Geometría plana 1ra Edición

Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educacion Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matematica y Física

GEOMETRÍA PLANA MSc. Franklin Molina J.

UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________

GEOMETRÍA PLANA BREVE RESEÑA HISTORICA DE LA GEOMETRIA. La palabra geometría deriva del griego y significa medida de la tierra (de geos = tierra y metrein = medir). Los orígenes de esta ciencia se remontan a los asirios, los babilonios y los egipcios, si bien fue más tarde, en la antigua Grecia, cuando la geometría se desarrolló como una ciencia racional. En el siglo VI AC, los principales protagonistas de dicho desarrollo fueron indudablemente Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides. Éste último se encargó de organizar los resultados matemáticos de sus predecesores y de escribir sus demostraciones de manera breve y clara. Simplificados de esta forma, dichos resultados están contenidos en su obra maestra Los Elementos, constituida de trece libros, en donde se describe y demuestra una gran porción de lo que se sabe acerca de las líneas, los puntos, los círculos y las formas sólidas elementales. Toda esta información la dedujo Euclides, de manera rigurosa y lógica, a partir de diez simples premisas: cinco axiomas y cinco postulados. Los cinco postulados de Euclides son: 1. Por dos puntos cualesquiera pasa una línea recta.

2. Cualquier parte de una línea recta puede ser prolongada, obteniéndose una parte de la misma línea recta.

3. Dados un punto y una distancia se puede trazar un círculo.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Por un punto exterior a una línea recta pasa una y solamente una paralela (el postulado de las paralelas).

Al negar el quinto postulado de Euclides, aceptando los demás, surgen así las llamadas geometrías no euclidianas: la de Riemann y la de Lobachevski.

Actualmente se define a la geometría, como la ciencia de las formas espaciales del mundo material, que se basa en un conjunto de proposiciones, que estudia la forma, propiedades y medida de la las figuras y cuerpos geométricos; entendiéndose por proposición el enunciado de una ley o principio.

IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA GEOMETRIA La geometría es una de las grandes realizaciones de la mente humana, ya que más de 2 000 años el hombre ha considerado necesario su estudio en el proceso educativo de este, debido a que su estudio ayuda a que las personas sean más cuidadosas y exactas en sus actividades.

Todo ser humano en cualquier tipo de ocupación tiene en alguna ocasión la necesidad de recurrir a la geometría y en algunos campos de estudio esta ciencia es importante en el quehacer profesional, tales como la física, la matemática, la química, la ingeniería, la estadística, en la geología, en la economía, la psicología, debido a que es eminentemente práctica.

Gracias al estudio de la geometría se puede tener el conocimiento necesario para poder penetrar profundamente en los detalles y complejidades maravillosas de nuestro universo.

Vivimos en un mundo llamado de la era del conocimiento y de la información y a pesar que una persona no estudie una carrera científica, es necesario que tenga algún conocimiento científico y el estudio de la geometría permite tener alguna comprensión básica del mundo que nos rodea.

La tarea esencial del estudio de la geometría es el de permitir que los estudiantes aprendan a razonar lógicamente, argumentar sus afirmaciones y demostrarlas, además de comprobar las proposiciones por razonamiento deductivo o inductivo, analizando un problema en términos de los

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ datos que se ven, las leyes y principios que pueden aceptarse como verdaderos mediante una reflexiĂłn cuidadosa, lĂłgica y exacta, para seleccionar una soluciĂłn del problema.

La geometrĂ­a plana se encarga del estudio de las figuras geomĂŠtricas que la definimos como el conjunto de puntos unidos que forman un lugar geomĂŠtrico, como un punto, una lĂ­nea, un cĂ­rculo, un polĂ­gono, etc. Las figuras geomĂŠtricas tienen cero, una o dos dimensiones. Las figuras de tres dimensiones son consideradas cuerpos geomĂŠtricos.

TERMINOS NO DEFINIDOS En nuestro idioma existen palabras que son difĂ­ciles de definir y se las describe en tĂŠrminos de otras palabras igualmente no definidas; tales definiciones se llaman tautologĂ­as. Muchas palabras no se pueden definir sin caer en un proceso cĂ­clico y siempre empezaremos con uno o mĂĄs tĂŠrminos que no estĂĄn definidos.

Al usar un tĂŠrmino no definido, se sobrentiende que la palabra es tan elemental que todos conocen su significado, puesto que no hay palabra mĂĄs sencilla para definir el tĂŠrmino. La geometrĂ­a usa los siguientes tĂŠrminos no definidos: punto, recta, plano y espacio.

1. PUNTO: Se lo puede considerar como la huella dejada por la punta de un lĂĄpiz, no tiene dimensiĂłn (tamaĂąo) y no tiene posiciĂłn (o lugar definido). Otra forma de definirlo tambiĂŠn es: Un punto es la intercepciĂłn de dos rectas, sin embargo aĂşn no se define que es una recta. .A

se lee:

Punto A

2. RECTA: SucesiĂłn infinita de puntos que siguen una misma direcciĂłn. El significado de Infinito, se lo da con puntas de flechas o saetas en los extremos de la figura.

A

B

âƒĄđ??´đ??ľ

se lee:

Recta AB

3. PLANO: Conjunto infinito de puntos que se lo representa en dos dimensiones (largo y ancho). El plano

no tiene lĂ­mite y solamente podemos representar una parte de ĂŠl, se lo puede representar por una hoja de papel, la superficie de una mesa, de una pared.

se lee: Plano Îą Îą

Îą

El plano debe ser nombrado utilizando las letras del alfabeto griego por ejemplo:

Letras del alfabeto griego

Îą â„Ś Ć? Ć&#x; ɸ Π‌‌etc.

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 4. ESPACIO: Se puede definir como el conjunto infinito de puntos representado con tres dimensiones (largo, ancho y espesor) “tridimensionalâ€? , cualquier subconjunto del espacio se considera como una figura geomĂŠtrica. Frecuentemente se representa utilizando a un sĂłlido geomĂŠtrico asĂ­: -3 dimensiones (Largo, ancho y espesor) Îą

-El espacio NO estĂĄ limitado por planos

5. SOLIDO Un sĂłlido es un espacio limitado cualquiera con tres dimensiones.

POSICIĂ“N RELATIVA ENTRE PUNTO - RECTA, PUNTO - PLANO 1. PUNTOS COLINEALES: Son todos los puntos que son elementos de una recta.

P

M

E

âƒĄ M Ďľ đ?‘ƒđ?‘„

Q

El punto M es elemento de la recta PQ.

2. PUNTOS NO COLINEALES: Son todos los puntos que no son elementos de una recta.

P

M

E

M ∉ âƒĄđ?‘ƒđ?‘„

Q

El punto M no es elemento de la recta PQ.

3. PUNTOS COPLANARES Son todos los puntos que son elementos o pertenecen a un plano. .A

.P .B

á˝°

. A, B, C

Ďľ plano Îą

.C

La intersecciĂłn de dos planos forma una recta. .B âˆ?

.A C

. A Ďľ plano Îą

. B Ďľ plano đ?›˝

. A ∉ plano đ?›˝

. B ∉ plano Îą

.C

Ďľ plano Îą y

đ?›˝

đ?›˝ 4. PUNTOS NO COPLANARES: Son los puntos que no son elementos o no pertenecen a un plano. .x

.A X, A, C ∉ Plano đ?›ź

.B Îą

.C

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ EJERCICICIOS PROPUESTOS 1. Contestar las siguientes preguntas de acuerdo a la figura:

B

E

1.1. Los puntos A, C y ___ son colineales.

1.2. Los puntos A, D, C y ___ son coplanarios.

1.3. Escribir otra forma de nombrar BE. 1.4. Los puntos C, D, B y ___ son no coplanarios.

1.5. Los puntos A, D y ___ son no colineales.

1.6. Escribir otra forma de nombrar la recta m.

1.7. Nombrar tres puntos que sean coplanarios y colineales.

2.

Contestar las siguientes preguntas de acuerdo a la figura: 2.1. Nombrar tres puntos colineales. đ?’Ľ

F E B

đ?’Ś

G

2.2. Nombrar cuatro puntos coplanarios.

2.3. Nombrar cuatro puntos no coplanarios.

2.4. đ??´đ??ľ ∊ đ??šđ??ˇ = ?

2.5. đ?’Ľ ∊ đ?’Ś = ?

3. Hacer una figura en cada caso que ilustre los siguientes enunciados: 3.1. El punto P estĂĄ comprendido en dos rectas.

3.2. Los puntos A, Q y S son coplanarios.

3.3. El punto M no estĂĄ contenido en la recta.

3.4. La recta t contiene los puntos Q, R, pero no contiene los puntos P, S. 3.5. El plano đ?’Ś contiene los puntos A, B, C, pero no contiene el punto D. 3.6. Los puntos Q y R estĂĄn contenidos en la intersecciĂłn de đ?’Ľ đ?‘Ś đ?’Ś

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 4. Contestar las siguientes preguntas de acuerdo a la figura:: E

đ?’Ś C

A F

B

4.1. ÂżCuĂĄntas rectas contienen a los puntos A y E? ÂżPor quĂŠ?

4.2. Enumerar tres puntos que determinen el plano đ?’Ś 4.3. ÂżPueden los puntos A y C estar contenidos en la intersecciĂłn de AC y AB? ÂżPor quĂŠ?

4.4. ÂżPor quĂŠ los puntos B, C y E determinan un plano?

4.5. ÂżEstĂĄ FC contenida en el plano đ?’Ś? ÂżPor quĂŠ?

4.6. ÂżPor quĂŠ AD y CD tienen un solo punto en comĂşn?

5. Completar cada una de las siguientes proposiciones, usando las palabras punto, recta, plano o espacio: 5.1. Dos puntos estĂĄn contenidos en una y solo una ________.

5.2. Si dos planos se cortan, su intersecciĂłn es una ________.

5.3. Tres puntos no colineales estĂĄn contenidos exactamente en un ________.

5.4. Al menos cuatro puntos no coplanarios y donde cada tres de ellos no son colineales, estĂĄn contenidos en __________.

5.5. Si dos rectas se cortan, entonces estĂĄn contenidas en un mismo _________.

5.6. La recta j y el punto W, donde đ?‘Š ∉ đ?‘—, estĂĄn contenidos en un y solo un __________.

5.7. Un ___________ contiene al menos tres puntos no colineales.

5.8. Si dos rectas se cortan su intersecciĂłn contiene un y solo un ______________.

6. Completar cada proposiciĂłn usando las palabras: siempre, algunas veces o nunca, segĂşn corresponda: 6.1. Dos puntos son _______ colineales.

6.2. Una recta y un punto que no pertenece a la recta son _________ coplanarios.

6.3. Tres puntos no colineales son _________ coplanarios.

6.4. Tres puntos son _________ colineales.

6.5Dos rectas que se cortan estĂĄn ______ contenidos en un plano.

6.6. Tres puntos colineales ___________ estĂĄn contenidos en un Ăşnico plano.

6.7. La intersecciĂłn de una recta y un plano es ________ un plano.

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ POSICIĂ“N RELATIVA DE LA RECTA EN UN PLANO 1. RECTAS PARALELAS (âˆĽ).Son las rectas que no se intersecan (unen o se cruzan).

TambiĂŠn se puede afirmar que dos rectas son paralelas, si su intersecciĂłn es el conjunto vacĂ­o.

GrĂĄficamente se las representa: A B

Q

P

A

B

P

Q

âƒĄ âˆĽ đ?‘ƒđ?‘„ âƒĄ Forma simbĂłlica: đ??´đ??ľ se lee: recta AB paralela a la recta PQ

2. RECTA SECANTES. Dos rectas son secantes si y solo si su intersecciĂłn es un punto.

S

N âƒĄ âƒĄ son secantes; W punto de intersecciĂłn đ?‘€đ?‘ áśş đ?‘†đ?‘‡

W M

T

se lee: recta MN secant a la recta ST

s T

âƒĄ âƒĄ son secantes; W punto de intersecciĂłn đ?‘€đ?‘ áśş đ?‘†đ?‘‡

W

N M

3. RECTAS PERPENDICULARES (⊼).

Son dos rectas que se intersecan formando un ĂĄngulo de 90Ëš C A

B

Forma SimbĂłlica:

âƒĄđ??´đ??ľ ⊼ âƒĄđ?‘ƒđ?‘„

Se lee: recta AB perpendicular a la recta PQ D FIGURAS GEOMETRICAS ELEMENTALES. 1. SEGMENTO (AB) Es la figura geomĂŠtrica de puntos colineales cuyos elementos son los puntos A y B y todos los puntos entre A y B. Los puntos A y B se llaman extremos.

REPRESENTACIĂ“N GRĂ FICA Y DENOMINACIĂ“N A

B

AB Se lee: segmento AB

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 2. SEGMENTO ABIERTO (AB) Es la figura geométrica de puntos colineales, cuyos elementos están comprendidos entre los puntos A y B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN A

B

AB Se lee: segmento abierto AB

3. SEGMENTO SEMIABIERTO ( AB o AB ) Es la figura geométrica de puntos colineales, cuyos elementos están comprendidos entre los puntos A y B incluyendo ya sea el punto A o el punto B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN A

B

A

Se lee: segmento semiabierto en B: (AB)

B

Se lee: segmento semiabierto en A: (AB)

4. SEMIRECTA ( AB ) Es la figura geometrica de puntos colineales, cuyos elementos están al mismo lado de A y B excluyendo A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN

A

B

AB Se lee: semirecta AB

5. RAYO ( AB ) En la figura geométrica de puntos colineales, cuyos elementos están al mismo lado de A y B incluyendo A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN A

B

AB Se lee: rayo AB

A es el origen y B indica la dirección.

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES 1. PROPOSICIĂ“N Es el enunciado de una verdad, de un principio, de una propiedad.

Las proposiciones mĂĄs comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

2. AXIOMA Es la proposiciĂłn que siendo evidente, no requiere demostraciĂłn. Es el resultado de la observaciĂłn o experimentaciĂłn: los axiomas son propiedades que se puede utilizar en cualquier asignatura.

Generalmente se clasifican en: AXIOMAS DE LA IGUALDAD (=) 1. Axioma Reflexivo (=) ∀a Đ„ R ; a=a AB=BA 2=2 2. Axioma SimĂŠtrico (=) ∀a y b Đ„ R ; a=b → b=a AB=CD → CD=AB 9= 6+3 →6+3=9 3. Axioma Transitivo (=) ∀ a,b,c Đ„ R ; a=b ∧ b=c →a=c AB=CD ∧ CD=PQ → AB= PQ √25= 5 ∧ 5=3+2 → √25= 3+2 4. Axioma Aditivo (=) ∀ a,b,c Đ„ R ; a=b ∧ c =c →a + c =b +c đ?‘Ž=đ?‘? đ?‘?=đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘?=đ?‘?+đ?‘?

7 = 5+2 −10 = −10 −3 = −3 5. Axioma Multiplicativo (=) ∀ a,b,c Đ„ R ; a=b ∧ c = c →a. c =b. c đ?‘Ž=đ?‘? đ?‘?=đ??ś đ?‘Ž. đ?‘? = đ?‘?. đ?‘?

7 =5+2 −10 = −10 −70 = −70

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ AXIOMAS DE LA SUMA (+) 1. Axioma Clausurativo (+) ∀a,b,c Є R ; a+b=c AB+BC = AC 7+3= 10 2. Axioma Conmutativo (+) ∀ a,b,c Є R ; a+b=b + a AB+BC = BC+AB 7+8= 8+7 3. Axioma Asociativo (+) ∀ a,b,c Є R ; a+b+c= a+(b+c) = (a+b) +c AB+BC+CD = AB+(BC+CD) = (AB+BC)+CD 7+1+3 = 7+(3+1) = (7+3) +1 4. Axioma Modulativo (+) ∀ a ЄR ; ∃! 0Є R ; a + 0 = 0 + a = a ; El 0 es el módulo en la suma.

-7 + 0 = 0 +(-7) = -7 AB + 0 = 0 + AB = AB 5. Axioma invertivo (+) ∀ a ЄR ; ∃ -a Є R ; a+(-a) = 0 El inverso aditivo de 7 es - 7 entonces 7+ (-7) =0 El inverso aditivo de AB es -AB entonces AB + (-AB) = 0 AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN (x) 1. Axioma Clausurativo (x) ∀ a,b,c Є R ; a.b=c AB.BC = AC 7.3= 21 2. Axioma Conmutativo (x) ∀ a,b,cЄ R ; a.b=b.a AB.BC = BC.AB 7.8= 8.7 3. Axioma Asociativo (x) ∀ a,b,cЄ R ; a.b.c = a.(b.c) = (a.b) .c AB.BC.CD = AB.(BC.CD) = (AB.BC).CD 7.1.3 = 7.(3.1) = (7.3).1 4. Axioma Modulativo (x) ∀ a ЄR ; ∃! 1Є R; a. 1 = 1. a = a; El 1 es el módulo de la miltiplicación.

-7 .1 = 1. (-7) = -7 AB . 1 = 1 . AB = AB

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 5. Axioma Invertivo (x) 1 đ?‘Ž

∀ a Đ„R ; ∃ 1/a Đ„ R ; a. . = 1 1

1

El inverso multiplicativo de 7 es entonces 7. =1 7 7 El inverso multiplicativo de AB es 1/AB entonces AB. ( 1/AB) = 1 6. Axioma Distributivo ∀ a, b, c Đ„ R ; a( b + c) = a.b + a.c 2( AB + CD) = 2AB + 2CD 3. POSTULADOS Son proposiciones cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma, se lo acepta sin demostraciĂłn. A diferencia de los axiomas, estas son propiedades geomĂŠtricas.

1.- Por un punto pasan infinitas rectas.

L1 L2 L3

L4 2.- Una recta es un conjunto ordenado de puntos, no existe primero ni Ăşltimo. Entre dos puntos siempre existe otro.

3.-Por dos puntos pasa una sola recta y puede prolongarse indefinidamente en los dos sentidos.

A B 4.- Por tres puntos dados no colineales pasa un plano y solo uno. .A

.B

.

.C

5.-Por una recta pueden pasar infinitos Planos.

A

B

6.-La distancia mĂĄs corta entre dos puntos es el segmento que los une.

A B 7.- Una figura puede cambiar de posiciĂłn sin alterar sus dimensiones.

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 8.-Para trazar una circunferencia se necesita un centro y un radio.

R

4. TEOREMA Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez demostrado un teorema se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas, postulados, definiciones, etc.

Un teorema se compone de: hipótesis y tesis.

-

Hipótesis, son las condiciones o datos del teorema.

Tesis, es la propiedad a demostrarse.

5. COROLARIO Es una proposicion, consecuencia directa de un teorema demostrado, por tanto no hace falta demostraciòn.

6. PROBLEMA Son proposiciones que parte de ciertos datos hasta llegar a ciertos resultados, los datos pueden ser gráficos o numéricos y los resultados de igual manera pueden ser gráficos y numéricos.

RELACIÓN ENTRE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

1. CONGRUENCIA ( ≅ ): Dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y medida, al superponerlas coinciden todos sus puntos.

B

E

A

C ABC ≅

D

F

DEF

2. SEMEJANZA (≈): Dos figuras geométricas son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados respectivamente proporcionales.

DEF ≈

ABC

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________

OPERACIONES CON SEGMENTOS Las operaciones se realizan con los números que representan las longitudes de los segmentos, para poder realizar las diferentes operaciones con segmentos es necesario conocer las siguientes definiciones: 1. COORDENADA Relación que se le asigna a un punto con un número en la recta numérica.

2. RELACIÓN BIUNÍVOCA DE UN PUNTO. Significa que no pueden existir dos puntos, elementos de una recta numérica con el mismo valor numérico.

B -4 -3

C -2 -1 0 1 C= 0 ,

D

A

2 3 4

D=2

3. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

En el grafico la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.

Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas.

Podemos ver que si a es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces | a| = −a .

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________

4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: En general, el valor absoluto de la diferencia de dos nĂşmeros reales |A − B| es la distancia entre Ě…Ě…Ě…Ě… = |đ?‘Š − đ?‘¨| ellos. đ?‘¨đ?‘Š Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Šđ?‘¨ = |đ?‘¨ − đ?‘Š| 5. SEGMENTO UNITARIO Es el segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos.

6. LONGITUD DE UN SEGMENTO (AB) Es un nĂşmero que representa las veces que esta contenido el segmento unitario en el segmento AB. 7. PROPIEDADES DE UN SEGMENTO 1.1. Dados los puntos colineales A, B y C : A

B

C

Si B esta entre A y C Entonces AB + BC = AC 1.2. Dados los puntos colineales A, M y C : (DefiniciĂłn de punto medio) A M C

M es el punto medio del segmento AC , si AM = MC => AM ≅ MC A partir de las definiciones dadas se puede trabajar con las operaciones entre segmentos: 8. SUMA DE SEGMENTOS P a

b

c

Q

PQ = a + b + c 9. RESTA DE SEGMENTOS A

D

B

AB – DB = AD 10. MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO Consiste en encontrar un segmento de longitud igual al producto de la longitud del segmento dado por el número.

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ GrĂĄficamente, el segmento que representa el producto, se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el nĂşmero.

P a a a a a Q

PQ=5a

11. DIVISIĂ“N DE UN SEGMENTO POR UN NĂšMERO Es el segmento tal que dividido por el nĂşmero, nos da el segmento dado.

GrĂĄficamente, el segmento dado se debe dividir en tantas partes iguales como indica el nĂşmero.

Cualquiera de las partes iguales es el segmento buscado.

A

a

B

El segmento AB dividido para 4 se tiene: AB/4:

A

a/4

a/4

a/4

a/4

B

EJERCICIOS RESUELTOS. 1.

2.

3.

|−5| = 5 u

4.

|8 − 2| = |6| = 6 u

5.

|8 − (−4)| = |8 + 4| = 12 u

6.

|−4 − (−6)| = |−4 + 6| = 2 u Encontrar la distancia entre los puntos A y B dados, la coordenada del punto medio M de Ě…Ě…Ě…Ě…, la coordenada del punto P a los AB 3 7

2 3

Ě…Ě…Ě…Ě… de A(A-P-B), y la coordenada del punto Q a los đ??´đ??ľ

Ě…Ě…Ě…Ě… AB de B (A-B-Q)

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________

7. A = 0 y

Q â—?

B = - 6111

B â—?

M â—?

P â—?

A â—?

0

-6111 A) Ě…Ě…Ě…Ě… AB = | đ??ľ − đ??´|; Ě…Ě…Ě…Ě… AB = |−6111 − 0| ; B) M = B + BM; M = B +

Ě…Ě…Ě…Ě… AB ; 2

Ě…Ě…Ě…Ě… AB = |−6111|;

M = −6111 +

2 Ě…Ě…Ě…Ě…); P = 0 C) P = A + (-AP); P = A + (- AB 3

6111 2

;

2 (6111); 3

Ě…Ě…Ě…Ě… AB = 6111 u

M = -3055,5 P = −2037

3 Ě…Ě…Ě…Ě…); Q = -6111 - 3 (6111); Q = −8730 D) Q = B + (-BQ); Q = B + (- AB 7

7

8. A = - 105 y B = 189

A â—?

M â—?

P â—?

B â—?

Q â—?

189

-105

Ě…Ě…Ě…Ě… = |A − B|; AB Ě…Ě…Ě…Ě… = |−105 − 189|; AB Ě…Ě…Ě…Ě… = 294 u A) AB Ě…Ě…Ě…Ě… AB ; 2

294 ; 2

M = 42

2 C) P = A + AP; P = A + Ě…Ě…Ě…Ě… AB ;

P = -105 + (294);

P = 91

3 D) Q = B + BQ; Q = B + Ě…Ě…Ě…Ě… AB;

Q = 189 + (294);

B) M = A + AM;

M = A+

3

7

M = −105 + 2 3

3 7

Q = 315

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Los puntos R, S y T son distintos y colineales. En cada caso decir quĂŠ punto estĂĄ entre los dos: 1.1. RS = 7 , ST= 3 y RT =10 1.2. RS= 6, ST = 14 y TR= 8 1.3. ST=6,3 , RT = 4,7 y RS= 1,6 1.4. TR = 1,2, RS =7 y TS= 5,8

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 2. El punto B esta entre los puntos A y C. la coordenada de A es a. La coordenada de B es b.

La coordenada de C es c.

2.1. Si a = 1, b = 2 y BC = 6, encontrar c.

2.2. Si b = 7, c = 3 y AB = 4, encontrar a.

2.3. Si AB = BC, c = - 2 y b = 4, encontrar a.

2.4. Si AB = 3(BC), a = 2 y c = 10, encontrar b.

2.5. Si c = 10, a = 20 y BC = 6, encontrar b.

2.6. Si a = - 5, c = 7 y BC = 5, encontrar b.

3. Resolver los siguientes ejercicios utilizando la definición de valor absoluto.

3.1. │ 0 – ( - 5) │ 3.2. │| 3 – 8 | - | - 9 | │ 3.3. │|2 – 6 | - │| - 11 |││

3.4. │ - 2 │ - │ - 6 │ 3.5. │ 3 – 7 │- │- 5 │ 3.6. │- 8 │ + │3 – 1 │ 3.7. │2 – 5 │- │4 – 7 │ 3.8. 13 + │- 1 – 4 │- 3 - │- 8 │ 3.9. │| - 2| - | - 6 | │ 3.10. │- | - 5 |│

4. Encontrar la distancia entre los puntos S y T dados, la coordenada del punto medio M de ST, la coordenada del punto P a los 2/3 ST de S (S-P-T), y la coordenada del punto Q a los 3/7 ST de T (S -T-Q) 4.1. (-105; 189) 4.2. (21 ; 1869) 4.3. (-315; -2604) 4.4. (945; -7623) 4.5. (-133/3; 155/4) 4.6. (-476/11; -539/12)

______________________________________________________________________ 16 Geometría Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ DIVISION DE UN SEGMENTO EN FORMA ANALITICA Para poder realizar las operaciones con facilidad, de la divisiĂłn de un segmento se debe aplicar las propiedades de las proporciones, razĂłn por la cual las analizaremos.

PROPORCIONALIDAD 1. RAZĂ“N: es una relaciĂłn (/) entre dos tĂŠrminos o cantidades similares (longitudes) La razĂłn es una comparaciĂłn de una cantidad respecto de otra cantidad semejante, el resultado es un nĂşmero que no tiene unidad. đ?‘Ž đ?‘?

=a/b

2. PROPORCIĂ“N: es la igualdad de dos razones

đ?‘Ž

đ?‘?

=đ?‘‘ đ?‘?

TĂŠrminos: a y d son los extremos

b y c son los medios

a y c antecedentes

5 7

Ejemplo:

=

b y d consecuentes

255 357

3. CUARTA PROPORCIONAL: es determinar el valor del cuarto tĂŠrmino de una proporciĂłn đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?

= đ?‘‘;

đ?‘Ž

d=x

đ?‘?

=đ?‘Ľ

đ?‘?

x=

đ?‘?∗ đ?‘? đ?‘Ž

4. MEDIA PROPORCIONAL: llamada tambiĂŠn media geomĂŠtrica o proporciĂłn continua, se da cuando son iguales el primero con el tercer tĂŠrmino o el segundo con el cuarto đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?

=đ?‘‘; đ?‘?

=đ?‘‘;

đ?‘Ž

si x=c = b entonces si x=a = d entonces

đ?‘Ľ

=đ?‘‘

đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘?

se tiene đ?‘Ľ 2 = đ?‘Žđ?‘‘; x = √đ?‘Ž ∗ đ?‘‘

đ?‘?

= đ?‘Ľ ; se tiene đ?‘Ľ 2 = đ?‘?đ?‘?;

x = √đ?‘? ∗ đ?‘?

5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES A) En una proporciĂłn puede invertirse la razĂłn đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘? đ?‘‘

đ?‘? đ?‘Ž

= => =

đ?‘‘ đ?‘?

;

ejemplo:

2 3

=

8 3 => 12 2

=

12 8

B) El producto de los extremos es igual al producto de los medios đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘? đ?‘‘

= => a*d=b*c ;

ejemplo:

2 3

4 6

= => 2*6 = 4*3 => 12 = 12

C) En una proporciĂłn, a cada antecedente se le puede sumar su respectivo consecuente o viceversa đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘? đ?‘‘

= =>

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?

=

đ?‘?+đ?‘‘ đ?‘‘

đ?‘Ž đ?‘?+đ?‘Ž

=

đ?‘? đ?‘‘+đ?‘?

;

ejemplo:

2 3

=

8 12

2 3

=

8 12

=> =>

2+3 3

=

2 3+2

8+12 12

=

8 12+8

______________________________________________________________________ 17 GeometrĂ­a Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ D) En una proporciĂłn, a cada antecedente se le puede restar su respectivo consecuente y a cada consecuente se le puede restar su respectivo antecedente. đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?

đ?‘Žâˆ’đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘?

= =>

=

đ?‘?−đ?‘‘

;

đ?‘‘

2

ejemplo:

3

E) En una serie de razones iguales la suma consecuentes đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?

đ?‘’

đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘’

= đ?‘‘ = đ?‘“ ; đ?‘?+đ?‘‘+đ?‘“

;

ejemplo:

=

8 12

=>

2−3

=

3

8−12 12

de los antecedentes es a la suma de sus

1 2

=

2 4

=

4 8

=>

1+2+4 7 = 2+4 +8 14

6. DIVISIĂ“N INTERNA DE UN SEGMENTO Es localizar un punto P situado en el interior de un segmento tal que los dos segmentos estĂŠn en la relaciĂłn m/n A

P đ??´đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ľ

=

B

đ?‘š đ?‘›

7. DIVISIĂ“N EXTERNA DE UN SEGMENTO Es localizar un punto Q situado en la prolongaciĂłn de un segmento tal que los dos segmentos estĂŠn en la relaciĂłn m/n A đ??´đ?‘„ đ??ľđ?‘„

=

đ?‘š đ?‘›

;

B Si:

đ?‘š đ?‘› đ?‘š đ?‘› đ?‘š đ?‘›

Q

>1 ; Q estĂĄ a la derecha de B <1 ; Q estĂĄ a la

izquierda de A

=1 ; Q no existe

8. DIVISIĂ&#x201C;N ARMĂ&#x201C;NICA DE UN SEGMENTO. Consiste en dividir un segmento interna y externa con la misma razĂłn EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Dado un segmento AB de coordenadas, A= -159 y B = 136 encontrar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en 5 partes de igual medida: R G T V A a l a l a l a l a B -159 136 dAB = I -159 -136I ; a =

đ?&#x2018;&#x2018;đ??´đ??ľ đ?&#x2018;&#x203A;

; a=

295 ; 5

a =59 u

R=-159+59=-100

dAB = I-295 I

G=-100+59=-41

dAB = 295 u

T= - 41+59 = 18 V = 18+59 = 77 B = 77+59 = 136

______________________________________________________________________ 18 GeometrĂ­a Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 2. Dado un segmento AB de coordenadas, A = -369 y B = 391, encontrar la coordenada de un punto P que divide internamente al segmento AB en la relaciĂłn: A

P

B

AP PB

dAB = I -369 -391I ;

7 13

7 13

=

dAB = I -760 I

;

AP+PB PB

dAB = 760 u

;

AB PB

=

PB =

; P = B â&#x20AC;&#x201C; BP 7+13 13

=

; P = 391 - 494

20 13

; P = -103

760â&#x2C6;&#x2014;13 20

PB = 494 u 3.

Dado un segmento AB de coordenadas A = -117 y B = 63, encontrar las coordenadas del 37 punto Q, que divide externamente al segmento AB en la relaciĂłn: 19

A

B

-117

63

=

37 19

;

đ??´đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ??ľđ?&#x2018;&#x201E; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

=

;

đ??´đ??ľ đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

18 19

dAB = I -177 - 63 I

;

dAB = I -180 I dAB = 180 u

đ??´đ?&#x2018;&#x201E; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

=

BQ =

Q

; Q = B + BQ; Q = 63 +190 37â&#x2C6;&#x2019;19 19

; Q = 253 ; tambiĂŠn se tiene que : AQ = AB + BQ

180â&#x2C6;&#x2014;19 18

; AQ= 180 + 190; AQ = 370 u

BQ = 190 u

; Q= A + AQ ; Q = -117 + 370 ; Q = 253

4. Dado un segmento AB de coordenadas A = -369 y B = 863, encontrar las coordenadas de los 39 17

puntos P y Q que dividen al segmento AB en relaciĂłn

A

P

B

-369

Q

863

dAB = I-369 -863 I ; dAB = I-1232 I

armĂłnicamente

;

đ??´đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ

=

39 17

đ??´đ?&#x2018;&#x192;+đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ

=

; 39 + 17 17

;

đ??´đ?&#x2018;&#x201E; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

=

39 17

đ??´đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ??ľđ?&#x2018;&#x201E; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

=

39â&#x2C6;&#x2019;17 17

______________________________________________________________________ 19 GeometrĂ­a Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ đ??´đ??ľ 56 đ??´đ??ľ 22 dAB = 1232 ; = ; = đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ

17

đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ =

đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

1232â&#x2C6;&#x2014;17 56

; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E; =

17

1232â&#x2C6;&#x2014;17 22

đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ = 374

; BQ = 952

P= 863 -374

; Q = 863 + 952

P=489

; Q = 1815

5. Dado un segmento AB de coordenadas A = 37 y B = 75, encontrar la relaciĂłn si BQ = 152 u

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;

> 1;

(Q divide externamente a AB)

-37

75

A

B

Q

Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; = |đ??ľ â&#x2C6;&#x2019; đ??´| dAB

;

Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; = |75 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;37)| dAB

;

Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; = 112u dAB

;

đ??´đ?&#x2018;&#x201E; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

=

đ?&#x2018;&#x161;

đ??´đ??ľ+đ??ľđ?&#x2018;&#x201E; đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;

đ?&#x2018;&#x203A;

=

112+152 152

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;

=

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;

;

264

= 152

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;

;

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;

=

33 19

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Dado un segmento MN de coordenadas M = -113 y N = 207, encontrar las coordenadas de los puntos que divide n el segmento en 8 partes de igual medida 2. Dado un segmento ST de coordenadas S = -213 y T = - 602, encontrar la coordenada de un punto P que divide internamente al segmento ST en relaciĂłn 27/13 3. Dado un segmento XY de coordenadas X = -39 y Y = 487, encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al segmento XY en relaciĂłn 23/47 4. Dado un segmento ST de coordenadas S = -669 y T = 1202, encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que divide armĂłnicamente al ST en relaciĂłn 10/29 5. Dado un segmento MN de coordenadas M = -89 y N = 284, encontrar la relaciĂłn m/n, si PN=69 (P divide internamente al segmento MN) 6. Dado un segmento XY de coordenada X = -328 y Y = 763, encontrar la relaciĂłn m/n < 1, si XQ = 690 (Q divide externamente al segmento XY)

______________________________________________________________________ 20 GeometrĂ­a Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ LA DEMOSTRACIÓN EN OPERACIONES CON SEGMENTOS La demostración es un conjunto de razonamientos por medio de los cuales la veracidad de la proposición que se demuestra, se deduce de axiomas y verdades antes demostradas o conocidas.

Los pasos sugeridos para una demostración pueden ser: 1. Realizar un gráfico que represente lo más exactamente posible el enunciado de la proposición empleando letras mayúsculas para cada punto notable, indicar las marcas en la figura.

2. Expresar la hipótesis en forma simbólica.

3. Expresar la tesis en forma simbólica.

4. Realizar la demostración en la que debe constar proposiciones y razones utilizando las reglas del algebra y los axiomas de los números reales.

EJERCICOS RESUELTOS. 1.

DEMOSTRAR: A

B

C

D

H) AB=CD T) AC=BD

1.

2.

3.

4.

5.

2.

PROPOSICIONES

RAZONES

AB=CD BC=BC AB + BC = CD +BC AB + BC = BC + CD AC = BD

Dato hip.

Axi. Reflexivo (=) Axi. Aditivo (=) Axi. Conmutativo (+) Axi. Clausurativo (+)

DEMOSTRAR A

M

B

P

H) AM=MB T) PM =

PA+ PB 2

PROPOSICIONES 1.

2.

3.

4.

5.

6.

PM = PB + BM PM =PA - AM 2PM = PB +BM + PA - AM AM = MB 2PM = PA +PB + AM - AM 2PM = PA +PB

7.

PM =

PA+ PB 2

RAZONES Hip. gráfica suma de segmentos Hip. gráfica suma de segmentos Axi. Aditivo (=) 1 y 2 Dato Sustitución de 4 en 3 Axi. de la suma Transp. de términos

______________________________________________________________________ 21 Geometría Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 3.

DEMOSTRAR A

P

M

B

H) AM=MB T) PM =

PB− PA 2

PROPOSICIONES

4.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

AM = MB AM =AP + PM PB = PM + MB PB - PM = MB AP + PM = PB - PM 2PM = PB –PA

7.

PM =

RAZONES Dato Hip. gráfica Hip. gráfica Axi. de la suma Sustitución de 2 y 4 en1 Axi. de la suma y Axi. Conmutativa

PA−PB 2

Transp. de términos

DEMOSTRAR Sobre una recta que toman los puntos A,B,C,D,E,F consecutivamente de modo que BE =

5 8

AF. Calcular AF sabiendo que AC + BD + CE + DF =39 u A

H) BE =

5 8

B

C

D

E

F

AF

AC + BD + CE + DF = 39 u T) AF = ?

PROPOSICIONES

RAZONES

1.

2.

3.

4.

AC + BD + CE + DF = 39 u AC + BC + BC + CD + CD + DE + DE + EF = 39 u (AB + BC + CD + DE + EF) + (BC + CD + DE) = 39 u AF + BE = 39u

Dato Dato Gráfico Axi. Asociativo y Conmutat.

Axi. De la suma

5.

BE =

6.

AF +

7.

13 8

5 8 5 8

AF

Dato

AF = 39u

Sustitución 5 en 4

AF = 39u 39∗8 13

8.

AF =

9.

AF = 24 u

Axi. Clausurativo Axi. De (x) Axi. Clausurativo (x)

______________________________________________________________________ 22 Geometría Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 5.

Dado: AX se interseca con BY en Z AX = BY

C

ZX = ZY

Y

Demostrar que

X

z

AZ =BZ A

B

DEMOSTRACIÓN:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

6.

PROPOSICIONES

RAZONES

AX = BY ZX = ZY AX = AZ + ZX BY = BZ + ZY AZ +ZX = BZ + ZY - ZX = - ZY AZ = BZ

dato dato suma de segmentos suma de segmentos sus de 3 y 4 en 1 -1 multiplica en 2 axioma aditivo (=) entre 5 y 6

Dado AX = BX

D

C

XC = XD Demostrar: AC = BD

X A

B

DEMOSTRACIÓN:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

PROPOSICIONES

RAZONES

AC = AX + XC BD = BX +XD AX = BX XC = XD AX + XC = BX + XD AC = BD

suma de segmentos suma de segmentos dato dato axi. aditivo 3 en 4 sust. 1 y 2 en 5

EJERCICIOS PROPUESTOS. Realizar los siguientes ejercicios y problemas utilizando el método de demostración.

T) ST =

1. H) PQ = QR

PS+RU 2

ST = TU P

Q

R

S

T

U

______________________________________________________________________ 23 Geometría Plana

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UNIDAD 1 SEGMENTOS _________________________________________________________________________________ 2. H) AB = BC T) AM = AB + AC CD = 2AC AM = MD A

B

M

C

đ??´đ??ś+đ??śđ??ˇ

3. H) đ??´đ??ľ = 2 đ??ľđ??ˇ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ??ľđ??ˇ + 1 = 0

T) AD = ?

B

A

4. H) đ??´đ??ľ =

D

7 đ??ľđ??ś 5

T)

C

đ??ľđ??ś đ??´đ??ś

D

=?

A

5.

3 đ??´đ??ľ 4

H) đ??ľđ??ś =

C

B

T)

đ??´đ??ś đ??ľđ??´

=?

A

C

B

6. Dados los puntos colineales A, B C y D. si BD â&#x20AC;&#x201C; AB = 2BC; 7. H) AC + BD = 14u BC = 3u

Demostrar que: AC = CD

T) AD=?

A

B

D

C

8. Si en el grĂĄfico: CD=2AB. Demostrar que: đ??´đ??ś = A

B

đ??ľđ??ˇ+đ??ľđ??ś 2

D

C

T) đ??ľđ??¸ =

9. H) AB=BC

đ??śđ??š+đ??´đ??ˇ 2

DE=EF A

B

D

C

T) đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ =

10. H) AB = BD = CD

A

P

B

E

F

đ?&#x2018;&#x192;đ??ˇâ&#x2C6;&#x2019;2đ??´đ?&#x2018;&#x192; 3

C

D

______________________________________________________________________ 24 GeometrĂ­a Plana

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