Kernestof Mat1, stx, 2. udgave. Kapitel 1 og 2

Kernestof Mat 1 stx

Af Per Gregersen og Majken Sabina Skov Praxis

Kernestof Mat 1, stx

Per Gregersen og Majken Sabina Skov

© Praxis Forlag A/S, København 2024

Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk.

2. udgave, 1. oplag, 2024

Forlagsredaktion: Jacob Duelund Kaas Christensen Billedredaktion: Emilie Guldborg Andersen

Grafisk tilrettelæggelse: Schnalke Kommunikations-Design Principlayout og omslag: andresen design Sat med Myriad Pro

ISBN: 978-87-2901-483-6 eBog+ ISBN: 978-87-2901-489-8

Tryk: Livonia Print Printed in Latvia, 2024

Praxis Forlag A/S – et selskab i Egmont praxis.dk

3. Deskriptiv statistik

3.1 Ikke-grupperede observationer

3.2 Kvartilsæt, outliers og spredning

3.3 Diagrammer til ikke-grupperede observationer

3.4 Grupperede observationer

3.5 Diagrammer til g rupperede observationer

Opgaver til kapitel 3

Træning 3

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.1 Kombinatorik – tællemetoder

4.2 Permutationer

4.3 Kombinationer og binomialkoefficient

4.4 Sandsynlighedsregning

4.5 Sandsynlighedsfelt

4.6 Sandsynligheder ved flere hændelser

4.7 Ræsonnementer og beviser

Opgaver til kapitel 4

Træning 4

5. Trigonometri

5.1 Navne og almindelige begreber

5.2 Retvinklede trekanter og Pythagoras' sætning

5.3 Ensvinklede og ligedannede trekanter

5.4 Konstruktion – de fem trekantstilfælde

5.5 Enhedscirklen

5.6 Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter

5.7 Areal af vilkårlig trekant og sinusrelationerne

5.8 Cosinusrelationerne

5.9 Ræsonnementer og bveviser 1

5.10 Ræsonnementer og beviser 2

Opgaver til kapitel 5

Træning 5

6. Procent- og rentesregning

6.1 Regning med procent

6.2 Vækstrate og fremskrivningsfaktor

6.3 Beregning af start- og slutkapital

6.4 Beregning af renter r og terminer n

Opgaver til kapitel 6

Træning 6

7. Eksponentielle funktioner

7.1 Eksponentielle funktioner og deres grafer

7.2 Beregning af a og b i forskriften f ( x ) = b · a x

7.3 Halverings- og fordoblingskonstant

7.4 Eksponentielle vækstmodeller

7.5 Titalslogaritmen

7.6 Den naturlige logaritme og Eulers tal

7.7 Eksponentielle ligninger

7.5 Ræsonnementer og beviser

Opgaver til kapitel 7

Træning 7

8. Potensfunktioner

8.1 Potensfunktioner og deres grafer

8.2 Beregning af a og b i forskriften f ( x ) = b · x a

8.3 Potensregression og modeller

8.4 Vækst i procent for både x og y

8.5 Ligefrem og omvendt proportionalitet

8.6 Ræsonnementer og beviser

Opgaver til kapitel 8

Træning 8

9. Andengradspolynomier

9.1 Parabler og koefficienter

9.2 Diskriminant og toppunktsformel

9.3 Rødder

9.4 Faktorisering og modellering

9.5 Polynomier af højere grad

9.6 Ræsonnementer og beviser

Opgaver til kapitel 9

Træning 9

10. Funktionsteori

10.1 Funktioner, definitionsmængde og værdimængde

10.2 Ekstrema

10.3 Monotoniforhold

10.4 Stykkevist definerede funktioner

10.5 Parallelforskydning af grafer

Opgaver til kapitel 10

Forord

Denne 2. udgave af Kernestof Mat1 præsenterer den første del af matematikken på den den almene gymnasiale uddannelse, stx, i henhold til læreplanerne fra 2024. Bogen kan bruges alene på C-niveauet, eller som første del af undervisningen på B- eller A-niveauet.

Matematik i opslag

Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen.

I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser.

Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression, og mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver om regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler med videre.

At forstå matematik

Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller. Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10 000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hjernen danner disse forbindelser helt ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker om begreber og opgaver.

To typer forståelse

Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse .

Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber. Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo.

Og det vælger man eksempelvis at skrive sådan her: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, og til sidst: x = 1.

Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen . For eksempel at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl! Det, der i virkeligheden sker, er, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse

Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ... ), hvordan en bestemt metode virker.

Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på 'netværket' – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgå i en sammenhæng, der giver mening.

Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske?

• "aekljtgjkltvtbtwertbrt"

• "prøvathuskedetteher"

Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussedullepapir , hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken.

Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet

God fornøjelse med bogen. Per og Majken

prx.dk/bc892

1. Modeller og variable

1. variable

1.1 Matematisk modellering

1 Introduktion

Der skal købes is til en klasse. Hvis der er 30 elever, og stykprisen er 25 kr., bliver udgiften: 30 · 25 kr. = 750 kr. Hvis der er n elever, bliver udgiften i kr.: n · 25. Det vil sige: udgift i kr. = 25 · n

Variabel

Bogstavet n er her brugt som variabel for antallet af elever. En variabel er en størrelse, som kan antage forskellige værdier.

Ved at indføre en variabel kan vi nu regne på forskellige situationer.

2 Eksempel

En elev har 300 kr. og vil gerne give is, der koster 12 kr. pr. styk, til hele klassen.

Hvor mange elever må der højst være i klassen den dag? Det svarer til at spørge: Hvad kan n være, for at 12 · n = 300? Dette er et eksempel på en ligning .

Det viser sig, at 12 · 25 = 300. Det vil sige, at ligningen har løsningen n = 25. Der må med andre ord højst være 25 elever i klassen den dag.

3 Eksempel

En lærer vil give is til 15 kr. pr. styk til de elever, der kommer til tiden en mandag morgen. Hvad vil det koste?

Igen lader vi n stå for antal elever, og formlen til beregning af udgiften i kr. er: 15 · n = udgift i kr.

Her er udgiften i kr. udregnet for forskellige værdier af n :

Du kan læse mere om hele tal og reelle tal under talmængder og tallinjen i værktøjskassen

i kr.

For at kunne regne på sammenhænge fra virkeligheden indføres variable, og herefter beskrives deres sammenhænge med symbolsprog.

I matematikken bruger man ofte bogstavet n som variabel, når det tal, som n betegner, er et helt tal

I arbejdet med ligninger er det dog mere almindeligt at bruge bogstavet x som pladsholder. Her er det underforstået, at x er et reelt tal.

4 Eksempel

En 1.g’er er 15 år og vil holde en 'rund fødselsdag' sammen med sin 6 år ældre bror.

Hun indfører derfor en variabel for at finde ud af, hvor gammel hun vil være, når de fylder 40 år tilsammen.

Variablen, hun indfører, benævnes x , og den betegner hendes egen alder.

Hendes brors alder er dermed x + 6. Deres samlede alder er: x + x + 6 = 2 x + 6.

Hun sætter nu 40 lig med 2 x + 6 (som var deres samlede alder). Det giver ligningen:

40 = 2 x + 6.

Løsningen til ligningen er x = 17. De må altså vente, til 1.g’eren er 17 år.

En matematisk model er nogle bestemte træk ved en virkelig situation beskrevet ved hjælp af matematik.

5 Matematisk modellering

Det er en god idé at lade x betegne den størrelse, man skal bestemme.

I eksempel 4 var problemstillingen at bestemme 1.g’erens alder, derfor betegnede vi hendes alder med x . Herefter skal de øvrige oplysninger udtrykkes ud fra x

6 Øvelse

Problemstilling

Matematisk beskrivelse ’ligning med x'

Tolkning af x i forhold til problemstillingen

En elev har 125 kr. og vil give is i en klasse, hvor der er 25 elever.

Matematisk løsning ’talværdi af x ’

a Opstil en ligning, der kan bruges til at finde ud af, hvad isene må koste pr. styk.

b. Løs ligningen.

7 Øvelse

En person har en 4 år ældre storesøster. Hvor gammel er søsteren, når:

a. Personen er 15 år?

b. Personen er x år?

8 Øvelse

Din hund er 8 år yngre end dig, og du overvejer at fejre jeres 'tilsammen 30-års fødselsdag'.

a. Indfør en variabel for din alder målt i år.

b. Udtryk hundens alder ud fra variablen.

c. Udtryk summen af jeres aldre, og reducér udtrykket, så variablen kun optræder et sted.

d. Opstil en ligning, der beskriver problemstillingen, og løs den.

e. Hvor gammel er du, og hvor gammel er hunden, når I kan fejre '30-års fødselsdag' sammen?

prx.dk/es2yd

10 Definition

1.2 Ligninger og deres løsninger

9 Introduktion

Disse to kvinder er i perfekt balance. En matematisk ligning udtrykker også en perfekt balance.

prx.dk/44zur

Et lighedstegn "=" er et symbol, der viser, at talstørrelserne på hver side af symbolet er ens.

En ligning er to regneudtryk skrevet på hver side af et lighedstegn. I mindst ét af regneudtrykkene skal indgå en variabel, hvis værdi man ikke kender – en ubekendt . Typisk bruges x som symbol for en ubekendt. Regneudtrykkene kan være både enkelte tal eller regnestykker, og de kan være sammensat af både tal og bogstaver.

En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes på x 's plads.

11 Eksempel

2 x = 10 er en ligning, for der er et lighedstegn, regneudtryk på hver side af lighedstegnet og en ubekendt, x . Vi påstår, at ligningen har løsningen 5. Det kan vi teste ved at indsætte 5 på x ’s plads og kontrollere, om lighedstegnet faktisk gælder:

2 · 5 = 10

10 = 10

Vi er nu kommet frem til noget, som åbenlyst er sandt: 10 er lig med 10. Dermed har vi vist, at 5 er en løsning. Dette kaldes at gøre prøve

I dette eksempel blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret, at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede.

For at løse en ligning på en mere systematisk måde, kan man omforme ligningen, så man får x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Det kaldes at isolere x . Når man isolerer x , er det vigtigt at huske, at en ligning er en balance. For at opretholde balancen skal man altid gøre det samme på begge sider af lighedstegnet.

12 Eksempel

Vi løser ligningen

3 x + 8 = – x – 4.

3 x + x + 8 = – x + x – 4

4 x + 8 = –4

4 x + 8 – 8 = –4 – 8

4 x = –12

x er lagt til på begge sider.

Ligningen er reduceret.

8 er trukket fra på begge sider.

Ligningen er reduceret.

= 4 12

4 4 x

x = –3

Begge sider er divideret med 4.

Løsningen er altså –3.

Man kan også løse ligninger grafisk. Eksemplet herunder illustrerer, hvordan denne metode fungerer.

13 Eksempel

Løsningen til ligningen 2 x – 3 = 5 findes ved at aflæse x -værdien til skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne y = 5 og y = 2 x – 3. Det ses, at linjerne skærer hinanden, når x = 4. Derfor er x = 4 løsning til ligningen 2 x – 3 = 5.

Ligninger kan også løses ved hjælp af et Computer Algebra System, hvilket forkortes CAS. Der er flere forskellige CAS-programmer, og deres skrivemåder (syntaks) er lidt forskellige.

14 Eksempel

Ligningen 2 x + 14 = 2 – 4 x kan i nogle CAS-programmer løses med kommandoen: solve(2 x +14=2–4 x , x )

Programmet vil returnere noget i stil med: x = –2. Det betyder, at løsningen til ligningen netop er –2.

15 Øvelse

a. Vis, at x = 2 er en løsning til ligningen 4 x = 8. Argumentér som i eksempel 11.

b. Vis, at x = 5 ikke er en løsning til ligningen 4 x = 8.

16 Øvelse

Løs ligningerne ved omformning og derefter med CAS.

a. 4 x – 2 = 18

b. 1 + 4 x = 2 + 3 x

c. 3 x + 1 = 2 x

17 Øvelse

På figuren ses linjerne for ligningerne y = –0,5 x + 4 og y = x + 1.

a. Aflæs løsningen til ligningen –0,5 x + 4 = x + 1.

b. Kontrollér ved at gøre prøve, at løsningen er rigtig.

18 Øvelse

a. Opskriv en ligning, der har tallet 3 som løsning.

1.3 Funktioner

19 Introduktion

En bestemt maskine kan producere 15 enheder i timen. Antallet af producerede enheder afhænger derfor af det antal timer, maskinen kører. Har den kørt i 20 timer, er der produceret 300 enheder:

20 · 15 enheder = 300 enheder Man siger, at antallet af producerede enheder er en funktion af det antal timer, maskinen har kørt. Hvad dette egentlig betyder, forklarer vi lidt senere.

Vi begynder med at indføre to variable, så vi kan beskrive sammenhængen mellem de to størrelser ”antal producerede enheder” og ”antal timer, maskinen har kørt” matematisk.

20 Eksempel

Vi indfører to variable: x betegner antal timer, maskinen har kørt, og y betegner antal producerede enheder.

I tabellen har vi indsat en række udvalgte tal i den første kolonne – under x . Det vil sige, at vi har udvalgt nogle bestemte antal timer, maskinen kan have kørt.

Når x -værdierne er valgt, kan y -værdierne beregnes:

0 timer: 15 · 0 = 0

1 time: 15 · 1 = 15

5 timer: 15 · 5 = 75 og så videre.

Når de fem y -værdier hørende til de valgte fem x -værdier er beregnet, kan tabellen udfyldes.

Den udfyldte tabel ser sådan her ud.

Da der kun er én y -værdi til hver x -værdi, siger man, at ” y er en funktion af x ”.

Det kan man også skrive således: ” y = f ( x )”.

Funktionen, der ligger bag tallene i tabellen, er altså

y = f ( x ) = 15 x

eller

21 Definition

En funktion " f " er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi betegner x , og en, der afhænger af x , som vi betegner y eller f ( x ). f ( x ) kaldes funktionsværdien af x .

Desuden skal en funktion opfylde, at der til ethvert x , man må vælge, skal være præcist ét f ( x ).

Grafen for en funktion er mængden af alle de punkter ( x , y ), der opfylder, at y = f ( x ).

Det betyder, at en given y -værdi fremkommer som funktion af en x -værdi.

Sammenhængen, som en funktion udtrykker, beskrives med en regneforskrift, en tabel, en graf eller sprogligt.

Vi har allerede set tre repræsentationer af den samme funktion:

• Sprogligt: Værdien af y er 15 gange værdien af x

• Med en regneforskrift: f ( x ) = 15 x .

• Med en tabel i eksempel 20.

Den fjerde repræsentationsform – grafen for funktionen – ser vi på nu.

22 Eksempel

Til højre ses grafen for funktionen f ( x ) = 15 x . Bemærk, at intervallerne på de to akser er valgt forskelligt, ellers bliver grafen meget stejl.

23 Øvelse

a. Hvilke to kvadranter løber grafen igennem?

24 Øvelse

En funktion har regneforskriften f ( x ) = 3 x.

a. Udfyld en tabel som den viste: x –1 0 1 2 3 f ( x )

25 Øvelse

a. Tegn grafen for funktionen f ( x ) = 2 x – 3 i et CAS-værktøj.

prx.dk/nzyx2

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 101

Et tal ganges med 3, og derefter trækkes der 2 fra, hvorefter resultatet er lig med 10.

a Kald tallet x , og skriv ligningen op.

b. Find tallet x

Opgave 102

Hvis et bestemt tal ganges med 2,5, og der herefter lægges 4 til, så giver det 29.

a. Bestem tallet.

Opgave 103

Halvdelen af et tal er dobbelt så stort som 3.

a. Bestem tallet.

Opgave 104

På billedet ser vi Liao Hui, der repræsenterede Kina i en af mændenes lette vægtklasser ved Olympiaden 2008. Han løfter 190 kg i alt. Stangen og de yderste vægtskiver vejer tilsammen 40 kg.

a. Der er seks store, røde vægtskiver. Hvad vejer hver af de store vægtskiver?

b. Ligningen 6 x + 40 = 190 beskriver situationen. Hvad står x for?

Opgave 105

a. Hvis søslangen i Loch Ness er "40 m plus halvdelen af sin egen længde", hvor lang er den så?

Opgave 106

a. Opskriv ligninger, der kan bruges til at finde de ubekendte sidelængder for hver af de fire firkanter.

b. Løs hver af de fire ligninger, du opstillede i spørgsmål a, og kontrollér, at resultatet passer med arealet.

Opgave

107

Olsens kolonihavehus har form som et rektangel og er 56 m 2 . Den lange side måler han til 8 m.

a. Opstil en ligning for ham, der kan beregne den manglende sidelængde, og løs den.

b. Olsen skal plante roser hele vejen rundt om huset, undtagen foran husets eneste dør, der er 1 m bred. Hvor langt skal han regne med, at hans rosenbed bliver?

c. Olsen kommer i tanke om, at han allerede har et 12 m langt rosenbed i haven, som han vil flytte over langs huset. Med hvilken ligning regner han ud, hvor mange meter rosenbed han skal købe planter til?

1) x – 12 = 30 – 1

2) x + 12 = 30 – 1

3) x – 1 = 30

Opgave 108

Her er ligningen 2 x – 5 = 7 løst:

2 x – 5 = 7

2 x – 5 + 5 = 7 + 5

2 x = 12

2 x 2 = 12 2 x = 6

a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de orange tal, og hvorfor.

b. Løs ligningen 6 x +1 = 19 på tilsvarende vis.

Opgave 109

Her er ligningen 2 x = 4 x – 10 løst:

2 x = 4 x – 10

2 x – 4 x = 4 x – 4 x – 10

–2 x = – 10

–2 x –2 = –10 –2 x = 5

a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de orange tal, og hvorfor.

b. Løs ligningen 2 x = x + 3 på tilsvarende vis.

Opgave 110

Løs følgende ligninger:

a. x + x + x + x = 8

b. 3 x = 18

c. 7 x – 4 = 3

d. 2 x + x = 6

Opgave 111

Løs følgende ligninger:

a. x = 7

b. 2 x = 14

c. 3 x = 21

d. x + 1 = 8

e. 2 x + 2 = 16

f. 3 x + 3 = 18

Opgave 112

a. Udfyld en tabel som denne:

x 1 4 9 16 25

f ( x ) = x

b. Tegn grafen for f ( x ) = x i et passende koordinatsystem.

c. Hvilke værdier af x må man indsætte i funktionens regneforskrift?

Opgave 113

Her er linjerne for ligningerne y = – x + 1 og

y = –2 x – 3.

a. Aflæs løsningen til ligningen – x + 1 = –2 x – 3.

b. Indsæt løsningen i ligningen, og afgør, om du har aflæst korrekt.

Opgave 114

En funktion er givet ved forskriften f ( x ) = 4 x 2 .

a. Beregn f (2).

b. Beregn f (–2).

c. Løs ligningen f ( x ) = 36.

Opgave 115

Du og vennerne skal ud og køre i limousine. Et firma tager 1100 kr. i timen for en limousine med chauffør og champagne.

a. Hvad koster det at leje limoen i 2 timer?

b. Bestem et regneudtryk, der kan bruges til at beregne prisen ved et givent antal timer, hvori du bruger de tre størrelser x , y og 1100.

og

prx.dk/j7z6x

Værktøjskasse

Denne værktøjskasse er en oversigt over mange af de grundlæggende begreber og formler, du får brug for igen og igen.

Det er ikke meningen, at disse sider skal læses som et almindeligt kapitel, men derimod at du læser de enkelte opslag, når du får brug for dem.

Tal og koordinatsystemet

Talmængder og tallinjen

Indholdet af værktøjskassen fordeler sig over de fire overordnede emner

• tal og koordinatsystemet ,

• regning og algebra ,

• brøker og

• potenser og kvadratrødder .

En mængde er en samling af 'ting', og vi kalder disse ’ting’ elementer . Alle elementerne i en mængde skal være forskellige.

Mængden bestående af tallene 2, 4 og 7 skrives således: {2, 4, 7}. Og mængden af alle hele tal, der er større end eller lig med 6, skrives sådan her: {6, 8, 10, …}. Prikkerne angiver, at tallene fortsætter i samme mønster.

De naturlige tal , N, er de hele positive tal, det vil sige ”tælletallene” {1, 2, 3, …}.

De hele tal , Z, er de negative hele tal, nul og de naturlige tal, det vil sige: {… , –2, –1, 0, 1, 2, …}.

De rationale tal , Q, er alle tal, der kan skrives som brøker af to hele tal, eksempelvis 1 3 og 13 7 –

De irrationale tal er de tal, der ikke kan skrives som en brøk af to hele tal – altså de tal, der ikke er rationale. p og 7 er eksempler på irrationale tal.

De rationale og de irrationale tal giver tilsammen de reelle tal , R

Man kan tegne en tallinje , hvor ethvert punkt på linjen svarer til et reelt tal. Tallinjen er uden huller, så der gælder også omvendt, at ethvert reelt tal findes på tallinjen.

En tallinje er orienteret : Pilens retning angiver den positive retning, hvori tallene vokser. Når vi lægger positive tal sammen, går vi i talaksens retning.

At trække fra, eller lægge et negativt tal til, svarer blot til at gå den modsatte vej af den positive.

Eksempelvis kan regnestykket

1 + 4 – 3 = 1 + 4 + (–3) = 2 illustreres som vist.

Intervaller

Et interval består af alle reelle tal imellem to endepunkter. Vi angiver intervaller på forskellige måder, afhængigt af om endepunkterne er med eller ej.

Alle tal fra og med a til og med b : [ a ; b ] eller a ≤ x ≤ b .

Alle tal fra og med a til (men ikke med) b : [ a ; b [ eller a ≤ x < b

Alle tal mindre end a : ] – ∞ ; a [ eller x < a .

Symbolet ≤ betyder ”mindre end eller lig med”, < betyder ”mindre end”, og ∞ er symbol for ”uendelig”.

En udfyldt cirkel angiver, at tallet er med i intervallet, mens en tom cirkel angiver, at tallet ikke er med.

Koordinatsystemet

Koordinatsystemet blev opfundet i 1600-tallet af René Descartes, der efter sigende lå og betragtede en flue i loftet og tænkte over, hvordan han kunne beskrive præcist, hvor fluen befandt sig.

Et koordinatsystem består af to tallinjer, der er placeret vinkelret på hinanden. Vi kalder de to linjer for koordinatsystemets akser , og de skærer hinanden i 0 på de to tallinjer.

Akserne placeres næsten altid således, at den ene er vandret ( førsteaksen ), mens den anden dermed er lodret ( andenaksen ).

Normalt kaldes den vandrette akse x -aksen, og den lodrette akse y -aksen. De to akser inddeler tilsammen koordinatsystemet i kvadranter (første til fjerde kvadrant).

kvadrant (–,–) 2. kvadrant (–,+) x-aksen y-aksen

Et punkt (x , y ) i koordinatsystemet består af to tal x og y, der tilsammen beskriver, hvorhenne i koordinatsystemet punktet befinder sig. De to tal kaldes punktets koordinater , og samlet kaldes de punktets koordinatsæt.

1 2 3 4 x

Det første tal, x , angiver, hvilket tal på x -aksen punktet befinder sig lodret over eller under. Det andet tal, y , angiver, hvilket tal på y -aksen punktet befinder sig vandret ud for.

Punkter angives almindeligvis med store bogstaver, eksempelvis P

Fluen befinder sig i punktet (3,2). Kaldes dette punkt P , skriver vi: P (3,2).

Regning og algebra

Regningsarternes hierarki

Når vi regner, gør vi brug af de seks regneoperationer addition , subtraktion , multiplikation , division , potensopløftning og roduddragning :

Regneoperation Med symboler

Resultatet kaldes

Det, man gør

Addition a + b ” summen af a og b .” adderer eller lægger sammen

Subtraktion a – b ” differensen mellem a og b .” subtraherer eller trækker fra

Multiplikation a · b ” produktet af a og b .” multiplicerer eller ganger

Division a b ” kvotienten af a og b .” dividerer

Potensopløftning a b ” a i b ’te potens ” opløfter a i b ’te

Roduddragning a b ”den b ’te rod af a ” tager den b ’te rod af a

Den rækkefølge, regneoperationerne skal udføres i, kaldes regningsarternes hierarki , og den er som følger:

1. Først udregnes parenteser …

2. … så potensopløftning og roduddragning …

3. … så multiplikation og division …

4. … og til sidst addition og subtraktion.

Eksempel:

(2 + 4) 2 + 2 · 9 – 3 · (2 3 – 3)

= 6 2 + 2 · 9 – 3 · ( 8 – 3) Først udregnes udtrykkene i de to parenteser (efter regnings= 6 2 + 2 · 9 –3 · 5 arternes hierarki).

= 36 + 2 · 3 – 3 · 5 Dernæst potenser og rødder.

= 36 + 6 – 15 Så multiplikation og division.

= 27 Og til sidst addition og subtraktion.

Led og faktorer

Ved længere regneudtryk er det nyttigt at kunne danne sig et overblik og skabe struktur. I den forbindelse taler vi om led og faktorer .

Led adskilles af addition eller subtraktion, og faktorer adskilles af multiplikation.

Udtrykket

(2 + 4) 2 + 2 · 9 – 3 · (2 3 – 3)

består af tre led: (2 + 4) 2, 2 · 9 og 3 · (2 3 – 3). Det andet led består af faktorerne 2 og 9 , og det tredje led består af faktorerne 3 og (2 3 – 3). Den sidste faktor i tredje led består selv af to led: 2³ og 3.

Addition, nul og fortegn

Der gælder, at:

a + 0 = a og a + (– a ) = 0

Bemærk, at man ikke skriver to regnetegn ved siden af hinanden i matematik. Derfor sættes det negative tal i en parentes, når det eksempelvis skal lægges til.

Multiplikation, nul, ét og gangetegn

Der gælder, at:

a · 0 = 0 og a ·1 = a og a · 1 a = 1 for a ≠ 0

Gangetegn udelades ofte, når det ikke kan misforstås.

For eksempel vil vi ofte skrive:

a 2 + 2 ab frem for a 2 + 2 · a · b

men begge dele er helt korrekt.

Den kommutative lov

Man må bytte rundt på rækkefølgen af tallene, når man adderer eller multiplicerer:

Multiplikationsregler for fortegn

(+) · (+) = (+)

(–) · (+) = (–)

(+) · (–) = (–)

(–) · (–) = (+)

Eksempel:

a + b = b + a 7 + 4 = 4 + 7

a · b = b · a 5 · 2 = 2 · 5

Den associative lov

Man må addere eller multiplicere flere tal sammen i den rækkefølge, man har lyst til:

( a + b ) + c = a + ( b + c )

( a · b ) · c = a · ( b · c )

Den distributive lov

Man må gange et tal med en parentes ved at gange tallet med hvert led i parentesen:

Eksempel:

(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)

Eksempel:

a · ( b + c ) = a · b + a · c 3 · (2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4

Vi siger, at tallet a ”ganges ind i parentesen”. Loven kan også anvendes ’den anden vej’. Vi siger da, at tallet a ”sættes uden for parentes”.

Parenteser

(1) a + ( b – c ) = a + b – c En parentes med et plus foran hæves uden videre.

(2) a – ( b – c ) = a – b + c

Når en parentes med et minus foran hæves, skifter leddene i parentesen fortegn.

(3) ( a + b ) · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd To parenteser ganges sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden.

Kvadratsætningerne

Når et tal opløftes i anden potens, kan man også sige, at man udregner ”kvadratet på tallet”. Derfor betegnes reglerne herunder samlet som kvadratsætningerne .

(1) ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab Kvadratet på en sum.

(2) ( a – b ) 2 = a 2 + b 2 – 2 ab Kvadratet på en differens.

(3) ( a + b ) · ( a – b ) = a 2 – b 2 To tals sum gange de samme to tals differens.

Eksempel:

( x – 3 y ) 2 = x 2 + (3 y 2) 2 –2 · x · 3 y = x 2 + 9 y 2 – 6 xy

a b a 2 b 2 a b { } { } { } { } { } { } { } 3 { } { } { } { } { } { } { } 3 { } { } { } { } { } { } { } 3 { } { } { } { } { } { } { } 3 { } { } { } { } { } { } { } 3 { } { } { } { } { } { } { } 3

Brøker

En brøk består af en tæller , en brøkstreg og en nævner : tæller nævner

Brøkregneregler

(1) a b = ⋅ = a k a b k b == : : a a k b b k At forlænge og forkorte brøker.

(2) a b ± c b = a b ± c At addere eller subtrahere brøker med samme nævner.

(3) a b + c d = a d b d ⋅ + b c b d = a d b c b d ⋅ + ⋅ At addere brøker, der har forskellige nævnere.

(4) c · a b = a c a b b At multiplicere et tal med en brøk.

(5) a b · c d = a c b d At multiplicere to brøker.

(6) a b : c d = a b · d c = a d b c ⋅ At dividere en brøk med en brøk.

Potenser og kvadratrødder

Potenser

a n kaldes en potens med grundtallet a og eksponenten n

Potensregneregler

(1) a n a m = a n+m

(2) a n a m = a n–m

(3) ( a n ) m = a n m

(4) ( a · b ) n = a n b n

(5) a b n = a n b n

(6) a 0 = 1

(7) a –n = 1 a n

(8) a n m = a m n

Kvadratrødder

Kvadratroden , a , af et tal a er det tal b ≥ 0, der ganget med sig selv giver a :

a = b er ensbetydende med b 2 = a

Eksempel:

9 = 3 da 3 2 = 9

Ligningen x 2 = 4 kan løses ved hjælp af kvadratrødder:

x = ± 4 = ± 2

Bemærk, at ligningen har to løsninger, idet både 2 2 = 4 og (–2) 2 = 4.

Regneregler for kvadratrødder

(1) a b = a · b

(2) a b = a b

2. Lineære funktioner

2.1 Lineære funktioner og deres grafer

1 Introduktion

Trykket ved havoverfladen er omkring 1 atmosfære. For hver meter, man bevæger sig ned i vandet, vokser trykket med 0,1 atmosfære.

Det giver den lineære sammenhæng f ( x ) = 0,1 · x + 1 mellem dybden og trykket. Her er x det antal meter, man har bevæget sig ned under havoverfladen, og f ( x ) er trykket i enheden atmosfære.

2 Definition

En lineær funktion har en regneforskrift af typen f ( x ) = a x + b

hvor a og b er reelle tal. Tallet a kaldes hældningskoefficienten , og tallet b kaldes konstantleddet

3 Eksempel

I tabellen ses trykket for forskellige dybder. På figuren er grafen for funktionen f fra introduktionen tegnet for x ≥ 0.

prx.dk/f5bm3

Bemærk, at f (0) = 1, svarende til at trykket ved overfladen (i dybden 0 meter) er 1 atmosfære.

Bemærk også, at f ( x ) vokser med præcis 0,1, når x vokser med 1, svarende til at trykket vokser med 0,1 atmosfære pr. meter.

4 Sætning

For en lineær funktion f vokser f ( x ) med et fast tal, hver gang x vokser med et fast tal. Grafen for en lineær funktion er derfor en ret linje.

5 Eksempel

En høj person tager lange skridt, når han går. Hver gang han tager ét skridt, kommer han 1,5 meter frem.

Vi kan modellere sammenhængen mellem antal skridt og tilbagelagt afstand med funktionen f ( x ) = 1,5 x , hvor x er antal skridt, og f ( x ) er afstanden i meter.

Bemærk, at en x -tilvækst på 1 enhed giver en f ( x )-tilvækst på 1,5 enhed. Det er netop betydningen af konstanten a .

I tabellen ses det ved, at når x-værdierne vokser med 1, så vokser funktionsværdierne med 1,5.

6 Matematisk modellering af lineære forhold

I situationer, hvor et eller andet vokser eller aftager med en bestemt værdi, når noget andet vokser med 1 (for eksempel et beløb, der stiger, hver gang du køber en liter benzin mere, en afstand, der bliver større, hver gang du tager et skridt mere, og så videre), kan situationen modelleres med en lineær funktion f ( x ) = a x + b .

Det første skridt i en sådan modellering er at indføre variable og oversætte den virkelige problemstilling til matematisk symbolsprog.

7 Eksempel

På en given crosstrainer forbrændes 60 kJ pr. minut. Vi sætter variablen x til antal minutter, og f ( x ) til den samlede forbrænding i kJ. Den samlede forbrænding kan nu modelleres med funktionen f ( x ) = 60 x , hvor tallet 60 er det antal kJ, den samlede forbrænding vokser med, hver gang der går et minut.

Vi har antaget, at der trænes med en konstant intensitet.

8 Eksempel

Hvis der allerede var forbrændt 210 kJ på opvarmningen, og vi gerne ville regne opvarmningen med i den samlede forbrænding, bliver funktionen f ( x ) = 60 x + 210, idet vi blot lægger de 210 til. Ud fra forskriften for f kan vi aflæse værdien af konstanterne a og b . Vi aflæser: a = 60 og b = 210.

9 Øvelse

a. Udfyld resten af tabellen for f ( x ) = 3 x + 1.

b. Tegn grafen for f.

10 Øvelse

Opstil regneforskrifter for de lineære funktioner, der kan være matematiske modeller for følgende situationer:

a. Prisen for småkager er 3 kr. pr. styk købt hos en bager, hvor x er antal kager, og f ( x ) er den samlede pris i kr.

b. Prisen for et givent antal liter benzin til 14,50 kr. pr. liter købt på en tankstation.

c. Afstand gået af en person med en skridtlængde på 1,2 m, der har taget et givent antal skridt.

d. Vandmængden i et badekar, hvor der er 200 liter i begyndelsen, hvorefter der løber 5 liter ud, for hvert minut der går.

2.2 Beregning af a og b i forskrif ten f (x) = a ⋅ x + b

11 Introduktion

En klasse vil spare op til en vandretur i Norge. Efter 2 måneder har de 800 kr. i klassekassen, og efter 7 måneder har de 2200 kr. Hvis de fortsætter med den samme opsparingshastighed, hvor mange penge har de så efter 18 måneder (det vil sige midt i 2.g)?

Inden klassekassens saldo bestemmes, vil vi se på to nyttige sætninger, der handler om at bestemme regneforskriften for en lineær funktion.

Vi begynder med, hvordan man kan bestemme hældningskoefficienten for en lineær funktion ud fra koordinaterne til to punkter på funktionens graf.

Du kan læse mere om punkter og koordinatsystemet på s. 17-18 i værktøjskassen.

12 * Sætning: Bestemmelse af hældningskoefficienten a

Hvis to forskellige punkter ( x1 , y1) og ( x2 , y2) ligger på grafen for en lineær funktion f ( x ) = a · x + b , kan hældningskoefficienten a beregnes med formlen:

13 Eksempel

Grafen for en lineær funktion, f , går gennem punkterne ( x1 , y1) = ( 2 , 3 ) og ( x2 , y2) = ( 6 , 5 ). Vi beregner hældningskoefficienten:

Hældningskoefficienten er dermed

Når hældningskoefficienten a er beregnet, kan konstantleddet b beregnes ud fra følgende sætning:

14 * Sætning: Bestemmelse af konstantleddet b

Når a er kendt, og punktet ( x1 , y1) ligger på grafen for den lineære funktion f ( x ) = a · x + b , kan konstantleddet b beregnes med formlen:

* Stjernen markerer, at beviset for en sætning findes i afsnittet "Ræsonnementer og beviser".

Klassens saldo i kr.

15 Eksempel

I eksempel 13 beregnede vi hældningskoefficienten til 1 2 . Vi vil nu beregne konstanten b for denne funktion. Vi vælger derfor et vilkårligt kendt punkt på grafen, eksempelvis ( 2 , 3 ), og indsætter det i formlen i sætning 14:

= 2 (konstanten b er således 2)

Konstanterne a og b i forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne ( x 1 , y1) = (2,3) og ( x 2 , y2) = (6,5), er altså a = 1 2 og b = 2. Dermed er forskriften

16 Eksempel

I introduktionen kan vi lade x betegne antallet af måneder, siden klassens opsparing begyndte, og f ( x ) betegne klassens opsparing i kr. Da opsparingshastigheden forbliver den samme, er f en lineær funktion.

Konstanterne a og b i forskriften for f kan beregnes ved hjælp af sætning 12 og sætning 14, idet oplysningerne i introduktionen svarer til punkterne (2,800) og (7,2200):

2200 800 1400 7 2 5 280 a = = = og b = 800 – 280 2 = 800 – 560 = 240

Forskriften for f er derfor f ( x ) = 280 x + 240, og klassens opsparing efter 18 måneder kan findes ved beregningen

f (18) = 280 18 + 240 = 5564 + 240 = 5280

Efter 18 måneder har klassen sparet 5280 kr. op.

17 Øvelse

Beregn konstanterne a og b for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a. (1,3) og (4,9) b. (3,5) og (5,17)

18 Øvelse

a. Beregn hældningskoefficient og konstantled for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne (1,7) og (4,22).

b. Bestem forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem (–1,0) og (1,4).

19 Øvelse

Prisen for en tur med en bestemt cykeltaxa er en lineær funktion af antal kørte km. En tur på 2 km koster 35 kr., og en tur på 5 km koster 65 kr. Antal kørte km betegnes x , og prisen i kr. for turen betegnes f ( x ). Regneforskriften for f er af typen f ( x ) = a · x + b

a. Brug oplysningerne til at beregne konstanterne a og b .

b. Hvor meget koster taxaturen pr. km?

c. Bestem taxaens startpris.

d. Kan man køre en tur på 10 km for 120 kr.?

Klassens saldo i kr.

2.3 Lineære modeller

20 Introduktion

En økologisk høne kan lægge 306 æg om året. Hvor mange æg kan x økologiske høns lægge? Vi vil opstille en model for dette og bruge modellen til at besvare forskellige spørgsmål.

21 Lineære modeller

En lineær model tegnes som en ret linje , og med symboler skrives den således f ( x ) = a x + b

22 Eksempel

Vi vil opstille en lineær model for, hvor mange æg man kan få ved varierende antal økologiske høns. Først indfører vi to variable:

2 4 6 8 10 12

Modellen med ægproduktionen hos de økologiske høns er en erfaringsbaseret model , fordi det ikke er en naturlov, at en høne lægger 306 æg om året. Det er en observation. Erfaringsbaserede modeller kaldes også empiriske modeller . I modsætning hertil står de mere teoretiske modeller. 5

Den ene variabel kaldes x og angiver antallet af økologiske høns i hønseholdet. Den anden variabel kaldes f ( x ) og betegner det samlede antal æg pr. år. Vi antager, at alle høns lægger det samme antal æg om året. Når antallet af høns ganges op, vokser antallet af æg med samme faktor. Så hvis man ved, at 1 høne kan lægge 1 306 æg om året, kan 2 høns lægge 2 306 = 612 æg om året, og x høns kan lægge x · 306 æg om året.

• Vi får dermed følgende model: f ( x ) = x 306. Skrevet på formen f ( x ) = a x + b bliver det f ( x ) = 306 · x eller kort: f ( x ) = 306 x .

• Modellen kan bruges til at forudse, hvor mange æg man vil få om året med 10 høns: f (10) = 306 · 10 = 3060

Altså 3060 æg om året.

• Modellen kan også bruges til at løse problemer: Hvor mange høns skal man have for at få en årlig produktion på 5000 æg?

Her drejer det sig om at løse ligningen: 5000 = 306 x

5000 = 306 x Ligningen, der skal løses.

5000 306 x = Der er divideret med 306 på begge sider. x = 16,33 Brøken er beregnet og afrundet.

Det er altså nødvendigt med 17 høns for at få 5000 æg om året. (Der findes ikke brøkdele af en høne, så vi må op på 17 hele høns for at få mindst 5000 æg).

Antal æg pr. år

23 Definition

En model, der udelukkende opstilles på baggrund af teori, matematik og logik, kaldes en teoribaseret model .

24 Eksempel

Vi vil opstille en model for omkredsen O af en cirkel som funktion af diameteren d Fra definitionen af tallet p ved vi, at dette tal netop er forholdet mellem omkreds og diameter: O d = π .

p d = O d d d O = ⋅ = π d = O Vi isolerer O ved at gange med d på begge sider.

Vores model bliver så O = p · d , som er en lineær model med d som uafhængig variabel og O som den afhængige variabel. I denne model er a = p og b = 0.

25 Øvelse

a. Brug modellen O = p · d , hvor O er omkreds, og d er diameteren, til at beregne omkredsen af et racercykelhjul, hvor diameteren er 64 cm.

26 Øvelse

En flade har form som et kvadrat, men sidelængden kan variere, så den betegnes med en variabel x .

a. Opstil en model for omkredsen O af fladen udtrykt ved sidelængden x .

b. Er modellen lineær?

27 Øvelse

En have har form som et rektangel. Længden af den ene side er konstant 5 m, mens længden af den anden side kan variere.

a. Opstil en model for omkredsen O af haven udtrykt ved de to sidelængder.

b. Er modellen lineær?

28 Øvelse

En voksen person forbrænder i gennemsnit 0,15 promille alkohol pr. time.

a. Opstil en matematisk model for den samlede alkoholpromille, f ( x ), der bliver forbrændt, som funktion af tiden, x , målt i timer.

b. Brug modellen til at bestemme, hvor lang tid det tager at forbrænde 1 promille.

29 Øvelse

På en indisk restaurant er der et grundgebyr på 75 kr. pr. person, og herefter betaler man 15 kr. pr. 100 gram mad, der bestilles.

a. Opstil en model for den samlede pris pr. person som funktion af antal hundrede gram, der bestilles.

b. Benyt modellen til at beregne, hvor mange gram der kan bestilles, hvis man har 150 kr.

Aktiekurs i $

10 År efter 2009

1 2 3 4 5

2.4 Lineær regression

30 Introduktion

Vi vil gerne opstille en model for udviklingen af aktiekursen for kaffebarkæden Starbucks. Vi har en formodning om, at en lineær model er god, men hvordan kan vi undersøge det?

31 Empiriske modeller

En model, der opstilles på baggrund af målte data, kaldes en empirisk model . En empirisk model er et bud på en sammenhæng mellem de variable, modellen omhandler.

32 Eksempel

Tabellen viser aktiekursen for Starbucks i årene 2009 til 2014. Bemærk, at vi i tabellen har skrevet "år efter" 2009. Det betyder eksempelvis, at det første tal i øverste række skal være 0, idet 2009 er 0 år efter 2009.

År efter 2009 0 1 2 3 4 5

Aktiekurs i $ 7,26 12,18 20,10 26,66 32,76 38,96

Tegner vi sammenhørende værdier af "år efter 2009" og "aktiekurs i $" ind som punkter i et koordinatsystem, ser vi, at punkterne med god tilnærmelse følger en ret linje.

Når en række datapunkter som her grupperer sig tilfældigt omkring en ret linje, og afvigelserne er små og usystematiske, kalder man sammenhængen tilnærmelsesvis lineær

Aktiekurs i $

f (x) = 6,48x + 6,79

10 År efter 2009

1 2 3 4 5

33 Lineær regression

En mere præcis modelbeskrivelse af punkterne i eksempel 32 kan skaffes ved lineær regression . Ved lineær regression bestemmes forskriften for den lineære funktion, hvis graf passer bedst muligt med punkterne.

34 Eksempel

Figuren viser resultatet af en lineær regression udført på dataene ovenfor. Regressionsmodellen er f ( x ) = 6,48 x + 6,79, hvor x er antal år efter 2009, og f ( x ) er aktiekursen i $.

Ud fra modellen kan vi eksempelvis konkludere, at aktiekursen i gennemsnit er vokset med 6,48 $ om året i perioden fra 2009 til 2014.

Vi kan også bruge modellen til at komme med en prognose, det vil sige en forudsigelse om, hvordan aktiekursen vil udvikle sig i fremtiden. I 2025 (svarende til x = 16) får vi

f (16) = 6,48 · 16 + 6,79 = 110,47

Aktiekursen vil ifølge modellen være 110,47 $ i år 2025.

Man skal altid være meget forsigtig med at bruge denne slags modeller til forudsigelser, for det er langtfra sikkert, at udviklingen vil fortsætte på samme måde.

35 Vurdering af lineær regressionsmodel ud fra punktplot

Når man udfører lineær regression, bør man altid tegne et punktplot sammen med regressionslinjen (modellen).

Vi kan se, at regressionen i figur A er gået godt, idet punkterne ligger tæt omkring linjen.

Sammenlignet med figur A er der i figur B meget mere støj, men vi kan se, at regressionslinjen stadig er en udmærket model for datapunkterne.

Der er ingen sammenhæng mellem de to variable i figur C. y -værdierne forbliver cirka de samme, selvom x -værdierne ændres.

Punkterne i figur D ligger ikke på en ret linje. Derfor er lineær regression et forkert valg, og man skal i stedet finde en anden type model.

36 Eksempel

I en løbeklub blev 40 medlemmer spurgt, hvor mange måneder de havde trænet, x , og man målte samtidigt deres fedtprocent, y .

Resultatet ses i punktplottet, hvor der også er lavet lineær regression. Vi tolker forsigtigt, at fedtprocenten falder, jo længere man har trænet.

37 Øvelse

Et band har lagt en musikvideo på YouTube og har registreret udviklingen i antal afspilninger i ugerne efter upload. Vi antager i første omgang, at udviklingen er lineær.

Uger efter upload 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tusind afspilninger 140 192 241 284 328 367 401 430 451

a. Lav lineær regression til tabellens tal, og bestem derved a og b. b. Lav et punktplot af dataene sammen med regressionslinjen, og giv en vurdering af modellen på baggrund af disse.

2.5 Ræsonnementer og beviser

38 Introduktion

Et bevis kan rumme svaret på spørgsmålet ”Hvorfor gælder den her formel?”. I dette afsnit skal vi se nærmere på definitioner , sætninger og beviser

En definition kan sammenlignes med en navngivning. En sætning derimod er en påstand, der er sand, fordi der findes et matematisk bevis for den. Herunder ses definitionen, som indledte dette kapitel.

[2 Definition ]

En lineær funktion har en regneforskrift af typen

f ( x ) = a ⋅ x + b

hvor a og b er reelle tal. Tallet a kaldes hældningskoefficienten , og tallet b kaldes konstantleddet

Definitionen fastlægger først og fremmest, hvad vi forstår ved en lineær funktion. Derudover fortæller den os også, hvordan vi skal benævne konstanterne a og b i en sådan funktion. Men definitionen fortæller os ikke, hvad konstanterne kan bruges til, eller hvilke egenskaber de har.

Det gør følgende sætning til gengæld, der omhandler en bestemt egenskab ved a

prx.dk/56fj4

y2 f y1 x2 x1

[12 Sætning ]

Hvis to forskellige punkter ( x1 , y1) og ( x2 , y2) ligger på grafen for en lineær funktion

f ( x ) = a · x + b , kan hældningskoefficienten a beregnes med formlen:

2 1 2 1 y x y x a =

Vi har tidligere anvendt denne formel til beregning af konstanten a . Men hvordan kan vi give et argument for, at formlen faktisk virker? Hertil må vi have et argument, som er overbevisende for alle, der har de matematiske forudsætninger. Det er det, vi i matematikken kalder et bevis .

39 Bevis for sætning 12

y1 = ax1 + b Koordinaterne ( x1 , y1) skal passe i ligningen y = ax + b, y2 = ax2 + b og det skal koordinaterne ( x2 , y2) også.

y2 – y1 = ax2 + b – y1 Vi har trukket y1 fra på begge sider af lighedstegnet.

y2 – y1 = ax2 + b – ( ax1 + b ) y1 er blevet erstattet af ax1 + b på højre side.

y2 – y1 = ax2 + b – ax1 – b Parentesen er blevet hævet.

y2 – y1 = ax2 – ax1 "+ b " og "– b " på højre side udlignede hinanden.

y2 – y1 = a ( x2 – x1) Vi har sat a uden for parentes (a er en faktor i begge led).

2 1 2 1 x y y x a = Der er blevet divideret på begge sider med tallet x2 – x1 Hermed er sætningen bevist.

Definition 2 fortalte os, at b i regneforskriften for en lineær funktion kaldes konstantleddet, og sætning 14 angav en egenskab ved konstantleddet.

[14 Sætning ]

Når a er kendt, og punktet ( x1 , y1) ligger på grafen for den lineære funktion

f ( x ) = a · x + b , kan konstantleddet b beregnes med formlen:

b = y1 – a · x1

40 Bevis for sætning 14

y1 = ax1 + b ( x1 , y1) ligger på grafen for f og skal så passe i y = ax + b.

y1 – ax1 = b ax1 er blevet trukket fra på begge sider af lighedstegnet. Hermed er sætningen bevist.

41 Sætning

I forskriften f ( x ) = a x + b angiver hældningskoefficienten, a , hvor meget y -værdien vokser med , når x vokser med 1.

42 Bevis for sætning 41

f ( x + 1) = a ( x + 1) + b x + 1 er blevet indsat på x ’ets plads i f ( x ) = a · x + b.

= ax + a ·1 + b Vi har ganget a ind i parentesen.

= ax + a + b a · 1 = a.

= ax + b + a Rækkefølgen af a og b er blevet ændret.

= f ( x ) + a Vi har erstattet ax + b med f ( x ).

Det vil sige, at f ( x ) vokser med tallet a , når vi lægger 1 til x -værdien.

Hermed er sætningen bevist.

43 Sætning

I forskriften f ( x ) = a · x + b angiver konstantleddet, b , grafen for f' s skæring med y –aksen.

44 Bevis for sætning 43

På y -aksen har alle punkter x -koordinaten 0. Vi indsætter 0 på x ’s plads og udregner funktionsværdien:

y = f (0) = a · 0 + b = 0 + b = b

prx.dk/xwzqf

prx.dk/j8qr3

Linjen med ligningen y = a · x + b går altså altid gennem punktet (0, b ), og hermed er sætningen bevist. 1 a b

prx.dk/zrc3b

Opgaver – 2. Lineære funktioner

prx.dk/cwknp

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 201

a. Hvilke to af figurerne viser grafer for lineære funktioner? 1. 2. 3. 4. y y

Opgave 202

Angiv a og b , såfremt der er tale om lineære funktioner.

a. f ( x ) = –2 x  + 4

b. f ( x ) = 2 x 3

c. f ( x ) = 5 +  x 2

d. f ( x ) = 1 x + 4

e. f ( x ) = 9 x – 5

Opgave 203

a. En graf for en lineær funktion går gennem (1,5) og (2,7). Tegn den.

b. Går grafen gennem punktet (3,8)?

Opgave 204

a. Tabellerne repræsenterer hver deres lineære funktion. Tegn tabellerne af, og udfyld de tomme felter.

1. 2. x 0 1 2 3 y 2 4 8 x –1 0 1 2 y 0 3 9

3. 4. x 0 1 2 3 y 1 7 10 x –2 0 2 3 y 2 8 14

b. Fuldfør, for hver tabel, sætningen: ”Når x vokser med 1, så vokser y med _ _ _ _ _ ."

Opgave 205

a. Udf y ld en tabel som den nedenstående, og tegn grafen for f ( x ) = 3 x – 2. x –5 0 2 5 7

f ( x )

Opgave 206

Tegn graferne for følgende fire lineære funktioner i samme koordinats y stem:

a f ( x ) = 1 2 x  + 2

b . f ( x ) = –2 x  + 2

c. f ( x ) = 1 2 x – 2

d. f ( x ) = –2 x

Opgave 207

a. Vis, ved beregning, at grafen for f ( x ) = 6 x  + 3 går gennem punktet (0,3).

b. Vis, ved beregning, at grafen for f ( x ) = 45 x  + 114 går gennem (0,114).

Opgave 208

Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at den går gennem punktet (0,3).

a. Argumentér for, hvilken af disse tre forskrifter der vil passe med grafen.

f ( x ) = 2 x  + 1

g ( x ) = 3 x

h ( x ) =  x  + 3

Opgave 209

En pige sælger is på stranden. Hun tjener 8 kr. på hver is, men skal betale 100 kr. for leje af køleboksen.

a. Opskriv hendes fortjeneste som en lineær funktion af antal solgte is.

b. Beregn fortjenesten ved salg af 56 is.

c. Tegn grafen for funktionen.

d. Brug grafen til at finde ud af, hvor mange is hun skal sælge for at have en positiv fortjeneste.

Opgave 210

En brandsprøjte indeholder 15000 liter vand og sk y der 750 liter ud i minuttet, indtil den er tom.

a. Opskriv vandmængden y i brandsprøjten (i liter) som en funktion af tiden x (i minutter efter at sprøjten tændes).

b. Hvor mange minutter går der, før beholderen indeholder 4000 liter?

c. Hvis sprøjten starter kl. 13:00, hvad tid løber den så tør?

Opgave 211

a. Tegn et koordinatsystem, og afsæt punkterne (–3,2) og (3,–1).

b. Tegn den linje, som går gennem de to punkter.

c. Ligger punktet (1,2) på linjen?

d. Gør (–1,1)?

e. Passer punkterne (–3,2) og (3,–1) ind i ligningen y  = 10 x – 3?

f. Passer punkterne (–3,2) og (3,–1) ind i ligningen y  = –0,5 x  + 0,5?

g. Hvilken regneforskrift passer til grafen, som du tegnede i spørgsmål b?

Opgave 212

Bestem a og b for de lineære funktioner

f ( x ) =  a · x  +  b , hvor grafen går gennem punkterne:

a. (2,4) og (4,6)

b. (0,–1) og (5,4)

c. (–2,–2) og (4,10)

d. (2,7) og (5,10)

e. (–2,7) og (5,–10)

f. (–3,5) og (–4,12)

g. (1.00,3.765) og (1.003,3.761)

Opgave 213

En bonde har en ko. Den spiser 60 kg foder om dagen.

a. Udfyld en tabel som nedenstående, der illustrerer sammenhængen mellem antallet af dage, der er gået, siden optællingen startede, og den mængde foder (i kg), koen har spist.

x (antal dage) 0 10 30

y (antal kg) 1200 3000

b. Opskriv en formel, der beregner, hvor meget foder han skal købe ind til x dage.

Koen giver 26 liter mælk om dagen.

c. Opskriv en forskrift for den funktion, der beskriver antal liter, den giver på x dage.

En anden bonde har 80 lige så højtydende køer.

d. Hvad kan han udregne med forskriften

m ( x ) = 80 · 26 · x?

Opgaver – 2. Lineære

Opgave 214

a. Hvorfor kan man ikke finde hældningskoefficienten for en linje, der går gennem (3,5) og (3,7)?

Opgave 215

a. Aflæs a og b på nedenstående tre grafer.

Opgave 216

En lystfisker fanger hornfisk. Han ved af smertelig erfaring, at rensningen og nedpakningen i fryseposer tager ham 12 minutter pr. fisk. Vi betegner nu antallet af fisk med x . Så tager det x 12 minutter at rense fangsten på x styk fisk.

a. Hvad betegner f ( x ) i ligningen f ( x ) = 12 · x ?

b. Han havde glemt at indregne de 5 minutter, det tager at gøre køkkenbordet klar til rensningen. Hvad kan han regne ud med denne funktion: g ( x ) = 12 x  + 5?

c. Hvor lang tid skal han rense fisk, hvis han fanger 15 hornfisk?

d. Hvad bliver forskriften, hvis han i stedet fanger sild, som han kan rense på 2 minutter pr. st y k?

Opgave 217

I koordinatsystemet ses graferne for de to funktioner f og g givet ved

f ( x ) =  –4 x  + 3 og g ( x ) = –3 x  + 2

a. Aflæs skæringspunktet mellem graferne.

b. Beregn skæringspunktet mellem graferne.

Opgave 218

Beregn skæringspunktet mellem graferne for

a. f ( x ) = 7 x – 3 og g ( x ) = 4 x  + 9

b. f ( x ) = –2 x  + 2 og g ( x ) = 3 x – 8

c. f ( x ) = –7 x  + 27 og g ( x ) = 3 x  + 17

Opgave 219

a. Bestem forskrifterne for de to lineære funktioner på figuren.

b. Bestem koordinaterne til skæringspunktet, og kontrollér dem ved indsættelse i forskrifterne.

Opgave 220

Tabellen viser antal bekendtgjorte tvangsauktioner over ejendomme i Danmark i årene 2010 til 2023.

Kilde: Danmarks Statistik.

År efter 2010 Antal tvangsauktioner

a. Lav et punktplot over dataene. Sæt år efter 2010 på x -aksen og antal tvangsauktioner på y -aksen.

b. Lav lineær regression til dataene, og aflæs forskriften for regressionsmodellen.

c. Vurdér på baggrund af punktplottet og regressionslinjen, om den lineære model ser ud til at være god.

d. Giv en fortolkning af konstanterne a og b fra forskriften.

Opgave 221

Tabellen viser det samlede antal årlige arbejdstimer (i millioner) i Danmark indenfor byggeog anlægsbranchen i årene 2013 til 2023.

Kilde: Danmarks Statistik.

År efter 2013 Millioner timer

a. Lav et punktplot over dataene. Sæt år efter 2013 på x -aksen og antal millioner timer på yaksen.

b. Lav lineær regression til dataene, og aflæs forskriften for regressionsmodellen.

c. Vurdér på baggrund af punktplottet og regressionslinjen, om den lineære model ser ud til at være god.

d. Giv en fortolkning af konstanterne a og b fra forskriften.

Kapitel 1

6

a. 25 x = 125

b. x = 5

7

a. 19 år

b. x + 4 år

8

a. Variablen kan eksempelvis være n for antal år.

b. n – 8

c. 2 n – 8

d. 2 n – 8 = 30. n =19

e. Du er 19 år, og din hund er 11 år.

15

a. 4 · 2 = 8

b. 4 · 5 ≠ 8

16

a. x = 5

b. x = 1

c. x = –1

17

a. x = 2

23

a. Første kvadrant og tredje kvadrant.

24

a. x –1 0 1 2 3 f ( x ) –3 0 3 6 9

Kapitel 2

10

a. f ( x ) = 3x

b. f ( x ) = 10,50 x , hvor x er antal liter benzin, og f ( x ) er den samlede pris i kr.

c. f ( x ) = 1,2 x , hvor x er antal skridt, og f ( x ) er den tilbagelagte afstand i m.

d. f ( x ) = –5 x + 200, hvor x er antal minutter, og f ( x ) er antal liter, der er tilbage i badekarret.

17

a. a = 2, b = 1.

b. a = 6, b = –13.

18

a. Hældningskoefficienten er 5, og konstantleddet er 2.

b. f ( x ) = 2 x + 2

19

a. a = 10, b = 15.

b. 10 kr.

c. 15 kr.

d. Ja. En tur på 10 km koster 115 kr.

25

a. 201 cm

26

a. O = 4 x

b. Ja.

27

a. O = 2 x + 10

b. Ja.

28

a. f ( x ) = 0,15 x

b. Ca. 6,67 timer eller 6 timer og 40 minutter.

29

a. f ( x ) = 15 x + 75

b. 500 gram.

37

a. a = 39,4 og b = 157

Antal 1000 afspilninger

b. 1 2 3 4 5 6 7 8 400

100 f (x) = 39,4 x + 157

Antal uger

Punkterne ligger tæt på den rette linje. Men når man ser på punktplottet, kan man se, at punkterne ligger over linjen i midten af intervallet og under linjen i enderne af intervallet. Det kunne tyde på en systematisk afvigelse, og det tyder på, at vi skal være forsigtige med at bruge en lineær model her.