Geometría Plana by Franklin Molina Jiménez

Universidad Central del Ecuador Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educacion Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matematica y Física

GEOMETRÍA PLANA MSc. Franklin Molina Jiménez 2021-2022

Geometría Plana y del Espacio

AUTOR: MSc. Franklin Molina Jiménez. Docente de la Universidad Central del Ecuador Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física. Año: 2021

DERECHOS RESERVADOS. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro por ningún medio: electrónico, mecánico u otros métodos; sin la autorización previa y por escrito de los autores. ISBN: 978-9942-8675-3-7 DERECHOS DE AUTOR: QUI-052479

Publicado en línea: 2021-09-30

Quito - Ecuador

INTRODUCCIÓN

Consciente de la importancia del estudio de la geometría plana y del espacio, este texto ha sido desarrollado con el propósito de facilitar su aprendizaje, y así los maestros de geometría plana y del espacio se conviertan en guías del proceso enseñanza – aprendizaje. Las unidades que constan en el texto están diseñadas de tal forma que se presenta desarrollado el contenido científico, para luego analizar con el maestro una serie de ejercicios resueltos, lo que permitirá al estudiante desarrollar la competencia de resolver ejercicios. A continuación se plantean un grupo de ejercicios para ser resueltos y reforzar lo aprendido para ser resueltos como tarea. Ponemos en consideración a los maestros el presente trabajo que permitirá contribuir en el aprendizaje de la geometría.

MSc. Franklin Molina DOCENTE

UNIDAD 1

Elementos de la Geometría

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SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA D ℕ ℤ ℚ ℝ ≠ > < ≮ ≯ ≤ ≥ |𝑛| 𝑛° ∴ ∷ ∊ ∉ ≡ ∧ ∨ Ṿ / ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ∪ ∩ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔ ∅ ∞ ∼ ≈ ∝ ⊾ △ □ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̂ 𝐴𝐵 ┴ ⫫ ⨀ 𝐿𝐴𝐿 𝐴𝐿𝐴 𝐿𝐿𝐿 𝑃𝐶𝐷𝑇𝐶𝐶

Números Dígitos Números Naturales Números Enteros Números Racionales Números Irracionales Números Reales No Es Igual A Mayor Que Menor Que No Es Menor Que No Es Mayor Que Menor O Igual Que Mayor O Igual Que Valor Absoluto Grados Por Lo Tanto Idéntico Como Es Elemento O Pertenece A No Es Elemento, No Pertenece Equivalente Y Lógica Disyunción Inclusiva Ó Lógica Disyunción Exclusiva Ó Lógica Tal Que Contenido En Incluye O Contiene A Incluido Subconjunto Propio Incluye Superconjunto Propio Unión O Reunión Intersección Para Todo Existe Por Lo Menos Uno Implica (Condición Necesaria) Implica Doblemente, Si Y Solo Si Corresponde Unívocamente Corresponde biunívocamente Conjunto Vacío Infinito No Lógico Similar A Congruente Ángulo Triángulo Paralelogramo Segmento Ab Arco Ab Perpendicular Paralelo Circulo Lado, Ángulo, Lado Ángulo, Lado, Ángulo Lado, Lado, Lado Partes Correspondientes de Triángulos Congruentes Son Congruentes

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ALFABETO GRIEGO NOMBRE

MINÚSCULA

ALFA

MAYÚSCULA 

BETA



GAMMA



DELTA



EPSILON



ZETA



ETA



THETA



IOTA



KAPPA



LAMDA







KSI



OMICRON







SIGMA



TAU



ÍPSILON







PSI



OMEGA



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LA GEOMETRÍA BREVE RESEÑA HISTORICA DE LA GEOMETRÍA. La palabra geometría deriva del griego y significa medida de la tierra (de geos = tierra y metrein=medir). Los orígenes de esta ciencia se remontan a los asirios, los babilonios y los egipcios, si bien fue más tarde, en la antigua Grecia, cuando la geometría se desarrolló como una ciencia racional. En el siglo VI AC, los principales protagonistas de dicho desarrollo fueron indudablemente Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides. Éste último se encargó de organizar los resultados matemáticos de sus predecesores y de escribir sus demostraciones de manera breve y clara. Simplificados de esta forma, dichos resultados están contenidos en su obra maestra Los Elementos, constituida de trece libros, en donde se describe y demuestra una gran porción de lo que se sabe acerca de las líneas, los puntos, los círculos y las formas sólidas elementales. Toda esta información la dedujo Euclides, de manera rigurosa y lógica, a partir de diez simples premisas: cinco axiomas y cinco postulados. Los cinco postulados de Euclides son: 1. Por dos puntos cualesquiera pasa una línea recta. 2. Cualquier parte de una línea recta puede ser prolongada, obteniéndose una parte de la misma línea recta. 3. Dados un punto y una distancia se puede trazar un círculo. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Por un punto exterior a una línea recta pasa una y solamente una paralela (el postulado de las paralelas). Al negar el quinto postulado de Euclides, aceptando los demás, surgen así las llamadas geometrías no euclidianas: la de Riemann y la de Lobachevski. Actualmente se define a la geometría, como la ciencia de las formas espaciales del mundo material, que se basa en un conjunto de proposiciones, que estudia la forma, propiedades y medida de las figuras y cuerpos geométricos; entendiéndose por proposición el enunciado de una ley o principio.

IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA La geometría es una de las grandes realizaciones de la mente humana, ya que más de 2 000 años el hombre ha considerado necesario su estudio en el proceso educativo de este, debido a que su estudio ayuda a que las personas sean más cuidadosas y exactas en sus actividades. Todo ser humano en cualquier tipo de ocupación tiene en alguna ocasión la necesidad de recurrir a la geometría y en algunos campos de estudio esta ciencia es importante en el quehacer profesional, tales como la física, la matemática, la química, la ingeniería, la estadística, en la geología, en la economía, la psicología, debido a que es eminentemente práctica. Gracias al estudio de la geometría se puede tener el conocimiento necesario para poder penetrar profundamente en los detalles y complejidades maravillosas de nuestro universo. Vivimos en un mundo llamado de la era del conocimiento y de la información y a pesar de que una persona no estudie una carrera científica, es necesario que tenga algún conocimiento científico y el estudio de la geometría permite tener alguna comprensión básica del mundo que nos rodea. La tarea esencial del estudio de la geometría es el de permitir que los estudiantes aprendan a razonar lógicamente, argumentar sus afirmaciones y demostrarlas, además de comprobar las proposiciones por razonamiento deductivo o inductivo, analizando un problema en términos de los datos que se ven, las leyes y principios que pueden aceptarse como verdaderos mediante una reflexión cuidadosa, lógica y exacta, para seleccionar una solución del problema.

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__________________________________________________________________________________ La geometría plana se encarga del estudio de las figuras geométricas que la definimos como el conjunto de puntos unidos que forman un lugar geométrico, como un punto, una línea, un círculo, un polígono, etc. Las figuras geométricas tienen cero, una o dos dimensiones. Las figuras de tres dimensiones son consideradas cuerpos geométricos.

CLASIFICACIÓN DE LA GEOMETRÍA GEOMETRÍA EUCLIDIANA Estudia las propiedades del plano y del espacio tridimensional en función de los postulados de Euclides. • GEOMETRÍA PLANA Analiza a las figuras geométricas en base de sus propiedades, medida de la extensión y de las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos en dos dimensiones. • GEOMETRÍA ESPACIAL Se ocupa de las propiedades y de las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos en tres dimensiones • GEOMETRÍA ANALÍTICA Es el estudio de las líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. • GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Estudio de las figuras geométricas tales como la recta, la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en base del análisis matemático y algebraico en dos dimensiones. • GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL Estudio de las figuras geométricas tales como la recta, la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en base del análisis matemático y algebraico en tres dimensiones. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA Geometría cuyos postulados y propiedades difieren en el quinto postulado establecido por Euclides. Es decir se asume que no existen líneas paralelas llamada también geometría elíptica. • GEOMETRÍA HIPERBÓLICA La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana, constituye un modelo de curvatura constante • GEOMETRÍA DIFERENCIAL Estudia a la geometría ( o la de Riemann ) utilizando las herramientas del análisis matemático. En esta rama de la geometría se analiza a la topología diferencial, las nociones de conexión y curvatura. • GEOMETRÍA FRACTAL La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala. • GEOMETRÍA MOLECULAR Se refiere a la disposición tridimensional de los átomos que constituyen las moléculas. Determinan las propiedades relacionadas con la reactividad, polaridad, fase, color magnetismo, actividad biológica, etc.

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CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Y GEOMÉTRICOS 1. PROPOSICIÓN. FORMA PROPOSICIONAL: Es un enunciado cuyo valor de verdad no se conoce; toda forma proposicional puede pasar a ser proposición: 𝑎: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑏: 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠. CUANTIFICADOR: Es un operador matemático que se antepone a una forma proposicional y estos son: ∀𝑥; "𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑋" ∃𝑥; "𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑋" 𝛿𝑥; "𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑋" Ejemplos: Forma Proposicional 𝑥 + 8 = 11 𝑠𝑖 𝑥 = 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 9 = 12 15 − 𝑥 > 10 3𝑥 + 5 < 18 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟

Proposición 3 + 8 = 11 ∀𝑥; 𝑥 + 9 = 12 ∃𝑥; 15 − 𝑥 > 10 ∀𝑥; 3𝑥 + 5 < 18 5 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟

PROPOSICIÓN: Es un enunciado cuyo valor de verdad es falso o verdadero, pero no verdadero y falos a la vez. Las proposiciones se las representa con: p, q, r, s, t... Ejemplos: 𝑝: 5 > 3 (𝑉) 𝑞: 4 + 2 = 5 (𝐹) 𝑟: 5 ∈ 𝑁 (𝑉) 𝑠: 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑢𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 (𝑉) 𝑡: 𝑄𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑉) CLASES DE PROPOSICIONES PROPOSICIONES SIMPLES: Enunciado formado por una sola proposición; es decir no tiene términos lógicos. Ejemplo: 𝑝: 𝐶𝑜𝑙ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑏𝑟í𝑜 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 (𝑉) 𝑞: 3 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 (𝐹) 𝑟: 5 + 8 > 10 (𝑉) 𝑠: 9 − 3 = 5 (𝑉) 𝑡: 𝐽𝑢𝑎𝑛 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑣𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏í𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝐶𝐴𝑇𝐼𝐿𝐼𝑁𝐴𝑅𝐼𝐴𝑆 (𝑉) PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que se obtiene de la combinación de dos o más proposiciones simples por medio de conectores lógicos. 5 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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__________________________________________________________________________________ Conectores Lógicos: son “y”, “no”, “ni”, “o”, “sí. . .. entonces”, sí y solo sí…”

Ejemplo: 𝑝: 2 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑞: 2 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑝 𝑉 𝑞: 2 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 o "𝑝𝑎𝑟" 𝑟: 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑠: 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑗𝑢𝑔𝑢𝑒𝑡𝑜𝑛 𝑟⋀𝑠: 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 "y" juguetón 𝑠: 2 + 4 = 5 𝑡: 5 − 3 = 2 𝑠 ͢ 𝑡 ∶ 2 + 4 = 5 "entonces " 5 − 3 = 2 𝑝: 8 − 6 = 9 𝑞: 7 − 2 = 4 𝑝 ↔ 𝑞 ∶ 8 − 6 = 9 sí y solo sí 7 − 2 = 5

OPERADORES LÓGICOS

Son símbolos de relación que afectan a las proposiciones simples. Los más utilizados son: CONECTOR LÓGICO “ no” “y” “o” “ō” exclusiva “ si … entonces”

OPERADOR Negación Conjunción Disyunción Disyunción exclusiva Condicional

SÍMBOLO ͠ Λ ˅ Ṿ →

Es decir, una proposición es el enunciado de una verdad, de un principio o de una propiedad. Las proposiciones más comunes utilizadas en la geometría son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

2. AXIOMA: Llámese axioma a una proposición que siendo evidente no requiere demostración. Es el resultado de la observación o experimentación: los axiomas son propiedades que se puede utilizar en cualquier asignatura . Ejemplo: Sí dos objetos son congruentes a un tercero, entonces son congruentes entre sí.

3. POSTULADO: Es una proposición que, aunque no tiene la evidencia del axioma se admite sin demostración. A diferencia de los axiomas, estas son propiedades geométricas.

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Ejemplos: 1. Por un punto pasan infinitas rectas. L1 L2 L3

L4 2. Una recta es un conjunto ordenado de puntos, no existe primero ni último. Entre dos puntos siempre existe otro. 3. Por dos puntos pasa una sola recta y puede prolongarse indefinidamente en los dos sentidos.

4. Por tres puntos dados no colineales pasa un plano y solo uno. .A

.B .C

5. Por una recta pueden pasar infinitos Planos. A

6. La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une.

7. Una figura puede cambiar de posición sin alterar sus dimensiones.

8. Para trazar una circunferencia se necesita un centro y un radio.

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4. TEOREMA: Es una proposición que es necesario demostrar utilizando definiciones, axiomas o postulados. En el enunciado de todo teorema se distinguen tres partes. La hipótesis, que es lo que se supone, la tesis que es lo que se quiere demostrar y la demostración que es el proceso lógico mediante el cual se demuestra la tesis. Ejemplo: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.

5. COROLARIO: Es una proposición que es consecuencia directa de un teorema, cuya demostración requiere poco o ninguno razonamiento nuevo. Ejemplo: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un recto.

6. PROBLEMA: Son proposiciones que parte de ciertos datos hasta llegar a ciertos resultados, los datos pueden ser gráficos o numéricos y los resultados de igual manera pueden ser gráficos y numéricos.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES El punto de la partida adecuado para el estudio del conjunto de los números reales son los siguientes subconjuntos:

1. NÚMEROS DÍGITOS ( D ): Se llama dígito al número que se expresa a través de un solo guarismo (los guarismos son las cifras o signos que sirven para expresar una cantidad). Esto quiere decir que, en la numeración decimal, los números dígitos son diez. D = {0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9} 2. NÚMEROS NATURALES (ℕ): Números naturales son los que contamos (también se los denomina enteros positivos).

ℕ = {1,2,3, … } 3. NÚMEROS CARDINALES (ℕ𝟎 ): Conjunto formado por la unión del cero (0) y los enteros positivos. Ejemplo:

ℕ0 = {0,1,2,3, … } 4. NÚMEROS ENTEROS (ℤ): Es el conjunto armado por la unión por la unión de los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero (0). Ejemplo:

ℤ = {… , −3, −3 − 1,0,1,2,3, … }

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5. NÚMEROS RACIONALES (ℚ): 𝑎 𝑏

Es el conjunto armado por todos los números que se pueden escribir en forma , donde 𝑎 y 𝑏 son enteros y 𝑏 es diferente de cero. Ejemplo:

𝑎 ℚ = { = 𝑎, 𝑏 ∊ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0} 𝑏

NOTA 1: Cada número racional puede ser expresado en forma decimal: Ejemplo: ℚ Forma decimal 0,53 Exacta 0,444 … Periódica pura 0,56262 … Periódica mixta Cómo identificar la forma decimal. Se puede observar la última cifra. Luego de la coma se puede repetir el periodo. El periodo no comienza luego de la coma. 𝑎 𝑏

Expresar en forma decimal el número 3,3333. 𝑥 =? 10𝑥 = 3,3333 𝑥 = 0,3333 9𝑥 = 3 1 1 ( ) 9𝑥 = 3 ( ) 9 9 1 (1)𝑥 = 1 ( ) 3 1 𝑥= 3

6. NÚMEROS IRRACIONALES ( ): 𝑎

Es el conjunto formado por los números que se puede escribir de la forma , pero no se pueden 𝑏

expresar en forma decimal exacta, o periódica. Ejemplo: 𝜋 = 3,14159254 … √2 = 1,424242 … √3 = 1,73205 …

7. NÚMEROS REALES ℝ: Es la unión de los números racionales e irracionales.

ℚ∪ =ℝ ℚ ∩ = ∅ El conjunto de los números racionales e irracionales, son disjuntos.

ℚ

ℝ

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AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMAS DE LA IGUALDAD 1. AXIOMA DICOTOMÍA (=). Dos números reales o bien son iguales o bien son diferentes. ∀ a, b Є R 𝑎=𝑏 Ṿ 𝑎≠𝑏 4=7 Ṿ 4≠7

2. AXIOMA REFLEXIVO (=). Un número real es igual a sí mismo. ∀a Є R;

𝑎=𝑎 5=5 AB=BA a

3. AXIOMA SIMÉTRICO (=). Si un número real es igual a un segundo, entonces el segundo es igual al primero. ∀a y b Є R;

𝑎=𝑏 → 𝑏=𝑎 5 = √25 → √25 = 75 AB=CD → CD=AB

4. AXIOMA TRANSITIVO (=): Si un número real es igual a un segundo, y este segundo es igual a un tercero entonces el primero es igual al tercero. ∀ a, b, c Є R; 𝑎 =𝑏 ∧𝑏 =𝑐 → 𝑎 =𝑐 9 9 3 = ∧ = √9 → 3 = √9 3 3 AB=CD ∧ CD=PQ → AB= PQ

5. AXIOMA ADITIVO (=): Si a los dos miembros de una igualdad se adiciona un mismo número real, la igualdad no altera. ∀ a, b, c Є R; ∶

𝑎 =𝑏 →𝑎+𝑐 =𝑏+𝑐

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a=b c=c a+c=b+c 7 = 5+2 −10 = −10 −3 = −3

6. AXIOMA MULTIPLICATIVO (=): Si a los dos miembros de una igualdad le multiplicamos un mismo número real, entonces la igualdad, no cambia. ∀ a, b, c Є R; 𝑎 =𝑏 →𝑎·𝑐 = 𝑏·𝑐

a=b c=c a∗c=b∗c 7= 5+2 −10 = −10 −21 = −21 2=

4 4 →2·2 = ·2 2 2

7. AXIOMA CANCELATIVO (=): Si a cada miembro de una igualdad le suprimimos un mismo sumando o un mismo factor entonces la igualdad no altera. ∀ a, b, c Є R;

𝑎+𝑐=𝑏+𝑐→𝑎 =𝑏 4 6 4 6 +2= +2→ = 2 3 2 3 𝑎·𝑐 =𝑏·𝑐 →𝑎 =𝑏 4 6 4 6 ·2= ·2→ = 2 3 2 3

∀ a, b, c Є R;

AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN Si al conjunto de los números reales los relacionamos con las operaciones de suma y multiplicación, se acepta los siguientes axiomas.

1. AXIOMA CLAUSURATIVO – UNÍVOCO: La suma o multiplicación de dos números reales es otro real único. ∀ a, b, c Є R;

𝑎+𝑏=𝑐 →𝑐 ∊ℝ 5+3 =8 →8 ∊ℝ AB + BC = AC → AC ∊ ℝ

∀ a, b, c Є R;

𝑎·𝑏 =𝑐 →𝑐 ∊ℝ 4·2 =8 →8 ∊ ℝ AB.2 = 2AB → 8 ∊ ℝ

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__________________________________________________________________________________ Si un conjunto de números cumple con el axioma clausurativo – unívoco entonces se dice que el conjunto es cerrado para la adición y multiplicación. Ejemplo: Se pide determinar si el siguiente conjunto es cerrado para la suma y la multiplicación ∪= {ℝ} 4 + (−8) = −4 → −4 ∊ ℝ 1 1 1 · (−2) = − → − ∊ ℝ 4 2 2

Si es cerrado para la suma. Si es cerrado para la multiplicación.

2. AXIOMA ASOCIATIVO: Los términos o factores reales pueden asociarse de cualquier manera, el resultado no varía. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀a, ∀b, ∀c: (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) (𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐) (2 · 4) · 5 = 2 · (4 · 5)

∀a, ∀b, ∀c:

3. AXIOMA MODULATIVO: El cero es el elemento idéntico o módulo en la adición. El uno es el elemento idéntico o módulo de la multiplicación. ∀a, δ0:

𝑎+0 = 𝑎 =0+𝑎 4+0 =4 =0+4

∀a, δ1:

𝑎·1 = 𝑎 = 1·𝑎 4·1 =4 = 1·4

4. AXIOMA INVERTIVO: Para todo número real existe un número −𝑎 (opuesto), tal que: ∀a ∃(−a):

𝑎 + (−𝑎) = 0 4 + (−4) = 0 1

Para todo número real 𝑎 existe un número ( ) tal que: 𝑎

1 ∀a ∃ ( ): 𝑎

1 𝑎·( )=1 𝑎 1 4·( )=1 4

𝑎≠0

Ejemplo: Que valor les corresponde a las siguientes expresiones:

−{ − ( − 4 · 20) } = − ( +4 · 20) = −4 · 20 = −80

−{ − (2 · 3) + [ − 3 ( 4 ) ] – 2 } = − { − 6 + ( − 12 ) – 2 } = − { 6 – 12 – 2 } = − { −20 } = 20 1 = 4 1 −1 −1 −1 } {(−5 ) = {(− ) } = −5 5

3) 4)

4−1

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5. AXIOMA CONMUTATIVO La variación del orden de los sumandos o de los factores no altera la igualdad. ∀a, ∀b: 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 4+1 =1+4 𝑎·𝑏 =𝑏·𝑎 2·5 =5·2

∀a, ∀b:

6. AXIOMA DISTRIBUTIVO - RECOLECTIVO ∀a, ∀b, ∀c:

𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐) 5(2 + 3) = (5 · 2) + (5 · 3)

AXIOMAS DE ORDEN: 1. AXIOMA TRICOTOMÍA: Para todo número real, se satisface una de las siguientes condiciones: ∀a, ∀b:

𝑎 ≠𝑏 →𝑎 >𝑐∨𝑎 <𝑐 5 ≠ √3 → 5 > √3 ∨ 5 < √3

2. AXIOMA ANTISIMÉTRICO: Si un número real es menor que un segundo, entonces el segundo no es menor que el primero. ∀a, ∀b: 𝑎<𝑏→𝑏≮𝑎 4<5→5≮

3. AXIOMA TRANSITIVO: Si un número es mayor que un segundo y este mayor que un tercero entonces el primero es mayor que el tercero. ∀a, ∀b, ∀c: 𝑎 >𝑏∧𝑏 >𝑐 →𝑎>𝑐 −2 > −5 ∧ −5 > −6 → −2 > −6

4. AXIOMA ADITIVO: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un número real entonces la desigualdad no altera. Sí 𝑎 < 𝑏 →𝑎+𝑐 < 𝑏+𝑐 −4 < 2 → −4 + 1 < 2 + 1

5. AXIOMA MULTIPLICATIVO Si a los dos miembros de una desigualdad los multiplicamos por un mismo número real positivo, entonces el sentido de la desigualdad no cambia. ∀a, ∀b, ∀c:

𝑐>0

𝑎 > 𝑏 →𝑎·𝑐 >𝑏·𝑐 4 > 2 → 4(3) > 2(3)

Si a los dos miembros de una desigualdad los multiplicamos por un mismo número real negativo, entonces el sentido de la desigualdad cambia. ∀a, ∀b, ∀c:

𝑐<0

𝑎 > 𝑏 →𝑎·𝑐 >𝑏·𝑐 8 > 3 → 8(−3) > 3(−3) → −24 < 9

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EJERCICIOS RESUELTOS 1. Expresar o graficar en diagramas de Venn, todos los conjuntos de números que permiten definir el conjunto de los números reales. ℝ

N Ú M E R ℕℕ O S ℕ ⊂ ℕ𝟎 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ℕ0 I ℚ ∪ ℚ´ = ℝ ℚ∩ =∅ R ℤ R ℚ A C I O 2. Expresar o graficar en diagrama sagital los conjuntos de números que permitan definir los N conjuntos de los reales. A L E ℕ S 0 ´ (ℚ ) : ℤ− + ℤ ℚ− ℚ ℝ

3. De la ecuación básica de movimiento uniforme despejar axiomáticamente el desplazamiento. 𝑑 Hipótesis 𝑉= 𝑡 𝑑 Axioma multiplicativo 𝑉·𝑡 = ( )·𝑡 𝑡 𝑑 = 𝑉·𝑡 Axioma simétrico de la adición 4. Resolver axiomáticamente la siguiente desigualdad 2𝑥 > 6

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__________________________________________________________________________________ 1 1 2𝑥 ( ) > 6 ( ) 2 2 1 𝑥(1) > 6 ( ) 2 𝑥>3

Axioma multiplicativo Elemento idéntico o módulo

5. Demostrar que: 𝑺í: 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂 = −𝒃 𝑎+𝑏=0 𝑎 + [𝑏 + (−𝑏)] = 0 − 𝑏 𝑎 + 0 = −𝑏 𝑎 = −𝑏

Hipótesis Axioma aditivo, asociativo Axioma invertivo Modulativo

EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1. Resolver axiomáticamente las siguientes desigualdades. a) 2𝑥 ≥ −6 2 b) 4𝑥 ≤ 3 2. Expresar en forma de fracción los siguientes números decimales. a) 0,47 b) 0,28686 … c) 1,37575 3. Identificar si el conjunto 𝐵 es cerrado. 1 1 1 2 4 6

𝐵={ , , } 4. Resolver axiomáticamente la siguiente ecuación. 4𝑥 − 3 = 2 − 𝑥 5. Utilizando los siguientes elementos demuestre el axioma asociativo de la adición. a) = 2 b) = −3 c) = 4

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UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 2 DEFINICIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS Son ideas matemáticas abstractas, son términos no definidos, no existen en la realidad, pero se pueden concebir aisladamente por medio de consideraciones abstractas o primitivas así, por ejemplo: un cuerpo cuyas dimensiones disminuyen indefinidamente se reducen a un punto; el punto al moverse en el espacio genera una línea; la línea genera una superficie y la superficie genera un cuerpo. Para el estudio de la forma y dimensión de los objetos que nos rodean se las define como: 1. PUNTO: Es la marca que deja la punta fina de un lápiz y que carece de dimensiones; se define también como la intersección de dos rectas se lo determina por una letra mayúscula. .A

se lee:

Punto A

Ejemplo:

PROPIEDADES: 1. 2. 3. 4.

Carece de dimensiones Es elemento básico de línea, plano y espacio Tiene tan solo posición Por un punto pasa infinito número de rectas llamada has de rectas.

2. RECTA: Es el conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección, que tienen una sola dimensión: la longitud, también se define como la intersección de dos planos. Una recta se nombra mediante una letra minúscula o mediante dos letras mayúsculas situadas en dos puntos cualesquiera de ella. A

⃡𝐴𝐵

Se lee:

Recta AB

PROPIEDADES: 1. Tiene longitud infinita 2. Es indefinida por sus extremos, puntas de flecha o saetas 3. Por una recta pasa número infinito de planos 16 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

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4. Tiene sus puntos en una misma dirección, es decir son colineales 5. Por dos puntos solo puede pasar una recta, es decir que dos puntos determinan una recta.

3. SEMIRECTA: Es una parte de la recta que tiene un punto inicial o también porción de una recta comprendida entre un punto llamado origen y el infinito. Se lee: semirrecta AB AB

4. RAYOS: Son aquellos que pertenecen a una misma recta, pero tienen sentido contrario. Se lee: rayo PA

𝑃𝐴 y 𝑃𝐶 son rayos opuestos 5. PLANO: Es el conjunto infinito de puntos que tiene dos dimensiones: largo y ancho, se determina con una letra mayúscula o con letras del alfabeto griego. El plano no tiene límite y solamente podemos representar una parte de él, se lo puede representar por una hoja de papel, la superficie de una mesa, de una pared.

PROPIEDADES: 1. Conjunto infinito de puntos 2. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano 3. Una recta cualquiera divide al plano en dos semiplanos

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4. Por dos puntos de un plano pasa una recta y solo una, Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos los demás puntos de la recta pertenecerán al mismo plano 5. Tres puntos no colineales determinan un plano 6. Dos planos se intersecan en una recta y solo en una 7. Dos planos paralelos son planos que no tienen puntos en común y su intersección es el conjunto vació. 8. La intersección de un plano y una recta es un punto. 9. Por una recta pasa un conjunto infinito de planos.

6. ESPACIO: Es el conjunto infinito de puntos que tiene tres dimensiones: largo, ancho (espesor), y altura; se lo representa mediante los sólidos o volúmenes geométricos.

PROPIEDADES: 1. El espacio se puede prolongar indefinidamente. 2. Cualquier subconjunto del espacio se considera como una figura geométrica. 7. SOLIDO: Un sólido es un espacio limitado cualquiera con tres dimensiones. POSICIÓN RELATIVA ENTRE PUNTO - RECTA, PUNTO – PLANO

1. PUNTOS COLINEALES: Son todos los puntos que son elementos de una recta. P

⃡ M ϵ 𝑃𝑄

El punto M es elemento de la recta PQ.

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UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

2. PUNTOS NO COLINEALES: Son todos los puntos que no son elementos de una recta. P

⃡ M ∉ 𝑃𝑄

El punto M no es elemento de la recta PQ.

3. PUNTOS COPLANARES Son todos los puntos que son elementos o pertenecen a un plano. .A

.P .B

ὰ

Se lee: . A, .B, .C ϵ plano α

La intersección de dos planos forma una recta. .B ∝

. A ϵ plano α

. B ϵ plano 𝛽

. A ∉ plano 𝛽

. B ∉ plano α

. C ϵ plano α y 𝛽

C 𝛽 4. PUNTOS NO COPLANARES:

Son los puntos que no son elementos o no pertenecen a un plano. .x

.A Se lee: .X, .A, .C ∉ Plano 𝛼

.B α

. B ϵ Plano α

EJERCICICIOS PARA LA TAREA 1. Responder las siguientes preguntas de acuerdo con la figura:

1.1. Los puntos A, C y ___ son colineales. 1.2. Los puntos A, D, C y ___ son coplanarios. 1.3. Escribir otra forma de nombrar BE. 1.4. Los puntos C, D, B y ___ son no coplanarios. 19 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

1.5. Los puntos A, D y ___ son no colineales. 1.6. Escribir otra forma de nombrar la recta m. 1.7. Nombrar tres puntos que sean coplanarios y colineales. 2. Responder las siguientes preguntas de acuerdo con la figura: 2.1. Nombrar tres puntos colineales. 𝒥

F E B

𝒦

2.2. Nombrar cuatro puntos coplanarios. 2.3. Nombrar cuatro puntos no coplanarios. 2.4. 𝐴𝐵 ∩ 𝐹𝐷 = ? 2.5. 𝒥 ∩ 𝒦 = ? 3. Hacer una figura en cada caso que ilustre los siguientes enunciados: 3.1. El punto P está comprendido en dos rectas. 3.2. Los puntos A, Q y S son coplanarios. 3.3. El punto M no está contenido en la recta. 3.4. La recta t contiene los puntos Q, R, pero no contiene los puntos P, S. 3.5. El plano 𝒦 contiene los puntos A, B, C, pero no contiene el punto D. 3.6. Los puntos Q y R están contenidos en la intersección de 𝒥 𝑦 𝒦 4. Responder las siguientes preguntas de acuerdo a la figura:

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4.1. ¿Cuántas rectas contienen a los puntos A y E? ¿Por qué? 4.2. Enumerar tres puntos que determinen el plano 𝒦 4.3. ¿Pueden los puntos A y C estar contenidos en la intersección de AC y AB? ¿Por qué? 4.4. ¿Por qué los puntos B, C y E determinan un plano? 4.5. ¿Está FC contenida en el plano 𝒦? ¿Por qué? 4.6. ¿Por qué AD y CD tienen un solo punto en común? 5. Completar cada una de las siguientes proposiciones, usando las palabras punto, recta, plano o espacio: 5.1. Dos puntos están contenidos en una y solo una ________. 5.2. Si dos planos se cortan, su intersección es una ________. 5.3. Tres puntos no colineales están contenidos exactamente en un ________. 5.4. Al menos cuatro puntos no coplanarios y donde cada tres de ellos no son colineales, están contenidos en __________. 5.5. Si dos rectas se cortan, entonces están contenidas en un mismo _________. 5.6. La recta j y el punto W, donde 𝑊 ∉ 𝑗, están contenidos en un y solo un ____. 5.7. Un ___________ contiene al menos tres puntos no colineales. 5.8. Si dos rectas se cortan su intersección contiene un y solo un _____________. 6. Completar cada proposición usando las palabras: siempre, algunas veces o nunca, según corresponda: 6.1. Dos puntos son _______ colineales. 6.2. Una recta y un punto que no pertenece a la recta son _________ coplanarios. 6.3. Tres puntos no colineales son _________ coplanarios. 6.4. Tres puntos son _________ colineales. 6.5Dos rectas que se cortan están ______ contenidos en un plano. 6.6. Tres puntos colineales ___________ están contenidos en un único plano. 6.7. La intersección de una recta y un plano es ________ un plano. POSICIÓN RELATIVA DE LA RECTA EN UN PLANO 1. RECTAS PARALELAS ( ∥ ) Son las rectas que no se intersecan (unen o se cruzan). También se puede afirmar que dos rectas son paralelas, si su intersección es el conjunto vacío. Gráficamente se las representa: A B

A P

B Q

Forma simbólica: ⃡𝐴𝐵 ∥ ⃡𝑃𝑄 Se lee: recta AB paralela a la recta PQ

2. RECTA SECANTES. Dos rectas son secantes si y solo si su intersección es un punto.

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UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

N ⃡ ⃡ son secantes; W punto de intersección 𝑀𝑁 ᶺ 𝑆𝑇

W M

Se lee: recta MN secante a la recta ST

s T

⃡ ⃡ son secantes; W punto de intersección 𝑀𝑁 ᶺ 𝑆𝑇

N M 3. RECTAS PERPENDICULARES (⊥). Son dos rectas que se intersecan formando un ángulo de 90˚ C A

Forma Simbólica:

⃡𝐴𝐵 ⊥ ⃡𝑃𝑄

Se lee: recta AB perpendicular a la recta PQ

FIGURAS GEOMETRICAS ELEMENTALES. 1. SEGMENTO (AB) Es la figura geométrica de puntos colineales cuyos elementos son los puntos A y B y todos los puntos entre A y B. Los puntos A y B se llaman extremos. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN A

AB Se lee: segmento AB

MEDIDA DE UN SEGMENTO: Es la distancia entre sus puntos extremos. SEGMENTO 𝐴𝐵

𝑚 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 3𝑢 POSTULADO 1: A cada par de puntos diferentes 𝐴, 𝐵, le corresponde un único número real positivo como medida.

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UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

𝑚 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 𝑛 → 𝑛 ∊ 𝑅 ′ SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.

̅̅̅̅ → ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑆𝑖 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 𝑚 𝑃𝑄 𝐴𝐵 ≅ 𝑃𝑄 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es aquel punto que pertenece a un segmento y lo divide en dos segmentos congruentes es decir lo biseca.

̅̅̅̅ = m 𝑃𝐵 ̅̅̅̅ → P es punto medio de ̅̅̅̅ Si m 𝐴𝑃 𝐴𝐵 ↔ 𝑃 ∊ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 POSTULADO 2: Se dice que el punto 𝐵 este situado entre los puntos 𝐴 y 𝐶 , si y solo sí los tres puntos son distintos en una recta, tal que:

̅̅̅̅ = m 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ m ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 + m 𝐵𝐶 POSTULADO 3: Llamada relación biunívoca que establece la relación entre los puntos de una recta y los números reales de manera que: A) A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real. B) A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta. C) La distancia entre dos puntos cualesquiera es el VALOR ABSOLUTO de la diferencia de los números correspondientes. A la correspondencia de un punto con un número real se denomina SISTEMA COORDENADO SOBRE UNA RECTA.

La coordenada de 𝐴 es 0 La coordenada de 𝐵 es +3 La coordenada de 𝐷 es −2 23 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

Determinar en la recta real del gráfico anterior la distancia entre los siguientes puntos de acuerdo a "𝑐" de este postulado. ̅̅̅̅ = |−5 − (−3)| = |−5 + 3| = |−2| = 2u F y C → m FC ̅̅̅̅ = |−4 − (+3)| = |−7| = 7u G y B → m GB ̅̅̅̅ = |5 − (−2)| = |7| = 7u E y D → m ED B y H → m ̅̅̅̅ BH = |3 − (+2)| = |3 − 2| = |1| = 1u ̅̅̅̅ D y E → m DE = |−2 − (+5)| = |−2 − 5| = |−7| = 7u E y C → m ̅̅̅̅ EC = |5 − (−3)| = |5 + 3| = |8| = 8u Por lo tanto en la recta real la distancia entre dos puntos distintos es el VALOR ABSOLUTO de la diferencia de las coordenadas de los puntos 2. SEGMENTO ABIERTO (AB) Es la figura geométrica de puntos colineales, cuyos elementos están comprendidos entre los puntos A y B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN A

AB Se lee: segmento abierto AB

3. SEGMENTO SEMIABIERTO (AB o AB) Es la figura geométrica de puntos colineales, cuyos elementos están comprendidos entre los puntos A y B incluyendo ya sea el punto A o el punto B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DENOMINACIÓN A

Se lee: segmento semiabierto en B: (AB)

Se lee: segmento semiabierto en A: (AB)

RELACIÓN ENTRE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS 1. CONGRUENCIA ( ≅ ): Dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y medida, al superponerlas coinciden todos sus puntos.

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UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

2. SEMEJANZA (≈): Dos figuras geométricas son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados respectivamente proporcionales.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Indique tres ejemplos de objetos en movimiento que sugieran la idea de segmento recto. A) Uno de los rayos de luz que salen de la linterna prendida y chocan con la pared. B) Una bola de cristal que se emerge en aguas tranquilas y llega al fondo de estas. C) Una piedra que cae desde el cuarto piso de un edificio. 2. Si trazamos un segmento de recta de unos 2 kilómetros en alguna parte de nuestro planeta en realidad, ¿Habremos trazado un segmento de recta? No porque nuestro planeta es esférico (tiene la forma de una pelota); para fines prácticos le consideramos un segmento de recta. 3. ¿Podrá un carpintero cortar dos tiras de madera congruentes? No una de ellas será forzosamente más grande que la otra aun cuando la diferencia entre ellas sea microscópica. 4. ¿Qué sentido tiene hablar de congruencia si en la práctica no existen dos cosas congruentes? Nuestra inteligencia ha creado objetos, como el patriotismo, los números, los geómetras, etc., de los cuales podemos tener una idea muy clara de ellos y a los cuales se los denomina objetos ideales. 5. Dos rayos que salgan del sol, en la misma dirección, pero en sentidos opuestos y que viajan por el universo sin chocar con ningún objeto, nos da una idea de recta, semirrecta o segmento de recta. Tendremos una recta. 6. ¿Cuál es el punto medio de una recta? Cualquier punto. Discuta esta respuesta con sus compañeros. 25 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Definiciones geométricas básicas __________________________________________________________________________________

EJERCICIOS PARA LA TAREA 1. ¿Qué objetos de la clase sugieren las ideas de recta punto y plano? 2. Explique qué diferencia existe entre una semirrecta y un rayo. 3. En un piso liso a veces cojeara una mesa de cuatro patas, mientras que otra de tres patas siempre estará firme, ¿por qué? 4. Una recta puede denotarse mediante dos de sus puntos. ¿Cuántos puntos tienen que emplearse para denotar un plano? 5. ¿Cuántos extremos tiene un rayo? 6. Si 𝐴𝐵𝐶 son tres puntos, ¿Cuántos segmentos rayos y rectas determinan si los puntos son colineales? 7. Construir un segmento congruente igual a otro de 5, 7, 8 cm 8. ¿Qué separa al plano en dos semiplanos? 9. ¿Cuántas rectas pueden pasar por un punto? 10. ¿Cuántos puntos bastan para determinar una recta? 11. Dado el siguiente sistema de coordenadas, contestar las siguientes preguntas.

A) ¿Cuál punto tiene 0 por coordenada?

B) ¿Cuál es la distancia de 𝐴 a 𝐵? C) ¿Cuál es la distancia entre 𝐴 y 𝐵? D) ¿Cuál es la coordenada del punto extremo del rayo ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ? E) ¿Cuál es la coordenada del punto medio de ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 ? F) ¿Cuáles dos puntos están a la distancia 2 de 𝐷? G) ¿Es cierto que ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 + ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 + ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = ̅̅̅̅ 𝐴𝐷? H) Si se hiciera corresponder al punto cero con 𝐴 ¿Cambiarián las distancias entre los puntos indicados?

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UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 3 OPERACIONES CON SEGMENTOS Las operaciones se realizan con los números que representan las longitudes de los segmentos, para poder realizar las diferentes operaciones con segmentos es necesario conocer las siguientes definiciones: 1. COORDENADA Relación que se le asigna a un punto con un número en la recta numérica. 2. RELACIÓN BIUNÍVOCA DE UN PUNTO. Significa que no pueden existir dos puntos, elementos de una recta numérica con el mismo valor numérico.

3. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Cualquier número a tiene su representación en la recta real. número representa la distancia desde ese número al origen.

El valor absoluto de un

En el grafico la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas. Podemos ver que si a es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces | a| = −a . Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

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UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. 4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |A − B| es la distancia ̅̅̅̅ = |𝑩 − 𝑨| entre ellos. 𝑨𝑩 ̅̅̅̅ = |𝑨 − 𝑩| 𝑩𝑨 5. SEGMENTO UNITARIO Es el segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos. 6. LONGITUD DE UN SEGMENTO (AB) Es un número que representa las veces que este contenido el segmento unitario en el segmento AB. 7. SUMA DE SEGMENTOS a

Q PQ = a + b + c

8. RESTA DE SEGMENTOS A

AB – DB = AD 9. MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO Consiste en encontrar un segmento de longitud igual al producto de la longitud del segmento dado por el número.

Gráficamente, el segmento que representa el producto se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el número. a a a a a P

Q PQ = 5a

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UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

10. A

El segmento AB dividido para 4 está dado por: A

AB 4

EJERCICIOS RESUELTOS. 1.

|−5| = 5 u

|8 − 2| = |6| = 6 u

|8 − (−4)| = |8 + 4| = 12 u

|−4 − (−6)| = |−4 + 6| = 2 u Encontrar la distancia entre los puntos A y B dados, la coordenada del punto medio M de ̅̅̅̅ AB, la coordenada del punto P a los

2 3

̅̅̅̅ de A(A-P-B), y la coordenada del punto Q a los 𝐴𝐵

3 7

̅̅̅̅ AB

de B (A-B-Q) 7. A = 0 y

Q ●

B = - 6111

B ●

M ●

P ●

-6111 A) ̅̅̅̅ AB = | 𝐵 − 𝐴|; ̅̅̅̅ AB = |−6111 − 0| ; B) M = B + BM; M = B +

A ●

̅̅̅̅ AB ; 2

M = −6111 +

2 ̅̅̅̅); P = 0 C) P = A + (-AP); P = A + (- AB 3

̅̅̅̅ AB = |−6111|; 6111 2

2 (6111); 3

;

̅̅̅̅ AB = 6111 u

M = -3055,5 P = −2037

3 ̅̅̅̅); Q = -6111 - 3 (6111); Q = −8730 D) Q = B + (-BQ); Q = B + (- AB 7

29 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ 8. A = - 105 y B = 189

A ●

M ●

P ●

B ●

Q ●

189

-105

̅̅̅̅ = |A − B|; AB ̅̅̅̅ = |−105 − 189|; AB ̅̅̅̅ = 294 u A) AB ̅̅̅̅ AB ; 2

294 ; 2

M = 42

2 C) P = A + AP; P = A + ̅̅̅̅ AB ;

P = -105 + (294);

2 3

P = 91

3 D) Q = B + BQ; Q = B + ̅̅̅̅ AB;

Q = 189 + (294);

3 7

Q = 315

B) M = A + AM;

M = A+

M = −105 +

EJERCICIOS PARA LA TAREA 1. Los puntos R, S y T son distintos y colineales. En cada caso decir qué punto está entre los dos: 1.1. RS = 7 , ST= 3 y RT =10 1.2. RS= 6, ST = 14 y TR= 8 1.3. ST=6,3 , RT = 4,7 y RS= 1,6 1.4. TR = 1,2, RS =7 y TS= 5,8 2. El punto B esta entre los puntos A y C la coordenada de A es a. La coordenada de B es b. La coordenada de C es c. 2.1. Si a = 1, b = 2 y BC = 6, encontrar c. 2.2. Si b = 7, c = 3 y AB = 4, encontrar a. 2.3. Si AB = BC, c = - 2 y b = 4, encontrar a. 2.4. Si AB = 3(BC), a = 2 y c = 10, encontrar b. 2.5. Si c = 10, a = 20 y BC = 6, encontrar b. 2.6. Si a = - 5, c = 7 y BC = 5, encontrar b. 3. Resolver los siguientes ejercicios utilizando la definición de valor absoluto. 3.1. │ 0 – (- 5) │ 3.2. │| 3 – 8 | - | - 9 | │ 3.3. │|2 – 6 | - │| - 11 |││

3.4. │ - 2 │ - │ - 6 │ 3.5. │ 3 – 7 │- │- 5 │ 3.6. │- 8 │ + │3 – 1 │

30 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ 3.7. │2 – 5 │- │4 – 7 │ 3.8. 13 + │- 1 – 4 │- 3 - │- 8 │ 3.9. │| - 2| - | - 6 | │ 3.10. │- | - 5 |│

4. Encontrar la distancia entre los puntos S y T dados, la coordenada del punto medio M de ST, la coordenada del punto P a los 2/3 ST de S (S-P-T), y la coordenada del punto Q a los 3/7 ST de

(S -T-Q) 4.1. (-105; 189) 4.2. (21 ; 1869) 4.3. (-315; -2604) 4.4. (945; -7623) 4.5. (-133/3; 155/4) 4.6. (-476/11; -539/12)

DIVISION DE UN SEGMENTO EN FORMA ANALITICA Para poder realizar las operaciones con facilidad, de la división de un segmento se debe aplicar las propiedades de las proporciones, razón por la cual las analizaremos. PROPORCIONALIDAD 1. RAZÓN: es una relación (/) entre dos términos o cantidades similares (longitudes) La razón es una comparación de una cantidad respecto de otra cantidad semejante, el resultado es un número que no tiene unidad. a b

=a/b

1. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos razones a

=d b

Términos:

Ejemplo:

5 7

a y d son los extremos

b y c son los medios

a y c antecedentes

b y d consecuentes

255 357

2. CUARTA PROPORCIONAL: es determinar el valor del cuarto término de una proporción a b

= d; d=x

= x; x=

b∗ c a

3. MEDIA PROPORCIONAL: llamada también media geométrica o proporción continua, se da cuando son iguales el primero con el tercer término o el segundo con el cuarto a

= d ; si x = c = b entonces b

= d ; se tiene x2 = ad; x = √a ∗ d x

31 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ a

= x ; se tiene x2 = bc; x = √b ∗ c b

= d ; si x = a = d entonces b

4. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES A) En una proporción puede invertirse la razón a b

;

ejemplo:

2 3

8 12

12 8

B) El producto de los extremos es igual al producto de los medios a

= d => a * d = b * c ; b

ejemplo:

= 6 => 2 * 6 = 4 * 3 => 12 = 12 3

C) En una proporción, a cada antecedente se le puede sumar su respectivo consecuente o viceversa a b

= d =>

a+b b

c+d

;

ejemplo:

2 3 2

= d+c b+a

= 12 => 8

2+3 3

8+12

12 8

= 12 => 3+2 = 12+8 3

D) En una proporción, a cada antecedente se le puede restar su respectivo consecuente y a cada consecuente se le puede restar su respectivo antecedente. a

= d => b

a−b b

c−d d

;

ejemplo:

= 12 => 3

2−3 3

8−12 12

E) En una serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de sus consecuentes a b

=d= f;

a+c+e b+d+f

;

ejemplo:

1 2

= 4 = 8 =>

1+2+4 2+4 +8

= 14

6. DIVISIÓN INTERNA DE UN SEGMENTO Es localizar un punto P situado en el interior de un segmento tal que los dos segmentos estén en la relación m/n A

P AP

= PB

m n

7. DIVISIÓN EXTERNA DE UN SEGMENTO Es localizar un punto Q situado en la prolongación de un segmento tal que los dos segmentos estén en la relación m/n 32 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

A AQ BQ

;

Si:

n m n

>1 ; Q está a la derecha de B

n m

<1 ; Q está a la izquierda de A =1 ; Q no existe

8. DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO. Consiste en dividir un segmento interna y externa con la misma razón EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Dado un segmento AB de coordenadas, A= -159 y B = 136 encontrar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en 5 partes de igual medida: R G T V A a l a l a l a l a B -159 136 dAB = I -159 -136I ; a =

dAB n

; a =

295 5

; a = 59 u

R = -159 + 59 = - 100

dAB = I-295 I

G = -100 + 59 = - 41

dAB = 295 u

T = - 41 + 59 = 18 V = 18 + 59 = 77 B = 77 + 59 = 136

2. Dado un segmento AB de coordenadas, A = -369 y B = 391, encontrar la coordenada de un punto P que divide internamente al segmento AB en la relación: A

dAB = I -369 -391I ; dAB = I -760 I

;

dAB = 760 u

;

7 13

AP PB

= 13

AP+PB PB AB PB

; P = B – BP 7+13

= 13

PB =

; P = 391 - 494 ; P = - 103

760∗13 20

PB = 494 u 3. Dado un segmento AB de coordenadas A = -117 y B = 63, encontrar las coordenadas del 37 Q, que divide externamente al segmento AB en la relación:

punto

33 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ A

-117

dAB = I -177 - 63 I

;

dAB = I -180 I

;

dAB = 180 u

;

= 19 BQ AQ−BQ

37−19

BQ AB

; Q = B + BQ; Q = 63 + 190

= 19

BQ =

; Q = 253 ; también se tiene que : AQ = AB + BQ

180∗19 18

; AQ = 180 + 190; AQ = 370 u

BQ = 190 u

; Q = A + AQ ; Q = -117 + 370 ; Q = 253

4. Dado un segmento AB de coordenadas A = -369 y B = 863, encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento AB en relación A

39 17

-369

armónicamente Q

863

dAB = I-369 -863 I ; dAB = I-1232 I

;

dAB = 1232 u

;

AP PB

39 17

AP+PB PB AB PB

;

39 + 17 17

= 17

PB =

; ;

1232 ∗ 17 56

AQ BQ

39 17

AQ−BQ BQ AB BQ

39−17 17

= 17

; 𝐵𝑄 =

1232∗17 22

PB = 374 u

; BQ = 952 u

P= 863 -374

; Q = 863 + 952

P=489

; Q = 1815

5. Dado un segmento AB de coordenadas A = -37 y B = 75, encontrar la relación sí BQ = 152 u

m n

> 1;

(Q divide externamente a AB)

-37

̅̅̅̅ = |B − A| dAB

;

AQ BQ

m n

34 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ ̅̅̅̅ = |75 − (−37)| dAB

;

̅̅̅̅ = 112 u dAB

;

AB+BQ BQ

112+152 152

m n

;

264

= 152

m n

;

m n

33 19

EJERCICIOS PARA LA TAREA. 1. Dado un segmento MN de coordenadas M = -113 y N = 207, encontrar las coordenadas de los puntos que divide n el segmento en 8 partes de igual medida 2. Dado un segmento ST de coordenadas S = -213 y T = - 602, encontrar la coordenada de un punto P que divide internamente al segmento ST en relación 27/13 3. Dado un segmento XY de coordenadas X = -39 y Y = 487, encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al segmento XY en relación 23/47 4. Dado un segmento ST de coordenadas S = -669 y T = 1202, encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que divide armónicamente al ST en relación 10/29 5. Dado un segmento MN de coordenadas M = -89 y N = 284, encontrar la relación m/n, si PN = 69 (P divide internamente al segmento MN) 6. Dado un segmento XY de coordenada X = -328 y Y = 763, encontrar la relación m/n < 1, si XQ = 690 (Q divide externamente al segmento XY)

35 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

LA DEMOSTRACIÓN EN OPERACIONES CON SEGMENTOS La demostración es un conjunto de razonamientos por medio de los cuales la veracidad de la proposición que se demuestra se deduce de axiomas y verdades antes demostradas o conocidas. Los pasos sugeridos para una demostración pueden ser: 1. Realizar un gráfico que represente lo más exactamente posible el enunciado de la proposición empleando letras mayúsculas para cada punto notable, indicar las marcas en la figura. 2. Expresar la hipótesis en forma simbólica. 3. Expresar la tesis en forma simbólica. 4. Realizar la demostración en la que debe constar proposiciones y razones utilizando las reglas del algebra y los axiomas de los números reales.

EJERCICOS RESUELTOS. 1.

DEMOSTRAR: A

H) AB=CD T) AC=BD

1. 2. 3. 4. 5. 2.

PROPOSICIONES

RAZONES

AB = CD BC = BC AB + BC = CD + BC AB + BC = BC + CD AC = BD

Dato hip. Axi. Reflexivo (=) Axi. Aditivo (=) Axi. Conmutativo (+) Axi. Clausurativo (+)

DEMOSTRAR: A

H) AM=MB T) PM =

PA+ PB 2

PROPOSICIONES

RAZONES

1. 2. 3. 4.

Hip. gráfica suma de segmentos Hip. gráfica suma de segmentos Axi. Aditivo (=) 1 y 2 Dato

PM = PB + BM PM = PA - AM 2PM = PB + BM + PA - AM AM = MB

36 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

5. 6.

2PM = PA + PB + AM - AM 2PM = PA + PB

PM =

Sustitución de 4 en 3 Axi. de la suma

PA+ PB

Transp. de términos

DEMOSTRAR: A

H) AM=MB PB− PA 2

T) PM =

PROPOSICIONES

RAZONES

1. 2. 3. 4. 5. 6.

AM = MB AM = AP + PM PB = PM + MB PB - PM = MB AP + PM = PB - PM 2PM = PB – PA

Dato Hip. gráfica Hip. gráfica Axi. de la suma Sustitución de 2 y 4 en1 Axi. de la suma y Axi. Conmutativa

PM =

PA−PB

Transp. de términos

DEMOSTRAR: Sobre una recta que toman los puntos A, B, C, D, E, F consecutivamente de modo que BE =

AF. Calcular AF sabiendo que AC + BD + CE + DF = 39 u

H) BE =

AC + BD + CE + DF = 39 u T) AF = ? PROPOSICIONES

RAZONES

1. 2. 3. 4.

AC + BD + CE + DF = 39 u AC + BC + BC + CD + CD + DE + DE + EF = 39 u (AB + BC + CD + DE + EF) + (BC + CD + DE) = 39 u AF + BE = 39 u

Dato Dato Gráfico Axi. Aso. y Conmutativo Axi. De la suma

BE =

AF +

13 8

5 8 5 8

AF AF = 39 u

AF = 39 u

Dato Sustitución 5 en 4 Axi. Clausurativo

37 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________

39 ∗ 8

AF =

AF = 24 u

Axi. De (x)

Axi. Clausurativo (x)

⃡ se interseca con BY ⃡ en Z Dado: AX AX = BY

ZX = ZY

Demostrar que AZ = BZ

DEMOSTRACIÓN:

PROPOSICIONES

RAZONES

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

dato dato suma de segmentos suma de segmentos sus de 3 y 4 en 1 -1 multiplica en 2 axioma aditivo (=) entre 5 y 6

AX = BY ZX = ZY AX = AZ + ZX BY = BZ + ZY AZ +ZX = BZ + ZY - ZX = - ZY AZ = BZ

Dado AX = BX

XC = XD Demostrar: AC = BD

X A

DEMOSTRACIÓN:

PROPOSICIONES 1. 2. 3. 4. 5. 6.

AC = AX + XC BD = BX + XD AX = BX XC = XD AX + XC = BX + XD AC = BD

RAZONES suma de segmentos suma de segmentos dato dato axioma aditivo 3 en 4 sustitución 1 y 2 en 5

38 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PARA LA TAREA.

Realizar los siguientes ejercicios y problemas utilizando el método de demostración. T) ST =

1. H) PQ = QR

PS+RU 2

ST = TU P

2. H) AB = BC CD = 2AC AM = MD A

3. H) AB =

T) AM = AB + AC

AC+CD

T) AD = ?

BD − 2BD + 1 = 0 B

4. H) AB =

BC 5

BC AC

H) BC =

AB 4

AC BA

6. Dados los puntos colineales A, B C y D si BD – AB = 2BC; Demostrar que: AC = CD 1. H) AC + BD = 14 u BC = 3u A

T) AD=? B

39 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Segmentos __________________________________________________________________________________ 2. Si en el gráfico: CD = 2AB. Demostrar que: AC = A

BD+BC 2

T) BE =

3. H) AB = BC

CF+AD 2

DE = EF A

T) PB =

4. H) AB = BD = CD

PD−2AP 3

40 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 4 ÁNGULOS ANGULO: Es la figura geométrica formada por dos rayos con un mismo origen, o también se forma por dos rectas no paralelas. A

⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⋀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC son los lados;

B es el vértice del ángulo

FORMAS DE NOMBRAR A UN ÁNGULO: ̂ ; 1) ∢ ABC; ∢CBA o ABC ̂ 2) ∢B; B 3) ∢ α ; α ̂ ̂ 4) ∢1 ; 2

̂ CBA

UNIDADES DE MEDIDA Radian (rad): Es la medida de un ángulo, cuya longitud del arco subtendido es igual al radio del círculo. R R

1rad

P = 2πR ; P = D π ;

=π ; D

P D

= 3,14 …

R=20cm

Grados sexagesimales: Si a una revolución completa se la divide en 360 partes de igual medida, a cada parte se le denomina grado.

Equivalencias básicas

π . rad = 180° 2π . rad = 360° π 2

. rad = 90°

41 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

POSTULADOS DE LOS ÁNGULOS POSTULADO 1. Todo ángulo determina en el plano tres conjuntos de puntos. A R ext B

R int C

POSTULADO 2. Todo ángulo tiene por medida un número real comprendido entre [0°,360°]. A

r0 C

m∡BAC = r° → r ∊ 𝐑 [0,360] POSTULADO 3. Dos ángulos son congruentes, si y solo si, tienen la misma medida.

m∢1 = m∢2 ⇔ ∢1 ≅ ∢2

1 30°

30° 2

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POR SU MEDIDA: 1. ÁNGULO AGUDO: Es aquel que tiene una abertura, menor a 90° y mayor a 0°.

0° < m Â < 90° A

42 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 2. ÁNGULO RECTO: Es el ángulo cuya medida es igual a 90°.

𝑚 Â = 90°

A 3. ÁNGULO OBTUSO: Tiene una abertura menor a 180° y mayor a 90°.

90° < 𝑚 Â < 180°

A 4. ÁNGULO LLANO O COLINEAL: Tiene sus lados coloniales y su abertura tiene una medida igual a 1800. 𝑚 Â = 180°

A 5. GIRO: La medida del ángulo es igual a 360 0 A

𝑚 ∢ 𝐴 = 360°

POR LA RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS 1. PAR LINEAL: Se forma cuando sus rayos son opuestos.

⃗⃗⃗⃗⃗ es otro rayo entonces ∡𝐵𝐴𝐷 𝑦 ∡𝐶𝐴𝐷 forman Si ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 son rayos opuestos, y 𝐴𝐷 un par lineal. 2. ANGULOS CONSECUTIVOS: Son aquellos que están en un mismo plano, parten de un mismo vértice, tienen un lado común y sus lados no comunes quedan en distinto semiplano del lado común.

43 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

∡BAD ⋀ ∡BAC son consecutivos 3. ANGULOS CONJUGADOS: SI al sumar la medida de los ángulos da 360°, entonces se llaman

ángulos conjugados.

Si m∡θ + m∡BAC = 360° son conjugados 4. ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos que tienen un mismo vértice y un lado común. . A , vértice común B 1

AB, lado común 2

A 5. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: son dos ángulos adyacentes cuya suma de medidas es igual a 90° o

π 2

rad. A cada ángulo se le llama complemento del otro.

m∢1 + m∢2 = 90° 1 2

6. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: son dos ángulos adyacentes cuya suma de medidas es igual a 180° o π. rad. A cada ángulo se le llama suplemento del otro.

m∢1 + m∢2 = 180°

44 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 7. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son dos ángulos no adyacentes formados por la intersección de dos rectas. Cada ángulo tiene igual medida.

8. ÁNGULOS FORMADOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL.

Ángulos internos: son los ángulos que están dentro de las rectas paralelas. ∢3, ∢4, ∢6, ∢5 2

Ángulos externos: son los ángulos que están fuera de las rectas paralelas

∢1, ∢2, ∢7, ∢8 Ángulos alternos internos:

6 7

∢3 𝑦 ∢5 ; ∢4 𝑦 ∢6

Ángulos alternos externos: ∢1 𝑦 ∢7 ; ∢2 𝑦 ∢8 Ángulos correspondientes: son los ángulos que se encuentran al mismo lado de la recta transversal, pero en diferente posición de las rectas paralelas. ∢1 𝑦 5 ; ∢4 𝑦 ∢8

; ∢2𝑦 ∢6

; ∢3 𝑦 ∢7

DEFINICIONES BÁSICAS: 1. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: Es la distancia más corta que se puede señalar y corresponde al segmento perpendicular dirigido desde un punto a la recta. A

d2, distancia más corta.

45 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 2. BISECTRIZ: Es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. D A

1 2

Si m∢1 = m∢2 ⟺ AB es bisecetriz

Si m∢1 = m∢2 ⟺ m∢1 ≅ m∢2

3. RELACIÓN DE PARALELISMO: Definición 1: Dos rectas son paralelas si se intersecan en todos sus puntos o no se intersecan en ningún punto. Definición 2: Dos rectas coplanares sí coinciden en todos sus puntos o en ninguno son paralelas. Para indicar que dos rectas son paralelas se escribe ⫫

Si l1 ∩ l2 = ⌀ → l1 ⫫ l2 Relación: “Es paralela a” Es una relación de equivalencia puesto que es reflexivo, sistemática y transitiva. 1. Reflexiva: l1 ⫫ l1 2. Simétrica: l1 ⫫ l2 ⟹ l2 ⫫ l1 3. Transitiva: l1 ⫫ l2 ⋀ l2 ⫫ l3 → l1 ⫫ l3 Corolario: Dos rectas paralelas o una tercera son paralelas entre sí. 4. RELACION DE PERPENDICULARIDAD: Definición Dos rectas son perpendiculares si y solo si su unión contiene un ángulo recto, o forman un par lineal de ángulos congruentes. Para indicar que 2 rectas son perpendiculares se escribe ⊥

Relación: “Es perpendicular a” La relación de perpendicularidad no es una relación de equivalencia puesto que solamente es Simétrica. 1. Reflexiva: l1 ⊥ l1 (V) 2. Simétrica: l1 ⊥ l2 ⟹ l2 ⊥ l1 (V) 3. Transitiva: l1 ⊥ l2 ⋀ l2 ⊥ l3 ⇔ l1 ⫫ l3 (V) Corolario: Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. 46 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ POSTULADO 4. DE LAS RECTAS PARALELAS CORTADA POR UNA TRASVERSAL Si en un plano dos rectas son cortadas por una transversal, y si la suma de las medidas de los ángulos internos formados de un mismo lado es igual a 180° las dos rectas son paralelas, caso contrario las rectas se intersecan.

m∢1 + m∢2 = 180° ⟺ L1 ∥ L2

m∢1 + m∢2 ≠ 180° ⟺ L1 ∦ L2

POSTULADO 5.

Si P es un punto de la región anterior del ángulo BAC, entonces la m∡BAP + m∡PAC es igual a la m∡BAC. m∡BAP + m∡PAC = m∡BAC m∡BAC − m∡BAP = m∡PAC m∡BAC − m∡PAC = m∡BAP

EJERCICIOS RESUELTOS Elaborar un gráfico para ilustrar lo siguiente: 1. Dos ángulos tienen un vértice común, pero no tienen un lado común.

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 = 𝐴 ∡𝑃𝐴𝑄 ⋀ ∡𝐵𝐴𝐶 2. En la siguiente figura identificar los ángulos: A) Agudos B) Rectos 47 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

C) Colineales D) Adyacentes.

A) B) C) D)

Agudos: ∡ABC; ∡BCA Recto: ∡BAC Colineales: ∡ACP; ∡CBQ Adyacentes: ∡PCB ⋀ ∡BCA ; ∡QBA ⋀ ∡ABC

3. En el siguiente gráfico que parejas de ángulos son: A) Complementarios B) Suplementarios.

A) Complementarios: B) Suplementarios:

∡BOE ⋀ ∡EOC ∡BOE ⋀ ∡EOD ; ∡DOA ⋀ ∡AOB ; ∡DOC ⋀ ∡COB

4. En el siguiente gráfico identificar los ángulos A) Alternos Internos B) Alternos Externos.

A) Alternos Internos:

∡3

48 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

B) ⋀ ∡9; ∡4 ⋀ ∡10 ∡4 ⋀ ∡5; ∡2 ⋀ ∡7 ∡7 ⋀ ∡12; ∡8 ⋀ ∡9 C) Alternos Externos:

∡1 ⋀ ∡12; ∡2 ⋀ ∡11 ∡1 ⋀ ∡8; ∡3 ⋀ ∡6 ∡11 ⋀ ∡5; ∡10 ⋀ ∡6

EJERCICIOS PARA LA TAREA

1. Realizar un gráfico para ilustrar lo siguiente: 2 ángulos adyacentes tienen un lado común y un vértice común. 2. En el siguiente gráfico identificar los ángulos: A) B) C) D) E)

Agudos Obtusos Rectos Colineales Adyacentes

3. ¿Qué pareja de ángulos son complementarios y suplementarios?

4. Identificar los ángulos A) B) C) D) E) F)

Alternos internos Alternos externos Colaterales Opuestos por el vértice Alternos externos Correspondientes

+ 49 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS ÁNGULOS 1. LOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE SON CONGRUENTES.

H) m∢1 y m∢3 son opuestos por el vértice

2 3

T) ∢1 ≅ ∢3

1 4

DEMOSTRACIÓN: PROPOSICIONES 1) m∢1 + m∢2 = 180° 2) m∢2 + m∢3 = 180° 3) m∢1 + m∢2 = m∢2 + m∢3 4) m∢1 = m∢3 5 ) ∢1 ≅ ∢3

RAZONES ∢ llano o ∢ suplementario ∢ llano Axi. Transitivo (=) Axi. (+) Def. ≅

2. LOS ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS, ALTERNOS EXTERNOS Y CORRESPONDIENTES FORMADOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL SON CONGRUENTES. L3 2

H) L1 ∥ L2 ∧ L1 ∦ L3 T) A) ∢3 ≅ ∢5 B) ∢2 ≅ ∢8

6 5 7

C) ∢2 ≅ ∢6

8 DEMOSTRACION:

A) PROPOSICIONES 1) m∢3 + m∢6 = 180° 2) m∢5 + m∢6 = 180° 3) m∢3 + m∢6 = m∢5 + m∢6 4) m∢3 = m∢5 5) ∢3 ≅ ∢5

RAZONES Postulado ∥ ∢ llano Axi. Transitivo Axi. (+) Def. ≅

B) PROPOSICIONES 1) m∢2 + m∢3 = 180° 2) m∢5 + m∢8 = 180° 3) m∢2 + m∢3 = m∢5 + m∢8 4) m∢3 = m∢5 5) m∢2 + m∢3 = m∢3 + m∢8

RAZONES ∢ llano ∢ llano Axi. Transitivo ∢ alternos internos Sustitución 4 en 3

50 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 6) m∢2 = m∢8 Axi. (+) 7) ∢2 ≅ ∢8 Def. ≅ C) PROPOSICIONES RAZONES 1) m∢2 + m∢3 = 180° ∢ llano 2) m∢6 + m∢5 = 180° ∢ llano 3) m∢2 + m∢3 = m∢6 + m∢5 Axi. Transitivo 4) m∢5 = m∢3 ∢ alternos internos 5) m∢2 + m∢5 = m∢6 + m∢5 Sustitución 4 en 3 6) m∢2 = m∢6 Axi. (+) 7) ∢2 ≅ ∢6 Def. ≅ 3. LA BISECTRIZ DE DOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS, SON PERPENDICULARES ENTRE SÍ. C

H) ∢BAC ∧ ∢CAD son suplementarios

AE ∧ AF bisectrices

F 2 2 D

T) AF ⊥ AE

1 1 A

PROPOSICIONES 1) m∢BAC + m∢CAD = 180° 2) m∢BAC = 2m∢1 3) m∢CAD = 2m∢2 4) 2m∢1 + 2m∢2 = 180° 5) m∢1 + m∢2 = 90° 6) AF ⊥ AE

RAZONES ∢ suplementarios Def. bisectriz Def. bisectriz Sustitución 2 y 3 en 1 Axi. ( +) ; ÷ 2 Def. rectas perpendiculares

4. LA BISECTRIZ DE DOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE SON COLINEALES. 3 2 2

1 1 4

H) L1 ∧ L3 forman ángulos opuestos por el vértice

∢3 ≅ ∢4 2m∢1 = 2m∢2; definición de bisectriz T) L2 es una recta

PROPOSICIONES RAZONES 1) 2m∢1 + m∢3 + 2m∢2 + m∢4 = 360° ∢ Giro 2) m∢3 = m∢4 Hipótesis ∢ opuestos 3) 2m∢1 + m∢3 + 2m∢2 + m∢3 = 360° Sustitución 2 en 1 4) 2m∢1 + 2m∢2 + 2m∢3 = 360° Suma de ∢ 5) m∢1 + m∢2 + m∢3 = 180° Axi. (+) 6) L2 es recta. Definición de ángulo llano 5. SI DOS ÁNGULOS TIENEN SUS LADOS IGUALES RESPECTIVAMENTE PARALELOS, SON CONGRUENTES O SUPLEMENTARIOS. L1

L2 1

H) L1 ∥ L2 ∧ L3 ∥ L4 T) A) ∢1 ≅ ∢3

B) m∢1 + m∢5 = 180°

51 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ A) PROPOSICIONES

RAZONES

1) m∢1 = m∢4 2) m∢4 = m∢3 3) m∢1 = m∢3 4) ∢1 ≅ ∢3

∢ correspondientes ∢ correspondientes Axi. Transitivo Def. ≅

B) PROPOSICIONES

RAZONES

1) m∢1 + m∢2 = 180° 2) m∢2 = m∢5 3) m∢1 + m∢5 = 180°

Postulado de las rectas paralelas ∢ correspondientes Sustitución 2 en 1

EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Uno de los ángulos complementarios, aumentado en 30 0, es igual al otro. Determinar cuánto mide cada ángulo. H) m∢1 + m∢2 = 90° ; son complementarios T) m∢1 =? m∢2 =?

1 2 DEMOSTRACION. PROPOSICIONES 1) ∢2 + 30° = ∢1 2) ∢1 + ∢2 = 90° 3) ∢2 + 30° + ∢2 = 90° 4) 2∢2 = 90° − 30° 5) ∢2 = 60°/2 6) ∢2 = 30°

RAZONES Dato Def. ∢ complementarios Sustitución 1 en 2 Axi. (+) Trans. Factores Simplificación

2. La diferencia de dos ángulos suplementarios es 600. Determinar el complemento del ángulo menor. H) ∢1 ∧ ∢2 son suplementario T) Complemento de ∢1 =? 2

PROPOSICIONES 1) ∢2 − ∢1 = 60° 2) ∢2 + ∢1 = 180° 3) 2∢2 = 240° 4) ∢2 = 240°/2 5) ∢2 = 120° 6) 120° − ∢1 = 60° 7) ∢1 = 60° 8) Complemento de ∢1 = 30°

RAZONES Dato Def. ∢ suplementarios Axi. Aditivo 1 y 2 Trasposición de términos Simplificación Sustitución 5 en 1 Axi. (+) Def. ∢ complementario

52 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 3. Si el suplemento del suplemento de un ángulo se le suma el complemento del complemento del mismo ángulo, resulta el cuádruplo del complemento del mismo ángulo. Hallar el ángulo.

H) ∢COB + ∢COB = 4∢DOC

T) ∢COB =?

PROPOSICIONES 1) ∢COB + ∢COB = 4∢DOC 2) 2∢COB = 4∢DOC 3) ∢COB + ∢DOC = 90° 4) ∢DOC = 90° − ∢COB 5) 2∢COB = 4(90° − ∢COB) 6) ∢COB = 2(90° − ∢COB) 7) ∢COB = 180° − 2∢COB 8) 3∢COB = 180° 9) ∢COB = 60°

RAZONES Hipótesis Axi. Clausurativo Def. ∢ complementarios Axi. Campo R Sustitución 4 en 2 Trans. Factores y simplificación Axi. Distributivo (x) Axi. (+) Trans. Factores y simplificación

4. En un ángulo llano ∢AOD se trazan los ángulos adyacentes ∢AOB, ∢BOC, ∢COD, si las bisectrices de los ángulos ∢AOB, ∢COD, forman un ángulo de 130°, hallar ∢BOC.

H) ∢AOE = ∢EOB

C B

∢COF = ∢FOD ∢EOB + ∢BOC + ∢COF = 130°

T) ∢BOC =?

E A

PROPOSICIONES 1) ∢EOB + ∢BOC + ∢COF = 130° 2) ∢AOB + ∢BOC + ∢COD = 180° 3) ∢AOE + ∢EOB + ∢BOC + ∢COF + ∢FOD = 180° 4) ∢EOB + BOC + ∢EOB + ∢COF + ∢COF = 180° 5) 2∢EOB + ∢BOC + 2∢COF = 180° 6) -∢EOB − ∢BOC − ∢COF = −130° 7) ∢EOB + ∢COF = 50° 8) 2∢EOB + 2∢COF = 100° 9) ∢BOC + 100° = 180° 10) ∢BOC = 180° − 100° 11) ∢BOC = 80°

RAZONES Dato ∢ llano Suma de ∢ Axi. Clausurativo Axi. (+) (-1) a 1 Axi. Aditivo 5 y 6 Multiplico por 2 en 7 Sustitución Axi. (+) Axi. (+)

53 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 5. Determinar el valor de X

A H) AE ∥ CD

∢A = 40° ∢B = 70°

T) ∢X =?

X D

PROPOSICIONES 1) FG ∥ EA ∥ DC 2) ∢1 + ∢2 = 70° 3) ∢A = ∢1 4) ∢2 = ∢X 5) ∢A = 40° 6) ∢2 = 40° 7) ∢1 + 40° = 70° 8) ∢1 = 30° 9) ∢X = 30°

RAZONES Construcción Dato ∢ Alternos internos AE y FG ∢ Alternos internos FG y DC Dato Sustitución 5 en 3 Sustitución 6 en 2 Axi. (+) Sustitución 8 en 4

6. Demostrar: 1 4 α 5 6 2 7 8𝛽

L1 L3 L4

H) L1 ∥ L2 T) α + β = ∢1 + ∢2 + ∢3

9 3

PROPOSICIONES 1) L3∥ L4 ∥ L5 ∥ L2 2) α = ∢4 + ∢5 3) ∢2 = ∢6 + ∢7 4) β = ∢8 + ∢9 5) ∢1 = ∢4 6) ∢9 = ∢3, ∢5 = ∢6, ∢7 = ∢8 7) α + β = ∢4 + ∢5 + ∢8 + ∢9 8) α + β = ∢1 + ∢6 + ∢7 + ∢3 9) α + β = ∢1 + ∢2 + ∢3

RAZONES Construcción Dato Dato Dato ∢ alternos internos ∢ alternos internos Suma de ∢ Sustitución Sustitución

54 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 7. Demostrar:

H) BA ∥ DC BC ∥ DE m∢B = 135° T) m∢A = ?

135° D

E PROPOSICIONES 1) m∢B = m∢2 2) m∢2 = 135° 3) m∢2 + m∢c = 180° 4) m∢c = 45° 5) m∢c = m∢A 6) m∢A = 45°

RAZONES Postulado Remplazo m∢B Def. Ángulo llano Despeje m∢C ∢ alternos internos Despeje m∢A

H) m∢EOB = 100°

C T) m∢X = ?

2 3 1 1 2 O

A RAZONES Suma de ángulos Hipótesis Axioma transitivo Def. Ángulo llano Despeje en 3 Sustitución en 4 y T.s. Dato Remplazo 6 en 7 Operación suma.

PROPOSICIONES 1) m∢2+m∢3+m∢1=m∢EOB 2) m∢EOB = 100° 3) m∢2+m∢3+m∢1=100° 4) 2m∢2+m∢3+2m∢1=180° 5) m∢3 = 100° − m∢1 - m∢2 6) m∢2+m∢1=80° 7) m∢2+m∢3+m∢1=100° 8) m∢3 + 80° = 100° 9) m∢3 = 20°

E X

2 3

D B

4 O

H) m∢AOE = m∢EOB m∢AOD = m∢DOC m∢AOC − m∢AOB =20° T) m∢X = ?

55 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________

PROPOSICIONES 1) m∢AOE = m∢EOB 2) m∢1 = m∢ x + 𝑚∢3 3) m∢AOD = m∢DOC 4) m∢1+ m∢x = m∢3 + m∢4 5) m∢AOC − m∢AOB =20° 6) m∢1 + m∢x + m∢3 + m∢4 - m∢1 - m∢ x - 𝑚∢3 = 200 7) m∢4 = 20° 8) m∢x + m∢3 + m∢x = m∢3 + 20° 9) 2m∢x = 20° 10) m∢x = 10°

RAZONES Hipótesis Sustitución y suma de ángulos Hipótesis Sustitución y suma de ángulos Hipótesis Sustitución y suma de ángulos Remplazo 2 y 4 en 5 Remplazo 2 y 7 en 4 Suma de ángulos Despeje de x

EJERCICICOS PARA LA TAREA. 1. La diferencia de dos ángulos suplementarios es π/3 rad. Hallar el complementario del ángulo mencionado. 2. Hallar la medida del ángulo que disminuido en su suplemento es igual al triple de su complemento. 3. De dos ángulos complementarios, los 4/3 de uno de ellos más la sexta parte del otro forman un ángulo recto. ¿Cuánto mide cada ángulo? 4. Los 5/4 de un ángulo menos la cuarta parte de su complementario, dan su complemento aumentado en π/2 rad. ¿Cuánto mide el ángulo? 5. El complemento del suplemento de un ángulo, más el suplemento del complemento de su ángulo triple es igual, al suplemento de su ángulo doble. Calcular la medida del ángulo. 6. Los ángulos X, Y, Z son proporcionales a los números 3, 5 y 7. Hallar el ángulo Z, si X + Y + Z = 180 0 7. La medida de uno de los ángulos de un par de ángulos complementarios es el doble de la medida del otro más π/20. Encontrar la medida de cada ángulo. 8. El duplo del suplemento de un ángulo es igual al suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo. Calcular la medida del ángulo. 9. Dos ángulos adyacentes complementarios están en la razón de 2 a 3. Hallar el valor del ángulo formado por la bisectriz del ángulo con el lado no común. 10. Si el suplemento del complemento de un ángulo más el complemento del suplemento de su ángulo doble es igual al doble del complemento del ángulo menos un ángulo llamo. Encontrar la medida del ángulo. 11. Calcular el ángulo x, si L1 ∥ L2

𝛽

𝛼 𝛼 L2 56 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 12. T) ∡X =? X

13. T) ∡X =? 120

140

14. T) ∡α =? 2𝛼 4𝛼 3𝛼 80 𝛼

15. T) ∡BOE = (∡AOD + ∡COF)/2 B

D E

F O C B D

16. H) ∡EOB = 1000

T) ∡X =?

F O

17. H) ∡AOE = ∡EOB ∡AOD = ∡DOC ∡AOC − ∡AOB =

T) ∡X =? π rad 10

A E D

C O

57 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 1 Ángulos __________________________________________________________________________________ 18. H) OF BISECTRIZ ∡COF T) ∡COE =? E D

F G

B 45 A

A O

19. Respecto a la figura, si 𝑚∡ 𝐵𝑃𝐶 = 30º, entonces: A B

E D

A) m∡ CPD =?

B) m∡ FPE =?

C) m∡ APB =?

20. De acuerdo con la figura:

A) Si m∡3 = 110°, encontrar: m∡4, m∡1, m∡2 1 B) Si m∡1 = 2 m∡3, encontrar: m∡1, m∡2, m∡3 y m∡4 C) Si ∡1 y ∡2 son suplementarios, ¿Qué se puede concluir de las rectas m y n? D) Si ∡1 y ∡2 son complementarios. ¿Qué se puede concluir de la medida del ∡2 ?

21. Si ∡1 y ∡2 son complementario y ∡3 y ∡2 son complementarios, ¿Qué se puede concluir de ∡1 y ∡3? 22. Si 𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 en la figura, completar: A) B) C) D)

C D

Si m∡1 = 40º, m∡2 =? Si m∡1 = m∡2, m∡2 =? Si m∡1 = 2(m∡2), m∡1 =? 1 Si m∡4 = (m∡3), m∡6 =?

23. Si m ⊥ n y ∡1 ≈ ∡3, hallar la medida de cada uno de los ángulos de la figura. n 3 4

1 6

58 __________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Triángulos _______________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 1 TRIÁNGULOS Es la figura geométrica formada por tres segmentos resultantes de unir tres puntos no colineales B

Φ ΔABC

ΔCBA Región externa

ΔCAB A A

Región interna b

Θ C

Elementos del triángulo: Vértice

Lados

Ángulos internos

Ángulos externos

AB = BA = c

BC = AC = a

CA = AC = b

El contorno del triángulo es:

El perímetro ( P ) del triángulo está dado por:

AB U BC U CA

P= AB + BC + CA

LÍNEAS Y PUNTOS FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO 1. Bisectriz: Es el segmento que parte de cada vértice del triángulo y lo divide en dos ángulos iguales.

B I A

2. Incentro (I): Es el punto de intersección de las 3 bisectrices internas y es el centro del círculo inscrito en el triángulo 3. Encentró (E): Es el punto de intersección de una bisectriz interna y una externa y es el centro del círculo ex-inscrito tangente dicho lado. B E

______________________________________________________________________________________ 59 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Triángulos _______________________________________________________________________________________ A

Mediana: Es el segmento que va del vértice del triángulo a la mitad de su lado opuesto. A

Baricentro(B): Es el punto de intersección de las tres medianas y representa el centro de gravedad del triángulo

Mediatriz: Son los segmentos perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado

Circuncentro (C): Punto de intersección de las 3 mediatrices y es el centro del círculo circunscrito en el triángulo

Altura: Es el segmento que va desde el vértice del triángulo a su lado opuesto o prolongación de este, formando un ángulo de 90° O

Ortocentro (O): Es el punto de intersección de las 3 alturas.

______________________________________________________________________________________ 60 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Triángulos _______________________________________________________________________________________

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican de acuerdo con la longitud de sus lados y la abertura de sus ángulos. POR LA LONGITUD DE SUS LADOS 1. Equilátero: Es el triángulo que tiene sus tres lados congruentes A AB ≅ BC ≅ AC B

2. Isósceles: Es el triángulo que tiene dos lados congruentes y el tercer lado no congruente. A AB ≅ AC AB ≇ BC AC ≇ BC B

3. Escaleno: Es el triángulo que tiene sus tres lados no congruentes A AC ≇ BC ≇ AB

POR LA ABERTURA DE SUS ÁNGULOS 1. Equiángulo: Es el triángulo que tiene sus tres ángulos internos congruentes A ∢𝐴 ≅ ∢𝐵 ≅ ∢𝐶 B

2. Acutángulo: Es el triángulo que tiene sus tres ángulos internos agudos

A ∢ 𝐴 ; ∢ 𝐵 ; ∢ 𝐶 , ángulos agudos ∢ 𝐴 ; ∢ 𝐵 ; ∢ 𝐶 , ∢𝑠 < 900 C ______________________________________________________________________________________ 61 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Triángulos _______________________________________________________________________________________ B

3. Rectángulo: Es el triángulo formado por un ángulo recto y dos agudos A ∢ 𝐴 ; ∢ 𝐶 ángulos agudos ∢ 𝐵 = 900

4. Obtusángulo: Es el triángulo que está formado por un ángulo obtuso. C ∢ 𝐴 obtuso

5. Complementario mediano: Es el triángulo que resulta de unir los tres puntos medios de un triangulo A

C ΔDEF Complementario mediano 6. Triangulo órtico: Es el triángulo que se forma al unir los tres pies de las alturas de un triángulo

______________________________________________________________________________________ 62 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Triángulos _______________________________________________________________________________________ ΔADF órtico

TEOREMAS DE TRIÁNGULOS TEOREMA 1: En todo triángulo la suma de las mediadas de los ángulos internos es 180o. PROPOSICIONES

RAZONES

⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶 1. 𝐵𝑂

por construcción

2. 𝑚∢1 = 𝑚∢𝐴

ang. Alternos internos

3. 𝑚∢2 = 𝑚∢𝐶

ang. Alternos internos

4. 𝑚∢1 + 𝑚∢𝐵 + 𝑚∢2 = 1800 ang. Llano

5. 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵 + 𝑚∢𝐶 = 1800 sustitución 2 y 3 en 4

T) 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵 + 𝑚∢𝐶 = 1800

ΔABC es escaleno

COROLARIOS •

En un triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios.

∢C y ∢B son complementarios

TEOREMA 2: ángulo externo Todo ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes y por lo tanto es mayor a cada uno de ellos. PROPOSICIONES

∝ B

C A

RAZONES

1. 2. 3. 4.

∢𝐵 + ∢𝛼 = 180° ∢𝐴 + ∢𝐵 +∢𝐶=180° ∢𝐵 + ∢∝ = ∢𝐴+ ∢𝐵 + ∢𝐶 ∢∝= ∢A + ∢𝐶

Ángulos suplementarios T. ángulos internos Axi. Transitivo (=) Axi. Suma (+)

H) Triangulo escaleno T)

∢∝ = ∢𝐴+ ∢𝐶

TEOREMA 3: El ángulo formado por 2 bisectrices internas de un triángulo es igual a 900 más la mitad de la medida del ángulo interno no bisecado. T) 𝑚∢𝑋 = 90 + 𝑚∢𝐵/2 PROPOSICIONES

RAZONES

______________________________________________________________________________________ 63 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Triángulos _______________________________________________________________________________________ 1. 𝑚∢𝐴 = 2𝑚∢1 Def. Bisectriz 2. 𝑚∢𝐶 = 2𝑚∢2 Def. Bisectriz 3. 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵 + 𝑚∢𝐶 = 180° Ang. Internos 4. 2𝑚∢1 + 𝑚∢𝐵 + 2𝑚∢2 = 180° Susti. 1 y 2 en 3 𝑚∢𝐵 5. 𝑚∢1 + + 𝑚∢2 = 90° 4 Divido para 2 2 6. 𝑚∢1 + 𝑚∢𝑋 + 𝑚∢2 = 180° Ang. Internos ΔAXC 7. 𝑚∢1 + 𝑚∢2 = 180° − 𝑚∢𝑋 Transpo. De términos 𝑚∢𝐵 8. 180° − 𝑚∢𝑋 + = 90° Susti 7 en 5 2

𝑚∢𝐵

9. 90° + = 𝑚∢𝑋 2 10. 𝑚∢𝑋 = 90 + 𝑚∢𝐵/2

Transpo. de términos Axi. Simétrico

TEOREMA 4: El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo es igual a 90 0 disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer vértice. T) 𝑚∢𝑋 = 90 − 𝑚∢𝐴/2 PROPOSICIONES 1. 2𝑚∢1 = 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵 2. 2𝑚∢2 = 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐶 𝑚∢𝑐 3. 𝑚∢1 = 𝑚∢𝐴 + 2 4. 𝑚∢2 = 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵/2 5. 𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵 + 𝑚∢𝐶 = 180° 𝑚∢𝐴 𝑚∢𝐵 𝑚∢𝐶 6. + + = 90° 2 2 2 7. 𝑚∢1 + 𝑚∢2 + 𝑚∢𝑋 = 180° 8. 9.

𝑚∢𝐴 2 𝑚∢𝐴 2

+ +

𝑚∢𝐶 2 𝑚∢𝐵 2

𝑚∢𝐴

𝑚∢𝐴 2

2 𝑚∢𝐶 2

+ +

𝑚∢𝐵 2 𝑚∢𝐴 2

+ 𝑚∢𝑋 = 180°

RAZONES Cor. Angulo externo Cor. Angulo externo 1 Divido para 2 2 dividido para 2 Ángulos internos 5 dividido para 2 Ángulos internos Susti. 3 y 4 en 7

+ 𝑚∢𝑋 = 180°

Conmutativo

10. 90 + + 𝑚∢𝑋 = 180° 11. 𝑚∢𝑋 = 90 − 𝑚∢𝐴/2

T) 𝑚𝑋 = 90 − 𝑚𝐴/2

Susti. 7 en 9 Trans. Terminos

EJERCICIOS RESUELTOS. 1) Demostrar: T) ∢𝑥 = B

∢𝐵 + ∢𝐶 2

D A x C

PROPOSICIONES 1) ∢𝑥+ ∢1+ ∢2= 180° 2) 2∢1+ ∢𝐵 = 180° 3) 2 ∢2 + ∢C = 180° 4) ∢2 + ∢𝐶/2 = 90° 5) ∢1 + ∢ 𝐵/2 = 90° 6) ∢1 + ∢2 + ∢ 𝐶/2 + ∢𝐵/2 = 180° 7) ∢ 1 + ∢2+ ∢𝐶/2 + ∢𝐵/2 = ∢𝑥 + 8) ∢𝐶/2 + 𝐵/2 = ∢𝑥 9) ∢𝑥 = ∢C/2 + ∢𝐵/2 ∢𝐵 + ∢𝐶 10) ∢𝑥 = 2

RAZONES T.A.interno∆𝐵𝐶𝐷 Ángulo llano Ángulo llano Divido (3) / 2 Divido(2) / 2 Suma 4y5 ∢1 + ∢ 2 Axi. Tran.(=) entre 1y6 Axi. Suma (+) Axi. Simétrico (=) m. c. m. Ax. Conm.

______________________________________________________________________________________ 64 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 TRIÁNGULOS ________________________________________________________________________________________ 2) H) ∢A = 60°, ∢C = 54°

𝑇) ∢X =?

Proposiciones 1) ∢21 = ∢A + ∢C 2) ∢21 = 60° + 54° 3) ∢1 = 57° 4) ∢2 = 90° − ∢C 5) ∢2 = 90° − 54° 6) ∢2 = 36° 7) ∢2 = ∢3 8) ∢3 = 36° 9) ∢X + ∢1 + ∢3 = 180° 10) ∢𝑋 = 180° − ∢1 − ∢3 11) ∢𝑋 = 180° − 57° − 36° 12) ∢𝑋 = 87°

Razones T.A externo ∆𝐴𝐵𝐶 Sustitución de datos en 1 Def. (+) Def. ángulo complementario Sustitución de dato en 4 Def. (+) A. opuestos por el vértice Sustitución 6 en 7 Suma de A. internos de un ∆ Trans. Términos Sustitución 3y8 en 10 Def. (+)

3) T) 𝛼 = ∢1 + ∢2 + ∢3 PROPOSICIONES

RAZONES

̅̅̅̅ Prolongacion BC ̅̅̅̅ CE

Construcción

m∢4 = m∢1 + m∢2

Cor. Angulo externo

m∢α = m∢3 + m∢4

Cor. Angulo externo

m∢α = m∢1 + m∢2 + m∢3 Sustitución 2 en 3

4) Dado:

m∢A = 𝑚∢𝛼; m∢B = 𝑚∢𝛽; m∢D = 𝑚∢ ∅ ; m∢E = 𝑚∢𝜀

Demostrar: 𝑚∢𝛼 = 𝑚∢∅ + 𝑚∢𝜀 − 𝑚∢𝛽 PROPOSICIONES

RAZONES

1. 𝑚∢𝐶 = 𝑚∢𝛽 + 𝑚∢𝛼 2. 𝑚∢𝐶 = 𝑚∢ ∅ + 𝑚∢𝜀 3. 𝑚∢𝛽 + 𝑚∢𝛼 = 𝑚∢∅ + 𝑚∢𝜀 4. 𝑚∢𝛼 = 𝑚∢∅ + 𝑚∢𝜀 − 𝑚∢𝛽

Angulo externo Angulo externo 1=2

Ax. De la Suma

65 __________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 TRIÁNGULOS ________________________________________________________________________________________ 5. Dado: m∢A = 500 ; m∢B = 1000 Encontrar: m ∢ x = ? PROPOSICIONES 1. 2. 3. 4.

RAZONES

𝑚∢𝐴 + 𝑚∢𝐵 + 𝑚∢𝐶 = 180° 50° + 100° + 𝑚∢𝐶 = 180° 𝑚∢𝐶 = 30° m ∢x = 100°

Ang. Internos Trans. Términos Def (+) Ang. Internos y sustitución

6. H) m∢EAB =70° m∢C =50° m∢BDC=60° m∢BAC= 30° T) m∢E=?

PROPOSICIONES 1. m∢C =50° 2. m∢EAB =70° 3. m∢BDC =60° 4. m∢BAC = 30° 5. m∢ADE = m∢BDC 6. m∢ADE =60° 7. m∢DAE = 60° 8. m∢DAE = 40° 9. m∢AED =180°- 40°- 60° 10. m∢AED= 80° 11. m∢AED=m∢E 12. m∢E = 80°

RAZONES Dato Dato Dato Dato opuestos por el vértice sustitución 3 en 5 Suma de ángulos def. Suma suma de ángulos def. Suma por grafico sustitución 10 en 11

H) m ∢ C = 400 T) m ∢ 1 = ?

PROPOSICIONES 1. m∢C = 40 2. m∢DEC = 180° - 90° - 40° 3. m∢DEC = 50° 4. m∢BED = 180° 5. m∢BED = 130° 6. m∢ABD = m∢BDE 7. 2m∢1 + 130° = 180° 8. 2m∢1 = 180° - 130° 9. m∢1 = 50°/2 10. m∢1 = 25°

RAZONES Datos Suma de ángulos Def. (Suma) Angulo llano Def. (Suma) Angulo alternos internos Suma de ángulos Transpo. De términos Def. (Suma); despejando ∢1 Def. (División)

66 __________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 TRIÁNGULOS ________________________________________________________________________________________ 8. H) m∡A =50° m∡C =70° m∡BED =80° T) m ∡ x

PROPOSICIONES 1. m∡A = 50° 2. m∡C = 70° 3. m∡BED = 80° 4. m∡ABC = 180°-70°-60° 5. m∡ABC =60° 6. m∡x =180°- 80°-60° 7. m∡X = 40°

RAZONES Dato Dato Dato suma de ángulos def. (Suma) suma de ángulos def. (Suma)

9. H) m∡FEM=25° m∡ABC= 100° T) m∡A=?

PROPOSICIONES 1. m∡FEM =25° 2. m∡ABC =100° 3. m∡EFM =180°-25°-90° 4. m∡EFM =65° 5. m∡DFC =180°-65° 6. m∡DFC =115° 7. 2m∡1 =100°+m2 8. 2m∡1 - m∡2=100° 9. m∡1 - m∡2 =65° 10. 3m∡1 =165° 11. m∡1 = 165°/3 12. m∡1 =55° 13. m∡A =180°-65°-55° 14. m∡A =60°

RAZONES Dato Dato suma de ángulos def. De suma def. De ángulo llano def. Suma ángulo externo transpo. De términos por grafico 8+9 despejando m<1 def. División suma de ángulos def. Suma

67 __________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 TRIÁNGULOS ________________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PROPUESTOS. A

1. H) ∡BDE = 25°

T) ∡𝐶 =? B

2. H) ∡𝐶 = 50°;

∡𝐶𝐵𝐷 = 70°

∡𝐸 = 80°;

∡𝐵𝐴𝐶 = 30°

T) ∡𝐷𝐴𝐸 =?

D E

3. H) ∡𝐹𝐸𝑀 = 25° ∡𝐴 = 60° D

T) ∡𝐴𝐵𝐶 =?

M A

F E B A

4. H) ∡𝐶 = 40° ∡𝐴 = 70°

T) ∡EDF=?

5. T)∡𝑋 =?

6. T) ∡𝑋 = ∡𝛼 + ∡𝛽

𝛽

B A

H A

D A X A

E A

22 A

C A

X A 𝛼

68 __________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 TRIÁNGULOS ________________________________________________________________________________________ 7. H) ∡1 + ∡2 + ∡3 + ∡4 = 𝛼 T) ∡𝑋 = 𝛼 − 180°

8. H) I incentro del ∆𝐴𝐵𝐶 T) ∡𝑂 = ∡𝛼 − ∡𝛽 − 90°

1 4

𝛼 E I A O

𝛽

10. H) I incentro del ∆𝐴𝐵𝐶 T) ∡𝑋 =?

9. H) I incentro T) ∡𝑥 = (∡𝛼 + ∡𝛽)/2 B

I X A

𝛼

𝛽

E 40

11. H) I incentro del ∆𝐴𝐵𝐶 T) ∡𝑋 = 180 − ∡𝛽

12. T) ∡𝐴 =?

X I

𝛽

13. T) ∡𝐴 =?

100

H F 25 E

69 __________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 TRIÁNGULOS ________________________________________________________________________________________ 14. T) ∡𝐷 = 90 − ∡𝛽/2 B

𝛽

2 1

15. H) I incentro del ∆𝐴𝐵𝐶

T) ∡𝑋 =?

D B

I X A

70 __________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 2 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes cuando todos sus elementos son congruentes. En todo par de triángulos congruentes la relación entre todos sus elementos congruentes es una correspondencia.

ΔABC ≅

ΔDEF

≅

∢A

≅

∢D

∢B

≅

∢E

∢C

≅

∢F

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Para poder demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar los siguientes postulados: TRIÁNGULOS ESCALENOS 1.

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (L.A.L.)

≅

DE (L)

∢A

≅

∢D (A)

≅

DF (L)

ΔABC ≅

ΔDEF (L.A.L)

_____________________________________________________________________________________71 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 2. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente un lado y dos ángulos adyacentes a dicho lado. (A.L.A.)

D ∢A

≅

∢D (A)

≅

DF (L)

∢C

≅

∢F (A)

ΔABC ⇒

≅

ΔDEF (A.L.A.)

AB ≅ DE

3. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados congruentes. (L.L.L)

≅

DE (L)

≅

EF (L)

≅

DF (L)

ΔABC ≅

ΔDEF (L.L.L)

⇒ ∢C ∢F POSTULADOS DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen los catetos congruentes (C.C.) A D

≅

DE (C)

≅

EF (C)

ΔABC ≅

ΔDEF (C.C.)

⇒ AC ≅ DF _____________________________________________________________________________________72 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo respectivamente congruentes. (H.A) A D

E AC

≅

DF (H)

∢A

≅

∢D (A)

ΔABC

≅

ΔDEF (H.A.)

3. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen un ángulo agudo y un cateto respectivamente correspondientes. (C.A) A D

≅

DE (C)

∢A

≅

∢D (A)

ΔABC

≅

ΔDEF (C.A.)

4. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente congruente. A D

≅

(H)

≅

(C)

ΔABC ≅

ΔDEF (H.C.)

_____________________________________________________________________________________73 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ PROPIEDADES DE PARALELAS TEOREMAS 1. Los segmentos de rectas paralelas que son limitados por otro par de rectas paralelas son congruentes H

F M

H) AB ∥ CD

T) MN = ST

EF ll GH

MS= NT

E G PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6)

∢NMT MT ∢MTN ΔMNT MN NT

RAZONES

≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅

∢STM (A) MT (L) ∢SMT (A) ΔTSM TS SM

Alternos internos EF ll GH Lado común Alternos internos AB ll CB A.L.A. Partes Correspondientes 2Δ ≅ Partes Correspondientes 2Δ ≅

2. La recta que biseca a un lado de un triángulo y es paralela a otro lado, biseca también al tercer lado. B M

H) BM = MA T) BE= EC ME ll AC

C S PROPOSICIONES 1) AB ll ES 2) AM ≅ SE 3) BM ≅ MA 4) AM ≅ BM ≅ SE (L) 5) ∢A ≅ ∢S 6) ∢A ≅ ∢M 7) ∢M ≅ ∢S (A) 8) ∢B ≅ ∢E (A) 9) ΔMBE ≅ ΔSEC 10) BE ≅ EC

RAZONES Por Construcción T. rectas paralelas Hipótesis Ax. Transitivo de la igualdad(=) Ángulos correspondientes AB ll SE Ángulos correspondientes ME ll AC Ax. Transitivo (=) ; 5 Y 6 Ángulos correspondientes AB ll SE A.L.A. Partes Correspondientes 2Δ≅

COROLARIO: El segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado. _____________________________________________________________________________________74 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ TEOREMA DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES 1. Si dos lados de un mismo triángulo son congruentes entre sí, entonces los ángulos opuestos a dichos lados también son congruentes. B H) ΔABC isósceles; AB= BC T)

≅

∢C

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6)

∢A

AB ≅ BC (L) BD bisectriz ΔABC ∢ABD ≅ ∢CBD (A) BD ≅ BD (L) ΔABD ≅ ΔCBD ∢A ≅ ∢C 2Δ

RAZONES Def. Δ isósceles Construcción Def. Bisectriz ΔABC Lado común L.A.L. Partes Correspondientes

7) Partes Correspondientes 2Δ SM Partes Correspondientes COROLARIOS 8) NT 2Δ 1. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces los lados opuestos a estos ángulos son también congruentes. 2. La bisectriz de un ángulo desigual de un triángulo isósceles es también mediana, altura y mediatriz de dicho triangulo y recíprocamente un triángulo en el cual una línea fundamental es también otra línea fundamental, el triángulo es isósceles 3. En un triángulo isósceles todos sus puntos fundamentales pertenecen a la mediatriz de lado desigual. 4. Todo triángulo equilátero es equiángulo; y recíprocamente, todo triangulo equiángulo es también equilátero. 5. En un triángulo equilátero, las bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de los tres vértices son congruentes. El incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro son el mismo punto.

TEOREMA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 1. El punto medio de la hipotenusa, equidista de los tres vértices del triángulo. H) BM= MC T) BM= AM= MC B

DEMOSTRACION: E C

_____________________________________________________________________________________75 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

RAZONES

AB ll ME m∢A = m∢MEC= 90° ME es la altura AE ≅ EC ME es mediana ΔAMC es isósceles AM = MC BM = MC AM = MC = BM

Por Construcción Ángulos correspondientes AB ll ME Def. altura ΔAMC Teorema rectas paralelas de un Δ Def. de mediana Def. Δ isósceles Def. Δ isósceles Hipótesis Ax. Transitivo 7 y 8 en 9

COROLARIO. Si una mediana en un triángulo es igual a los dos segmentos que forman en el lado del triángulo, el triángulo es rectángulo.

2. El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos.

X B

H) AH altura ΔABC; AM mediana ΔABC T) ∢X = ∢B - ∢C DEMOSTRACION PROPOSICIONES 1. 2. 3. 4. 5. 6.

AM = BM = MC ∢X + 2∢C = 900 ∢BAM = ∢B ∢ B + ∢ C = 900 ∢X + 2∢C = ∢ B + ∢ C ∢X = ∢B - ∢C

RAZONES Teorema Suma de ángulos Ángulos base tri isósceles Sum ángulos tri. ABC Ax transi (=) 2 y 4 Axiomas

_____________________________________________________________________________________76 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ EJERCICIOS RESUELTOS. 1. H) AE=BD T) AC= CB

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6)

∢ CAE ≅ ∢ CBD (A) AE = BD (L) ∢C= ∢C ∢CEA = ∢CDB (A) ΔDCB ≅ ΔECA AC = CB

RAZONES Dato grafico/hipótesis grafica Dato Ángulo común Suma de ángulos internos de un Δ (A.L.A.) Partes corres. de 2 Δ≅

2. H) AE = CE T) ∢x=?

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

∢ADE= 60° ∢EDC= 180°-∢C-∢DEC ∢EDC = 180°-30° - 90° ∢EDC = 60° ∢ADE=∢EDC (A) AE = CE (L) ∢DAE = ∢DCE =30° (A) ΔADE ≅ ΔCDE ∢ADB= 180°-∢ADE-∢EDC ∢ADB= 180°-60°-60° ∢ADB= 60° ∢x= 180°-∢ABD-∢ADB ∢x= 180°-100°-60° ∢x= 20°

RAZONES Dato gráfico Suma de ángulos internos Δ Hipótesis gráfica Resta de ángulos de un Δ Relación de igualdad de 1) y 4) Dato grafico Suma de ángulos internos Δ (A.L.A.) Ángulo suplementario Reemplazo de 1) y 4) en 9) Resta de ángulos Suma de ángulos internos de un Δ Reemplazo de dato y 11) en 12)

Resta de ángulos

_____________________________________________________________________________________77 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 3. H) AB ≅ BC T) AP ≅ CQ BP ≅ BQ

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

∢B ≅ ∢B AB ≅ BC ∢ BCQ = 450 ∢ BAP = 450 ∢ BAP ≅ ∢ BCQ Δ BAP ≅ Δ BCQ AP ≅ CQ BP ≅ BQ

RAZONES

(A) (L)

Angulo común. Ax. réflex. Dato Resta de ∢ en Δ BCQ Dato gráfico Ax. Transi (=) 3 y 4 A.L.A Partes correspondientes de 2 Δ≅ Partes correspondientes de 2 Δ≅

(A)

H) ΔABC Equilátero T) AC= AD+EC

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

∢A= ∢B = ∢C AB = BC = AC ∢1y ∢1 Δ ACD ≅ ΔBAE AD = BE BC = BE + EC BC = AD + EC AC = AD + EC

RAZONES (A) (L) (A)

Def. Δ equilátero Def. Δ Equilátero Dato gráfico (A.L.A.) Partes correspondientes de 2 Δ≅ Suma de segmentos Reemplazando 5) en 6) Reemplazo de 2) en 7)

_____________________________________________________________________________________78 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 5.

H) AP = AQ BP = CQ T) ∢PCB ≅ ∢ QBC

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 9)

RAZONES

AP = AQ BP = QC AP +PB = AQ + QC AB = AC ∢ABC= ∢ACB BC = BC ΔBPC ≅ ΔQCB ∢PCB ≅ ∢ QBC

(L)

(A) (L)

Dato Dato Ax. Aditi (=) 1 y 2 Suma de segmentos ángulos de la base de un Δ isósceles Lado común (L.A.L.) Partes correspondientes de 2 Δ≅

6. H) ED ∥ AC T) ΔCFE ≅ ΔEDB

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

ED ∥ AC FE ∥ AD CF = AF AF ≅ DE CF ≅ DE CE ≅ EB FE ≅ AD AD ≅ DB FE ≅ DB ΔCFE ≅ ΔEDB

RAZONES

(L) (L)

(L)

Dato Dato gráfico Dato gráfico Def. de paralelismo Ax. Transitivo (=) Dato grafico Def. de paralelismo Dato gráfico Ax. Transitivo (=) (L.L.L)

_____________________________________________________________________________________79 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 7. H) ΔPQR Isósceles ∢R = 80° T) ∢X=?

PROPOSICIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

RAZONES

∢Q = ∢P ∢Q = 180 - ∢P - ∢R ∢Q = 180 - ∢Q - ∢R 2∢Q = 180 - ∢R 2∢Q = 180 – 80° ∢Q = (100°)/2 ∢Q = 50° ∢P = 2∢1 ∢1 = 50°/2 ∢1 = 25° ∢PQT = 180o - ∢T - P ∢PQT = 180o - 90° - 50° ∢PQT = 40° ∢x = 180° - ∢1 - ∢ PQT ∢x = 180° - 25° - 40° ∢x = 115°

Def. de Δ isósceles Suma de ángulos internos Δ Reemplazo de 1) en 2) Axi. conmutativo Dato Transposición de términos Def. de división Dato gráfico Reemplazo de 7) en 8) Def. de división Suma de ángulos internos ΔPQT Sustitución Resta de ángulos Suma de ángulos internos ΔPXQ Sustitución Resta de ángulos

ΔDEF Isósceles ER Mediana

PROPOSICIONES 1) DR = FR 2) ∢2 = ∢2 3) ΔDER ≅ ΔEFR

ΔDER ≅ ΔEFR

RAZONES Def. de mediana Def. triángulo isósceles (C.A.)

_____________________________________________________________________________________80 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar los ángulos del triángulo isósceles sabiendo que el ángulo del vértice es la cuarta parte de cada uno de los ángulos de la base. 2. H) AB=BC ; ∡𝐵 = 70°

T) ∡X=?

T) ∡C=?

3. H) AB=BC=AD

B B

4. T) ∡𝑋 = 180 − 4𝛽

T) ∡𝑋 =?

5. H) BD=BC=EC B

40 X β

6. T) ∡𝑋 =?

T) ∡𝑋 = 180 − 2𝛽

7. H) DC=DE=DH C

B X

160 D

D X

8. H) AL=LP ; PM=MC

T) ∡𝑋 = ∡𝛽

9. T) ∡𝑋 =?

B β D

X A

B 60

X A

_____________________________________________________________________________________81 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 10. T) ∡𝑋 =? C 40

160

70 40 D

11. H) I incentro del ∆𝐴𝐵𝐶

T) ∡𝑋 =?

12. H) O Circuncentro del ∆ABC T) ∡𝑋 = (∡𝛼 + ∡𝛽)/3

40 β I X

13. H) O Circuncentro del ∆ABC T) ∡𝑋 = 90° − 2∡𝛼

X C

14. H) AP bisectriz ∡EAB; AD=AB T) 𝐵𝐷 ∥ 𝐴𝑃

A D

α A P D X B

15. H) AD=AB; BD=DC

T)∡ABC=3∡C

16. H) O Circuncentro del ∆ABC T) ∡𝑋 = 2∡𝐴𝐵𝐶

B B

O X

_____________________________________________________________________________________82 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 17. H) O Circuncentro del ∆ABC

T) ∡1 = ∡2

18. H) AB=BC T) ∡𝑋 =

∡𝛼+∡𝛽 2

BE bisectriz ∡ABC B B

1 2 X

19. H) O Circuncentro del ∆ABC

T) ∡𝑋 =? A

O 70

20. En la figura si 𝐴𝐵 ≅ 𝐷𝐹, 𝐵𝐷 ≅ 𝐷𝐸 y ∡𝐵 ≅ ∡𝐷, ¿Qué ángulo es congruente al ∡𝐴, al ∡𝐶? C

A F A

E B

21. ∆ABC ≅ ∆A′ B ′ C ′ , 𝑚∡𝐴 = 37° y 𝑚∡𝐵 = 53°. Encontrar 𝑚∡𝐴′ , 𝑚∡𝐵′ y 𝑚∡𝐶 ′ 22. En la figura ∡𝐶𝐴𝐵 ≅ ∡𝐴𝐶𝐷 y ∡𝐶𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶𝐴 D D

Demostrar: ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐶𝐵𝐴

_____________________________________________________________________________________83 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 23. En la figura, R el punto medio de QS; ∡𝐻𝑅𝑄 ≅ ∡𝐾𝑅𝑆 y ∡𝐻𝑄𝑅 ≅ ∡𝐾𝑆𝑅. Demostrar: ∆𝑄𝐻𝑅 ≅ 𝑆𝐾𝑅 K

24. En la figura, ∡1 ≅ ∡2; ∡𝐵𝐶𝐹 ≅ ∡𝐴𝐷𝐹; 𝐶𝐺 ≅ 𝐻𝐷 𝑦 𝐶𝐹 ≅ 𝐷𝐹. Demostrar: ∡3 ≅ ∡4 F

C 3

D 4

1 A

2 A H

25. En la figura 𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐶 y ∡𝐴 ≅ ∡𝐶.

26. En la figura 𝐴𝐹 ≅ 𝐹𝐵 y 𝐴𝐸 ≅ 𝐷𝐵.

Demostrar: ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐶𝐵𝐸

Demostrar: ∡1 ≅ ∡2 C

B F

2 F

27. En la figura 𝐵𝐹 ≅ 𝐸𝐷; 𝐴𝐸 ≅ 𝐶𝐹; ∡1 ≅ ∡2. Demostrar: ∡3 ≅ ∡4 y ∡5 ≅ ∡6

28. En la figura, 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶 Y 𝐵𝐷 ≅ 𝐷𝐶 Demostrar: ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝐴𝐶𝐵 ∡𝐶𝐵𝐷 ≅ 𝐵𝐶𝐷; ∡𝐴𝐵𝐷 ≅ 𝐴𝐶𝐷

5 E

1 3

F 6

_____________________________________________________________________________________84 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________

29. En la figura ∡1 y ∡2 son ángulos rectos ∡𝐵 ≅ ∡𝐶 Demostrar: ∆𝐴𝐵𝑋 ≅ ∆𝐴𝐶𝑋

30. En la figura, 𝐴𝐵 ≅ 𝐷𝐶 Y 𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐶. Demostrar: ∡𝐶𝐴𝐵 ≅ ∡𝐴𝐶𝐷, Y ∡𝐷 ≅ ∡𝐵

X 1 2

3 4

A D

31. En la figura 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝑌 Y 𝐵𝐶 ≅ 𝐶𝑋

32. En la figura, ∡𝐷𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐶𝐵; 𝐴𝐷 ⊥ ℛ

Demostrar: 𝐴𝑋 ≅ 𝐶𝑌

Demostrar:∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴𝐶𝐵

ℜ B B

Y C

33. En la figura, 𝐴𝑂 ≅ 𝑂𝐷; 𝐴𝐹 ≅ 𝐹𝐷; 𝐵𝑂 ≅ 𝑂𝐶; 𝐵𝐹 ≅ 𝐹𝐶

34. En la figura, ∆𝐴𝐵𝐶 Y ∆𝐴𝐵𝐹 son isósceles. Demostrar: 𝐴𝐷 ≅ 𝐵𝐸

Demostrar: ∡𝐸𝐴𝐵 ≅ ∡𝐸𝐷𝐶 C E D

O F

35. En la figura,𝐴𝐷 ≅ 𝐶𝐵 y 𝐵𝐷 ≅ 𝐴𝐶 Demostrar: ∆𝐷𝐸𝐶 es isósceles A

B E

_____________________________________________________________________________________85 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Congruencia de Triángulos _______________________________________________________________________________________ 36. El ∆𝐴𝐵𝐶 es equilátero y sus lados se prolongan hasta los puntos X, Y, Z de tal forma que AY, BZ, CX son congruentes con los lados del ∆𝐴𝐵𝐶. Demostrar que ∆𝑋𝑌𝑍 es equilátero. Y

C X

37. En la figura, ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐴𝐷𝐸 son isósceles con vértice en A y ∡1 ≅ ∡2 . Demostrar: ∡3 ≅ ∡4; 𝐹𝐺 ≅ 𝐹𝐻; y, 𝐺𝐼 ≅ 𝐻𝐽 E

D F G

4 J

_____________________________________________________________________________________86 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________ CAPÍTULO 2 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes cuando cumplen dos condiciones: • •

Todos sus ángulos internos correspondientes deber ser congruentes Los lados correspondientes deben ser proporcionales. B E

D 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = = 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐹

∢A ≅ ∢D ∢B ≅ ∢E ∢C ≅ ∢F

Δ ABC ≃ ΔDEF POSTULADOS DE SEMEJANZA Para demostrar que dos triángulos son semejantes, se puede reducir el proceso utilizando los siguientes postulados. 1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos congruentes. (A.A)

∢B≅∢E ∢C≅∢F Δ ABC

≃ Δ DEF

∢A≅∢D 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = = 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐹

(A) (A) (A.A) P.C. DE 2Δ ≃

Δ ABC≃ ΔDEF 87 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________ 2. Toda recta paralela a uno de los lados un triángulo da origen a otro triángulo semejante con el primero. B P

A Q Δ ABC≃ ΔAPQ

3. SI los lados correspondientes de dos triángulos son respectivamente proporcionales, los dos triángulos son semejantes (L.L.L.)

N Q

𝑀𝑁 𝑁𝑆 MS = = 𝑃𝑄 𝑄𝑅 𝑃𝑅 Δ MNS≃ ΔPQR 4. Si dos lados de triángulos homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes entonces los triángulos son semejantes (L.A.L.) B E

𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸 𝐷𝐹 ∢A≅∢D Δ ABC≃ ΔDEF 88 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________ 5. Los perímetros de dos triángulos semejantes están en la misma relación que los lados homólogos. B E c

d F

D C

b 𝐴𝐵 𝐵𝐶 AC = = 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐷𝐹 𝑐 𝑎 b 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 P1 = = = = 𝑓 𝑑 𝑒 𝑓 + 𝑑 + 𝑒 𝑃2 EJERCICIOS RESUELTOS. A B

C 1. T) X=? PROPOSICIONES 1. BE II CD 2. Δ ACD ≃ Δ ABE

3. 4. 5.

AC CD

= = AB BE

10x+14

Dato Gráfico Teorema (A.A) Lados proporcionales de 2 Δ ≃

AD AE

10x+14+6x 10x+14 16x+14

RAZONES

32x−13+5x+8

37x−5

Reemplazo de valores

32x−13

= 32x−13

Axiomas de la suma

6. (16x+14)(32x-13)=(37x-5)(10x+14)

Eliminación de denominadores

7. 512𝑥 2 -208x+448x-182=310𝑥 2 +518x-50x-70 8. 142𝑥 2 -228x-112=0 ÷2 9. 71𝑥 2 -114x-56=0

Axioma Distributivo(x) Términos semejantes; División (2) Definición de división T.m𝑥 2 +px+q

10. x=.

114± 2√1142 −4(71)(−56) 2(71)

11. x1=2 ,x2=28,71 12. x=2

TF0:a+b=c↔a=c Definición Conjunto Solución

89 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________ B

2 D 6 A

ABC ~

DEC PROPOSICIONES

12 6 AC

RAZONES Hip. Gráfica

Sustitución lados

2. DC = EC 3. ∢C≅ ∢C 4. Δ ACB ≃ ΔDCE

3. T1) AB=?

Ángulo Común Postulado

T2) BD=? B 2

PROPOSICIONES 1.AC= 12u, DE= 4u, BE=2u , EC= 7u

RAZONES Dato

2. ∢A ∢C

(A)

Hip. Gráfica

3. ∢B ∢B

(A)

Axi. Reflexivo (=)

4. ΔABC ≃ ΔDBE 5. 6. 7.

𝐴𝐵 𝐵𝐸

𝐵𝐶 𝐷𝐵 9 𝐷𝐵

𝐵𝐶 𝐷𝐵

= =

AC 𝐷𝐸

AC 𝐷𝐸 12 4

(A.A) P.C. 2 Δ ≃ Simplificación en 5. Sustitución de 1. en 6.

8. DB=(9x4)/12

Despeje de DB

9. DB= 3 u

Def(x) y Def (÷)

10.

𝐴𝐵 𝐵𝐸

𝐵𝐶 𝐷𝐵

Simplificación en 5.

90 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________ 11.

𝐴𝐵 2

9 3

Sustitución de 1. Y 9. En 10.

12. AB=(2x9)/3

Despeje de AB

13. AB=6 u

Def(x) y Def (÷)

T) 𝐴𝐻 2 = 𝐴𝐵𝑥𝐻𝐷 A D

PROPOSICIONES

RAZONES

1.∢ H es recto

Hip. Gráfica

2. ∢ D es recto

Hip. Gráfica

3. AB || HD

Por ángulos rectos

4. ∢H=∢D

(A)

Hip. Gráfica

5. ∢1=∢2 (A)

Ángulos Alternos Internos

6. ΔAHB≃ ΔAHD

(A,A)

𝐴𝐻 𝐴𝐵

𝐻𝐷

= 𝐴𝐻 = 𝐵𝐻 𝐻𝐷

= 𝐴𝐻

9. 𝐴𝐻 2 = 𝐴𝐵𝑥𝐻𝐷

P.C. 2 Δ ≃ Simplificación en 7.

Despeje de AH

91 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. T) X=?

2. T1) AB=?

T2) BD=?

B 3

10x + 14

32x - 13 D

5x + 8

3. T) 𝐻𝐷 2 = 𝐴𝐷 ∗ 𝐷𝐶 𝐵𝐶 ∗ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 ∗ 𝐴𝐻

4. T)𝐷𝐹 ∗ 𝐸𝐻 = 𝐸𝐹 ∗ 𝐵𝐷 B

E D

G B

5. En un triángulo ABC cuyos lados BC y AC miden 14 m y 12 m respectivamente. Por un punto D de AB se traza DE paralela a AC, de modo que DE=EC-BE, E elemento de BC. Hallar EC. 6. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM, luego se construye ∡𝐴𝑀𝐷 = ∡𝐵, por D se traza DE paralela al lado BC, cortando a AM en F. Hallar DF si AF=9m y FM=4m.

7. T) 𝐴𝐷 ∗ 𝐹𝐺 = 𝐴𝐺 ∗ 𝐷𝐻

8. T)𝐷𝐸 ∗ 𝐶𝐹 = 𝐴𝐶 ∗ 𝐸𝐹

D E

F F G

C A

9. H) ∆𝐴𝐵𝐶 Equilátero B

𝐴𝐸 = 4

𝐸𝐹 = 10 D

T) FC=?

E A

92 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________

10. T) 𝐸𝐵 ∗ 𝐻𝐶 = 𝐹𝐻 ∗ 𝐵𝐶

11. T) 𝐶𝑃 ∗ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 ∗ 𝐸𝐶

A D

E P

12. H) ∆𝐴𝐵𝐶 Escaleno T) 𝛼 = 𝜃

T) 𝑦 2 = 𝑧 ∗ 𝑤

13. H) AB=BC

40° E D

α D E

F z

70°

C A

14. T) 𝑦 2 = 𝐴𝐵 ∗ 𝐵𝐷

15. H) ∆𝐴𝐵𝐶 Equilátero B

T) BC=?

8 y D y

E y C

A D y

2 y

16. Demostrar que las paralelas trazadas a dos lados de un triángulo por el baricentro, dividen al tercer lado en tres segmentos congruentes. 17. H) AB=14

T) BE=?

BC=20

93 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina A

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________

18. H) I Incentro ∆𝐴𝐵𝐶

19. T) 𝐷𝐸 ∗ 𝐴𝐹 = 𝐷𝐹 ∗ 𝐴𝐷

T) IP=?

BI=DI A

DP=DA P

B C

6 A

20. H) PA=8

T) PB=?

21. H) AB=8

AE=14

AC=4

T) DF=?

FC=2

22. H) AD=AC

T) 𝐴𝐵 ∗ 𝑀𝐷 = 𝐵𝐶 ∗ 𝐴𝑀

23. T) 𝐷𝐸 ∗ 𝑃𝐹 = 𝐸𝐹 ∗ 𝐷𝑃

A P

F E D A

24. T) 𝐴𝑃 = 𝑏 2 + 𝑎𝑏

25. T) CF = ?

B E a D B

P A A

P B

94 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Teoremas de semejanza de triángulos A b c

h n

m B

a H)

ABC Rectángulo

T) b2 = a × n

h2 = m × n b×c=a×h a2 = b2 + c 2

PROPOSICIONES

RAZONES

1. ∢B=∢HAC 2. ∢C≅ ∢C 3 . ΔBAC ≃ ΔHAC BA AC BC 4. AH = HC = AC

∢ Complementarios

=n=b h 6. b2 = a × n

Sustituciones

b) PROPOSICIONES

RAZONES

1. ΔBAH ≃ ΔACH

Postulado

BA AC c

= CH = AH h

3. b = n = h 4. h2 = m × n

∢ Común Postulado Lados proporcionales 2

≈

Axiomas(×)

Lados proporcionales 2

≈

Sustituciones Axiomas(×)

RAZONES c) PROPOSICIONES

1. ΔBAC ≃ ΔBHA BA AC BC 2. BH = HA = BA

Postulado

3. n = h = c 4. b×c=a×h

Sustituciones

Lados proporcionales 2

≈

Axiomas(×)

95 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________

PROPOSICIONES

RAZONES

1. 2. 3. 4. 5.

Por 4 de b)

b = a×h c2 = a × m b2 + c 2 =an+am b2 + c 2 =a(n+m) b2 + c 2 = a2

Lados proporcionales 2

≈

Sustituciones Axiomas(×)

EJERCIOS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 26. T)𝐷𝐶 = 𝑏 3 /𝑎2

27. H) 𝐵𝐻 = √3u

T) AB=?

𝐴𝐶 = 4𝑢 B

A D

28. H) BM=MC

T) HM=?

29. T) ED=? B

A 8

D 3 B

30. H)AM=MC

C A

T) AB=2BD

31. H) CB=40 u

T) DE =?

AB=32 u

C D

B H A

60° M

96 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Semejanza de Triángulos ______________________________________________________________________________________

32. En un triángulo isósceles ABC el A mide 112° y BA=14u. hallar entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC.

33. H) AB= 8 u

34. H) 𝐴𝐵 = 10𝑢

T) DE =?

T1) 𝐴𝐶 =?

𝐸𝐹 = 11,25𝑢

AD= 4 u

T2) 𝐵𝐶 =?

𝐷𝐸 = 0,75𝑢 F

C E

35. H) H Ortocentro ∆𝐴𝐵𝐶

T) 𝐷𝐸 =?

36. T) 𝐴𝐷

𝑏∗𝑐 √2 𝑏+𝑐

𝐵𝐷 = 2𝑢 𝐵𝐸 = 3𝑢 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 20𝑢

B D B D

37. H) 𝐹𝐷 = 6 ; 𝐷𝐻 = 4

T) 𝐸𝐻 =? F

97 _______________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 3 DESIGUALDAD DE TRIÁNGULOS En este capítulo se estudiarán las relaciones entre segmentos, ángulos, triángulos, y arcos desiguales con sus respectivos teoremas y corolarios. Un desigualdad es un proposición en que las cantidades no son iguales. Pueden ser la una mayor o menor que la otra (> 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒); ( < 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒). Recordemos que a partir de el teorema de la medida de un ángulo exterior de un triángulo, tenemos el siguiente corolario: Corolario: Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente

𝑆í 𝑚 ∡𝐵𝐶𝐷 = 𝑚 ∡𝐴 + 𝑚 ∡𝐵 → ∡𝐵𝐶𝐷 > ∡𝐴 ∡𝐵𝐶𝐷 > ∡𝐵 El todo es mayor que cualquiera de sus partes TEOREMAS 1. La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. Tesis: 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 > 𝐴𝐶 Hipótesis: 𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜.

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 2. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 > 𝐴𝐶

RAZONES El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une Axioma anti simétrico

___________________________________________________________________________________ 98 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

COROLARIO: La diferencia de las longitudes de dos lados de un triángulo es menor que la longitud del tercer lado. 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 < 𝐵𝐶 2.

Si dos triángulos tienen dos pares de lados congruentes y los ángulos comprendidos entre ellos desiguales, a mayor ángulo se opone mayor lado. Tesis: 𝐴𝐶 > 𝑃𝑅 Hipótesis: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ ≅ 𝑄𝑅 ̅̅̅̅ ; ∡𝐵 > ∡𝑄 𝐵𝐶

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. 2. 3.

𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 ∆ 𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝑃𝐴𝑅 (𝐿𝐴𝐿) ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝑄𝑅; ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝑃𝑅 𝐴𝐸 + 𝐸𝐷 > 𝐴𝐷

4. 𝐵𝐸 + 𝐸𝐶 > 𝐵𝐶 5. (𝐴𝐸 + 𝐸𝐶 ) + (𝐵𝐸 + 𝐸𝐷 ) > 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 6. 7. 8.

𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 > 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 𝐴𝐶 + 𝑄𝑅 > 𝑃𝑅 + 𝑄𝑅 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > ̅̅̅̅ 𝑃𝑅

RAZONES Por construcción PCDTCC La suma de dos segmentos en un triángulo es mayor que el tercero.

Axioma aditivo y axioma asociativo. Suma de medida de segmentos Por hipótesis Axioma cancelativo

COROLARIO: Si dos triángulos tienen dos pares de lados congruentes y el tercer par de lados desiguales, a mayor lado se opone mayor ángulo. 𝑆𝑖: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 , ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝑄𝑅 ⋀ 𝐴𝐶 > 𝑃𝑅 → ∡𝐴 > ∡𝑃𝑄𝑅 (𝐺𝑅Á𝐹𝐼𝐶𝑂 𝐴𝑁𝑇𝐸𝑅𝐼𝑂𝑅) ___________________________________________________________________________________ 99 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

Si desde un punto exterior a una recta se traza un segmento perpendicular y varios segmentos oblicuos se determina que: A) El segmento perpendicular es menor que cualquier segmento oblicuo. Tesis: 𝐴𝑃 < 𝑃𝐵 Hipótesis: 𝐴𝑃 ⊥ 𝑙 𝐵𝑃 ⊥ 𝑙

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. ∡𝐴 > ∡𝐵 ̅̅̅̅ 2. 𝐵𝑃 > 𝐴𝑃 3. 𝐴𝑃 < 𝑃𝐵

RAZONES Todo ángulo resto es mayor que cualquier ángulo agudo. Es un triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado. Axioma antisimétrico

B) Dos segmentos oblicuos que equidistan del pie de la perpendicular son congruentes: ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝑃 ̅̅̅̅ Tesis: 𝐵𝑃 Hipótesis: 𝐴𝑃 ⊥ 𝑙 𝐵𝑃 ⋀ 𝐶𝑃 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶

___________________________________________________________________________________ 100 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. 2. 3.

RAZONES

̅̅̅̅ 𝐴𝑃 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 ∆𝐴𝐵𝑃 ≅ ∡𝐴𝐶𝑃

Axioma reflexivo Por Hipótesis Dos catetos congruentes

̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝑃 ̅̅̅̅ 4. 𝐵𝑃

PCDTCC

C) De dos segmentos oblicuos cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular es mayor aquel segmento oblicuo cuyo pie dista mas. Tesis: PC > PB Hipótesis: AC > AB ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 ⊥ 1 ̅̅̅̅ 𝐵𝑃 ⋀ 𝐶𝑃 ⊥ 1

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. ∡𝑏 > ∡𝑎 2. ∡𝑎 > ∡𝐶

3. ∡𝑏 > ∡𝐶 4. 𝑃𝐶 > 𝑃𝐵

RAZONES Por ser suplementarios del ángulo agudo. Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores no adyacentes. Axioma transitivo Si un triángulo tiene dos ángulos desiguales, a mayor ángulo se opone mayor lado.

COROLARIO: El segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular. Corolario: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que cualquiera de las longitudes de los catetos.

___________________________________________________________________________________ 101 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Tesis: 𝐴𝐷 > 𝐸𝐵 Hipótesis: ∡𝐴 ≅ ∡𝐵; 𝐶𝐷 < 𝐶𝐸

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. ∡𝐴 ≅ ∡𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 2. 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ = 𝑚𝐴𝐶 ̅̅̅̅ − 𝑚𝐴𝐷 ̅̅̅̅ 3. 𝑚𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ m𝐸𝐶 = 𝑚𝐵𝐶 − 𝑚𝐸𝐵 4. 𝐶𝐷 < 𝐶𝐸 5. 𝐴𝐶 − 𝐴𝐷 < 𝐵𝐶 − 𝐸𝐵 6. – 𝐴𝐷 < −𝐸𝐵 ∙ (−1) 7. 𝐴𝐷 > 𝐸𝐵

RAZONES Por Hipótesis Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes los lados opuestos son congruentes. Suma de medida de segmentos. Por Hipótesis Reemplazando 4 en 3 Axioma cancelativo Axioma multiplicativo de las desigualdades

2. Tesis: 𝐴𝐶 > 𝐷𝐶 Hipótesis: ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES ̅̅̅̅ ≌ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 1. 𝐴𝐶 2. ∡𝑥 ≌ ∡𝑦

RAZONES Por Hipótesis Ángulos en la base de un triángulo isósceles.

___________________________________________________________________________________ 102 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

3. ∡1 ≌ ∡𝑦

4. ∡1 ≌ ∡𝑥 5. ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > 𝐷𝐶

Todo triángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores no adyacentes. Reemplazo 2 en 3 Si un triángulo tiene dos ángulos desiguales, a mayor ángulo se opone mayor lado.

3. Tesis: 𝑄𝑆 > 𝑄𝑅 Hipótesis: ̅̅̅̅ 𝑅𝑇 ≌ ̅̅̅̅ 𝑆𝑇

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. 𝑅𝑇 ≌ 𝑆𝑇 2. ∡𝑄𝑅𝑆 ≌ ∡𝑇𝑆𝑅 3. ∡𝑄𝑆𝑅 < ∡𝑇𝑆𝑅 4. ∡𝑄𝑆𝑅 < ∡𝑄𝑅𝑆 5. 𝑄𝑅 < 𝑄𝑆 6. 𝑄𝑆 > 𝑄𝑅

RAZONES Hipótesis Ángulos en la base de un triángulo isósceles. La parte es menor que el todo Reemplazo 2 en 3 Si un triángulo tiene dos ángulos desiguales a mayor ángulo se opone mayor lado. Axioma antisimétrico

4. Tesis: 𝐴𝐷 > 𝐴𝐶 Hipótesis: ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝐸𝐷 > 𝐸𝐶

___________________________________________________________________________________ 103 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. 𝐸𝐷 > 𝐸𝐶 2. 𝐴𝐷 > 𝐴𝐶

RAZONES Hipótesis Si desde A se traza una perpendicular y varias oblicuas, es mayor la oblicua cuyo pie dista más del pie de la perpendicular.

5. Tesis: 𝐴𝐷 > 𝐶𝐷 Hipótesis: ̅̅̅̅ 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 ∡𝐴 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 ∡𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶

DEMOSTRACIÓN PROPOSICIONES 1. ∡𝐶 > ∡𝐴 2. 𝑚 ∡3 + 𝑚∡4 > 𝑚∡1 + 𝑚∡2 3. 2 𝑚∡4 > 2 𝑚∡1 4. ∡4 > ∡1 5. 𝐴𝐷 > 𝐶𝐷

RAZONES Al lado mayor se opone mayor ángulo Suma de medida de ángulos Por Hipótesis Axioma cancelativo Si un triángulo tiene dos ángulos desiguales, a mayor ángulo se opone mayor lado

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Qué valores enteros puede tener la longitud del tercer lado de un triángulo si dos lados tienen longitudes? A) 6 B) 3, 8 2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de números puede representar las longitudes de los lados de un triángulo? ___________________________________________________________________________________ 104 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

A) B) C) D)

3, 4, 8 5, 7, 12 3, 4 ,6 2, 7, 8

3. Dado: Paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 demostrar: 𝑚 ∡𝐵𝐷𝐴 > 𝑚 ∡ 𝐶𝐴𝐷

4. Dado 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 demostrar: 𝐵𝐷 > 𝐶𝐷

5. Tesis: 𝑆𝑇 > 𝐾𝑇 Hipótesis: 𝑆𝑇 = 𝑅𝑇 ̅̅̅̅ 𝐾 cualquier punto sobre 𝑅𝑆

6. Tesis: 𝐵𝐶 > 𝐴𝐶 Hipótesis: ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑚 ∡𝐴 > 𝑚 ∡𝐵

7. Tesis: ∡𝑃𝑅𝑆 > ∡𝑃𝑇𝑆 Hipótesis: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑅𝑃 ≌ 𝑅𝑆 ̅̅̅̅ ≌ 𝑆𝑇 ̅̅̅̅ 𝑃𝑇 𝑃𝑇 > 𝑅𝑃 ___________________________________________________________________________________ 105 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

8. Tesis: 𝐷𝐵 < 𝐴𝐵 Hipótesis. 𝐷 un punto en el interior de ∆ 𝐴𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

9. Tesis: ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 Hipótesis: D un punto interior de ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵

10. Tesis: ∡𝑎 > ∡𝐶 Hipótesis: El gráfico

11. Tesis: 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶 Hipótesis: ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 es mediana ∡𝐴𝐷𝐵 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜

___________________________________________________________________________________ 106 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 2 Desigualdad de Triángulos ____________________________________________________________________________________

12. Tesis: 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 > (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷)/2 Hipótesis: El gráfico

13. Tesis: 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 > 𝐴𝐷 Hipótesis: El gráfico

14. Tesis: 𝐴𝐶 + 2𝐵𝐷 > 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 Hipótesis: El gráfico

15. Tesis: 𝐴𝐶 + 𝐵𝐸 Hipótesis: 𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 ≌ 𝐵𝐷

___________________________________________________________________________________ 107 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ CAPÍTULO 1 CIRCUNFERENCIA Es una sucesión infinita de puntos que equidistan de un punto de referencia llamado centro. La distancia que equidista del centro (O) a la circunferencia se llama radio (R). ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Circunferencia

Superficie del círculo ▪

Radio:

Es el segmento que va desde el centro de la circunferencia a cualquier punto de la circunferencia.

▪

Diámetro:

Es el segmento que está entre dos puntos de la circunferencia y siempre pasa por el centro, es doces veces el radio.

▪

Cuerda:

Es el segmento que pasa por dos puntos de la circunferencia y no siempre pasa por el centro: (el diámetro es la cuerda más grande de la circunferencia.)

▪

Arco:

El conjunto de puntos de una circunferencia que equidista entre los puntos de una cuerda.

▪

Tangente:

Es la recta que pasa por un solo punto de la circunferencia.

▪

Secante:

Es la recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.

▪

Perímetro:

Es la cantidad numérica que representa a la longitud del contorno de circunferencia. P= 2ΠR

▪

Círculo:

Representa la región interna de la circunferencia o superficie del mismo.

108 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ ▪

Área:

Constituye el valor numérico que representa a la superficie del círculo. A= ΠR2

DIÁMETRO CENTRO

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA 1.

ÁNGULO CENTRAL; α:

Es el ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y sus lados son los radios, por definición del ángulo central, se mide por el arco intersecado por los radios.

A ∝= 𝐴𝐵 ∝= 400 α

𝐴𝐵 = 400

109 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ 2. ÁNGULO INSCRITO: Es el ángulo cuyos lados son cuerdas del círculo y su vértice pertenece a la circunferencia, la medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo intersecado por sus lados.

A PROPOSICIONES

RAZONES

1 1 C

̂ 1. ∢3 = 𝐴𝐷

D2. ∢3 = 2∢1 ̂ 3. ∢4 = 𝐷𝐵

Def. ángulo ext. en un ∆ Def. ángulo central

4. ∢4 = 2∢2

Def. ángulo en un ∆

̂ + 𝐷𝐵 ̂ 5. ∢3 + ∢4 = 𝐴𝐷

Axi. Aditivo(=) entre 1y3

̂ 6. ∢3 + ∢4 = 𝐴𝐵

Suma de arcos

7. ∢3 + ∢4 = 2(∢1 + ∢2)

2+4

̂ = 2(∢1 + ∢2) 8. 𝐴𝐵

̂ 𝐴𝐵 𝛽= 2

Axi. Transitivo(=)de 6y7

9. ∢1 + ∢2 = 𝛽

Suma de àngulos

̂ = 2𝛽 10.𝐴𝐵

Sustitución 9 en 8

11.𝛽 = 3.

Def. ángulo central

𝐴𝐵 ̂ 2

Transp. de términos

ÁNGULO EX - INSCRITO:

Es el ángulo formado por una cuerda y la prolongación de otra, la medida de un ángulo ex – inscrito es igual a la semisuma de los arcos subtendidos por las cuerdas. C

̂X = 𝑻) CA

̂ + 𝐀𝐁 ̂ 𝐂𝐀 𝟐

β B

110 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES

RAZONES

1. ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜

Construcción

2. 𝐶𝐴̂𝑋 = 𝐶̂ + 𝐵̂

Def. ángulo externo

3. 𝐶̂ =

̂ 𝐴𝐵

̂= 4. 𝐵

̂ 𝐶𝐴

Def. ángulo inscrito

5. 𝐶𝐴̂𝑋 = 6. 𝐶𝐴̂𝑋 =

̂ ̂ 𝐴𝐵 2

̂ 𝐶𝐴

Sustitución 2 y 3 en 1

̂ +𝐶𝐴 ̂ 𝐴𝐵

Suma de fracciones

4. ÁNGULO INTERNO: Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan. La medida del ángulo interno es igual a la semisuma a los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y los lados de su ángulo opuesto por el vértice.

A Q

D Q

𝑇) 𝐴𝐸̂ 𝐵 =

E Q

C Q

B Q

C Q

PROPOSICIONES

̂ +𝐶𝐷 ̂ 𝐴𝐵 2

B Q RAZONES

1. ∆𝐸𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑜

Def. ∆ escaleno

2. ∢𝐴𝐸𝐵 = ∢𝐶 + ∢𝐵

Def. ángulo externo del ∆𝑬𝑩𝑪

̂ ⁄2 3. ∢𝐶 = 𝐴𝐵

Def. Angulo inscrito

̂ ⁄2 4. ∢𝐵 = 𝐷𝐶

Def. angulo inscrito

5. ∢𝐴𝐸𝐵 = 6. ∢𝐴𝐸𝐵 =

𝐴𝐵 ̂ 2

𝐷𝐶 ̂ 2

̂ +𝐷𝐶 ̂ 𝐴𝐵 2

Sustitucion de 3 y 4 en 2 Axiomas de la suma 111

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ 5. ÁNGULO EXTERNO: Es el ángulo cuyos vértices están fuera del círculo y sus lados pueden ser dos secantes, dos tangentes, o una secante y una tangente. La medida del ángulo externo es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

A A B

̂ = DE−BC A 2

A A

̂ = BDC−BC A 2

B C

̂ −𝐵𝐶 ̂ 𝐷𝐶 𝐴̂ = 2

D 112 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________

PROPOSICIONES

RAZONES

1. ∆𝐴𝐵𝐸 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑜

Def. ∆ 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑜. Const

2. 2̂ = 𝐴̂ + 1

Def. angulo externo

3. 𝐴̂ = 2̂ − 1̂

Transp. De terminos

̂= 4. 2

̂ 𝐷𝐸

Def. ángulo inscrito

𝐵𝐶 ̂ 5. 1̂ =

Def. ángulo inscrito

̂ 𝐷𝐸 𝐵𝐶 ̂ 6. 𝐴̂ = − 2

sustitución de 3 y 4 en 2

̂ = DE−BC 7. A 2 6.

Axiomas de la suma.

ÁNGULO SEMI-INSCRITO:

6. ANGULO SEMI - INSCRITO Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente, su vértice es el punto de contacto, la medida del ángulo semi-inscrito es igual a la medida de la mitad del arco subtendido por la cuerda.

E D

𝐻) CD Tang.

̂= 𝑇) 𝐵𝐴𝐶

̂ 𝐵𝐴 2

B C

113 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES

RAZONES

̂ 1. 𝐵𝐴̂𝐶 = 𝐵̂ + 𝐷

Def. ángulo externo en ∆ABE const

𝐷𝐴 2. 𝐵̂ =

Def. ángulo interno

𝐵𝐴−𝐷𝐴 3. 𝐸̂ =

Def. ángulo externo

𝐷𝐴 𝐵𝐴−𝐷𝐴 4. 𝐵𝐴̂𝐶 = +( ) 2

Sustitución de 2 y 3 en 1

̂ ̂ 𝐷𝐴 𝐵𝐴 𝐷𝐴 ̂ 5. 𝐵𝐴̂𝐶 = + − Denominador común RELACIÒN CUERDAS Y SECANTES EN UNA CIRCUNFERENCIA. 2 2 ENTRE 2 ̂

𝐵𝐴 6. 𝐵𝐴̂𝐶 =

Axioma de la suma

TEOREMAS 1. En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos congruentes. H) O es centro de la circunferencia CD ≅ AB ̂ = m 𝐴𝐵 ̂ T) m 𝐶𝐷

PROPOSICIONES 1. OA ≅ OB ≅OC ≅ OD 2. AB ≅ CD 3. Δ AOB ≅ Δ COD 4. m ∢ AOB = m ∢ COD ̂ 5. m ∢ AOB = m 𝐴𝐵 ̂ 6. m ∢ COD = m 𝐶𝐷 ̂ = m 𝐴𝐵 ̂ 7. m 𝐶𝐷

RAZONES Radios de la misma circunferencia Hipótesis Teorema L. L. L. Partes correspondientes de 2 Δ≅ Definición de ángulo central Definición de ángulo central Axioma transitivo en 4, 5, 6

2. Rectas paralelas determinan arcos congruentes

̂ = m 𝐷𝐶 ̂ AD ∥ BC ⟹ m 𝐴𝐵

114 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ 3. Ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.

∢C=∢D

4. Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco. H) O centro de la circunferencia AB es cuerda CO ⊥ AB ̂ = m 𝐶𝐵 ̂ T) AM ≅ MB y m 𝐴𝐶

5. En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro. H) AB ≅DC ; OF ⊥ DC ; OE ⊥ AB T) OE ≅ OF

PROPOSICIONES 1. OE ⊥ AB y OF ⊥ DC 2. E y F puntos medios 3. AB ≅ DC 4. EB ≅ FC 5. OC ≅ OB 6. ΔOFC ≅ ΔOEB 7. OE ≅ OF

RAZONES Construcción T: Recta que pasa por el centro y es ⊥ a una cuerda Hipótesis Definición de punto medio Radios de la misma circunferencia Teorema Δ rectángulos: Cateto e hipotenusa. Partes correspondientes de 2 Δ≅

115 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ TANGENTES Y SECANTES EN UNA CIRCUNFERENCIA 1) Si dos cuerdas se cortan dentro de un círculo, el producto de las longitudes de los segmentos formados en la una es igual al producto de las longitudes de los segmentos formados en la otra. A B

𝑇) 𝐷𝑃. 𝑃𝐵 = 𝐶𝑃. 𝑃𝐴

C PROPOSICIONES

RAZONES

̂ ̂ 𝐴𝐵 ̂ ̂ = 𝐴𝐵 1. 𝐷 ;𝐶 = 2

Def. ángulo inscrito

̂ = 𝐶̂ 2. 𝐷

(A)

Axi. Transitivo (=)

3. ∢ 𝐴𝐷𝑃 = ∢𝐵𝑃𝐶

(A)

Def. ángulos opuestos por vértice

4. ∆𝐷𝑃𝐴 ≈ ∆𝐶𝑃𝐵 5.

𝐷𝑃 𝐶𝑃

𝑃𝐴 𝑃𝐵

𝐷𝑃 𝐶𝑃

𝑃𝐴 𝑃𝐵

A,A

𝐷𝐴 𝐶𝐵

Partes correspondientes de 2∆≈

7. 𝐷𝑃. 𝑃𝐵 = 𝐶𝑃. 𝑃A

Axiomas de la suma.

2) Si dos secantes con un mismo punto de origen, cortan a la circunferencia en dos puntos, el producto de las longitudes de los segmentos formados en la una es igual al producto de las longitudes de los segmentos formados en la otra. 𝑇) 𝐴𝐵. 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶. 𝐴𝐸

11 B

2 C 116

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES

RAZONES

𝟏. 2̂ =

𝐷𝐸 ̂ 2

Def. ángulo inscrito

𝟐. 1̂ =

𝐷𝐸 ̂ 2

Def. ángulo inscrito

𝟑. 1̂ = 2̂

(A)

Axi. Transitivo (=)

𝟒. 𝐴̂ ángulo común

(A)

∆𝐴𝐸𝐵 ≈ ∆𝐴𝐷𝐶

𝟓. ∆𝐴𝐸𝐵 ≈ ∆𝐴𝐷𝐶 𝟔. ∢𝐷𝑃𝐵 ≈ ∢𝐸𝑃𝐶

(A, A) (A)

𝟕. ∆𝐷𝑃𝐵 ≈ ∆𝐸𝑃𝐶

< opuestos por el vértice (A, A)

𝟖.

𝐴𝐵 𝐴𝐶

𝐵𝐶 𝐶𝐷

𝐴𝐷 𝐴𝐸

Partes correspondientes de 2∆≈

𝟗.

𝐵𝐷 𝐶𝐸

𝑃𝐵 𝐶𝑃

𝑃𝐷 𝑃𝐸

Partes correspondientes de 2∆≈

3) Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.

H) AB es tangente a la circunferencia de centro O, en el punto C T) OC ⊥ AB

4) Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos congruentes y también se forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia.

H) O es centro de la circunferencia PB y PA tangentes a la circunferencia T) 1) PB ≅ PA 2) ∢ BPO ≅ ∢ APO 117 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES 1. OB ⊥ PB y OA ⊥ PA 2. OA ≅ OB 3. OP ≅ OP 4. Δ PBO ≅ Δ PAO 5. PB ≅ PA 6. ∢ BPO ≅ ∢ APO

RAZONEZ Hipótesis. Teorema radios ⊥ a una tangente. Radios de una misma circunferencia Axioma reflexivo Teorema Triángulo rectángulo Cateto-hipotenusa Partes correspondientes de 2 Δ≅ Partes correspondientes de 2 Δ≅

EJERCICIOS RESUELTOS. 1.

𝐻) ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 tan 𝑜 (𝑂, 𝑅) B

F E

̂𝐶 = 𝐸𝐷

𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 60° 3

𝐴𝑃̂ 𝐶 =

𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 20° 9

̂= 𝐴𝐹𝐵

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 120° 3

PROPOSICIONES ̂ 𝐶 = 60° 𝟏. 𝐸𝐷 ̂𝐶 = 𝟐. 𝐸𝐷 ̂ 𝐷𝐶 𝟑. 2

RAZONES Dato

̂ 𝐷𝐶 2

Ángulo semi-inscrito

= 60°

Axi. Transitivo (=) 1 y 2

̂ = 120° 𝟒. 𝐷𝐶 ̂ 𝐶 = 20° 𝟓. 𝐴𝐷 𝟔. 𝐴𝑃̂𝐶 =

Transposición de factores Dato

̂ −𝐵𝐷 ̂ 𝐴𝐶 2

Def. ángulo externo

̂ − 𝐵𝐷 ̂ 𝟕. 40° = 𝐴𝐶 ̂ + 𝐶𝐷 ̂ + 𝐵𝐷 ̂ + 𝐴𝐵 ̂ = 360° 𝟖. 𝐴𝐶 ̂ + 120° + 𝐵𝐷 ̂ + 120° = 360° 𝟗. 𝐴𝐶 ̂ + 𝐵𝐷 ̂ = 120° 𝟏𝟎. 𝐴𝐶 ̂ = 80° 𝟏𝟏. 𝐴𝐶 D

̂ =? 𝑇) 𝐴𝐶

Axi. Transitivo (=) 5 y 6 Def. long. ® Sustitución Axi. (+) Sistema de ecuaciones

T) ∢X =? E

15°

80°

B C

F 118

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ PROPOSICIONES

RAZONES

𝟏. 𝐸𝐴̂𝐵 = 15°

Dato

𝟐. 𝐸𝐴̂𝐵 =

̂ 𝐸𝐵

Ángulo inscrito

̂ = 30° 𝟑. 𝐸𝐵 𝟒. 𝐷𝑂̂ 𝐵 = 80° ̂ = 𝐷𝐸 ̂ + 𝐸𝐵 ̂ 𝟓. 𝐷𝐵 ̂ + 30° 𝟔. 80° = 𝐷𝐸 ̂ = 50° 𝟕. 𝐷𝐸 ̂ = 180° − 𝐷𝐸 ̂ − 𝐸𝐵 ̂ 𝟖. 𝐴𝐷 ̂ = 180° − 50° − 30° 𝟗. 𝐴𝐷 ̂ = 100° 𝟏𝟎. 𝐴𝐷

Transposición de términos Ángulo central Def. ángulo central Sustitución Axi. de la suma Suma Sustitución Axi. de la suma

̂ −𝐸𝐵 ̂ 𝐴𝐷

𝟏𝟏. 𝐹̂ = 2 𝟏𝟐. 𝐹̂ = 35° 𝟏𝟑. 𝑋̂ = 180° − 30° − 35° 𝟏𝟒. 𝑋̂ = 65° ) 3.

Def. ángulo externo Sustitucion y Axi. de la suma Suma de ángulos de ∆CDE Axi. de la (+

B A 2

T) X=?

D E PROPOSICIONES ̅̅̅̅ = 2 1. 𝐵𝐶 2. ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐸 = 8 ̅̅̅̅ = 4 3. 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ = 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ∗ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ 4. 𝐵𝐶 ∗ 𝐶𝐸 5. 2 ∗ 8 = 𝑥 ∗ 4 6. 𝑥 = 4

RAZONES Dato Dato Dato Segmentos I de ◦ Sustitución Axi. (+) y (÷)

119 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ 4.

H) AB= 20 D

T) X=?

x B

PROPOSICIONES

RAZONES

1. ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 20 2. ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐸 = 7 ̅̅̅̅̅ 3. 𝐸𝐵 = 5 4. ̅̅̅̅̅ 𝐷𝐵 = 𝑋 ̅̅̅̅̅ 5. 𝐴𝐵 ∗ ̅̅̅̅ 𝐷𝐵 = ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 ∗ ̅̅̅̅ 𝐸𝐵 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 6. 𝐶𝐵 = 𝐶𝐸 + 𝐸𝐵 7. ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 = 7 + 5 ̅̅̅̅ 8. 𝐶𝐵 = 12 9. 20 ∗ 𝑥 = 12 ∗ 5 10. 𝑥 = 3

Dato Dato Dato Dato T. segmentos I de una ® Suma de segmentos Sustitución de 2 y 3 en 6 Def. (+) Sustitución Axi. de la (x)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. T) 𝑋̂ =?

2. T) 𝑋̂ =? C B X

β + o

P Q

X A O

α C

120 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________

̂ = 𝐷𝐵 ̂ 3. H) 𝐴𝐷

T) 𝐵𝐴̂𝐶 =?

T) 𝑋̂ =?

4. H) 𝐹𝐶 𝑇𝑎𝑛𝑔. ⨀(𝑂, 𝑅)

̂ = 𝐸𝐶 ̂ 𝐴𝐸

A F

D G

32°

100°

130 E + o

T) 𝑅̂ =?

̂ = 800 5. H) 𝐵𝐷

70°

+ O

̂ = 2𝑃̂ 6. H) CT y CQ tangs ⨀(𝑂, 𝑅) T) 𝑇𝐶𝑄

̂ = 5𝑅 𝐷𝑁𝐵 P B A o+ +

A O

7. T) 𝑋̂ =?

60 D

100

A B

121 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________

T) 𝑋̂ =?

8. H) PA Tang. ⨀(𝑂, 𝑅)

P X

o ++

C D

9. H) AC y BD Tang. ⨀(𝑂, 𝑅)

T) ∡X=? B 36

o + +

̂ = 𝐴𝐷 ̂ T) 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷 ∗ 𝐴𝐸 10. H) 𝐴𝐵

11. H) DC Tang. ⨀(𝑂, 𝑅)

T) 𝐴̂ =

̂ 𝐷 2

+ o

B C

B E

R A

122 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ T) 𝐹̂ = 2𝛽

12. H) EF Tang. ⨀(𝑂, 𝑅)

13. T) 𝑋̂ =?

B A

20°

+ o F

+ o

80°

C E

14. H) CE Tang. ⨀(𝑂, 𝑅) T) 𝑋̂ = 𝛼̂

X A

+ o

α D

T) 𝑋̂ =?

15. H) EA Tang. ⨀(𝑂, 𝑅) C 72,5°

D + o

X B

30°

25° E

16. Efectúe las demostraciones requeridas en la figura:

a) Dado: AB=AC ̂ ≅ 𝐴𝐶𝐵 ̂ Demuestre: 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ b) Dado: 𝐴𝐵𝐶 Demuestre: AB=AC B

123 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________ c) Dado: Círculo O

AB=AD A

AC es diámetro Demuestre: BC=CD

d) Dado: Círculo O

AB=AC A

BC=CD Demuestre: AC es un diámetro

B E

e) Dado: AD=BC Demuestre: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 f)

Dado: AC=BC Demuestre: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶

17. Un diámetro es paralelo a una cuerda. Calcule el número de grados en el arco formado por el diámetro y la cuerda si la cuerda intercepta (a) un arco menor de 80°; (b) un arco mayor a 300°.

18. Calcule el número de grados del arco interceptado por un ángulo formado por una tangente y una cuerda dibujada hasta el punto de tangencia, si el ángulo mide: (a) 55°; (b) 67

10 ; 2

1 0. 2

19. Calcule el número de grados de un ángulo agudo formado por una tangente que pasa por un vértice, y el lado adjunto de un (a) cuadrado inscrito; (b) un triángulo equilátero inscrito; (d) un decágono regular inscrito.

20. Calcule X y Y en cada inciso de la figura (t y t’ son tangentes)

2x B

A C X

A Y

t A

X 3x

140

t’

40 Q D

124 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Circunferencia _________________________________________________________________________________

21. Demuestre cada una de las siguientes aseveraciones a) Si dos cuerdas se intersecan en un círculo, el producto de la longitud de los segmentos de una cuerda es igual al producto de la longitud de los segmentos de la otra. b) En un triángulo rectángulo, el producto de la longitud de su hipotenusa y la altura sobre ésta es igual al producto de la longitud de sus lados. c) Si en el ∆ inscrito ABC la bisectriz del ∟A interseca a BC en D y al círculo en E, entonces BD * AC= AD * EC

22. Un punto está a 12 pulgadas del centro de un círculo cuyo radio es de 15 pulgadas. Calcule las longitudes de la cuerda menor y mayor que pueden ser trazadas a través de este punto. (Sugerencia: la cuerda mayor es un diámetro y la menor es perpendicular a este diámetro)

23. En la figura:

24. En la figura:

a) Sea AB =14, AD= 4, AE= 7. Calcule AC

a) Sea AE = 10, EB = 6, CE = 12. Calcule ED

b) Sea AC =8, AE= 6, AD= 3. Calcule BD

b) Sea AB = 15, EB = 8, ED = 4. Calcule CE

c) Sea BD =5, AD= 7, AE= 4. Calcule AC

c) Sea AE = 6, ED = 4, CD = 13. Calcule EB

d) Sea AD = DB, EC= 14, AE= 4. Calcule AD

d) Sea ED = 5, EB = 2AE, CD = 15. Calcule AE A

D E

E B C

25. En una circunferencia de centro O, un diámetro AB y una cuerda AC, forman un ángulo 30 0, se traza una tangente a la circunferencia en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el triángulo ACD es isósceles.

125 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 2 POLÍGONOS Polígono es la porción de un plano, limitada por segmentos de recta llamados lados. C α A

β D

γ α

I F H

Es una figura geométrica cerrada acotada por segmentos de línea recta, llamados lados. Se denomina n-gono a un polígono de (n) lados. ELEMENTOS DEL POLÍGONO: ̅̅̅̅ , 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ , 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ ,…. 1. Lados: 𝐶𝐷 2. Vértices: C, D, E,… ̂ , 𝐸̂ , … 3. Ángulos Internos: 𝐶̂ , 𝐷 Ángulos Externos: α, β, γ, … ̅̅̅ , 𝐼𝐷 ̅̅̅ , …. 4. Diagonal: es un segmento que va de un vértice a otro vértice no consecutivo. 𝐼𝐵

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

1. POLÍGONOS POR SUS LADOS: 1.1. POLÍGONOS IRREGULARES: Según el número de lados se le asigna el nombre así:

126 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________

NOMBRE 1) Triángulo

NÚMERO DE LADOS 3

2) Cuadrilátero

3) Pentágono

4) Hexágono

GRÁFICO

1.2. POLÍGONOS REGULARES: Un polígono es regular cuando tiene sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes. NOMBRE 1) Triángulo Equilátero Equiángulo

NÚMERO DE LADOS 3

2) Cuadrado

3) Pentágono Regular

GRÁFICO

127 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ 2. POLÍGONOS POR SUS ÁNGULOS: 2.1. POLÍGONO EQUIÁNGULO: Tiene sus ángulos internos congruentes.

2.2. POLÍGONO CÓNCAVO: Cuando tiene ángulos internos entrantes. El ángulo interno es mayor a 180° Características: • Tiene al menos una diagonal exterior al polígono. • Cualquier polígono cóncavo tiene, por lo menos, dos lados, tal que la prolongación de cualquiera de ellos determina dos semiplanos y divide al polígono en dos partes, de modo que cada semiplano contiene sólo una de las dos partes del polígono.

2.3. POLÍGONO CONVEXO: Cuando no tiene ángulos internos entrantes. El ángulo interno es menor a 180° Características: • •

Todas sus diagonales son interiores. Cualquier recta que pase por un lado de un polígono convexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.

Dos polígonos son iguales o congruentes si son a la vez equiángulos y equiláteros.

128 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ TEOREMA: 1. La suma de los ángulos internos de un polígono cualquiera es igual a 180° multiplicado por el número de lados menos 2. ∑ Ángulos Internos = 180° (n-2) Ejemplos: FIGURA Triángulo

SUMATORIA DE ÁNGULOS INTERNOS ∑ ángulos internos = 180°(3-2)=180°

Cuadrado

∑ ángulos internos = 180°(4-2)=360°

Pentágono

∑ ángulos internos =180°(5-2)=540°

Hexágono

∑ ángulos internos =180°(6-2)=720°

COROLARIO: Cada ángulo de un polígono regular de n lados está dado por: Ángulo interno = FIGURA

180° (𝑛−2) 𝑛 𝟏𝟖𝟎° (𝐧−𝟐) 𝐧 180° (3−2)

Ángulo interno = Ángulo interno =

= 60°

Ángulo interno =

180° (4−2) = 90° 4

Ángulo interno =

180° (5−2) = 108° 5

Ángulo interno = Ángulo interno =

180° (6−2) 6

= 120°

180° (7−2) = 128,57° 7

TEOREMA: 2. La suma de los ángulos externos en un polígono es igual a 4 ángulos rectos (360°). TEOREMA: 3. El número de diagonales trazadas desde un mismo vértice de un polígono de n lados es igual a: n diagonales = n-3

129 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ FIGURA GRÁFICO n DIAGONALES = n-3 Triángulo 3–3=0

Cuadrado

4–3=1

Pentágono

5 – 3 =2

Hexágono

6–3=3

El número de diagonales totales de un polígono de n lados está dado por: n(n−3)

nDT = FIGURA

2 𝐧(𝐧−𝟑) 𝟐

𝐧𝐃𝐓 =

3(3−3) 2

4(4−3) 2

5(5−3) 2

6(6−3) 2

nDT =

El valor de un ángulo externo de un polígono regular de n lados va a ser: Ángulo Externo =

360° 𝑛

130 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ El valor de un ángulo central de un polígono regular de n lados es igual a: Ángulo Central =

360° 𝑛

360° = 90° 4

360° = 72° 5

CARACTERÍSTICAS DE LOS POLÍGONOS REGULARES 1. Todo polígono regular tiene un círculo inscrito y un círculo circunscrito. 2. El radio del círculo inscrito recibe el nombre de apotema y es la distancia desde el centro del círculo a uno de los lados del polígono regular. 3. El radio del círculo circunscrito al polígono es el segmento que une el centro del círculo con uno de sus vértices. l

R2 = ap2 + ( )2 2

l 2

ap2 = R2 - ( )2 ap

l 2

ap = √R2 − ( )2 4R2 −l2 4 1 √4R2 − l2 2

ap = √ ap = l/2 • • •

Todo radio de un polígono regular biseca al ángulo interno. El ángulo central de un polígono regular es el ángulo formado por 2 radios que unen los extremos de sus lados con el centro del polígono. El ángulo central de un polígono regular es el suplemento de su ángulo interno.

EJERCICIOS PROPUESTTOS. 1.

Hallar el número de lados de un polígono cuyos ángulos internos suman 11 veces más que sus ángulos externos. DATOS: ∑ Ángulos internos = 180° (n − 2) ∑ Ángulos externos = 360° INCOGNITAS: n lados = ?

PROPOSICIONES: 1) 180° (n − 2)=360° (11) 2) 180°n -360° = 3960 3) 180°n = 3960 +360° 4) 180°n =4320 5) n= 24

RAZONES: Planteo Ax. distributivo Axi. Adición T: a ± b = c ⇔ a= c∓b 𝑐 T: a.b=c ⇔ a= ; b≠0 𝑏 6) El número de lados del polígono es 24.

131 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ 2. ¿De cuántos lados es el polígono que tiene 170 diagonales totales? PLANTEO: n(n − 3) = 170 2

PROPOSICIONES: 1)

n(n−3) 2

RAZONES: Dato

= 170

𝑐

2) n(n-3)=340

T: =a ⇔ c=a.b; b≠0 𝑏 2 Axi. Distributivo 3) 𝑛 − 3𝑛 = 340 T: a ± b = c ⇔ a= c∓b 4) 𝑛2 − 3𝑛 − 340 = 0 5) n= 20 v n= -17 Raíces de la ecuación 6) El polígono que tiene 170 diagonales totales y 20 lados. 3.

Hallar el número de diagonales totales de un polígono cuyos ángulos internos suman 5 π rad.

Datos:

∑ Ángulos Internos = 180° (n − 2)

∑ Ángulos Internos = 5 π rad

900° = 180° (n-2)

180°

900° = (n-2) 180°

5 π rad = 900° π rad ∑ Ángulos Internos = 900°

DT = 14

5 = (n-2) n=7

Nº diagonales totales?

n(n−3) 2 7(7−3) DT = 2 7(4) DT = 2

DT =

El número de diagonales totales es igual a 14.

4. Un polígono regular tiene el ap= 5 √3 cm y su l= 10 cm, hallar el número de diagonales totales del polígono. n(n−3) 2 1 ap = √4R2 − l2 2 1 5 √3 = √4R2 − 102 2 1 5 √3 = √4R2 − 100 2 (10 √3)2 = (√4R2 − 100)2

Datos:

n DT =

ap =5 √3 l= 10 cm Incógnitas: # DT =?

100(3)= 4R2 10 0

5 √3

− 100

300= 4R2 − 100 400 = 4R2 100 =R2 √100=R R=10 cm

Cos α = Cos α = α= 30°

C.A H 5 √3 10

Ángulo Central= 2 α Ángulo Central= 60° Ángulo Central= n= 6

360° n

6(6−3)

# DT = # DT = 9

El polígono regular tiene 9 diagonales totales.

132 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE POLIGONOS 1. POLIGONOS CONGRUENTES. Son aquellos polígonos que tienen la misma forma, el mismo tamaño y al superponerlas todos sus puntos coinciden. Para que dos polígonos sean congruentes deben cumplir con las siguientes características: • •

Todos sus ángulos internos correspondientes son congruentes. Todos sus lados correspondientes son congruentes.

2. POLIGONOS SEMEJANTES. Son aquellos polígonos que tienen la misma forma pero diferente tamaño, sus lados correspondientes son proporcionales de acuerdo a una razón de semejanza, factor de escala o constante de proporcionalidad, que se obtiene al dividir la medida de un lado de un polígono entre su correspondiente, el número es el mismo para cada razón, es decir es una constante en todos los lados del polígono, este número se llama razón de semejanza. Para que dos polígonos sean semejantes deben cumplir dos condiciones: • • •

Sus ángulos correspondientes u homólogos son congruentes. Sus lados correspondientes son proporcionales. Uno de los polígonos es una ampliación o reducción del otro.

𝐴𝐵

= 𝐴´𝐵¨

𝐵𝐶

= 𝐵´𝐶¨

𝐶𝐷

= 𝐶´𝐷´

𝐷𝐸

= 𝐷¨𝐸¨

𝐸𝐴 𝐸¨𝐴¨

133 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ TEOREMA: Los perímetros de 2 polígonos semejantes son entre sí como los lados homólogos cualquiera. ̅̅̅̅ +𝐵𝐶 ̅̅̅̅ + 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ + 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ + 𝑃1 = 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐸𝐴 ̅ + 𝐽𝐹 ̅̅̅ + 𝐹𝐺 ̅̅̅̅ + 𝐺𝐻 ̅̅̅̅ + 𝐻𝐼 ̅̅̅̅ 𝑃2 = 𝐼𝐽 𝑃1

= 𝑃 2

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅ 𝐼𝐽

Á𝑟𝑒𝑎𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 =

𝑃.𝑎𝑝 2

A B

I E

𝑃1

J 𝑃2

D F

G 1. Los lados de un polígono miden respectivamente 4,8, 12, 16 y 20 cm, el perímetro de un polígono semejante es de 75 cm. Encontrar la longitud de los lados del segundo polígono. Datos: Polígono 1 𝑙1 = 4 cm 𝑙2 = 8 cm 𝑙3 = 12 cm 𝑙4 = 16 cm 𝑙5 = 20 cm Polígono 2 𝑃2 = 75 cm

Incógnitas: 𝑃1 = 60 cm 60 𝑙 𝐿1 =? = 1 75 𝐿1 𝐿2 =? 4 (75) 𝐿1 = 𝐿3 =? 60 𝐿1 = 5 cm 𝐿4 =? 𝐿5 =?

60 𝑙2 = 75 𝐿2 8𝑐𝑚(75) 𝐿2 = 60

𝐿2 = 10 cm 𝐿3 =15 cm 𝐿4 = 20 cm 𝐿5 =25 cm

Las longitudes de los lados del segundo polígono son: 𝐿1 =5cm, 𝐿2 =10cm, 𝐿3 =15cm, 𝐿4 =20cm y 𝐿5 =25cm

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. La suma de los ángulos internos y externos de un polígono es 5π. ¿Cuántos lados tiene el polígono? 2. Si el número de lados es el polígono se aumenta en tres, el número de diagonales totales aumenta en quince. ¿Cuántos lados tiene el polígono? 3. ¿Cuántos lados tiene un polígono que tiene el número de diagonales totales iguales a su número de lados? 4. Hallar el número de lados de un polígono regular en el cual cada ángulo interno es a su ángulo externo como 7 es a 1. 5. Hallar el número de lados del polígono en el cual, al duplicar su número de lados, su número de diagonales se septuplica. 6.

Si la medida de cada ángulo interno de un polígono regular de “n” lados se disminuye en 5°, su número de diagonales disminuye en (5n-3).

7. Los lados de polígono miden 3, 5, 6,8 y 10 m. respectivamente. El perímetro de un polígono semejante es 40m. Encontrar la longitud de los lados del segundo polígono. 8. El número de vértices de un polígono más el número de diagonales totales es igual a 45. Cuantos lados tiene el polígono.

134 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Polígonos _____________________________________________________________________________________ 9. La media del ángulo central del polígono regular P es a las medidas del ángulo interno del polígono regular Q como 3 es a 8. Si la diferencia entre el número total de diagonales del polígono P y del polígono Q es 11; hallar el número de lados de cada polígono. 10. En dos polígonos regulares, los ángulos internos y los ángulos centrales difieren en 42. Calcular el número de lados de cada polígono. 11. El ángulo interno y el ángulo central de los polígonos regulares difieren en 126° y sus ángulos internos en 18°. Calcular el número de lados de cada polígono. 12. Hallar el lado del pentágono regular si el lado del pentágono formado al unir los puntos medidos de los lados consecutivos, es igual a 8. 13. Calcular la apotema de un octógono regular de 16m de lado. 14. Calcular el lado del polígono regular inscrito en un círculo de 8m de radio, si su apotema es la diferencia del lado del polígono con el radio del círculo circunscrito. 15. Si la relación entre las diagonales totales de dos polígonos regulares es infinito y los ángulos centrales están en las relación ¼. Calcular la medida del ángulo interno del mayor polígono. 16. Un polígono regular tiene tres lados más que el otro, y su ángulo central mide 27° menos que el ángulo central del otro polígono. Cuántos lados tiene cada polígono. 17. En un polígono regular, el ángulo central más un ángulo interno, más un ángulo externo es 210°. Calcular el número de diagonales totales. 18. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en diez y cada ángulo del nuevo polígono es

𝜋 60

es mayor que cada ángulo del primero. Cuántos lados tiene cada polígono. 19. La suma de los ángulos internos de un polígono regular vale 56 rectos. Cuál es el valor del ángulo central de ese polígono. 20. Un ángulo interno de un polígono regular de n lados es

𝜋 8

mayor que el ángulo de un polígono regular

de (n – 3) lados. ¿Cuántos lados tiene cada polígono? 21. En un polígono regular el perímetro es de 12cm. El radio 2cm. Y su apotema √3 cm. Calcular el perímetro y radio de otro polígono regular de igual número de lados si su apotema es 3cm. 22. Dados los perímetros 𝑃1 𝛾 𝑃2 de los polígonos regulares de igual número de lados, el uno circunscrito y otro inscrito al mismo círculo. Encontrar los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de doble número de lados en el mismo círculo. 23. En un círculo de radio R está inscrito un hexágono regular ABCDEF. Hallar el radio del círculo inscrito en el Δ ACD 24. La diferencia del ángulo interno y del ángulo central de un polígono regular es de 36°. Hallar el número de lados del polígono. 25. Si el número de lados de dos polígonos regulares difieren en 2 y sus ángulos centrales difieren en 15°. Cuántos lados tiene cada polígono.

135 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 3 CUADRILÁTEROS Es la figura cerrada cuyos límites son cuatro segmentos llamados lados del cuadrilátero. A

ABCD B -

C 4 Vértices 4 Lados 4 Ángulos Internos 2 Diagonales

CLASIFICACIÓN:

TRAPECIOS

TRAPEZOIDES

trTRGAH • • • •

•

Isósceles Escaleno Rectángulo

•

Simétricos (contra paralelogramo) Asimétricos

PARALELOGRAMOS • • • •

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

TRAPECIOS.- Son aquellos que tiene 2 lados paralelos. 1. Escaleno.- Tiene 2 lados paralelos. b Base Menor

B Base Mayor 2. Isósceles.- Tiene 2 lados paralelos y los otros 2 son iguales.

136 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 3. Rectángulo.- Tiene lados paralelos y un ángulo recto.

•

TRAPEZOIDES.- Son aquellos que no tienen lados paralelos llamado asimétrico. Un trapezoide especial es el llamado simétrico o contra paralelogramo y tiene una diagonal que es mediatriz de la otra.

Asimétrico Simétrico

•

PARALELOGRAMOS.- Son aquellos que tienen los lados opuestos paralelos o iguales.

Cuadrado

Rombo.- Tiene 4 lados iguales pero sus ángulos internos son iguales de 2 en 2.

Rectángulo.- Tiene 4 ángulos rectos y sus lados iguales de 2 en 2.

Romboide.- Tiene sus lados opuestos iguales de 2 en 2.

PROPIEDADES: 1) La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales. 2) Si cada lado de un cuadrilátero es igual a su opuesto entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 3) Las dos diagonales de un paralelogramo se dividen o intersecan en partes iguales. 4) El área de un cuadrilátero es igual al semi-producto de una diagonal por la suma de las distancias de esa diagonal a los vértices no consideradas.

137 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ C

𝐴1 =

𝐵𝐷 ∗ ℎ1 2

𝐴2 =

𝐵𝐷 ∗ ℎ2 2

𝐴 A

D 𝐴

= 𝐴

= 𝐴1 + 𝐴2 𝐵𝐷 ∗ ℎ1 𝐵𝐷 ∗ ℎ2 + 2 2 ℎ1 + ℎ2 = 𝐵𝐷 ( ) 2

5) El área del cuadrilátero circunscriptible. 𝐴

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝑃 ∗ 𝑅

𝐴

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 = √(𝑃 − 𝑎)(𝑃 − 𝑏)(𝑃 − 𝑐)(𝑃 − 𝑑)

6) La superficie de un cuadrilátero es igual al semiproducto de las diagonales por el seno del ángulo que forman esas diagonales.

𝐴

1 𝐴𝐶 ∗ 𝐵𝐷 sin ∝ 2

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS 1) La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de las bases. C

𝐸𝐹 =

1 (𝐵𝐶 + 𝐴𝐷) 2

2) El segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de sus bases. B

𝑃𝑄 = P

1 (𝐶𝐷 − 𝐴𝐵) 2

D 138

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 3) Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios.

4) Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. 5) Si la suma de las longitudes de los lados opuestos de un cuadrilátero es igual al semiperímetro, el cuadrilátero se puede inscribir a un círculo y por lo tanto sus lados son tangente al círculo. B A

𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝑆

𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 =

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 2

C S = Semi perímetro D 6) Si un cuadrilátero es inscriptible y circunscriptible a la vez el área es igual a la raíz cuadrada del producto de sus cuatro lados.

𝐴= √𝑎∗𝑏∗𝑐∗𝑑

7) En un cuadrilátero cóncavo el ángulo entrante es igual a la suma de los otros tres ángulos. ∢∢ ∢ 𝑋 = ∢𝐴 + ∢𝐵 + ∢𝐶

8) En todo cuadrilátero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos (teorema de Ptolomeo)

AC . BD = AB . DC + AD . BC

139 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ ÁREAS DE LOS POLÍGONOS

140 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Un trapecio está inscrito en un semicírculo de radio 5 cm. Si un lado forma con la base mayor un ángulo de 60° y una diagonal forma con la base mayor un ángulo de 30°. Calcular el área del trapecio

A Y

h 300

600

D Datos: R=5cm ∡B=60° ∡D=30°

B y=√102 − 52 y=5√3

sen∡D=op/hi sen30°=x/10 x=5cm CA sen30

CA =

sen30°=h/5√3 h=5√3/2

A = (b + B) ∗ h/2

= sen120

AD∗sen30°

𝐶𝐴 = 5

sen120

𝐴=

(10+5)∗5√3/2 2

; 𝐴 = 32.48𝑐𝑚2

2. Encontrar los valores de X y Y en el siguiente paralelogramo. 2y-2 Y

2x 3x P=40 3X P = 40 3x+3x+2x+2x=40 10x=40 x=4 2y-2+2y-2+16=40 4y+12=40 4y=28 y=7

15 3x-20°

x+2y=15 x=3y 3y+2y=15 5y=15 y=3 x=9

3x - 20° = x + 400 ; 2x=60° x=30° 2y+140° = 360° 2y=220° y=110°

3. Encontrar los valores de X y Y en los siguientes rombos.

Y y 20

4x-5 5y+6

x y

3x-7 3x-7=20 3x=27 x=9 y=20

2x+15

y + 20 5y+6 = y+20 4y=14 y=14/4 y=3,5 5y+6=x x = 23,5

4x-5=2x+15 2x=20 x=10 2y + 35+35 = 360° y=145°

141 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________

T) AE = ED

D PROPOSICIONES

1. 2. 3. 4. 5. 6.

E punto medio BC BE = EC (L) B= C (A) BA = CD (L) AE BA = AE CD AE = ED AE = ED

RAZONES

Dato Definición Punto medio Propiedad del rectángulo Propiedad del rectángulo (L.A.L) Partes correspondientes de 2 Partes correspondientes de 2

5. Encontrar los valores de X y Y en las siguientes figuras (trapecios)

BE= ED GC=1/2CD X=8 y=15/2

BE=ED y CG = AG 2x-7=52 x=26 3y+4=67 y=21

AC=CE=EG y HF=FD=DB X=10 y=6

6. Encontrar los valores de b’, m, b b

m b´ a) m =? b = 20 b’=28 m=b+b’/2 m=20+28/2 m=24

b) b’=? b=30 m=26 m=b+b’/2

c) b=? b’=35 m=40 m=b+b’/2

52=30+b’ b’=22

80=b+35 b=45

142 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 7.

Demuestre que si los ángulos de la base de un trapezoide son congruentes, el trapezoide es isósceles.

PROPOSICIONES 1. β  β 2. b paralela con b 3. α  α 4.- Trapezoide de ángulos iguales 8.

RAZONES Dato grafico Dato grafico Ángulos  Def. Trapezoide isósceles

Demuestre que las diagonales de un trapezoide isósceles son congruentes, si los lados no paralelos AB y CD de un trapezoide isósceles se extienden hasta que se intersecan en E, el triángulo ADE formado de esta forma es isósceles. B

C E

A PROPOSICIONES 1. BC paralela con AD 2. AC  BD 3. AEB  DEC 4. ABCD Isósceles 9.

D RAZONES Def. Grafico Def. Diagonales 2 Def. Isósceles

Demostrar que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. B

PROPOSICIONES 1. ABCD paralelogramo 2. BC  AD 3. BA  CD 4. α  β

RAZONES Dato Lados  Lados  Ángulos 

143 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 10. Demostrar si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. B

C β D

PROPOSICIONES 1. ABCD paralelogramo 2. BC  AD 3. BA  CD 4. α  β

RAZONES Dato Lados  Lados  Ángulos 

11. Demostrar si las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. B

E A

PROPOSICIONES 1. ABCD paralelogramo 2. BC  AD 3. BA  CD 4. α  β 5. E 12. Determinar el valor de x e y

DATOS: ∡A=5x ∡B=3x+20 ∡C=y AB≠CD

PROPOSICIONES 1. 5x=3x+20 2. 5x-3x=20 3. 2x=20 4. x=10 5. 3x+20+y=180 6. 3(10)+20+y=180 7. y=180-50 8. y=130

RAZONES Dato Lados  Lados  Ángulos  Punto medio

RAZONES Dato T. términos T. Semejantes Simplificación Suma de ángulos internos Sustitución de 4 en 5 T. Semejantes Despeje de y

144 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 13. Dados los siguientes paralelogramos encontrar el valor de x y y

Datos: BC=AD = 2x BC=2y-2 AB=3x P=40u

2x+2x+3x+3x=40 10x=40 x=4

2x=2y-2 2(4)=2y-2 y=5

14. Dados los siguientes rombos encontrar x y y

Datos: ∡A=1200 AB=DC=3x-7 AD=CB=20

3x-7=20 3x=27 x=9

15.

Datos: ∡D=y ∡2=2x+15 ∡3=4x-5

4x-5=2x+15 4x-2x=15+5 2x=20 X=10

145 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS PROPUESTOS. T) 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =?

1. H) AC= 6u. AD= 6,5u. BD= 5u. B

T) 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 =?

2. H) ABCD Trapecio B

45 A

3. T) 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 =? B

C 19

60 D

T) Δ BMP ≅ Δ CNP

4. H) ABCD Trapecio M y N Puntos Medios de las Diagonales AD = 3 BC B

M A

N D

146 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ ̅̅̅̅ 5. H) ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 // ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 //𝑃𝑆

T) 𝑀𝑁 = a

D P

C S

6. H) ABCD Trapecio BC = 6u;

𝑎𝑏 𝑎+𝑏

T) EM =?

AD = 10u;

BD = 9u

C E

T) 𝑆1 =?

7. H) ABCD Trapecio BC = 305 m;

AC = 226 m. B

153

𝑆1

327

8. H) 𝐴1 = 9𝑢2 ; 𝐴2 = 25𝑢2

T) 𝐴 𝑇 =?

𝐴1

𝐴2 A

147 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 9. H) AE= DE= EC= 40 ; ∡1 = 2∡ 2

T) Hallar los lados del trapecio C

10. Demuestre que si los ángulos de la base de un trapezoide son congruentes, el trapezoide es isósceles. 11. Identifique los paralelogramos en cada parte de la figura 5-29 C

J B

C A

K J

F D

12. Supóngase que ABCD en la figura 5-31 es un paralelogramo, calcule X y Y si: a) b) c) d)

AD = 5x, AB = 2x, CD = y, perímetro = 84 AB = 2x, BC =3y + 8, CD = 7x – 25, AD = 5y – 10 𝑚∡𝐴 = 4𝑦 − 60, 𝑚∡𝐶 = 2𝑦, 𝑚∡𝐷 = 𝑥 𝑚∡𝐴 = 3𝑥, 𝑚∡𝐵 = 10𝑥 − 15, 𝑚∡𝐶 = 𝑦 B

148 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 Cuadriláteros ____________________________________________________________________________________ 13. Haga las demostraciones que se piden en la figura: (a) Dado: ⧠ABCD

G es

̅̅̅̅ el punto medio de 𝐴𝐵

̅̅̅̅ el punto medio de 𝐶𝐷

̅̅̅̅ ⊥ AB ̅̅̅̅, EF ̅̅̅ ⊥ CD ̅̅̅̅ HG A

Demostrar: ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐷

F es

(b) Dado: ⧠ABCD ̅̅̅̅ 𝐵𝐸 ≅ ̅̅̅̅ 𝐹𝐷

Demostrar: ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐷 (c) Dado: ⧠ABCD A

̅̅̅̅ 𝐵𝐹 bisecta al ∟B

̅̅̅̅ 𝐸𝐷

bisecta al ∟D Demostrar: ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐷 14. Supóngase que ABCD en la figura es un rombo, calcule X y Y si: a) BC = 35, CD = 8x – 5, BD= 5y, m∡C = 60 ͦ b) AB = 43, AD = 4x + 3, BD= y + 8 , m∡B = 1200 ͦ c) AB = 7x, AD = 3x + 10, BC= y d) AB = x + y , AD = 2x – y, BC= 12 B

C 1

149 GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

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UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ CAPÍTULO 4 ÁREAS DE POLÍGONOS Y CÍRCULOS AREAS DE REGIONES POLIGONALES. Una región triangular es la unión de un triángulo y su región interior. Superficie = Región Área = Número

Una región poligonal es la unión de un numero finito de regiones poligonales en un plano, tales que si dos cualesquiera de ellos se intersecan su intercepción es un punto o un segmento.

• • • •

A toda región poligonal le corresponde un número positivo (área). Si dos triángulos son congruentes entonces los dos triángulos tienen igual área. Si una región poligonal es la unión de dos o más regiones poligonales que se intersecan en n regiones poligonales. Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de dos lados correspondientes cualesquiera.

∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵2 𝐵𝐶 2 = = 𝐴∆𝐷𝐸𝐹 𝐷𝐸2 𝐸𝐹 2

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

150 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ AREAS DE REGIONES CIRCULARES. 1. La razón entre la longitud de un arco y la longitud de la circunferencia C es igual a la razón entre la medida del ángulo central m0 y 3600

𝑆 𝐶

A S

𝑚° 360°

𝑠=

𝑐.𝑚° 360°

𝑠=

2𝜋𝑅.𝑚° 360°

̂ =𝑆 𝐴𝐵

2. Un sector circular es la región limitada por dos radios y el arco que aquellos determinan, siendo el sector AOB. A O B 3. La razón entre el área de un sector A y el área de su circunferencia es igual a la razón entre la medida m° del arco y 360°.

𝐴 𝑚° = 2 𝜋𝑅 360°

𝜋𝑅 2 𝑚° 𝐴= 360°

4. Un segmento circular es la región limitada por una cuerda y su arco correspondiente.

B Área segmento AOB = Área sector circular AOB - Área triangulo AOB

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

151 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ EJERCICIOS. 1.- Descomponer la región poligonal en regiones triangulares.

Se formaran 8 regiones triangulares.

2. Encontrar el área de la figura. 212 cm

5 cm

1 2

2 cm

1 2

2 cm

2 12

1 2

𝐴 𝑇 = ⍐1 + ⍐ 2 𝐴 𝑇 = 212 ∗ 5 + 1212 ∗ 212 𝐴𝑇 =

25 2

125 4

5 2

;

𝐴𝑇 = ∗ 5 +

;

AT =

25 5 ∗ 2 2

175 cm2 4

3.- Hallar el área del cuadrado interno 2

𝑙2 = 22 + 22 2

𝑙2 =4+4 𝑙 = ξ8 𝑙 = 2ξ2

2 2

𝐴∎ = 𝑙2 𝐴∎ = ൫2ξ2൯ 𝐴∎ = 8𝑢2

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152 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 4.

Dado: rectángulo PQRT S punto medio ̅̅̅̅ 𝑅𝑇 Demostrar: 𝛥𝑃𝑄𝑅𝑆 = 3∆𝑃𝑆𝑇 T

h P

PROPOSICIONES

RAZONES

S punto medio

Definición de punto medio

̅̅ ̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 𝑇𝑆 𝑆𝑅

(𝑙 )

Propiedad del rectángulo.

𝑇̅ ≅ 𝑅̅

(𝐴 )

Propiedad del rectángulo.

̅̅̅̅ 𝑇𝑃 ≅ ̅̅̅̅ 𝑅𝑄

(𝐿 )

Propiedad del triángulo.

∆𝑆𝑇𝑃 ≅ ∆𝑆𝑅𝑄

L. A. L

̅̅̅̅̅ 𝑆𝑀 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

Altura del rectángulo.

̅̅̅̅ ≅ 𝑅𝑄 ̅̅̅̅ 𝑆𝑀

(𝐿 )

Segmento de dos paralelas.

̂ ≅ 𝑅̂ 𝑀

(𝐴 )

Def. Altura y propiedad de rectángulo.

̅̅̅̅̅ 𝑀𝑄 ≅ ̅̅̅̅ 𝑆𝑅

(𝐿 )

Definición de punto medio.

∆𝑆𝑀𝑄 ≅ ∆𝑆𝑅𝑄

∆𝑆𝑇𝑃 ≅ ∆𝑆𝑅𝑄 ≅ ∆𝑆𝑀𝑄

∆𝑃𝑄𝑅𝑆 ≅ 𝐴∆SRQ + A∆SMQ + 𝐴∆𝑃𝑀𝑆

APQRS=3A∆𝑃𝑆𝑇

L.A.L.

5.- Encontrar el área del siguiente paralelogramo.

sin 30° =

ℎ 4

ℎ = sin 30 × 4 4

𝐴=𝑏×ℎ A=5× 4.

1 2

𝐴 = 10𝑢2

30° 5

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

153 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 6.- Encontrar el área de un triángulo equilátero de lado l. 𝐴∆=

𝐵×ℎ 2

sin 60° =

𝐶𝑂 ℎ

sin 60° =

ℎ 𝑙

ξ3

𝐴∆= 𝐴∆=

𝑙× 2 ×𝑙 2 ξ3×𝑙2 4

sin 60° × 𝑙 = ℎ ξ3 2

×𝑙 =ℎ

7.- Encontrar el área.

C=12 Ç𝑠 =

𝑝 2

𝐴∆= √𝑆(𝑆 − 𝐴)(𝑆 − 𝐵)(𝑆 − 𝐶)

𝑆=

𝑎+𝑏+𝑐 2

𝐴∆= √13(13 − 5)(13 − 9)(13 − 12)

𝑆=

5+9+12 2

𝐴∆= √18(32)

𝑆=

26 2

𝐴∆= 4ξ26 𝐴∆= 20.39 𝑢2

𝑆 = 13

8.- Encontrar el área del trapecio. E

h B

8 (𝐵+𝑏)ℎ

̅̅̅̅ 𝐸𝐵 = 6

𝐴=

𝐵̂ = 30°

𝐴=

̅̅̅̅ 𝐸𝐷 = 3

𝐴 = 16.5 𝑢2

2 (8+3)3 2

sin 30° =

ℎ 6

sin 30°(6) = ℎ 3=ℎ

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 8

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

154 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 9. Encontrar el área.

C 60°

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 16

∢𝐴𝐵𝐶 = 120°

16ξ3

̅̅̅̅ = 16ξ3 𝐴𝐶 B

60° A

𝐴=

𝐷.𝑑 2

𝐴=

16ξ3(16) 2

cos 60° =

𝑥 16

𝑐𝑜𝑠60°(16) = 𝑥

𝐴 = 128ξ3𝑢2

x=8

10.- Calcular el área de un pentágono de lado 20cm.

𝐴= C

𝑃 = 𝑛𝑙. 𝑎𝑝 𝑙 2 𝑃 = 𝑛. 𝑙. tan 𝜃

ap A 𝑚𝐴𝑂̂ 𝐵 =

𝑃. 𝑎𝑝 2

360° 5

𝑚𝐴𝑂̂ 𝐵 = 72° 72° 𝑚1̂ =

; 𝑚1̂ = 36°

tan 36° =

10 𝑎𝑝

; 𝑎𝑝 =

10 𝑡𝑎𝑛36°

𝑎𝑝 = 13.67°

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

155 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________

AREAS SOMBREADAS CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA EN FIGURAS SOMBREADAS Una figura sombreada es una figura geométrica no convencional, y se produce por la superposición de dos o más figuras geométricas tradicionales, es decir, regiones cuya forma no es geométricamente tradicional como los cuadriláteros, triángulos, círculos y polígonos en general.

A veces se debe determinar el área para calcular otras variables como la cantidad y el costo de los materiales con los cuales se construye algo como un edificio (pisos, paredes, ventanas, etc.), o contenedores (cartón , acrílico, madera, entre otros) Para determinar las áreas sombreadas hay que calcular el área de cada una de las figuras conocidas y luego sumar o restar una de la otra dependiendo de la figura.

EJERCICIOS 1. Determinar el área sombreada de la figura

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

156 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ En la figura, se tiene que calcular el área de la parte sombreada. Se observa que esta se obtiene de la superposición de un círculo dentro de un cuadrado. Entonces, se tiene que calcular el área del cuadrado y a esta restarle el área del círculo. Área del cuadrado: A = L x L; A = 20 x 20; A = 400 cm 2 Área del círculo:

A = ∏r 2; A = 3,1416 (10) 2 ; A = 3,1416 (100); A = 314,16 cm 2

Entonces, al área del cuadrado se le resta el área del círculo y se tiene A/// = 400 ̶ 314,16 A/// = 85,84 cm 2 es el área sombreada.

2. Determinar el área sombreada de la figura

Se observa que sobre un cuadrado de 8 cm de lado se han superpuesto dos semicírculos cuyo diámetro es 8 cm. Área del cuadrado: A = L x L ; A = 8 x 8; A = 64 cm 2 Se puede deducir que los dos semicírculos forman un círculo completo, por lo tanto: Como el diámetro del círculo es 8 cm, su radio será 4 cm. Área del círculo:

A = ∏r 2 ; A = 3,1416 (4) 2; A = 3,1416 (16); A = 50,27 cm 2

Ahora, al área del cuadrado le restamos el área del círculo y se tiene: A /// = 64 ̶ 50,27 A /// = 13,73 cm 2 es el área sombreada.

3. Encontrar el área de la región sombreada.

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UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 𝐴 = 𝐴∎ + 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐵. ℎ + 𝐴 = 2.2 +

𝜋(2)2 2

𝐴=4+ 2

𝜋𝑟 2 2

4𝜋 2

𝐴 = 4 + 2𝜋 𝐴 = 2(2 + 𝜋)𝜇2 𝐴 = 10,2𝜇2

𝐴= a

𝐵. ℎ 𝜋𝑟 2 − 2 2

ξ3(22 ) 𝜋𝑎2 𝐴= − 4 2 𝜋𝑎2 2 𝜋 𝐴 = 𝑎2 (ξ3 − ) 2

𝐴 = ξ3𝐴2 −

4. Calcular el área de la región sombreada (sector circular) en donde 1

1 −3 ( ) 27

cm y el ángulo Θ tiene un tercio de 3600 .

Se determina: A) Se calcula el radio R: 1

Si R =

1 −3 ( ) 27

cm; R =

27 3 ( ) 1

cm; R = (27)3 cm; R = ξ27 cm; R = 3 cm

B) Se calcula el ángulo Θ

1 3

 =  3600 = 1200 C) El cálculo del área del sector circular es: 𝐴=

𝜋𝑅2 𝑚° ; 360°

𝐴=

𝜋(3𝑐𝑚)2 . 120° ; 360°

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

A = 9,42 cm2.

158 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 5. Calcular el área de la región sombreada (corona circular) en donde 4

R 2 = ξ42 cm. Se determina: A) Se calcula el radio sub dos: 4

Si R 2 = ξ42 cm; R 2 = ξ41 cm; R 2 = 2 cm. B) Se calcula el radio sub uno: Si R1 = 2R2 ; R1 = 2. 2 cm ; R1 = 4 cm C) Se calcula el área del círculo de radio sub dos: AO = π.R2 ; AO2 = π. (4 cm)2; AO2 = 12,56 cm2. D) Se calcula el área del círculo de radio sub uno: A = π.R2; A

π.(4cm)2; A

50,24 cm2

E) Se calcula el área de la corona circular 50,24 cm2 – 12,56 cm2 ;

= 37,68 cm2 .

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Encontrar el área del ⧠ ABCD, si: a) AB = 12, ED = 5. b) DC = 18cm, DE =7cm. c) AB = 20, m∡ A= 30°,AD = 10 d) AB = 16cm, m∡ A= 30°,CB = 8cm

e) AB = 15, AD = 6 ξ2, m∡ A= 45° f)

AB = 6,5; AD = 3ξ2 , m∡ A= 45°

g) AB = 2x – 4, DE = x - 2

h) AB = 3x + 9, DE = x - 3

2. Encontrar el área del trapecio ABCD, si: a)

𝑏1 = 4, 𝑏2 = 8, h= 3

b) EB = 6, m∡B = 30°, ED =3, BC = 8

𝑏1

c) DC = 16, m∡ C= 30°,BC = 18, ED = 14 d) h=5, 𝑏1 = 12, 𝑏2 = 20

̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ , ED = EF = 12, BF =10 e) 𝐸𝐵 f)

∡B ≅ ∡𝐶, EF =5, BF = ED = 6

𝑏2

1 2

g) 𝑏1 =a , 𝑏2 = 2a, h= a

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159 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 3. Se da la medida del lado de cada polígono regular, encontrar la apotema: a) Un triángulo equilátero con l = 2 cm. b) Un cuadrado con l = 5cm. c) Un hexágono con l = 3 cm. d) Un pentágono con l = 10 cm (Usar razones trigonométricas). e) Un decágono con l = 20 cm (Usar razones trigonométricas). 4. Encontrar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio: a)

R = 8 cm

c) R = 10 cm

R= 1 cm

d) R = ξ2

5. Completar la tabla para un hexágono regular:

l lado (cm) 12

R Radio (cm) ¿

a Apotema (cm) ¿

p Perímetro (cm) ¿

A Área (cm) ¿

5ξ3

6. Demostrar: “El área de un triángulo equilátero con un lado de medida / y con la apotema de medida

𝑙 ξ3 6

𝑙2 ξ3 6

7. Demostrar: “Si dos polígonos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de sus apotemas correspondientes”. 8. Demostrar: “La perpendicular trazada desde el centro al lado de un polígono no regular es bisectriz del ángulo central”. 9. Demostrar: “El área de un hexágono regular construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los hexágonos regulares construidos sobre los catetos”.

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160 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 10. En la figura, el área de la región sombreada es 36 𝑐𝑚2 . Hallar O A A 6 O

11. Hallar el área de la región sombreada: a)

8 12

b) ∆ABC es equilátero r=8 A

B C

c) Q U L C K es un pentágono regular C

9,2

d) P Q R S T U V es un hexágono regular, r=7 P

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161 MSc. Franklin Molina

UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 12. En la figura, Δ A B C es equilátero, con apotema 5cm y está inscrito en la circunferencia de centro O. Hallar el área de la región sombreada. B

O C 5

13. Calcule la longitud de: a) b) c) d) e) f)

Un arco de 90°, si el radio del círculo es 6. Un arco de 180°, si la circunferencia es 25. Un arco de 30°, si la circunferencia es 60π. Un arco de 40°, si el diámetro es 18. Un arco interceptado por el lado de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 3. Un arco interceptado por una cuerda de longitud 12 en un círculo de radio 12.

14. Calcule el área de un: a) b) c) d)

Sector de 60°, si el radio del círculo es 6. Sector de 240°, si el área del círculo es 30. Sector de 15°, si el área del círculo es 72π. Sector de 90°, si la longitud de su arco es 4π.

15. Calcule la medida del ángulo central de un sector cuta área es: a) b) c) d) e)

10, si el área del círculo es 50. 15 𝑐𝑚2 , si el área del círculo es 20 𝑐𝑚2 1 𝑝𝑖𝑒 2 , si el área del círculo es 1 𝑦𝑑 2 5π, si el área del círculo es 12π. Ocho novenos del área de un círculo.

16. Calcule el radio de un círculo si: a) b) c) d) e) f)

Un arco de 120° tiene una longitud de 8π Un arco de 40° tiene una longitud de 2π Un arco de 270° tiene una longitud de 15π Un sector de 30° tiene un área de 3π 1 Un sector de 36° tiene una área de 2 π 2 Un sector de 120° tiene una área de 6π

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UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________ 17. Determinar las siguientes áreas sombreadas.

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UNIDAD 3 ÁREAS ____________________________________________________________________________________

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REFERENCIAS: Calvache, Otros. (2009). Geometría Plana y del espacio. Ed. Universitaria. Ecuador Calvache, Leon. (2016). Geometría Plana, del espacio y analítica. Ed. Universitaria. Quito, Ecuador Rich, B. (1991). Geometría (2a. ed.). México, D.F., MX: McGraw-Hill Interamericana Obanaga, Otros (1998)Algebra y Geometría. Editorial Pime. Colombia. Paredes Gualberto (2009). Geometría plana. Quito. Ecuador Alexander Daniel y Koeberlein Geralyn (2013). Geometría. Cengage Learning Editores, S.A. México. Universo Formulas (2021). Web de ciencia. https://www.universoformulas.com/

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