Presentación
Estimados estudiantes, madres y padres de familia, tutores, maestras y maestros; la secretaría de Educación y Deporte del Estado de Chihuahua y los Servicios educativos del Estado (SEECH) a través de la Dirección de Educación Secundaria y Superior, en colaboración con el Departamento de Secundarias Generales, pone a sus disposición el presente material que constituye un apoyo para el trabajo educativo a distancia que se implementará, según las condiciones actuales, durante el primer periodo de estudios del ciclo escolar 2020-2021. Los esfuerzos realizados desde cada figura de la estructura educativa han sido invaluables para garantizar la continuidad de la prestación del servicio educativo. El diseño de estrategias y de materiales son una clara manifestación de profesionalismo, compromiso, colaboración y de un espíritu fortalecido por la adversidad que busca en todo momento remediar las barreras para el aprendizaje y la desigualdad de circunstancias existentes en las niñas, niños y adolescentes (NNA) que conforman la matrícula escolar del nivel de secundarias generales. En este cuadernillo de trabajo se incluyen actividades de cada una de las asignaturas que se cursarán en el presente ciclo escolar, a excepción de la asignatura de vida saludable que se incluirá en un apartado adicional. Los docentes titulares de cada asignatura darán continuidad a las actividades aquí propuestas, para ello, notificarán oportunamente a los estudiantes el uso que se le dará a este material, por lo que es importante estar pendientes de esas y otras indicaciones. Mención aparte amerita el trabajo de acompañamiento y apoyo que realizan las madres, padres de familia y tutores en cada hogar que indudablemente favorece el logro de aprendizajes y representa una oportunidad más para que las familias y el personal directivo y docente de las escuelas fortalezcan los procesos de comunicación necesarios para que el aprovechamiento de los recursos sea el óptimo y potencie el desarrollo cognitivo, social y emocional de todos los NNA.
Créditos
Coordinación general Efraín Araiza Sánchez Nancy Gabriela Contreras González Juan Guillermo Paredes Morín Edición y diseño Jesús Acevedo Paredes Coordinador estatal de asignatura Filiberto Armando Ochoa Mata
Responsables de contenido Primer grado Filiberto Armando Ochoa Mata Segundo grado Ernesto Jurado Holguín Ma. Isabel Pérez Cervantes Mario Ornelas Montana Juan Guillermo Paredes Morín Tercer grado Luis Enrique Morales Rodríguez José Guillermo Valdizón Arrieta René Holguín Luna Porfirio Loya Ibarbo
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de multiplicaciĂłn y divisiĂłn con fracciones y decimales positivos. Escribe con tus propias palabras lo que vas a aprender de acuerdo al aprendizaje esperado de este tema que estĂĄ escrito en la parte superior. _______________________________________
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. 1 6 x = 2 8
1 24 x = 2 6
9 x8 = 5
4 9 x = 7 5
20 x
2 = 6
9 9 x = 5 5
_______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________
2. Resuelve los siguientes problemas. a. Una tableta de medicina pesa peso de
3 4
4 7
de onza. ÂżCuĂĄl es el
partes de la tableta?
_______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________
b. Una botella cuya capacidad es de agua hasta sus contiene?
3 5
3 2
litros, contiene
partes. ÂżQuĂŠ cantidad de agua
_______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________
c. La mamĂĄ del profesor Ernesto tiene una bolsa con 2
3 4
kilogramos de arroz y guisĂł 3 de su contenido. ÂżQuĂŠ fracciĂłn de un kilogramo utilizĂł para cocinar?
_______________________________________ Recuerda que: Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Lo que resulta se simplifica o se convierte a enteros. 3 4 3đ?‘Ľ4 12 3 đ?‘Ľ = = = 4 7 4đ?‘Ľ7 28 7
3 4
de
4 7
es lo mismo que
cuĂĄl solo me tomĂŠ vino me queda?
1 2
3 4
de litro de la
del total de la botella. ÂżCuĂĄnto
3
Recuerda que la palabra “deâ€? en la multiplicaciĂłn de fracciones significa “porâ€?. Ejemplo:
d. ComprĂŠ una botella de vino blanco de
3 4
x
4 7
e. Las 5 partes de un parque se han rentado para instalar juegos mecĂĄnicos. De esta superficie que fue 2 rentada solamente 3 se utilizaron para los juegos. ÂżQuĂŠ parte del parque se estĂĄ utilizando para los juegos mecĂĄnicos?
1
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
3. Resuelve las siguientes multiplicaciones en el espacio de la derecha. 4.28 x 7 =
______________
8.94 x 3.07 = ______________ 42.8 x 7 =
______________
7.348 x 100 = ______________
428 x 7 =
______________
80.5 x 4.30 = ______________ 0.428 x 7 =
______________
4.009 x 3.002 = ___________ (4.2)2 = ___________________ (2.3)(4.2)2= _______________ 4. Resuelve los siguientes problemas. Para un coctel de frutas se han comprado 2.5 kg de plátano, 1.5 kg de melón, 2.5 kg de mango y 1.5 kg de miel. Si el kg de plátano cuesta $12.50, el kg de melón cuesta $14.50, el kg de mango cuesta $23.40 y el litro de miel vale $52.75, ¿cuánto dinero se ha gastado para elaborar el coctel?
Mi hermano Mario que trabaja en Texas, este día ganó 128 dólares y los quiere cambiar por pesos mexicanos. Si el tipo de cambio está a $22.35 por dólar, ¿cuánto dinero deberá recibir?
El profesor Ernesto compró 24.80 metros de alambre y cada metro tuvo un costo de $9.50 ¿Cuánto pagó por el alambre?
2
Actividades complementarias: Resuelve los ejercicios de multiplicación de fracciones que vienen en tu Libro de Texto Gratuito. Resuelve los ejercicios de multiplicación con números decimales que vienen en tu Libro de Texto Gratuito. Recuerda que: Al multiplicar debes colocar el punto decimal correctamente, sumando las cifras decimales del multiplicando y del multiplicador para colocar donde deba ser el punto en el resultado. 1 x 8 8 6 1 7 2 2 6 6
7. 1 6 0 0 6
2 0 2 cifras decimales 5. 5 1 cifra decimal 0 0 0 0 0 3 cifras decimales
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Actividades complementarias: Resuelve los ejercicios de multiplicaciĂłn con nĂşmero decimales que vienen en tu Libro de Texto Gratuito. Recuerda que: Al multiplicar decimales y fracciones puedes convertir el nĂşmero decimal en fracciĂłn. 0.3 đ?‘Ľ
2 3 2 6 3 = đ?‘Ľ = = 5 10 5 50 25
5. Resuelve las siguientes decimales y fracciones.
multiplicaciones
0.3 x
4 = 3
0.7 x
7 = 9
0.6 x
9 = 3
0.4 x
5 = 7
1.3 x
1 = 3
2.5 x
7 = 9
1.5 x
4 = 3
1.2 x
7 = 9
con
6. Resuelve los siguientes problemas. 5
a. Un rectĂĄngulo mide 4.5 cm de largo por cm de 2 ancho. ÂżCuĂĄl es el ĂĄrea de dicho rectĂĄngulo? 3
b. En el Club del Abuelo de 75 que son en total, 5 partes son mujeres y el resto son hombres. ÂżCuĂĄntas mujeres y cuĂĄntos hombres asisten al club? c. Mi hijo Ernesto cuenta con 385 pesos y me ha pedido que le preste una cantidad aplicĂĄndole el factor 8 a la cantidad que tiene. ÂżCuĂĄnto dinero le debo prestar? d. Mi papĂĄ me dice que cuenta con $4 593 y que les va a aplicar el factor 2/3 para comprar alimentos. ÂżQuĂŠ cantidad es la que va a destinar para alimentos? AutoevaluaciĂłn. TĂş mismo vas a evaluar el aprendizaje que has adquirido. Resuelve el siguiente ejercicio. Resuelve las siguientes multiplicaciones. 1 4 x = 5 3
1 2 x = 4 3
4.32 x 5 =
8.15 x 2.4 =
(3.2)² =
(2.5)² =
0.4 x
2 = 3
3 x 2.5 = 4
0.3 x
2 = 9
3 x 4.3 = 2
3
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Resuelve los siguientes problemas: Para un dĂa de campo mis amigos Rodolfo y Luis RamĂłn 20 llevaron 5 litros de agua para beber, de los cuales se 3
tomaron 4. ÂżQuĂŠ cantidad de agua fue la que se tomaron?
Un terreno que tiene forma rectangular mide largo por
10 2
14 2
m de
m de ancho. ÂżCuĂĄl es su ĂĄrea?
El Profesor Jurado va a comprar la ceråmica que se necesita para cubrir el piso de su cocina que tiene forma rectangular. ¿QuÊ cantidad necesita comprar si las medidas son de 4.5 m le largo por 3.6 m de ancho? 7. Resuelve las siguientes divisiones con fracciones. 1 20 á = 5 100
1 24 á = 2 6
3 9 á = 4 5
20 á
9 á 8= 5
2 = 6
9 9 á = 5 5
8. Resuelve los siguientes problemas. a. Un rectĂĄngulo tiene de ĂĄrea lados mide
5 8
15 40
de cm² y uno de sus
cm². ¿Cuål es la medida del otro lado?
b. Un rectĂĄngulo tiene de ĂĄrea y uno de sus lados mide del otro lado?
2 5
22 10
de metros cuadrados
de m². ¿Cuål es la medida
c. Un carpintero tiene una viga que mide largo. Si se debe cortar en trozos de ÂżcuĂĄntos pedazos obtendrĂĄ?
3 4
33 4
metros de
metros de largo,
d. Los alumnos de la Escuela Secundaria Federal “Constituyentes de 1857â€? de Santa BĂĄrbara, Chih. 105 tienen 4 litros de agua de limĂłn y la van a servir en jarras de utilizarĂĄn? 4
15 4
litros de capacidad. ÂżCuĂĄntas jarras
Recuerda que: La división se puede hacer en forma cruzada. Numerador por denominador igual a numerador‌ Simplifica el resultado o convierte la fracción a enteros.
2 1 2�5 10 1 á = = =3 3 5 3�1 3 3
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividades complementarias:
9. Resuelve las siguientes divisiones.
Resuelve los ejercicios que vienen en tu Libro de Texto Gratuito relacionados con estos aprendizajes.
42.8 ÷ 7 =
_________
8.94 ÷ 3 =
428 ÷ 7 =
_________
73.48 ÷ 125 = _________
0.428 ÷ 7 =
_________
80.5 ÷ 43 =
_________
4.28 x 7 =
_________
4.009 ÷ 3 =
_________
_________
10. Resuelve los siguientes problemas. Una caja con 24 refrescos cuesta $104.40 ¿Cuál es el costo de cada refresco?
El ancho de un terreno mide 3 metros y su área es de 37.50 metros cuadrados. ¿Cuánto mide de largo?
Un cable para instalar televisiones mide 12.48 metros de largo y se va a cortar en 3 partes iguales. ¿Cuál es la medida de cada parte?
Tengo 300 litros de agua. ¿Cuántas botellas de 1.5 litros de capacidad puedo llenar?
11. Resuelve las siguientes divisiones en el espacio de la derecha. 0.8 ÷ 0.2 =
_________
9.8 ÷ 0.1 =
_________
9.72 ÷ 0.3 =
_________
7.2 ÷ 0.01 =
_________
14 ÷ 0.56 =
_________
5.6 ÷ 0.001 =
_________
2.94 ÷ 0.7 =
_________
63.2 ÷ 0.01 =
_________
0.0144 ÷ 0.12 = _________
5
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Autoevaluación. Tú mismo vas a evaluar el aprendizaje que has adquirido. Resuelve el siguiente ejercicio. Resuelve las siguientes divisiones. 1 4 ÷ = 5 3
1 2 ÷ = 4 3
4.32 ÷ 5 = 0.4 ÷
8.64 ÷ 0.3 =
2 = 3
0.3 ÷
3 ÷ 2.5 = 4
2 = 9
3 ÷ 0.3 = 2
Resuelve los siguientes problemas: Mi sobrino Fernando que vive en Ciudad Juárez, recorrió 3 en bicicleta 7 4 kilómetros en un tiempo de 10 minutos. ¿Qué distancia promedio recorrió durante cada minuto? 94
Un rectángulo mide 100 cm² de área y su base es 0.8 cm. ¿Cuál es la medida de su altura? La maestra Angélica va a comprar la cerámica que se necesita para cubrir el piso de su sala que tiene forma rectangular y cuya área es de 16.20 metros cuadrados. Si su largo mide 4.5 m, cuál es la medida de su ancho?
6
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de multiplicación y división con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos. Recuerda que: Una multiplicación es una suma abreviada, por ejemplo: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 80, se puede ahorrar tiempo y esfuerzo si abrevias el proceso, pues realmente se tiene 10 veces el 8 y lo puedes escribir así: 10 x 8 = 80. También es importante recordar que: 10 x 8 = 80 es lo mismo que 8 x 10 = 80, pues el orden en que multipliques los factores no altera el resultado. Entonces: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 10 X 8 = 8 X 10 = 80
“REGLA DE LOS SIGNOS” Actividad 1: Analiza cada situación, así como las conclusiones. ¿Qué resulta de multiplicar una cantidad positiva por una cantidad negativa? Una persona contrata un servicio de telefonía celular, cada mes la compañía le cobrará 300 pesos que se descontará de su cuenta bancaria. ¿Cuánto dinero habrá pagado después de un año? Podemos considerar los – 300 pesos como una cantidad negativa pues cada mes se irán descontando del saldo de la cuenta bancaria. Para saber cuánto dinero habrá pagado después de un año, se podría sumar lo de cada mes: (- 300) + (- 300) + (- 300) + (- 300) + (- 300) + (- 300) + (- 300) +(- 300) +(- 300) +(- 300) +(- 300) +(- 300) = - 3600 pesos Con no más de 20 palabras explica ¿Por qué este resultado debe ser negativo?
Sin embargo se puede ahorrar tiempo y esfuerzo si lo representas de manera abreviada: Los 12 meses serán positivos pues es el tiempo que se disfrutará del servicio de telefonía por – 300 pesos que es la deuda mensual se puede representar así: (+ 12) x (- 300)= - 3600 pesos
Observa qué: Al multiplicar una cantidad positiva por una cantidad negativa el resultado es negativo.
¿Qué resulta de multiplicar una cantidad negativa por una cantidad positiva? Una persona utiliza 190 litros de agua diarios, en promedio para bañarse. ¿Cuántos litros de agua utiliza la persona para bañarse durante una semana? Los 190 litros de agua jamás se recuperarán, por lo tanto son una merma, y se representarán de forma negativa 190 7
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Ahora bien la semana tiene 7 días, entonces: (-190) + (-109) + (-190) + (-109) + (-190) + (-109) + (-190) = - 1330 litros De forma abreviada quedaría así: (-190) x (+7) = ¿Qué resulta de multiplicar dos cantidades negativas? Susy gastaba 390 pesos al mes en refrescos, pero en marzo que inició la pandemia de COVID 19 decide dejar de consumir refresco para cuidar su salud. ¿Cuánto dinero ha dejado de gastar Susy de marzo a julio? La cantidad gastada por Susy en refrescos será negativa, -390 pesos De marzo a julio hay 5 meses y como en esos 5 meses no hizo ninguna compra entonces se pueden representar también como una cantidad negativa o sea (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 5 meses, luego: -1 x (-390) – 1 x (-390) - 1 x (-390) – 1 x (-390) – 1 x (-390) = + 1950 pesos Entonces si damos respuesta a la pregunta de ¿cuánto dinero ahorro Susy esos 5 meses? Tendríamos que representarlo así: (- 390) x (- 5)= +1950 Con no más de 20 palabras explica, ¿Por qué crees que el resultado es positivo?
¿Qué resulta de multiplicar dos cantidades positivas? Inventa un problema donde multipliques dos cantidades positivas, recuerda que este tipo de problemas los haz venido resolviendo desde primaria.
8
Observa qué: Al multiplicar una cantidad negativa por una cantidad positiva el resultado es negativo. Al multiplicar dos cantidades con signo negativo el resultado será positivo. Al multiplicar dos cantidades positivas el resultado es positivo.
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividad 2. Resuelve los siguientes problemas tomando en cuenta las observaciones hechas. 1.
Doña Luz es costurera y diariamente elabora 50 cubrebocas que su nieto Juan sale a vender: a. Escribe una expresión que represente la cantidad de cubrebocas que Doña Luz elabora en una semana. b. Si el costo de cada cubrebocas es de 15 pesos, escribe la expresión que represente la cantidad que Doña Luz espera recibir semanalmente.
2. El responsable del almacén de un hospital observa que diariamente se pierden 5.5 litros de gel antibacterial. a. Escribe la expresión que representa esa pérdida durante una semana. 3. Si le compro 3 cubrebocas a Doña Luz y pago con un billete de 50. a. ¿Qué expresión representa el valor total de los 3 cubrebocas? (-3 ) x (15) ( 3 ) x (15) b. Con no más de 15 palabras describe todo el proceso que debes seguir para saber cuánto será tu cambio. 4. He decidido dejar de comer “papitas” y ahorrar durante un año ese dinero para comprar una bicicleta. a. La bolsa de “papitas” cuesta 13 pesos, ¿Cómo se representa esa cantidad si es un gasto? b. ¿Cómo se debe representar los 365 días del año si al final tendré una cantidad de dinero ahorrada? c. ¿Cuál expresión representa ese ahorro? (+13) x (-365) =
(-13) x (-365)=
9
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
5. Debido a la edad una mujer de 65 años o más decrece 0.78 cm al año, o sea casi un centímetro. ¿Cuánto decrece al paso de 3 años?
REGLAS DE LOS SIGNOS (Al multiplicar) (POSITIVO) x (POSITIVO) = POSITIVO Su representación con signos será
a. ¿Escribe la expresión decrecimiento?
que
represente
ese
Cómo puedes observar el resultado depende de que los factores sean positivo o negativo, es una regla para multiplicar o sea un convencionalismo y se enuncia como se muestra en la parte lateral de esta página. a. En la multiplicación ¿Cuándo se obtiene un resultado positivo? b. En la multiplicación ¿Cuándo se obtiene un resultado negativo?
(+)x(+)=(+) (NEGATIVO) x (NEGATIVO) = POSITIVO Su representación con signos será
(-)x(-)=(+) (POSITIVO) x (NEGATIVO) = NEGATIVO Su representación con signos será
(+)x(-)=(- ) (NEGATIVO) x (POSITIVO) = NEGATIVO Su representación con signos será
(-)x(+)=(-)
c. Inventa 3 ejemplos de cada regla y escríbelos en tu cuaderno; ¿Cuántos ejemplos deberás inventar? d. Para entender mejor la regla de los signos, debes tener presente cuando la cantidad es positiva y cuando es negativa, el siguiente ejemplo te puede ayudar si consideras las actitudes de las personas…
e.
10
Inventa un juego como el anterior con el que representes la Regla de los signos en la multiplicación y si te es posible compártela con algún compañero.
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Teclas de la calculadora o celular
Actividad 3. Resuelve las siguientes tablas de multiplicar, puedes comprobar los resultados en tu calculadora o celular, sólo debes de dar clic antes del número negativo deseado en la tecla de (–) , o en la tecla (+/-). Por ejemplo (– 4) × (–12) =
Representación de la multiplicación de números positivos y negativos en el Plano Cartesiano, pero antes recuerda qué: Cuando se habla de números con signo, se hace referencia a los números fraccionarios y decimales, positivos o negativos, así como a los números enteros. Dichos números se pueden ubicar como puntos en una recta numérica como la siguiente
O también pueden indicar las coordenadas de los puntos que se ubican en un plano cartesiano:
4 x 4=
4 x 4 = 16
4 x 3=
x 4 = 12
4 x 2=
x 4 =8
4 x 1=
x 4 =4
4 x 0=
x 4 =0
4 x
= -4
x 4 = -4
4 x
= -8
x 4 = -8
4 x
= -12
x 4 = -12
4 x
= -16
x 4 = -16
0.5 x 4 = 0.5 x 3 = 0.5 x 2 =
(-0.5) x (-0.5) x (-0.5) x
4 =
0.5 x 1 = 0.5 x 0 = 0.5 x (-1 ) = 0.5 x (-2 ) =
(-0.5) x (-0.5) x
1 =
0.5 x (-3 ) = 0.5 x (-4 ) =
3 = 2 = 0 =
(-0.5) x (-1) = (-0.5) x (-2) = (-0.5) x (-3) = (-0.5) x (-4) =
Actividad 4. En el siguiente plano cartesiano realiza lo que se indica. a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A? b) Ubica en el plano cartesiano el punto cuyas coordenadas son (−1.5, −2), represéntalo con la B, ¿en qué cuadrante se ubica este punto? c) Ubica en el plano cartesiano el punto cuyas coordenadas son ( 1 , −2), represéntalo con la C, ¿en qué cuadrante se ubica este punto? d) Ubica en el plano cartesiano el punto cuyas coordenadas son (−0.5, −2), represéntalo con la D ¿en qué cuadrante se ubica este punto?
11
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividad 5. a. En la ilustración de la derecha aparece una recta inclinada que representa una rampa de inclinación constante; y una recta horizontal que representa el nivel del suelo. Al desplazarnos una unidad en la dirección horizontal, el punto correspondiente sobre la rampa se encuentra a una altura de 0.3 unidades. ¿A qué altura nos encontraremos sobre la rampa al desplazarnos 2, 3, 4, o más unidades en la dirección horizontal? b. Conforme se avanza en la rampa ¿qué ocurre con la altura? c. Y ese crecimiento según la gráfica es positivo o negativo? d. Compara tus resultados con la gráfica de la derecha e. Ahora prolonga hacia la izquierda tanto la recta horizontal como como la rampa, dibújala y escribe las multiplicaciones por 0.3 resultantes. f.
12
Ahora dibuja otra rampa que vaya del Segundo Cuadrante al Cuarto Cuadrante y representa en ella las siguientes multiplicaciones por - 0.5:
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
( - 1) X ( - 0.5) =
( -2 ) X ( - 0.5) =
( -3 ) X ( - 0.5) =
( - 4 ) X ( - 0.5) =
( 1 ) X ( - 0.5) =
( -2 ) X (- 0.5) =
( -3 ) X ( - 0.5) =
( - 4 ) X ( - 0.5) =
g. Compara tus resultados de los incisos e y f en las siguientes grĂĄficas:
Para el inciso e:
Para el inciso f:
Recuerda que: Una divisiĂłn tambiĂŠn se puede escribir como una fracciĂłn por ejemplo: si se reparte un pastel entre dos personas, ÂżquĂŠ parte le toca a cada una? 1 đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘™ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ 2 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘ A cada quien le toca medio pastel y esa cantidad se escribe asĂ
1
Actividad 6. Si la divisiĂłn es una operaciĂłn inversa a la multiplicaciĂłn, ÂżcĂłmo se aplica la regla de los signos en la divisiĂłn? Cinco amigos compraron un boleto para la rifa se 13 550 pesos. Si ganan la rifa, ÂżcuĂĄnto habrĂĄ ganado cada quiĂŠn? Pero si pierden en la rifa, ÂżCuĂĄnto habrĂĄ perdido cada quiĂŠn?
2
13
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
a. Encierra de azul las expresiones que representan la ganancia y de rojo la expresiones que indican la perdida. 13550 5
=
13550 −5
=
−13550 −5
− 13550 5
=
(- 13550) ÷ (- 5) =
(13550) ÷ (- 5) =
(- 13550) ÷ ( 5) =
( 13550) ÷ ( 5) =
=
b. Mi mamá tenía una deuda de 3150 pesos, y le ha sido imposible pagar a tiempo porque se quedó sin trabajo, debido a eso su deuda se triplicó. ¿Cuánto debe ahora? c. Mi mamá negoció y le dieron la oportunidad de pagar esa cantidad en 12 meses sin intereses, ¿cuál expresión representan lo que mi mamá deberá pagar cada mes: (9450) ÷ (12) =
(-9450) ÷ (-12) =
(-9450) ÷ ( 12)=
(9450) ÷ ( -12 )=
d. ¿Cuánto deberá mensualmente?
pagar
ahora
mi
mamá
e. Observa las siguientes operaciones y responde: Si ( +3 ) x ( +4 ) = +12 Si ( -3 ) x ( +4 ) = - 12 Si ( +3 ) x ( -4 ) = - 12 Si ( -3 ) x ( -4 ) = +12
entonces entonces entonces entonces
( +12 ) ÷ ( +3 ) = +4 ( -12 ) ÷ ( -3 ) = +4 ( -12 ) ÷ ( +3 ) = -4 ( +12 ) ÷ ( -3 ) = -4
Al dividir cantidades con signos iguales, ¿el resultado será?
Al dividir cantidades con signos diferentes, ¿el resultado será?
Inventa 12 ejemplos donde apliques la regla de los signos en la división, si es posible comparte tus ejemplos con algún amigo.
14
.
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Actividad 7. Estos son uno cuadros mágicos porque si sumas en horizontal, vertical o diagonal, el resultado será siempre el mismo. 1.
Dibuja estos cuadros mágicos en una hoja y 1 recórtalos, multiplica cada casilla por - 2 en el primer cuadro y por – 0.5 en el segundo cuadro, al reverso de cada celda escribe el resultado. 1 10
-0.6
8
1
6
30 100
-0.5
-0.7
3
5
7
2 −5
-0.9
-0.2
4
9
2
-0.8
−
2.
* Recuerda que no se pude dividir una cantidad entre cero. Por eso te marcará error en la calculadora en este caso.
−
Completa la siguiente tabla de dividir, corrobora tus respuestas en la calculadora o el celular. ÷
-5
15
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
15
-15 18 -18 24 -24
+12
10 -10
2
3. Resuelve los siguientes problemas, escribiendo siempre el proceso que seguiste para ello. a. Los hombres de más de 65 años decrecen menos que las mujeres, lo he notado en mi abuelo él se ha “encogido” en los últimos 4 años 2.4 cm en total. Cada año disminuyo la misma cantidad. ¿Cuál fue el cambio en la estatura de mi “abue”? b. Este es un problema de Ciencia Ficción Juan se expuso a una máquina de encogimiento diamagnético, después de 1.5 segundos, había encogido 135 cm. Su altura disminuyó en la misma proporción cada segundo. 15
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Juan quiere saber cuánto cambió su altura cada segundo. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe mejor la situación? Subráyala ─ 135 ÷ 1.5 = ¿?
─ 1.5 ÷ 135 = ¿?
Completa la siguiente tabla Segundos Encogimiento
0.5
1
1.5 -135
2
c. Durante el embarazo, la lactancia y la menopausia, se recomienda un aporte extra de calcio si al final de la semana una mujer en condiciones consumió 9100 miligramos de calcio. ¿Cuántos miligramos consumió diariamente? d. Una empresa pequeña tiene ganancias por 15570 pesos, las cuales se reparten entre los 4 socios, ¿cuánto le corresponde a cada uno? e. Tres hermanos compran un boletos para una rifa si ganan repartirán el premio a partes iguales porque todos cooperan la misma cantidad para su compra. Si el boleto cuesta 202 pesos ¿Cuánto aporta cada quién? El premio es de 12000 pesos, si ganan ¿Cuánto le tocará a cada uno? Si no ganan ¿Cuánto habrá perdido cada uno? Representa el punto anterior con una expresión.
Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de potencias con exponente entero y aproxima raíces cuadradas. Contenido 3.1: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. Orientación didáctica: Que los alumnos calculen la raíz cuadrada por aproximaciones sucesivas para que la empleen en la solución de problemas cotidianos. En tus estudios de primaria y secundaria has abordado junto con tu maestro(a) el cálculo de áreas de cuadrados. Recordemos algunas de las cosas que has aprendido: Probablemente tú maestro(a) te haya propuesto resolver problemas como el siguiente: Mi papá tiene un terreno en otra colonia de la ciudad el cual tiene forma cuadrangular. Si uno de sus lados mide 8 m ¿cuál es el área del terreno? Seguramente habrás hecho el dibujo del terreno:
Encuentra el área de los siguientes cuadrados con base en la información de la tabla.
B
A
D
C
Figura
Medida de su lado
A
3
B
5
C
9
D
12
Área
Por distintos métodos habrás descubierto que para encontrar el área del cuadrado basta con multiplicar el valor del lado conocido por sí mismo, esto es, A = l x l = 8 x 8, inclusive es probable que tu maestro(a) y tú hayan concluido que cuando un número se multiplica por sí mismo es equivalente a decir que se eleva al cuadrado, por lo tanto 8 x 8 = 82. Por lo tanto: A = l x l, también A = l2, por lo tanto el área del terreno es A = 8 x 8 = 82 = 64 m2
Seguramente para resolver los ejercicios anteriores has multiplicado el valor del lado por sí mismo, es decir has elevado al cuadrado el valor del lado. Cuando eso sucede, se dice que el resultado es un número cuadrado perfecto.
16
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Algunos ejemplos de cuadrados perfectos son por ejemplo: 2x2=4 El 4 es un número cuadrado perfecto.
Completa la siguiente tabla: Número cuadrado perfecto
Raíz cuadrada
Razonamiento
144
12
Porque 12 x 12 = 144
3x3=9 El 9 es un número cuadrado perfecto. 11 x 11 = 121 El 121 es un número cuadrado perfecto. m x m = m2 m2 es una cantidad cuadrada perfecta. En tus estudios anteriores seguramente te habrás encontrado que en vez de calcular el área de un cuadrado tu maestro(a) te solicita que calcules el lado del cuadrado cuando conoces su área, por ejemplo:
Este caso es sencillo porque el área es un número cuadrado perfecto, por lo que basta con buscar un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado 64. En este caso el lado mide 8 porque 8 x 8 = 64. A la operación anterior se le llama raíz cuadrada. Obtener la raíz cuadrada de un número no es otra cosa que buscar un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado el número buscado. Por ejemplo encontrar la raíz cuadrada de los siguientes números: Raíz cuadrada de 36: El resultado es 6, porque 6 x 6 = 36 Raíz cuadrada de 81: El resultado es 9 porque 9 x 9 = 81
15 Porque 4 x 4 = 16 169 7
Raíz cuadrada por ensayo y error y por aproximaciones Ahora resolvamos el siguiente problema: El patio de la casa de mi tío tiene forma de cuadrado y su área es de 50 m2. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? Está claro que tenemos que sacar la raíz cuadrada de 50. El problema es que el número 50 no es cuadrado perfecto, es decir si buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado 50 no lo vamos a encontrar. En este caso tendremos que buscar ese número por tanteo, sumándole o restándole cantidades hasta encontrar el número o acercarse lo más que se pueda al 50. A estos métodos se les llama por “ensayo y error” y “por aproximaciones”. Comencemos: Como no hay un número que multiplicado por sí mismo de 50, buscamos el que más se le aproxime, por ejemplo: 7 x 7 = 49 y 8 x 8 = 64 SI observas con el 7 el resultado se queda corto y con el 8 se pasa, por lo que el número que buscamos debe de estar entre el 7 y el 8, por lo cual le aumentamos un decimal al 7. 7.1 x 7.1 = 50.41, es decir, nos pasamos, por lo cual debemos reducir el 7.1. ¿Ahora entiendes por qué se le llama método de ensayo y error o de aproximaciones? Intentemos con 7.09 que es menor que 7.1: 7.09 x 7.09 = 50.268, sigue siendo mayor; reduzcamos a 7.08. 7.08 x 7.08 = 50.1264; tratemos con 7.07. 7.07 x 7.07 = 49.98. Este resultado nos indica que el número que buscamos está entre 7.07 y 7.08. 17
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
7.071 x 7.071 = 49.999041. Como puedes notar, el valor que buscamos es ligeramente mayor que 7.071, pero esta última cantidad se puede tomar como resultado ya que estamos buscando la aproximación al resultado, por lo tanto podemos concluir que la raíz cuadrada de 50 es aproximadamente 7.071.
Contenido 3.2: Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia.
Encuentra por ensayo y error y por aproximaciones las raíces cuadradas de los siguientes números:
Orientación didáctica: Que los alumnos aprendan las Leyes de los exponentes en la multiplicación de potencias de una misma base, en la potencia de potencia y en la división de potencias de una misma base y las apliquen en la resolución de diversos ejercicios y problemas.
30 = 22 = 15 = 40 = 8= Resuelve los siguientes problemas: Mi papá va a construir una bodega de forma cuadrangular que tenga un área de 256 m2. ¿Cuánto debera medir en cada lado?
Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Recordemos los conocimientos previos que has aprendido a través de tus estudios tanto de primaria como de secundaria y que te ayudarán a comprender mejor este contenido: Conocimiento previo 1. Una multiplicación se puede representar de varias formas: Utilizando el símbolo “x” en medio de las cantidades a multiplicar, por ejemplo: 3 x 4 = 12, 5 x 9 = 45, A = b x h. Utilizando un punto en medio de las cantidades a multiplicar, por ejemplo: 3 ∙ 4 = 12, 5 ∙ 9 = 45, A = b ∙ h.
En la escuela vamos a hacer un periódico mural y la maestra pidió que el diseño fuera cuadrado. Como los demás grupos también van a presentar el suyo, a nosotros nos tocó un espacio de 3600 cm2. ¿Cuánto medirá el lado de nuestro periódico?
Utilizando paréntesis en las cantidades a multiplicar, por ejemplo: (3)(4) = 12, (5)(9) = 45, A = (b)(h). Sin utilizar símbolos entre las cantidades a multiplicar, por ejemplo: b x h = bh, m ∙ n = mn, (D)(d) = Dd, 4 x a = 4a. Conocimiento previo 2. La división también se representa de varias formas: Utilizando el símbolo “
”.
Utilizando el símbolo “÷” cantidades a dividir. Por ejemplo, 6 ÷ 2 = 3.
entre las
Escribiendo las dos cantidades que se van a dividir en forma de fracción; una fracción es, de hecho, una división no 8 efectuada, por ejemplo = 2 4
18
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Conocimiento previo 3. Toda cantidad multiplicada por uno es igual a sĂ misma, por ejemplo:
Para que practiques y recuerdes los conocimientos previos mencionados, resuelve los siguientes ejercicios:
5x1=5
1.- Completa la siguiente tabla tomando en cuenta las cantidades de la primera y/o Ăşltima columna, las de las filas horizontales, asĂ como el signo de la operaciĂłn de la tabla.
12 ∙ 1 = 12 (8) (1) = 8 6 3
∙1 =
6 3
a∙1=a
x
4
1 4
9
(xy)(1) = xy
1 Conocimiento previo 4. Toda cantidad dividida entre uno es igual a sĂ misma, por ejemplo:
x6
1.3 5 6
8
2.5
m5
y4
á
2.- ContinĂşa de la misma forma.
7á1=7 4 1 b 1
=4
6
=b
Conocimiento previo 5. Toda cantidad dividida entre sà misma es igual a uno, por ejemplo: 23 á 23 = 1 3 =1 3 9 =1 9
7
Conocimiento previo 6. Toda cantidad se puede escribir en forma de fracciĂłn sin alterar su valor anotando al nĂşmero 1 como su denominador, por ejemplo: 4 =4 1 32 = 32 1 x =x 1 m =m 1 1 =1 1
4.6 4 3
12
n2
1
3.- Continúa de la misma manera. á
4
3 7
14
đ?‘Ľ4
4
a =1 a x3 =1 x3
2 5
5
1 3 7 1 PotenciaciĂłn [Conocimientos previos] En tus estudios de primaria y de primero de secundaria seguramente en algĂşn momento, abordaste junto con tu maestro el cĂĄlculo del ĂĄrea de un cuadrado como el siguiente: Ă rea Lado (l) = 6
Seguramente arribaron a la conclusiĂłn de que el ĂĄrea de cualquier cuadrado se encuentra multiplicando el valor de uno de sus lados por sĂ mismo, es decir que, A = l x l, inclusive es probable que hayan concluido que A = l2. En el caso del cuadrado de lado 6 de la figura, el ĂĄrea es igual a 6 x 6, incluso tal vez hayan manejado la expresiĂłn 62. Ambas son equivalentes y al resolverlas en los dos casos el resultado es 36, es decir 6 x 6 = 36 o 62 = 36. Esta Ăşltima expresiĂłn es un ejemplo de una potenciaciĂłn.
19
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Particularidades y propiedades de la potenciación Cuando una cantidad tiene como exponente al número 1, el resultado es la misma cantidad, por ejemplo: 21 = 2; 51 = 5; y1 = y. En todos estos casos, da lo mismo si a la base se le anota el exponente 1 o si no se le anota, es decir, 21 = 2; 51 = 5; y1 = y. Lo anterior se lee respectivamente “dos a la uno, o dos a la primera potencia”, “cinco a la uno, o cinco a la primera potencia”, ye a la uno, o ye elevada a la primera potencia”.
Cuando una cantidad tiene como exponente al número dos, por ejemplo 42 se lee “cuatro al cuadrado o cuatro elevado a la segunda potencia”. La potencia 42 se puede escribir también en forma expandida como 4 x 4. Cuando una cantidad tiene como exponente al número tres, por ejemplo 43 se lee “cuatro al cubo o cuatro elevado a la tercera potencia”. La potencia 43 se puede escribir también en forma expandida como 4 x 4 x 4. Cuando una cantidad tiene como exponente al número cuatro, por ejemplo 44 se lee “cuatro a la cuarta potencia”. La potencia 44 se puede escribir también en forma expandida como 4 x 4 x 4 x 4. Así sucesivamente. Con base en lo anterior completa la tabla siguiente. Expresión
Se lee
Expresión expandida
Base Exponente Potencia
47 45 Tres al cuadrado o tres a la segunda potencia
9∙9∙9 5
6
7x7x7x7x7 Ocho a la primera potencia
Multiplicación de potencias de una misma base Una multiplicación de potencias de una misma base son dos o más expresiones que tienen la misma base cuyo producto o resultado se está buscando, por ejemplo: 23 ∙ 25 = En este caso se puede utilizar la expresión expandida de cada factor, es decir: 20
Partes de una potenciación:
La base es la cantidad que se multiplica por sí misma tantas veces como lo indique el exponente, en este caso la base es el número 6. El exponente indica la cantidad de veces que la base se tiene que multiplicar por sí misma, en este ejemplo el exponente es el dos, el cual indica que el número 6 se tiene que multiplicar 2 veces por sí mismo, es decir 6 x 6. (Ojo: multiplicar 6 x 2 es un procedimiento equivocado en este caso de la potenciación). La potencia es el 36; es el resultado de multiplicar 6 x 6.
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
2x2x2 x 2x2x2x2x2 = 28 = 6561 Entonces, 23 ∙ 25 = 23+5 = 28 = 6561 ¿Qué operación se hizo con los exponentes 3 y 5 al multiplicar las bases? ¿Qué número era la base en las cantidades que se multiplicaron? ¿Qué número era la base en la potencia o resultado?
Observa esta otra multiplicación de potencias de la misma base: 44 x 43 x 4 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 48 44+3+1 = 48 = 65536 Atendiendo a lo anterior completa la siguiente tabla: Multiplicación de potencias de una misma base
Expresiones expandidas
Potencia con suma indicada de exponentes
Potencia
54 x 55 x2
∙ x5 ∙ x3 (m x m x m) x (m x m) y3 +1+5
b6
∙
b2
∙
b4
∙
b2
(a5) (a2) (a) (a3)
a∙a∙a∙a∙a ∙ a∙a ∙ a ∙ a ∙a∙a m2 +6+1+1
(x 3 )
(x2)
(x)
Ahora resuelve las siguientes multiplicaciones de una misma base pero sin escribir las expresiones expandidas ni la potencia con suma indicada de exponentes. 72 x 73 = p4 ∙ p3 = (a5) (a6) (a2) = X7 ∙ x2 ∙ x3 = m 4 x m3 x m5 x m x m 2 = (b6) (b3) (b) (b1) = y2 ∙ y6 = n7 x n2 x n2 x n3 = (c4) (c3) (c2) (c9) = t4 x t6 x t5 =
(x3)4 = 21
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Potencia de Potencia
Potencia de potencia.
Probablemente se te dificultó un poco la última operación del ejercicio anterior, y eso es porque en realidad no se trata de una multiplicación de potencias de una misma base, sino de una potencia de potencia, pero con lo que has aprendido hasta ahora seguramente podrás resolverla por ti solo, si no es así observa el ejemplo del lado derecho:
¿Qué operación se realizó con los exponentes 3 y 4 para que el resultado tuviera como exponente el número 12? Completa lo que falte en la siguiente tabla. Potencia de potencia
Expresión expandida
Potencia con suma indicada de exponentes
Potencia
(73)4 (3)2 (3)2 (3)2 (3)2 (3)2 (3)2 (m6)3 X5+5+5+5+5+5 b6
Resuelve las siguientes potencias de potencia sin escribir la expresión expandida ni la potencia con suma indicada de exponentes. (43)3 = (a4)2 = (y5)4 =
(x7)3 = (p6)3 = (b2)9 = (n3)5 = (a4)4 (x3)-2 = (a2b3)4 = 22
(𝑚3 )4 = Expresión expandida.
(𝑚3 )(𝑚3 )(𝑚3 )(𝑚3 ) = Potencia con suma indicada de exponentes.
𝑚3+3+3+3 = 𝑚12 Entonces la potencia de (𝑚3 )4 es
𝑚12
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
Ejemplo de una divisiĂłn de potencias de la misma base. đ?‘š7 = đ?‘š3 ExpresiĂłn expandida.
đ?‘š đ?‘š đ?‘š đ?‘š đ?‘š đ?‘š đ?‘š ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = đ?‘š đ?‘š đ?‘š 1 1 1 1 Resultados de dividir
đ?‘š đ?‘š
y
đ?‘š 1
.
1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š = 1 ∙ đ?‘š4 Por lo tanto la potencia es đ?‘š4
DivisiĂłn de potencias de una misma base Para que comprendas mejor la divisiĂłn de potencias de una misma base, vamos a estar recordando y utilizando los conocimientos previos 3, 4, 5 y 6 aplicados en la potenciaciĂłn, mĂĄs los saberes construidos en la multiplicaciĂłn de potencias de una misma base y en la potencia de potencia, para lo cual vamos a ver el ejemplo de este tipo de divisiĂłn que se encuentra a la derecha de esta pĂĄgina.
ÂżQuĂŠ operaciĂłn se realizĂł con los exponentes 7 y 3 de la divisiĂłn para que el exponente del resultado fuera 4? Por lo tanto podemos concluir que en toda divisiĂłn de potencias de una misma base sucede lo siguiente: y9 = y 9−4 = y 5 y4 Con base en lo anterior y despuĂŠs de observar los ejemplos completa la siguiente tabla: DivisiĂłn de potencias de una misma base
56 54 a8 a2 đ?‘Ľ5 đ?‘Ľ4 đ?‘?8 đ?‘?3
Potencia con la resta indicada del exponente del numerador menos el exponente del denominador
Potencia
56−4
52 = 25
a8−2
a6
đ?‘š9−2 đ?‘Ś12 đ?‘Ś4 đ?‘?10−6 đ?‘¤ 4−2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ3 đ?‘š3 đ?‘š8
23
NĂšMERO, ALGEBRA Y VARIACIĂ“N
DivisiĂłn de potencias de una misma base cuya potencia tiene exponente cero El penĂşltimo ejercicio de la tabla anterior tal vez te generĂł ciertas dudas que a continuaciĂłn se explicarĂĄn. đ?‘š3
Si tenemos la divisiĂłn 3 y si aplicamos la regla de anotar đ?‘š la misma base, y al exponente del numerador le restamos el exponente del denominador, tendremos como resultado m0 (eme a la cero) lo cual es correcto.
Desarrollo: DivisiĂłn
đ?‘š3 đ?‘š3
= đ?‘š đ?‘š đ?‘š
ExpresiĂłn expandida. đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙= Resultados al dividir 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
Ahora observa lo que pasa en el desarrollo de la derecha si aplicamos los conocimientos previos 5 y 3. Visto lo anterior entonces tenemos que đ?‘š3
đ?‘š3 đ?‘š3
= đ?‘š0 , pero
tambiĂŠn tenemos que đ?‘š3 = 1, siendo ambos resultados correctos, por lo que podemos generalizar que:
Toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a uno. Ejemplo:
DivisiĂłn de potencias de una misma base cuya potencia tiene exponente negativo Es posible que el Ăşltimo ejercicio de la tabla anterior te haya causado dificultades al resolverlo, por lo anterior lo abordamos a continuaciĂłn. Si tenemos la divisiĂłn
đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6
y si aplicamos la ley de los
exponentes, entonces tendremos que resultado que es correcto.
đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6
= đ?‘Ľ 4−6 = đ?‘Ľ −2 ,
đ?‘Ľ4
đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6
= đ?‘Ľ
−2
, pero
1
tambiĂŠn tenemos que đ?‘Ľ 6 = đ?‘Ľ 2 , siendo ambos resultados correctos, por lo que podemos generalizar que:
Cuando una potencia tiene exponente negativo, dicho exponente se puede cambiar a positivo si lo anotamos en el denominador de una fracciĂłn, anotando 1 en el numerador de la fracciĂłn.
24
đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6
=
Expresiones expandidas.
đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ ⏚ ⏚ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ Resultados de dividir una cantidad entre sĂ misma y multiplicando cualquier cantidad por 1.
1∙1∙1∙1∙
Pero si hacemos la operaciĂłn con expresiones expandidas y aplicamos los conocimientos previos 5 y 3, tendremos lo que se observa en el ejemplo de la derecha: Visto lo anterior entonces tenemos que
DivisiĂłn
1 1 1 ∙ = 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ
Potencia multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador.
1 đ?‘Ľ2
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Resuelve los siguientes problemas: 1.
Aprendizaje esperado:
Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.
En mi comunidad hay cuatro plazas públicas. En cada una de las plazas hay cuatro jardineras. En cada jardinera, además de otras plantas y árboles, hay cuatro rosales y cada rosal tiene cinco rosas. ¿Cuántas rosas hay en total en las plazas públicas de mi comunidad?
2. Un terreno baldío que está enfrente de mi casa tiene un área de 27 m2 y tiene forma rectangular. Uno de los lados del terreno mide 23 m. ¿Cuánto mide el otro lado del terreno que no es paralelo al anterior?
Análisis: Recordemos qué es una Relación de proporcionalidad mediante el análisis de la siguiente situación: Una empresa les regala a sus empleados un cubrebocas desechable nuevo cada día. Si todos trabajan seis días a la semana, calcula ¿cuántos cubrebocas debe entregar la empresa en total por semana, si tiene contratados a cuatro empleados? La cantidad de cubrebocas entregado por semana a cada trabajador es 6 y la cantidad de empleados que trabajan durante dicha semana es 4. Entonces, en una semana se deben entregar 24 cubrebocas en total, lo cual se obtiene con la operación: Número de cubrebocas a la semana por el número de trabajadores 6×4=24 Con esta información es posible calcular cuántos cubrebocas se necesitan en total si se contratan tres trabajadores más, mediante el cálculo: 6×7=42 Nota: La constante de proporcionalidad establece la relación entre dos variables; y en este caso, nos indica cuánto hay de una con respecto a la otra.
Considera las características descritas en el análisis de la empresa para completar la siguiente tabla: Trabajadores
Cubrebocas
10
60
Cubrebocas por trabajador c/t
72 25 30 270
Utiliza la calculadora y reparte (divide) la cantidad de cubrebocas que le tocan a cada trabajador en cada caso, anótalo en la tercera columna y encontrarás un número constante: el 6, al cual se le llama constante de proporcionalidad. En sexto grado de primaria estudiaste la relación de proporcional directa; la siguiente situación te ayudará a recordarla: “Bañarse con la regadera al final de día resulta relajante para muchas personas. También es estimulante hacerlo por la mañana, para empezar el día. La cuestión es que, generalmente, al abrir la llave, no se suele pensar en el agua que se consume en cada una de estas actividades. 25
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Una ducha de 10 minutos con la llave siempre abierta, consume 200 litros de agua, según datos de la OMS, organización que, a su vez, recomienda gastar un 150% menos.”
Sabías que: Una ducha de 10 minutos con la llave siempre abierta, consume 200 litros de agua
Utiliza la información mostrada para completar la siguiente tabla de variación donde: m = minutos en la ducha y a = litros de agua consumidos. Realiza también la operación que se muestra en la cuarta fila para el resto de la tabla.
m
a
Cálculo de la constante de proporcionalidad
La constante de proporcionalidad se obtiene por medio de un cociente, el cual forma una razón entre las dos variables.
10
Al aumentar una de las cantidades, la otra aumenta también en la misma proporción.
15
Al disminuir una de las variables, la otra también disminuye en la misma proporción.
20 25
500
500 = 20 25
PARA PENSAR…
30
¡A poner en práctica lo recordado! I. Completa las siguientes tablas, para ello toma en cuenta la información que se proporciona para cada una. Tabla 1 Tres trabajadores juntan su sueldo diario y reúnen $ 360.00 pesos, considera que todos ganan la misma cantidad de dinero. t = trabajadores y $ = dinero reunido. Tabla 2 Un dólar equivale a 22.35 pesos. t
26
Seguimos recordando… En una relación de proporcionalidad directa…
$
Pesos
Dólares
1
1
2
15
3
20
4
100
Si el tinaco de una casa contiene 1200 litros de agua, ¿para cuántas duchas de 10min alcanza? Respuesta:
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
¿En qué consiste la proporcionalidad inversa? Tres trabajadores realizan una obra en 12 días, considera que todos trabajan al mismo ritmo, es decir, son igual de rápidos y productivos y contesta: ¿Cuánto tardarían en hacer la misma obra 1, 2, 4, 5 y 6 trabajadores?
Tabla 3 Para un viaje de campamento se compra un litro de agua para cada persona que asiste. Tabla 4 Calcula la constante de proporcionalidad en la siguiente tabla. Personas Asistentes
Litros de agua
lápices
Precio
3
19.50
36
5
32.50
60
10
65.00
12
78.00
15
Para dar respuesta a esta interrogante, organicemos las dos variables que se relacionan: d = días y t = trabajadores por medio de tablas de variación.
50
Constante de proporcionalidad
II. Escribe debajo de cada tabla un sí o un no, según compruebes si la tabla presenta dos variables en relación proporcional directa. En muchas ocasiones utilizamos lo aprendido anteriormente para aplicarlo en nuevas situaciones, por ello, una idea común es calcular los días que tardaría un solo trabajador por medio de una división como se muestra: Reflexión: ¿Es lógico que, si entre tres trabajadores se tardan 12 días, un sólo trabajador haga la misma obra en menos tiempo? La respuesta es no. Lo lógico es que a mayor cantidad de trabajadores, el número de días que se tarden en hacer la misma obra debe ser menor.
x 1 2 3 4
y 2 6 10 14
x 1 2 3 4
y 17 34 51 68
x 3 6 9 12
y 10 8 6 4
x 1 2 3 4
y 2 4 6 8
x 14 11 5 2
y 19.6 15.4 7 2.8
Continuemos con el análisis del problema de los trabajadores antes propuesto… La tabla de variación se completa de la siguiente manera: Es momento de darse cuenta que la constante de proporcionalidad se calcula con la operación contraria a la división: la multiplicación de las variables.
¡Estamos en un caso en que la relación de las dos variables establece que cuando una aumenta, la otra debe disminuir!
En una relación proporcional inversa, las variables se relacionan de manera tal que al aumentar una de ellas, la otra disminuye en la misma proporción y al disminuir la primera, la segunda aumenta, en la misma proporción.
27
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
¡Automóviles contra tractores! Estos dos automotores tienen igual potencia de motor: 120 CV (caballos de fuerza); la potencia se calcula con la siguiente ecuación que se lee: la potencia es igual a la fuerza multiplicada por la velocidad.
𝑃 = 𝐹𝑉 Dónde: F= fuerza V= velocidad Entonces, si tenemos una potencia constante, la fuerza esta en proporción inversa a la velocidad. Esto significa que: A mayor fuerza, menor velocidad, como en el caso del tractor, que es muy lento pero su fuerza es grande y se utiliza para arrastrar arados y maquinaria agrícola muy pesada. A menor fuerza, mayor velocidad, como es el caso del automóvil, que puede desarrollar hasta 200km/h pero sería muy poco útil al utilizarlo para que ejerciera fuerza de arrastre. Calcula la constante de proporcionalidad inversa y el valor faltante en las siguientes tablas: M
N
A
B
M
N
A
B
A
B
3
1500
8
1200
7
2200
5
420
6
2000
50
90
12
800
40
385
10
210
25
480
75
y
30
x
88
y
30
x
80
x
k=
k=
k=
k=
k=
y=
x=
y=
x=
x=
¿Para qué sirve el reparto proporcional? En el esquema de la derecha se muestra una situación que ocurrió con tres personas que pintaron una barda, sólo que el tiempo de trabajo es diferente entre sí. Realiza un reparto justo del dinero obtenido por el total de la obra que fue de 420 pesos.
28
Situación:
NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
Nota: En un caso como el anterior, el reparto proporcional consiste en darle más dinero a quien más tiempo trabajó, es lo justo, así que verifica que la persona que trabajó menos tiempo tenga menor cantidad de dinero. Y para confirmar que el proceso y el resultado son correcto, recuerda calcular la constante de proporcionalidad y los totales.
Describe cómo hiciste la repartición del dinero y argumenta por qué lo hiciste de esa manera. ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ _______________________________________________________ I. Resuelve los siguientes problemas: 1.
Un abuelo reparte 450 pesos entre sus tres nietos de: 8, 12 y 16 años. Si el reparto lo hace de manera proporcional a la edad, ¿cuánto dinero le corresponde a cada nieto?
2. Tres personas se asocian e invierten en un negocio para el que aportan: 5000, 7500 y 9000 pesos; al transcurrir un año la ganancia total es de 6450 pesos; ¿cuánto le corresponde a cada uno proporcionalmente a lo que aportaron?
3. Para comprar un boleto de una rifa cuatro amigos aportaron: 20, 40, 120 y 180 pesos respectivamente. Si el premio es de 18000 pesos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno en proporción a lo que aportaron?
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NÚMERO, ALGEBRA Y VARIACIÓN
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II.
Completa cada tabla de manera que en una se represente una proporción directa y en la otra una proporción inversa.
III.
Completa la siguiente tabla de tal manera que la 1 constante de proporcionalidad inversa sea: 2