LA DIAGONAL
Nuria Cebriรกn Lidia Sanz Paula Vรกzquez
1. INTRODUCCIÓN En este trabajo vamos a ampliar la información que tenemos ya sobre las diagonales buscando su definición, su etimología y su relación con los polígonos y los poliedros. También sus usos en la vida cotidiana y curiosidades. A lo largo de este trabajo se observan varias imágenes y explicaciones que nos ayudarán a entender las funciones de la diagonal.
2. DEFINICIÓN DE DIAGONAL La diagonal se refiere a todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro. En un sentido más amplio, una diagonal es una recta o segmento con una cierta inclinación o un conjunto de elementos alineados de esta manera.
3. ETIMOLOGÍA DE LA PALABRA DIAGONAL La palabra diagonal proviene del griego διαγωνιος (diagonios), utilizada tanto por Estrabón como por Euclides para referirse al segmento que conecta dos vértices de un rombo o cuboide, y formada por dia- ("a través") y gonia ("ángulo", relacionada a gony, "rodilla"), luego adoptada en latín como diagonus ("recta enfocante").
4. DIAGONALES DE POLÍGONOS
4.1 Calculo del número de diagonales Nº Lados
Nº Diagonales
Triángulo
3
d 3= 0
Cuadrilátero
4
d4=2
Pentágono
5
d5= 2+3=5
Hexágono
6
d6= 2+3+4=9
Heptágono
7
d7 = 2+3+4+5=14
Polígono
n
2+3+4+5+....+(n-2)
Cuadrilátero Pentágono
Hexágono
Triángulo
El mostrado a continuación es un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono cualquiera. 1. Imagina un polígono de n lados (n vértices). 2. De cada vértice salen n-3 diagonales, ya que a él mismo y a los dos contiguos no hay diagonal. Tenemos por tanto, n vértices · (n-3) diagonales de cada vértice.
En este caso el hexágono tiene 6 lados por lo que tiene 3 diagonales. (6-3)
Y en esta otra figura, nos encontramos con un pentágono que tiene 2 diagonales. (5-3)
3. Con esta cuenta cada diagonal la contamos dos veces ya que sacamos todas las diagonales que tienen cada vértice, es decir la misma diagonal la nombramos dos veces, hay por tanto que dividir entre dos.
4. Por tanto un polígono de n lados tiene dn= n· (n-3)/2 diagonales. * Comprobación con un ejemplo: Tenemos un heptágono de (n = 7). d7 = 7· (7 – 3) / 2 = 7 · 4 / 2 = 28/ 2 = 14 Esta fórmula nos permite calcular el número de diagonales de cualquier polígono sabiendo solo el número de lados.
4.2 Medida y relación de la diagonal en función del lado
El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de todos sus lados. Un cuadrado tiene los 4 lados de igual medida, entonces, si la medida de un lado es a, el perímetro (P) será la medida "a" multiplicada por 4
P = 4a
Además sabemos que la diagonal (d) de un cuadrado es igual a la medida del lado multiplicada por la raíz de 2
d = a√2
Por lo tanto, si se conoce la longitud de la diagonal "d", podemos despejar la medida del lado con la fórmula d / √2 = a
Entonces, reemplazando la "a" por d/√2 , que es lo mismo, se puede calcular el perímetro P = 4d / √2
Si te preguntas porque la diagonal de un cuadrado es igual al lado multiplicado por la raíz de 2, lo podemos comprobar con el Teorema de Pitágoras. 2 de los lados de un cuadrado, los cuales cada uno tienen medida "a" forman los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa será la diagonal (d). Entonces, aplicando el Teorema, que nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, tenemos lo siguiente:
d² = a² +a²
d² = 2a² d = √ (2a²)
d = (√2) · (√a²)
d = a√2
- La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.
- Un hexágono tiene 9 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, D = n(n − 3) / 2; siendo el número de lados n = 6, tenemos:
La suma de todos los ángulos internos de cualquier hexágono es 720 grados ó 4π radianes.
5. DIAGONALES DE POLIEDROS EN GENERAL Y DE LOS ARQUIMEDIANOS EN PARTICULAR
Poliedros regulares La diagonal de un poliedro regular se puede hallar utilizando la fórmula del Teorema de Pitágoras. (x2 + y2 = h2) y teniendo los datos de la altura del poliedro y de uno de los lados de la base (la arista). Los poliedros regulares son: Cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Ejemplo: Tenemos un cubo de lado 4 cm del cual hay que hallar su diagonal. x=4 cm y=4 cm Resolución del problema: h2= x2 + y2 h 2 = 42 + 42 h2= 32 (Ésta hipotenusa es la diagonal de la base, un cuadrado) h=√32 = 5.6568… Una vez hallada la diagonal de la base habría que hallar la diagonal del cubo con el mismo procedimiento. h2 = (√32)2 + 42= 48 cm
Poliedros irregulares o arquimedianos.
Los poliedros arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes, fueron ampliamente trabajados por Arquímedes.Son 11: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
6. USO DE LA DIAGONAL EN LA VIDA COTIDIANA - En la vida cotidiana la diagonal la utilizamos cuando en un problema matemático nos piden hallar la altura o tamaño de una persona, edificio, o cualquier otro objeto ya que utilizamos el teorema de Pitágoras. - Se denomina calle diagonal o simplemente diagonal a toda calle que, en un trazado de calles paralelas, une intersecciones rompiendo este esquema.
Avenida Diagonal de Barcelona
- También una utilidad de la diagonal que no se nos ocurrió fue en las televisiones. A la hora de comprar una tele, por ejemplo te puedes fijar en el número de pulgadas que tiene. Éstas son determinadas hallando la diagonal de los dos lados de la televisión.
7. CURIOSIDADES
Si nos damos cuenta las personas cuando vemos que viene un coche o vamos con prisa, solemos cruzar la calle en diagonal.
También es muy común que habitualmente, los sándwiches al partirlos los cortemos por su diagonal.