Teknisk Matematik Formler Preben Madsen
9. udgave
PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag
TEKNISK MATEMATIK – FORMLER | Indhold
Indhold Teknisk Matematik 1 5 1. Tal og algebra 5
Addition 5 Subtraktion 5 Multiplikation 5 Division – brøkregning 6 Potens 6 Rod 7
2. Ligninger og uligheder 8
Regneregler for løsning af ligninger 8 2.gradsligningen 9 Numerisk værdi 9 Regneregler uligheder 9 Intervaller 9
3. Geometri 10
Benævnelser i trekanter 10 Højder i en trekant og trekantens areal 10 Retvinklet trekant og Pythagoras læresætning 11 Ensvinklede trekanter 11 Medianer i en trekant 11 Vinkelhalveringslinjer i en trekant 12 Trekantens indskrevne cirkel 12 Trekantens omskrevne cirkel 12 Kvadrat 12 Rektangel 13 Rombe 13 Parallelogram 13 Trapez 14 Vilkårlig polygon 14 Regulær polygon 14
4. Trigonometri 15
Den retvinklede trekant 15 Den vilkårlige trekant 16 Areal formler 17
5. Cirklen 18
Cirklens omkreds og buelængder 18 Cirklens areal 18 Areal af cirkelring 19 Areal af cirkeludsnit 19 Areal af cirkelafsnit 19 Korde og pilhøjde 19
6. Overfladebestemmelse og udfoldninger 20
Den krumme overflade af en cylinder 20 Overflade af kegle 20 Overflade af keglestub 21 Overflade af kugle 21 Overflade af kuglekalot 21 Overflade af kugleskive 21
7. Bestemmelse af rumfang 22
Rumfang af kasse 22 Rumfang af retvinklet prisme 22 Rumfang af cylinder og cylinderrør 23 Rumfang af pyramide 23 Rumfang af pyramidestub 23
4
Rumfang af kegle 24 Rumfang af keglestub 24 Rumfang af kugle 24 Rumfang af kugleafsnit 25 Rumfang af kugleudsnit 25 Guldins 1. regel 25 Guldins 2.regel 25
8. Analytisk plangeometri 26
Afstandsformlen 26 Et linjestykkes midtpunkt 26 Vandret linje 26 Lodret linje 27 Ret linje 27 Stigningstal 27 Parallelle linjer 28 Linjer vinkelret på hinanden 28 Cirklens centrumsligning 28
9. Funktioner 29
Definition på funktion 29 Ligefrem proportionalitet 29 Omvendt proportionalitet 29 Lineær funktion 30 Funktioner af 2.grad 30 Sammensatte funktioner 30 Omvendte funktioner 31
Teknisk Matematik 2 32 1. Vektorregning i planet 32
Bestemmelse af vektor 32 Vektorer i koordinatsystemet 32 Stedvektor 32 Forstørrelse eller formindskelse 33 Vinkel mellem to vektorer 33 At lægge to vektorer sammen 33 At lægge mere end to vektorer sammen 33 Ligevægt 33 At trække fra 34 Enhedsvektor 34 Skalarprodukt 34 Tværvektor 35 Projektion af vektor på linje 35 Afstand fra punkt til ret linje 35
2. Eksponentielle vækstfunktioner 36
Den enkle eksponentielle vækstfunktion 36 10-tals logaritmefunktionen 36 Regneregler for logaritmer 36 Den naturlige logaritmefunktion 37 Regneregler for de naturlige logaritmer 37 Eksponentielle vækstfunktioner 37 Fordoblingskonstant 37 Halveringskonstant 37 Rentesregning 37
3. Differentialregning 38
Definition på differentialkvotient 38 Symboler for differentialkvotient 38 Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter 38 Bestemmelse af maksimums- og minimumspunkter 39
4. Integralregning og arealbestemmelse 40
Stamfunktion, Ubestemt integral og integrationsprøve 40 Regneregler for ubestemt integral 40 Differens 40 Arealberegning med bestemt integral 41 Den naturlige logaritme 41 Differentialkvotienter af eksponentielle funktioner 41 Integration af eksponentielle funktioner 41
5. Dataanalyse 42
Teknisk Matematik 3 43 1. Vektorer i rummet 43
Afstande i rummet 43 Kugle i rummet 43 Enhedsvektorer 44 Skalarprodukt 44 Projektion af vektor på vektor 44 Parameterfremstilling af ret linje 44 Vektorprodukt eller krydsprodukt 45 Parameterfremstilling af et plan 45 Planets ligning på normalform 45 Afstand mellem punkt og plan 45 Afstand mellem punkt og ret linje 46
2. Trigonometriske funktioner 47 Trigonometriske formler 47 Harmoniske svingninger 47
3. Differentialregning II 49
Bestemmelse af differentialkvotienter for trigonometriske funktioner 49 Bestemmelse af differentialkvotient for sammensat funktion 49 Funktionsanalyse 49 Eksplicit og implicit form 49
4. Integralregning II 50
Bestemmelse af ubestemt integral for trigonometriske funktioner 50 Arealberegning med ”positive og negative” arealer 50 Arealberegning med flere funktioner 50 Rumfang ved drejning af areal om x–aksen 51 Rumfangsberegninger med flere funktioner 51 Rumfang ved drejning af areal om y–aksen 51 Længde af en plan kurve 52
5. Differentialligninger 53 6. Diskret matematik 54 Sandhedstabeller 55
7. Vektorfunktioner 56
Ret linje som vektorfunktion 56 Cirklen som vektorfunktion 56 Ellipsen som vektorfunktion 56 Differentiation af vektorfunktion 57 Lodret og vandret tangentvektor 57 Længde af kurve givet ved vektorfunktion 58
Matematiske tegn og symboler 59
Teknisk Matematik 1
Teknisk Matematik 1 1. Tal og algebra
ADDITION a+b = c Sum Addender a+b = b+a Addendernes orden ligegyldig a + (b + c ) = a + b + c En parentes med fortegn + kan hæves og sættes, uden at leddenes fortegn ændres.
SUBTRAKTION a − b = c Differens a − (b + c ) = a − b − c En parentes med fortegn − kan hæves, når leddene i parentesen ændrer fortegn.
MULTIPLIKATION a ⋅ b = c Produkt Faktorer a⋅b = b⋅a Faktorernes orden er ligegyldig. 4 a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = a Potens a (b + c) = ab + ac Regneregler med parenteser
a (b − c) = ab − ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 2 (a + b) = a2 + b2 + 2ab 2 (a − b) = a2 + b2 − 2ab (a + b)(a − b) = a2 − b2
”Tre vigtige formler”
5
TEKNISK MATEMATIK – FORMLER | 1. Tal og algebra
DIVISION – BRØKREGNING a : b = c Kvotient Divisor Dividend a = c Kvotient b Nævner Tæller a a⋅c = b b⋅c a a:c = b b:c
Regneregler for brøker
a b c a+b+c + + = n n n n a a⋅c ⋅c = b b a a :c= b b⋅c a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d a c a d : = ⋅ b d b c
POTENS
a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = a 4 Grundbegreber
0n = 0 a0 = 1 a1 = a
a−n =
1 an
a p ⋅ a q = a p +q
a
p
a
q
= a p−q p
a p ⋅ b p = (a ⋅ b)
a p = p b b ap
q
(a ) p
6
= a p⋅q
Regneregler for potenser
Teknisk Matematik 1
ROD n
n
a = b , når bn = a
Grundbegreber
p
ap = a n
n
a ⋅ n b = n a⋅b
n
a
n
b
=n
Regneregler
a b
7
TEKNISK MATEMATIK – FORMLER | 2. Ligninger og uligheder
2. Ligninger og uligheder
REGNEREGLER FOR LØSNING AF LIGNINGER Addition og subtraktion: Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet. Multiplikation:
Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet – dog ikke 0.
Division:
Du må dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet – dog ikke 0.
Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0. Hvis a ⋅ b = 0 er a = 0 eller b = 0 Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.
a c = b d
a⋅d = b⋅c
8
Teknisk Matematik 1
2.GRADSLIGNINGEN
Den ordnede 2.gradsligning ax 2 + bx + c = 0 har følgende løsningsformel: −b ± b2 − 4 ac 2a Her er diskriminanten d = b2 − 4 ac Hvis d = 0 har 2.gradsligningen én løsning. Hvis d > 0 har 2.gradsligningen to løsninger. Hvis d < 0 har 2.gradslignigen ingen løsning. x=
NUMERISK VÆRDI a a = −a
når a ≥ 0 når a < 0
REGNEREGLER ULIGHEDER Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn på leddet. Du må gange med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet. Du må dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet. Du må gange med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet. Du må dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.
INTERVALLER
{x ∈ R b < x < a} = b; a {x ∈ R b ≤ x ≤ a} = b; a {x ∈ R x > a} = a; ∞
b
a
b
a
a
x
x
x
9
TEKNISK MATEMATIK – FORMLER | 3. Geometri
3. Geometri
BENÆVNELSER I TREKANTER B a
c
A
C
b
Siden a kaldes vinkel A ' s modstående side. Siderne b og c kaldes vinkel A ' s hosliggende sider. Vinkelsummen i en trekant er 180°.
HØJDER I EN TREKANT OG TREKANTENS AREAL B B c c
ha
a
a
hc A
hc
b
C
ha
hb A
hb
b
C
En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse. Areal = ½ ⋅ ha ⋅ a = ½ ⋅ hb ⋅ b = ½ ⋅ hc ⋅ c
10
Teknisk Matematik 1
RETVINKLET TREKANT OG PYTHAGORAS LÆRESÆTNING B c
a C
A
b
Siden c kaldes hypotenusen, og siderne a og b kateter. I en retvinklet trekant gælder Pythagoras læresætning: c 2 = a2 + b2
ENSVINKLEDE TREKANTER c2 c1
a1
a2
b1 b2
For ensvinklede trekanter gælder: a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2
MEDIANER I EN TREKANT B c
A
mb O
ma b
D
a
mc
C
En median i en trekant er en linje, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt. Medianerne skærer hinanden gennem samme punkt og deler hinanden i forholdet 1:2.
11
TEKNISK MATEMATIK – FORMLER | 3. Geometri
VINKELHALVERINGSLINJER I EN TREKANT B VC VA A
VB
C
En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje, der halverer en af trekantens vinkler. Vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden gennem samme punkt.
TREKANTENS INDSKREVNE CIRKEL
r
Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel.
TREKANTENS OMSKREVNE CIRKEL
R
R
Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel.
KVADRAT
a
a
Et kvadrat er en firkant, hvor alle vinkler er rette, og alle sider lige lange. Areal = a ⋅ a = a 2
12
Teknisk Matematik 1
REKTANGEL
a
b
Et rektangel er en firkant, hvor alle vinkler er rette. Diagonalerne er lige lange og halverer hinanden. Areal = a ⋅ b
ROMBE B
A
d1
C d2 D
En rombe er en firkant, hvor alle sider er lige lange. De modstående vinkler er lige store: A = C og B = D. Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer rombens vinkler. Areal = ½ ⋅ d1 ⋅ d2
PARALLELOGRAM B
C
h
A
g
D
Et parallelogram er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle og lige lange. De modstående vinkler er lige store, og diagonalerne halverer hinanden. Areal = g ⋅ h
13
TEKNISK MATEMATIK – FORMLER | 3. Geometri
TRAPEZ B
C h
A
D
Et trapez er en firkant, hvor to af siderne er parallelle.
Areal = ½ ⋅ h ⋅ ( BC + AD)
VILKÅRLIG POLYGON
En vilkårlig n-kant kan inddeles i n− 2 trekanter. Vinkelsummen = (n − 2) ⋅ 180°
REGULÆR POLYGON
v
En regulær polygon er en n-kant med lige store sider og lige store vinkler. Regulære polygoner har en indskreven og en omskreven cirkel. Forbindes centrum med polygonens vinkelspidser fremkommer n ligebenede trekanter. Centervinklen er:
v=
14
360° n
Teknisk Matematik Formler Teknisk matematik – Formler er et praktisk opslagsværk, der giver et hurtigt overblik over alle formler fra de enkelte kapitler i lærebøgerne Teknisk Matematik 1-3. Ud over formlerne er der også en oversigt over matematiske tegn og symboler med tilhørende forklaring.