■ ■ ■
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent
6
1
5 4
3
3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1b
Exponent 1b är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program EK, ES, HU och SA. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
y
1
2
3
4
5
6
x
–2 –3 –4
2
–5
e ponent –6
,
1b Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
e1b_omslag_110525.indd 1
2011-05-31 09.27
e1b_Kapitel_0.indd 3
2011-05-31 08.47
Till dig som ska använda boken Exponent 1b Välkommen att börja använda denna bok, skriven för kursen Matematik 1b. Hoppas att du ska tycka det är roligt och utmanande att studera matematik med Exponent! Du som har sett tidigare upplagor av Exponent känner säkert igen dig, men flera viktiga förändringar är gjorda i denna nya upplaga. Här är de viktigaste förändringarna: ■
■
■
■
■
Tydligare koppling till ämnesplanen när det gäller Syfte (särskilt vilka matematiska förmågor som tränas) och Centralt innehåll.
Kurs 5
4
3
Genomtänkt samspel mellan bok och webb (lärarens och elevens webb) Repetition av grundskolekursen i början av varje kapitel
2
Fler uppgifter och större variation bland uppgifterna Ny förbättrad layout
1
a
b
c
12
EK, ES, HU, SA
NA, TE
yrkesprogram
Program
e1b_Kapitel_0.indd 3
2011-05-31 08.47
Så här funkar boken Boken har ett tydligt strukturerat upplägg med teorigenomgångar, många och varierande övningar, problemlösning m.m. I boken finns många finesser som du kan ha glädje av när du lär dig matematik. I början av varje kapitel (utom kapitel 6) finns ett repetionsavsnitt som hjälper dig att komma ihåg matematiken från grundskolan.
Teori och exempel
Öva I och Öva II
Tydliga teorigenomgångar med många lösta exempel.
Övningar på två svårighetsnivåer.
Kubikrötter och tredjegradsekvation
Teorigenomgång
Lös tredjegradsekvation
En kubisk behållare rymmer 2 000 l. Vilka mått har den? Vi vet att 2 000 l = 2 000 dm3 och att man får volymen på en kub genom att ta sidan upphöjt till tre. Vi söker alltså det tal som upphöjt till tre blir 2 000.
Vilket tal multiplicerat med sig självt tre gånger är lika med a) 12 345
2 000 liter
103 = 1000
talet > 10
133 = 2197
talet < 13
a) Vi kallar det sökta talet för x och ställer upp ekvationen x3 = 12 345 x=
12,53 = 1953,125 12,6 = 2000,376 Sidan i kuben är ca 12,6 dm. Det tal man får när man söker kubens sida om volymen är känd kallas kubikroten (eller tredje
svar: a) 23,1
roten) ur volymen. T.ex. är 10 kubikroten ur 1000 eftersom 103 = 1000. Detta brukar skrivas 1000 = 10. På din räknare finns en speciell knapp, x
3
Allmänt gäller:
b) ‒3
för beräkning av kubikroten
där du först måste trycka 3 för att ange kubikroten. Genom att
använda den slipper du pröva dig fram. Med hjälp av räknaren får vi att 3
12 345
b) Vi kallar det sökta talet för x och ställer upp ekvationen x3 = ‒27 x = ‒3 eftersom (‒3)3 = (‒3) · (‒3) · (‒3) = 9 · (‒3) = ‒27
3
3
3
x ≈ 23,1
12,73 = 2048,383
(alternativt knappen
b) ‒27
lösning:
Vi börjar med att försöka hitta talet genom prövning.
3
2000 ≈ 12,599 .
3
a =a
Vi kan också beteckna den sökta sidan i kuben med x och ställa upp ekvationen x3 = 2 000. Det här är ett exempel på en enkel tredjegradsekvation, som allmänt betecknas x3 = a. En tredjegradsekvation innehåller alltid ett obekant tal i kubik (upphöjt till tre).
Teorigenomgång
1 2
öva i 2106
2107
Ekvationen x3 = a har roten x = 3 a .
b) 3 64
c) 3 −1
d) 3 (−13)
2111
3
a) 3 3
b) 3 716
c) 3 −111
d) 3 0, 200
2109
Ett tal multiplicerat med sig själv tre gånger är 3442,951. Vilket är talet?
2110
En kub har volymen 930 l. a) Bestäm kubens sida. b) Bestäm kubens begränsnings area.
Bestäm utan räknare. 1 1 a) 3 b) 3 −8 c) 8
Lös ekvationerna och kontrollera lösningarna. a) x3 + 12 = 581 b) 5x3 = 2000 c) 2x3 + 95 = 0 d) 123 – x3 = x3 + 125
2113
En förvaringslåda ska rymma 8,0 liter. Vilken sidlängd ska den ha om den ska vara formad som en kub?
2114
Ett klot rymmer en liter. Bestäm dess radie genom att ställa upp och lösa en ekvation. Avrunda till en decimal. T
2115
Ett klot och en kub har samma volym. Vilken har minst begränsningsarea? L
102 k apitel 2 ; algebr a
k apitel 2 ; algebr a
e1b_Kapitel_2.indd 102-103
1 2 3
27 64 d) 3 3 125 1000 3
2112
Beräkna och svara med två decimaler.
Lös tredjegradsekvationerna och kontrollera lösningarna b) x3 = 32768 a) a3 = 512 c) y3 = –343 d) x3 = – 0,001728
En kub har volymen 125 cm3. Bestäm kubens sida.
svar: Sidan är 5 cm.
a) 3 8
2108
Sidan i en kub med hjälp av kubikrot lösning: Sidan i kuben får vi genom att ta kubikroten ur volymen, 3 125 = 5 . Kontroll: 53 = 5 · 5 · 5 = 125
öva ii
Beräkna utan att använda räknare.
5 6
103
2011-05-26 12.47
Hänvisningar till elevwebben
Tips och Lösningar
Med jämna mellanrum finns små symboler som visar när det är lämpligt att gå till webben och träna, se på en genomgång, laborera eller kanske hämta extra material.
Till vissa utvalda övningar finns tips längst bak i boken, så att man kan komma en bit på vägen i sin lösning. En del övningar har fullständiga lösningar. Tips markeras med T och lösningar med L .
e1b_Kapitel_0.indd 4
2011-05-31 08.48
Förmågor I det övergripande syftet i ämnesplanen i matematik beskrivs 7 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Varje kurs har sedan ett Centralt innehåll, t.ex. tal, algebra och geometri. För att undervisningen ska bli varierad och för att du ska få ett rikt matematiskt kunnande, har de olika uppgifterna i boken märkts med vilken förmåga de avser att träna. Forskare i Sverige och internationellt anser att här finns den enskilt största förbättringspotentialen för matematikundervisningen, att gå från en procedurbetonad matematik till en mer mångsidig.
1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga 7. Relevansförmåga
TESTER
Finn sätter in 1000 kr på ett bankkonto vid varje årsskifte. Vid dessa årsskiften får han dessutom en insatt ränta på 4 % av det belopp som har funnits på kontot det senaste året. ■
Hur mycket har Finn på kontot direkt efter den tionde insättningen?
■
Visa att beloppet som Finn har efter den tionde insättningen kan beräknas med uttrycket 1000(1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,049)
■
1
4.1
3 4 5 6 7
Visa att summan s = 1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,049 kan 1,04 10 – 1 skrivas om till genom att först teckna uttrycket 0,04 för 1,04s och sedan förenkla värdet av uttrycket 1,04s – s
Bestäm förändringsfaktorn då den procentuella förändringen är a) + 6 % b) – 6 % c) + 4 ‰ d) – 4 ‰
2
En bok kostar 235 kr exklusive moms. Bokmomsen är 6 %. Vad blir priset inklusive moms?
3
Studiebidraget för gymnasieelever var 750 kr år 1998 och 950 kr år 2002. Hur stor var den procentuella ökningen från 1998 till 2002?
4
En skoaffär har sänkt samtliga priser med 30 % på en rea. Vad kostar ett par skor om de kostade 699 kr innan rean?
5
Ett kilo kravodlad potatis kostar 10,00 kronor hos en torghandlare. I priset ingår moms med 12 %. Potatishandlaren måste betala in momsen till staten. Hur mycket återstår då momsen är avdragen?
6
Efter en prissänkning på 12 % kostade en moped 6 600 kr. Vad kostade den innan prissänkningen?
7
Priset för en charterresa har höjts vid tre tillfällen under en treårsperiod. Höjningarna har i tur och ordning varit 5 %, 8 % och 3 %. Hur stor är den sammanlagda procentuella höjningen under denna treårsperiod?
8
5 000 kr fick växa på ett konto under 50 år med en årlig räntesats på 2 % efter skatt. Hur mycket finns det på kontot efter 50 år?
och använda att uttrycket också kan skrivas 0,04s.
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 4.3 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 Rak amortering innebär att man betalar av lika mycket på ett lån vid varje tillfälle.
5 6
2 Om man får köpa något på kredit betyder det att man får rabatt på varan. 3 Effektiv årsränta är räntan efter skattereduktionen på 30 %. Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
Gruppaktivitet I inledningen av kapitlet fick ni till upgift att undersöka ett sms-lån och jämföra med ett banklån. Det här är en fortsättning på den uppgiften. Tänk er att ni vill köpa en ny mobiltelefon och måste låna till en del av kostnaden. ■
Sök information på Internet om mobil- och sms-lån och jämför kostnaderna och räntesatserna för lån via ett par av våra banker.
■
Ange skillnaderna i kostnader i procentform och beräkna gärna effektiva räntor där det är möjligt.
■
Redovisa era resultat i skriftlig form och dra slutsatser av era jämförelser.
;
e1b_Kapitel_4.indd 186-187
–
1
1 3 5 6 7
;
2011-05-26 13.30
Utmaning, Reflektera och Gruppaktivitet Med jämna mellanrum finns det uppgifter som kräver
Tester, Blandade övningar och Sammanfattning
lite extra tid, eller att man arbetar i grupp. Utmaningar är problem som kräver lite extra. Reflektera och diskutera är ett antal påståenden om matematiska begrepp, som man ska ta ställning till och gärna diskutera i grupp. Gruppuppaktivitet är en omfattande uppgift, ofta med verklighetsanknytning, som ska lösas i grupp.
Sist i varje kapitel finns tester till varje avsnitt. Dessutom finns blandade övningar. Den sista övningen i kapitlet (Öva III) är en omfattande aspektbedömningsuppgift (som finns på nationella prov). Allra sist finns en sammanfattning.
e1b_Kapitel_0.indd 5
2011-05-31 08.48
Bok + webb är allt som behövs Exponent har tidigare bestått av böcker, dvd-skivor, lösningshäften, lärarhandledningar, programinfärgningshäfte, elevwebbar och lärarwebb. Nu gör vi det enklare! Varje kurs har en bok, en elevwebb och en lärarwebb. Det som inte ryms i boken finns på webben! På föregående uppslag har vi försökt beskriva de olika typerna av övningar som finns i boken. Ungefär hälften av bokens övningar ligger under rubriken ÖVA I. De tränar framförallt begrepps- och procedurförmåga. Det räcker alltså inte med att göra dessa övningar för att nå målen för kursen. Men om du gör de andra övningarna tränar du fler förmågor. På webben kan du testa dig själv, träna mer, laborera, se på genomgångar och mycket mer. visar när det kan vara lämpligt att På så sätt blir lärandet mer varierat. Denna symbol gå till webben. För läraren finns en särskild webb med tester, prov, kommentarer m.m. Symbolen visar på övningar i boken vars svar finns på lärarwebben.
e ponent
ponent
ponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) ponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) ponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c)
olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorimgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. rna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo.
ponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.
ent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen ta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent
1
4
3
3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1b
ent 1b är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program EK, ES, h SA. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
y 6 5
1
2
3
4
5
6
x
–2 –3 –4
2
–5
e ponent –6
,
1b
tare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson o Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av underg i matematik på gymnasienivå.
2011-05-31 09.27
e1b_Kapitel_0.indd 6
2011-06-01 11.37
Elevwebben • • • • •
Teorigenomgångar Självrättande tester (Ord och begrepp, Koll på kapitlet) Självrättande prov Interaktiva laborationer m.m.
Lärarwebben • • • • • •
Extra övningar Tester Prov Laborationer och gruppövningar Diskussionsforum m.m.
förord
Exponent_1b.indb 7
7
2011-05-27 10.36
innehåll
Taluppfattning 10 Tal i olika sammanhang, 11
1.0 Repetition av grundläggande begrepp 12 De fyra räknesätten, 12 Heltal, 13 Rationella tal, 16 Reella tal, 22
2.2 Linjära ekvationer och olikheter 80 Linjära ekvationer, 80 Linjära olikheter, 92
2.3 Potensekvationer 98 Kvadratrötter och andragradsekvation, 98 Kubikrötter och tredjegradsekvation, 102 Potensekvation, 104 Blandade övningar, 111
1.1 Heltal 28 Talföljd, 29 Primtal och delbarhet, 32 Delbarhetsregler, 34 Problemlösning, 36
Geometri 116
1.2 Reella tal 39
3.0 Repetition av grundläggande begrepp 118
Potensform, 39 Räkneregler för potenser med heltalsexponenter, 39 Storheter, mätetal, enheter och gällande siffror, 44
1.3 Talsystem 48 Romerska tal, 48 Det decimala talsystemet, 49 Babyloniska tal, 50 Binära talsystemet, 52
Algebra 62
Geometri i olika sammanhang, 117
Omkrets och area, 118 Fyrhörningar och trianglar, 119 Andra månghörningar, 120 Pythagoras sats, 121 Cirkeln, 123 Volymenheter, 124 Formler för volym, 125 Prismor, 126 Pyramid, kon och klot, 127
3.1 Symmetrier 129
Algebra i olika sammanhang, 63
Mosaik, 131 Symmetriska transformationer av figurer i planet, 133
2.0 Repetition av grundläggande begrepp 64
3.2 Symmetri och geometri i natur och konst 136
Uttryck och formler, 64 Ekvationer, 65
Gyllene snittet, 137
2.1 Algebraiska uttryck 71 Formulera uttryck och formler, 75
3.3 Argumentation, definition, axiom, sats och bevis 140 Definition, axiom, sats och bevis, 140 Implikation och ekvivalens, 143
8
Exponent_1b.indb 8
2011-05-27 10.36
Procent 152 Procenträkning i olika sammanhang, 153
4.0 Repetition och grundläggande procenträkning 154 Procent-, bråk- och decimalform, 154 Andelen, delen och hela mängden, 155 Procentenheter, 157
4.1 Förändringsfaktor – procentuell förändring 160 Upprepad förändring, 165
4.2 Index 168 Konsumentprisindex, 171
4.3 Lån 178 Avbetalningsköp och krediter, 178 Lån, räntor och amorteringar, 181 Effektiv ränta, 184
Funktioner 196 Funktioner i olika sammanhang, 197
Sannolikhetslära och statistik 240 Sannolikhetsberäkningar inom olika ämnesområden, 241
6.1 Begrepp och enkla slumpförsök 242 6.2 Relativa frekvenser 247 Spelet ”Kasta gris”, 247
6.3 Försök i flera steg 250 Försök i två steg med likformig sannolikhetsfördelning, 250 Träddiagram, 254 Komplementhändelse, 258 Försök i många steg, 262 Mer om multiplikationsprincipen och riskbedömningar, 265
6.4 Beroende händelser och betingad sannolikhet 267
5.0 Repetition 198
6.5 Statistik 271
Koordinatsystemet, 198 Koordinataxlarnas gradering och avläsning i en graf, 200
Statistik i samhället, 271
5.1 Vad är en funktion? 202 Funktionsbegreppet, 202 Olika sätt att beskriva funktioner, 205 Definitionsmängd och värdemängd, 210
Tips 294 Lösningar 296 Facit 300 Register, 334 Bildförteckning, 336
5.2 Egenskaper hos olika typer av funktioner 214 Linjära funktioner, 214 Potensfunktioner, 220 Grafisk lösning av linjära ekvationer, olikheter och potensekvationer, 222 Exponentialfunktioner, 224
9
Exponent_1b.indb 9
2011-05-27 10.36
3
Exponent_1b.indb 116
Geometri
2011-05-27 10.40
Centralt innehåll n
Begreppet symmetri
n
Symmetriska transformationer av figurer i planet
n
Symmetri och geometri i natur och konst
n
Beskrivning av geometriska objekt och symmetrier med ord, praktiska konstruktioner och estetiska uttryckssätt
n
Argumentation med hjälp av grundläggande logik
n
Begreppen definition, axiom, sats och bevis
n
Implikation och ekvivalens
Geometri i olika sammanhang Ordet geometri kommer från grekiskans geometria som betyder jordmätning eller lantmätarkonst. Redan för 4 000 år sedan hade man goda kunskaper i geometri i bl.a. Egypten och Mesopotamien, vilket behövdes inom såväl lantmäteri som byggnadskonst. All grundläggande geometri finns i Euklides bok Elementa, som näst efter Bibeln är den mest spridda boken i västerlandet. Euklides levde ca 300 f.Kr. och verkade i Alexandria. Elementa är ett samlingsverk som består av 13 böcker (kapitel) som sammanfattar och behandlar systematiskt i stort sett allt matematiskt vetande vid denna tid. Ända fram till våra dagar har Elementa varit tongivande inom geometrin i läroböcker över hela världen. I Elementa finns en mängd satser (påståenden) som kan bevisas med hjälp av definitioner och axiom (grundsatser som är sanna och inte behöver bevisas).
Utdrag ur av Eukludes Elementa, första boken (källa http://runeberg.org), översatt av P. R. Bråkenhielm.
Din första uppgift Ta reda på och redogör för några exempel i naturen eller i konst från olika kulturer där det förekommer symmetrier. Visa med bilder och beskriv symmetrierna.
Takterrass på Unité d’Habitation de Marseille (1952), som ritades av arkitekten le Corbusier (1887–1965). Han var en av den moderna arkitekturens viktigaste personer och hade bestämda principer om funktion och geometriska former. I hans byggnader kan man ofta hitta det gyllene snittets proportioner, som du får läsa om i detta kapitel.
Exponent_1b.indb 117
k apitel 3 ; geometri
117
2011-05-27 10.40
A ER ET EP R
3.0 Repetition av grundläggande begrepp Teorigenomgång
Omkrets och area
För att beräkna omkrets och area behöver du känna till sambandet mellan längdenheterna där omvandlingstalet för varje enhet är 10. För areaenheterna är omvandlingstalet 100 för varje enhet.
längdenheter 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 km = 1 000 m
Omvandlingstalet är 10.
areaenheter 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 km2 = 1 000 000 m2
1 2
118
öva i 3001
Omvandlingstalet är 100.
3002
Omvandla till den enhet som står inom parentes. a) 0,3 m (dm) b) 290 cm (dm) c) 15,2 cm (mm) d) 0,52 km (dm) e) 2,5 m2 (dm2) f) 3 mm2 (cm2) g) 0,00045 m2 (cm2) h) 5600000 m2 (km2)
Omvandla följande enheter till annan lämplig enhet. a) 0,00024 m b) 4500000 mm c) 0,00075 km2 d) 500000 mm2 e) 0,215 km f) 2 800 dm g) 150 000 m2 h) 0,0005 dm2
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 118
2011-05-27 10.40
R EP ET ER A
Fyrhörningar och trianglar En parallellogram är en fyrhörning där sidorna är parvis parallella. De parallella sidorna är lika långa och höjden är vinkelrät mot basen. En parallellogram där alla sidor är lika långa kallas för romb. Rektangeln är en speciell typ av parallellogram där alla vinklar är 90°. Om rektangelns alla sidor är lika långa kallas den för kvadrat. Kvadraten är alltså ett specialfall av rektangeln.
h
b Rektangel
s
s Kvadrat
h
h
b Parallellogram
b
b Romb
rektangelns omkrets O = 2b + 2h
parallellogrammens area
rektangelns area A = b · h
A=b·h
kvadratens omkrets O = 4 · s kvadratens area
A = s · s = s 2
En parallellogram kan delas upp i två likadana trianglar. Triangelns area blir därför hälften av basen gånger höjden.
Parallellogrammens area:
Triangelns area:
A = 4 cm · 3 cm = 12 cm2
A=
4 cm · 3 cm = 6 cm2 2
triangelns area A =
3
b · h 2
3
4
4
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 119
119
2011-05-27 10.40
När man drar höjden i en triangel måste man tänka på att den ska gå från ett hörn, vinkelrätt mot basen.
h
h
b
h
b
Det finns två andra sätt att dra höjder i dessa trianglar, beroende på vilket hörn man utgår från.
b
h
h
h
h
h
h
Ett parallelltrapets är en fyrhörning där minst två av sidorna är parallella. En parallellogram är ett specialfall av ett parallelltrapets. b
parallelltrapetsets area
T2
h
h
A =
T1
h (a + b) 2
a
Andra månghörningar Fyrhörningar och trianglar är månghörningar med fyra respektive tre hörn. Femhörningen kallas pentagon och sexhörningen kallas hexagon. Månghörningar kan förstås ha fler hörn än så. En månghörning är regelbunden om alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora. En regelbunden sexhörning kan delas in i sex liksidiga trianglar och den regelbundna femhörningen kan delas in i fem likbenta trianglar. I liksidiga och likbenta trianglar delar höjden basen i två lika stora delar. s
s
s h
h
s
I en regelbunden månghörning är alla sidor är lika långa och alla vinklar lika stora.
120
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 120
2011-05-27 10.40
Pythagoras sats
Teorigenomgång
En av de mest kända satserna i geometrin är Pythagoras sats. Den har fått sitt namn efter den grekiske matematikern Pythagoras, som levde för cirka 2 500 år sedan. Pythagoras sats beskriver ett samband mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Detta samband gäller för alla rätvinkliga trianglar. De båda sidorna som bildar den räta vinkeln kallas kateter och den tredje och längsta sidan kallas hypotenusa.
hy
p
n ote
us
a(
c)
katet (b)
katet (a)
Pythagoras sats säger att summan av kvadraterna på de båda kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan. Om vi kallar kateterna a och b och hypotenusan c, kan satsen skrivas a 2 + b 2 = c 2.
pythagoras sats
Det finns många bevis för att Pythagoras sats gäller (förmodligen närmare 400). Du kommer att få göra några av dem i slutet av detta kapitel.
a 2 + b 2 = c 2
Pythagoras sats Bestäm längderna av de okända sidorna. a)
b) 29 cm
x cm
lösning: a) Pythagoras sats ger: 82 + 152 = x2 64 + 225 = x2 289 = x2 x = ± 289 x = 17
15 cm
8 cm
x cm
20 cm
Lösningen x = –17 är inte möjlig.
b) Pythagoras sats ger: 202 + x2 = 292 400 + x2 = 841 400 + x2 – 400 = 841 – 400 x2 = 441 x = ± 441 x = 21
Lösningen x = –21 är inte möjlig.
svar: a) Längden är 17 cm.
b) Längden är 21 cm.
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 121
121
2011-05-27 10.40
A ER ET EP R 1 2
3009
öva i 3003
En rektangelformad tavla med innermåtten 5,0 dm och 7,0 dm har en 5 cm bred ram. a) Vilken omkrets har hela tavlan? b) Hur stor area täcker hela tavlan?
3004
Rita en liksidig, en likbent och en t riangel med tre olika långa sidor som alla har omkretsen 24 cm. Mät i figuren och bestäm arean för de tre trianglarna. Vilken av dem har störst area?
3005
Beräkna längden av den okända sidan i trianglarna. a) b) c)
(cm)
5,0
3006
Höjden i en triangel är dubbelt så stor som basen. Bestäm höjden när triangelns area är 25 cm 2.
3007
Vägen uppför ett berg är inte bara tung att gå utan också längre än vad kartan anger. Enligt kartan är det 2 400 meter till bergets topp. När du startar befinner du dig på höjden 350 meter över havet och toppen ligger på 1 050 meter. Ungefär hur lång är vägen uppför berget?
2400
Bestäm triangelns area om den är a) likbent med benen 13 cm och basen 10 cm. b) liksidig med höjden 3 cm.
I en rätvinklig triangel är den längsta kateten 20 % kortare än hypotenusan. Bestäm triangelns area om den korta katen är 36 cm.
3011
Ett parallelltrapets med arean 56 cm2 har basen 17 cm och höjden 4 cm. Bestäm längden av den sida som är parallell med basen.
3012
Vilka av fyrhörningarna är a) parallellogrammer b) rektanglar c) kvadrater d) parallelltrapetser e) romber A
D
E
1 2 3 5 6
C
B
F
3013
Förhållandet mellan kateterna i en rätvinklig triangel är 5:12. Vilken area har triangeln om hypotenusan är 117 cm?
3014
Ett golv ska beläggas med stenplattor som har formen av regelbundna sexhörningar. Deras sidlängd är 80 mm. Vilken area har det område som man kan belägga med etthundra plattor?
(m)
122
3010
7,0 1,1
15,6
3008
öva ii
6,1 13,2
En gräsplan har formen av en rektangel med längden 63 m och bredden 60 m. Du ska gå från ett hörn till motsatt hörn över gräsplanen. Hur mycket längre blir vägen om du går utmed gräsplanens sidor istället för att snedda över den?
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 122
2011-05-27 10.40
R EP ET ER A
Teorigenomgång
Cirkeln
Kvoten mellan omkrets och diameter kallas p (uttalas ”pi”). p är första bokstaven i det grekiska ordet perimetros (omkrets). Att p är kvoten mellan diameter och omkrets har man känt till mycket länge men det var först på 1700-talet som Leonard Euler införde beteckningen p. Man har funnit lertavlor från 2 000 f.Kr. där babylonierna ställt upp ett samband som ger ett närmevärde på 3,125. Ett ganska noggrant värde på p är 3,14. Om du använder din p-knapp på räknaren får du ett mycket noggrannare värde. Moderna datorer har beräknat p med flera biljoner decimaler, men antalet decimaler är oändligt.
cirkelns omkrets O = p · d cirkelns area
diameter
A = p · r 2
radie
öva ii 3019
1 2
öva i 3015
a) Beräkna omkretsen av en cirkel med radien 21 cm. Svara i meter. b) Beräkna arean av en cirkel med radien 15 cm. Svara i dm2. c) Beräkna omkretsen av en halvcirkel med radien 8,0 cm. Svara i dm.
3016
Diametern på ett cykelhjul brukar anges i tum. Vilken omkrets i m har ett hjul som har diametern 26 tum? (1 tum = 25,4 mm)
3017
En cirkel har omkretsen 21 cm. Hur stor är diametern?
3018
På en cirkelrund markyta med diametern 12 m ska man så gräs. Hur stor area har denna yta?
En plantering har formen av en kvartscirkel med radien 5,5 m. Kring planteringen skall sättas ett staket. Hur långt blir det?
3020
En hästintresserad familj har köpt 100 m staket för att göra en inhägnad till sina hästar. De funderar på om de ska göra inhägnaden kvadratisk eller cirkelformad. Vilket alternativ ger störst area åt hästarna?
3021
En person som gick vilse i en skog gick i en halvcirkel istället för att gå raka vägen. Hur många procent längre blev hans väg då?
5 6
3022 Beräkna area och omkrets av om-
rådet.
4,0 cm
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 123
1 2 3
123
2011-05-27 10.40
A ER ET EP R
Teorigenomgång
Volymenheter
SI-enheten för volym är kubikmeter (m3). Av praktiska skäl använder man ofta andra enheter t.ex. kubikdecimeter (dm3) och liter (l). Omvandlingstalet mellan de olika volymenheterna i litersystemet är 10. 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml
En kubikmeter är volymen av en kub med sidan en meter, en kubikdecimeter är volymen av en kub med sidan en decimeter osv. 1 dm3 = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm3 1 cm3 = 10 mm · 10 mm · 10 mm = 1000 mm3
Omvandlingstalet mellan volymenheterna är alltså 1 000. 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3
Ytterligare ett samband kan vara bra att känna till: 1 l = 1 dm3 vilket ger att 1 ml = 1 cm3
1 2
124
öva i 3023
3024
Omvandla till den enhet som står inom parentes. a) 0,03 m3 (dm3) b) 2900 cm3 (dm3) c) 0,00045m3 (cm3) d) 560 000 l (ml) e) 2500 cm3 (l) f) 0,038 dm3 (cm3)
Omvandla följande volymmått till annan volymenhet som du tycker är lämplig. a) 0,0028 m3 b) 12000000 mm3 c) 0,075 cm3 d) 500 000 ml e) 0,35 l f) 1200 l
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 124
2011-05-27 10.40
R EP ET ER A
Formler för volym
Teorigenomgång
Konservburkar och aluminiumburkar för olika slags drycker är exempel på förpackningar som är cylinderformade. En cylinder med cirkelformad mantelyta vinkelrät mot basytan kallas rak cirkulär cylinder.
höjd, h
Volymen för en cylinder får man genom att multiplicera basytans area med höjden. B
volymen av en rak cirkulär cylinder
basyta
radie, r
V = B · h = p · r2 · h
Volymen av en cylinder Diametern på en cylindrisk burk är 8,0 cm och burkens höjd är 15 cm. Beräkna burkens volym i liter. lösning:
r=
8,0 cm = 4,0 cm = 0,40 dm 2
h = 15 cm = 1,5 dm V = B · h = p ·r 2 · h = p · (0,40 dm)2 · 1,5 dm ≈ 0,75 dm3 = 0,75 l svar: Burkens volym är 0,75 l.
Volymen av ett rätblock Beräkna volymen i liter för förpackningen.
lösning:
(cm)
För att få enheten liter i svaret anger vi sidornas längder i dm (1 l = 1 dm3). 10,0
4,0 cm = 0,40 dm 6,5 cm = 0,65 dm 10,0 cm = 1,00 dm V = B · h = l · b · h = 0,40 dm · 0,65 dm · 1,00 dm = = 0,26 dm3 = 0,26 liter
6,5 4,0
svar: Volymen är 0,26 liter.
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 125
125
2011-05-27 10.40
A ER ET EP R
Prismor En kropp som har två parallella identiska månghörningar som basyta och ”lock” kallas för ett prisma. Ett rakt prisma har sidoytor som är vinkelräta mot basytan. Pismat är regelbundet om basytorna är regelbundna månghörningar. Beroende på antalet sidoytor kallas ett prisma tresidigt, fyrsidigt, femsidigt osv. Det fyrsidiga prismat kallas rätblock om det har räta vinklar. Om alla sidor är lika och vinklarna räta kallas det för kub volymen av ett rakt prisma h
h
B
V = B · h
h
B
B
Om basytan B och höjden h är lika stora för alla kropparna har de också samma volym. 1 2 3
öva i 3025
5 6
126
öva ii
En förpackning ser ut som ett rätblock med innermåtten 10 cm, 8 cm och 15 cm. Beräkna volymen i liter för förpackningen.
3026
En cylinderformad burk har höjden 8,0 cm och diametern 12,0 cm. Hur stor volym i deciliter har burken?
3027
Ett paket med vinbärssaft (rätblock) har yttermåtten 8,0 cm, 6,0 cm och 15,0 cm. På paketet står det att det innehåller 0,75 liter. Kan det vara sant?
3028
Du tänker göra soppa till 6 personer. En portion beräknas till 2,5 dl. Räcker det med en kastrull med höjden 10 cm och omkretsen 43 cm.
3029
Hur många deciliter rymmer en rak sexkantig burk med basytan 25,2 cm2 och höjden 8,0 cm?
3030
Ett paket som rymmer 2,0 liter har en basyta med längden 1,2 dm och bredden 0,80 dm. Paketets höjd är 2,1 dm. Hur mycket rymmer paketet om du a) fördubblade alla mått b) halverade alla mått c) gjorde alla mått 10 ggr mindre?
3031
Du vill göra ett litermått av en cylindrisk plastbehållare som är 25 cm hög. Behållarens basyta har arean 50 cm2. a) Hur högt upp på behållaren ska du göra markeringen för en liter? b) Hur långt blir avståndet mellan varje decilitermarkering på måttet?
3032
Ett rakt prisma av glas med en basyta i form av en liksidig triangel har höjden 10,0 cm. Triangelns sida är 3,00 cm. Hur mycket väger prismat om en kubikcentimeter glas väger 2,90 g?
1 2 3 5 6
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 126
2011-05-27 10.40
R EP ET ER
En pyramid har en månghörning som basyta och triangelformade sidoytor. Antalet sidor i basytan ger namn åt pyramiden. Figuren i exemplet nedan visar en fyrsidig pyramid. Pyramidens volym är en tredjedel av volymen för ett prisma med samma basyta och samma höjd. I en rak cirkulär kon är höjden vinkelrät mot den cirkelformade basytan. Volymen av en kon beräknas på samma sätt som volymen av en pyramid. Om man bara tänker på materialåtgång så är klotet den mest effektiva av alla former ur förpackningssynpunkt (volym i förhållande till begränsningsarea).
A
Teorigenomgång
Pyramid, kon och klot
pyramidens volym
V=
B · h 3
konens volym
V=
B · h π · r 2 · h = 3 3
klotets volym
V=
4 · π · r 3 3
Volymen av en pyramid Beräkna volymen av pyramiden.
lösning: B = l ∙ b = 8,2 cm · 3,0 cm = 24,6 cm V=
(cm) 2
B · h 24,6 · 4,8 = cm3 = 39,36 cm3 ≈ 39 cm3 3 3
svar: Volymen är 39 cm3
4,8 3,0 8,2
Beräkna volymen för en kon Beräkna konens volym.
(cm)
lösning: r = 3,0 cm, h = 8,5 cm π · r 2 · h π · 3,02 · 8,5 V = = cm3 ≈ 80 cm3 3 3
8,5 3,0
svar: Volymen är 80 cm3
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 127
127
2011-05-27 10.40
A ER ET EP R
Volym av ett klot
(cm)
Beräkna klotets volym. 25
lösning: V =
4 · π · r 3 4 · π · 253 = cm3 ≈ 65 000 cm3 = 65 dm3 3 3
svar: Volymen är 65 dm3.
öva i
1 2
3033
3034
3035
öva ii
Beräkna volymen för en pyramid som har en basyta med arean 24 cm2 och höjden 15 cm. En rak kon har höjden 16,0 cm och en cirkelformad basyta med diametern 14,0 cm. Beräkna konens volym. Ett blåbär (klotformat) har diametern 7,0 mm. Hur stor är volymen i cm3?
3036
1 2 3
En pyramid har höjden 2,0 dm och volymen 11 dm3. Vilken area har basytan?
5 6
3037
En boll har omkretsen 53 cm. Vilken volym har bollen?
3038
En cirkulär kon har volymen 1,0 liter och höjden 20 cm. Vilken diameter har konens basyta?
3039
En pyramid har en basyta i form av en regelbunden sexhörning med sidan 5,0 cm. Pyramidens höjd är 8,0 cm. Beräkna dess volym. T L Ord och begrepp Koll på avsnittet
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 3.0 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 En kvadrat är en sorts rektangel.
5 6
2 En halvcirkels omkrets är hälften av hela cirkelns omkrets. 3 Ett parallelltrapets är alltid en parallellogram. 4
Om en kon och en pyramid har samma basyta och samma höjd så har de också samma volym.
5
Ett prisma och en pyramid med samma basyta och samma höjd har samma volym.
6
Kvoten mellan omkretsen och diametern av en cirkel kan variera. Volymen beräknas på samma sätt för alla prismor.
128
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 128
2011-05-27 10.40
3.1 Symmetrier Ordet symmetri kommer från grekiska symmetría, som betyder jämförande mätning. Symmetri betyder att två delar i en helhet är varandras spegelbilder. Det är en egenskap som finns hos många växter och djur i naturen. Människan använder också ofta symmetri i konst, konstruktioner och utsmyckningar, eftersom det ger ett intryck av harmoni. Vid spegling i en rät linje kallas denna linje för symmetrilinje. Vissa former har flera symmetrilinjer medan andra former bara har en symmetrilinje.
Symmetri betyder att två delar i en helhet är varandras spegelbilder.
Symmetrilinjer i ett mönster Hur många symmetrilinjer kan du finna i bilden?
lösning: Man kan rita två linjer som var och en ger exakta spegelbilder. Alltså finns det två symmetrilinjer.
1 2
öva i 3040
c) Hur många symmetrilinjer kan du finna i bilderna? a) 3041
b)
Vilka av följande föremål kan ha en eller flera symmetrilinjer då de avbildas från något lämpligt håll? a) ett par glasögon b) en stol c) en handske d) en kajak e) en flaska f) en sko
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 129
129
2011-05-27 10.40
3042
Hur många symmetrilinjer kan man finna i en a) kvadrat b) likbent triangel c) cirkel d) regelbunden femhörning
3043
Ange antalet symmetrilinjer i följande symboler. a) + b) $ c) = d) ± e) ◊
3044
Rita en fyrhörning, femhörning och en sexhörning som inte har någon symmetrilinje.
3045
Kopiera eller rita av figuren. Rita sedan den andra halvan av figuren så att den röda linjen är symmetrilinje. T
3048
Hur många symmetrilinjer hittar du i bilderna? a)
b)
3049
Kopiera eller rita av figuren. Rita sedan den andra halvan av figuren så att den röda linjen är symmetrilinje. a)
1 2 3
öva ii 3046
Hur många symmetrilinjer kan man finna i a) en romb b) ett regelbundet parallelltrapets
3047
Utred hur många symmetrilinjer det finns i a) en regelbunden åttahörning b) en regelbunden n-hörning
5 6
130
b)
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 130
2011-05-27 10.40
Mosaik En mosaik består av olikfärgade småbitar av sten eller glas som fästs på ett hårt underlag. Redan för 5 000 år sedan förekom i Sumer (nuvarande Irak) mosaiker bestående av geometriska figurer. I en mosaik är bitarna ofta placerade så att det inte blir tomrum mellan bitarna. Detta kallas för tessellation. Vissa regelbundna månghörningar där alla sidor är lika stora passar särskilt bra till detta, t.ex. den regelbundna sexhörningen (hexagon). I naturen kan man se hexagonala mönster i vaxkakorna i ett bisamhälle, på sköldpaddskal eller hos klot som ligger tätt packade.
Honungsbin på vaxkaka
Tätt packade metallkulor.
Ung havssköldpadda.
Tesselation kallas det när månghörningar (eller andra geometriska figurer) läggs så att de täcker en yta, utan mellanrum.
Geometriska figurer i mosaik a) Vilka geometriska figurer finns i mosaiken? b) Vilka krav ställs på bitarna för att de ska passa precis till en mosaik? lösning: a) Tolvhörningar, sexhörningar och kvadrater. b) Bitarna måste ha lika långa sidor och alla vinklar i ett hörn måste vara 360° tillsammans.
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 131
131
2011-05-27 10.40
1
öva i 3050
öva ii
Vilka geometriska figurer finns i mosaiken?
3052
6
3051
a) Rita ett mosaikmönster med kvad rater och regelbundna sex hörningar. T b) Mellan kvadraterna och sexhörningarna uppstår en tredje figur. Vilken?
3053
Varför går det inte att lägga golvmosaik av fotbollsmönstret?
3054
Du har tillgång till regelbundna n-hörningar med n = 3, 4, 5, 6, 8 och 12. Vilka av dessa kan användas till en tesselation om du a) endast får använda en av dem b) ska kombinera två av dem
1 2 3 5 6
Förklara med ord hur nedanstående mosaikmönster är konstruerade. Beskriv både mosaikbitarnas form, sidlängder samt hur de är placerade i förhållande till varandra. a)
b)
132
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 132
2011-05-27 10.41
Symmetriska transformationer av figurer i planet Transformation betyder avbildning. Det finns tre typer av symmetriska trans formationer: reflektion (spegling), translation (parallellförskjutning) och rotation. Gemensamt för dessa transformationer är att figuren efter avbildning fortfarande har samma storlek, vinklar och längder. Man säger att figurerna är kongruenta.
Teorigenomgång
Rotation, reflektion (spegling) och translation (parallellförskjutning) är tre typer av symmetriska transformationer (avbildningar).
Symmetrisk transformation av en triangel a) Spegla triangeln A i den lodräta linjen. A
b) Parallellförskjut triangeln B.
B
c) Rotera triangeln C 90° medurs.
lösning:
C
a) Från triangelns alla hörn dras linjer vinkelrätt mot den lodräta linjen. Motsvarande hörn har samma avstånd till den lodräta linjen. Den nya triangeln är kongruent med den ursprungliga triangeln.
A
b) Alla hörn parallellförskjuts lika mycket. Den nya triangeln är kongruent med den ursprungliga triangeln. B
c) Triangeln roteras 90° medurs. Den nya triangeln är kongruent med den ursprungliga triangeln. C
k apitel 3 ; geometri
exp_Kapitel_3.indd 133
133
2011-05-31 08.51
1 2
öva i 3055
öva ii
a) Rita en rektangel och spegla den i en lodrät linje. b) Beskriv den nya rektangelns utseende och läge.
3056
a) Gör en translation av en rek tangel. b) Beskriv den nya rektangelns u tseende och läge.
3057
a) Rita en rektangel och låt den rotera 90° medurs. b) Beskriv den nya rektangelns u tseende och läge.
3058
Vilka typer av symmetrier fi nns i bilderna? a)
b)
3059
1 2 3
Vilka typer av symmetrier kan du hitta i denna fi gur?
3060
Beskriv likheter och skillnader mellan de tre olika transformationerna.
3061
Rita en rektangel och en refl ektions- L linje som inte är parallell med någon sida i rektangeln. Konstruera en refl ektion av rektangeln.
3062
Bestäm det minsta gradtal som en liksidig triangel ska roteras för att se oförändrad ut.
5 6
Ord och begrepp Koll på avsnittet
c)
134
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 134
2011-05-27 10.41
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 3.1 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 En symmetrilinje delar en figur i två halvor som är varandras spegelbilder.
5 6
2
Alla månghörningar kan användas till en fullständig mosaik.
3
Transformation och translation innebär samma sak.
4
En liksidig triangel har tre symmetrilinjer
5
En fyrhörning har fyra symmetrilinjer.
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
Dela figuren i två kongruenta delar. (Cirkelbågen AE har sin medelpunkt i C. ABCD är en kvadrat.)
A
D
1 2 3 5 6
E
T B
exp_Kapitel_3.indd 135
C
2011-05-31 08.53
3.2 Symmetri och geometri i natur och konst I naturen förekommer både spegelsymmetri och rotationssymmetri som t.ex. i en klematisblomma. Vissa former har flera symmetrilinjer medan andra bara har en symmetrilinje. Självklart är djur, växter och andra ”verkliga” saker inte helt regelbundna i sina former, och därför är inte symmetrierna perfekta. Detta kan du bortse från i kommande övningar och exempel.
Symmetri i en blomma. a) Hur många symmetrilinjer finns i blomman? b) Beräkna rotationsvinkeln för rotationssymmetrin. lösning: a) Man kan rita sex linjer som ger spegelbilder. Eftersom blomman är lite oregelbunden i sin form blir symmetrin inte helt perfekt. b) Rotationsvinkeln är samma som vinkeln mellan två kronblad i blomman. I figuren i a) är det alltså vinkeln mellan två heldragna linjer (eller mellan två streckade linjer). 360 Rotationsvinkeln är = 60° 6
1 2
öva i 3063
7
öva ii
Vilka olika typer av symmetri fi nns i konstverket av M. C. Escher? Visa symmetrilinjer och ange rotationsvinkeln vid ev. rotation.
3064
3065
136
Blomman heter Clematis ’Dr Ruppel’.
Beskriv symme trier i olika delar av orgelläktaren.
1 2
5 6 7
Rita en bild av en blomma som har både spegelsymmetri och rotationssymmetri med 72° rotationsvinkel. T
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 136
2011-05-27 10.41
Teorigenomgång
Gyllene snittet Det gyllene snittet är ett begrepp inom geometrin som man kan se exempel på inom vitt skilda områden, t.ex. hos vissa växter och djur och inom konst och arkitektur.
F
D
C
1
I vissa kulturer anses den gyllene rektangeln (en rektangel där sidorna har gyllene snittets proportioner) vara den vackraste av alla rektanglar.
A
E
1
x–1
B
x
En speciell egenskap hos den gyllene rektangeln är att om den delas upp i kvadraten ADFE och rektangeln EFCB så kommer den lilla rektangeln att ha samma form som hela rektangeln. Man säger att de är likformiga. Vi kan ställa upp förhållandet mellan sidorna i den stora rektangeln och sidorna i den lilla rektangeln:
AB BC x 1 dvs. x = 1 = eller = x –1 BC BE 1 x –1 1 Vi ska hitta ett x-värde då x = x –1 och prövar oss fram
x=
1 då x ≈ 1,618 x –1
1 x –1
x
1,5
2
1,6
1,667
1,62
1,613
1,619
1,616
1,618
1,618
I den gyllene rektangeln är förhållandet mellan långsidan och kortsidan 1,618:1. En sträcka som är delad i detta förhållande är delad i det gyllene snittet. Det betyder att den större delen förhåller sig till den mindre delen som det hela till den större delen.
A
P
B
AP AB = ≈ 1,618 PB AP
Gyllene snittet har spelat stor roll inom konst och arkitektur. Om du vill veta mer, sök på Internet på golden ratio eller golden section. Flera byggnadsverk, t.ex. Parthenon i Aten och FNs högkvarter (UN Headquarters) i New York är formade som gyllene rektanglar. Även i naturen finns det kopplingar till det gyllene snittet. Pärlbåtar (en typ av bläckfiskar) har ett spiralformat skal vars form kan konstrueras med hjälp av gyllene rektanglar, se övning 3059 på nästa sida. En annan koppling finns hos t.ex. solrosor och kottar. Det finns en talföljd som heter Fibonaccis talföljd där varje tal är summan av de två föregående: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 etc. Kvoten mellan ett tal och det föregående talet närmar sig det gyllene snittet, när man studerar större och större tal i talföljden. Antalet spiraler i mitten på solrosblomman eller kotten är alltid ett fibonaccital – ett om man räknar medurs och ett annat (dess granne i talföljden) om man räknar moturs. Läs mer på Internet om fibonacci numbers. k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 137
137
2011-05-27 10.41
öva i
1 2
3066
7
öva ii
a) Vilket är förhållandet mellan långsidan och kortsidan i den svenska fl aggan?
3069
Pärlbåtar (Nautilidae) är en familj av bläckfi skar som funnits på jorden i ungefär samma form i hundratals miljoner år. Hur många gyllene rektanglar kan du hitta i skissen till pärlbåtens skal?
1 2 3 5 6 7
b) Ta reda på fl er föremål som har detta förhållande. 3067
Vilken eller vilka av följande rektanglar är gyllene rektanglar. T A
D
C
B
F E
3068
I ett pentagram (femuddig stjärna) kan man hitta gyllene snittets proportioner. Mät och avgör vilka sträckor som förhåller sig till varandra som gyllene snittet. A
F
E
G
B
3070
I fi guren är sträckan Φ ≈ 1,618. Φ är den grekiska bokstaven phi som oft a används för att beteckna det gyllene snittet. Genom att skriva om sambandet för det gyllene snittet (s. 137) kan man visa att Φ2 = Φ + 1. a) Visa att den stora rektangelns omkrets är 2Φ2. b) Visa att den lilla rektangelns omkrets är 2Φ. c) Visa att kvoten mellan den stora rektangelns area och den lilla rektangelns area blir Φ2.
1
H
J
Φ– 1
1
I
Φ D
138
C
Ord och begrepp Koll på avsnittet
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 138
2011-05-27 10.41
Gruppaktivitet 1 2
6 7
Bilden visar Leonardo da Vincis illustration Den vitruvianske mannen, som först publicerades i boken Divina Proportione (gudomliga proportioner). Den skrevs år 1509 av franciskanermunken och matematikern Luca Pacioli och handlar om gyllene snittet. I andra delen av boken beskrivs arkitekten Vitruvius idéer om människokroppens proportioner som utgångspunkt för proportioner i arkitekturen. n
Mät i figuren och visa att om A är fotsulan, B hjässan och P naveln så delar P sträckan AB enligt gyllene snittet.
n
Gör samma mätningar på dig själv och kanske på några klasskamrater, om de vill. Vad finner du?
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 3.2 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 I naturen förekommer flera olika typer av symmetrier.
5 6
2 Ett konstverk kan bara ha en typ av symmetri. 3 Rotationsvinkeln i en rotationssymmetri kan inte vara 360°. 4
Gyllene snittet är en typ av symmetri.
5
En gyllene rektangel kan delas upp i två rektanglar som är likformiga.
Exponent_1b.indb 139
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
2011-05-27 10.41
3.3 Argumentation, definition, axiom, sats och bevis
Teorigenomgång
En argumentation kan beskrivas som ett sätt att i en diskussion med en motpart eller i en text framföra skäl för att för ens slutsatser eller ståndpunkter är riktiga. Man brukar då skilja på två typer av argument, sak- och känsloargument. Att argumentera korrekt är dock en svår konst. Om man t.ex. säger att ”ingen har bevisat att Gud finns, alltså finns inte Gud”, tycker nog väldigt många att man dragit en alltför snabb slutsats, även om det är ett sakligt (men bristfälligt) argument. Ett känslomässigt argument kan t.ex. användas av en orolig elev: ”Om du inte ger mig godkänt på matteprovet, får jag inte gå ut på en hel vecka.” Inom vetenskapen kräver man att all argumentation är saklig och korrekt. I början av 1500-talet studerade den polske astronomen och matematikern Nicolaus Copernicus (1473–1543) himlakropparnas rörelser. Han använde planeternas rörelsemönster som vetenskapligt argument för sin teori att planeterna roterar i banor runt solen. Innan dess var den vanligaste uppfattningen att jorden var solsystemets medelpunkt, speciellt inom kyrkan. Det tog dock många är innan han vågade framföra sina teorier på grund av kyrkans inställning till hans nya världsbild. I matematisk argumentation använder man logik, som är en av våra äldsta vetenskaper. Logiken grundades av Aristoteles, som levde för 2300 år sedan. Under senare hälften av 1800-talet skedde en nydaning och formalisering av logiken med hjälp av algebra och utvecklingen har fortsatt på 1900- och 2000-talet. Man använder logisk bevisföring genom att utgå från matematiska påståenden som man vet är sanna. Med hjälp av dessa påståenden drar man nya slutsatser som i så fall måste vara sanna.
Definition, axiom, sats och bevis Matematiken är en exakt vetenskap. Med det menas bland annat att de begrepp som används måste beskrivas så tydligt att de inte kan missförstås och de påståenden som framförs måste kunna bevisas med logiska resonemang. En matematisk teori byggs upp av definitioner (beskrivningar av begrepp), axiom (grundläggande påståenden som inte behöver visas vara sanna) och satser (matematiskt viktiga påståenden som visats vara sanna med hjälp av bevis). För att illustrera hur dessa begrepp kan användas, ska vi se hur man kan komma fram till att vinkelsumman i en triangel är 180°. Vi antar då att begrepp som exempelvis vinkel, triangel och parallella linjer redan är definierade.
140
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 140
2011-05-27 10.41
Defi nition 1: Vinklarna i figuren benämns enligt följande: x och y kallas sidovinklar och x + y = 180°. x och z kallas vertikalvinklar. x och w kallas likbelägna vinklar. z och w kallas alternatvinklar.
y
x
z w
Axiom 1: Om två parallella linjer skärs av en tredje, är likbelägna vinklar lika stora. kommentar: I figuren är x och w likbelägna. Påståendet behöver inte bevisas eftersom axiom är ett grundläggande påstående som får betraktas som sant utan bevis. Begreppet ”likbelägna vinklar” har definierats i definition 1. Sats 1: Vertikalvinklar är lika stora. bevis: Enligt figuren ovan är x och y samt y och z sidovinklar. Det ger enligt definition 1 ekvationerna x + y = 180° z + y = 180° Av dessa ekvationer följer att x = z. Sats 2: Vinkelsumman i en triangel är 180°. z
bevis: I figuren är linjen l1 parallell med linjen l2. x och a samt y och b är likbelägna vinklar. z och c är vertikalvinklar.
y
Enligt axiom 1 och sats 1 gäller då att x=a y=b z=c
a
x c
b
l2 l1
Eftersom x, y och z är sidovinklar gäller det enligt definition 1 att x + y + z = 180°. På grund av likheterna ovan gäller det då även att a + b + c = 180°. slutsats: Vinkelsumman i en triangel är 180°. Figuren visar hur just den här miniteorin i geometri har byggts upp. Definition, axiom och sats samverkar för att komma fram till en ny sats. Varje nytt påstående bevisas med hjälp av definitioner och tidigare påståenden. Men om alla tidigare påståenden måste bevisas kan man aldrig starta upp en ny teori. Av den anledningen krävs grundläggande axiom i alla matematiska teorier.
Definition 1
Axiom 1
Sats 1
Sats 2
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 141
141
2011-05-27 10.41
Att ett påstående har bevisats vara sant räcker inte för att det ska benämnas med ordet sats. Påståendet måste ha betydelse för kommande teorier och ska kunna användas i andra matematiska sammanhang. Avslutningsvis sammanfattar vi de viktigaste begreppen. Definition: En exakt och entydig beskrivning av ett matematiskt begrepp. Axiom: Ett grundläggande påstående som antas vara sant utan bevis. Sats: Ett matematiskt viktigt påstående som enligt ett bevis är sant. Bevis: Ett logiskt resonemang som visar att ett påstående är sant.
Alternatvinklar Bevisa att alternatvinklar är lika stora då två parallella linjer skärs av en tredje. Vi ska visa att alternatvinklarna w och z i figuren är lika. w = x (likbelägna vinklar är lika stora enligt axiom 1) z=x (vertikalvinklar är lika stora enligt sats 1)
x z w
slutsats: w = z Ibland ser man förkortningarna VSB eller VSV då ett bevis är avslutat. De betyder vilket skulle bevisas respektive vilket skulle visas och används för att markera att beviset är slutfört. Redan på Euklides tid 300 f.Kr. användes Q.E.D. för att markera att ett bevis var klart. Det är en förkortning av quod erat demonstrandum, det som skulle demonstreras.
142
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 142
2011-05-27 10.41
Implikation och ekvivalens För att förkorta och förtydliga logiska resonemang använder man implikationspil ⇒ och ekvivalenspil ⇔ mellan olika på ståenden. Vad betyder detta? Exempel på implikation: Om man säger om en geometrisk figur: ”Detta är en kvadrat” (påstående K) medför det följande påstående: ”Detta är en rektangel” (påstående R) eftersom kvadraten är en sorts rektangel. Detta kan kortfattat skrivas K ⇒ R. Men det omvända (R ⇒ K) gäller inte, eftersom alla rektanglar inte är kvadrater. Exempel på ekvivalens: Om 2x = 4 medför det att x = 2. Alltså 2x = 4 ⇒ x = 2. Men även det omvända är sant, dvs. x = 2 ⇒ 2x = 4. Vi kan därför skriva 2x = 4 ⇔ x = 2 vilket utläses ”2x = 4 är ekvivalent med x = 2. Själva ordet ekvivalent betyder likvärdigt. Mellan leden i ekvationslösningar råder ofta ekvivalens, t.ex.4x + 1 = 2x + 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.
Allmänt kan en implikation skrivas P ⇒ Q vilket betyder att om P är sann så är även Q sann. Om även Q ⇒ P kan detta skrivas som en ekvivalens P ⇔ Q.
1 2 3
öva i 3071
5 6
3072
öva ii
Bevisa med hjälp av satsen för alternatvinklar att vinkelsumman i en parallellogram är 360°. Bevisa yttervinkelsatsen, w = u + v, med hjälp av triangelns vinkel summa. T v
u
3073
3074
3075
3076
Bevisa att arean av ett parallelltrapets h(a + b) där h är höjden och är A = 2 a och b de parallella sidorna.
3077
Ange ett valfritt exempel på en implikation.
3078
Ange ett valfritt exempel på en ekvivalens.
3079
Bevisa med hjälp av vinkelsumman i en triangel att en regelbunden månghörnings vinkelsumma är (n – 2) · 180°.
w
Skriv följande påståenden som en implikation: V: Gräset är vått. R: Det regnar. Skriv lösningen av följande ekvation med ekvivalenspilar: 5(x + 3) = 3x + 1.
Nedan ser du fyra par av olikheter. Skriv en implikationspil eller en ekvivalenspil mellan olikheterna i varje par. x > 3 x2 > 9 x < 3 x2 < 9 x < 2 x2 < 4 –2 < x < 2 x2 < 4
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 143
1 2 3 5 6
143
2011-05-27 10.41
3080
Visa att Pythagoras sats stämmer för alla egyptiska trianglar, dvs. trianglar där sidornas längder har förhållandet 3:4:5.
3081
Bevisa Pythagoras sats algebraiskt. T Ord och begrepp Koll på avsnittet
Gruppaktivitet pythagoras sats: a 2 + b 2 = c 2 1 2
Sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel var känt redan av babylonierna för mer än 3 000 år sedan, men bevisades först av den grekiske matematikern Pythagoras för ca 2 500 år sedan och fick därför namnet Pythagoras sats.
6
Det finns många bevis av Pythagoras sats. Man kan t.ex. ”bevisa” den med hjälp av ett pussel: n
Rita en kvadrat på ett papper och markera sidlängderna a och b på samtliga sidor och förbind dessa med räta linjer enligt figur ovan.
n
Klipp ut hela kvadraten.
n
Klipp ut de fyra rätvinkliga trianglarna med sidlängderna a och b och placera dessa i kvadraten på det ursprungliga papperet enligt figuren. Den tomma ytan har då arean c2.
n
c a
b b
a
a c
b
c c2 c
b
a
c
Flytta därefter trianglarna så att det visar att a2 + b2 = c2.
a
b
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 3.3 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 Ett påstående måste bevisas för att få kallas för sats.
5 6
2 En implikation kan vara en ekvivalens. 3 En definition kan bevisas. 4
Axiom och sats är olika benämningar på samma sak.
5
En ekvivalens är alltid en implikation.
6
Följande påståenden: Det är lov (L) och Erik är inte i skolan (E) kan skrivas med implikationen: E ⇒ L
144
Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 144
2011-05-27 10.41
TESTER 3.1
symmetrier
1
Hur många symmetrilinjer kan du se i gurkskivan?
2
Hur många symmetrilinjer har en parallellogram?
3
Rita en triangel som saknar symmetrilinjer.
4
Vilka geometriska figurer kan du se stensättningen?
5
Rita en osymmetrisk triangel och gör en a) translation b) reflektion c) rotation d) Beskriv med ord vad de olika transforma- tionerna innebär.
6
Rita en rektangel och sedan en bild av rektangeln då den roterat 45° moturs.
7
Rita en rätvinklig triangel och låt den reflekteras i en linje som har lutningen 45° (i förhållande till papperets kortsida).
8
Gör en translation av en likbent triangel och därefter en reflektion i en linje parallell med den ena av de lika långa sidorna. 3.2
symmetri och geometri i natur och konst
1
Vilken typ av symmetri finns i hundbilden?
2
Vilka symmetriformer kan du se i blomman? Ange symmetrilinjer och ev. rotationsvinkel.
3
Redogör för symmetrier i cirkeln nedan. Ange symmetrilinjer och ev. rotationsvinkel.
4
Rita en bild av blomma som har både spegelsymmetri och rotationssymmetri med rotationsvinkeln 45°. Visa symmetri linjer och rotationsvinkel.
5
Rita en gyllene rektangel. k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 145
145
2011-05-27 10.41
TESTER 6
Fibonaccis talföljd är uppkallad efter en matematiker som levde på 1200-talet i Italien. De tio första talen är 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. a) Försök att hitta ett mönster och bestäm det elfte talet. b) Undersök kvoterna mellan två närliggande tal 3 5 8 ( , , osv.). Jämför kvoterna med det gyllene snittet 2 3 5 1,618. Vad upptäcker du?
7
En del tror att Leonardo da Vinci medvetet konstruerade sina motiv med hjälp av gyllene snittet. Mät i bilden av Mona Lisa och hitta två ställen som har gyllene snittets proportioner. 1 8 På grund av likformighet gäller sambandet x = x –1 för det gyllene snittet (se s. 137). 2 1 5 = Detta samband kan skrivas om till x – 2 4 a) Bestäm exakt den positiva lösningen till denna ekvation. b) Ge svaret med tre decimaler och jämför med värdet på sidan 135.
( )
3.3
1
argumentation, definition, sats och bevis
Vad är skillnaden mellan definition, sats och bevis? b · h T 2 Bevisa att arean av en triangel har formeln A = 2 3 Bevisa med hjälp av yttervinkelsatsen att vinkelsumman i en triangel är 180°. T
146
4
Skriv följande påståenden som en implikation: K: Det är kallt. S: Det snöar.
5
Är följande implikationer sanna eller falska? Motivera! A: x > 2 ⇒ x ≥ 1 B: x2 > 1 ⇒ x > 1 D: x = 3 ⇒ x2 = 9 C: x2 = 9 ⇒ x = 3
6
Följande samband gäller mellan variablerna x och y: x ≥ 5 ⇒ y ≥ 8 Kan man dra följande slutsatser? Motivera ditt svar. A: x < 5 ⇒ y < 8 B: y < 8 ⇒ x < 5
7
Visa att diagonalerna i en romb är vinkelräta.
8
Ange alla ekvivalenser/implikationer mellan följande tre påståenden: A: x ≥ 0 B: x 2 ≥ 0 C: x 3 ≥ 0
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 146
2011-05-27 10.41
Blandade övningar öva i 1
4
Vilka geometriska figurer kan du se i mönstret?
5
Följande implikation är given: Det är söndag ⇒ Håkan besöker badhuset. Kan man dra följande slutsatser? A: Det är inte söndag ⇒ Håkan besöker inte badhuset B: Håkan besöker inte badhuset ⇒ Det är inte söndag
6
Skriv lösningen av olikheten med e kvivalenspilar. 3 > 1 + 2x
7
Bevisa med hjälp av satsen för alternatvinklar att vinkelsumman i ett parallelltrapets är 360°.
Vilken typ av symmetri finner du i fjärilen nedan?
Atlasspinnare Attacus atlas.
2
CD är en spegling av AB. Rita av figuren och markera symmetrilinjen. B
A
D
C
3
147
Hur många symmetrilinjer kan man finna i en a) rektangel (som inte är en kvadrat) b) regelbunden sexhörning
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 147
k apitel 3 ; geometri
147
2011-05-27 10.41
öva ii 8
Bevisa att arean för en parallellogram har formeln A = b · h där b är basen och h är höjden. T
9
Hur många symmetrilinjer finns det i snökristallen nedan?
12
1. Rita en kvadrat med sidan 2 cm. 2. Dela den på mitten. 3. Placera en passare med spetsen i punkten E och ritstiftet i punkten C. 4. Dra en cirkelbåge till förlängningen av sträckan AB. AF AB ≈ 1,618 5. Visa att = AB BF D
A
148
10
Ange ett exempel på en implikation som a) inte kan skrivas om till en ekvivalens. b) kan skrivas om till en ekvivalens.
11
a) Vilka geometriska figurer kan du hitta i bilden. b) Vilka typer av symmetrier finns i bilden?
C
E
B
F
13
Visa att vinkeln v i en regelbunden n−2 · 180° med månghörning är v = n hjälp av formeln för vinkelsumman i en n-hörning. T
14
Redogör för symmetrier i M. C. Eschers konstverk Circle Limit IV (1960).
15
I en likbent triangel är basen dubbelt så lång som höjden mot basen. Visa att triangeln är rätvinklig.
k apitel 3 ; geometri
exp_Kapitel_3.indd 148
2011-05-31 08.54
öva iii 16
Denna övning går ut på att beskriva rotationssymmetrin för regelbundna månghörningar. Rotationssymmetrin i en regelbunden månghörning kan beskrivas med det gradtal som den kan roteras för att se oförändrad ut.
n
n
n
Beskriv rotationssymmetrin i en kvadrat regelbunden femhörning regelbunden sexhörning regelbunden åttahörning regelbunden niohörning
1 2 3 4 5 6
Vilket mönster kan du se i resultaten? Beskriv en metod för att bestämma rotationssymmetrin för en regelbunden n-hörning. Kapitelprov
Exponent_1b.indb 149
2011-05-27 10.41
sammanfattning längdenheter 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 km = 1 000 m
Omvandlingstalet är 10.
areaenheter 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 km2 = 1 000 000 m2
Omvandlingstalet är 100.
formler för omkrets och area Regelbunden månghörning. Månghörning där alla vinklar är lika stora och alla sidor lika långa.
h
b Rektangel
s
s Kvadrat
h
h
b
b Romb
b Parallellogram
Rektangelns omkrets: O = 2b + 2h Kvadratens omkrets: O = 4 · s h
Rektangelns area: A = b ∙ h Kvadratens area: A = s · s = s 2
b
b Triangel
Parallellogrammens area: A = b ∙ h
h
Triangelns area: A = b · h 2 Parallelltrapetsets area: A =
a Parallelltrapets
h(a + b) 2
Cirkelns omkrets: O = π · d Cirkelns area: A = p · r 2 Pythagoras sats: a2 + b2 =c2
d r
Cirkel
po
sa
(c)
katet (b)
katet (a)
volymenheter 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml
hy
u ten
Omvandlingstalet i litersystemet är 10.
En kubikmeter är volymen av en kub med sidan en meter, en kubikdecimeter är volymen av en kub med sidan en decimeter osv. 1 dm3 = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm3 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3
Omvandlingstalet är 1000.
1 l = 1 dm3 150
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 150
2011-05-27 10.42
formler för volym Volymen av ett rakt prisma: V = B ∙ h h
Cylinderns volym: V = B ∙ h = p∙ r 2 ∙ h Pyramidens volym: V = Konens volym: V = Klotets volym: V =
h
h
B
B
B
B⋅ h 3
B · h π · r2 · h = 3 3 4· π · r 3
h
3
h
h r Cylinder
B
B
r
Kon
Pyramid
Symmetri. När två delar i en helhet är varandras spegelbilder. Mosaik. Småbitar som ofta läggs så att det inte blir några tomrum mellan bitarna. Tesselation. När månghörningar (eller andra geometriska figurer) läggs ihop så att de täcker planet.
r
Klot
Transformation. Avbildning. Reflektion, translation och rotation är tre typer av symmetriska transformationer. Figurerna är kongruenta, dvs. har samma storlek och form. Reflektion. Spegling.
Translation. Parallellförskjutning.
Rotation. Vridning.
A
C
B
Definition. En exakt och entydig beskrivning av ett matematiskt begrepp. Axiom. Ett grundläggande påstående som antas vara sant utan bevis. Sats. Ett matematiskt viktigt påstående som enligt ett bevis är sant. Bevis. Ett logiskt resonemang som visar att ett påstående är sant. Implikation och ekvivalens. Allmänt kan en implikation skrivas P ⇒ Q vilket betyder att om P är sann så är även Q sann. Om även Q ⇒ P kan detta skrivas som en ekvivalens P ⇔ Q.
k apitel 3 ; geometri
Exponent_1b.indb 151
151
2011-05-27 10.42
■ ■ ■
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4c, 5c)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.laromedelswebbar.se och prova en demo. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på www.gleerups.se/labexponent
6
1
5 4
3
3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1b
Exponent 1b är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program EK, ES, HU och SA. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
y
1
2
3
4
5
6
x
–2 –3 –4
2
–5
e ponent –6
,
1b Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
e1b_omslag_110525.indd 1
2011-05-31 09.27