Loescher_Matematica c.v.d.

unità

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Le equazioni lineari in una incognita

1 Le equazioni

esercizi pag. 000

Consideriamo le due espressioni algebriche x 2 - 4x + 4 e (x - 2)2.

Studiando i polinomi abbiamo potuto scrivere x2 - 4x + 4 = (x - 2)2.

Questo vuol dire che se sostituiamo alla variabile x un qualsiasi numero reale otteniamo una uguaglianza vera, chiamata identità.

Definizione

Si chiama identità un’uguaglianza tra due espressioni algebriche vera per qualunque valore attribuito alle lettere che vi compaiono.

x+4 e 1.

2 Ci domandiamo se esistono valori di x che rendono la prima espressione uguale alla seconda, cioè se esistono valori di x per i quali è vera la seguente uguaglianza: x+4 =1 2 Osserviamo che l’unico valore che possiamo sostituire alla lettera x per rendere l’uguaglianza vera è -2.

L’obiettivo di questa Unità è quello di cercare i valori che si possono sostituire alle lettere di due espressioni algebriche affinché queste assumano lo stesso valore.

Consideriamo ora le due espressioni algebriche

Definizione

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche.

osserva

Un’uguaglianza è una proposizione.

Il suo predicato è «è uguale a».

2

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

1 x + 3 = x + 1 xy + 1 = 0 x 2 - 3y = 5 2

L’espressione a sinistra dell’uguaglianza viene detta primo membro.

L’espressione a destra dell’uguaglianza viene detta secondo membro.

x-3 1 x-2 = x2 5 4 42 44 3 < 1 4secondo primo membro membro

2 Equazioni in una incognita

esercizi pag. 000

Ogni variabile che compare in un’equazione si chiama incognita.

Per indicare le incognite che compaiono in un’equazione vengono di solito usate le ultime lettere dell’alfabeto (x , y , z , t , ...).

In questa Unità ci occuperemo, in particolare, di equazioni in una sola incognita.

Fra le equazioni in una sola incognita distinguiamo i seguenti tipi. ▶▶ Equazioni numeriche intere: equazioni i cui membri sono due polinomi nella stessa variabile che contengono, oltre all’incognita, solo numeri.

▶▶

▶▶

3x + 4x2 = 5

▶▶

x(x - 1) +

1 1 + x = 4x - 6 2 4

Equazioni numeriche fratte: equazioni in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contengono, oltre all’incognita, solo numeri.

Esse sono definite in un insieme A 3 R di valori dell’incognita che non annullano i denominatori.

▶▶

x + 11 1 = 1+ x 6 x-3

▶▶

1 x +2 = x x+1

Osserviamo che la prima equazione è definita per x ! 3, mentre la seconda è definita per x ! 0 / x ! −1. ▶▶

Equazioni letterali intere: equazioni i cui membri sono due polinomi nella stessa variabile e che contengono, oltre all’incognita, numeri e lettere.

▶▶

▶▶

ax(a - x) -

a+x =0 2

▶▶

x + ax = a a-1

Equazioni letterali fratte: equazioni in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contengono, oltre all’incognita, numeri e lettere.

teoria

Esse sono definite in un insieme A 3 R di valori dell’incognita che non annullano i denominatori.

▶▶

a 1 = x+a x

▶▶

3-

3x + 6 ax - 2 = +4 2x ax

Osserviamo che la prima equazione è definita per x ! -a / x ! 0, mentre la seconda è definita per x ! 0.

Definizione

Chiamiamo soluzioni (o radici) di un’equazione tutti i valori che, sostituiti all’incognita, rendono il primo membro uguale al secondo.

Le soluzioni (o radici) di un’equazione dipendono dall’insieme numerico in cui tali soluzioni vengono cercate. È necessario quindi indicare a quale insieme numerico esse appartengono.

Data l’equazione 2x - 2 = 3: 5 ▶▶ x = è soluzione dell’equazione se operiamo in R; 2 ▶▶ l’equazione non ha soluzioni se operiamo in N.

Se non viene specificato, ricerchiamo in R le soluzioni di un’equazione.

Chiamiamo S l’insieme delle soluzioni, cioè il sottoinsieme di R che contiene tutti i possibili valori che, attribuiti all’incognita, rendono il primo membro uguale al secondo.

Fare la verifica di un’equazione vuol dire sostituire la soluzione trovata all’incognita e controllare che i due membri dell’uguaglianza assumano lo stesso valore.

Vogliamo verificare che x = 1 è soluzione dell’equazione 3x + 4x 2 = x(2x + 5).

Sostituiamo nel primo membro il valore 1 all’incognita; otteniamo: 3 · 1 + 4 · 12 = 3 + 4 = 7.

Sostituiamo ora nel secondo membro il valore 1 all’incognita; otteniamo: 1 · (2 · 1 + 5) = 1 · 7 = 7.

I due membri assumono lo stesso valore; pertanto x = 1 è soluzione dell’equazione.

Risolvere un’equazione vuol dire ricercare l’insieme S delle sue soluzioni.

A seconda delle soluzioni contenute nell’insieme S possiamo classificare le equazioni nel modo seguente: 1. un’equazione si dice determinata se S contiene un numero finito e diverso da zero di soluzioni; 2. un’equazione si dice impossibile se S coincide con l’insieme vuoto; 3. negli altri casi l’equazione si dice indeterminata.

3

4

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

3 Principi di equivalenza

esercizi pag. 000

Definizione

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Per risolvere un’equazione dobbiamo cercare di scriverla in una forma progressivamente più semplice, cioè dobbiamo trasformare l’equazione in una ad essa equivalente, usando i principi di equivalenza.

Per la dimostrazione di tali principi vengono utilizzate le proprietà dell’uguaglianza tra numeri.

Consideriamo l’equazione F(x) = G(x), in cui le espressioni F(x) e G(x) assumono valori in un sottoinsieme A di R e sia H(x) un’espressione definita per tutti i valori dell’insieme A. Proprietà

Primo principio (principio di addizione)

Se a entrambi i membri dell’equazione F(x) = G(x) si somma o si sottrae la stessa espressione H(x), si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Per dimostrare tale principio dobbiamo far vedere che ogni soluzione dell’equazione F(x) = G(x) è anche soluzione dell’equazione F(x) + H(x) = G(x) + H(x) e, viceversa, ogni soluzione dell’equazione F(x) + H(x) = G(x) + H(x) è anche soluzione dell’equazione F(x) = G(x).

Ipotesi

Tesi

F(x) = G(x)

F(x) + H(x) = G(x) + H(x)

Dimostrazione

Se a è soluzione dell’equazione F(x) = G(x), allora F(a) = G(a).

Poiché F(a), G(a) e H(a) rappresentano numeri, per la prima proprietà di monotonia dell’uguaglianza tra numeri F(a) + H(a) = G(a) + H(a).

Possiamo allora concludere che ogni soluzione dell’equazione F(x) = G(x) è anche soluzione dell’equazione F(x) + H(x) = G(x) + H(x). c.v.d.

Dimostriamo ora il viceversa.

Ipotesi

Tesi

F(x) + H(x) = G(x) + H(x)

F(x) = G(x)

Dimostrazione

Se a è soluzione dell’equazione F(x) + H(x) = G(x) + H(x), allora F(a) + H(a) = G(a) + H(a).

Poiché F(a), G(a) e H(a) rappresentano numeri, per la regola di cancellazione tra numeri F(a) = G(a).

Possiamo allora concludere che ogni soluzione dell’equazione F(x) + H(x) = G(x) + H(x) è anche soluzione dell’equazione F(x) = G(x).

Le due equazioni sono quindi equivalenti. c.v.d.

Proprietà

Secondo principio (principio di moltiplicazione)

Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri dell’equazione F(x) = G(x), definite in un sottoinsieme A di R, per una stessa espressione H(x), diversa da zero in tutto l’insieme A, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

osserva

Per il primo principio l’equazione x + 3 = 2x + 3 è equivalente a x = 2x, ottenuta sommando a entrambi i membri -3.

teoria

Per dimostrare tale principio dobbiamo mostrare che ogni soluzione dell’equazione F(x) = G(x) è anche soluzione dell’equazione H(x) · F(x) = H(x) · G(x), con x ! A 3 R e H(x) ! 0, 6x ! A 3 R e, viceversa, ogni soluzione dell’equazione H(x) · F(x) = H(x) · G(x) è anche soluzione dell’equazione F(x) = G(x).

Ipotesi

Tesi

F(x) = G(x), con x ! A 3 R H(x) ! 0, 6x ! A 3 R

H(x) · F(x) = H(x) · G(x)

osserva

Per il secondo principio l’equazione - 2x = 7 è equivalente 7 a x =- , 2 ottenuta dividendo entrambi i membri per -2.

Dimostrazione

Se a è soluzione dell’equazione F(x) = G(x), allora F(a) = G(a).

Se a ! A, allora H(a) ! 0. Poiché F(a) e G(a) rappresentano numeri, per la seconda proprietà di monotonia dell’uguaglianza tra numeri H(a) · F(a) = H(a) · G(a).

Possiamo allora concludere che ogni soluzione dell’equazione F(x) = G(x) è anche soluzione dell’equazione H(x) · F(x) = H(x) · G(x). c.v.d.

Dimostriamo ora il viceversa.

Ipotesi

Tesi

H(x) · F(x) = H(x) · G(x) H(x) ! 0, 6x ! A 3 R

F(x) = G(x)

Dimostrazione Se a ! A, allora H(a) ! 0.

Se a è soluzione dell’equazione H(x) · F(x) = H(x) · G(x), allora H(a) · F(a) = H(a) · G(a).

Poiché F(a) e G(a) rappresentano numeri e poiché H(a) ! 0, per la regola di cancellazione tra numeri F(a) = G(a).

Possiamo allora concludere che ogni soluzione dell’equazione H(x) · F(x) = H(x) · G(x) è anche soluzione dell’equazione F(x) = G(x).

Le due equazioni sono quindi equivalenti. c.v.d.

Dai principi di equivalenza si deducono le regole seguenti utili per la risoluzione di equazioni.

Regola I

Se i due membri di un’equazione contengono due termini uguali, questi possono essere eliminati. esempio

Verifichiamo la regola con l’esempio seguente.

Consideriamo l’equazione x + 4 = 4.

Applicando il primo principio di equivalenza, sommiamo a entrambi i membri il numero - 4; otteniamo:

x + 4 - 4 = 4 - 4, cioè x = 0.

Allo stesso risultato si perviene eliminando da entrambi i membri dell’equazione x + 4 = 4 il numero 4: x+4=4"x=0

In generale, in un’equazione in cui entrambi i membri contengono due termini uguali, aggiungere a entrambi i membri gli opposti dei due termini equivale a eliminare i due termini uguali.

5

osserva

I principi di equivalenza permettono di trasformare un’equazione in un’altra a essa equivalente.

10

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

●● Equazioni numeriche fratte

riconducibili a equazioni lineari

Definizione

Un’equazione numerica fratta in una variabile è un’equazione in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contiene, oltre all’incognita, solo numeri.

Dopo aver posto le C.E. e applicato i principi di equivalenza, l’equazione è ricondotta alla forma normale ax = b.

Tale equazione può essere: 1. indeterminata, se a = 0 / b = 0, 2. impossibile, se a = 0 / b ! 0, b 3. determinata, se a ! 0 con soluzione x = . Tale soluzione è accettabile solo se non a b coincide con un valore scartato dalle C.E. Se x = coincide con un valore scartato a dalle C.E., l’equazione è impossibile.

Possiamo riassumere le possibili soluzioni di un’equazione numerica fratta nel seguente schema: Z Z b ] ]] se d C.E. " equazione determinata " S = ' b 1 a a ] ]a ! 0 [ b ] se z C.E. " equazione impossibile " S = Q ax = b [ \ a ] b = 0 " equazione indeterminata " S / C.E. ] ]a = 0 * b ! 0 " equazione impossibile " S = Q \ esempio 1

Vogliamo risolvere l’equazione fratta Determiniamo le C.E.

x+3 1 1-x .

- x= x+1 2 2 x + 1 ! 0 & x ! -1

Determiniamo il m.c.m. tra i denominatori x + 1 e 2.

Moltiplichiamo entrambi i membri per il m.c.m.

Eseguiamo le moltiplicazioni.

m.c.m.(x + 1; 2) = 2(x + 1) x+3 1 1-x 2 (x + 1) c - x m = 2 (x + 1) x+1 2 2 2(x + 3) - x(x + 1) = (x + 1)(1 - x) 2x + 6 - x 2 - x = 1 - x 2

Riduciamo i termini simili e riconduciamo l’equazione alla forma x = -5.

Tale soluzione è accettabile perché non coincide con il valore scartato dalle C.E.

esempio 2

Vogliamo risolvere l’equazione fratta

3 2 4 . = x+1 x-1 1 - x2

Scomponiamo i denominatori.

3 2 4 = x+1 x-1 (1 - x) (1 + x)

Raccogliamo il segno «-» al denominatore della seconda frazione.

3 2 4 + = x+1 1-x (1 - x) (1 + x)

Determiniamo le C.E.

x ! -1 / x ! -1

osserva

Le C.E. individuano tutti quei valori che, attribuiti all’incognita, non annullano i denominatori.

teoria

Moltiplichiamo entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori: (1 + x)(1 - x).

Eliminiamo le parentesi.

11

3(1 - x) + 2(1 + x) = 4 3 - 3x + 2 + 2x = 4

Riduciamo i termini simili e riconduciamo l’equazione alla forma normale:

-x = -1 x=1

Tale soluzione coincide con un valore scartato dalle C.E.; pertanto non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile e S = Q.

●● Equazioni lineari intere letterali Definizione

Un’equazione intera letterale è un’equazione i cui membri sono polinomi in una sola variabile. Essa contiene, oltre all’incognita, numeri e lettere che rappresentano numeri.

Dobbiamo ora discutere l’equazione cioè determinare per quali valori del parametro (o dei parametri) l’equazione è: ·· determinata; ·· indeterminata; ·· impossibile.

Se un parametro compare al denominatore, prima di risolvere l’equazione letterale dobbiamo scartare, da tutti i possibili valori che possiamo attribuire al parametro, quei particolari valori che annullano il denominatore. L’insieme R privato di tali valori soddisfa le condizioni di validità (C.V.) dell’equazione.

Un’equazione lineare intera letterale, dopo aver posto eventualmente le C.V., è riconducibile, applicando i principi di equivalenza, alla forma normale Ax = B, dove A e B sono due polinomi che non contengono l’incognita.

Esaminiamo ora i seguenti casi: 1. A = 0 / B = 0. In tal caso l’equazione diventa 0x = 0; pertanto è indeterminata, con soluzione S = R; 2. A = 0 / B ! 0. In tal caso l’equazione diventa 0x = B; pertanto è impossibile, con soluzione S = Q; B 3. A ! 0 . In tal caso l’equazione è determinata e ha come soluzione x = .

A Vediamo, svolgendo alcuni esercizi, come si risolvono tali equazioni.

Primo caso L’equazione presenta, oltre all’incognita, un solo parametro.

Vogliamo risolvere l’equazione a(a - 1)x = 1 - a.

Discussione Il coefficiente della variabile x è a(a - 1), composto dai due fattori a e (a - 1).

Se a ! R, i casi da esaminare sono quelli in cui a = 0 e a - 1 = 0. ▶ Se a = 0, l’equazione diventa 0x = 1; pertanto è impossibile e S = Q. ▶ Se a - 1 = 0, cioè a = 1, l’equazione diventa 0x = 0; pertanto è indeterminata e S = R. 1 ▶ Se a ≠ 0 / a ≠ 1, l’equazione è determinata e la soluzione è x = - . a Lo schema seguente riassume le soluzioni dell’equazione al variare dei valori di a ! R.

osserva • Le lettere diverse

dall’incognita sono dette parametri.

• Nelle equazioni letterali non si devono confondere i parametri con la variabile.

22

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

●● Problema 5 Calcoliamo le misure dell’area e del perimetro di un triangolo isoscele ABC di base AB sapendo che l’altezza è 15 cm e che il lato supera di 9 cm la metà della base. fig

Dati Obiettivi CH = 15 cm AABC

C

6

AC = AH + 9 cm

A

H

2pABC

B

procedimento risolutivo

Poniamo AH = x , con x > 0.

Scriviamo AC = x + 9 .

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACH, otteniamo:

osserva

Teorema di Pitagora:

AC2 = AH 2 + CH 2 .

Sostituendo i valori corrispondenti, otteniamo l’equazione che risolve il problema:

a

c

(x + 9)2 = x 2 + 225 " x 2 + 18x + 81 = x 2 + 225 " 18x = 144 " x = 8.

La soluzione è accettabile.

Concludiamo allora che: ▶▶ AH = 8 (in cm); ▶▶ AB = 2x = 16 (in cm); ▶▶ AC = x + 9 = 17 (in cm).

b a = b + c2 2

2

osserva

Area di un triangolo:

Calcoliamo AABC e 2pABC

h

AB $ CH 1 = (16 · 15) · = 120 (in cm2) 2 2 = AB + 2 · AC = 16 + 2 · 17 = 80 (in cm)

b

AABC =

2pABC

A=

b$h 2

●● Problema 6 Calcoliamo le misure dei lati di un triangolo rettangolo che ha il perimetro di 60 cm e 5 un cateto uguale ai della sua proiezione sull’ipotenusa.

4 fig

7

Dati Obiettivi

C

AC AB + BC + CA = 60 cm 5 CB AB = HB 4 AB

H

A

B

procedimento risolutivo

Poniamo BH = x , con x > 0. Allora AB =

5 x.

4

teoria

Per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ACB scriviamo: AB2 = BH $ BC

m

25 2 1 25 AB 2 BC = = x $ = x.

16 x 16 BH Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ACB scriviamo:

AC =

c

h a

n

Primo teorema di Euclide: b2 = m · a c2 = n · a Secondo teorema di Euclide: h2 = m · n

AC 2 = BC 2 - AB 2 .

Sostituendo i valori in funzione di x: 625 2 25 2 225 2 AC 2 = x x = x 256 16 256

osserva

b

cioè:

23

225 2 15 x = x 256 16

L’equazione che risolve il problema è pertanto: 25 5 15 x+ x+ x = 60 16 4 16 25x + 20x + 15x = 960 60x = 960 x = 16.

La soluzione è accettabile.

Teorema 1.1

Per una retta e un punto fuori di essa passa uno e un solo piano.

Ipotesi r è una retta; C g r Tesi r e C appartengono a uno e un solo piano

fig

12

A

B

r

C

a

Dimostrazione Consideriamo due punti A e B distinti di r, la cui esistenza è assicurata dall’assioma 2.

A, B e C sono allora tre punti distinti e non allineati; per l’assioma 4, essi individuano uno e un solo piano, che chiamiamo a. Per l’assioma 3, la retta r appartiene ad a. Concludiamo che per r e C passa uno e un solo piano. c.v.d.

Teorema 1.2

Due rette distinte di un piano hanno al massimo un punto in comune.

Ipotesi r ! a / s ! a; r ! s Tesi r + s è formata al massimo da un punto P

fig

13

a

A

B

r

C

Dimostrazione Le rette r e s non possono avere due punti distinti A e P in comune: per l’assioma 1, infatti, per A e P passerebbe una e una sola retta, e quindi r e s dovrebbero coincidere.

Ma essendo distinte, concludiamo che r e s o hanno un solo punto in comune oppure non ne hanno. c.v.d.

osserva

Se r e s sono rette distinte, allora può capitare una sola delle due situazioni: ▶ r + s = {P} ▶r+s=Q

13 esercizi

unità

Le equazioni lineari in una incognita 1 Le equazioni

teoria pag. 000

ricorda ▶▶

Si chiama identità un’uguaglianza tra due espressioni algebriche vera per qualunque valore attribuito alle lettere che vi compaiono.

▶▶

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche.

conoscenze

Ragioniamo sulla teoria

1

ETICHETTA 1

Individua tra le seguenti uguaglianze le identità:

A x(2x + 3) = x2 + 3 B x2 + x(3x + 1) = 4x2 + x C (a - b)3 - 3ab(a - b) = a3 - b3 D a(x - 1) = a(x + 1) + 2a E (x + a)(x - a) - (x - a)2 = a(2x - a)

2

[b‑c‑e]

Indica se le seguenti proposizioni sono vere o false. a. b. c. d. e. f. g.

Nell’equazione 3x - 3 = 2x + 5, il primo membro è 3x.

Nell’equazione 4x - 2y + 5 = 0, il secondo membro è 0.

-(x + 1)(x - 3) = x + 2 è un’equazione il cui primo membro è x + 2. x - 2 = 0 è un’equazione il cui secondo membro è 1.

3 + 5 = 8 è un’equazione. x = 4 è un’equazione.

Se nell’equazione 9x 2 - 6x + 1 = (3x - 1)2 sostituiamo alla variabile x un qualsiasi numero reale otteniamo un’uguaglianza vera.

ETICHETTA 2

Completa la seguente tabella.

Primo membro

Secondo membro

x - 3x = 4 2

0 = 2x + 7 x - 1 = 3 - 2x3

00‑00 Verifica le seguenti identità.

10

F

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

abilità

wapplichiamo la teoria

3

v

2(4x - y) + x + 5y = x + 3y + 4(2x - y)

15

(2a - 3b) (2a + 3b) - b(3a - 16b) = b(9a - 2b) + (2a - 3b)2

16

9x + 1 5x - 1 1 1 2 = - (3x - 1) c 5x + m 2 3 4 4 3

17

(a - b)(3b - a) + (a - b)2 + 4ab = (2a + b)2 - (a - b)(4a - 3b) - 5ab

18

c

2x 2x 4 2 x-2 1 1 1 :c 2 + - m - 2m : c2 + = m+ 2-x x+2 x+2 x-2 4 x 2x2 x

esercizi

2 Equazioni in una incognita

25

teoria pag. 000

ricorda ▶▶

Chiamiamo soluzioni (o radici) di un’equazione tutti i valori che, sostituiti all’incognita, rendono il primo membro uguale al secondo.

▶▶

Tra le equazioni in una sola incognita distinguiamo: ·· equazioni intere numeriche: equazioni i cui membri sono due polinomi nella stessa variabile che contengono, oltre all’incognita, solo numeri; ·· e quazioni numeriche fratte: equazioni in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contengono, oltre all’incognita, solo numeri; ·· equazioni letterali intere: equazioni i cui membri sono due polinomi nella stessa variabile e che contengono, oltre all’incognita, numeri e lettere; ·· equazioni letterali fratte: equazioni in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contengono, oltre all’incognita, numeri e lettere.

▶▶

A seconda delle soluzioni un’equazione può essere: ·· determinata, se ammette un numero finito, diverso da zero, di soluzioni; ·· impossibile, se non ha soluzioni; ·· indeterminata negli altri casi.

Ragioniamo sulla teoria

200

ETICHETTA 3 Indica se le seguenti proposizioni sono vere o false.

a. b. c. d. e.

x = 4 è soluzione dell’equazione 3x - 5 = 7.

L’equazione 2x = 2x è impossibile.

L’equazione 2x = 0 è indeterminata. x2 - 3x = 2 è un’equazione nell’incognita x.

Se l’insieme delle soluzioni di un’equazione coincide con l’insieme vuoto, l’equazione è indeterminata. f. Se l’insieme delle soluzioni di un’equazione coincide con l’insieme vuoto, l’equazione è impossibile. g. Se nell’equazione x 2 - 3x = 2x sostituiamo all’incognita x il valore 0 otteniamo 0 = 0.

Ciò vuol dire che x = 0 è una soluzione dell’equazione.

201

conoscenze

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

v

F

Indica se le seguenti proposizioni sono vere o false. a. 3x - 5 = 7 è un’equazione numerica intera.

1 x + 3x - 1 = 3 è un’equazione numerica fratta. b.

2 c.

3x x-1 + - x = 3x è un’equazione numerica fratta.

2 x+2

v

F

d.

x-a 5x - 3x = 2x è un’equazione letterale fratta. + a+2 2

v

F

26

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

abilità

applichiamo la teoria 5

ESERCIZIO GUIDATO

È data l’equazione (2x + 1)(3x - 5) + 5x = (x - 1)2 -1. Verifica se x = -1 è soluzione dell’equazione.

1. In ciascun membro sostituiamo all’incognita x il valore -1.

2. Calcoliamo separatamente i due membri L’uguaglianza tra i due membri è verificata, quindi x = -1

6

soluzione dell’equazione.

ESERCIZIO GUIDATO

È data l’equazione (2x + 1)(3x - 5) + 5x = (x - 1)2 - 1. Verifica se x = 1. In ciascun membro sostituiamo all’incognita 1 x il valore - .

2 2. Calcoliamo separatamente i due membri.

7

20 = 5 - x(2 - x) 4x + 3 = 7 (x - 1)(x + 3) = x + 4 - 7 (2x + 1)(2x - 1) - (2 - 3x) = (x + 1)3 - x3 1 e. 3(x - 1) + - 4x = (1 + x) · 2 2 3x + 5 f. =x x-1

1 1 1 ;2 $ c - m + 1E $ ;3 $ c - m - 5E + 5 $ c - m 2 2 2

1 2

2 1 ;c - m - 1E - 1 2

soluzione dell’equazione.

x = -3 x=1 x=2 x = -1 1 x =6 x = -1

[sono vere a‑b‑c‑f]

Per ciascuna delle seguenti equazioni stabilisci quali, tra i valori indicati a fianco, sono soluzioni dell’equazione.

1 A x=0 B x=1 C x = -1 D x =- 1 a. 4x2 - 3x = 1 ;1; - E 4 4 1 11 1 1 2 A x = 0x B x= C x= D x = 2 b. (x - 3)(x + 1) - x = ; ; 2E 3 3 3 3 3 2 2 x (x + 1) 2x + 3 x + 1 8 3 3 3 x A x =B x=5 C x =D x = -3 c. + x= ;- ; 5E 5 4 5 2 4 12 3 6 d.

9

Secondo membro

ETICHETTA 4 Per ciascuna delle seguenti equazioni stabilisci se il valore a fianco indicato è soluzione dell’equazione.

a. b. c. d.

8

Primo membro

verificata, quindi x = -

L’uguaglianza tra i due membri

1 è soluzione dell’equazione.

2

3 2x 2x + 1 + = x-1 x2 - 1 x + 1

A x=0

B x=

2 5

C x=1

Completa la tabella inserendo ogni equazione nella colonna a cui appartiene.

Numerica intera

Numerica fratta

Letterale intera

Letterale fratta

a

d

c

i

b

e

g

j

f

h

D x = 0

2 ; E 5

esercizi

a.

4 x x+3 = 2 3 5x - 2 x+1 1 b. + = 5 2 10

3 x = x 2-x 3 g. ax + = x - 3 a

c. ax + a = x + 1

h.

a + b + 2bx 2bx = b-a a + 3b x2 - 1 1 - x 2x 1 = 5bx 5b 5b x

27

f. 4x +

d.

2x + 4 =5 4x + 3

i.

e.

45 4x -5 = +3 3 2 (x - 3)

j. c x -

3 1 1 1 4 mcx + m + c - 5m = x ax ax a x 5

3 Principi di equivalenza

teoria pag. 000

ricorda ▶▶

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

▶▶

Primo principio di equivalenza (principio di addizione): se a entrambi i membri dell’equazione F(x) = G(x) si somma o si sottrae la stessa espressione H(x), si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

▶▶

econdo principio di equivalenza (principio di moltiplicazione): se si S moltiplicano o si dividono entrambi i membri dell’equazione F(x) = G(x), definita in un sottoinsieme A di R, per una stessa espressione H(x), diversa da zero in tutto l’insieme A, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Ragioniamo sulla teoria

10

ETICHETTA 2 Completa.

a. 4x + 5 = 7 è equivalente a 4x = 2 per il 1° principio di equivalenza. b. -3x + 7 = 4x - 3 è equivalente a 3x - 7 = -4x + 3 per il 2° principio di equivalenza. c. 6x - 4 = 4x - 2 è equivalente a 2x = 2 per il 1° principio di equivalenza.

11

d.

x-3 x+4 è equivalente a 3x + 12 = x - 3 per il 2° principio di equivalenza. = 2 6

e.

5 7 x + 2x = + 4 è equivalente a 9x = 15 per il 2° principio di equivalenza.

2 2

ETICHETTA 3 Indica quale principio è stato applicato per passare dalla prima equazione alla seconda.

a. 3x + 4 = 3 b. 2 - 3x = 4x -3 3 1 x-2= c.

4 2 d. 3x - 2 = 5 - x - 2

12

3x = -1 3x - 2 = 3 - 4x 3x - 8 = 2 3x = 5 - x

Indica, giustificando la risposta, se le due equazioni sono equivalenti.

-4x2 + 4x3 = 3x

-4x + 4x2 = 3

conoscenze

unità

13 Esercizi di riepilogo

Quesiti 1

Individua tra le seguenti equazioni le uniche due che non sono di primo grado nella variabile x.

A 2x 2 + a(x + 1) = 3 B (x - 2)2 + 3x = (x - 3)(x + 3)

3 3 abx + - 1 = 0 4 a 1 D ax 2 + 3x = x + 5 a C

2

Associa a ogni equazione a cui si riferisce.

1 +x = 1 x-1 3 x (a - 2) = 2x + B. a a+1 a+x a =1 C. x + 2a x - 2a 3 (x + 1) x + 3 1 D. = 3 6 2 A.

a. è un’equazione numerica intera b. è un’equazione numerica fratta c. è un’equazione letterale intera d. è un’equazione letterale fratta

E. (a2 - 1)x = a + 1 3 x-2 (x + 2) + =1 7 4 1 = x+2 G. a-1 1 =5 H. x + x+1

F.

3

Sia ax = b un’equazione di primo grado nella variabile x ridotta a forma normale. Individua tra le seguenti proposizioni quella errata.

A Se a = 0 e b = 0 l’equazione è indeterminata.

B Se a ! 0 l’equazione è determinata.

C Se a ! 0 e b = 0 l’equazione è impossibile.

D Se a = 0 e b ! 0 l’equazione è impossibile.

5

Sono date le equazioni x-3 x - 2x 2 + 3 1

B. x(2 - x) + x(x - 1) = -(x + 1) + = 2x - 1 1 + 2x 1 - 4x 2 Solo una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A.

A Le equazioni sono equivalenti, perché hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

B Le equazioni sono equivalenti, perché entrambe hanno per soluzione x = -

1 .

2

esercizi di riepilogo

5

C Le equazioni non sono equivalenti, perché l’insieme delle soluzioni di A è Q e quello di B è ' -

1 1.

2

D Le equazioni non sono equivalenti, perché l’insieme delle soluzioni di B è Q e quello di A è ' -

1 1.

2

Vero o falso?

L’equazione

6

3x x-1 = + 1: 2+a 2

a. perde significato per a = -2.

v

F

b. è un’equazione letterale fratta.

v

F

c. è letterale intera.

v

F

d. è determinata per a ! -2.

v

F

Le due equazioni A m=0

x+m 2-x m -3 = 0 e + = x sono equivalenti per: 3 x 2

B m=4

C m = -2

D per nessun valore di m

7

Data l’equazione A x=1

3 2 4x + 2 individua la sua soluzione tra le seguenti. = 2 x+1 x+5 x + 6x + 5

B x = -5 C Q

D x=3

8

9

Associa a ogni equazione il suo risultato.

A.

5 18 x = 2 x-3 x+3 x -9

a.

B.

2 1 4 + =0 1 - x 2 1 - x x 2 + 2x + 1

b. -5

C.

3 15 2 + = 2 x 2 + 5x 2x - 10 x - 25

c. -1

D.

4, 2 + 2x = 1, 5x - 1,1 3

d. -

E. x2 - (x + 2)(x - 2) = 3x

e. 3

2

4 3

3

B a = 2

3

c a !

2

Indica per quali valori di a, tra quelli indicati, l’equazione A a =

11

4 3

3x + 4 = x - 1 non perde di significato.

3 - 2a 3 D a ! - 2

Indica per quali valori di $a$, tra quelli indicati, l’equazione A a !

3

10

87

1 3

B a!3

C a = -3

x+1 = 1 perde di significato.

3-a d a = 3

Indica per quali valori di a, tra quelli indicati, l’equazione x + 1 = 2a - 1 ha soluzione x = 3.

A a !

2 5

5

B a = 2

5

C a !

2

d per nessun valore di a.

88

12

unità

Indica per quali valori di a, tra quelli indicati, l’equazione A a !

13

13 Le equazioni lineari in una incognita

1 2

1

1

B a = 2

C a ! 2

x+1 = 1 ha soluzione x = -1.

2a - 1 d per nessun valore di a.

Indica quale tra le seguenti è la scrittura in forma simbolica del seguente problema.

5 La differenza tra il doppio di un numero con la metà del suo consecutivo è i del suo precedente: 2 5 1 A 2x - x + 1 = x - 1 2 2 5 1 B 2x - (x - 1) = (x + 1) 2 2 5 1 C 2x - x - 1 = x - 1 2 2 5 1 d 2x - (x + 1) = (x - 1) 2 2 E Nessuna delle precedenti

2

Un problema ha i seguenti dati e obiettivo: Dati N. cioccolatini + N. caramelle = 50 N. caramelle = 15 + N. cioccolatini

Obiettivo N. caramelle

Quale, tra i seguenti, è il testo del problema?

A Una scatola contiene 50 dolci tra caramelle e cioccolatini. Le caramelle sono 15 in più dei cioccolatini.

Quanti sono i cioccolatini?

B Una scatola contiene 50 dolci tra caramelle e cioccolatini. I cioccolatini sono 15 in più delle caramelle.

Quante sono le caramelle?

C Una scatola contiene 50 dolci tra caramelle e cioccolatini. Le caramelle sono 15 in più dei cioccolatini.

Quante sono le caramelle?

D Una scatola contiene 65 dolci tra caramelle e cioccolatini. Il numero dei cioccolatini supera di 15 il numero delle caramelle. Quante sono le caramelle?

3

È dato il seguente problema:

1 di quella del padre?».

5 Solo una delle seguenti scritture rappresenta l’equazione risolutiva e l’obiettivo del problema. Quale?

«Padre e figlio hanno rispettivamente 40 e 12 anni. Quanti anni fa l’età del figlio era

A Equazione risolutiva:

Obiettivo:

1 (40 - x) 5 L’età del padre e del figlio 5 anni fa 12 - x =

B Equazione risolutiva: 12 - 5x = 40 - x

Obiettivo:

Obiettivo:

Anni trascorsi 1 12 - x = (40 - x) 5 Anni trascorsi

D Equazione risolutiva: Obiettivo:

12 - 5x = 40 - x L’età del padre e del figlio 5 anni fa

C Equazione risolutiva:

4

C

È dato il seguente problema:

2 «Il perimetro di un triangolo isoscele è 64 cm. La base del triangolo è i del lato obliquo.

3 Determina le lunghezze della base e del lato obliquo».

Solo una delle seguenti scritture rappresenta i dati e l’obiettivo del problema. Quale?

A

B

esercizi di riepilogo

2 ; BC = 64 cm Obiettivo: 2p 3 2 B Dati: AB = BC ; 2p = 64 cm Obiettivo: Altezza 3 2 C Dati: AB = BC ; 2p = 64 cm Obiettivo: AB, BC 3 2 D Dati: AB + BC = 64 cm Obiettivo: 2p 3 A Dati: AB =

5

Il seguente triangolo è la figura di un problema che ha i dati e l’obiettivo indicati.

A

B

Dati CH = 9 cm BH = 5 cm AC = 15 cm

C

H

Obiettivo AABC

Dopo aver risolto il problema, indica tra le seguenti la sua soluzione.

A A ABC = 168 cm2 B A ABC = 84 cm2 C A ABC = 42 cm2 D A ABC = 45 cm2

6

Il seguente trapezio è la figura di un problema che ha i dati e l’obiettivo indicati.

D

A

C

H

Dati AB + DC = 54 cm AABCD = 324 cm2

Obiettivo CH

B

Dopo aver risolto il problema, indica tra le seguenti la sua soluzione.

A CH = 4 cm B CH = 12 cm C CH = 24 cm D CH = 32,4 cm

7

È dato il seguente problema: «Un allenatore deve suddividere i 50 ragazzi iscritti al corso di vela in due gruppi distinti secondo il livello atletico. Si sa che il numero dei ragazzi del primo gruppo è uguale alla 3 1 differenza dei del numero dei ragazzi del secondo gruppo con del numero dei 4 3 ragazzi del primo gruppo. Quanti sono i ragazzi del primo gruppo e quanti quelli del secondo?»

Risolvi il problema, dopo aver individuato dati e obiettivo. Indica poi, tra le seguenti, la soluzione del problema.

A 9; 41 B 18; 30 C 18; 32 D 12; 38

89

90

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

ESERCIZI 00‑00 Risolvi le seguenti equazioni.

2 4 5

(x + 1)3 - (x - 1)3 = 2(3x2 - x + 1) 1 2 x+ 3x - 4 3 3 x+2 =

+ 1 24 1 4 232 3 8 x+1 1 - = 0 4x + 1 x x2

[0]

x

[9] 1 ;- E 6 ;

14 E 3

6

3=

5x 2 1 - 2x

x-2 4 - x2

7

2-

3-x 1-x +2$ = 0 x-3 x 2 - 6x + 9

8

6 1 - 3x 3 1 + = 3- 2

x x 2 - 4x + 3 x-3 x - 3x

9

13x - 2 8x + 1 2x + 4 4x - 2 8x 2 + x + 1

+ - 2 = 2 + 2 x x2 - x x -x 2x + 2x x -1

[Q]

153

x = 0 x2 - x - 2

[0]

166

(3x - 1)2 12x - 4 - 3x -1 = 6x - 6 3x - 3

3 11 10 163

[Q] 1 ; E 3

[R \ {1}]

1 2 2 4x - 2 = 0 x-1 2x - x - 1 x + 1 2 (2x - 1)2 - 2(x - 1)(x + 1) - 4(x + 3) = 1

[5; -1]

d

1 ;- E 3

4x +

9x 2 + 8 3x - 1 1 4 + = 0 n$ 2 27x 3 - 1 3x - 1 9x 2 + 3x + 1

;

3 E 26

3 3x + 1 =

x x2

[Q]

1

2 (1 - 3x)2 3 3 1 3 1

c x + 1m c1 - x m - = c x - 1m 3 2 2 2 2 3

5 ; E 6

2

2x + 3 1 + 2x 2

+ = x-1 x2 + x + 1 1 - x3

[-2]

10

2x 2 - x = 0

11

(3x + 1)2 - (3x - 1)2 = 0

12

12x3 - 12x2 + 3x = 0

7

1 2 (4 - x)(4 + x) - 2(x - 1)(x + 1) = (1 - x)(x + 1) 3 3

5

Discuti l’equazione letterale intera che si presenta nella forma normale (a - 1)(a - 2)x = 1 - a.

6

Discuti l’equazione letterale fratta che ha C.E. x ! 2 / x ! -a, C.V. a ! 0 / a ! -1 e che, ridotta alla forma normale, si presenta nella forma (a + 1)(a - 3)x = (a2 - 1)(a - 3).

;0;

1 E 2 [0]

;0;

1 E 2

[!2]

esercizi di riepilogo

91

ESERCIZI 00‑00 Risolvi le seguenti equazioni.

2 4 5

(x + 1)3 - (x - 1)3 = 2(3x2 - x + 1) 1 2 x+ 3x - 4 3 3 x+2 =

+ 1 24 1 4 232 3 8 x+1 1 - = 0 4x + 1 x x2

[0]

x

[9] 1 ;- E 6 ;

14 E 3

6

3=

5x 2 1 - 2x

x-2 4 - x2

7

2-

3-x 1-x +2$ = 0 x-3 x 2 - 6x + 9

8

6 1 - 3x 3 1 + = 3- 2

x x 2 - 4x + 3 x-3 x - 3x

9

13x - 2 8x + 1 2x + 4 4x - 2 8x 2 + x + 1

+ - 2 = 2 + 2 x 2x + 2x x -x x -1 x2 - x

[Q]

153

x = 0 x2 - x - 2

[0]

166

(3x - 1)2 12x - 4 - 3x -1 = 6x - 6 3x - 3

3 11 10 163

[Q] 1 ; E 3

[R \ {1}]

1 2 2 4x - 2 = 0 x-1 2x - x - 1 x + 1 2 (2x - 1)2 - 2(x - 1)(x + 1) - 4(x + 3) = 1

[5; -1]

d

1 ;- E 3

4x +

9x 2 + 8 3x - 1 1 4 + = 0 n$ 2 27x 3 - 1 3x - 1 9x 2 + 3x + 1

;

3 E 26

3 3x + 1 =

x x2

[Q]

1

2 (1 - 3x)2 3 3 1 3 1

c x + 1m c1 - x m - = c x - 1m 3 2 2 2 2 3

5 ; E 6

2

2x + 3 1 + 2x 2

+ = x-1 x2 + x + 1 1 - x3

[-2]

10

2x 2 - x = 0

11

(3x + 1)2 - (3x - 1)2 = 0

12

12x3 - 12x2 + 3x = 0

7

1 2 (4 - x)(4 + x) - 2(x - 1)(x + 1) = (1 - x)(x + 1) 3 3

5

Discuti l’equazione letterale intera che si presenta nella forma normale (a - 1)(a - 2)x = 1 - a.

6

Discuti l’equazione letterale fratta che ha C.E. x ! 2 / x ! -a, C.V. a ! 0 / a ! -1 e che, ridotta alla forma normale, si presenta nella forma (a + 1)(a - 3)x = (a2 - 1)(a - 3).

;0;

1 E 2 [0]

;0;

1 E 2

[!2]

92

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

ESERCIZI 00‑00 Risolvi le seguenti equazioni.

2 4 5

(x + 1)3 - (x - 1)3 = 2(3x2 - x + 1) 1 2 x+ 3x - 4 3 3 x+2 =

+ 1 24 1 4 232 3 8 x+1 1 - = 0 4x + 1 x x2

[0]

x

[9] 1 ;- E 6 ;

14 E 3

6

3=

5x 2 1 - 2x

x-2 4 - x2

7

2-

3-x 1-x +2$ = 0 x-3 x 2 - 6x + 9

8

6 1 - 3x 3 1 + = 3- 2

x x 2 - 4x + 3 x-3 x - 3x

9

13x - 2 8x + 1 2x + 4 4x - 2 8x 2 + x + 1

+ - 2 = 2 + 2 x x2 - x x -x 2x + 2x x -1

[Q]

153

x = 0 x2 - x - 2

[0]

166

(3x - 1)2 12x - 4 - 3x -1 = 6x - 6 3x - 3

3 11 10 163

[Q] 1 ; E 3

[R \ {1}]

1 2 2 4x - 2 = 0 x-1 2x - x - 1 x + 1 2 (2x - 1)2 - 2(x - 1)(x + 1) - 4(x + 3) = 1

[5; -1]

d

1 ;- E 3

4x +

9x 2 + 8 3x - 1 1 4 + = 0 n$ 2 27x 3 - 1 3x - 1 9x 2 + 3x + 1

;

3 E 26

3 3x + 1 =

x x2

[Q]

1

2 (1 - 3x)2 3 3 1 3 1

c x + 1m c1 - x m - = c x - 1m 3 2 2 2 2 3

5 ; E 6

2

2x + 3 1 + 2x 2

+ = x-1 x2 + x + 1 1 - x3

[-2]

10

2x 2 - x = 0

11

(3x + 1)2 - (3x - 1)2 = 0

12

12x3 - 12x2 + 3x = 0

7

1 2 (4 - x)(4 + x) - 2(x - 1)(x + 1) = (1 - x)(x + 1) 3 3

5

Discuti l’equazione letterale intera che si presenta nella forma normale (a - 1)(a - 2)x = 1 - a.

6

Discuti l’equazione letterale fratta che ha C.E. x ! 2 / x ! -a, C.V. a ! 0 / a ! -1 e che, ridotta alla forma normale, si presenta nella forma (a + 1)(a - 3)x = (a2 - 1)(a - 3).

;0;

1 E 2 [0]

;0;

1 E 2

[!2]

unità

13 Percorsi di consolidamento e recupero

ripassiamo insieme 1 Le equazioni ▶▶

Si chiama equazione un’uguaglianza tra due espressioni, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che compaiono in essa.

-x 2 - x(3 + 5x) - 9 = 5x - 3(x - 7)

2 Equazioni in una incognita ▶▶

Classificazione delle equazioni • Intere numeriche: equazioni i cui membri sono due polinomi nella stessa variabile che contengono, oltre all’incognita, solo numeri.

1 4 2x + 1 x 2 - x + 4x = 4x - 5 - = -x 2 5 3 6 3

• Numeriche fratte: equazioni in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contengono, oltre all’incognita, solo numeri.

4b + 3x x+a = 12x - 5 x

• Letterali intere: equazioni i cui membri sono due polinomi nella stessa variabile e che contengono, oltre all’incognita, numeri e lettere. Le lettere sono dette parametri.

• Letterali fratte: equazioni in cui almeno un membro contiene l’incognita al denominatore e che contengono, oltre all’incognita, numeri e lettere.

• Si chiama soluzione di un’equazione di primo grado quel valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza.

3a + 6bx - 1 = 5ax - 7 + x x+

x-3 = 6a - 4ax a-1

3a +

a-1 a+1 x = x + 1 =0 2x a-x a+1

L’equazione 4x + 7 = 2x + 5 ha per soluzione x = -1.

Infatti: 4 · (-1) + 7 = 2 · (-1) + 5 3=3

3 Principi di equivalenza ▶▶

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

▶▶

Principi di equivalenza delle equazioni • Primo principio. Se a entrambi i membri di un’equazione si somma o si sottrae la stessa espressione, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

• Secondo principio. Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione, diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

2x + 3 = 5 e 7x - 11 = -3 - x sono equivalenti perché hanno per soluzione x = 1.

3x + 3 = x + 5 è equivalente a 3x + 3 - 2x = x + 5x - 2x

3x + 3 = x + 5 è equivalente a 5 · (3x + 3) = (x + 5) · 5

94

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

4 Grado di un’equazione ▶▶

▶▶

Le C.E. (condizioni di esistenza) sono tutti quei valori che, attribuiti all’incognita, non annullano i denominatori delle equazione fratte.

4x - 1 x+2 4 = + x x-3 5

C.E.:

Le C.V. (condizioni di validità) sono tutti quei valori che, attribuiti ai parametri, non annullano i denominatori dell’equazione.

ax x = xa-2 a+3

C.V.: a ! 2 / a ! - 3

5 Equazioni lineari e loro soluzioni ▶▶

Soluzione di un’equazione di primo grado numerica intera • Utilizzando i principi di equivalenza, si riconduce l’equazione alla forma ax = b b 1. Se a ! 0, l’equazione è determinata e ha come soluzione x = ; a 2. Se a = 0 / b = 0, l’equazione è indeterminata, con soluzione S = R; 3. Se a = 0 / b ! 0, l’equazione è impossibile, con soluzione S = Q.

▶▶

Soluzione di un’equazione di primo grado numerica fratta • Si scompongono i denominatori in fattori; • si determinano le C.E.; • si ricerca il denominatore comune; • si moltiplicano entrambi i membri dell’equazione per il denominatore comune: • utilizzando i principi di equivalenza, si riconduce l’equazione alla forma ax = b.

1. se a = 0 / b = 0, l’equazione è indeterminata, con soluzione S = R; 2. se a = 0 / b ! 0, l’equazione è impossibile, con soluzione S = Q; b 3. se a ! 0, l’equazione è determinata e ha come soluzione x = ; tale soluzione è a accettabile solo se non coincide con un valore scartato dalle C.E.

▶▶

Soluzione di un’equazione di primo grado letterale intera con eventuali denominatori solo numerici • U tilizzando i principi di equivalenza si riconduce l’equazione alla forma Ax = B, dove A e B sono due polinomi non contenenti l’incognita; • si esaminano i casi in cui il coefficiente di x assume valore zero; • s i esamina il caso in cui il coefficiente di x è diverso da zero.

1. Se A = 0 / B = 0, l’equazione è indeterminata, con soluzione S = R; 2. se A = 0 / B ! 0, l’equazione è impossibile, con soluzione S = Q; B 3. se A ! 0, l’equazione è determinata e ha come soluzione x = .

A

6 Il problema di primo grado ▶▶

Soluzione di un’equazione di primo grado letterale intera con denominatori letterali • Si determinano le C.V.; • u tilizzando i principi di equivalenza si riconduce l’equazione alla forma Ax = B, dove A e B sono due polinomi non contenenti l’incognita; • s i esaminano i casi in cui il coef­fi ciente di x assume valore zero, purché i valori non coincidano con i valori scartati dalle C.V.; • si esamina il caso in cui il coefficiente di x è diverso da zero.

x ! 0/x ! 3

consolidamento e recupero 1. Nel caso in cui le C.V. non sono verificate l’equazione perde significato; 2. Se A = 0 / B = 0, l’equazione è indeterminata, con soluzione S = R; 3. se A = 0 / B ! 0, l’equazione è impossibile, con soluzione S = Q; 4. se A ! 0 e sono verificate le C.V., l’equazione è determinata e ha come soluzione B x= .

A

7 Problemi con l’applicazione dei teoremi di Pitagora e di Euclide ▶▶

Risolvere un problema significa arrivare all’obiettivo utilizzando i dati del problema e le relazioni tra essi.

• Procedimento risolutivo con l’utilizzo di un’equazione in un’incognita: • scegliere un elemento, fra i dati del problema, a cui assegnare il valore dell’incognita (x); • indicare eventuali condizioni cui l’incognita deve sottostare; • individuare una relazione, fra quelle date dal problema o desunte dalle conoscenze sull’argomento, che possa essere utilizzata come equazione risolutiva del problema; • determinare il valore dei dati del problema, ove non già noti, in funzione dell’incognita fissata; • scrivere l’equazione; • risolvere l’equazione; • controllare che la soluzione trovata sia compatibile con le condizioni poste; • trovare il valore degli elementi richiesti.

8 Equazioni di grado superiore al primo risolvibili con scomposizioni in fattori

▶▶

Risolvere un problema significa arrivare all’obiettivo utilizzando i dati del problema e le relazioni tra essi.

• Procedimento risolutivo con l’utilizzo di un’equazione in un’incognita: • scegliere un elemento, fra i dati del problema, a cui assegnare il valore dell’incognita (x); • indicare eventuali condizioni cui l’incognita deve sottostare; • individuare una relazione, fra quelle date dal problema o desunte dalle conoscenze sull’argomento, che possa essere utilizzata come equazione risolutiva del problema; • determinare il valore dei dati del problema, ove non già noti, in funzione dell’incognita fissata; • scrivere l’equazione; • risolvere l’equazione; • controllare che la soluzione trovata sia compatibile con le condizioni poste; • trovare il valore degli elementi richiesti.

95

96

unità

13 Le equazioni lineari in una incognita

Devi sapere

3

conoscenze

Riconosci quali delle seguenti equazioni sono numeriche intere, numeriche fratte, letterali intere, letterali fratte. x-1 =5 2x - 3

d.

1-x = 2a x+2

b. (a - 2)x = 4a + 3

e.

3-x x-2 = 2+ 6 3

f.

x + a x - 3a 8a + = a+2 a-2 4 - a2

a.

c.

a x+1 + =0 x-a-1 2

1

1 Individua quale delle seguenti equazioni ammette come soluzione x = - .

2 39 3 1 1 A 2x + = x C 3x + 7 - x(x + 3) = 2(x - 1) + 2 4 2 4 1 1 B (x - 2)(x + 2) = (x - 2)2 D x (2x + 3) = x - 3 (x + 2) 2 2

2

Associa a ogni equazione l’equazione a essa equivalente, individuando poi quale principio è stato applicato.

2 1 x- = x-1 3 3 x-1 +4 B. 3x + 1 = 2 C. 3x - 1 = x + 3 A.

b. x2 + 1 + 3 = x2 + 2 + 2x

E. (x - 1)2 + 3 = x2 + 2

c. -1 + 2x = 2x + 3 2 2 d. x = x 3 3 e. 2x - 8 = x

F. (x - 1)(x + 1) + 2x = x(x + 2) + 3

f. 6x - 1 = 4x + 3

D. 2x - 3 = 5 + x

3

a. 6x + 2 = x - 1 + 8

Determina per ciascuna equazione le C.E e/o le C.V. a b

x + 3 2x - 2 + =2 x-1 x a x+a x = a+1 x a-1

c

3 - 2a 4a x - 2a + = x + 2a 2a - x x 2 - 4a 2

d

x + ab x - ab x + = b + 2a 2b b - 2a

Devi saper fare

abilità e competenze

●● Equazioni numeriche intere 5

ESERCIZIO SVOLTO

3-x 2x + 1 x .

- = 3 2 4 Nell’equazione sono presenti frazioni con denominatore numerico; applichiamo il 2° principio di equivalenza moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori.

4 (2x + 1) - 6x = 3 (3 - x)

Togliamo le parentesi; applichiamo il 1° principio di equivalenza e trasportiamo i termini con l’incognita nel primo membro e i termini senza l’incognita nel secondo membro.

8x + 4 - 6x = 9 - 3x 8x - 6x + 3x = 9 - 4

Risolvi la seguente equazione: