3.1. Derivación implícita

3.1 Derivación implícita

Hasta este momento, las funciones presentadas en el texto se han enunciado de forma explícita. Por ejemplo, en la ecuación ,… (1) la variable está escrita explícitamente en términos de la variable , y decimos que es una función de , ya que podemos escribir: , en donde

Sin embargo la ecuación

,… (2) define la misma función , ya que al despejar obtenemos la ecuación (1). En el caso de la ecuación (2) decimos que es una función implícita de o que está definida implícitamente por la ecuación (2). Así, una regla de correspondencia de la forma ; es decir, cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra, representará una función implícita. Son ejemplos de este tipo de funciones las siguientes:

La derivada de estas funciones se puede determinar por dos procedimientos: 1. Despejando en la función y calculando directamente (salvo para funciones muy sencillas, este procedimiento resulta pocas veces viable o impráctico). 2. Se considera primeramente a como función de ; es decir, ; después se derivan ambos miembros de la igualdad con respecto a , se efectúan operaciones, se trasponen todos los términos que contengan a al primer miembro, se factoriza y finalmente se le despeja. A este segundo procedimiento se le llama derivación implícita y para aplicarlo se deben tomar en cuenta las siguientes condiciones: a) b) (teorema del producto ya que ) c) (teorema de función compuesta o regla de la cadena) d) (teorema del producto y regla de la cadena) Cabe aclarar que no toda ecuación representa una función, sino que puede ser una relación, como por ejemplo . En los siguientes ejemplos aplicaremos la derivación implícita y supondremos que la ecuación dada en y , es una función derivable .

Ejemplo

Mediante derivación implícita, determinar la derivada con respecto a de la función .

M 3

Basado en Competencias

Solución:

Derivamos todos los términos con respecto a y se aplican las condiciones mencionadas

Efectuamos operaciones y ordenamos

Trasponemos los términos que contienen a al primer miembro y los demás al segundo

Factorizamos a como factor común

Finalmente despejamos a pasando el otro factor dividiendo al segundo miembro y se tendrá la derivada pedida

Ejercicio

Mediante derivación implícita, determinar la derivada con respecto a de la función .

Ejemplo

Mediante derivación implícita, determinar la derivada con respecto a de la función .

Solución:

Derivamos todos los términos con respecto a y se aplican las condiciones mencionadas

Dejamos los términos que contienen a en el primer miembro y trasponemos los demás al segundo

Factorizamos a como factor común

Finalmente despejamos a

Ejercicio

Mediante derivación implícita, determinar la derivada con respecto a de la función .

Ejemplo

Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto (4, 2).

M 3

Basado en Competencias

Solución:

Recordemos que la derivada representa geométricamente a la pendiente de la recta tangente en el punto considerado. Entonces derivamos implícitamente:

Podemos dividir entre 4 ambas expresiones de la fracción:

Finalmente evaluamos a en el punto solicitado:

La gráfica de la relación junto con la tangente en el punto considerado se realiza con un paquete graficador y se presenta en la siguiente figura (a la curva se le llama lemniscata):