Geometría Analítica en el Plano 1 by Franklin Molina Jiménez

Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educacion Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matematica y Física

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PANO MSc. Franklin Molina Jiménez 2021-2022

Geometría Analítica en el Plano MSc. Franklin Molina Jiménez. Docente de la Universidad Central del Ecuador Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física. Año: 2021

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Publicado en línea: 2021-09-30

Quito - Ecuador

INTRODUCCIÓN

Consciente de la importancia del estudio de la geometría analítica en el plano, este texto ha sido desarrollado con el propósito de facilitar su aprendizaje, y así los maestros de geometría analítica en el plano se conviertan en guías del proceso enseñanza – aprendizaje. Las unidades que constan en el texto están diseñadas de tal forma que se presenta desarrollado el contenido científico, para luego analizar con el maestro una serie de ejercicios resueltos, lo que permitirá al estudiante desarrollar la competencia de resolver ejercicios. A continuación se plantean un grupo de ejercicios para ser resueltos y reforzar lo aprendido para ser resueltos como tarea. Ponemos en consideración a los maestros el presente trabajo que permitirá contribuir en el aprendizaje de la geometría.

MSc. Franklin Molina DOCENTE

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LA GEOMETRÍA ANALITICA La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema matemático moderno y, por lo tanto, el padre de la geometría analítica. La geometría analítica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría euclidiana, pero cuya solución se encuentra combinado de ambas. En este sentido, se puede entender a la geometría analítica como la parte de las matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de coordenadas, por métodos algebraicos. Fueron Fermat y Descartes los verdaderos artífices de la Geometría Analítica. Descartes publica en 1637 La Geometría (G.AT,VI,367-485) junto con La Dióptrica y Los Meteoros como apéndices de su Discurso del Método (DM.AT,VI,1-78). El mismo año, Fermat envía al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629 contenidas en la memoria (TH.OF.III.85-101). Introducción a los Lugares Planos y Sólidos (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge). Las obras citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada más tarde Geometría Analítica. Estos matemáticos encontraron un terreno muy abonado por el Análisis Algebraico en que Vieta había transformado el Análisis Geométrico de los griegos con la intervención de su incipiente Álgebra simbólica. Así pues, a pesar de la gran aportación de Fermat y Descartes a la Geometría Analítica, con gran reconocimiento por parte del primero y algo menos en el caso del segundo, su pensamiento geométrico es tributario de casi todo el desarrollo matemático, en especial de la Geometría griega y en particular de Menecmo, Apolonio y Pappus y del llamado Arte Analítica de Vieta. Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas. La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del álgebra se puede aplicar a la geometría. El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII.

CAMPO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría Analítica es una de las partes de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones entre el álgebra y la geometría euclidiana. La geometría analítica comprende en su estudio a los puntos, rectas, curvas, ángulos y superficies a los números reales, por lo que se debe estar familiarizados con algunas de sus propiedades.

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 1 CONCEPTOS PRELIMINARES SEGMENTOS ORIENTADOS Por la geometría plana se sabe que un segmento rectilíneo es una porción de recta (comprendida entre dos puntos A y B) cuya longitud se representa por AB o BA. No se hace mención de su sentido. En el estudio de la geometría analítica es necesario considerar tanto la longitud como el sentido. El sentido de un segmento es el de la traslación de un móvil que lo recorre partiendo del origen o punto inicial A al extremo o punto final B. Se indica escribiendo primero el origen y después el extremo, esto ̅̅̅̅ es: AB ̅̅̅̅ será positivo o negativo según que su sentido sea el positivo o el negativo de la recta El segmento AB l que lo contiene. Así, si la recta í está orientada positivamente, de izquierda a derecha, como lo indica la flecha, entonces el segmento orientado AB tiene longitud positiva y el segmento BA, longitud negativa. Por lo que podemos escribir:

̅̅̅̅ AB = − ̅̅̅̅ BA

De donde:

̅̅̅̅ + BA ̅̅̅̅ = 0 AB

Se debe considerar la posición de un tercer punto C, sobre el segmento orientado, con relación a los puntos A y B se tiene que: ̅̅̅̅ AC = ̅̅̅̅ AB + ̅̅̅̅ BC

SISTEMA COORDENADO LINEAL Sobre una recta orientada X’X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, se coloca el punto fijo O, llamado origen. Si A es un punto a una unidad y la derecha de O, entonces el punto P, contiene x, veces la unidad establecida de longitud OA; luego se dice que el punto P1, corresponde al número positivo x 1. Análogamente, si P, es un punto cualquiera de la recta X'X situado a la izquierda O, se dice que el punto P2 corresponde al número negativo x2. De este, modo cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la recta X’X. Recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X’X representa un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de O. A esta correspondencia biunívoca que existe entre puntos de una recta numérica y los números reales se llama sistema coordenado lineal.

El número real x correspondiente al punto P que recibe el nombre de coordenada del punto P y se le representa por (x). El punto P con su coordenada (x) es la representación geométrica del número real x, y se escribe P(x) o P = (x). 2 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ DISTANCIA DIRIGIDA En un sistema de coordenadas lineal, la distancia dirigida entre dos puntos A(x1) y B(x2) sobre una recta está dada por: d(AB) = x2 – x1 • • •

La distancia dirigida entre dos puntos de un sistema coordenado lineal se obtiene restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo. Cuando la distancia de A(x1) a B(x2) está en el sentido positivo, x2 > x1, entonces x2 – x1 es un número positivo. Es decir: AB > 0, si A está a la izquierda de B. Cuando la distancia de A(x1) a B(x2) está en el sentido negativo, x2 < x1, entonces x2 – x1 es un número negativo. Es decir: AB < 0, si A está a la derecha de B.

DISTANCIA NO DIRIGIDA En un sistema de coordenado lineal, la distancia no dirigida entre dos puntos A(x 1) y B(x2) se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos, esto es: d(AB) = |x2 − x1 | = √(x2 − x1 )2 Los signos de valor absoluto se usan en esta ecuación para no especificar cuál de las coordenadas x1 y x2 es la mayor, ya que: |𝑥2 − 𝑥1 | = |𝑥1 − 𝑥2 | PROPIEDADES DE LA DISTANCIA NO DIRIGIDA La distancia no dirigida entre dos puntos A y B elementos de la recta L, cumple las siguientes propiedades: d(AB) ≥ 0 ; ∀A,B ∈ R d(AB) = 0 ↔A = B d(AB)= d(B A); ∀ A,B ∈ R d(AC) ≤ d(AB) + d(BC); ∀A ,B ,C ∈ R (Desigualdad triangular). EJERCICIOS PRPUESTOS: 1. H) Sobre una recta L se dan los puntos A, B, C y E 1 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑦 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) AB = ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ; ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐸 = 2𝐴𝐶 𝐴𝐷 = (𝐴𝐸 2 T) ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 = ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 + ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

DEMOSTRACIÓN 1) 2) 3)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 3AC ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 + ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 => ̅̅̅̅ AE = ̅̅̅̅ AC + 2AC 1 3 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) => ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) 𝐴𝐷 = (𝐴𝐸 𝐴𝐷 = (𝐴𝐶 2 2 ̅̅̅̅̅ = 3(𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ) = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = (𝐴𝐵 ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 2𝐴𝐷 𝐴𝐶 + 2𝐴𝐶 𝐵𝐶 ) + 2𝐴𝐶

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ ̅̅̅̅ = 2𝐴𝐵 ̅̅̅̅ + 2𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 4) ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 => 2𝐴𝐷 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 5) 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 2. H) Sobre una recta L se toman los puntos consecutivos A, B, C y D ̅̅̅̅̅(𝑀 𝑒𝑛 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ). M es punto medio de 𝐴𝐷 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 – 𝑀𝐵 = 2 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 + ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 = 24, T) ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐷 = ?

DEMOSTRACIÓN 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 + ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 ̅̅̅̅ = 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅̅ 𝐵𝐷 𝑀𝐷 MD = AM BD = BM + AM ̅̅̅̅̅ + 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = 2𝐴𝑀 ̅̅̅̅̅ + 𝑀𝐶 ̅̅̅̅̅ + 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅̅ + 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ + (𝑀𝐶 ̅̅̅̅̅ − 𝑀𝐵 ̅̅̅̅̅ ) 𝐴𝐶 24 = 𝐴𝐷 + 2 AD = 22

3. En un sistema coordenado lineal trazar los puntos P (3) y 𝑄(−√5) PROCEDIMIENTO: • Sobre una recta numérica fijamos el origen O. Luego ubicamos el punto P a 3 unidades establecidas, a la derecha de O. ̅̅̅̅ = 1 • Para encontrar el punto Q, construimos un triángulo rectángulo BAC, de catetos 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ y 𝐴𝐶 = 2. A partir del teorema de Pitágoras se establece que: 𝐵𝐶 = √(1)2 + (2)2 ; 𝐵𝐶 = √5 . Utilizando un compás, para hacer centro en O, trasladamos la magnitud ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐶 sobre el eje real, a la izquierda de O, y ubicamos de este modo el punto 𝐴 (−√5)

4. Trazar los puntos, cuyas coordenadas deben dar solución a las siguientes ecuaciones: 𝐴) |𝑥 − 2 | = 5

𝐵) |3𝑥 − 5| = 7 − 𝑥

𝐶) | 𝑥 + 2 | + | 𝑥 − 1 | = 5

PROCEDIMIENTO: Se conoce que: |𝑥 | = 𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 |𝑥 | = − 𝑥; 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝐴) |𝑥 − 2 | = 5 𝑥−2 =5; 𝑥 = 7 𝑥 − 2 = −5 ; 𝑥 = − 3 Entonces se ubica en la recta real los puntos A (-3) y B (7) 4 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 𝐵) | 3𝑥 − 5 | = 7 − 𝑥 3𝑥 − 5 = 7 – 𝑥 ; 𝑥 = 3 3𝑥 − 5 = − 7 + 𝑥 ; 𝑥 = −1 Se ubica a los puntos A (- 1) y B (3) en la recta real:

𝐶) |𝑥 + 2| + |𝑥 + 1| = 5 Por la definición de valor absoluto se tiene que: 𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2 |x + 2| = { −𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

; |𝑥 − 1| = {

𝑥 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 −𝑥 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 < 1

Entonces en la ecuación dada: 𝑆𝑖: 𝑥 < − 2 (− 𝑥 – 2) + (− 𝑥 + 1) = 5 𝑥 = −3 𝑆𝑖: − 2 < 𝑥 < 1 (𝑥 + 2) + (− 𝑥 + 1) = 5 3 = 5 (𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜) 𝑆𝑖: 𝑥 > 1 (𝑥 + 2) + ( 𝑥 − 1) = 5 𝑥 = 2 Por lo tanto, se ubica en la recta real los puntos A (- 3) y B (2)

5. Determinar las distancias dirigida y no dirigida entre los puntos A (-2) y B (-7) Procedimiento: Distancia dirigida:

d(A B) = x2 – x1 d(A B) =-7 - (-2) d(A B) = -5

Distancia no dirigida:

d(A B) = | x2 –x1 I d(A B) =|-7 - (-2)| d(A B) =|-5| d(A B) = 5

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 6. La distancia entre dos puntos es 4, si la coordenada de uno de los puntos es (-1), hallar el otro punto. Interpretar geométricamente el resultado. PROCEDIMIENTO: Supóngase que A = (-1), d(A B) = 4 y B(x2) es el punto buscado. Por la definición de distancia no dirigida d(AB) = I x2 – x1 I , se tiene que: |𝑥2 – (−1)| = 4 |𝑥2 + 1| = 4 𝑥2 + 1 = 4 ó 𝑥2 + 1 = −4 𝑥2 = 3

𝑥2 = −5

Por lo tanto, hay dos soluciones: B (3) y B’ (-5) Interpretación geométrica.

7. Determinar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos A (-8) y B (10) PROCEDIMIEMTO: Sean P (x1) y Q(x2) los puntos de trisección y M(x) el punto medio del segmento dirigido AB.

Para P (x1) se tiene: Si

𝐴𝑃 𝑃𝐵

1 2

̅̅̅̅ = 2𝐴𝑃 ̅̅̅̅ => 𝑃𝐵

xB - xp = 2(xp - xA) 10 – x1 = 2[x1 - (-8) ] x1 = - 2 ̅̅̅̅ Para Q es el punto medio de 𝑃𝐵 ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 = ̅̅̅̅ 𝑄𝐵

xQ - xp = xB -xQ X2- (-2) = 10 - x 2 x2 = 4 ̅̅̅̅ Para M que es el punto medio de 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 = ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 x - (-8) = 10 - x x=1 Por tanto los puntos solución son: P (-2), Q (4) y M (1) 6 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 8. El segmento orientado de extremos A (-1) y B (3) se prolonga hasta el punto P de manera que ̅̅̅̅ = 3𝐴𝐵 ̅̅̅̅. Hallar la coordenada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón 1/3 2𝐴𝑃 PROCEDIMIENTO: Asignamos al punto P con x1 por tanto P(x1) ̅̅̅̅ = 3𝐴𝐵 ̅̅̅̅, 2𝐴𝑃

Además :

2[x1 - (-1)] = 3[3 - (-1)] x1 = 5 => P (5) Si

𝑃𝑄 𝑄𝐵

1 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ = => 3𝑃𝑄 𝑄𝐵 3

3(𝑥 − 5) = 3 − 𝑋 9 2

9 2

𝑥 = => 𝑄 ( )

9. El punto P (1) divide al segmento AB en la razón 3/2. Si |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = 15, hallar las coordenadas de A y B. PROCEDIMIENTO: Sean: A(x1) y B(x2) Si

𝐴𝑃 𝑃𝐵

3 ̅̅̅̅ = 3𝑃𝐵 ̅̅̅̅ = => 2𝐴𝑃 2

2(1 − 𝑥1 ) = 3(𝑥2 − 1) 2𝑥1 + 3𝑥2 = 5 Dado que |̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = 15 |𝑥2 – 𝑥1 | = 15 𝑥2 − 𝑥1 = ± 15 Resolviendo simultáneamente las ecuaciones se obtiene: 𝑥1 = −8 , 𝑥2 = 7 ó 𝑥1 = 10, 𝑥2 = −5 ̅̅̅̅ son: Por lo tanto, los extremos del segmento 𝐴𝐵

A (-8) y B (7) ó A (10) y B (-5)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Sobre una recta L se toman los puntos consecutivos A, B, C. y D, de modo que ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐶 𝑥 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = 28 𝑦 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 − ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 7 , hallar el valor del segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 .

𝐴𝐵 𝐵𝐶

𝐴𝐷 𝐶𝐷

. Si

2. Sobre una recta L se dan los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se toma M punto medio de ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ; si 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ = 18 y 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = 4, hallar el valor de 𝑀𝑁 ̅̅̅̅̅. y N punto medio de 𝐶𝐷

3. Sobre un sistema coordenado lineal trazar los puntos A (-3/2), B(√3 ), C(-3/7) , D(√7) , E(−√12)

4. Trazar los puntos cuyas coordenadas cumplan con las ecuaciones dadas, A) |3𝑥 − 1| = 2 𝑥 + 5 𝑥 2

B) 2 − 5 | − 3| = 5𝑥 – 8 7 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ C) |𝑥 2 − 4| = 4 − 2𝑥 D) |𝑥 − 4|2 − 5|𝑥 − 4| + 6 = 𝑂 E) |𝑥 + 2| + |𝑥 − 3| = 7 F) 2 |𝑥 + 1| − 3|𝑥 − 2| + | 𝑥 − 5| = 𝑥 + 2

5. En los ejercicios siguientes se dan la distancia entre dos puntos y uno de los puntos; se pide hallar, en cada caso, el otro punto. Interpretar geométricamente el resultado. A) d(AB) = 5 , B(-2) B) d(AB) = 3 , A(-5) C) d(AB) = 8 , A(3) D) d(AB) = 6 , B(2 )

6. En los ejercicios siguientes se dan los puntos A y B. Hallar los puntos P y Q que trisecan al segmento AB. A) A(2) , B(14)

B) A(-2) , B(9)

7. El segmento que une los puntos A (-2) y B (4) se prolonga hasta un punto P (x), de modo que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Hallar las coordenadas del punto P. 𝐴𝑃 = 3𝐵𝑃

8. En un segmento rectilíneo limitado por los puntos A (-4) y B (2) se prolonga hasta y el punto ̅̅̅̅ = 2 𝐴𝑃 ̅̅̅̅. Hallar la coordenada del punto Q(x) que divide al segmento P(x), de modo que 5 𝐵𝑃 ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 en la razón r = 3/2

9. Dados los puntos A (-1), B (3) y C (6). determinar el punto P(x) que divide al segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 en ̅̅̅̅ . la misma razón en que divide al segmento 𝐵𝐶

10. Determinar la coordenada del punto M conociendo : A) A (-1), B (3) y 𝑟 =

𝐴𝑀 𝑀𝐵

= −2

B) A (1), B (3) y 𝑟 =

𝐵𝑀 𝑀𝐴

= −3

11. El punto P (-3) divide al segmento orientado ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 en la razón 1/3. Hallar las coordenadas de A ̅̅̅̅ | = 8. y B, sabiendo que |𝐴𝐵

12. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P(-17) y Q(-5)

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CAPÍTULO 2 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Se parte considerando a dos rectas perpendiculares entre sí, que se interceptan en el punto O y dividen al plano en cuatro cuadrantes. La recta horizontal OX se llama eje X o eje de las abscisas, y la recta vertical OY se llama eje Y o eje de las ordenadas. Su intersección O es el origen de coordenadas. El sentido positivo de la recta horizontal es hacia !a derecha y el de la vertical hacia arriba. Cualquier punto P en el plano está identificado por un par ordenado (x, y) de números reales asociados con él. El número x, llamado abscisa, representa la distancia dirigida desde el eje Y al punto, y el número y, llamado ordenada, la distancia dirigida desde eje X al punto. Ambos números constituyen las coordenadas del punto P y se simboliza P(x, y) o P = (x, y). El modelo para su representación se llama sistema coordenado rectangular o plano cartesiano y se le simboliza por R 2, esto es R2 = {(x, y) x e y son números reales} Los puntos A y B son, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre los ejes X e Y. Sobre el signo que asumen las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes del plano.

Las características que posee el plano cartesiano son: A) A cada par de números reales (x, y) le corresponde uno y solamente un punto P del plano coordenado. B) Recíprocamente a cada punto P del plano le corresponde uno y solamente un par de coordenadas (x, y).

C) Para ubicar un punto en el plano por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto. Por ejemplo, para trazar el punto P (-4,5), señalamos primero el punto A sobre el eje X, cuatro unidades a la izquierda del eje Y, luego el punto B, sobre el eje Y, cinco unidades arriba del eje X. La intersección de las paralelas a ambos ejes trazados de los puntos A y B permiten la localizan al punto P.

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ D) Todos los puntos situados sobre una recta paralela al eje Y tienen la misma coordenada x , y todos los puntos sobre una recta paralela al eje X tienen la misma coordenada y. Así, los puntos A (2 , 1 ), B(2 ,4), C(2 , -3) están sobre una línea vertical, y los puntos D(-3 , 3), E(0 , 3), F(5 , 3) están sobre una línea horizontal.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera plano cartesiano A (x1, y1) y B(x2, y2) se utiliza la fórmula

del

𝒅(𝐴𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 DEMOSTRACIÓN. Sean: A (x1, y1) y B (x2, y2) dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano. Si la recta que contiene al punto A y B no paralela a ninguno de los ejes coordenados, se traza una recta entrecortada que pase por A paralela al eje X y una recta entrecortada que pase por B paralela al eje Y, si C es el punto de intersección de estas paralelas, sus coordenadas son (x2, y1).

Por el Teorema de Pitágoras se tiene que: |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 |2 = |̅̅̅̅ 𝐴𝐶 |2 + |̅̅̅̅ 𝐶𝐵|2 Si:

|̅̅̅̅ 𝐴𝐶 | = | 𝑥2 – 𝑥1 | 𝑦 |̅̅̅̅ 𝐶𝐵| = |𝑦2 − 𝑦1 | |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 |2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

Por lo tanto: 𝒅(𝐴𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO SOBRE LOS EJES COORDENADOS. ̅̅̅̅, de extremos A (x1, y1) y B En un sistema coordenado rectangular, la proyección de un segmento 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ (x2, y2), sobre el eje OX se indica con la simbología: 𝑥 = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑋 𝐴𝐵 , y la proyección sobre el eje OY, ̅̅̅̅. con la simbología: 𝑦 = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑦 𝐴𝐵 Ambas proyecciones pueden calcularse por las fórmulas 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1

Si  es el ángulo de inclinación del segmentó AB con respecto al eje positivo OX, y d = d(AB), las fórmulas: 𝑥 = 𝑑 cos 𝛼 ; 𝑦 = 𝑑 sin 𝛼 Expresan las proyecciones de un segmento arbitrario sobre los ejes coordenados mediante su longitud y su ángulo de inclinación o ángulo polar a. De las ecuaciones anteriores se puede deducir las fórmulas 𝑑 = √𝑥 2 + 𝑦 2 ,

cos 𝛼 =

𝑥 √𝑥 2

+ 𝑦2

sin 𝛼 =

𝑦 √𝑥 2

+ 𝑦2

Que expresan la longitud y el ángulo polar del segmento mediante sus proyecciones sobre los ejes coordenados. 10 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

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EJERCICIOS RESUELTOS 1. La abscisa dé un punto es -6 y su distancia al punto A(1 ,3) es √74. Determinar la ordenada del punto. Sea P (-6 , y) el punto cuya ordenada se desea conocer. Si: d (A P) = √ 74 d (A P) = √(−6 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 d (A P) = √74 Elevando al cuadrado ambos extremos de esta ecuación obtenemos 49 − (𝑦 − 3)2 = 74 (𝑦 – 3)2 = 25 𝑦 − 3 = 5 ó 𝑦 − 3 = −5 𝑦 = 8

𝑦 = −2

2. Demostrar que los puntos A(-3 , 10) , B(1 , 2) y C(4 , -4) son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta. Si A, B y C son puntos colineales, se debe verificar que: |̅̅̅̅ 𝐴𝐶 | = |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| + | ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | Utilizando la fórmula de la distancia, se tiene: |̅̅̅̅ 𝐴𝐶 | = √(4 + 3)2 + (−4 − 10)2 = 7√5 |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = √(1 + 3)2 + (2 − 10)2 = 4 √5 |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = √(4 − 1 )2 + (−4 − 2)2 = 3 √5 Ya que: 7√5 = 4√5 + 3√5

̅̅̅̅ | + |𝐵𝐶 ̅̅̅̅ | se cumple que |̅̅̅̅ 𝐴𝐶 | = |𝐴𝐵

3. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos A (4, 3), B (2, 7) y C (-3, -8). Sea P(x, y) el punto que equidista de los puntos A, B y C. Entonces se debe comprobar que: d(A P) = d(B P) = d(C P) Si: d(A P) = d (B P) √(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = √(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 7)2 𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0

(1)

Si: 𝑑 (𝐵, 𝑃) = 𝑑(𝐶, 𝑃) √(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 7)2 = √(𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 8)2 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 (2)

Al resolver el sistema de ecuaciones entre (1) y (2) se obtiene las coordenadas del punto buscado, se tiene que: x=5, y=-1, es decir el punto equidistante es: P (5, -1)

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 4.

Demostrar que el triángulo de vértices A (4, 7), B(-1 , -8) y C(8 , -5) es un triángulo rectángulo y determinar su perímetro y área. Si A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo entonces por el Teorema de Pitágoras se debe verificar que:

̅̅̅̅ |2 + |𝐶𝐴 ̅̅̅̅|2 |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 |2 = |𝐵𝐶

Por tanto se tiene que: 𝑑|̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = √(−1 − 4)2 + (−8 − 7)2 ; 𝑑|̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = √250; 𝑑 |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = 5√10 𝑑|̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = √(8 + 1)2 + (−5 + 8)2 ; 𝑑 |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = √90; 𝑑|̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = 3√10 𝑑|̅̅̅̅ 𝐶𝐴| = √(4 − 8)2 + (7 + 5)2 ; 𝑑 |̅̅̅̅ 𝐶𝐴| = √160; 𝑑|̅̅̅̅ 𝐶𝐴| = 4√10 Ya que ∶ (√250)2 = (√90)2 + (√160)2 se tiene: 250 = 250 El perímetro del ∆𝐴𝐵𝐶 es: 𝑃 = 𝑑|𝐴𝐵| + 𝑑 |𝐵𝐶 | + 𝑑|𝐶𝐴| 𝑃 = 5√10 + 3√10 + 4√10 𝑃 = 12√10 𝑢 El area del ∆𝐴𝐵𝐶 es:

1 ̅̅̅̅ |)(|̅̅̅̅ A(∆𝐴𝐵𝐶) = (|𝐵𝐶 𝐶𝐴|) 2 1 2

A(∆𝐴𝐵𝐶) = (3√10)(4√10) A(∆𝐴𝐵𝐶) = 60 𝑢2 5. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos A (-6 -2), B (-2, -1), C (-1, 3), D (-5, 2) es un rombo. Calcular su área Se debe demostrar que: |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = |̅̅̅̅ 𝐶𝐷 | = |̅̅̅̅ 𝐷𝐴| ̅̅̅̅ | ≠ |𝐵𝐷 ̅̅̅̅ | |𝐴𝐶 Entonces: ̅̅̅̅ | = √(−2 + 6)2 + (−1 + 2)2 = √17 |𝐴𝐵 ̅̅̅̅ | = √(−1 + 2)2 + (3 + 1)2 = √17 |𝐵𝐶 |̅̅̅̅ 𝐶𝐷 | = √(−5 + 1)2 + (2 − 3)2 = √17 |̅̅̅̅ 𝐷𝐴| = √(−6 + 5)2 + (−2 − 2)2 = √17 ̅̅̅̅ | = (−1 + 6)2 + (3 + 2)2 = 5√2 |𝐴𝐶 |̅̅̅̅ 𝐵𝐷 | = √(−5 + 2)2 + (2 + 1)2 = 3√2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅|y |A ̅̅̅C̅| ≠ |BD ̅̅̅̅| por lo tanto el cuadrilátero ABCD es un rombo. ̅̅̅| = |CD ̅̅̅| = |DA Por lo que: |A B| = |BC Para determinar el área del rombo se utiliza: 1 ̅̅̅̅ |)(|̅̅̅̅ 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = (|𝐴𝐶 𝐵𝐷 |) 2 1 2

𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = (5√2)(3√2) 12 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 15𝑢2 6. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (3, 1) y B (-1, -1). Determinar las coordenadas del tercer vértice. Sean (x, y) las coordenadas del tercer vértice C Para que el triángulo sea equilátero es necesario que |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = |̅̅̅̅ 𝐶𝐴| |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = √(−1 − 3)2 + (−1 − 1 )2 ; |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = 2√5 ̅̅̅̅ | 𝐶𝑜𝑚𝑜: |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = |𝐵𝐶 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 = 18 (1)

2√5 = √(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 ; 𝐶𝑜𝑚𝑜: |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 |

2√5 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 = 10

(2)

Restando (1) - (2) se obtiene 2𝑥 + 𝑦 = 2 => 𝑦 = 2 − 2𝑥

(3)

Se sabe que (3) representa la mediatriz del segmento AB. Sustituyendo (3) en (1) se tiene: 𝑥 2 + (2 − 2𝑥)2 + 2𝑥 + 2(2 − 2𝑥) = 18 𝑥 2 − 2𝑥 − 2 = 0 de donde: 𝑥1 = 1 − √3 ó 𝑥2 = 1 + √3 Valores que sustituidas en (3) dan: 𝑦1 = 2√3 ó 𝑦2 = −2√3 Por lo que se determina que existen dos soluciones: 𝐶 (1 − √3, 2√3) ó 𝐶’(1 + √3, −𝟐√𝟑 )

7. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 3√5, son A (10, -8) y B (7, 1). Determinar las coordenadas del centro de ésta. Sea C(x, y) el centro de la circunferencia d(AC) = d (BC), por ser radios √(𝑥 − 10)2 + (𝑦 + 8)2 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 1)2 de donde: 𝑥 = 3𝑦 + 19 Dado que: |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = 3√5

(1)

√(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 1)2 = 3√5 𝑥 2 + 𝑦 2 − 14𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 (2) Resolviendo el sistema de ecuaciones entre (1) y (2) se obtiene: C (13, -2) ó

C (4, -5)

8. Determinar el punto Q simétrico al punto P (-1, 6) con respecto a la recta que pasa por los puntos A (-5, -1) y B (3 , 3) 13 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ Como se conoce que la recta que pasa por los puntos A y B es mediatriz del segmento de extremos P y Q, ya que ambos están a la misma distancia de dicha recta. Por lo tanto: ̅̅̅̅ | |̅̅̅̅ 𝐴𝑃| = |𝐴𝑄 √(−1 + 5)2 + (6 + 1)2 = √(𝑥 + 5)2 + (𝑦 + 1 )2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1𝑂𝑥 + 2𝑦 = 39

(1)

|̅̅̅̅ 𝐵𝑃 | = |̅̅̅̅ 𝐵𝑄 | √(−1 − 3)2 + (6 − 3)2 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 = 7

(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones entre (1) y (2)se tiene: 2𝑥 + 𝑦 = 3;

𝑦 = 4−2𝑥

Sustituyendo y en la ecuación (2), se tiene: 𝑥 2 + (4 − 2𝑥)2 − 6𝑥 − 6(4 − 2𝑥) = 7 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 Dado que x = -1 es la abscisa de P, entonces x = 3 es la abscisa de Q, por lo tanto: y = 4 - 2(3) = -2. Lo que permite afirmar que el punto Q es: Q= (3, -2)

9. Dadas las proyecciones del segmento AB sobre los ejes coordenados x = 5, y = - 4. Determinar las coordenadas de su extremo, sabiendo que su origen está en el punto A (-2, 3) Utilizando las fórmulas para la proyección de un segmento sobre los ejes coordenados se tiene: 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 5 = 𝑥2 − 2 𝑥2 = 3 𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 −4 = 𝑦2 − (3) 𝑦2 = −1

∴ 𝐵(3 , −1) }

10. La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto M (3, -2), la proyección sobre el eje de las abscisas es igual a -12. Determinar las coordenadas del extremo de este segmento, si forma con el eje de las ordenadas: A) un ángulo agudo, B) un ángulo obtuso. Se considera que N = (x2 - y2) Si x = -12 ; x2 – x1= -12 y como x1 = 3 x2 = 3 – 12; x2 = -9 Además se sabe que: |̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁 | = 13 √(−9 − 3)2 + (𝑦 2 + 2)2 = 13 (𝑦2 + 2)2 = 25 14 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 𝑦2 + 2 = 5 𝑦2 + 2 = −5 𝑦2 = 3 ó 𝑦2 = −7 Por lo tanto, los puntos buscados son: A) N1 (-9, 3),

B) N2(-9 , -7)

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Determinar la distancia que separa a los puntos A y B. escribir el resultado en la forma más simplificada posible. 𝑚 − 𝑛√3 𝑛 + 𝑚√3 𝑎) 𝐴(𝑚 , 𝑛 ), 𝐵 ( , ) 𝑏) 𝐴(sin 𝛼 , cos 𝛼 ), 𝐵(− sin 𝛽 , cos 𝛽) 2 2 2.

La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B (5, -2) es 21; hallar la abscisa del punto.

3. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A (7, 1) y B (3, b) es 5. 4. Usando la fórmula de la distancia, demostrar que los siguientes puntos dados son colineales A (-2,-5), B (1 ,-1) , C(4 , 3) 5. Determinar la naturaleza de cada uno de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos dados. A) A(-5 , 3 ), B(3 , 2 ), C(-1 ,-4) c) A( 3 , 1 ) , B( - 1 , -1 ), C ( 1 − √3 , 2 √3) B) A(2 , -1) , B(6 , 7) , C(-4 , -3) d) A(6 , 5 ), B(3 , 7 ), C(2 , -1) 6. Hallar las coordenadas del punto P que equidista de los tres puntos dados A) A (-11, 3), B (6, 10), C (1, 11) B) R (2, 3), S (4, -1), T (5, 2) 7. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A (-8 , -3), B(-2 , 6), C(8 , 5) y D (2 , -4) es un paralelogramo. (Lados iguales de dos en dos y diagonales de diferente longitud). 8.

Demostrar que el cuadrilátero con vértices en A (-2, -1), B (5, -4), C(-1 , -18) y D(-8 , -15) es un rectángulo.

9. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A (2 , -1) y B(-1 , 2) y los lados iguales miden cada uno unidades, hallar el vértice opuesto al lado desigual. 10. Determinar un punto sobre la gráfica de SB = {(x , y) | x - 3y - 9 = 0} que equidista de los puntos A(3 , 3) y B(8 , -2) 11. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 5, son A (2, 6) y B (1 , -1). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia. 12. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (1, 0) y B (-1, 2√3). Determinar las coordenadas del tercer vértice. 13. Dados tres vértices A (3, -7), B (5, -7), C (-2, 5) de un paralelogramo ABCD, cuyo cuarto vértice D es opuesto a B, determinar las longitudes de las diagonales de este paralelogramo. 15 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALINICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 14. El lado de un rombo es igual a 5√10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4 , 9) y Q(-2,1). Determinar el área de este rombo. 15. Los puntos A (−√3, 1), B (0, 2) y C (-2√3 , 2) son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externo con el vértice en el punto A (Calcular las longitudes de los lados del triángulo y luego aplicar la ley de los cosenos). 16. La longitud del segmento MN es igual a 17, su extremo está en el punto N (-7 , 3) y la proyección sobre el eje de ordenadas es igual a 15. Determinar las coordenadas del origen de este segmento, si se sabe qué forma con el eje de abscisas, A) Un ángulo agudo, B) un ángulo obtuso. 17. Hallar en el eje X un punto M, cuya distancia hasta el punto N (2, -3) es igual a 5. 18. Dados los puntos M (2, 2) y N (5, -2). Determinar en el eje de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. 19. Por el punto M (1, -2) se ha trazado una circunferencia de radio 5, tangente al eje X. Determinar el centro de la misma. 20. Determinar las coordenadas del punto P, simétrico al punto Q (1. 2) con respecto a la recta que pasa por los puntos A (-1, 0) y B (-1, -2). 21. Los vértices de un triángulo son: A (-3, 6), B (9, -10) y C (-5, 4). Determinar el centro C y el radio R de la circunferencia circunscrita en él.

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CAPÍTULO 3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Sean A (x1, y1) y B (x2, y2) dos puntos del plano que determinan el segmento dirigido AB. Para determinar las coordenadas x e y de un punto P que está contenido en él o en su prolongación, de modo que divida a éste es una razón dada, es: 𝐴𝑃 =𝑟 𝑃𝐵 Para determinar x, por los puntos A, P y B se traza perpendiculares al eje X, tal como se indica en la figura. Los puntos perpendiculares que se forman sobre la abscisa son C, Q y D respectivamente. Por la geometría elemental sabemos que tres rectas paralelas determinan sobre dos secantes segmentos proporcionales. Esto es 𝐴𝑃 𝑃𝐵 = 𝐶𝑄 𝑄𝐷 Dado que ̅̅̅̅ 𝐶𝑄 = 𝑥 – 𝑥1 𝑦 ̅̅̅̅ 𝑄𝐷 = 𝑥2 − 𝑥, entonces 𝐴𝑃 𝑃𝐵

𝑥−𝑥1 𝑥2 −𝑥

Luego, de resolver el sistema queda: 𝑥 − 𝑥1 𝑥1 + 𝑟𝑥2 = 𝑟; 𝑥 = , 𝑟 ≠ −1 𝑥2 − 𝑥 1+𝑟 De manera semejante, se procede con y: 𝑦=

𝑦1 + 𝑟𝑦2 , 𝑟 ≠ −1 1+𝑟

Por lo tanto el teorema que se concluye esta dado por: Si A (x1, y1) y B (x2, y2) son los extremos de un segmento dirigido AB, las coordenadas de un punto 𝐴𝑃 P(x, y) que divide a este segmento en la razón dada, 𝑟 = son: 𝑃𝐵

𝑥=

𝑥1 + 𝑟𝑥2 ; 1+𝑟

𝑦=

𝑦1 + 𝑟𝑦2 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 ≠ −1 1+𝑟

A) Si r > 0, el punto P es interno al segmento dirigido ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ B) Si r < 0, el punto P es externo al segmento dirigido 𝐴𝐵 c) Si r = 1, el punto P es medio al segmento dirigido ̅̅̅̅ 𝐴𝐵. Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son: 𝑥𝑚 =

(𝑥1 + 𝑥2 ) ; 2

𝑦𝑚 =

(𝑦1 + 𝑦2 ) 2

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________

EJERCICIOS RESUELTOS: ̅̅̅̅ = 3𝐴𝐵 ̅̅̅̅, 1. El segmento que une A (-2, -1) con B (2,2) se prolonga hasta C. Sabiendo que 𝐵𝐶 determinar las coordenadas de C.

Para resolver el ejercicios se plantea dos formas de realizarlo: Procedimiento 1: Se utiliza las ecuaciones de una razón dada: 𝑠𝑖 𝐵𝐶 = 3𝐴𝐵 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑟=

𝐴𝐶 4 = 𝐶𝐵 3

Como el punto C(x, y) está en la prolongación de AB, entonces el punto es externo al segmento AB, por lo tanto: r = - 4/3, sustituyendo se tiene: 4 𝑥1 + 𝑟𝑥2 −2 + (− 3) (2) 𝑥= = = 14 1+𝑟 1 − 4/3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 (14, 11) 4 𝑦1 + 𝑟𝑦2 −1 + (− 3) (2) 𝑦= = = 11 1+𝑟 1 − 4/3 } Procedimiento 2: Se utiliza directamente la razón dada y las ecuaciones de la razón: 𝐵𝐶 =3 𝐴𝐵 𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 = =3 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥−2 𝑦−2 = =3 (−2) 2− 2 − (−1) De donde: x = 14, y = 1, por lo que C (14, 11)

2. Determinar los puntos de trisección de un segmento AB, cuyos extremos son los puntos A (-5, 3) y B (4, 21).

Sean P y Q los puntos de trisección del segmento AB. Entonces se tiene que: 𝐴𝑃 1 = 𝑃𝐵 2 𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 𝑦𝑃 − 𝑦𝐴 1 = = 𝑥𝐵 − 𝑥𝑃 𝑦𝐵 − 𝑦𝑃 2 𝑥 − (−5) 1 = ; 4−𝑥 2

𝑦−3 1 = 21 − 𝑦 2

De donde: x = -2, y = 9, por lo tanto P (-2, 9) 18 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ Q es punto medio de PB, entonces, según las ecuaciones de punto medio se tiene: 𝑥 =

1 (−2 + 4); 𝑥 = 1 2

𝑦=

1 2

(9 + 21); 𝑦 = 15 .

Porto lo tanto: Q (1, 15)

3. Si A es punto medio del segmento cuyos extremos son Q (-5,2) y R (1, 6) y B es el punto que está a una tercera parte de la distancia que separa a S (-2 , 6) de T (1 , 9).Determinar la d(AB). Si A es punto medio de ̅̅̅̅ 𝑄𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 (

−5+1 2+6 , ); 2 2

𝐴(−2 , 4)

Para las coordenadas de B que sean (x, y) se tiene: Si

𝑆𝐵 𝐵𝑇

1/3 𝑆𝐵 ; 2/3 𝐵𝑇

𝑥𝐵 −𝑥𝑆 𝑥𝑇 −𝑥𝐵

1 2

= ;

𝑥−(−2) 1−𝑥

𝑦𝐵 −𝑦𝑆 𝑦𝑇 −𝐵

𝑦−6 9−𝑦

= 12 1 2

de donde obtenemos : x = -1; y = 7; Por lo tanto B (-1, 7) ∴ 𝑑(𝐴𝐵) = √(−1 + 2)2 + (7 − 4)2 ;

𝑑(𝐴𝐵) = √10 𝑢

4. Hallar las coordenadas del punto P que está a 3/5 partes de la distancia de A (7, 4) a B (-3, 2). Si M es el punto medio de AB, calcular la d(PM).

Sea 𝑟 =

𝑥𝑃 −𝑥𝐴

𝐴𝑃 𝑃𝐵

3⁄

;𝑟 = 2 5; 𝑟 = ⁄5

𝑦 −𝑦

𝑥𝐵 −𝑥𝑃

= 𝑦𝑃 −𝑦𝐴

𝑥−7

𝑦−4

𝐵

𝑃

3 2

= 2−𝑦 , de donde: −3−𝑥

x = 1, y = 14/5 por lo tanto:

7−3 4+2 M es punto medio del segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∶ 𝑀 ( , ); 2

∴ 𝑑(𝑃𝑀) = √(2 − 1)2 + (3 –

14 2 ) ; 5

𝑑(𝑃𝑀) =

P (1, 14/5)

𝑀(2 , 3) √26 5

𝑢

5. El segmento de extremos A (-2, 4) y B (1, 0) es dividido por los puntos P y Q en las razones -3/2 y -2/3 respectivamente. Determinar la d(PQ).

19 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ Como las razones son negativas, los puntos P y Q se encuentran en la prolongación del segmentó AB. Luego, si P = (x, y), y 𝐴𝑃 3 =− ; 𝑃𝐵 2 𝑥−(2) 1−𝑥

𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 𝑦 𝑃 − 𝑦 𝐴 3 = =− 𝑥𝐵 − 𝑥𝑃 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝑃 2

𝑦−(−49 0−𝑦

=−

Si 𝑄 = (𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑦 𝑥1 −(−2) 1−𝑥1

𝑦1 −(−4) 0−𝑦1

3 2

𝐴𝑄 𝑄𝐵

, de donde: x = 7, y = 8 de donde P (7, 8) 2

=− ; 3

𝑥𝑄 −𝑥𝐴 𝑥𝐵 −𝑥𝐵

𝑦 −𝑦

= 𝑦𝑄−𝑦𝐴 = − 23 𝐵

𝑄

2 3

= − , de donde: x1 = -8, y1 = - 12 ; de donde Q = (-8, -12)

∴ 𝑑(𝑃𝑄) = √(7 + 8)2 + (8 + 12)2 ;

𝑑(𝑃𝑄) = 25 𝑢

6. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son M (-2, 1) , N ( 5 , 2 ) y P(2 ,-3). Sean A (x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3) las coordenadas de los vértices del triángulo. Si M, N y P son puntos medios de los ̅̅̅̅, 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝑦 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ respectivamente, tenemos: lados 𝐴𝐵 𝑥1 + 𝑥2 = 2(−2) = −4 𝑥2 + 𝑥3 = 2(5) = 10 𝑥1 + 𝑥3 = 2(2) = 4 2(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) = 10 Sumando las ecuaciones resulta: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones entre esta y las tres primeras se obtiene: x1= -5; x2=1; x3= 9 Análogamente para las ordenadas se tiene: 𝑦1 + 𝑦2 = 2(1) = 2 𝑦2 + 𝑦3 = 2(2) = 4 𝑦1 + 𝑦3 = 2(−3) = −6 2(𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ) = 0 Sumando las ecuaciones resulta: 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 0 Resolviendo esta última ecuación con las tres primeras resulta: y1 = -4; y2 = 6; y3= -2 Por lo tanto los vértices del triángulo ABC son: A (-5, -4); B (1, 6) y C (9, -2) 7. En el triángulo de vértices A(x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3) demostrar que las coordenadas del baricentro G(x, y) son: 𝑥 =

(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) , 3

𝑦=

(𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ) 3

20 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ Por definiciones de la geometría plana euclidiana, se sabe que las medianas de un triángulo se cortan en un punto, llamado baricentro, que está a una distancia 2/3 del vértice y a 1/3 de la base. 𝑟=

Si Entonces:

𝐴𝐺 𝐺𝐷

𝑥𝐺 −𝑥𝐴 𝑥𝐷 −𝑥𝐺

𝑥−𝑥1 𝑥2 +𝑥3 −𝑥 2

2/3 1/3

=2 𝑦 −𝑦

= 𝑦𝐺 −𝑦𝐴 = 2 𝐷

𝐺

𝑦−𝑦

= 𝑦2 +𝑦3 1 = 2 2

−𝑦

De donde obtenemos: 𝑥 =

(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) , 3

𝑦=

(𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ) 3

8. Si G (2, 3) es el baricentro de un triángulo ABC y G 1 (4, 6), G2 (3, -1) son los baricentros de dos triángulos formados uniendo G con los vértices A, B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. Sean A (x, y), B (x2, y2) y C (x3, y3) las coordenadas de los vértices del triángulo Según las fórmulas obtenidas en el ejemplo anterior: X1 + x2 + x3 = 3(2) = 6

(1)

Y1+ y2 + y3 = 3(3) = 9

(2)

En el ∆𝐴𝐺𝐶 : 4 = (𝑥1 + 2 + 𝑥3 ); 3 1 3

6 = (𝑦1 + 3 + 𝑦3 ); 1 3

En el ∆GBC : 3 = (𝑥1 + 2 + 𝑥3 ); 1 3

−1 = (𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 );

𝑥1 + 𝑥3 =

10 (3)

𝑦1 + 𝑦3 = 15

(4)

𝑥1 + 𝑥3 = 7

(5)

𝑦1 + 𝑦3 = −6

(6)

Resolviendo (3) y (5) con (1) se tiene: x1 = -1, x2 = -4, x3= 11 y de (4) y (6) con (2) se obtiene: y1= 15, y2 = -6, y3 = 0 ∴ 𝐴(−1 , 15) , 𝐵(−4 , −6) 𝑦 𝐶 ( 11,0) 9. Sea da el triángulo A (1,1), B (1, 3) y C (-2, -3). Determinar: A) la longitud de los lados, B) el centro de gravedad; C) la longitud de la bisectriz del ángulo A. A) Longitud de los lados |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = √(−1 − 1)2 + (−3 − 3)2 ; |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = 3√5 𝑢 |̅̅̅̅ 𝐶𝐴| = √(1 + 2)2 + (1 + 3)2 ;

|̅̅̅̅ 𝐶𝐴| = 5 𝑢

B) Coordenadas del baricentro: G(x, y) Según las fórmulas para determinar el baricentro G se tiene: 1 3

𝑥 = (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ); 𝑥 =

1 ; 3(1+1−2)

𝑥 =0

21 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 1 3

1 3

𝑦 = (𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ; 𝑦 = (1 + 3 − 3); 𝑦 =

1 3

Por lo tanto: G = (0, 1/3) C) Por el teorema de la bisectriz consecución del teorema de Tales: En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz del ángulo interno opuesto. 𝐵𝑃 𝑃𝐶

𝐴𝐵 𝐶𝐴

Luego,

;

𝐵𝑃 𝑃𝐶

𝑥𝑃 −𝑥𝐴 𝑥𝐵 −𝑥𝑃

2 5

𝑦 −𝑦

= 𝑦𝑃 −𝑦𝐴 = 5 ; 𝐵

de donde se obtiene:

𝑃

1 7

𝑥−1

𝑦−3

−2−𝑥 9 7

𝑥 = ,𝑦 = ;

= −3−7 = 5 1 9 7 7

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑃 = ( , )

̅̅̅̅| = √(1/7 − 1)2 + (9/7 − 1)2 ; |𝐴𝑃 ̅̅̅̅| = 2/7√10 En consecuencia: |𝐴𝑃

10. Sea el triángulo de vértices A (6, 7), B (2 ,1) y C (-1 ,3). Por el punto D en que la bisectriz del ángulo externo del vértice B interseca a la prolongación del lado AC, se traza una paralela al lado BC; hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela interseca a la prolongación del lado ÁB. |̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = √(2 − 6)2 + (1 − 7)2 ;

̅̅̅̅| = 2√13 |𝐴𝐵

̅̅̅̅ | = √13 |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = √(−1 − 2)2 + (3 − 1)2 ; |𝐵𝐶 Por el Teorema de la bisectriz: 𝐴𝐷 𝐴𝐵 = ; 𝐷𝐶 𝐵𝐶

𝐴𝐷 =2 𝐶𝐷

̅̅̅̅ ; 𝑟 = −2 Ya que D es exterior al segmento 𝐴𝐶 Entonces: 𝑥−6 = −2; 𝑥 = −8 −1 − 𝑥 {𝑦 − 7 } => 𝐷(−8, −1) = −2 ; 𝑦 = −1 3−𝑦 Por definiciones de la geometría plana se sabe que una paralela a uno de los lados de un triángulo, determina sobre los otros dos, segmentos proporcionales, así: AC AB ̅̅̅̅ ||PD ̅̅̅̅ ; 𝑠𝑖 𝐵𝐶 = ; CD BP

−1 − 6 2 − 6 = ; x = −2 −8 + 1 x − 2 −3 − 7 1 − 7 = ; y = −5 {−1 − 3 y − 1

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑃 = (−2, −5) 11. Se tiene un triángulo ABC. El punto P (19/3,11/3) divide al segmento AB en la relación AP: PB = 1: 2. El punto A (13/3, 4/31) divide al segmento BC en la relación BQ: QC = 1: 2. El punto R (13/3, 8) divide al segmento AC en la relación AR: RC = 2: 1. Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo. Sean A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) las coordenadas de los vértices del triángulo. 22 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________

19 − 𝑋1 1 3 = ; 2𝑋1 + 𝑋2 = 19 𝐴𝑃 1 𝑋2 − 19/3 2 𝑆𝑖 = <=> 11 𝑃𝐵 2 − 𝑌1 1 3 = ; 2𝑦1 + 𝑦2 = 11 {𝑦2 − 11/3 2 13 − 𝑋2 1 3 = ; 𝐵𝑄 1 𝑋3 − 19/3 2 = <=> 4 𝑄𝐶 2 − 𝑌2 1 3 = ; {𝑦2 − 11/3 2

2𝑋2 + 𝑋3 = 19

(1) (2)

(3)

2𝑦2 + 𝑦3 = 11

13 − 𝑋1 3 = 2; 𝑋1 + 2𝑋3 = 19 𝐴𝑅 1 19 𝑋 − = <=> 3 3 𝑅𝐶 2 8 − 𝑌1 = 2; 𝑦1 + 2𝑦3 = 11 {𝑦2 − 8

(4)

(5) (6)

Sumando (1) + (3) + (5) y luego (2) + (4) + (6), obtenemos respectivamente 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 15

(7)

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 13

(8)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (3) y (5) con (7) se tiene: 𝑦1 =

luego (2), (4) y (6) con (8) resulta: Por lo tanto:

20 , 3

x1 = 7, x2 = 5, x3 = 3

7 3

𝑦2 = − , 𝑦3 = 26/3

A (7, 20/3), B (5, -7/3), C (3, 26/3).

12. Los vértices de un cuadrilátero son A (-4, 6), B (-2, -1), C (8, 0) y D(6 ,11). Determinar la razón r = BP: PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales. Sean 𝑟1 =

𝐵𝑃 𝑃𝐷

𝑦 𝑟1 =

𝐴𝑃 𝑃𝐶

Utilizando las ecuaciones de la abscisas y ordenada de un punto con una razón dada se tiene: 𝑥=

−2 + 𝑟(6) −4 + 𝑟1 (8) ; 𝑥= 1+𝑟 1 + 𝑟1

de donde: 𝑟1 = 𝑦=

5𝑟+ 1 𝑟+5

(1)

−1 + 𝑟 (11) 6 + 𝑟1 (0) ; 𝑦 = 6 + 𝑟1 1 + 𝑟1

de donde: 𝑟1 =

5𝑟−71 1−11𝑟

(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene: Donde:

5𝑟 2 + 2𝑟 − 3 = 0;

𝑟=

3 5

𝑟+5 𝑟+5

5𝑟 − 7 1−11𝑟

𝑟 = −1

Dado que 𝑟 ≠ −1, entonces r = 3/5 23 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 13. En el triángulo ABC de vértices A (-1, 6), B (-3, -4) y C (5, 0) cada lado está dividido en tres partes iguales: el lado AB por los puntos D y E, el lado BC por los puntos F y G, el lado CA por los puntos H e I. Hallar los puntos L, M y N intersecciones de los segmentos BI y CD, AF y CE, AG y BH respectivamente. Se determina los puntos de trisección de cada lado del triángulo 𝐴𝐷 𝐷𝐵

Lado 𝐴𝐵:

1 2

𝑥+1 −3−𝑥

= ;

5 8 𝑥=− , 𝑦= ; 3 3 5 −3− 3 𝐸=( , 2 𝐴𝐼 𝐼𝐶

Lado AC:

𝑦−6 −4−𝑦

8 3 − 4 ) ; 𝐸 = (− 7 , − 2) 2 3 3 1 2

= ;

𝑥+1 5−𝑥

𝑦−6 0−𝑦

𝑦 = 4; 𝐼 = (1 , 4)

1+5 , 2

4+0 ) ; 𝐻 = (3, 2) 2

Lado BC:

𝐵𝐹 𝐹𝐶

1 𝑥 = − , 3

1 2

5 8 𝐷(− , ) 3 3

𝑥 = 1, 𝐻=(

1 2

= ;

𝑥+3 5−𝑥

𝑦+4 0−𝑦

1 2

8 1 8 𝑦 = − ; 𝐹 = (− , − ) 3 3 3

1 −3 +5 𝐺=( , 2

8 −3 + 0 2

7 4 ); 𝐺 = ( ,− ) 3 3

La intersección L(x, y) de las medianas BI y CD de los triángulos ABH y ACT respectivamente, determina sobre estos, segmentos proporcionales, así: 𝑥 + 3 𝑥 − 5 = ; 𝑥=0 1 − 𝑥 5 𝐵𝐿 𝐶𝐿 − −𝑥 3 = => ∴ L = (0, 2) 𝐿𝑂 𝐿𝐷 𝑦 + 3 𝑦 − 0 = 8 ; 𝑦=2 4−𝑦 − 𝑦 { } 3 Para el punto M(x, y) y las medianas AF y EC, tenemos 𝑥 + 1 𝑥 − 5 1 = 7 ; 𝑥= −1/3 − 𝑥 2 𝐴𝑀 𝐶𝑀 1 1 − −𝑥 3 = => ∴ M = ( ,− ) 𝑀𝐹 𝑀𝐸 2 2 𝑦−6 𝑦 − 0 1 = 2 ; 𝑦=− −8/3 − 𝑦 2 − −𝑦 { } 3

y para el punto N(x , y) y las medianas BH y AG : 𝑥 + 1 𝑥+3 3 = ;𝑥= 𝐴𝑁 𝐵𝑁 3 1 7/3 − 𝑥 3 − 𝑥 2 = => { } ∴ M = ( ,− ) 𝑦−6 𝑦 − 0 1 𝑁𝐺 𝑁𝐻 2 2 = ; 𝑦=− −4/3 − 𝑦 2−𝑦 2 24 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 14. En una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado, de lado igual a 12, se ha hecho un corte cuadrangular, las rectas del corte pasan por el centro del cuadrado; los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta, lámina.

El centro de gravedad de una lámina homogénea es el punto de equilibrio de dicha placa. Como se sabe, la posición del centro de gravedad de una lámina triangular es el baricentro (intersección de las medianas), el de una lámina rectangular es su centro geométrico (intersección de sus diagonales), el de un polígono regular y lámina circular es su centro geométrico, etc. Entonces para hallar el centro de gravedad de una lámina homogénea cualquiera, se divide ésta en n subláminas homogéneas, todas de figuras geométricas cuyos centros de gravedad conocemos. Luego, si A1, A2, A3,………, An son respectivamente, las áreas de cada sublámina y G (x1, y1), G2 (x2, y2), G3 (x3, y3),….., Gn (xn,yc), son sus respectivos centros de gravedad, entonces las coordenadas del centro de gravedad G de la lámina dada, están dadas p o r : 𝑥𝐺 =

∑ni=1 xi Ai , ∑ni=1 Ai

yG =

∑ni=1 yi Ai ∑ni=1 Ai

Por las condiciones del problema se divide la lámina dada en tres subláminas cuadradas cuyos centros de gravedad son G1 (3, 9), G2 (3, 3) y G3 (9, 3). Ahora, en función de las ecuaciones anteriores se tiene: 𝑥𝐺 =

x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 , A1 + A2 + A3

yG =

y1 A1 + y2 A2 + y3 A3 A1 + A2 + A3

Pero como A1 = A2 =A3= A (área del cuadrado del lado 6), entonces: 𝑥𝐺 =

A(x1 + x2 + x3 ) ; 𝑥𝐺 = 1/3(x1 + x2 + x3 ), 3A

yG =

A(y1 + y2 + y3) ; 𝑦𝐺 = 1/3(y1 + y2 + y3 ) 3A

Las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices G es 𝑥𝐺 =

1 (3 + 3 + 9) = 5, 3

1 yG = (9 + 3 + 3) = 5; 3

𝐺(5,5)

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divide al segmento que determinan A y B en la relación r = AP: PB A) A(-2 , 1 ), B(3 , -4), r = - 8/3

B) A(-5 , 2 ), B(1 , 4 ), r = - 5/3

2. Dos vértices de un triángulo son A (2, -3) y B(-5 , 1). El tercer vértice C está sobre el eje Y y el punto de intersección de las medianas sobre el eje X. Determinar el punto C. 3. En los ejercicios siguientes, calcular los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son S y T. A) S(2 , 5 ), T(-10 , -1)

B) S(-5 , 3 ), T(4 , 21)

4. Sean m y n enteros positivos, demostrar que las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento de recta P1P2 en la razón m/n, son: 𝑥 =

𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 , 𝑚+𝑛

𝑦=

𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2 𝑚+𝑛

5. El segmento que une A (-1, 2) con B (2, -5) se prolonga hasta C (x, y), sabiendo que AC = 3 AB . Determinar las coordenadas de C. 6. El punto A está a 2/3 de distancia de P (1, 10) a Q (-8, 4) y B está en el punto medio del segmento que une R (0, -7) con T(6 , -11). Calcular los valores de los puntos A y B 7. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P (2, 5), Q (4, 2) y R (1 , 1). Determinar las coordenadas de los tres vértices. 8. Un triángulo tiene por vértices A (-1, 3), B (3, 5) y C (5 , -1). Por el punto E (15, 4, 11/4) del lado BC se traza una paralela a AC que corta al lado AB en el punto D. Determinar las coordenadas de D. 9. Dados los puntos P (2, 1) y Q (5, 3) tales que PB = 2AP, 3AQ = 4AB; Determinar las coordenadas de los puntos A y B. 10. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P(2 , 2) y Q(1 , 5). 11. Si G (3, 4) es el baricentro de un triángulo ABC y G 1 (4/3, 2), G2 (3, 19/3) son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A , B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. 12. El punto P (3, 6) es la intersección de los segmentos OA y BC. Si P divide a ambos segmentos en la misma relación y 0 ( 0 , 0), A(5 , 1 0 ) , B ( 5 , 2 ) . Determinar las coordenadas del extremo C. 13. Dado el triángulo de vértices A (1, 3), B (-2, -3), C (3, -1). Determinar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A. 14. Los vértices de un triángulo son A (2, -5), B (1, -2) y C (4, 7); Determinar el punto de intersección del lado AC con la bisectriz del ángulo interno el vértice B. 15. Los vértices de un triángulo son A (3, -5), B (-3, 3) y C (-1, -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ángulo interno del vértice A. 16. Los vértices de un triángulo son A (-1, -1), B (3, 5) y C (-4, 1). Determinar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo externo del vértice A con la prolongación del lado BC.

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UNIDAD 1 Elementos de la Geometría Analítica __________________________________________________________________________________ 17. Los vértices de un triángulo son A (3, -5), B (1, -3) y C (2, -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ángulo externo del vértice B. 18. Determinar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interior en B con el lado AC, del triángulo de vértices A (-2, 2), B (2, 5) y C (11, -7). 19. Sean A (2, 1), B (5, 5) y C (8, 1) los vértices de un triángulo. Si P divide a BC en la razón r = 2 y Q divide a AC en la misma razón; mostrar que R, intersección de AP y BQ, divide a estos segmentos en la razón s = 3. 20. Los vértices de un cuadrilátero son A (-3, 12), B (3, -4), C (5, -4) y D (5, 8). Determinar la razón r = BP: PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales. 21. En el triángulo ABC de vértices A (2 , 9), B(-5 , -3) y C(5 , -1), cada lado está dividido en tres partes iguales: El lado AB por los puntos D y E, el lado BC por los puntos F y G, el lado CA por los puntos H e I. Determinar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos Bl y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente. 22. En una lámina homogénea que tiene la forma de un rectángulo, con los lados iguales a a y b, se ha hecho un corte rectangular; las rectas del corte pasan por el centro, los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta lámina.

23. De una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado de lado 2a, se ha recortado un triángulo; la línea de corte une los puntos medios de los lados adyacentes y los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de la misma.

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 1 LA LINEA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA Dada una recta L elemento del plano 𝛽, se determina su dirección a través del ángulo que forma con el eje X; es decir, por la inclinación de la recta L. Se comprende que es el ángulo (𝛼)que forma L con la parte positiva del eje X, medido en sentido anti horario, desde el eje X al encuentro de L La inclinación de una recta paralela que coincidente con el eje X se define como cero. Para cualquier otra recta comprendida entre:

0° < 𝛼 < 180°

La dirección de una recta se expresa a través de la tangente de su ángulo de inclinación, por lo que se establece la siguiente definición: La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ángulo de inclinación, se denota por m, y se escribe: 𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 ; como un enunciado simbólico. Una recta vertical no tiene pendiente, ya que la tangente de 90° no existe. Todas las demás rectas tienen pendiente. Cuando al ángulo de inclinación es agudo, es decir, si 0 0 < 𝛼 < 900, la pendiente m es positiva. Cuando el ángulo de inclinación es obtuso, es decir, si 900 < 𝛼 < 1800, la pendiente es negativa.

Para una recta no vertical y sobre ella los puntos A (x1 y1) y B (X2, y2) se tiene que la diferencia de las ordenadas es y2-y1 (elevación), mientras que la diferencia de las abscisas es x2-x1 (desplazamiento o avance). La relación (y2-y1) / (x2-x1) es la medida de la inclinación de la recta, de modo que 𝑚=

𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑚 = , 𝑥 ≠ 𝑥1 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑥2 − 𝑥1 2

Por tanto la pendiente m, de la recta no vertical que pasa por los puntos A (x1 y1) y B (X2, y2) es : 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑥2 − 𝑥1

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥2 ≠ 𝑥1

Para demostrar esta afirmación se tiene a los puntos A , B y Q como la intersección de una horizontal por A con una vertical por B, cuyas coordenadas se muestran en la figura. La inclinación de la recta es el ángulo 𝛼 , y como 𝛼 = 𝜃, entonces, tan 𝛼 = tan 𝜃, de modo que:

𝑚=

𝑄𝐵 𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑚= 𝐴𝑄 𝑥2 − 𝑥1

(1)

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

La inclinación de la recta en la figura es el ángulo obtuso 𝛼, y como 𝛼 y 𝜃 son suplementarios, se deduce que: tan 𝛼 = − tan 𝜃 ; tan 𝛼 = − 𝑚=

𝑦1 − 𝑦2 𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑚= 𝑥1 − 𝑥2 𝑥2 − 𝑥1

𝑄𝐵 𝑄𝐴 (2)

Por tanto, de (1) y (2) se tiene que la pendiente de una recta que pasa por A y B es: 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑥2 − 𝑥1

𝑥2 ≠ 𝑥1

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1) PENDIENTE DE RECTAS PARALELAS Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si, sus pendientes son iguales. Esto es:

L1 ∥ L2  m1 = m2 En efecto, es claro, como se muestra en la Figura 1.32 que si dos rectas son paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, pe tanto, si 𝐿1 ||𝐿2 => 𝛼1 = 𝛼2 ,

𝑦 tan 𝛼1 = tan 𝛼2

(1)

Recíprocamente e sigue de la ecuación (1) que dos rectas ,2? y ^ no verticales tienen la misma pendiente y que dos rectas con la misma pendiente son paralelas, esto es, si 𝑚1 = 𝑚2 => 𝐿1 ||𝐿2 demostración del teorema. Q

(2 ) , esto completa la

2) PENDIENTE DE RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas L1 ⊥ L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si sólo si: 𝑚1 . 𝑚2 = −1 Es decir, la pendiente de cada una es el negativo del recíproco de la pendiente de la otra. Si las rectas L1 ⊥ L2 son perpendiculares, entonces 1 y 2 difieren en 90°. En efecto, por el punto de intersección de L1 y L2, se dibuja una recta horizontal como se muestra en la figura, en donde se observa que 1 =2 + 90°. Por tanto, si: L1 ⊥ L2 ; tan 𝛼2 = tan(𝛼1 + 90°) − cot 𝛼1 = −1/ tan 𝛼1 29 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠, 𝑠𝑖 L1 ⊥ L2; 𝑚2 = − Recíprocamente, si 𝑚2 = −

1 ; 𝑚1

𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 , 𝑠𝑖

1 ; 𝑚1 . 𝑚2 = −1 𝑚1

(1)

tan 𝛼2 = − cot 𝛼1 , 𝑦 𝛼2 = 𝛼1 + 90° 𝑚1 . 𝑚2 = −1;

L1 ⊥ L2

(2 )

En consecuencia, de (1) y (2), se tiene que: Para :

L1 ⊥ L2 se tiene que 𝑚1 . 𝑚2 = −1

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Demostrar que los puntos A(1 , -1), B(3 , 2) y C(7 , 8) son colineales en dos formas : A) Usando la fórmula de la distancia, B) Usando pendientes. A) Por distancias:

B) Por pendientes

|̅̅̅̅ 𝐴𝐵 | = √(3 − 1)2 + (2 + 1 )2 ; |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| = √13

𝑚𝐴𝐵 =

2+1 3−1

3 2

|̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = √(7 − 3)2 + (8 − 2)2 ; |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 | = 2√13

𝑚𝐵𝐶 =

8−2 7−3

3 2

̅̅̅̅ | = √(7 − 1)2 + (8 + 1)2 ; |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ | = 3√13 |𝐴𝐶

𝑐𝑜𝑚𝑜:

3√13 = 2√13 + √13 |̅̅̅̅ 𝐴𝐶 | = |̅̅̅̅ 𝐴𝐵| + |̅̅̅̅ 𝐵𝐶 |

𝑚𝐴𝐶 =

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

8+1 3 = 7−1 2

𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐵𝐶 = 𝑚𝐴𝐶

𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

2. Un punto P(x, y) equidista de los puntos A(-2 , 3) y B(6 , 1), y la pendiente de la recta que une dicho punto a C(5 , 10) es 2. Determinar sus coordenadas. Si P(x, y) equidista de A y B, entonces d (AP) = d (BP), por lo tanto: √(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = √(𝑥 − 6)2 + (𝑦– 1)2 ; Dado que 𝑚 𝐶𝑃 = 2 ;

𝑦−10 𝑥−5

= 2;

4𝑥 − 𝑦 = 6

2𝑥 − 𝑦 = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones que se formó se tiene; x = 3, y = 6, por lo tanto: P = (3, 6) 3. Si la recta L1 que contiene a los puntos A (a, 2) y B (0 , 2a) es paralela a la recta 𝐿2 que contiene a los puntos C(-a , 3) y D (1 , -2 a ) . Determinar el valor de a.

𝑆𝑖 𝐴 𝑦 𝐵 𝜖 L1; Entonces: 𝑚1 = 𝑚𝐴𝐵 =

2𝑎 − 2 0−𝑎

30 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑆𝑖 𝐶 𝑦 𝐷 𝜖 L2; Entonces: 𝑚2 = 𝑚𝐶𝐷 =

3 + 2𝑎 −𝑎 − 1

Por la definición de las rectas paralelas se tiene que: 2𝑎−2 0−𝑎

𝐿1||𝐿2 <=> 𝑚1 = 𝑚2 ;

3+2𝑎

= −𝑎−1 de donde:

a = - 2/3

4. Si la recta L1 que contiene a los puntos A(1 , -2 ) y B(3 , a) es perpendicular a la recta L2 que contiene a los puntos C(-3 , 1) y D(a , 4). Determinar el valor de: 5m1 + m2.

𝑆𝑖 𝐴 𝑦 𝐵 𝜖 L1; Entonces: 𝑚1 = 𝑚𝐴𝐵 = 𝑆𝑖 𝐶 𝑦 𝐷 𝜖 L2; Entonces: 𝑚2 = 𝑚𝐶𝐷 = Si 𝐿1 ⊥ 𝐿2 <=> 𝑚1 . 𝑚2 = −1; (

𝑎−2 3 )( ) 2 𝑎+3

2𝑎 − 2 0−𝑎

3 + 2𝑎 −𝑎 − 1

= −1

Sustituyendo en el valor de las pendientes se obtiene: m1 = - 1/5, m2 = 5 Por lo tanto:

5m1 + m2 = 4

5. Demostrar que los puntos A (-1, 3), B (5, 0), C (7, 4) y D (1, 7) son los vértices de un paralelogramo. Por la definición de pendiente se tiene:

𝑚𝐴𝐵 =

0−3 1 =− , 5+1 2

𝑚𝐶𝐷 =

7−4 1−7

=−

1 2

Dado que: 𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐶𝐷 ; 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵||𝐷𝐶 Del mismo modo, para los lados AD y BC, se tiene: 𝑚𝐴𝐷 =

7−3 = 2, 1+1

𝑚𝐵𝐶 =

4−7 =2 7−1

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑚𝐴𝐷 = 𝑚𝐵𝐶 ; 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐷||𝐵𝐶 Por lo tanto, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. Observar que las pendientes de los lados AB y DC son cada una el negativo del recíproco de las pendientes de los lados AD y BC, por lo que el cuadrilátero ABCD tiene lados opuestos paralelos y dos lados adyacentes perpendiculares, por lo que se puede concluir que ABCD es también un rectángulo. 6. Una recta de pendiente m = 7/3 pasa por el punto A (1, 2). Determinar las coordenadas de dos puntos sobre la recta PQ que tiene √58 unidades medidos desde A. Sea P(x, y) uno de los puntos buscados 7 𝑦 − 2 7 7 𝑆𝑖 𝑚𝐴𝑃 = ; = ; 𝑦 − 2 = (𝑥 − 1) 3 𝑥−1 3 3 Se sabe además que 𝑑(𝐴𝑃) = √58 ; √(𝑥 − 1 )2 + (𝑦 − 2)2 = √58 Si la primera ecuación se eleva al cuadrado y se sustituye en la ecuación anterior se obtiene: 31 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ ( 𝑥 − 1)2 +

49 (𝑥 − 1)2 = 58; (𝑥 − 1)2 = 9 9

𝑥−1=3 ó

𝑥 − 1 = −3

𝑥=4 ó Sustituyendo x en la primera ecuación se tiene: Por lo tanto, los puntos buscados son:

𝑥 = −2 y=9 ó y=-5

P (4, 9) y Q (-2, -5)

7. El punto A (-2, 1) es el vértice correspondiente al ángulo recto de un triángulo rectángulo isósceles. El punto P (1, 4) divide al cateto AC en la relación AP: AC = 1: 2. Hallar las coordenadas del vértice B. Si los vértices: 𝑆𝑖 ∶

B = (x, y) y C = (x1, y1)

𝐴𝑃 1 1 − (−2) 1 4−1 1 = ; = ; = 𝐴𝐶 2 𝑥1 − (−2) 2 𝑦1 − 1 2

de donde obtenemos: x1 = 4 , y1 = 7 ; C = (4 , 7) ̅̅̅̅| = |𝐴𝐶 ̅̅̅̅ |, es decir: Como el ΔABC es isósceles; |𝐴𝐵 √(𝑥 + 2 )2 + (𝑦 − 1)2 = √(4 + 2)2 + (7 − 1)2 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 72 La pendiente de 𝐴𝐶: 𝑚1 =

7−1 4+2

La pendiente de 𝐴𝐵: 𝑚2 =

𝑦−1 𝑥+2

𝑆𝑖 𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 ; 𝑚1 . 𝑚2 = −1; 𝑦 − 1 = −(x + 2) Sustituyendo esta ecuación se tiene: (𝑥 + 2)2 = 36; x + 2 = 6 ó 𝑥 + 2 = − 6 𝑥1 = 4 ó 𝑥2 = −8 Por lo tanto: 𝑦1 = −5

𝑦2 = 7

Las dos soluciones son: B (4, -5)

B (-8, 7)

8. Sean A (-2, 1) y B (4, 7) los vértices de un triángulo ABC; sabiendo que las alturas se cortan en el punto P (4/3, 5/3). Determinar las coordenadas del vértice C. Las coordenadas del tercer vértice C (x,y) Se obtiene que: 5

𝑚𝐴𝑃 =

(3)−1 4

(3)+2

; 𝑚𝐴𝑃 =

1 ; 5

𝑚𝑃𝐵 =

7−(3) 4

4−(3)

; 𝑚𝑃𝐵 = 2

𝑆𝑖 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐶; 𝑚𝐵𝐶 = −

1 y−7 ; = 5; 5𝑥 + 𝑦 − 25 = 0 𝑚𝐴𝑃 x − 4

𝑆𝑖 𝑃𝐵 ⊥ 𝐴𝐶; 𝑚𝐴𝐶 = −

1 y−1 1 ; = − ; 𝑥 + 2𝑦 = 0 𝑚𝑃𝐵 x + 2 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 𝑥 = 6,

𝑦 = − 3 ; 𝐶 = ( 6 ,− 3 )

32 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 9. Dado el triángulo de vértices en A (-10, -13), B (-2, 3) y C (2 , 1 ). Determinar la longitud de la perpendicular bajada desde el vértice B a la mediana trazada desde el vértice C. Sea M es punto medio de AB, se tiene que: 𝑀=(

−10−2 −13+3 , ); 2 2

𝑀 = (−6, −5)

Los puntos M, P y C son colineales, entonces: 𝑚𝑀𝑃 = 𝑚𝑃𝐶 ; La pendiente de 𝑀𝐶 ∶ 𝑚𝑀𝐶 = 𝑆𝑖 𝐵𝑃 ⊥ 𝑀𝐶; 𝑚𝑀𝑃 = − =1

1+5 2+6

𝑦+5 1+5 = ; 3𝑥 − 4𝑦 = 2 𝑥+6 1+6

; 𝑚𝑀𝐶 =

(1)

3 4

1 y−3 4 ; = − ; 4x + 3y 𝑚𝑀𝐶 x + 2 3 (2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que: 2 𝑥 − , 5

1 𝑦 = − ; 5

𝑃 = (2/5 , − 1/5)

𝑑 |𝐵𝑃| = √(2/5 + 2)2 + (− 1/5 − 3)2 ;

𝑑 |𝐵𝑃| = 4

10. Los puntos A (1,1); B (5 , -2) y C (3 , 4) son tres vértices de un paralelogramo. Determinar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice. Las tres posibles soluciones son: Los paralelogramos ABCD, AD’BC y ABD"C. Como AB ||DD”, Á C|| D’D” y BC ||D’D, los puntos A, B y C constituyen los vértices de un triángulo mediano, es decir, son los puntos medios de los lados del triángulo fundamental DD’D". Por lo tanto, D = (x1, y1), D’ = (x2, y2) y D" = (x3, y3) las coordenadas del cuarto vértice, es: Por la definición de punto medio se tiene: 𝑥1 + 𝑥2 = 2 (1) = 2, 𝑥2 + 𝑥3 = 2(5) = 10, 𝑥1 + 𝑥3 = 2(3) = 6,

𝑦1 + 𝑦2 = 2( 1) = 2 𝑦2 + 𝑦3 = 2(−2) = − 4 𝑦1 + 𝑦3 = 2(4) = 8

Sumando miembro a miembro cada una de estas ecuaciones se tiene: 2(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) = 18, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9 ,

2(𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ) = 6 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 3

Resolviendo el sistema de ecuaciones: 𝑥1 = −1, 𝑦1 = 7, 𝐷 = (−1 ,7 ),

𝑥2 = 3,

𝑥3 = 7;

𝑦2 = −5, 𝑦3 = 1 𝐷 ′ = ( 3 , − 5 ) 𝑦 𝐷” = (7 , 1)

33 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P (3, -4) y por A(x, -2) y B (-7 , y). Determinar la abscisa de A y la ordenada de B. 2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P (6, -2) y por los puntos A(x+ x + 2) y B(x + 6 , y). Determinar la distancia entre A y B. 3. Un punto P(x, y) equidista de los puntos A (-3, 2) y B (5, -2) y la pendiente de la recta que une dicho punto a C(-1 , -2) es -1/2. Determinar sus coordenadas. 4. En los ejercicios siguientes determinar los valores de k para los cuales los puntos dados son colineales. A) A (k, 3), B (-4, -5 - k), C (2k + 1, 8) B) A (-1 , k - 6) , B (2k - 1 , 3 ), C (-9 , 4 - k). 5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. A) A(9 ,2 ) , B(11 , 6) , C(3 , 5) , D(1 , 1) B) A(4 , 0) , B(7 , 5) , C(-2 , 3) , D(-5 , -2) C) A(-1 , -5) , B(2 , 1) , C(1 ,5 ) , D(-2.-1) 6. Determinar los valores de k de modo que los puntos dados sean vértices de un triángulo rectángulo, recto en B. A) A (-1, k - 4), B (2k, -1), C (-2, 2k + 3) B) A (2k, 5), B (1, k), C (2k - 1,-7) C) A (3, k), B (k, k - 3), C (2 - k, - 1) 7. Por medio de pendientes, demostrar que el cuadrilátero de vértices A (1, -4), B (8, -2), C (-4, 16) y D (-3, 2) es un trapecio. 8. Los puntos dados son los vértices de un cuadrilátero ABCD, usando pendientes mostrar si es o no un rectángulo. A) A (-2, -1), B (5, -4), C (-1,-18) y D (-8,-15) B) A (-1, 3), B (5, 7), C (9, 1) y D (3, -3) 9. Dados los puntos A (-1, 5), B (3, 2) y C (4, 3). Determinar la pendiente de la recta L que pasa por C y que divide al segmento AB en la razón - 3/2. 10. Determinar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une A (-4, 4) con B (2, 2) y el punto que está a los 3/5 de la distancia de C(5 , 3) a D(-3 , -2). 11. Determinar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos M(-3 , 2) y N(7 , 6) y el punto P(x , y) tal que AP : PB = 1 : 2, siendo A(0 , 2) y B(5 ,0). 12. Un punto M(x, y) dista del punto C (2, 5), √10 unidades. La pendiente del segmento que une a M con A (7, 5) es ½. Determinar las coordenadas de M. 13. La pendiente de una recta que pasa por el punto A (3, 2) es igual a 3/4. Situar dos puntos P y Q sobre la recta que distan 5 unidades de A. 34 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 14. Sea P(x, y) un punto que equidista de los puntos A (-3, 4) y B (3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5. Determinar las coordenadas de P. 15. Sean A (3,1) y B (-2, -6) los vértices de un triángulo, sabiendo que las alturas se cortan en el punto P (4, -4). Determinar las coordenadas del tercer vértice. 16. Los puntos A, B y C dados, son tres vértices de un paralelogramo. Determinar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice. A) A (0, 0), B (1 ,4), C (5, 1) B) A (3, 12), B (8, 1), C (-2, -5) 17. Sean A (5, 3), B (-1,2) y C (1, -1) tres vértices de un paralelogramo ABCD. Determinar la distancia del cuarto vértice D al punto P(-2 , 6). 18. Se tiene un triángulo de vértices A (-4, -3), B (1 , 4) y C (7 , 10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y está sobre BC, se traza una paralela al lado AB. Determinar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta a AC. 19. Dado el triángulo de vértices A (1, 2), B (5, 3) y C (4, 4); calcular las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vértice B a la mediana trazada desde el punto C.

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 2 ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA DEFINICION DE LINEA RECTA •

La definición formal de la línea recta en geometría analítica es: La línea recta es el conjunto de todos los puntos de un plano cartesiano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.

•

La definición geométrica de la línea recta es: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del lugar geométrico, el valor de la pendiente siempre resulta constante. Se entiende por lugar geométrico o gráfica de la ecuación, al conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación.

ECUACIONES BASICAS DE LA RECTA Si una recta es paralela al eje Y, su abscisa es constante y la ecuación tiene la forma: 𝐿 = {(𝑥 , 𝑦)/ 𝑥 = 𝑎} Donde a da la distancia y la dirección desde el eje Y. Se puede observar que cuando a = 0, la recta 𝐿 coincide con el eje Y, esto es, la ecuación del eje Y es x = 0.

Si una recta es paralela al eje X, su ordenada es constante, su ecuación tiene la forma: 𝐿 = {(𝑥 , 𝑦)| 𝑦 = 𝑏} Donde b da la distancia y dirección desde el eje X. Se observa que cuando b = 0, la recta 𝐿 coincide con el eje X, esto es, la ecuación del eje X es y = 0.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA: 1. FORMA PUNTO, PENDIENTE: La ecuación de una recta no vertical L que pasa por el punto fijo 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), de pendiente dada m, es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Si, P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente del punto fijo 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) Por definición de la pendiente de una recta se tiene: 36 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

𝑚=

𝑦−𝑦1 𝑥− 𝑥1

De donde se obtiene despejando: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

2. FORMA CARTESIANA O DOS PUNTOS: La recta que pasa por dos puntos fijos 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) tiene por ecuación:

𝑦 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 = , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑥 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 Si P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente de P1 y P2 Se tiene que 𝑚1 = 𝑚𝑝𝑝1 ; 𝑚1 =

𝑦−𝑦1 𝑥− 𝑥1

si 𝑚2 = 𝑚𝑝1𝑝2 =

𝑦2 −𝑦1 . 𝑥2 −𝑥1

Como P, P1 y P2 son colineales, entonces m1 = m2, esto es:

𝑦 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 = , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑥 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1

3. FORMA PENDIENTE, ORDENADA AL ORIGEN: La recta cuya pendiente es m y ordenada en el origen es b, tiene por ecuación: 𝑦= 𝑚𝑥 + 𝑏 Si: P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico y (0, b) otro punto del lugar geométrico situado en el eje Y se tiene: Sustituyendo en la ecuación punto pendiente de la recta: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 0) De donde se obtiene: 𝐿:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

37 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

4. FORMA COORDENADAS AL ORIGEN: Llamadas también: Simétrica, Reducida, Abscisa y ordenada en el origen. Esta forma de la ecuación de una recta, llamada también forma simétrica, Reducida, Abscisa y ordenada en el origen, es un caso especial de la forma de los dos puntos, en la cual los puntos son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados. La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son a ≠ 0 y b ≠ 0, respectivamente, tiene por ecuación: 𝑥 𝑎

𝑦 𝑏

Si: P(x, y) es un punto cualquiera del L y los puntos (a, 0) y (0, b) que se intersecan con los ejes X e Y respectivamente y al sustituirlos en la ecuación de la forma cartesiana se tiene: 𝑦−0 𝑥−𝑎

0−𝑏 ; 𝑎−0

𝑎𝑦 = −𝑏𝑥 + 𝑎𝑏

De donde se obtiene:

𝐿:

𝑥 𝑎

𝑦

+ =1 𝑏

𝑏 𝑎

Se puede deducir de la ecuación de la forma cartesiana: 𝑦 = − 𝑥 + 𝑏, y comparamos con la ecuación de la forma ordenada al origen que, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, que:

𝑚=−

𝑏 𝑎

En la gráfica se observa que los ejes coordenados y la recta L forman un triángulo rectángulo, cuya área se puede calcular por la fórmula:

1 S = |a. b| 2 5. FORMA GENERAL: Una ecuación de primer grado en x e y se puede escribir de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 en donde A, B y C son constantes arbitrarias, con A y B no nulas simultáneamente. Esta ecuación recibe el nombre de forma general de la ecuación de una recta. Pueden presentarse los siguientes casos cuando los valores de A, B y C varían: CASO 1. Si A≠0, B≠0 y C≠0, la ecuación general se puede escribir de la forma: 𝑦=−

𝐴 𝐶 𝑥− 𝐵 𝐵

Comparando con la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, se deduce que 𝑚=−

𝐴 𝐶 𝑦𝑏= − 𝐵 𝐴

CASO 2. Si A≠0, B≠0 y C = 0, la ecuación general toma la forma 𝑦=−

𝐴 𝑥 𝑜 𝑦 = 𝑚𝑥 𝐵

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ La recta pasa por el origen de coordenadas. CASO 3. Si A≠0, B = 0 y C≠0, la ecuación general toma la forma 𝑥= −

𝐶 𝑜 𝑥=𝑎 𝐴

La recta es vertical, de pendiente indefinida o paralela al eje Y CASO 4. Si A = 0, B≠0 y C≠0, la ecuación general toma la forma 𝑦=−

𝐶 𝑜𝑦=𝑏 𝐵

La recta es horizontal, de pendiente cero o paralela al eje X RELACIÓN ENTRE RECTAS QUE SON ELEMENTOS DE UN PLANO Consideremos dos rectas cualesquiera representados por 𝐿1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0

𝑦

𝐿2 ∶ 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0

Dos rectas, 𝐿1 y 𝐿2 en un sistema de coordenados rectangulares, pueden asumir las siguientes posiciones relativas: 1. Rectas paralelas 2. Rectas coincidentes 3. Rectas concurrentes perpendiculares 4. Rectas concurrentes oblicuas RECTAS PARALELAS: Se determino que: 𝑚1 = −

𝐴1 𝐵1

𝑦

𝑚2 = −

Se sabe que: si 𝐿1 ||𝐿2 ; 𝑚1 = 𝑚2 ; −

𝐴1 𝐵1

=−

𝐴2 𝐵2

𝐴1 𝐴2 = =𝑘 𝐵1 𝐵2 Por lo tanto los coeficientes de x e y son proporcionales. RECTAS INTERSECANTES: Dos rectas coinciden si tienen un punto común y la misma pendiente. Se sabe que la intersección de L1 y L2 con el eje Y es respectivamente es: 𝑏1 = − Puesto que 𝑏1 = 𝑏2 ; −

𝐶1 𝐵1

=−

𝐶2 𝐵 ; 1 𝐵2 𝐵2

𝐶1 𝐶2 𝑦 𝑏2 = − 𝐵1 𝐵2 𝐶1 𝐶2 𝐴1 𝐴2

También, por ser iguales las pendientes, entonces: Comparando estas dos relaciones obtenemos:

𝐴1 𝐴2

𝐵1 𝐵2

𝐶1 𝐶2

=𝑘

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Es decir, dos rectas coinciden si y solo si sus coeficientes correspondientes son proporcionales. RECTAS PERPENDICULARES: Se sabe que para: 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ; 𝑚1 . 𝑚2 = −1 ; (−

𝐴1 𝐴 ) (− 2 ) 𝐵1 𝐵2

= −1

𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 = 0

De donde se obtiene: RECTAS INTERSECANTES:

En el caso de que las rectas L1 y L2 no sean paralelas geométricamente, ambas se cortan en uno y solamente un punto. Analíticamente L1 y L2 no son paralelas, cuando se tiene que: 𝐴1 𝐵1 ≠ <=> 𝐴1 𝐵2 + 𝐴2 𝐵1 ≠ 0 𝐴2 𝐵2 Todos este análisis se puede condensar en: Si las ecuaciones de dos rectas son 𝐿1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0 𝑦 𝐿2 ∶ 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para: 1. Paralelismo: 2. Coincidencia:

𝐴1 𝐴2 𝐴1 𝐴2

= =

3. Perpendicularidad:

𝐵1 𝐵2 𝐵1 𝐵2

, es decir: 𝐴1 𝐵2 + 𝐴2 𝐵1 = 0 =

𝐶1 𝐶2

= 𝑘, 𝑑𝑜𝑛𝑐𝑒 𝑘 ≠ 0

𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 = 0

4. Intersecantes en uno y solamente un punto:

𝐴1 𝐴2

𝐵1 , 𝐵2

es decir:

𝐴1 𝐵2 + 𝐴2 𝐵1 ≠ 0

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, −1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°. La pendiente de la recta es: 𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃 𝑚 = 𝑡𝑔 (135° ) 𝑚 = −1 Utilizando la ecuación de la recta punto pendiente. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − (−1) = −1(𝑥 − 4) 𝑦 + 1 = −𝑥 + 4 𝑥+𝑦−3 =0 La ecuación de la recta es: 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0.

40 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴 = (4, 2) y 𝐵 = (−5, 7). Para los datos que se tiene dos puntos, se calcula la pendiente de la recta. y2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 Sustituyendo los datos de los puntos. 𝑚=

7−2 −5 − 4 5 𝑚=− 9 Aplicando la ecuación de la recta punto pendiente con el dato del primer punto dado. 𝑚=

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Sustituyendo la pendiente encontrada y el punto. 5 𝑦 − 2 = − (𝑥 − 4) 9 Expresando como Ecuación General de la Recta. 9(𝑦 − 2) = −5(𝑥 − 4) 9y − 18 = −5x + 20 5x + 9y − 38 = 0

La ecuación de la recta es: 5x + 9y − 38 = 0 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 5) y tiene una pendiente de – 2. Se tiene como datos el punto y la pendiente de la recta, entonces se utiliza la ecuación pendiente ordenada al origen. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Se remplaza la pendiente y la ordenada al origen. 𝑦 = −2𝑥 + 5 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

La ecuación de la recta es: 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0.

4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 5) y (3, 4), utilizar la ecuación de la recta pendiente ordenada en el origen. Se encuentra la pendiente de la recta con los dos puntos de dato.

41 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 , 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑥2 − 𝑥1 4−5 3−0 1 𝑚=− 3

𝑚=

Utilizando la ecuación pendiente – ordenada al 1 origen con 𝑚 = − y el punto (0, 5). 3

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 1 𝑦 = − 𝑥+5 3 3𝑦 = −𝑥 + 15 𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0 La ecuación de la recta es: 𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0. 5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−2, −3) y (4, 2). Se tiene dos puntos y se aplica la ecuación cartesiana de la recta. (−2 , −3) ; (4 , 2) 𝑥1 , 𝑦1 ; x2 , y2

𝑦2 − 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 2 − (−3) 𝑦 − (−3) = (𝑥 − (−2)) 4 − (−2) 5 𝑦 + 3 = (𝑥 + 2) 6 6(𝑦 + 3) = 5(𝑥 + 2) 6𝑦 + 18 = 5x + 10 6𝑦 − 5𝑥 + 18 − 10 = 0 6𝑦 − 5𝑥 + 8 = 0 𝑦 − 𝑦1 =

5𝑥 − 6𝑦 − 8 = 0 La ecuación de la recta es: 5𝑥 − 6𝑦 − 8 = 0. 6. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (2, −5). Se tiene dos puntos y se aplica la ecuación cartesiana de la recta.

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ (1 , 3) ; (2 , −5) 𝑥1 , 𝑦1 ; x2 , y2 𝑦2 − 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 −5 − 3 (𝑥 − 1) 𝑦−3= 2−1 −8 (𝑥 − 1) 𝑦−3= 1 (𝑦 − 3) = −8(𝑥 − 1) 𝑦 − 3 = −8x + 8 𝑦 + 8𝑥 − 3 − 8 = 0

𝑦 − 𝑦1 =

8𝑥 + 𝑦 − 11 = 0 La ecuación de la recta es: 8𝑥 + 𝑦 − 11 = 0. 7. Determinar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3, respectivamente. Los datos de la abscisa y ordenada permiten que se utilice la ecuación simétrica de la recta. 𝑥 𝑦 + =1 𝑎 𝑏 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = −3 𝑥 𝑦 + =1 5 −3 −3𝑥 + 5𝑦 =1 −15 −3𝑥 + 5𝑦 = −15 −3𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0 3𝑥 − 5𝑦 − 15 = 0 La ecuación de la recta: 3𝑥 − 5𝑦 − 15 = 0. 8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−4, 0) y (0, 7), utilizando la ecuación simétrica de la recta. Se tiene los datos de la abscisa y ordenada observando los puntos dados, por lo que se utiliza la ecuación simétrica de la recta. 𝑥 𝑦 + =1 𝑎 𝑏 𝑎 = −4 𝑦 𝑏 = 7 𝑥 𝑦 + =1 −4 7 7𝑥 − 4𝑦 =1 −28 7𝑥 − 4𝑦 = −28 7𝑥 − 4𝑦 + 28 =0

La ecuación de la recta: 7𝑥 − 4𝑦 + 28 = 0. 43 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 9. Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación 5𝑥 + 2𝑦 + 25 = 0. La ecuación esta expresada en forma general 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. 5𝑥 + 2𝑦 + 25 = 0 𝐴 𝐵 𝐶 La pendiente de la recta la encontramos mediante: 𝐴 𝐵 5 𝑚=− 2 Se determina la ordenada al origen. 𝑚=−

𝐶 𝐵 25 𝑏=− 2 𝑏 = −12,5

𝑏=−

5 2

La pendiente 𝑚 = − y la ordenada al origen 𝑏 = −12,5. 10. Determinar el valor de B, de la ecuación de la recta 3𝑥 + 𝐵𝑦 + 5 = 0 y que pasa por el punto 𝐴 = (−1, 4). La recta dada esta dada en la Forma General: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, como pasa por el punto 𝐴 = (−1, 4), entonces sustituimos en la ecuación las coordenadas del mismo. 3𝑥 + 𝐵𝑦 + 5 = 0 3(−1) + 𝐵(4) + 5 = 0 Se despeja B para hallar su valor. 3(−3) + 𝐵(4) + 5 = 0 −9 + 4𝐵 + 5 = 0 4𝐵 − 4 = 0 4B = 4 B=

4 4

B=1 Por consiguiente, la ecuación de la recta queda de la siguiente manera: 3𝑥 + 𝑦 + 5 = 0

11. Determinar la ecuación de la recta que es paralela a la ecuación 5𝑥 − 7𝑦 + 11 = 0 y que pasa por el punto (4, 2). La ecuación está escrita en la forma general 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, entonces su pendiente. 44 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝐴 𝐵 5 𝑚1 = − −7 5 𝑚1 = 7 𝑚1 = −

La recta buscada es paralela, entonces tiene la misma pendiente. 𝑚1 = 𝑚2 𝑚2 =

5 7

Con la pendiente 𝑚2 = y el punto dado (4, 2), la ecuación punto pendiente de la recta es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 5 𝑦 − 2 = (𝑥 − 4) 7 7(𝑦 − 2) = 5(𝑥 − 4) 7𝑦 − 14 = 5𝑥 − 20 −5𝑥 + 7𝑦 − 14 + 20 = 0 −5𝑥 + 7𝑦 + 6 = 0 5𝑥 − 7𝑦 − 6 = 0 12. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (−2, 2). Las rectas son paralelas lo que quiere decir que tienen la misma pendiente. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 1) y (−2, 2) es: 𝑚1 =

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

𝑚1 =

2−1 −2 − 4

𝑚1 = − Entonces:

1 6

𝑚1 = 𝑚2 𝑚2 = −

1 6

45 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Encontrada la pendiente de la recta paralela 𝑚2 = −

1 6

y con el punto de dato (2, −3), se utiliza la

ecuación punto pendiente de la recta. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1 𝑦 − (−3) = − (𝑥 − 2) 6 6(𝑦 + 3) = −(𝑥 − 2) 6𝑦 + 18 = −𝑥 + 2 𝑥 + 6𝑦 + 18 − 2 = 0 𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0 La ecuación de la recta buscada es: 𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0. 13. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2, 3) y es perpendicular a la recta 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0. Las rectas son perpendiculares, para ello se encuentra la pendiente de la recta descrita en la forma general 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 La pendiente es: 𝑚1 = − 𝑚1 = − 𝑚1 =

𝐴 𝐵

2 −3 2 3

Por la condición de perpendicularidad de la recta se tiene: (𝑚1 )(𝑚2 ) = −1 𝑚2 = −

1 𝑚1

𝑚2 = −

1 2 3

𝑚2 = −

3 2 3

Encontrando la pendiente de la recta buscada 𝑚2 = − y el punto dado (−2, 3) se utiliza la 2 ecuación punto pendiente de la recta.

46 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 3 𝑦 − 3 = − (𝑥 − (−2)) 2 2(𝑦 − 3) = −3(𝑥 + 2) 2𝑦 − 6 = −3𝑥 − 6 3𝑥 + 2𝑦 − 6 + 6 = 0 3𝑥 + 2𝑦 = 0 La ecuación de la recta buscada es: 3𝑥 + 2𝑦 = 0. 14. Determinar la ecuación de la recta mediatriz del segmento determinado por los puntos (7, 4) y (−1, −2). La mediatriz es la recta que pasa por la mitad del segmento de recta, para ello se debe encontrar el punto medio entre los dos puntos dados. El punto medio (𝑥0 , 𝑦0 ) del segmento tiene de coordenadas 𝑥0 =

𝑥1 + 𝑥2 2

𝑥0 =

7−1 2

𝑥0 =

𝑦0 =

𝑥1 + 𝑥2 2

𝑦0 =

6 2

4−2 2

𝑦0 =

𝑥0 = 3

2 2

𝑦0 = 1

Entonces el punto medio por donde pasa la mediatriz es 𝑃𝑚 = (𝑥0 , 𝑦0 ); 𝑃𝑚 = (3, 1). Se calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (7, 4) y (−1, −2). 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

𝑚=

−2 − 4 −1 − 7

𝑚=

−6 −8

𝑚=

3 4

Se encuentra la pendiente de la mediatriz que es perpendicular a la recta que pasa por los dos puntos dados. 47 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Por la condición de perpendicularidad de la recta tenemos. (𝑚1 )(𝑚2 ) = −1 3 ( ) (𝑚2 ) = −1 4 (𝑚2 ) = −

𝑚2 = −

1 3 4

4 3 4

Luego la recta mediatriz pasa por el punto (3, 1) y tiene de pendiente 𝑚2 = − utilizando la 3 ecuación punto pendiente de la recta es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 4 𝑦 − 1 = − (𝑥 − 3) 3 3(𝑦 − 1) = −4(𝑥 − 3) 3𝑦 − 3 = −4𝑥 + 12 4𝑥 + 3𝑦 − 3 − 12 = 0 4𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0 La ecuación de la recta buscada es:

4𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0.

15. Determinar si las rectas 𝐿1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 y 𝐿2 : 𝑥 − 5𝑦 − 6 = 0, tienen una intersección en un punto, de ser así hallar dicho punto. Para determinar si las rectas dadas se intersecan en un punto se debe realizar la comparación de sus pendientes.

Pendiente 𝐿1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0. 𝑚1 = −

𝐴 𝐵

𝑚1 = −

3 2

Pendiente 𝐿2 : 𝑥 − 5𝑦 − 6 = 0. 𝑚2 = − 𝑚2 = − 𝑚2 =

𝐴 𝐵

1 −5 1 5

Se tiene: 𝑚1 ≠ 𝑚2 48 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Debido a que las pendientes encontradas no son iguales se cumple la relación de intersección entre rectas, es decir las rectas se intersecan en un punto. Para determinar el punto de intersección, se lo puede hacer mediante un sistema de ecuaciones. Utilizando el método de igualación para la solución del sistema de ecuaciones. 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 { 𝑥 − 5𝑦 − 6 = 0 Se despeja la incógnita 𝑥 de cada ecuación. 𝐿1 : 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0.

𝐿2 : 𝑥 − 5𝑦 − 6 = 0.

3𝑥 = 1 − 2𝑦 𝑥=

𝑥 = 6 + 5𝑦

1 − 2𝑦 3

Igualando las expresiones se encuentra el valor de 𝑦. 𝑥=𝑥 1 − 2𝑦 = 6 + 5𝑦 3 1 − 2𝑦 = 3(6 + 5𝑦) 1 − 2𝑦 = 18 + 15𝑦 −15𝑦 − 2𝑦 = 18 − 1 −17𝑦 = 17 𝑦=

17 −17

𝑦 = −1 Se determina el valor de 𝑥, sustituyendo 𝑦 = −1 en 𝑥 = 6 + 5𝑦.

𝑥 = 6 + 5𝑦 𝑥 = 6 + 5(−1) 𝑥=1 El punto de intersección de las rectas es 𝑃 = (1, −1). 16. Determinar si la recta 𝐿1 : 5𝑥 − 6𝑦 − 8 = 0 y la recta 𝐿2 que pasa por los puntos 𝐴 = (3, 5) y 𝐵 = (5, −1), tienen una intersección en un punto, de ser así hallar dicho punto.

49 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Para determinar si las rectas dadas se intersecan en un punto, se debe realizar la comparación de sus pendientes. Pendiente 𝐿1 : 5𝑥 − 6𝑦 − 8 = 0. 𝐴 𝐵

𝑚2 =

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

5 −6

𝑚2 =

−1 − 5 5−3

𝑚1 = − 𝑚1 = − 𝑚1 =

Pendiente 𝐿2 : 𝐴 = (3, 5) y 𝐵 = (5, −1).

5 6

𝑚2 =

Se obtiene:

−6 2

𝑚2 = −3

𝑚1 ≠ 𝑚2

Debido a que las pendientes encontradas no son iguales se cumple la relación de intersección entre rectas, es decir las rectas se intersecan en un punto. Para determinar el punto de intersección, se lo puede hacer mediante un sistema de ecuaciones. Se determina la ecuación de la recta 𝐿2 con la ecuación punto pendiente. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 5 = −3(𝑥 − 3) 𝑦 − 5 = −3𝑥 + 9 𝐿2 : 3𝑥 + 𝑦 − 14 = 0 Utilizaremos el método de sustitución para la solución del sistema de ecuaciones. 5𝑥 − 6𝑦 − 8 = 0 { 3𝑥 + 𝑦 − 14 = 0 Se despeja la incógnita 𝑥 de 𝐿1 . 8+6𝑦

𝐿1 : 5𝑥 − 6𝑦 − 8 = 0 ; 5𝑥 = 8 + 6𝑦; 𝑥= 5 Se sustituye el valor encontrado de 𝑥 en 𝐿2 y encontramos el valor de 𝑦. 𝐿2 : 3𝑥 + 𝑦 − 14 = 0 8 + 6𝑦 3( ) + 𝑦 − 14 = 0 5 24 + 18𝑦 + 𝑦 − 14 = 0 5 24 + 18𝑦 + 5𝑦 − 70 =0 5 23𝑦 − 46 = 0 23𝑦 = 46 𝑦=

46 23

𝑦=2 50 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Se determina el valor de 𝑥, sustituyendo 𝑦 = 2 en 𝑥 =

𝑥=

8+6𝑦 . 5

8 + 6𝑦 5

8 + 6(2) 5

𝑥=

8 + 12 5

𝑥=

20 5

𝑥=4 El punto de intersección de las rectas es 𝐶 = (2, 4).

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Determinar la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos A (7 ,4) y B(-1 ,1). 2. Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta L: 4x - 3y = 12. 3. Los vértices de un triángulo son A(4 , 3), B (0 , 5) y C(-4 , 1). Determinar las ecuaciones de las medianas, mediatrices y las alturas, las coordenadas del baricentro, circuncentro y el ortocentro. 4. Demostrar que los puntos de intersección de las medianas, mediatrices y alturas del triángulo del ejercicio 3 son colineales y hallar la ecuación de la recta que determinan (Recta de Euler). 5. Los vértices de un trapecio son A(-2 , 3), B(-3 , -2), C(5 , 2) y D(2 , 5). Se prolongan los lados no paralelos BA y CD hasta cortarse en P. Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo APD que se forma. 6. Determinar las coordenadas del punto de la recta L: x - 2y + 13 = 0 que equidista de los puntos A(-3 , 5) y B( 6 , 2) 7. Dado el triángulo de vértices A(-4 , 3) y B(5 , -1) y C(7 , 5), determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice C y trisecan al lado opuesto ÁB. 8. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P (2 , 5) y el punto Q que divide al segmento que une los puntos A(2 , -3) y B(-1 , -2) en la razón AQ : QB = 4 : 3 9. Determinar las ecuaciones de las rectas que pasan p el punto P (6, -1) y forman un ángulo de 1350 con la recta que pasa por los puntos A(-3 , 1) y B(1 , -5). 10. Un auto parte de la posición A ( 2 ,3) para ir a la posición B( 9,8) debiendo pasar po P( 0, y) y Q(x , 0) sobre ambos ejes. Determinar P y Q para que el recorrido sea mínimo y calcular éste. 11. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1 , 2) a igual distancia de los puntos A(-5 , 2) y B(1 , 6). 12. Determinar, en el eje de ordenadas, un punto P de modo que la diferencia de sus distancias a los puntos A (-3 , 2) y B(2 , 5) sea máxima. 51 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 13. Determinar un punto Q simétrico al punto P(8 , -9) relativo a la recta que pasa por los puntos A(3 , -4) y B(-1 , -2). 14. Determinar en la recta que pasa por M(1 , 2) y N (0 , -1) un punto P de manera que la diferencia de sus distancias a los puntos A(4 , 1) y B(0 , 4) sea máxima. 15. Determinar la ecuación de la recta que pasa por P(3,4) y tal que el segmento comprendido entre las rectas L1 : 2 x - y + 4 = 0 y L2 : 2 x + 3 y - 6 = 0 sea dividido por el punto P por la mitad. 16. Determinar la proyección del punto P(-5 , 8) sobre la recta que pasa por los puntos A(3 , -2) y B(-3 ,1). 17. Un segmento AB se apoya sobre los ejes coordenados de modo que A está sobre el eje X y B sobre el eje Y. Si el punto P(3 , -1) pertenece al segmento AB y se cumple PA + 2PB = 0, hallar la ecuación de la recta que contiene al segmento AB. 18. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6, encontrar la ecuación de la recta perpendicular que contiene al segmento que pasa por el punto (3 , -2). 19. Si B y C son los puntos de trisección del segmento AD, donde A = (-1 , 2 ), D = (5 , 8 ) ; L1 es la recta que pasa por B y forma un ángulo de 450 con la recta AD (dirigido desde L hacia AD) y L2 es la recta que pasa por C y forma un ángulo de 1350 con la recta (medido desde P hacia L). A) Determinar las ecuaciones de L1 y L2 B) Determinar E, punto de intersección de las rectas L1 y L2 C) Calcular el área del triángulo BCE 20. Para 0(0, 0) se tiene un triángulo ABO, recto en B. Si ( 2,-1) es el punto de la hipotenusa OA que divide a ésta en la razón r = 2/3 y OB es el cateto contenido en la recta que pasa por (2,1). A) Determinar las coordenadas del punto A B) Determinar la ecuación de la recta AB y las coordenadas del punto B C) Determinar el lugar geométrico de los puntos P(x , y) tales que la pendiente de la recta PB es el triple de la recta OP.

52 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

6. FORMA NORMAL: Se analizará la ecuación de una recta L en términos de la distancia dirigida p del origen a la recta y el ángulo de inclinación 𝜔 de este segmento orientado OP. La posición exacta de este segmento orientado en un eje coordenado está determinada por el ángulo positivo 𝜔, producto del radio vector OP, al girar alrededor del origen. Según esto la longitud p se considera siempre positiva, y la variación de 𝜔 está dada por: 0 < 𝜔 < 3600. Se deducirá la ecuación evaluando la pendiente de la recta L y las coordenadas del punto 𝐶(𝑥1 , 𝑦1 ) en términos de p y 𝜔, sustituyéndolas en la forma punto pendiente. Por definiciones trigonométricas, para cualquier posición de la recta L, excepto para aquellos en que la recta pasa por el origen, se tiene que: x 1 = p Cos 𝜔, y1 = p Sin 𝜔. Como la recta L es perpendicular a su normal N, su pendiente es la recíproca negativa de la pendiente de la normal, esto es: 𝑚=−

1 𝑐𝑜𝑠𝜔 = −𝑐𝑡𝑔𝜔 = − 𝑡𝑔𝜔 𝑠𝑖𝑛𝜔

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ), se tiene:

𝑦 − 𝑝𝑠𝑖𝑛𝜔 = −

𝑐𝑜𝑠𝜔 (𝑥 − 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜔) 𝑠𝑖𝑛𝜔

𝑦𝑠𝑖𝑛𝜔 − 𝑝𝑠𝑒𝑛2 𝜔 = −𝑐𝑜𝑠𝜔 + 𝑝𝑐𝑜𝑠2 𝜔 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜔 − 𝑝 = 0 Esta ecuación se la conoce como la forma normal de la ecuación de una recta. Esta es la ecuación de la recta L en términos de la normal, y no la ecuación de la normal. 𝒙𝒄𝒐𝒔𝝎 + 𝒚𝒔𝒆𝒏𝝎 − 𝒑 = 𝟎 En donde p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y m es el ángulo positivo, menor que 360 0, medido a partir de la parte positiva del eje X a la normal. REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL A LA FORMA NORMAL: Se considera el problema de reducir la ecuación 𝐿: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 a la forma normal. Si esta ecuación 𝐿: 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜔 − 𝑝 = 0 ; al relacionar las dos ecuaciones se tiene: 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜔 −𝑃 = = =𝑘 𝐴 𝐵 𝐶 De k es el factor normalizador. Por lo que Cos𝜔 = kA

(1)

Sen𝜔 = kB

(2)

-p = kC

(3)

Elevando al cuadrado (1) y (2), y sumando luego, obtenemos: 53 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜔 = 𝑘 2 (𝐴2 + 𝐵2 ); 𝑘 =

1 ±√𝐴2 +𝐵2

, 𝐴2 + 𝐵 2 ≠ 0

(4)

Sustituyendo esta ecuación en cada una de las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene: 𝑐𝑜𝑠𝜔 =

𝐴 ±√𝐴2

+ 𝐵2

, 𝑠𝑒𝑛𝜔 =

𝐵 ±√𝐴2

+ 𝐵2

,𝑝 = −

𝐶 ±√𝐴2

+ 𝐵2

Por lo que la ecuación general de la recta Se tiene por ecuación en la forma normal 𝐿: (

𝐴 ±√𝐴2 + 𝐵2

)𝑥 + (

𝐵 ±√𝐴2 + 𝐵2

)𝑦 + (

𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2

)=0

Para determinar el signo del radical se tiene que en la ecuación (3) k y C deben ser de signos diferentes, puesto que p es un número positivo. Por tanto, al radical de (4) se le debe dar el signo opuesto al de C. Cuando C = 0 y p = 0, la recta L se pasa por el origen. En este caso el signo del radical se determina por la relación (2). Como los valores de 𝜔 están restringidos al intervalo 0 < 𝜔 < 180°, en donde Sen𝜔 es positivo, entonces k y B deben concordar en signo si B≠0, y, por tanto, al radical (4) se le debe dar el mismo signo que tenga B. Finalmente si B = C = 0, la relación (2) muestra que Sen𝜔 = 0 => 𝜔 = 0 y tenemos Cos𝜔 = 1, por lo que la relación (1) indica que k y A deben tener el mismo signo. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Para calcular la distancia dirigida de un punto 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) a una recta determinada 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶

por la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 se utiliza la fórmula: 𝑑 = |

±√𝐴2 +𝐵2

La distancia d es la longitud del segmento de la recta perpendicular dirigido de la recta r al punto 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ). Dicha distancia será positiva si el punto se encuentra por encima de la recta, y negativa si se encuentra por debajo si se encuentra por debajo de la recta. El signo de d será igual al signo de B.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Para calcular la distancia no dirigida entre dos rectas paralelas, llamadas L 1 y L2 respectivamente, hay que determinar un punto que pertenezca a una de las rectas, asignando a x un valor de 0 para encontrar el valor correspondiente de y, realizando el despeje correspondiente. Enseguida, con este punto y la recta L2 se procede a encontrar la distancia de este punto a la recta, con la fórmula de la distancia de un punto a una recta Cuando se calcula la distancia entre dos rectas paralelas, el signo indica cuál de las rectas está arriba de la otra y solamente se considera que la distancia entre las rectas es una distancia no dirigida y se calcula con el valor absoluto, por eso el resultado es positivo

54 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Determinar la forma normal de la ecuación de la recta de la siguiente figura:

Se sustituye el valor de p y el ángulo en la fórmula: 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑝 = 0 𝑥𝑐𝑜𝑠50° + 𝑦𝑠𝑒𝑛 50° − 3.84 = 0 Se calculan los valores de las funciones trigonométricas cos y sen: 𝑥(0,6428) + 𝑦(0,7660) − 3,84 = 0 Se realizan las multiplicaciones: 0,6428𝑥 + 0,7660𝑦 − 3,84 = 0 ; Ésta es la ecuación en su forma normal. 2. Determinar la forma normal de la ecuación de la recta de la siguiente figura:

55 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ Se sustituyen el valor de p y el ángulo en la fórmula: 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑝 = 0 𝑥𝑐𝑜𝑠45° + 𝑦𝑠𝑒𝑛45° − 7 = 0 Se calculan los valores de las funciones trigonométricas cos y sen: 𝑥(0,7071) + 𝑦(0,7071) − 7 = 0 Se realizan las multiplicaciones: 0,7071𝑥 + 0,7071𝑦 − 7 = 0 ; Ésta es la ecuación en su forma normal 3. Determinar la distancia dirigida del punto P(3,2) a la recta 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 Se identifica los valores de A=2, B=-1 y C=4 de la ecuación de la recta 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 y del punto P se obtienen los valores de x=3 y de y=2 Se sustituyen los valores en la fórmula para encontrar la distancia del punto a la recta: 𝑑=|

2(3)−1(2)+4 ±√(2)2 +(−1)2

|=|

6−2+4 | ±√4+1

8 | ±√5

𝑑 = 3,58

Como el punto está debajo de la recta, el valor de d será negativo d = - 3,58

4. Determinar la distancia dirigida del punto P(3,4) a la recta 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 Se identifican los valores de A=1, B=2 y C=1 de la ecuación de la recta 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 y del punto P se obtienen los valores de x=3 y de y=4 Se sustituyen dichos valores en la fórmula para encontrar la distancia del punto a la recta: 𝑑=|

1(3)+2(4)+1 | ±√(1)2+(2)2

3+8+1

= |±

|=|

√1+4

±√5

| 𝑑 = 5,37

Como el punto está encima de la recta, el valor de d será positivo: d = 5,37 5. Determinar la distancia dirigida entre las rectas mostradas en la figura. Se determina un punto que esté en una de las rectas, haciendo x=0 y sustituyéndolo en la recta L1: 5(0) − 3𝑦 = −6 Se obtiene el valor de y: 0 − 3𝑦 = −6 ;

𝑦=

−6 ; 𝑦=2 −3

Por lo que el punto (0,2) está en la recta 𝐿1 . Se identifican los valores de A=5, B=-3 y C=-6 56 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ De la ecuación de la recta 𝐿2 : 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 Del punto P se obtienen los valores de x=0 y de y=2 Se toma este punto y la recta 𝐿2 para determinar la distancia entre las dos rectas paralelas, sustituyéndolos en la fórmula de distancia de un punto a una recta: 5(0) − 3(2) − 6 0−6−6 −12 𝑑=| |; 𝑑 = | |;𝑑 = | | ; 𝑑 = |−2,06| ; 𝑑 = 2,06 2 2 ±√25 + 9 ±√34 ±√(5) + (−3)

6. Determinar la distancia dirigida entre las rectas mostradas en la figura. Se determina un punto que esté en una de las rectas, haciendo x=0 y sustituyéndolo en la recta 𝐿1 : 6(0) − 5𝑦 = −3 Se obtiene el valor de y: 0 − 5𝑦 = −3; 𝑦 =

−3 ; −5

𝑦 = 0,6

Por lo que el punto (0;0,6) está en la recta 𝐿1 . Se identifican los valores de A=-6 , B=-5 y C=30 de la ecuación de la recta 𝐿2 : 6𝑋 − 5𝑦 + 30 = 0. Del punto P se obtienen los valores de x=0 y de y=0,6 Se toma este punto y la recta 𝐿2 para determinar la distancia entre las dos rectas paralelas, sustituyéndolos en la fórmula de distancia de un punto a una recta: 𝑑=|

−6(0)−5(0.6)+30 ±√(−6)2 +(−5)2

|; 𝑑 = |

0−3+30 |; ±√36+25

𝑑=|

27 | ±√61

; 𝑑 = |3,46| ; 𝑑 = 3,46

El signo positivo indica cuál de las rectas está arriba de la otra y solamente se considera que la distancia entre las rectas es una distancia no dirigida y se calcula con el valor absoluto, por eso el resultado es positivo.

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Determinar la forma normal de la ecuación de la recta de la siguientes figuras: A) B)

57 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ C)

2. Determinar la distancia dirigida: A) Del punto P(-2,4) a la recta 2x-3y-4=0 B) Del punto P(2,-1) a la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 10 = 0 C) Del punto P(3,5) a la recta −2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 D) Del punto P(-3,1) a la recta −5𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 3. Determinar la distancia dirigida entre las rectas: A)

58 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ C)

59 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE LA LINEA RECTA LA ECUACIÓN DE L ARECTA COMO UN MODELO MATEMÁTICO Los procesos que se dan en el mundo funcionan gracias a las reglas matemáticas. Los sistemas lineales son un claro ejemplo de cómo emplear esta disciplina en la vida real, por ejemplo, existen condiciones donde la salida de un sistema se duplica si la entrada se duplica, o donde la salida se corta a la mitad si pasa lo mismo con la entrada. Este ejemplo habla del sistema lineal y es posible describirlo con una ecuación lineal Otros aspectos útiles son como la depreciación de los artículos esto se da cuando el precio de este se va perdiendo con el paso del tiempo, la variación de la temperatura, la ley de la oferta y la demanda de artículos, los problemas relacionados con la educación, medicina, y prácticamente en cualquier ramo, son aplicables mediante ecuaciones de la recta tomadas como modelos matemáticos. Se presentan ejemplos de cómo se pueden aplicar las ecuaciones lineales en lo cotidiano. Se sugiere seguir los siguientes pasos para resolverlos de la manera más fácil y efectiva: • Transformar los datos del problema a un modelo matemático. • Determinar la pendiente, sustituyendo la pendiente y uno de los puntos en la ecuación de la forma punto pendiente. • Transformar esta ecuación a la forma pendiente ordenada al origen, para ejecutar los cálculos solicitados en cada situación específica. • Trazar la gráfica correspondiente para tener una idea exacta de lo que lo se está determinando.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. El valor depreciado de una motocicleta es de $ 7600 al final de 7 años después de su compra y de $ 5200 al término de 10 años. Si el valor de la motocicleta varía con el tiempo de uso, determinar: A) La función que expresa el valor de la motocicleta con respecto al tiempo. B) El valor de la motocicleta cuando era nueva. C) Determinar el costo de la motocicleta después de 5 años de uso D) Si quisiera vender la motocicleta en $ 3000, determinar a los cuantos años sería E) Calcular el tiempo en él se deprecia la motocicleta por completo F) Realizar la gráfica y ubicar los puntos anteriores. Los datos que el problema tiene son: 𝑥1 = 7𝑎ñ𝑜𝑠 ; 𝑦1 = $ 7600 𝑥2 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠; 𝑦2 = $ 5200 Es importante definir que el valor de la motocicleta depende del tiempo que transcurre, es decir, el precio se va depreciando (bajando su valor), por lo que el tiempo se considera como la variable independiente x y el valor como la variable dependiente y. Se calcula la pendiente, sustituyendo los valores de los 2 puntos: 60 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑚=

𝑌2 − 𝑌1 5200 − 7600 −2400 = = 𝑋2 − 𝑋1 10 − 7 3

𝑚 = −800 Se interpreta que por cada año que pasa la motocicleta se deprecia $800. Se sustituye la pendiente y el punto𝑃1 (𝑋1 , 𝑌1 ) en la ecuación de la forma punto-pendiente: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 7600 = −800(𝑥 − 7) Se transforma esta ecuación a la forma pendiente ordenada al origen: A) 𝑦 = −800𝑥 + 13200 Esta ecuación permite realizar los cálculos de los literales solicitados, es la función que expresa el valor de la motocicleta con respecto al tiempo. B) Cuando la motocicleta era nueva, no había transcurrido tiempo, es decir, x=0 𝑦 = −800(0) + 13200 𝑦 = 0 + 13200 𝑦 = $ 13200 C) Al transcurrir 5 años, x=5

𝑦 = −800(5) + 13200 𝑦 = −4,000 + 13200 𝑦 = $ 9200 El precio de la moto a los 5 años era de $ 9200 D) El tiempo en el que se vende la motocicleta en $ 3000, es decir: y= 3000 3000 = −800𝑥 + 13200 Se despeja x 3000 − 13200 = −800𝑥 −10200 =𝑥 −800 x = 12,75 Por lo que se puede vender en $ 3000 la motocicleta a los 12,75 años. E) Para que la moto se deprecie por completo, su valor es o, es decir: y=0 0 = −800𝑥 + 13200 Se despeja x 0 − 13200 = −800𝑥 −13200 =𝑥 −800 61 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________ 𝑥 = 16,5 Por lo que la motocicleta se desprecia por completo a los 16 años y medio. F) Grafica

Como se puede ver en la gráfica salen los valores casi exactos (son muy parecidos a los que resultaron matemáticamente). 2. Un bebe crece de manera constante durante su primer año. Si el segundo mes media 54 cm y al octavo mes media 66 cm. Determinar: A) La función que expresa la estatura del bebe con respecto al tiempo. B) La estatura del bebé recién nacido. C) Determinar cuánto medirá él bebé a los seis meses de nacido. D) Calcular el tiempo en el cual él bebé medirá 70 cm. E) Calcular cuánto medirá el bebé al año de nacido. F) Realizar la gráfica y ubicar los puntos anteriores. Los datos del problema son: x1 = 2 meses; y1 = 54cm x2 = 8 meses; y2 = 66cm El valor de la estatura depende del tiempo que transcurre, por lo tanto la estatura va aumentando (sube su valor), por lo que el tiempo se considera como la variable independiente x y la estatura como la variable dependiente y. Se calcula la pendiente, sustituyendo los valores de los 2 puntos: 𝑚=

𝑌2 − 𝑌1 66 − 54 12 = = 𝑋2 − 𝑋1 8−2 6 𝑚=2

Se interpreta que por cada mes que transcurre él bebe crece 2cm en promedio. 62 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

Se sustituye la pendiente y el punto𝑃1 (𝑋1 , 𝑌1 ) en la ecuación de la forma punto pendiente: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 54 = 2(𝑥 − 2) Se transforma esta ecuación a la forma pendiente ordenada al origen: 𝑦 − 54 = 2𝑥 − 4 𝑦 = 2𝑥 − 4 + 54 A) 𝑦 = 2𝑥 + 54 La ecuación con la que se realizan los cálculos de los literales siguientes es, la función que expresa la estatura del bebé con respecto al tiempo. B) La estatura del bebe recién nacido, no ha transcurrido ningún mes, x=0 𝑦 = 2(0) + 50 𝑦 = 0 + 50 𝑦 = 50 𝑐𝑚 La estatura del bebe recién nacido es 50 cm C) Al transcurrir 6 meses, x=6 𝑦 = 2(6) + 50 𝑦 = 12 + 50 𝑦 = 62𝑐𝑚 La estatura del bebe a los 6 meses son 62 cm. D) En cuanto tiempo en el cual él bebe medirá 70 cm: 70 = 2x + 50 Se despeja x 70 – 50 = 2x 20 =𝑥 2 𝑥 = 10 Por lo que él bebe mide 70 cm a los 10 meses E) La estatura del bebe al año de nacido, es decir, x = 12 𝑦 = 2(12) + 50 𝑦 = 24 + 50 𝑦 = 74 𝑐𝑚 La estatura del bebe al año de nacido son 74cm F) Grafica

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UNIDAD 2 La Recta __________________________________________________________________________________

EJERCICIOS PROPUESTOS: Resolver los siguientes ejercicios aplicando las ecuaciones lineales como modelos matemáticos: 1. El costo de producir 60 chompas de cuero es de $7800, mientras que producir 90 chompas de cuero es $ 9300. Si el costo (c) varía linealmente con el número de chompas producidas. Determinar: A) La función que expresa el valor de las chompas con respecto al tiempo. B) El valor de las chompas recién fabricadas. C) ¿Cuánto cuesta producir las chompas después de 3 años? D) Si quisiera vender las chompas en $80000, ¿Cuántas deberían ser? E) Calcular el monto de fabricar las chompas a los 10 años. F) Realizar la gráfica y ubicar los puntos anteriores. 2. El valor de cierto tractor se deprecia linealmente con el tiempo, a los 3 años de uso su precio de venta es de $ 80000 mientras que a los 7 años es de $ 60 000. Si el precio de venta varía linealmente con el tiempo transcurrido, determinar: A) La función que expresa el valor del tractor con respecto al tiempo. B) El precio de venta del tractor cuando estaba nuevo. C) El precio de venta del tractor a los 5 años de uso. D) El precio de venta del tractor a los 10 años de uso. E) ¿En cuánto tiempo se podrá vender el tractor en $50000? F) ¿En cuánto tiempo el tractor se deprecia por completo? G) Realizar la gráfica y ubicar los puntos anteriores. 3. Cuando se riega con regularidad una planta, tiene un crecimiento lineal. Si la altura de esta planta a los 3 días de sembrada era de 9,5 cm y a los 10 días es de 20 cm y si la altura de la planta varía linealmente con el tiempo transcurrido, determinar. A) La función que expresa la altura de la planta en función del tiempo. B) La altura de la planta recién sembrada. C) La altura de la planta a la primera semana de sembrada. D) La altura de la planta a la segunda semana de sembrada. E) ¿En cuánto tiempo la altura de la planta será de 23 cm? F) ¿En cuánto tiempo la altura de la planta alcanzara a los 30 cm? G) Realizar la gráfica y ubicar los puntos anteriores.

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________

SECCIONES CONICAS El término cónica se deriva de la palabra cono, que en geometría es una figura que puede formarse a partir de una recta que se hace girar con respecto a un eje, como se muestra en la siguiente figura.

El cono circular recto doble es una superficie que se obtiene al girar la generatriz (recta generadora L) alrededor de otra recta o eje (E), manteniendo siempre el mismo ángulo de giro entre ambas rectas. Las cónicas, o también llamadas secciones cónicas, son curvas que se forman cuando un cono doble circular recto se interseca con un plano. Son lugares geométricos donde es constante un conjunto de todos los puntos en el plano cuya razón de distancia no dirigida a un punto y una recta fijos. Dicha razón constante se llama excentricidad de la cónica, que se simboliza con la letra e. El punto fijo se llama eje de la cónica y la recta fija se llama directriz. Si la directriz: • • • •

e = 0, la cónica es una circunferencia e = 1, la cónica es una parábola e < 1, la cónica es una elipse. e > 1, la cónica es una hipérbola

La recta perpendicular a la directriz que pasa por un foco de la cónica se llama eje de la cónica. Los puntos de intersección de las dos partes del manto con el eje de la misma se denominan vértices. De acuerdo al ángulo y el lugar de la intersección es posible obtener círculos, hipérbolas , elipses o parábolas. Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del cono se obtiene una hipérbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de las aristas del cono se obtiene una parábola

REPRESENTACIÓN GRÁFICA En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad de la figura geométrica y la inclinación del plano respecto del eje del cono, pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, que son:

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________

APLICACIONES: Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 1 LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el conjunto de puntos C, del plano cuyas distancias (no dirigidas) a un punto fijo son iguales. El punto fijo se llama centro (C ) y la distancia constante no dirigida es el radio (R). La circunferencia de centro C (h , k) y radio R > 0 es la gráfica de la ecuación.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA Observamos en el gráfico a la circunferencia de centro (h , k) y radio R. Si P(x, y) un punto del lugar geométrico y por definición, de distancia entre dos puntos en cualquier posición del punto P se debe verificar que ICPI = R, se tiene: √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑅 ; elevando al cuadrado. De donde la ecuación ordinaria de la circunferencia es: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑅 2 Si el centro de la circunferencia está en el origen, la ecuación de la circunferencia se reduce a la forma x 2 + y2 = R 2

CASOS PARTICULARES DE LA FORMA ORDINARIA A) Circunferencia tangente al eje X En este caso, R = I k I y la ecuación toma la forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = k2 B) Circunferencia tangente al eje Y En este caso, R = | h | y la ecuación toma la forma (x - h)2 + (y - k)2 = h2 C) Circunferencia tangente a los ejes coordenados En este caso, R = |h | = | k I y la ecuación toma la forma (x - h)2 + (y - h)2 = h2 67 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta X: 2x - 3y + 12 = 0, comprendida en el segundo cuadrante Interceptando la recta L con los ejes coordenados se tiene: Si x = 0 ; y = 4 se tiene A = (0, 4), y si y = 0 entonces x = -6 por lo tanto B = (-6, 0) Como el centro C (h, k) biseca al segmento AB; entonces, h = -3 y k = 2, luego C = (-3, 2) 𝑅 = 𝑑(𝐶𝐴) = √ (0 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 ; 𝑅 = √13 Por tanto, la ecuación buscada es 𝐶: (𝑥 + 3)2 + ( 𝑦 − 2)2 = 13

2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta L: x + 2 y - 6 = 0 y que pasa por los puntos A (7, 3) y B (-3, -7). Por ser radios:

|AC|=| BC |

√(ℎ − 7)2 + (𝑘 − 3)2 = √(ℎ + 3)2 + (𝑘 + 7)2 de donde se tiene: h + k = 0

(1)

Si C(h ,k)ϵL se tiene que h+2k-6=0

(2)

Ahora, de (1) y (2), formando un sistema de ecuaciones: h = -6 y k = 6 el centro C (-6, 6) Como R =|AC|=> 𝑅 = √(−6 − 7)2 + (6 − 3)2 ; 𝑅 = √178 Luego, la ecuación de la circunferencia es C: (x + 6) 2 + (y - 6)2 = 178

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X en S (4 , 0) y pasa por el punto T(7 , 1) La ecuación de la circunferencia según la fórmula planteada anteriormente es C: (x - h)2 + (y - k)2 = k2 como h es igual a la abscisa de S se tiene que h = 4 Además, por definición: d(SC) = d (TC) √(4 − 4)2 + (𝑘 − 𝑂)2 = √(4 − 7)2 + (𝑘 − 1)2 De donde se obtiene, k = 5. Luego, al sustituir se tiene: 𝐶: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 5)2 = 25

4. El punto C (3, -1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta L: 2x - 5y + 18 = 0 una cuerda de longitud 6 unidades. Hallar la ecuación de esta circunferencia. 68 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ En una circunferencia, el diámetro es perpendicular a toda cuerda en su punto medio. Según esta propiedad, sea M el punto medio de la cuerda AB. |𝐶𝑀| = 𝑑(𝐶𝐿) =

|2(3) − 5(−1) + 18| √4 + 25

; 𝑅 = √29

Dado que (AB) ̅= 6; |AM|=|MB|=3 En el ∆AMC∶ 𝑅 2 = |𝐴𝑀|2 + |𝐶𝑀|2

(Pitágoras)

𝑟 2 = 9 + 29 = 38 Luego, la ecuación de la circunferencia es 𝐶: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 38

5. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las dos rectas paralelas L1: 2 x + y - 5 = 0 y L2: 2 x + y + 1 5 = 0 y, a una de ellas, en el punto A(2 , 1). Por sustitución de sus coordenadas vemos que A є L2 |𝐴𝐵| = 𝑑(𝐿1 , 𝐿2 ) =

|15−(−5)| √4+1

; |𝐴𝐵| = 4√5

Como |AB|= 2R entonces 𝑟 = 2√5 La ecuación de la recta L, perpendicular a L1 y L2 es 𝑦 − 1 =

1 (𝑥 − 2) <=> 𝐿 ∶ 𝑥 − 2𝑦 = 0 2

Ahora𝐿1 ∩ 𝐿2 = 𝐵(−6 , − 3) C biseca al diámetro 𝐴𝐵 => 𝑐 (

2−6 1−3 , ) 2 2

<=> 𝐶 (−2, −1)

Luego, la ecuación de la circunferencia es 𝐶 ∶ (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 20 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 𝐿: 2𝑥 + 𝑦 = 0 y es tangente a las rectas 𝐿1 : 4𝑥 − 3𝑦 + 10 = 0 𝑦 𝐿2 ∶ 4𝑥 − 3𝑦 − 30 = 0 𝑅 =

1 2

𝑑(𝐿1 𝐿2 ) =

|10−(−30)| 2√16+9

= 4

𝑆𝑖 𝐶 (ℎ , 𝑘 ) ∈ 𝐿 => 2ℎ + 𝑘 = 0

(1)

El centro C se encuentra en la paralela media de L1 y L2 esto es, si 𝐿1 : 𝑦 =

4 10 4 𝑥 + 𝑦 𝐿2 ∶ 𝑦 = 𝑥 − 1 0 3 3 3 4 1 10 𝐿3 ∶ 𝑦 = + ( − 10) 3 2 3 𝐿3 : 4𝑥 − 3𝑦 − 10 = 0

y como 𝐶(ℎ , 𝑘) ∈ 𝐿3 => 4ℎ − 3𝑘 − 10 = 0

(2)

De (1) y (2). Formando sistemas de ecuaciones, se obtiene: h = 1, k = -2 Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es 𝐶: ( 𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 16 69 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 7.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por P (12, 7) y es tangente a la recta L 1: x - 2y - 2 = 0 en el punto T (8 , 3). Sea C (h, k) el centro de la circunferencia Por definición: d (PC) = d (TC) √(ℎ − 12)2 + (𝑘 − 7)2 = √(ℎ − 8)2 + (𝑘 − 3)2 ℎ + 𝑘 = 15

(1)

𝑆𝑖 𝐶𝑇 ⊥ 𝐿1 => 𝑚𝐶𝑇 . 𝑚1 = −1 𝑘−3 1 ( ) ( ) = −1 ; 2ℎ + 𝑘 = 19 ℎ−8 2

(2)

De (1) y (2), formando sistemas de ecuaciones se obtiene: h = 4, k = 11 𝑅 = 𝑑(𝑇𝐶) = (4 − 8)2 + (11 − 3)2 = √80 Luego, la ecuación de la circunferencia es: 𝐶: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 11)2 = 80

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta, L1: x - 4y + 3 = 0 en el punto A (5, 2) y también a la recta L2: 4x + y - 5 = 0 en el punto B (2, -3).

Sea C (h, k) el centro de la circunferencia 𝑆 𝑖 𝐿1 ∶ 𝑥 − 4 𝑦 + 3 = 0 => 𝑚1 = 1/4 Como 𝐴𝐶 ⊥ 𝐿1 => 𝑚𝐴𝐶 =

𝑘−2 ℎ−2

= −4

4ℎ + 𝑘 − 22 = 0 También 𝐵𝐶 ⊥ 𝐿2 𝑚𝐵𝐶 =

𝑘+3 ℎ−2

(1)

1 4

ℎ − 4𝑘 − 14 = 0

(2)

De (1) y (2) obtenemos: h = 6 y k = -2 ; C (6, -2) 𝑅 = 𝑑 (𝐵𝐶) = √(6 − 2)2 + (−2 + 3)2 ; 𝑅 = √17 Por tanto, la ecuación de la circunferencia es 𝐶: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 2)2 = 17

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta: 2x - y + 6 = 0 en el punto S (-1 , 4), y tiene radio 3√5 Conocido el radio de la circunferencia, el problema se reduce determinar su centro C (h , k). Luego, si 𝑆𝐶 ⊥ 𝐿1  𝑚𝑠𝑐 . 𝑚1 = −1 𝑘−4 ( ) (2) = −1 ; ℎ + 2𝑘 − 7 = 0 ℎ+1 70 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 𝑅 = 𝑑(𝐶 𝐿1 ) => 3√5 =

|2ℎ − 𝑘 + 6| √4 + 1

|2ℎ − 𝑘 + 6| = 15; 2ℎ − 𝑘 + 6 = 15 ó 2 ℎ − 𝑘 + 6 = −15 2ℎ − 𝑘 − 9 = 0 ó 2ℎ − 𝑘 + 21 = 0 Entonces, (2ℎ − 𝑘 − 9 = 0) ∩ (ℎ + 2𝑘 − 7 = 0) = 𝐶1 (5 , 1) (2ℎ − 𝑘 + 21 = 0) ∩ (ℎ + 2𝑘 − 7 = 0); 𝐶2 (−7 , 7) Hay dos soluciones, 𝐶1 : (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 1)2 = 45 𝑦 𝐶2 ∶ (𝑥 + 7)2 + (𝑦 − 7)2 = 45

10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (-3, -1) y B (5, 3) y es tangente a la recta L: x + 2y - 13 = 0 Sea C (h, k) el centro de la circunferencia. Si IACI = IBCI=R, entonces √(ℎ + 3)2 + (𝑘 + 1)2 = √(ℎ − 5)2 + (𝑘 − 3)2 ; 𝑘 = 3 − 2 ℎ También, si |𝐴𝐶 | = 𝑑(𝐶𝐿) = 𝑅; √(ℎ + 3)2 + (𝑘 + 1)2 =

(1)

|ℎ+2𝑘−13| √1+4

de donde : 4ℎ2 + 𝑘 2 − 4ℎ𝑘 + 56ℎ + 62𝑘 − 119 = 0

(2)

Sustituyendo (1) en (2) y simplificando obtenemos: 4ℎ2 − 23ℎ + 19 = 0 ; ℎ1 = 1 ó ℎ1 = 19/4 13 𝑘1 = 1 ó 𝑘2 = − 4 |(1) + 2(1) − 13| 𝑑(𝐶1 𝐿 ) = = 2√5 √1 + 4 19 13 |( ) + 2 (− ) − 13| 17 4 4 𝑅2 = 𝑑(𝐶2 𝐿) = ; 𝑅2 = √5 5 √1 + 4 Por tanto, las ecuaciones de las circunferencias son 𝐶1 : (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 20 , 𝐶2 ∶ (𝑥 + 19/4)2 + (𝑦 − 13/4)2 = 1445/16 □

11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X, con centro en la recta L: x + y - 7 = 0 y que pasa por el punto A (5 ,4 ) La ecuación de la circunferencia tiene la forma, (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = k 2

(1)

Si |𝐴𝐶 | = 𝑅 => √(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 4)2 = 𝑘 ; ℎ2 − 𝑙𝑂ℎ − 8𝑘 + 41 = 0 (2) 𝑆𝑖 𝐶(ℎ , 𝑘 ) ∈ 𝐿; ℎ + 𝑘 − 7 = 0 ; 𝑘 = 7 − ℎ

(3)

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ Sustituyendo (3) en (2) obtenemos: ℎ + 𝑘 − 7 = 0 <=> ℎ1 = 5 ó ℎ2 = −3 <=> 𝑘1 = 2 ó 𝑘2 = 10 Por tanto, en (1), las ecuaciones de las circunferencias son: 𝐶1 : (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 𝐶2 ∶ (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 10)2 = 100 12. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (6, 1) y es tangente a las rectas L: 4x - 3y + 6 = 0 y L: 12x + 5y ; 2 = 0. Si C (h, k) es el centro de la circunferencia, 𝑑(𝐶1 𝐿2 ) = −𝑑(𝐶1 𝐿1 ) 12ℎ + 5𝑘 – 2 √144+25

=−

4ℎ − 3𝑘 + 6 , −√16+9

de donde: ℎ = 11 − 8𝑘

(1)

|𝐶𝑃| = |𝑑(𝐶1 𝐿1 )| √(ℎ − 6)2 + (𝑘 − 1)2 =

|14ℎ − 3𝑘 + 6 | √16 + 9

9ℎ2 + 16𝑘 2 + 24ℎ𝑘 − 348ℎ − 14𝑘 + 889 = 0

(2)

Sustituyendo (1) en (2) obtenemos la ecuación 8𝑘 2 + 25𝑘 − 37 = 0 <=> 𝑘1 = 1 ó 𝑘2 = − <=> ℎ1 = 3 ó ℎ2 = 48 𝑅1 = 𝑑(𝐶1 𝐿1 ) =

|4(3)– 3(1)| √16 + 9

37 8 } => 𝐶 (3,1) ó 𝐶 (48, − 37) 1 2 8

𝑅1 = 3 𝑦 𝑅2 = 𝑑(𝐶1 𝐿2 ); 𝑅2 =

339 8

Por tanto, las ecuaciones de las circunferencias buscadas son: 𝐶1 : (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 ó 𝐶2 ∶ (𝑥 − 48)2 + (𝑦 + 37/8)2 = 114921/64

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y en el punto S (0, 3) y que pasa por el punto T (-2, -1). 2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y cuyo centro está sobre las rectas, L1: 3x - 2y - 24 = 0 y L2: 2x + 7y + 9 = 0 3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C (-1, 4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos A (3, -2) y B (-9, 3). 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (3, -2) y B (-1, -6) y cuyo centro está en la recta L: x - 3y + 3 = 0. 72 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 5. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es M (-2, 4). Hallar la ecuación de la cuerda. 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (0,1) y B (-1 ,2) y es tangente al eje X. 7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (1, 6) y B (2, -1) y es tangente al eje Y. 8. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta L: 2y - x = 5 en el punto T (1, 3) y que pasa por Q (-1, 5). 9. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta L: x - 2y - 3 = 0 en el punto T (-1, -2) y tiene radio √5. 10. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y con centro en la recta L: x - y + 3 = 0 y que pasa por el punto P (4 , 5). 11. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por A (1 , 0) y son tangentes a las dos rectas L : 2x + y + 2 = 0 y L2: 2x + y -18 = 0. 12. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (3, 6) y es tangente a las rectas L1 : x + y -11 = 0 y L2 : x - 7y + 57 = 0. 13. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-2, 4) y es tangente a las rectas L: 4x - 3y = 30 y , L : 3x + 4y = 35. 14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (4, -6) y B (-8, -2) y es tangente a la recta L: x - y - 14 = 0. 15. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos lados son L: x - y = 0, L: x - 7y = 0 y L: 7x + y = 20. 1 Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta L: y - x -1 = 0 y es tangente a cada una de las rectas L: 4x - 3y - 15 = 0 y L: 3x + 4y - 10 = 0. 17. Una circunferencia tiene su centro en L: 2x + y + 3 = 0, pasa por el punto P (3 ,1) y es tangente a L: 4x - 3y = 14. Hallar su ecuación. 18. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en L: 3x + 4y = 1, tangente a L: 3 x - 4 y + 8 = 0 y radio 5. 19. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes coordenados y con centro en la recta L: x + 2y - 3 = 0. 20. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que teniendo sus centros en la recta L: 4x - 5y = 3, son tangentes a las rectas L: 2x - 3y = 10 y L: 3x - 2y + 5 = 0. 21. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 3: x + y = 0, es tangente a la recta L: x + y - 1 = 0 y que pasa por el punto P (2, -3).

73 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 22. Sea C una circunferencia con centro C (h. k), h + k = 6, h > 0. Si C determina sobre el eje Y un segmento AB de 4V3u. de longitud y el área del triángulo ACB es 2V3u2. a) Hallar la ecuación de r0. b) Hallar la ecuación de la circunferencia 4?, con centro C, (-5, -4) y tangente a C 23. Sean la recta L: 2x - y - 7 = 0 y el punto A (-1, 6). a) Hallar los puntos B y C pertenecientes a L, tal que el AABC sea equilátero, b) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita ha dicho triángulo. 24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (2, 5) y Q (3 ,12), sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda PQ es 5√2. 25. Una circunferencia es tangente a las rectas, L: x - y + 5 = 0 y L: x - y + 1=0. Si A (2 .5) está en la circunferencia, hallar su ecuación si la suma de las coordenadas del centro es mayor que 7. 26. Dada la recta Sí'-: 7x + y -1 5V2 = 0 y la circunferencia (x -10√2)2 + (y - 5√2)2 = 25, se tienen y dos rectas paralelas de pendiente negativa, tangentes a L y L2 tales que cada una de ellas forman con SP un ángulo 0, donde Tg6 = 3/4. Hallar las ecuaciones de L y L2 27. Determinar si el cuadrilátero A (-5, 7), B (-6,2), C (-2, -4) y D(10, 2) es inscriptible a una circunferencia. En caso que lo sea, hallar la ecuación de la circunferencia. 28. Determinar si el cuadrilátero de vértices A (19/2 , 8), B(-9/2 , 16), C(-20/3, -4/3) y D(12, -12) es circunscribirle a una circunferencia. Si lo es, halle la ecuación de la circunferencia.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Si desarrollamos los cuadrados de la ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = R2 (1) obtenemos: x2 + y 2 - 2hx - 2ky + (h2 + k2 - R2) = 0 De donde A = 1 ; B = 1; C = 0 ; D = -2h ; E = -2k y F = h2 + k2 - R2 Esta ecuación tiene la misma forma que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

(3)

y que denomina forma general de la ecuación de la circunferencia. Ahora se determinará el centro y radio de la circunferencia: (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F Completando los cuadrados de los binomios en x e y, se tiene: (𝑥 2

𝐷2 𝐸2 𝐷2 𝐸2 2 + 𝐷𝑥 + ) + (𝑦 + 𝐸𝑦 + ) = −𝐹 + + 4 4 4 4

𝐷 2 𝐸 2 1 2 => (𝑥 + ) + (𝑦 + ) = (𝐷 + 𝐸 2 − 4𝐹) 2 2 4 𝐷 2 𝐸 2 (𝑥 + ) + (𝑦 + ) = 𝑅 2 2 2 Si hacemos R2 = 1/4 (D2 + E2 - 4 F), se tiene que: 74 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ Se puede afirmar que: a) Si R > 0, la gráfica de (3) es una circunferencia de centro C (h , k) , donde: h= -

𝐷 2

; k=-

𝐸 2

y radio; R= ½ √𝐷 2 + 𝐸2 − 4𝐹

b) Si R = 0, la gráfica de (3) es un punto (-D/2, -E/2) c) Si R < 0, la gráfica de (3) es el conjunto vacío

EJERCICIO RESUELTO: Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Si la gráfica es una circunferencia, dé su centro y su radio. A) C1: 9x2 + 9y2 - 144x + 12y + 580 = 0 B) C2: 4x2 + 4y2 -12x + 8y + 77 = 0 C) C3: 36x2 + 36y2 - 48x - 36y + 16 = 0 A) Dividiendo entre 9 y agrupando los términos de la ecuación se tiene: (x2 - 16x) + (y2 + 4/3y) =-580/9 Completando cuadrados en los paréntesis obtenemos: (x2 - 16x + 82) + (y2 + 4/3y + 4/9) = -580/9 + 64 + 4/9 C1: (x - 8)2 + (y + 2/3)2 = 0 Luego, C1 es una circunferencia punto, es decir, se degeneró en su centro C (8, -2/3). B) Análogamente, pasando a su forma ordinaria se tiene: C2: (x2 - 3x) + (y2 + 2y) = - 1 => (x2 - 3x + 9/4) + (y2 + 2y + 1) = -77/4 -9/4 +1 <=> C2: (x -3/2)2+ (y + l) 2 = -16 Luego, C2 es una circunferencia imaginaria o conjunto vacío C) Para C3: (x 2- 4/3x) + (y2-y) = -4/9 => (x2- 4/3+ 4/9) + (y2-y + 1/4) = - 4/9 + 4/9 +1/4  C3:(x- 2/3)2 + (y - 1/3)2 = 1/4 Se tiene que C3 es una circunferencia real de centro C (2/3, 1/2) y radio 1/2

LA CIRCUNFERENCIA CON TRES CONDICIONES Una circunferencia queda determinada por tres puntos distintos cualesquiera en el plano que no sea colineal. En efecto, la ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 (1) Conteniendo tres constantes arbitrarias D, E y F, muestra que para su determinación son necesarias tres ecuaciones independientes, que se obtienen mediante tres condiciones geométricas a las que debe satisfacer la circunferencia cuya ecuación particular se pretende determinar.

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (5, 4), B (4, -3) y C (-2, 5). Sea la circunferencia C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

(1)

𝑆𝑖 𝐴 (5 , 4) ∈ 𝐶 => (5)2 + (4)2 + 𝐷(5) + 𝐸(4) + 𝐹 = 0 <=> 5𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 + 41 = 0 (2) 𝐵(4 , −3) ∈ 𝐶 => (4)2 + (−3)2 + 𝐷(4) + 𝐸(−3) + 𝐹 = 0 => 4𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 + 25 = 0 (3) 𝐶(−2 , 5) ∈ 𝐶 => (−2)2 + (5)2 + 𝐷(−2) + 𝐸(5) + 𝐹 = 0 => −2𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 + 29 = 0 (4) Al resolver el sistema de ecuaciones entre (2), (3) y (4), se obtiene: D = -2, E = -2, F= -23 que sustituidas en (1) dan la ecuación buscada, esto es: C: x 2 + y2- 2 x - 2 y - 2 3 = 0

2. Determinar el valor o el conjunto de valores de k de modo que la ecuación C: x2 + y2 - 6x + 4ky + k + 14 = 0 represente una circunferencia real; un punto o un conjunto vacío. Pasando la ecuación de C su forma ordinaria se tiene: (𝑥 2 − 6𝑥 + 9) + (𝑦 2 + 4𝑘𝑦 + 4𝑘 2 ) = −𝑘 − 14 + 9 + 4𝑘 2 <=> 𝐶: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2𝑘)2 = 4𝑘 2 − 𝑘 − 5 A) C es una circunferencia real <=> 4𝑘 2 − 𝑘 − 5 > 0 ; 𝑘 < −1 ó 𝑘 > 5/4 B) es una circunferencia punto <=> 4𝑘 2 − 𝑘 − 5 = 0 ; 𝑘 = −1 ó 𝑘 = 5/4 C) es un conjunto vacío <=> 4𝑘 2 − 𝑘 − 5 < 0 « <=> −1 < 𝑘 < 5/4

3. Determinar el valor de k para que la recta L: 3x - 2y + k = 0 sea tangente a la circunferencia C: x 2 + y2 - 4x + 6y - 39 = 0 La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es C: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 52 Entonces, C = (2, -3) y r = √52 Dado que 𝑅 = |𝐶𝑇| ⊥ 𝐿 ; 𝑅 = 𝑑(𝐶𝐿), 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠: √52 =

|3(2) − 2(−3) + 𝑘|

𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒, |𝑘 + 12| = 26;

√4 + 9 𝑘 + 12 = ±26

De donde: 𝑘 = 14 ó 𝑘 = −38

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con C: 4x2+4y2-16x+ 20y+25 = 0 y que es tangente a la recta L: 5x - 12y - 1 = 0 La ecuación de la circunferencia C en su forma ordinaria es (x - 2)2 + (y + 5/2)2 = 4 Entonces, C = C1 (2, -5/2) y r1 = 2

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ Radio de la circunferencia buscada: 𝑅 = 𝑑(𝐶𝐿); 𝑅 =

5(2) − 1 √25 + 144

;𝑅 = 3

Por lo que su ecuación es C: (x - 2)2 + (y + 5/2) = 9

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Si la gráfica es una circunferencia, dé su centro y su radio, A) 9x2 + 9y2 + 12x - 72y - 77 = 0 B) 8x2 + 8y2 - 12x - 20y + 17 = 0 2 2 C) 16x + 16y - 40x + 24y - 110 = 0 D) 25x2 + 25y2 - 20x - 30y - 87 = 0 2. Halle el valor de k de modo que la recta L: 6x - 3y + k - 5 = 0 sea tangente a la circunferencia C: 4x2 + 4y2 - 12x+ 16y -11 = 0 3. Determinar el valor o el conjunto de valores de k de modo que la curva C: x 2 + y2 - 4x + 2ky + 10 = 0 tiene por gráfica: A) Una circunferencia B) Un punto C) Un conjunto vacío 4. Existen dos rectas que pasan por el punto P (-2 , -1) y son tangentes a la circunferencia C: x2 + y2 - 6x - 4y - 3 = 0. Hallar la distancia de P a los puntos de tangencia. 5. La longitud de la tangente trazada del punto P (3, y) a la circunferencia C: x2 + y2 + 10x - 2y - 10 = 0 mide √53 unidades. Hallar la ordenada de P. 6. Determinar el valor de k para que la mínima distancia del punto P (-2 ,5) a la circunferencia C: x2 + y2 - 8x + 6y + k = 0 sea de 6 unidades. 7. Si D y d son la mayor y menor distancia a la circunferencia C: x 2 + y2 - 6x + 5y + 3 = 0 a la recta L: 3x 4y + 6 = 0, hallar el valor de D + d. 8. Hallar la menor y mayor distancia del punto P (3, 9) a la circunferencia C: x 2 + y2 - 26x + 30y + 313 = 0 9. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con C: x2 + y2 - 8x + 6y - 5 = 0 y que pasa por el punto P (1, 2). 10. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con C: 4x2 + 4y2 + 16x + 12y + 9 = 0 y tangente al eje Y. 11. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices P (-4 , -7), Q (5 , 8) y R (3 , 6). 12. El punto P (8 , 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia C: x 2 + y2 - 12x - 4y - 60 = 0. Hallar la ecuación de la cuerda y su longitud. 13. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio VÍ3 y que es tangente a la circunferencia C: x2 + y2 4x + 2y - 47 = 0 en el punto P (6, 5). 14. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y es tangente a la circunferencia C: x2 + y2 - 6x - 12y - 7 = 0 en el punto P(-3 , 2).

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (1, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2+ 6x + 2y + 5 = 0 en el punto T (-2 1 ). 16. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y es tangente a la circunferencia x2 + y2 - 10x + 6y + 14 = 0 en el punto T (1 , -1). 17. Hallar el punto de la circunferencia C: x2 + y2- 6x - 16y + 69 = 0 más distante de la recta L: x + y - 1 = 0. 18. Dada la circunferencia C: x2 + y2- 10x - 14y + 49 = 0 y la recta L: x + y - 5 = 0, secante a r8. Determinar el ángulo que forma la recta !£ con cada una de las tangentes en los puntos de intersección. 19. Desde el punto A (k, -4), k > 2, se trazan rectas tangentes a la circunferencia C: x2 + y2- 6x + 2y + 5 = 0. El segmento determinado por el punto de tangencia y el punto A, mide √5. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes. 20. Dada la circunferencia C: x2 + y2+ 2x - 2y - 7 = 0 y la recta L: 3x - y -15 = 0; sean y rectas paralelas a X y tangentes a la circunferencia dada en los puntos T, y T2, respectivamente. Hallar las ecuaciones de las rectas los puntos de tangencia. 21. Dada la familia de rectas 2x - 3y + 5 + k(x + 4y - 11) = 0, hallar dos miembros de esta familia, los cuales interceptan a la circunferencia x2 + y2- 4x + 2y - 21 = 0, cuerdas de longitud (Guía: Ejemplo 12).

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS Se ha señalado que hay tres constantes esenciales en la ecuación de una circunferencia; por tanto, si se dan condiciones que determinan dos de ellas, la tercera puede elegirse arbitrariamente. Por consiguiente, tenemos un sistema en el que aparece una constante arbitraria; es decir/tenemos una familia de un parámetro, ya que a cada valor asignado a la constante arbitraria de que disponemos corresponde una circunferencia. EJERCICIO RESUELTO: Cuál es la ecuación de la familia dé circunferencia con centro en la recta L: x - 2y =0 y tangente a la recta L: x - y = 0. Seleccionar el miembro o miembros de la familia con radio iguala √2. Para resolver el ejercicio se tiene las tres constantes esenciales; h, k y r Usaremos las condiciones dadas para expresar s dos de ellas en función a la tercera; esto es: 𝐴) 𝑆𝑖 𝐶(ℎ , 𝑘)𝜖𝐿 => ℎ − 2𝑘 = 0 <=> ℎ = 2𝑘 B) Por la propiedad de' las tangentes: 𝑟 = 𝑑(𝐶𝐿2 ) => 𝑅 =

|ℎ−𝑘| √2

;𝑅 =

|𝑘| √2

C) Por tanto, si la ecuación ordinaria de la circunferencia es (x, h) + (y - k)2 = R2, vemos que: (x - (𝑥 − 2𝑘)2 + (𝑦 − 𝑘)2 =

𝑘2 2

(1)

es la ecuación de la familia de circunferencias buscada. D) Para seleccionar los miembros con radio r = √2, debemos resolver

78 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 2

𝑘2 = (√2 ) => 𝑘 2 = 4 <=> 𝑘 = 2 ó 𝑘 = −2 2 E) Ahora, si sustituimos ambos valores en (1) encontramos que (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 2 ó (𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 2 Son las ecuaciones de los miembros buscados.

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR LA INTERSECCION DE DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS Sean las circunferencias 𝐶1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷1 𝑥 + 𝐸1 𝑦 + 𝐹1 = 0

(1)

𝐶2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷2 𝑥 + 𝐸2 𝑦 + 𝐹2 = 0

(2)

Multiplicando la ecuación (2) por k y sumando (1) formamos la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷1 𝑥 + 𝐸1 𝑦 + 𝐹1 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷2 𝑥 + 𝐸2 𝑦 + 𝐹2 ) = 0

(3)

en donde el parámetro k e R. Supongamos que C1 y C2 se interceptan en dos puntos diferentes 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑦 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ), a la vez que las coordenadas de P1 y P2 satisfacen las ecuaciones (1) y (2), ellas también deben satisfacer la (3), que se reduce a la forma 0 + k(0) = 0, para cualquier valor de k. Entonces la ecuación (3) representa la familia de las curvas que pasan por las intersecciones de C1 y C2 Para determinar la naturaleza de las curvas de esa familia, escribimos la ecuación (3) de la siguiente forma: (𝑘 + 1)𝑥 2 + (𝑘 + 1)𝑦 2 + (𝐷1 + 𝑘𝐷2 )𝑥 + (𝐸1 + 𝑘𝐸2 )𝑦 + (𝐹1 + 𝑘𝐹2 ) = 0

(4)

Si k = -1, la ecuación (4) se reduce a una ecuación de una línea recta, llamada eje radical. Para 𝑘 ≠ −1 , la ecuación (4) representa una circunferencia. En particular, si k = 0, la ecuación (4) se reduce a la ecuación de C1

EJE RADIAL

Es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se pueden trazar tangentes iguales a dos circunferencias del sistema. C1 + kC2= 0 Si en la ecuación (4) hacemos k = - 1 obtenemos. 𝐿: (𝐷1 − 𝐷2 )𝑥 + (𝐸1 − 𝐸2 )𝑦 + (𝐹1 − 𝐹2 ) = 0

(5)

Que representa la ecuación del eje radical. Según que el eje radical L corte a las circunferencias C1 y C2 en dos, uno o ningún punto, tenemos las siguientes posiciones relativas entre ellas.

79 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 1. CIRCUNFERENCIA SECANTES. El eje radical pasa por los puntos de intersección de C1 y C2, y ocurre que la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios.

𝑑 < 𝑅1 + 𝑅2

2. CIRCUNFERENCIA EXTERIORES. El eje radical pasa por el punto medio de la línea que une los centros C1 y C2, y ocurre que la distancia de los centros es mayor que la suma de los radios.

𝑑 > 𝑅1 + 𝑅2

3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES. El eje radical es la tangente común a ambas circunferencias y ocurre que la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios

𝑑 = 𝑅1 + 𝑅2

4. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES. El eje radical es la tangente común a ambas circunferencias y ocurre que la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios

𝑑 = 𝑅1 − 𝑅2

A) El eje radical es siempre perpendicular a la línea que une los centros de las circunferencias. B) Cuando las circunferencias son concéntricas no existe eje radical. 80 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA Existen dos métodos para determinar las ecuaciones de las tangentes a una circunferencia dada. PRIMER METODO.

Consiste en la aplicación de la propiedad fundamental de la circunferencia.

“La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, y por lo tanto, el radio es igual a la distancia de la tangente al centro de la circunferencia”. EJERCICIO RESUELTO: Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia C: x2 + y2 = r2 en el punto de tangencia T(x, y,). La ecuación de la tangente X que pasa por T es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

(1)

La pendiente del radio CT es: 𝑚1 = Siendo L ⊥ CT => 𝑚 = −

𝑦1 𝑥1

Luego, en (1), se tiene 𝑦 − 𝑦1 = − 𝑥1 x + 𝑦1 y = 𝑥1 2 + 𝑦1 2

𝑦1 𝑥1

𝑥1 𝑦1

(𝑥 − 𝑥1 )

(2)

Pero como 𝑇(𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝐿 => 𝑥1 2 + 𝑦1 2 = 𝑟 2 Por lo que en (2), la ecuación de la tangente es 𝐿: 𝑥1 x + 𝑦1 y = 𝑅 2

(7)

Aplicación. 1. Si T (-1, 2) y C: x2 + y2= 5, según la fórmula (7), la ecuación de la tangente es L: (-1) x + (2) y = 5 <=> L: x - 2y + 5 = 0 Análogamente, para la circunferencia de ecuación C: (x - h)2 + (y - k)2 = R2 la ecuación de la tangente en el punto de tangencia T(x1, y1) es: L: (x1 - h) (x - h) + (y1 - k) (y - k) = R2

(8)

2. Dados T (-5, 7) y C: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25, la ecuación de la tangente, según la fórmula (8), es: L: (-5 + 2) (x + 2) + (7 - 3) (y - 3) = 25  L: 3x - 4y + 43 = 0

SEGUNDO METODO

El método optativo o del discriminante

Por estudios del Algebra sabemos que la fórmula 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Determina las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 2 = 0, en términos de los coeficientes a, b y c. El valor del discriminante, ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐, determina la naturaleza de las raíces. Así para: i) 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, hay dos raíces reales distintas ii) 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 , hay una sola raiz real 81 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ iii) 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, las raíces son imaginarias. Se puede combinar estos conceptos con la posición de una recta respecto a una circunferencia. Una recta y una circunferencia tienen 0, 1 ó 2 puntos en común. No tienen ningún punto común si 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, es el caso de .L1 en la Figura Tienen exactamente un punto común <=> 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, en este caso Se es la tangente a la circunferencia. Tienen dos puntos en común <=> 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, en este caso es una secante a la circunferencia EJERCICIO PROPUESTO: Hallar los valores de k de modo que la recta y = kx A) Corta a la circunferencia: x2 + y2 - 10x + 16 = 0 B) es tangente a esta circunferencia C) pasa fuera de esta circunferencia Sustituyendo y = kx en la ecuación de la circunferencia se tiene: 𝑥 2 + (𝑘𝑥)2 − 10𝑥 + 16 = 0 <=> (1 + 𝑘 2 )𝑥 2 − 10𝑥 + 16 = 0

(1)

Si comparamos esta ecuación con 𝑎𝑥 2 + bx + x = 0, vemos que: a =1 + 𝑘 2 , b = -10 y c = 16, entonces el discriminante de (1) es: ∆= (−10)2 − 4(1 + 𝑘 2 )( 16) = 4(9 − 16𝑘 2 ) A) L corta a C4(9 -1 6k2)>0 => k2<9/16 <=>-3/4 < k < 3/4 B) L es tangente a 𝐶 <=> 4(9 − 16𝑘 2 ) = 0 => 𝑘 2 = C) L no corta a 𝐶 <=> 4(9 − 16𝑘 2 ) < 0 => 𝑘 2 >

9 16

3 4

<=> 𝑘 = − ó 𝑘 = 3 4

<=> 𝑘 < − ó 𝑘 >

3 4

□

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Desde el punto A (5/3, -5/3) se han trazado tangentes a la circunferencia x 2 + y2 = 5. Hallar sus ecuaciones. 2. Hallar la ecuación de la tangente en el punto T (-2, 3) a la circunferencia C: x2 + y 2 - 10x + 2y - 39 = 0. 3. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia C: x 2+y2+10x -2y + 6 = 0 que son paralelas a la recta L : 2x + y - 7 = 0. 4. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 4y = 0 que son perpendiculares a la recta L: x - 2y = 0. 5. Desde el punto P (6, -8) se han trazado tangentes a la circunferencia x2 + y2 = 25. Calcular la distancia del punto P a la cuerda que une los puntos de contacto. 6. Desde el punto P (4, -4) se han trazado tangentes a la circunferencia x2 + y2-6x+2y+5 = 0. Calcular la longitud de la cuerda que une los puntos de contacto.

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UNIDAD 3 La circunferencia __________________________________________________________________________________ 7. Desde el punto P (1, 6) se han trazado tangentes a la circunferencia x 2 + y2+2x - 19 = 0. Hallar sus ecuaciones. 8. Deducir la condición según el cual, la recta y = kx + b es tangente a la circunferencia C: x 2+y2 = R2. 9. Sobre la circunferencia x2 + y2 = 20 hallar dos puntos tales que sus distancias a la recta L: 2x- y + 12 = 0 sean mínima y máxima respectivamente. 10. De la familia de rectas x + 2y - 3 + k(x - 3y + 2) = 0, hallar la recta que sea tangente a la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y = 0. 11. Determinar el valor de k de modo que la recta L: x + 7y + k = 0 sea tangente a la circunferencia C: x2 + y2 - 4x + 6y + 5 = 0. 12. Deducir la condición según el cual dos circunferencias C: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y (x -h2)2 + (y – k2)2 = R22 se cortan formando un ángulo recto. 13. Dada la circunferencia C: x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 y dos puntos fijos A (-4, -11) y B (0, -8). Hallar sobre la circunferencia los puntos P y R que unidos con A y B determina triángulos de área máxima y mínima respectivamente. 14. Dados los puntos A (6 , 4 ), B (5 , -1) y la recta L : 2x- 3y + 13 = 0, hallar sobre la recta el punto desde el cual se ve el segmento AB bajo un ángulo recto. 15. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 +y2+Dx + Ey + F = 0 en el punto de contacto T (x1. Y1) es: 𝐷 𝐸 𝑥1 x + 𝑦1 y + (𝑥1 + x) + ( 𝑦1 + y) + 𝐹 = 0. 2 2

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REFERENCIAS:

Alexander D. y Koeberlein G. (2013). Geometría. Cengage Learning Editores, S.A. México. Calvache, Otros. (2009). Geometría Plana y del espacio. Ed. Universitaria. Ecuador Figueroa R. (2006). Geometría Analítica. Para centros de enseñanza superior. Séptima edición. Ediciones RFG. Perú. Kindle J. (2009). Geometría Analítica Plana y del Espacio. Geometría (3er. ed.). México, D.F., MX: McGraw-Hill Interamericana. Planchart Enrique (2006). Guías de estudio para el curso audiovisual Geometría MA1511. Universidad Simón Bolívar. Cuarta edición. Universo Formulas (2021). Web de ciencia. https://www.universoformulas.com/ Caicedo Jhonatan, Aguirre Jefferson y Novoa Cristian. (2020). Geometría Analítica. Unidad 5. Cónicas. 1ra edición.

Geometría Analítica en el Plano 1

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H) Sobre una recta L se toman los puntos consecutivos A, B, C y D M es punto medio de ��

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