Geometría Analítica en el Plano 2

Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educacion Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matematica y Física

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PANO 2 MSc. Franklin Molina Jiménez 2021-2022

Geometría Analítica en el Plano MSc. Franklin Molina Jiménez.

Docente de la Universidad Central del Ecuador Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física.

Año: 2021

DERECHOS RESERVADOS. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro por ningún medio: electrónico, mecánico u otros métodos; sin la autorización previa y por escrito de los autores.

ISBN: En trámite DERECHOS DE AUTOR: En trámite

Publicado en línea: 2021-09-30

Quito - Ecuador

i

INTRODUCCIÓN

Consciente de la importancia del estudio de la geometría analítica en el plano, este texto ha sido desarrollado con el propósito de facilitar su aprendizaje, y así los maestros de geometría analítica en el plano se conviertan en guías del proceso enseñanza – aprendizaje.

Las unidades que constan en el texto están diseñadas de tal forma que se presenta desarrollado el contenido científico, para luego analizar con el maestro una serie de ejercicios resueltos, lo que permitirá al estudiante desarrollar la competencia de resolver ejercicios.

A continuación se plantean un grupo de ejercicios para ser resueltos y reforzar lo aprendido para ser resueltos como tarea.

Ponemos en consideración a los maestros el presente trabajo que permitirá contribuir en el aprendizaje de la geometría.

MSc. Franklin Molina DOCENTE

ii

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________

SECCIONES CONICAS El término cónica se deriva de la palabra cono, que en geometría es una figura que puede formarse a partir de una recta que se hace girar con respecto a un eje, como se muestra en la siguiente figura.

El cono circular recto doble es una superficie que se obtiene al girar la generatriz (recta generadora L) alrededor de otra recta o eje (E), manteniendo siempre el mismo ángulo de giro entre ambas rectas.

Las cónicas, o también llamadas secciones cónicas, son curvas que se forman cuando un cono doble circular recto se interseca con un plano. Son lugares geométricos donde es constante un conjunto de todos los puntos en el plano cuya razón de distancia no dirigida a un punto y una recta fijos.

Dicha razón constante se llama excentricidad de la cónica, que se simboliza con la letra e. El punto fijo se llama eje de la cónica y la recta fija se llama directriz.

Si la directriz: • • • •

e = 0, la cónica es una circunferencia e = 1, la cónica es una parábola e < 1, la cónica es una elipse. e > 1, la cónica es una hipérbola

La recta perpendicular a la directriz que pasa por un foco de la cónica se llama eje de la cónica.

Los puntos de intersección de las dos partes del manto con el eje de la misma se denominan vértices.

De acuerdo al ángulo y el lugar de la intersección es posible obtener círculos, hipérbolas , elipses o parábolas. Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del cono se obtiene una hipérbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de las aristas del cono se obtiene una parábola

REPRESENTACIÓN GRÁFICA En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad de la figura geométrica y la inclinación del plano respecto del eje del cono, pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, que son:

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________

APLICACIONES: Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________

LA PARÁBOLA.

Sean L`L y F la recta y punto fijos. Tracemos por F la perpendicular al eje x y sea 2a la distancia de F a L`L. Por definición de parábola la curva debe cortar al eje x en el punto O, equidistante de F y L`L. El eje y se traza perpendicular al x por el punto O. Las coordenadas de F son (a, O) y la ecuación de la directriz es X= - a. o bien. X + a=0.

Sea P (X, Y) un punto genérico cualquiera de manera que: 𝑃𝐹 𝑃𝑀

Entonces,

= e = 1.

√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 0)2 = x + a.

Elevando al cuadrado, 𝑥 2 -2ax + 𝑎2 + 𝑦 2 + 2ax + 𝑎2 , Es decir:

𝑦 2 =4ax

De la forma de la ecuación se deduce que la parábola es simétrica con respecto al eje x. El punto en que la curva corta al eje de simetría se denomina vértice. La cuerda C`C que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama latus rectum. La longitud del latus rectum es 4a, es decir, el coeficiente del término de primer grado en la ecuación.

Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación toma la forma 𝑦 2 =- 4ax Si el foco pertenece al eje y, la forma de la ecuación es 𝑦 2 =- 4ax 3 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ Si el foco pertenece al eje y, la forma de la ecuación es 𝑥 2 =± 4ay en la que el signo depende de que el foco este por encima o por debajo de la directriz.

Se debe considerar ahora una parábola de vértice el punto (h, k), de eje paralelo al de coordenadas x y cuyo foco este a una distancia a del vértice y ala derecha de él.

La directriz, paralela aleje y a una distancia 2ª a la izquierda del foco, tendrá la ecuación: x=h–a ;

x–h+a=0

Llamemos P (x, y) un punto genérico cualquiera de la parábola.

Como PF=PM √(𝑥 − ℎ − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = x – h + a es decir, o bien,

𝑦 4 -2k y + 𝑘 2 = 4 ax – 4 ah (y - k)2 = 4a (x -h)

Otras expresiones son: (𝑦 − 𝑘)2 = −4 𝑎 ( 𝑥 − ℎ) (𝑥 − ℎ)2 = 4 𝑎 ( 𝑦 − 𝑘) (𝑥 − ℎ)2 = −4 𝑎 ( 𝑦 − 𝑘)

Que desarrolladas adquieren la forma: x= 𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 y = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Graficar la siguiente ecuación: 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙 Para graficar se procede a despejar y 𝑦 = ±√8𝑥 8𝑥 ≥ 0 𝑥≥0 Realizamos la tabla de valores Eje x

Eje y

0

0

1

∓2.83

2

∓4

3

∓4.90

4

∓5.66

Gráfico:

2. En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, y la gráfica.

6𝑦 2 − 12𝑥 = 0 Despejamos el término cuadrático 6𝑦 2 = 12𝑥 𝑦 2 = 2𝑥 Identificamos el valor p 4𝑝 = 2 𝑝 = 1/2 Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz: 1 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝐹 ( , 0) 2 5 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

𝑥=−

1 2

3. Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, si la curva tiene eje coincidente con el eje X, vértice en el origen, y pasa por el punto: (1, -3) Como el eje es coincidente con el eje X y el vértice está en el origen (0; 0), la ecuación de la curva es de la forma: y2 = 4px. Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 Ec.1 Reemplazando el punto en la ecuación se tiene: (−3)2 = 4𝑝(1) Resolviendo operaciones, se tiene: 9 = 4𝑝 Y, despejando p, para hallar su valor: 9 𝑝= Ec.2 4 Reemplazando la ecuación 2 en 1, se tiene: 9 𝑦 2 = 4. ( ) 𝑥 4 La ecuación de la parábola es: 𝑦 2 = 9𝑥 La ecuación de la directriz es de la forma: 𝑥 = −𝑝 Por tanto: 𝑥 = − 9⁄4

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________

4. Graficar la siguiente ecuación: 𝑦 2 = −8𝑥 Para graficar se procede a despejar y 𝑦 = ±√−8𝑥 -8𝑥 ≥ 0 𝑥≤0 Realizamos la tabla de valores Eje x

Eje y

0

0

1

∓2.83

2

∓4

3

∓4.90

4

∓5.66

5. En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuación de su directriz y la gráfica.

2𝑦 2 = −7𝑥 Despejamos el término cuadrático 2𝑦 2 = −7𝑥 7 𝑦2 = − 𝑥 2 Identificamos el valor p 7 4𝑝 = 2 7 𝑝= 8 Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz 7 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝐹 (− , 0) 8 7 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = 8

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ Finalmente graficamos:

6. Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, si la curva tiene eje coincidente con el eje X, vértice en el origen, y pasa por el punto: (-1, -3) Como el eje es coincidente con el eje X y el vértice está en el origen (0; 0), la ecuación de la curva es de la forma: y2 = 4px. Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 Ec.1 Reemplazando el punto en la ecuación se tiene: (−3)2 = 4𝑝(−1) Resolviendo operaciones, se tiene: 9 = −4𝑝 Y, despejando p, para hallar su valor: 9 𝑝=− Ec.2 4 Reemplazando la ecuación 2 en 1, se tiene: 9 𝑦 2 = 4. (− ) 𝑥 4 La ecuación de la parábola es: 𝑦 2 = − 9𝑥 La ecuación de la directriz es de la forma: 𝑥=𝑝 9 Por tanto: 𝑥 = ⁄4

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 7. Graficar la siguiente ecuación: 𝑥 2 = 8𝑦 Para graficar se procede a despejar y 𝑦=

𝑥2 8

Realizamos la tabla de valores Eje x

Eje y

0

0

-1

1⁄ 8

1

1⁄ 8

-2

1⁄ 2

2

1⁄ 2

-3

9⁄ 8

3

9⁄ 8

-4

2

4

2

8. En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, y la gráfica. 𝑥 2 = 16𝑦 Identificamos el valor p 4𝑝 = 16 16 𝑝= 4 Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝐹: (0,4) 9 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

𝑦 = −4

9. Hallar las ecuaciones de la parábola, si la curva tiene eje coincidente con el eje Y, vértice en el origen, y pasa por P(-3, 1) Como el eje es coincidente con el eje 𝑌 y el vértice está en el origen (0; 0), la ecuación de la curva es de la forma: x2 = 4py. Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 Ec.1 Reemplazando el punto en la ecuación se tiene: (−3)2 = 4𝑝(1) Resolviendo operaciones, se tiene: 9 = 4𝑝 Y, despejando p, para hallar su valor: 9 𝑝= Ec.2 4 Reemplazando la ecuación 2 en 1, se tiene: 9 𝑥 2 = 4. ( ) 𝑥 4 La ecuación de la parábola es: 𝑥 2 = 9𝑦 La ecuación de la directriz es 𝑦 = −𝑝 Por tanto: 𝑦 = − 9⁄4

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 10. Graficar la siguiente ecuación: 𝑥 2 = −8𝑦 Para graficar se procede a despejar y 𝑦=

𝑥2 −8

Realizamos la tabla de valores Eje x 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4

Eje y 0 − 1⁄8 − 1⁄8 − 1⁄2 − 1⁄2 − 9⁄8 − 9⁄8 -2 -2

En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, y la gráfica.

15𝑥 2 = −42𝑦 Despejamos el término cuadrático 15𝑥 2 = −42𝑦 14 𝑥2 = − 𝑦 5 Identificamos el valor p 14 5 7 𝑝= 10 Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz 7 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝐹 (0, − ) 10 7 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = 10 4𝑝 =

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________

11. Encuentra los elementos de la parábola (𝑦 − 3)2 = 16(𝑥 + 1) Vemos que es de la forma: (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) Lo anterior nos indica que es una parábola con vértice fuera del origen y que se abre hacia la derecha.

Al comparar ambas ecuaciones, extraemos los siguientes datos: (𝑦 − 3)2 = 16(𝑥 + 1) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) −𝑘 = −3; 𝑘 = 3 −ℎ = 1 ; ℎ = −1 Coordenadas del vértice (h;k). 𝑉 (−1,3) El parámetro p sería 4𝑝 = 16 Aplicando el teorema: 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑐 = 𝑏/𝑎 Se tiene: 𝑝 = 4

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 12. La siguiente ecuación representa una parábola de vértice (-1,-1) y directriz x = 2, tal como aparece en la gráfica.

Al observar que el vértice se encuentra en el tercer cuadrante del plano cartesiano y la directriz es perpendicular al eje x, que pasa por el punto 2: determinamos que se trata de la forma: (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) Lo anterior nos indica que es una parábola con vértice fuera del origen y que p tomaría un valor negativo para que se cumpla las condiciones del problema y por tanto se abre hacia la izquierda.

De los datos, se tiene: ℎ = −1 𝑘 = −1 Coordenadas del vértice (h;k). 𝑉 (−1, −1) El parámetro p quedaría:

Según

las

condiciones

del

𝑝 = |2 − (−1)| 𝑝 = |3| 𝑝=3 ejercicio, p debería tomar 𝑝 = −3

signo

negativo,

por

tanto:

Reemplazando los datos obtenidos, en la Ec. 1, se tiene: (𝑦 − (−1))2 = 4(−3) (𝑥 − (−1)) (𝑦 + 1)2 = −12 (𝑥 + 1)

13. Encuentra los elementos de la parábola (𝑥 − 1)2 = 12(𝑦 − 4) Vemos que es de la forma: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑘) Lo anterior nos indica que es una parábola con vértice fuera del origen y que se abre hacia la arriba.

Al comparar ambas ecuaciones, (𝑥 − 1)2 = −12(𝑦 − 4) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑘) 13 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ Extraemos los siguientes datos: −ℎ = −1; ℎ = 1 −𝑘 = −4 ; 𝑘 = 4 Coordenadas del vértice (h;k). 𝑉 (1,4) El parámetro p sería 4𝑝 = −12 Aplicando el teorema: 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑐 = 𝑏/𝑎 Se tiene: 𝑝 = −3

14. La siguiente ecuación representa una parábola de vértice (2,-2) y directriz y = 2, tal como aparece en la gráfica.

Al observar que el vértice se encuentra en el cuarto cuadrante del plano cartesiano y la directriz es paralelo al eje x que pasa por el punto 2: determinamos que se trata de la forma: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑘) Lo anterior nos indica que es una parábola con vértice fuera del origen y que p tomaría un valor negativo para que se cumpla las condiciones del problema y por tanto se abre hacia la abajo.

De los datos, se tiene: ℎ=2 𝑘 = −2 Coordenadas del vértice (h;k). 𝑉 (2, −2) El parámetro p quedaría:

Según

las

condiciones

del

𝑝 = |−2 − 2| 𝑝 = |−4| 𝑝=4 ejercicio, p debería 𝑝 = −4

tomar

signo

negativo,

por

tanto:

Reemplazando los datos obtenidos, en la Ec. 1, se tiene: (𝑥 − 2)2 = 4(−4) (𝑦 − (−2)) Concluyendo, que la ecuación de la parábola es: (𝑥 − 2)2 = −16 (𝑦 + 2) 14 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________

15. Determinar la ecuación general de: (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 + 1) Resolviendo el cuadrado de un binomio en el primer miembro de la ecuación y por propiedad distributiva en el segundo miembro, se tiene: 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 8𝑥 + 8 Por transposición de términos, se tiene: 𝑦 2 − 8𝑥 − 4𝑦 + 4 − 8 = 0 Por términos semejantes: 𝑦 2 − 8𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0

16. Determinar la ecuación general de: (𝑥 − 5)2 = 4(𝑦 − 1) Resolviendo el cuadrado de un binomio en el primer miembro de la ecuación y por propiedad distributiva en el segundo miembro, se tiene: 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 4𝑦 − 4 Por transposición de términos, se tiene: 𝑥 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 25 + 4 = 0 Por términos semejantes: 15 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 29 = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.

En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, y la gráfica.

A) 3𝑦 2 − 15𝑥 = 0 B) 4y 2 = 12x C) −12x + 5y 2 = 0 D) 7y 2 − 28x = 0 E) −13x + y 2 = 0

2. Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, y el valor del lado recto, si la curva tiene eje coincidente con el eje X, vértice en el origen, y pasa por el punto: A) (2, -3) B) (3, 3) C) (1, -2) D) (4, 2) E) (5, -1) 3.En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuación de sus directriz, y la gráfica.

A) 3𝑦 2 + 15𝑥 = 0 B) 4𝑦 2 = −12𝑥 C) −12𝑥 − 5𝑦 2 = 0 D) −7𝑦 2 − 28𝑥 = 0 E) −13𝑥 − 𝑦 2 = 0 4. Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, y el valor del lado recto, si la curva tiene eje coincidente con el eje X, vértice en el origen, y pasa por el punto: A) (-2, -3) B) (-3, 3) C) (-1, -2) D) (-4, 2) E) (-5, -1) 5. En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, y la gráfica.

A) 𝑥 2 − 12𝑦 = 0 16 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ B) C) D) E)

2𝑥 2 − 12𝑦 = 0 4𝑥 2 − 9𝑦 = 0 3𝑥 2 − 8𝑦 = 0 5𝑥 2 − 12𝑦 = 0

6. Hallar las ecuaciones de la parábola, si la curva tiene eje coincidente con el eje Y, vértice en el origen, y pasa por el punto: A) (3, 1) B) (-3, 2) C) (-2, 1) D) (2, 3) E) (3,3) 7. En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, y la gráfica.

A) B) C) D) E)

5𝑥 2 + 8𝑦 = 0 3𝑥 2 + 16𝑦 = 0 3𝑥 2 + 2𝑦 = 0 2𝑥 2 + 𝑦 = 0 4𝑥 2 + 7𝑦 = 0

8. Hallar las ecuaciones de la parábola, si la curva tiene eje coincidente con el eje Y, vértice en el origen, y pasa por el punto: A) (3, -1) B) (-3, -2) C) (-2, -1) D) (2, -3) E) (3,-3) 9. Encuentra los elementos de las siguientes parábolas: A) (𝑦 − 1)2 = 16(𝑥 + 3) B) (𝑦 − 2)2 = 12(𝑥 − 1) C) (𝑦 + 3)2 = −8(𝑥 + 3) D) (𝑦 + 4)2 = 4(𝑥 − 2) E) 𝑦 2 = 16(𝑥 − 2) F) (𝑥 − 1)2 = 20(𝑥 − 3) G) (𝑥 + 2)2 = 16(𝑥 − 5) H) (𝑥 + 3)2 = −8(𝑥 + 4) I) (𝑥 + 4)2 = 4(𝑥 + 2) J) 𝑥 2 = 12(𝑥 − 1) 10.

Determinar la ecuación de la parábola con Vértice y directriz respectivamente: A) (-1,-1) ; x = 2 B) (-2,-2) ; x = 1 C) (-2,3) ; x = -1 D) (-2,4) ; x = 3 E) (-1,-1) ; x = 2 F) (2,-1) ; y = 2 G) (3,-2) ; y =1 H) (1,1) ; y =3 I) (0,-3) ; y = - 2 J) (4,-4) ; y=0

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UNIDAD 3 La Parábola __________________________________________________________________________________ 11. Determinar la ecuación general de: A) (𝑦 − 3)2 = 12(𝑥 + 1) B) (𝑦 − 1)2 = −8(𝑥 − 3) C) (𝑦 + 2)2 = 16(𝑥 + 2) D) (𝑦 + 4)2 = −12(𝑥 + 5) E) (𝑦 − 6)2 = 16(𝑥 − 1) F) (𝑥 + 5)2 = 4(𝑦 − 2) G) (𝑥 + 1)2 = −4(𝑦 + 3) H) (𝑥 − 5)2 = 16(𝑦 + 4) I) (𝑥 − 5)2 = −20(𝑦 − 6) J) (𝑥 − 5)2 = 4𝑦

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UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________

LA ELIPSE La Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Sean los dos puntos fijos 𝐹(𝑐, 0) y 𝐹´(−𝑐, 0) y 2a la suma constante, (𝑎 > 𝑐). Consideremos un punto genérico 𝑃(𝑥, 𝑦) que pertenezca al lugar. Por definición, 𝐹´𝑃 + 𝑃𝐹 = 2𝑎 es decir,

√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎

O bien,

√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes, 𝑐𝑥 − 𝑎2 = −𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 Elevando al cuadrado y simplificando, (𝑎2 − 𝑐 2 )𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) Dividiendo por 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) se obtiene la ecuación

𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑎2 −𝑐 2

= 1.

Como 𝑎 > 𝑐, 𝑎2 − 𝑐 2 es positivo. Haciendo 𝑎2 − 𝑐 2 = 𝑏 2 , resulta la ecuación de la elipse en la forma: 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2 o bien,

𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2

Como esta ecuación solo contiene potencias pares de 𝑥 𝑒 𝑦, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦, y con respecto al origen. El punto 0 es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje menos.

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UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________ Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, 𝑐) y (0, −𝑐), el eje mayor estaría sobre el eje y, con lo que la ecuación resulta de la forma 𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒 =

𝑐 𝑎

=

𝑥2 𝑏2

√𝑎2 −𝑏2 , o bien 𝑎

+

𝑦2 𝑎2

= 1.

𝑐 = 𝑎𝑒.

Como la elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices. Las ecuaciones de las directrices 𝐷´𝐷´ y 𝐷𝐷 son, respectivamente, 𝑎 𝑒

𝑎 𝑒

𝑥 + = 0 y 𝑥 − = 0.

Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices serian 𝑎 𝑒

𝑎 𝑒

𝑦 + = 0 y 𝑥 − = 0.

Se denomina latus rectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos. Su longitud es

2𝑏2 . 𝑎

Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.

Si el centro de la elipse es el punto (ℎ, 𝑘) y el eje mayor tiene la dirección del eje x, la ecuación de la elipse es de la forma (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + = 1, 𝑎2 𝑏2 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛,

(𝑥−ℎ)2 𝑏2

+

(𝑦−𝑘)2 𝑎2

= 1, si el eje mayor fuera paralelo al eje y. En

cualquier caso, la forma general de la ecuación de la elipse es 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Siempre que 𝐴 𝑦 𝐵 sean del mismo signo.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular excentricidad de la siguiente elipse: 𝑥2 𝑦2 + =1 25 16 Calculemos los valores de a y b: 𝑎2 = 25 𝑎=5 𝑏 2 = 16 𝑏=4 Entonces podemos dar las coordenadas de los vértices: V1 (5,0); V2 (-5,0); V3 (0,4); V4 (0,-4) Eje focal: Es el eje y, porque el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2.

Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 25 − 16 𝑐 2 = 9; 𝑐 = 3 𝐹1 = (−3, 0) 𝑦 𝐹2 = (3, 0) Excentricidad de la elipse: 𝑐 3 𝑒= 𝑒= 𝑎 5 20 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________

2. Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular la excentricidad de la siguiente elipse: 𝑥2 𝑦2 + =1 4 10 Calculemos los valores de a y b: 𝑎2 = 10 𝑎 = √10 𝑏2 = 4 𝑏=2 Entonces podemos dar las coordenadas de los vértices: V1(0, √10); V2(0, – √10); V3(2,0); V4(–2,0) Eje focal: Es el eje y, porque el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2.

Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 10 − 4 𝑐2 = 6 𝑐 = √6 𝐹1 = (0, −√6) 𝑦 𝐹2 = (0, √6) Excentricidad de la elipse: 𝑐 𝑒= 𝑎 √6 𝑒= √10 𝑒=√

3 5

21 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________ 3. Hallar vértices, focos, eje focal y graficar la siguiente ecuación de la elipse: (𝑥 − 1)2 (𝑦 + 2)2 + =1 4 2 Calculemos los valores de a y b: 𝑎2 = 4 𝑎=2 𝑏2 = 2 𝑏 = √2 Entonces podemos dar las coordenadas del centro, a partir de la ecuación canónica. (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 −ℎ = −1 ; ℎ = 1 −𝑘 = 2 ; 𝑘 = −2 𝑟2 = 1 ; 𝑟 = 1 Ahora, se puede encontrar las coordenadas de los vértices: 𝐴 = (ℎ + 𝑎; 𝑘); 𝐴′ = (ℎ − 𝑎; 𝑘) 𝐵 = (ℎ; 𝑘 + 𝑎); 𝐵′ = (ℎ; 𝑘 − 𝑎) Por tanto: 𝐴 = (3; −2); 𝐴′ = (−1; −2) 𝐵 = (1; −2 + √2); 𝐵′ = (1; −2 − √2) Eje focal: Es el eje x, porque el denominador de x2 es mayor que el denominador de y2.

Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐2 = 4 − 2 𝑐2 = 2 𝑐 = √2 𝐹1 = (1 + √2, −2) 𝑦 𝐹2 = (1 − √2, −2)

4. En la figura, se muestra la parte trasera de un tanque de gas en forma de elipse y se quiere colocar una válvula en 𝑀. Los puntos 𝑂, 𝑉₁ 𝑌 𝑉₂ , son centros y vértices de una elipse, F uno de sus focos. Si 𝑉₁ 𝑉₂ = 2𝐵₁ 𝐵₂ = 8𝑐𝑚 y 𝑂(6; 4), halle las coordenadas N SOLUCIÓN El semieje mayor El semieje menor 𝑉₁ 𝑉₂ =2a 2𝐵₁ 𝐵₂ = 8 Luego se tiene que 𝐵₁ 𝐵₂ = 4 Si 2𝑎 = 8 𝐵₁ 𝐵₂ = 2𝑏 𝑎=4 4 = 2𝑏 2=𝑏 Se encuentra 𝑐 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 Despejamos la variable y operamos 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 22 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________ 𝑐 2 = 42 − 22 𝑐 = √12 𝑐 = 2√3 Como dato se tiene el punto 𝑂(6; 4) Realizando el respectivo análisis se tiene que 𝐹(ℎ + 𝑐, 𝑘) Por ende 𝐹(6 + 2√3, 4) 𝐹(9.46; 4) Procedemos a sacar el lado recto 2𝑏 2 𝑎 2(2)2 𝐿𝑅 = 4 𝐿𝑅 = 2 Para sacar la coordenada N se debe dividir el LR para dos y luego hacer lo siguiente 𝐿𝑅 =1 2 Luego al foco se le debe añadir 𝐿𝑅 𝐹(6 + 2√3, 4 − ) 2 𝐹(6 + 2√3, 4 − 1) Una vez hecho el remplazo se tiene que 𝑁(6 + 2√3, 3) 𝐿𝑅 =

5. Hallar vértices, focos, eje focal y graficar la siguiente ecuación de la elipse: 𝑥 2 (𝑦 − 1)2 + =1 9 25 Calculemos los valores de a y b: 𝑎2 = 9 𝑎=3 𝑏 2 = 25 𝑏=5 Entonces podemos dar las coordenadas del centro, a partir de la ecuación canónica. (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2 −ℎ = 0 ; ℎ = 0 −𝑘 = −1 ; 𝑘 = 1 𝑟2 = 1 ; 𝑟 = 1 Ahora, se puede encontrar las coordenadas de los vértices: 𝐴 = (ℎ; 𝑘 + 𝑎); 𝐴′ = (ℎ; 𝑘 − 𝑎) 𝐵 = (ℎ + 𝑎; 𝑘); 𝐵′ = (ℎ − 𝑎; 𝑘) Por tanto: 𝑉 = (0; 6); 𝑉′ = (0; −4) 𝐵 = (3; 1); 𝐵′ = (−3; 1) Eje focal: Es el eje y, porque el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2.

23 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________ Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 25 − 9 𝑐 2 = 16 𝑐=4 𝐹1 = (0, 5) 𝑦 𝐹2 = (0, −3)

6. Expresar en forma general cada una de las siguientes ecuaciones dadas en forma canónica: 𝐴)

(𝑥 + 5)2 (𝑦 + 2)2 + =1 36 49

Se elimina el denominador (m.c.m.=1764) y se resuelven los binomios al cuadrado.

49(𝑥 2 + 10𝑥 + 25) + 36(𝑦 2 + 4𝑦 + 4) = 1764 Aplicando propiedad distributiva, se tiene: 49𝑥 2 + 490𝑥 + 1225 + 36𝑦 2 + 144𝑦 + 144 = 1764 Por trasposición de términos y ordenando de forma descendente, se tiene: 49𝑥 2 + 36𝑦 2 + 490𝑥 + 144𝑦 + 144 + 1225 − 1764 = 0 Por reducción de términos semejantes, se tiene: 49𝑥 2 + 36𝑦 2 + 490𝑥 + 144𝑦 − 395 = 0; Forma general de la elipse (𝑥 − 3)2 (𝑦 − 1)2 𝐵) + =1 4 25 Se elimina el denominador (m.c.m.=100) y se resuelven los binomios al cuadrado.

25(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) + 4(𝑦 2 − 2𝑦 + 1) = 100 Aplicando propiedad distributiva, se tiene: 25𝑥 2 − 150𝑥 + 225 + 4𝑦 2 − 8𝑦 + 4 = 100 Por trasposición de términos y ordenando de forma descendente, se tiene: 25𝑥 2 + 4𝑦 2 − 150𝑥 − 8𝑦 + 225 + 4 − 100 = 0 Por reducción de términos semejantes, se tiene: 25𝑥 2 + 4𝑦 2 − 150𝑥 − 8𝑦 + 129 = 0; 24 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Hallar vértices, focos, eje focal, la excentricidad y graficar de las siguientes elipses: A) B) C) D) E)

𝑥2

+

𝑦2

=1

36 4 𝑥2 𝑦2 + =1 49 16 𝑥2 𝑦2 + =1 48 24 𝑥2 𝑦2 + −1 = 0 100 81 2 2 𝑥 𝑦 + −1 =0 169 121

2. Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular excentricidad de la siguiente elipse: A) B) C) D) E)

𝑥2 + 4 2 𝑥 + 16 2 𝑥 + 24 𝑥2 + 81 𝑥2 121

+

𝑦2 =1 36 2 𝑦 =1 49 2 𝑦 =1 48 𝑦2 −1 100 𝑦2 169

=0

−1 =0

3. Hallar vértices, focos, eje focal y graficar las siguientes ecuaciones de las elipses: A) B) C) D) E)

(𝑥−1)2 36 (𝑥+1)2 49 (𝑥+3)2 100 (𝑥−4)2 4 (𝑥+2)2 169

+ + + + +

(𝑦+2)2 4 (𝑦−2)2 16 (𝑦+5)2 81 (𝑦−2)2 2 (𝑦−5)2 121

=1 =1 =1 −1=0 −1=0

4. Hallar vértices, focos, eje focal y graficar la siguiente ecuación de las elipses: A) B) C) D) E)

(𝑥−1)2 4 (𝑥+1)2 16 (𝑥+3)2 81 (𝑥−4)2 2 (𝑥+2)2 4

+ + + + +

(𝑦+2)2 36 (𝑦−2)2 36 (𝑦+5)2 100 (𝑦−2)2 4 (𝑦−5)2 9

=1 =1 =1 −1=0 −1=0

5. Expresar en forma general cada una de las siguientes ecuaciones dadas en forma canónica: A) B) C) D) E)

(𝑥−3)2 (𝑦−2)2 + = 25 16 2 2 (𝑥+4) (𝑦+1) + = 169 49 (𝑥−2)2 𝑦2 + =1 64 100 𝑥2 (𝑦−3)2 + =1 25 64 (𝑥−7)2 (𝑦+8)2 + = 225 121

1 1

1

25 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 4 La Elipse __________________________________________________________________________________ 6. Expresar en forma general cada una de las siguientes ecuaciones con sus respectivas características: A) Sus vértices tienen por coordenadas: A (3, 0); A’ (–3, 0); B (0, 1) y B’ (0, –1).

B) Sus focos tienen por coordenadas: F (4, 0) y F’ (– 4, 0) y dos de sus vértices tiene por coordenadas: A (5, 0) y A’ (– 5,0).

C) Sus focos tienen por coordenadas: F (15, 0) y F’ (– 15, 0) y el punto de coordenadas (20, 12) pertenece a la elipse.

D) Sus focos tienen por coordenadas: F (2, 0) y F’ (– 2, 0) y el punto de coordenadas (2, – 3) pertenece a la elipse.

5 E) Sus focos tienen por coordenadas: F (5, 0) y F’ (– 5, 0) y su excentricidad es igual a: 8

7. Hallar las ecuaciones de las siguientes elipses sabiendo que: A) Sus focos tienen por coordenadas: F (0, 7) y F’ (0, – 7) y dos de sus vértices tienen por coordenadas: B (0, 8) y B’ (0, – 8).

B) Sus focos tienen por coordenadas: F (0, 6) y F’ (0, – 6) y la longitud del semieje mayor es igual a 8.

C) Su centro es el origen de coordenadas, uno de sus focos tiene por coordenadas F (0, 2) y la longitud del eje mayor es igual a 10.

26 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________

LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos 𝐹(𝑐, 0) y 𝐹´(−𝑐, 0) es constante e igual a 2a. Ver figura (a)

Figura (a)

Figura (b)

Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto genérico cualquiera de la curva.

Por definición. 𝐹´𝑃 − 𝑃𝐹 = 2𝑎, o bien √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 Trasponiendo un radical. √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 .

Elevando al cuadrado y reduciendo términos, 𝑐𝑥 − 𝑎2 = 𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 .

Elevando al cuadrado y simplificando, (𝑐 2 − 𝑎2 )𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑐 2 − 𝑎2 ).

Dividiendo por 𝑎2 (𝑐 2 − 𝑎2 ), se obtiene la ecuación

𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑐 2 −𝑎2

= 1.

Como 𝑐 > 𝑎, 𝑐 2 − 𝑎2 es positivo. Haciendo 𝑐 2 − 𝑎2 = 𝑏 2 se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x, 𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

= 1.

Si los focos fueran (0, 𝑐) y (0, −𝑐), la ecuación seria de la forma

𝑦2 𝑎2

−

𝑥2 𝑏2

= 1.

La expresión general de la ecuación de la hipérbola de centro en el origen y cuyos focos estén sobre los ejes de coordenadas es 𝐴𝑥 2 − 𝐵𝑦 2 = ±1, correspondiendo el signo más cuando los focos pertenezcan al eje x.

Como la ecuación solo contiene potencias pares de 𝑥 𝑒 𝑦, la curva es simétrica con respecto a los ejes 𝑥 𝑒 𝑦 y con respecto al origen.

El eje real o transversal de la hipérbola es 𝐴´𝐴 de longitud igual a 2a. El eje imaginario es 𝐵´𝐵 de longitud 2b. Ver figura (b).

27 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑒 =

𝑐 𝑎

=

√𝑎2 +𝑏2 . Como 𝑎

vemos 𝑒 > 1, lo cual coincide con la definición 𝑎

general de sección cónica. Las ecuaciones de las directrices, 𝐷𝐷 y 𝐷´𝐷, son 𝑥 = ± cuando los focos 𝑒

𝑎 𝑒

están sobre el eje x, e 𝑦 = ± cuando estén sobre el eje y.

Los vértices reales de la hipérbola son los puntos en los que la curva corta al eje real. Los otros dos vértices son imaginarios.

La longitud de latus rectum es

2𝑏2 . 𝑎

Las ecuaciones de las asíntotas son: 𝑏 𝑎

𝑦 = ± 𝑥 cuando el eje real o transversal es el eje x. e

𝑎 𝑏

𝑦 = ± 𝑥 cuando el eje real o transversal es el eje y.

Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (ℎ, 𝑘) y el eje real es paralela al eje x, la ecuación de la hipérbola es: (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − = 1, 𝑎2 𝑏2 Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuación es (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 − = 1, 𝑎2 𝑏2 Las ecuaciones de las asíntotas son 𝑏 𝑎

𝑦 − 𝑘 = ± (𝑥 − ℎ) si el eje real es paralelo al eje x, e

𝑎 𝑏

𝑦 − 𝑘 = ± (𝑥 − ℎ) si el eje real es paralelo al eje y.

La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦 es 𝐴𝑥 2 − 𝐵𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, Siendo A y B del mismo signo.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Graficar la siguiente ecuación, mediante tabla de valores y verificar si es una hipérbola 𝑥2 𝑦2 − =1 4 9 Se tiene la ecuación, se procede a despejar y: 𝑦2 𝑥2 − = 1− 9 4 𝑦2 𝑥2 = −1 + 9 4 𝑥2 𝑦 2 = 9 (−1 + ) 4

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UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 𝑦 = √9 (−1 +

𝑦 = √(−9 +

𝑦 = √(

𝑥2 ) 4

9𝑥 2 ) 4

9𝑥 2 − 36 ) 4

Tenemos 𝑥 2 , entonces 𝑥 ∈ 𝑅, por lo tanto. Sin embargo está afectada por una raíz por lo que.

9𝑥 2 − 36 ≥0 4 9𝑥 2 − 36 ≥ 0 9𝑥 2 ≥ 36 𝑥2 ≥ 4 Por teorema: 𝑥 2 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≥ √𝑎 ∨ 𝑥 ≤ −√𝑎 Se tiene que: 𝑥 ≥ √4 ∨ 𝑥 ≤ −√4 Se tiene un conjunto solución: 𝑥 ∈ (−∞; −2] 𝑈 [2, ∞) Por lo tanto, son estos valores los que se dan a la variable x: x 2 -2 3 -3 4 -4

y 0 0 ±3.4 ±3.4 ±5.2 ±5.2

2. Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje horizontal igual a 8 y distancia focal igual a 10 En base al dato del eje real se tiene: 2𝑎 = 8 Por teorema 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐/𝑏 𝑎=4 En base al dato del eje focal se tiene: 2𝑐 = 10 Por teorema 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐/𝑏 𝑐=5 29 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ Encontramos el valor de b, mediante la fórmula definida 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎 2 Reemplazando los datos encontrados, se tiene 𝑏 = √52 − 42 𝑏 = √25 − 16 𝑏 = √9 𝑏=3 Por tanto, la ecuación canónica sería: 𝑥2 𝑦2 − =1 16 9

3. Hallar la ecuación de la hipérbola si el eje principal de una hipérbola es horizontal y mide 10cm. Si el centro se encuentra en el origen y la curva pasa por el punto P (10,6)cm.

La ecuación de la hipérbola es de forma: 𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

= 1 Ec.1

En base al dato del eje real se tiene: 2𝑎 = 10 Por teorema 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐/𝑏 𝑎=5 Se reemplaza P (10,6) en Ec.1 para encontrar b2 102 62 − =1 25 𝑏 2 Una vez realizada las operaciones y al despejar 𝑏 2 𝑏 2 = 12 Por tanto, la ecuación canónica sería: 𝑥2 𝑦2 − =1 25 12 30 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 4. Graficar las siguientes ecuaciones, mediante tabla de valores y verificar si es una hipérbola 𝑦2 𝑥2 − =1 9 4 Se tiene la ecuación, se procede a despejar y: 𝑦2 𝑥2 =1+ 9 4 𝑦2 𝑥2 =1+ 9 4 𝑥2 𝑦 2 = 9 (1 + ) 4 𝑦 = √9 (1 +

𝑦 = √(9 +

𝑦 = √(

𝑥2 ) 4

9𝑥 2 ) 4

9𝑥 2 + 36 ) 4

Tenemos 𝑥 2 , entonces 𝑥 ∈ 𝑅. Sin embargo está afectada por una raíz por lo que.

9𝑥 2 + 36 ≥0 4 2 9𝑥 + 36 ≥ 0 9𝑥 2 ≥ −36 𝑥 2 ≥ −4 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 Se tiene un conjunto solución: 𝑥∈𝑅 x y 0 ±2 1 ±2.1 -1 ±2.1 3 ±2.8 -3 ±2.8

5. Se conocen las coordenadas del centro de una hipérbola y la magnitud de a y b, obtenga su ecuación canónica sabiendo que se trata de una hipérbola vertical y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores. 𝐶 (0, 0);

𝑎 =5𝑦𝑏 =6

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UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ Por ser hipérbola vertical, se tiene: 𝑦2 𝑥2 − =1 𝑎2 𝑏 2 Por lo que procedemos a remplazar los valores y se tendría: 𝑦2 𝑥2 − =1 25 36 Ahora despejamos y para dejarlo en función de x 𝑦2 𝑥2 =1+ 25 36 𝑦2 𝑥2 =1+ 25 36 𝑥2 2 𝑦 = 25 (1 + ) 36 𝑦 = √25 (1 +

𝑦 = √(25 +

𝑦 = √(

𝑥2 ) 36

25𝑥 2 ) 36

900 + 25𝑥 2 ) 36

Se tiene 𝑥 2 , entonces 𝑥 ∈ 𝑅, sin embargo está afectada por una raíz por lo que: 900 + 25𝑥 2 ≥0 36 2 25𝑥 + 900 ≥ 0 25𝑥 2 ≥ −900 𝑥 2 ≥ −36 𝑥 ≥ ±√−36 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 Se tiene un conjunto solución: 𝑥∈𝑅 x 0 1 -1 3 -3

y ±5 ±5.1 ±5.1 ±5.6 ±5.6

32 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 6. Determinar el centro, el vértice, los focos, la directriz, lado recto y asíntotas de las siguientes ecuaciones 𝑦2 𝑥2 + =1 12 −16 Esta es una hipérbola vertical, entonces se tiene que: 𝑦2 𝑥2 − =1 12 16 Por lo que 𝑎2 = 12 y 𝑏 2 = 16 , entonces podemos encontrar la relación de segmentos 𝑐 2 = 12 + 16 𝑐 = √28 𝑐 = 2√7 𝑐 = 5.29 Una vez obtenido c, se procede a remplazar en las coordenadas de los focos, sabiendo que es una hipérbola vertical, entonces se tiene: 𝐹`(0, −𝑐)

𝑦 𝐹(0, 𝑐)

𝐹`(0, −2√7)

𝑦 𝐹(0,2√7)

Para los vértices se sabe que: V′(0, −𝑎) 𝑦 𝑉(0, 𝑎) entonces despejamos los valores de 𝑎 𝑑𝑒 𝑎2 = 12, entonces 𝑎2 = 12 𝑎 = √12 𝑎 = 2√3 Entonces se remplaza en las coordenadas de los vértices 𝑉`(0, −2√3)

𝑦 𝑉(0,2√3)

Luego encontramos los vértices imaginarios 𝐵`(−𝑏, 0) 𝑦 𝐵(𝑏, 0) entonces despejamos para encontrar b. 𝑏 2 = 16 𝑏 = √16 𝑏=4 Entonces se remplaza en las coordenadas de los vértices imaginarios 𝐵`(−4,0)

𝑦 𝐵(4,0) 𝑎 𝑏

Procedemos a encontrar las asíntotas, para lo cual se tiene lo siguiente 𝑦 = ± 𝑥 , entonces se remplaza a y b 𝑦=±

2√3 𝑥 4

𝑦=±

√3 𝑥 2

33 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ Tenemos que calcular la excentricidad, para lo cual hay que remplazar a y c 𝑐 𝑎 2√7

𝑒= 𝑒= 𝑒=

2√3 √7 √3

7 𝑒=√ 3 Ahora calculamos la directriz y para ello remplazamos 𝑒 y 𝑎 𝑦=± 𝑦=± 𝑦=±

𝑎 𝑒

2√3 √7 √3

2√3√3 √7

𝑦=±

2∗3 √7

𝑦=±

6 √7

Luego calculamos el Lado recto, remplazamos 𝑎 y 𝑏 𝐿𝑅 =

2 ∗ 42

𝐿𝑅 =

2√3 64 2√3

𝐿𝑅 =

32 √3

7. En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la circunferencia y la magnitud de a y b, siendo el eje real paralelo al eje x, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores.

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UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 𝐶 (2, 3); 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 6 Se sabe que la ecuación canónica para estos ejercicios seria: (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Se tiene 𝐶 (2, 3) lo cual es 𝐶 (ℎ, 𝑘) Por lo tanto, remplazando en la ecuación se tiene que (𝑥 − 2)2 (𝑦 − 3)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Finalmente para el remplazo de a y b, se debe elevar al cuadrado 𝑎=5

𝑏=6

𝑎2 = 25

𝑏 2 = 36

Remplazando se tiene que: (𝑥 − 2)2 (𝑦 − 3)2 − =1 25 36

2. La ecuación de una hipérbola es: (𝑥−3)2 16

−

(𝑦−4)2 25

= 1.

Obtener sus elementos y bosquejar su gráfica.

La ecuación dada es de la forma horizontal: (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1 𝑎2 𝑏2 La cual nos proporciona los siguientes datos: Coordenadas del centro C(h,k)=(3,4) Semiejes: 𝑎2 = 16; 𝑎 = 4 𝑏 2 = 25; 𝑏 = 5 Por la fórmula: 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 2 Reemplazando 𝑐 = √16 + 25 Resolviendo operaciones 𝑐 = √41 En base a los datos obtenidos, se puede encontrar fácilmente los elementos: 𝑉(ℎ + 𝑎, 𝑘) 𝑉(7,4) 𝐵′(ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝐵(3,9) 𝐹(ℎ + 𝑐, 𝑘) 𝐹(3 + √41, 4) Por simetría, se encuentran los demás elementos: 𝑉′(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉′(−1,4) 𝐵′(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵′(3, −1) 𝐹′(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹′(3 − √41, 4) Ecuación de las asíntotas: son 2 rectas que pasa por el punto C(3,4) y que tienen pendiente: 35 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 𝑏 5 =± 𝑎 4 Reemplazando en la ecuación punto – pendiente queda: 5 𝑦 − 4 = ± (𝑥 − 3) 4 Por tanto, las ecuaciones de las asíntotas son: 5 15 𝑦= 𝑥− 4 4 5 15 𝑦=− 𝑥− 4 4 Excentricidad: 𝑐 𝑒= 𝑎 √41 𝑒= 4 𝑚=±

3. Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente: (𝑥 − 1)2 𝑦 2 − =1 3 4 Se observa que el centro de la hipérbola es 𝐶(1,0) y que los focos están en el eje paralelo al eje de la abscisa.

Además se tiene los valores de a y b: 𝑎2 = 3 𝑦 𝑏 2 = 4 𝑎 = √3 𝑦 𝑏 = √4 Luego, encontramos el valor c: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 Remplazando

𝑎2

𝑦

𝑏2

en la ecuación: 𝑐2 = 3 + 4 𝑐 = √7

Como conclusión se tiene que los focos son: 𝐹`(ℎ − 𝑐; 𝑘) Remplazando se tiene: 𝐹`(1 − √7; 0) Y los vértices: 𝑉`(ℎ − 𝑎; 𝑘) Remplazando se tiene 𝑉`(1 − √3; 0)

𝑦 𝐹(ℎ + 𝑐; 𝑘) 𝑦 𝐹(1 + √7; 0) 𝑦 𝑉(ℎ + 𝑎; 𝑘) 𝑦 𝑉(1 + √3; 0)

36 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ Para terminar la excentricidad es

𝑐 𝑎 √7

𝑒= 𝑒=

√3 √21 𝑒= 3

4. En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la hipérbola vertical y la magnitud de a y b, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores. 𝐶 (7, −5); 𝑎 = 7 𝑦 𝑏 = 2 Se sabe que la ecuación canónica para estos ejercicios seria: (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Se tiene 𝐶 (7, −5) lo cual es 𝐶 (ℎ, 𝑘) Por lo tanto, remplazando en la ecuación se tiene que (𝑦 + 5)2 (𝑥 − 7)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Finalmente para el remplazo de a y b, se debe elevar al cuadrado 𝑎=7 𝑎2 = 49

𝑏=2 𝑏2 = 4

Remplazando se tiene que: (𝑦 + 5)2 (𝑥 − 7)2 − =1 49 4 5. En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la hipérbola vertical y la magnitud de a y b, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores. 𝐶 (6, −5);

𝑎 =5𝑦𝑏 =6

Se tiene la ecuación (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 − = 1. 𝑎2 𝑏2 Por lo que procedemos a remplazar, los valores y se tendría 37 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ (𝑦 + 5)2 (𝑥 − 6)2 − = 1.

52 62 (𝑦 + 5)2 (𝑥 − 6)2 − = 1.

25 36 Ahora despejamos y para dejar en función de x (𝑦 + 5)2 (𝑥 − 6)2 − = 1.

25 36 (𝑦 + 5)2 (𝑥 − 6)2 = 1+ .

25 36 (𝑦 + 5)2 = 25 (1 +

𝑦 + 5 = √25 (1 +

𝑦 = √(25 +

(𝑥 − 6)2 ) 36

(𝑥 − 6)2 ) 36

25(𝑥 − 6)2 )−5 36

900 + 25(𝑥 − 6)2 𝑦=√ −5 36 Determinamos su dominio: 900 + 25(𝑥 − 6)2 ≥0 36 900 + 25(𝑥 − 6)2 ≥ 0 25(𝑥 − 6)2 ≥ −900 (𝑥 − 6)2 ≥ −36 𝑥 − 6 ≥ √−36 𝑥 ≥ √−36 + 6 Sabiendo que hay una raíz imaginaria se tiene que 𝑥 ∈ 𝑅 por definición x y -3 4 -3 −14 2 1 2 −11 6 0 6 −10 10 1 10 -11 15 4 15 -14 38 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 6. En cada inciso, determinar el centro, el vértice, los focos, la directriz, lado recto y asíntotas de las siguientes ecuaciones (𝑦 − 4)2 (𝑥 + 4)2 + =1 12 −16 Esta es una hipérbola vertical, entonces se tiene que (𝑦 − 4)2 (𝑥 + 4)2 − =1 12 16 Por lo que 𝑎2 = 12 , 𝑏 2 = 16 y su centro es 𝐶(ℎ, 𝑘) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝐶(−4,4) , entonces podemos encontrar la relación de segmentos 𝑐 2 = 12 + 16 𝑐 = √28 𝑐 = 2√7 Una vez obtenido c, se procede a remplazar en las coordenadas de los focos, sabiendo que ésta es una hipérbola vertical 𝐹`(ℎ, 𝑘 − 𝑐)

𝑦 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑐)

𝐹`(−4,4 − 2√7) 𝐹`(−4, −1.3)

𝑦 𝐹(−4,4 + 2√7) 𝑦 𝐹(−4,9.3)

Para los vértices se sabe que: 𝑉`(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉(ℎ, 𝑘 + 𝑎) entonces despejamos los valores de 𝑎 𝑑𝑒 𝑎2 = 12, entonces 𝑎2 = 12 𝑎 = √12 𝑎 = 2√3 Entonces se remplaza en las coordenadas de los vértices 𝑉`(−4,4 − 2√3)

𝑦 𝑉(−4,4 + 2√3)

𝑉`(−4,0.5)

𝑦 𝑉(−4,7.5)

Luego sacamos los vértices imaginarios 𝐵`(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵(ℎ + 𝑏, 𝑘) Entonces despejamos los valores de 𝑏 𝑑𝑒 𝑏 2 = 16 , entonces 𝑏 2 = 16 𝑏 = √16 𝑏=4 Entonces se remplaza en las coordenadas de los vértices imaginarios 𝐵`(−4 − 4,4) 𝐵`(−8,4)

𝑦 𝐵(−4 + 4,4) 𝑦 𝐵(0,4)

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UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 𝑎

Procedemos a sacar las asíntotas, para lo cual se tiene lo siguiente 𝑦 − 𝑘 = ± (𝑥 − ℎ) entonces se 𝑏 remplaza a y b, juntamente con h y k 2√3 𝑦−4 =± (𝑥 + 4) 4 √3 (𝑥 + 4) + 4 𝑦=± 2 Tenemos que calcular la excentricidad, para lo cual hay que remplazar a y c 𝑐 𝑒= 𝑎 2√7 𝑒= 2√3 √7 𝑒= √3 7 𝑒=√ 3 Ahora calculamos la directriz y para ello remplazamos e y a 𝑎 𝑎 𝑦 = +𝑘 𝑦=− +𝑘 𝑦=

𝑒 6

√7

𝑒

+4

𝑦=−

6 √7

+4

Luego calculamos el Lado recto, remplazamos a y b 2𝑏 2 𝑎 2 ∗ 42

𝐿𝑅 = 𝐿𝑅 =

𝐿𝑅 =

2√3 64

2√3 32 𝐿𝑅 = √3

7.

Hallar la ecuación de la hipérbola que posee: foco F (4, 0), de vértice A (2, 0) y de centro C (0, 0).

Se sabe que 𝐹(𝐶, 0), 𝑉(𝐴, 0)𝑦 𝐶(ℎ, 𝑘) Entonces tomando en cuenta lo anterior se tiene que: 𝑎=2 𝑐=4 Por ende, deberemos calcular “b” 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 40 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 Remplazamos los datos 𝑏 2 = 42 − 22 𝑏 2 = 16 − 4 𝑏 = √12 Por ende, nuestra ecuación será: 𝑥2 𝑦2 − = 1.

4 12

8.

Hallar la ecuación de una hipérbola de eje mayor 8 y distancia focal 10.

Se tiene que: 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟:

2𝑎 = 8

Despejamos a 𝑎=4 Luego se tiene 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙:

2𝑐 = 10

Despejamos c 𝑐=5 Por ende, podemos encontrar b 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 Remplazamos los valores 𝑏 2 = 52 − 42 𝑏 2 = 25 − 16 𝑏2 = 9 𝑏 = √9 𝑏 = 3 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 Entonces la ecuación quedaría: 𝑥2 𝑦2 − =1 16 9

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UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Graficar las siguientes ecuaciones, mediante tabla de valores y verificar si es una hipérbola A) B) C) D) E)

𝑥2 4 𝑥2 12

−

𝑦2

=1

9 𝑦2 + =1 −16 𝑦2 𝑥2 − + =1 4 9 𝑥2 𝑦2 4

+

𝑥2 − 4

=1

−9 𝑦2 + 9

= −1

2. En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la hipérbola horizontal y la magnitud de a y b, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores.

A) B) C) D) E)

𝐶 (0, 0); 𝐶 (0, 0); 𝐶 (0, 0); 𝐶 (0, 0); 𝐶 (0, 0);

𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

=3𝑦𝑏 =4 =4𝑦𝑏 =3 = 8𝑦 𝑏 = 5 =9𝑦𝑏 =7 =7𝑦𝑏 =9

3. En cada inciso, determinar el centro, el vértice, los focos, la directriz, lado recto y asíntotas de las siguientes ecuaciones A) B) C) D) E)

𝑥2 4 𝑥2 12

𝑦2 =1 9 2 𝑦 + =1 −16 2 2 𝑦 𝑥 − + =1 4 9 𝑥2 𝑦2 + =1 4 −9 𝑥2 𝑦2 − + = −1 4 9

−

4. Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen: A) Eje horizontal igual a 6cm y distancia focal igual a 10cm B) Eje horizontal igual a 14 cm y distancia focal igual a 20 cm C) Eje horizontal igual a 4cm y distancia focal igual a 8 cm 5. Hallar la ecuación de la hipérbola si el eje principal de una hipérbola es horizontal y mide ______.

Si el centro se encuentra en el origen y la curva pasa por el punto______ A) 12 cm ; P (12, √3) B) 6 cm ; P (6, √3) C) 8 cm ; P (8, √3) 6. Graficar las siguientes ecuaciones, mediante tabla de valores y verificar si es una hipérbola A) B) C) D)

𝑦2 4 𝑦2 12

𝑥2 =1 9 𝑥2 + =1 −16 𝑥2 𝑦2 − + =1 4 9 𝑦2 𝑥2 + =1 25 −9 𝑦2 𝑥2

E) −

−

36

+

16

= −1

42 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La Hipérbola __________________________________________________________________________________ 7. En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la hipérbola vertical y la magnitud de a y b, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores.

A) 𝐶 (0, 0); 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 4 B) 𝐶 (0, 0); 𝑎 = 4 𝑦 𝑏 = 3 C) 𝐶 (0, 0); 𝑎 = 8𝑦 𝑏 = 5 D) 𝐶 (0, 0); 𝑎 = 9 𝑦 𝑏 = 7 E) 𝐶 (0, 0); 𝑎 = 7 𝑦 𝑏 = 9 8. En cada inciso, determinar el centro, el vértice, los focos, la directriz, lado recto y asíntotas de las siguientes ecuaciones A) B) C) D)

𝑦2 4 𝑦2 12

𝑥2 =1 9 2 𝑥 + =1 −16 2 2 𝑥 𝑦 − + =1 4 9 𝑦2 𝑥2 + =1 16 −9 𝑦2 𝑥2 − + = −1 9 16

−

E) 9. En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la circunferencia y la magnitud de a y b, siendo el eje real paralelo al eje x, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores.

A) 𝐶 (2, 6); 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 6 B) 𝐶 (3, −1); 𝑎 = 4 𝑦 𝑏 = 3 C) 𝐶 (2, −5); 𝑎 = 8𝑦 𝑏 = 5 D) 𝐶 (−3, −2); 𝑎 = 9 𝑦 𝑏 = 7 E) 𝐶 (1, 0); 𝑎 = 7 𝑦 𝑏 = 9 10.En cada inciso, determinar el centro, el vértice, los focos, la directriz, lado recto y asíntotas de las siguientes ecuaciones A) B) C) D) E)

(𝑥−5)2 (𝑦+2)2 − =1 4 9 (𝑥+3)2 (𝑦+2)2 + =1 12 −16 2 (𝑦+9) (𝑥−8)2 − + = 4 9 2 2 (𝑥−5) (𝑦+4) + =1 4 −9 2 (𝑥+4) (𝑦−8)2 − + = 4 9

1

−1

11.En cada inciso, se conocen las coordenadas del centro de la circunferencia y la magnitud de a y b, obtenga su ecuación canónica y realice su gráfica respectiva mediante tablas de valores.

A) 𝐶 (6, −5); 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 6 B) 𝐶 (4, −2); 𝑎 = 4 𝑦 𝑏 = 3 C) 𝐶 (−1, 1); 𝑎 = 8𝑦 𝑏 = 5 D) 𝐶 (−2, +5); 𝑎 = 9 𝑦 𝑏 = 7 E) 𝐶 (−5, −4); 𝑎 = 7 𝑦 𝑏 = 9 12.En cada inciso, determinar el centro, el vértice, los focos, la directriz, lado recto y asíntotas de las siguientes ecuaciones (𝑦+5)2 (𝑥+5)2 − =1 4 9 (𝑦−4)2 (𝑥+4)2 B) + =1 12 −16 2 (𝑥+1) (𝑦+2)2 C) − + = 4 9 2 2 (𝑦−5) (𝑥−5) D) + =1 4 −9 2 2 (𝑦+8) (𝑥−3) − + = −1 4 9

A)

E)

1

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UNIDAD 3 Transformación de Coordenadas __________________________________________________________________________________

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS En la geometría analítica, al igual que en física es muy importante elegir un sistema de coordenadas o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se realizará mediante una transformación de ejes coordenadas cuyo proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro de rotación.

TRASLACION DE EJES: Sean OX y OY los ejes primitivos y O´X` y O`Y`, paralelos respectivamente a los anteriores, los nuevos ejes. Sean también (h, k) las coordenadas de O` con respecto al sistema inicial.

Supongamos que (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes primitivos, y (x`y`) las coordenadas del mismo punto, respectó de los nuevos, Para determinar x e y en función de x`, y`, h y k se tiene: 𝑥 = 𝑀𝑃 = 𝑀𝑀` + 𝑀`𝑃 = ℎ + 𝑥` 𝑦 = 𝑁𝑃 = 𝑁𝑁` + 𝑁`𝑃 = 𝑘 + 𝑦` Por tanto, las ecuaciones de la traslación de ejes son: 𝑥 = 𝑥` + ℎ,

𝑦 = 𝑦` + 𝑘,

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UNIDAD 3 Transformación de Coordenadas __________________________________________________________________________________ ROTACION DE EJES: Sean OX y OY los ejes primitivos y OX` y OY` los nuevos siendo O el origen común de ambos sistemas. Representemos por 𝜃 el ángulo X`OX de la rotación. Su pongamos que (x, y) son las coordenadas de un punto P del plano con respecto a los ejes primitivos, y (x, y) las coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos. Para determinar x e y en función de x`, y` y 𝜃 ,se tiene: 𝑥 = 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 − 𝑀𝑁 𝑥 = 𝑥` cos 𝜃 − 𝑦` sin 𝜃 𝑦 = 𝑀𝑃 = 𝑀𝑀` + 𝑀`𝑃 𝑦 = 𝑁𝑁` + 𝑀`𝑃 𝑦 = 𝑥` sin 𝜃 + cos 𝜃

Por tanto, las fórmulas de la rotación 𝜃 de los ejes coordenados son: 𝑥 = 𝑥` cos 𝜃 − 𝑦` sin 𝜃 𝑦 = 𝑥` sin 𝜃 + 𝑦` cos 𝜃

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REFERENCIAS:

Alexander D. y Koeberlein G. (2013). Geometría. Cengage Learning Editores, S.A. México.

Calvache, Otros. (2009). Geometría Plana y del espacio. Ed. Universitaria. Ecuador Figueroa R. (2006). Geometría Analítica. Para centros de enseñanza superior. Séptima edición. Ediciones RFG. Perú.

Kindle J. (2009). Geometría Analítica Plana y del Espacio. Geometría (3er. ed.). México, D.F., MX: McGraw-Hill Interamericana.

Planchart Enrique (2006). Guías de estudio para el curso audiovisual Geometría MA1511. Universidad Simón Bolívar. Cuarta edición.

Universo Formulas (2021). Web de ciencia. https://www.universoformulas.com/ Caicedo Jhonatan, Aguirre Jefferson y Novoa Cristian. (2020). Geometría Analítica.

Unidad 5. Cónicas. 1ra edición.