Cálculo Diferencial: Derivada de una función
3.1 Derivación implícita Hasta este momento, las funciones presentadas en el texto se han enunciado de forma explícita. Por ejemplo, en la ecuación ,… (1) la variable está escrita explícitamente en términos de la variable , y decimos que es una función de , ya que podemos escribir: , en donde Sin embargo la ecuación
,… (2)
define la misma función , ya que al despejar obtenemos la ecuación (1). En el caso de la ecuación (2) decimos que es una función implícita de o que está definida implícitamente por la ecuación (2). Así, una regla de correspondencia de la forma ; es decir, cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra, representará una función implícita. Son ejemplos de este tipo de funciones las siguientes: La derivada
de estas funciones se puede determinar por dos procedimientos:
1. Despejando en la función y calculando directamente (salvo para funciones muy sencillas, este procedimiento resulta pocas veces viable o impráctico). 2. Se considera primeramente a como función de ; es decir, ; después se derivan ambos miembros de la igualdad con respecto a , se efectúan operaciones, se trasponen todos los términos que contengan a al primer miembro, se factoriza y finalmente se le despeja. A este segundo procedimiento se le llama derivación implícita y para aplicarlo se deben tomar en cuenta las siguientes condiciones: a) b) c) d)
(teorema del producto ya que
)
(teorema de función compuesta o regla de la cadena) (teorema del producto y regla de la cadena)
Cabe aclarar que no toda ecuación puede ser una relación, como por ejemplo
representa una función, sino que .
En los siguientes ejemplos aplicaremos la derivación implícita y supondremos que la ecuación dada en y , es una función derivable .
Ejemplo Mediante derivación implícita, determinar la derivada con respecto a función .
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de la
