Laboratorieberegninger Med laboratorieberegninger bliver den laborantstuderende i stand til at løse teknologisk art. Bogens indhold er tilpasset niveauet i den daglige undervisning. Emner og eksempler gør desuden bogen velegnet til selvstudium og som opslagsbog uden for undervisningssektoren. Den kan derfor også anvendes af folk, der arbejder i det eksperimentelle og analytiske naturvidenskabelige laboratorium.
Laboratorieberegninger
beregningsopgaver i laboratoriet – både af kemisk, apparatteknisk og bio-
Ulla Ethelberg
Laboratorieberegninger 5. udgave
Ulla Ethelberg Uddannet cand.scient. i biokemi Har undervist i kemi på alle niveauer siden 1975 og fra 1982 også på laborantskoler, dog med afbrydelser, hvor hun blandt andet har arbejdet som universitetslærer i kemi og laboratorieøvelser og som htx-lærer i kemi, biologi og teknologi. Er censor ved eksaminer for laborant- og miljøteknologistuderende samt for professionsbachelorstuderende i laboratorie-, fødevare- og procesteknologi.
ISBN 978-87-571-2876-5
9 7887571 28765
praxis.dk
varenr. 51017-1
Laboratorieberegninger_5udg_omslag_tryk.indd 1
PRAXIS — Nyt Teknisk Forlag
29-03-2017 13:52:07
Laboratorieberegninger 5. udgave 2017 © Praxis - Nyt Teknisk Forlag 2017 Forfatter: Ulla Ethelberg Forlagsredaktør: Katrine Mølgaard Andersen, kma@praxis.dk Grafisk tilrettelæggelse: Anne von Holck, tegnestuentrojka.dk Omslagsfoto: Shutterstock Tryk: Specialtrykkeriet Arco A/S ISBN: 978-87-571-2876-5 Varenummer: 51017-1 Bogen er sat med Mignon Pro Bogen er trykt på 130 g Arctic Matt Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Hovedreglen er: højst 20 sider af en bog til samme hold/klasse pr. studerende pr. undervisningsår. Og kopier må ikke genbruges. Kopier skal tilføjes kildeangivelse: Forfatter, titel og forlag. Se mere på www.copydan.
PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag Ny Vestergade 17, 4. 1471 København K info@praxis.dk ntf.praxis.dk Ekspedition: PRAXIS, +45 63 15 17 00
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 4
03-04-2017 12:30:07
5
Forord Nærværende bog er lavet som en hjælp til beregninger i forbindelse med laboratoriearbejde generelt. Bogen omfatter både kemiske, apparatrelaterede og bioteknologiske opgaver og dækker en væsentlig del af behovet for træningsopgaver på laborantuddannelsen. Tekst og eksempler støtter den studerende såvel i undervisningen som ved selvstudium. Bogen kan også anvendes som opslagsbog. Ud over diverse rettelser, er der er i denne 5. udgave tilføjet et afsnit om enzymkit med et regneeksempel. Der er desuden ændret på layoutet så eksemplerne tydeligere markeres, ligesom nogle figurer er farvelagte for at øge det umiddelbare budskab. Bagest i bogen er der lavet en oversigt over eksemplerne, så disse bliver lette at slå op. Teorien bag de kemiske, apparattekniske og bioteknologiske opgaver uddybes ikke nærmere i denne bog. Sådanne uddybninger må derfor findes i lærebøger, der omhandler disse emner. Beregningerne kan heller ikke udføres uden brug af tabelværdier. En lang række af disse kan findes i Håndbog for laboratoriefolk af Merete Norsker Bergsøe og Helle Jeppesen eller i andre opslagsværker. 5. udgave af Laboratorieberegninger afløser 4. udgave fra 2011, hvor Pia Johansen stod som medforfatter og til stadighed skyldes tak for det grundige arbejde med de kemiske og apparattekniske beregninger. Den gennemgribende bearbejdning af layout til denne udgave skyldes i høj grad Katrine Mølgaard Andersens ihærdige og grundige arbejde. Marts 2017 Ulla Ethelberg
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 5
03-04-2017 12:30:07
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 6
03-04-2017 12:30:07
7
Indhold 1. Målenøjagtighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fejltyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nøjagtighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Præcision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Præcision ved flere bestemmelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betydende cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fastlæggelse af antal betydende cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Usikkerheden på en enkeltmåling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Usikkerheden på en sammensat måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 12 14 15 17 18 19 22 23 27
2. Atommasse – Molarmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Støkiometriske beregninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opstilling af molforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opstilling af molforhold ved tilbagetitrering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molforhold, når en samlet reaktion består af to eller flere enkeltreaktioner . Indsætning i molforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 35 36 36 37
4. Titreringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Titreringsprincipper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Syre-base-titreringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indstilling af titrervæsker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Renhedsbestemmelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tilbagetitrering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kjeldahl-bestemmelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kjeldahl-bestemmelse med saltsyre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kjeldahl-bestemmelse med borsyre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 47 49 51 52 53 58 60
6. Redox-titreringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 7
03-04-2017 12:30:07
8 Laboratorieberegninger
7. Fældningstitreringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8. Komplekstitreringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9. Fedtstofbestemmelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Iodtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Forsæbningstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Syretal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Peroxidtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10. Ækvivalentbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.Titreringsberegninger med normalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12. Reagensfremstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fremstilling af simple reagenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandingsreagenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omregning mellem koncentrationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117 117 121 124 127
13. Fortyndinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortyndingsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortyndingsrække . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardrække . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kimtalsbestemmelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133 136 137 139 142 144
14. Standardisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardisering (ekstern standard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvalitetssikring af standardkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Måling af prøve(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvalitetssikring af prøveresultaterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intern standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valg af intern standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151 152 153 155 156 158 159
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 8
03-04-2017 12:30:07
9
Fremstilling af standarder, kontrolstandarder og prøver . . . . . . . . . . . . . . . . Kvalitetssikring af standardkurven og prøveresultaterne . . . . . . . . . . . . . . . . Standardaddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvalitetssikring af standardkurven og prøveresultaterne . . . . . . . . . . . . . . . . Etpunkts-standardisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gelelektroforese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ELISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159 160 163 164 166 169 171 174
15. Fældningsbestemmelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 16. Synteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktisk og teoretisk udbytte og udbytteprocent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Præcision og nøjagtighed ved synteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overskud, begrænsende faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197 198 199 201 206
17. pH-beregninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortyndet stærk syre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortyndet stærk base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortyndet svag syre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortyndet svag base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amfolytter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bufferopløsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211 212 212 213 214 215 215 218
18. Enzymer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enzymkinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enzymoprensning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enzymkit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223 223 227 229 231
Appendiks A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Grafisk afbildning og interpolation Appendiks B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Almen regning
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 9
03-04-2017 12:30:07
10 Laboratorieberegninger
Appendiks C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Anvendte størrelser, symboler og enheder Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Eksempeloversigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 10
03-04-2017 12:30:07
11 Målenøjagtighed
1
Målenøjagtighed
Ved de fleste laboratorieprøvninger er man nødt til at arbejde med en stor nøjagtighed og en god præcision. _ Ved en stor nøjagtighed forstås, at prøvningsresultatet (X , et gennemsnit af to eller flere bestemmelser) ligger tæt på den sande (rigtige) værdi μ. Ved en god præcision forstås, at variationen mellem enkeltbestemmelserne på en given prøve er lille. Eksempel 1.1
Nøjagtighed og præcision
Der udføres tredobbeltbestemmelse ved indstillingen af en titrervæske, der vides at være præcis 0,1000 M. Ved grafisk afbildning af de tre enkeltbestemmelser er der mulighed for hver af følgende fire situationer:
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 11
03-04-2017 12:30:07
12 Laboratorieberegninger
Situation A, hvor nøjagtigheden er stor og præcisionen god, giver det bedste prøvningsresultat.
Fejltyper I de tilfælde, hvor der ikke opnås en stor nøjagtighed og en god præcision, er der begået en fejl ved prøvningen eller under udregningen af prøvningsresultatet. Der kan være tale om en af følgende tre typer fejl: – Grove fejl – Systematiske fejl – Tilfældige fejl. Grove fejl
Ved grove fejl forstås fejl, der betyder, at prøvningsresultatet kommer til at ligge langt fra den rigtige værdi. Eksempler: (a) Fejlaflæsning, fx antal mL på en burette (b) Fejlindtastning på lommeregner (c) Beregning efter forkert formel. Fejl af typen (a) kan næsten elimineres ved altid at udføre mindst to bestemmelser på samme prøve. Ligger de to bestemmelser langt fra hinanden, gentages de. Er prøven af en art, der kræver meget prøveforberedelse, er det en god idé altid at lave mindst én bestemmelse mere, end der skal medtages i gennemsnitsberegningen. Der er således mulighed for at kassere et dårligt resultat, hvis der er sket en fejl. I sådanne tilfælde bør det mindste antal bestemmelser på en prøve være tre. Fejl af type (b) vil ligeledes ofte blive opdaget, når der udføres to eller flere bestemmelser på samme prøve. Denne type fejl vil desuden blive opdaget ved, at samme operatør eller en anden operatør kontrollerer beregningen. Fejl af type (c) kan være svære at opdage, da to bestemmelser af samme prøve giver en pæn dobbeltbestemmelse. Fejltypen kan lettest opdages ved, at der i prøverækken medtages en kontrolstandard, altså en standard, hvor resultatet er kendt.
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 12
03-04-2017 12:30:07
13 Målenøjagtighed
Er der ikke overensstemmelse mellem prøvningsresultatet og det kendte resultat, er der sket en fejl. Systematiske fejl
Systematiske fejl er fejl, der trækker alle prøvningsresultaterne i en bestemt retning. Dvs. at nøjagtigheden er lille, men præcisionen er god (eksempel 1.1, situation C). I modsætning til grove fejl, er systematiske fejl altid små fejl, hvorfor de er sværere at opdage. Eksempler: (a) Forkert afpipetteringsteknik (b) Forkert kalibrering af apparat. Fælles for de systematiske fejl er, at der opnås en god dobbeltbestemmelse. Ved at medtage en kontrolstandard (gerne flere) kan det konstateres, at alle prøvningsresultater enten er lidt for store eller lidt for små. Det er til gengæld svært herefter at bestemme, hvad fejlen skyldes. Nogle muligheder er at lade en anden operatør udføre prøvningen eller dele af prøvningen eller om muligt at anvende et andet apparat.
Tilfældige fejl
Ved tilfældige fejl forstås, at nøjagtigheden er stor, men præcisionen er dårlig. Denne type fejl skyldes usikkerhed ved metoden, på apparaturet og på den måde, operatøren arbejder på. Præcisionen kan øges ved: – anvendelse af glasudstyr med mindre usikkerhed, dvs. målekolber og fuldpipetter. Jo større disse er, jo mindre er usikkerheden. – afvejning på analysevægt. Der kan evt. afvejes en større mængde, hvorved usikkerheden bliver mindre. Der skal så muligvis fortyndes. – anvendelse af apparatur, hvis præcision kontrolleres og findes i orden.
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 13
03-04-2017 12:30:07
14 Laboratorieberegninger
– at operatøren må prøve at være mere omhyggelig med alle arbejdsoperationer. – at vælge en helt anden metode, der giver bedre præcision. Selv med alle disse foranstaltninger vil prøvningsresultaterne være behæftet med tilfældige fejl. Men størrelsen af disse er minimeret. Det svarer til i eksempel 1.1 at gå fra situation B til situation A.
Nøjagtighed
_ Nøjagtigheden udtrykker, som nævnt, om den målte værdi (X ) ligger tæt på den sande værdi (μ). Sædvanligvis kendes en prøves sande værdi ikke. For at bestemme nøjagtigheden kan der i prøverækken medtages en kontrolstandard (en standard, hvor resultatet _ er kendt). Hvor tæt bestemmelsen af kontrolstandarden (X ) ligger på den sande værdi (μ), kan udtrykkes som % genfinding eller som % relativ fejl: % genfinding =
X ⋅ 100 % µ
% genfinding skal være så tæt på 100 % som muligt. Det ses, at % genfinding kan blive både større og mindre end 100 %. % relativ relativ ffej ejl =
| X −µ | ⋅ 100 % µ
% relativ fejl skal være så tæt på 0 % som muligt. Størrelsen vil altid være over 0 % på grund af den numeriske værdi i tælleren. % genfinding og % relativ fejl udtrykker det samme, idet afstanden mellem den beregnede værdi og 100 % hhv. 0 % er den samme.
Eksempel 1.2
% genfinding og relativ fejl
En kontrolstandard vides at have koncentrationen _ μ = 2,000 g/L. Ved to målinger på standarden fås et gennemsnit X på 1,986 g/L. Beregn % genfinding og % relativ fejl. % genfinding =
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 14
X ⋅ 100 % µ
03-04-2017 12:30:08
15 Målenøjagtighed
=
1, 986 g / L
2, 000 g / L = 99,30 % % relativ relativ ffej ejl = =
⋅ 100 %
| X −µ | ⋅ 100 % µ | 1, 98866 g / L − 2, 000 g / L |
2, 000 g / L = 0, 70 %
⋅ 100 %
Præcision Præcisionen hænger sammen med den aktuelle måleusikkerhed (størrelsen af tilfældige fejl). Præcisionen kan udtrykkes på flere forskellige måder: Dels som absolut usikkerhed: s, ±s, ±2s, eller ±3s, dels som relativ usikkerhed: % RSD, CV %, eller % relativ usikkerhed. Absolut usikkerhed
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 15
Absolut usikkerhed er størrelsen af usikkerheden udtrykt som s, ±s, ±2s, eller ±3s. Enheden på den absolutte usikkerhed er den samme som på måletallet. s er spredningen (= standardafvigelsen) og bestemmes ved et måleforsøg. Herved forstås, at der laves 10 - 15 målinger på det samme. Fx 10 - 15 afvejninger af samme genstand. Enkeltmålingerne kan antages at være normalfordelte, da usikkerheden herpå er sammensat af mange små bidrag, der trækker i hver sin retning. Når spredningen beregnes, er der mulighed for at angive usikkerheden på forskellige sikkerhedsniveauer (konfidensniveauer):
Absolut usikkerhed
Sikkerhedsniveau
±s
68 %
±2s
95 %
±3s
99,7 %
03-04-2017 12:30:08
16 Laboratorieberegninger
Anvendes ±s som absolut usikkerhed, er sandsynligheden for, at den sande værdi ligger inden for usikkerheden lig med 68 %. Gøres den absolutte usikkerhed større (±2s eller ±3s), betyder det, at sandsynligheden for, at den sande værdi (μ) ligger inden for usikkerheden, er større. Det er forskelligt, om man i praksis vælger den absolutte usikkerhed som ±s, ±2s eller ±3s, eller blot som s. Det er derfor vigtigt at angive dette sammen med usikkerheden. % relativ usikkerhed
Ved beregning af % relativ usikkerhed sættes den absolutte usikkerhed i forhold til måleværdiens størrelse og ganges med 100 %. % relativ usikker kerhed =
absolut usikkker kerhed X
⋅ 100 %
Udtrykkes den absolutte usikkerhed som s, bliver % relativ usikkerhed udtrykt som % RSD eller CV %: % RSD =
CV % =
s ⋅ ⋅100 % X
s ⋅ ⋅100 % X
hvor CV kaldes variationskoefficienten (Coefficient of Variation) og RSD kaldes relativ standardafvigelse (Relative Standard Deviation). Eksempel 1.3
Usikkerhed
Der laves 10 vejninger af samme lod på en analysevægt. Der fås følgende værdier: 1,0003 g 1,0001 g 1,0004 g 0,9998 g 1,0001 g 1,0002 g 1,0000 g 1,0006 g 1,0002 g 1,0003 g Beregn usikkerheden som s og % RSD.
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 16
03-04-2017 12:30:10
17 Målenøjagtighed
_ På lommeregner bestemmes X og s: X = 1, 0002 g s = 0, 00022 g s 0, 00022 % RSD = ⋅ 100 % = ⋅ 100 % = 0, 02 % X 1, 0002
Præcision ved flere bestemmelser Spredning på gennemsnit
Som omtalt udføres der altid mindst to bestemmelser på samme prøve for at undgå nogle typer af fejl. Samtidig opnås, at resultatet (= gennemsnittet) er mere præcist. Af formel (A) side 23 kan følgende formel til beregning af spredningen på et gennemsnit udledes:
sX =
s Xi n
hvor s X er spredningen på gennemsnittet, s Xi er spredningen på en enkeltbestemmelse (altid s Xi , der fås på lommeregner, bestemt som i eksempel 1.3) og n er antallet af bestemmelser på prøven. s Xi bør bestemmes ud fra mindst ti enkeltbestemmelser. Men er det en prøve, hvor der normalt udføres dobbeltbestemmelse, er X gennemsnittet af to bestemmelser, hvorfor det er spredningen på den dobbeltbestemmelse (n = 2), der skal beregnes. Eksempel 1.4
Spredning
Ved at lave ti titreringer på samme prøve, er spredningen på en enkeltmåling bestemt til: s Xi = 0,045 g/L Da der normalt udføres dobbeltbestemmelse, ønskes spredningen på et gennemsnit af 2 værdier beregnet. sX =
s Xi n
=
0, 045 g /L 2
= 0, 032 g/L
altså en væsentlig mindre spredning.
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 17
03-04-2017 12:30:12
18 Laboratorieberegninger
Udføres der fire ens bestemmelser på en prøve, skal der divideres 2 hvilket betyder en halvering af usikkerheden. med 4 = 2,
Betydende cifre Når et prøvningsresultat skal angives, skal det antal cifre, der er i tallet, være et udtryk for den nøjagtighed og præcision, hvormed tallet er bestemt. Eller sagt på en anden måde: et udtryk for den usikkerhed og unøjagtighed, der er på tallet. Et tal, der er beregnet på lommeregner, kan fx se ud på følgende måde: 0,053261887. Cifrene kan opdeles i sikre og usikre, hvor de sikre altid starter fra venstre. Hvor mange sikre cifre, der er i tallet, afhænger som nævnt af den nøjagtighed og præcision, hvormed tallet er bestemt. Det kan fx give følgende inddeling i sikre og usikre cifre: 0, 053261887 sikre
usikre
Den korrekte angivelse af ovennævnte tal er: 0,0533 idet der netop medtages ét af de usikre cifre, her markeret med understregning. Udeladelsen af de øvrige cifre sker ved at runde op eller ned, afhængigt af det følgende ciffer. Tallet ovenfor kan skrives på flere, lige korrekte måder, fx: 0,0533 eller
5,33 · 10–2 eller 533 · 10–4
I alle tre tilfælde har man cifrene 5, 3 og 3; forskellen ligger i deres placering i forhold til kommaet. Dette hænger sammen med den anvendte 10-er potens, da den samlede værdi (tal gange 10-er potens) skal være uændret. Ligegyldigt hvordan tallet skrives, har det tre betydende cifre, nemlig 5, 3 og 3, hvoraf det sidste er usikkert.
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 18
03-04-2017 12:30:12
19 Målenøjagtighed
Eksempel 1.5
Betydende cifre
1,060: 1,06: 4,6 · 103: 4600: 0,025:
Fire betydende cifre Tre betydende cifre To betydende cifre Fire betydende cifre To betydende cifre
De betydende cifre er fremhævet med understregning. Det ses, at 0’er foran andre cifre er uden betydning. Disse afhænger udelukkende af, om tallet angives med eller uden 10-er potens. 0’erne efter andre cifre er derimod betydende. De er udtryk for, at værdien på dette ciffer er netop 0, og ikke en anden værdi.
Antallet af betydende cifre skal afpasses med, at usikkerheden/ unøjagtigheden ligger på det sidste betydende ciffer. Usikkerheden på et tal og dermed antallet af betydende cifre afhænger af nøjagtigheden og præcisionen, hvormed tallet er bestemt. Det korrekte antal betydende cifre i et resultat fastlægges dels ud fra antallet af betydende cifre i enkeltmålingerne, dels ud fra den nøjagtighed og præcision, hvormed prøvningen er udført.
Fastlæggelse af antal betydende cifre Enkeltmåling
En enkeltmåling er en måleværdi, der er fremkommet direkte ved aflæsning, altså uden nogen form for beregning. Dette kan eksempelvis være en afvejet masse eller et afpipetteret volumen.
Sammensat måing
Ved en sammensat måling forstås, at resultatet er fremkommet ved beregning ud fra flere enkeltmålinger. Denne fastlæggelse afhænger af antallet af betydende cifre i enkeltmålingerne samt af, om beregningen udføres ved plus/minus eller ved gange/division.
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 19
03-04-2017 12:30:12
20 Laboratorieberegninger
Eksempel 1.6
Beregning med plus/minus
Til fremstilling af en opløsning afmåles følgende væsker: 100 mL vand (med måleglas) 10,00 mL ethanol (med fuldpipette) 5,00 mL 1-propanol (med fuldpipette) Voluminerne er angivet, så usikkerheden ligger på det sidste ciffer. Opløsningens volumen ønskes angivet med det korrekte antal betydende cifre. V = V1 + V2 + V3 = 100 mL + 10,00 mL + 5,00 mL = 115,00 mL I hver af enkeltmålingerne er det usikre ciffer angivet ved understregning. I resultatet er de samme cifre usikre og ligeledes markeret ved understregning. Det første usikre ciffer er 5-tallet, hvorved alle følgende cifre også bliver usikre. Resultatet skal derfor skrives: V = 115 mL idet kun det første af de usikre cifre må medtages.
Eksempel 1.7
Beregning med gange/division
En ca. 0,10 M NaOH-opløsnings koncentration bestemmes ved titrering med 0,103 M HCl. Til bestemmelsen afpipetteres 25,00 mL af NaOH-opløsningen, som titreres med 26,08 mL af HCl-opløsningen. NaOH-opløsningens koncentration ønskes beregnet og angivet med det korrekte antal betydende cifre.
cNaOH =
cHCl ⋅ VHCl
=
0, 103 103 M ⋅ 26, 08 m mL
VNaOH = 0, 110745 M
25, 00 mL
I beregningen af cNaOH er det usikre ciffer på enkeltmålingerne og på resultatet angivet ved understregning. Ganges eller divideres et tal med tre betydende cifre med et tal med fire betydende cifre, vil det betyde, at både tredje og fjerde betydende ciffer i resultatet bliver usikkert, altså må kun det tredje betydende ciffer i resultatet medtages. Resultatet skrives derfor: cNaOH = 0,107 M
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 20
03-04-2017 12:30:13
21 Målenøjagtighed
Eksempel 1.8
Hensyn til præcisionen
Ved indstilling af en NaOH-opløsning som i eksempel 1.7, bør der udføres mindst tre bestemmelser. Der er ved tre bestemmelser opnået følgende tre koncentrationer: I cNaOH = 0, 10745 M II cNaOH = 0, 10708 M III cNaOH = 0, 10733 M
Beregn gennemsnittet og angiv det med det korrekte antal betydende cifre under hensyn til præcisionen. Beregnet gennemsnit: cNaOH = 0,10729 M Betragtes enkeltbestemmelserne, ses der en variation på fjerde betydende ciffer. Dette bliver således det usikre ciffer, og det sidste, der må medtages i resultatet: cNaOH = 0,1073 M Alternativt kan s beregnes = 0,00019, altså en variation på fjerde betydende ciffer, hvorfor resultatet kan skrives som ovenfor med fire betydende cifre.
Eksempel 1.9
Hensyn til nøjagtigheden
Ved måling på en kontrolprøve ved bestemmelsen i eksempel 1.7 findes % genfinding til 100,4 %. Det betyder, at der er en fejl på bestemmelsen på 0,4 % af 0,10729 M. Fejlen =
0, 4 % 100 %
⋅ 0, 10729 M = 0, 0004 M
Den manglende nøjagtighed får indflydelse på fjerde betydende ciffer, som altså er det sidste, der må medtages i resultatet. cNaOH = 0,1073 M
Laboratorieberegninger_5udg_tryk.indd 21
03-04-2017 12:30:14
Laboratorieberegninger Med laboratorieberegninger bliver den laborantstuderende i stand til at løse teknologisk art. Bogens indhold er tilpasset niveauet i den daglige undervisning. Emner og eksempler gør desuden bogen velegnet til selvstudium og som opslagsbog uden for undervisningssektoren. Den kan derfor også anvendes af folk, der arbejder i det eksperimentelle og analytiske naturvidenskabelige laboratorium.
Laboratorieberegninger
beregningsopgaver i laboratoriet – både af kemisk, apparatteknisk og bio-
Ulla Ethelberg
Laboratorieberegninger 5. udgave
Ulla Ethelberg Uddannet cand.scient. i biokemi Har undervist i kemi på alle niveauer siden 1975 og fra 1982 også på laborantskoler, dog med afbrydelser, hvor hun blandt andet har arbejdet som universitetslærer i kemi og laboratorieøvelser og som htx-lærer i kemi, biologi og teknologi. Er censor ved eksaminer for laborant- og miljøteknologistuderende samt for professionsbachelorstuderende i laboratorie-, fødevare- og procesteknologi.
ISBN 978-87-571-2876-5
9 7887571 28765
praxis.dk
varenr. 51017-1
Laboratorieberegninger_5udg_omslag_tryk.indd 1
PRAXIS — Nyt Teknisk Forlag
29-03-2017 13:52:07