Edición n° 1 2014
Sistemas de numeración CLASES DE SITEMAS
SISTEMA DE NUMERACION CHINO SISTEMA DE NUMERACION EJIPCIO
…
2
A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros. Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos. A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron para representar las cantidades indicadas
… que les permitían identificar el orden en que se agrupaban las unidades en las cuales estaban trabajando. Por otro lado, ellos utilizaban un procedimiento aditivo para representar los números, en donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que querían representar y formaban con ello el número.
Sistema de numeración Egipcio (3000 a.C.) Si hay algo que hasta el día de hoy sigue vigente es la cultura egipcia. Esto no se debe meramente al azar, sino que responde al gran legado cultural que nos dejaron, ya sea por sus monumentales construcciones como por sus conocimientos y descubrimientos en agricultura, arte y matemáticas. En relación con éste último, podemos ver que se los egipcios se vieron enfrentados a la necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo, llevar a cabo sus construcciones, situación que los desafió a encontrar algún modo de representar las cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las cifras utilizadas en papiros, dándoles a éstas un uso práctico, relacionados principalmente con la geometría y la aritmética. Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal (contaban de 10 en 10, lo cual se asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para representar el cero y realizaban jeroglíficos
Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados les era indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un único valor. De esta manera, independiente del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba. Es decir, su representación podía realizarse de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba y viceversa, sin alterar el valor de la cifra mencionada.
3
… representaba 50, y que puedes apreciar en la figura anterior. Considerando el caso descrito, podemos ver que junto con un principio aditivo, en el
sistema
de
numeración
griego
se
combina el principio multiplicativo. Sin embargo, a partir del siglo IV a.C. este sistema fue sustituido por el jónico, el cual utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con algunos otros símbolos, tal como muestra la siguiente figura.
Sistema de numeración Griego (600 a.C.) Utilizaron letras del alfabeto griego para representar
las
cantidades.
El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, que era derivado
del
sistema
de
numeración
En este sistema a cada cifra de la unidad se le asignaba una letra, a cada decena
romano, cuyos símbolos eran:
otra letra y a cada centena otra. Es decir, ? = 1, ? = 5, ? = 10, ? = 100, ? = 1000 y ? =
se basó en un principio de adición, en
10000
donde
los
valores
numéricos
que
adoptaban las letras se sumaban para formar el total. Por ejemplo el 242 se representaba como ??b (200 + 40 + 2). Vale mencionar que los números 50, 500 y 5.000, se obtenían agregando el signo de 10,
100
ó
1.000
al
de
5.
Así por ejemplo, para obtener el número 50 el símbolo utilizado era el del 5 y el de 10, dando como resultado el símbolo que
Con esto, los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y éstas a su vez, tienen un valor numérico.
4
… Ahora bien, para representar cantidades con números romanos, es importante que tener en consideración ciertas reglas guían su escritura. 5
Sistema Romano
de
numeración
Si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el romano. Actualmente lo utilizamos para numerar
Sistema de numeración Chino (1500 a.C.)
capítulos o escenas de una obra de teatro, para designar el nombre de algunas
La cultura china es indudablemente una
autoridades (como emperadores, reyes y
de las más completas y antiguas de la
papas), para ordenar los contenidos de un
humanidad. Su legado perdura hasta la
índice y los tomos de una enciclopedia,
actualidad, ya que han sido gestores de
entre otros.
grandes
descubrimientos,
realizando
aportes importantes para la humanidad. En relación con los símbolos que los representar
En relación con el sistema de numeración
cantidades, fueron letras mayúsculas, que
que ellos utilizaron, éste era decimal, en
en
donde
romanos
utilizaron
nuestro
sistema
para de
numeración
utilizaron
las
unidades
y
las
equivalen a un número específico. Así
distintas potencias de 10 para representar
tenemos,
cantidades. Tenían 9 símbolos distintos para los primeros 9 números pero ningún símbolo para representar el cero. Los símbolos eran:
… carácter multiplicativo y posicional de los símbolos que se disponen. Su representación de los números se basó en un principio multiplicativo y era de carácter
posicional,
por
lo
Sistema Maya
de
numeración 6
que
dependiendo de la posición que tenía el
Uno de los aspectos que más destacan en
símbolo (cifra) en el número, el valor que
el sistema de numeración Maya es que
éste iba a tener.
ellos simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en
Como
podemos
de
base 20, utilizando principalmente rayas y
numeración chino tiene semejanzas con el
puntos para simbolizar los números. En
que utilizamos nosotros actualmente, sin
donde el caracol representaba al cero, los
embargo, tanto los símbolos con que
puntos al 1 y la raya al 5.
representan
ver,
el
sistema
cantidades,
como
la
pueden
En cuanto a la disposición de las cifras,
adquirir en una cifra, es distinta. Además,
vemos que éstas se escriben verticalmente
vemos que su disposición es híbrida, es
y con las unidades en la parte inferior.
decir, a la hora de componer los números
Además agruparon símbolos hasta el 19,
emplean tanto la multiplicación como la
asignando a los números mayores un valor
adición,
es
según la posición en que se encuentran.
acompañada por otra que la multiplica, y
Los símbolos con que representaron los
en
números hasta el 19 son:
orientación
que
por
donde
la
los
lo
que
suma
números
cada total
cifra de
dichas
multiplicaciones da la cifra total. Veamos en un ejemplo: El número 4.361 se representa así:
Analizando los símbolos que se presentan, podemos ver que el número 14 está formado por 2 rayas y 4 puntos. Como las rayas representan al 5 y los puntos al 1, multiplicaremos 2×5 y 4×1, obteniendo un
Actualmente, utilizan el mismo sistema de numeración, cuyos símbolos son los que vimos anteriormente, y donde prima el
total de 10 + 4, es decir, 14.
… Ahora bien, para escribir números iguales
nudos de variados colores y tamaños, les
o superiores al 20, las cifras adquirían un
permitió registrar la información numérica
valor que dependía de la posición en
que iban obteniendo.
donde se encontraban, disponiéndose en columnas y asignándose un valor de abajo hacia arriba, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20… según el lugar que ocupe. Por ejemplo:
Sistema Inca
de
numeración
Poseían un sistema de numeración decimal y de carácter posicional. Como no hicieron uso de la escritura no dejaron un registro gráfico
de
símbolos
que
permitan
interpretar cantidades, sin embargo, los Incas se vieron en la necesidad de registrar los cálculos que iban realizando, por lo que utilizaron el quipu. El quipu era un instrumento que poseía cuerdas y que, mediante la realización de
7
…
1. Buscas clasificación de sistemas de numeración: G
C
H
I
N
O
H
R
M
A
Y
A
I
L
I
H
N
O
R
N
T
E
E
S
F
G
C
U
G
K
R
O
M
A
N
O
¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario
¿Qué le dice la curva a la tangente ? ¡No me toques!.
Me gustan los polinomios, pero solo hasta cierto grado.
¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas.
8
… la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas. Estas reglas son diferentes para
QUE ES UN SITEMA DE NUMERACION:
cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los númerosválidos.
se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema
Un sistema de numeración puede representarse como
donde:
es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
es el conjunto de símbolos
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:
permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el
En los sistemas no-posicionales los
binario son {0,1}; en el octal son
dígitos tienen el valor del símbolo
{0,1,...7}; en el hexadecimal son
utilizado, que no depende de la
{0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
posición (columna) que ocupan en el número.
son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y
En los sistemas de numeración
cuáles no. En un sistema
ponderados o posicionales el valor de
de numeración posicional las reglas
un dígito depende tanto del símbolo
son bastante simples, mientras que
utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
9
… Por ejemplo, el sistema de numeración
independientemente el concepto de cero
egipcio es no posicional, en cambio
alrededor del año 36 a. C.1 Este es el
el babilónico es posicional. Las lenguas
primer uso documentado del cero en
naturalesposeen sistemas de numeración
América, aunque con algunas
posicionales basados en base 10 ó 20, a
peculiaridades que le privaron de
veces con subsistemas de cinco
posibilidad operatoria.2 Las inscripciones,
elementos. Además, en algunas pocas
los muestran en ocasiones trabajando con
lenguas los numerales básicos a partir de
sumas de hasta cientos de millones y
cuatro tienen nombres basados en
fechas tan extensas que tomaba varias
numerales más pequeños.
líneas el poder representarlas.
Sistemas de numeración no posicionales
Sistemas de numeración posicionales Artículo principal: Sistema de numeración
posicional Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para
El número de símbolos permitidos en un
representar la cantidad cinco y después se
sistema de numeración posicional se
hablaba de cuántas manos se tenía.
conoce como base del sistema de
También se sabe que se usaba cuerdas
numeración. Si un sistema de numeración
con nudos para representar cantidad.
posicional tiene base b significa que
Tiene mucho que ver con la coordinabilidad
disponemos de b símbolos diferentes para
entre conjuntos. Entre ellos están los
escribir los números, y que b unidades
sistemas del antiguo Egipto, el sistema
forman una unidad de orden superior.
denumeración romana, y los usados
Ejemplo en el sistema de numeración
en Mesoamérica por mayas, aztecas y
decimal
otros pueblos .
Si contamos desde 0, incrementando una
Al igual que otras civilizaciones
unidad cada vez, al llegar a 9 unidades,
mesoamericanas, los mayas utilizaban un
hemos agotado los símbolos disponibles, y
sistema de numeración de raíz mixta de
si queremos seguir contando no
base 20 (vigesimal). También los mayas
disponemos de un nuevo símbolo para
preclásicos desarrollaron
representar la cantidad que hemos
10
… contado. Por tanto añadimos una
Entre esos sistemas se encuentran el de
nueva columna a la izquierda del
base 2 sistema binario, de base 8 sistema
número, reutilizamos los símbolos de que
octal y el de base 16 sistema hexadecimal.
disponemos, decimos que tenemos una
También los antiguos mayas tuvieron un
unidad de segundo orden (decena),
sistema de numeración posicional el cual
ponemos a cero las unidades, y seguimos
ya no se usa.
11
contando. De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda
Teorema Fundamental de la numeración
(decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración
posicional.
Primero
estableceremos unas definiciones básicas:
El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la
, número válido en el sistema de numeración.
columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda. Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos
, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema. ,
un
símbolo
cualquiera
de
los
permitidos en el sistema de numeración.
conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin
,: número de dígitos de la parte entera.
pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.
, coma fraccionaria. Símbolo utilizado
Tal es la costumbre de calcular en decimal
para separar la parte entera de un número
que la mayoría de la población ni siquiera
de su parte fraccionaria.
se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este.
,: número de dígitos de la parte decimal.
… La fórmula general para construir un número N,
con
un
número
finito
de
decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente: 12
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria
representados
por dn ... d2 d1 d0 ,
toman
el
valor
correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número. Esta
representación
función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades
posibilita
la
realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas. Ejemplo en el sistema decima
(100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria. Los dígitos a la derecha de la coma
En el sistema decimal los símbolos válidos
fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan
para construir números son {0,1,...9} (0
respectivamente al dígito de las décimas
hasta 9, ambos incluidos), por tanto la
(10-1=0,1),
base (el número de símbolos válidos en el
milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
sistema) es diez En la figura inferior podemos ver el
Por
ejemplo,
centésimas
(10-2=0,01),
el número 1492,36
decimal, puede expresarse como:
teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal. Ejemplo en el sistema binario[editar]
en
… Véase ahora el sistema binario o de base
hanagotado los símbolos disponibles para
2. En este sistema los dígitos válidos son
esa columna, y se deben poner a cero la
{0,1}, y dos unidades forman una unidad
columna
de orden superior.
izquierda.
En la figura inferior puede verse el
Así,
teorema fundamental de la numeración
número
aplicado al sistema binario.
cuenta una unidad más se debe usar otra
y
usar
contando
otra
en
viene
columna
binario,
el
,
a
la
tras
el
pero
si
se
columna, resultando Se sigue contando
,
,
,
. Al
añadir una unidad a la columna de las unidades, vuelta (ha
esa
columna
agotado
ha dado
los
la
símbolos
disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para esa columna, y se deben formar una Siguiendo
con
el
ejemplo
del
cuentakilómetros visto arriba, en este
unidad de tercer orden o
. Así, en
el sistema binario
caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios. En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda
Ejemplos:
El
número
está
formado
por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos
símbolos
tiene
un
valor
diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la izquierda)
representa
de
,
el
segundo
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan
de
y
el
tercero
una vuelta cada dos unidades. Por tanto,
de
una vez que se cuenta (suma) dos se
el
columna de un orden superior.
un
valor
, dando como resultado valor
del
13
… número:
En informática a veces se utiliza la numeración
.
octal
en
vez
de
la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no
requiere
utilizar
otros
símbolos
diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos,
asumiendo
una palabra de cómodo cuanto El sistema
numérico en
base 8 se
llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Para convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente
sucesivamente
hasta
obtener
cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado. Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
que
8 bits,
el sistema todo
byte
completamente
un suele
byte
es
ser
más
hexadecimal,
por
así
definido
representable
es por
dos dígitos hexadecimales. Sistema de numeración octal[editar] El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. El
teorema
fundamental
aplicado
sistema octal sería el siguiente:
al
14
… Como el sistema de numeración octal usa
fracciones que tengan un denominador
la notación posicional entonces para el
distinto de una potencia de 2 tendrán un
0
1
número 3452,32 tenemos que: 2*8 + 5*8 + 2
3
-1
desarrollo octal periódico.
-2
4*8 + 3*8 + 3*8 + 2*8 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 +
Fracción Octal Resultado en octal 15
1/2
1/2
0,4
1/3
1/3
0,25252525 periódico
1/4
1/4
0,2
1/5
1/5
0,14631463 periódico
usa la letra q para evitar confusión entre
1/6
1/6
0,125252525 periódico
la letra 'o' y el número 0. En informática, a
1/7
1/7
0,111111 periódico
1/8
1/10 0,1
que no requiere utilizar otros símbolos
1/9
1/11 0,07070707 periódico
diferentes de los dígitos. Es posible que la
1/10
1/12 0,063146314 periódico
0,40625d Entonces, 3452,32q = 1834,40625d El sub índice "q" indica número octal, se
veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de
numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.
Sistema hexadecimal
Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal (del griego oktō 'ocho') Esto es muy importante por eso. Fracciones La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Todas las Tabla de multiplicar hexadecimal.
…
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico El sistema abreviado
hexadecimal (a como Hex,
veces
no
confundir
consistema sexagesimal) es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación,
pues
los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores
posibles,
y
esto
de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882. El
sistema
introducido
hexadecimal en
computación
puede
representarse
con
ámbito
por
por IBM en 1963. anterior,
como
el
y
fue
de
primera
Una 0–9
actual
la vez
representación u–z,
fue
usada
en 1956 por la computadora Bendix G-15. ,
que
equivale al número en base 16
,
dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente a un byte. En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
Fracciones[editar] Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico. Fracción Hexadecimal Resultado
en
16
… 16
hexadecimal
la
parte
decimal
del
anterior
resultado: 1. Por lo tanto el siguiente
1/2
1/2
0,8
1/3
1/3
0,5 periodo
hexadecimal. Como el último resultado se
1/4
1/4
0,4
trata de un entero, hemos acabado la
decimal será un 1.Resultado: 0,11 en base
17
conversión.
1/6
1/6
0,2A periodo
1/7
1/7
0,249 periodo
Hay ocasiones en las que no llegamos
1/8
1/8
0,2
nunca a obtener un número entero, en ese
1/9
1/9
0,1C7 periodo
1/10
1/A
0,19 periodo
1/11
1/B
0,1745D periodo
1/12
1/C
0,15 periodo
1/13
1/D
0,13B periodo
1/14
1/E
0,1249 periodo
1/15
1/F
0,1 periodo
1/16
1/10
1
caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico.
Operaciones en Sistema Hexadecimal
Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte
entera
con
el
procedimiento
habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un
En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden
operaciones
matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento a 15 o también de
ejemplo: 0,06640625 en
diversas
utilizando el complemento a 16. Además
número entero. Por
hacer
base
decimal. Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por
éstas,
adecuadamente
debemos la
suma
manejar en
sistema
hexadecimal, explicada a continuación:
… Ocurre lo mismo que en el ejemplo
Hexadecimal Decimal A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
F
15
anterior.
A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)
La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será14 (sistema hexadecimal). Hay
que
tener
cuidado
de
utilizar
correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.
9 + 7 = 16 (16 - 16 = 0 nos llevamos 1 y es = 10 )
En este caso la respuesta obtenida, 16, no
F + E = 29 ( 29 – 16 = D y nos llevamos 1)
está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta
La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el
obtenida será 10 (sistema hexadecimal).
15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será
Hay
que
tener
cuidado
de
utilizar
1D (sistema hexadecimal).
correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear
Hay
que
tener
cuidado
de
utilizar
confusiones.
correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.
A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos
llevamos 1)
Ahora haremos una operación más complicada:
A + 2 = 12 (12 corresponde a C)
18
… Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados
utilizando
una
- 00DE8
calculadora —————————
científica.
¿?¿?¿?¿? 19
Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema
Complemento C15
hexadecimal
el
mayor
número
que
Como podemos hacer la resta de dos
tenemos es el 15, que corresponde a la
números
letra F, tendremos que escribir la F tantas
hexadecimales
utilizando
el
complemento a 15. Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince
del
sustraendo,
y
finalmente
sumarle el bit de overflow (bit que se
veces como números tiene el sustraendo. FFFFF - 00DE8
desborda). ————————— Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta
FF217
es la resta que tenemos que resolver: A4FC9 La resta se hace siguiendo las normas - DE8
generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a
—————————
15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.
¿?¿?¿?¿? Primero
tenemos
que
hacer
que
el
minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad
de
números.
Para
ello,
añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes. A4FC9
Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema
hexadecimal,
anteriormente. A4FC9
mencionada
… + FF217
Para entender la resta en complemento a 16
—————————
lo
analizaremos
con
el
ejemplo
anterior. Ésta es la resta que tenemos que resolver:
1A41E0 Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te
20
A4FC9 - DE8
habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales
que
teníamos
que
—————————
restar.
Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo.
¿?¿?¿?¿? Primero
tenemos
que
hacer
que
el
minuendo y el sustraendo tengan la misma
A41E0
cantidad de números, al igual que ocurre +
1
en el proceso del complemento a 15.
—————————
Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.
A41E1 A4FC9 La respuesta es A41E1. - 00DE8 Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados
utilizando
una
calculadora
—————————
científica. ¿?¿?¿?¿? Complemento C16 Después, crearemos un nuevo número con También podemos hacer la resta de dos
la misma cantidad de números que el
números
nuevo sustraendo.
hexadecimales
utilizando
el
complemento a 16, siguiendo un proceso similar que en el caso del complemento a
Como en el sistema hexadecimal el mayor
15. Para resolver la resta, tendremos que
número que tenemos es el 15, que
sumar al minuendo el complemento a
corresponde a la letra F, tendremos que
dieciséis del sustraendo.
… escribir la F tantas veces como números
A4FC9
tiene el sustraendo. + FF218 FFFFF ————————— - 00DE8
21
1A41E1 ————————— Con la suma obtenemos el resultado FF217
1A41E1.
La resta se hace siguiendo las normas
Te habrás dado cuenta que este nuevo
generales de la resta común.
número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restas, cosa
Ahora
tenemos
que sumarle
1
a
la
imposible en una resta (que la diferencia
diferencia obtenida. Este paso es muy
sea
mayor
que
el
importante, ya que es la diferencia entre
sustraendo).
Por
eso,
hacer la resta en complemento a 15 ó 16,
complemento
a
y se suele olvidar fácilmente. Además,
despreciar (eliminar) el número de la
recuerda que estás sumando en sistema
izquierda. En este caso es el 1.
minuendo
16,
y
y
el
estando
en
tendremos
que
hexadecimal, siguiendo el mismo proceso explicado anteriormente. FF217
La respuesta, por lo tanto, es A41E1. En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, ya que hemos
+
1
————————— FF218
resuelto
la
misma
resta
en
sistema
hexadecimal. Por lo tanto, podremos comprobar
que
hemos
operado
bien
comparando las respuestas obtenidas en complemento a 15 y en complemento a 16 para una misma resta.
A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos el complemento a 16.
Además,
ten
en
cuenta
que
puedes
comprobar los resultados utilizando una Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 16
calculadora científica.
… (F)16 usando sólo un carácter hexadecimal. Claramente,
no
existe
permita que
natural
que
, por lo que el
sistema alfanumérico no puede usarse para este propósito.]. Por otro lado, el sistema
alfanumérico
puede
ser
una
alternativa respecto de otros sistemas de bases menores a la hora de numerar o identificar los objetos de un conjunto, ya El sistema
numérico en
base
36
se
llama sistema alfanumérico y utiliza para su representación los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.pueden ser mayusculas o minusculas Recibe este nombre dado que los símbolos que
utiliza
para
su
representación
concuerdan
con
la
computacional
tradicional
definición de
carácter
alfanumérico; hay que tener presente que los
caracteres
corresponden
alfabéticos
al alfabeto
utilizados
latino de
la
lengua inglesa.
informática,
no
es
una
buena
alternativa respecto de sistemas como el binario, el hexadecimal o cualquier otro en
base
.
una palabra de
Esto cierto
se
debe tamaño
a
que puede
tener un manejo más intuitivo por los humanos si se escribe en base usando varias bases producto
sea
(1111)2 puede
una
misma
. ser
o bien
tales que su Así,
la
sintetizada
palabra como
cantidad
se
puede
representar con una cadena de símbolos más corta. Un ejemplo de esto puede ser su uso en la asignación de números de patente - ignorando la supresión de ciertos símbolos o palabras a causa de motivos visuales o de otra índole - u otro tipo de palabra alfanumérica identificatoria a un objeto cualquiera. De este modo, el número de patente asignado a un vehículo puede ser (RT5183)36 en lugar de su equivalente decimal más largo y difícil de memorizar anterior
El sistema alfanumérico, en el contexto de la
que
(1681530483)10.El
puede
extenderse,
principio utilizando
otros sistemas como el base64, pero que pueden
resultar
emplear
por
existencia
menos
humanos
simultánea
intuitivos debido de
a
de la
caracteres
alfabéticos mayúsculos o minúsculos y otros caracteres de relleno cuando la cantidad de caracteres alfabéticos es insuficiente.
22