 ) = 0,2
P( A B1 ) = 0,15 P( A B2 ) = 0,1
P( A B3 ) = 0,85
( ) P( A B ) = 0,9 P( A B ) = 0,15 P A B1 = 0,85 2
3
106
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
a) P( A) = 0,15 ⋅ 0,48 + 0,1 ⋅ 0,32 + 0,85 ⋅ 0,2 = 0,274 b) P( B3 A) =
(
P( A B3 ) ⋅ P( B3 ) P( A)
) ( P()A)
c) P B2 A =
P A B2 ⋅ P( B2 )
=
0,85 ⋅ 0,2 = 0,6204 0,274
=
0,9 ⋅ 0,32 = 0,3967 0,726
101. Válasszuk szét a következő két dolgot egymástól: I. egy termék selejtes-e vagy sem. Ez tény. II. a terméket minősítése az, hogy selejtes. Ez szubjektív. A feladat szempontjából tehát itt kell differenciálni, mi legyen az A esemény és mik jelentik a feltételeket. Az összes választási lehetőségünk az összes termék halmaza, ezek alkotják a H eseményteret. Ezt osztályozzuk a selejtes és nem selejtes termékekre. Itt a minőségellenőr és az ő hibázási lehetőségei még nem léptek színre. A termékek 99%-a jó, 1%-a selejtes. A minősítést ugyanakkor ember adja: ítélhet egy terméket selejtesnek, vagy sem, ha hibás az a termék akkor is és akkor is, ha nem. Ilyen előzmények után vezessük be a szükséges eseményeket: A: a kiválasztott terméket selejtesnek minősítik. B1 : a kiválasztott termék selejtes. B2 : a kiválasztott termék jó.
P( B1 ) = 0,01
P( B2 ) = 0,99
P( A B1 ) = 0,95
P( A B2 ) = 0,02
( ) P( A B ) = 0,98 P A B1 = 0,05 2
P A B P( B ) ( ) ( P( )A) = 0,05 ⋅ 00,01,05+⋅ 00,,0198 ⋅ 0,99 = 0,000515
a) P B1 A =
b) P( B2 A) =
1
1
P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A)
=
0,02 ⋅ 0,99 = 0,6758 0,95 ⋅ 0,01 + 0,02 ⋅ 0,99
Tévedek, ha úgy gondolom, hogy ez a feladat jobban meggondolkoztatta az olvasót, mint az eddigiek? Pedig csak két feltétel van! Éppen ezért. Mert az egyik feltétel a másik esemény ellentétes eseménye, és ilyenkor arra nem is gondolunk, hogy ezzel lesz teljes az eseményrendszer. Másrészt ha a selejtességet, mint tulajdonságot és mint ítéletet nem tisztázzuk, nem jutunk előbbre. Aki eddig nem tartotta praktikusnak az események formalizálását, talán most először elhiszi létjogosultságát.
VI. Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Megoldások
107
102. A: egy véletlenszerűen kiválasztott dolgozónak volt újítási ötlete. B1 : a kiválasztott dolgozó férfi. B2 : a kiválasztott dolgozó nő. 60 P( B1 ) = P( A B1 ) = 0,15 150 90 P( B2 ) = P( A B2 ) = 0,1 150 a) P( A) = 0,15 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,6 = 0,12 b) P( B2 A) =
P( A B2 ) P( B2 ) P( A)
=
0,1 ⋅ 0,6 = 0,5 0,15 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,6
Ezt az eredményt az a) részből is kiolvashattuk volna, hiszen ott mindkét tag egyenlő. Szavakkal: annak a valószínűsége, hogy férfi újítót választunk ki véletlenszerűen egyenlő annak a valószínűségével, hogy női újítót választunk ki.
103. Remélem ezt a feladatot is többször el kellett olvasni a T. olvasónak, hogy egyáltalán meglássa, hogyan is kerülhetett ez ilyen közegbe: a tejes valószínűség tételéhez és Bayes-tételhez. Hol láthatók a feltételek? Mi az ami itt teljes eseményrendszer alkot? Mi legyen az eddig A-val jelölt esemény? Több kérdés nincs. Haladjunk sorba a szövegben! A pályázók 95%-ának informatikai előismeretei kielégítők. Ebből következik, hogy 5%-ának nem. Már meg is találtuk a két feltételt, ami a teljes eseményrendszert alkotja. Ebből már következik, hogy az A-nak megfelelő esemény az lesz, hogy a kiválasztott pályázó rendelkezik-e nyelvvizsgával. Próbáljunk meg elszakadni az események A és Bi jelöléseitől, koncentráljunk az összefüggésekre inkább! N: a véletlenszerűen kiválasztott pályázó rendelkezik nyelvvizsgával. I: a pályázónak kielégítők az informatikai ismeretei. Lássuk az eddig megszokott táblázat kitöltését! P( I ) = 0,95 P( N I ) = 0,7 P N I = 0,3
()
( )
( )
( )
P I = 0,05 P N I = 0,35 P N I = 0,65
a) P( N ∩ I ) = P( N I ) P( I ) = 0,7 ⋅ 0,95 = 0,665 b) P( I N ) =
P( N I ) P( I ) P( N )
=
0,7 ⋅ 0,95 = 0,9744 0,7 ⋅ 0,95 + 0,35 ⋅ 0,05
108
Nagyné Csóti Beáta: Valószínőségszámítási feladatok
c) Mennyi annak a valószínősége, hogy egy pályázónak van nyelvvizsgája, de informatikai elıismeretei nem kielégítık? A nyelvvizsgával nem rendelkezı pályázók közt hány százalékot tesz ki az informatikai elıismeretekkel rendelkezık száma? stb. 104. A: a terméket I. osztályúnak minısítik. B: a termék I. osztályú. P(B ) = 0,8 P( A B ) = 0,98 P A B = 0,02
( )
()
P B = 0,2
( )
P A B = 0,05
( )
P A B = 0,95
a) P( A) = 0,98 ⋅ 0,8 + 0,05 ⋅ 0,2 = 0,794 b) P( B A) =
P( A B ) P( B ) P( A)
=
0,98 ⋅ 0,8 = 0,9874 0,794
P AB P B
() ⋅ 0,2 = 0,9223 ( ) ( P( A) ) = 0,095,206
c) P B A =
105. Hívjuk segítségül a feladat szövegét az alkalmas események bevezetésére. A kérdésben feltételes valószínőség szerepel, ez utal arra, hogy Bayes-tételt kell alkalmaznunk a megoldás során. Ha ragaszkodunk a szokásos formalizmushoz, akkor A esemény a kérdésben megfogalmazott eseményben a feltétel. Ezen kívül az 5:3 arányban leadott pontok és vonalak teszik ki az eseményteret. A: a vevı pontot kap B1 : a leadott jel pont. B2 : a leadott jel vonal. 5 P(B1 ) = P A B 1 = 0,6 P A B1 = 0,4 8 3 P (B 2 ) = P( A B2 ) = 0,3 P A B2 = 0,7 8 5 0,6 ⋅ P( A B1 ) P( B1 ) 8 P( B1 A) = = = 0,7692 5 3 P( A) 0,6 ⋅ + 0,3 ⋅ 8 8
(
)
( (
) )
VII. Független események, Bernoulli-kísérletsorozat Megoldások
109
VII. FÜGGETLEN ESEMÉNYEK VALÓSZÍNŰSÉGE, BERNOULLI-KÍSÉRLETSOROZAT Megoldások 106. a) Adott annak a valószínűsége, hogy az első irodában éppen telefonálnak: P( A) = 0,2 , és annak valószínűsége, hogy a második irodában telefonálnak: P( B) = 0,1 . A keresett esemény a következőképpen fogalmazható át: nem mind a két vonalon folytatnak beszélgetést. Formalizálva: 1 − P( A ∩ B) = 1 − P( A) P( B) = 1 − 0,2 ⋅ 0,1 = 0,98 Az első egyenlőség felírásánál kihasználtuk azt, hogy a két irodába érkező és kimenő hívások egymástól függetlennek tekinthetőek. Felírhattuk volna a keresett valószínűséget egymást kizáró események összegének valószínűsége segítségével:
((
) ( ) ( )) P( A ∩ B) = P( A) P( B) = 0,8 ⋅ 0,1 = 0,08 P ((A ∩ B ) ∪ (A ∩ B )) = P (A ∩ B ) + P (A ∩ B ) = P ( A)P (B ) + P (A)P (B ) =
P A ∩ B ∪ A ∩ B ∪ A ∩ B = 0,8 ⋅ 0,9 + 0,2 ⋅ 0,9 + 0,8 ⋅ 0,1 = 0,98 b) c)
= 0,2 ⋅ 0,9 + 0,8 ⋅ 0,1 = 0,26 . Az első egyenlőség felírásánál kihasználtuk,
hogy az összeg két tagja egymást kizáró esemény, a második egyenlőségnél azt használtuk fel, hogy a tényezők egymást kizáróak. Talán ebből a néhány feladatból is látszik a cél: a keresett eseményt fogalmazzuk át úgy, hogy szorzatesemények összegeként álljanak elő, ahol az egyes tagok egymást kizáró események. A szorzatesemény valószínűsége a függetlenség miatt a tényezők valószínűségének szorzata. 107. Adatok: P( A1 ) = 0,05 , P( A2 ) = 0,2 , P( A3 ) = 0,15 , ahol Ai (i=1,2,3) megadja, mennyi annak a valószínűsége, hogy az i-edik csarnokban műszaki hiba miatt áll a termelés. a) P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0,05 ⋅ 0,2 ⋅ 0,15 = 0,0015
((
) (
) (
b) P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
)) =
= 0,05 ⋅ 0,2 ⋅ 0,85 + 0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,15 + 0,95 ⋅ 0,2 ⋅ 0,15 = 0,043
(
)
c) P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 − P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 1 − 0,95 ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 = 0,354
(
)
d) P A1 ∪ A2 ∪ A3 = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 − 0,05 ⋅ 0,2 ⋅ 0,15 = 0,9985
110
Nagyné Csóti Beáta: Valószínőségszámítási feladatok
e) P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
((
) (
) (
)) =
= 0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 + 0,95 ⋅ 0,2 ⋅ 0,85 + 0,95 ⋅ 0,8 ⋅ 0,15 = 0,3095
f)
P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 = 0,034
(
)
108. a) P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0,13 = 0,001 b) P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
((
) (
) (
))
3 = ⋅ 0,12 ⋅ 0,91 = 0,027 2
c) P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 − P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 1 − 0,9 3 = 0,271
(
)
d) P A1 ∪ A2 ∪ A3 = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 − 0,13 = 0,999 e)
(
)
((
) (
) (
P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
))
3 = ⋅ 0,11 ⋅ 0,9 2 = 0,243 1
f)
P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0,1 ⋅ 0,9 2 = 0,081
(
)
109. Jelöljük Ai -vel azt az eseményt, hogy a vonat a hét i-edik napján késik. Adatok: P( A1 ) = 0,3 , P( A2 ) = 0,2 , P( A3 ) = 0,1 . a) P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0,7 ⋅ 0,2 ⋅ 0,1 = 0,014
( ) P((A ∩ A ∩ A ) ∪ (A ∩ A
b) 1 2 3 1 2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0,092 c) Fogalmazzuk át az eseményt! Ha három nap közül legfeljebb két napon késik, akkor a vonat nem késik mind a három napon, még másképpen, legalább egy napon nem késik. P A1 ∪ A2 ∪ A3 = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 − 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 = 0,994
(
) (
))
)
d) lsd. c) rész
110. a) P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,032 b)
( ) P((A ∩ A ∩ A ) ∪ (A ∩ A ∩ A ) ∪ (A ∩ A ∩ A )) = 0,096 1
2
3
1
2
3
1
2
3
VII. Független események, Bernoulli-kísérletsorozat Megoldások
111
c) P A1 ∪ A2 ∪ A3 = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 − 0,2 3 = 0,992 d) lsd. c) rész 111. a) P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩...∩ A7 = 0,8 ⋅ 0,2 6 = 5 ⋅ 10 −5
(
)
(
)
7 b) ⋅ 0,2 2 ⋅ 0,8 5 = 0,2753 2 2 7 c) ∑ ⋅ 0,2 k ⋅ 0,8 7 − k = 0,852 k =0 k d)
Most nem lehet azt állítani, hogy a c) részben megfogalmazott eseménnyel egyenlı az itteni esemény, hiszen változott a vizsgált napok száma. P A1 ∪ A2 ∪...∪ A7 = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩...∩ A7 ) = 1 − 0,2 7 = 0,9999872
(
)
112. Jelentse Ai azt az eseményt, hogy az i-edik félkésztermék hibás! Adatok: P( A1 ) = 0,1 , P( A2 ) = 0,15 , P( A3 ) = 0,05 . a) P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 − 0,9 ⋅ 0,85 ⋅ 0,95 = 0,2732 b) amennyiben a termékben legfeljebb két rész nem hibás, úgy nem lehet mind a három rész jó, tehát a termék hibás. Az a) részben éppen ennek a valószínőségét határoztuk meg: 0,2732. c) P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∩ A2 ∩ A3
((
) (
) (
)) = 0,2472
P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0,0027 P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) Az egyenlıséget abból következıen lehetett felírni, hogy az az esemény, hogy mindhárom rész hibás, maga után vonja azt az eseményt, hogy a termék hibás, így a szorzat esemény az, hogy mind a három része a terméknek hibás. P(C ∩ D) 0,2472 e) P( C D) = = = 0,9048 P ( D) 0,2732
d) P( A1 ∩ A2 ∩ A3 A1 ∪ A2 ∪ A3 ) =
P( D) -t, azaz annak valószínőségét, hogy a termék hibás, már az a) részben megadtuk. P(C ∩ D) annak valószínősége, hogy a termék hibás és legfeljebb egy hibás részt tartalmaz. Ez egyszerőbben azt jelenti, hogy a termék egyetlen hibás részt tartalmaz. Valószínőségét a c) részben számoltuk ki. 113. Jelöljük Ai -vel azt az eseményt, hogy az i-edik adó reklámot sugároz!
112
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok Adatok: P( A1 ) = 0,1 , P( A2 ) = 0,2 , P( A3 ) = 0,15 .
( ) P( A ∩ A ∩ A ) = 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,15 = 0,012 P(( A ∩ A ∩ A ) ∪ ( A ∩ A ∩ A ) ∪ ( A ∩ A
a) P A1 ∩ A2 ∩ A3 = 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 = 0,612 b) c)
1
2
1
3
2
3
1
2
3
1
2
∩ A3
= 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,85 + 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,15 + 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,15 = 0,056
( P( A ∩ A
)) =
) ∩ A ) = 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,15 = 0,027
d) P A1 ∪ A2 ∪ A3 = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 − 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,15 = 0,997 e)
1
2
3
f) lsd. c) rész: 0,056. 114. P(A)=p=0,4 síelés valószínűsége n=12 hosszúságú kísérletsorozatról van szó a feladatban. 12 a) ⋅ 0,4 6 ⋅ 0,6 6 =0,1766 6 3 12 12 12 l 12 −l b) ∑ ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = ∑ ⋅ 0,4 k ⋅ 0,612− k =0,0153 l =0 l k =9 k
Bernoulli-
12 c) 1 − ⋅ 0,4 0 ⋅ 0,612 =0,9978 0 12 d) 1 − ⋅ 0,412 ⋅ 0,6 0 ≈ 1 12
115. P(A)=p=0,6 állandó számmal játszik n=8 hosszúságú Bernoullikísérletsorozatról van szó a feladatban. 8 a) ⋅ 0,4 3 ⋅ 0,6 5 =0,2787 3 8 2 8 8 b) ∑ ⋅ 0,6 k ⋅ 0,4 8− k = ∑ ⋅ 0,4 l ⋅ 0,6 8−l =0,3154 k =6 k l =0 l 8 c) 1 − ⋅ 0,4 0 ⋅ 0,6 8 =0,9832 0 8 d) 1 − ⋅ 0,6 8 ⋅ 0,4 0 =0,9832 8
VIII. Valószínűségi változók és jellemzőik Megoldások
113
VIII. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS JELLEMZŐIK Megoldások 116. a) ξ a megvizsgált készülékek száma. Lehetséges értékei: 1, 2, 3, 4. xi
pi
x i ⋅ pi
1 2 3 4
0,4 0,6⋅0,4=0,24 0,6 2 ⋅ 0,4 = 0,144 0,6 3 = 0,216 ∑ pi = 1
0,4 0,48 0,432 0,864
i
x i ⋅ pi 0,4 0,96 1,296 3,456 2
M (ξ ) =
∑x p i
i
= 2,176
i
∑x
2 i
pi = 6,112
i
b) M (ξ ) = ∑ xi pi = 2,176 , D(ξ ) =
( )
M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 11735 ,
i
0 0,4 c) F ( x) = P(ξ < x) = 0,64 0,784 1
( )
M ξ2 =
ha x ≤ 1 ha 1 < x ≤ 2 ha 2 < x ≤ 3 ha 3 < x ≤ 4 ha 4 < x
d) P(ξ = 3) = 0,144 megadja annak a valószínűségét, hogy három készüléket vizsgálunk meg. e) F (2) = P(ξ < 2) = P(ξ = 1) = 0,4 megadja annak a valószínűségét, hogy 2-nél kevesebb, azaz egy készüléket vizsgálunk meg.
117. a) ξ megadja annak a számát, ahány járaton nincs szabad hely a három közül. Lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. 2 xi pi x i ⋅ pi x i ⋅ pi 0 0 0 0,1⋅0,3⋅0,4=0,012 1 0,9⋅0,3⋅0,4+0,1⋅0,7⋅0,4+0,1⋅0,3⋅0,6=0,154 0,154 0,154 2 0,9⋅0,7⋅0,4+0,9⋅0,3⋅0,6+0,1⋅0,7⋅0,6=0,456 0,912 1,824 3 0,9⋅0,7⋅0,6=0,378 1,134 3,402 ∑: 1 ∑: 2,2 ∑: 5,38
114
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
b) M (ξ ) = ∑ xi pi = 2,2 D(ξ ) = 5,38 − 2,2 2 = 0,7348 i
0 0,012 c) F ( x) = P(ξ < x) = 0,166 0,622 1
ha x ≤ 0 ha 0 < x ≤ 1 ha 1 < x ≤ 2 ha 2 < x ≤ 3 ha 3 < x
d) P(ξ = 2,5) = 0 lehetetlen olyan eset, hogy 2,5 járaton nincs szabad hely. P(ξ < 2,5) = F (2,5) = 0,622 118. a) Az eloszlást P(ξ = k ) = p k megadásával is meg lehet most határozni, mivel nevezetes eloszlásról van szó a feladatban:
xi
pi
x i ⋅ pi
0
3 0 3 0,8 ⋅ 0,2 = 0,008 0
0
x i ⋅ pi 0
1
3 1 2 0,8 ⋅ 0,2 = 0,096 1
0,096
0,096
2
3 2 1 0,8 ⋅ 0,2 = 0,384 2
0,768
1,536
3
3 3 0 0,8 ⋅ 0,2 = 0,512 3
1,536
4,608
∑: 1
∑: 2,4
∑: 6,24
2
3 P(ξ = k ) = 0,8 k ⋅ 0,2 3− k (k=0,1,2,3). k b) Mivel nevezetes, binomiális eloszlást követ a valószínűségi változó, így várható értékét és szórását nem csak a táblázatból, hosszas számolgatás eredményeként kaphatjuk meg, hanem az ismert képlet alapján is: M (ξ ) = np = 2,4 D(ξ ) = npq = 0,6928 vagy esetleg így:
D(ξ ) =
( )
M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 6,24 − 2,4 2 = 0,6928
Arra, hogy a valószínűségi változó n=3, p=0,8 paraméterű binomiális eloszlást követ abból jöhetünk rá, hogy a feladatban egy három
VIII. Valószínűségi változók és jellemzőik Megoldások
115
hosszúságú Bernoulli- kísérletsorozat szerepel. A gépek telítettsége egymástól függetlennek tekinthető és minden gépre ugyanakkora valószínűségű. ha x ≤ 0 0 0,008 ha 0 < x ≤ 1 c) F ( x) = P(ξ < x) = 0,104 ha 1 < x ≤ 2 0,488 ha 2 < x ≤ 3 1 ha 3 < x
d) P(ξ = 2,5) = 0 , P(ξ < 2,5) = F (2,5) = 0,488 e) F ( M (ξ )) = F (2,4) = 0,488 . 119. a) xi 1 2 3 4
pi 0,3 0,7.0,3=0,21 0,7.0,7.0,3=0,147 0,7.0,7.0,7=0,343 ∑ pi = 1
b) M (ξ ) = ∑ xi pi = 2,533
x i ⋅ pi 0,3 0,42 0,441 1,372 ∑ xi ⋅ pi =2,533
i
c) F (4) = P(ξ < 4) = 0,3+0,21,0,147=0,657 annak a valószínűsége, hogy 4-nél kevesebbszer dobunk kosárra, azaz legfeljebb harmadik próbálkozásra sikerül bedobni a labdát a kosárba. 120. a) xi
pi
x i ⋅ pi
0 1 2 3
0,8⋅0,7⋅0,4=0,224 0,2⋅0,7⋅0,4+0,8⋅0,3⋅0,4+0,8⋅0,7⋅0,6=0,488 0,2⋅0,3⋅0,4+0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6=0,252 0,2⋅0,3⋅0,6=0,036 ∑: 1
0 0,488 0,504 0,108 ∑: 1,1
x i ⋅ pi 0 0,488 1,008 0,324 ∑: 1,82 2
116
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
b) M (ξ ) = 11 , , D(ξ ) = 1,82 − 11 , 2 = 0,781 0 0,224 c) F ( x) = P(ξ < x) = 0,712 0,964 1
ha x ≤ 0 ha 0 < x ≤ 1 ha 1 < x ≤ 2 ha 2 < x ≤ 3 ha 3 < x
d) P(1 ≤ ξ < 3) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 0,74 másképpen
P(1 ≤ ξ < 3) = F (3) − F (1) = 0,74 e) A kifejezés annak a valószínűségét adja, hogy az egy éven belül meghibásodott gépek száma benne van a vártnak szórás sugarú környezetében. P(1,1 − 0,781 < ξ < 1,1 + 0,781) = P(ξ = 1) = 0,488
121. a) xi
pi
x i ⋅ pi
0
3 0 3 0,3 ⋅ 0,7 = 0,343 0
0
x i ⋅ pi 0
1
3 1 2 0,3 ⋅ 0,7 = 0,441 1
0,441
0,441
2
3 2 1 0,3 ⋅ 0,7 = 0,189 2
0,378
0,756
3
3 3 0 0,3 ⋅ 0,7 = 0,027 3
0,081
0,243
2
∑: 1 ∑: 0,9 ∑: 1,44 Az eloszlást megadhattuk volna a következő módon 3 P(ξ = k ) = 0,3 k ⋅ 0,7 3− k (k=0,1,2,3) k b) M (ξ ) = 0,9 = (np) ,
D(ξ ) = 1,44 − 0,9 2 = 0,7937 =
(
)
npq .
is:
A
zárójelben az a képlet található, amivel rövidebben számolhattuk volna a várható értéket és a szórás, ha felismerjük, hogy n=3, p=0,3 paraméterű binomiális eloszlást követ a valószínűségi változó.
VIII. Valószínőségi változók és jellemzıik Megoldások 0 0,343 c) F ( x ) = P(ξ < x ) = 0,784 0,973 1
ha
x≤0
ha ha ha ha
0 < x ≤1 1< x ≤ 2 2< x≤3 3< x
117
d) P(1 ≤ ξ < 3) = 0,63 e) P(0,9 − 0,7937 < ξ < 0,9 + 0,7937) = P(ξ = 1) = 0,441 122. a) xi pi x i ⋅ pi 1 0,25 0,25 2 0,75.0,25=0,1875 0,375 3 0,75.0,75.0,25=0,1406 0,4218 4 0,75.0,75.0,75=0,4219 1,6876 ∑ p i =1 ∑ xi ⋅ pi =2,7344 b) M (ξ ) = ∑ xi pi = 2,7344 i
c) F (3) = P(ξ < 3) = 0,25+0,1875=0,4375 annak a valószínősége, hogy háromnál kevesebb gyümölcsfát vizsgálunk meg. Másképpen annak a valószínősége, hogy legfeljebb második vizsgálatra beteg fára akadunk. 123. a) Tekintsünk most már el a táblázattól, hiszen egyrészt túl sok sora lenne, másrészt a képzési szabályra egy, két érték kiszámolása után rájönnénk, ha még nem fedeztük fel a Bernoulli- kísérletsorozatot, ezzel együtt a valószínőségi változó binomiális eloszlását. 6 P(ξ = k ) = 0,3k ⋅ 0,7 6−k (k=0,1,2,...,6) k b) M (ξ ) = np = 1,8 , D(ξ ) = npq = 6 ⋅ 0,3 ⋅ 0,7 = 11225 , . c) A kifejezés megadja annak valószínőségét, hogy ξ-nek a várható értéktıl való eltérése kisebb, mint a szórás, azaz azt, hogy egy éven belül meghibásodott gépek száma a vártat a szórásnál jobban megközelíti. Értéke: 0,6266
118
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
124. xi
pi
x i ⋅ pi
1 2 3 4 5
0,6 0,4⋅0,7=0,28 0,4⋅0,3⋅0,6=0,072 0,4⋅0,3⋅0,4⋅0,7=0,0336 0,4⋅0,3⋅0,4⋅0,3=0,0144 ∑: 1
0,6 0,56 0,216 0,1344 0,072 ∑: 1,5824
2
D(ξ ) = 3,2656 − 1,5824 2 = 0,8727 .
M (ξ ) = 1,5824 ,
125.
x i ⋅ pi 0,6 1,12 0,648 0,5376 0,36 ∑: 3,2656
xi
pi
x i ⋅ pi
0
7 18 0 4 3060 = 12650 25 4
0
x i ⋅ pi 0
1
7 18 1 3 5712 = 12650 25 4
5712 12650
5712 12650
2
7 18 2 2 3213 = 12650 25 4
6426 12650
12852 12650
3
7 18 3 1 630 = 25 12650 4
1890 12650
5670 12650
4
7 18 4 0 35 = 12650 25 4
140 12650
560 12650
∑: 1
∑: 1,12
∑: 1,96
M (ξ ) = 1,12 , D(ξ ) = 1,96 − 1,12 2 = 0,84 .
2
VIII. Valószínűségi változók és jellemzőik Megoldások
119
A fenti számolásnál sokkal rövidebb időt vesz igénybe a következő: felismerjük, hogy a feladatban egy nevezetes eloszlás szerepel: az alaphalmazt két részhalmazra bontunk aszerint, hogy a benne lévő elemek rendelkeznek-e vagy sem egy adott tulajdonsággal. Az alaphalmazból négyelemű mintát veszünk visszatevés nélkül. A valószínűségi változó a mintában lévő adott tulajdonságú elemek száma. Ekkor ismert, hogy a valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlást követ. Ha az eloszlás paramétereit meg tudjuk adni, abból a várható érték is és a szórás is már egyszerűen, rövid idő alatt számolható: 7 M (ξ ) = np = 4 ⋅ , 25 N−n 7 18 25 − 4 D(ξ ) = npq = 4⋅ ⋅ ⋅ = 0,84 . N −1 25 25 24 126. xi 0 1 2 3
pi 0,8.0,8.0,8=0,512 0,8.0,8.0,2=0,128 0,8.0,2=0,16 0,2 ∑ pi =1 a) A fenti táblázat első két oszlopában látható a eloszlása. b) M (ξ ) = ∑ xi pi = 1,048 i
x i ⋅ pi 0 0,128 0,32 0,6 ∑ xi ⋅ pi =1,048 valószínűségi változó
c) F (1) = P(ξ < 1) = 0,512 annak a valószínűsége, hogy 1-nél kevesebb javítandó dolgozata marad másnap reggelre. Másképpen annak a valószínűsége, hogy nem marad másnapra javítandó dolgozata. 127. 2 xi pi x i ⋅ pi x i ⋅ pi -2 0,2 -0,4 0,8 0 0,1 0 0 4 0,4 1,6 6,4 5 0,3 1,5 7,5 ∑: 1 ∑: 2,7 ∑: 14,7 M (ξ ) = 2,7 , D(ξ ) = 14,7 − 2,72 = 2,7221 .
120
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
121
IX. NEVEZETS DISZKRÉT ELOSZLÁSOK BINOMIÁLIS, HIEPRGEOMETRIKUS, POISSON-ELOSZLÁS Megoldások 128. Az első két feladatnál ajánlom, hogy az eddig szokásos módokon is adjuk meg az eloszlásokat, definíció segítségével számoljunk várható értéket és az ismert tétel felhasználásával szórást. Az is igaz viszont, hogy ez túl hosszadalmas. Ha nevezetes eloszlásunk van, mind az eloszlást, mind a várható értéket, szórást sokkal gyorsabban adhatjuk meg. Binomiális eloszlás megadása esetén jó néhány n és p esetére pedig táblázat áll rendelkezésünkre. Ajánlom továbbá, hogy mindig írjuk ki szöveggel, mi a valószínűségi változó, milyen nevezetes eloszlást követ, majd az eloszlást paramétereit! a) ξ: a 4 elemű mintában található selejtes termékek száma. ξ binomiális eloszlást követ, melynek paraméterei: n=4 (a minta elemszáma) és p=0,2 (annak valószínűsége, hogy egy húzásra selejtes terméket választunk, másképpen a selejtes termékek részaránya a teljes halmazban). xi
pi
xi pi
0
4 0 4 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,4096 0
0
x i pi 0
1
4 1 3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,4096 1
0,4096
0,4096
2
4 2 2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,1536 2
0,3072
0,6144
3
4 3 1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,0256 3
0,0768
0,2304
4
4 4 0 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,0016 4
0,0064
0,0256
M (ξ ) =
M ξ2 =
∑p
i
=1
2
∑x p
i
i
i
= 0,8
i
D(ξ ) =
( )
M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 1,28 − 0,8 2 = 0,8
( )
∑x i
2
i
pi = 1,28
122
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok A harmadik feladattól kezdve az alábbi módon fogjuk nevezetes eloszlások esetén megadni az eloszlást: 4 P(ξ = k ) = ⋅ 0,2 k ⋅ 0,8 4 − k , ahol k=0, 1, 2, 3, 4. Az egyszerűség k kedvéért P(ξ = k ) -t p k -val is szoktuk jelölni. A kiszámolt értékeket a példatár végén levő táblázatból is nézhetjük. Binomiális eloszlást követő valószínűségi változó várható értékének és szórásának megadásához az ismert összefüggéseket használhatjuk fel: M (ξ ) = np = 4 ⋅ 0,2 = 0,8
D(ξ ) = npq = 4 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,8 Hasonlóan járjunk el az η valószínűségi változó eloszlásának megadásakor!
xi
pi
xi pi
0
4 0 4 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,0016 0
0
x i pi 0
1
4 1 3 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,0256 1
0,0256
0,0256
2
4 2 2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,1536 2
0,3072
0,6144
3
4 3 1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,4096 3
1,2288
3,6864
4
4 4 0 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,4096 4
1,6384
6,5536
∑p
M (η) = 3,2
M η 2 = 10,88
i
=1
i
D(η) =
( )
M η 2 − M 2 (η) = 10,88 − 3,2 2 = 0,8
Most rövidebben: 4 P(η = k ) = ⋅ 0,8 k ⋅ 0,2 4 − k , ahol k=0, 1, 2, 3, 4. k M (ξ ) = np = 4 ⋅ 0,8 = 3,2
2
( )
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
123
D(ξ ) = npq = 4 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,8
Vegyük észre, hogy P(η = k ) = P(ξ = 4 − k ) . Szavakkal: az az esemény, hogy egy négy elemű mintában k db jó termék van egyenlő azzal, hogy a mintában 4-k db selejtes termék van. Néhány szó a táblázat használatáról: p=0,8 értékre nincsen táblázatunk, hiszen p=0,2 értéknél megtalálhatók, csak jó helyen kell nézni. Ajánlom, hogy válassza ki p és q közül a kisebbiket (ha p=q=0,5, akkor mindegy melyiket), és annak kitevője, mint k értéknél keresse a táblázatban a kifejezés számértékét. b) A kérdésben szereplő eseményt mindkét valószínűségi változó felhasználásával tudjuk formalizálni. Ha táblázatból akarjuk a kifejezések számértékét kiírni, akkor munkánk egyszerűsítése érdekében érdemes azon esemény bekövetkezéseinek számát vizsgálnunk, amelyik kisebb valószínűséggel következik be. Esetünkben annak a valószínűsége, hogy selejtes terméket választunk kisebb, mint annak, hogy jó terméket. 4 4 P(η > 2) = P(ξ < 2) = ⋅ 0,2 0 ⋅ 0,8 4 + ⋅ 0,2 1 ⋅ 0,8 3 = 0,8192 . 0 1 Vegyük észre, hogy P(ξ < 2) = F1 (2) definíció szerint. Nem lett volna más dolgunk, csak a b) részben megnézni a 2 helyen a függvényértéket.
129. a) ξ: a 4 elemű mintában található selejtes termékek száma. ξ hipergeometriai eloszlást követ, melynek paraméterei: N=40 (az alaphalmaz elemszáma), M=8 (a kitüntetett tulajdonságú elemek száma), n=4 a minta elemszáma) . 2 xi pi xi pi x i pi 0
8 32 0 4 35960 = = 0,3935 91390 40 4
0
0
1
8 32 1 3 39680 = = 0,4342 91390 40 4
39680 91390
39680 91390
124
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok 2
8 32 2 2 13888 = = 0,1520 91390 40 4
27776 91390
55552 91390
3
8 32 3 1 1792 = = 0,0196 91390 40 4
5376 91390
16128 91390
4
8 32 4 0 70 = = 0,0007 91390 40 4
280 91390
1120 91390
∑p
M (ξ ) = 0,8
M ξ2
i
=1
i
D(ξ ) =
=1,23
( )
M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 1,23 − 0,8 2 = 0,768
Egyszerűbben: 8 32 k4 − k P(ξ = k ) = , ahol k=0, 1, 2, 3, 4. 40 4 M (ξ ) = np = 4 ⋅ 0,2 = 0,8
N −n 36 = 4 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 ⋅ = 0,769 . N −1 39 32 8 k 4 − k η eloszlása: P(η = k ) = , ahol k=0, 1, 2, 3, 4. 40 4 M (η ) = np = 4 ⋅ 0,8 = 3,2 D(ξ ) = npq
D(η) = npq b)
( )
N −n 36 = 4 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ = 0,769 . N −1 39
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
125
b) P(η > 2) = P(ξ < 2) = F ( 2) = 0,8277 130. ξ legyen a kiválasztott 4 személy között azok száma, akik az A nyugdíjpénztárnak tagjai! A ξ valószínőségi változó N=12, M=7, n=4 paraméterő hipergeometriai eloszlást követ, azaz 7 5 k 4 − k P(ξ = k ) = , ahol k=0, 1, 2, 3, 4. Az egyes 12 4 valószínőségek: p4 =
p0 =
5 , 495
p1 =
70 , 495
p2 =
210 , 495
p3 =
175 , 495
35 . 495
40 = 0,0808 495 420 b) P(ξ ≥ 2) = p2 + p3 + p4 = = 0,8485 495 c) A legfeljebb 3 fı tagja a B nyugdíjpénztárnak ekvivalens azzal, hogy legalább 1 fı tagja az A nyugdíjpénztárnak. 490 P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) = 1 − p0 = = 0,9899 495 7 M 7 d) M (ξ ) = np = n ⋅ = 4⋅ = . N 12 3
a) P (ξ = 0 ∪ ξ = 4 ) = p 0 + p 4 =
131. A Poisson-eloszlást egyetlen paraméter egyértelmően meghatározza, amit általában λ-val jelölünk. Poisson-eloszlást követı valószínőségi változó várható értéke éppen λ. Általában a valószínőségi változó várható értékbıl következtetünk az eloszlás paraméterére és ebbıl a kérdéses események valószínőségére. a) Ajánlatos minden feladatnál kiírni, mi a valószínőségi változó és mennyi a várható értéke. A ξ valószínőségi változó az egy félév alatt a reklámirodához érkezı nagy megbízások száma. M (ξ ) = λ = 6 60 61 62 63 P(ξ > 3) = 1 − P(ξ ≤ 3) = 1 − e −6 + e −6 + e −6 + e −6 = 1! 2! 3! 0! = 1 − e −6 (1 + 6 + 18 + 36) = 0,8488
126
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
6 k −6 e = 0,8488 . Az első módon azért k = 0 k! ajánlom a megoldást, hogy tudjuk, nemcsak táblázattal tudunk valószínűség-értékeket keresni, hanem saját magunk is számolhatunk és egy-két átalakítás segítségével dolgunkat nagymértékben megkönnyíthetjük vagy lerövidíthetjük. A második módon azért szerepel minden tag táblázatból vett értéke 4 tizedesjegy pontossággal, hogy mindenki követhesse a táblázat használatát is. Először λ értékét keressük meg, majd a közvetlen alatta levő érték, ami k=0-hoz tartozik megadja annak a valószínűségét, hogy fél év alatt nem kap a cég megrendelést egyetlen nagy reklámkampány kidolgozására sem. stb. 5 6k b) P( ξ < M (ξ )) = P(ξ < 6) = ∑ e −6 = k =0 k ! = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 + 0,0892 + 0,1339 + 0,1606 = 0,4457 6 0 −6 c) P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) = 1 − e = 1 − e −6 = 1 − 0,0025 = 0,9975 0! Megjegyzés: A Poisson-eloszlás, mint a binomiális eloszlás határesete került először tárgyalásra azzal a tétellel, mely szerint n λk − λ lim p k q n − k = e , ha n → ∞ esetén p → 0 úgy, hogy közben n →∞ k k! np=λ állandó. Kérdés, hogy fedezhető fel a feladatban a nagyon hosszú Bernoulli-kísérletsorozat? A fél éves időtartamot felfoghatjuk nagyon sok kicsi, egyenlő hosszúságú időintervallum összegeként, ahol minden kicsi időintervallumban a reklámirodát a megrendelők megbízással kereshetik meg. A kísérletsorozat abban áll, hogy sorra vizsgáljuk, az egyes időintervallumokon kapott-e az iroda ilyen volumenű megrendelést. Az egyes időintervallumokon a vizsgált esemény bekövetkezése egymástól független és ugyanakkora, meglehetősen kicsi valószínűséggel következik be. Esetünkben a kicsi időintervallumok száma: n olyan nagy, hogy nincs is sok értelme konkrétan megadni. Ez úgy fogalmazzuk, hogy az egész tartomány méretéhez képest a kicsiny rész-időintervallumok pontszerűek. Binomiális eloszlás esetén a valószínűségi változó várható értéke np alapján számolható, ami esetünkben 6. A tétel feltételeit kielégítettük, tehát jó közelítéssel a Poisson-eloszlással kapott értékek megadják a binomiális eloszlással kapott értékeket. 3
P(ξ > 3) = 1 − P(ξ ≤ 3) = 1 − ∑
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
127
132. a) ξ: a kipróbált autók között a sérültek száma. A ξ valószínőségi változó hipergeometriai eloszlást követ, amelynek paraméterei: N=40, M=28, n=5. Az eloszlás: 28 12 k 5 − k P(ξ = k ) = , ahol k=0, 1, 2, 3, 4, 5. 40 5 28 12 0 5 792 P(ξ = 0) = = = 0,0012 658008 40 5 b) legalább két autónak nem volt balesete ekvivalens azzal, hogy legfeljebb három autónak volt balesete. 28 12 28 12 + 4 1 5 0 P(ξ ≤ 3) = 1 − P(ξ ≥ 4) = 1 − = 0,4772 40 5 c) P(ξ < Mξ ) = P(ξ < np) = P(ξ < 3,5) = P(ξ ≤ 3) = 0,4772 d) η jelentse azon autók számát, amelyeknek nem volt balesete! η valószínőségi változó N=40, M=12, n=5 paraméterő hipergeometriai eloszlást követ: 12 28 k 5 − k P(η = k ) = , ahol k=0, 1, 2, 3, 4, 5 40 5
N −n M 12 = 5⋅ = 1,5 D(η ) = npq = 0,97 N 40 N −1 133. A ξ valószínőségi változó jelentse a 12 riasztás között az indokolatlanok számát! A ξ valószínőségi változó n=12, p=0,05 paraméterő binomiális eloszlást követ, mivel a feladatban egy 12 hosszúságú Bernoulli- kísérletsorozatról van szó. Feltételezhetı, hogy a hívások egymástól függetlenül érkeznek és ugyanakkora valószínőséggel indokolatlanok. M (η ) = np = n
128
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
12 a) P(ξ = k ) = ⋅ 0,05 k ⋅ 0,9512 − k , ahol k=0, 1, 2,...,12. Értékeit a k példatár végén levő táblázatban nézhetjük meg. 6 12 P(3 < ξ ≤ 6 ) = ∑ ⋅ 0,05 k ⋅ 0,9512− k = 0,0023 k =4 k b) P(ξ < 3M (ξ )) = P(ξ < 3np ) = P(ξ < 1,8) = 0,5404+0,3413=0,8817 c) 10 indokolt riasztás 2 indokolatlan riasztást jelent a 12 hívás között. Ennek a valószínűsége: 12 P(ξ = 2) = ⋅ 0,052 ⋅ 0,9510 = 0,0988 2 Bevezethettünk volna egy új η valószínűségi változót, ami a 12 hívás közül az indokolt riasztások számát adja meg. Ez is binomiális eloszlást követ, aminek paraméterei: n=12 és p=0,95. A kérdésben megfogalmazott esemény valószínűsége: 12 P(η = 10) = ⋅ 0,9510 ⋅ 0,052 = 0,0988 . Arra kell csak vigyáznunk, 10 hogy az eloszlás táblázatában ne k=10 helyen nézzük az értéket, hanem k=2 helyen. d) Legalább 9 indokolt riasztás legfeljebb három indokolatlan riasztás jelent. Valószínűsége: 12 12 P(η ≥ 9) = ⋅ 0,95 9 ⋅ 0,05 3 + ⋅ 0,9510 ⋅ 0,05 2 + 9 10
12 12 + ⋅ 0,9511 ⋅ 0,051 + ⋅ 0,9512 ⋅ 0,05 0 11 12 12 12 P(ξ ≤ 3) = ⋅ 0,05 3 ⋅ 0,95 9 + ⋅ 0,05 2 ⋅ 0,9510 + 3 2 12 12 + ⋅ 0,051 ⋅ 0,9511 + ⋅ 0,05 0 ⋅ 0,9512 1 0
Az esemény valószínűsége 0,9978.
134. A ξ valószínűségi változó egy évet tekintve azon munkanapok száma, amikor az adott munkást betegsége miatt helyettesíteni kell. Ennek várható értéke: M(ξ)=8. 7 8k 85 86 87 a) P( 5 ≤ ξ < M (ξ )) = P(5 ≤ ξ < 8) = ∑ e −8 = e −8 + e −8 + e −8 = 5! 6! 7! k =5 k !
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
129
= 0,0916 + 0,1221 + 0,1396 = 0,3533
8 k −8 e = 0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + 0,0286 = 0,0423 k =0 k ! c) Változik a valószínűségi változó, hiszen változik a vizsgált időtartam. Legyen η valószínűségi változó azon munkanapok száma fél év alatt, amikor a munkást betegsége miatt helyettesíteni kell. A várható értéke a ξ valószínűségi változó várható értékének negyedrésze. 20 P(1 ≤ η) = 1 − P(η = 0) = 1 − e −2 = 1 − 0,1353 = 0,8647 0! d) Egyenes arányossággal következtethetünk az időtartamra:1 év alatt 8 nap átlagosan, x év alatt 18 nap átlagosan, 2,25 év alatt tölt átlagosan 18 napot betegszabadságon az adott munkás. 3
b) P(ξ ≤ 3) = ∑
135. A ξ valószínűségi változó jelentse a 20 fő között az allergiás betegek számát! A ξ valószínűségi változó n=20, p=0,3 paraméterű binomiális eloszlást követ, mivel a feladatban egy 20 hosszúságú Bernoullikísérletsorozatról van szó. Feltételezhető, hogy munkatársaink allergiás betegsége egymástól független és minden emberre ugyanannyi a valószínűsége, hogy ebben a betegségben szenved. 20 P(ξ = k ) = ⋅ 0,3 k ⋅ 0,7 20− k , ahol k=0, 1, 2,...,20. Értékeit a példatár k végén levő táblázatban nézhetjük meg. 20 a) P(ξ = 6) = ⋅ 0,36 ⋅ 0,7 14 = 0,1916 6 5 20 b) P( ξ < M (ξ )) = P(ξ < 6) = ∑ ⋅ 0,3 k ⋅ 0,7 20− k = 0,4163 k =0 k
(
)
c) P ξ − M (ξ ) < D(ξ ) = P( ξ − 6 < 2,05) = P(6 − 2,05 < ξ < 6 + 2,05) = 8 20 d) = P(4 ≤ ξ ≤ 8) = ∑ ⋅ 0,3 k ⋅ 0,7 20− k = 0,7796 k =4 k
136. A ξ valószínűségi változó legyen a pénztárnál 5 és 6 óra között jegyet váltók száma! Ennek várható értéke: M(ξ)=9. 13 9 k −9 a) P(7 < ξ < 1,5 ⋅ M (ξ )) = P(7 < ξ < 13,5) = ∑ e =0,6024 k =8 k ! Az egyes értékek táblázatból nézhetők. Az első és utolsó tag szerepel csak a fenti kifejezésben.
130
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
b) P( ξ − M (ξ ) < D(ξ )) = P( ξ − 9 < 3) = P(6 < ξ < 12) = 0,5963 c) 1,5 d) 1-0,2231=0,7769 137. A ξ valószínűségi változó jelentse azon utasok számát, akik legfeljebb 100 km távolságra utaznak! A ξ valószínűségi változó N=40, M=24, n=3 paraméterű hipergeometriai eloszlást követ: 24 16 k 3 − k a) P(ξ = k ) = , ahol k=0, 1, 2, 3. 40 3 560 2880 Konkrétan: p0 = = 0,0567 , p1 = = 0,2915 , 9880 9880 4416 2024 p2 = = 0,4470 , p3 = = 0,2048 9880 9880 M (ξ ) = np = 3 ⋅ 0,6 = 1,8
D(ξ ) = npq
N −n 37 = 3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 ⋅ = 0,8265 N −1 39
b) P(ξ ≤ 1) = P(ξ < 2) = F (2) = 0,3482 c) Az, hogy legfeljebb egy személy utazik 100 km-nél távolabbra ekvivalens azzal, hogy legalább két személy utazik legfeljebb 100 km távolságra. P(ξ ≥ 2) = 1 − P(ξ < 2) = 1 − F (2) = 0,6518 137. 138. A ξ valószínűségi változó jelentse a 15 gép között azok számát, amelyek dobozában ajándék van. A ξ valószínűségi változó n=15, p=0,2 paraméterű binomiális eloszlást követ, mivel a feladatban egy 15 hosszúságú Bernoulli kísérletsorozatról van szó. Az egyes dobozokban egymástól függetlenül, ugyanakkora valószínűséggel van ajándék. 15 P(ξ = k ) = ⋅ 0,2 k ⋅ 0,815− k , ahol k=0, 1, 2,...,15. Értékeit a példatár k végén levő táblázatban nézhetjük meg. 3 15 a) P(ξ < 4) = ∑ ⋅ 0,2 k ⋅ 0,815− k = 0,6481 k =0 k
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
131
15 b) P(ξ = 3) = ⋅ 0,2 3 ⋅ 0,812 = 0,2501 3 15 15 1 c) P ξ < M (ξ ) = P(ξ < 1,5) = ⋅ 0,2 0 ⋅ 0,815 + ⋅ 0,21 ⋅ 0,814 = 2 0 1 0,1671 d) Azon dobozok számának várható értéke, melyben nincsen ajándék: 12. Az, hogy 12 -nél több dobozban nincsen ajándék ekvivalens azzal, hogy 3-nál kevesebb dobozban van ajándék. 2 15 P(ξ < 3) = ∑ ⋅ 0,2 k ⋅ 0,815− k = 0,398 k =0 k
e) P ξ − M (ξ ) > 2 D(ξ ) = P( ξ − 3 > 2 ⋅ 1,55) = P(ξ > 6,1) =
(
)
15 15 = ∑ ⋅ 0,2 k ⋅ 0,815− k = 0,0181 k =7 k 139. Legyen a ξ valószínőségi változó értéke a tőzoltósághoz két hét alatt érkezı riasztások száma! Ennek várható értéke: M(ξ)=10. ∞ 10 k −10 e =0,0016 a) P(ξ > 20) = ∑ k = 21 k! Azt hihetnénk, hogy érdemes az ellentétes esemény valószínőségét meghatározni, hiszen az véges sok elemi esemény összegeként áll elı, míg a kérdéses esemény végtelen számú elemi esemény összege. Azért nem érdemes mégsem így elindulni, mert a valószínőségi változó a várható érték kétszeresénél nagyobb értékeket már igen kicsi valószínőséggel vesz fel. Esetünkben ez azt jelenti, hogy a négy tizedesjegy pontosság nem elég meghatározására, mert az ötödik tizedesjegynél kezdıdnek értékes számjegyek. b) P( ξ − M (ξ ) < 0,2 ⋅ M (ξ )) = P(ξ − 10 < 2) = P(8 < ξ < 12) = 0,3639
c) Legyen az η valószínőségi változó a tőzoltó kapitánysághoz egy hét alatt érkezı riasztások száma. A várható értéke: M(η)=5. 55 P(η = 5) = e −5 = 0,1755 5! 140. A ξ valószínőségi változó jelentse a 18 fıs csoportban influenzában megbetegedık számát! A ξ valószínőségi változó n=18, p=3/20=0,15 paraméterő binomiális eloszlást követ, mivel a feladatban egy 18 hosszúságú Bernoulli kísérletsorozatról van szó. 3 18 a) P(ξ ≤ 3) = ∑ ⋅ 0,15 k ⋅ 0,8518− k = 0,7202 k =0 k
132
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
b) P( ξ > M (ξ )) = P(ξ > 18 ⋅ 0,15) = 1 − P(ξ ≤ 2,7) = 2 18 = 1 − ∑ ⋅ 0,15 k ⋅ 0,8518− k = 0,5204 k =0 k c) 15-nél több a meg nem betegedtek száma azt jelenti, hogy 3-nál kevesebb a betegek száma. Bevezethetünk új valószínűségi változót is, ha nem akarjuk átfogalmazni a feladatot a megbetegedettek számára. 2 18 P(ξ < 3) = ∑ ⋅ 0,15 k ⋅ 0,8518− k = 0,4796 k =0 k d) Legyen η a meg nem betegedett egyének száma a csoportban! Az η is binomiális eloszlást követ n= 18 és p=0,85 paraméter értékekkel. M (η) = 18 ⋅ 0,85 = 15,3
D(η) = 18 ⋅ 0,85 ⋅ 0,15 = 1,5149
141. Legyen ξ a 15 nap közül azok száma, amikor a BUX index nő. A valószínűségi változó n=15, p=0,7 paraméterű binomiális eloszlást követ. 15 15 a) P(ξ ≥ 12) = ∑ ⋅ 0,7 k ⋅ 0,315− k = 0,2968 . Aki a táblázatból akarja k = 12 k nézni a számértékeket, ajánlom, hogy azt nézze, hogy a 0,3-es tényező kitevője milyen határok között változik. A táblázatban ezen számok adják a k-nak feltüntetett értékeket. Átfogalmazhatjuk a feladatot azon napok számára, amikor a BUX index nem nő. 3 15 P(ξ ≤ 3) = ∑ ⋅ 0,3k ⋅ 0,715− k = 0,2968 k =0 k b) Az ellentétes eseménye annak, hogy lesz olyan nap, amikor nem nő a BUX index a következő: minden nap nő a BUX index. 15 1 − ⋅ 0,7 15 ⋅ 0,30 = 0,9953 15 15 15 c) P(ξ ≥ M (ξ )) = P(ξ ≥ 10,5) = ∑ ⋅ 0,7 k ⋅ 0,315− k = 0,5154 k =11 k
(
)
d) P ξ − M (ξ ) ≤ D(ξ ) = P( ξ − 10,5 ≤ 1,77) = P(8,73 ≤ ξ ≤ 12,27) = 12 15 6 15 = ∑ ⋅ 0,7 k ⋅ 0,315− k = ∑ ⋅ 0,3l ⋅ 0,7 15−l = 0,7419 k =9 k l=3 l
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
133
142. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke az üzletember félórás ebédszünetében érkező telefonhívásainak száma! Várható értéke: M(ξ)=2,5 2,50 −2 ,5 a) P(ξ = 0) = e = 0,0821 0! b) M(ξ)=2,5 c) P ξ − M (ξ ) > D(ξ ) = P ξ − 2,5 > 2,5 = 1 − P(0,92 < ξ < 4,08) =
(
)
(
)
2,5k −2 ,5 = 0,1909 e k =1 k ! 4
= 1− ∑ 143. a) b) c) d)
0,9998 0,4515 1,15 0,6166
144. Legyen a ξ valószínűségi változó a 14 fő között azok száma, akik legalább egy meccset megnéztek! A valószínűségi változó n=14, p=0,8 paraméterű binomiális eloszlást követő valószínűségi változó, mivel a feladatban egy 14 hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozatról van szó. 14 14 2 14 a) P(ξ ≥ 12) = ∑ ⋅ 0,8 k ⋅ 0,2 14 − k = ∑ ⋅ 0,2 l ⋅ 0,814 − l = 0,448 k =12 k l =0 l b) "Van olyan, aki egyetlen meccset sem nézett meg" ellentétes eseményének néhány megfogalmazása: "nincs olyan ember, aki egyetlen meccset sem nézett meg" ill. "minden ember megnézett legalább egy meccset". Az átfogalmazások segítségével az eredeti esemény valószínűsége: 14 14 1 − P(ξ = 14) = 1 − ⋅ 0,814 ⋅ 0,2 0 = 1 − ⋅ 0,2 0 ⋅ 0,814 = 0,956 14 0 Akinek ez nem túl szimpatikus megoldás, vezessen be új valószínűségi változót, η-t, ami a 14 személy között azok számát adja meg, hányan nem nézték a foci EB egyetlen meccsét sem. Az η n=14, p=0,2 paraméterű binomiális eloszlást követő valószínűségi változó. A megfogalmazott esemény valószínűsége: 14 P(η ≥ 1) = 1 − P(η = 0) = 1 − ⋅ 0,2 0 ⋅ 0,814 = 0,956 0 c) P( ξ − M (ξ ) ≥ 2 ) = P(ξ − 11,2 ≥ 2 ) = 1 − P(9,2 < ξ < 13,2) =
134
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
4 14 ⋅ 0,214 − k = 1 − ∑ ⋅ 0,2 l ⋅ 0,814 − l = 0,1739 k = 10 l =1 l 145. ξ valószínűségi változó legyen az egy nap alatt megkötött üzletek száma és η legyen az egy hónap alatt megkötött üzletek száma! ξ valószínűségi változó n=8, p=0,05 paraméterű binomiális eloszlást követ, míg η val. vált. n=144, p=0,05 paraméterű binomiális eloszlást. 8 a) P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) = 1 − ⋅ 0,050 ⋅ 0,958 = 0,3366 0
= 1−
13
14
∑ k ⋅ 0,8
k
2 8 b) P(ξ ≥ 3) = 1 − P(ξ ≤ 2) = 1 − ∑ ⋅ 0,05 k ⋅ 0,950 = 0,0058 k =0 k
1 c) P ξ − M (ξ ) < D(ξ ) = P( ξ − 7,2 < 1,34) = P(5,86 < ξ < 8,54) = 2 8 144 k 144 − k = ∑ = 0,4365 ⋅ 0,05 ⋅ 0,95 k =6 k Próbáljuk ki Poisson-eloszlással közelítve: 8 8 144 7,2 k −7 ,2 k 144 − k , , ⋅ 0 05 ⋅ 0 95 ≈ e = 0,4268 ∑ ∑ k =6 k k =6 k ! Ha kielégítőnek találjuk a század pontosságot a valószínűségekre, akkor ebben az esetben a binomiális eloszlás helyett számolhatunk Poisson-eloszlással. 146.
a) P(ξ = 0) =
λ0
e − λ = e − λ = 0,0030 M (ξ ) = λ = − ln 0,003 = 5,8
0! 5,8 6 −5,8 b) P(ξ = 6) = e = 0,1601 6! 147. A ξ valószínűségi változó legyen az autószalonban egy héten eladott új autók száma! P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ < 1) = 1 −
λ0
e − λ = 1 − e − λ = 0,8775
0! a) M (ξ ) = λ = − ln 0,1225 = 2,1 b) 0,8386 148. Legyen ξ az 500 leadott jelek közül a torzultak száma! A valószínűségi változó n=500, p=0,008 paraméterű binomiális eloszlást követ, hiszen a feladatban egy 500 hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozat szerepel. Az egyes leadott jelek egymástól függetlenül torzulnak vagy sem, valamint minden leadott jelre ugyanakkora esélye van a torzulásnak. Az n értéke
IX. Nevezetes diszkrét eloszlások Megoldások
135
viszont olyan nagy a p értéke pedig olyan kicsi, hogy Poissoneloszlással számolva jó közelítést kapunk a kérdéses valószínűségre. Nézzük meg, mennyire jót! 500 2 498 a) P(ξ = 2) = ⋅ 0,008 ⋅ 0,992 = 0,1462 2 A Poisson-eloszlás megadásához szükségünk van a λ paraméterére. Ez a val. változó várható értéke is egyben. Ha a két eloszlás jól közelíti egymást, akkor várható értékeik is. λ-t tehát a binomiális eloszlás várható értékéből számoljuk: np=500*0,008=4 4 2 −4 P(ξ = 2) ≈ e = 0,1465 2! Azt hiszem itt már senki nem gondolja, hogy nem elég jó a közelítés. Számítástechnikailag a Poisson-eloszlás tagjait könnyebben, hamarabb kapjuk, ami szintén nem mellékes. Azon kívül míg a binomiális eloszlást két paraméter határoz meg egyértelműen, addig a Poissoneloszlást egyetlen egy. Poisson-eloszlásra is van táblázatunk. Hacsak lehet, gyorsítsuk fel munkánkat használatával! 3 500 k 500 − k b) P( ξ < M (ξ )) = P(ξ < 4) = ∑ ≈ ⋅ 0,008 ⋅ 0,992 k =0 k
4 k −4 e = 0,4335 ∑ k = 0 k! c) Az, hogy legalább 497 jel nem torzul el az 500-ból azt jelenti, hogy legfeljebb 3 jel torzul el a leadás során. Ha Poisson-eloszlással akarunk közelíteni, nincs választásunk, hogyan vezessünk be valószínűségi változót, hiszen annak az eseménynek, aminek bekövetkezéseinek számát vizsgáljuk, nagyon kicsi valószínűségűnek kell lenni ahhoz, hogy a közelítés kielégítő legyen. Annak valószínűsége, hogy egy jel nem torzul el: 0,992 valószínűségű, ez pedig semmiképpen nem nevezhető kicsinek. 3 3 500 4k k 500 − k P(ξ ≤ 3) = ∑ ≈ ∑ e −4 = 0,4335 ⋅ 0,008 ⋅ 0,992 k =0 k k =0 k ! 149. ξ: az 5000 biztosított között azok száma, akik az év folyamán elhunynak. Annak valószínűsége, hogy egy biztosított meghal az év folyamán: 0,003. A ξ n=5000, p=0,003 paraméterű binomiális eloszlást követő valószínűségi változó, hiszen feltehető, hogy a halálesetek egymástól függetlenül következnek be. a) Akkor nincs nyeresége a társaságnak, ha legalább annyit kell kifizetnie, mint amennyit a biztosítottak befizettek. A befizetés: 5.000*12.000 Ft 3
136
b) c) d)
150.
a)
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok =60 millió Ft. Halálesetenként 2 millió Ft-ot fizetnek ki, tehát legalább 30 halálesetnél már nincs nyeresége a társaságnak. 5000 5000 5000 15 k −15 k 5000 − k P(ξ ≥ 30) = ∑ ≈∑ e = 0,0004 ⋅ 0,003 ⋅ 0,997 k = 30 k k = 30 k ! A kifizetendő összeg várható értéke: 15*2 millió Ft=30 millió Ft. A nyereség várható értéke 30 millió Ft. Legalább 16 millió Ft az évi nyereség, ha legfeljebb 44 milliót kell kifizetni. Ez legfeljebb 22 halálesetet jelent. Valószínűsége: 22 5000 22 15k −15 k 5000 − k P(ξ ≤ 22) = ∑ ⋅ 0 , 003 ⋅ 0 , 997 ≈ e = 0,9670 ∑ k =0 k k =0 k ! ξ legyen a 8000 autó közül a balesetet szenvedők száma! ξ n=8000, p=0,00025 paraméterű binomiális eloszlást követ, de n olyan nagy és p olyan kicsi, hogy Poisson- eloszlással közelíthetjük a binomiális eloszlást. M(ξ)=λ=np=2 8000 2 2 −2 2 7998 P(ξ = 2) = ≈ e = 0,2707 ⋅ 0,00025 ⋅ 0,99975 2! 2
b) P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) ≈ 1 −
2 0 −2 e = 0,8647 0!
2 k −2 e = 0,0527 k =0 k ! 151. ξ legyen egy fél év alatt (182 nap) azon napok száma, amikor a város villamos energia ellátása zavartalan! A ξ valószínűségi változó n=182, p=360/365=0,9863 paraméterű binomiális eloszlást követ. Az n értéke ugyan nagy, de a p értéke nem kicsi, így ha Poisson-eloszlással akarjuk közelíteni a binomiális eloszlást, akkor egy új valószínűségi változót kell behoznunk. η legyen egy fél év alatt azon napok száma, amikor a város villamos energia ellátása nem zavartalan! η valószínűségi változó n=182, p=0,0137 paraméterű binomiális eloszlást követ, amit már közelíteni tudunk λ=np=2,5 paraméterű Poisson-eloszlással. 182 2,55 −2 ,5 5 177 a) P(ξ = 177) = P(η = 5) = e = 0,0668 ⋅ 0,0137 ⋅ 0,9863 ≈ 5! 5 4 4 182 2,5 k − 2,5 ⋅ 0,0137 k ⋅ 0,9863182− k ≈ ∑ P(ξ ≥ 178) = P(η ≤ 4 ) = ∑ e k =0 k k = 0 k! =0,8912 182 2,5k −2 ,5 b) P(ξ < 176) = P(η > 6) ≈ ∑ e = 0,0141 k =7 k ! c) P( ξ > 2 M (ξ )) = P(ξ > 4) = 1 − P(ξ ≤ 4) ≈ 1 − ∑ 4
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások
137
X. NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK Megoldások 152. a) Jelöljük ξ-vel a lakásonkénti heti ivóvíz felhasználást! A ξ valószínőségi változó m=1, σ=0,2 paraméterő normális eloszlást követ. P(ξ > 1,3) = 1 − P(ξ ≤ 1,3) = 1 − P(ξ < 1,3) = 1 − F (1,3) =
1,3 − 1 1 − Φ = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668 0,2 A feladatban megfogalmazott valószínőséget elsı lépésben megpróbáljuk az eloszlásfüggvény adott helyen felvett függvényértékére visszavezetni, ui. def. szerint F(x)=P(ξ<x). Következı lépésben az (m,σ) paraméterő normális eloszlást jellemzı F(x) függvény adott helyen felvett függvényértékének meghatározását visszavezetjük a (0,1) paraméterő standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének Φ(x)-nek adott helyen felvett függvényértékére. A két függvény között a kapcsolatot a már ismert x − m F ( x ) = Φ összefüggés adja. A Φ(x) helyettesítési értékeit σ táblázatból keressük. 0,9 − 1 b) P(ξ < 0,9) = F (0,9) = Φ = Φ(− 0,5) = 1 − Φ(0,5) = 0,3085 0,2 A táblázatban csak a pozitív helyeken felvett függvényértékei szerepelnek a Φ(x) függvénynek, mivel minden valós x-re teljesül: Φ(x)=1-Φ(x) c) P(0,8 < ξ ≤ 1) = F (1) − F (0,8) = Φ(0) − Φ(−1) = Φ(0) − (1 − Φ(1)) = = Φ(0) + Φ(1) − 1 = 0,5 + 0,8413 − 1 = 0,3413 d)
P( ξ − 1 ≥ 0,5) = 1 − P( ξ − 1 < 0,5) = 1 − P(0,5 < ξ < 1,5) = = 1 − (F (1,5) − F (0,5)) = 1 − Φ(2,5) + Φ(− 2,5) = 2(1 − Φ(2,5)) = 0,0124 153. a) P(ξ < 4) = F (4) = 1 − e
−4 8
= 0,3935
b) P(5 < ξ < 24) = F (24) − F (5) = 1 − e
−24 8
−5 − 1 − e 8 = 0,4855
138
Nagyné Csóti Beáta: Valószínőségszámítási feladatok
c) P(ξ < 8) = F (8) = 1 − e d) F(24)-F(5)
−8 8
= 0,6321
y = 1/8exp(-x/8); y 0.000000 <= x <= 80.000000 0.125
e)
x 10
20
30
40
50
1 , aminek reciproka a 3 valószínőségi változó várható értéke: M (ξ ) = 3 év.
154. Az exponenciális eloszlás paramétere: λ =
a) P(ξ < 1) = F (1) = 1 − e b) i=2-re
−1 3
= 1 − 0,7165 = 0,2835
P(1 < ξ < 2) = F (2) − F (1) = 1 − e −1
−2 3
−1 − 1 − e 3 =
−2
= e 3 − e 3 = 0,7165 − 0,5134 = 0,2031 c) i=3-ra −2 −1 P(2 < ξ < 3) = F (3) − F (2) = 1 − e − 1 − e 3 = −2
= e 3 − e −1 = 0,5134 − 0,3679 = 0,1455 P(4 < ξ < 4,5) F (4,5) − F (4) d) P(ξ < 4,5 ξ > 4 ) = = = P(ξ > 4) 1 − F (4) −4
e 3 −e
−4 , 5 3
−4 3
= 1− e
−4 , 5 4 + 3 3
= 1− e
−0 , 5 3
= 1 − 0,8465 = 0,1535
e Vegyük észre, hogy a sok átalakítás célja az volt, hogy látható legyen az, hogy a valószínőség éppen F (0,5) = P(ξ < 0,5) -tel egyenlı. P(3 < ξ < 3,5) F (3,5) − F (3) e) P(ξ < 3,5 ξ > 3) = = = P(ξ > 3) 1 − F (3) −1
e −e e −1
−3 , 5 3
= 1− e
−3 , 5 +1 3
= 1− e
−0 , 5 3
= 1 − 0,8465 = 0,1535
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások
139
Vegyük észre ugyanazt, mint a c) résznél! A kettőből pedig formálisan láthatjuk: P(ξ < 4 + 0,5 ξ > 4) = P(ξ < 3 + 0,5 ξ > 3) = P(ξ < 0,5) . Tartalmilag arra következtetünk, hogy egy esemény valószínűsége nem függ attól, hol kapcsolódunk be az esemény bekövetkezésének figyelésébe. Másképpen úgy is mondhatnánk, hogy az idő múlásával az esemény bekövetkezésének esélye nem nő. Az exponenciális eloszlás ezen tulajdonságát örökifjú tulajdonságnak nevezzük. Természetesen két esetből általánosítani nem lehet, de sejteni igen. Ajánlom a T. érdeklődő olvasó figyelmébe Denkinger Géza : Valószínűségszámítás c. könyvének 9.2. fejezetét, ahol az exponenciális eloszlással és az örökifjú tulajdonság részletesebb elemzése található. 155. a) Jelöljük ξ-vel a családi házak heti elektromos áram felhasználását! A ξ valószínűségi változó m=30, σ=5 paraméterű normális eloszlást követ. P( ξ − 30 < 2,5) = P(27,5 < ξ < 32,5) = F (32,5) − F (27,5) =
= Φ(0,5) − (1 − Φ(0,5)) = 2Φ(0,5) − 1 = 2 ⋅ 0,6915 − 1 = 0,383
b)
P(ξ > 17,5) = 1 − P(ξ ≤ 17,5) = 1 − P(ξ < 17,5) = 1 − F (17,5) = 17,5 − 30 1 − Φ = 1 − Φ(−2,5) = Φ(2,5) = 0,9938 5
40 − 30 c) P(ξ < 40) = F (40) = Φ = Φ(2) = 0,9772 5
d) P( ξ − 30 ≤ d ) = 0,95 , ahol d-vel jelöljük a fogyasztás várttól való eltérését. Alakítsuk az egyenlet bal oldalát az eddig tanultak alapján: d d P(30 − d ≤ ξ ≤ 30 + d ) = F (30 + d ) − F (30 − d ) = Φ − Φ − = 5 5
d = 2 Φ − 1 5 d d 2Φ − 1 = 0,95 egyenletből fejezzük ki a Φ -öt! 5 5 d Φ = 0,975 . Táblázatból keressük ki, mely helyen veszi fel az 5 eloszlásfüggvény a 0,975 értéket! Ez a hely 1,96. Tehát d/5=1,96. A keresett maximális eltérés d=9,8kWh.
140
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
156. a) A napi árfolyam alakulása legyen ξ! A ξ valószínűségi változó m=1500, σ=30 paraméterű normális eloszlást követ. 1450 − 1500 P (ξ < 1450 ) = F (1450 ) = Φ = Φ(− 1,67 ) = 0,0475 30 A részvények 4,75%-át adták el 1450 Ft-nál kevesebbért. b) P( ξ − 1500 < 1500 ⋅ 0,01) = P(1485 < ξ < 1515) = F (1515) − F (1485) =
= Φ (0,5) − (1 − Φ (0,5)) = 2Φ(0,5) − 1 = 2 ⋅ 0,6915 − 1 = 0,383
c) P( ξ − 1500 ≤ d ) = 0,85
d d d P(1500 − d ≤ ξ ≤ 1500 + d ) = Φ − Φ − = 2 Φ − 1 30 30 30 d d 2Φ − 1 = 0,85 egyenletből a Φ = 0,925 összefüggést kapjuk. 30 30
A táblázatból keressük ki, mely helyen veszi fel a Φ( x ) függvény a 0,925 értéket! d/30-ra 1,44 adódik. A maximális eltérés 85% biztonsággal: d=43,2Ft. 157. M (ξ ) = 10 perc −10 a) P(ξ > 10) = 1 − P(ξ ≤ 10) = 1 − F (10) = 1 − 1 − e 10 = e −1 = 0,3679 −15
b) P(ξ < 15) = F (15) = 1 − e 10 = 1 − 0,2231 = 0,7769 c) P( ξ − 10 < 5) = P(5 < ξ < 15) = F (15) − F (5) = 1 − e =e
d)
−1 2
−e
−3 2
−15 10
−5 10 − 1 − e =
= 0,6065 − 0,2231 = 0,3834
P( ξ − 20 > 10) = 1 − P(10 ≤ ξ ≤ 30) = 1 − (F (30) − F (10)) = = 1 − e −1 + e −3 = 1 − 0,3679 + 0,0498 = 0,6819
e) −5
P(ξ < 5) = F (5) = 1 − e 10 = 1 − 06065 = 0,3935 100 főből kb. 39 várakozik 5 percnél kevesebben a pénztárnál.
158.
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások
141
a) 0,0855 b) 0,3679 c) 0,4866 y = 2exp(-2x); y 0.000000 <= x <= 10.000000
2
1
x 1
2
d) 159. a) A ξ valószínűségi változó m=250, σ=10 paraméterű normális eloszlást − ( x − 250 )
2
1 követ. f ( x ) = ⋅ e 200 10 2π b) Vegyük észre, hogy a valószínűségi változó mindhárom esetben ugyanolyan terjedelmű tartományba eshet. Annak az eseménynek a valószínűsége a nagyobb, ahol az intervallum végpontjai közelebb esnek a várható értékhez. Az első esetben kettő ill. egy szórásnyira vannak balra a várható értéktől, a második esetben fél, fél szórásnyira balra és jobbra, a harmadik esetben kettő és három szórásnyira vannak jobbra a várható értéktől az intervallum végpontjai. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a harmadik valószínűség a legkisebb, őt követi az első, majd a második. P(230 ≤ ξ ≤ 240) = F (240) − F (230) = Φ(−1) − Φ(−2) = = 1 − Φ(1) − (1 − Φ(2)) = Φ(2) − Φ(1) = 0,9772 − 0,8413 = 0,1359 P(245 ≤ ξ ≤ 255) = F (255) − F (245) = Φ(0,5) − Φ(−0,5) =
= Φ(0,5) − (1 − Φ(0,5)) = 2 ⋅ Φ(0,5) − 1 = 2 ⋅ 0,6915 − 1 = 0,383 P(270 ≤ ξ ≤ 280) = F (280) − F (270) = Φ(3) − Φ(2) =
= Φ(3) − Φ(2) = 0,99865 − 0,9772 = 0,02145
y y y 0 0 0
0 0
0
0 0
0
0
0
0
-2
-1
1
0
2
3
x
x
x -3
-3
-2
-1
1
0
2
3
-3
-2
-1
1
0
2
3
142
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
160. a) ξ az egy hónapban kifizetett pénzösszeg m=30, σ=0,5 paraméterű normális eloszlást követő valószínűségi változó. b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott hónapban a biztosító 28,7 Mft-nál több, de legfeljebb 30,8 Mft-ot fizet ki a biztosítottjainak? P (28,7 < ξ ≤ 30,8) = F (30,8) − F (28,7 ) = Φ(1,6 ) − Φ(− 2,6 ) = = 0,9452 + 0,9953 − 1 = 0,9405 c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a biztosító 29,2mft-nál többet fizet ki egy hónapban a biztosítottjainak? P(ξ > 29,2) = 1 − P(ξ ≤ 29,2) = 1 − F (29,2) = 1 − Φ (− 1,6) = 0,9452 d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a biztosító legfeljebb 31,1 Mft-ot fizet ki a biztosítottjainak egy hónapban? P(311 , ≥ ξ ) = F (311 , ) = Φ(2,2) = 0,9861 e) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a biztosítónak az egy hónapban kifizetendő biztosítások összege a várható értéket 0,8 Mft-nál jobban megközelíti? P(ξ − 30 < 0,8) = P(ξ − 30 < 1,6 ⋅ 0,5) = 2 ⋅ Φ (1,6) − 1 = 0,8904 f) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az egy havi kifizetések összege a biztosítónál a várható értéktől legalább 1,2 MFT-tal eltérnek? P(ξ − 30 ≥ 1,2) = 1 − P(ξ − 30 < 2,4 ⋅ 0,5) = 1 − (2 ⋅ Φ (2,4) − 1) = 0,0164 Szemléltessük a Gauss-görbén a fenti eseményeket ill. valószínűségeket! Az ábráról leolvasható, mely esetekben nagyobb 0,5nél a valószínűség.
161. ξ jelentse az üzlet napi keresletét az adott termék vonatkozásában. A valószínűségi változó m=450, σ=45 paraméterű normális eloszlást követő valószínűségi változó. a) P(ξ < 420) = F (420) = Φ(−0,67) = 1 − Φ(0,67) = 1 − 0,7486 = 0,2514 b) P(ξ > 460) = 1 − P(ξ ≤ 460) = 1 − F (460) = 1 − Φ (0,22 ) = 0,4129 c) P( ξ − 450 ≤ 0,15 ⋅ 450) = P( ξ − 450 ≤ 67,5) = P( ξ − 450 ≤ 1,5 ⋅ 45) =
= 2 ⋅ Φ(1,5) − 1 = 2 ⋅ 0,9332 − 1 = 0,8664
d d) P(450 − d < ξ < 450 + d ) = P( ξ − 450 < d ) = 2 ⋅ Φ − 1 = 0,9 45 d A fentiből Φ = 0,95 . A táblázatban megnézzük, hogy a 0,95-t 45 mely helyen veszi fel a függvény. 1,65-nál. Tehát d/45=1,65. A
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások
143
pontosságra 74,25 adódik. Ez azt jelenti, hogy az esetek 90%-ában a kereslet 375,75 és 524,25 közé esik. 162. A ξ valószínűségi változó az egy zacskóba csomagolt kakaó tömege, aminek várható értéke 200 g, szórása pedig 8g. Ügyeljünk arra, hogy a várható értéket és a szórást azonos mértékegységben fejezzük ki! a) P(ξ > 210) = 1 − P(ξ ≤ 210) = 1 − F (210) = 1 − Φ (1,25) = 0,1056 b) 0,7340 c) 0,8881 d) 0,0124 P( ξ − 200 > 20 ) = 1 − P(ξ − 200 ≤ 20 ) = 1 − (2 ⋅ Φ(2,5) − 1) = = 2 − 2 ⋅ 0,9938 = 0,0124 e) a szórásnak 1,15-szoros sugarú környezetébe. 1 163. M (ξ ) = = 20 per
λ
a) P(ξ ≤ 15) = F (15) = 1 − e b)
−15 20
= 1 − 0,4724 = 0,5276
−25 −10 P(10 < ξ < 25) = F (25) − F (10) = 1 − e 20 − 1 − e 20 = −1
−5
= e 2 − e 4 = 0,6065 − 0,2865 = 0,3200 −30 −3 20 c) P(ξ > 30) = 1 − P(ξ ≤ 30) = 1 − F (30) = 1 − 1 − e = e 2 = 0,2231
d)
P( ξ − 20 < 5) = P(15 < ξ < 25) = F (25) − F (15) = 1 − e −3
−5
= e 4 − e 4 = 0,4724 − 0,2865 = 0,1859
−25 20
−15 − 1 − e 20 =
144
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok −25 20
−10 1 − e − 1 − e 20 P(10 < ξ < 25) = = e) P(ξ < 25 ξ > 10 ) = −10 P(ξ > 10 ) 1 − 1 − e 20 −1
−5
e2 −e4 −1
−5 4 + 2
= 1− e 4
−3
−15
= 1 − e 4 = 1 − e 20 = 0,5246 = ( F (15) = P(ξ < 15))
e2 Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hölgy 25 percnél kevesebb ideig várakoztatja kedvesét, feltéve, hogy 10 percnél többet késik?
164. A feladatban m=175 és σ=6 paraméterű normális eloszlás adott, ahol a valószínűségi változó a 25 éves férfiak testmagassága cm-ben kifejezve. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
1 f ( x) = ⋅e 6 2π 0,7977 0,6915 0,8664 0 F(170) 1-F(178) F(184)-F(166) biztos esemény
− ( x −175)
2
72
d P(175 − d < ξ < 175 + d ) = P( ξ − 175 < d ) = 2 ⋅ Φ − 1 = 0,85 6 d Φ = 0,925 . Visszakeressük a táblázatból, hol veszi fel a függvény 6 a 0,925 értéket. d/6=1,44. A 25 éves férfiak 85%-ának testmagassága a 175-nek 8,64 sugarú környezetébe esik, azaz magasabbak 166,36 cmnél és alacsonyabbak 183,64 cm-nél.
165. Jelöljük ξ-vel az egy palackba adagolt üdítő mennyiségét! A ξ valószínűségi változó várható értéke 20dl, szórása pedig 0,3 dl. a) P( ξ − 200 ≤ 1,67 ⋅ 0,3) = 2 ⋅ Φ(1,67) − 1 = 2 ⋅ 0,9525 − 1 = 0,9050 b) 0,8664
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások
145
c) 0,0124 d) a pontosság a szórásnak 1,96-szorosa 0,588 dl. 166. Jelöljük ξ-vel egy autós által egy alkalommal tankolt üzemanyag mennyiségét! A ξ valószínűségi változó várható értéke 25 l, szórása pedig 5 l. Ha a valószínűségi változó normális eloszlást követ: x − 25 P(ξ ≥ x ) = 1 − P(ξ < x ) = 1 − F ( x ) = 1 − Φ = 0,08 5 x − 25 Φ = 0,92 5 x − 25 = 1,4 . 5 32 litert meghaladó tankolás esetén kapjanak a vásárlók ajándékot. 167. a) P(ξ < 12) =1,
P(ξ < 11) =0,5,
P(ξ < 10,5) =0,25,
P(ξ < 11,75) =0,875, P (ξ < 1 0 + x ) =
P(ξ < 10,2) =0,1,
x . 2
0 0 ha x ≤ 10 ha x ≤ 10 x − 10 1 b) F ( x ) = ha 10 < x ≤ 12 f ( x) = ha 10 < x ≤ 12 2 2 ha 12 < x 1 0 ha 12 < x c) Számoljuk ki a várható értéket is és a szórást is definíció szerint, majd ellenőrizzük számolásunkat az egyenletes eloszlás várható értékére, ill. szórására vonatkozó képlet alapján! ∞
12
x2 1 144 100 M (ξ ) = ∫ x ⋅ f ( x )dx = ∫ x ⋅ dx = = − = 11 2 4 4 4 10 −∞ 10 a + b 10 + 12 M (ξ ) = = = 11 2 2
( )
M ξ
2
D(ξ ) = D(ξ ) =
12
∞
12
x3 1 364 = ∫ x ⋅ f ( x )dx = ∫ x ⋅ dx = = 2 3 6 10 −∞ 10 12
2
2
364 3 − 112 = = 0,5774 3 3 b−a 2 3 = = 3 12 2 3
146 d) 168. a) b) c) d)
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok P(ξ < 11,75) =0,875 0,6321 0,5244 1-0,6050 0,1859
169. Először következtessük ki azt az időt, amennyit maximálisan várni kell a kapcsolásig! Az esetek 3/4 részében 18 percen belül megtörténik a kapcsolás. Mivel egy adott időintervallumba esés valószínűsége arányos az intervallum hosszával, így a 18 perc a teljes időtartam 3/4 része. Ebből a teljes időtartamra 24-et kapunk. 24 perc az az időtartam, amikor megtörténhet a kapcsolás, de mivel a kapcsolás a tárcsázástól számítva csak 2 másodperccel később kezdődhet, így a kapcsolás a tárcsázás befejezéséhez képest legfeljebb 26 másodperccel megtörténik. 20 − 2 = 0,75 . Innen kapjuk b-re a Számolással: P(ξ < 20) = F ( 20) = b−2 26 értéket. 0 ha x ≤ 2 x − 2 a) F ( x ) = ha 2 < x ≤ 26 24 ha 26 < x 1 0 ha x ≤ 2 1 f ( x) = ha 2 < x ≤ 26 24 ha 26 < x 0 2 + 26 b) P( ξ < M (ξ )) = F = F (14) = 0,5 2 c) 4/24=1/6 d) 6/24=0,25 26 − 2 e) D(ξ ) = = 4 3 . Ha a valószínűségi változó a várható értéket a 12 szórásnál jobban megközelíti, akkor a valószínűségi változó egy kétszeres szórásnyi intervallumba eshet. Ennek az aránya a teljes intervallum hosszával adja a kérdéses valószínűséget: 8 3 3 = = 0,5774 24 3
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások 170. a) b) c) 171. a) b) c)
147
0,5/4=1/8 0,25/4=1/16 0,25/1=0,25 0,4866 0,2636 0,1232 20
−x
−20
1 d) P(ξ < 20) = F (20) = ∫ e 30 dx = 1 − e 30 = 0,4866 30 0 172. a) b) c) 173. a)
1/6 0,1 (200-75)/300=5/120=4167 A ξ valószínőségi változó m=15 várható értékő és egyelıre ismeretlen σ szórású normális eloszlást követ, ahol a valószínőségi változó a csapágy átmérıje. A várható érték és az ismert összefüggés ismeretében számítsuk ki a szórást! Az a tény, hogy a termékek 10%-a selejtes, úgy is fogalmazható, hogy annak valószínősége, hogy selejtes csapágyat választunk: 0,1. Ez a valószínőség a következı esemény valószínőségével egyenlı a feladat szövege alapján: P ξ − M (ξ ) > 0,005 ⋅ M (ξ )
(
)
P( ξ − M (ξ ) > 0,005 ⋅ M (ξ )) = 1 − P (ξ − 15 ≤ 0,075) = 1 − P(14,925 ≤ ξ ≤ 15,075) = = 1 − (F (15,075) − F (14,925)) = 0,075 − 0,075 0,075 1 − Φ − Φ = 2 − 2 ⋅ Φ = 0,1 σ σ σ 0,075 Ebbıl Φ = 0,95 összefüggést kapjuk. Mely helyen veszi fel az σ eloszlásfüggvény a 0,95 értéket? A táblázatból visszakeressük: 1,65nál. 0,075/σ=1,65 egyenlıségbıl a szórásra 0,045 cm-t kapunk. b) Vegyük észre, hogy az a) rész gondolatmenetét kell most is alkalmaznunk, csak az a) rész 10%-a helyett szerepel most 5%. 0,075 P ξ − M (ξ ) > 0,005 ⋅ M (ξ ) = 2 − 2 ⋅ Φ = 0,05 σ
(
)
148
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok 0,075 Φ = 0,975 összefüggést kapjuk. A táblázatból σ visszakeressük, hogy 1,96-nál veszi fel az eloszlásfüggvény a 0,975 értéket. Tehát 0,075/σ=1,96. Innen a szórás: 0,038 cm. P( ξ − 15 ≤ 0,09 ) = P(ξ − 15 ≤ 2 ⋅ 0,045) = P(14,91 ≤ ξ ≤ 15,09 ) =
Ebből
0,09 − 0,09 0,09 = Φ − Φ = 2 ⋅ Φ − 1 = 2 ⋅ Φ (2 ) − 1 = 0,9544 0,045 0,045 0,045 Aki gyakorlott a feladatmegoldásban, rögtön az aláhúzott összefüggéseket írhatja fel. Gondoljuk át, mit jelent a 2 érték a Φ argumentumában? Megadja, hogy a várható értéktől legfeljebb 2-szeres szórásnyi eltérés engedhető meg. c) Kísérjük végig a fenti gondolatmenetet 0,038 szórással is: P (ξ − 15 ≤ 0,1) = P (ξ − 15 ≤ 2,63 ⋅ 0,038) = 2 ⋅ Φ(2,63) − 1 = 0,9916
P( ξ − 15 ≤ 2σ ) = P(15 − 2σ ≤ ξ ≤ 15 + 2σ ) =
= Φ(2) − Φ (− 2) = 2 ⋅ Φ(2) − 1 = 2 ⋅ 0,9772 − 1 = 0,9544 Felvetődik a kérdés, miért kaptunk más eredményt az első kifejezésre az első esetben és miért nem a másodiknál? A 0,15 egy szám, ami kifejezhető az éppen aktuális szórás valahányszorosaként, a második kifejezésben a 2σ estében akármennyi is a szórás, annak kétszerese az aktuális eltérés. Ez a szorzótényező pedig már egyértelműen meghatározza a felírt esemény valószínűségét. 174. λ
a)
− 1 1 1 = P ξ < = F = 1 − e 2 2 5 2 Az aláhúzott összefüggésből
0,8 = e
−λ 2
−λ 2 Innen λ=0,4463 értéket kapjuk. Ennek reciproka a stoppolással eltöltött idő várható értéke: M(ξ)=2,241 óra. 1 −λ 1 1 λ b) P(ξ < M (ξ )) = P ξ < = F = 1 − e = 1 − e −1 = 0,6321 λ λ c) 0,3834 ln 0,8 =
X. Nevezetes folytonos eloszlások Megoldások
149
P(ξ > 1,5) 1 − F (1,5) = = 0,8 P(ξ > 1) 1 − F (1) P(ξ > 1) 1 − F (1) e) P(ξ > 1ξ > 0,5) = = = 0,8 P(ξ > 0,5) 1 − F (0,5) 175. a) P(ξ < 15) = F (15) = 1 − e − λ ⋅15 = 0,632 d) P(ξ > 1,5 ξ > 1) =
e −15λ = 0,368 −15λ = ln 0,368 −15λ = −1 Az eloszlás paramétere: λ=1/15, a valószínűségi változó várható értéke pedig ennek a reciprok értéke: M(ξ)=15. 1 −15x ha x > 0 f ( x ) = 15 e 0 ha x ≤ 0 −x 15 − e ha x > 0 1 F ( x) = 0 ha x ≤ 0 b) P(ξ ≤ x ) = F ( x ) = 1 − e
−x 15
= 0,5
−x 15
e = 0,5 −x = ln 0,5 15 x = 15 ⋅ ln 0,5 = 10,397 A 11. napon teljesül, hogy 0,5 annak a valószínűsége, hogy legfeljebb eddig megérkezik az adó visszatérítés. c) P(ξ ≤ 7) = F (7) = 1 − e
−7 15
= 1 − 0,6272 = 0,3728
3 1 3 1 5 −1 d) P ξ − M (ξ ) < D(ξ ) = P ξ − < ⋅ = P <ξ < = 2λ λ 2 λ 2 2λ −λ⋅ 5 −1 = F − F = 1 − e 2 λ − 0 = 1 − 0,0821 = 0,9179 2λ 2λ Vegyük észre, hogy a fenti kifejezés annak a valószínűsége, hogy az adóvisszatérítés a várható érték 2,5-szeresénél hamarabb megérkezik. 5
150
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
XI. Csebisev-egyenlıtlenség Megoldások
151
XI. CSEBISEV-EGYENLİTLENSÉG Megoldások 176.
P( ξ − M (ξ ) ≤ t ⋅ D(ξ )) = P( ξ − 70 ≤ 1,5 ⋅ 5) ≥ 1 −
1 = 0,555 1,5 2
a) P( ξ − M (ξ ) ≤ t ⋅ D(ξ )) = P( ξ − 70 ≤ t ⋅ 5) ≥ 0,7 b) 70 plusz mínusz 5t=5-1,83=9,15 év pontossággal adhatunk becslést legalább 70%-ban. c) Legfeljebb mennyi annak a valószínősége, hogy egy ember élethossza legalább 10 évvel eltér a várttól? 1 d) P( ξ − M (ξ ) ≥ t ⋅ D(ξ )) = P (ξ − 70 ≥ 10 ) ≤ 2 = 0,25 2 177. 1 = 0,75 22 1 b) P( ξ − M (ξ ) ≥ t ⋅ D(ξ )) = P( ξ − 150 ≥ 3 ⋅ D(ξ )) ≤ 2 = 0,1111 3 Legalább mekkora valószínőséggel esik a sajtkészítmény napi forgalma 105 és 195 kg közé? 1 c) P( ξ − 150 < 45) = P( ξ − 150 < 3 ⋅ 15) ≥ 1 − 2 = 0,8889 3
a) P( ξ − M (ξ ) < t ⋅ D(ξ )) = P( ξ − 150 < 2 ⋅ 15) ≥ 1 −
178. a) 0,9544 b) A 10 cm 40%-a 4 cm, ami kétszeres szórás eltérés, a Csebisevegyenlıtlenségben t=2. Legalább 0,75 az esemény valószínősége. 1 c) P( ξ − M (ξ ) ≥ t ⋅ D(ξ )) = P( ξ − 10 ≥ t ⋅ 2 ) ≤ 2 = 0,3 t=1,83 legalább t 3,66 cm-es az eltérés a várttól. 179. a) 0,9973 b) a 4,5 literes eltérés a 1,5 literes szórás háromszorosa. A Csebisev egyenlıtlenség megfelelı alakjában t értéke tehát 3, a valószínőség becslése legalább 0,8889
152
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
c) P ( ξ − M (ξ ) < t ⋅ D(ξ )) = P ( ξ − 8 < t ⋅ 1,5) ≥ 1 −
1 = 0,8 t=2,23, az t2 eltérés 1,5t=3,35 8-3,35 és 8+3,35, azaz 4,65 liter és 11,35 liter közé esik a fogyasztás.
180. a) 0,9876 b) 70 ill 80 perc 2,5-szeres szórás távolságban van a várható értéktől. A Csebisev egyenlőtlenség megfelelő alakjából az esemény valószínűsége legalább 0,84 c) Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy az óra hosszának a várttól való eltérése legalább 6 perc? 1 P ( ξ − M (ξ ) ≥ 6 ) = P ( ξ − 10 ≥ 3 ⋅ 2 ) ≤ 2 = 0,1111 3 181. a) 1-0,8176=0,1824 b) t=2/1,5=4/3 szoros szórásnyi az eltérés. t értékét beírva a Csebisevegyenlőtlenség megfelelő alakjába a valószínűség legfeljebb 0,5625 182. a) 0,9545 b) legfeljebb kétszeres szórásnyi, azaz 10 óra legfeljebb az eltérés. c) 0,75 183. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vásárlók száma 375-nél kevesebbel tér el a várttól? 375/250=1,5. A valószínűségalsó becslése 0,5555. b) 3,16 szórásnyi, azaz 790 a környezet sugara. c) 3-szoros szórás esetén a Csebisev-egyenlőtlenség alapján a valószínűség alsó becslése 0,8889. 184. a) Az 1 m a 0,3 m 10/3=3,33-szorosa. t=3,33 szerepel a Csebisevegyenlőtlenségben. A esemény valószínűsége legfeljebb 0,09. b) Az eltérés 4,47 szórásnyi, azaz 1,34 m. A kérdéses intervallum végpontjai 33,66 m és 36,34 m. c) 0,0009
XII. A nagy számok törvénye Megoldások
153
XII. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Megoldások Minden "nagy számok törvényére" vonatkozó feladatban két becslés fordul elő: egy hibabecslés (ε) és egy valószínűség másképpen megbízhatóság pq 1 becslés ( 1 − 2 , ha ismert a vizsgált esemény valószínűsége, ill. 1 − 2 , ε n 4ε n ha nem ismert a vizsgált esemény valószínűsége). 185. a) A mintából akar a feladat annak a valószínűségére következtetni, hogy egy adózó polgár adócsalást követ el, tehát itt a "p" érték nem ismert, így a nagy számok törvényének alábbi, "gyengébb" változatát használjuk: 1 k P − p < ε ≥ 1 − 2 n 4ε n Írjuk be az ismert adatokat az összefüggésbe: 1 k P − p < ε ≥ 1 − 2 = 0,8 500 4ε 500 Az aláhúzott összefüggésből fejezzük ki ε-t! 1 ε= . Ebből ε-ra 0,05-ot kapunk. 4 ⋅ 0,2 ⋅ 500 b) Az a) részben kapott eredmény alapján próbáljunk közelítő értéket adni a b) rész kérdésére! (Ha 0,05-os hibahatárt 500 ismétlésnél vállalhatunk, akkor 0,02-os hibahatár vállalásához a kísérlet sokkal többszöri ismétlésére van szükség.) 1 k P − p < 0,02 ≥ 1 − = 0,8 n 4 ⋅ 0,02 2 n Az aláhúzott összefüggésből fejezzük ki n-et! 3125 adóbevallás részletes elemzésére van szükség. Elegánsabb lett volna úgy feltenni a kérdést, hogy legalább hány adóbevallás elemzésére lenne szükség. Azzal, hogy növeljük az n-et, tehát a kísérlet megismétlésének számát, a valószínűségre egyre pontosabb következtetést tudunk levonni a relatív gyakoriságból. Növekszik a megbízhatóság, aminek a mutatója 1 az 1 − 2 . Ha az n-re vonatkozó megoldásban egyenlőtlenséget 4ε n várunk, akkor egyenlőtlenséget is kell megoldanunk. Akár az előbbi gondolatmenet, akár a egyenlőtlenségre vonatkozó általános szabályok
154
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok alapján az 1 −
1
4ε 2 n megoldás: n≥3125.
≥ 0,8 egyenlőtlenséget kell megoldanunk. A
186. 1 k a) P − p < ε ≥ 1 − 2 ≥ 0,85 1000 4ε 1000 Az aláhúzott egyenlőtlenség megoldása: ε≥0,0408. A hibahatár legalább 0,0408. Ha egyenletet és nem egyenlőtlenséget oldottunk volna meg, akkor is éreztük volna, hogy a hibára 0,0408-nél csak nagyobb értéket vállalhatunk ennyi ismétlés és legalább ekkora megbízhatósági szint mellett. b) Próbáljuk megint megbecsülni először az n értékét az a) részben kapottak alapján! Kisebb vagy nagyobb lesz-e 1000-nél? 1 k P − p < 0,01 ≥ 1 − ≥ 0,85 n 4 ⋅ 0,012 n
A fent jelölt egyenlőtlenség megoldása: n≥16.667, azaz legalább ennyi megkérdezésre van szükség a feladatban jelölt pontosság teljesítése érdekében.
187. 1 k a) P − p < 0,05 ≥ 1 − ≥ 0,95 n 4 ⋅ 0,052 n A fent jelölt egyenlőtlenség megoldása: n≥2000. b) Itt a 2000-szeri ismétléssel szemben csak 1500-szor ismételjük meg a kísérletet. Gondoljuk át, hogy ha kevesebbszer tudjuk megismételni a kísérletet, akkor kisebb vagy nagyobb pontosságot biztosíthatunk-e a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől vett eltérésére? 1 k P − p < ε ≥ 1 − 2 = 0,95 1500 4ε 1500 A jelölt egyenlet megoldása: ε=0,0577 Az eredmény alátámasztotta elvárásunkat, azaz kisebb pontosságot tudunk biztosítani. A kisebb pontosság pedig nagyobb hibalehetőséget jelent. A b) részben tehát nagyobb a kapott ε értéke az a) részbeli 0,05-nál. 188. 0,7 ⋅ 0,3 k a) P − 0,7 < 0,02 ≥ 1 − ≥ 0,85 n 0,02 2 n
XII. A nagy számok törvénye Megoldások
155
Az aláhúzott egyenlőtlenség megoldása alapján a válasz: legalább 3500-szor kell megismételni a kísérletet. k b) − 0,7 < 0,02 ; k − 2450 < 70 . A selejtes terméket tartalmazó 3500 minták száma a 3500 ismétlések alkalmával 85%-ban 2380-nál több és 2520-nál kevesebb lesz. 0,7 ⋅ 0,3 k c) P − 0,7 < 0,01 ≥ 1 − ≥ 0,85 n 0,012 n Legalább 14.000-szer kell megismételni a kísérletet. Hasonlítsuk össze az a) rész eredményével! Ahhoz, hogy a valószínűségbecslésünk 0,02ról 0,01-ra csökkenjen a kísérletek számának 3500-ról 14000-re kell növekednie! 0,7 ⋅ 0,3 k d) P − 0,7 < 0,02 ≥ 1 − ≥ 0,9 n 0,02 2 n A kísérletek száma ebben az esetben legalább 5250. Ezt az eredményt is vessük össze az a) rész adataival! 189. 1 k a) P − p < ε ≥ 1 − ≥ 0,9 2 2000 4 ⋅ ε 2000 A becslés hibája legalább 0,0354. 1 k b) P − p ≥ 0,05 ≤ = 0,05 2000 4 ⋅ 0,052 ⋅ 2000 190.
0,2 ⋅ 0,8 k P − 0,2 < ε ≥ 1 − 2 = 0,9 5000 ε 5000 Innen ε-ra 0,0179 értéket kapunk. A megoldandó abszolútértékes k egyenlőtlenség: − 0,2 < 0,0179 . A 6000 Ft feletti összegben 5000 vásárlók száma 90%-ban 910 és 1090 közé esik.
191. a) Az előző feladatokkal szemben itt elméleti számításaink megerősítése érdekében ismételjük meg az adott valószínűségi kísérletet. Amíg eddig a relatív gyakoriságból kívántunk a valószínűségre következtetni, most azt várjuk, hogy a kísérlet meg fogja erősíteni valamilyen, általunk adott szinten a vártat, azaz a relatív gyakoriság és vele a gyakoriság vizsgálata lehet a célunk. A nagy számok törvényének alábbi alakját használhatjuk:
156
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok pq k P − p < ε ≥ 1 − 2 n ε n
1 2 ⋅ k 1 P − < 0,01 ≥ 1 − 3 32 ≥ 0,85 n 3 0,01 n A jelölt egyenlőtlenség megoldása alapján a válaszunk: legalább 14.815 alkalommal kell megismételni a kísérletet. Ez meglehetősen nagy szám. Kétféle módon adhatjuk alább igényeinket ahhoz, hogy ne kelljen ennyi kísérletet végrehajtani: csökkenthetjük a valószínűséget vagy növelhetjük a hibalehetőséget. 1 2 ⋅ k 1 b) P − < ε ≥ 1 − 32 3 = 0,8 500 3 ε 500 Az egyenlet megoldása: ε=0,0471. A feladat a hatos dobások számára kérdez, ez a vizsgált esemény gyakorisága, azaz a "k" érték. Ahhoz, hogy ezt megkapjuk, meg kell oldanunk a következő abszolútértékes k 1 egyenlőtlenséget: − < 0,0471 . Ezzel ekvivalens a következő: 500 3 3k − 500 < 0,0471 , valamint 3k − 500 < 70,71 . A megoldása: 1500 500 − 70,71 500 + 70,71 <k< . A hatos dobások száma 85%-ban 144 3 3 és 190 között lesznek. 192. 0,008 ⋅ 0,992 k a) P − 0,008 < ε ≥ 1 − ≥ 0,95 500 ε 2 500 A jelölt egyenlőtlenség megoldása: ε≥0,0178. Legalább 0,0178 a relatív gyakoriságnak a valószínűségtől való eltérése. k b) − 0,008 < 0,0178 abszolútértékes egyenlőtlenség megoldásának 500 k−4 lépései: < 0,0178 ; k − 4 < 8,9 ; 4 − 8,9 < k < 4 + 8,9 . Mivel 500 negatív számú szálszakadás nincsen, a válasz: legfeljebb 12 db szálszakadás várható 0,95 valószínűséggel. k 0,9 ⋅ 0,1 193. P − 0,9 ≥ 0,02 ≤ ≤ 0,05 Megoldás: n≥4500 n 0,02 2 n
XIII. Két összefoglaló, rendszerező feladat Megoldások
157
XIII. KÉT ÖSSZEFOGLALÓ, RENDSZEREZŐ FELADAT Megoldás 194. a)
b)
ξ: a gépalkatrész élettartama, amiről tudjuk, hogy exponenciális eloszlást követ. Várható értéke 2 év. Ebből az eloszlás λ paramétere ½. A 2 hónap években kifejezve 1/6. −1 1 −1 ⋅ 1 1 2 6 12 P ξ < = F = 1 − e = 1 − e = 0,08 6 6 −1 −1 2 1 1 1 P < ξ < = F − F = 1 − e 4 − 1 − e 8 = 0,1037 4 4 2 4
c) 3 1 3 1 P < ξ < F − F 1 3 1 2 4 4 2 = P < ξ < ξ > = = 1 4 2 1 2 P ξ > 1− F 2 2 1 1 = F = P ξ < = 0,1175 4 4 d) A szöveg alapján látjuk, hogy mintavételes feladattal állunk szemben. Kérdés az, hogy melyik fajtával. A minta elemszáma 5, de az alaphalmaz sokasága nem adott, azonban jelzést találunk arra vonatkozóan, hogy nagyon nagy lehet. Ebből következik, hogy még visszatevés nélküli mintavételezés esetén is számolhatunk a visszatevéses mintavétel képletével, mert már jól közelíti azt. 5 2 5 5 i) ∑ ⋅ 0,92 k ⋅ 0,08 5− k = ∑ ⋅ 0,08 i ⋅ 0,92 5−i = 0,9955 k =3 k i =0 i e) A feladatban egy 100 hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozatról van szó. A vizsgált esemény az, hogy egy gépalkatrész két hónapon belül tönkremegy-e. Ezek után tudjuk, hogy η valószínűségi változó binomiális eloszlást követ, ahol η a 100 gépalkatrész között a két hónapnál rövidebb élettartamúak számát jelöli. A binomiális eloszlást követő valószínűségi báltozó várható értéke 100*0,08=8. 7 7 100 8k ⋅ 0,08 k ⋅ 0,92100− k ≈ ∑ ⋅ e −8 = 0,4529 ∑ k =0 k k = 0 k! Ha viszonylag gyorsan szeretnénk végeredményt kapni, érdemes a binomiális eloszlást Poisson-eloszlással közelíteni, hiszen a binomiális eloszlás n paramétere más elég nagy, a p paramétere elég kicsi ahhoz, hogy a közelítésünk elég jó legyen.
158
Nagyné Csóti Beáta: Valószínűségszámítási feladatok
f)
P(ξ − M (ξ ) < 1,5D(ξ )) = P(ξ − 8 < 4,07 ) ≈ ∑
g)
P(ξ − M (ξ ) < 1,5 D(ξ )) ≥ 1 −
8 k −8 e = 0,8939 k = 4 k! 12
1 = 0,5555 1,5 2
a
Csebisev
egyenlőtlenséget használva. h) A nagy számok törvényének megfelelő alakjába helyettesítve a következőt kapjuk: k pq P − p < ε ≥ 1 − 2 = 0,9 az aláhúzott egyenletet kell megoldani, ε n n ahol p=0,08, q=0,92 és ε=0,05. A megoldás: legalább 295-ször kell megismételni a kísérletet a várt eredmény megkapásához. 195. 1 a) P ξ − m > m ⋅ = P (ξ − 200 > 2 ) = 2 − 2Φ (2,5) = 0,0124 100 1 b) P (ξ − 200 > 2 ) = P (ξ − 200 > 2,5 ⋅ 0,8) ≤ = 0,16 a Csebisev 2,5 2 egyenlőtlenséget felhasználva. 4 1 4 4 c) ∑ ⋅ 0,99 k ⋅ 0,014− k = ∑ ⋅ 0,01i ⋅ 0,99 4−i = 0,9477 k =3 k i =0 i 4 d) p k = ⋅ 0,99 k ⋅ 0,014− k , k=0, 1, 2, 3, 4 M(η)=4*0,99=3,96, k D(η)=0,2 i) F (M (η )) = P(η < M (η )) = P(η < 3,96 ) = 1 − P(η = 4) = 0,0394 e) Legyen a µ valószínűségi változó az 50 db gépalkatrész között a selejtesek száma. µ binomiális eloszlást követ, de ha akarjuk, Poissoneloszlással is közelíthetjük, hiszen n elég nagy és p elég kicsi. 50 P (µ < M (µ )) = P (µ < 0,5) = p 0 = ⋅ 0,010 ⋅ 0,99 50 = 0,6050 0
P(ξ − M (ξ ) > 2) = P(ξ − 0,5 > 2) = 1 − ∑
0,5 k −0,5 e =0,0144 k = 0 k! 2
f) g)
k pq P − p < ε ≥ 1 − 2 = 0,7 az aláhúzott egyenletet kell ε n n megoldani, ahol p=0,0144, q=0,9856 és ε=0,01. A megoldás: legalább 473-szor kell megismételni a kísérletet a várt eredmény megkapásához.
IRODALOMJEGYZÉK
1.
Bognár Jánosné- Mogyoródi József- Prékopa András- Rényi AlfrédSzász Domokos: Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó Budapest, 1982
2.
Csernyák László: Valószínűségszámítás Matematika üzemgazdászoknak tankönyvkiadó, Budapest
3.
Denkinger Géza: Valószínűségszámítás Nemzeti Tnkönyvkiadó, Budapest
4.
Denkinger Géza: Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó, 1992
5.
Ferenczy Miklós: Valószínűségszámítás és alkalmazása Feladatgyűjtemény Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest
6.
Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok Polygon Könyvtár Polygon, Szeged, 1997
7.
Középiskolai matematikai és fizikai lapok matematika feladványai 1893-1993 CD-ROM SZÜV, 1996
8.
Solt György: Valószínűségszámítás Műszaki Könyvkiadó, Budapest
9.
Szevasztyanov- V.P. Csisztyakov- A.M. Zubkov: Valószínűségelméleti feladatok Tankönyvkiadó, Budapest 1991
10.
Valószínűségszámítás példatár PSZF Szerk.: Csécs Miklós
11.
Vilenkin: Kombinatorika Műszaki Könyvkiadó, Budapest