Fisica 3

Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educación Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física

Física 3 M.A.S MSc. Franklin Molina J.

Física 2 M.A.S.

AUTOR: MSc. Franklin Molina J. Docente de la Universidad Central del Ecuador Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física.

Editorial: Molina Año: 2020

DERECHOS RESERVADOS. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro por ningún medio: electrónico, mecánico u otros métodos; sin la autorización previa y por escrito de los autores.

ISBN: DERECHOS DE AUTOR: Diseño: Franklin Molina Cacha y Pasaje 1 femolina@uce.edu.ec

Quito - Ecuador

UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE El tipo de movimiento que vamos a estudiar, no pertenece a ninguna de las calases de movimientos estudiados anteriormente, es decir, no es un movimiento uniforme ni uniformemente variado, esté es un movimiento que se presenta con mucha frecuencia en la naturaleza, con muchas aplicaciones en la tecnología moderna, lo que nos indica que tendrá sus propias leyes que las deduciremos a continuación.

Si consideramos un deslizador acoplado a un resorte, el cual lo encogemos hacia el lado izquierdo y luego lo soltamos este oscilará alrededor de la posición de equilibrio.

Para que él deslizador describa un movimiento periódico necesita de la existencia de una fuerza de restitución que siempre es opuesta al desplazamiento lo que hace que aparezca el signo menos.

MOVIMIENTO PERIÓDICO Si consideramos el movimiento de un trampolín, después de que un clavadista dio el salto, este continuará vibrando, alrededor de su posición normal, durante un tiempo determinado, Este tipo de movimiento se lo considera periódico ya que un cuerpo se mueve de un lado a otro en una trayectoria fija, regresando a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido. El movimiento planetario es otro ejemplo de este tipo de movimiento.

La ecuación de la fuerza de restitución de acuerdo a la ley de Hook está dada por:

MOVIMIENTO OSCILATORIO F=-kx Cuando tenemos un objeto, cuyo desplazamiento va de un lado hacia a otro de un punto llamado “punto de equilibrio”, se considera un movimiento oscilatorio o movimiento de vaivén. Un ejemplo de este movimiento, es el movimiento realizado por un péndulo al ser separado de su posición de equilibrio.

Se puede entonces afirmar que el MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M. A. S. es el movimiento periódico y oscilatorio realizado por un objeto en ausencia de rozamiento, producido por una fuerza de restitución que es directamente proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero de sentido contrario.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE ( MAS ) Es el movimiento periódico y oscilatorio realizado por un objeto sobre una recta. _______________________________________________________________________________________________________ Física III MSc. Franklin Molina, MSc. William Meneses.

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UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

ELEMENTOS DEL M.A.S.  OSCILACION: Es el movimiento de ida y vuelta efectuado por él deslizador, recorriendo la trayectoria completa.  POSICIÓN DE EQUILIBRIO ( PE) : Es el punto situado en la mitad de la trayectoria, no necesariamente el movimiento debe iniciarse en este punto.  ELONGACIÓN ( x ). Es la distancia medida desde la posición de equilibrio hasta el lugar donde se encuentra el deslizador en un instante cualquiera. Sirve para ubicar el móvil.  AMPLITUD ( A ): La distancia entre la posición de equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria, es en esta posición donde el objeto experimenta la fuerza máxima de restitución y su aceleración es mayor. La fuerza de restitución es igual a cero en la posición de equilibrio así como la aceleración.

La amplitud es el máximo valor que puede tener la elongación, el deslizador en una oscilación completa tiene cuatro amplitudes.



La unidad en el sistema internacional es el hertz (Hz), en honor a Heinrich Hertz, quien demostró la existencia de las ondas de radio 1886. Una oscilación por segundo es 1 Hz. Las frecuencias mayores se miden en kilohertz ( kHz) , megahertz (MHz), gigahertz ( GHz).

Las ondas de radio AM se miden en kilohertz,( 960 kHz es 960 000 vibraciones por segundo), en tanto que las de radio FM en megahertz, (101,7 MHz es 101 700 000 de hertz), un radar y los hornos microondas funcionan con frecuencias de gigahertz.

1 Hz =

1 = s -1 s

RELACION ENTRE EL M.C.U. Y EL M.A.S. Para poder describir el M. A. S. se utiliza un objeto que gira con MCU, cuya sombra proyectada sobre la pared es la que describe este tipo de movimiento.

Podemos coger como ejemplo a una locomotora de juguete que describe un MCU sobre la vía circular, una lámpara proyecta sobre la pared una sombra que se desplaza con MAS, a partir de esto se hace un análisis trigonométrico de la siguiente manera:

PERIODO ( T ): Es el tiempo necesario para que se complete un recorrido completo u oscilación.

T = T=

t n

tiempo transcurrido . número de oscilaciones.

La unidad en el sistema internacional es el segundo ( s ). 

FRECUENCIA ( f ) : Es el número de oscilaciones completas en la unidad de tiempo es decir es el recíproco del periodo. f =

n 1 ; f = t T

f = número de oscilaciones . tiempo transcurrido _______________________________________________________________________________________________________ Física III MSc. Franklin Molina, MSc. William Meneses.

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UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

ELONGACION EN EL M.A.S.

La velocidad es cero cuando su desplazamiento es máximo.

Analizamos la sombra de la locomotora que para nuestro caso lo llamaremos el punto P. El radio del círculo de referencia es igual a la amplitud de oscilación. La rapidez lineal vT y la rapidez angular ω del punto de referencia P serán constantes.

Como es acelerado hacia el centro por efecto de la fuerza de restitución se tiene que la velocidad es máxima en el centro de la oscilación o cuando la elongación es igual a 0 m.

Para cualquier posición tenemos:

La proyección Q se mueve de un lado a otro con MAS. El tiempo es considerado cero cuando el punto de referencia P se encuentra en B. Para cierto tiempo t posterior, el punto de referencia P se habrá desplazado un ángulo Θ. Es así que: cos Θ =

x A

; entonces :

x = A cos θ

La locomotora tiene una velocidad tangencial v en el punto P y la componente horizontal de esta velocidad representa la velocidad del MAS. sen θ = como:

v ; entonces : v = - vT sen θ −vT v = - vT sen ω t.

Si : θ = ω t. x = A cos ω t.

θ = ω t.

además:

vT = ω A

Además: ω = 2 π f x = A cos 2 π f t

Esta ecuación se la utiliza para determinar el desplazamiento o elongación ( x ) del cuerpo en el plano que se está moviendo con M. A. S. y está en función de la amplitud A y de la frecuencia f.

La unidad en el sistema internacional de la elongación es el metro ( m ).

LA VELOCIDAD EN EL M.A.S.

De igual manera que en el caso anterior para la velocidad del objeto que tiene M. A. S. se describe el siguiente análisis:

v = - ω A sen ω t ω =2πf v = - 2 π f A sen 2 π f t.

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UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

Esta ecuación permite hallar la velocidad del cuerpo en vibración para cualquier instante, considerando que el sen Θ es negativo cuando el punto de referencia se encuentra debajo del diámetro del circulo de referencia.

es cero en el centro de oscilación. En la posición de equilibrio, la aceleración es cero y la velocidad tiene su valor máximo.

Para otras posiciones se tiene:

Si Θ es igual a 900 o π/2 rad se tiene senΘ = 1 entonces: v max = - 2 π f A La velocidad en función de la amplitud y la posición se puede deducir de la siguiente manera: Sea y la distancia entre el punto P y el radio de la circunferencia: y = √A2 si:

sen θ =

se tiene :

y A

y

− x2 v = - 2πf A Sen θ

v = -2 π f A v=-2πf

√A2 − x2 A

Se tiene:

√A2 − x 2 ;

cos θ =

Esta ecuación sirve para determinar la velocidad de un cuerpo en vibración para cualquier instante en función de la amplitud y el desplazamiento.

Como :

a − ac

; entonces: a = - ac cos θ

θ = ω t.

a = - ac cos ω t ac = ω2 R

LA ACELERACIÓN EN EL M.A.S. La aceleración del objeto con M. A. S. se determina de la siguiente manera:

y

R=A

a = - ω2 A cos ω t ω=2πf a = - 4 π 2 f 2 A cos 2 π f t

La velocidad de un cuerpo cuando vibra nunca es constante, por tal razón la aceleración para un cuerpo con MAS está dada de la siguiente manera: En

posición de máximo desplazamiento, la velocidad del objeto en vibración es cero por tanto la aceleración es máxima.

Esta ecuación puede reducirse si consideramos que: x x = A cos θ ; cos θ = A cos θ = 2 π f t 2

2

a = - 4π f A

la

A medida que el cuerpo se acerca a la posición de equilibrio la aceleración disminuye hasta que

x A

;

a = - 4π2f2x Se puede afirmar que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento en la misma dirección pero de sentido contrario.

Para cuando la elongación es máxima: x = A se tiene: 2 2 a max = - 4 π f A

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UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

EL PERIODO Y LA FRECUENCIA EN EL M. A. S. A partir de la ecuación a = - 4 π 2 f 2 x, se puede deducir la ecuación de la frecuencia: 1

a

f = 2π √− x

Ya que el desplazamiento y la aceleración siempre tienen signos opuesto, el término - a / x siempre será positivo.

El período T es el reciproco de la frecuencia por lo que estará definido por: T = 2π √−

x a

Cuando se considera el periodo de un resorte es conveniente expresarlo en función de la constante del resorte y de la masa del cuerpo en vibración.

F=ma y F=-kx ma= -kx a=

−k m

x ; como: a = - 4 π 2 f 2 x 4π2f2 =

k m

1

k

f = 2π √m El periodo es: T = 2π √

m k

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una masa m se encuentra unido a un resorte colocado en forma horizontal. Se estira hacia la derecha una distancia de 6 cm y se suelta. Si regresa al punto donde se soltó y continua vibrando con M. A. S, dando 1 oscilación en 3s.

Calcular: a) Su posición, velocidad y aceleración después de 5,2 s. b) Su velocidad y aceleración máxima. a) La posición , velocidad y aceleración serán:

f =

n t

; f =

1 3s

; f = 0,333 Hz

x = A cos 2 π f t x = 6 cm cos [ 2 π(0,333 Hz)(5,2s)] x = 6 cm cos [10,88 rad] x = 6 cm cos ( 623,380 ) x = - 0,69 cm v = - 2 π f A sen 2 π f t. v = - 2 π (0,333 Hz)(6 cm) sen ( 623,380 ) v = 12,47 cm/s a = - 4 π 2 f 2 A cos 2 π f t a = - 4 π 2 ( 0,333 2 )( 6 cm) cos ( 623,380 ) a = 3,03 cm/s2 b) La velocidad y aceleración máxima es: v max = - 2 π f A; v π (0,333 Hz)(6 cm)

max

=- 2

v max = - 12,55 cm/s a max = - 4 π 2 f 2 A; a max = - 4 π 2 ( 0,333 2 )( 6 cm) a max = - 26,31 cm/s2 2. Una pelota de hule se mueve en un círculo horizontal de 80 cm de diámetro y gira a 30 rpm. La sombra de la pelota se proyecta sobre una pared debido a una luz distante. Calcular: el periodo, la frecuencia, la amplitud de la sombra, la velocidad y aceleración máxima.

El período y frecuencia será: 30 rpm = 0,5 rad/s ω=2πf ;f=

T =

ω 2π

;f=

0,5 rad/s 2π

; f = 0,08 Hz

1 1 ;T = ; T = 12,5 s f 0,08 Hz

Si el diámetro es igual a 80 cm entonces, y se sabe que R = A entonces: A = 40 cm La velocidad y aceleración máxima son: v max = - 2 π f A; v max =- 2 π (0,5 Hz)(40 cm) v max = - 125,66 cm/s

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a max = - 4 π 2 f 2 A; a max = - 4 π 2 ( 0,5 2 )( 40 cm) 2 a max = - 394,78 cm/s

4 m/s = - 2 π f A ( 2 ) Simplificamos ecuación ( 1 ) / ( 2 ) 48 m/s2

3. Una masa de 300 g se sujeta a un resorte helicoidal largo. Cuando se desplaza 10 cm, se encuentra que la masa vibra con un periodo de 2s. Calcular: a) La constante del resorte. b) La velocidad y aceleración cuando se mueve hacia arriba hasta un punto que se encuentra a 6 cm sobre su posición de equilibrio.

a) Para la constante del resorte sabemos que en la posición de equilibrio se tiene :

=

4 m/s

− 4 π2 f2 A −2πfA

;

f = 1,91 Hz T =

1 1 ;T = ; T = 0,52 s f 1,91 Hz

b) v max = - 2 π f A ;

A=

4 m/s − 2 π (1,91 Hz)

A=

vmax −2πf

; A = 0,33 m

c) ω = 2 π f ; ω = 2 π ( 1,91 Hz) ; ω = 12 rad/s ΣFy=0

d)

P – Fe = 0 ; P = Fe ; m g = k x; entonces k es:

k=

mg

;k=

x

m s

( 0,3 kg)( 9,8 2 )

; k = 29,4 N/m

0,10 m

b) La velocidad es: 1

k

1

f = 2π √m ; f = 2π √

29,4 N/m 0,3 kg

5. Una de las ramas de un diapasón vibra con una frecuencia de 330 Hz y una amplitud de 2 mm . ¿ Cuál es la velocidad cuando el desplazamiento es de 1,5 mm.

La velocidad podemos determinar con:

√A2 − x 2 v= - 2 π (330Hz) √(2 mm)2 − (1,5 mm)2

√A2 − x 2

v = - 2 π( 1,58 Hz) √(0,10m)2

v = - 2 742,91 mm/s

− (0,06m)2

v = 0,79 m/s

2

a = - 4 π ( 1,58 Hz) (0,06m) a = - 0,60 m/s2 4. Un cuerpo que describe un M. A. S. tiene una aceleración máxima de 48 m/s2 y una rapidez máxima de 4 m/s . Calcular: a) Su periodo. b) Su amplitud de vibración. c) Su frecuencia angular o velocidad angular. d) Escribir la ecuación del desplazamiento. a) Si a max = - 4 π 2 f 2 A ; a max = 48 m/s2 48 m/s2 = - 4 π 2 f 2 A

El valor de esta rapidez nos permite entender el por que cuando vibra las ramas del diapasón son casi imperceptibles al ojo humano.

6. Un motor eléctrico de 20 kg se monta sobre cuatro resortes verticales, teniendo cada uno de ellos una constante de resorte de 30 N/cm.

Calcular el periodo y frecuencia con el cual oscilará verticalmente

a = - 4 π 2 f 2x 2

x = ( 0,33 m ) cos 2 π ( 1,91 Hz) t

v=-2πf

f = 1,58 Hz. v=-2πf

x = A cos 2 π f t

La masa del motor se reparte en cada uno de los resortes( 20 kg/ 4 = 5 kg ) y la constante 30 N/cm es igual a 3 000 N/m; así tenemos que el periodo va a ser igual a: T = 2π √

k

;T= 2π √

5 kg 3 000 N/m

; T = 0,04 s

La frecuencia:

(1)

v max = - 2 π f A ; v max = 4 m/s

m

f =

1 T

;f =

1 0,04 s

; f = 25 Hz

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APRENDO HACIENDO 1.

2.

3.

Una rueda de bicicleta se mueve en forma horizontal de 90 cm de diámetro y gira a 40 rad / s . La sombra de la rueda se proyecta sobre una pared debido al sol. Calcular: el periodo, la frecuencia, la amplitud de la sombra, la velocidad y aceleración máxima.

determinar el periodo de vibración del carro cuando pasa por una piedra.

En el medio en cual vivimos tenemos dos aplicaciones directas de este tipo de movimiento los cuales serán estudiados a continuación.

EL PÉNDULO SIMPLE.

Una masa de 10 lb se sujeta a un resorte helicoidal largo. Cuando se desplaza 4 pulg, se encuentra que la masa vibra con un periodo de 4s. Calcular: a) La constante del resorte. b) La velocidad y aceleración cuando se mueve hacia arriba hasta un punto que se encuentra a 3 pulg sobre su posición de equilibrio.

F

Una de las ramas de un diapasón vibra con una frecuencia de 120 Hz y una amplitud de 3 mm . ¿ Cuál es la velocidad cuando el desplazamiento es de 2 mm.

APLICO LO APRENDIDO. 1. Una masa de 1,2 kg se encuentra unido a un resorte colocado en forma horizontal. Se estira hacia la derecha una distancia de 8 cm y se suelta. a) Si regresa al punto donde se soltó y continua vibrando con M. A. a 2 oscilaciones cada 10 s. Calcular: a) Su posición, velocidad y aceleración después de 7 s. b) Cuál es su velocidad máxima. c) Cuál es su aceleración máxima.

2. Una pelota de hule se mueve en un círculo de 10 in de radio y gira a 200 rpm, ¿Cuál es la frecuencia de su proyección, de su amplitud y de su velocidad máxima.

3. Un oscilador armónico de amplitud 10 cm, de frecuencia angular 5 rad/s, tiene una posición x = 0 para t = 0. a) ¿Cuál es la ecuación del movimiento? b) ¿Cuál es su velocidad máxima y la aceleración máxima de este oscilador?

4. Las personas experimentan movimiento vibratorios cuando viajan en autos, aviones, trenes, usan máquinas potentes o escuchan música moderna exageradamente amplificada.

Experimentos de laboratorio muestran que una aceleración de 6,3 m/s2, para una frecuencia de 5,5 Hz, es muy peligrosa para los órganos humanos, como corazón, pulmones y cerebro.

Determinar la amplitud que se produce en los órganos humanos.

5. Los resortes de un automóvil de 1000 kg se comprime 1,3 cm, cuando un hombre de 110 kg se sube. Con el hombre en el interior,

Es una masa pequeña cualquiera que está suspendida mediante un hilo inextensible o barra ligera de un punto fijo al cual se lo desplaza de su posición de equilibrio y comienza a describir de manera aproximada un M.A.S. La masa suspendida describe una oscilación completa cuando va desde la derecha hasta la posición izquierda y luego regresa nuevamente hasta la posición de la derecha. Estas oscilaciones se producen cuando las componentes del peso interactúan durante todo el movimiento.

La amplitud ( A ) constituye el ángulo ( Φ ) formado por la cuerda del péndulo en una de sus posiciones extremas con la vertical el cual debe ser menor a 10 0.

La frecuencia ( f ) está dada por el número de oscilaciones descritas en la unidad de tiempo. f =

n t

; f =

1 T

El período ( T ) de oscilación viene a ser el tiempo que tarda el péndulo en realizar una oscilación completa.

Aplicando el primer principio de equilibrio se tiene: F = T sen Θ ; P = T cos Θ De donde:

F = P tan Θ F = mg

x L

F=ma

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Igualamos las dos ecuaciones: m a = mg a=g 4

π2 T2

x=g

x L

x

Al soltar el disco, el torque angular produce una aceleración angular directamente proporcional al desplazamiento angular.

El período del movimiento armónico simple angular producido al oscilar angularmente el disco está dado por:

L x

T = 2π √

L

T2 = 4 π 2

L g

El período del péndulo simple esta dado por: T = 2π √

I K

Donde I es el momento de inercia del disco que oscila y K la constante de torsión.

Sabemos que :

L

ζ = - K Θ y ζ = I .α - K Θ = I .α I Θ = −K α

g

Donde L es la longitud de la cuerda del péndulo y g es el valor de la aceleración de la gravedad.

T = 2π √

A partir de esta ecuación de desprenden las siguientes leyes:

Θ α

El periodo de un péndulo simple es:

EJERCICIOS RESUELTOS

1)

Directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

2)

Inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad.

3)

Independiente de la masa del péndulo.

1. En un experimento de laboratorio, a un estudiante se le da un cronómetro, una masa m y un pedazo de cuerda. Se le pide que determine el valor de la aceleración de la gravedad g. Si él construye un péndulo de 1 m de longitud y en cuatro segundos da dos oscilaciones. Calcular el valor de g.

4)

Independiente de la amplitud mientras sea pequeña menor a 10 0

El periodo esta dado por: T =

PENDULO DE TORSION. El péndulo de torsión es un disco o cilindro sólido sostenido por una barra delgada. Si se hace girar el disco en la medida de un ángulo Θ, el momento de torsión ζ es directamente proporcional al desplazamiento angular. De modo que:

t 4s ;T = ;T=2s n 2 osc

Si T = 2π √

g=

L

; g=

g

4 π2 ( 1 m ) ( 2 s)2

;

4 π2 L T2

;

g = 9,87 m/s2

ζ=-KΘ K es una constante de proporcionalidad denominada constante de torsión y que depende del material del que está hecha la barra delgada.

2. Si el período ( T1 ) de un péndulo es cuatro veces del período ( T ) de otro péndulo.

Determinar cuántas veces se ha aumentado L del péndulo de periodo T. L Sabemos que T1 = 4 T ; y T = 2π √ entonces: g

2π √

L1 g

L = 4 ( 2π √ ) g

Elevando al cuadrado tenemos y simplificando g se tiene: L1 = 16 L _______________________________________________________________________________________________________ Física III MSc. Franklin Molina, MSc. William Meneses.

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Se debe aumentar 15 veces más la longitud L

Elevando al cuadrado y simplificando L se tiene: T2N gM=gN 2 (1) TM

3. Cuál es la longitud de un péndulo cuya frecuencia es de 100 oscilaciones por minuto.

Se tiene que n = 100 osc y t = 1 min = 60s T =

También sabemos que:

t 60 s ;T = ; T = 0,6 s n 100 osc

En un día 86 400 s se atrasa 18 s TN se atrasa

T2 g

L

T = 2π √ ; L = g 4 π2

Si,

L=

m s

( 0,6 s )2 ( 9,8 2 )

x=

86 400 s

TM = TN +

4. Calcular el porcentaje que se debe variar a la longitud de un péndulo para que su período disminuya en un 30 %.

TM =

g

= 0,7 (2π √

Lo g

4 800

TN, remplazamos

Ahora calculamos la variación de longitud: Lf = 49 % Lo Entonces debe ser 51 % menor.

5. Un reloj de péndulo funciona correctamente en una la ciudad de New York , donde la gravedad es de 9,8 m/s2. Se lleva el reloj a la ciudad de Madrid donde se retrasa 18 s por día.

Determinar la gravedad en la ciudad de Madrid.

El período en New York es T Madrid es TM , así:

TM = 2π √

L gM

;

TN

y el período en

TN = 2π √

L

TM

N

L gN

4 801 T )2 4 800 N

(

4 800 2 ) 4 801

6. En el interior de un ascensor se coloca un péndulo simple cuyo período es de 4 s.

Determinar : a) La longitud del péndulo. b) La frecuencia del movimiento cuando el ascensor está en marcha. c) La frecuencia del movimiento cuando el ascensor arranca hacia arriba con una aceleración de 0,5 m / s2. d) La frecuencia del movimiento cuando el ascensor arranca hacia abajo con una aceleración de 0,6 m / s2. a) El período es igual a: L T2 g T = 2π √ ; L = g 4 π2

L=

m s

( 4 s )2 ( 9,8 2 ) 4 π2

; L = 3,97 m

b) Cuando está en marcha el ascensor, esté tiene velocidad contante y actúa bajo la acción de g.

M

L 2 π√ g N

(

g M = 9,796 m/s2

2 π√ g =

en ( 1)

T2N

g M = ( 9,8 m/s2 )

)

Elevando al cuadrado y simplificando g se tiene: Lf = 0,49 Lo

4 800

4 800

4 801

gM=gN

Tf = 70 % To ; Tf = 0,7 To Lf

TN

TN

Si disminuye en un 30 % se tiene que:

2π √

; x=

El TM = TN más el retraso:

; L = 0,09 m

4 π2

TN 18 s

x

f =

1 T

;f =

1 4s

; f = 0,25 Hz

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7. Cuando el ascensor está subiendo, aparece una fuerza de reacción dirigida hacia abajo y la aceleración que actúa sobre el péndulo es: g + 0,5 m/s2 entonces la frecuencia es: T = 2π √

L g+0,5 m/s2

; T = 2π √

3,97 m

1 1 ;f = ; f = 0,256 Hz T 3,90 s

Cuando el ascensor está bajando, aparece una fuerza de reacción dirigida hacia arriba y la aceleración que actúa sobre el péndulo es: g - 0,6 m/s2 entonces la frecuencia es: T = 2π √

L g − 0,6 m/s2

; T = 2π √

3,97 m

1 1 ;f = ; f = 0,242 Hz T 4,13 s

7. Un disco sólido de 0,19 kg y 0,14 m de radio se tuerce con un ángulo de 1 rad y se suelta. La constante de torsión del alambre que soporta al disco es de 0,025 N.m/rad. Calcular: a) La aceleración angular máxima b) El período de oscilación.

I = ½ m r2 ; I = ½ (0, 19 kg) ( 0,14 m)2 I = 1,86 x 10 - 3 kg m2

ζ = - K Θ y ζ = I .α - K Θ = I .α I Θ = −K α

I

3. Un disco de 25 cm de diámetro se cuelga horizontalmente de un alambre atado en su centro. Se aplica una fuerza de 25 N en el borde del disco de tal modo que gira un ángulo de 14 0 . El período del movimiento armónico angular es de 0,6 s. Calcular el momento de inercia del disco.

APLICO LO APRENDIDO 1.

Un péndulo que tiene una longitud de 70 cm tiene un periodo de 1,8 s. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad.

2.

Determinar el valor de la longitud de la cuerda L de un péndulo que tiene un periodo igual a (1 / 3 ) T.

3.

Un péndulo de longitud L es llevado a otro planeta donde el valor de la aceleración de la gravedad es tres veces el de la tierra.

Calcular en cuánto hay que aumentar la longitud del péndulo para que mantenga el mismo período.

FUERZAS EN EL M.A.S.

Nm

;α=

Calcular el valor de la aceleración de la gravedad en un lugar de la tierra donde un péndulo de 60 cm tiene un periodo de 1,8 s.

5. Una esfera sólida de 3 kg de masa y 40 cm de diámetro está suspendida de un alambre. El momento de inercia rotacional para torcer el alambre es de 1,4 Nm para obtener un desplazamiento angular de 11 0. Calcular el período de oscilación angular.

La aceleración angular está dada por:

α=

2.

4 Un péndulo tiene un período de 2 s. Cuál sería el período si la longitud de la cuerda se la duplica.

a) El momento de inercia del disco es:

−k Θ

Calcular la longitud de un péndulo que tiene un período de 1, 456 s.

9,2 m/s2

T = 4,13 s f =

1.

10,3 m/s2

T = 3,90 s f =

APRENDO HACIENDO

−( 0,025rad)(1 rad) 1,86 x 10 − 3 kg m2

α = - 13,44 rad/s2

;

También es necesario estudiar al M.A.S. desde el punto de vista dinámico así tenemos que la fuerza F que permite que oscile una masa m en un resorte está dada por : a = - 4π2f2x

b) El periodo está dado por:

a = - (2 π f )2 x T = 2π √ T = 1,71 s

Θ α

; T = 2π √

1 rad 13,44 rad/s2

a=-ω2x Si multiplicamos ambos miembros por la masa m se tiene: ma=-mω2x

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UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

Si: F = m. a

y

F = - k x. entonces:

k= mω

EJERCICIOS RESUELTOS

2

1.

F= -mω2x El signo menos de la fuerza indica que se dirige hacia el centro y es proporcional a la elongación.

LA ENERGÍA EN EL M.A.S. Cuando un objeto oscila con M.A.S, las energías cinética y potencial del sistema varían con el tiempo.

Un objeto de 9,8 N, unido a un resorte animado con M.A.S tiene una amplitud de 18 cm y un período de 6 s, en el instante en el que la elongación es de 12 cm. Calcular: a) La constante k b) La frecuencia. c) La aceleración d) La fuerza restauradora. e) La energía cinética f) La energía potencial. g) La energía total. h) La Ec y Ep máxima.

La energía potencial está dada por :

x = A cos ω t.

9,8 N ; P = 1 kg 9,8 m/s2 2 π rad 2 π rad ω= ;ω= ; ω = 1,05 rad/s T 6s

Ep = ½ k A2 cos 2 ω t.

k =mω 2 ;k=(1kg)(1,05rad/s)2; k = 1,10 kg/s2

a) P = m g ; m =

Ep = ½ k x 2

k=mω

2

Ep = ½ m ω 2 A2 cos 2 ω t

b)

f =

P g

; m=

1 1 ;f = ; f = 0,17 Hz T 6 s

c) a = - ω 2 x ; a = - ( 1,05 rad/s) 2 (0,12 m) La energía cinética está dada por :

a = - 0,13 m/s2

Ec = ½ m v2

d) F = m . a ; F = ( 1 kg )( - 0,13 m/s2 )

v = - ω A sen ω t 2

2

F = - 0,13 N 2

Ec = ½ m ω A sen ω t.

e) La energía cinética está dada por: v=-2πf

La energía total está dada por :

√A2 − x 2

v = - 2 π( 0,17 Hz) √(0,18 m)2 − (0,12m)2 E T = Ec + Ep v = - 0,14 m/s E T=½ m ω 2 A 2 sen 2 ω t. + ½ m ω 2 A2 cos 2 ω t.

2

ET= ½mω A

2

2

2

( sen ω t + cos ω t.)

Ec = ½ m v2 Ec = ½ (1 kg)( - 0,14 )

2

Ec = 0,0098 J Sabemos que : sen 2θ + cos2 θ = 1 f) Ep = ½ k x2 ; Ep = ½ ( 1,10 kg/s2)(0,12 m)2; ET = ½mω2A2 k=mω2; m=

k

Ep = 0,0079 J g) ET = EC + Ep

ω2 ET = 0,0098 J + 0,0079 J

ET=½kA2

ET = 0,0177 J h) v max = - 2 π f A ; v max = - 2 π (0,17 Hz )( 0,18 m)

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UNIDAD 1 Movimiento Armónico Simple. _____________________________________________________________________________________________________________

v= -2π(0,64Hz)(5cm)sen (8,04 rad) v = -2π(0,64Hz)(0,05m)sen ( 460,8 0 ) v = - 0,20 m/s

v max = -0,19 m/s Ec max = ½ m v2 max Ec max = ½ ( 1 kg)( - 0,19 m/s)

i) Ec = ½ m v2 Ec = ½ ( 0,030 kg)(-0,20 m/s)2 -4 Ec = 6 x 10 J

2

Ec max = 0,018 J 2

2

j) ET = Ec + Ep -4 –5 ET = 6 x 10 J + 1,31 x 10 J -4 ET = 6,13 x 10 J

2

Ep = ½ kA ; Ep = ½ ( 1,10 kg/s )(0,18 m) ; Ep = 0,0178 J 2.

La ecuación del M.A.S. de una partícula M de 30 g es x = 5 cos ( 4 t ) cm. Determinar: a) La amplitud b) La frecuencia angular de oscilación (ω). c) La frecuencia de oscilación. d) La constante k de recuperación. e) La posición de la partícula en t = 2 s f) La fuerza recuperadora para t = 2 s. g) La energía potencial en t = 2 s h) La velocidad de la partícula en t=2 s i) La energía cinética en t = 2 s j) La energía total en t = 2 s.

Debemos hacer una comparación entre términos de la ecuación de la elongación con la ecuación dada, así: x = A cos 2 π f t

APRENDO HACIENDO 1. Un cuerpo de 8 N se mueve con M.A.S. Si la amplitud es de 25 cm, su aceleración máxima es de 80 cm /s2 y su velocidad máxima es de 30 cm /s . Calcular la distancia medida desde la posición de equilibrio en la que Ec es 0,08 J. 2. La ecuación del M.A.S. de una partícula M de 0,06 kg es x = 8 cos ( 5 t ) m. Determinar: a. La amplitud b. La frecuencia angular de oscilación. c. La frecuencia de oscilación. d. La constante k de recuperación. e. La posición de la partícula en t = 3 s f. La fuerza recuperadora para t = 3 s. g. La energía potencial en t = 3 s h. La velocidad de la partícula en t=3 s i. La energía cinética en t = 3 s j. La energía total en t = 3 s.

x = 5 cos ( 4 t ) cm ; de donde: a) A = 5 cm b) ω = 2πf ; ω = 4 rad/s 4 rad/s c) 2πf = 4 rad/s ; f = ; f = 0,64 Hz 2π rad d) f =

1 2π

√

k m

; k = 4 π 2 f2 m

k = 4 π2 (0,64 Hz)2 (0,03 kg)(m/m) k = 0,49 N/m e) x = 5 cos ( 4 rad/s . 2 s ) x = 5 cos ( 458,37 0 ) x = - 0,73 cm; x = - 0,0073 m f) F = - k x ; F = -(0,49 N/m)( - 0,0073 m) F = 3,58 x 10 -3 N g) Ep = ½ k x2 2 Ep = ½ (0,49 N/m )(- 0,0073 m ) –5 Ep = 1,31 x 10 J h) v = - 2 π f A sen 2 π f t. v=-2π(0,64Hz)(5cm)sen2π(0,64Hz)(2s).

APLICO LO APRENDIDO 1. Un objeto de 5 kg unido a un resorte se mueve con M.A.S. tiene una amplitud de 40 cm y un periodo de 7 s, cuando la elongación es de 30 cm. Calcular: a. La constante k b. La frecuencia. c. La aceleración d. La fuerza restauradora. e. La energía cinética f. La energía potencial. g. La energía total.

2. Un peso de 45 N realiza un M.A.S con un periodo de 1,8 s y una amplitud de 48 cm.

Cuando la velocidad es de 2 m/s. Calcular. a) La elongación. b) La aceleración. c) La fuerza restauradora. d) La energía cinética. e) La energía potencial f) La energía total.

3.

Un cuerpo está animado con M.A.S. y tiene una elongación igual a la tercera parte de la amplitud. Determinar que fracción de la E T del sistema es Ec y Ep.

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APLICACIONES COTIDIANA. 1.

EN

LA

VIDA

En los motores de los vehículos: El soporte de un motor que gira, vibra en oscilaciones forzadas con amplitud muy pequeña.

En los autos viejos algunas veces se nota que las latas entran en resonancia a cierta velocidad.

2.

En los puentes: estos deben construirse con frecuencias propias muy diferentes de las que puede producir el viento o los hombres.

3.

Cuando se golpea un diapasón, y se lo dirige a otro de igual frecuencia situado a alguna distancia se pondrá a vibrar.

4.

Una vitrina puede vibrar cuando un avión o un bus pasa cerca.

5.

Un diapasón puede aumentar el sonido de sus vibraciones cuando se lo coloca en una caja de resonancia ya que este vibrará con oscilaciones forzadas.

6.

La guitarra, el violín, el piano son cajas de resonancia de acople fuerte que amplifican todos los sonidos de las cuerdas vibrantes en oscilaciones forzadas. El mismo fenómeno se da en los altavoces, teléfonos y el tímpano del oído.

7.

En los relojes con péndulos para marcar el tiempo.

8.

En la aguja de la máquina de coser ya que tiene una velocidad máxima en el momento que toca la tela.

9.

Cuando un vehículo viejo viaja a una determinada velocidad y la frecuencia del motor se iguala a la frecuencia de resonancia de las latas, estas comienzan a vibrar, por tal razón hay que cambiar de velocidad.

10.

El balanceo debido a la acción de los vientos fuertes en el edificio Citicorp de Nueva York se reduce mediante un amortiguador, instalado en uno de los pisos más altos. El amortiguador consiste en un bloque de 400 toneladas que esta acoplado al edificio mediante un muelle cuya constante se elige de forma que la frecuencia natural del sistema

muelle-bloque sea la misma que la frecuencia natural del balanceo del edificio. Si el viento hace oscilar el edificio, el oscilador y el edificio oscilan con una frecuencia de fase de 180 0 con lo cual reduce la oscilación.

11. El astronauta Alan L. Bean midiendo la masa de su cuerpo durante el segundo viaje del Sky Lab. Lo hace sentado en un asiento atado a un resorte y oscilando de adelante hacia atrás.

La masa total del astronauta más la del aparato está relacionada con la frecuencia de vibración de la ecuación: f=

1 2π

√

k m

12.Para amortiguar la oscilación de los autos se utiliza los amortiguadores, generalmente cilindros de color amarillo que absorben los choques.

13. En las llantas de las ruedas de los automóviles se colocan pesas para equilibrarlas. El propósito de equilibrar las ruedas es evitar las vibraciones que producirían las oscilaciones en el sistema de dirección del vehículo.

EXPLICA UTILIZANDO LO APRENDIDO 1. ¿ Qué tiene mayor período, un péndulo corto o uno largo?

2. ¿ Cuantas vibraciones por segundo representa una onda de radio de 104,5 kHZ ?

3. ¿Cómo se relacionan la frecuencia y el período?

4. ¿ El periodo de un péndulo depende de la masa que cuelga de él ?

5. Una persona pesada y una liviana se balancean de un lado a otro en columpios de la misma longitud. ¿Cuál de los dos tiene mayor período?

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6. Cierto reloj antiguo de péndulo funciona con mucha exactitud. A continuación se pasa a una casa de verano, en unas montañas altas. ¿ Se adelantará, se atrasará o quedará igual ?

Explicar por qué.

7. Si usted humedece su dedo y lo frota alrededor del borde de una copa de tallo delgado, con frecuencia produce un sonido. ¿ Cómo se produce este tono?¿ De qué depende? ¿ Por qué debe humedecerse él dedo?

8. Si se tiene un resorte con una constante de fuerza conocida, un cronómetro y un metro, ¿ cómo puede determinarse el valor de una masa desconocida ?

REFORZANDO LO APRENDIDO 1. Calcular la longitud de un péndulo cuyo periodo es de 1,4 s.

2. Un péndulo en la tierra tiene un período de 2,2 s y al llevarlo a otro planeta tiene un período de 5,8 s. Calcular la gravedad de dicho planeta.

3. Un péndulo tiene un período de 3 s si su longitud se aumenta en un 85 % . Calcular el período.

4. El péndulo que bate-segundo es aquel cuyo período es igual a 1 s. Determinar la longitud de la cuerda de este péndulo.

5. Indicar que péndulo tiene mayor período si uno que se encuentra en el Ecuador o el otro que se encuentra en los polos.

6. Un cuerpo de 15 N se suspende en un resorte, luego se le añade otro cuerpo de 5 N y el cuerpo baja 6 cm. Determinar el período de oscilación del cuerpo.

7. Una masa de 1,5 kg se mueve con M.A.S. Si la amplitud es de 15 cm, su aceleración máxima 2 es de 50 cm /s y su velocidad máxima es de 25 cm /s . Calcular la distancia medida desde la posición de equilibrio en la que Ec es 0,0601 J. 8.

El microscopio de fuerza atómica está compuesto por una punta afilada que se monta sobre un resorte flexible en una barra delgada, un sensor que detecta la desviación del resorte y un sistema de exploración mecánico que mueve la punta en una trayectoria controlada.

Si la constante del resorte del microsco pio es más pequeña

que la constante del resorte equivalente entre los átomos en un sólido, el microscopio puede determinar posiciones comparables con los tamaños atómicos sin deformar la superficie que se examina. Se sabe que las frecuencias de vibración de los átomos en sólidos son del 12 orden de 10 Hz y la masa de un átomo corresponde aproximadamente a 10 -25 kg.

Calcular la constante del resorte interatómico.

9. Una maleta de 20 kg de masa cuelga de dos cuerdas elásticas. Cada cuerda se alarga 5 cm cuando la maleta está en equilibrio. Si se estira la maleta un poco hacia abajo y se suelta.

Determinar la frecuencia de oscilación.

10.Un péndulo de torsión tiene una aceleración angular de 25 rad/s2 cuando su desplazamiento angular es de 70 0. Calcular la frecuencia de vibración.

11. El movimiento de un pistón en un vehículo es armónico simple. Si el desplazamiento máximo es de 16 cm y se mueve con velocidad angular de 160 rpm. Calcular su aceleración al cabo de 0,3s.

12. la ecuación de la posición de una masa de 40 g animada con MAS es x = 2 cos ( ¼ t) cm.

Calcular: a. La amplitud b. La frecuencia angular de oscilación. c. La frecuencia de oscilación. d. La constante k de recuperación. e. La posición de la partícula en t = 2 s f. La fuerza recuperadora para t = 2 s. g. La energía potencial en t = 2 s h. La velocidad de la partícula en t=2 s i. La energía cinética en t = 2 s j. La energía total en t = 2 s.

13. Una esfera de 100 g está unida a un resorte que está animada de MAS con una frecuencia de 65 Hz y una amplitud de 8cm. Si en t = 0 la esfera pasa por su posición de equilibrio en el sentido positivo de la posición. Calcular: a) La ecuacion del movimiento. b) la fuerza recuperadora en t = 3s c) La energía potencial en t= 3s d) La energía cinética en t = 3s e) La energía total.

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