Bloque 3 movimiento circular y gravedad 1 by Franklin Molina Jiménez

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Movimiento Circular y Gravedad

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MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVEDAD MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

FUERZAS NECESARIA PARA EL MOVIMIENTO CIRCULAR

FUERZA CENTRIPETA

FUERZA CENTRIFUGA

PERALTE DE CURVAS

PENDULO CÓNICO

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

TEORIAS DE LA GRAVITACIONAL

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

LEYES DE KEPLER

LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL

CAMPO GRAVITATORIO

INDICADORES DE EVALUACION: 1. Establece posición, desplazamiento, distancia, velocidad, rapidez y aceleración centrípeta en el movimiento circular de una partícula en traslación. 2. Reconoce la variación de la dirección de la velocidad y generación de la aceleración centrípeta como elemento importante que describe el movimiento circular. 3. Identifica elementos como período y frecuencia, característicos del movimiento circular uniforme. 4. Grafica y rotula vectores de magnitudes cinemáticas: posición, velocidad, aceleración centrípeta, fuerza centrípeta sobre la trayectoria descrita por la partícula en movimiento circular. 5. Identifica la interacción gravitacional y soluciona ejercicios de movimiento planetarios utilizando las leyes de Kepler. 6. Reconoce el movimiento ondulatorio como una transferencia de energía en el espacio.

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APRENDO

S = θ. R

θ : ángulo ( rad ) R : radio ( m ) S : longitud del arco

MOVIMIENTO CIRCULAR Es el movimiento cuya trayectoria es una circunferencia. Cuando un objeto gira alrededor de un eje su trayectoria forma una circunferencia o parte de ella. De igual manera se da este tipo de trayectoria cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje. Se considera movimiento circular a:

3. Posición angular. ( θ ) Es el ángulo que se forma entre el eje de referencia x y el vector posición ( P )de un objeto. En el movimiento circular el ángulo θ tiene como unidades de acuerdo al SI al radian (rad), razón por la cual debemos recordar la equivalencia: 180º = π rad Dimensionalmente: θ = [ 1 ]

Una piedra, sostenida por una cuerda girando en un plano vertical, como la rueda moscovita.

4. Desplazamiento angular (Δθ) Es la variación de posición angular que objeto puede experimentar durante movimiento. Generalmente desplazamiento angular se lo realiza sentido anti horario.. y Δθ

Una partícula A gira alrededor del eje de giro como el carrusel.

un el el en

θf θo O

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR. 1. Radio vector ( R ). Es un vector que tiene su origen en el centro de giro y su extremo final en la posición donde se encuentra el objeto moviéndose en forma circular. El módulo del radio vector nos indica la longitud de este, que constituye el radio de la circunferencia que se forma cuando el objeto describe el movimiento circular. 2. Longitud de arco ( S ) Constituye la longitud de arco recorrida por un objeto en determinado tiempo. esta dado por: y

La ecuación es :

Δθ = θf - θ0

Las unidades:

Δθ = [ rad ]

La dimensión:

Δθ = [ 1 ]

5. Velocidad angular. ( ωm ) Es la razón que se da entre el desplazamiento angular descrito por el cuerpo al girar y el tiempo empleado para efectuarlo. ωm = Δθ ; ωm = θf - θo Δt tf - to

P S R θ O

Las unidades en el sistema internacional son: ωm = rad s

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Dimensionalmente está dado por: θf = θo + ω . t ωm = [ 1 / T ] = [ T -1 ]

Generalmente la velocidad también esta expresada en :

angular

3. Velocidad Tangencial o Lineal. ( v ) Es el arco recorrido en la unidad de tiempo, se representa por un vector que es tangente a la circunferencia en el punto donde se encuentra el cuerpo girando.

Revoluciones Por Minuto: r.p.m = R.P.M = rev min Revoluciones Por Segundo r.p.s = R.P.S = rev s La equivalencia es: 1 rev = 1 vuelta = 2πrad = 360º A la velocidad también se la conoce como: ¨Frecuencia Angular ¨

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( M.C.U.) Es el movimiento circular en el cual un cuerpo recorre desplazamientos angulares iguales en intervalos de tiempos iguales, es decir se mueve con una velocidad angular ω constante.

v = S ; S = θ.R t v = θ.R ; v = ω.R t Las unidades son: v = m ; km s h Dimensionalmente: v = [ L / T ] = [ L.T -1] 4. Periodo. ( T ) Es el tiempo empleado por el objeto en dar una vuelta completa.

CARACTERISTICAS DEL M.C.U. 1. En tiempos iguales recorren longitudes de arcos iguales y se barren ángulos centrales iguales.

T = tiempo total Nº de vueltas Si el cuerpo recorre una circunferencia completa, el t = T se tiene : Δθ = 2π rad por tanto: ω = Δθ ; t = Δθ t ω T = 2π rad ; ω = 2π rad ω T v = ω.R ; v = 2 π R T

ω = Δθ ; ω = cte. t 2. El desplazamiento angular está dado por:

Las unidades del periodo son : T = s La dimensión es: T = [ T ]

Δθ = ω . t ; Δθ = θf - θo La posición angular final es: θf - θ o = ω . t

5. Frecuencia. ( f ) Es el número de vueltas o revoluciones que da el cuerpo en la unidad de tiempo.

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f = Nº de vueltas tiempo total

2. Transformar 300 rpm a rad /s 300 rpm = 300 rev 2π rad 1 min = 31,42 rad min 1 rev 60s s

f=1 , f= ω . ; ω=2πf T 2 π rad

3. Transformar 6 vueltas a rad y grados La unidad es: f = 1/s = s-1 = hertz (hz) 6 vueltas 2π rad = 37,70 rad 1 vuelta 6. Aceleración centrípeta ( ac ) En el M.C.U. la aceleración en la dirección tangencial de la velocidad no existe, razón por la cual para que el cuerpo siga en movimiento aparece la aceleración centrípeta, que tiene la dirección del radio y está dirigida hacia el centro. ac = v2 ; ac = ω2 .R , ac = ω.v , ac = 4π2R R T2 y

6 vueltas 360º = 37,70 rad 1 vuelta 4. Transformar 10 rps a rad /s 10 rps = 10 rev 2π rad = 62,83 rad s 1rev s

5. Transformar 16,6 rad /s a rpm 16,6 rad 1 rev s 2π rad

60 s = 158,51 rpm min

ac R θ

6. Transformar 100º a rad

O 100º

La dirección de la aceleración centrípeta es perpendicular a la velocidad del movimiento. y opuesta a la del radio.

π rad = 1,75 rad 180º

7. Un disco gira a razón de 45 rpm. si el radio es de 20 cm. Calcular la rapidez tangencial de los puntos de la periferia. v Se sabe que:

uac = - ur ω = 45 rpm = 4,71 rad/s Las unidades son: ac = m/s2

R = 20 cm = 0,20m Las dimensiones son: ac = [L. T 2 ] Como es un M.C.U tenemos: 7. Para relacionar los parámetros lineales con los angulares se utiliza las siguientes ecuaciones: Para la distancia:

d = R. Δθ

Para la rapidez :

v = R. ω

v = ω.R , v = 4,71 rad/s . 0,20 m ; v = 0,94 m/s 8. Calcular la rapidez tangencial de un punto del Ecuador de la Tierra. El radio terrestre es de 6 370 km.

EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Reducir 4,5 rev a grados y radianes. 4,5 rev 2π rad = 28,27 rad. 1 rev 28,27 rad

180º π rad

= 1 619,75º

Se sabe que: R = 6 370 km ω = 1 vuelta 2π rad 1 día día 1 vuelta 24 h

= 0,26 rad/h

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ω=7,22x10-5 rad/s (velocidad angular de la Tierra) b) El período es: Para encontrar la rapidez tangencial utilizamos: v = ω.R; v = 0,26 rad/h .6 370 km ;v=1656,20 km/h

T = t ; T = 60 s ; T = 20 s n 3v

v = 460,06 m/s

c) La velocidad angular del niño es:

ω = 2π rad ; ω = 2 π rad ; ω = 0,31 rad/s T 20s

Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita circular alrededor del centro de la Tierra y cerca de la superficie de la Tierra. Si su aceleración centrípeta es 9,8 m/s 2. Calcular: a) La velocidad lineal o tangencial. b) El tiempo en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra. c) La velocidad angular del satélite

d) La velocidad del niños es: v = 2 π R ; v = 2 π 15m ; v = 4,71 m/s T 20s e) La aceleración centrípeta del niños es: ac = v2 ; ac = ( 4,71 m/s ) 2 ; ac = 1,48 m/s2 R 15 m

Sabemos que : f) R = 6370 km = 6 370 000 m ac = g = 9,8 m/s2 a) De la ecuación de la ac despejamos v _____ ______ ac = v2 ; v = √ ac .R ; v = √ g .R R ____________________ v = √ 9,8 m/s2 . 6 370 000 m

Para determinar la distancia necesitamos encontrar el desplazamiento angular:

ω = Δθ ; Δθ = ω . Δt Δt Δθ = 0,31 rad/s . 4s ; Δθ = 1,24 rad. d = Δθ .R ; d =1,24rad.15m ; d = 18,60 m

v = 7 901,01 m/s APRENDO HACIENDO. b) T = 2 π R ; T = 2 π ( 6 370 000 m) v 7 901,01 m/s

1. Reducir 18 rev a grados y radianes.

T = 5 065 , 67 s; T = 84,43 min. c) ω = 2 π rad ; ω = 2 π rad . ; T 5 065,67 s ω = 1,24 x 10-03 rad /s 10. En una feria, la rueda moscovita de 15 m de radio da 3 vueltas por minuto. Si un niño se encuentra en la canastilla, determinar: a) La frecuencia del movimiento b) El periodo del movimiento. c) La velocidad angular del niño. d) Velocidad lineal del niño e) Aceleración centrípeta del niño. f) La distancia recorrida en 4s Se sabe que: R = 15m n = 3 vueltas t = 1 min = 60 s

2. Transformar 462 rpm a rad /s

3. Transformar 15 vueltas a rad y grados

a) La frecuencia está dada por: f = n ; f = 3 v , f = 0,05 s -1 t 60s _______________________________________________________________________________________________________ Física Superior MSc. Lucia Goyes MSc. Franklin Molina.

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4. Transformar 80 rps a rad /s d) Velocidad lineal del ciclista

5. Transformar 23,8 rad /s a rpm e) Aceleración centrípeta del ciclista.

6. Transformar 235º a rad f)

7. Un ciclista en una pista circular de 160 m de radio da 10 vueltas cada 4 minutos. Determinar: a) La frecuencia del movimiento

La distancia recorrida en 10s

APLICO LO APRENDIDO 1. Reducir 22 rev a grados y radianes. 2. Transformar 238 rad a grados 3. Transformar 120 rpm a rad /s

b) El periodo del movimiento.

c) La velocidad angular del ciclista.

4. Un motociclista tiene una trayectoria circular de 170 m de radio con una velocidad de 120 km/h. Calcular: a) La aceleración centrípeta. b) La velocidad angular c) El período del movimiento. 5. La hélice de un avión da 3 260 vueltas en 30 min. Determinar: a) El período. b) La frecuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial e) La aceleración centrípeta. 6. Calcular el período, la frecuencia y la velocidad angular de cada una de las manecillas del reloj

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) Es el movimiento circular en el cual un cuerpo varia constantemente su velocidad angular en un tiempo determinado.

CARACTERISTICAS DEL M.C.U.V. 1. Aceleración Angular: Esta variación de la velocidad angular en función del tiempo recibe el nombre de aceleración angular y es constante. α = Δ ω = cte Δt Δω = α . Δ t ωf - ωo = α . Δ t ωf = ωo + α . Δ t 2. La deducción de las ecuaciones del M.C.U.V es similar a las del M.R.U.V. y tenemos: ωf = ωo + α . Δ t Δθ = ωo t + ½ α t2 ωm = ωo + ωf 2 Δθ = ωm t ωf 2 = ωo 2 + 2 α Δ θ

Se determina con: at =Δ v t at = α . R Las unidades son: at = m/s2

La aceleración total es igual a la suma vectorial de sus componentes es decir: a = at + ac El módulo de la aceleración total esta dado por: __________ a = √ a t 2 + ac 2

FUERZA NECESARIA PARA EL MOVIMIENTO CIRCULAR. Como ya se analizó anteriormente el movimiento circular uniforme es aquel en el cual no existe cambio en la rapidez, sino solo en la dirección. Esta afirmación se puede verificar al hacer girar una piedra atada a un cordel, la cual al hacerla girar con una rapidez constante, la fuerza hacia el centro del movimiento producirá una tensión en la cuerda que modifica constantemente la dirección del movimiento de la piedra lo que produce una trayectoria circular. Si la cuerda se rompe , la piedra sale en dirección tangente al movimiento circular.

Fuerza hacia el centro

3. En el M.C.U.V el vector velocidad varía continuamente en módulo, dirección y sentido, lo que produce que la aceleración tenga componente tangencial y centrípeta perpendiculares entre ellas.

4. Aceleración tangencial ( at )

LA FUERZA CENTRÍPETA. Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el cambio de valor que experimenta la velocidad tangencial en la unidad de tiempo. es un vector tangente a la trayectoria y su sentido es el mismo que la velocidad tangencial. at vt a ac ac

La fuerza que se produce en la cuerda y que está dirigida hacia el centro del movimiento circular uniforme recibe el nombre de fuerza centrípeta. Al aparecer la fuerza centrípeta, también aparece la fuerza de reacción llamada fuerza centrífuga, sin embargo al momento de dibujar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo solamente debemos graficar la centrípeta ya que si dibujamos las dos estas se anularían y estaríamos analizando un MRU.

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Al existir un cambio de velocidad en la unidad de tiempo se genera la aceleración centrípeta ( a c ) que también tiene la misma dirección que la fuerza centrípeta ( Fc ) La aceleración centrípeta que tiene la piedra de masa m es directamente proporcional a la velocidad lineal al cuadrado e inversamente proporcional al radio de giro.

ac =

v2 r

Puesto que la velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular por medio de v t = ω.r , se tiene: v2 ( ω .r )2 ac = , ac = ; ac = ω2 .r

Por la segunda ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta, así: Fc = m. ac

Fc = m .

v2 r

Fc = m . ω2 .r La fuerza centrípeta ( en busca del cetro o hacia el centro ) no pertenece a una nueva clase de fuerza, sino tan sólo es el nombre que se le da a cualquier fuerza, sea una tensión de cordel, la gravedad, fuerza eléctrica o la que sea, que se dirija hacia un centro fijo. Si el movimiento es circular y se ejecuta con rapidez constante, esta fuerza forma ángulo recto con la trayectoria del objeto en movimiento.

FUERZA CENTRIFUGA Aunque la fuerza centrípeta es una fuerza dirigida hacia el centro, alguien dentro de un sistema en movimiento circular parecerá experimentar una fuerza hacia afuera. Esta fuerza aparente hacia afuera se llama fuerza centrífuga ( que huye del centro o se aleja del centro ). En el marco de referencia de la Tierra giratoria, se siente una fuerza centrífuga que hace disminuir un poco nuestro peso, también sucede que tenemos la máxima rapidez tangencial cuando estamos en el ecuador, en consecuencia la fuerza centrifuga es máxima para nosotros cuando estamos en el ecuador y cero en los polos, donde no tenemos rapidez tangencial. Con este concepción podemos decir que nosotros los Ecuatorianos tenemos menos peso que los que están en otras zonas.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. En el Vulcano Park el juego llamado Pulpo lleva pasajeros en una trayectoria circular con un radio de 7,7 m. El viaje hace una rotación completa cada 4 s. Calcular: a) La velocidad angular de un pasajero de 50 kg debido al movimiento circular. b) La fuerza centrípeta que experimenta el pasajero. a) El periodo T = 4 s, podemos usarlo para calcular la velocidad angular como: ω=

Cuando un automóvil da vuelta una esquina, la fricción entre los neumáticos y el asfalto proporciona la fuerza centrípeta que lo mantiene en una trayectoria curva.

2π T

;ω=

2 π rad 4s

; ω = 1,6 rad/s

b) Como la trayectoria es circular, podemos calcular la Fc con: ac =ω2 r; ac =(1,6 rad/s)2 (7,7 m); ac =19,71 m/s2 Fc = m ac ; Fc = ( 50 kg )( 19,71 m/s2 ) ;

Si esta fricción no es suficientemente grande ( a causa de aceite o gravilla en el pavimento, por ejemplo), el automóvil no podría tomar la curva y los neumáticos patinan hacia un lado, entonces se dice que el automóvil derrapa.

Fc = 985,5 N

2. Calcular la fuerza aproximada que ejerce la Tierra sobre la Luna si esta tiene una masa de 7,35 x 10 22 kg, el radio de la órbita lunar es de 3,84 x 10 8 m y el periodo lunar es de 27,3 días. Si asumimos que la órbita de la Luna es circular en relación con una Tierra estacionaria, esta fuerza viene a ser la fuerza centrípeta:

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v2 4 π2 r F c = m ac ; F c = m ; Fc = m r T2 Fc = ( 7,35 x 10 22 kg)

4 π2( 3,84 x 108 m) ( 2,35 x 106 )

Fc = 2,02 x 10 20 N 3. Imagínese una estación espacial gigantesca en forma de rosquilla, tan alejada de todos los cuerpos celestes que se puede despreciar la fuerza de la gravedad. Para permitir a los ocupantes vivir una vida normal, la estación tiene un movimiento rotacional y los habitantes viven en la parte más alejada del centro. Si el diámetro exterior de la estación espacial es de 1,5 km. Calcular su periodo de rotación de modo que los pasajeros en la periferia puedan percibir una gravedad artificial igual a la gravedad normal en la superficie terrestre. El peso de una persona en la Tierra está dado por: P = m g. ; P = F ; F = m.g La fuerza centrípeta requerida para llevar a la persona alrededor de un círculo de radio r es:

F c = m ac ; F c = m

v2 4 π2 r ; Fc = m r T2

Para que la gravedad artificial sea igual a g, podemos igualar las dos ecuaciones y despejar T 4 π2 r m.g = m ; 2 T = 2π

T 750 m

√g ; T = 2π √9,8 m/s2

2. Dos masa de 4 lb giran alrededor de un eje central de 1,6 pies de radio, a una velocidad angular de 12 rev/s. Calcular: a) La fuerza centrípeta que actúa sobre cada uno de los cuerpos. b) La tensión de la barra.

; T = 54,97 s

T = 0,92 min.

APRENDO HACIENDO 1. Una maquina centrifugadora sencilla utilizada para separar los glóbulos del plasma sanguíneo, gira a 55 rev/s. Calcular: a) La aceleración centrípeta en el centro del tubo de la centrifuga a 8 cm del eje de rotación. b) La fuerza centrípeta que se ejerce sobre 5g del plasma sanguíneo. _______________________________________________________________________________________________________ Física Superior MSc. Lucia Goyes MSc. Franklin Molina.

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m v2 = μe N r m v2

APLICO LO APRENDIDO. 1. Calcular la fuerza centrípeta sobre un automóvil de 2000 kg que toma una curva de 175 m de radio a una velocidad de 50 km/h 2. Una pelota de 3 lb está atada a una cuerda y se mueve en un círculo horizontal de 3 pies de radio. Desprecie los efectos de la gravedad, si se sabe que gira a 80 rpm. Calcular: a) La velocidad lineal. b) La aceleración centrípeta c) La fuerza centrípeta. d) Qué pasa si la cuerda se rompe. 3. Un electrón gira en órbita alrededor del núcleo en una trayectoria circular de 6 x 10 - 9 cm de radio. Si la masa del electrón es de 9,11x 10 -31 kg y su velocidad lineal es de 3,2 x 10 6 m/s. calcular la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta.

N=P

= μe m g ;

v 2 = μe g r

La velocidad máxima con la que el automóvil puede tomar la curva está dada por: v=

√µe g r

PERALTE DE CURVAS Con el objeto de no confiar en el rozamiento, las curvas se inclinan para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para poder girar sin salirse de las carreteras. Este ángulo de inclinación que se da a las carreteras recibe el nombre de peralte. Al peraltar una carretera para eliminar la fuerza de rozamiento, se da que la fuerza normal N ( entre el piso y las ruedas sobre las cuales se encuentran distribuidas todo el peso de vehículo ) tenga componentes horizontal y vertical.

APRENDO VELOCIDAD CURVA

MAXIMA EN UNA

Cuando un automóvil toma una vuelta cerrada en una carretera perfectamente horizontal, la fuerza centrípeta necesaria es desarrollada por el rozamiento entre las llantas y el pavimento. Si esta fuerza centrípeta no es la adecuada, el automóvil puede derrapar sobre la carretera. El valor máximo de la fuerza de rozamiento determina la velocidad máxima con la que el vehículo puede tomar una curva de un radio determinado.

La componente horizontal de la normal debe ser igual a la fuerza centrípeta para que pueda tomar la curva con facilidad, así se tiene: ΣF=0

Nx = Fc N sen θ = m

Cuando la velocidad del automóvil es máxima se produce que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza máxima de rozamiento estático.

Ny = P

N cos θ = m g Dividimos la primera ecuación entre la segunda y obtenemos: v2 tan θ =

r g

Esta ecuación nos permite calcular el ángulo del peralte que debe tener una carretera. Fc = fre

Σ Fy = 0

θ=

tan

-1

v2 (r g )

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EL PENDULO CONICO

Un péndulo cónico está formado por una masa m colgada de un hilo de longitud L que describe un circulo horizontal con velocidad constante v. La aceleración tiene la dirección de la fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es proporcionada, por la componente horizontal de la tensión en el hilo. La componente vertical de la tensión es igual al peso del objeto en movimiento. Así: Tx = Fc

ΣF=0

v2 T sen θ = m r

Ty = P

1. En la parte superior de la trayectoria: ΣFy = may Fc + mg = m Fc = m (

v21 r

v21 r –g )

2. En la parte inferior de la trayectoria T cos θ = m g

Dividimos la primera ecuación entre la segunda y obtenemos: tan θ =

v2 r g

;

θ=

tan

-1

v2 (r g )

ΣFy = may

v22 Fc - mg = m r v22 Fc = m ( +g ) r

Cuando se hace girar con mayor velocidad lineal al péndulo, el ángulo formado entre el hilo y la vertical también aumente, por lo tanto la posición vertical de la masa sufre una elevación. La tensión de la cuerda está dada por: T=

mg cos Θ

La rapidez de la masa estará dada por: v=

EJERCICIOS RESUELTOS

√r g tan Θ

LA FUERZA CENTRIPETA EN LOS OBJETOS QUE GIRAN EN UNA CIRCUNFERENCIA VERTICAL. Para cuando un objeto gira siguiendo una trayectoria circular podemos describir las fuerzas que actúan sobre este en dos puntos fundamentales:

1. Se prueba un nuevo prototipo de neumáticos para ver si su comportamiento cumple las previsiones. En una prueba de deslizamiento, el modelo BMW 530i fue capaz de recorrer a velocidad constante un circulo de 45,7 m de radio en 15,2 s sin patinar. Calcular: a) La velocidad del vehículo. b) La aceleración centrípeta. c) El valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático. d) El valor del ángulo del peralte para el cual el vehículo tome la curva a la misma velocidad sin el uso de la fuerza de rozamiento.

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b) La tensión de la cuerda. a) Para la velocidad utilizamos: N sen 300 =

; BC = r =(0,24 m)(sen300 )

0,24 m

r = 0,12 m

v=√r g tan Θ; v= √(0,12m) (9,8

a) La velocidad podemos determinar con: v=

2πr 2 π (45,7 m) ;v= ; v = 18,90 m/s T 15,2 s

m s2

) (tan300 )

v = 0,82 m/s b) La tensión de la cuerda está dada por:

b) La aceleración centrípeta: m (18,90 s )2 v2 ac = ; ac = ; ac = 7,81 m/s2

N–P=0 ; N=P ; N=m.g ΣFx = m. a -fr = m . a ; - µ N = m . a ; - µ m g = m ( −

v2 ) r

m 2 (18,9 s )

v2 ;µ= m ; µ = 0,796 rg ( 45,7 m)(9,81 2 ) s

2. El valor del ángulo del peralte se calcula con: θ=

θ=

tan

cos Θ

;T=

m s

( 0,5 kg)( 9,8 2 ) cos 300

; T = 5,65 N

45,7 m

c) ΣFy = 0

µ=

-1

Para calcular la fuerza con la que se presiona contra el asiento utilizamos:

18,90m s) ( m ) ( 45,7 m)( 9,8 ) 2

θ = 38,58 0

Sabemos que m = 160 lb; m = 72,73 kg r = 2 400 pies ; r = 731,52 m v = 280 m/s

a) Para la parte más baja: v2 Fc = m ( g )

v2 (r g ) (

3. Con que fuerza se presionará contra su asiento un piloto de prueba de un MIC de la Fuerza Aérea Ecuatoriana , de 160 lb en la parte más baja y más alta de una vuelta de 2400 pies de radio si viaja a 280 m/s.

Fc = ( 73,73 kg) (

2. Una pelota B de masa 500 g está amarrada a un extremo del cordel de 24 cm de longitud, y el otro extremo se encuentra sujeto a un punto fijo O. La pelota se mueve en un círculo horizontal. Calcular:

( 280 s )2 731,52 m

+ 9,8 m/ s 2

)

- 9,8 m/ s 2

)

Fc = 8 624 ,50 N b) Para la parte más alta: v2 Fc = m ( g )

m s

( 280 )2 Fc = ( 73,73 kg) (

731,52 m

Fc = 7 179,39 N a) La rapidez de la pelota en su trayectoria circular si el cordel forma un ángulo de 30 0 con la vertical.

Si el peso del piloto es de 712,75 N podemos afirmar que en la parte más baja tiene que soportar una fuerza 12 veces mayor que su propio peso que equivale a 12 g ( 12 veces el valor de la gravedad terrestre ) y en la inferior 10 g.

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APRENDO HACIENDO 1. En un día lluvioso, el coeficiente de rozamiento entre las llantas y el pavimento es de 0,4. Determinar: a) La velocidad máxima que podrá tomar un automóvil una curca de 80 m de radio. b) El ángulo de peralte que será necesario para eliminar el rozamiento a una velocidad de 80 km/h.

APLICO LO APRENDIDO. 1. Una curva de radio 150 m tiene un peralte con un ángulo de 10 0. Un auto de 800 kg toma la curva a 85 km/h sin patinar. Determinar: a) La fuerza normal que actúa sobre los neumáticos ejercidas por el pavimento. b) La fuerza de rozamiento ejercida por el pavimento sobre los neumáticos del coche. c) El coeficiente de rozamiento estático mínimo entre el pavimento y los neumáticos. 2. Un vehículo de 1 000 kg describe una curva horizontal de 30 m de radio. Si µ = 0,2 . Calcular: a) La máxima velocidad en km/h que podrá tomar la curva sin derrapar si no hubiese peralte. b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 90 km/h

2. Un piloto de prueba cae en picada a 200 m/s y gira en una curva de 850 m de radio. Si el piloto tiene 65 kg . Calcular: a) La fuerza ejercida sobre él por el asiento. b) La aceleración que siente en el punto más bajo de la picada. c) Cuantas veces mayor que g es la aceleración.

3. Se suspende una bola de 0,436 kg en una cuerda de 0,452 m de un punto fijo. La bola oscila en una trayectoria circular horizontal a 0,811 rev/s. Calcular: a) la tensión de la cuerda b) El ángulo entre la cuerda y la vertical

4. Un piloto acróbata en un aeroplano desciende verticalmente a una velocidad de 210 km/h y voltea en forma vertical hacia arriba siguiendo una trayectoria casi semicircular con un radio de 180m. Determinar: a) Cuantas g experimenta el piloto debido sólo a su movimiento. b) El valor del factor que parece incrementar el peso del piloto en el fondo de la picada.

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APRENDO GRAVITACION UNIVERSAL El conocimiento de cómo está formado el Universo y que leyes lo rigen se ha dado gracias al desarrollo de la ciencia y la tecnología. Es así que aparece la Astronomía ciencia física que se encarga del estudio de los planetas y los demás astros que nos rodean. A partir de este estudio aparece la gravitación universal. Se llama así a la atracción entre diferentes cuerpos del universo. Hubo muchas personas que se dedicaron al estudio del Universo desde tiempos muy remotos así podemos nombrar las principales teorías que se enunciaron en torno al movimiento de los planetas: 1. TEORIA GEOCENTRICA.

planeta era la curva continua denominada Epicicloide. Posteriormente estas ideas fueron difundidas por Aristóteles, este modelo prevaleció durante toda la edad media.

3. TEORIA HELIOCENTRICA En el siglo XVI, el monje polaco Nicolás Copérnico en base a observaciones cuidadosas, afirmo que el Sol estaba en reposo y que la Tierra y todos los planetas giraban en su torno lo que causo gran polémica entre los hombres de ciencia de la época. Debido a sus ideas fue perseguido por la Inquisición durante toda su vida. Posteriormente Galileo, quien estudio los trabajos de Copérnico realizo algunas observaciones astronómicas y llego a las mismas conclusiones que el monje polaco, las cuales fueron publicadas por Galileo en una de sus obras. Esta publicación motivó que Galileo fuera detenido y acusado de herejía. No se le aplicó la pena de muerte por ser amigo del Rey. Pero la inquisición le obligo a retractarse en público para que su pena fuese disminuida a cadena perpetua. 4. TEORIA ACTUAL Hacia fines del siglo XVI, para aclarar las dudas planteadas por Copérnico y Galileo, el astrónomo danés Tycho Brahe realizo mediciones en las posiciones sucesivas en el desplazamiento de los planetas durante 20 años, información que fue estudiada por su discípulo Jhojanes Képler.

Los antiguos griegos suponían que la Tierra era el centro del Universo, alrededor del cual giraba el sol y los demás planetas.

2. TEORIA DE LOS EPICICLOS Esta teoría es una mejora de la teoría geocéntrica. En el siglo II de nuestra era, Ptolomeo (astrónomo de Alejandría ) señalaba que un planeta describe un movimiento circular uniforme en círculos pequeños llamados epiciclos, a su vez el centro de este círculo recorre la circunferencia de otro círculo mayor concéntrico con la Tierra. El resultado final era que la órbita descrita por el

LEYES DE KEPLER. Képler después de realizar observaciones más exactas, expresó sus resultados en tres leyes empíricas fundamentales del movimiento de los planetas. Estas leyes proporcionaron a Newtón la base para su descubrimiento de la ley de la gravedad. Las Leyes de Kepler son las siguientes:

PRIMERA LEY O LEY DE LAS ORBITAS. Los planetas se desplazan en orbitas elípticas, encontrándose el Sol en uno de sus foscos. El punto donde la Tierra está más cercano al Sol

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se llama perihelio ( 1,48 x 1011 m ) y el más lejano afelio ( 1,52 x 10 11 m). El semieje mayor, que es la semisuma de estas distancias, es 1,50 x 10 11 m llamada Unidad Astronómica (UA).

T21 (RM1 )3

T22 (RM2 )3

T23 (RM3 )3

= …… = k = cte

En general para cualquier planeta es: De igual manera cuando un satélite artificial gira alrededor de la Tierra, formando una trayectoria elíptica, el punto más alejado se llama Apogeo y el más cercano Perigeo. La propiedad de la elipse se enuncia así: a + b = c + d = cte. SEGUNDA LEY O LEY DE LAS AREAS. La recta que une el planeta ( Tierra ) al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

T 2 = k . RM 3 El valor de la constante está dado por: k =

4 π2 G .MP

LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL Newton , basándose en los trabajos de Képler desarrollo la Dinámica del movimiento de los planetas y descubrió una de las leyes fundamentales de la naturaleza, que es la ley de la Gravitación Universal, lo cual concluyo al señalar que un planeta gira alrededor del Sol por efecto de una fuerza centrípeta ejercida por él. Newton señalo que las mismas leyes que son validas para cuerpos en la Tierra también se pueden aplicar al movimiento de los cuerpos celestes. La Ley de la Gravitación Universal establecida por Newton y que están en función de la primera y tercera ley de Képler dice lo siguiente:

Si A1 = A2 entonces v1 < v2 Donde : v1 : velocidad tramo AB v2 : velocidad tramo CD

Todos los cuerpos en el Universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de su masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Se deduce que un planeta se mueve más rápidamente cuando está más próximo al Sol que cuando está más lejos, de tal modo que el área barrida por el radio vector en un determinado intervalo de tiempo es la misma a lo largo de toda la órbita.

TERCERA LEY O LEY DE LOS PERIODOS. F= Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los cubos de las distancias medias al Sol.

Dónde:

G m1 m2 d2

m1 y m2 : son las masas de los cuerpos 1 y 2 d : distancia de separación entre los centros de los cuerpos. F : Fuerza de atracción gravitatoria entre los planetas. G = constante de gravitación universal. La constante de gravitación universal G también llamada constante de Cavendish, en honor al físico inglés Henry Cavendish fue medida en el siglo XVIII.

a = Radio max ; b = Radio min RM1 =

a+b 2

, distancia media del planeta al Sol.

La magnitud G es igual a la magnitud de la fuerza entre dos masas de 1 kg que están a 1 m de distancia entre sí: 0,0000000000667 N, que es una fuerza extremadamente débil.

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G = 6,673 x 10

N .m 2

- 11

kg2

VARIACIÓN DE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD ( g ). La aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre varía en relación inversa a la altura; es decir a mayor altura, menor aceleración de la gravedad o menor altura mayor aceleración de la gravedad.

g0 : aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. RT : Radio terrestre : 6 400 km= 6,4 x 10 6 m

EJERCICIOS RESUELTOS 1. La distancia media del Sol a Júpiter es 5,20 UA. Calcular el periodo de la órbita de Júpiter. Sabemos que para la Tierra: TT = 1 año y radio órbita terrestre RT = 1 UA = 1,5 x 10 11 m Para Júpiter tenemos: RJ = 5,20 UA Aplicamos la tercera ley de Kepler y tenemos: T2J (RJ )3

T2T (RT )3

TJ = ( 1 año )

La aceleración de los cuerpos debido a la gravitación terrestre puede encontrarse usando la segunda ley de Newtón la ley de la Gravitación. F = m.a

G MT m d2 a=

= m.a

G MT d2

pero sobre la superficie de la Tierra la ecuación puede escribirse como: g=

G MT RT 2

; TJ = TT

( R J ) 3/2 T

(

5,20 UA 3/2 ) ; T = 11,9 años 1 UA

2. La estación Espacial Internacional se mueve en una órbita prácticamente circular alrededor de la Tierra, a 385 km por encima de la superficie de ésta. Calcular : a) El tiempo que hay que esperar para observar dos avistamientos consecutivos de la estación, suponiendo que despreciamos a resistencia del aire. b) Los grados que gira la Tierra durante el tiempo en qué la estación orbital da una órbita completa. a) Para poder observar la estación se lo hace solo en la noche y que esté por encima de la horizontal nuestra. El tiempo entre dos avistamientos aproximadamente coincide con el periodo orbital terrestre y la fuerza centrípeta debe ser igual a fuerza de gravitación, por lo que podemos utilizar: Fc = F gravitación

G m.Mt v2 G.Mt ; = ; RT RT 2 RT 2

Al relacionar las dos ecuaciones tenemos:

m. ac = a=g

(

RT 2 ) d

(

2 π RT T

RT Por tanto para calcular la gravedad en cualquier altura h tenemos: RT 2 g = go ( ) h+ RT Donde: g: aceleración de la gravedad a una altura h

)2 =

G.Mt RT 2

; T=

√

4 π2RT 3 G .MT

Para la estación debe ser:

√

4 π2 (RT + h) 3 G .MT

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APRENDO HACIENDO

4 π2 ( 6,4 x 106m+385 000 m)3 √(6,67 x 10−11N m2/kg2 )(5,98 x1024 kg)

1. La aceleración en la superficie terrestre es go = 9,8 m/s2 . Calcular la aceleración de la gravedad a una altura de 1600 km en la superficie terrestre.

T = 5 560, 21 s ; T = 92,67 min. b) La Tierra gira 3600 en 24 h = 1440 min. Grados: 92,67 min 3600 1440 min Grados: 23,170

3. Un cuerpo en la superficie de la Tierra tiene una masa de 32,65 kg. Calcular el peso del objeto a una distancia igual a 3 veces del radio de la Tierra. Calculamos el valor de la gravedad a esta RT 2 altura si sabemos que: g = go ( ) h+ RT RT g = ( 9,81 m/s2 )( )2 ; g = 0,61 m/s2 3RT +RT El peso del objeto es: P=m.g ; P = (32,65 kg)( 0,61 m/s2); P = 19,92 N

4. La separación entre la Luna y la Tierra es d . Determinar el lugar del espacio entre las dos masas en el que se debe colocar un pequeño satélite para que se encuentre en equilibrio. Como el cuerpo se encuentra en equilibrio podemos anotar: FT = FL FT =

G m MT x2

; FL =

2. Calcular el periodo de un satélite artificial de órbita baja que pasa justamente sobre la superficie de la Tierra.

G m ML (d−x)2

G m MT G m ML MT ML = ; = x2 (d−x)2 x2 (d−x)2 Se sabe que aproximadamente la masa de la Tierra es igual a 81 veces la masa de la Luna

81ML ML = ; x = 0,9 d x2 (d−x)2

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APRENDO ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA

La definición F =

APLICO LO APRENDIDO 1. Dos esferas de plomo que tienen 18 y 20 lb se encuentran a una distancia de 3 pies entre sí. Calcular la fuerza de atracción entre ellas. 2.

En la superficie terrestre la aceleración gravitacional es de 9,8 m/s2. El radio es de 6 400 km. Calcular: a) La masa de la Tierra. b) La densidad de la Tierra si se la considera como una esfera

3. Dos planetas giran alrededor del Sol, uno demora es años el seis años en dar una vuelta completa. Si la distancia entre el Sol y el planeta más cercano a él “ d “ . Calcular la distancia mínima entre los dos planetas. 4. Calcular la relación de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna con la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. El radio de la Luna es 0,273 veces el radio de la Tierra, y la masa de la Luna es 0,0123 veces la masa de la Tierra. 5. La masa de Saturno es de 5,69 x 10 26 kg. Calcular: a) El período de su Luna Mimas, sabiendo que el radio medio de su órbita es 1,86 x 108 m b) El radio medio de la Luna Titán, cuyo período es de 1,38 x 10 6 s

G m MT d2

; es considerada para

pequeñas alturas, con lo cual la fuerza gravitatoria, es decir el peso que es la fuerza de atracción ejercida por la Tierra sobre este se mantiene constante. Pero cuando el objeto se encuentra a una altura considerable, la ecuación de la energía potencial gravitacional está dada por:

Epgravitatoria =

−G m MT d

; Epgravitatoria =

−G m MT h+ RT

Cuando h es muchísimo menor RT se cumple que Ep = m g h.

VELOCIDAD DE ESCAPE Las Sondas espaciales que han sido enviadas a los puntos más lejanos del sistema solar acabarán girando alrededor del Sol, mientras que otras abandonarán el sistema solar y se perderán en el espacio exterior. Todo objeto que quiere salir o escapar del campo gravitatorio terrestre debe tener una velocidad inicial mínima necesaria llamada velocidad de escape Esta velocidad está dada por las ecuaciones: ve = √

2GM R

ve = √2 g R

CAMPO GRAVITACIONAL La Tierra y la Luna tiran una de otra. Se trata de una acción a distancia, porque interaccionan entre sí aunque no estén en contacto. Es así que la Luna interactúa con el campo gravitacional de la Tierra. Las propiedades del espacio que rodea a cualquier cuerpo masivo se pueden considerar alteradas de tal forma, que otro cuerpo masivo en esta región sentirá esta fuerza. Esta alteración del espacio es un campo gravitacional. La distribución del campo gravitacional terrestre se puede representar por líneas de campo. Las líneas de campo están más próximas entre sí donde el

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campo gravitacional es mĂĄs intenso. Las flechas indican la direcciĂłn del campo. Una partĂcula, un astronauta, una nave espacial o cualquier cuerpo en la cercanĂa de la Tierra serĂĄ acelerado en direcciĂłn de la lĂnea de campo que pase por ese lugar.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un proyectil se dispara hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial vo = 8 km/s. Calcular la altura mĂĄxima que alcanza despreciando la resistencia del aire.

La intensidad del campo gravitacional terrestre, al igual que la intensidad de su fuerza sobre los objetos, se apega a la ley del cuadrado inverso. Es mĂĄs intensa cerca de la superficie terrestre y se debilita al aumentar la distancia a la Tierra.

La altura mĂĄxima puede determinarse a partir del principio de conservaciĂłn de la emergĂa. Tomamos la superficie terrestre como punto de referencia. EM en la Tierra = EM en la parte mĂĄs alta. Ec0 + Ep gravita o = Ecf + Epgravita f â&#x2C6;&#x2019;G m MT â&#x2C6;&#x2019;G m MT Â˝ m v2 + = 0+ RT Hf

Definimos a la intensidad de campo gravitacional en cualquier punto del espacio como la fuerza de gravitaciĂłn por unidad de masa en una masa de prueba mo.

â&#x201E;ž=

đ??š đ?&#x2018;&#x161;0

Unidades:

;

â&#x201E;ž=

đ??ş đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2026; 2 đ?&#x2018;&#x161;0

;

â&#x201E;ž=

đ??şđ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2026;2

Hf =

â&#x2C6;&#x2019;2 G MT RT v0

RT â&#x2C6;&#x2019; 2 G MT

â&#x2C6;&#x2019;2 ( 6,67x 10â&#x2C6;&#x2019;11 )(5,98 x 1024 )( 640000) (8 0002 )( 640000) â&#x2C6;&#x2019; 2 ( 6,67x 10â&#x2C6;&#x2019;11 )(5,98 x 1024)

Hf = 674 639,76 m

â&#x201E;ž = [ kg]

Dimensiones: â&#x201E;ž = [ L. T â&#x20AC;&#x201C; 2 ] El campo gravitacional de la Tierra existe tanto dentro como fuera de ella. Imaginemos un agujero que atraviesa toda la Tierra, desde el Polo Norte hasta el Polo Sur. No nos preocupemos de inconvenientes como la lava y altas temperaturas. Si una persona cayera a travĂŠs de este agujero, la aceleraciĂłn disminuirĂa porque la parte de la masa de la Tierra que estĂĄ abajo, es cada vez mĂĄs pequeĂąa. Menos masa equivale a menos atracciĂłn, hasta que en el centro de la Tierra la fuerza neta es cero y la aceleraciĂłn es cero. La cantidad de movimiento hace que la persona pase por el centro y suba contra una aceleraciĂłn cada vez mayor, hasta el extremo opuesto del agujero, donde de nuevo la aceleraciĂłn es g, dirigida hacia atrĂĄs, hacia el centro.

2. Una masa de 3 kg experimenta una fuerza gravitatoria de ( 12i ) N en cierto punto P. calcular el campo gravitacional en ese punto. Sabemos que la fuerza es una magnitud vectorial por tanto el campo gravitacional tambiĂŠn es una magnitud vectorial y esta dado por:

â&#x201E;ž=

đ??š đ?&#x2018;&#x161;0

;â&#x201E;ž

(12 đ?&#x2018;&#x2013; )đ?&#x2018; 3 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;

;

đ?&#x2018;

â&#x201E;ž = (4 đ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;

APRENDO HACIENDO 1.

Demostrar que la energĂa total de un satĂŠlite es igual a la mitad de su energĂa potencial gravitatoria. Si ET Ec + Epgrav y Fgrav = mac

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2. Determinar la velocidad de escape en la superficie de mercurio, cuya masa es 3,31 x 10 23 kg y cuyo radio es 2 440 km. 3. El campo gravitacional en cierto punto viene dado por ( 2,5 x 10 - 6 j ) N/kg . Calcular la fuerza gravitacional sobre una masa de 4 g en ese punto.

APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA 1. Peso e ingravidez. El peso de una persona es igual a la fuerza con la que comprime el suelo que le sostiene. Si el suelo acelera hacia arriba o hacia abajo el peso

2. Calcular la velocidad necesaria que debe imprimir los motores del transportador espacial Columbia para poder salir de la gravedad terrestre.

varía. Aunque la fuerza gravitacional mg que actúa sobre la persona permanece invariable. Es así que el peso cero es lo que se denomina ingravidez.

La Estación Espacial Internacional tiene un ambiente de ingravidez. Esta y los astronautas aceleran por igual hacia la Tierra a algo menos de 1 g, debido a su altitud. Esta aceleración para nada es sentida por la estación. Mientras que los astronautas sienten cero gravedad. 2. Mareas.

APLICO LO APRENDIDO 1. Un proyectil se dispara hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 16 km/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando está muy lejos de la Tierra, desprecie la resistencia del aire. Considere que cuando Rf = α (infinito) la Energía potencial gravitacional es igual a cero.

Newton demostró que las mareas son causadas por diferencias en los tirones gravitacionales entre la Luna y la Tierra, en los lados opuestos de la Tierra. La fuerza gravitatoria entre la Luna y la Tierra es mayor en la cara de la Tierra más cercana a la Luna, y es menor en la cara de la Tierra alejada de la Luna, ya que la fuerza gravitatoria es menor cuando la distancia es mayor. Esto hace que tanto la Tierra y la Luna se alarguen un poco. El alargamiento de la Tierra

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se ve principalmente en los océanos, que se abultan por igual en ambos lados.

En promedio mundial, los abultamientos del mar son casi de 1 metro sobre su nivel normal. La tierra gira una vez por día, por lo que un punto fijo en la Tierra pasa bajo los dos abultamientos una vez por día. Esto produce dos conjuntos de mareas. Dos pleamares (marea alta) y dos bajamares (marea baja) cada seis horas en el día. El Sol también contribuye con las mareas, aunque con menos de la mitad de la eficacia de la Luna. La Tierra no es sólido rígido, en su mayor parte, es un líquido cubierto por una costra delgada, sólida y flexible. En consecuencia, las fuerzas de marea debidas a la Luna y al Sol provocan mareas en tierra, al igual que en el océano. Dos veces por día la superficie solida terrestre sube y baja 25 cm. En la parte alta de la atmosfera está la ionosfera, que se llama así porque contiene muchos iones, átomos con carga eléctrica debidos a la luz ultravioleta y al intenso bombardeo de los rayos cósmicos. Los efectos de la en la ionización generan corrientes eléctricas que modifican el campo magnético (mareas magnéticas) que envuelve la Tierra. Estas mareas regulan el nivel de penetración de los rayos cósmicos en la atmosfera inferior. La penetración de los rayos cósmicos se evidencia en cambios sutiles en los comportamientos de los entes vivientes.

3. Teoría de Einstein sobre la gravitación. A principios del siglo XX Albert Einstein (18791955), en su teoría general de la relatividad, presento un modelo de la gravedad muy distinto del de Newton. Einstein imaginó al campo gravitacional como una deformación geométrica de espacio y

tiempo tetradimensional. Se dio cuenta de que una masa provoca deformación en el espacio y el tiempo que la rodea. La masa hace que el espacio se curve y los otros cuerpos se aceleran porque se mueven en este espacio curvo. Una manera de visualizar como la masa afecta al espacio, consiste en comparar al espacio con una gran lámina bidimensional de caucho. La bola de mayor tamaño sobre la lámina representa un objeto sólido que la deforma, curvándola. Una esfera pequeña que rueda sobre la lámina simula el movimiento de un objeto en el espacio. Si la esfera se mueve cerca de la depresión de la lámina, su trayectoria será curva. De la misma forma, la Tierra describe una órbita alrededor del Sol porque el espacio es distorsionado por los dos cuerpos. 4. Agujeros Negros. Cuando una estrella con gran masa (se ha calculado como mínimo 1,5 masas solares) agotan sus reservas nucleares, se colapsan. A menos que su rotación sea lo suficientemente alta, la contracción continua hasta que sus densidades se vuelven infinitas. Cerca de esas estrellas encogidas, el campo gravitacional es tan enorme que ni la luz puede escapar en su cercanía. Se han aplastado a sí mismas y han salido de la existencia visible. Los resultados son los agujeros negros, que son totalmente invisibles. Un agujero negro tiene un campo gravitacional igual al de la estrella que lo formó. Pero a menos distancia, cerca de un agujero negro, el campo gravitacional puede ser enorme; es un torcimiento de los alrededores hacia el cual es succionado todo lo que pase demasiado cerca: luz, polvo o nave espacial. Un agujero puede ser detectado al hacer sentir su influencia gravitacional sobre las estrellas vecinas. Se cuenta con evidencias científicas como en una galaxia joven se observa como un “ cuásar “, en el centro del agujero negro, succiona materia que emite grandes cantidades de radiación al sumergirse en el olvido. 5. Área de lanzamiento del Organismo Espacial Europeo. Para colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra es necesario imprimir al satélite una

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gran velocidad tangencial que se encarga el sistema de propulsión del cohete. La superficie terrestre viaja hacia el este con gran rapidez debido a su rotación, por lo que los cohetes son lanzados hacia el este, con el fin de que la rotación del planeta proporciona cierta velocidad tangencial inicial que reduce las necesidades del cohete. Si el cohete se lanzara desde Europa, que está en una latitud con ángulo relativamente grande, la aportación de la rotación de la Tierra sería pequeña, por qué la distancia entre Europa y el eje de rotación del planeta no es muy grande. El lugar ideal para los lanzamientos es el Ecuador, que es lo más lejos que se puede estar del eje de rotación de la Tierra sin despegarse de la superficie terrestre. Esto da como resultado la máxima velocidad tangencial posible debida a la rotación del planeta. El organismo Espacial Europeo aprovecha esta ventaja realizando sus lanzamientos desde la Guayana Francesa, que está a sólo unos pocos grados al norte del ecuador. 6. Ciclo de centrifugado de una lavadora. En la última fase del lavado de la ropa en la lavadora, en el ciclo de enjuagado, el tambor gira rápidamente sobre sí mismo para extraer el agua de la ropa, es decir la ropa gira y las fuerzas moleculares son insuficientes para suministrar la fuerza radial necesaria para mantener las moléculas de agua en movimiento a lo largo de una trayectoria circular junto con la ropa. Por lo que las gotas agua, en virtud de su inercia, se desplazan en trayectorias rectilíneas hasta encontrar los costados del tambor giratorio.

EXPLICA UTILIZANDO LO APRENDIDO 1. Explica la acción del ciclo de giro para exprimir ropa en una lavadora automática. 2. Explique las causas de que los pasajeros de la rueda de la figura se mueven hacia afuera cuando empieza a girar. 3. Cuáles son las restricciones de un satélite de telecomunicaciones en órbita, que permanece estacionario respecto a una localidad dada de la Tierra. 4. Qué es lo universal en la ley de la Gravitación Universal. 5. La fuerza de la gravedad es mayor sobre una bola de papel en comparación con el mismo papel sin arrugar? Sustentar la respuesta. 6. Es correcto decir que los astronautas en órbita no tienen peso, porque están más allá del tirón gravitacional de la Tierra. 7. En algún lugar entre la Tierra y la Luna, la gravedad de estos dos cuerpos sobre una nave espacial se debe anular. ¿ Este lugar está más cerca de la Tierra o de la Luna? 8. ¿ Por qué una persona que se lanza en bungee experimenta ingravidez durante el salto ? 9. ¿Cuándo será mayor la fuerza de gravitación entre ti y el Sol; hoy al medio día o mañana a media noche ? y por qué ?

7. SATELITE GEOESTACIONARIO. Un satélite Geoestacionario es el que no necesita cambiar la dirección a fin de permanecer enfocados en la señal. Esto significa que el satélite siempre debe estar en el mismo lugar respecto a la superficie terrestre. Para que esto ocurra, el satélite debe estar a una altura de 35 400 km para que su período de revolución sea igual al de la Tierra, 24 h.

8. Las centrífugas para separar los glóbulos del plasma sanguíneo de laboratorio comerciales con un ángulo de tubos fijo, giran a una velocidad de 3 400 rpm

10. Si no existiera la Luna, seguiría habiendo mareas? En caso afirmativo ¿ con qué frecuencia ? 11. ¿ Que necesita más combustible, un cohete que va de la Tierra a la luna o uno que regresa de la Luna a la Tierra ? ¿ Por qué ? 12. Se suele emplear centrifugas en las lecherías para separar la crema de la leche. ¿ Qué es lo que queda en el fondo? 13. Se puede hacer girar un cubo de agua en una trayectoria vertical de modo que el agua no se derrame. ¿ Por qué permanece el agua en el cubo aun cuando éste se encuentre por encima de la cabeza de la persona? 14. Durante el verano la Tierra se mueve más lentamente en su órbita que durante el invierno. ¿ Está más ceca al Sol durante el verano que durante el invierno ?

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15. Las sillas en una nave espacial en órbita no tienen peso. Si usted va a bordo, está descalzo y patea una silla, ¿ se lastima el dedo ? Explique. 16. En IGM, las imágenes del estado de tiempo que se ve todos los días por la TV provienen de un satélite geoestacionario situado a 35 700 km del ecuador de la Tierra. Explicar como el satélite mantiene su posición día y noche. ¿ qué sucedería si se acerca o se alejara un poco de la Tierra ? 17. La máxima fuerza de marea en nuestro organismo se debe a ¿la Tierra, la Luna o al Sol?

REFORZANDO LO APRENDIDO 1. Calcular la fuerza centrípeta sobre un automóvil de 2500 kg que toma una curva de 100 m de radio a una velocidad de 60 km/h. 2. La curva de una pista de carreras tiene un radio de 110 m y está inclinada a un ángulo de 650 ¿ Para qué velocidad se diseño esta curva ? 3. La pista de un velódromo está inclinada de modo que una bicicleta que corre a 63 km/h no se desliza hacia un lado cuando corre sobre la pista con un radio de curvatura de 77 m. ¿ Cuál es el ángulo de inclinación ?

8. El planeta Saturno tiene una masa de 95,2 veces mayor que de la Tierra y un radio 9,47 veces el de ésta. Determinar la velocidad de escape para objetos situados cerca de la superficie de Saturno. 9. Se lanza desde la superficie de la Tierra una partícula con una velocidad doble de escape. Cuando esté muy lejos de la Tierra determinar su velocidad. 10. Una corteza esférica tiene un radio de 2m una masa de 350 kg. Calcular el campo gravitatorio a la distancia de 1,5m y 2,5 m 11. La cuerda de un péndulo cónico tiene 50 cm de longitud y la masa del cuerpo pendular es 0,30 kg. Calcular: a) El ángulo que forma la cuerda y la horizontal cuando la tensión de la cuerda es seis veces mayor que el peso del cuerpo pendular. b) El período del péndulo. 12. Un avión vuela en un círculo horizontal con una velocidad de 480 km/h. Para seguir esta trayectoria inclina las alas un ángulo de 400 . Sobre las alas se produce una fuerza ascensional que mantiene al avión en el aire. Calcular el radio de la trayectoria del avión.

4. Se lanza una bola de 0,355 kg atada a un poste por una cuerda de 1,6 m de modo que con la cuerda forma un ángulo de 380 con el poste vertical, recorriendo un círculo de horizontal . Calcular: a) La velocidad de la bola b) La tensión de la cuerda. 5. El radio de la órbita terrestre es 1,496 x 10 11 m y el de Urano es 2,87 x 10 12m. Cuál es el periodo de Urano. 6. La Luna cuando está en el apogeo de su órbita alrededor de la Tierra está a 406 395 km de distancia, mientras que en el perigeo está a 357 643 km. Calcular la velocidad de la Luna en el apogeo y en el perigeo. El periodo orbital de la Luna alrededor de la Tierra es de 27,3 días. 7. La masa de la Tierra es de 5,97 x 10 24 kg y su radio 6 370 km. El radio de la Luna es 1738 km. La aceleración de la gravedad de la superficie de la Luna es 1,62 m/s2, la masa de la luna es 7,35 x 10 22 kg. Calcular la relación entre la densidad media de la Luna y la de la Tierra. _______________________________________________________________________________________________________ Física Superior MSc. Lucia Goyes MSc. Franklin Molina.