UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Dept. Formación General y Ciencias Básicas MATEMÁTICAS III Prof.: David Coronado
e)
f)
Práctica 1 Matrices - Determinantes - Sistemas de ecuaciones
g)
1. Calcular AB si a) A =
2 3 −1 2
b) A =
1 −1 1 1
yB=
4 1 0 6
yB=
−1 0 2 3
h)
i)
−4 5 1 c) A = y 0 4 2 3 −1 1 5 6 4 B= 0 1 2 1 4 −2 0 1 d) A = yB= 3 0 4 2 3 e ) A = 1 4 0 2 y 3 −6 2 4 B= 1 0 −2 3 1 4 3 2 1 −2 f) A = yB = 0 −6 4 0 3 2
j)
k)
3. Calcule los siguientes determinantes. a)
b)
c)
2. Hallar, si existe, la inversa de la matriz dada. a) A =
3 2 2 1
b) A =
0 1 1 0
1 6 2 5 A = −2 3 7 12 −4 −2 −1 4 0 5 A = −1 19 −7 3 1 1 1 1 1 2 −1 2 A= 1 −1 2 1 1 3 3 2 2 3 A= −1 4 −1 2 A= 2 −4 −1 2 0 A = 4 1 −3 2 5 −3 2 0 4 A = −1 3 1 0 1 2
d)
−2 3 1
4 6 5
0 2 1
−1 0 6 0 2 4 1 2 −3
−1 1 0
2 1 4
1 5 6
2 0 0 1
0 1 0 2
3 4 1 3
1 2 5 0
0 0 7
2 −1 4
e) 0 −1 5
2 3 0
a b c
4. Sabiendo que
d e f
g h i
1 1 1 c) A = 0 2 3 5 5 1 3 2 1 2 d) A = 0 2 0 0 −1
1
−2 1 3 4
= −6. Calcular:
2
a)
b)
c)
d e f g h i d e f
9. Demuestre que para todo real θ la matriz dada es invertible y encuentre su inversa
sen θ cos θ 0 cos θ − sen θ 0 . 0 0 1
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
a + g b + h c + i
d e f
g h i
−3c
f
i − 4f
c
f
= 8. Calcular: i
−3a −3b d e g − 4d h − 4e
a b
5. Sabiendo que
d e
g h
g h i
a )
d e f
a b c
−3a −3b −3c
2e 2f
b )
2d
5g 5h 5i
2a − 3d 2b − 3e 2c − 3f
g h i c )
d e f d)
10. Demuestre (en una línea) que la matriz A no es invertible para
7. Muestre que la matriz propia inversa.
a) A = b) B =
i 2 1 −i
c)
3 4 −2 −3
1−i 0 0 1+i
1 i 0 0 1 c ) C = −i 0 1+i 1−i
11. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
b)
d)
es su
8. Encuentre la inversa de √ las siguientes matrices. Recuerde que i = −1 por lo tanto, i2 = 1, i3 = −i, i4 = 1.
1 0 0 A = −2 0 0 4 6 1
a)
6. Demuestre que si A, B y C son matrices invertibles. Entonces ABC es invertible. ¾Cuál es su inversa?
e) f)
x 3x x x 3x 2x x 3x 4x 2x 4x 3x 2x 4x 3x 2x
+y +8z = 3 +6z = 3 +y +9z = 3 +y
+8z = 3 +6z = 3 +2y +16z = 6 +y
+8z = 3 +6z = 3 +y +14z = 3 −y = 3 +5y = 7 +6y −7z = 0 −y +3z = 1 −y +z −w = −7 +y −5z +6w = 8 −y +z =9
12. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, primero escriba el sistema en forma matricial Ax = b. Segundo, encuentre A−1 . nalmente, multiplique A−1 por b para obtener el vector solución. a)
x −3y = 4 2x +5y = 7
=3 x +2y 2x +y −z = −1 b) 3x +y +z = 7