ESTRUCTURA DEL INFORME ESCRITO 1. Datos informativos: Nombre de los integrantes: ➢ Cecilia Andrango ➢ Doris Calvache ➢ Andrea Fuel ➢ Letty Mantilla ➢ Maritza Pachacama 2. Problema: El problema que se evidencia es como establecer la relación entre el número pi con la circunferencia por medio de aplicaciones digitales y en la vida cotidiana 3. Objetivo de la investigación: Demostrar la relación entre el número pi y la circunferencia mediante el uso de material concreto y la aplicación GeoGebra para verificar dicha relación 4. Información por buscar CIRCUNFERENCIA Elementos Perímetro NÚMERO PI Definición Aplicaciones BREVE RESEÑA DEL NÚMERO PI Y LA CIRCUNFERENCIA REPRESENTACIÓN Material concreto Aplicación Digital
5. Diagnóstico de la situación ¿Cuál es la relación entre el valor del número pi y la circunferencia? ¿Cómo demostrar en forma práctica la relación del número pi con la circunferencia?
6. Estructura del trabajo
CIRCUNFERENCIA Definición.- La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Mencionaremos los siguientes:
Centro de la circunferencia El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la circunferencia El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Diámetro El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio. Perímetro
El perímetro es la longitud que corresponde al contorno de una figura, es decir, es la sumatoria de los lados que forman el polígono o, en el caso de un círculo, la medida de su frontera denominada circunferencia. El perímetro corresponde a dos semicircunferencias.
Número 𝝅 Definición El número pi, también conocido como ‘π’, en las matemáticas es un número irracional. Esto quiere decir que no es exacto ni periódico, ya que tiene una cantidad infinita de decimales. Pi demuestra la relación de la longitud de una circunferencia con su diámetro. El número Pi es una constante que resulta al dividir cualquier longitud de una circunferencia entre su diámetro
Usos del número pi: El número pi es utilizado en las matemáticas, especialmente para la geometría y la trigonometría. Esto se debe al cálculo que uno puede hacer con este número del radio de cualquier círculo si se conoce su circunferencia o viceversa. También se utiliza como parte de la Integral de Gauss y otras fórmulas en cálculo, probabilidad, análisis matemático y geometría. Por otro lado, en la física también se utiliza en algunas ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo. Eso se debe a la estrecha relación que existe con el sistema de coordenadas esféricas y la naturaleza en sí del círculo.
Curiosidades de pi: Récord mundial:
Aunque parezca increíble, existe un récord mundial con respecto a cuántos dígitos del número pi una persona puede recitar de memoria. Actualmente, el récord lo mantiene Suresh Kumar Sharma de India, que logró mencionar 70’030 dígitos de pi sin equivocarse.
Canción de pi: Michael Blake, un músico que tiene su propio canal de YouTube, subió un video interpretando el número pi como una canción. Lo que hizo, fue elegir la escala musical y asignar a cada nota un número, de tal manera que “C” era 1, “D” sería 2, etc. Luego de eso, lo combinó con un tiempo de 157 bpm (la mitad de 314) y el resultado fue impresionante.
Aplicaciones BREVE RESEÑA DEL NÚMERO PI Y LA CIRCUNFERENCIA La historia de la circunferencia y el número Pi se remonta aproximadamente al año 2000 a.C. cuando los estudiosos del imperio babilónico observaron que el perímetro de un círculo era aproximadamente 3 veces superior a su diámetro. Sin embargo, no fueron ellos quienes iniciaron la teoría matemática del número que se establece y evalúa mediante la mencionada relación Ese privilegio hemos de adjudicárselo al físico y matemático griego Arquímedes de Siracusa el cual fue capaz de expresar el número Pi con una aproximación más que aceptable y nunca vista hasta ese momento
Representación Para establecer la relación del número pi (𝜋) con la circunferencia, específicamente con cada uno de sus elementos hemos determinados dos formas: mediante material concreto y el uso de la aplicación Geogebra
Material concreto ODÓMETRO El odometro es un modelo de precisión con contador mecánico en la rueda. Todo el mundo conoce el rolltacho que utiliza la policía cuando miden las marcas de freno de los vehículos, pero el odómetro también se puede utilizar para mediciones en el ámbito profesional técnico y también mediciones de campo.
En forma práctica se puede establecer el valor de PI, realizando la siguiente actividad 1. Utilizando lana rodear el contorno del objeto circular y medir ese pedazo de lana en la regla
2. Medir el diámetro del objeto circular
3. Realizar la división del perímetro para el valor del diámetro
Aplicación digital En la aplicación GeoGebra podemos evidenciar dicha relación. El número Pi (π) es una de las constantes matemáticas más importantes. La circunferencia es una línea curva, por lo tanto, tiene longitud. Esa longitud se llama longitud de la circunferencia o perímetro de la circunferencia. Podemos verificar mediante la aplicación quien muestra la tabla de valores: ángulo de rotación DCE en radianes y en grados, longitud del arco DE, radio R, diámetro D, longitud
de la circunferencia Lcf, la razón o división entre la longitud de la circunferencia Lcf/(2*R) y el número Pi ( π). Obsérvese que al variar la medida del radio se modifica la longitud de la circunferencia pero el resultado de la división entre Lcf y 2*R se mantiene constante. Esa constante es el número π. https://www.geogebra.org/m/fE22yvSA
7. Planteamiento de los posibles resultados: Conclusiones ➢ Se demuestra la relación entre el número pi y la circunferencia mediante el uso de material concreto y la aplicación GeoGebra
8. Información necesaria para dar solución al problema Evidencias: Bibliografía Referencias: El Comercio, 2018. Número π: ¿Qué es el número pi? Cómo se usa, para qué y su origen. https://elcomercio.pe/respuestas/que/numero-pi-significado-origendecimales-nnda-noticia-546986-noticia/?ref=ecr Moya R. 2018. Longitud de la circunferencia. Recuperado: http://elcarmencuartob.blogspot.com/2018/04/116-longitud-de-lacircunferencia.html Aplicación GeoGebra https://www.geogebra.org/m/fE22yvSA
GUÍA METODOLÓGICA PARA EL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (ABP) 1. DEFINICIÓN El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) como alternativa metodológica, estrategia o técnica didáctica, es una forma de trabajo consistente en enfrentar a los alumnos a un problema o situación que le va a permitir comprender mejor ese problema/situación profesional, identificar principios que sustentan el conocimiento y alcanzar objetivos de aprendizaje especialmente relacionados con el razonamiento y el juicio crítico. En la actualidad, uno de los métodos del proceso de enseñanza-aprendizaje que rescata en su totalidad las propuestas constructivistas es la del aprendizaje basado en el problema (ABP), el que se define por De Miguel (2005, p. 96) como: “Método de enseñanza-aprendizaje cuyo punto de partida es un problema que, diseñado por el profesor, el estudiante ha de resolver para desarrollar determinadas competencias previamente definidas”. Este método se basa en la inducción de un concepto a partir de actividades que resultan ser estimulantes para estudiantes, puesto que plantean preguntas o acciones a realizar con base en la indagación, experimentación o en el ensayo. Los alumnos y las alumnas aprenden mejor si pueden manipular y descubrir. Según este mismo autor, el qué descubrir esta guiado por el profesorado, el que pasa a tener un rol de acompañante y tutoría en los pasos que cada estudiante da, para disminuir la frustración y alentar la auto-superación y el descubrimiento. Con esta forma de aprender el alumnado desarrolla habilidades tales como: resolución de problemas, toma de decisiones, trabajo en equipo, argumentación, presentación de información, y actitudes y valores. Una de las ventajas del ABP es que le permite al estudiantado desarrollar problemáticas que en su futuro mundo laboral deberán resolver, también permite que solucionen de manera sencilla conceptos complejos, disminuyendo los niveles de ansiedad y estrés (Guevara, 2010). El esquema básico de la metodología ABP consiste en el planteamiento de un problema o situación (normalmente definido por el docente y en ocasiones definido por los estudiantes) a través del cual se solicita de los estudiantes que, en grupos de trabajo, aborden de forma ordenada y desde un trabajo coordinado las diferentes fases que implica la resolución o desarrollo del trabajo en torno al problema o situación. 2. PROCESO DE EJECUCIÓN • • • •
El estudiante lee y analiza el contexto de la situación planteada Formar pequeños grupos Trabajo cooperativo en pequeños grupos Identificación de los/las objetivos/necesidades de aprendizaje: o Conocer la información con la que se cuenta e identificar qué información es necesario buscar. o Realizar un breve esquema del problema: que hay que resolver. o Realizar un diagnóstico de la situación: escribir una serie de preguntas que se necesitan contestar para resolver el problema.
•
Planificar el trabajo: o Plantear un esquema de trabajo: posibles acciones para lograr los objetivos o Búsqueda de la información necesaria o Análisis de esa información o Plantear posibles resultados
•
Trabajo cooperativo en pequeños grupos y constante retroalimentación durante todo el proceso dejando al finalizar cada sesión unos minutos para una reflexión grupal de lo trabajado y de la evolución como grupo.
•
Observación y reflexión por parte de los implicados de las actitudes y valores que se van desarrollando
•
Regreso al problema: Presentación del informe.
3. ESTRUCTURA DEL INFORME ESCRITO: 1. Datos informativos: Nombre de los integrantes: • Aldás Sandra • Fernández Christian • Guasgua Jefferson • Jumbo Josselyn • Santy Galo 2. Problema: Muchas culturas antiguas como la egipcia hicieron uso de la geometría en su desarrollo cultural y económico, por lo que es de gran valor conocer los principios matemáticos y geométricos que se usaron para construir grandes edificaciones, que han perdurado hasta nuestra era. La cultura egipcia nos ha dejado un intrigante legado al que surge una interrogante ¿Cómo construyeron las pirámides? 3. Objetivo de la investigación: Conocer el uso de la geometría para la construcción de las pirámides egipcias, mediante investigación bibliográfica, generando conocimientos útiles para la resolución de problemas prácticos. 4. Información por buscar: Plantear los temas y subtemas que contribuyan a dar solución al problema planteado. GEOMETRÍA La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos. Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. Geometría en Egipto Según Herodoto los egipcios fueron los padres de la geometría. Considerando las grandes construcciones que llevaron a cabo los egipcios se podría esperar una geometría muy avanzada; sin embargo, con la información de que se dispone a la fecha, no se puede afirmar tal cosa. Se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, un valor aproximado para el área del círculo, considerando p como 3.1605. Sin embargo, el desarrollo geométrico de los egipcios adolece de teoremas y demostraciones formales. La geometría egipcia es la geometría desarrollada en el Antiguo Egipto. ... Al igual que la aritmética, la geometría era una ciencia eminentemente práctica que ofrecía soluciones concretas a diversos problemas. Figuras Geométricas Las figuras geométricas son el objeto de estudio de la geometría, rama de las matemáticas que se dedica a analizar las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano.Una figura geométrica es un
conjunto no vacío cuyos elementos son puntos. Figuras Geométricas más usados en Egipto. Los artistas griegos basaban su arte en la proporción. Los templos griegos se construían con proporciones basadas en la naturaleza y en la escala humana, esta última característica era una de las diferencias entre el arte egipcio y griego. En las construcciones egipcias hacen evidente el uso de triángulos, cuadrados y rectángulos. Mediciones y Cálculos en figuras geométricas. En cada figura geométricas se pueden hace cálculos del perímetro, áreas en figuras planas, mientras que en cuerpos se pueden calcular superficies y volúmenes. Cada figura y cada cuerpo tiene sus propias ecuaciones para realizar dichos cálculos como, por ejemplo:
Geometría de las pirámides la geometría de los sólidos tuvo su aplicación en las dimensiones de las grandes pirámides del Imperio antiguo. la falsa pirámide de Huni (faraón de la 3.a ª dinastía), construida en Maidum, cerca del oasis de El Fayum, fue una pirámide escalonada (figura 8). snefru construyó la primera pirámide completa de base cuadrada, de 144 metros de lado y 95 metros de altura. La pendiente de las caras laterales de las pirámides varía desde 43° 22’ de la zona superior de la pirámide de snefru a los 60° de la inconclusa pirámide de Djedefra, hijo de Keops, al norte de Gizeh. las pendientes de las pirámides de Keops (51° 50’), Kefren (53° 7’) y Micerinos (51º 20’) son intermedias entre los valores extremos (baines y Malek, 1992). Los egipcios medían la pendiente de las pirámides en «seked», correspondiente a la distancia horizontal de la mitad de la base respecto de la altura (número de palmos horizontales por cada codo de altura). (figura 9)
Un problema del Papiro Rhind calcula el «seked» de una pirámide de 360 codos de lado de la base y 250 codos de altura realizando las operaciones siguientes: los egipcios escriben 5 1/25 Otro problema del mismo Papiro calcula la altura de una pirámide cuyo lado de la base es 12 codos, si tiene un «seked» de 5 palmos y 1 dedo (5 1/4). 1) Multiplica por 2 el «seked» = 5 1/4 x 2 = 10 1/2
2) Divide 7 entre 10 1/2 = 7: 21/2 = 2/3 3) Multiplica 2/3 por 12 = 8 codos (altura de la pirámide) los dos problemas anteriores se resolverían desde los planteamientos actuales de la siguiente forma, teniendo en cuenta la definición egipcia del «seked» (figura 10) seked = m/h (pendiente de la pirámide)
El volumen de las pirámides y su cálculo estaba relacionado con la cantidad de piedra necesaria para la construcción de estos monumentos funerarios, y con el número de trabajadores precisos para construirlos, además del alimento de estos trabajadores. los escribas egipcios eran expertos en estas operaciones matemáticas. Habían llegado a la conclusión de que el volumen de la pirámide era la tercera parte del volumen del paralelepípedo de igual base e igual altura (figura 11). Por ello el volumen de la pirámide era calculado igual que actualmente por 1/3 de la superficie de la base por la altura. los egipcios plantearon también los volúmenes de pirámides truncadas o troncos de pirámide, porque en muchos casos tenían interés especial por conocer el volumen hasta una cierta altura o el peso que debía soportar la cámara mortuoria del faraón, como en el caso de la pirámide de Keops, que estaba situada a los dos tercios de la altura total de la pirámide. El Papiro de Moscú plantea el ejemplo del cálculo del volumen de un tronco de pirámide de 6 codos de altura y bases de 4 codos (inferior) y 2 codos (superior).
La solución se realiza de la siguiente manera: 1) Eleva 4 (base mayor) al cuadrado: resultado igual a 16. 2) Eleva 2 (base menor) al cuadrado: resultado igual a 4. 3) Toma 4 dos veces: resultado igual a 8. 4) suma 16, 8 y 4: resultado igual a 28. 5) Divide 6 (altura) entre 3: resultado igual a 2. 6) Multiplica 28 por 2: resultado igual a 56 (volumen del tronco de pirámide). Se ha supuesto que los egipcios calculaban el volumen de la pirámide truncada mediante la diferencia entre el volumen de la pirámide total y la pirámide pequeña, construida sobre la base menor (figura 12).
5. Diagnóstico de la situación: escribir un mínimo de 2 preguntas que guíen y orienten a dar la solución y la contestación al problema planteado. 1. ¿Qué elementos geométricos utilizaban los egipcios con mayor frecuencia y cuáles son sus construcciones más representativas con el uso de estas figuras? 2. ¿Cómo calcularon las dimensiones en las pirámides de Egipto? 6. Estructura del trabajo: Argumentar los temas y subtemas, las 2 preguntas de diagnóstico para dar solución al problema en forma escrita y utilizando con gráficos. 1. ¿Qué elementos geométricos utilizaban los egipcios con mayor frecuencia y cuáles son sus construcciones más representativas con el uso de estas figuras? La geometría de los sólidos tuvo su aplicación en las dimensiones de las grandes pirámides del Imperio del Antiguo Egipto, los elementos geométricos que utilizaron para su construcción según los cálculos plasmados en los papiros de Rhind y Moscú fueron: Elementos geométricos
Base: Polígono cualquiera, es la única cara que no toca el vértice de la pirámide. Los egipcios utilizaban con mayor frecuencia figuras como cuadrados, triángulos, rectángulos. Caras: Los triángulos de los laterales y la base. Aristas: Segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide, existen aristas laterales y aristas de la base. Altura: Distancia del plano de la base al vértice de la pirámide. Vértice de la pirámide: Punto donde confluyen las caras laterales triangulares. Apotema de la pirámide : Distancia del vértice a un lado de la base, solo existe en pirámides regulares. A continuación algunos ejemplos de las pirámides que se construyeron en Egipto :
Pirámide Keops
Pirámide de Kefrén
Pirámide de Micerino
Pirámide Djoser
Cualquier pirámide regular de cuatro lados como las construidas en Egipto, se la puede definir correctamente con tan solo dos magnitudes, que generalmente son la longitud de un lado y su altura, ya que con estos dos valores se pueden calcular los demás, como pueden ser el apotema, arista y diagonal de la base. 2. ¿Cómo calcularon las dimensiones en las pirámides de Egipto? Para calcular los volúmenes en el antiguo Egipto utilizaban codos cúbicos y lo transformaban a la unidad de medida llamada “Khar” que era una unidad de medida de capacidad multiplicando por 1,5 y así por ejemplo 200 unidades de volumen equivalía a 300 khar, tomando en cuenta que un khar era la capacidad de un cuerpo cuyo volúmen es 2/3 de un codo cúbico (Maza, 2003)12. según esta definición: 1 khar = 2/3 codo cúbico = = 2/3 · 52,33= 95370 cm3 . Otra de las unidades de capacidad utilizadas en ese tiempo era el “heqat” y el “hin”. Un khar tenía 20 “heqat” o 200 “hin”, por lo que 1 heqat equivalía a 10 hin. En unidades actuales: 1 hin = 476,85 cm3 .Y 1 “heqat” = 4768,50 cm3 = 4,7685 litros.
7. Planteamiento de los posibles resultados: Conclusiones
9. Información necesaria para dar solución al problema Evidencias: Bibliografía
EJERCICIO DE APLICACIÓN
4. EVALUACIÓN DEL PROCESO ABP 1. Exposición: El grupo presenta la información obtenida a los compañeros en una exposición PARAMETROS PARA LA EXPOSICIÓN. 1. Tiempo 10-15 minutos 2. Utilización de diapositivas, de simuladores o cualquier elemento de TIC 3. Todos los integrantes del grupo participan en la exposición ( Se evaluará la expresión verbal utilizada)
1,5 p 1.5 p
5. PROBLEMAS POR DESARROLLAR. TEMA 1 Aplicación de la geometría plana en la TOPOGRAFIA TEMA 2 Aplicación de la geometría plana en el DIBUJO (Utilización del pantógrafo) TEMA 3 Aplicación de la geometría plana en el SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL TEMA 4 Aplicación de la geometría plana en la ASTRONIOMÍA TEMA 5 Aplicación de la geometría plana en la CARTOGRAFÍA TEMA 6 Aplicación de la geometría plana en la ARTESANIA ANDINA TEMA 7 Aplicación de la geometría plana en la UTILIZACIÓN DEL TEODOLITO TEMA 8 Aplicación de la geometría plana con la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA TEMA 9 El cuerpo humano y la geometría TEMA 10 La geometría en la naturaleza TEMA 11 La geometría en el arte TEMA 12 La geometría en las construcciones antigua TEMA 13 Medida del radio terrestre (p. 80) TEMA 14. Distancia de la Tierra – Luna TEMA 15. Medida del radio lunar TEMA 16. Distancia de la Tierra – Sol TEMA 17. El número Pi y la circunferencia TEMA 18. El número Pi y la pirámide de Keops.
Universidad Central del Ecuador
Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación Maestría en Educación Mención Matemática
Trabajo Colaborativo Nº4: ABP Tutor: MSc. Molina Franklin
Asignatura: Geometría plana y analítica
Grupo Nº3 Integrantes: Troya Gabriela Siguencia Mayra Cuichán David Durán Víctor Quezada Adriana
Fecha: 22/10/2021
1.
Datos informativos: Curso: Maestría Nombre de los integrantes: Troya Gabriela Siguencia Mayra Cuichán David Durán Víctor Quezada Adriana
2. Problema: ¿Cómo se determinó en la antigüedad el radio de la tierra? 3. Objetivo de la investigación: Determinar la utilidad de la geometría elemental como herramienta para resolver problemas de la vida cotidiana 4. Información por buscar: Plantear los temas y subtemas que contribuyan a dar solución al problema planteado Temas: - Cálculo de la longitud de un arco de circunferencia - Concepto de perpendicularidad - Elementos de una circunferencia Subtemas - Trigonometría elemental - Regla de tres 5. Diagnóstico de la situación: escribir un mínimo de 2 preguntas que guíen y orienten a dar la solución y la contestación al problema planteado.
¿Qué principios geométricos se utilizó para medir el radio terrestre?
¿La sombra que proyecta un rayo de sol en dos objetos es igual o distinta? Tomando en cuenta que ambos objetos tienen la misma forma, pero están situados en lugares diferentes.
6. Estructura del trabajo: Argumentar los temas y subtemas, las 2 preguntas dediagnóstico para dar solución al problema en forma escrita y utilizando con gráficos. Unos 1700 años antes de la famosa expedición de Magallanes y Elcano, que tardó más de tres años en circunnavegar la Tierra para constatar que no es plana, sino redonda, el sabio griego Eratóstenes logró hacer esa misma comprobación y además estimar su diámetro con un sencillo razonamiento matemático, sin salir de la ciudad de Alejandría y con una precisión sorprendente. La potencia de las matemáticas desarrolladas por los griegos clásicos fue la clave para realizar esta hazaña y conseguir medir lo imposible. Además, supo aplicar conocimientos matemáticos básicos, como el cálculo de la longitud de un arco de circunferencia —que ahora se estudia en secundaria— para aproximar de forma muy precisa el radio de la Tierra, solo con instrumentos rudimentarios. En concreto, Eratóstenes observó la sombra que producían los rayos del Sol durante en el solsticio de verano en dos lugares suficientemente alejados uno del otro: Siena (actualmente la ciudad egipcia de Asuán) y Alejandría, situada al norte de Siena siguiendo el mismo meridiano. En el mediodía solar de ese día, en un profundo pozo de Siena se podía ver por un brevísimo instante el reflejo del agua contenida, lo que mostraba que los rayos caían perpendicularmente. Esto es así en el momento del solsticio de verano y en el trópico de Cáncer —en ese paralelo terrestre ubicó Eratóstenes a Siena—. Sin embargo, en el mismo momento, en Alejandría —situada unos 7 grados
más al norte— incidían de forma ligeramente transversal, ya que los obeliscos o un simple bastón clavado en el suelo proyectaban una pequeña pero perceptible sombra. Esta ya es de por sí es una prueba sencilla de que la Tierra no puede ser plana, ya que, si lo fuese, también en Alejandría, a esa misma hora, los rayos tendrían que haber caído perpendicularmente y no dar ninguna sombra.
UNA SENCILLA REGLA DE TRES
Eratóstenes partía de un modelo de tierra redonda, con forma de esfera, por lo que sabía que la curvatura de la Tierra provocaría ese efecto. Ideó un método para calcular el diámetro de la esfera con solo dos datos: el ángulo de incidencia del sol en Alejandría en el Solsticio de verano (que es el mismo que la sección de circunferencia que definen las dos ciudades) y la distancia entre ellas. De esta manera, con una sencilla regla de tres podría calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra. Si el ángulo de incidencia da lugar a una longitud de arco de circunferencia igual a la distancia entre Alejandría y Siena, entonces a 360 grados (los de la circunferencia completa) le corresponde la longitud total.
Para calcular el ángulo de incidencia de los rayos del sol en Alejandría en el solsticio de verano tuvo que emplear nociones de trigonometría, que ya eran conocidas por los matemáticos griegos, aunque usando métodos muy diferentes a los de ahora. En la terminología actual, ese ángulo de incidencia es el valor de la arcotangente de la división entre la sombra de un objeto y su altura Eratóstenes obtuvo el valor cercano a 7,2 grados. Para terminar su cálculo necesitaba una estimación suficientemente precisa de la distancia entre las dos ciudades. La leyenda cuenta que Eratóstenes sabía que un camello tardaba cincuenta días en llegar de una ciudad a otra, recorriendo unos cien estadios por día, así que estimó la distancia en unos cinco mil estadios. La precisión de su cálculo es una incógnita, pues el estadio no es una unidad de medida con un valor claro. Pero si consideramos como medida de un estadio gla correspondiente al estadio egipcio (157,50 metros), se obtendría una distancia aproximada de 787,5 km. Sustituyendo estos valores en la regla de tres anterior se obtiene una longitud de circunferencia de 39.375 km. Esto supone una excelente aproximación del valor auténtico, que son unos 40.075 km en el Ecuador.
UN MODELO ACERTADO DE LA TIERRA Eratóstenes tenía un modelo de la Tierra y el sistema solar bastante acertado, aunque hizo una serie de asunciones que no son del todo exactas (la Tierra no es una esfera, los rayos del Sol no son paralelos, Siena no está justo en el trópico de Cáncer…). Con este mismo método y medios actuales se obtienen datos extremadamente cercanos al auténtico. Este valor se estima hoy usando satélites y sistemas de geolocalización. Estas precisas medidas permiten detectar hasta pequeñas modificaciones (de centímetros) en la superficie de la Tierra.
Sin embargo, muchos siglos antes, sin apenas tecnologías, usando el ingenio y las matemáticas desarrolladas por sus antecesores (Pitágoras, Arquímedes, Euclides, Tales de Mileto…), otros griegos clásicos realizaron cálculos asombrosos, como calcular la distancia de la Tierra al Sol, predecir eclipses y el movimiento de los planetas conocidos, e incluso proponer que el Sol era el centro del Universo y no la Tierra, como hizo Aristarco de Samos. Con estos avances fueron más allá del conocimiento experimental, basado solo en mediciones directas, a una concepción mucho más ambiciosa del conocimiento científico, que permitía conocer más allá de nuestra propia percepción inmediata. (OpenMind, 2018).
8. Planteamiento de los posibles resultados: Conclusiones 1.- A pesar del tiempo y la poca tecnología, Eratóstenes pudo calcular el radio de la Tierra con nociones de geometría, matemática básica y razonamiento lógico.
2.- A pesar de que muchas de las afirmaciones que Eratóstenes eran falsas por ejemplo (tierra en forma de esfera, los rayos del sol no son paralelos, los rayos del sol no son paralelos) pudo acercarse al valor real del radio de la Tierra demostrándonos que con el conocimiento suficiente y mucho ingenio podemos descubrir algo nuevo.
3.- Sin apenas tecnologías, usando el ingenio y las matemáticas desarrolladas por sus antecesores Pitágoras, Arquímedes, Euclides, Tales de Mileto realizaron cálculos asombrosos, como calcular la distancia de la Tierra al Sol, predecir eclipses y el movimiento de los planetas conocidos, e incluso proponer que el Sol era el centro del Universo y no la Tierra. Con estos avances fueron más allá del conocimiento experimental, basado solo en mediciones directas, a una concepción mucho más ambiciosa del conocimiento científico, que permitía conocer más allá de nuestra propia percepción inmediata. (Timón, 2018)
9. Información necesaria para dar solución al problema. Evidencias: Bibliografía Business Insider. (2016, septiembre 10). How Eratosthenes calculated the Earth’s circumference. https://www.youtube.com/watch?v=Mw30CgaXiQw OpenMind. (2018, mayo 31). Eratóstenes: Midiendo lo imposible. OpenMind. https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/eratostenes-midiendo-lo-imposible/
Universidad Central del Ecuador
Instituto de posgrado MAESTRÍA EN Educación Mención Matemática
Asignatura: Geometría Plana y Analítica TEMA: aprendizaje basado en problemas Integrantes: Almeida Andrés ChIsaguano Jorge Doicela Marco Gallo Jose Luis Mancero Mabel Tutor: MSc. Franklin Molina
2021
Primer Periodo Septiembre 2021
2. Problema: Hoy en día sabemos que la distancia a la Luna ya existe y ha sido medida con la mayor exactitud posible. Pero Anita con la ayuda de Pablo intentan medir el radio lunar y hace coincidir un disco que sujeta Pablo con respecto a la Luna. Esto ocurre cuando Pablo está a 253 cm de Anita. Si la distancia de la Tierra a la Luna es 384 400 km y el diámetro del disco es de 23cm, ¿cuál es el diámetro de la Luna?
3. Objetivo de la investigación: Determinar el diámetro aproximado de la luna, mediante el uso de un Disco y la aplicación de conceptos geométricos. 4. Temas y subtemas que contribuyan a dar solución al problema planteado: • •
• • •
Conceptos de figuras geométricos Elementos de una circunferencia Distancia de la Tierra a la Luna Diámetro del disco Teorema de Thales
5. Preguntas que guíen y orienten a dar la solución y la contestación al problema planteado. 1. ¿Es posible determinar el diámetro lunar aproximado, sin el uso de un instrumento de medición? 2. ¿Qué relación guardan los conceptos: triángulos semejantes, teorema de Thales y la proporcionalidad; para determinar el diámetro lunar aproximado? 6. Estructura del trabajo: 6.1 Conceptos de figuras geométricas Es un conjunto no vacío cuyos elementos son puntos, entendiéndose, así como áreas cerradas por líneas en un plano o espacio. Entre las más importantes que se ocupan dentro de la Geometría que son la base para algunos cálculos establecidos son el triángulo, cuadrado, rectángulo y la circunferencia. Siendo así la circunferencia una de las principales figuras geométricas que se analizarán para el desarrollo de esta investigación. La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia llamada radio que es constante desde el centro de la misma.
6.2 Elementos de la circunferencia
Como parte de la investigación es primordial determinar los elementos de la circunferencia puesto que el investigar el diámetro de la Luna se lo calculará relacionándola con un disco por su semejanza en la forma. ➢ Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. ➢ Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia. ➢ Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. ➢ Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. ➢ Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. ➢ Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio. 6.3. Distancia de la Tierra a la Luna La Luna es el único satélite natural de la Tierra y es el quinto satélite más grande del sistema solar, mientras que en cuanto al tamaño proporcional respecto a su planeta es el satélite más grande. De forma visual la luna parece estar más cerca de la tierra, pero no es así está a una distancia de 384,400 km.
6.4. Diámetro de un disco El disco tiene de forma un círculo para lo cual si queremos determinar el diámetro de este objeto lo único que haremos es relacionarle. Por esta razón el diámetro es el segmento que está entre dos puntos de la circunferencia
6. 5. Teorema de Thales Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta como ilustra la gráfica.
Nota: Este teorema nos permite calcular, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos
7. Planteamiento de los posibles resultados:
Datos Distancia de la Tierra a la Luna: 384 400 km Diámetro de un disco: 23 cm Distancia del ojo al disco: 253 cm Diámetro del de la Luna: x
8. Bibliografía Báez, O., González, A., Gudiño, G., Noguera, L., & Iglesias, M. (2013). Teorema de Thales: Una Propuesta Didáctica. Memorias de la VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, 139-150.
1. Datos informativos: Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía, letras y ciencias de la educación. Maestría en educación mención: Matemática Curso: Geometría plana y analítica Nombre de los integrantes: - Shirley Vera - Oscar Chasi - David Fonte - Coy Gandhi - Victor Cuatín - Karina Intriago 2. Problema: Pi (π) y la circunferencia 3. Objetivo de la investigación: Identificar los elementos claves de la circunferencia y su relación directa con la deducción del número pi mediante un análisis teórico - práctico para su ampliación en ejemplos de la vida cotidiana. 4. Información por buscar: Plantear los temas y subtemas que contribuyan a dar solución al problema planteado. - Definición de la circunferencia. - Definición de diámetro y radio - Historia sobre el descubrimiento de π - Definición de π. - Análisis de π en la circunferencia. - Aplicación en la vida cotidiana. 5. Diagnóstico de la situación: escribir un mínimo de 2 preguntas que guíen y orienten a dar la solución y la contestación al problema planteado. − ¿Recuerdas cuando aprendiste la fórmula para hallar la longitud de la circunferencia? − ¿Sabes qué significa el símbolo π? − ¿Qué relación existe entre la circunferencia y el π?
6. Estructura del trabajo: Argumentar los temas y subtemas, las 2 preguntas de diagnóstico para dar solución al problema en forma escrita y utilizando con gráficos. 6.1 Definición de la circunferencia Es el conjunto de puntos (o lugar geométrico de los puntos) del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro y lo notaremos como O y a la distancia de cada punto de la circunferencia al centro de esta se le llama radio de la circunferencia y se nota como r. La circunferencia en el plano se puede mirar como un anillo o aro y se nota C(O, r ) o simplemente C cuando no haya lugar a confusión.
6.2 Definición de diámetro y radio. Diámetro. - Es el segmento entre dos puntos y pasa por el centro de la circunferencia. Radio. - Es un segmento de origen en el centro hasta cualquier punto de la circunferencia. El radio guarda relación con el diámetro porque la suma de dos radios es igual a un diámetro o por otra parte si dividimos un diámetro en dos el resultado será el radio.
6.3 Historia sobre el descubrimiento de π La historia de la circunferencia y el número PI se remonta aproximadamente al año 2000 a.C., cuando los estudiosos del imperio Babilónico observaron que el perímetro de un círculo era aproximadamente 3 veces superior a su diámetro. Sin embargo, no fueron ellos quienes iniciaron la teoría matemática del número que se establece y evalúa mediante la mencionada relación. Ese privilegio hemos de adjudicárselo al físico y matemático griego Arquímedes de Siracusa el cual fue capaz, a la sazón, de expresar el número PI con una aproximación más que aceptable y nunca vista hasta ese momento. 6.4 Definición de pi (π) PI es un número irracional, lo que significa que no es posible calcularlo mediante una fracción cuyo numerador y denominador sean números enteros. Tampoco es posible saber su valor exacto ya que, al ser irracional, sus decimales se extienden hacia el infinito sin posibilidad alguna de poder predecir su valor al carecer de un patrón periódico, o sea, un número o grupo de números que se repitan constantemente después de la coma. 6.5 Análisis de π y la circunferencia.
El número PI (que se representa mediante la letra griega "π") se define como la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Se trata de una simple división, como resultado de la cual siempre se obtiene el mismo número sea cual sea el tamaño que tenga la circunferencia elegida.
El número Pi (π) es la razón entre la longitud de una circunferencia y el doble del radio Lcf/(2R). Como 2*Radio = Diámetro, entonces π también es la razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro (Lcf/D). π es un número irracional que expresado como número decimal es 3.141592653589… con infinitas cifras decimales. Para cálculos abreviados normalmente se toma π = 3.1416 y en cálculos más elementales se toma π = 3.14. 6.6 Aplicación en la vida cotidiana. El Pi tiene importantes aplicaciones prácticas en la Informática, Astronomía, Economía y Física, entre otras disciplinas. La velocidad de las computadoras se prueba haciéndoles calcular Pi. Las computadoras cuánticas son capaces de calcular hasta 2.000 billones de dígitos.
Se puede encontrar cualquier cálculo en el que haya círculos, como la órbita de los satélites. También es útil para estudiar curvas.
En Estadística, Pi se usa para calcular el área debajo de una curva de distribución, lo que es aplicable para conocer la distribución de puntuaciones estandarizadas, modelos financieros o márgenes de error en resultados científicos. Un reloj funciona gracias a un sistema de engranajes que gira con los dientes. El tamaño de los dientes se define por la distancia constante entre dos puntos calculada usando el número Pi.
También en el coche, Pi está presente: «El cuentakilómetros depende del número de vueltas de las ruedas, que a su vez depende del perímetro de la rueda, que depende de Pi», recuerda Jean-Paul Delahaye, matemático autor de El fascinante número Pi.
El número Pi también se usa para estudiar las curvas. Así, mediante este número, podemos entender los sistemas periódicos oscilantes como los de los relojes, las ondas electromagnéticas.
7. Planteamiento de los posibles resultados: Conclusiones Podemos decir que el número pi es importante ya que nos permite realizar mediciones de objetos pequeños y con precisión debido a sus cifras decimales dm a mm. El número PI es un número relativo que se utiliza para encontrar el perímetro o diámetro de objetos circulares. Todo estudio científico parte de un primer paso muy importante que consiste en la observación siendo éste abarcado en un principio por análisis de las características principales de un objeto, o figura geométrica. Logrando Identificar los elementos y relaciones directa. Se evidenciaron los elementos claves de la circunferencia y su importancia en el desarrollo de la demostración del número π, para posteriormente relacionarlo en los casos de la vida cotidiana tomando en cuenta la significación que tiene en nuestro contexto y el uso que se le puede dar. 8. Información necesaria para dar solución al problema Evidencias: Bibliografía 1. David Flickr.com (2009). Happy pi. Day 2. Cálculo del número Pì- guía de laboratorio, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Santiago de Cali.
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR PROGRAMA DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA GEOMETRÍA PLANA Y ANALÍTICA
DOCENTE: Msc. FRANKLIN MOLINA
EQUIPO No. 6: ● JOE COLOMA ● DIANA VILLACÍS ● ANDRÉS COLCHA ● SANDRA UMATAMBO ● JULIO AYALA ● LILIANA TULCANAZA
2021 – 2022 QUITO – ECUADOR
Tema: La medida del radio terrestre Problema: ¿Cómo se determinó la medida del radio de la Tierra?
Objetivo: Analizar la aplicación de la geometría plana en el cálculo del radio de la Tierra por medio de la revisión histórica generando un mayor sentido de investigación.
Preguntas: ¿Cómo aportó la geometría en el cálculo del radio de la tierra? ¿Cuál fue el personaje y su aporte para el cálculo del radio de la Tierra?
Temas y Subtemas Elementos del círculo - Arco de circunferencia - Ángulo central - Ángulos alternos internos Trigonometría - Razones trigonométricas
Argumentación Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la Tierra. Estando en la Biblioteca de Alejandría, encontró un informe de observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos (como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Esto se debe a que está ciudad está sobre la línea del trópico (en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer). Eratóstenes observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se producía este mismo hecho. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma (prácticamente) paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban los rayos del sol con la vertical que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra.
Este ángulo resultó ser de 7,2º que unido al hecho conocido de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión que la circunferencia de la Tierra medía 360·5000/7'2; es decir, 250.000 estadios. Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160 m (actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente 250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366km o 6.286km si tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día. Una vez analizado la forma de experimental de Eratóstenes para encontrar el radio de la Tierra se basó en la medición de las sombras proyectadas por los rayos del sol a la misma hora en diferentes puntos estratégicos del planeta, observando así un segmento entre las dos paralelas formado por los rayos del sol, tomando el quinto postulado de Euclides que menciona que si dos o más rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son congruentes. Conclusiones Se concluye la valoración de los aportes matemáticos para el desarrollo de la ciencia permitiendo estimar distancias entre distintos lugares de la Tierra a partir de su longitud y latitud. Eratóstenes, utilizando herramientas como palos, ojos, pies y astucia, y además el gusto por la experimentación dedujo el radio de la Tierra con un margen de error muy reducido, lo que constituye un logro notable para el año en que tuvo lugar, sentando precedentes para futuras generaciones.
Problema 1 Tome una cuerda de longitud “x” y escriba ese dato en su hoja de desarrollo. Con la cuerda forme una circunferencia y determine el radio y diámetro de la misma mediante las siguientes definiciones: El perímetro de una figura geométrica plana es la longitud de su contorno. El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia.
𝑃 = 2. π. 𝑟 𝐷 = 2. 𝑟
Referencias Meteorología en Red. (s.f.). Radio de la Tierra. Obtenido https://www.meteorologiaenred.com/radio-de-la-tierra.html
de
Tareasplus. (13 de Enero de 2013). Cómo se midió por primera vez la tierra. Obtenido de Tareasplus: https://www.youtube.com/watch?v=UeIQnjOEGUY
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFÍA LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA
Asignatura: Geometría Plana y Analítica
Docente: MSc. Franklin Molina
Estudiante: Acosta Dávalos Andrea Jacqueline Duque Arauz Jorge Aníbal Rivera Vizuete David Geovanny Toasa Rocha Juana Elizabeth Tubón Cárdenas Gustavo Efraín Yépez Ramírez Adrián Francisco
Tema: Distancia de la Tierra – Sol
Problema: ¿Cómo se calculó la distancia de la Tierra al sol? Objetivo de la investigación: Calcular la distancia de la tierra al sol aplicando el cálculo Aristarco basado en un triángulo rectángulo Temas y subtemas: ⮚ ⮚ ⮚ ⮚
Cálculo de la Tierra al Sol de forma geométrica. Cálculo Aristarco Ángulos Triángulo rectángulo
Diagnóstico de la situación: 1. ¿Qué relación existe entre la distancia de la tierra a la luna y la tierra al Sol? 2. ¿De cuántas formas se puede calcular la distancia de la Tierra al Sol? Teoría: Los casos de teorías exitosas pero falsas juegan un papel muy importante como falsadores del argumento más sólido a favor del realismo. Dos cálculos de la distancia de la Tierra al Sol realizados por Ptolomeo que son aparentemente independientes entre sí, que suponen una gran cantidad de valores erróneos e hipótesis falsas y que, sin embargo, los resultados coinciden asombrosamente. Además, ambos resultados coinciden también con un valor propuesto anteriormente por Aristarco de Samos. Se trata, por lo tanto, de una triple coincidencia -sin duda un éxito sumamente asombroso de teorías indiscutiblemente falsas. En el presente trabajo nos limitaremos a presentar el caso histórico, dejando de lado cualquier análisis epistemológico. El cálculo de Aristarco
Aristarco de Samos en el Tratado sobre tamaño y las distancias del Sol y la Luna afirma que, cuando la Luna se encuentra en uno de sus cuartos, su elongación es de 87°. Con ese sólo dato, el astrónomo griego es capaz de obtener las proporciones entre la distancia Tierra-Luna (DL) y la distancia Tierra-Sol (DS). Como puede desprenderse de la figura 1, en el instante en el que la Luna alcanza la cuadratura, el ángulo con centro en la Luna que une a la Tierra y el Sol es recto. Sabemos, además, que el ángulo con centro en la Tierra mide 87°, por lo tanto, el tercer ángulo, con base en el Sol, será de sólo 3°. El seno de de este último ángulo que llamaremos S- nos 𝐷𝐿 dará la razón DL/DS• Lo cual implica que 𝐷𝑆 = 𝑆𝑒𝑛 𝑠
Si consideramos a DL como la unidad, obtenemos que DS vale 19,107. Es decir, respecto de la Tierra, el Sol está 19.107 veces más lejos que la Luna. Pero Aristarco no era capaz de encontrar un resultado tan preciso porque en el momento en que escribió su Tratado aún no contaba con funciones trigonométricas. Sin embargo, con un procedimiento ingenioso pero complicado, demuestra, por un lado, que la proporción tiene que ser mayor que 18 y, por otro, menor que 20. Actualmente se sabe que la proporción es muchísimo mayor, cercana a los 200. El método utilizado por Aristarco es incuestionable, pero la elongación de la Luna en cuarto creciente es mucho más cercana a los 90" (89" 50'). Mediante otros datos y otros cálculos, Aristarco obtiene las distancias absolutas, (no sólo las proporciones) y los tamaños del Sol y de la Luna.
Triángulo rectángulo El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos rectos (α=90°). Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90°. Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos lados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.
Ángulos Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Partes de un ángulo En un plano, dos semirrectas con un origen común siempre generan dos ángulos. En el dibujo podemos ver dos, el A y el B. Están compuestos por dos lados y un vértice en el origen de cada uno.
APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA
Los faros permiten la localización de la tierra y permiten a los navegantes saber en qué lugar se encuentran, pues cada faro emite una señal lumínica única. Actualmente gracias a la navegación asistida por satélite, los faros han perdido importancia en la seguridad y la navegación, pero todavía son importante para las situaciones en las que la tecnología falla. A continuación, te planteamos este problema En la torre de un faro que está a una altura del piso de 50 metros, el vigilante advierte que se aproxima un barco formando un ángulo de depresión de 25º. ¿Cuál es la distancia que separa el barco del faro?
Solución al ejercicio De acuerdo con los datos conocidos, el ángulo de depresión de 25º se debe relacionar con un ángulo interno del triángulo: para ello lo podemos hacer mediante el uso de dos propiedades de ángulos:
1. Ángulos alternos opuestos: el ángulo de depresión es igual al ángulo de elevación; es decir el ángulo formado por la línea de la visual de un observador y la horizontal ubicado en este caso en el barco. 2. Ángulos complementarios: el ángulo de depresión es complementario del ángulo interno del triángulo formado por el faro y la hipotenusa, ambos deben sumar 90º; es decir que este ángulo es de 65º. Ahora encontramos la función trigonométrica que relacione los datos conocidos del triángulo:
Una forma de solucionarlo es: d tan65º 50
d 50 tan65º d 107,22 m
.
Otra solución es:
tan25º 50 d 50 d tan25º
d 107,22 m Como podemos observar, no importa cual función o "camino matemático" elijamos, cualquiera de ellas o ellos nos debe conducir a la misma respuesta, en este ejemplo la distancia que separa al barco del faro es de 107,22 m.
Conclusión: A través del tiempo la curiosidad del ser humano ha propiciado, que se realicen varias investigaciones dentro de la astronomía, la rama más utilizada ha sido la geometría en este problema planteado se analizó la pregunta ¿Cómo se calculó la distancia de la Tierra al sol? Y se pudo verificar mediante fuentes de internet que el cálculo se lo ha realizado desde varias perspectivas siendo la de aristarco la que se centra en el análisis de la distancia mediante la geometría y el empleo del triángulo rectángulo donde la luna, el sol y la tierra son los vértices claro está que las condiciones en las que se realizó el cálculo cuando vemos a la luna en cuarto creciente o menguante. Los científicos rechazaron estas teorías geométricas de medición llamandolas teorías falsas, la forma de medir la distancia de la tierra al sol es con la fórmula de MRU, a esta distancia se la relaciona con las unidades astronómicas (UA) midiendo distancias más alejadas en el universo.
Bibliografía: Molina Córdoba, J. N. (2019). Estudio y estructuración de aprendizajes. Configuración del sistema Sol-Tierra-Luna en el Modelo de Aristarco. (Pio García, 2007)Epistemología e historia de la ciencia. Disponible en https://rdu.unc.edu.ar/bitstream/handle/11086/3166/15un%20%20caso%20%20muy%20%20raro.pdf?sequence=1&isAllowed=y
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIA DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MENCIÓN MATEMÁTICA Nombre de los integrantes: Janeth Lincango, Ángela Reyes, Héctor Guamaní, Fernando Rodríguez, Andrés Cazares, Gabriela Cobos. 2. Problema: La geometría en la naturaleza ¿Cómo se relaciona la geometría con la naturaleza? 3. Objetivo de la investigación: Reconocer la presencia de las formas y cuerpos geométricos en la naturaleza, despertando la sensibilidad visual y desarrollando la capacidad de observación. 4.Información por buscar: La geometría en la naturaleza - Figuras geométricas en la naturaleza - Formas circulares en la naturaleza. - Cuerpos geométricos en la naturaleza 5. Diagnóstico de la situación: ¿La estructura de la naturaleza se encuentra formada por figuras geométricas? ¿Qué figuras geométricas y formas circulares encontramos en la naturaleza? Estructura del trabajo: Figuras geométricas en la naturaleza La geometría, es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de las figuras geométricas en el plano o el espacio, y está siempre presente en la naturaleza y se manifiesta a distintos niveles. Precisamente es la Geometría la que ha inspirado a la humanidad en el arte y la arquitectura, así como el pintor francés Paúl Cézanne a finales del siglo XIX afirmaba que " todo objeto se puede reducir a figuras geométricas simples, cubos, pirámides, conos..." Según Papús, las abejas, por intuición geométrica, saben que de las tres figuras regulares (hexágono, cuadrado, triángulo) el hexágono es la figura más eficiente para almacenar la miel. Se puede demostrar, matemáticamente, que efectivamente el hexágono, de las tres dadas, es la figura perfecta para efectuar dicha labor.
Las formas geométricas, como: triángulos, cuadrados, polígonos regulares, espirales, cubos, prismas o esferas se pueden identificar claramente en el medio que nos rodea, sobre todo en la naturaleza. Por ejemplo, el hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci plasma una visión del hombre como centro del Universo al quedar inscrito en un círculo y un cuadrado que es la base de lo clásico y es empleado en toda la arquitectura clásica, la simetría y el ángulo de 90º son bases grecolatinas de la misma. El estudio anatómico busca la proporcionalidad del cuerpo humano, el canon clásico o ideal de belleza.
El rectángulo áureo es armonioso en sus dimensiones. En un cuadrado se marca el punto medio de uno de sus lados, se une con uno de sus vértices al lado opuesto y se lleva esa distancia sobre el lado inicial, así se obtiene el lado mayor del rectángulo. Este rectángulo se puede encontrar en las formas de los espirales de las conchas, como lo muestra la siguiente imagen.
Podemos observar en varios especímenes de la naturaleza que nos rodea como se forman figuras geométricas, por ejemplo, en la figura se aprecia como los pétalos de la petunia forman un pentágono que podríamos afirmar. Que al observarlo se trata de un pentágono regular
Formas circulares en la naturaleza Las formas circulares y esféricas abundan en la naturaleza, podemos ver flores, frutas, cuerpos celestes, entre muchas otras cosas que adoptan dichas formas. En matemática, una circunferencia es una curva plana cerrada cuyos puntos son equidistantes de un punto interior fijo llamado centro. Cabe aquí hacer la distinción entre circunferencia y círculo: la primera es sólo el contorno externo y el segundo incluye también toda el área interior. Las circunferencias se pueden encontrar por ejemplo en la parte central de las flores.
Cuerpos geométricos El parque de los Prismas Basálticos ubicado al sur de México son formaciones rocosas en forma de columnas pentagonales. Hace un par de millones de años, la naturaleza creó estos increíbles postes geométricos de basalto que revisten las paredes de un alto barranco. El capricho de la naturaleza consiste en el haber creado muchísimas rocas poliédricas con sus dos caras iguales y paralelas (bases) y, como cinco o seis caras laterales, Lo más curioso de todo es que las columnas están compactadas unas a otras, como si la madre naturaleza las hubiera enfilado, con paciencia, una a una. Algunas columnas alcanzan hasta 40 metros de altura y tienen unos 80 centímetros de diámetro.
Otra increíble formación de la naturaleza son las esferas: Las perlas son los objetos macroscópicos, aquellos con el tamaño suficiente para poder contemplarse sin necesidad de microscopio, más perfectamente esféricos que existen en la naturaleza, una cualidad que depende de la capacidad de las mismas de rotar durante su crecimiento, y una de las características más apreciadas es su grado de esfericidad
Conclusiones Afirmar que la relación existente entre a Geometría y la naturaleza va mucho más allá de lo visual, siendo la naturaleza una fuente de inspiración y creación que nos ayuda a comprender como en ella se moldean las diferentes figuras geométricas, que no solamente aportan belleza a la diversidad, sino que también ayuda a que su estructura sea más firme y pueda cumplir la función a la que ha sido destinada como en el caso de las abejas y las divisiones forman su panal.
Ejercicios:
En la gráfica se muestra un panal de abejas formado por hexágonos regulares, el lado del hexágono mide 2cm y su apotema 1,2cm. Calcular el área.
𝐴=
𝑃 . 𝑎𝑝 2
𝑃 = (6)(2) = 12 𝑐𝑚 𝐴=
(12) ( 1,2) 2
𝐴=
(12) ( 1,2) 2
𝐴=
14,4 2
𝐴 = 7,2 𝑐𝑚2
Bibliografía: Pérez Zárate, J. I. (2016). Geometría en la naturaleza. Con-Ciencia Boletín Científico De La Escuela Preparatoria No. 3, 3(5). Recuperado a partir de https://repository.uaeh.edu.mx/revistas/index.php/prepa3/article/view/1718