Escola Secundária de Jaime Moniz Ficha de trabalho
Disciplina: Matemática Capítulo II: Funções
10º Ano
1. Seja f a função real de variável real cujo gráfico é: Pode concluir-se que:
2. Na figura está parte da representação gráfica de uma função h. Qual das seguintes figuras pode representar parte da representação gráfica de uma função f definida por f(x) = 1 - h(x) ?
3. O contradomínio de uma função f é [-1 , 2] . O contradomínio da função g definida por g ( x) = 2 − f ( x + 1) é: (A) [ 0,3]
(B) [ −1, 2]
(C) [1, 4]
(D) [ −4, −1]
4. O domínio de uma função f é [0 , 2]. O domínio da função g definida por g ( x) = f (2 x) : 1 3 (A) [ 0, 2] (B) [ 0,1] (C) , (D) [ 0, 4] 2 2 5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, polinomial do terceiro grau. 2 é o máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio , definida por
g= ( x) f ( x) − 2
Quantos são os zeros da função g? (A) quatro (C) dois Escola Secundária Jaime Moniz
(B) três (D) um 1
6. Na figura ao lado estão representadas, em referencial o.n. xOy, duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g. Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa. A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4. Qual das expressões seguintes define a função g ? (A)
− f (x) + 7
(B) − f ( x ) + 1
(C) − f ( x ) + 1
(D) − f ( x ) + 7
7. Considera a função f real de variável real definida por f ( x) = 4 x 2 − 8 x + 3 . 7.1.
Escreve a expressão que define a função f na forma f (x) = a ( x − h ) + k .
7.2.
Indica as coordenadas do vértice e uma equação da recta que é eixo de simetria da parábola.
2
A função g = (x) f ( x ) + β tem um único zero: 2. Indica o valor de β .
7.3.
Determina a expressão analítica da função g definida do seguinte modo g (= x ) f ( x − 2) .
7.4.
Determina analiticamente o conjunto solução da condição g ( x ) ≤ 15 .
7.5.
8. Na figura ao lado, está representado um triângulo rectângulo [ABC] cujos catetos, [AB] e [BC], medem, respectivamente, 30 e 40 unidades de comprimento. O segmento [BD], representado a ponteado, é a altura do triângulo relativa à hipotenusa. Considere que um ponto P se desloca sobre [AD], nunca coincidindo com A, nem com H Os pontos Q, R e S acompanham o movimento do ponto P, de tal forma que, para cada posição do ponto P, [PQRS] é um rectângulo. Sabe-se que: •
o segmento [PS] está contido em [AC]
•
os pontos Q e R pertencem a [AB] e a [BC], respectivamente.
Resolva os itens seguintes, utilizando exclusivamente métodos analíticos. Pode utilizar a calculadora, para efectuar cálculos numéricos. 8.1.
Mostre que AC = 50 .
8.2.
Mostre que BD = 24 , AD = 18 e DC = 32 .
8.3.
Seja x a distância do ponto A ao ponto P. Mostre que PQ =
8.4.
4 16 x e que SC = x . 3 9
Seja f a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do rectângulo [PQRS] 8.4.1. Qual é o domínio da função f? 8.4.2. Mostre que f ( x ) =
8.5.
1800 x − 100 x 2 . 27
Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder o perímetro do rectângulo [PQRS] 8.5.1. Qual é o domínio da função g? 8.5.2. Mostre que g (= x ) 100 −
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26 x. 9 2
9. Num jogo de futebol, vai ser cobrado um livre, a 25 metros da baliza (ver figura ao lado). A barreira da bola.
está
à
distância
regulamentar
de
9,15
metros
O plano da trajectória da bola é perpendicular à linha de golo. A bola pode não passar a barreira ou pode passar por cima dela. Se passar por cima da barreira, a bola segue na direcção da baliza, fora do alcance do guarda-redes. Admita que só pode acontecer uma das quatro situações seguintes: •
a bola não passa a barreira;
•
a bola sai por cima da barra da baliza;
•
a bola bate na barra da baliza;
•
a bola entra na baliza.
Na barreira, o jogador mais alto tem 1,95 metros de altura. A barra da baliza está a 2,44 metros do chão. Admita que, depois de rematada, a bola descreve um arco, de tal modo que a sua altura, relativamente ao solo, medida em metros, é dada por: = f ( x ) 0,32 x − 0,01x 2 sendo x a distância, em metros, da projecção da bola no solo ao local onde ela é rematada Resolva os itens seguintes, utilizando exclusivamente métodos analíticos. Pode utilizar a calculadora, para efectuar cálculos numéricos. 9.1. É golo? Justifique a sua resposta. 9.2. Qual é a altura máxima atingida pela bola? 9.3. A que distância da linha de golo está a bola, quando atinge a altura máxima? Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. 10. Considera a função: f : → x → y =x + 2 10.1. Represente graficamente a função f. 10.2. Indique o CD f . 10.3. Estude a função quanto a extremos (máximos e mínimos). 10.4. Seja agora a função h(x) = −2 f (x − 4) + 3 . 10.4.1. Determine a expressão analítica de h(x). 10.4.2.
1 Determine o conjunto solução da condição h(x) ≥ − . 2
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3
11. Considere a função g representada no gráfico ao lado. Determine o conjunto solução da condição g ( x) × g ( x − 2) < 0
12. Seja f a função de domínio definida por f ( x ) =x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 14 x Sabe-se que o gráfico de f intersecta o eixo Ox em apenas dois pontos. Um deles tem abcissa -2. Decomponha o polinómio x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 14 x num produto de três polinómios, sendo dois do primeiro grau e um do segundo grau. 13. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as sete primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por A(t ) = 0,04t 3 − 0,76t 2 + 3,51t e C (t ) = −0,12t 3 + 0,72t 2 + t . A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado ( t ∈ [ 0,7] ). 13.1.
Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas.
13.2.
Recorrendo à calculadora gráfica, responda às seguintes questões:
13.2.1. No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 13.2.2. Considere as seguintes questões: 1°. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado? 2°. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 2 miligramas por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve tomá-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro? Utilize as capacidades gráficas da tua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena composição, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: janela de visualização, gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).
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ANEXO
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