5.1. Máximos y mínimos de una función

La función de la figura es creciente en los intervalos cerrados ; ; ; ; y es decreciente en los intervalos ; ; . En la siguiente figura se dan interpretaciones geométricas de las definiciones anteriores (si fuera constante, su gráfica sería un segmento de recta horizontal).

Observemos que en el intervalo en el que la función es creciente, el ángulo de inclinación de una tangente es agudo; es decir, su pendiente es positiva y como la pendiente de la tangente es la derivada, entonces . Igualmente, cuando la función es decreciente, el ángulo de inclinación de una tangente es obtuso, por lo que su pendiente es negativa y entonces .

5.1. Máximos y mínimos de una función

En este tema y en el siguiente se verá un método para determinar los valores máximos y mínimos de las funciones y la utilidad de éstos para trazar un esbozo de la gráfica de una función. Para esto, definiremos primeramente lo que es el máximo y el mínimo de una función.

Definición

Si una función está definida en intervalo I y es un número en I; entonces es el valor máximo de en I si para todo ( ), es el valor mínimo de en I si para todo ( ) En otras palabras, para que el valor de en sea un máximo, debe ser mayor o igual a todos los valores de en los puntos próximos y para que el valor de en sea un mínimo, debe ser menor o igual a todos los valores de en los puntos próximos. En las siguientes figuras se ilustran gráficamente un valor máximo y uno mínimo de una función en un intervalo cerrado [a, b].