Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educacion Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matematica y Física
GEOMETRÍA DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina Jiménez 2021-2022
Geometría Plana y del Espacio
AUTOR: MSc. Franklin Molina Jiménez. Docente de la Universidad Central del Ecuador Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física. Año: 2021
DERECHOS RESERVADOS. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro por ningún medio: electrónico, mecánico u otros métodos; sin la autorización previa y por escrito de los autores. ISBN: 978-9942-8675-3-7 DERECHOS DE AUTOR: QUI-052479
Publicado en línea: 2021-09-30
Quito - Ecuador
i
INTRODUCCIÓN
Consciente de la importancia del estudio de la geometría plana y del espacio, este texto ha sido desarrollado con el propósito de facilitar su aprendizaje, y así los maestros de geometría plana y del espacio se conviertan en guías del proceso enseñanza – aprendizaje. Las unidades que constan en el texto están diseñadas de tal forma que se presenta desarrollado el contenido científico, para luego analizar con el maestro una serie de ejercicios resueltos, lo que permitirá al estudiante desarrollar la competencia de resolver ejercicios. A continuación se plantean un grupo de ejercicios para ser resueltos y reforzar lo aprendido para ser resueltos como tarea. Ponemos en consideración a los maestros el presente trabajo que permitirá contribuir en el aprendizaje de la geometría.
MSc. Franklin Molina DOCENTE
ii
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO La geometría espacial, geometría del espacio o Estereometría, es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeano. Estas figuras se denominan sólidos y entre ellas se encuentran, el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio se encarga de ampliar y reforzar las propiedades y teoremas de la geometría plana y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio y la geometría descriptiva.
FIGURAS EN EL ESPACIO DEFINICIONES Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FIGURAS Y CUERPOS EN EL ESPACIO
1. RECTA INTERSECADA EN UN PLANO: Una recta que interseca en un plano forma un punto.
B
A
2. RECTAS PARALELAS:
α
3. RECTAS CONCURRENTES: Se encuentran paralelas al plano.
4. RECTA QUE INTERSECA PERPENDICULAR A UN PLANO. L
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
5. PLANOS PARALELOS Un plano es paralelo a otro cuando no se intersecan o son coincidentes. Un plano siempre divide al espacio en dos semi-espacios.
Semi espacio
Dos planos paralelos no tienen puntos en común. La distancia entre ellos es constante. En los objetos que nos rodean, se pueden determinar planos paralelos; por ejemplo, el cielo de una casa y el suelo son planos paralelos.
6. PLANOS SECANTES Dos planos no paralelos se denominan planos secantes, dos planos secantes se interceptan en una línea recta. El ángulo que forman se denomina ángulo diedro
7. ÁNGULO DIEDRO Es la unión de dos semiplanos que se intersecan en su borde, se lo suele denominar, simplemente diedro; a los semiplanos Ese los denomina caras del diedro y al borde común se lo llama arista del diedro. B
C
α ángulo diedro AB arista
α A
D
8. ÁNGULO POLIEDRO Es la unión de semirrecta que se intersecan en su extremo V y que tienen un punto en común, con la poligonal contenida en un plano que no contiene a V, a las semirrectas que se intersecan con uno de los vértices de la poligonal se los denomina arista del ángulo poliedro y el punto V se denomina vértice del ángulo poliedro. 166 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ V = vértice
Hoy en día, la creatividad y el arte nos presentan diversidad de ángulos diedros y ángulos poliedros que armonizan en el mundo de la arquitectura moderna. Los edificios no siempre forman ángulos diedros que son rectos. Las estructuras artísticas en metal y madera son realizadas en una armonía que quiebra las estructuras recto-rectangulares.
EL POLIEDRO Se define como poliedro al cuerpo que está limitado por superficies planas (denominadas caras) y de contorno poligonal denominadas aristas de las caras, los vértices de los poliedros son las aristas de las caras. Al interior de un poliedro se denomina la región del espacio que encierra el poliedro. E B
F C G D
A
1. POLIEDRO CONVEXO Es aquel que está limitado por polígonos convexos y tiene las siguientes características: 1.- Cada arista de una cara pertenece a otra cara y únicamente a otra. Dichas caras se denominan contiguas. 2.- Dos caras contiguas están en planos distintos. 3.- El número de aristas (A) es igual al número de caras (C) más el número de vértices (V) disminuido en dos. (FORMULA DE EULER)
A=C+V–2
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 4. La diagonal de un poliedro es el segmento de recta que une dos vértices situados en caras diferentes. Diagonal Vértice
Cara
Arista
5. Según el número de caras los poliedros se denominan • • • • •
Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros Cubo (o hexaedro regular): poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales Octaedro regular: poliedro regular la superficie del cual está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales Dodecaedro regular: poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales Icosaedro regular: poliedro regular las caras del cual son veinte triángulos equiláteros iguales
Los elementos que conforman al poliedro son: Donde: C: número de caras del poliedro V: número de vértices A: número de aristas D: número de diagonales
Para verificar la fórmula de Euler por ejemplo podemos tomar un cubo cualquiera que este tendrá seis caras, ocho vértices y doce aristas. C = 6, V=8, A = 12. En este caso de donde fácilmente vemos que: A = C + V – 2 ; 12 = 6 + 8 -2 168 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
Si hacemos un corte en una esquina obtenemos un nuevo poliedro irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y vértices
Los poliedros regulares se conocen también como sólidos perfectos o sólidos platónicos. Se conocen desde la antigüedad clásica. Aunque le atribuyen a Pitágoras (569 A.C. – 475 A.C). el descubrimiento de los cuatro primeros y su escuela el restante, fue Platón (427 A.C – 347 A.C.) quien los cita en sus Diálogos. Les da un carácter místico, asociándolos a los elementos de la filosofía clásica: al tetraedro, el fuego, al cubo, la tierra, al octaedro, el aire, al dodecaedro, los límites del universo y al icosaedro, el agua. 2. POLIEDRO CONCAVO El poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. También en un poliedro convexo todas sus caras pueden apoyarse sobre un plano y en un poliedro cóncavo, no.
3. POLIEDROS REGULARES Un poliedro de “n caras” es regular si solo si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y sus ángulos poliedros también son congruentes. Los poliedros regulares también se denominan solidos platónicos (en honor a Platón) y sólo son cinco.
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 1. Tetraedro regular: Está limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros, tienen cuatro vértices, cuatro caras, seis aristas y seis ángulos diedros. Caras 4, son triángulos equiláteros Vértices 4 Ángulos triedros 4 Aristas 6 Ángulos diedros 6 2. Cubo o Hexaedro regular: Está limitado por seis caras que son cuadrados, tienen ocho vértices, doce aristas y doce ángulos diedros. Caras 6 que son cuadradas Vértices 8 Ángulos triedros 8 Aristas 12 Ángulos diedros 12 Diagonales congruentes y concurrentes 4 3. Octaedro: El octaedro es un poliedro regular la superficie del cual está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales. Caras 8 que son triángulos equiláteros Vértices 6 Ángulos triedros 6 Aristas 12 Ángulos diedros 12 4. Dodecaedro: El dodecaedro es un poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales. Caras 12 que son pentágonos regulares Vértices 20 Ángulos triedros 20 Aristas 30 Ángulos diedros 30 5. Icosaedro: El icosaedro es un poliedro cuyas caras son veinte triángulos equiláteros iguales.
Caras 20 que son triángulos equiláteros Vértices 12 Ángulos triedros 12 Aristas 20 Ángulos diedros 20 170 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 4. POLIEDROS IRREGULARES Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos que no son todos iguales.
PRISMA Un prisma es un poliedro con polígonos congruentes en dos planos distintos y paralelos llamadas bases. Estos polígonos y su interior forman dos de sus caras, las otras caras están formadas por segmentos paralelos que se forman al unir los correspondientes vértices de los polígonos cuyas caras son paralelogramos.
Cara lateral h
base
Poliedro es la unión de un número finito de regiones poligonales no todas coplanarias las cuales encierran una región del espacio. El interior de un poliedro es la región del espacio que encierra el poliedro.
CLASES DE PRISMAS Se los nombra de acuerdo con la forma de su base. Base 3 4 5 6 Triangular
Nombre Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
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TIPOS DE PRISMAS:
h
PRISMA RECTO
h
PRISMA OBLICUO
PRISMAS REGULARES Un prisma regular es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares, un cubo es un prisma donde todas sus caras son cuadrados y paralelas. CUBO
PARALELEPÍPEDO Es un prisma cuya base es un paralelogramo. Cuando la base es un rectángulo se llama paralelepípedo rectangular.
CARACTERISTICAS • • • • • • • •
Cada cara lateral de un prisma es un paralelogramo, las bases de un prisma tienen igual área. El área lateral (AL) de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales. El área total (AT) de un prisma es la suma de las áreas laterales y el área de las dos bases. El área lateral de un prisma recto es el producto de la longitud de la arista lateral h por el perímetro P de la base. A todo poliedro sólido le corresponde un único número positivo, llamado volumen. Al referirnos al volumen del poliedro solido también nos referimos al volumen de la región interna del prisma. El volumen del paralelepípedo rectangular es igual al producto de su largo, ancho y alto. V= l x a x h, También es igual al área de la base por la altura. V= Ab x h 172
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Verificar la fórmula de Euler en los siguientes poliedros C+V-A = 2 6+8-12= 2 Caras = 6 Vértices = 8 Aristas =12 2. Encontrar el área lateral, área total, volumen de un prisma triangular que tiene h=10cm y su base es un triángulo equilátero de 8 cm A.L. = b.h ; A.L.= Pb .h ; A.L.=(l+l+l) . h ; A.L.= (8+8+8) .10 A.L= 240cm A.T.= A.L. + 2A.b ; A.T.= 240 + 2(12); A.T.= 264cm2 V=Ab. h ; V= 12 . 10 V= 120 cm3 3. Encontrar el área total lateral y el volumen de un prisma regular que tiene una altura de 20 cm. y su base es un triángulo equilátero de 4 cm. de lado. Datos
Gráfico
Solución
Al=?
a)Al=Pb.h
At= ?
𝐴𝑙 = (3 ∗ 4)(20)
V=?
𝐴𝑙 = 240𝑢2 b)𝐴𝑡 = 2𝐴𝑏 + 𝐴𝑙; 𝐴𝑏 =
√3𝑙2 4
H=20 cm 𝐴𝑡 = 2(4√3 + 240 𝐴𝑏 =
L=4cm
√3∗42 4
𝐴𝑡 = 253,83𝑐𝑚2 𝐴𝑏 = 4√3 𝑐𝑚2 c) 𝑣 = 𝐴𝑏 ∗ ℎ 𝑣 = 4√3 ∗ 20 𝑣 = 138,56 𝑐𝑚3 4. El salón de clases tienen 8 m de largo, 6 de ancho y 2.8 de alto ¿qué volumen de aire contiene? Datos
Solución
Largo =8m
𝑣 = 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜
Ancho=6m
𝑣 = 8 ∗ 6 ∗ 2.8
Alto=2.8m
𝑣 = 134.4 𝑚3
v=?
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PIRÁMIDE Una pirámide es un poliedro irregular cuya superficie está formada por una base que es un polígono cualquiera y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide). Las pirámides tienen tantos triángulos en las caras laterales como aristas tiene la base. Las caras laterales de un polígono regular son triángulos isósceles congruentes.
α
P
β
CLASES DE PIRÁMIDES 1. PIRÁMIDE TRIANGULAR Una pirámide triangular es una pirámide que tiene un triángulo de base. Por lo tanto, estará compuesto por 4 caras, la base triangular y tres triángulos que confluyen en el ápice de la pirámide.
2. PIRÁMIDE CUADRANGULAR Una pirámide cuadrangular es una pirámide que tiene un cuadrilátero de base. Por lo tanto, estará compuesto por 5 caras, la base cuadrangular y cuatro triángulos que confluyen en el ápice de la pirámide.
3. PIRÁMIDE PENTAGONAL Una pirámide pentagonal es una pirámide que tiene un pentágono de base. Está compuesto por 6 caras, la base pentagonal y cinco triángulos que confluyen en el ápice de la pirámide.
4. PIRÁMIDE HEXAGONAL Una pirámide hexagonal es una pirámide que tiene un hexágono de base. Está compuesto por 7 caras, la base hexagonal y seis triángulos que confluyen en el ápice de la pirámide.
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ TIPOS DE PIRÁMIDES
PIRAMIDE RECTA
PIRAMIDE OBLICUA
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos congruentes. AREA LATERAL
AREA TOTAL
VOLUMEN
AL = n AT
AT = AL + AB
V = 1/3 (AB x h)
AL = n
𝑏.ℎ¨ 2
AL = (P x h´) /2 La sección transversal de una pirámide constituye el área lateral que se forma en la pirámide, si dos pirámides tiene la misma altura y el área de sus bases son iguales entonces las secciones transversales equidistan de los vértices que tienen las mismas áreas TRONCO DE PIRÁMIDE El tronco de pirámide es un poliedro formado por dos caras paralelas, que son las bases, y varias caras laterales, que son trapecios. Ambas bases tienen el mismo número de lados y tiene tantas caras laterales como lados tienen sus bases.
Está formado por el sólido inferior resultante de seccionar una pirámide con un plano intermedio y paralelo a su base. Las caras laterales del tronco de pirámide son trapecios, a diferencia de la pirámide que son triángulos.
ELEMENTOS DEL TRONCO DE PIRÁMIDE. • Bases (BM y Bm): polígonos cualquiera. Son dos caras paralelas, una mayor (BM) y otra menor (Bm). • Caras (C): los trapecios de las caras laterales. Cada arista es común a dos caras. • Aristas (a): cada uno de los lados de las aristas. • Altura (h): distancia entre las bases. • Vértices (V): puntos donde confluyen las caras. • Apotema (ap.): es la altura de los trapecios de las caras laterales y solo existe en los troncos de pirámide regulares. 175 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ TIPOS DE TRONCO DE PIRÁMIDE Según su regularidad: Los troncos de pirámide se clasifican en regulares e irregulares según la posición y la forma de sus bases: •
Tronco de pirámide regular: las bases son polígonos regulares y es recto (el segmento que une los centros de las bases es perpendicular a éstas). Las caras laterales son trapecios isósceles.
•
Tronco de pirámide irregular: son el resto de troncos de pirámide, en los que o las bases son polígonos irregulares o éstos son oblicuos (el segmento que une los centros de las bases no es perpendicular a éstas). En las caras laterales hay trapecios escalenos.
Según el número de lados de la base Que se clasifican según los lados que tienen sus bases. Los más simples son: • • • • •
Tronco de pirámide triangular: las bases son dos triángulos (3 lados). Tronco de pirámide cuadrangular: las bases son dos cuadriláteros (4 lados). Tronco de pirámide pentagonal: las bases son dos pentágonos (5 lados). Tronco de pirámide hexagonal: las bases son dos hexágonos (6 lados). …
APOTEMA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE La apotema de un tronco de pirámide es la altura de los trapecios de las caras laterales. Solo existe en los troncos de pirámide regulares.
La apotema (ap), la altura (h), y el segmento que resulta de la diferencia entre la apotema de la base mayor y la apotema de la base menor (apBM – apBm) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras se determina la apotema: Como se conoce los dos catetos, el apotema, que es la hipotenusa: ap = √h2 − (apBM − apBm )2
En el caso de conocer las aristas de las bases y la arista lateral, también se calcula la apotema del tronco de pirámide regular mediante el teorema de Pitágoras. Cualquier cara lateral de un tronco de pirámide regular es un trapecio isósceles: 176 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
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Se aplicar el teorema de Pitágoras: ap − apBm ap = √𝑎𝐿 2 − ( BM )
2
; ap = √𝑎𝐿 2 − 𝑦 2
2
ÁREA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE El área del tronco de pirámide se calcula como suma del área de las dos bases (ABM y ABm) y el área de los trapecios laterales (Al). El cálculo de ésta varía según si el tronco es regular o irregular. ÁREA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR El área lateral (Al) de los trapecios isósceles puede calcularse a partir del perímetro de las bases (PBM y PBm) y de la apotema (ap). Realizando la suma de las tres áreas (ABM, ABm y Al), el área total es: A = ABM + ABm + (
PBM + PBm ) ap 2
Donde: ABM y PBM el área y perímetro de la base mayor; ABm y PBm el área y perímetro de la base menor ap la apotema del tronco de pirámide. ÁREA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULAR El tronco de pirámide irregular no tiene una fórmula genérica para calcular el área lateral (Al). Las caras laterales, en el caso de un tronco de pirámide oblicuo son trapecios escalenos. Por lo tanto, el área de éste es la suma del área de las bases (A BM y ABm) y el área lateral (Al). A = ABM + ABm + Al
VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE El volumen de un tronco de pirámide, tanto regular como irregular, se calcula a partir del área de las bases (ABM y ABm) y de la altura (h) de éste. La altura es la distancia entre las dos bases.
El volumen viene determinado como un tercio de la altura (h) por la suma del área de las bases (A BM y ABm) y la media geométrica de las mismas. Su fórmula es: V=
ℎ (ABM 3
+ ABm + √ABM . ABm 177
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Encontrar el área lateral, total y volumen de una pirámide regular cuya arista mide 5 cm y cuya base es un cuadrado de lado 6 cm. DATOS:
Resolución:
a= 5 cm
AL= n A∆;
b= 6 cm
AL=4(12);
𝐴𝑏.ℎ ; 2 36 𝑐𝑚2 .√7 V= 3
V=
AL= 48 cm2
V=31,75 cm3 AT= AL+Ab; AT=48 cm2+ 36 cm2; AT= 84 cm2
2. Encontrar el volumen de la pirámide oblicua cuyas longitudes son h= 10 cm; b 1= 3 cm; b2=4 cm; b3= 5 cm A= √S(S − a)(S − B)(S − c)
LEY DE COSENOS 𝐴𝑏 .ℎ V= 3 6𝑐𝑚2 𝑥 10𝑐𝑚 V= 3
a2= b2+c2 -2bc.cos 𝜃 42= 52+32 -2(5.3).cos 𝜃
h
V= 20 cm3
18= -30 cos 𝜃 𝜃= 53, 13°
3. El área lateral de una pirámide hexagonal regular es de 180 m 2, el lado de la base mide 6m.Calcular la apotema de la pirámide, la altura y la longitud de una arista lateral. AL=
𝑃.ℎ ; 2
180m 2=
ap= √10𝑚2 − 3𝑚2 ; 6(6𝑚).ℎ ; 2
ap= 9, 54 m
180m2(2) = 36 m x h; 360 m2/ 36 m =h; h= 10 cm; 4. Encontrar el volumen de la pirámide
V= V=
𝐴𝑏.ℎ 3
;
42 .10 3
;
V=53, 33 cm3
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 5. Determinar el área lateral de un tronco de pirámide hexagonal regular cuyas dimensiones son las del gráfico. h = √412 − 92 ; h = 40 cm Al =
6 . 20+6 .38 2
. 40 ;
Al = 6 960 cm2
6. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y arista lateral de 13 cm es cortada por un plano a la mitad de su altura. Determinar el área total del tronco de pirámide resultante.
5 y
=
13 ; 6,5
y = 2,5 cm
x = √6,52 − 2,52 ; x = 6 cm
h = √6,52 − 2,52 ; h = 6 cm
ABm = 25 cm2 ABM = 100 cm2 Al = 4 . (
10+5 ).6 2
; Al = 180 cm2
ATOTAL = 25 + 100 + 180; ATOTAL = 305 cm2
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CAPÍTULO 2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Las superficies de revolución son figuras que se forman al girar 360° una línea recta o una curva contenida en un plano, llamada generatriz, alrededor de un eje de rotación, contenido también en el mismo plano. Las superficies regladas de curvatura simple se generan cuando su generatriz se desliza siempre en contacto con otra línea curva, llamada directriz cumpliendo unas condiciones. Una de ellas es que cualquier par de generatrices contiguas pertenezcan al mismo plano. Cuando la directriz es una circunferencia perpendicular a las generatrices estaremos en el caso particular de las superficies de revolución. Las superficies cilíndricas, cónicas, esféricas y toroidales pertenecen a esta clasificación. Para hallar el área de una superficie de revolución se aplica el primer teorema de Pappus-Guldin. PRIMER TEOREMA DE PAPPUS-GULDIN El área (A) de las superficies de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz que las engendra (Lg) por la longitud de la circunferencia (Lc) que describe el centroide o centro de gravedad de dicha línea generatriz alrededor del eje de rotación. A = Lg . LC EJERCICIO RESUELTO 1.
Determinar el área de la superficie de revolución formada al girar 360° un segmento de longitud 10 cm sobre un eje de rotación situado en el mismo plano. Los extremos A y B del segmento distan del eje de rotación 8 cm y 14 cm respectivamente.
La línea generatriz es una línea recta de longitud Lg = 10 cm Se sabe que el centroide de la recta es su punto medio g. Por tanto, la distancia R del centroide al eje de rotación será la media aritmética de la distancia de sus extremos. R=
8+14 2
; R = 11 cm
La longitud de la circunferencia de rotación del centroide g del segmento es: Lc = 2 . π . R; Lc = 2 . π . 11; Lc = 69,12 cm El área de la superficie de revolución, aplicando el primer teorema de Pappus-Guldin es: A = Lg . LC ; A = 10 . 69,12 ; A = 691,2 cm2 La superficie de revolución resultante será una superficie troncocónica recta. 180 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
SOLIDOS DE REVOLUCIÓN CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los sólidos de revolución son figuras que se forman al girar 360° una región de un plano alrededor de una recta, o eje de rotación, contenido también en el mismo plano. Los sólidos de revolución son el cilindro recto, el cono recto, la esfera y el toro. 1. Cilindro recto: El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando una recta, llamada generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje. El eje y la generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas. También, un cilindro recto de revolución es el la figura descrita al girar un rectángulo sobre uno de sus lados. 2. Cono recto: El cono recto es el sólido de revolución generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a las generatrices que se unen en el vértice del mismo. 3. Tronco del cono: El tronco del cono recto (o cono truncado recto) es el sólido de revolución generado al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono. 4. Esfera: La esfera es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera. O lo que es lo mismo, es la figura geométrica descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro. Un círculo es la superficie que existe dentro de una circunferencia. 5. Toro: El toro es una superficie de revolución generada por el giro de un círculo cuyo centro recorre otro círculo de dimensiones mayores, estando ambos contenidos en dos planos ortogonales (perpendiculares).
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ La relación 1, 2, 3, entre el volumen del cono, el volumen de la esfera y el volumen del cilindro, siempre que los tres sólidos tengan el mismo radio r de la base, o mismo radio, y la misma altura h = 2r
Para hallar el volumen de un sólido de revolución se aplica el segundo teorema de Pappus-Guldin. SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS-GULDIN El volumen (V) de los sólidos de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz que los engendra Ag por la longitud de la circunferencia Lc de describe el centroide o centro de gravedad de dicha superficie. V = A g . LC EJERCICIO: 1. Determinar el volumen del sólido de revolución (tronco elíptico) generado al girar 360° una elipse de semieje mayor a = 3 cm y de semieje menor b = 2 cm, alrededor de un eje se rotación del mismo plano situado a 10 cm del centroide de la elipse.
Se determina el área de la elipse es: Ag = π . a . b ; Ag = π .3 . 2 ; Ag = 18,85 cm2 La longitud de la circunferencia de rotación del centroide (g) de la elipse: Lc = 2 . π . R; Lc = 2 . π . 10; Lc = 62,8 cm El volumen del sólido de revolución, aplicando el segundo teorema de Pappus-Guldin, es: V = Ag . LC ; V = 18,85 . 62,6 ; V = 1183,75 cm3 El centroide de una elipse se encuentra en el punto en que se cortan sus dos semiejes. 182 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
CILINDRO Sean dos circunferencias de igual radio y en dos planos paralelos ∝ y 𝛽, unidas por segmentos paralelos al eje del cilindro
ELEMENTOS DEL CILINDRO •
• • • • • •
Bases: superficies planas, iguales y paralelas. En el caso del cilindro recto de revolución son círculos. En el caso del cilindro oblicuo, son elipses, si la superficie lateral es una superficie lateral de revolución. Si en un cilindro oblicuo, sus bases son círculos, su sección recta será una elipse. Superficie lateral: cara lateral curva. Si el cilindro es recto, su desarrollo es un rectángulo. Eje: eje de rotación perteneciente al mismo plano que la generatriz. En un cilindro recto de revolución, coincide con uno de los lados del rectángulo que lo genera. Sección recta: superficie que se forma al cortar un plano al cilindro perpendicularmente a su eje. Radio: en un cilindro circular recto, es el radio de sus bases. Altura: distancia mínima entre los planos de las dos bases. Superficie generatriz (Ag): en el cilindro recto de revolución, es el rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus lados, que es el eje de rotación y también la altura del cilindro. El lado paralelo opuesto es la generatriz (g) de la superficie cilíndrica de revolución. Los otros dos lados del rectángulo son los radios de las dos bases.
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
TIPOS DE CILINDROS •
Cilindro recto: El eje de rotación es perpendicular a las bases. Si las bases son círculos, es un cilindro recto circular. El cilindro recto circular también puede definirse como el sólido de revolución que se forma cuando un rectángulo (superficie generatriz Sg) gira 360° sobre uno de sus lados coincidente con el eje de rotación.
•
Cilindro oblicuo de base elíptica: El ángulo entre el eje y las bases no es un ángulo recto. La superficie lateral es una superficie cilíndrica de revolución, la sección recta (perpendicular) al eje es un círculo y las bases son elipses.
•
Cilindro oblicuo de base circular: El ángulo entre el eje y las bases no es un ángulo recto. La sección recta (perpendicular) al eje es una elipse y las bases son círculos. En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se denomina superficie cilíndrica de no revolución en la que no existe un eje que equidiste de las posiciones de la generatriz.
CALCULO DEL AREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO: PERÍMETRO: P= 2 𝜋R2 AREA LATERAL:
AREA TOTAL:
VOLUMEN:
AL = P x h
AT= AL+2Ab
V = Ab x h
AL = 2. 𝜋 .R . h
AT= 2. 𝜋 . R . h + 2. 𝜋. R2
V= 𝜋R2.h
AREA DE LAS BASES
AT=2. 𝜋 . R ( h + R)
AB = π x R² 184 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ TRONCO DE CILINDRO (O CILINDRO TRUNCADO) El tronco de cilindro (o cilindro truncado) es el sólido limitado por una cara lateral cilíndrica y dos bases planas no paralelas.
• TRONCO DE CILINDRO RECTO En el tronco de cilindro recto (o cilindro truncado recto), el eje es perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral fuese una superficie cilíndrica circular, la base inferior sería un círculo. La base superior, elíptica El área lateral (AL) se determina con: 𝐴𝐿 = 2 . 𝜋 . 𝑅 . 𝐸 Donde E es el eje, que es una línea recta que une los centros de las bases. La medida del eje es la media aritmética entre la generatriz mayor, gM y la generatriz menor, gm: E=
gM + gm 2
El área total (AT)es: 𝐴 𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵𝐼 + 𝐴𝐵𝑆 Donde: ABS el área de la base superior y ABI el área de la base inferior.
• TRONCO DE CILINDRO OBLICUO En el tronco de cilindro oblicuo (o cilindro truncado oblicuo), el eje no es perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral es una superficie cilíndrica circular, la sección recta es circular. Las bases son en este caso son siempre elípticas. Tanto en el cono truncado recto como en el tronco de cono oblicuo, tenemos los siguientes elementos: gM es la generatriz mayor. gm es la generatriz menor. E es el eje o distancia entre los centros de las bases y se cumple que: E =
gM + gm 2
El área total (AT ) del cilindro truncado oblicuo o tronco de cilindro es: 𝐴 𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵𝐼 + 𝐴𝐵𝑆 El volumen del tronco de cilindro (o cilindro truncado) está dado por: V=
𝜋 . 𝑅2 (GM + GM) 2
;
V = π . R2 . E
donde R es el radio de la sección recta circular. 185 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS 1. Encontrar el área lateral, total y volumen de un tanque de agua que tiene de radio de la base 80cm, h=120 cm.
DATOS:
Resolución:
r=o, 80 m h=1,20 m
AL= 2𝜋.R.h; AL= 2𝜋(0,80 m) (1,20m); AL= 6,03 m2
V= 𝜋R2h; V= 𝜋(0.8 m)2(1,20m); V=2,41 m3 AT= AL+2Ab; AT=6,03+2[ 𝜋(0,80 m)2]; AT= 10,65 m2
2. Un prisma dodecagonal regular tiene de la base 4cm y h=10 cm, si el prisma se inscribe en un cilindro determinar la diferencia de volúmenes y comparar el volumen del cilindro con respecto al prisma DATOS:
RESOLUCIÓN:
n= 12 lados
Pb= n (l)
l= 4cm h= 10 cm
VP= Ab.h
Pb= 12(4 cm) P b= 48 cm
𝑃.𝑎𝑝 xh 2 48𝑐𝑚(7,46 𝑐𝑚) VP= 2
VP=
VP=1790,4 cm 𝐶𝑂 ; 𝐶𝐴 𝐴𝑝 = ; 2
x 10 cm
3
INCÓGINITAS:
Tan 75° =
Vp= 1,79 x 10-3 m3
Vp=?
Tan 75°
Vc=Ab.h
Vc=?
ap= 2tan75° ap= 7,46 cm
R = √22 + 7,462 R = 7,72 cm
Vc= 𝜋R2.h Vc= 1872,33 cm3 Vc= 1,87 x 10-3 m3 Dv= Vc - Vp Dv=1872,33 cm3-1790,4 cm3 Dv=81, 93 cm3
3. Si el volumen de un cilindro es 6 280 cm 3 y el radio de la base es 10 cm, encontrar la altura del cilindro. ( Usar = 3,14) V= 𝜋R2.h 6 280 cm3 = 𝜋(10 cm)2.h 6 280 cm3/ 100 cm2 𝜋= h h=197, 29 cm
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 4. Se vende café en dos tipos de recipientes cilíndricos, el más alto tiene el doble de altura que el otro, pero su diámetro es la mitad del diámetro del más bajo. El más alto cuesta $80 y el más bajo $120, ¿Cuál es más económico?
Resulta más económico el café de recipiente más alto, al tener el doble de altura que el pequeño, a pesar de tener la mitad del radio
5. Un cubo cilíndrico de 10,5 cm de altura cuya base mide 7 cm de radio está lleno de agua. Se lo inclina para vaciar la mitad de su contenido. Determinar cuánto miden los dos ejes de la elipse que forma la superficie del agua. El eje mayor es: x = √142 + 10,52 ; x = 17,5 cm El eje menor mide es igual al diámetro del cubo: 14 cm
6. En un paralelogramo ABCD la m∡A = 1350, AB = 4 m y AD = 8 m. Determinar el volumen del sólido generado por el paralelogramo cuando gira sobre BC. El volumen solicitado constituye el volumen de un cilindro generado por la región rectangular AMND. V = π . (2√2)2 . 8 ; V = 201,06 m3
7. Determinar el volumen del tronco de cilindro circular recto, si OA = 4 m. (0 :centro) Se determina el eje. E=
10+6 ; 2
E= 8m
Del grafico se determina que: R = 2√3 Por tanto: V = π . R2 . E ; V = π . (2√3)2 . 8 ; V = 301,59 m3 187 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
CONOS Sea un punto “ p ” que está en el plano α y se une con todos los puntos de una circunferencia en el plano β, el punto, los segmentos y las circunferencias con su interior se llama cono. La generatriz (g) de un cono recto es el segmento que une el vértice con el punto de la circunferencia.
P
α
P
g h
h
β
CONO RECTO
CONO OBLICUO
ELEMENTOS DEL CONO: • • • • •
Base (B): es la cara plana inferior del cono, que en el caso del cono circular recto, es un círculo cuyo radio es uno de los catetos del triángulo generador. Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide. Vértice (V): punto donde confluyen las infinitas generatrices. Generatriz (g): Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la superficie cónica de revolución. Superficie generatriz (Ag):en el cono recto de revolución, es el triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz (g).
TIPOS DE CONO: •
Conos rectos (o conos de revolución): La superficie curva es una superficie cónica de revolución.
•
Cono oblicuo de base elíptica: La altura no pasa por el centro de la base y por el vértice. Si su cara lateral es una superficie cónica de revolución, su sección recta es un círculo. Cono oblicuo de base circular: La altura no pasa por el centro de la base y por el vértice. La sección recta, perpendicular a la recta que une el vértice con el centro de la base, recta al eje es una elipse.
•
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se denomina superficie cónica de no revolución en la que no existe una recta que tenga un ángulo constante con las posiciones de la generatriz.
ÁREA DEL CONO AREA LATERAL
AREA TOTAL
VOLUMEN
AL = ½ (g x P)
AT = AL + Ab
V = 1/3 (π . R² . h)
AL = g . π . R
AT = g . π . R + π . R2 AT = π . R (g + R)
TRONCO DE CONO: El tronco de cono o cono truncado es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.
g = √h2 + (R − r )2 AL = Π( R + r ) g AT = Π( g(R + r) + R2 + r2 ) V = 1/3 Π . h. (R2 + r2 + R . r )
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Encontrar el área lateral y volumen de un cono si el diámetro de la base el 6cm y su altura 4cm. º AL = g. π. R
g 2 = 42 + 32
AL = g. π. R
AT = AL + AB
g = √(16 + 9)
AL = (5)(π)(3)
AT = (5)(π)(3) + (π)(3)2
AL = 47,12 cm2
g = 5 cm 1 3
AT = 24π ; AT = 75,40 𝑐𝑚2
1 3
V = (Ab)(h) ; V = ( ) (π)(R)2 (h) 1 3
V = ( ) (π)(3)2 (4) ; V = 12π ; V = 37,30cm3 2. Calcular el volumen del siguiente cono oblicuo 1 3
𝑉 = 𝐴𝑏. ℎ 1 3
𝑉 = (𝜋)(𝑅 2 )(ℎ) 1 3
𝑉 = (𝜋)(102 )(15) 𝑉 = 200𝜋 𝑐𝑚3 𝑉 = 1570,79 𝑐𝑚3 3. Encontrar el volumen del tronco de cono de la figura si. ∆OAB ≈ ∆CAD
DATOS OA=OB=10 cm b=5cm
OA CA
=
AB AD
10 5
=
10 R2
=
(A, A)
OB CD
R2 = 5cm
h2=5cm ,h1= 10cm ENCONTRAR Vtc=?
Vtc = V∆R1 − V∆R2 1
1
3
3
Vtc = Ab. h1 − Ab. h2 1 3
1 3
1 3
1 3
Vtc = π(R1)2 (h1) − π(R2)2 (h2) Vtc = π(10)2 (10) − π(5)2 5 Vtc = 916,29 cm3 4. El área lateral de un cono recto es 135 Π 𝑚2 y la generatriz es de 15 m hallar la altura del cono. AL g.π
;
R=
135π 15π
AL = g. π. R ;
R=
;
R = 9m
g 2 = h2 + R2 ;
h = √g 2 − R2 ; h = √152 − 92 ; h = 12m
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 5. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm g = √102 + (6 − 2 )2 ; g = 10,77 cm AL = 270,69 cm2
AL = Π( 6 + 2 )10,77 ;
AT = 270,69 cm2 + Π 22 + Π 62 = 396,35 cm2 V = 1/3 Π . 10 (62 + 22 + 6 . 2 ) ; V = 544,54 cm3
ESFERA Es el conjunto de todos los puntos P, en el espacio para los cuales OP es igual a “ R ” donde “O” es el punto fijo llamado el centro y R es un número real llamado radio. La intersección de una esfera con un plano que pasa por su centro se llama circunferencia máxima. El área de una esfera es: A = 4 . π . R²
El volumen de una esfera es: 4
V = πR3 3
p
O
La esfera es el sólido que con menos superficie, pero tiene más volumen ELEMENTOS DE UNA ESFERA • • • • •
•
Centro: es el punto del que equidistan todos los puntos de la superficie de la esfera (O). Radio: distancia desde el centro a cualquiera de sus puntos (R). Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la superficie esférica. Diámetro: Una cuerda que pasa por el centro de la esfera (D). Su longitud es dos veces el radio. Eje: línea sobre la que gira el semicírculo generador (o sobre la que gira la semicircunferencia generadora, desde el punto de vista de la superficie esférica). Polos: Los dos puntos en que el eje pasa por la 191
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
• • •
superficie esférica (P1 y P2). Meridianos: circunferencias en la superficie esférica resultantes del corte de cualquier plano que pase por el eje. De otra manera, planos que pasan por los dos polos. Paralelos: circunferencias resultantes en la superficie esférica del corte de los planos perpendiculares al eje. Ecuador: el paralelo de máxima longitud. Corta al eje en el centro.
CASQUETE ESFÉRICO DE UNA BASE Los casquetes esféricos son las dos partes de la superficie de la esfera resultantes de su intersección con un plano son casquetes esféricos. Si el plano no pasa por el centro se generará un casquete mayor y uno menor. El círculo resultante, de radio a, de la intersección del plano con la esfera sería la base del casquete esférico. El sólido, parte de la esfera comprendida dentro de un casquete esférico, se denomina segmento esférico.
Si h es la altura del casquete. El área del casquete esférico es: Área = 2. Π. R . h ; Área = π (a2 + h2) El radio de la base del casquete esférico a, la altura del casquete h y el radio R de la esfera a la que pertenecen, se relacionan con esta fórmula que se obtiene del teorema de Pitágoras: 𝑅=
𝑎2 + ℎ2 2ℎ
EJERCICIOS RESUELTOS. 1. El radio terrestre es aproximadamente de 6370 km. Encontrar el aria y el volumen de la tierra y la longitud de la línea ecuatorial 4 3
AT = 4π(6370000)2
V = π(6370000)3
AT = 5,09x1014 m2
V = 1,08x1021 m3
RE = 2πR ; RE = 2π(6370000) ; RE = 40023890,41 m
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 2. Encontrar el área y el volumen del planeta Marte, si el radio es aproximadamente 3300 km Datos
Gráfico
Solución
A=?
A = 4πR2
v=?
A = 4π33002
R=3300 km
A = 136847776 km2 4 V = πR3 3 4 V = π33003 3 V = 1.0525 ∗ 1011 km2
3. El área de una esfera de 476𝑚2 .¿Cual es el área del círculo máximo de la esfera? Datos
Gráfico
Solución 𝐴 = 4𝜋𝑅2
A=476𝑚2 Aomax=?
𝑅=√
𝐴𝑜 4𝜋
𝑅=√
476 4𝜋
𝑅 = 6.15𝑚 𝐴𝑜𝑚𝑎𝑥 = 𝜋𝑅2 𝐴𝑜𝑚𝑎𝑥 = 𝜋6.152 𝐴𝑜𝑚𝑎𝑥 = 119𝑚2
4.
Encontrar el radio de una esfera la cual tiene un área igual a la suma de las áreas de 4 esferas de radio 5 cm. Datos
Solución
R=?
𝐴01 = 4𝜋𝑅2
A0 = 4A0(r = 5cm)
𝐴01 = 4𝜋 ∗ 52 𝐴01 = 100𝜋 𝐴0 = 4𝜋𝑅2 𝑅 = √𝐴𝜃/4𝜋 𝑅 = 10 𝑐𝑚 𝐴0 = 4(𝐴01) 𝐴0 = 4(100𝜋) 𝐴0 = 400𝜋
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UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Dibuja el cuerpo geométrico que se genera al hacer girar, en cada caso, la cartulina alrededor del palillo.
2. Observar los siguientes prismas:
A) Qué tipo de prisma es cada uno? B) Indicar cuáles son regulares. C) Dibujar el desarrollo plano del prisma A. 3. La altura de un prisma recto es de 20 cm. Sus bases son trapecios rectángulos tales que las bases del trapecio miden 11 cm y 16 cm, y la altura, 12 cm. Determinar el área lateral, total y el volumen del prisma 4. Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Determinar el área total y la longitud de la diagonal. 5. Determinar el área lateral, total y el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm. 6. La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 26,4 dm. Halla su área lateral, total y el volumen. 7. Determinar el volumen de un cilindro truncado cuya sección recta tiene un radio de 2 cm, su generatriz máxima mide 5 cm y su generatriz mínima 3 cm. 8. Determinar por dónde hay que cortar este octaedro regular para obtener: A) Un cuadrado. B) El cuadrado más grande posible. C) Un trapecio. D) Un hexágono. E) Un pentágono. 194 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________
9. Cortando un cubo de esta forma se obtiene un hexágono regular. A) ¿Cuánto mide el lado? ¿Y la apotema? B) Calcular su área. C)¿Qué volumen tiene cada una de las partes en que queda dividido?
10. Cortando un tetraedro regular de este modo, se obtiene un cuadrado. No es nada difícil calcular su área. Determinar el área total de cada uno de los dos cuerpos que quedan.
11. Determinar la cantidad de latón que se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de 0,6 m de radio de la base y 1,8 m de altura. 12. Se necesita impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un depósito cilíndrico abierto por arriba. El radio de su base mide 4 m, y la altura, 5 m. Si cuesta 18 dólares impermeabilizar 1 m2, Calcular cuál es el coste de toda la obra. 13. Dibujar los conos que se obtienen al hacer girar este triángulo rectángulo: A) Alrededor de AC. B) Alrededor de BC. C) Determinar el área lateral, total y volumen de ambos. D) Comparar los resultados obtenidos. 14. El cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es cortado por un plano perpendicular a su eje que pasa a 4 cm de la base. Determinar las dimensiones, el área lateral, el área total del tronco y el volumen del cono que se forma. 15. Calcular el área y el volumen de un cono truncado, con las siguientes medidas: radio de las bases, 10 cm y 15 cm; generatriz, 13 cm. 16. En un jardín hay 32 macetas con forma de tronco de cono. Los radios de sus bases miden 14 cm y 20 cm, respectivamente, y su generatriz, 38 cm. Determinar cuánto cuesta pintarlos (solo la parte exterior) a razón de 40 dólares por metro cuadrado. 17. En una esfera terrestre escolar de 20 cm de radio están señaladas las zonas climáticas. Se sabe que cada casquete polar tiene 2 cm de altura, y cada zona templada, 10 cm de altura. Determinar la superficie de cada zona climática.
195 _________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina
UNIDAD 4 Cuerpos Geométricos ____________________________________________________________________________________ 18. Se ha caído un balón de fútbol en un recipiente lleno de pintura verde. Se conoce que la superficie del balón es de 6 079 cm2. Si se ha hundido unos 15 cm en la pintura, determinar qué proporción de balón se ha manchado de verde. 19. Una esfera de 12 cm de diámetro se corta por un plano obteniendo una sección circular cuya superficie es 72,3456 cm2. Determinar la distancia del plano al centro de la esfera. 20. Calcular el área total de un prisma recto de 15 cm de altura cuyas bases son rombos cuyas diagonales miden 16 cm y 12 cm. 21. Las bases de un tronco de pirámide regular son cuadrados de 10 cm y 20 cm de lado, respectivamente. Las aristas laterales miden 13 cm. Determinar el área total. 22. Calcula las superficies del casquete esférico de 2 dm de altura y de una zona esférica de 4 dm de altura contenidos en una esfera de 10 dm de diámetro. 23. Marcos ha cortado una sandía de 15 cm de radio. La zona roja comestible ocupa una superficie de unos 407 cm2 que corresponde al 90 % de la sección. Determinar a qué altura se ha cortado la sandía. 24. Aníbal quiere forrar un cubo de 4 cm de arista con láminas de oro a 5 dólares /cm2. Determinar Cuánto le costará. Finalmente, ha decidido cortarlo para hacer dos pisapapeles iguales, pero no sabe de qué forma hacerlo de manera que al forrarlo le salga más barato: como indica la figura I o como indica la II. Cuál es la opción más barata.
25. Determinar el volumen de un tronco de cilindro de revolución sabiendo que se puede inscribir una esfera y quela generatriz mayor mide 6m y la menor 2m.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. Calvache, Otros. (2009). Geometría Plana y del espacio. Ed. Universitaria. Ecuador 2. Calvache, Leon. (2016). Geometría Plana, del espacio y analítica. Ed. Universitaria. Quito, Ecuador 3. Rich, B. (1991). Geometría (2a. ed.). México, D.F., MX: McGraw-Hill Interamericana 4. Obanaga, Otros (1998)Algebra y Geometría. Editorial Pime. Colombia. 5.
Meneses O. (1995) http://eltriangulink.blogspot.com/2012/08/primeros-geometras-griegos.html
6.
Bernat R. (2021) https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cuerpos-geometricos/
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