Revista arzuza edinson

Edición n° 1 2014





Sistemas de numeración CLASES DE SITEMAS

 SISTEMA DE NUMERACION CHINO  SISTEMA DE NUMERACION EJIPCIO

…

2

A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros.

Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos.

A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron para representar las cantidades indicadas

… que les permitían identificar el orden en que se agrupaban las unidades en las cuales estaban trabajando.

Por otro lado, ellos utilizaban un procedimiento aditivo para representar los números, en donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que querían representar y formaban con ello el número.

Sistema de numeración Egipcio (3000 a.C.) Si hay algo que hasta el día de hoy sigue vigente es la cultura egipcia. Esto no se debe meramente al azar, sino que responde al gran legado cultural que nos dejaron, ya sea por sus monumentales construcciones como por sus conocimientos y descubrimientos en agricultura, arte y matemáticas.

En relación con éste último, podemos ver que se los egipcios se vieron enfrentados a la necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo, llevar a cabo sus construcciones, situación que los desafió a encontrar algún modo de representar las cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las cifras utilizadas en papiros, dándoles a éstas un uso práctico, relacionados principalmente con la geometría y la aritmética.

Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal (contaban de 10 en 10, lo cual se asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para representar el cero y realizaban jeroglíficos

Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados les era indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un único valor.

De esta manera, independiente del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba. Es decir, su representación podía realizarse de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba y viceversa, sin alterar el valor de la cifra mencionada.

3

… representaba 50, y que puedes apreciar en la figura anterior.

Considerando el caso descrito, podemos ver que junto con un principio aditivo, en el

sistema

de

numeración

griego

se

combina el principio multiplicativo.

Sin embargo, a partir del siglo IV a.C. este sistema fue sustituido por el jónico, el cual utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con algunos otros símbolos, tal como muestra la siguiente figura.

Sistema de numeración Griego (600 a.C.) Utilizaron letras del alfabeto griego para representar

las

cantidades.

El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, que era derivado

del

sistema

de

numeración

En este sistema a cada cifra de la unidad se le asignaba una letra, a cada decena

romano, cuyos símbolos eran:

otra letra y a cada centena otra. Es decir, ? = 1, ? = 5, ? = 10, ? = 100, ? = 1000 y ? =

se basó en un principio de adición, en

10000

donde

los

valores

numéricos

que

adoptaban las letras se sumaban para formar el total. Por ejemplo el 242 se representaba como ??b (200 + 40 + 2).

Vale mencionar que los números 50, 500 y 5.000, se obtenían agregando el signo de 10,

100

ó

1.000

al

de

5.

Así por ejemplo, para obtener el número 50 el símbolo utilizado era el del 5 y el de 10, dando como resultado el símbolo que

Con esto, los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y éstas a su vez, tienen un valor numérico.

4

…

Ahora bien, para representar cantidades con números romanos, es importante que tener en consideración ciertas reglas guían su escritura.

5

Sistema Romano

de

numeración

Si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el romano.

Actualmente lo utilizamos para numerar

Sistema de numeración Chino (1500 a.C.)

capítulos o escenas de una obra de teatro, para designar el nombre de algunas

La cultura china es indudablemente una

autoridades (como emperadores, reyes y

de las más completas y antiguas de la

papas), para ordenar los contenidos de un

humanidad. Su legado perdura hasta la

índice y los tomos de una enciclopedia,

actualidad, ya que han sido gestores de

entre otros.

grandes

descubrimientos,

realizando

aportes importantes para la humanidad.

En relación con los símbolos que los representar

En relación con el sistema de numeración

cantidades, fueron letras mayúsculas, que

que ellos utilizaron, éste era decimal, en

en

donde

romanos

utilizaron

nuestro

sistema

para de

numeración

utilizaron

las

unidades

y

las

equivalen a un número específico. Así

distintas potencias de 10 para representar

tenemos,

cantidades. Tenían 9 símbolos distintos para los primeros 9 números pero ningún símbolo para representar el cero.

Los símbolos eran:

… carácter multiplicativo y posicional de los símbolos que se disponen.

Su representación de los números se basó en un principio multiplicativo y era de carácter

posicional,

por

lo

Sistema Maya

de

numeración 6

que

dependiendo de la posición que tenía el

Uno de los aspectos que más destacan en

símbolo (cifra) en el número, el valor que

el sistema de numeración Maya es que

éste iba a tener.

ellos simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en

Como

podemos

de

base 20, utilizando principalmente rayas y

numeración chino tiene semejanzas con el

puntos para simbolizar los números. En

que utilizamos nosotros actualmente, sin

donde el caracol representaba al cero, los

embargo, tanto los símbolos con que

puntos al 1 y la raya al 5.

representan

ver,

el

sistema

cantidades,

como

la

pueden

En cuanto a la disposición de las cifras,

adquirir en una cifra, es distinta. Además,

vemos que éstas se escriben verticalmente

vemos que su disposición es híbrida, es

y con las unidades en la parte inferior.

decir, a la hora de componer los números

Además agruparon símbolos hasta el 19,

emplean tanto la multiplicación como la

asignando a los números mayores un valor

adición,

es

según la posición en que se encuentran.

acompañada por otra que la multiplica, y

Los símbolos con que representaron los

en

números hasta el 19 son:

orientación

que

por

donde

la

los

lo

que

suma

números

cada total

cifra de

dichas

multiplicaciones da la cifra total.

Veamos en un ejemplo: El número 4.361 se representa así:

Analizando los símbolos que se presentan, podemos ver que el número 14 está formado por 2 rayas y 4 puntos. Como las rayas representan al 5 y los puntos al 1, multiplicaremos 2×5 y 4×1, obteniendo un

Actualmente, utilizan el mismo sistema de numeración, cuyos símbolos son los que vimos anteriormente, y donde prima el

total de 10 + 4, es decir, 14.

…

Ahora bien, para escribir números iguales

nudos de variados colores y tamaños, les

o superiores al 20, las cifras adquirían un

permitió registrar la información numérica

valor que dependía de la posición en

que iban obteniendo.

donde se encontraban, disponiéndose en columnas y asignándose un valor de abajo hacia arriba, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20… según el lugar que ocupe. Por ejemplo:

Sistema Inca

de

numeración

Poseían un sistema de numeración decimal y de carácter posicional. Como no hicieron uso de la escritura no dejaron un registro gráfico

de

símbolos

que

permitan

interpretar cantidades, sin embargo, los Incas se vieron en la necesidad de registrar los cálculos que iban realizando, por lo que utilizaron el quipu.

El quipu era un instrumento que poseía cuerdas y que, mediante la realización de

7

…

1. Buscas clasificación de sistemas de numeración: G

C

H

I

N

O

H

R

M

A

Y

A

I

L

I

H

N

O

R

N

T

E

E

S

F

G

C

U

G

K

R

O

M

A

N

O

¿Qué es un niño complejo?

Un niño con la madre real y el padre imaginario

¿Qué le dice la curva a la tangente ? ¡No me toques!.

Me gustan los polinomios, pero solo hasta cierto grado.

¿Por qué se suicidó el libro de matemática?

Porque tenía demasiados problemas.

8

… la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para

QUE ES UN SITEMA DE NUMERACION:

cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los númerosválidos.

se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema

Un sistema de numeración puede representarse como

donde: 

es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).



es el conjunto de símbolos

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:

permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el





En los sistemas no-posicionales los

binario son {0,1}; en el octal son

dígitos tienen el valor del símbolo

{0,1,...7}; en el hexadecimal son

utilizado, que no depende de la

{0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.

posición (columna) que ocupan en el número.

son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y



En los sistemas de numeración

cuáles no. En un sistema

ponderados o posicionales el valor de

de numeración posicional las reglas

un dígito depende tanto del símbolo

son bastante simples, mientras que

utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

9

…

Por ejemplo, el sistema de numeración

independientemente el concepto de cero

egipcio es no posicional, en cambio

alrededor del año 36 a. C.1 Este es el

el babilónico es posicional. Las lenguas

primer uso documentado del cero en

naturalesposeen sistemas de numeración

América, aunque con algunas

posicionales basados en base 10 ó 20, a

peculiaridades que le privaron de

veces con subsistemas de cinco

posibilidad operatoria.2 Las inscripciones,

elementos. Además, en algunas pocas

los muestran en ocasiones trabajando con

lenguas los numerales básicos a partir de

sumas de hasta cientos de millones y

cuatro tienen nombres basados en

fechas tan extensas que tomaba varias

numerales más pequeños.

líneas el poder representarlas.

Sistemas de numeración no posicionales

Sistemas de numeración posicionales Artículo principal: Sistema de numeración

posicional Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para

El número de símbolos permitidos en un

representar la cantidad cinco y después se

sistema de numeración posicional se

hablaba de cuántas manos se tenía.

conoce como base del sistema de

También se sabe que se usaba cuerdas

numeración. Si un sistema de numeración

con nudos para representar cantidad.

posicional tiene base b significa que

Tiene mucho que ver con la coordinabilidad

disponemos de b símbolos diferentes para

entre conjuntos. Entre ellos están los

escribir los números, y que b unidades

sistemas del antiguo Egipto, el sistema

forman una unidad de orden superior.

denumeración romana, y los usados

Ejemplo en el sistema de numeración

en Mesoamérica por mayas, aztecas y

decimal

otros pueblos .

Si contamos desde 0, incrementando una

Al igual que otras civilizaciones

unidad cada vez, al llegar a 9 unidades,

mesoamericanas, los mayas utilizaban un

hemos agotado los símbolos disponibles, y

sistema de numeración de raíz mixta de

si queremos seguir contando no

base 20 (vigesimal). También los mayas

disponemos de un nuevo símbolo para

preclásicos desarrollaron

representar la cantidad que hemos

10

… contado. Por tanto añadimos una

Entre esos sistemas se encuentran el de

nueva columna a la izquierda del

base 2 sistema binario, de base 8 sistema

número, reutilizamos los símbolos de que

octal y el de base 16 sistema hexadecimal.

disponemos, decimos que tenemos una

También los antiguos mayas tuvieron un

unidad de segundo orden (decena),

sistema de numeración posicional el cual

ponemos a cero las unidades, y seguimos

ya no se usa.

11

contando.

De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda

Teorema Fundamental de la numeración

(decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración

posicional.

Primero

estableceremos unas definiciones básicas:

El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la

, número válido en el sistema de numeración.

columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos

, base del sistema de numeración.

Número de símbolos permitidos en el sistema. ,

un

símbolo

cualquiera

de

los

permitidos en el sistema de numeración.

conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin

,: número de dígitos de la parte entera.

pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

, coma fraccionaria. Símbolo utilizado

Tal es la costumbre de calcular en decimal

para separar la parte entera de un número

que la mayoría de la población ni siquiera

de su parte fraccionaria.

se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este.

,: número de dígitos de la parte decimal.

…

La fórmula general para construir un número N,

con

un

número

finito

de

decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente: 12

Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria

representados

por dn ... d2 d1 d0 ,

toman

el

valor

correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.

Esta

representación

función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades

posibilita

la

realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.

Ejemplo en el sistema decima

(100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.

Los dígitos a la derecha de la coma

En el sistema decimal los símbolos válidos

fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan

para construir números son {0,1,...9} (0

respectivamente al dígito de las décimas

hasta 9, ambos incluidos), por tanto la

(10-1=0,1),

base (el número de símbolos válidos en el

milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .

sistema) es diez En la figura inferior podemos ver el

Por

ejemplo,

centésimas

(10-2=0,01),

el número 1492,36

decimal, puede expresarse como:

teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

Ejemplo en el sistema binario[editar]

en

…

Véase ahora el sistema binario o de base

hanagotado los símbolos disponibles para

2. En este sistema los dígitos válidos son

esa columna, y se deben poner a cero la

{0,1}, y dos unidades forman una unidad

columna

de orden superior.

izquierda.

En la figura inferior puede verse el

Así,

teorema fundamental de la numeración

número

aplicado al sistema binario.

cuenta una unidad más se debe usar otra

y

usar

contando

otra

en

viene

columna

binario,

el

,

a

la

tras

el

pero

si

se

columna, resultando Se sigue contando

,

,

,

. Al

añadir una unidad a la columna de las unidades, vuelta (ha

esa

columna

agotado

ha dado

los

la

símbolos

disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para esa columna, y se deben formar una Siguiendo

con

el

ejemplo

del

cuentakilómetros visto arriba, en este

unidad de tercer orden o

. Así, en

el sistema binario

caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal.

En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.

En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda

Ejemplos: 

El

número

está

formado

por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos

símbolos

tiene

un

valor

diferente, que depende de la posición que ocupa en el número.

Así, el primer 1 (empezando por la izquierda)

representa

de

,

el

segundo

Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan

de

y

el

tercero

una vuelta cada dos unidades. Por tanto,

de

una vez que se cuenta (suma) dos se

el

columna de un orden superior.

un

valor

, dando como resultado valor

del

13

… número:

En informática a veces se utiliza la numeración

.

octal

en

vez

de

la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no

requiere

utilizar

otros

símbolos

diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos,

asumiendo

una palabra de cómodo cuanto El sistema

numérico en

base 8 se

llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente

sucesivamente

hasta

obtener

cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal.

Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

que

8 bits,

el sistema todo

byte

completamente

un suele

byte

es

ser

más

hexadecimal,

por

así

definido

representable

es por

dos dígitos hexadecimales.

Sistema de numeración octal[editar] El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

El

teorema

fundamental

aplicado

sistema octal sería el siguiente:

al

14

…

Como el sistema de numeración octal usa

fracciones que tengan un denominador

la notación posicional entonces para el

distinto de una potencia de 2 tendrán un

0

1

número 3452,32 tenemos que: 2*8 + 5*8 + 2

3

-1

desarrollo octal periódico.

-2

4*8 + 3*8 + 3*8 + 2*8 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 +

Fracción Octal Resultado en octal 15

1/2

1/2

0,4

1/3

1/3

0,25252525 periódico

1/4

1/4

0,2

1/5

1/5

0,14631463 periódico

usa la letra q para evitar confusión entre

1/6

1/6

0,125252525 periódico

la letra 'o' y el número 0. En informática, a

1/7

1/7

0,111111 periódico

1/8

1/10 0,1

que no requiere utilizar otros símbolos

1/9

1/11 0,07070707 periódico

diferentes de los dígitos. Es posible que la

1/10

1/12 0,063146314 periódico

0,40625d Entonces, 3452,32q = 1834,40625d El sub índice "q" indica número octal, se

veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de

numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.

Sistema hexadecimal

Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal (del griego oktō 'ocho') Esto es muy importante por eso.

Fracciones La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Todas las Tabla de multiplicar hexadecimal.

…

Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico El sistema abreviado

hexadecimal (a como Hex,

veces

no

confundir

consistema sexagesimal) es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación,

pues

los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores

posibles,

y

esto

de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.

El

sistema

introducido

hexadecimal en

computación

puede

representarse

con

ámbito

por

por IBM en 1963. anterior,

como

el

y

fue

de

primera

Una 0–9

actual

la vez

representación u–z,

fue

usada

en 1956 por la computadora Bendix G-15. ,

que

equivale al número en base 16

,

dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente a un byte.

En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:

Fracciones[editar] Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico.

Fracción Hexadecimal Resultado

en

16

…

16

hexadecimal

la

parte

decimal

del

anterior

resultado: 1. Por lo tanto el siguiente

1/2

1/2

0,8

1/3

1/3

0,5 periodo

hexadecimal. Como el último resultado se

1/4

1/4

0,4

trata de un entero, hemos acabado la

decimal será un 1.Resultado: 0,11 en base

17

conversión.

1/6

1/6

0,2A periodo

1/7

1/7

0,249 periodo

Hay ocasiones en las que no llegamos

1/8

1/8

0,2

nunca a obtener un número entero, en ese

1/9

1/9

0,1C7 periodo

1/10

1/A

0,19 periodo

1/11

1/B

0,1745D periodo

1/12

1/C

0,15 periodo

1/13

1/D

0,13B periodo

1/14

1/E

0,1249 periodo

1/15

1/F

0,1 periodo

1/16

1/10

1

caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico.

Operaciones en Sistema Hexadecimal

Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte

entera

con

el

procedimiento

habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un

En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden

operaciones

matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento a 15 o también de

ejemplo: 0,06640625 en

diversas

utilizando el complemento a 16. Además

número entero.

Por

hacer

base

decimal.

Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por

éstas,

adecuadamente

debemos la

suma

manejar en

sistema

hexadecimal, explicada a continuación:

…

Ocurre lo mismo que en el ejemplo

Hexadecimal Decimal A

10

B

11

C

12

D

13

E

14

F

15

anterior.



A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)

La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16.

Por lo tanto, la respuesta obtenida será14 (sistema hexadecimal).

Hay

que

tener

cuidado

de

utilizar

correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones. 

9 + 7 = 16 (16 - 16 = 0 nos llevamos 1 y es = 10 ) 

En este caso la respuesta obtenida, 16, no

F + E = 29 ( 29 – 16 = D y nos llevamos 1)

está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta

La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el

obtenida será 10 (sistema hexadecimal).

15, por lo que tenemos que restarle 16.

Por lo tanto, la respuesta obtenida será

Hay

que

tener

cuidado

de

utilizar

1D (sistema hexadecimal).

correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear

Hay

que

tener

cuidado

de

utilizar

confusiones.

correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.



A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos



llevamos 1)

Ahora haremos una operación más complicada:



A + 2 = 12 (12 corresponde a C)

18

…

Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados

utilizando

una

- 00DE8

calculadora —————————

científica.

¿?¿?¿?¿?

19

Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema

Complemento C15

hexadecimal

el

mayor

número

que

Como podemos hacer la resta de dos

tenemos es el 15, que corresponde a la

números

letra F, tendremos que escribir la F tantas

hexadecimales

utilizando

el

complemento a 15. Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince

del

sustraendo,

y

finalmente

sumarle el bit de overflow (bit que se

veces como números tiene el sustraendo.

FFFFF - 00DE8

desborda).

————————— Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta

FF217

es la resta que tenemos que resolver: A4FC9 La resta se hace siguiendo las normas - DE8

generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a

—————————

15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.

¿?¿?¿?¿?

Primero

tenemos

que

hacer

que

el

minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad

de

números.

Para

ello,

añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.

A4FC9

Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema

hexadecimal,

anteriormente.

A4FC9

mencionada

… + FF217

Para entender la resta en complemento a 16

—————————

lo

analizaremos

con

el

ejemplo

anterior. Ésta es la resta que tenemos que resolver:

1A41E0 Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te

20

A4FC9 - DE8

habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales

que

teníamos

que

—————————

restar.

Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo.

¿?¿?¿?¿?

Primero

tenemos

que

hacer

que

el

minuendo y el sustraendo tengan la misma

A41E0

cantidad de números, al igual que ocurre +

1

en el proceso del complemento a 15.

—————————

Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.

A41E1 A4FC9 La respuesta es A41E1.

- 00DE8 Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados

utilizando

una

calculadora

—————————

científica. ¿?¿?¿?¿?

Complemento C16 Después, crearemos un nuevo número con También podemos hacer la resta de dos

la misma cantidad de números que el

números

nuevo sustraendo.

hexadecimales

utilizando

el

complemento a 16, siguiendo un proceso similar que en el caso del complemento a

Como en el sistema hexadecimal el mayor

15. Para resolver la resta, tendremos que

número que tenemos es el 15, que

sumar al minuendo el complemento a

corresponde a la letra F, tendremos que

dieciséis del sustraendo.

… escribir la F tantas veces como números

A4FC9

tiene el sustraendo. + FF218 FFFFF ————————— - 00DE8

21

1A41E1 ————————— Con la suma obtenemos el resultado FF217

1A41E1.

La resta se hace siguiendo las normas

Te habrás dado cuenta que este nuevo

generales de la resta común.

número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restas, cosa

Ahora

tenemos

que sumarle

1

a

la

imposible en una resta (que la diferencia

diferencia obtenida. Este paso es muy

sea

mayor

que

el

importante, ya que es la diferencia entre

sustraendo).

Por

eso,

hacer la resta en complemento a 15 ó 16,

complemento

a

y se suele olvidar fácilmente. Además,

despreciar (eliminar) el número de la

recuerda que estás sumando en sistema

izquierda. En este caso es el 1.

minuendo

16,

y

y

el

estando

en

tendremos

que

hexadecimal, siguiendo el mismo proceso explicado anteriormente.

FF217

La respuesta, por lo tanto, es A41E1.

En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, ya que hemos

+

1

————————— FF218

resuelto

la

misma

resta

en

sistema

hexadecimal. Por lo tanto, podremos comprobar

que

hemos

operado

bien

comparando las respuestas obtenidas en complemento a 15 y en complemento a 16 para una misma resta.

A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos el complemento a 16.

Además,

ten

en

cuenta

que

puedes

comprobar los resultados utilizando una Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 16

calculadora científica.

…

(F)16 usando sólo un carácter hexadecimal.

Claramente,

no

existe

permita que

natural

que

, por lo que el

sistema alfanumérico no puede usarse para este propósito.]. Por otro lado, el sistema

alfanumérico

puede

ser

una

alternativa respecto de otros sistemas de bases menores a la hora de numerar o identificar los objetos de un conjunto, ya El sistema

numérico en

base

36

se

llama sistema alfanumérico y utiliza para su representación los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.pueden ser mayusculas o minusculas Recibe este nombre dado que los símbolos que

utiliza

para

su

representación

concuerdan

con

la

computacional

tradicional

definición de

carácter

alfanumérico; hay que tener presente que los

caracteres

corresponden

alfabéticos

al alfabeto

utilizados

latino de

la

lengua inglesa.

informática,

no

es

una

buena

alternativa respecto de sistemas como el binario, el hexadecimal o cualquier otro en

base

.

una palabra de

Esto cierto

se

debe tamaño

a

que puede

tener un manejo más intuitivo por los humanos si se escribe en base usando varias bases producto

sea

(1111)2 puede

una

misma

. ser

o bien

tales que su Así,

la

sintetizada

palabra como

cantidad

se

puede

representar con una cadena de símbolos más corta. Un ejemplo de esto puede ser su uso en la asignación de números de patente - ignorando la supresión de ciertos símbolos o palabras a causa de motivos visuales o de otra índole - u otro tipo de palabra alfanumérica identificatoria a un objeto cualquiera. De este modo, el número de patente asignado a un vehículo puede ser (RT5183)36 en lugar de su equivalente decimal más largo y difícil de memorizar anterior

El sistema alfanumérico, en el contexto de la

que

(1681530483)10.El

puede

extenderse,

principio utilizando

otros sistemas como el base64, pero que pueden

resultar

emplear

por

existencia

menos

humanos

simultánea

intuitivos debido de

a

de la

caracteres

alfabéticos mayúsculos o minúsculos y otros caracteres de relleno cuando la cantidad de caracteres alfabéticos es insuficiente.

22