1.2 Tipos de discontinuidad

Ejemplo

Considere la función . ¿Es continua en ?

Solución:

Analizando las tres condiciones se tiene: 1.

al dominio de . ; entonces pertenece

2. .

Esto muestra que el límite existe y es igual a 0. 3. Se tiene que y . Esto muestra que

Por lo tanto la función es continua en .

Observación

Las funciones polinomiales son continuas en todo su dominio.

1.2 Tipos de discontinuidad

La discontinuidad de una función en el punto se puede clasificar en los siguientes casos: a) Discontinuidad evitable o restringible (en algunos textos le llaman de hueco) b) Discontinuidad infinita y asintótica c) Discontinuidad de salto (finito e infinito)

M 2

Basado en Competencias En la siguiente tabla se muestran las condiciones que presenta cada tipo de discontinuidad.

Discontinuidad evitable o restringible Discontinuidad infinita Discontinuidad de salto

Infinita Asintótica Finito Infinito

. 1. La función no está definida en . 1. La función no está definida en .

2. Los límites laterales existen y son infinitos con el mismo signo. 2. Los límites laterales existen y son infinitos, pero con signo distinto. 1. La función no necesariamente está definida en . 1. La función no necesariamente está definida en .

2. Los límites laterales existen y son finitos, pero son distintos. 2. Los límites laterales existen, pero uno es finito y el otro es infinito.

Caso 1

Caso 2

Discontinuidad evitable o restringible

Ejemplo

Verificar que la función . presenta discontinuidad evitable en el punto

Solución:

1.

2. , de manera que la función no está definida en .

; el límite existe.

Entonces la función ƒ presenta una discontinuidad restringible.

Ejemplo

Verificar que la función presenta una discontinuidad evitable en el punto .

Sea

Solución:

1. ; es decir, la función está definida en el punto 0. 2. y , es decir, . 3. .

Entonces la función presenta una discontinuidad evitable en el punto 0.

M 2

Basado en Competencias

Ejercicio

Verificar que la función presenta una discontinuidad evitable en el punto .

Discontinuidad infinita o asintótica

Ejemplo

Verificar que la función punto . presenta una discontinuidad infinita en el

Solución:

1. ; es decir, la función no está definida en .

2.

son iguales, entonces ; es decir, como los límites laterales existen y

Entonces la función presenta discontinuidad infinita en el punto .

Ejercicio

Verificar que la función presenta una discontinuidad infinita en el punto .

Ejemplo

Verificar que la función punto . presenta una discontinuidad asintótica en el

Solución:

1.

2. , de manera que no está definida en el punto 2.

y ; es decir, el no existe.

Entonces la función presenta una discontinuidad asintótica.

M 2

Basado en Competencias

Ejercicio

Verificar que la función punto . presenta una discontinuidad asintótica en el

Discontinuidad de salto (finito o infinito)

Ejemplo

Verificar que la función presenta una discontinuidad de salto finito en el punto .

Solución:

1. ; es decir, la función está definida en el punto .

2. y ; es decir, los límites laterales existen,

pero son distintos. Entonces la función presenta una discontinuidad de salto finito en el punto .

Ejercicio

Verificar que la función presenta una discontinuidad de salto finito en el punto .

Ejemplo

Verificar que la función presenta una discontinuidad de salto infinito en el punto .

Solución:

1. ; es decir, la función está definida en 4.

2. y ; los límites laterales son distintos: uno finito

y otro infinito. Entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en el punto 4.

M 2

Basado en Competencias

Ejercicio

Verificar que la función presenta una discontinuidad de salto infinito en el punto .

Ejemplo

Determinar los puntos de discontinuidad de la función: .

Solución:

Factorizando el denominador de la función:

El denominador se hace 0 cuando ocurre que:

Por lo que y no pertenecen al dominio de la función; es decir, y no existen. Entonces es discontinua en estos puntos.

Observación

Una función racional es discontinua en los puntos en los que el denominador es igual a 0 y continúa en todos los demás puntos. A estos puntos se les llama puntos de discontinuidad de la función.

Ejemplo

Sea . Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

Solución:

Se trata de una función definida en trozos, la cual está compuesta por dos funciones constantes y un punto. El dominio de la función son todos los números reales. El único punto posible de discontinuidad puede ser el valor de en el que se corta el dominio de la función; es decir, el valor de . Analizando la continuidad en , se tiene: 1. . El 0 pertenece al dominio de la función. 2. . Para calcular este límite se procederá a calcular sus límites laterales cuando y . Esto verifica que no existe. Por consiguiente no es continua en .

Ejercicios

1. A partir de la gráfica de señalar si es continua o no en y en . En el caso de no ser continua, indicar el tipo de discontinuidad.

2. La siguiente gráfica corresponde a la función :

Analizar la continuidad de la función en y en . Justificar la respuesta.

M 2

Basado en Competencias 3. ¿Son continuas las siguientes funciones en ? Justificar la respuesta.

4. Dada la gráfica de : a) ¿Es continua en ? b) ¿Y en ? Justificar la respuesta.

5. Se muestra la gráfica de la función :

a) ¿Es continua en ? b) ¿Y en ?

6. Analizar la continuidad de la siguiente función en :

7. Analizar si la siguiente función es continua en

8. Analizar si la siguiente función es continua en . Justificar la respuesta.

9. Analizar la continuidad de la función en . Justificar la respuesta