Ficha de trabalho
Disciplina: Matemática A Tema: Geometria Analítica. Distância entre dois pontos no plano e no espaço Equação da circunferência e do círculo
10º Ano
Fórmula da distância entre dois pontos no plano A distância, d ( A, B ) , entre os pontos A ( x A , y A ) e B ( xB , yB ) , num referencial o. m. é: d ( A, B ) =
( xB − x A ) + ( yB − y A ) 2
2
Fórmula da distância entre dois pontos no espaço A distância, d ( A, B ) , entre os pontos A ( x A , y A , z A ) e B ( xB , yB , zB ) , num referencial o. m. do espaço é: d ( A, B )=
( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − zA ) 2
2
2
Exercícios 1. No referencial o.m. Oxy ao lado está representado um quadrilátero [ABCD]. Sabe-se que as coordenadas dos seus vértices são: A(4, 0) B(0, 4) C(-2, 0) D(0, -2) Calcule o valor exacto do perímetro do quadrilátero [ABCD]
2. Os pontos A(2,1), B(0, -3) e C(a, a + 1) são vértices de um triângulo isósceles de base [AB], Determine as coordenadas do ponto C.
Página 1
Equação da circunferência e do círculo Chama-se circunferência ao conjunto de todos os pontos do plano que distam igualmente de um ponto fixo chamado centro da circunferência. A distância de qualquer ponto da circunferência ao centro chama-se raio da circunferência e representa-se por r
r
Num referencial o.m., a circunferência de centro C(a, b) e raio r é definida pela fórmula:
( x − a) + ( y − b) 2
2
= r2
Chama-se círculo ao conjunto de todos os pontos do plano que pertencem a uma circunferência ou são interiores a esta. r
Num referencial o.m., o círculo de centro C(a, b) e raio r é definida pela fórmula:
( x − a) + ( y − b) 2
2
≤ r2
Exercícios 1.
2.
Escreva uma equação da circunferência de centro C e raio r, em cada um dos seguintes casos: 1.1. C(0, 0) e r = 5.
1.2. C(1, 3) e r =
1.3. C(-1, 5) e r = 2.
1.4. C(-2, 0) e r =
5
Identifique o centro e o raio de cada uma das seguintes circunferências: 2.1. x 2 + ( y − 1) = 5 2
2
2.2. 2
1 1 2.3. x + + y − = 3 2 3 3.
1 2
( x − 4 ) + ( y + 2) 2
2
= 9
9 2.4. x 2 + y 2 = 4
Num referencial ortogonal e monométrico do plano, considere os pontos A(-1, 0) e B(3, -2) e a circunferência de equação (x - 2)2 + y2 = 9. 3.1. Identifique o centro e o raio da circunferência. 3.2. Indique, justificando, a posição do ponto B em relação à circunferência. 3.3. Defina algebricamente as rectas tangentes à circunferência, paralelas ao eixo dos yy. 3.4. Escreva a condição que define o círculo de centro na origem e raio AB. 3.5. Represente geometricamente o conjunto de pontos do plano definido pela condição:
( x − 2)
2
+ y2 ≤ 9 ∧ x ≥ 3 ∧ y ≤ 0
Página 2
4.
Na figura 1 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico xOy, a circunferência de equação
( x − 2 ) + ( y − 3) 2
2
= 5 e o rectângulo [ABCD].
Sabe-se que: • os vértices do rectângulo [ABCD] pertencem à circunferência; • a recta AB tem equação y = 5.
4.1. Determine as coordenadas dos vértices do rectângulo [ABCD]. 4.2. Considere a região do círculo que está acima da recta AB e a região do círculo que está à esquerda do eixo das ordenadas. As duas regiões têm áreas iguais. Justifique a afirmação anterior. 4.3. Escreva uma condição que defina a região representada a sombreado, incluindo a fronteira.
Página 3