Oliver Streit til eksamen i gymnasiet, og som har brug for hurtigt at forstå kernestoffet i matematik. Den er nyttig og praktisk, uanset om du går på STX, HTX, HX, HF eller ønsker at genopfriske din viden efter et sabbatår. Notesamlingen er matematikkens komprimerede bouillonterning. Den er mere ind til benet end en grundbog og samtidig mere forklarende end en formelsamling, så der er masser af hjælp at hente, uden at det bliver for kompli-
Klar matematik
Klar matematik er den ultimative notesamling til dig, der vil gøre det godt
ceret. Den indeholder en række faste elementer: Forklaringer, definitioner, blik over stoffet, imponere til mundtlig eksamen og foretage præcise opslag til skriftlig eksamen.
Klar matematik fokuserer på den praktiske tilgang til løsning af problemstillinger ved beskrivelse af fremgangsmåder og metoder. Det omfatter også fremgangsmåder til løsning på den populære lommeregner TI-Nspire CX CAS. Bogen dækker kernestoffet i læreplanen for matematik A til det almene gymnasium, STX. Den kan også benyttes på B- og C-niveau samt på HTX, HHX og HF, der deler meget af det grundlæggende kernestof. Derudover er den velegnet til hurtigt at genopfriske gymnasieniveauets matematik for interesserede og på adgangskurser, brushup-kurser og lign.
Den ultimative notesamling
sætninger, regneregler, beviser og eksempler. Alt, du skal bruge til at få over-
Klar matematik har mange illustrationer, der hjælper på forståelsen, understøtter beviser og visualiserer eksempler. Et helt kapitel vejleder i brugen af TI-Nspire CX CAS til de mest almindelige matematiske problemstillinger.
ISBN 978-87-571-2950-2
9 7887571 29502
Klar matematik_omslag_tryk.indd 1
praxis.dk
varenr. 184010-1
Klar matematik Den ultimative notesamling
Praxis – Nyt Teknisk Forlag
20-03-2020 13:59:11
Oliver Streit
Klar matematik Den ultimative notesamling
Klar matematik Den ultimative notesamling Af Oliver Streit 1. udgave, 1. oplag, 2020 © Forfatteren og Praxis, 2020 Forlagsredaktion: Jesper Nørgaard, jno@praxis.dk Grafisk tilrettelæggelse og DTP: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Figurer: Oliver Streit Rentegning og behandling af figurer: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Omslag: Anne von Holck Sat med: Times New Roman 11pt/14dd Trykt på: 100 g Maestro Print Omslag: 290 g Carta Elega Tryk: PNB Print Printed in Latvia 2020 ISBN 978-87-571-2950-2 Varenummer: 184010-1 Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk.
Praxis praxis.dk webshop.praxis.dk
Forord Målet med denne bog er at gøre forberedelsen til gymnasiets mundtlige og skriftlige prøver i matematik lettere med et overskueligt opslagsværk. Indholdets centrale elementer er de mange regneregler, forklaringer, definitioner og sætninger med tilhørende beviser og eksempler. Bogen lægger sig derfor i krydsfeltet mellem en grundbog og en formelsamling, hvilket gør den velegnet som hjælpemiddel under prøverne. Samtidig kan den også bruges af andre matematikinteresserede læsere, der ønsker at genopfriske gymnasieniveauets matematik og dens brugbare metoder til virkelighedsnære problemstillinger. Bogens indhold er skabt på baggrund af egne noter fra min tid i gymnasiet. Desuden er der foretaget en del ekstra research og skrevet emner til for at opfylde læreplanen fra 2017 for det almene gymnasium, STX. Kernestof og mindstekrav fra læreplanen fremgår af appendiks A. Udarbejdelsen af figurer er hovedsageligt foretaget i det frit tilgængelige program Geogebra, som er hyppigt anvendt i gymnasiesammenhæng. Det er simpelt at forstå og kan let være med til at illustrere fremgangsmåder eller bekræfte, at en løsning er korrekt. Programmet CalcPlot3D er også anvendt til at indtegne funktioner af to variable og niveaukurver. Der skal rettes en stor tak til matematiklæreren, der gjorde mig interesseret i og bidt af matematikkens verden og baggrund, Max Wilken Pedersen, som også har brugt en lang række fritidstimer på at hjælpe og svare på spørgsmål. Samtidig skal der også lyde en tak til forlaget for at gøre udgivelsen af bogen mulig og til redaktør, Jesper Nørgaard, for feedback og redigering af indholdet. Aarhus, februar 2020 Oliver Streit
Læsevejledning Bogen er opbygget umiddelbart kronologisk i forhold til gennemgangen af stoffet i det gymnasiale pensum for STX. Jo længere man kommer i bogen, jo mere komplekst og udfordrende vil stoffet altså blive. Bogens afsnit udgøres af en række faste elementer: Forklaringer, definitioner, sætninger, regneregler, »i praksis« og lemmaer. Et lemma er en hjælpesætning, som anvendes i en efterfølgende bevisførelse. Elementernes indhold er skrevet, så det kan stå alene. Enkelte steder er der dog henvisninger til andre kapitler og afsnit. Bogen er således et godt opslagsværk, og indholdsfortegnelsen og stikordsregisteret hjælper til at navigere rundt. Andre væsentlige indholdselementer er beviser, eksempler og henvisninger til regneregler. Beviser og eksempler optræder i farvede bokse, mens henvisninger til regneregler optræder med en orange pil, når reglen anvendes til at opstille næste trin i en udledning. Eksempler er udeladt nogle få steder, hvor det fx er vurderet meget banalt. Figurerne i bogen er nummereret fortløbende i hvert kapitel. Gennem bogen vil det efter situation og overskuelighed variere, om ligninger optræder ved f ðxÞ eller y. I ligningsløsning anvendes y ofte, da variable blot optræder ved et bogstav. Det kan også skyldes, at der er mange led at håndtere. Ved navngivning af funktioner, eller hvor angivelse af den afhængige variabel har betydning, anvendes f ðxÞ. Der gælder selvfølgelig, at f ðxÞ ¼ y. Flere steder anvendes lommeregner som hjælpemiddel, fx til lettere ligningsløsning eller udførelsen af 2 -test. Konkret er det den anbefalelsesværdige model TI-Nspire CX CAS, men der findes også en række alternativer med samme funktioner. Fremgangsmåder og kommandoer kan i så fald variere en anelse.
Indhold Kapitel 1
Regneregler og begreber 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Kapitel 2
Lineære funktioner | Definition 25 Den lineære forskrift | Sætning 26 Skæringen med y-aksen | Sætning 27 Vækstegenskaben | Sætning 28 Forskrift ud fra to punkter | Sætning 29
Eksponentialfunktioner 31 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13
Kapitel 4
24
Lineære funktioner 25 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Kapitel 3
Regnearternes hierarki 19 Parentesregneregler 20 Brøkregneregler 20 Potensregneregler 21 Logaritmeregneregler 21 Kvadratsætninger 22 Procentregneregler 23 Tilnærmet, eksakt og absolut værdi Absolut og relativ tilvækst 24
Eksponentialfunktioner | Definition 31 Startværdien | Sætning 32 Vækstegenskaben | Sætning 32 Vækstraten | Definition 33 Forskrift ud fra to punkter | Sætning 33 Fordoblings- og halveringskonstant | Definition 34 Fordoblings- og halveringskonstant | Sætning 34 Logaritmisk akse | Definition 38 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem | Definition 38 Eksponentialfunktion i enkeltlogaritmisk koordinatsystem | Sætning 39 Ret linje i enkeltlogaritmisk koordinatsystem | Sætning 39 Kapitalfremskrivningsformlen | Definition 40 Annuitetsformlen | Definition 40
Potensfunktioner 41 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Potensfunktioner | Definition 41 b's betydning | Sætning 42 Vækstegenskaben | Sætning 42 Forskrift ud fra to punkter | Sætning 44 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem | Definition 45 Potensfunktion i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem | Sætning 46 Ret linje i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem | Sætning 46
8 Indhold
Kapitel 5
Regression 47 5.1 5.2 5.3
Kapitel 6
Proportionalitet 55 6.1 6.2
Kapitel 7
Andengradspolynomium | Definition 67 c’s betydning | Sætning 69 b’s betydning | Sætning 70 a’s betydning | Sætning 71 Rødder | Definition 71 Andengradsligning | Definition 72 Diskriminanten | Definition 72 Løsning af andengradsligning | Lemma 72 Andengradsligningens løsningsformel | Sætning 72 Toppunktsformlen | Sætning 75 Faktoriseringssætningen | Sætning 77
Trigonometriopslag – formler for simple størrelser 79 9.1 9.2 9.3
Kapitel 10
Funktioner | Definition 57 Definitions- og værdimængde | Definition 58 Voksende eller aftagende | Definition 59 Monotoniforhold | Definition 60 Ekstrema | Definition 60 Sammensatte funktioner | Forklaring 61 Stykkevist defineret funktion | Forklaring 63 Identitetsfunktionen | Definition 64 Inverse funktioner | Sætning 65
Polynomier 67 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11
Kapitel 9
Ligefrem proportionalitet | Definition 55 Omvendt proportionalitet | Definition 56
Funktioner 57 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9
Kapitel 8
Residualer | Definition 47 Lineær regression | Sætning 50 Lineær regression på lommeregner | I praksis 52
Trekant | Formler 79 Firkant | Formler 80 Cirkel | Formler 81
Trigonometri 83 10.1
10.2 10.3 10.4
Grundlæggende begreber 84 10.1.1 Højde 84 10.1.2 Vinkelhalveringslinje 84 10.1.3 Median 85 10.1.4 Midtnormal 85 Grader | Definition 85 Euklids fem aksiomer 86 Topvinkler | Sætning 86
Indhold
10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18
Kapitel 11
Trigonometriske funktioner 107 11.1 11.2 11.3 11.4
Kapitel 12
Sinuskurver | Definition 109 Perioden | Sætning 110 c’s betydning | Sætning 111 Værdimængden for en sinuskurve | Sætning 112 Den trigonometriske ligning | Definition 113 Den trigonometriske ligning | Sætning 113
Grænseværdi 115 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5
Kapitel 14
Radiantal | Definition 107 Trigonometriske overgangsformler | Sætning 108 Periodisk funktion | Definition 108 Trigonometriske additionsformler | Sætning 108
Sinuskurver 109 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
Kapitel 13
180 -reglen | Sætning 87 Ensvinklede trekanter | Definition 88 Enhedscirklen | Definition 89 Sinus og cosinus | Definition 89 Tangens | Definition 91 Retvinklede trekanter | Definition 92 Pythagoras’ sætning | Sætning 92 Retvinklede trigonometriske formler | Sætning 95 Vilkårlige trekanter | Definition 97 Sinusrelationen | Sætning 97 Sinusrelationen for trekant med stump vinkel | Sætning 99 Cosinusrelationen | Sætning 101 Cosinusrelationen for trekant med stump vinkel | Sætning 103 Arealet af en trekant | Sætning 105
Omegn | Definition 115 Grænseværdi | Definition 115 Regneregler for grænseværdier | Sætning 116 Kontinuitet i et punkt | Definition 116 Kontinuitet | Definition 116
Differentialregning 117 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6
Sekant | Definition 117 Tangent | Definition 117 Differentialkvotient | Definition 119 Differentiabilitet | Definition 119 Differentiabilitet | Sætning 119 3-trinsbevis og fremgangsmåde 120
9
10 Indhold
14.7
14.8
14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 14.15
Regneregler for afledte funktioner 120 14.7.1 Konstantreglen | Sætning 120 14.7.2 Sumreglen | Sætning 121 14.7.3 Differensreglen | Sætning 122 14.7.4 Produktreglen | Sætning 122 14.7.5 Kædereglen | Sætning 123 14.7.6 Brøkreglen | Sætning 124 14.7.7 Regneregler for afledte funktioner | Opsummering 125 Afledte funktioner af udvalgte funktioner 126 14.8.1 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ k | Sætning 126 14.8.2 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ ax | Sætning 127 14.8.3 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ x2 | Sætning 128 14.8.4 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ xn | Sætning 130 pffiffiffi 14.8.5 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ x | Sætning 131 14.8.6 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ lnðxÞ | Sætning 133 14.8.7 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ ex | Sætning 134 14.8.8 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ ekx | Sætning 136 14.8.9 Sinus og cosinus | Lemma 138 14.8.10 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ sinðxÞ | Sætning 139 14.8.11 Afledt funktion af f ðxÞ ¼ cosðxÞ | Sætning 141 14.8.12 Afledte funktioner | Opsummering 142 Tangentformlen | Sætning 144 Voksende/aftagende og ekstrema | Definition 145 Ekstrema | Sætning 145 Middelværdisætningen | Sætning 147 Monotonisætningen | Sætning 148 Monotonisætningen omvendt | Sætning 148 Monotoniforhold | I praksis 149
Kapitel 15
Optimering 151
Kapitel 16
Integralregning 157 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5
16.6
Stamfunktion | Definition 158 Uendeligt mange stamfunktioner | Sætning 158 Stamfunktioner har samme form | Sætning 159 Integrationsprøven 159 Regneregler for stamfunktioner 160 16.5.1 Konstantreglen | Sætning 160 16.5.2 Sumreglen | Sætning 160 16.5.3 Differensreglen | Sætning 160 16.5.4 Regneregler for stamfunktioner | Opsummering 161 Stamfunktioner til udvalgte funktioner 161 16.6.1 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ 0 | Sætning 161 16.6.2 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ k | Sætning 161 16.6.3 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ x | Sætning 162 16.6.4 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ xn , n 6¼ 1 | Sætning 162 16.6.5 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ x 1 ¼ 1x | Sætning 163
Indhold
16.7 16.8 16.9
16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 16.17 16.18 16.19 16.20
Kapitel 17
Numerisk integration 187 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
Kapitel 18
pffiffiffi 16.6.6 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ x | Sætning 164 16.6.7 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ lnðxÞ | Sætning 165 16.6.8 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ ex | Sætning 165 16.6.9 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ ekx | Sætning 166 16.6.10 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ sinðxÞ | Sætning 167 16.6.11 Stamfunktion til f ðxÞ ¼ cosðxÞ | Sætning 167 16.6.12 Stamfunktioner | Opsummering 168 Det ubestemte integral | Definition 169 Det bestemte integral | Definition 169 Regneregler for bestemt integral | Sætning 170 16.9.1 Konstantreglen | Sætning 170 16.9.2 Sumreglen | Sætning 171 16.9.3 Differensreglen | Sætning 172 16.9.4 Regneregler for bestemt integral | Opsummering 173 Arealfunktionen | Definition 173 Arealfunktionen | Sætning 174 Punktmængde | Forklaring 175 Arealbestemmelse | Sætning 175 Indskudssætningen | Sætning 178 Integration ved substitution | Sætning 179 Omdrejningslegeme | Definition 182 Volumenfunktionen | Definition 182 Volumenfunktion som stamfunktion | Sætning 183 Volumen af omdrejningslegeme | Sætning 184 Overfladeareal af omdrejningslegeme | Sætning 185
n ! 1 medfører b n a ! 0 | Sætning 188 Venstresummer | Sætning 189 Højresummer | Sætning 189 Midtsummer | Sætning 190 Trapezsummer | Sætning 191 Simpsonsummer | Sætning 192
lnðxÞ og ex 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10 18.11 18.12
195
lnðxÞ | Definition 195 Regneregler for lnðxÞ | Sætning 195 lnðxÞ er kontinuert og voksende | Sætning 197 Vmðln Þ ¼ R | Sætning 198 ex | Definition 199 Eksistens af e | Sætning 199 expðxÞ er en eksponentialfunktion | Sætning 200 ex er kontinuert og voksende | Sætning 200 De naturlige eksponentialfunktioner | Definition 200 b ax og b ekx er de samme funktioner | Sætning 201 Monotoniforhold for f ð xÞ ¼ b ekx | Sætning 201 Fordoblings- og halveringskonstant | Sætning 202
11
12 Indhold
Kapitel 19
Kapitel 20
Vektorer i planen 203 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 19.10 19.11 19.12 19.13 19.14
En vektor | Definition 204 Nulvektor | Definition 204 Egentlige vektorer | Definition 204 Længden af en vektor i planen | Definition 204 Regneregler for vektorer i planen | Definition 205 Stedvektor | Definition 207 Indskudssætningen | Sætning 208 Parallelitet | Definition 208 Ortogonalitet | Definition 209 aj ¼ jtj j~ aj | Sætning 209 jt ~ Trekantsligheden | Forklaring 210 Enhedsvektorer | Definition 210 ~ a ud fra længden og vinkel | Sætning 211 1 ~ aj a er en enhedsvektor | Sætning 211 j~
19.15 19.16 19.17 19.18 19.19 19.20 19.21 19.22 19.23 19.24 19.25 19.26 19.27 19.28
Skalarproduktet | Definition 212 Regneregler for skalarproduktet | Sætning 212 Uafhængig af rotation og forskydning | Sætning 213 Sammenhæng mellem skalarprodukt, længder og vinkel | Sætning 214 Ortogonalitet ved skalarproduktet | Sætning 216 Cosinusrelationen med vektorregning | Sætning 216 Tværvektor | Definition 217 Determinanten | Definition 218 Regneregler for determinanten | Sætning 218 Sammenhæng mellem determinant og vinkel | Sætning 219 Parallelitet ved determinanten | Sætning 220 Areal af parallelogram | Sætning 221 Projektion af vektorer | Forklaring 222 Projektionsformlen | Sætning 223
Linjer i planen 225 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
Retningsvektor | Definition 225 Linjens parameterfremstilling | Sætning 226 En normalvektor | Definition 227 Linjens normalform | Sætning 228 Fremstilling af linjer | Opsummering 229 Punkt-til-linje-afstandsformlen | Sætning 229 En cirkel | Definition 231 Cirklens ligning | Sætning 232 Beregningsmetoder cirkler | I praksis 233 20.9.1 Tangenter til cirkler 233 20.9.2 Skæring mellem cirkel og linje 234
Indhold
Kapitel 21
Vektorer i rummet 237 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9
21.10 21.11 21.12 21.13 21.14 21.15 21.16 21.17 21.18
Kapitel 22
13
En vektor i rummet | Definition 238 Længden af en vektor i rummet | Definition 238 Længden fra origo til et punkt i rummet | Sætning 239 Regneregler for vektorer i rummet | Definition 240 En vektor mellem to punkter i rummet | Definition 241 Enhedsvektorer | Definition 241 Skalarproduktet | Definition 241 Sammenhæng mellem skalarprodukt, længder og vinkel | Sætning 242 Begreber og udtryk, vi kan overføre fra planen til rummet 243 21.9.1 Indskudssætningen | Sætning 244 21.9.2 Parallelitet | Definition 244 21.9.3 Ortogonalitet | Definition 244 21.9.4 Regneregler for skalarproduktet | Sætning 244 21.9.5 Uafhængig af rotation og forskydning | Sætning 244 21.9.6 Ortogonalitet ved skalarproduktet | Sætning 244 21.9.7 Projektionsformlen | Sætning 244 Krydsproduktet | Definition 245 Regneregler for krydsproduktet | Sætning 247 Parallelitet ved krydsproduktet | Sætning 248 Ortogonalitet ved krydsproduktet | Sætning 249 ~ a? ~ a ~ b | Sætning 249 Retning af krydsprodukt | Forklaring 250 Sammenhæng mellem krydsprodukt, længder og vinkel | Sætning 250 Areal af parallelogram | Sætning 252 Areal af trekant | I praksis 253
Linjer og objekter i rummet 255 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8
Linjens parameterfremstilling | Sætning 255 En plan | Definition 256 Planens parameterfremstilling | Sætning 257 Planens ligning | Sætning 258 Punkt-til-plan-afstandsformlen | Sætning 260 En kugle | Definition 262 Kuglens ligning | Sætning 262 Beregningsmetoder objekter i rummet | I praksis 263 22.8.1 Tangentplan til kugle 263 22.8.2 Vinkel mellem to planer 264 22.8.3 Skæring mellem to linjer 265 22.8.4 Skæring og vinkel mellem linje og plan 267 22.8.5 Skæring mellem linje og kugle 269
14 Indhold
Kapitel 23
Vektorfunktioner 271 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7
23.8 23.9 23.10 23.11
23.12 23.13
23.14
23.15 23.16
23.17 23.18
Kapitel 24
Vektorfunktioner | Definition 272 Vektorfunktion for ret linje ved parameterfremstilling | Sætning 273 Punkt-til-banekurve-afstandsformlen | Sætning 275 Fra vektorfunktion til y-funktion | Forklaring 277 Grundrelationen | Sætning 278 Cirklens vektorfunktion | Sætning 279 Ellipsen og dens geometri 280 23.7.1 Ellipsen | Forklaring 280 23.7.2 Ellipsen | Definition 281 23.7.3 Areal af ellipse | Sætning 281 23.7.4 Omkreds af ellipse | Sætning 281 23.7.5 Excentriciteten af en ellipse | Forklaring 281 Ellipsens vektorfunktion | Sætning 282 Superellipsen | Definition 284 Superellipsens vektorfunktion | Sætning 285 Bestemmelse af skæringspunkter | I praksis 287 23.11.1 Skæring med koordinatsystemet 287 23.11.2 Skæring mellem to vektorfunktioner 288 Differentiering af vektorfunktion | Sætning 288 Bestemmelse af tangentvektor | I praksis 289 23.13.1 Tangentvektor og tangentpunkt 289 23.13.2 Vandret og lodret tangentvektor 290 Vektorfunktioner i fysikken 293 23.14.1 Strækningen | Sætning 293 23.14.2 Hastigheden og farten | Sætning 293 23.14.3 Accelerationen | Sætning 294 Integration af vektorfunktion | Sætning 296 Udvalgte vektorfunktioners bevægelse og banekurve 297 23.16.1 Proportionalitetsfaktoren | Definition 298 23.16.2 Banekurven for cykloiden 298 23.16.3 Banekurven for cardioiden 299 23.16.4 Banekurven for Archimedes’ spiral 300 23.16.5 Vektorfunktioner i rummet 300 Længden af en banekurve | Sætning 301 Dobbeltpunkt | Forklaring 303
Funktioner af to variable 305 24.1 24.2 24.3 24.4
24.5 24.6
Funktion af flere variable | Definition 306 Partielt afledte | Sætning 306 Kædereglen ved partiel differentiering | Sætning 307 Differentiering af funktioner af to variable | I praksis 308 24.4.1 Ekstrema for funktioner af to variable 308 24.4.2 Tangentplan | Sætning 310 Niveaukurve | Definition 312 Dannelse af niveaukurver | I praksis 312
Indhold
Kapitel 25
Differentialligninger 315 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7 25.8 25.9 25.10 25.11
Funktionalligning | Definition 315 Differentialligning | Definition 315 Notation af differentialligninger 316 Partikulær løsning og fuldstændig løsning | Definition 316 Begyndelsesværdiproblem | Definition 317 Separation af de variable | Sætning 318 Udvalgte differentialligninger og løsninger 320 1. ordensdifferentialligning | Sætning 321 Simpel differentialligning | Sætning 321 Eksponentiel differentialligning | Sætning 322 Forskudt eksponentiel differentialligning | Sætning 323 25.11.1 Vandret asymptote for forskudt eksponentiel differentialligning | Sætning 324 25.12 Logistisk differentialligning | Sætning 325 25.12.1 Maksimal væksthastighed | Sætning 326 25.12.2 Kapaciteten | Sætning 328 25.13 Logistisk differentialligning II | Sætning 328 25.14 Lineær differentialligning | Definition 331 25.14.1 Panserformlen | Sætning 331 25.14.2 Den partikulære løsningsmetode | Sætning 332
Kapitel 26
Deskriptiv statistik 335 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10 26.11 26.12 26.13 26.14 26.15 26.16 26.17 26.18 26.19 26.20 26.21 26.22 26.23 26.24 26.25
En population | Forklaring 335 En stikprøve | Forklaring 335 Observationer | Forklaring 336 Hyppigheder | Forklaring 336 Frekvens | Forklaring 336 Frekvens | Definition 336 Kumuleret frekvens | Forklaring 336 Kumuleret frekvens | Definition 337 Medianen | Forklaring 337 Median-formlen | Definition 338 Medianen ved lige antal observationer | Forklaring 338 Ugrupperede og grupperede observationer | Forklaring 338 Middelværdien af ugrupperede observationer | Forklaring 339 Middelværdien af ugrupperede observationer | Definition 339 Middelværdien af grupperede observationer | Forklaring 339 Middelværdien af grupperede observationer | Definition 340 Variansen | Forklaring 340 Variansen af ugrupperede observationer | Definition 341 Variansen af grupperede observationer | Definition 341 Spredningen | Forklaring 342 Spredningen | Definition 342 Minimum og maksimum | Forklaring 342 Variationsbredde | Forklaring 342 Variationsbredde | Definition 342 Typetallet | Forklaring 343
15
16 Indhold
26.26 Fraktil | Forklaring 343 26.27 Kvartil | Forklaring 343 26.28 Metoder til præsentation af observationssæt 343 26.28.1 Søjlediagram | Forklaring 343 26.28.2 Histogram | Forklaring 344 26.28.3 Sumkurve | Forklaring 345 26.28.4 Boksplot | Forklaring 347
Kapitel 27
Sandsynlighedsregning 349 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13 27.14 27.15 27.16 27.17 27.18 27.19 27.20 27.21
Kapitel 28
Et udfaldsrum | Definition 349 Sandsynlighedsfelt | Definition 349 En hændelse | Definition 350 Uafhængige hændelser | Definition 351 Stokastisk variabel | Definition 352 Diskret stokastisk variabel | Forklaring 352 Middelværdien | Definition 352 Variansen | Definition 353 Variansen | Sætning 354 Spredningen | Definition 355 Kombinatorik 355 Fakultet | Forklaring 355 n! | Definition 356 r-permutationer af n 356 Antal permutationer | Sætning 356 r-kombinationer af n | Definition 357 Antal kombinationer | Sætning 357 r K ðn; rÞ ¼ n Kðn 1; r 1Þ | Lemma 358 Andre nyttige lemmaer 359 Pascals formel | Sætning 359 Binomialkoefficienten | Forklaring 360
Diskrete fordelinger 361 28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7 28.8
Diskret stokastisk variabel | Definition 361 Middelværdien, variansen og spredningen | Definition 361 Binomialfordelt stokastisk variabel | Definition 361 Binomialsandsynligheden | Sætning 362 28.4.1 Kumulerede sandsynligheder 363 Middelværdien af X bðn; pÞ | Sætning 364 Variansen af X bðn; pÞ | Sætning 365 Spredningen af X bðn; pÞ | Definition 367 Binomialtest 367 28.8.1 Dobbeltsidet binomialtest 367 28.8.2 Højresidet binomialtest 368 28.8.3 Venstresidet binomialtest 369
Indhold
28.9
Kapitel 29
Kontinuerte fordelinger 373 29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9 29.10 29.11 29.12 29.13 29.14 29.15 29.16 29.17
Kapitel 30
Poissonfordelingen 370 28.9.1 Poissonfordelingen | Definition 370 28.9.2 Kumulerede sandsynligheder 370 28.9.3 Middelværdien af X PoiðλÞ | Sætning 371 28.9.4 Variansen af X PoiðλÞ | Sætning 371 28.9.5 Spredningen af X PoiðλÞ | Definition 372
Tæthedsfunktionen | Definition 373 Sandsynligheder 374 Fordelingsfunktionen | Definition 374 Kontinuerte sandsynlighedsfelter | Definition 375 Middelværdien | Definition 375 Variansen | Definition 375 Variansen | Sætning 376 Spredningen | Definition 376 Normalfordelingens tæthedsfunktion | Definition 378 Normalfordelingens fordelingsfunktion | Definition 378 Standardnormalfordelingen | Definition 379 Normalfordelingen | Definition 380 Middelværdien af X Nð ; Þ | Sætning 381 Variansen af X Nð ; Þ | Sætning 381 Kumulerede sandsynligheder 381 Pð X þ Þ | Sætning 382 Konfidensinterval | Definition 383
2 -test 385 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5
30.6 30.7
30.8 30.9
Hypotese | Forklaring 385 Signifikansniveau | Forklaring 386 Frihedsgrader | Forklaring 386 Frihedsgrader | Sætning 387 2 -uafhængighedstest 387 30.5.1 Forventede værdier | Forklaring 388 30.5.2 2 -afvigelsen | Forklaring 389 30.5.3 2 -afvigelsen | Definition 389 30.5.4 Teststørrelsen | Definition 389 30.5.5 p-værdien og konklusion | Forklaring 390 2 -uafhængighedstest på lommeregner | I praksis 391 2 -Goodness of fit-test 392 30.7.1 Forventede værdier | Forklaring 392 30.7.2 2 -afvigelsen | Definition 392 30.7.3 p-værdien og konklusion | Forklaring 393 Goodness of fit-test på lommeregner | I praksis 394 Bestemmelse af p-værdi 396 30.9.1 Hjælpefunktionen 396 30.9.2 df -funktionsfamilien | Definition 396 30.9.3
p-værdien | Definition 397
17
18 Indhold
Kapitel 31
Systematiske fejl og repræsentativitet 399
Kapitel 32
Brug af TI-Nspire CX CAS 401 32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.8 32.9 32.10
Ligningsløsning 401 Ligningsløsning – numerisk 401 Fuldstændig løsning til differentialligning 402 Løsning til begyndelsesværdiproblem 402 Binomialsandsynlighed PðX ¼ kÞ 402 Binomialsandsynlighed PðX kÞ og Pðk1 X k2 Þ 402 Poissonsynlighed PðX ¼ kÞ 403 Poissonsynlighed PðX kÞ og Pðk1 X k2 Þ 403 2 -uafhængighedstest 403 2 -Goodness of fit-test 403
Kapitel 33
Symboler 405
Appendiks A
Kernestof og mindstekrav fra STX-læreplanen 2017 407 Stikord 409
1
Regneregler og begreber Vi indleder med at se på nogle enkelte, men basale regneregler. De bruges meget gennem bogens mange beviser. Hvis det sker mere eller mindre skjult, vil der optræde en henvisning til den anvendte regneregel.
1.1 Regnearternes hierarki Regneoperationer skal udføres i en fastlagt, prioriteret rækkefølge. Man taler om regnearternes hierarki: 1. Hæv parenteser 2. Udregn potenser og rødder 3. Multiplicer og divider 4. Adder og subtraher.
Eksempel
Regnearternes hierarki Et regnestykke opstilles og udregnes i fire trin efter regnearternes hierarki: pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 3 þ ð4 þ 1Þ 3 þ 42 25 ¼ 3 þ 5 3 þ 42 25 pffiffiffiffiffi 3 þ ð4 þ 1Þ 3 þ 42 25 ¼ 3 þ 5 3 þ 16 5 pffiffiffiffiffi 3 þ ð4 þ 1Þ 3 þ 42 25 ¼ 3 þ 15 þ 16 5 pffiffiffiffiffi 3 þ ð4 þ 1Þ 3 þ 42 25 ¼ 29
20
Kapitel 1 Regneregler og begreber
1.2 Parentesregneregler Lad a, b og c være tal. Da gælder følgende parentesregneregler: 1. ða þ bÞ ¼ a þ b 2. ða þ bÞ ¼ a b 3. c ða þ bÞ ¼ c a þ c b 4. c ða þ bÞ ¼ c a c b
Eksempel
Parentesregneregel 3 I et eksempel på parentesregneregel 3 sætter vi a ¼ 2, b ¼ 4 og c ¼ 3 og udregner på begge sider af lighedstegnet: c ð a þ bÞ ¼ c a þ c b 3 ð2 þ 4Þ ¼ 3 2 þ 3 4 3 6 ¼ 6 þ 12 18 ¼ 18
1.3 Brøkregneregler Lad a, b, c og d være tal, og lad brøkernes nævner være 6¼ 0. Da gælder følgende brøkregneregler: a=c 1. a ¼ b b=c a a c 2. ¼ b b c a c a dþc b 3. þ ¼ b d b d a c a d c b 4. ¼ b d b d
Eksempel
a c 5. a c ¼ b d b d 6. a : c ¼ a d b d b c a c a 7. c ¼ b b a aþc b 8. c þ ¼ b b
Brøkregneregel 1 I et eksempel på brøkregneregel 1 sætter vi a ¼ 2, b ¼ 4 og c ¼ 5 og udregner på begge sider af lighedstegnet: a a=c ¼ b b=c 2 2=5 ¼ 4 4=5 0,5 ¼ 0,5 Som sidebemærkning indser vi her, at c går ud med hinanden.
Potensregneregler
Eksempel
21
Brøkregneregel 3 I et eksempel på brøkregneregel 3 sætter vi a ¼ 2, b ¼ 4, c ¼ 6 og d ¼ 2 og udregner på begge sider af lighedstegnet: a c a dþc b þ ¼ b d b d 2 þ 6 ¼ 2 ð 2Þ þ 6 4 4 2 4 ð 2Þ 0,5 3 ¼ 20 8 2,5 ¼ 2,5 Eksemplet viser en såkaldt forlængelse af brøken.
1.4 Potensregneregler Lad a, b, n og m være tal, og lad brøkernes nævner være 6¼ 0. Da gælder følgende potensregneregler: 1. an am ¼ an þ m 2.
an ¼ an m am
3. ða bÞn ¼ an bn n a an 4. ¼ n b b
Eksempel
5. ðan Þm ¼ an m 6. a n ¼ 1n a ffiffiffi p 1 7. an ¼ n a, n 6¼ 0 8. a0 ¼ 1
Potensregneregel 1 I et eksempel på potensregneregel 1 sætter vi a ¼ 2, n ¼ 2 og m ¼ 3 og udregner på begge sider af lighedstegnet: an am ¼ an þ m 22 23 ¼ 22 þ 3 4 8 ¼ 25 32 ¼ 32
1.5 Logaritmeregneregler Lad a, b og x være tal, og lad brøkernes nævner være 6¼ 0. Da gælder følgende logaritmeregneregler: 1. log ða bÞ ¼ log ðaÞ þ log ðbÞ 2. log a ¼ log ðaÞ log ðbÞ b 3. log ðax Þ ¼ x log ðaÞ
22
Kapitel 1 Regneregler og begreber
Eksempel
Logaritmeregneregel 3 I et eksempel på logaritmeregneregel 3 sætter vi a ¼ 3 og x ¼ 4 og udregner på begge sider af lighedstegnet: log ðax Þ ¼ x log ðaÞ log 34 ¼ 4 log ð3Þ 1,9085 ¼ 1,9085
1.6 Kvadratsætninger Lad a og b være tal. Da gælder følgende kvadratsætninger: 1. ða þ bÞ2 ¼ a2 þ b2 þ 2 a b 2. ða bÞ2 ¼ a2 þ b2 2 a b 3. ða þ bÞ ða bÞ ¼ a2 b2
Eksempel
Kvadratsætning 1 I et eksempel på kvadratsætning 1 sætter vi a ¼ 3 og b ¼ 7 og udregner på begge sider af lighedstegnet: ða þ bÞ2 ¼ a2 þ b2 þ 2 a b ð3 þ 7Þ2 ¼ 32 þ 77 þ 2 3 7 102 ¼ 9 þ 49 þ 42 100 ¼ 100
Eksempel
Kvadratsætning 3 I et eksempel på kvadratsætning 3 sætter vi igen a ¼ 3 og b ¼ 7 og udregner på begge sider af lighedstegnet: ð a þ bÞ ð a bÞ ¼ a2 b2 ð 3 þ 7Þ ð 3 7Þ ¼ 33 77 10 ð 4Þ ¼ 9 49 40 ¼ 40
Procentregneregler
23
1.7 Procentregneregler Lad a og b være tal, p være en procentdel, og lad brøkernes nævner være 6¼ 0. Da gælder følgende procentregneregler: a 1. p ¼ 100 b 100 2. b ¼ a 100 þ p 3. p ¼
ja bj 100 a
Vi indser, at vi kan udlede følgende procentregneregler fra ovenstående: p 4. a ¼ b 100 5. b ¼ a 100 p 6. a ¼ b
Eksempel
100 þ p 100
Procentregneregel 2 Et tal er vokset med 25 % til et nyt tal 250. Vi ønsker at bestemme det oprindelige tal og benytter procentregneregel 2: b ¼ 250
100 ¼ 200 100 þ 25
Som sidebemærkning indser vi her, at det svarer til at trække momsen ud af et beløb.
Eksempel
Procentregneregel 5 Det oplyses, at 5 % af et tal er 25. Vi ønsker at bestemme hele tallet og benytter procentregneregel 5: b ¼ 25
Eksempel
100 ¼ 500 5
Procentregneregel 6 Et tal har ændret sig fra 40 til 50. Vi ønsker at bestemme den procentvise ændring og benytter procentregneregel 6: p¼
j40 50j 100 ¼ 25 % 40
Bemærk, at vi altid forholder forskellen til det tal, hvor ændringen er sket fra. Hvis ændringen i stedet var sket fra 50 til 40, ville den procentvise ændring således være 20 %.
24
Kapitel 1 Regneregler og begreber
1.8 Tilnærmet, eksakt og absolut værdi 1. Tilnærmet værdi er, når usikkerheder kan opstå, om et givent resultat er det helt nøjagtige resultat med den fulde mængde decimaler. Altså er kommatal også tilnærmede værdi. Når vi arbejder med tilnærmede værdier, angiver vi oftest resultatet med . Ofte vil opgavestilleren dog angive et antal decimaler, som skal inkluderes i resultatet, og det har derfor ikke den store betydning, om vi skriver eller ¼. Er resultatet aflæst fra en graf, er det dog altid en god ide at angive resultatet med . 2. Eksakt værdi er, når det præcise resultat angives. Dette betyder altså, at vi ikke har et kommatal som resultat, men derimod en brøk eller eksempelvis et irrationelt tal som . Vi indser altså, at resultatet 12 er en eksakt værdi, mens 0,5 er en tilnærmet værdi (idet det kan være afrundet). 3. Den absolutte værdi er den numeriske værdi, hvilket betyder, at der ikke indgår et negativt fortegn i resultatet. Den numeriske værdi af et udtryk angives ved to lodrette streger, og vi får hermed eksempelvis, at: og j7j ¼ 7 j 7j ¼ 7
1.9 Absolut og relativ tilvækst 1. Når en begyndelsesværdi B ændrer sig til en slutværdi S, beregnes den absolutte tilvækst ta ved: ta ¼ S B 2. Når en begyndelsesværdi B ændrer sig til en slutværdi S, beregnes den relative tilvækst tr ¸ som måles i procent, ved: S B 100 tr ¼ B
Eksempel
Relativ tilvækst En bankkonto har 75:000 kr: stående som begyndelsesværdi. Efter et år står der 90:000 kr: på bankkontoen. Den relative tilvækst bliver da: tr ¼ 90000 75000 100 ¼ 20 % 75000
2
Lineære funktioner
En lineær funktion er i et koordinatsystem en ret linje. Lineære funktioner er meget let anvendelige i hverdagens problemstillinger og bliver ofte brugt, uden vi lægger mærke til det. Det kan for eksempel være taxakørsel, hvor prisen er en funktion af kørte kilometer, eventuelt med en startpris. Eller isens pris som funktion af antal kugler, hvor vaflen eventuelt kan udgøre en startpris. I hele bogen kan værdien af en funktion optræde som f ð xÞ såvel som y afhængigt af konteksten. Det er et udtryk for det samme, idet f ð xÞ ¼ y. Vi anvender derfor den notation, der giver det mest overskuelige udtryk.
2.1 Lineære funktioner | Definition En lineær funktion er en funktion på formen: f ð xÞ ¼ ax þ b hvor a og b er konstanter og angiver henholdsvis hældningen for grafen og skæringen med y-aksen. Konstanten a i forskriften for en lineær funktion angiver grafens hældning, dvs. springet på y-aksen for hver gang x vokser med 1. Altså har a en stor betydning for grafens udseende, og om denne gælder: 1. Funktionen er voksende, hvis og kun hvis a > 0 2. Funktionen er aftagende, hvis og kun hvis a < 0 3. Funktionen er en konstant lig b, hvis og kun hvis a ¼ 0. De tre tilfælde er vist på figur 2.1.
26
Kapitel 2 Lineære funktioner
Figur 2.1 Konstanten, a’s betydning for grafens udseende. f ðxÞ ¼ x þ 1 er voksende, da a > 0 gðxÞ ¼ x 1 er aftagende, da a < 0 hðxÞ ¼ 2 er konstant lig 2, da a ¼ 0
2.2 Den lineære forskrift | Sætning En funktion, der skærer y-aksen ved y ¼ b og vokser med en fast værdi, a, hver gang x vokser med 1, vil have formen: f ð xÞ ¼ ax þ b
Bevis
Den lineære forskrift Lad punktet ðx; yÞ, hvor x 6¼ 0, ligge på grafen for f , der skærer y-aksen ved y ¼ b og vokser med en fast værdi, a, hver gang x vokser med 1. Da fås en linje som vist på figur 2.2.
Figur 2.2
Illustration af bevis. De to indtegnede, ensvinklede trekanter har samme hældning.
At de to indtegnede trekanter er ensvinklede, det forudsætter, at forholdet mellem deres vinkler og længder vil være ens. Dette forhold kan opstilles som ligningen: y b a ¼ x 1
Skæringen med y-aksen | Sætning
27
Hvis vi isolerer y, får vi forskriften for en lineær funktion med hældningen a og skæringen med y-aksen i punktet ð0; bÞ: m m m m
y b a ¼ x 1 y b ¼a x y b ¼ ax y ¼ ax þ b f ð xÞ ¼ ax þ b
4 Vist!
2.3 Skæringen med y-aksen | Sætning Grafen for en lineær funktion går gennem punktet ð0; bÞ. Dvs. b angiver linjens skæring med y-aksen.
Bevis
Skæringen med y-aksen Da vi ved, at x-værdien for y-aksen er 0, kan vi blot indsætte x ¼ 0 i forskriften for den lineære funktion: f ð xÞ ¼ ax þ b f ð0Þ ¼ a 0 þ b f ð0Þ ¼ b
Figur 2.3
Illustration af bevis. Konstanten b i f ðxÞ ¼ 2x þ 1 angiver skæringen med y-aksen. Værdien 1 giver altså en skæring i punkt ð0; 1Þ.
4 Vist!
28
Kapitel 2 Lineære funktioner
Eksempel
Skæringen med y-aksen En funktion er givet ved forskriften: f ð xÞ ¼ 2x 3 Vi ønsker at bestemme skæringen med y-aksen. Denne er givet ved punktet ð0; bÞ, hvorfor vi blot aflæser b-værdien i forskriften for f . Skæringen bliver altså ð0; 3Þ. Skæringen kan også stadig beregnes ved at sætte x ¼ 0 som i beviset: f ð0Þ ¼ 2 0 3 f ð0Þ ¼ 3
2.4 Vækstegenskaben | Sætning For en lineær funktion på formen f ð xÞ ¼ ax þ b gælder, at når x vokser med 1, så vokser f ðxÞ med a. a angiver den såkaldte vækstegenskab.
Bevis
Vækstegenskaben Lad ðx0 ; y0 Þ betegne et punkt for grafen f ð xÞ ¼ ax þ b. Herved får vi: y0 ¼ ax0 þ b Vi lader nu x vokse med 1 ved at indsætte ðx þ 1Þ i ligningen for f ðxÞ: f ðx0 þ 1Þ ¼ a ðx0 þ 1Þ þ b f ðx0 þ 1Þ ¼ ax0 þ a þ b f ðx0 þ 1Þ ¼ ax0 þ b þ a f ðx0 þ 1Þ ¼ y0 þ a
Figur 2.4
Illustration af bevis for vækstegenskaben for en lineær funktion. Når x vokser med 1, vokser y med a. For f ðxÞ ¼ 0,5x þ 1 betyder det altså, at y vokser med 0,5, når x vokser med 1, svarende til konstanten a i funktionen f.
4 Vist!
Forskrift ud fra to punkter | Sætning
Eksempel
29
Vækstegenskaben En funktion er givet ved forskriften: f ð xÞ ¼ 2x þ 3 Vi ønsker at bestemme funktionens vækstegenskab, dvs. hvor meget grafen enten vokser eller aftager, hver gang x vokser med 1. Dette kan gøres ved at aflæse a-værdien, som i dette tilfælde er 2, hvorfor f ðxÞ vil aftage med 2, hver gang x vokser med 1. Vi kan også beregne f ð1Þ og f ð2Þ, idet x her er vokset med 1. f ð1Þ ¼ 2 1 þ 3 ¼ 1 f ð2Þ ¼ 2 2 þ 3 ¼ 1 Vækstegenskaben er således f ð2Þ f ð1Þ ¼ 1 1 ¼ 2.
2.5 Forskrift ud fra to punkter | Sætning Lad ðx1 ; y1 Þ og ðx2 ; y2 Þ være to punkter på grafen for f ð xÞ ¼ ax þ b. En betingelse er x1 6¼ x2. Da fås konstanterne a og b ved: y y1 a¼ 2 x2 x1 Og b ¼ y1 a x1
Bevis
_
b ¼ y2 a x2
Forskrift ud fra to punkter Da vi kender to punkter, fås to ligninger: y2 ¼ a x2 þ b y1 ¼ a x1 þ b Vi vil gerne isolere konstanterne a og b. a findes lettest ved at trække ligningerne fra hinanden:
m
y2 y1 ¼ ða x2 þ bÞ ða x1 þ bÞ y2 y1 ¼ a x2 þ b a x1 b y2 y1 ¼ a x2 a x1 y2 y1 ¼ a ðx2 x1 Þ y2 y1 ¼a x2 x1
Herefter isoleres b i en af de to ligninger: m
y1 ¼ a x1 þ b y1 a x1 ¼ b
4 Vist!
30
Kapitel 2 Lineære funktioner
Eksempel
Forskrift ud fra to punkter To punkter er givet ved ð2; 4Þ og ð 1; 9Þ. Vi ønsker at bestemme forskriften for den lineære funktion, f , der går gennem disse to punkter. Vi bruger sætning 2.5 til at udregne a og b: a¼
y2 y1 9 4 5 ¼ ¼ x2 x1 1 2 3
Hældningen for grafen er således b-værdien: b ¼ y1 a x1 ¼ 4
5 3 ,
hvilket vi kan bruge til at bestemme
5 22 2¼ 3 3
Nu er begge konstanter kendte, og de indsættes blot i forskriften for en lineær funktion: f ð xÞ ¼ ax þ b f ð xÞ ¼
5 22 xþ 3 3
Oliver Streit til eksamen i gymnasiet, og som har brug for hurtigt at forstå kernestoffet i matematik. Den er nyttig og praktisk, uanset om du går på STX, HTX, HX, HF eller ønsker at genopfriske din viden efter et sabbatår. Notesamlingen er matematikkens komprimerede bouillonterning. Den er mere ind til benet end en grundbog og samtidig mere forklarende end en formelsamling, så der er masser af hjælp at hente, uden at det bliver for kompli-
Klar matematik
Klar matematik er den ultimative notesamling til dig, der vil gøre det godt
ceret. Den indeholder en række faste elementer: Forklaringer, definitioner, blik over stoffet, imponere til mundtlig eksamen og foretage præcise opslag til skriftlig eksamen.
Klar matematik fokuserer på den praktiske tilgang til løsning af problemstillinger ved beskrivelse af fremgangsmåder og metoder. Det omfatter også fremgangsmåder til løsning på den populære lommeregner TI-Nspire CX CAS. Bogen dækker kernestoffet i læreplanen for matematik A til det almene gymnasium, STX. Den kan også benyttes på B- og C-niveau samt på HTX, HHX og HF, der deler meget af det grundlæggende kernestof. Derudover er den velegnet til hurtigt at genopfriske gymnasieniveauets matematik for interesserede og på adgangskurser, brushup-kurser og lign.
Den ultimative notesamling
sætninger, regneregler, beviser og eksempler. Alt, du skal bruge til at få over-
Klar matematik har mange illustrationer, der hjælper på forståelsen, understøtter beviser og visualiserer eksempler. Et helt kapitel vejleder i brugen af TI-Nspire CX CAS til de mest almindelige matematiske problemstillinger.
ISBN 978-87-571-2950-2
9 7887571 29502
Klar matematik_omslag_tryk.indd 1
praxis.dk
varenr. 184010-1
Klar matematik Den ultimative notesamling
Praxis – Nyt Teknisk Forlag
20-03-2020 13:59:11