Smart Matematik A - Teoribog til adgangskursus, 1. udgave, 2015 by Praxis

Teoribog til adgangskursus

• Emner fra matematik B • Trigonometriske funktioner • Integralregning • Differentialligninger • Vektorer i planet • Analytisk plangeometri • Vektorer i rummet • Analytisk rumgeometri • Vektorfunktioner

Teoribogen omhandler den grundlæggende teori, som præsenteres i kort og præcis form. Præsentationen er ledsaget af figurer og markerede eksempler. Til hvert kapitel er der en detaljeret indholdsfortegnelse og et afsluttende resumé. Der henvises løbende til opgaver i arbejdsbogen. Kristian Bahr er uddannet maskiningeniør og cand. scient., og er lektor ved Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet. Af samme forfatter: Smart Fysik – Teoribog Smart Fysik – Arbejdsbog

isbn 978-87-571-2848-2

9 788757 128482

Omslag Teoribog Matematik-3.indd 1-3

Smart Matematik A Teoribog til adgangskursus Kristian Bahr

Teoribog - Kristian Bahr

Smart Matematik A er et lærebogskoncept, der består af to bøger: Teoribogen og Arbejdsbogen. Bøgerne er beregnet til undervisningen på Adgangskursus til Ingeniørskolerne. Tilsammen dækker bøgerne de centrale emner (kernestoffet) til adgangseksamen i matematik A:

Smart Matematik A -

Smart Matematik A

praxis.dk

varenr. 144021-1

Praxis - Nyt Teknisk Forlag

05/12/14 17.23

Smart Matematik A Teoribog til adgangskursus af Kristian Bahr

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 1

03-12-2014 11:59:51

Smart Matematik A - Teoribog til adgangskursus 1. udgave 2015 © Nyt Teknisk Forlag 2015 Forlagsredaktør: Thomas Rump, tr@nyttf.dk Omslag: Dorte Edur Erichsen Tegninger: Kristian Bahr Dtp: Kristian Bahr Tryk: ArcoRounborg A/S ISBN: 978-87-571-2848-2 Varenummer: 144021-1 Bogen er sat med Times New Roman og Arial Bogen er trykt på 115 g G-print Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk

PRAXIS - Nyt Teknisk Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ info@praxis.dk www.praxis.dk/ntf Tlf. +45 63 15 17 00

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 2

03-12-2014 11:59:51

Smart Matematik A – Teoribog

Indholdsfortegnelse

Funktioner 1. Emner fra matematik B 1.1 Tal og regneregler for tal 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Talmængder ....................................................................... 2 Regneregler for reelle tal................................................... 3 Geometrisk repræsentation af reelle tal .......................... 5 Potenser.............................................................................. 6 Brøker ................................................................................. 7 Oversigt over regneregler for tal ...................................... 8

1.2 Ligninger og uligheder 1. Ligninger............................................................................. 9 2. Uligheder .......................................................................... 12

1.3 Funktioner 1. Grundlæggende begreber ............................................... 13 2. Differentialregning ........................................................... 15 3. Logaritme- og eksponentialfunktioner .......................... 17

2. Trigonometriske funktioner 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Enhedscirkel, buemål og vinkel ..................................... 20 Definitioner af de trigonometriske funktioner ............... 20 Egenskaber ved de trigonometriske funktioner ........... 21 Trigonometriske ligninger............................................... 24 Trigonometriske uligheder.............................................. 27 Differentiation af trigonometriske funktioner................ 28 Harmonisk svingning ...................................................... 30 Resumé ............................................................................. 32

3. Integralregning 1. 2. 3. 4. 5.

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 3

Stamfunktion, ubestemt integral .................................... 34 Integrationsteknik ............................................................ 36 Bestemt integral ............................................................... 38 Anvendelser af integraler, differentiel teknik ................ 44 Resumé ............................................................................. 48

03-12-2014 11:59:51

Smart Matematik A – Teoribog

4. Differentialligninger 1. 2. 3. 4. 5.

Indledning ......................................................................... 50 Første ordens differentialligninger ................................ 51 TI-89 og differentialligninger........................................... 58 Praktiske eksempler ........................................................ 59 Resumé ............................................................................. 63

Geometri 5. Vektorer i planet 1. 2. 3. 4. 5.

Geometriske definitioner................................................. 66 Analytisk vektorregning .................................................. 68 Skalarproduktet af to vektorer ........................................ 70 Anvendelser af skalarproduktet ..................................... 71 Resumé ............................................................................. 73

6. Analytisk plangeometri 1. Cirkler................................................................................ 76 2. Rette linjer ........................................................................ 77 3. Resumé ............................................................................. 82

7. Vektorer i rummet 1. Koordinatsystem/vektor i rummet.................................. 84 2. Vektorproduktet af to vektorer ....................................... 85

8. Analytisk rumgeometri 1. Rette linjer ........................................................................ 90 2. Planer ................................................................................ 94 3. Kugleflader ....................................................................... 98

9. Vektorfunktioner 1. Vektorfunktioner ............................................................ 102 2. Partikelbevægelse i planet ............................................ 105 3. Parameterkurver ............................................................ 106 Stikordsregister ................................................................... 107

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 4

03-12-2014 11:59:51

Smart Matematik A – Teoribog

iii

Forord Smart Matematik A er et lærebogskoncept, der består af to bøger: Denne bog Teoribogen og den tilhørende Arbejdsbog. Bøgerne er beregnet til undervisningen på Adgangskursus til Ingeniørskolerne. Tilsammen dækker bøgerne de centrale emner (kernestoffet) til adgangseksamen i matematik A. Desuden er der medtaget et fyldigt resumé af emner fra matematik B. Dette er gjort for at tilgodese de studerende, hvor det er lang tid siden, de har haft matematik B. Teoribogen omhandler den grundlæggende teori, som præsenteres i kort og præcis form. Præsentationen er ledsaget af mange figurer og markerede eksempler. Definitioner, sætninger for vigtige formler, og beviser er tydelig markeret. Til hvert kapitel er der en detaljeret indholdsfortegnelse, og hvert kapitel afsluttes med et resumé. Teoribogen og arbejdsbogen hænger sammen via henvisninger (links) fra teoribogen til opgaver i arbejdsbogen. Henvisninger til opgaver i arbejdsbogen er markeret med: → Opgaver: 4/4−4/9

Henvisningen henviser til opgaverne 4/4−4/9 i kapitel 4 i arbejdsbogen. Hvis der er gennemgået teori indtil en henvisning, kan/bør de studerende regne de opgaver, der er henvist til. Disse opgaver passer i indhold og sværhedsgrad til den teori, der netop er gennemgået. På denne måde opnås en vekselvirkning mellem gennemgang af teori og anvendelse af den netop gennemgåede teori. Denne vekselvirkning formodes at virke aktiverende på de studerende. Stor tak til Steen Bjørnelund for gode råd og korrekturlæsning gennem mange år. Til slut er der blot at ønske jer god arbejdslyst. Jeg håber, at I får glæde og udbytte af indlæringen samt ikke mindst får nytte af det lærte senere i ingeniørstudiet. Enhver form for konstruktiv kritik er meget velkommen fra såvel studerende som undervisere. Kristian Bahr, Aarhus 2014

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 5

03-12-2014 11:59:51

1 Emner fra matematik B 1.1 Tal og regneregler for tal 1. Talmængder ......................................................................... 2 2. Regneregler for reelle tal .................................................... 3 a. b. c. d.

Regneoperatorerne (+) og (⋅) Regneregler Regneoperatorerne subtraktion (−) og division (/) Operator-hierarki, parenteser

3. Geometrisk repræsentation af reelle tal ............................ 5 a. Den reelle tallinje b. Intervaller på tallinjen og koordinatsystem

4. Potenser ............................................................................... 6 5. Brøker ................................................................................... 7 6. Oversigt over regneregler for tal........................................ 8

1.2 Ligninger og uligheder 1. Ligninger .............................................................................. 9 a. Simple ligninger med en ubekendt b. Andengradsligningen c. Ligninger med flere ubekendte

2. Uligheder ............................................................................ 12

1.3 Funktioner 1. Grundlæggende begreber ................................................ 13 a. b. c. d. e.

Definitionsmængde og værdimængde for en funktion Regneforskrift for en funktion Grafen for en funktion Omvendt funktion Sammensat funktion

2. Differentialregning ............................................................. 15 a. Geometrisk definition af differentiabilitet b. Analytisk definition af differentiabilitet c. Differentiationsregler

3. Logaritme- og eksponentialfunktioner ............................ 17 a. Den naturlige logaritmefunktion b. Den naturlige eksponentialfunktion (exp) c. Logaritme- og eksponentialfunktioner med grundtal a

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 7

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

1.1 Tal og regneregler for tal 1. Talmængder Det er velkendt, at der findes forskellige slags talmængder med forskellige egenskaber. De naturlige tal N N = {1 , 2 , 3 , .......} De naturlige tal er egnede til at tælle med, og man kan addere naturlige tal. De hele tal Z Z = {......, −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .........} Man kan addere og subtrahere hele tal. De rationale tal Q De rationale tal er de tal, der kan skrives som en brøk mellem hele tal: p ½ Q=® p , q ∈ Z ∧ q ≠ 0¾ ¯q ¿ De rationale tal har den egenskab at man kan foretage regneoperationerne: Addition, subtraktion, multiplikation og division. Tallene har dog en mangel: der findes linjestykker, hvis længde ikke kan angives ved et rationalt tal. Længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne én er givet

ved 2 . Det kan vises, at 2 ikke er et rational tal. Forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter er et tal, som kaldes π. Dette tal er ikke et rationalt tal. De reelle tal R De reelle tal har den geometriske egenskab, at længden af ethvert linjestykke kan angives ved et reelt tal. De reelle tal er derfor en udvidelse af de rationale tal. De reelle tal har dog "mangler". F.eks. har ligningen x2 + 1 = 0 ingen løsning inden for de reelle tal. Man kan dog udvide de reelle tal til en talmængde, hvor ligningen x2 + 1= 0 har løsninger. Denne talmængde kaldes de komplekse tal. Komplekse tal C

Komplekse tal er reelle talpar (a,b), hvor

−1 har mening.

Oversigt over talmængder

Talmængderne opfylder: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 8

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

2. Regneregler for reelle tal Det er velkendt, at de reelle tal kan forsynes med regneoperationerne: Addition (+) og Multiplikation (⋅) og de tilsvarende omvendte operationer: Subtraktion (−), og Division (/). Man skriver da (R , + , ⋅ ), som læses mængden R forsynet med regneoperationerne (+) og (⋅) . De regler, der gælder for regneoperatorerne, kaldes tal algebra eller regneregler for tal og udtrykker tallenes algebraiske egenskaber. a. Regneoperatorerne (+) og (⋅) Regneoperatorerne addition (+) og multiplikation (⋅) er forskrifter, som til ethvert talpar (a, b) ∈ R × R , tilordner præcis et tal i R.

Addition

+ : (a, b) ⎯⎯ → a+b <

→ a ⋅b Multiplikation: (a, b) ⎯⎯

Summen af a med b

a og b kaldes led

Produktet af a med b

a og b kaldes faktorer

b. Regneregler

a+b = b+a

Leddenes rækkefølge er ligegyldig

a⋅b = b⋅a

Faktorernes rækkefølge er ligegyldig

a+(b+c) = (a+b)+c

Rækkefølgen af operationerne er ligegyldig, altså parenteserne kan udelades

Kommutative love

Associative love

a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c Distributive lov

a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c

Man kan multiplicere ind i en parentes eller sætte en fælles faktor uden for en parentes

Udtrykket: a⋅b + a⋅c , skal opfattes som: (a⋅b) + (a⋅c). Normalt udelades parenteserne, idet det er underforstået, at multiplikation skal udføres før addition. Dette kaldes operator-hierarki, dvs. prioritering, som altså udtrykker: I et udtryk uden parenteser skal multiplikation udføres før addition. Eksempel 1.

Produkt mellem to toleddede størrelser: ( a + b ) ⋅ (c + d ) = ( a + b) ⋅ c + ( a + b ) ⋅ d (distributive lov) (a + b) ⋅ c + (a + b) ⋅ d = a ⋅ c + b ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ d (distributive lov) Produktet giver 4 led og fremkommer ved at multiplicere samtlige led i den ene parentes med samtlige led i den anden parentes. Eksempel 2.

Kvadratet på en toleddet størrelse: ( x + y)2 = x2 + y 2 + 2 x y ( x − y)2 = x2 + y 2 − 2 x y Kvadratet på en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på anden led plus eller minus det dobbelte produkt. Eksempel 3.

To tals sum multipliceret med de samme to tals differens: ( x + y )( x − y ) = x 2 − y 2 To tals sum multipliceret med de samme to tals differens er lig med kvadratet på første tal minus kvadratet på andet tal.

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 9

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

c. Regneoperatorerne subtraktion (−) og division (/) Det er velkendt, at de reelle tal også har regneoperationerne: Subtraktion (−) og division (/).

Modsat tal Ethvert tal a har et modsat tal, som betegnes (-a), og som defineres ved: a +(-a) = 0 Det modsatte tal til a er det tal (-a), som adderet til a giver nul. Subtraktion (−) Subtraktionen af a med b skrives : a − b og defineres ved: a− b = a +(-b) Inverst tal Ethvert tal a ≠ 0 har et inverst tal, som betegnes a−1 og defineres ved: a⋅a−1 = 1 Det inverse tal til a er det tal a−1, som multipliceret med a giver én. Division (/)

Divisionen af a med b , hvor b ≠ 0, skrives:

a = a / b og defineres ved: b

a = a ⋅ b −1 b d. Operator-hierarki, parenteser Vi har indført de grundlæggende regneoperatorer: Addition (+) og multiplikation (⋅) og de regneregler, der gælder for disse. Desuden har vi indført de omvendte operatorer: Subtraktion (−) og division (/). Vi kan indføre endnu en regneoperator potensoperatoren (^) , denne operator virker på talpar som de øvrige: ∧ Potens: (a, b) ⎯⎯ → a ∧b = ab

a opløftet til b´te

I udtryk med flere operatorer må man angive, hvilke argumenter de enkelte operatorer skal virke på. Dette kan man gøre ved hjælp af parenteser. Man har dog indført standard regler for operatorernes indbyrdes prioritering, hierarki, således at det ikke altid er nødvendigt med parenteser, med mindre man vil ændre standard prioriteringen. Standard prioritering 1. Potens (^) 2. Multiplikation (⋅) og Division (/) 3. Addition (+) og Subtraktion (−) Ovenstående angiver operatorernes indbyrdes udførelsesrækkefølge i et udtryk uden parenteser. Hvis der i et udtryk forekommer parenteser, har parenteserne højeste prioritet, dvs. indholdet i parenteserne udføres først. Eksempel 4. Parenteser

a⋅(bc) = a⋅bc (a⋅b)c ≠ a⋅bc (a/b) − c = a/b −c a/(b − c) ≠ a/b − c

Her kan parentesen udelades Her kan parentesen ikke udelades Her kan parentesen udelades Her kan parentesen ikke udelades

→ Opgaver: 1/1−1/2

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 10

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

3. Geometrisk repræsentation af reelle tal a. Den reelle tallinje De reelle tal kan repræsenteres (anskueliggøres) ved punkter på en orienteret linje. Tallet nul (0) repræsenteres ved punktet O, som kaldes linjens nulpunkt. Tallet en (1) repræsenteres ved punktet E, hvor afstanden mellem O og E er enheden på tallinjen. Tallet t repræsenteres ved punktet Pt , hvor længden af linjestykket OPt = t. Positive tal afsættes i orienteringens retning, negative tal afsættes mod orienteringens retning. Herved er etableret en entydig forbindelse mellem tal og punkter på tallinjen. Normalt vil vi ikke skelne mellem punktet Pt og tallet t, som kaldes punktets koordinat. b. Intervaller på tallinjen og koordinatsystem Ethvert linjestykke af tallinjen svarer til en delmængde af de reelle tal (R), som kaldes et interval. I det følgende er a < b , som læses, a er strengt mindre end b, og som betyder at a ligger til venstre for b på tallinjen.

Betegnelse

Mængde

1. Lukket

[ a; b ]

{ x | a ≤ x ≤ b}

2. Åbent

]a; b[

{ x | a < x < b}

3. Halvåbent

[ a; b[

{ x | a ≤ x < b}

4. Halvåbent

[ a; ∞[

{ x | a ≤ x}

5. Åbent

]−∞; b[

{ x | x < b}

Grafisk på tallinjen

Intervallerne 1. , 2. og 3. kaldes begrænsede, og 4. og 5. kaldes ubegrænsede. Tegnet ( ∞ ) læses uendelig og angiver, at intervallet er ubegrænset. Koordinatsystem Et retvinklet koordinatsystem består af to tallinjer, der står vinkelret på hinanden. Skæringspunktet mellem linjerne betegnes O og kaldes begyndelsespunktet eller origo. Den vandrette linje kaldes for x-aksen eller 1.-aksen, den lodrette linje kaldes for y-aksen eller 2.-aksen. Koordinatsystemet inddeler planet i fire dele som kaldes kvadranter som vist på figuren. I et koordinatsystem kan man indtegne punkter og punktmængder f. eks. cirkler og rette linjer. Et punkt P kan angives ved et talpar (x,y) bestående af punktets x-koordinat og punktets y-koordinat. Man siger at punktet har koordinaterne (x,y) og punktet betegnes P(x,y).

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 11

Koordinatsystem

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

4. Potenser Det er velkendt at potensbegrebet kan indføres for alle reelle tal a og for hele tal n. Man skriver da: Potens: a n a er grundtallet a ∈ R n er eksponenten n ∈ Z Potensbegrebet kan også indføres for en rationel eksponenten.

Potens: a n a er grundtallet n er eksponenten

Kvadratrod: a = a 2 , men her skal a opfylde: a ≥ 0 1

Kubikrod : 3 a = a 3 , her kan a være et vilkårligt tal Regneregler for potenser Der gælder følgende meget vigtige regneregler for potenser, hvor eksponenten er et rationalt tal, dvs. n ∈ Q Potensregneregler

1 ;a≠0 an a0 = 1 ; a ≠ 0

a−n =

Samme grundtal

1. a n ⋅ a m = a n + m 2.

Man multiplicerer ved at addere eksponenterne.

an = an−m m a

Man dividerer ved at subtrahere nævnerens eksponent fra tællerens eksponent. Man opløser potens til potens ved at multiplicere eksponenterne.

3. (a n ) m = a n⋅ m

Samme eksponent

4. a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n an § a · 5. n = ¨ ¸ b ©b¹

Man multiplicerer potenser med samme eksponent ved at multiplicere grundtallene. Man dividerer potenser med samme eksponent ved at dividere grundtallene.

Eksempel 5. Potensregneregler

1. a n ⋅ a m = a n + m 2.

an = an−m am

52 ⋅ 54 = 54 + 2 = 56 a≠0

52 1 = 52 − 4 = 5−2 = 2 4 5 5

3. (a n ) m = a n⋅ m

(52 ) 4 = 52⋅ 4 = 58

4. a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

52 ⋅ 32 = (5 ⋅ 3) 2 = 152

an § a · 5. n = ¨ ¸ b ©b¹

b≠0

52 § 5 · =¨ ¸ 32 © 3 ¹

→ Opgave: 1/3

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 12

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

5. Brøker En brøk er en division mellem to tal, der ikke er udført. Brøken består af en tæller og af en nævner, som skal være forskellig fra nul. a ← tælleren Brøk: b ← nævneren, b ≠ 0 Regneregler for brøker Brøkregneregler

a ca = ;c ≠0 b cb

Forlængning/forkortning En brøks værdi ændres ikke ved at multiplicere tæller og nævner med samme tal (c).

a c ac ⋅ = b d bd

Multiplikation Man multiplicerer to brøker ved at multiplicere tæller med tæller og nævner med nævner.

a a c § · § · b a d ¨ ¸/¨ ¸ = c = ⋅ b c ©b¹ ©d ¹ d

Division En brøk divideres med en brøk ved at multiplicere tællerbrøken med nævnerbrøkens omvendte brøk.

a c a d cb a d + cb + = + = b d bd bd bd

Addition (”sætte på fælles brøkstreg”) De to brøker omskrives, så de får samme nævner, herefter kan de adderes.

Eksempel 6. Addition af brøker

Når brøker skal adderes, skal brøkerne have samme nævner. Dette gøres ved at forlænge de enkelte brøker med passende tal således, at de får samme nævner. 3 b2 − 2 1 + − Fællesnævneren er a b 2 . 2 ab ab a Første brøk forlænges med b, anden brøk har fællesnævneren, tredje brøk for længes med b2: 3 b b2 − 2 1 b2 3 b b2 − 2 b2 + − = + − 2= a b b a b2 a b2 a b2 a b2 ab 2 2 3b + b − 2 − b 3b − 2 = 2 ab a b2 Ved brøker er der underforstået parenteser om tælleren og nævneren. Dvs. at tælleren og nævneren skal udregnes først, og derefter skal divisionen udføres. Når man indtaster brøker på en regnemaskine, skal man huske parenteserne om tælleren og nævneren. Desuden undlader man ofte multiplikationstegnet i almindelig skrivemåde, hvor man ofte skriver a b som betyder a ⋅ b . På regnemaskine skal multiplikationstegnet med. Eksemplet ovenfor skal derfor indtastes på følgende måde: 3 /(a ⋅ b) + (b 2 − 2) /( a ⋅ b 2 ) − 1/ a → Opgave: 1/4

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 13

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

6. Oversigt over regneregler for tal Addition

Multiplikation

a+b = b+a

a⋅b = b⋅a

Kommutative lov

(a+b)+c = a+b+c

(a⋅b)⋅c = a⋅b⋅c

Associative lov

a+0 = a

a⋅1 = a

Neutralt element

−(a⋅b) = −a⋅b = a⋅(−b)

−(a+b) = −a−b

−a (−b) = a ⋅ b

Minus-parenteser

a⋅b = 0 ⇔ (a = 0) ∨ (b = 0)

Nulreglen Distributive lov

a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c

Brøker a c ac ⋅ = b d bd

Multiplikation

a §a· § c · b a d ¨ ¸/¨ ¸ = c = ⋅ b c ©b¹ ©d ¹ d

Division

a c a d cb a d + cb + = + = b d bd bd bd

Addition, "sætte på fælles brøkstreg"

Potenser an am = an+ m

a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n

an = an−m am

an § a · =¨ ¸ bn © b ¹

a≠0

Multiplikation

b≠0

(a n )m = a n⋅m a−n =

1 an

(−a) n = (−1) n a n

Division Potens til potens For a ≠ 0

a0 = 1 (−a) n = a n ,for n lige (−a) n = −a n , for n ulige

Rødder n

1 an

( )

am = am

1 n

= an

Definitioner af rod, ved potenser

Potensregnereglerne gælder også for rødder ( a ± b) 2 = a 2 + b 2 ± 2 a b

Kvadratet på en toleddet størrelse

( a + b) ( a − b) = a 2 − b 2

To tals sum gange de samme to tals differens

⏐x⏐ = x ; hvis 0 < x , dvs. hvis x er positiv ⏐x⏐ = −x ; hvis x < 0 , dvs. hvis x er negativ

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 14

Numerisk værdi

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

1.2 Ligninger og uligheder 1. Ligninger a. Simple ligninger med en ubekendt

En ligning er et udtryk, hvori der indgår et lighedstegn. Hvis man har to udtryk og sætter de to udtryk lig med hinanden, fås en ligning. Eksempel 7. Ligninger

Udtryk 1. u1(x) = 2x 3 Udtryk 2. u2(x) = 4(x + 2) Sættes u1(x) lig med u2(x), fås en ligning med den ubekendte x: u1 ( x) = u2 ( x)

⇔ 2 x − 3 = 4( x + 2)

At løse en ligning vil sige at bestemme samtlige værdier af den ubekendte (x), som gør ligningen sand. Disse værdier kaldes ligningens løsning eller ligningens løsningsmængde. For at bestemme løsningsmængden omformes ligningen til simplere ligninger vha. regneregler for tal og følgende regler: Man må addere eller subtrahere samme tal (a) på begge sider af lighedstegnet. u1 ( x) = u2 ( x) ⇔ u1 ( x) + a = u2 ( x) + a u1 ( x) = u2 ( x) ⇔ u1 ( x) − a = u2 ( x) − a Denne regel kan udtrykkes i følgende regel, som vil være den, der anvendes i praksis. Man må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden side, hvis man ændrer fortegnet på det led, man flytter. Man må multiplicere eller dividere med samme tal (a ≠ 0) på begge sider af lighedstegnet.

u1 ( x) = u2 ( x)

⇔

u1 ( x) = u2 ( x)

⇔

a ⋅ u1 ( x) = a ⋅ u2 ( x) a ≠ 0 1 1 ⋅ u1 ( x) = ⋅ u2 ( x) a ≠ 0 a a

Eksempel 8. Ligninger

Løs ligningen: 2x 3 = 4(x + 2) 2 x − 3 = 4( x + 2) 2x − 3 = 4x + 8 2x − 4x − 3 = 8 2x − 4x = 8 + 3

(4 er ganget ind i parentesen, distributive lov) (4 x er flyttet over på venstre side) (−3 er flytte over på højre side)

−2 x = 11

(sammenlægning af led på begge sider)

−2 x 11 = −2 −2

(division med − 2 på begge sider)

x=−

11 2

Desuden gælder nulreglen, som er nyttig i mange situationer. Et produkt er nul, hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er nul. a ⋅b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 → Opgaver: 1/5−1/7

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 15

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

b. Andengradsligningen

Andengradsligningen a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 ; Diskriminanten: D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c Hvis D ≥ 0 er løsningen givet ved: x =

−b ± D 2a

Eksempel 9. Andengradsligningen

Løs andengradsligningen: x 2 − 5 x − 14 = 0 Her er: a = 1 ; b = −5 ; c = −14 Diskriminanten: D = (−5) 2 − 4 ⋅1 ⋅ ( −14) = 25 + 56 = 81 D = 81 = 9 der er derfor to løsninger: −(−5) + 9 14 −(−5) − 9 −4 = = 7 ; x2 = = = −2 x1 = x = 7 ∨ x = −2 2 ⋅1 2 2 ⋅1 2 → Opgave: 1/8

c. Ligninger med flere ubekendte Flere ligninger med flere ubekendte kaldes et ligningssystem. 1. x + 2 y = 4 For eksempel er: 2. 2 x − y = 3

et ligningssystem bestående af to ligninger med to ubekendte. At løse ligningssystemet betyder at bestemme samtlige værdier af de ubekendte, dvs. x og y, som gør ligningerne sande. Eksempel 10. Substitutionsmetoden

Ligningssystemet kan løses ved at isolere den ene ubekendte i en af ligningerne og derefter indsætte (substituere) dette udtryk i den anden ligning. 1. x + 2 y = 4 ⇔ x = 4 − 2 y som indsættes i 2.: 2. 2(4 − 2 y ) − y = 3 ⇔ 8 − 4 y − y = 3 ⇔ − 5 y = 3 − 8 ⇔ y = 1 x-værdien bestemmes da af: x = 4 − 2 y = 4 − 2 ⋅1 = 2 Løsningen til ligningssystemet er da. x = 2 ∧ y =1 Eksempel 11. Lige store koefficienters metode

En anden metode til at løse ligningssystemet går ud på at få samme koefficient, med modsat fortegn, til en af de ubekendte. Herefter adderes ligningerne, og man får en ligning med en ubekendt. 1. 2.

x + 2y = 4 2 x − y = 3 (ligning 2. multipliceres med 2), hvilket giver ligning 2.1

1. x + 2y = 4 (disse to ligninger adderes) 2.1 4 x − 2 y = 6 x + 4 x + 2 y − 2 y = 10 5 x = 10 2.

⇔

2x − y = 3 ⇔

⇔

x = 2 (som indsættes i ligning 2.) : y = 2x − 3 = 2 ⋅ 2 − 3 = 1

x = 2 ∧ y =1

→ Opgave: 1/9

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 16

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

d. Ligninger og TI-89 TI-89 er rigtig god til at løse både ligninger med en ubekendt og ligninger med flere ubekendte. Ligninger med en ubekendt Kommandoen til ligningsløsning er solve (denne kommando står i menuen F2 Algebra. Kommandoen solve( bringes til indtastningslinien ved at taste: F2 ENTER

Herefter indtastes ligningen, der skal løses og løsningsvariablen (var). Ligningen og løsningsvariablen skal adskilles af , . Syntaksen for ligningsløseren er: solve(ligning, var) Eksempel 12. Ligninger og TI-89 solve

3 + x = 7x 4x −1 ENTER :

Løs ligningen: F2

Ligningen og variablen indtastes:

Flere ligninger med flere ubekendte Her skal ligninger adskilles af kommandoen and og en af variablene skal angives. Syntaksen er: solve(ligning1 and ligning2,var) NB. var, er en af de to variable Eksempel 13. Flere ligninger og TI-89

1. x − 3 y = 10 2. 5 x + 3 y = 2 Ligningerne skal indtastes på følgende måde: solve( x − 3 y = 10 and 5 x + 3 y = 2, x)

Løs ligningerne:

Kommandoen and fås nemmest fra CATALOG

→ Opgave: 1/10

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 17

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

2. Uligheder I de foregående afsnit har du lært at løse forskellige typer ligninger. Hvis man erstatter lighedstegnet med et ulighedstegn, fremkommer en ulighed. Et ulighedstegn er et af følgende tegn: > : større end < : mindre end ≥ : større end eller lig med ≤ : mindre end eller lig med Hvis man har to udtryk og adskiller disse vha. et af ovenstående tegn, har man en ulighed. Eksempel 14. Uligheder

Udtryk 1. u1(x) = 2x 3 Udtryk 2. u2(x) = 4(x + 2) Adskilles de to udtryk med f.eks. ≤ fås en ulighed med den ubekendte x: u1 ( x) ≤ u2 ( x) ;

2 x − 3 ≤ 4( x + 2)

Der gælder de samme regler, som for løsning af ligninger bortset fra:

Man må kun multiplicere eller dividere med samme negative tal (a < 0), hvis man samtidig vender ulighedstegnet. Eksempel 15. Uligheder

Løs uligheden: 2 x − 3 ≤ 4( x + 2) 2x − 3 ≤ 4x + 8 2x − 4x ≤ 8 + 3 −2 x ≤ 11 (der divideres med − 2 på beggge sider) −2 x 11 11 ≥ x≥− (ulighedstegnet er vendt) −2 −2 2 a. Uligheder og TI-89 Simple uligheder kan løses vha. solve på samme måde som ligninger. Eksempel 16. Uligheder og TI-89

Løs uligheden: 2 x − 3 ≤ 4( x + 2)

Løs dobbeltuligheden: x + 3 ≤ 2 x < x + 10

→ Opgave: 1/11

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 18

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

1.3 Funktioner I dette kapitel skal vi se på de vigtigste begreber og egenskaber ved funktioner.

1. Grundlæggende begreber Lad der være givet to mængder A og B, som er delmængder af de reelle tal. En funktion f fra A til B er en forskrift, der til ethvert element i A tilordner præcis et element i B. Man skriver så: f

f : A ⎯⎯→ B f

x0 ⎯⎯→ f ( x0 )

( f er en funktion fra A til B) ( x0 sendes over i f ( x0 ))

Mængden A kaldes definitionsmængden for f og betegnes Dm( f ). De elementer, der fremkommer ved at lade f virke på alle elementer i Dm( f ), kaldes værdimængden for f og betegnes Vm( f ).

a. Definitionsmængde og værdimængde for en funktion

Definitionsmængden for f Værdimængden for f

: Dm( f ) = De elementer f kan virke på : Vm( f ) = { f ( x) x ∈ Dm( f )}

b. Regneforskrift for en funktion En funktion kan som regel angives ved en regneforskrift.

f ( x) = x 2 eller x ⎯⎯ → x 2 . Her er Dm( f ) = R og Vm( f ) = [0 ; ∞[ Der er tradition for at skrive: y = f ( x) . Variablen x kaldes den uafhængige variabel, og y kaldes for den afhængige variabel. c. Grafen for en funktion Man kan visualisere en funktion ved at tegne funktionens graf. Funktionens graf betegnes graf( f ) og er givet ved:

graf ( f ) = {( x, f ( x)) x ∈ Dm( f )} Eksempel 17. Funktioner

En funktion f er givet ved regneforskriften: f ( x) =

Grafen for funktionen: 16 x f ( x) = 2 x +4

x+2

a) Bestem Dm( f ) og Vm( f ). Man kan kun tage kvadratroden af ikke negative tal altså: 0 ≤ x+2 ⇔ −2 ≤ x Dm( f ) = [ −2; ∞[ eller blot Dm( f ) : − 2 ≤ x Vm( f ) = [0; ∞] eller blot Vm( f ) : y ≥ 0 b) Tegn grafen for f. Grafen er vist til højre og er tegnet med computerprogrammet Graph, som kan hentes på: www.Padowan.dk.

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 19

y 2 1

x -2

-1

03-12-2014 11:59:51

1. Emner fra matematik B

d. Omvendt funktion En funktion kaldes monoton, såfremt funktionen er enten voksende eller aftagende. Hvis en funktion f er monoton, kan man definere en funktion, som kaldes den omvendte funktion til f, og som betegnes f −1 . For at definere funktionen f −1 betragter vi grafen for f . For ethvert y∈Vm( f ) skal f −1(y) være det tal, der fremkommer ved fra y at gå til skæring med grafen og ned på x-aksen se figuren. Ud fra denne definition følger, at der gælder følgende sammenhæng mellem funktionen f og dens omvendte funktion f −1:

f ( f −1 ( y )) = y

Dm( f −1 ) = Vm( f )

f −1 ( f ( x)) = x

Vm( f −1 ) = Dm( f )

Eksempel 18. Omvendt funktion

x+3 ,2< x x−2 a) Bestem forskriften for den omvendte funktion f −1 til f. En funktion f er givet ved: f ( x) =

Vi skal løse ligningen: y =

x+3 med hensyn til x. x−2

x+3 ⇔ y ( x − 2) = x + 3 ⇔ x−2 2y+3 x ( y − 1) = 2 y + 3 ⇔ x = y −1 Her ombyttes y og x. Vi får da: y=

yx−2y−x=3

Den omvendte funktion er givet ved: f −1 ( x) =

⇔

2x+3 x −1

e. Sammensat funktion Lad der være givet to funktioner f og g . f : A ⎯⎯ → B og g : B ⎯⎯ → C og lad Vm( f ) ⊆ Dm( g )

Man kan da definere den sammensatte funktion, f sammensat med g, som betegnes g D f , og er givet ved: g D f : A ⎯⎯ → C ; x ⎯⎯ → ( g D f )( x) = g ( f ( x) Eksempel 19. Sammensat funktion

Der er givet to funktioner f og g ved: f (x) =

1 2 x

og g(x) = 2 x 2 − 2.

a) Bestem regneforskriften for den sammensatte funktion g( f (x)). 2

→ Opgaver: 1/12−1/14

Smart Mat Teoribog_tr_A3_trim.pdf 20

03-12-2014 11:59:51

Teoribog til adgangskursus

isbn 978-87-571-2848-2

9 788757 128482

Omslag Teoribog Matematik-3.indd 1-3

Smart Matematik A Teoribog til adgangskursus Kristian Bahr

Teoribog - Kristian Bahr

Smart Matematik A -

Smart Matematik A

praxis.dk

varenr. 144021-1

Praxis - Nyt Teknisk Forlag

05/12/14 17.23