Presentación
Estimados estudiantes, madres y padres de familia, tutores, maestras y maestros; la secretaría de Educación y Deporte del Estado de Chihuahua y los Servicios educativos del Estado (SEECH) a través de la Dirección de Educación Secundaria y Superior, en colaboración con el Departamento de Secundarias Generales, pone a sus disposición el presente material que constituye un apoyo para el trabajo educativo a distancia que se implementará, según las condiciones actuales, durante el primer periodo de estudios del ciclo escolar 2020-2021. Los esfuerzos realizados desde cada figura de la estructura educativa han sido invaluables para garantizar la continuidad de la prestación del servicio educativo. El diseño de estrategias y de materiales son una clara manifestación de profesionalismo, compromiso, colaboración y de un espíritu fortalecido por la adversidad que busca en todo momento remediar las barreras para el aprendizaje y la desigualdad de circunstancias existentes en las niñas, niños y adolescentes (NNA) que conforman la matrícula escolar del nivel de secundarias generales. En este cuadernillo de trabajo se incluyen actividades de cada una de las asignaturas que se cursarán en el presente ciclo escolar, a excepción de la asignatura de vida saludable que se incluirá en un apartado adicional. Los docentes titulares de cada asignatura darán continuidad a las actividades aquí propuestas, para ello, notificarán oportunamente a los estudiantes el uso que se le dará a este material, por lo que es importante estar pendientes de esas y otras indicaciones. Mención aparte amerita el trabajo de acompañamiento y apoyo que realizan las madres, padres de familia y tutores en cada hogar que indudablemente favorece el logro de aprendizajes y representa una oportunidad más para que las familias y el personal directivo y docente de las escuelas fortalezcan los procesos de comunicación necesarios para que el aprovechamiento de los recursos sea el óptimo y potencie el desarrollo cognitivo, social y emocional de todos los NNA.
Créditos
Coordinación general Efraín Araiza Sánchez Nancy Gabriela Contreras González Juan Guillermo Paredes Morín Edición y diseño Jesús Acevedo Paredes Coordinador estatal de asignatura Filiberto Armando Ochoa Mata
Responsables de contenido Primer grado Filiberto Armando Ochoa Mata Segundo grado Ernesto Jurado Holguín Ma. Isabel Pérez Cervantes Mario Ornelas Montana Juan Guillermo Paredes Morín Tercer grado Luis Enrique Morales Rodríguez José Guillermo Valdizón Arrieta René Holguín Luna Porfirio Loya Ibarbo
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Aprendizaje esperado: Determina y usa los criterios divisibilidad y los números primos.
de
Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 6, y 10. Identifiquen las características de los números primos y compuestos. El número 13 símbolo de ¿Mala suerte?
Para conocer más del número 13 resolvamos las siguientes actividades.
Actividad 1 Escribe los números que al multiplicarlos te den como producto el 13. Esos números se llaman FACTORES de 13 que a su vez se convierte en sus DIVISORES porque al dividir 13 entre cada uno de ellos obtenemos el otro factor. Encuentra los divisores de 13, si crees necesario resuelve las divisiones en tu cuaderno. Actividad 2 Escribe los divisores de los siguientes números. Número
El 13 es quizá el número más cargado de emociones. Augura “mala suerte” ¿será? Mientras en México se teme en particular al martes y 13, en Alemania y el mundo anglosajón el viernes 13 es temible. Es algo que todo el mundo sabe, pero aun así resulta curioso. En Italia el numero 13 es considerado de buena suerte, no así el 17, es de mala suerte, pero una mesa con 13 comensales se considera fatal quizá en honor al a Última Cena. Sin embargo, lo del viernes 13 es una invención reciente con origen en el siglo XIX. Un americano llamado Thomas William Lawson, que se hizo rico especulando con acciones y en 1907 escribió una novela sobre la bolsa titulada viernes 13. Luego el legendario “viernes negro” del año 1929, el colapso de la bolsa de valores de Nueva York que dio inicio a la Gran Depresión. También hay una leyenda urbana que asegura que en viernes 13 hay muchos más accidentes de tráfico de lo normal. La explicación va incluida: el viernes 13 todo el mundo está especialmente nervioso y conduce de forma particularmente insegura, y entonces ¡pam!, se producen los accidentes.
Divisores
1 3 6
18 25 60 100 121 235
Actividad 3 Indica con una X si es posible que con un grupo de 150 alumnos de segundo de secundaria se puedan formar equipos, sin que sobren alumnos, para organizar torneos o competencias de: Vóleibol
(6 jugadores)
_________
Futbol
(11 jugadores)
_________
Volibol playero
(2 jugadores)
_________
Béisbol
(9 jugadores)
_________
Han Ball
(7 jugadores)
_________
Basquetbol
(5 jugadores)
_________
1
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
DIVISIBILIDAD POR 2 Indica con una x si los siguientes números son divisibles por 2 4 ꙱ 6 ꙱ 9 ꙱
12 ꙱ 15 ꙱ 18 ꙱
24 ꙱ 27 ꙱ 30 ꙱
43 ꙱ 46 ꙱ 52 ꙱
76 ꙱ 88 ꙱ 91 ꙱
110 ꙱ 244 ꙱ 450 ꙱
Observa los números que si se pudieron dividir entre 2 ¿Qué tienen en común todos ellos? ¿Puedes escribir una regla que se aplique a todos los números y nos permita saber si son divisibles entre 2?
DIVISIBILIDAD POR 3 Indica con una X cuáles de los siguientes números son divisibles por 3 4 ꙱ 6 ꙱ 9 ꙱
12 ꙱ 15 ꙱ 18 ꙱
24 ꙱ 27 ꙱ 30 ꙱
43 ꙱ 46 ꙱ 52 ꙱
76 ꙱ 88 ꙱ 91 ꙱
110 ꙱ 244 ꙱ 450 ꙱
Observa los números que marcaste como divisibles por 3. ¿Todos son números pares? Sí sumas las cifras que lo forman por ejemplo el 27 será: 2 + 7 = 9 ¿qué resultados se obtienen? Tienen alguna característica en común? ¿Cuál es? ¿Puedes establecer una regla que aplique en todos los números para saber cuándo se pueden dividir entre 3? DIVISIBILIDAD POR 5 Indica con una divisibles por 5 4 ꙱ 12 ꙱ 6 ꙱ 15 ꙱ 9 ꙱ 18 ꙱
X cuáles de los siguientes números son 24 ꙱ 27 ꙱ 30 ꙱
43 ꙱ 46 ꙱ 52 ꙱
76 ꙱ 88 ꙱ 91 ꙱
110 ꙱ 244 ꙱ 450 ꙱
¿Qué características tienen los números que son divisibles por 5? ¿Puedes establecer una regla que generalice cuáles número son divisibles entre 5? 2
Observación: Como te diste cuenta, resulta difícil, con una simple inspección de los números encontrar los divisores sin realizar ninguna operación, por lo que se hace necesario buscar una estrategia más sencilla de aplicar. Esta estrategia la llamaremos: CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Que son simples reglas que sirven para saber si un número es divisible (se puede dividir) por otro sin necesidad de realizar la división.
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
DIVISIBILIDAD POR 6 Indica con una X cuáles de los siguientes números son divisibles por 6 4 ꙱ 6 ꙱ 9 ꙱
12 ꙱ 15 ꙱ 18 ꙱
24 ꙱ 27 ꙱ 30 ꙱
43 ꙱ 46 ꙱ 52 ꙱
76 ꙱ 88 ꙱ 91 ꙱
110 ꙱ 244 ꙱ 450 ꙱
Si 6 es el producto de 2x3 ¿Hay alguna relación entre los números que son divisibles entre 2 y que también son divisibles entre 3? Puedes establecer una regla de cuando un número es divisible por 6? DIVISIBILIDAD POR 10 Indica con una X cuales de los siguientes números son divisibles por 10 24 ꙱ 27 ꙱ 30 ꙱
43 ꙱ 46 ꙱ 52 ꙱
76 ꙱ 88 ꙱ 91 ꙱
110 ꙱ 244 ꙱ 450 ꙱
¿Qué observaste? ¿Puedes establecer una regla para saber cuándo un número es divisible entre 10.
Procedimiento: 1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
Encierra el número 1 en un rectángulo. Encierra el número dos en un círculo rojo y cruza, con rojo, todos los números que se pueden dividir entre 2.( múltiplos de 2) Encierra el número tres en un círculo azul y cruza, con azul, todos los números que se pueden dividir entre 3 (múltiplos de 3) Encierra el número cinco en un círculo verde y cruza, con verde, todos los números que se pueden dividir entre 5. (múltiplos de 5) Encierra el número siete en un círculo café y cruza, con café, todos los números que se pueden dividir entre 7 (múltiplos de 7) Encierra el número once en un círculo morado y cruza, con morado, todos los números que se pueden dividir entre 11(múltiplos de 11) Encierra en un círculo todos los números que quedaron sin cruzar.
Actividad 4: Observa la siguiente serie de números del 1 al 100, y sigue el procedimiento que se indica ala derecha. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
3
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
1.
¿Escribe todos los números encerrados en círculos?
que
quedaron
2. ¿Porque crees que no se cruzaron? 3. Escribe algunos números que tengan tres cruces de color diferente.
4. Argumenta por que se marcaron con colores diferentes. 5. ¿Qué número quedo en un rectángulo? Según el número de divisores los números pueden ser: Unitario, primos o compuestos 6. ¿Puedes indicar según sus marcas cuáles son primos, cuáles compuestos y cuáles unitarios? Actividad 5: Utilizando los criterios de divisibilidad contesta Marca con una si el número es divisible entre 2, 3, 5, 6 o 10 Número 24 38 60 120 189 90 212 333 285 3270 2010 1800
2
3
5
6
10
RECAPITULANDO: ¿Qué podemos decir de los números primos? ¿Qué se puede afirmar de los números compuestos? ¿Cómo definimos al número unitario?
4
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Aprendizaje esperado: Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD. A FORMA DE REPASO: Antes de pasar a resolver algunos problemas, realizaremos los siguientes ejercicios. Recuerda que múltiplo de un número es aquel que lo contiene exactamente, o bien que puede ser dividido por el exactamente. Así un múltiplo de 7 es el 14; el 20 es múltiplo de 4; uno de los múltiplos de 3 es el 12; 25 NO es múltiplo de 4; el 8 No es múltiplo de 3. A partir de esta información realiza lo que se indica en la actividad 6.
Actividad 6: Escribe los primeros 10 múltiplos de 2 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Escribe los primeros 10 múltiplos de 3 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Escribe los primeros 10 múltiplos de 4 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Escribe los primeros 10 múltiplos de 5 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Escribe los primeros 10 múltiplos de 6 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Escribe los primeros 10 múltiplos de 7 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Escribe los primeros 10 múltiplos de 8 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ ¿Hay algún número que sea múltiplo del 2 y del 5? Si es así, ¿Cuáles son? ¿Cuáles son múltiplos, comunes de 3 y 4? Escribe los que son múltiplos comunes de 6 y 8 Escribe los que son múltiplos comunes de 2, 3, 4 y 6 ¿En los números que escribiste hay alguno que sea múltiplo de 2, 5 y 7? ¿Cuáles crees que serán dos múltiplos de 2, 3 y 7?
5
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividad 7: Encuentra el mcm de los siguientes grupos de números: 3, 4 4, 6, 12
Existe el que llamamos, mínimo común múltiplo (mcm), se le llama de esta forma porque es múltiplo simultáneamente de dos o más números y además el más chico posible.
2, 3, 5
Para determina el mcm de 8 y 6. Una forma es:
3, 5, 7
M (6) = 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…. M (8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40….
8, 12, 20 3, 9, 12, 18 Uso del mcm en la solución de problemas 1.
Jorge, Martín y Antonio, son hombres de hábitos definidos y realizan ciertas actividades personales en fechas determinadas, los tres van a la misma sala de estética para su corte de pelo: Jorge va al estilista cada 20 días, mientras que Martín lo hace cada 15 días y Antonio va al estilista cada 16 días. ¿Si los tres iniciaron la visita al estilista el mismo día, cada cuántos días coincidirán de nuevo los tres en la sala de Estética?
2. Tres amigas: Mayra, Annette y Hayami; son azafatas en líneas aéreas que vuelan de su país a Estados Unidos. Mayra acompaña a los pasajeros de un vuelo de la Cd. De México a New York cada 6 días; Annette apoya cada 8 días en el vuelo de París a New York y Hayami asiste cada 4 días a los viajeros del vuelo de Tokio a New York. Si el día de hoy las tres se pasearon juntas por la Ciudad de New York. ¿Dentro de cuantos días será la fecha más próxima en que tengan la oportunidad de reunirse de nueva cuenta para cenar juntas en un restaurante de New York? 3. En una bodega se acomodan en pilas los colchones que reciben de parte de las fábricas. Si la marca Buen Descanso es de colchones de 25 cm de altura; los de la marca Felices Sueños tienen una altura de 30 cm y, la marca A La Siesta los elabora de 20 cm de altura. Si se acomodan en pilas de una sola marca. ¿A qué altura coincidirán las tres pilas? ¿Cuántos colchones tendrá cada pila cuando la altura de las tres pilas coincida?
6
NOTA:
Como puedes observar el múltiplo más chico (mínimo), que es (común) de los dos es el 24 Otro ejemplo: mcm de 4, 5 y 8 M (4) = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44…. M (5) = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50…. M (8) = 0,8,16,24,32,40,48,56…. El mcm es el 40 Nota: El cero es múltiplo de todos los números 6x0=0 8x0=0 Este proceso resulta muy laborioso y extenso por lo que te planteamos otro más económico para determinar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se desarrolla a continuación, analízalo y haz lo posible por explicarlo. Encontrar el mcm de 8, 9, 12, 18 y 24
Factores primos: 2, 2, 2, 3, y 3 Así el mcm de 8, 9, 12, 18, y 24 se encuentra multiplicando: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72 El mcm de 8, 9, 12, 18, y 24 es 72
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Máximo común divisor (MCD): Un procedimiento para encontrar el MCD de 12 y 18 es el siguiente. D (12)= 1, 2, 3, 4, 6, 12 D (18)= 1, 2, 3, 6, 9, 18 El máximo divisor que es común a los dos es el 6. Otro ejemplo: MCD de 18, 54 y 90 D (1 8)= 1, 2, 3, 6, 9, 18 D (54)= 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 D (90)= 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 Por lo tanto, el MCD es 18 Nota: El uno es divisor de todos los números
4. Una cajera de tienda de auto servicio, tiene en su caja registradora la cantidad de dinero más pequeña tal que; si la divide entre 2 le sobra un peso, si la divide entre tres le sobran dos pesos, si la divide entre cuatro le sobran tres, si la divide entre 5 le sobran 4 pesos, si la divide entre 6 le sobran 5 pesos, si la divide entre siete le sobran seis pesos, si la divide entre ocho le sobran siete pesos y, si la divide entre 9 le sobran 8 pesos. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero posible que hay en la caja?
5. Una persona enferma se toma un jarabe cada 2h, una pastilla cada 4h y se aplica una pomada cada 6h, si a la 10 de la mañana le tocaron los 3 medicamentos ¿a las cuántas horas le volverán a tocar los tres juntos otra vez? Máximo Común Divisor (MCD)
Una segunda manera más económica y más sencilla para obtener el MCD de dos o más números es el siguiente, analízalo y explícalo.
En este caso se trata de encontrar el divisor más grande y que sea común a dos o más números.
Hallar el MCD de 20,30 y 60
D (12)= ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____
20 10 5 1 1
30 15 15 3 1
60 30 15 3 1
2 2 5 3
D (20)= ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ Factores primos
El MCD es 2 x 5 = 10 Hallar el MCD de 180, 360 y 600 180 90 45 45 15 3
360 180 90 45 15 3
600 300 150 75 25 5
2 2 2 3 5
El MCD de 180, 360 y 600, es: 2 x 2 x 3 x 5 = 60 NOTA: En este caso no se toman todos los factores primos, en el ejemplo de encontrar el MCD de 20, 30, 60 se tomó el primer 2 que indica que los 3 son divisibles por dos o que tienen mitad, el segundo 2 no se toma porque no todos tienen mitad y no se toma el 3 porque no todos son divisibles por 3.
D (75)= ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ D (72)= ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ D (100)= ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ D (120)= ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ ¿Hay algunos que sean divisores comunes de 12 y 20? ¿Cuál son?
¿Cuáles son divisores comunes de 75 y 100?
¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 72 y 120?
7
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividad 8: Encuentra el MCD de: 30, 75 y 120 26, 65, y 91 40, 60, y 280 100, 150, 200 y 250
Uso del MCD en la solución de problemas 1.
Una artesana se dedica a elaborar collares y pulseras con piedritas de cuarzo de colores, cuenta con una existencia de: 60 piedras de cuarzo amarillo, 120 de color café, 150 cuarzos de color negro, 180 piedritas rojas y 270 piedritas de color blanco. Si pretende usar totalmente todas las piedritas de cuarzo, elaborando la mayor cantidad posible de collares y que todos los collares tengan la misma cantidad de piedritas de cada color. ¿Cuántos collares le será posible elaborar? ¿Cuántas piedritas de color blanco tendrá cada collar?
2. Un transportista repartidor de productos lácteos, deberá entregar en tiendas de autoservicio, paquetes que contengan todos los productos que la empresa vende; con la condición de que todas las tiendas de autoservicio reciban la misma cantidad de cada producto. ¿Cuál es el mayor número de tiendas de autoservicio a las que podrá entregar en cada viaje, si para ello dispone de: 1080 litros de leche, 288 paquetes con queso panela, ¿144 botecitos de crema y 216 piezas de queso Chihuahua?
3. El dueño de tres terrenos urbanos desea fraccionarlos en lotes residenciales de la mayor superficie posible y del mismo tamaño. ¿Cuantos metros cuadrados deberá tener cada lote residencial, si los tres terrenos que va a fraccionar son de 6000m2, 7200m2 y 9000m2 respectivamente? 4. Un carpintero tiene tres tablas de las siguientes medidas 1.70 m, 3.06 m y 4.08 m requiere cortar trozos del mayor tamaño posible para no desperdiciar madera. ¿Cuántos centimetros debe medir cada trozo y cuantos salen de cada tabla?
8
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividad 9: Aplica lo aprendido 1.
En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas?
2. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones. a. ¿Cuánto medirá cada una de las partes? b. ¿Cuántas tablas se pueden sacar?
3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 de la mañana han coincidido tocando las tres, ¿a qué hora volverán a tocar otra vez juntas?
4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos?
9
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Reacomoda las siguientes expresiones algebraicas para la identificaciĂłn de la ecuaciĂłn de segundo grado: 2đ?‘Ľ 2 − 4 = 28 đ?‘Ľ 1 = +3 3 đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 + 2 = 6đ?‘Ľ − 6 đ?‘Ľ(2đ?‘Ľ + 5) = 3
đ?‘Ľ2 − 23 = −đ?‘Ľ + 1 2 đ?‘Ľâˆ’1=
Aprendizaje esperado: Resuelve problemas mediante la formulaciĂłn y soluciĂłn algebraica de ecuaciones cuadrĂĄticas. Ecuaciones no lineales: Una ecuaciĂłn con una incĂłgnita es de segundo grado si despuĂŠs de efectuar las operaciones indicadas, quitar parĂŠntesis y denominadores, trasponer tĂŠrminos al primer miembro y simplificar resulta que el mayor exponente de la incĂłgnita es dos. Ejemplo 1: La ecuaciĂłn 4đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2
11đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľâˆ’5
La ecuaciĂłn completa de segundo grado se identifica tambiĂŠn como ecuaciĂłn cuadrĂĄtica completa cuya forma general es: ax2 + bx + c donde ax2 es el tĂŠrmino cuadrĂĄtico, bx se le llama tĂŠrmino lineal y c es el tĂŠrmino independiente.
4đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 4đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ = 0 3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ = 0 Ejemplo 2: La ecuaciĂłn:
đ?‘Ľ2 3
1
17
5
15
– =
Entonces al hacer el desarrollo:
đ?‘Ľ 2 17 1 = + 3 15 5
Si una ecuaciĂłn de segundo grado con una incĂłgnita, despuĂŠs de efectuadas las reducciones posibles, carece de tĂŠrmino independiente (c = 0) o del tĂŠrmino lineal) (b = 0 ) se dice que es incompleta.
đ?‘Ľ 2 17 3 = + 3 15 15
Las formas generales de las ecuaciones incompletas de segundo grado son: ax2 + bx = 0 y ax2 + c = 0
đ?‘Ľ 2 20 = 3 15
Procedimiento para la resoluciĂłn de ecuaciones incompletas de segundo grado sin tĂŠrmino independiente.
  
Se arregla la ecuaciĂłn en su forma general: ax2 + bx = 0 Se obtiene x factor comĂşn: x ( ax + b ) = 0 Una soluciĂłn es x1 = 0
Se resuelve la ecuaciĂłn de primer grado que se obtiene igualando a cero el binomio de dentro del parĂŠntesis, es decir (ax + b ) = 0. La soluciĂłn x2 de esta ecuaciĂłn es la segunda raĂz o soluciĂłn de la ecuaciĂłn dada.
10
(đ?‘Ľ 2 )(15) = (20)(3) = 15đ?‘Ľ 2 = 60 15đ?‘Ľ 2 − 60 = 0
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Ejemplo: Resolver la ecuaciĂłn 2x2 – 5x = x Paso 1: Se arregla la ecuaciĂłn a su forma general: 2đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 0 2đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ = 0 Paso 2: Partiendo de su forma general, se obtiene x como factor comĂşn: đ?‘Ľ(2đ?‘Ľ − 6) = 0
Paso 3: Una soluciĂłn de la ecuaciĂłn es x1 = 0 Paso 4: La otra soluciĂłn x2 se obtiene resolviendo el binomio de dentro del parĂŠntesis al igualarlo a cero es 6 decir 2x - 6 = 0 al despejar x quedarĂa x = 2 , Por lo tanto x2 = 3 Resuelve las siguientes ecuaciones đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ = 0 3đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ľ(6đ?‘Ľ + 3) = 0 đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ = 0 4đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 4đ?‘Ľ(1 + đ?‘Ľ) = 0 2đ?‘Ľ 2 = 9 − đ?‘Ľ 2 Procedimiento para la resoluciĂłn de ecuaciones incompletas de segundo grado sin tĂŠrmino lineal.      
Se arregla la ecuaciĂłn en su forma general: ax2 + c = 0 Se traslada c al segundo miembro de la ecuaciĂłn Se divide entre el coeficiente de x2 Se obtiene la raĂz cuadrada del segundo miembro, teniendo en cuenta el doble signo de la raĂz + − Si el radicando es negativo, las raĂces son imaginarias. Si el radicando es positivo, las raĂces son reales, una positiva y otra negative
11
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Ejemplo: Resolver la ecuaciĂłn: 3x2 - 48 = 0 Paso 1: Ya estĂĄ en su forma general donde a = 3, y c = - 48 Paso 2: Se traslada c al segundo miembro de la ecuaciĂłn quedando 3x2 = 48 Paso 3: Se divide entre el coeficiente del tĂŠrmino đ?&#x;’đ?&#x;– cuadrĂĄtico x2 = = 16 đ?&#x;‘
Paso 4: Se obtiene la raĂz cuadrada del segundo miembro x= Âą đ?&#x;?đ?&#x;” Paso 5: Al ser el radicando positivo, las raĂces son reales, una positiva y otra negativa. X1 = 4 X2 = - 4 Resuelve las siguientes ecuaciones 2đ?‘Ľ 2 − 30 = 2 2đ?‘Ľ 2 − 4 = 28
đ?‘Ľ 2 1 17 − = 3 5 15 đ?‘Ľ2 1 = 8 2 12đ?‘Ľ 2 − 300 = 0 3đ?‘Ľ 2 − 6 = 2đ?‘Ľ 2 − 2 đ?‘Ľ2 =5 5
4đ?‘Ľ 2 − 30 = 70 Resuelve los ecuaciĂłn de corresponde. 1.
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siguientes problemas planteando segundo grado incompleta que
la le
El amigo Luis pensĂł un nĂşmero y lo elevĂł al cuadrado. Al resultado lo multiplicĂł por 4 y al final obtuvo 100. ÂżEn quĂŠ nĂşmero pensĂł Luis?
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
2. Tres veces el cuadrado de un número se le sumó 8. Como resultado se obtuvo 83. ¿De qué número se trata? 3. El largo de un terreno rectangular mide el doble del ancho. El terreno tiene 162 m2 de área. ¿Cuáles son sus dimensiones?
4. Cuando un número se eleva al cuadrado, después se triplica y posteriormente se le suma 5, el resultado es 680. ¿De qué número se trata?
5. Si un número se eleva al cuadrado y se duplica su valor, el número que se obtiene es 5 000. Cuál es ese número?
6. Un terreno de forma rectangular tiene un área de 192 m2.. Si la medida del largo es el triple de la medida del ancho, ¿Cuáles son sus dimensiones?
7. Si el número 60 es el producto de dos factores de los cuales uno es 5, ¿cuál es el otro número?
8. Encuentra los valores que satisfacen la ecuación cuadrática mixta: 3 ( x2 + 2 ) = 2 ( x2 + 2x ) + 6
9. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?
10. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?
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NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Factorización en la resolución de ecuaciones.
Figuras:
Con las primeras figuras se puede formar un rectángulo cuya área está representada por el trinomio: Z2 + 5z + 6 1.
Escribe la expresión algebraica que corresponde a la base.
2. Escribe la expresión algebraica que corresponde a la altura
Rectángulo formado:
3. Si el área del rectángulo es de 42 cm2 ¿Cuál es la ecuación que se tiene que resolver para obtener el valor de z? 4. ¿Cuál de las dos soluciones de la ecuación resuelve el problema?
5. ¿Cuántos centímetros mide z? Procedimiento para la resolución de una ecuación completa de segundo grado por factorización.
Resuelve por factorización
La factorización encontrada se iguala a cero. Se iguala cada factor a cero y se obtienen las raíces.
x2 – x – 6 = 0
2x2 + 7x – 4 = 0
x2 + 7x = 18
6x2 = 10 – 11x
Ejemplo 1: Resolver la ecuación x2 + 5x + 6 = 0
8x – 65 = - x2
20x2 – 27x = 14
El primer miembro es producto de dos factores binomio:
x = 108 – 3x
7x = 15 – 30x
X2 + 12x + 35 = 0
x (x – 1) – 5 (x – 2) = 2
x2 + 3x – 4 = 0
3x2 – 11x – 4 = 0
2x + x – 2 = 0
2x + 11x – 21 = 0
2
2
x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) Paso 1: La factorización encontrada se iguala a cero. (x + 3) (x + 2) = 0 Paso 2: Se iguala cada factor a cero y se obtienen las raíces. Es decir: x+3=0
y
x+2 = 0
Las dos raíces de la ecuación son: 2
14
2
x2 + 5x + 6 = 0 x1 = -3 y x2 = -2
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Imagina que el rectĂĄngulo de la figura 1 tiene un ĂĄrea de 54 cm2.ÂżCuĂĄnto mide su base y su altura?
Figura 1
Escribe la expresiĂłn algebraica que representa su base
Encuentra la longitud de la altura y la base resolviendo: y2 + 3y = 54 GeneralizaciĂłn de la soluciĂłn por factorizaciĂłn de una ecuaciĂłn de segundo grado en su forma completa.
Utilicemos lo aprendido: 1.
ax2 + bx + c = 0 Si no es un trinomio cuadrado perfecto, entonces hay que buscar dos nĂşmeros a1 y a2 que multiplicados me den a y otros dos c1 y c2 que multiplicados me den c. Una vez encontrados los valores que satisfacen el punto anterior, los colocamos de la siguiente manera, de tal forma que al multiplicar de forma cruzada y sumar estos valores nos dĂŠ como resultado el coeficiente del tĂŠrmino lineal, o sea b.
La suma de los cuadrados de dos nĂşmeros consecutivos es de 61. Encuentra los nĂşmeros.
2. La suma de los cuadrados de dos nĂşmeros reales pares consecutivos es 52. Encuentra los nĂşmeros. 3. La suma de dos nĂşmeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Encuentra los nĂşmeros que cumplen esa condiciĂłn. 4. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 metros y el largo aumenta dos metros, el ĂĄrea se duplica. ÂżCuĂĄl es el ĂĄrea original de la sala?
Igualando a cero (aplicando la propiedad del producto nulo. a1x + c1 = 0
a2x + c2 = 0
Despejando x1 =
−đ?’„đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?
x2 =
−đ?’„đ?&#x;?
5. Un triĂĄngulo tiene un ĂĄrea de 24 cm2 y la altura mide 2 cm mĂĄs que la base correspondiente. ÂżCuĂĄnto mide la altura? 6. Dos nĂşmeros enteros positivos se diferencian en 6 unidades y la suma de sus cuadrados es 218. ÂżCuĂĄles son esos nĂşmeros?
đ?’‚đ?&#x;?
7. Dentro de 30 aĂąos, la edad de Andrea serĂĄ la mitad del cuadrado de la edad que tenĂa hace 10 aĂąos. ÂżCuĂĄntos aĂąos tiene Andrea actualmente?
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NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
8. Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 10 dm. 9. Un rectángulo tiene de diagonal 25 cm y de altura 15 cm. Averigua la base y el área. 10. Halla dos números cuya diferencia sea 5 y la suma de sus cuadrados sea 73. 11. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 181. Halla dichos números. 12. El área de un rectángulo es 600 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es 100 metros 13. Uno de los lados de un rectángulo mide 6 cm más que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones si su área es 91 cm2? 14. Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296.
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