Tema 4 Ecuación de la recta tangente y normal a una curva

Ejercicio

Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de el punto (1, 3) y trazar la gráfica con un paquete graficador. en

4. Ecuación de la recta tangente y normal a una curva

¿Qué significa que una recta sea tangente a una curva en un punto? En geometría plana, una recta tangente en un punto P sobre una circunferencia; es la recta perpendicular al radio que pasa por P, como se muestra:

Sin embargo, esa definición no puede extenderse a curvas más complejas, ya que una recta tangente puede intersectar a una curva varias veces. Por ejemplo, ¿cómo se podrían definir las rectas tangentes que se observan en las siguientes figuras?, ¿diciendo que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla? Tal definición sería correcta para la primera curva de las tres que mostramos, pero no para la segunda. También se podría decir que una recta es tangente a una curva si la toca o hace intersección en ella

M 3

Basado en Competencias exactamente en el punto P, definición que serviría para una circunferencia, pero no para curvas más generales, como la tercera curva.

Para definir la recta tangente en un punto P sobre la gráfica de una ecuación, es suficiente dar la pendiente de la tangente, ya que ésta determina completamente a la recta (junto con el punto por supuesto). Así pues, el problema de encontrar la recta tangente en un punto P de una curva se reduce al de calcular su pendiente en ese punto. Para esto aplicaremos lo visto en el tema 2 del presente módulo, en el cual se estableció que la derivada de una función representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en un punto considerado y también emplearemos la ecuación punto-pendiente vista en geometría analítica. Así entonces, sea una función continua y derivable en , entonces la función tiene una recta tangente en el punto de coordenadas y su ecuación es de la forma.

en la que es la pendiente de la recta tangente en . Por otra parte, una recta normal a una curva en un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto, denominado punto de tangencia, y cuya pendiente será, recordando la condición de perpendicularidad ,

y su ecuación tendrá la forma

Gráficamente se tiene

Si al evaluar la derivada de una función en un punto de abscisa , resulta que no está definida, entonces la recta tangente en ese punto es vertical, y tendrá por ecuación . Igualmente, si al evaluar la derivada de una función en un punto de abscisa , el resultado es 0, indicará que la recta tangente es horizontal con ecuación .

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa . Trazar la gráfica de la función y las gráficas de la recta tangente y normal en un mismo plano.

Solución:

Calculamos primeramente la ordenada del punto de tangencia sustituyendo en la regla de correspondencia de la función

, entonces

Después se calcula la derivada de la función y la evaluamos en para tener la pendiente de la recta tangente

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación de la recta tangente y simplificamos para llegar a la forma general de la ecuación de esta recta

Posteriormente sustituimos los valores en la ecuación de la recta normal para obtener su forma general

M 3

Basado en Competencias La gráfica de la función con las rectas tangente y normal en el punto (0,2) es la siguiente

Ejercicio

Determinar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa . Trazar la gráfica de la función y las gráficas de la recta tangente y normal en un mismo plano.

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función que tiene pendiente .

Dos soluciones.

Solución:

Derivamos la función

Como la derivada es la pendiente de la tangente, la igualamos con -2 que es la condición pedida

simplificamos

Resolvemos la ecuación cuadrática resultante por factorización

Igualamos cada factor con cero , De donde

, Por tanto tendremos dos puntos de tangencia que se obtienen al sustituir los valores anteriores en la función Punto P

Punto Q

Las ecuaciones de las rectas tangentes serán Tangente 1

Tangente 2

La gráfica de la función con las dos tangentes es la siguiente: