Ficha de trabalho – Exercícios globais de Geometria
Disciplina: Matemática Capítulo I: Geometria no plano e no espaço. Geometria Analítica
1.
10º Ano
Considere a superfície esférica definida pela condição ( x + 1) + ( y − 3) + z 2 =. 16 2
2
1.1. Indique as coordenadas do centro e o raio da superfície esférica. 1.2. A intersecção da superfície esférica com o plano de equação y = 5 é: (A) Um círculo de centro em (-1,3,0) e raio 4; (B) Um círculo de centro em (-1,5,0) e raio 2 3 . (C) Uma circunferência de centro (-1,5,0) e raio 12 . (D) Uma circunferência de centro (-1,3,0) e raio 4. 1.3. Seja A um ponto pertencente à superfície esférica e C o seu centro. A intersecção da recta AC com a superfície esférica é: (A) Um segmento de recta de comprimento 8. (B) Um segmento de recta de comprimento 4. (C) Dois pontos (D) Um conjunto vazio. 1.4. Supondo que o ponto A pertence ao plano xOz e tem abcissa 1, escreva a equação vectorial da recta que passa pelo ponto A e contém o centro da superfície esférica. 2. Considere a recta de equação P = A + k AB, k ∈ . 2.1. Se P ≡ A , então: (A)
k <0
(B)
k =1
(C)
k =0
(D)
k >1
(B)
k <0
(C)
0 < k <1
(D)
k >1
k ≥0
(D)
k ≥1
2.2. Se P ≡ B (A)
k =1
, então: 2.3. Se P pertence à semi-recta AB (A) 3.
k <0
(B)
k =1
(C)
Na figura estão representados em referencial o.n. Oxy, duas circunferências concêntricas, com centro na origem. Os pontos A, B, E e F têm abcissa -1 e os pontos D, C, H e G têm abcissa 1. A condição que define a região sombreada é: (A) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 ∧ x ≤ 1 (B)
2 ≤ x2 + y2 ≤ 4 ∧ x ≤ 1
(C)
4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 ∧ x ≥ 1
(D)
2 ≤ x2 + y2 ≤ 4 ∧ x ≥ 1
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4. Considere a circunferência de equação ( x + 1) + y 2 = 9 e sejam os pontos J, L, M, N os pontos 2
em que a circunferência intersecta os eixos coordenados. 4.1. Determina as coordenadas dos pontos J, L, M e N. 4.2. Determina o valor exacto da área do quadrilátero [JLMN]. 4.3. Mostra que o ponto P
(
)
3 − 1, 6 pertence à circunferência.
4.4. Determina as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com a bissectriz dos quadrantes pares. 5. Na ao lado está representada, num referencial ortogonal e monométrico xOy , a circunferência de centro no ponto A, definida pela equação
( x + 4) + ( y − 6) 2
2
= 25
Tem-se: • [CG] é a corda que está contida no eixo Oy. • [CD] é uma corda paralela ao eixo Ox. • [AF] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy. • [ABCD] é um trapézio rectângulo. • [ADEF] é um losango. 5.1. Mostre que o ponto C tem coordenadas ( 0, 9 ) e que o ponto D tem coordenadas ( −8, 9 ) . 5.2. Determine uma equação da mediatriz do segmento [AD]. Apresente a sua resposta na forma = y ax + b (a e b designam números reais). 5.3. Defina, por meio de uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a fronteira. 5.4. Determine o perímetro do trapézio [ABDC]. 5.5. Determine a área do losango [ADEF]. 6. Considera no referencial o.n., O, i , j , k os pontos P (0, 0, 1), Q (2, -1, 3) e R (5, 3, -3). 6.1. Calcula PQ + 3 QR . 1 6.2. Calcula 3PQ − QR . 2 6.3. Determina um vector colinear com OQ com norma 2 14 e de sentido oposto.
(
)
7. Dados dois pontos F e G , de coordenadas ( −3, 4 ) e ( 2,5 ) , respectivamente, determine uma equação vectorial: 7.1. da recta FG ; ; 7.2. da semi-recta FG 7.3. do segmento de recta [ FG ] .
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8. Dada a recta de equação
r : ( x, y ) = ( 2,5) + k (1,3) , k ∈
8.1. Determina os pontos correspondentes a k = 1 e k =2; 8.2. Indica dois vectores directores da recta, diferentes de (1, 3). 8.3. Determina o ponto onde a recta intersecta o eixo das ordenadas. 1 8.4. Escreve a equação reduzida da recta paralela à recta r e que passa pelo ponto − ,2 . 2 9. Num referencial o.n. xOy , considera os pontos: A ( −1,3) e B ( 2,0 ) . 9.1. Verifica se a recta AB é paralela à recta de equação x + y − 2 = 0. 9.2. Determina k, de modo que a recta de equação 2 y − kx + 5 = 0 seja paralela à recta AB.
10. No referencial o.n. xOy está representada uma circunferência de centro C ( −2,3) e que passa pela origem do referencial. 10.1. Escreva a equação reduzida da recta AB . 10.2. Defina por uma condição a parte sombreada da figura. 10.3. Escreva uma equação vectorial da mediatriz de [ AB ] . 10.4. Escreva a equação reduzida da recta s . 11. Representa geometricamente a região do plano definida pela condição: 11.1.
( x − 2 ) + ( y + 1) 2
2
< 16 ∧ ( x ≥ 3 ∨ y ≤ − x ) ;
1 2 11.2. y ≤ x + 4 ∧ 3x + y + 3 ≥ 0 ∧ ( x + 1) + y 2 ≤ 16 2 12. Na ao lado está representado, num referencial o.n. xOy, o hexágono [ABCDE]. Sabe-se que: • os lados do hexágono são paralelos e iguais dois a dois; • os pontos A e E pertencem aos eixos coordenados Oy e Ox, respectivamente; • o ponto B tem coordenadas ( 4,5) • o ponto D tem coordenadas ( 6,2 ) 12.1. Determine as coordenadas dos pontos C, E e A. 12.2. Seja M o ponto simétrico do ponto B em relação ao eixo Oy e seja N o ponto da recta OD que é colinear com os pontos M e A. Determine as coordenadas do ponto N 12.3. Escreva uma condição que defina o segmento de recta [ED]. 12.4. Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos que constituem o interior do hexágono. Página 3
13. Na ao lado está representado, num referencial o.n. xOy, o quadrilátero [ABCD]. Sejam P, Q, R e S os pontos médios dos lados desse quadrilátero. 13.1. Mostre que o quadrilátero [PQRS] é um paralelogramo, utilizando operações com vectores. 13.2. Admita que as coordenadas dos pontos P, Q, R e A são: • P ( 2,4 ) ; • Q ( 6,7 ) ; • R ( 6,3) ; • A ( 0,2 ) Determine as coordenadas do ponto S e as coordenadas dos vértices B, C e D do quadrilátero [ABCD].
14. Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH]. Sabe-se que: • o centro do cubo coincide com a origem do referencial; • as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados; • os pontos M, N e P são os pontos médios das arestas a que pertencem; • o ponto A tem coordenadas (1,1,1) . Considere o vector u e o ponto X. • = u MN + BP • X= A + CG
14.1. Represente o vector u e o ponto X (por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas). 14.2. Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos W para os quais o ponto X pertence ao plano mediador do segmento [BW]. Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema. 14.3. A recta definida pela equação
( x , y , z ) = (1, −1, −1) + k ( 0,1,1) , k ∈
intersecta a
recta XD. Determine as coordenadas do ponto de intersecção.
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15. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo [OPQRSTUV] A aresta [OP] está contida no semieixo positivo Ox, a aresta [OR] está contida no semieixo positivo Oy e a aresta [OS] está contida no semieixo positivo Oz. O ponto U tem coordenadas ( 2,2,2 ) . No eixo Oz está representado um ponto A, cuja cota é 4.
15.1. Defina, por meio de uma condição, a aresta [UQ]. 15.2. Averigúe se o ponto T pertence ao plano mediador do segmento [AV].
15.3. Na figura ao lado desenhe a secção produzida no cubo pelo plano PQA e determine o seu perímetro.
15.4. Indique: 15.4.1. a equação do plano mediador de [TU]; 15.4.2. a equação do plano mediador de [SR];
15.5. Calcule o volume do cone cuja base é a circunferência inscrita na face [OPQR] e cujo vértice resulta da intersecção das diagonais da face [STUV].
16. No referencial ortonormado (Oxyz) da figura, estão representados dois cubos idênticos ambos assentes no plano xOy . A medida do comprimento da aresta [OA], contida no eixo Oz e comum aos dois cubos, é 5 cm. 16.1. Indica as coordenadas: 16.1.1. dos vértices B e E. 16.1.2. do simétrico de E em relação ao eixo Oy. 16.1.3. do simétrico de Q em relação ao plano yOz. 16.1.4. do centro da face [EHIF]. 16.2. Identifica a secção originada no cubo [ABCDPQRO] pelo plano ACO e calcule a área dessa secção. 16.3. Escreve uma condição que caracterize: 16.3.1. A aresta [CQ]. 16.3.2. A superfície esférica de centro A e diâmetro [EC].
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17. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] (o ponto H não esta representado na figura). Sabe-se que: • o ponto A tem coordenadas
(14, -7, 4)
• o ponto B tem coordenadas
(16, -4, 10)
• o ponto C tem coordenadas
(10, -6, 13)
• o ponto E tem coordenadas
(8, 5, 0)
17.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices do prisma. 17.2. Determine o volume do prisma. 17.3. Defina, por uma condição, a aresta [AB] 17.4. Escreva uma equação da superfície esférica que contem os oito vértices do prisma. 17.5. Determine a área da secção produzida no prisma pelo piano ABG 17.6. Determine uma equação do piano DBF Apresente a sua resposta na forma ax + by + cz = d (a, b, c d designam números reais) Nota: o plano DBF e o plano mediador de um segmento cujos extremos são dois vértices do prisma.
18. A figura ao lado representa, num referencial ortogonal e monometrico Oxyz, um sólido que se pode decompor num cubo e num cilindro. Sabe-se que: • A base superior do cilindro tem centro em O e esta contida no piano xOy. • A face inferior do cubo esta inscrita na base superior do cilindro e tem as diagonais contidas nos eixos Ox e Oy. • A altura do cilindro e a aresta do cubo são iguais. • O volume total do sólido e igual a 32 (π + 2 ) . 18.1. Mostre que o cubo tem aresta igual a 4 18.2. Determine as coordenadas dos vértices do cubo. 18.3. Defina analiticamente: 18.3.1. A aresta [DH] 18.3.2. A base inferior do cilindro. 18.4. Calcule a área da secção determinada no sólido pelo plano de equação y = 2 .
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