PROPORCIONES DE AYER Y HOY
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Proporciones de ayer y hoy
INDICE
1.- INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................3 2.- PROPORCIONES EN EL CUERPO HUMANO A LO LARGO DE LA HISTORIA..........................................3 2.1 BREVE RECORRIDO ............................................................................................................................. 3 3.- OBJETIVO .................................................................................................................................... 10 4.- PROCESO .................................................................................................................................... 11 4.1.- TOMA DE DATOS ............................................................................................................................ 11 4.2 TABULACIONES. DATOS ................................................................................................................... 13 4.3 TRATAMIENTO DE DATOS. CÁLCULO............................................................................................... 15 4.3.1. HERRAMIENTAS EMPLEADAS .................................................................................................. 15 4.3.2. PROCESOS ESTADÍSTICOS ........................................................................................................ 16 5.- RESULTADOS OBTENIDOS ............................................................................................................ 19 5.1 DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS ......................................................................................................... 19 5.2 DISTRIBUCIÓN DE LAS VARIABLES ................................................................................................... 21 5.3 DISTRIBUCIÓN NUEVAS VARIABLES ................................................................................................ 23 5.3 CONTRASTE DE HIPÓTESIS ............................................................................................................... 29 6.- ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................................... 30 7.- CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 34 8.- BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA ....................................................................................................... 35
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La proporción no se halla solamente en el número y la medida, sino también en el sonido, el peso, el tiempo y los lugares: en toda realidad existente (Leonardo da Vinci)
1.- INTRODUCCIÓN A lo largo de este curso se ha llevado a cabo en nuestro centro un proyecto que giraba en torno a la figura de Leonardo da Vinci. A raíz de un trabajo práctico en clase de matemáticas, nos planteamos como profundizar un poco más, y realizar un análisis estadístico de las proporciones en el cuerpo humano. Para ello nos basamos en los estudios realizados por Leonardo quien a su vez, recogía los trabajos de Vitrubio.
2.- PROPORCIONES EN EL CUERPO HUMANO A LO LARGO DE LA HISTORIA A lo largo de la historia, los seres humanos han buscado un modelo de belleza con el que representar en sus obras al hombre ideal. En la base de esos modelos están las proporciones. 2.1 BREVE RECORRIDO
Los egipcios ya las utilizaban a la hora de dibujar la figura humana. La altura total de la persona debía ser 22 unidades (puños). Las figuras eran planas, rígidas y de movimientos mecánicos. La cabeza y las piernas los dibujaban de perfil, mientras que los ojos, torso y brazo estaban de frente. El movimiento lo determinaban a través de la longitud existente desde la punta de un pie a la punta del otro. Una figura inmóvil, con un pie de 5,5 unidades, caminaba rápido a 10,5 unidades. También sabían otras medidas: el rostro 2 unidades, 6 o 7 unidades hasta la cintura y 11 hasta las piernas y una para la altura de los pies. Esto les permitía saber la ubicación de cualquier parte del cuerpo.
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El escultor griego Policleto (siglo V a.C.) fue el primero en escribir un tratado teórico donde recogía el sistema de proporciones que debía regir entre las diferentes partes y miembros del cuerpo humano. Este tratado recibió el nombre de kanon y la proporción utilizada se basó en la medida de la cabeza, que debía repetirse siete veces y media para conseguir la medida total del cuerpo. Este canon se puede observar en su obra Doríforo donde creó un ideal de perfección que otros imitaron después.
Fue también otro griego, Lisipo del siglo IV a.C, el que elaboró otro canon que ofrece una idealización del cuerpo humano que le da una mayor esbeltez. Esta proporción establecía que la altura del cuerpo debía ser igual a ocho veces la cabeza y es observable en su obra El Apoxiomeno. Esta proporción ha sido muy utilizada por escultores como Juan Martínez Montañes.
El griego Leocares esculpió una estatua con unas proporciones del cuerpo humano más propias de héroes y semidioses que de personas, ya que su canon sobrepasaba las ocho cabezas. Esta es la estatua Apolo de Belvedere, de ocho cabezas y media. La altura total de la escultura es de 2,24 metros.
En el canon bizantino las figuras resultaban planas y alargadas. El Manual del pintor de Monte Athos establecía que la figura humana debía tener 9 unidades. Cada unidad era equivalente a 1 rostro, por lo que una unidad era la cara, 3 unidades eran el torso, 4 las piernas, un tercio la parte superior de la cabeza, otro tercio el cuello y la misma medida para la altura del pie. En total 9 unidades que representaban el cuerpo entero.
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En el Renacimiento se volvió la mirada hacia los cánones de la Antigüedad grecorromana. La proporción del cuerpo humano fue considerada como la expresión de la armonía, lo que hizo que los artistas de la época se interesaran por ella. Leonardo Da Vinci (1452-1519) y Alberto Durero (1471-1528) realizaron numerosos estudios con la finalidad de encontrar
las medidas ideales del
cuerpo humano. Un ejemplo claro de ello lo encontramos en el hombre de Vitrubio, también conocido como el Canon de las proporciones humanas, de Leonardo da Vinci, basado en estudios realizados por Vitrubio, arquitecto romano del siglo I a.C. Por su parte, Durero en el libro tercero de su obra Los Cuatro Libros de las Proporciones Humanas describe
métodos
para
cambiar
las
proporciones
de
las
figuras,
transformaciones geométricas.
Hasta
el siglo XX no encontramos otro canon, el Modulor de Le
Corbusier. Se trata de una escala áurea doble construida a partir de la altura de un hombre de 1,83 metros convertida en sistema de medidas estándar para la construcción arquitectónica del siglo XX.
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basándose
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2.2 VITRUBIO Y LEONARDO DA VINCI
Leonardo da Vinci (1452-1519), afamado ingeniero renacentista que destacó también en muchos otros ámbitos de estudio, realizó alrededor del año 1490 su famoso dibujo que muestra la proporción ideal humana conocido como El hombre de Vitrubio (recogido en el folio 455r del Códice Atlántico) Marco Vitrubio, arquitecto de Julio César, ya había redactado en el siglo I a.C. las características anatómicas de las esculturas grecorromanas en su texto De Architectura. Basándose en esa información, Leonardo realizó su estudio anatómico en el que, tras varias investigaciones, expuso una serie de conclusiones sobre la relación de la proporción humana con las matemáticas.
He aquí los dos textos a los que hacemos referencia:
El de Vitrubio: ‹‹ Es imposible que un templo posea una correcta disposición si carece de simetría y de proporción, como sucede con los miembros o partes del cuerpo de un hombre bien formado. El cuerpo humano lo formó la naturaleza de tal manera que el rostro, desde la barbilla hasta la parte más alta de la frente, donde están las raíces del pelo, mida una décima parte de su altura total. La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio, mide exactamente lo mismo; la cabeza, desde la barbilla hasta su coronilla, mide una octava parte de todo el cuerpo; una sexta parte mide desde el esternón hasta las raíces del pelo y desde la parte media del pecho hasta la coronilla, una cuarta parte. Desde el mentón hasta la base de la nariz, mide una tercera parte y desde las cejas hasta las raíces del pelo, la frente mide igualmente otra tercera parte. Si nos referimos al pie, equivale a una sexta parte de la altura del cuerpo; el codo, una cuarta parte, y el pecho equivale igualmente a una cuarta parte. Los restantes miembros guardan también una proporción de simetría, de la que se sirvieron los antiguos pintores y escultores famosos, alcanzando una extraordinaria consideración y fama. Exactamente de igual manera, las partes de 6
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los templos deben guardar una proporción de simetría perfectamente apropiada de cada una de ellas respecto al conjunto total en su completa dimensión. El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra. Por tanto, si la naturaleza ha formado el cuerpo humano de modo que sus miembros guardan una exacta proporción respecto a todo el cuerpo, los antiguos fijaron también esta relación en la realización completa de sus obras, donde cada una de sus partes guarda una exacta y puntual proporción respecto a la forma total de su obra. Dejaron constancia de la proporción de las medidas en todas sus obras, pero sobre todo las tuvieron en cuenta en la construcción de los templos de los dioses, que son un claro reflejo para la posteridad de sus aciertos y logros, como también de sus descuidos y negligencias.››
Y el de Leonardo:
‹‹ Vitrubio el arquitecto, dice en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sigue: que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre; y estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; 7
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desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro ››
Revisando ambos textos, encontramos dos diferencias:
Vitrubio Si nos referimos al pie, equivale a una sexta parte de la altura del cuerpo;
Leonardo El pie es la séptima parte del hombre Desde el codo a la punta de la mano será
el codo, una cuarta parte
la quinta parte del hombre
Leonardo no transcribe los mismos datos en su estudio. Cambia el dato en dos proporciones, en el pie y en el codo. ¿Puede ser un error de transcripción o es un cambio voluntario?
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El primer paso fue comprobar sobre el famoso dibujo, qué proporciones se ajustan mejor, pues una posibilidad es que Leonardo hubiese realizado estas modificaciones en el texto para que reflejasen lo que él representaba en su dibujo. Para ello recurrimos al programa Geogebra que nos permite medir sobre la imagen y establecer la relación entre las longitudes.
Según lo obtenido se observa que en el caso del codo, se acerca más a la relación propuesta por Vitrubio y en el caso del pie, a la de Leonardo. Sin encontrar una respuesta que explicara esos cambios, dirigimos nuestro estudio al objeto planteado inicialmente como estudio estadístico.
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3.- OBJETIVO La pregunta que nos formulamos fue la siguiente: ¿Son estadísticamente ciertas, en la actualidad, las afirmaciones de Leonardo en su “Hombre de Vitrubio”? Es decir, si elegimos un grupo de personas ¿obtendremos valores medios semejantes a los propuestos en estos textos o serán muy diferentes? Como la cantidad de relaciones entre distintas partes del cuerpo que figuran en el documento de Leonardo da Vinci es elevado, decidimos elegir algunas y sobre ellas centramos nuestro estudio. El criterio de selección fue simplemente que resultasen sencillas de medir.
Las frases que nos fijamos como objetos del estudio fueron: ●
La longitud desde la barbilla hasta la parte superior de la cabeza de un hombre es un octavo de su estatura total.
●
La distancia de un hombro a otro es la cuarta parte de un hombre.
●
La distancia desde el codo hasta la punta de la mano constituye la quinta parte de la estatura de un hombre.
●
En una mano, si medimos desde la muñeca hasta la punta del dedo corazón obtenemos la décima parte de un hombre.
●
El pie, desde la parte posterior del talón a la punta de los dedos, constituye una séptima parte de su estatura.
Entre estas frases se encuentran las dos en las que hay diferencias entre el texto de Leonardo y el de Vitrubio, lo que nos permitirá comprobar que proporción se ajusta más a nuestros datos.
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4.- PROCESO Una vez seleccionadas las variables que íbamos a estudiar, iniciamos el proceso con la toma de datos para luego tabularlos, realizar gráficas, procesarlos y obtener resultados.
4.1.- TOMA DE DATOS
Para nuestro trabajo estadístico realizamos
mediciones de las
características seleccionadas a 114 personas, de las cuales 52 eran hombres y el resto mujeres. Las personas elegidas pertenecen a la zona de influencia del instituto. No utilizamos ningún criterio de selección por estratos de edad ni de localización en los distintos pueblos de la zona, ya que consideramos que los datos que había que obtener no se obtenían con una simple respuesta a un cuestionario sino que había que medir partes del cuerpo y eso podría haber sido un obstáculo para el desarrollo del trabajo. Se tuvo en cuenta que las personas que fueran a formar parte de este estudio fuesen personas adultas, o al menos que hubiesen hecho su desarrollo corporal. A la hora de tomar los datos, se contó con la colaboración de todos los compañeros de la clase. Cada uno se encargó de recoger la información solicitada entre sus familiares, vecinos, parientes y amigos. Para ello se establecieron una serie de pautas que permitieran realizar las mediciones con el mismo rigor. Los requisitos propuestos fueron estos: ●
Para medir la altura, se utiliza una escuadra. Se apoya un cateto contra la pared y el otro hará tope en el punto más alto de la cabeza y luego se mide con un metro.
●
Para la medición de los brazos, colocar la punta del codo contra la pared y con la ayuda de un metro anotar la medida desde la pared hasta la punta del dedo más largo (normalmente el dedo corazón).
●
Para la medición de los pies, con el pie descalzo, apoyar el talón contra una pared y anotar la distancia que hay entre ella y el dedo más largo, en este caso el dedo gordo (en la mayoría de los casos)
●
Para la medición de los hombros, situar a la persona de lado, de manera que el brazo quede pegado a la pared, y en el otro brazo apoyar una regla o una escuadra y medir desde la pared hasta esta. 11
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●
Para medir la cabeza desde la punta de la barbilla a la parte más alta de la cabeza.
●
Y para medir las manos con una regla desde la 1ª línea de la muñeca hasta el dedo más largo (normalmente el dedo corazón).
Medida del brazo
Medida del pie
Medida de los hombros
Medida de la mano
Medida de la altura
Medida de la cabeza 12
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4.2 TABULACIONES. DATOS Para la introducción de los datos se utilizó un formulario de Google Drive y así cada uno aportaba sus mediciones y estas quedaban reflejadas en la hoja de cálculo, que posteriormente se descargó para trabajar con ella en local.
Los datos obtenidos fueron los siguientes:
Sexo Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre
Altura 164 181 171 180 175 176 182 181 190 174 183 176 173 190 188 170 168 172 170 163 147 170 172 184 166 169 170 160 168 175 180 172 184 180 186 172 178 184 157 182 187 185 172
Medida Medida de hombro la cabeza hombro 20 43 22 44 27 50 30 45 22 39 22 44 23 45 20 43 20 40 23 42 24 45 23,8 45,1 21,4 47 21 50 22 48 22 41 22 50 23 51,5 22,5 41 23,5 42,5 20 42 22 48 21 50 21 63 18 49 26 44 27 39 15 43 18 49 20 52 22 43 22 41 23 43 22 43 23 42 21 43 23 43 25 43 21 47,5 22,5 48,5 23,5 49 20 45 20 45
Desde el de codo a la a punta de los Medida de la dedos mano Medida del pie 47,5 19 24 50 20 25,5 47 19 28 49 19 26 35 18 26 35 19 26 35 18 26 45 21 26 43 19 27 46 20 29 47 21 30 47,1 17,2 28 46,2 17,2 27,5 51 20 29 49 21 26 45,5 18,5 26,5 43 18 25,5 45 20 28 43,5 18,5 26 43 18,5 28 41 16 20 44 20 25 46 20 26 40 20 26 34 14 24 45 17 28 45 21 29 35 15 22,5 38 16 23 40 17 24 49 20 27 47 20 26 45 19 26 48 20,5 26,5 49,5 21 28 44 19,5 26 47,5 19,5 26,5 45 19 28 32,3 16,5 24,2 36,4 19,3 27 38 20 27,5 49 20 28 50 20 30
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Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Hombre Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer
173 158 170 182 175 163 177 170 172 157 149 156 166 160 159 163 160 167 162 175 171 170 161 174 166 170 160 161 160 152 160 157 165 157 154 150 150 153 160 165 168 158 155 164 158 165 172 157 161 162 166 168 155 156 164 176 168 169 165 164 160 158
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25 22 26 25 23 21 23 22 21 22 22 20 21 25 20 26 22 17 17 19 22 21 21 22 20,1 21,5 21 20 20 19 20,5 20,5 18 18 20 19 19 17 18 17 17 19 20 21 16 17 20 21 20 22 21,5 22 19,5 19,8 20 19 20 21 17 19 20 19
45 47 49 47 50 46 48 52 52 42 42 46 42 39 37 39 34 38 32 40 41 41 40 40 38,5 41 44 37 40 38 42 40 38 39 38 38 38 41 40 45 42 38 38 41 41 46 39 37 35 38 35 43 38,5 35 38 48 43 40 40 45 44 48
47 44 46 47 50 44,5 48 45 49 45 44 44 47 46 48 47 32 40 34 43 40 41 41 43 43 45 41 42 43 30,4 40 42 41 40,5 38,5 39,5 39,5 39 38 30 24 41 40,5 42,5 32 32 46 40 42 42,5 43 44 39,3 40,5 42 36 34,5 46 43 47 44 41
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19 18 21 21 21,5 20 21 18 20 18 17 18 19 18 15 18 18 17 15 19 18 19 18 19 17,4 18 18 16 18 15,2 17,5 18 19 17,5 15 15 15 18 17 13 11 16,5 17 18,5 14 14 20 17 17 17 18 18 16,8 17 17 19 17,8 20 18 19 18 17
28 27 28 25,5 26,5 24,5 29 25 26 24 24,5 25 26,5 23 21 24 23 24 23 25 26 26 25 27 22,6 24,5 23,5 23 22 23 24 24 24,5 23 25 21 21 22 22 23 24 24 25 25 22,5 23 24 20 24 23 23 23 22 22 24 25,5 24 25 25 26 24 25
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Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer Mujer
160 158 170 156 161 156 147 159 162
Proporciones de ayer y hoy
22 20 22 20 24 21 20 20 21
44 42 40 43 43 43 41 47 34
46 42 45 42 43 42 42 44 43
19 17 20 20,5 19 17 17 18 16,5
26 24 23,5 24 23 24 23 23,5 24
4.3 TRATAMIENTO DE DATOS. CÁLCULO
Utilizamos algunas herramientas informáticas para representar los datos y realizar los cálculos estadísticos que necesitamos en este estudio. El trabajo se ha realizado separando los datos por sexo y también se ha hecho teniendo en cuenta todos los datos en su conjunto, para comprobar si se cumple en todos, solo en las mujeres, sólo en los hombres o en ninguno de los casos.
4.3.1. HERRAMIENTAS EMPLEADAS
Como ya se ha comentado antes, la recogida de datos se realizó a través de un formulario de Google Drive. Una vez introducidos todos los datos, descargamos la hoja de cálculo al ordenador para procesarlos posteriormente.
Para realizar las operaciones de nuestro trabajo, hemos utilizado dos programas informáticos, Microsoft Office Excel 2007 y Geogebra.
Con la hoja de cálculo tabulamos la información, creamos nuevas variables para estudiar y, mediante las fórmulas pertinentes, hicimos los cálculos estadísticos. Geogebra es un programa de geometría dinámica que permite también trabajar con muchos datos. Lo usamos para representar los resultados obtenidos mediante una gráfica de dispersión y una recta que nos permitiera visualizar si los datos estaban agrupados en torno a ella.
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4.3.2. PROCESOS ESTADĂ?STICOS
Las variables iniciales que obtuvimos de las distintas mediciones fueron cabeza, hombros, codos, manos, pies y altura de cada persona. Una vez que tuvimos estos datos, realizamos la divisiĂłn entre cada una de las variables y la altura (por ejemplo, la altura de la persona entre la medida de su cabeza, etc.). Repetimos este proceso individualmente, y obtuvimos una variable nueva que representaba la relaciĂłn entre la altura de la persona y cada una de las partes de su cuerpo que fueron medidas. Necesitamos estos valores para realizar operaciones posteriores, aunque de momento nos proporcionaron informaciĂłn para saber si en cada uno de los individuos se cumplĂan las afirmaciones de Leonardo da Vinci; es decir, si la cifra obtenida se aproxima mucho a las que da Leonardo en su estudio del hombre de Vitrubio, ya citadas anteriormente. Con los datos calculamos, con ayuda de la hoja de cĂĄlculo, la media y la desviaciĂłn tĂpica. Con el programa Geogebra, calculamos ademĂĄs mediana y cuartiles.
La media es una medida de centralizaciĂłn que resume en un solo nĂşmero toda la distribuciĂłn de datos, que es el llamado punto de equilibrio. Para calcular la media, utilizamos en la hoja de cĂĄlculo la fĂłrmula PROMEDIO, y a continuaciĂłn seleccionamos los datos que queremos mediar; de esta forma, la media se calcula automĂĄticamente. El cĂĄlculo siguiendo la definiciĂłn consiste en sumar todos los datos y dividirlos por el nĂşmero de datos, N.
1 đ?‘Ľ= đ?‘
đ?‘
đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1
La varianza es una medida de dispersiĂłn que sirve para medir cĂłmo de alejados estĂĄn los datos de la media. En la hoja de cĂĄlculo se representa mediante la fĂłrmula VAR, y a continuaciĂłn se eligen las cifras de las cuales se extrae un Ăşnico nĂşmero. La varianza tambiĂŠn puede calcularse con una fĂłrmula en la que se necesita conocer la media y el nĂşmero total de cifras con las que se va a trabajar.
1 đ?œŽ = đ?‘
đ?‘
2
(đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘Ľ )2 đ?‘–=1
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La desviaciĂłn tĂpica es una medida de dispersiĂłn. Se representa habitualmente con el sĂmbolo Ďƒ. Se puede calcular haciendo la raĂz de la varianza. La mediana es un valor que divide el nĂşmero de datos en dos partes iguales en cuanto a cantidad de datos. Es decir, hay tantos valores menores que la mediana como mayores que ella. El primer cuartil es el dato por debajo del cual hay un 25% de los datos y por encima del tercer cuartil se encuentra las tres cuartas partes de la distribuciĂłn. El contraste de hipĂłtesis1 trata de dar crĂŠdito o no a una afirmaciĂłn que hacemos previamente (en este caso las proporciones escritas por Leonardo) a raĂz de los resultados obtenidos en nuestras mediciones. Este proceso pretende contrastar la hipĂłtesis nula (H0: đ?œ‡ = đ?‘›Âş đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;) con la hipĂłtesis alternativa (H1: đ?œ‡ ≠đ?‘›Âş đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;), mediante el cĂĄlculo de un nĂşmero, el estadĂstico de contraste, y concluir si se debe aceptar o rechazar la hipĂłtesis nula, en funciĂłn de que ese valor se encuentre en un intervalo que determina una funciĂłn (en nuestro caso la tStudent, ya que se desconoce el valor de la desviaciĂłn tĂpica de la poblaciĂłn)
Se realiza siguiendo estos pasos: 1. Se establecen la hipĂłtesis nula (la que nosotros queremos comprobar) y alternativa. 2. Se fija el nivel de significaciĂłn, la probabilidad de rechazar la hipĂłtesis nula cuando en realidad es cierta. Nos interesa que el error a cometer sea pequeĂąo por lo que elegiremos un valor prĂłximo al 0. Nosotros hemos escogido el 0,025. 3. Se calcula el estadĂstico de contraste, en nuestro caso utilizaremos Sn es la desviaciĂłn tĂpica.
đ?‘Ľ
es la media de la muestra.
đ?œ‡
đ?‘Ľ −đ?œ‡ đ?‘†đ?‘› / đ?‘›âˆ’1
es el valor que queremos
contrastar (8 si es el nĂşmero de veces que cabe la cabeza en la altura, 4 si se trata de los hombros, etc.) y n es el nĂşmero de datos. 4. Se determina la zona de aceptaciĂłn. En la tabla de la t-Student se elige la fila del nĂşmero de datos menos uno y la columna de 0,025 que es el nivel de significaciĂłn elegido. El
1
El contraste de hipĂłtesis no es un contenido de 4Âş ESO. Nuestro profesor nos propuso utilizar esta tĂŠcnica estadĂstica porque encajaba con el estudio que querĂamos realizar. Nos explicĂł con varios ejemplos el mĂŠtodo para que aprendiĂŠsemos a aplicarlo y a interpretar el resultado.
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sitio donde se cruzan es el valor que hay que tomar. Y la zona de aceptación iría desde menos ese número obtenido hasta más ese número obtenido.
En el caso de los hombres el valor que nos sirve es 2,0076 En el caso de las mujeres, el valor que utilizaremos es 1,9996 Y en el caso del estudio de los 114 datos de forma conjunta, el valor que nos da la tabla es de 1,96
5. Por último se comprueba si la hipótesis es aceptable en función de si el número obtenido en la fórmula del estadístico de contraste cae en la de aceptación o en la de rechazo.
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5.- RESULTADOS OBTENIDOS Mostramos aquí todas las gráficas elaboradas con los datos y todos los resultados de los cálculos realizados, organizados en cuatro apartados:
5.1 DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS
La distribución de las alturas entre los hombres se muestra en el siguiente histograma:
La mitad de los individuos mide entre 170 cm (Q1) y 181,5 cm (Q3) y la media de las alturas en los hombres es de 174,36 cm.
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En el caso de las mujeres, la distribuci贸n por alturas se muestra en el siguiente gr谩fico:
En este caso la altura media de las mujeres encuestadas es de 161,4cm y la mitad se encuentra entre 157 cm y 166 cm.
Los coeficientes de variaci贸n de hombres y mujeres son respectivamente 0,05 y 0,04, es decir la variaci贸n de las alturas en los hombres (5%) es un poco mayor que en las mujeres (4%) pero poco significativo.
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5.2 DISTRIBUCIÓN DE LAS VARIABLES
Representamos los valores de las variables que hemos recogido. Mostramos para cada una de ellas tres gráficos: el primero ofrece la distribución de todos los datos obtenidos y en los otros dos separados por sexos. La nube de puntos representan los datos y la recta cuya ecuación se muestra representa la relación que debería existir según Leonardo. Cuanto más arracimados estén los datos en torno a la recta, más relación existirá entre las variables. En el eje horizontal se representa en todos los casos la altura y en el eje vertical cada una de las variable estudiadas
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5.3 DISTRIBUCIĂ“N NUEVAS VARIABLES
Al dividir la altura entre cada una de las variables originales obtenemos una nuevas variables que representan el nĂşmero de cabezas, hombros, codos, manos y pies que caben en la altura de cada una de las personas. Estas nuevas variables nos permitieron obtener los siguientes resultados:
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Variable nÂş de cabezas: Todos
Hombres
Mujeres
đ?‘Ľ
8,01
7,91
8,10
đ?œŽ
0,85
0,87
0,83
đ?‘„1
7,62
7,48
7,7
��
7,91
7,86
7,91
đ?‘„3
8,32
8,19
8,4
Valores de los estadĂsticos
Diagrama de caja para la totalidad de la variable
Histrograma representativo de los hombres
Histograma representativo de las mujeres
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Proporciones de ayer y hoy
Variable nÂş de hombros: Todos
Hombres
Mujeres
đ?‘Ľ
3,94
3,83
4,03
đ?œŽ
0,38
0,38
0,36
đ?‘„1
3,64
3,48
3,79
��
3,97
3,84
4,015
đ?‘„3
4,19
4,14
4,26
Valores de los estadĂsticos
Diagrama de caja para la totalidad de la variable
Histrograma representativo de los hombres
Histograma representativo de las mujeres
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Variable nÂş de codos:
Todos
Hombres
Mujeres
đ?‘Ľ
3,99
3,98
4,00
đ?œŽ
0,55
0,47
0,60
đ?‘„1
3,7
3,68
3,71
��
3,82
3,78
3,84
đ?‘„3
4,05
4,09
4,02
Valores de los estadĂsticos
Diagrama de caja para la totalidad de la variable
Histrograma representativo de los hombres
Histograma representativo de las mujeres
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Variable nÂş de manos: Todos
Hombres
Mujeres
đ?‘Ľ
9,31
9,19
9,41
đ?œŽ
0,96
0,73
1,12
đ?‘„1
8,72
8,65
8,83
��
9,17
9,12
9,18
đ?‘„3
9,53
9,51
9,54
Valores de los estadĂsticos
Diagrama de caja para la totalidad de la variable
Histrograma representativo de los hombres
Histograma representativo de las mujeres
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Variable nÂş de pies:
Todos
Hombres
Mujeres
đ?‘Ľ
6,72
6,61
6,81
đ?œŽ
0,40
0,42
0,37
đ?‘„1
6,50
6,29
6,54
��
6,73
6,63
6,82
đ?‘„3
7,00
6,92
7,04
Valores de los estadĂsticos
Diagrama de caja para la totalidad de la variable
Histrograma representativo de los hombres
Histograma representativo de las mujeres
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5.3 CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Los test de hipótesis que planteamos para cada variable fueron: Cabeza
Hombros
Codo
Manos
Pies
Hipótesis nula
H0=8
H0=4
H0=5
H0=10
H0=7
Hipótesis alternativa
H1ǂ8
H1ǂ4
H1ǂ5
H1ǂ10
H1ǂ7
Los cálculos necesarios para realizarlos dieron como resultados las siguientes tablas:
Todos los datos
Cabeza
Hombros Codos
Manos
Pies
Media
8,01
3,94
4,07
9,31
6,72
Varianza
0,72
0,15
0,93
0,92
0,16
Desviación típica
0,85
0,38
0,96
0,96
0,40
ESTADíSTICO
0,18
-1,73
-19,60
-7,64
-7,39
Mujeres
Cabeza Hombros Codos
Manos
Pies
Media
8,10
4,03
4,00
9,41
6,81
Varianza
0,69
0,13
1,51
1,25
0,13
Desviación típica
0,83
0,36
0,60
1,12
0,369
ESTADÍSTICO
0,94
0,65
-12,92
-4,15
-4,03
Hombres
Cabeza Hombros Codos
Manos
Pies
Media
7,91
3,83
3,98
9,19
6,61
Varianza
0,76
0,15
0,22
0,53
0,18
Desviación típica
0,87
0,38
0,47
0,73
0,42
ESTADíSTICO
-0,72
-3,22
-15,31
-7,91
-6,60
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6.- ANÁLISIS DE RESULTADOS En primer lugar, comentamos que la distribución de las alturas en la muestra tomada es similar en lo que respecta a hombres y mujeres, como indica el coeficiente de variación (4% y 5% respectivamente).
El estudio se ha hecho considerando los datos de forma global y también separados por sexo, ya que hay diferencias en el desarrollo físico entre hombres y mujeres.
Comenzamos analizando la primera de las variables: caben 8 cabezas en el cuerpo de una persona.
Revisando las gráficas de nubes de puntos, podemos observar que se ajustan bastante a la recta y=0,125x, la que representa la relación entre la altura (x) y la medida de la cabeza (y). Para comprobar de forma más rigurosa esta observación recurrimos al contraste de hipótesis, en el que se toma como hipótesis nula H0=8. En la siguiente tabla incluimos el estadístico obtenido considerando todos los datos, solo los hombres o solo las mujeres y debajo añadimos el intervalo de aceptación obtenido de la tabla t-Student:
Todos
Hombres
Mujeres
Estadístico
0,18
-0,72
0,94
Intervalo de aceptación
(-1,96 1,96)
(-2,0076 , 2,0076)
(-1,9996 , 1,9996)
Como se puede ver en todos los casos el estadístico se encuentra dentro del intervalo de aceptación lo que nos lleva a la conclusión de que estadísticamente se puede afirmar, como coincidían Leonardo y Vitrubio “desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura”.
La siguiente variable de nuestro estudio, distancia entre los hombros, nos da unos resultados cercanos a lo que decía Leonardo. Las gráficas muestran los puntos distribuidos alrededor de la recta y=0,25x que representa la relación entre estatura y la variable es igual a 4. Lo comprobamos con el test de hipótesis. Los valores del estadístico del test de hipótesis y los intervalos de aceptación son los siguientes:
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Proporciones de ayer y hoy
Todos
Hombres
Mujeres
Estadístico
-1,73
-3,22
0,65
Intervalo de aceptación
(-1,96 1,96)
(-2,0076 , 2,0076)
(-1,9996 , 1,9996)
Vemos que solo en el caso de considerar los hombres por separado, el estadístico obtenido se sale del intervalo de aceptación por lo que no podemos aceptar la hipótesis nula (H0=4). En el caso de las mujeres sí que queda claramente dentro del intervalo y por tanto podemos aceptar y cuando se consideran todos los datos, el estadístico tiene un valor más cercano a los extremos del intervalo, pero dentro de él, por lo que también se puede aceptar la hipótesis nula.
Las gráficas que relacionan la altura con la medida hasta el codo indican claramente que la relación que existe entre ambas variables no es la que proponía Leonardo (desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre), pues los datos no se distribuyen a lo largo de la recta y=0,2x
El contraste de hipótesis realizado para esta relación concluye el mismo resultado. En el test de hipótesis en el que la hipótesis nula es H0=5 (proporción de Leonardo), el estadístico que se obtiene es -19,60, claramente lejos del intervalo de aceptación, que en el caso de todos los datos es (-1,96 , 1,96).
Ocurre lo mismo si consideramos por separado hombres y mujeres.
Estadístico Intervalo de aceptación
Hombres
Mujeres
-15,31
-12,92
(-2,0076 , 2,0076)
(-1,9996 , 1,9996)
¿Qué ocurre en el caso de tomar en consideración el comentario de Vitrubio (el codo, una cuarte parte)?
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La recta será y=0,25x (siendo x la altura de la persona e y la medida desde el codo a la punta de la mano). En la gráfica se representa con la recta de color naranja.
En este caso vemos que los datos se distribuyen acercándose mucho más a la nueva recta, lo que indica una mayor aproximación de los datos recogidos a esta proporción.
Realizamos un test de hipótesis para comprobar esta suposición.
La hipótesis nula será H0=4. El valor para el estadístico es -0,11 en el caso de considerar todos los datos. Este número está dentro del intervalo (-1,96 , 1,96), por tanto podemos aceptar la hipótesis de que la altura es cuatro veces la distancia entre la mano y el codo. Y ocurre lo mismo para los estadísticos correspondientes a hombres (0,05) y mujeres (-0,24) Así pues, podemos decir que, estadísticamente, es cierta la proporción que establece Vitrubio.
En el caso de la variable que relaciona la estatura con la mano, los resultados no coinciden con lo que decía Leonardo. Como ya se aprecia en las gráficas de nubes de puntos, estos no siguen la recta que corresponde a la relación establecida por el sabio renacentista. Este hecho lo corroboran los cálculos realizados en el contraste de hipótesis.
Todos
Hombres
Mujeres
Estadístico
-7,64
-7,91
-4,15
Intervalo de aceptación
(-1,96 1,96)
(-2,0076 , 2,0076)
(-1,9996 , 1,9996)
En las tres agrupaciones de los datos el estadístico cae fuera de la zona de aceptación de la hipótesis nula.
La última variable estudiada, ofrece unos resultados similares a la anterior. Se aprecia en las gráficas un alejamiento de la recta y=0,143x representativa de la relación propuesta por Leonardo en el códice, y corroborada por los resultados del contraste de hipótesis. El
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estadístico queda fuera del intervalo de aceptación y por tanto no se puede aceptar como cierta la hipótesis nula, es decir que la estatura de una persona equivale a siete veces su pie.
En esta gráfica se representa la relación que Vitrubio estableció entre la altura de una persona y la medida del pie (recta azul
y = 0,1666x),
comparada con la que escribió Leonardo (recta rosa y=0,143x). También están representados todos
los
datos
recogidos
para
el
estudio
estadístico. Como se puede apreciar estos se distribuyen entre las dos rectas, sin seguir a ninguna de ellas, lo que nos hace pensar que los datos no mantienen ninguna de las proporciones establecidas por ambos personajes. El valor del estadístico se dispara hasta 19,01, si consideramos la hipótesis de Vitrubio (H0=6). Este valor queda claramente fuera del intervalo de aceptación y por tanto no se puede aceptar.
Con el estudio sobre los 114 datos que hemos realizado podemos confirmar que estadísticamente es cierta la afirmación de Leonardo de que desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura.
Así mismo, hemos comprobado que, salvo en el caso de los datos de los hombres, se cumple que la anchura mayor de los hombros contienes en sí misma la cuarta parte de un hombre.
Leonardo afirmaba que desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre mientras que Vitrubio afirmaba que era la cuarta parte. Los estudios realizados corroboran que estadísticamente, los datos reales se aproximan más a la proporción establecida por este último.
Por último, no se han podido confirmar ninguna de las otras dos proporciones seleccionadas.
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7.- CONCLUSIONES Las mediciones de Vitrubio fueron tomadas hace más de 2000 años, y las de Leonardo en el siglo XV, hace más de 500. La cuestión es: ¿es posible que algunas de las reglas impuestas por los dos sabios no se cumplan en la actualidad debido a la evolución del hombre a través de los siglos? Somos conscientes de que la gente ha variado muy poco en los últimos siglos a causa de la adaptación al medio y de la evolución. Sin embargo, es posible que sí hayamos desarrollado en mayor o menor medida diferentes partes de nuestro cuerpo, aunque sea un mínimo. Por ejemplo, se tienen pruebas de que en la Edad Media, la altura media de la gente, en general, era menor que en la actualidad (alrededor de 1,60m). En conclusión, es posible que las hipótesis de Leonardo y Vitrubio no se cumplan con exactitud a día de hoy porque las proporciones del ser humano hayan variado desde que estos sabios expusieron sus teorías.
Hemos comprobado que los cambios introducidos por Leonardo en dos de las variables estudiadas no se ajustan a los datos reales. Nos preguntábamos al principio cual fue el motivo por el que Leonardo modificó los escritos de Vitrubio y nuestro estudio no permite sacar ninguna conclusión al respecto, pues se ajustan más las proporciones establecidas por este último que las de Leonardo.
En lo que respecta a la muestra con la que hemos trabajado tenemos que comentar dos aspectos: el ámbito geográfico y el método de selección. Con respecto al primer aspecto decir que ha sido tomada en una zona reducida (el valle del Jiloca).
Esto hace que nuestros
resultados podamos considerarlos aceptables para nuestra comarca pero no extrapolables a otras zonas. Por otra parte, el método de selección no se hizo con criterios estadísticas ya que nos resultaba más accesible solicitar las medidas a personas cercanas. Hubiese sido más riguroso realizar una selección de la muestra utilizando criterios atendiendo a la distribución de la población en la zona por edad, municipio de residencia, sexo, etc. No obstante la mayoría de los habitantes descienden de habitantes de la zona por muchas generaciones, por lo que se puede considerar que la muestra sí puede ser representativa de la población.
Por último queremos señalar que ha sido muy interesante conocer herramientas estadísticas que se aplican en la actualidad en diversos campos, como el control de calidad de productos en las empresas.
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8.- BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA - BORRAS, Gonzalo: Introducción general al Arte. Ed. Akal, 1995 - ECO, Umberto: Historia de la belleza. Ed. Lumen, 2004 - HATJE, Ursula: Historia de los estilos artísticos. Editorial Itsmo, 1982 - COLERA J. et al.: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Ed. Anaya, 2003 - ANDRADAS HERANZ, Carlos: Lo que usted estudió y nunca debió olvidar de Matemáticas. Ed. Acento, 2002 - HEMENWAY, Priya: El código secreto. Ed. Evergreen, 2008 - El hombre de Vitruvio, http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/cuadmat/indhv.htm - Leonardo código abierto: http://leonardocodigoabierto.blogspot.com.es/2006/11/el-hombre-devitruvio.html - Contraste de hipótesis. José M. Ramos González, IES A Xunqueira I http://www.iesxunqueira1.com/Download/pdf/teocontraste.pdf
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