9789152350874 by Smakprov Media AB

SynnĂśve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

LĂ¤rarguide

Innehåll Presentation av Matte Direkt

III

Presentation av Elevbok

Presentation av Lärarguide

Presentation av Arbetsblad, Prov, Aktiviteter

1 Tal

VII 6

2 Geometri

3 Algebra

4 Samband

136

5 Procent

172

6 Sannolikhet

208

?! Problemlösning

250

Repetitionsuppgifter

258

Verktygslådan

280

Begreppslista

298

Kursplan

303

Bedömningsmatriser

306

Sammanställning av Aktiviteter och Begreppskartor 310 Sammanställning av Arbetsblad

311

312

Bildförteckning

313

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Pia Ersmark, Helena Fridström, Kenneth Lovén Grafisk form: AB Typoform, Andreas Lilius Layout: AB Typoform, Magnus Hesselroth och Jenny Bryant Omslag: AB Typoform, Andreas Lilius Illustrationer: AB Typoform, Jakob Robertsson Matte Direkt 8 Lärarguide ISBN 978-91-523-5087-4 © 2018 Synnöve Carlsson, Karl-Bertil Hake, Erica Lundkvist och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen Tryck: Livonia Print, Lettland 2018

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Matte Direkt

Matte Direkt ger dig som lärare möjlighet att arbeta med matematiken helt i kursplanens anda. Matte Direkt består av elevbok, lärarguide, prov, arbetsblad och aktiviteter samt träningshäften. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.

Elevbok bestående av sex kapitel samt ett problemlösnings avsnitt.

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake

Lärarguide med pedagogiska tips och kommentarer till varje sida i elev boken, tydliga lärandemål och förslag till start och avslut för varje avsnitt.

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

Lärarguide

Arbetsblad, Prov, Aktiviteter finns som nedladdnings bara pdf:er till varje kapitel i boken.

Träningshäften som i första hand vänder sig till elever som har svårigheter med grundkursen. Häftena fungerar som elevens egen arbetsbok där de skri ver direkt i boken.

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake

Träningshäfte Arbetsblad, prov och aktiviteter

8:1

Matte Direkt digital innehåller samma texter och uppgifter som den tryckta boken, men innehåller också nya interaktiva funktioner som gör det smidigt, tidsbesparande och tryggt att arbeta digitalt.

introduktion

III

Elevboken

Matte Direkt ger alla elever goda förutsättningar att utvecklas i matematik. Elever lär på olika sätt. En del behöver stöttning för att kunna gå vidare, andra behöver utmaningar för att göra framsteg. Här möter eleverna vardagsnära uppgifter som gör matematikämnet levande och något som de känner igen även utanför skolan. Elevboken har ●● förstärkt fokus på de grundläggande begreppen inom taluppfattning, algebra och geometri ●● parallella kurser som på olika nivåer täcker in det centrala innehållet ●● avsnitt som särskilt lyfter fram problemlösning, resonemang och kommunikation ●● övningar i programmering med digitala vertyg.

Elevbokens struktur Ingressuppslag

Under lång tid var längdmåtten baserade på längden av olika kroppsdelar. Det innebar att längden av en tum eller en fot blev olika. Det var opraktiskt när man skulle göra affärer eller bygga. I slutet av 1700-talet ville man därför införa en annan längdenhet, metern. Längden av metern skulle vara längden av sträckan mellan Nordpolen och ekvatorn dividerat med 10 miljoner.

Tal

Uppslaget grundkurs

●● Hur långt är det runt jorden?

Mål

Varje kapitel inleds med ett uppslag som kan användas som en gemensam, intres seväckande start på kapit let. Avsikten är att ingressen ska leda till diskussion kring frågor och påstående – inte till direkta räkneövningar. När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att

●● jämföra tal i bråkform och i decimalform

1 ___

1 ___ 24 1 __ 2

Aln

Famn

4 = 12 ____ 1 __ 3

●● Hur många mm är 1 tum?

bråk

negativt tal

decimalform

blandad form

motsatt tal

bråkform

förlänga

Talet 4

●● Testa om det stämmer på dig.

Division med tal i decimalform

Grundkurs

12 m _____ = 2 bitar

1 meter:

12 m _____ = 12 bitar

Du kan ta ut 1 meter 12 gånger ur 12 meter.

0,5 meter:

12 m ______ = 24 bitar

Du kan ta ut 0,5 meter 24 gånger ur 12 meter.

0,1 meter:

12 m ______ = 120 bitar

Du kan ta ut 0,1 meter 120 gånger ur 12 meter.

Du kan ta ut 6 meter 2 gånger ur 12 meter.

6m 1m

0,5 m 0,1 m

4,5 · 10 ___ 45 4,5 _______ ___ = = = 15 0,3

c) 0,5 m

0,03

0,5 · 4

b) Vilket av uttrycken visar beräkningen i uppgift a?

0,5 · 40

b) Vilket av uttrycken visar beräkningen i uppgift a? a) Du ska hälla upp 2 liter juice i små glas som rymmer 0,1 liter. Hur många glas behöver du?

0,1 · 2

b) Vilket av uttrycken visar beräkningen i uppgift a?

34 ____ 0,98

introduktion

4 ___ 0,5

40 ___ 2

2 ___ 0,1

4 __

67 68

40 ___ 0,5

2 ___ 10

34 ____ 0,02

34 ____ 1,02

Förklara varför 1 a) ___ är lite mer än 3 0,3

1 tal

b) lite större än 34

0,98 · 34

0,02 · 34

c) lite mindre än 34

0,3 m

3 c) ___ är lite mer än 4 0,7

(–24)

3 dm

Skriv i enheten decimeter.

0,03 m

3 cm

Skriv i enheten centimeter.

3,6 m b) ______ 0,4 m

30 m c) ______ 1,5 m

42 m d) ______ 0,7 m

36 m d) _______ 0,04 m

Förläng först med 10 så att du dividerar med ett heltal. Beräkna sedan. 12 2,8 3,27 a) ____ b) ___ c) ____ 0,4 0,4 0,3

2,56 d) ____ 0,8

Förläng först med 100 så att du dividerar med ett heltal. Beräkna sedan. 2 ____ 0,04

3,2 ____ 0,08

0,49 ____ 0,07

Förläng först med 10, 100 eller 1 000 och beräkna sedan. 408 48 42 a) ____ b) ______ c) ____ 0,4 0,006 0,03

74,25 d) ______ 0,09

52 d) ___ 0,8

Felix har malt köttfärs och har 24 kg köttfärs som ska förpackas i påsar. Hur många påsar behöver han om varje påse ska innehålla

a) 0,5 kg

1,02 · 34

20 b) ___ är lite mindre än 3 7

1 tal

4,5 m _______ 450 cm _______ = = 150

Skriv först i enheten centimeter och beräkna sedan. 4,8 m 1,5 m 6,5 m a) _______ b) _______ c) _______ 0,02 m 0,03 m 0,05 m

Vilken eller vilka av uttrycken i rutan är

a) mycket större än 34

0,03 · 100

Förläng med 100 så att nämnaren blir ett heltal.

d) 0,1 m

a) Du har en bil som drar 0,5 liter bensin per mil. Hur många mil kan du köra på 40 liter?

dividerat med (–8) är lika med

Skriv först i enheten decimeter och beräkna sedan. 6,9 m a) ______ 0,3 m

b) 4 m

a) Hur många personer kan du bjuda på pizza om du har 4 pizzor och varje person vill ha en halv pizza var?

4,5 m ______ 45 dm ______ = = 15

4,5 _________ 4,5 · 100 ____ 450 ____ = = = 150

Du ska dela ett rep som är 20 meter långt. Hur många bitar får du om varje bit är

a) 10 m

0,3 · 10

Förläng med 10 så att nämnaren blir ett heltal.

Hur många 0,5-metersbitar går det på 12 meter?

Grundkursen går igenom det innehåll och de begrepp som presenterats på ingressuppslaget. Varje nytt avsnitt inleds med en grön faktaruta som förkla rar teori, metoder och begrepp för avsnittet. Dessa rutor kan vara bra att titta tillbaka på när något moment behö ver repeteras.

adderat med (–7) är lika med

Begreppskarta Ett annat sätt att repetera de begrepp och metoder som presenterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med begreppskartor. I materialet Arbetsblad, prov, aktiviteter finns ytterligare förslag på begrepp och länkord till varje kapitel som kan underlätta elevernas arbete med begreppskartor.

Det är lättare att utföra en division med huvudräkning om nämnaren är ett heltal. Jämför följande uttryck:

Du har ett rep som är 12 meter långt. Du ska dela repet i lika långa bitar. Hur många bitar får du om varje bit är 6 meter:

är motsatt tal med

Vem eller vilka har rätt? Här får eleverna ta ställning till påståenden. Till sin hjälp har de fyra begreppsbubblor. Använd dessa och låt elev erna öva på att föra resonemang i grupp eller helklass.

Begrepp För varje kapitel har vi valt att lyfta fram några begrepp som är särskilt viktiga. För gärna en kontinuerlig dialog med eleverna om vad begreppen står för och hur de ska tolkas och beskrivas. G

(–3) + 15 =12

Gör klart begreppskartan genom att fylla i det som saknas.

Innehåll På ingressuppslaget presenteras innehållet i kapitlet med ett elevnära språk. Lärarguiden lyfter fram det centrala innehåll som tas upp i kapitlet. Dessutom finns det läran demål till varje avsnitt.

0,5 ∙ 24 = 12

Begreppskarta

En famn är avståndet mellan fingerspetsarna när man håller armarna rakt ut åt sidorna. Det är ungefär lika långt som personens längd.

●● Multiplicera dem med varandra. ●● Lägg din bricka eller papperslapp på det rätta

svaret på spelplanen.

●● Den som först får fyra i rad vinner. Raden kan vara vågrätt, lodrätt eller diagonal.

Problemlösning

Gör på samma sätt och skriv talet 12 på flera andra olika sätt. Använd dig av olika räknesätt och tal skrivna i decimalform, bråkform och negativa tal.

Med nutida mått är 1 fot = 29,69 cm.

Begrepp

0,1 4 6 0,5 3 0,9 0,2 50 12

Dante

Man kan skriva uttryck för ett tal på olika sätt. Exempelvis kan talet 12 uttryckas som:

●● Hur stor del av en fot är en tum?

●● förklara vad ett negativt tal är ●● räkna med negativa tal

När man multiplicerar två tal kan produkten bli mindre än båda de två talen.

Vad blir 12?

b) 1,2 kg

c) 0,3 kg

d) 0,8 kg

Pias häst äter 0,4 kg havre varje dag. Hon har 12 kg havre. Vilket avuttrycken visar antalet dagar som havren räcker?

A 0,4 · 12 ArbetsblAd 1:9–1:10

0,4 B ___ 12

12 C ___ 0,4

Arbeta tillsammans Här ges möjlighet för eleverna att både träna på att arbeta i grupp och lära av varandra på ett lekfullt sätt. 1 tal

Spelet kan spelas av två spelare eller två lag. Varje spelare eller lag har spelbrickor eller små papperslappar i olika färger. En räknare kan vara bra att ha till hjälp för att kontrollera svaren. ●● Välj två av talen i rutan.

Ben

Claire

72 1 __ 6 1 __ 3

●● Hur många aln går det på en famn?

dividera tal i bråkform och decimalform

När man dividerar två tal blir kvoten alltid mindre än båda talen.

Produkten av två negativa tal är alltid negativ.

1 ___

●● Hur många känner du igen?

●● addera, subtrahera, multiplicera och

andel

Tum

Fot

Arbeta tillsammans Luffarschack med tal

När man multiplicerar två tal blir produkten alltid större än båda talen.

Grundkursen avslutas med ett uppslag där uppgifterna lägger fokus på begrepp-, resonemang-, kommunikation- och problemlösningsförmågorna. Låt gärna eleverna arbeta i mindre grupper och följ upp med gemensam diskussion. Lärarguiden ger tips på hur uppgifterna kan följas upp och hur diskussionerna kan utvecklas. Uppgifterna är formulerade så att det ska finnas en utmaning för samtliga elever.

Tum Fot Aln Famn

Innehåll

Uppslaget

Begrepp och resonemang Vem eller vilka har rätt?

Anna

Omvandlingstabell för några gamla svenska mått.

Begrepp

Uppslaget

Problemlösning Problemlösningsuppgifterna kan användas som en ingång i de olika problemlösningsstrategierna som pre senteras i avsnittet Problemlösning på sidan 250.

Danne samlar på mynt. Hälften är 1 1 svenska mynt, __ är danska och __ är 4 8 finska. Dessutom har han 30 norska mynt. Hur många mynt har Danne? I en buss åker det ett antal personer. Vid första busshållplatsen stiger det på 5 personer. Vid nästa hållplats går en fjärdedel av personerna av. Nästa 2 gång bussen stannar går __ av 3

personerna av. Då är det 10 personer kvar i bussen. Hur många personer fanns det från början?

Sant eller falskt? 1 __ 1 1 __ + = 0,75 2

1 2 __ kan man skriva i decimalform som 0,17. 7

3 3 3 2 __ = 2 + __ 5

450 4 ____ 0,93

är mindre än 450 · 0,93.

5 Att dividera med 0,1 ger samma

resultat som att multiplicera med 10. 12 m _______ får man 0,25 m reda på hur många gånger man kan dela ett rep som är 12 m i bitar som är 25 cm långa.

6 När man räknar ut

7 När det blir kallare stiger temperaturen. 8 På en tallinje ligger –5 och 5 lika långt från noll.

9 När man subtraherar ett negativt tal

med ett annat negativt tal, blir svaret alltid negativt.

1 tal

Diagnos Begrepp och metod

Diagnos

14 ____

1 __ 4

25 ____

0,25

100

0,4

100

2 __

0,25

4 ____

0,4

4 ___

100

4 1 d) __ – __ 5 4

4 a) 3 · __ 5

1 5 c) __ · __ 2 6

3 b) __ · 12 4

3 a) __ 1 __ 2

3 b) ___ 1 __ 4

1 __ 6 ___ 1 __

Sätt ut decimaltecknet på rätt ställe i svaret.

a) 23,6 · 1,04 = 2 4 5 4 4

b) 0,43 · 708 = 3 0 4 4 4

Alex har ett snöre som är 4 meter långt. Han delar det i bitar. Hur många bitar får han om varje bit ska vara 1 1 a) __ m b) __ m c) 0,25 m d) 0,2 m 2 5 Vilken av kvoterna är

0,1

b) minst

45 ___

1,03

b) 0,3 kg

Blå kurs

0,98

c) 200 g

Svarta sidorna 1

–12

–3

0,7

Beräkna

a) 4 + (–5)

b) (–9) + 7

e) 4 · (–5)

f) (–3) · (–6)

c) 8 – (–12) (–30) g) _____ 5

d) –7 – (–3) (–15) h) _____ (–3)

Färg

Grön

●● Andelen röda rutor kan skrivas

1 i bråkform som ____ eller 100 i decimalform som 0,01.

Gul Blå Vit

Svarta sidorna

3 2

70 kr/kg

20 kr/kg

2 3

Vilket tal ligger mitt emellan 3 6 1 3 a) __ och __ b) __ och __ 3 5 4 5

7 1 c) __ och ___ 8 12

7 8

y b) kvoten __ bör ligga x

x c) kvoten __ bör ligga y

3 2 b) __ blir __ 5 4

5 2 c) __ blir __ 5 2

n · (n + 1) + 0,25 = ( ) · ( )

I en triangel är alla vinklar mindre än 90 grader. Varje vinkel är ett heltal 1 och den minsta vinkeln är __ av den största. Vad är summan av de två 5 största vinklarna?

I en klass går det 20 elever. De sitter två och två. Exakt en tredjedel av pojkarna sitter med en flicka och exakt hälften av flickorna sitter med en pojke. Hur många pojkar finns det i klassen?

En sjättedel av personerna på en buss är vuxna. Två femtedelar av barnen på bussen är pojkar. Hur stor del av personerna på bussen är flickor?

I det gamla Egypten skrev man alla bråk med täljaren 1, så kallade stambråk. Ville de till exempel skriva 5/6 skrev de bråket som en summa 1 1 5 __ __ = + __ 6 2 3

1 Vilket bråk är närmast __ ? Använd resonemang – inte räknare. 2 27 29 52 57 ___ ___ ___ ___ 79 59 57 79 92 Beräkna summan av stambråken 1 1 1 __ __ + + __ 2

(–1)

Sätt ut tecken för de fyra räknesätten (+ – · /) mellan de negativa talen så att uträkningen blir 100. Det finns flera lösningar. (–9) (–8) (–7) (–6)

1 1 1 1 __ __ + + ___ + ___

(–5)

(–4)

(–3)

(–2)

(–1)

Hur ska talen 2, –4, 6 och –8 vara placerade i rutorna så att svaret blir så

(

a) stort som möjligt

Skriv bråken som en summa av olika stambråk, alltså som en summa av olika bråk med täljaren 1. 2 2 3 a) __ b) __ c) __ 3 5 4

I en magisk kvadrat bildar varje rad, kolumn och diagonal samma summa. Sätt in talen (–13), (–10), (–7), (–4), 2, 5, 8 och 11 så att kvadraten blir magisk.

)

–

b) litet som möjligt

4 3 – 2 · 4 + __ 2

Sätt ut en parentes i uttrycket så att värdet blir så

a) stort som möjligt b) litet som möjligt

1 tal

Sammanfattning

5 __

1 1 __ 4

blandad form

●●Negativa tal Negativa tal

När man adderar eller subtraherar bråk måste nämnarna vara lika.

1,25 decimalform

–5

Exempel 3

3·5

5·3

●●Multiplikation och division med negativa tal

Positiva tal

Negativa tal är mindre än noll.

2 __ 1 2 · 5 1 · 3 10 3 7 __ – = ____ – ____ = ___ – ___ = ___

Produkten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ. (–3) · 4 = (–12)

5 Positiva tal är större än noll.

Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal är alltid negativ. 24 ____ = (–3) 8 (–8) (–24) _____ = (–3)

●●Multiplikation av två tal i

Exempel

Exempel 4 5

4·5

c a∙c a __ __ ∙ = ____

b d

b∙d

Skriv på samma bråkstreck.

b∙d

●●Division med tal i decimalform

Det är lättare att dividera med huvudräkning om nämnaren är ett heltal.

●●Division med tal i bråkform

Exempel

12 ___

3m = 3 · 4 = 12 bitar _____ 1 ____

12 _______ 12 · 10 ____ 120 ___ = = = 40

0,3 0,3

4m 1 Det går att ta ut 12 bitar som är __ m ur 3 m. 4

–4

–5

(–4) – 5 = (–9) Vi subtraherar med ett positivt tal. Värdet minskar. (–4) – (–5) = 1 Vi subtraherar med ett negativt tal. Värdet ökar. Det ger samma resultat som att addera med det motsatta talet.

–10

–4

–10

–4

–(–5) 0

0,07

15 15 3 __ 5 3 ___ ___ __ __ · 7 8 = _____ 8 = 1 __ 4 = ______ 4 2 = _____ ____ 1 2 2 __ 10 5 8 __ __ ___ · 5

–4

+(–5) –10

35 ____

Exempel

(–4) + (–5) = (–9) Vi adderar med ett negativt tal. Värdet minskar. Det ger samma resultat som att subtrahera med det motsatta talet.

Förläng med 10, så att man dividerar med ett heltal.

5 2

35 35 · 100 3 500 ____ = _________ = ______ = 500 0,07

0,07 · 100

Förläng med 100, så att man dividerar med ett heltal.

Förläng bråket så att nämnaren blir 1.

0,3 + 0,2 = 0,5

0,3 · 10

(–4) + 5 = 1 Vi adderar med ett positivt tal. Värdet ökar. –10

c a∙c a __ __ ∙ = ____ b d

(–3)

●●Addition och subtraktion med negativa tal

3 __ 2 3·2 6 3 __ · = ____ = ___ = ___

(–24) _____ =8

När man multiplicerar två bråk, så multiplicerar man täljare med täljare och nämnare med nämnare.

b a∙b a ∙ __ = ____ c c

Exempel 5 5 · 3 15 3 1 __ · 3 = ____ = ___ = 2 __ = 2 __ 6

Kvoten av två negativa tal är alltid positiv.

bråkform

2 3·2 6 1 3 · __ = ____ = __ = 1 __ 5 5 5 5

Produkten av två negativa tal är positiv. (–3) · (–4) = 12

(–5) och 5 är motsatta tal. De ligger lika långt från 0 på tallinjen.

bråkform

b) Svara i decimalform.

med tal i bråkform

i decimalform

●●Multiplikation med tal i

Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform Hur stor andel av figuren är färgad?

●●Addition och subtraktion

●●Tal i bråkform och

bråkform

1 tal

Svar: 0,5

Beräkna Hur stor andel av kvadraten utgör de olika färgerna? Svara i bråkform och i decimalform. Välj ur rutan.

Blå kurs tar upp samma innehåll som grundkursen och ligger parallellt med denna. Uppgifterna på Blå kurs kan användas som grundläggande repetition av grundkursen eller för elever som behöver en enklare ingång i de moment som tas upp på grundkursen. 1

a) grön

b) röd

0,05

0,25

c) blå

5 ____ 100

25 ____ 100

0,15

15 ____ 100

a) grön

a) 5 hundradelar

b) 11 hundradelar

c) 93 hundradelar

d) 109 hundradelar

a) 1 tiondel

b) 8 tiondelar

c) 10 tiondelar

d) 12 tiondelar

b) röd

0,1

0,4

5 1 a) ___ + ___ 10 10

b) 0,1 + 0,5

3 9 c) ___ – ___ 10 10

d) 0,9 – 0,3

1 3 a) __ + __ 5 5

b) 0,2 + 0,6

4 1 c) __ – __ 5 5

d) 0,8 – 0,2

c) blå

4 ___

1 ___

0,5

50 ____

5 ___ 10

1 __

100

0,25

2 __

1 __ 4

25 ____

1 __

100

2 ___ 10

1,5

Beräkna 1 4 1 5 1 __ __ + = __ + __ = __ 2

5 Svar: __ 8

Uppslaget Blå kurs

3 1 __ __ + 2

1 1 __ __ + 4

(–4) + 5 = 1 Vi adderar med ett positivt tal. Värdet ökar.

–10

(–4) + (–5) = (–4) – 5 = (–9) Vi adderar med ett negativt tal. Värdet minskar.

–10

0,2

1 1 a) __ + __ 3 6

2 1 b) __ + __ 3 6

1 1 a) __ – __ 3 12

2 8 b) __ – __ 3 12

(–4) – 5 = (–9) Vi subtraherar med ett positivt tal. Värdet minskar.

–10

–4

–12

–(–5)

–10

–4

Resonemang och kommunikation

Beräkna

a) 5 + 3

b) (–5) + 6

c) (–5) + 4

a) 6 + 4

b) (–1) + 4

c) (–7) + 6

Addera med ett positivt tal. Värdet ökar.

Bilal säger att när man adderar två tal, så är summan alltid större än de tal man adderar.

Leyla säger att när man multiplicerar två tal så är produkten alltid större än de tal man multiplicerar.

Beräkna

80 kr/kg

Förklara varför både Bilal och Leyla har fel.

a) 5 + (–2)

b) 5 + (–5)

c) 5 + (–6)

a) (–3) + (–1)

b) (–4 ) + (–2)

c) (–5) + (–3)

Addera med ett negativt tal. Värdet minskar.

1 Elin handlar __ kg ost, 5 hg skinka och 1,5 kg äpplen. 4 Vad ska hon betala? Skriv ned dina beräkningar.

180 kr/kg

30 kr/kg

Beräkna

a) 10 – (–1)

b) 10 – (–4)

c) 5 – (–2)

a) (–1) – (–1)

b) (–1) – (–2)

c) (–1) – (–3)

a) (–3) – (–2)

b) (–7) – (–3)

c) (–8) – (–5)

a) 5 +

b) (–3) +

a) 6 –

b) 6 –

1 tal

Problemlösning

Subtrahera med ett negativt tal. Värdet ökar.

Vilket tal ska stå istället för rutan?

= (–7)

= 10

c) (–6) +

= (–2)

d) (–8) +

c) (–5) –

= (–8)

d) (–5) –

= (–3)

Lina har en påse med kulor. Hälften är röda, en tredjedel är gula och resten är blå. Hon har 5 blå kulor. Hur många kulor finns det i påsen?

I en buss åker det ett antal personer. Vid första hållplatsen kliver det av 2 personer. Vid nästa hållplats går hälften av personerna av. Då finns det 15 personer kvar i bussen. Hur många var det i bussen från början?

ArbetsblAd 1:15

1 tal

Ett rätblock har kantlängderna x, x och 2x. Vilket värde ska x ha för att volymen ska vara 9 826 cm3? Värde på x 10

Fem små läsk till priset av tre stora

x kr

3. Lös ekvationen 5x = 3(x + 14)

(x + 14) kr

Förenkla högra ledet

5x = 3x + 42 2x = 42 42 2x ___ ___ = 2 2 x = 21

Dividera båda leden med 2

1 2 c) __ – __ 4 12

4. Svar: En liten läsk kostar 21 kr.

252

En stor bägare med popcorn kostar 10 kr mer än en liten bägare. Två små och tre stora bägare kostar 110 kr. Hur mycket kostar en liten bägare?

I ett cafe står det 7 bord. Det finns plats för 27 gäster. Vid några av borden finns det 5 stolar och vid de övriga är det 3 stolar. Hur många bord med fem stolar finns det? I en triangel är en vinkel sex gånger så stor som en annan. Den tredje vinkeln är 40 grader. Hur stora är triangelns vinklar?

Anna, Clara, Benjamin och Dilan har fått 9 600 kr av sin morfar. Anna fick dubbelt så mycket som Clara och Clara fick 1 600 kr mindre än Benjamin. Dilan fick hälften så mycket som Anna. Hur mycket fick var och en?

Repetition

Repetition 1 kan du göra efter grön kurs sidan 9 eller blå kurs sidan 31.

a) 7 hundradelar

b) 13 hundradelar

c) 89 hundradelar

d) 109 hundradelar

Röd kurs är till stor del parallell med Grön kurs och innehåller fördjupande och mer utmanande uppgifter. I Lärar guiden finns det lösningsförslag till de flesta uppgifterna på Röd kurs.

Uppslaget Röd kurs

b) 0,18

c) 0,7

d) 1,23

5 c) 0,3 + ___ 10

45 d) ____ – 0,37 100

1 2 c) __ och __ 5 3

3 2 1 d) __ , __ och __ 3 2 4

2 1 b) __ + __ 3 6

2 1 c) __ – __ 3 4

3 1 d) __ + __ 4 6

b) 32,8 – 4,66

c) 5 · 13,2

48,6 d) ____ 3

2 3 b) ___ – ___ 10 10

Skriv bråken med samma nämnare. 1 3 1 2 a) __ och __ b) __ och __ 3 2 3 4

Beräkna

3 1 a) __ + __ 4 8

Beräkna

a) 142,8 + 17,05 + 4

Skriv ett tal i bråkform som ligger mellan 4 4 1 3 a) __ och __ b) __ och __ 5 5 7 7

28 29

4 3 a) ___ 1 __ 6

Beräkna

(–80) 8 · (–8) + _____ – (–80) = (–64) + (–10) + 80 = (–74) + 80 = 6 8 Svar: 6

4 __ 5 ___ 1 __

5 __ 6 ___ 3 __

2 __ 3 ___ 5 __

5 2

3·2

Skriv det inverterade talet till 3 4 1 a) __ b) __ c) __ 4 5 8

a) 4 · (–4) + 48 – (–40)

b) 300 – 4 · (–5) + (–32)

a) 25 + (–10) – (–2) · (–7)

b) (–15) · (–3) + 100 · (–2) + 5

a) 2,5 · (–4) + 37 – (–12)

(–60) 40 b) _____ + ____ + 3 · (–12) 4 (–8)

15 (–15) a) 15 · (–3) + ____ – _____ (–3) (–3)

1,5 2,5 b) (–0,1) · (–50) + ______ + ___ (–0,5) 0,5

b) litet som möjligt

Beräkna på samma sätt som i exemplet.

Håll noga reda på tecknen. Skriv ner alla uträkningar steg för steg.

1 __

1 __ 4

1 __ 5

b) 525

c) 369

2 3 d) __ och __ 4 5

d) 420

9 3 a) ___ __ 28 7

Vilket eller vilka av uttrycken i rutan är

9 3 b) ___ __ 14 4

/ /

3 9 c) __ ___ 4 28

/ /

3 e) 6 __ 5

5 10 d) __ ___ 9 27

4 3 __ __ · 4 3

4 __ 3 ____ 3 __

Lisa ska baka 3 ingefärskakor. Hur mycket behöver hon av varje ingrediens?

I en kakburk får det plats 24 småkakor. Hur många småkakor finns i kakburken om den är fylld till 1 1 1 3 a) __ b) __ c) __ d) __ 3 4 6 4

+ _______

a) täljare

b) nämnare

Här är en ”talmaskin” som förändrar talet du stoppar in enligt ett bestämt mönster.

Beräkna värdet av uttrycket

a) Undersök vilka av följande bråk som kan skrivas i decimalform med ändlig decimalutveckling. Ta hjälp av en räknare om du vill.

c) xy + x, om x = (–5) och y = 20

1 __ 2

Beräkna värdet av uttrycket

1 __ 3

1 ___ 17

a) 2a + 5b, om a = 5 och b = (–6)

b) 7a + 3b – 4, om a = 3 och b = (–8)

b) Talet ut är 147. Vilket var talet in? c) Paul påstår att vilket heltal han än stoppar in, så är det tal som kommer ut alltid ett primtal. Har Paul rätt? Prova med några exempel.

1 __ 4

1 ___ 18

1 __ 5

1 ___ 19

1 __ 6

1 __ 7

1 ___ 20

1 __ 8

1 ___ 30

1 __ 9

1 ___ 40

1 ___ 10

1 ___ 50

1 ___ 11

1 ___ 60

1 ___ 12

1 ___ 70

1 ___ 13

1 ___

1 ___ 80

1 ___ 90

1 ___ 15

–1

Repetition

259

verktygslådan

283

Dela upp i faktorer

1. Multiplicera med 10 och 100

38 · 10 = 380 38 · 100 = 3 800

0,38 · 10 = 3,8 0,38 · 100 = 38

Faktorträd

2. Multiplicera stora tal

50 · 3 000 = 5 · 3 · 10 000 = 150 000 4 nollor

2 · 2

4 nollor

24 6

2 · 12

2 · 4

24 = 2 · 2 · 2 · 3

12 · 35 = (10 + 2 ) · 35 10 · 35 + 2 · 35 = 350 + 70 = 420

3 · 8

2 · 3

24 = 3 · 2 · 2 · 2

2 · 3

24 = 2 · 2 · 2 · 3

12 = 10 + 2

Verktygslådan är en sammanställning av bokens viktigaste begrepp och metoder.

Negativa tal

Dividera med 10 och 100

480 ____ = 48

10 480 ____ = 4,8 100

Ett negativt tal är ett tal som är mindre än noll.

4,8 ___ = 0,48

negativa tal

10 4,8 ____ = 0,048 100

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

positiva tal

–4 är motsatt tal till 4

Räkna med negativa tal

Delbarhet Jämna tal är tal som slutar på: 0, 2, 4, 6 eller 8. Udda tal är tal som slutar på: 1, 3, 5, 7 eller 9. Att ett tal är delbart med t.ex. 5 betyder att divisionen går ”jämnt upp” när talet divideras med 5. Kvoten blir alltså ett heltal. 147 är delbart med 3 eftersom siffersumman 1 + 4 + 7 = 12 är delbar med 3.

1. Addition 12 + (–3) = 12 – 3 = 9 (–12) + (–3) = (–12) – 3 = –15 Att addera med ett negativt tal är detsamma som att subtrahera med det motsatta talet.

2. Subtraktion 12 – (–3) = 12 + 3 = 15

Delbarhetsregler

(–12) – (–3) = (–12) + 3 = –9

Tal delbara med

Att subtrahera med ett negativt tal är detsamma som att addera med det motsatta talet.

3. Multiplikation 12 · (–3) = –36

(–12) · 3 = –36

Produkten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ.

4. Division

12 ____ = –4 (–3)

verktygslådan

1 ___ 16

1 ____ 100

ArbetsblAd 1:20 1 tal

2 · 6

2 · 2

De inringade talen är primtalsfaktorer

3. Dela upp

b) Formulera en regel som beskriver vilka bråk som kan skrivas i decimalform med ändlig decimalutveckling.

c) 4ab – b, om a = (–2) och b (–7)

·4

a) Du stoppar in talet 12. Vilket tal kommer ut?

Talet 24 kan skrivas som 1 · 24, 4 · 6 eller 3 · 8 eller 2 · 12. Det betyder att 24 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24.

Multiplikation

1 1 Om du slår __ på räknaren, så får du resultatet 0,25 och om du slår __ , så 4 3 får du resultatet 0,333333… Decimalutvecklingen tar aldrig slut! Man 1 1 säger att bråket __ har ändlig decimalutveckling och att bråket __ har 4 3

a) 3x + 2y, om x = 4 och y = (–3)

b) 5x – 2y, om x = (–10) och y = (–50)

5 e) __ 6

c) värde

4 5 I en skola använder __ av eleverna dator dagligen. Av dem spelar __ 6 5 datorspel varje dag. Hur stor andel av skolans elever spelar datorspel dagligen?

282

oändlig decimalutveckling.

Mormors ingefärskaka 200 g sirap 2 ägg 200 g socker 1 1/2 tsk nejlika 1 1/4 tsk ingefära 1/2 msk rivet apelsinskal 1 tsk bikarbonat 3 dl vetemjöl

S7uan Om du förlänger ett bråk med 2, vad händer då med bråkets

(–12) _____ = –4 3

Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ.

3 3

3 är alla tal med en siffersumma som är delbar med 3.

7 __

4 __ 4 __ ·

4 · ______

Motivera, med ord, dina svar i uppgift 34.

som är 0.

(–105) (–2,8) (–14,4) b) ______ – _____ + ______ 3 0,4 (–1,2)

3 __

4 4

Beräkna värdet av uttrycket 2x + 3y, om x = 4 och y = (–2).

1 tal

32 b) ___ 10

3 6 6 __ = ____ 3 5 __ 5

3 __ 3 __ ·

10 är alla tal med en sista siffra

2x + 3y = 2 · 4 + 3 · (–2) = 8 + (–6) = 8 – 6 = 2

40,5 d) ____ 100

Beräkna

1 __

2 3 e) __ __ 3 8

3 __ 4 ____ 4 __

5 är alla tal med en sista siffra som är 0 eller 5.

___ – ___

Svar: 2

c) 8,4 · 1 000

3 d) __ 7

Beräkna. Skriv först bråken på ett rakt huvudbråkstreck. Förläng sedan bråket så att nämnaren blir ett. 1 2 1 1 a) __ 8 b) __ 4 c) 3 __ d) 12 __ 5 5 2 4

Exempel

4 5 d) __ · __ 5 8

6 __

2 är alla jämna tal.

2 ___ + ___

2 3 c) __ · __ 3 4

ArbetsblAd 1:19

Ge exempel på fem olika uttryck som har värdet (–64). Ett exempel är (–96) + (–2) ∙ 4 / (–0,25). Uttrycken ska bestå av minst fyra tal och minst tre olika räknesätt. Placera bråken i rutorna på lapparna så att uttrycket blir så

18 d) ___ 48

Beräkna och förkorta så långt som möjligt. 1 1 1 3 a) __ · __ b) __ · __ 2 5 3 5

4 ___ . Det går att ta ut

1 tal

a) stort som möjligt

Skriv bråken med nämnaren 24. 1 3 2 a) __ b) __ c) __ 4 8 3

10 40 eftersom 4 hela = ___ . 10

c) mindre än 1

Uppslaget A

Skriv bråken i storleksordning, med det minsta först.

4 ___ tio gånger ur 4 hela,

35 ArbetsblAd 1:18

Problemlösning, resonemang och kommunikation

2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion

Repetition

Huvudräkning

I ett matematiskt uttryck räknar man i den här ordningen:

253

a) större än 1

1 tal

1. Det som står i parentesen

Totalt

2 __ är lika mycket som

5·2

b) lika med 1

8 Pedram har __ liter färg. Han målar tavlor och till varje tavla 5 2 går det åt ___ liter. Till hur många tavlor räcker färgen? 15

Pinne

Barn

2 __ 3 2·3 6 __ · = ____ = __ = 1

Verktygslådan

Sist i Röd kurs finns ett uppslag med uppgifter av problemlösande karaktär, vilka även tränar resonemang och kom munikation. Uppmuntra gärna eleverna till att arbeta tillsammans och redovisa sina lösningar för varandra. 35 a) 3 + (–7) · 3 – ____ (–7)

täljaren och nämnaren ett tal bråkform.

2 __ 3 d) ___ 5 __ 9

Strut Vuxna

5 __ 1 5·1 5 __ · = _____ = __ = 1 1 5 1 ·5 5

5 5 5 20 ___ 4 · __ 4 · __ 4 · __ 4 _____ 2 _____ 2 _____ 2 ____ 2 ___ = = = = = 10 5 2 2 __ 2·5 10 1 __ __ ____ ___ · 5 Förläng med __ . 2

2 5 c) ___ 3 ___ 10

Gustavs pappa är tre gånger så gammal som Gustav är. Gustav kommer fram till att om tio år är han hälften så gammal som sin pappa. Hur gammal är Gustav?

Det stämmer.

4 Beräkna ___ 2 __ 5

Svar: 10

Beräkna. Förläng först båda bråken så att de får samma nämnare. 1 1 1 1 __ __ __ __ 3 3 2 4 a) __ b) ___ c) ___ d) __ 1 1 1 1 __ __ __ __ 3 4 5 5 3 __ 4 ___ 2 __

Exempel

3 __ 4 b) ___ 5 __ 8

1 1 c) __ och __ 3 2

Dela upp talet i så små faktorer (primfaktorer) som möjligt.

Division

Exempel

3 __ m

Tre fjärdedelar får plats 8 gånger i 24 fjärdedelar.

258

3 2 __ är det inverterade talet till __

6m _____

Nämnare

En butik har rea som startar på söndagen. Varje dag sänker de priset med 10 % jämfört med föregående dag. Vilken dag blir priset mindre än hälften av det ursprungliga priset?

10 personer köper var sin glass. De får välja mellan strutglass och pinnglass. 3 personer är vuxna, resten är barn. 6 personer köper strutglass, 2 av dem är vuxna. Ta hjälp av tabellen och avgör hur många barn som köper pinnglass?

problemlösning

S7uan Vilka metoder kan du använda när du ska addera bråk med olika

3 Svar: Elin kan göra 8 bitar som är __ m långa. 4

En annan bra metod när man dividerar med tal i bråkform, är att förlänga så att det bråk man delar med blir 1. Det gör man genom att förlänga med det inverterade talet till nämnaren.

Beräkna. Börja med att förlänga täljaren till samma delar som nämnaren. 8 3 6 12 __ __ __ __ 1 1 1 1 a) ___ b) __ c) ___ d) ___ 4 2 3 3 __ __ __ __ Ibland är både 5 5 5 5

Mer om att räkna med negativa tal

Beräkna. Svara i bråkform och decimalform.

a) 0,3 + 0,4

1 5 __ är det inverterade talet till __ 1 5

Ett fotbollslag viker ihop en tältduk. Den är 120 meter lång från början.

b) Efter hur många vikningar är den mindre än 2 meter lång?

Skriv i bråkform.

a) 0,07

Metod 1

Förläng så att båda bråken får samma nämnare.

Ett rätblock har volymen 216 liter. Ge två olika förslag på rätblockets mått.

a) Hur lång är den efter 3 vikningar?

a) 10 · 1,5

Repetitionsuppgifter till varje kapitel finns i slutet av boken. Uppgifterna trä nar moment för det aktuella kapitlet samt repeterar tidigare moment. I upp gift 7, Sjuan, ska eleven föra ett resonemang eller ge en förklaring. Diskutera gärna dessa uppgifter gemensamt med eleverna. Avsnittet kan användas för repetition eller som läxor. 3

Ett sätt att beräkna kvoten av två tal är att först skriva dem med samma nämnare.

a) Vilket värde ska a ha för att volymen ska vara 13 182 cm3?

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

a) 144

6 6 __ 24 4 __ __ ___ · 6 m ___ 1 _____ 1 4 ____ 4 _____ = = = =8 3 3 3 3 __ __ __ __ m

x x

Repetition 2 kan du göra efter grön kurs sidan 13 eller blå kurs sidan 33.

Repetition

Röd kurs

stämmer

Repetition 2

Metod 2

Täljare

för litet

problemlösning

Repetition 1

Elin har ett rep som är 6 meter långt. Hon delar repet så att 3 varje del är __ meter. Hur många sådana delar kan Elin 4 göra av repet?

för mycket

17 ∙ 17 ∙ 2 ∙ 17 = 9 826

Mer om division med tal i bråkform

Exempel

för litet

20 ∙ 20 ∙ 2 ∙ 20 = 16 000 15 ∙ 15 ∙ 2 ∙ 15 = 6 750

Ett rätblock har kantlängderna a, 2a och 3a.

b) Vilket värde ska a ha för att begränsningsarean ska vara 1 936 cm2?

Anna, Benjamin, Clara och Dilan beställer samma mat på en restaurang. Clara har glömt sin plånbok, så de andra får lägga ut för henne. Dilan säger att nu måste var och en lägga 70 kr extra. Hur mycket ska var och en betala?

nämnare? Visa med exempel.

Volym 10 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 = 2 000

20 15

Svar: När x = 17 cm så är volymen av rätblocket 9 826 cm3.

Subtrahera båda leden med 3x

5x – 3x = 3x – 3x + 42

–5

(–4) – (–5) = (–4) + 5 = 1 Vi subtraherar med ett negativt tal. Värdet ökar.

5x = 3(x + 14)

dividerat med 0,5 är lika med

5 1 c) __ – __ 6 2

Exempel

2. Ställ upp en ekvation

Blå kurs avslutas med ett uppslag som lägger fokus på förmågorna problem, resonemang, kommunikation och begrepp. Låt gärna eleverna arbeta i mindre grupper för att lösa uppgifterna och för att uppmuntra till diskussion. Uppgifterna på det Blå uppslaget är formulerade utifrån nivån på uppgifter na i den Blå kursen, men kan med fördel göras av alla elever. adderat med talet (–4) är lika med

Problemlösning

1. Kalla priset på en liten läsk för x kr. Då blir priset på en stor läsk (x + 14) kr.

Talet 2

En stor läsk kostar 14 kr mer än en liten. Fem små läsk kostar lika mycket som tre stora. Vad kostar en liten läsk?

Gör en tabell

Exempel

ArbetsblAd 1:2–1:4

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i de begrepp som saknas. 0

1 tal

Begrepp

+5 –4

Lös med ekvation =

3 1 __ __ –

I slutet av boken finns ett problemlös ningskapitel som tar upp olika strategier för att lösa matematiska problem. Kapit let är fristående och uppgifter kan läggas in i undervisningen när det passar. Problemlösningsupp gifterna på uppslagen går alltid att koppla till någon eller några av strategierna som presenteras här. Uppgifterna kan med fördel följas upp med gemensam diskussion och redovisning. Kommentarer och lösningsförslag finns i Lärarguiden.

1 tal

+(–5) –4

1 3 __ __ –

Skriv först bråken med samma nämnare. Beräkna sedan. Ta hjälp av figuren om du vill.

Uppslaget

Addition och subtraktion med negativa tal

d) 0,95 – 0,06

Beräkna. Börja med att skriva bråken som åttondelar.

ArbetsblAd 1:1

?! 6 95 c) ____ – ____ 100 100

b) 0,08 + 0,04

Exempel

Vilka tal anger samma andel? Välj i rutan.

4 8 a) ____ + ____ 100 100

Om bråken har olika nämnare, så måste man först skriva dem med samma nämnare.

5 ___

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

b) 2 · 3 + 0,25 = ( ) · ( ) c) Använd svaren i uppgift a och b för att fundera ut vilket uttryck som ska stå i parenteserna.

1 tal

Varje kapitel avslutas med en samman fattning som förklarar kapitlets viktigaste metoder och begrepp.

a) Svara i bråkform. 2 ___ 5 3 ___ ___ + = 10 10 10 5 Svar: ___ 10

Vilket tal ska stå i parenteserna (samma tal i båda)?

Lös uppgiften utan räknare.

c) Beräkna värdet av varje uttryck. 5 __ 4 4 __ 5 0,5 4 ___ ___ __ ___ ∙ (–5) + 4 4 4 0,5 5 4 __ 5

Exempel

25 ___

__ __

b) Beräkna utifrån mönstret produkt 100.

Vilket är talet som multiplicerat med 1 1 a) __ blir ___ 5 10

1 tal

__ __

a) Beräkna varje produkt. Hittar du något mönster?

a) 1 · 2 + 0,25 = ( ) · ( )

50 kr/kg

a) Skriv uttrycken i storleksordnning med det minsta först.

(1 + 11 ) · (1 + 21 ) (1 + 11 ) · (1 + 21 ) · (1 + 31 ) (1 + 11 ) · (1 + 21 ) · (1 + 31 ) · (1 + 41 )

Produkt 1

Produkt 3 x

a) produkten x · y bör ligga

b) Motivera, med ord, varje uttrycks placering.

Studera produkterna.

Produkt 2

1111/101 = 11. Vad är 3333/101 + 6666/303?

Rita av tallinjen och markera var svaret till

Till varje kapitel finns ett uppslag med extra utmanande uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga inne håll. De kallas Svarta sidorna. Elever som är klar med Röd kurs kan finna ytterligare utmaning i dessa uppgifter. Facit till de Svarta sidorna finns i boken. Lösningsförslag och ytterligare kommentarer till uppgifterna finns i Lärarguiden.

Bedömningsuppgift

Bråkform Decimalform 1 ____ 0,01 100 9 ____ 0,09 100 30 ___ 3 ____ = 0,30 = 0,3 100 10 10 ___ 1 ____ = 0,10 = 0,1 100 10 50 ___ 5 ____ = 0,50 = 0,5 100 10

Röd

●● En av hundra rutor är röd.

2 __ 3 __ ·

Shirin får pengar av sin morfar när hon fyller år. Hon går först och klipper sig för en fjärdedel av pengarna, sedan köper hon en tröja som kostar 260 kr. Hennes lillebror får två femtedelar av de pengar som sedan är kvar. Då har hon 60 kr kvar. Hur mycket pengar får hon av sin morfar?

1 tal

Kvadraten är indelad i hundra rutor.

1 2 · __ 3

Hur stor är temperaturskillnaden mellan +15 °C och –8 °C?

Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta talet.

1 3 · __ 2

3 2

Problemlösning

65 ____

0,5

Blå kurs Tal i bråkform och i decimalform

Sara handlar mat. Hon köper 6 hg ost, 800 g köttfärs och 1,8 kg äpplen. Vad ska hon betala? Visa dina beräkningar.

Ett kilogram päron kostar 16 kr. Hur mycket kostar

a) 3 kg

59 ____

37 ___

a) störst

c) 54,2 · 8,9 = 4 8 2 3 8

1 __ 1 __ ·

3 b) ____ är lite mer än 6 0,49

Diagnosen testar grundkursens mål. Diagnosen är indelad i olika avsnitt för att även ge möjlighet att testa de olika matematiska förmågorna. I Lärarguiden finns facit och förslag på uppgifter som eleverna kan arbeta vidare med om de har svårigheter med ett visst moment. I materialet Arbetsblad, Prov, Aktiviteter finns en bedömningsmatris kopplad till bedömningsuppgiften. Det är viktigt att elevernas arbete synliggörs. Arbeta gärna formativt tillsammans med eleverna, analysera gemensamt resultatet och diskutera hur eleven kan arbe ta vidare på Blå eller Röd kurs. 5

Förklara, utan att utföra beräkningen, varför 4 a) ___ är mindre än 8 0,6

2 3 d) __ · __ 5 4

1 __ 2 ___ 1 __

1 __ 3 ___ 1 __

1 __ 2 ___ 1 __

c) större än 1

Beräkna. Svara både i decimalform och i bråkform. 7 98 3 1 a) ___ + 0,06 b) ____ – 0,3 c) __ + __ 10 100 4 2 Beräkna

Motivera dina svar. Vilket eller vilka av uttrycken är

a) lika med 1

b) mindre än 1

Resonemang och kommunikation

Vilka tal betyder samma andel?

introduktion

(–12) · (–3) = 36 Produkten av två negativa tal är positiv.

(–12) _____ =4 (–3)

Kvoten av två negativa tal är positiv.

Lärarguiden

Lärarguiden följer elevboken med kommentarer och tips för din undervisning.

Ingressuppslag

Tal

Grundläggande kunskaper om begrepp och metoder är en förutsättning för att eleverna ska kunna ta till sig övrigt centralt innehåll i matematik. Eleverna behöver kunna multiplicera med bråk för att klara av att göra beräkningar i sannolikhetslära och även i algebra finns moment som kräver att de kan hantera bråk på olika sätt. Därför inleder vi med ett kapitel om tal. Här ligger fokus på sambandet mellan tal i bråkform och tal i decimalform. Multiplikation och division med de talformerna är nytt för Matte Direkt åk 8. Nytt är även negativa tal och att göra beräkningar med negativa tal.

Kapitelintroduktion Varje kapitel introduceras av författarna med kommentarer kring innehåll och struktur.

Under 1700-talets slut fanns det tusentals olika längd-, vikt- och volymmått i Frankrike. Den franska vetenskapsakademin beslöt att göra ett nytt måttsystem som skulle grunda sig på jordens mått, inte som tidigare på kroppsmått. En meter skulle vara grundenheten för längd och vara lika lång som 1/10 000 000 av sträckan mellan ekvatorn och Nordpolen. Numer definieras en meter utifrån den sträcka som ljuset färdas under tiden 1/299 792 458 sekund. De flesta länder har infört metersystemet. USA använder dock endast metersystemet i militära och naturvetenskapliga sammanhang. Utifrån längdenheten meter fastslog man att en liter skulle vara en tusendel av en kubikmeter, alltså en kubikdecimeter. Vikten av en liter vatten vid 4 °C är 1 kilogram, vilket är SI-enheten för vikt. En effekt av att metersystemet infördes var även att enheterna byggde på tiosystemet. Tidigare användes bråk för delar av en enhet, nu blev det möjligt att skriva enheterna i decimalform och att använda prefix. Metersystemet infördes i Sverige mellan åren 1879 och 1888. Ett försök gjordes också att dela in tiden med hjälp av tiosystemet. Året skulle då vara 10 månader och en vecka 10 dagar. Dygnet skulle delas in i 10 timmar och en timme i 100 minuter. Det finns klockor som är konstruerade för den decimala tiden, men försöket att införa decimaltid lyckades aldrig.

Mål

Omvandlingstabell för några gamla svenska mått. Tum Fot Aln Famn

Begrepp

Kapitlet inleds med omvandling mellan tal i bråk- och decimalform och övergår sedan till addition och subtraktion av båda dessa former. På nästa uppslag har vi valt att skilja mellan multiplikation av och med tal i bråkform. Med multiplikation av tal i bråkform menar vi: b 1 a ∙ __, till exempel 4 ∙ __. Multiplikation med tal i bråkform c 3 a 5 innebär: __ ∙ c, till exempel __ av 3 meter. b 6

Centralt innehåll Här presenteras det centrala innehåll som tas upp i kapitlet. För att få en bild av vilka kunskaper eleverna bör ha med sig från tidigare årskurser presenteras även det centrala innehållet för årskurs 4–6.

Kommentarer och svar

●● Hur långt är det runt jorden?

Kapitlets innehåll

Detta leder oss vidare till multiplikation av två tal i bråkform. För att undvika att eleverna endast lär sig metoder utan förståelse finns här gott om bildstöd med avsikt att hjälpa eleverna att skapa inre bilder. Att ett tal kan ”bli mindre när man multiplicerar och större när man dividerar”, kan gå emot elevernas intuitiva uppfattning. De har tidigare kanske endast mött multiplikation och division med hela tal. Det kan vara bra att tänka på under arbetet med multiplikation och division med tal i bråk- och decimalform som följer. De negativa talen är sist ut i kapitlet. De presenteras utifrån placering på tallinjen. Vi har undvikit att lägga konkreta tillämpningar på de negativa talen från början. Det finns annars risk för att de leder till ”återvändsgränder”. Blå kurs är parallell med grön kurs och alla moment på grön kurs finns även på blå kurs, utom det avslutande avsnittet med multiplikation och division med negativa tal. I röd kurs kan eleven fördjupa sina kunskaper om bland annat multiplikation med bråk och decimaltal, förkorta bråk, division med tal i bråkform samt mer om att räkna med negativa tal.

Tal

Innehåll När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att ●● jämföra tal i bråkform och i decimalform

Tum

1 ___

Fot

1 ___

24 1 __ 2

Aln

Famn

72 1 __ 6 1 __ 3 1

●● Hur många känner du igen?

●● addera, subtrahera, multiplicera och

●● Hur många aln går det på en famn?

dividera tal i bråkform och decimalform

●● förklara vad ett negativt tal är

●● Hur stor del av en fot är en tum?

●● räkna med negativa tal

Med nutida mått är 1 fot = 29,69 cm.

Begrepp

●● Hur många mm är 1 tum?

andel

bråk

negativt tal

decimalform

blandad form

motsatt tal

bråkform

förlänga

En famn är avståndet mellan fingerspetsarna när man håller armarna rakt ut åt sidorna. Det är ungefär lika långt som personens längd. ●● Testa om det stämmer på dig.

Motsvarande centrala innehåll från åk 4-6 är:

Centralt innehåll

●● 40 000 km är jordens omkrets.

I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet:

Taluppfattning och tals användning

●● Positionssystemet för tal i decimalform.

●● Rationella tal och deras egenskaper. ●● Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer

Svar till frågorna

●● Det binära talsystemet och hur det kan tillämpas i digital teknik samt talsystem som använts i några kulturer genom historien, till exempel den babyloniska.

●● Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer.

●● Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. ●● Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer.

●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräk-

●● Fråga gärna eleverna om de känner till fler gamla mått. En diskussion kring mått i andra länder kan också vara intressant. I USA till exempel använder man fortfarande miles och inches m.m. 1 ●● __ aln 3 1 ●● __ 12 1 ●● __ aln 3 ●● ≈ 25 mm Måttband behövs till den sista uppgiften. Måttet brukar stämma ganska bra på de flesta människor. Var uppmärksam på om det kan vara känsligt för någon elev att mäta sina kroppsmått. I så fall kanske det är bättre att avstå från den här uppgiften.

ningar i vardagliga situationer.

Grundkurs

Avsnittsintroduktion Varje avsnitt introduceras med en presentation av syfte och innehåll. Lärandemål Mål för varje avsnitt.

Facit

Division med tal i bråkform Uppslaget syftar till att eleverna ska utveckla förståelse för division med tal i bråkform. För att den ska ha någon innebörd behöver eleverna förstå innehållsdivision, vilket är fokus här. På sidan 15 behandlar vi en metod för division med tal i bråkform. Den går ut på att förlänga bråket så att nämnaren blir 1. En del elever lär sig så småningom att utföra operationen genom att multiplicera med nämnarens inverterade tal, men saknas förståelsen är risken stor att det blir en metod som glöms bort.

Lärandemål Här ska eleverna lära sig: ●● metoder för att beräkna division med tal i bråkform ●● att förlänga så att nämnaren blir 1 ●● innebörden av innehållsdivision och delningsdivision ●● begreppet huvudbråkstreck

Division med tal i bråkform

Kim har ett rep som är 3 meter långt. 1 a) Han delar det i bitar som är __ m långa. 2 Hur många bitar blir det?

Diskutera gärna med eleverna att det till exempel inte går att dela 3 meter en halv gång, men att det går att ta ut en halv meter ur 3 meter. Observera att vid innehållsdivision har täljare och nämnare samma enhet och kvoten 21 m blir då utan enhet, t. ex. _____ = 3. Det går att ta ut 7 meter 7m 3 gånger ur 21 meter. Vid delningsdivision har täljaren en enhet, men inte nämnaren och kvoten har samma enhet 21 m som täljaren, t.ex. _____ = 3 m . När man delar 21 meter 7

1 __ m 2

3m _____ = 3 · 2 = 6 bitar 1 __ m

1 __ m 2

1 __ m

Beräkna 2 a) __ 1 __ 6

8m b) ____ = 8 · 1 __ m 4

6 c) ___ 1 __ 3

4 b) ___ 1 __ 5

8m c) ____ = 8 · 1 __ m 3

5 d) ___ 1 __ 4

8m d) ____ = 8 · 1 __ m 5

Tänk på Här presenteras vanliga fel och missuppfattningar samt tips på hur man kan motverka dem.

Som hjälp för eleven kan man använda modeller av bråk för att visa hur många gånger man kan ta ut en tredjedel ur två hela. 2 =6 ____ 1 ___ 3

Här kan man berätta att fram till början av 1960-talet betraktades division som två räknesätt: innehållsdivision och delningsdivision. Delningsdivision betecknades med ett bråkstreck /, och innehållsdivision med ett kolon :. Tecknen för divisionerna återfinner vi som ett tecken på räknarknappen för division.

b) en tredjedels pizza d) en sjättedels pizza

Basim ska hälla upp 4 liter saft i flaskor. Vilket uttryck i rutan visar hur många flaskor han behöver om varje flaska har volymen 1 1 a) __ liter b) __ liter 3 4

4 ___ 1 __ 3

4 ___ 1 __ 4

1 __ 3 ___ 3

1 __ 4 ___ 4

Timea har plockat 12 liter blåbär. Hon ska förpacka dem i påsar. Hur många påsar behöver hon om det i varje påse ska vara 1 b) __ liter 2

1 c) __ liter 4

1 d) __ liter 3

1 tal

( ) ( )

Beräkna. Börja med att förlänga bråken så att nämnaren blir ett. 1 3 __ __ 5 4 4 4 b) __ c) __ d) ___ e) ___ 2 3 3 3 __ __ __ __ 3 5 5 5

6 a) __ 2 __ 3

2 ___ 5 __

2 ___ 4 __

Förklara varför 1 __ 3 a) ___ är lite mer än 1 1

a) Vilket uttryck är större än 1? b) Motivera ditt svar i a. c) Beräkna uttryckens värde.

2 ___ 3 __

1 __ 2 ___ 3 __

1 __ 3 ___ 1 __ 2

1 __ ·2 3

1 __ 2 b) ___ är lite mer än 2 1 __ 5

18 40 a) ___ (9) 2 2 20 c) ___ 6 __ 3 3 1 5 e) __ 1 __ 4 4

1 __ 2 ___ 5 __

1 __ 1 __ · 2 3

1 __ 2 ___ 1 __ 3

1 __ 3 ___ 2

1 __ 6

1 __ 3

1 __ 2

1 __ 4 c) ___ är lite mindre än 1 1 __ ArbetsblAd 3 1:7 15

de elever som behöver, att rita bilder som stöd.

37 Här kan man med fördel ta en gemensam diskus-

Visa gärna några äpplen och skriv upp dessa uttryck:

1 1 __ __ 4 2 4 2 4 __ ___ ___ ___ ___ 1 1 1 1 2 __ __ __ __ 2

A Vad betyder dessa uttryck? Förklara utifrån äpplena. B Skriv upp andra betydelser utifrån något annat än äpplen. Låt eleverna diskutera parvis. Be några elever beskriva hur de löst uppgiften.

Slut Till varje avsnitt finns minst en övning som du kan avsluta lektionen med. Uppgiften ger dig som lärare en bild av vad eleverna har lärt sig eller har svårt med. Uppgiften blir ett sätt att utvärdera undervisningen och ger underlag för ett formativt arbetssätt.

( ) ()

15 1 b) ___ 7 __ 2 2 5 d) ___ 12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()

12 2 41 a) ___ 2 __ 5 5 1 10 5 b) ___ __ = 2 __ 4 2 2 1 16 c) ___ 5 __ 3 3 1 8 4 d) __ __ = 1 __ 6 3 3 8 4 e) ___ __ 10 5

( )

1 __ 2 42 a) ___ 1 __ 3 1 b) __ får plats mer än en 3 1 1 1 gång i __ för __ < __ . 2 3 2 1 __ 1 2 3 c) ___ = 2 ∙ __ = __ 1 3 3 __ 2 1 2 __ ∙ 2 = __ 3 3 1 1 1 __ __ ∙ = __ 2 3 6 1 __ 3 1 2 __ ___ = = 1 __ 1 2 2 __ 3 1 __ 1 3 __ ___ = 2 6

1 43 a) __ får plats lite mer än 4 1 1 en gång eftersom __ < __. 4 3 1 b) __ får plats lite mer än 5 1 2 gånger i __ . 2 1 c) __ får inte plats en gång 3 1 1 1 i __ eftersom __ > __ . 4 3 4

Kommentarer till uppgifter 34 Uppgifterna är varianter av startuppgiften. Uppmana

Start

Facit Facit till uppgifterna på uppslaget så att du som lärare lätt kan hitta svar på uppgifter i elevboken.

introduktion

c) 48 påsar d) 36 påsar

1 tal

Mer utmanande uppgifter om division med tal i bråkform finns på sidan 46–47, röd kurs.

Kommentarer till uppgifter Till varje avsnitt finns kommentarer till hur uppgifterna kan användas i klassrummet och förslag på hur de kan utvecklas. Här presenteras också vanliga fel och missuppfattningar.

4 b) ___ 1 __ 4 b) 24 påsar

Start Förslag på inledande övning som väcker elevernas intresse och som ger dig som lärare en bild av deras förkunskaper.

Extra material Här finns tips på ytterligare färdighetsträning, aktiviteter och lämpliga artiklar som passar till avsnittet.

4 37 a) ___ 1 __ 3 38 a) 6 påsar

8 2 20 2 39 a) __ 2 __ b) ___ 6 __ 3 3 3 3 2 4 2 32 c) ___ 10 __ d) __ __ 3 3 6 3 12 e) ___ (2) 6

c) 18 f) 2

4 Beräkna. Börja med att förlänga bråket med __ så att nämnaren blir ett. 3 1 3 __ __ 5 8 2 2 b) ___ c) ___ d) ___ e) ___ 3 3 3 3 __ __ __ __ 4 4 4 4

1 tal

Gå vidare Hänvisar till de parallella avsnitten på Blå och Röd kurs, samt eventuellt vilka sidor i repetitionsavsnittet som passar efter avsnittet.

b) 20 e) 6

b) 9 st d) 18 st

2 a) ___ 3 __ 4

1 __ 2 f) ___ 1 __ 4

3 e) ___ 1 __ 2

7 gånger så blir varje del 3 meter. Att fråga sig hur många gånger man kan ta ut till exempel en tredjedel ur två hela, kan underlätta förståelsen för innehållsdivision. Innehållsdivision går att tolka som 1 1 1 1 1 1 upprepad subtraktion: 2 – __ – __ – __ – __ – __ – __ = 0. 3 3 3 3 3 3

b) 4 d) 5

35 a) 12 d) 20 36 a) 6 st c) 12 st

Hur många kan dela på 3 pizzor om alla ska få

a) en halv pizza c) en fjärdedels pizza

a) 2 liter

34 a) 2 c) 3

Beräkna. Börja först med att förlänga bråket så att nämnaren blir ett. 5 6 a) ___ b) ___ 2 3 __ __ 3 4 4 24 15 3 3 ___ ___ 6 · __ 5 · __ 5 · __ 1 5 _____ 6 _____ 3 ____ 3 2 _____ 2 ____ 2 ___ ___ = = = = = = 7 __ =8 6 1 3 4 2 2 __ 3 3 __ 1 2 __ __ __ __ __ · · 6 3 3 2 4 4 3

Exempel

Vad ska stå i rutan? 8m a) ____ = 8 · 1 __ m 2

15 ___ =1

Det blir 2 bitar på varje meter.

1 b) Han delar det i bitar som är __ m långa. Hur många bitar blir det då? 4 3m _____ = 3 · 4 = 12 bitar 1 __ m 4 Det blir 4 bitar på varje meter.

Tänk på Missuppfattningen att ett tal alltid blir mindre när det divideras är vanlig. Att ett tal kan bli större när det divideras, går emot elevernas tidigare förståelse av division då de arbetat mycket med delningsdivision och/eller med nämnare som är heltal.

När man ska dividerar ett tal med ett bråk kan man förlänga bråket så att 5 nämnaren blir 1. I det här exemplet blir nämnaren 1 om man förlänger med __ . 3 5 5 5 5 2 · __ 2 · __ 2 · __ 2 · __ 10 1 3 _____ 3 _____ 3 _____ 3 ___ 2 _____ ___ = = = = = 3 __ = 5 3 3 __ 3·5 15 1 3 3 __ __ ____ ___ · 5 5 3 5·3 15

Exempel

sion i klassen. Låt eleverna komma med förslag på vad de två alternativ som blir kvar kan betyda. Här får eleverna öva på förståelsen av delningsdivision och innehållsdivision.

Slut 1 Du har ett rep som är 6 m långt. Hur många bitar

1 kan du göra om alla ska vara __ m? Visa hur du gör. 2

39–41 Uppgifterna övar eleverna att göra nämnaren till 1.

Nödvändiga förkunskaper: eleverna behöver kunna förlänga och förkorta tal i bråkform samt kunna multiplicera tal i bråkform.

42–43 På de här uppgifterna passar det bra att först låta

eleverna tänka enskilt och sedan diskutera i mindre grupper. Lyft deras resonemang i helklass så att alla kan ta del av varandras sätt att tänka. Du som lärare kan då säkerställa att eleverna har förstått. Välj gärna ut resonemangen i en ordning du finner lämplig.

1 __ 3 ___ är lite mer än 2. Motivera varför det är så. 1 __ 7

Gå vidare Blå Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på division med tal i bråkform finns på sidan 35. Röd Mer om division med tal i bråkform finns på sidan 46–47.

Extramaterial Arbetsblad 1:7A–B

●●

Division med tal i bråkform

1 tal

Uppslaget

Uppslaget Begrepp och resonemang

Uppslaget

Här tränas begrepps- och resonemangsförmågan. Låt gärna eleverna göra övningen enskilt för att sedan diskutera i mindre grupper. Avsluta med att lyfta utvalda resonemang i helklass.

Anna

När man dividerar två tal blir kvoten alltid mindre än båda talen.

●● Välj två av talen i rutan.

0,1 4 6 0,5 3 0,9 0,2 50 12

Ben

När man multiplicerar två tal kan produkten bli mindre än båda de två talen.

Produkten av två negativa tal är alltid negativ.

B ”När man dividerar två tal blir kvoten alltid mindre än båda talen.” Fel

●● Multiplicera dem med varandra. ●● Lägg din bricka eller papperslapp på det rätta

svaret på spelplanen.

●● Den som först får fyra i rad vinner. Raden kan vara vågrätt, lodrätt eller diagonal.

Claire

Dante

Vad blir 12?

C ”Produkten av två negativa tal är alltid negativ.” Fel

Problemlösning

Man kan skriva uttryck för ett tal på olika sätt. Exempelvis kan talet 12 uttryckas som:

D ”När man multiplicerar två tal kan produkten bli mindre än båda de två talen.” Rätt

4 = 12 ____ 1 __

0,5 ∙ 24 = 12

(–3) + 15 =12

Gör på samma sätt och skriv talet 12 på flera andra olika sätt. Använd dig av olika räknesätt och tal skrivna i decimalform, bråkform och negativa tal.

De olika svarsalternativen innehåller vanliga fel som elever kan göra. I alternativ A visas uppfattningen att svaret alltid blir större när man multiplicerar. I alternativ B är missuppfattningen att svaret alltid blir mindre när man dividerar.

Begreppskarta Gör klart begreppskartan genom att fylla i det som saknas.

Talet 4

Vad blir 12?

är motsatt tal med

adderat med (–7) är lika med

dividerat med (–8) är lika med

(–24)

Låt eleverna arbeta enskilt eller i par och sedan redovisa i helklass eller för varandra. Uppgifterna inbjuder till att öva på resonemang och visar om de har kunskap om begreppen.

Luffarschack med tal

När man multiplicerar två tal blir produkten alltid större än båda talen.

A ”När man multiplicerar två tal blir produkten alltid större än båda talen.” Fel

Begrepp och resonemang Här finns kommentarer till Vem eller vilka har rätt? och svar till begreppskartan.

Arbeta tillsammans

Vem eller vilka har rätt?

Dante har rätt.

Uppslaget

Begrepp och resonemang

Vem eller vilka har rätt?

Sant eller falskt? 1 __ 1 1 __ + = 0,75

Danne samlar på mynt. Hälften är 1 1 svenska mynt, __ är danska och __ är 4 8 finska. Dessutom har han 30 norska mynt. Hur många mynt har Danne?

1 2 __ kan man skriva i decimalform som 0,17. 7

3 3 3 2 __ = 2 + __ 5

450 4 ____

I en buss åker det ett antal personer. Vid första busshållplatsen stiger det på 5 personer. Vid nästa hållplats går en fjärdedel av personerna av. Nästa 2 gång bussen stannar går __ av 3

0,93

är mindre än 450 · 0,93.

5 Att dividera med 0,1 ger samma

resultat som att multiplicera med 10. 12 m _______ får man 0,25 m reda på hur många gånger man kan dela ett rep som är 12 m i bitar som är 25 cm långa.

6 När man räknar ut

personerna av. Då är det 10 personer kvar i bussen. Hur många personer fanns det från början?

7 När det blir kallare stiger temperaturen. 8 På en tallinje ligger –5 och 5 lika långt från noll.

9 När man subtraherar ett negativt tal

med ett annat negativt tal, blir svaret alltid negativt.

1 tal

Begreppskarta

Problemlösning

Talet 4

Arbeta tillsammans Kommentarer och tips på hur man kan arbeta.

är motsatt tal till

adderat med (–7) är lika med

t.ex. multiplicerat med (–6) är lika med

dividerat med (–8) är lika med

(–4

(–3)

(–24)

(–0,5)

Påståendena behandlar begrepp och metoder. Om övningen genomförs gemensamt så eleverna får diskutera, tränas både resonemangs- och kommunikationsförmågan. Bra frågor att ställa kan vara:

B Använd metoden Arbeta baklänges. Om det är 2 1 10 personer kvar efter att __ gått av, så är __ = 10 3 3

●● Om svaret är sant, hur visar du att påståendet är sant? Hur visar du att påståendet alltid är sant?

personer. Det gör att det måste det ha varit 30 personer innan de sista gick av. 30 personer är då

Arbeta tillsammans

●● Om svaret är falskt, hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir sant?

3 1 __ eftersom __ gick av vid föregående hållplats.

4 4 1 Då måste det ha varit 40 personer kvar innan __ gick 4 av. Eftersom 5 personer gick på vid första hållplatsen så var det alltså 35 personer från början.

Luffarschack med tal Låt gärna eleverna inleda kapitlet med att spela det här spelet, som tränar multiplikation med små tal. En utveckling kan vara att eleverna själva gör ett spel genom att välja andra tal som faktorer och skriva produkterna på en spelplan. Uppgiften ger eleverna möjlighet att öva och befästa sina kunskaper kring multiplikation av tal i decimalform. Här övar de dessutom på kommunikation- och metodförmågan.

Sant eller falskt Facit till frågorna.

Sant eller falskt

1 1 1 4 2 1 7 A __ + __ + __ = __ + __ + __ = __. Det innebär att de norska 2 4 8 8 8 8 8 30 mynten utgör den sista åttondelen. Sammanlagt har Danne 30 ∙ 8 = 240 mynt.

Facit

1 Sant 2 Falskt

Fler problem som kan lösas med metoden Arbeta baklänges finns på sidan 251.

3 Sant 4 Falskt 5 Sant 6 Sant 7 Falskt

Läs mer

8 Sant

●● Grevholm, Barbro (2014). Begrepp i kartor eller bubblor. Nämnaren 2, 2014.

9 Falskt 1 tal

1 tal

Problemlösning Kommentarer, lösningar samt hänvisning till fler övningar i problemlösningsavsnittet. D

Diagnos

I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 8 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns även en alternativ diagnos för elever som behöver genomföra ytterligare en diagnos.

Problemlösning

Diagnos Begrepp och metod

Resonemang och kommunikation

Vilka tal betyder samma andel?

14 ____

1 __ 4

25 ____

0,25

100

0,4

100

2 __

0,25

4 ____

0,4

4 ___

100

Motivera dina svar. Vilket eller vilka av uttrycken är

sida kurs

arbets blad

avsnitt

sida kurs

Facit

Här finns facit till diagnosen samt kommentarer och lösningsförslag till bedömningsuppgiften. Här finns även hänvisning till avsnitt i Grön och Blå kurs samt Arbetsbladen. På sidan 306 finns bedömningsmatriser till bedömningsuppgifter.

1 25 1 a) __ , 0,25, ____

Tal i bråkform och i decimalform

1:1

76 2 a) ____ = 0,76

Addition och subtraktion av tal i bråkform och i decimalform

1:4

Multiplikation av tal i bråkform

Multiplikation med tal i bråkform

4 100 4 2 b) __, 0,4, ___ 5 10

4 5

100 68 b) ____ = 0,68 100 5 c) __ = 1,25 4

3 b) __ · 12 4

1 5 c) __ · __ 2 6

3 a) __ 1 __ 2

3 b) ___ 1 __ 4

1 __ 2 c) ___ 1 __ 4

1 b) __ m 5

c) 0,25 m

36 b) 9 ___ 4

( )

5 c) ___ 12 6 3 d) ___ ___ 10 20

( )

1:5

Multiplikation av två tal i bråkform

12, 13

1:6

Division med tal i bråkform

1:7 A

1:8

4 a) 6

b) 12

c) 2 1 d) __ 2

Division med tal i bråkform

a) 24,544 b) 304,44 c) 482,38

Multiplikation med tal i decimalform

16, 17

6 a) 8 bitar

b) 20 bitar

c) 16 bitar d) 20 bitar 37 7 a) ___

0,1 59 b) ____ 1,03

37 ___

8 a) 48 kr

b) 4,80 kr c) 3,20 kr

9 23 °C 10 (–12) –3 0,7 4 11 a) (–1)

Division med tal i bråkform

14, 15

1:7 A

18, 19

1:9

Division med tal i decimalform

1:9

45 ___

1,03

4 a) ___ är mindre än 8 0,6

65 ____

0,5

b) 0,3 kg

0,98

c) 200 g

1:8 1:11

Negativa tal

1:14

Negativa tal

1:14

b) (–2) c) 20 d) (–4)

Addition och subtraktion med negativa tal

1:15

e) (–20) f) 18 g) (–6) h) 5

Multiplikation och division med negativa tal

1:16

1 2 · __ 3

2 __ 3 __ ·

Fler problem som kan lösas med strategin Arbeta baklänges finns på sidan 251, alternativt kan eleverna arbeta med problemlösning på Uppslagssidorna.

15 I akvariet finns det 24 fiskar.

2 __ av alla fiskar är tetror. Antal svärdbärare är samma 3

3 b) ____ är lite mer än 6 0,49

Sara handlar mat. Hon köper 6 hg ost, 800 g köttfärs och 1,8 kg äpplen. Vad ska hon betala? Visa dina beräkningar.

som antal guppies, 4 av varje sort. 4 svärdbärare och 1 2 4 guppies motsvarar __ av alla fiskar. __ är 2 ∙ 8 fiskar, 3 3

70 kr/kg

20 kr/kg

vilket är 16 fiskar. Totalt antal: 16 + 8 = 24 fiskar.

50 kr/kg

16 Shirin får 480 kronor av sin morfar. Shirin har 60 kronor kvar. 3 2 Det är __ av vad som fanns kvar när hon gett __ till sin 5 5 1 5 lillebror. __ är 20 kr och __ är 100 kr. 5 5

I ett akvarium finns det tetror, slöjbärare och guppies. Två tredjedelar av fiskarna är tetror och det finns lika många slöjbärare som guppies. Det finns 4 slöjbärare. Hur många fiskar finns det i akvariet? Shirin får pengar av sin morfar när hon fyller år. Hon går först och klipper sig för en fjärdedel av pengarna, sedan köper hon en tröja som kostar 260 kr. Hennes lillebror får två femtedelar av de pengar som sedan är kvar. Då har hon 60 kr kvar. Hur mycket pengar får hon av sin morfar?

Innan hon ger bort pengar till sin lillebror och köper en tröja har hon 260 + 100 = 360 kronor. 3 360 kronor är __ av pengarna. 4

Bedömningsuppgift

–12

–3

1 4 __ = 120 kronor då är __ = 480 kronor. 4

b) (–9) + 7

e) 4 · (–5)

f) (–3) · (–6)

c) Beräkna värdet av varje uttryck. 5 __ 4 4 __ 5 0,5 4 ___ ___ __ ___ ∙ (–5) + 4 4 4 0,5 5 4 __ 5

c) 8 – (–12) (–30) g) _____ 5

d) –7 – (–3) (–15) h) _____ (–3)

Bedömningsuppgift Lösningar och kommentarer:

1 tal

3 6 2 __ __ ∙ = __ = 1, eftersom täljaren = nämnaren. 6

5 4

0,5 ___

4 ___ 0,5

Om man delar en halv 4 gånger är svaret ett

decimaltal som är < 1, men > 0. 4 __ 5 __ ∙

Här kan man förkorta direkt, svaret är 1.

5 4

Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 18–19, blå kurs s. 37, arbetsblad: 1:9

5 __ 4 ___ 4 __

14 Sara ska betala 118 kr.

4 ___

5 4 Täljaren __ > nämnaren __, så svaret > 1. 4 5 Med innehållsdivision kan man tänka; hur

0,5

0,6 kg ∙ 70 kr/kg = 42 kr

många gånger kan vi ta ut 0,5 ur 4? Svaret > 1.

0,8 kg ∙ 50 kr = 40 kr

1,8 kg ∙ 20 kr/kg = 36 kr 42 kr + 40 kr + 36 kr = 118 kr

4 ___ =8

0,5 ___ =2 4

4 __ 5 __ ∙ =1

0,5

5 __ 25 9 4 ___ ___ = = 1 ___ 4 16 16 __

Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 16–20, blå kurs s. 38, arbetsblad: 1:8–1:11

1 2 2 ∙ __ = __, < 1, eftersom täljaren < nämnaren. 3 3

b) (–5) + 4 Svaret är ett negativt tal, alltså < 0.

4 ___ = 8, om nämnaren ökas så kommer kvoten 0,5 4 minska. Därför måste ___ vara mindre än 8. 0,6 3 b) ___ = 6, om nämnaren minskas så kommer 0,5 3 kvoten öka. Därför måste ____ vara lite mer än 6. 0,49

1 __ 2 3 b) ___ = __, < 1, eftersom täljaren < nämnaren. 1 3 __ 2 1 __ 1 1 __ ∙ = __, < 1, eftersom täljaren < nämnaren. 3 2 6

5 __ 4 ___ 4 __

4 __ 5 __ ∙

0,5 ___

a) (–5) + 4

13 a)

Resonemang och kommunikation

3 2

b) Motivera, med ord, varje uttrycks placering.

0,7

Beräkna

a) 4 + (–5)

3 2

a) Skriv uttrycken i storleksordnning med det minsta först.

Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta talet.

Lösningar och kommentarer:

Multiplikation med tal i decimalform

1 3 · __ 2

3 2

Hur stor är temperaturskillnaden mellan +15 °C och –8 °C?

För de elever som behöver träna mer på resonemang och kommunikation kan man förslagsvis arbeta vidare på Uppslagssidorna på grön och blå kurs. Låt även eleverna arbeta med Aktiviteter till respektive avsnitt för att utveckla den muntliga kommunikationen.

12 a)

1 __ 1 __ ·

Problemlösning

d) 0,2 m

59 ____

0,1

Förklara, utan att utföra beräkningen, varför

Ett kilogram päron kostar 16 kr. Hur mycket kostar

1:7 B

Division med tal i decimalform

c) 54,2 · 8,9 = 4 8 2 3 8

Vilken av kvoterna är

a) 3 kg

2 3 d) __ · __ 5 4 1 __ 6 d) ___ 1 __ 3

b) 0,43 · 708 = 3 0 4 4 4

b) minst

Alex har ett snöre som är 4 meter långt. Han delar det i bitar. Hur många bitar får han om varje bit ska vara

a) störst

( 5)

4 1 d) __ – __ 5 4

Sätt ut decimaltecknet på rätt ställe i svaret.

1 a) __ m 2

11 d) ___ = 0,55 20

Beräkna 4 a) 3 · __ 5

a) 23,6 · 1,04 = 2 4 5 4 4

12 2 2 __ 3 a) ___ 5

c) större än 1

Beräkna. Svara både i decimalform och i bråkform. 7 98 3 1 a) ___ + 0,06 b) ____ – 0,3 c) __ + __ 10 100 4 2

1 __ 3 ___ 1 __

1 __ 2 ___ 1 __

a) lika med 1

b) mindre än 1

Begrepp och metod

5 4

(–5) + 4 = (–1)

1 __ 3 2 c) ___ = __, > 1, eftersom täljaren > nämnaren. 1 2 __ 3 1 3 1 3 ∙ __ = __ = 1 __, > 1. 2 2 2

Kommentar: På sidan xx finns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift.

Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 10–15, blå kurs s. 32–35, arbetsblad 1:5–1:7 1 tal

Blå och Röd kurs samt Svarta sidorna Till den Blå och Röda kursen finns kommentarer till uppgifter, extramaterial i form av Arbetsblad och Aktiviteter samt Facit och lösningar. Till de Svarta sidorna finns lösningsförslag till alla uppgifterna.

Blå kurs Tal i bråkform och i decimalform Kvadraten är indelad i hundra rutor.

Färg Röd

●● En av hundra rutor är röd.

Grön

●● Andelen röda rutor kan skrivas

1 i bråkform som ____ eller 100 i decimalform som 0,01.

Gul Blå Vit

a) grön

b) röd

0,05

0,25

25 ____ 100

5 ____ 100

6 7

15 ____

100

0,1

0,4

0,5

c) blå 1 ___ 10

4 ___ 10

0,3 + 0,2 = 0,5

Röd kurs Mer Multiplikation om tal i bråkform av tal i bråkform

b) 0,1 + 0,5

3 9 c) ___ – ___ 10 10

1 3 1 1 1 4 1 __ 3 · __ = __till som__en + multiplikation, till exempel __ + __ + __ = nämnare Beräkna 4 4 4 3 7 4 1 4 4__ __ 3

4 1 c) __ – __ 5 5

d) 0,8 – 0,2

6 95 c) ____ – ____ 100 100

d) 0,95 – 0,06

Om bråken har olika nämnare, så måste man först skriva dem med samma nämnare.

1 4 1 5 1 __ __ + = __ + __ = __

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

a) 5 hundradelar

b) 11 hundradelar

a) 1 tiondel

b) 8 tiondelar

c) 93 hundradelar

0,5

5 ___ 10

50 ____ 100

1 __

0,25

1 __ 4

2 __ 5

25 ____ 100

d) 12 tiondelar

1 __ 5

2 ___ 10

1,5

0,2

5 Svar: __ 8

6 Beräkna. Börja med att skriva bråken som åttondelar. 1 3 1 1 3 1 a) __ + __ b) __ + __ c) __ – __ 2 8 4 8 4 8

Skriv först bråken med samma nämnare. Beräkna sedan. Ta hjälp av figuren om du vill. 1 1 2 1 5 1 a) __ + __ b) __ + __ c) __ – __ 3 6 3 6 6 2

1 1 a) __ – __ 3 12

2 8 b) __ – __ 3 12

1 3 d) __ – __ 2 8

1 2 c) __ – __ 4 12

och

är 21.

2 b) 4 · __ 4 3 3 2·3 6 2 1 2 4·2 8 2 2 · __ = ____ = __ = 1 __ = 1 __ 4 · __ = ____ = __ = 2 __ 4 4 4 4 2 3 3 3 3 Beräkna. Börja med att skriva bråken med samma nämnare. 2 1 __ 2 __ Blandad 4 1 1 Svar: 1 2 2 3 form 5 Svar: 9 5 3 a) __ + __ b) __ + __ c) __ – __ d) __ – __ 2 3 3 4 6 5 8 6

10 b a∙b a ∙ __ = ____ c c

1 __ 1 1 __ 2 3 5 1 3 2 1 2 1 1 + a) __ +Vad b) __ + __ + __ c) __ + __ – __ d) __ + __ – __ – __ 2 3 ska 4 stå i rutan? 3 4 6 2 4 5 2 3 4 5 2 2 121 a)5 2 ·2__32 = ___ b) 3 · __ = ___ c) 5 · __ = ___ 3 1 2 33 3 2 2 53 63 5 4 1 5 a) __ + __ – __ b) __ + __ – __ c) __ + __ – __ + ___ d) __ – __ – __ + __ 3 1 9 4 5 8 3 5 6 10 6 9 4 12 9 3 3 13 a) 3 · __43 = ___ b) 5 · __ = ___ c) 6 · __ = ___ 4 4 4 4 3 Vilket bråk ska adderas till __ för att summan ska bli 8 7 13 23 31 21 a) __ Beräkna. Svara b) ___i blandad form c) ___om det går.d) ___ e) ___ 8 16 24 32 40 3 3 14 a) 2 · __35 b) 3 · __ c) 4 · __ 5 5 5 Vilket bråk ska subtraheras från __ för att differensen ska bli 65 5 __ 151 a) 2 · __61 b) 2 · __7 5 5 c) 4 · 6 13 6 a) __ b) ___ c) ___ d) ___ e) ___ 6 12 18 24 30

16 Olof och hans 3 kompisar1 dricker saft. 1 burk med 3 __ liter färg med två mindre färgburkar a) Siri __ liter saft var. Deblandar drickeren 2 Hur många 3 __ 3 liter vardera. Hur mycket färg blir det totalt? som innehåller liter saft dricker 8 de tillsammans? 3 1 __ b) Siri har en annan burk med 2 __ liter färg. Av den färgen använder4 liter 2 17hon Hur 3 många liter saft innehåller __ liter. Hur mycket färg har hon kvar? 4 flaskorna tillsammans.? 1 2 På en idrottsdag valde __ av2eleverna att åka skridskor, __ att spela ishockey 3 6 18 En 1 påse nötter väger __ kg. Hur mycket väger 6 påsar nötter? 4 5 liter 5 Resten av eleverna promenerade. och ___ valde att åka längdskidor. 10 Hur stor andel av alla elever promenerade? 19 Vilken av bilderna visar 1 1 a) __ + __ 2 2

ArbetsblAd 1:1 30

d) 109 hundradelar

c) 10 tiondelar

Vilka tal anger samma andel? Välj i rutan.

Beräkna

7 Exempel 3·7 7·3

4 1 Förläng __ med 7 och __ med 3. 3 3 7 a) 2 · __

b) 0,2 + 0,6 b) 0,08 + 0,04

4 1 · 7 4 · 3 7 12 19 1 __ __ + = ____ + ____ = ___ + ___ = ___

1 b) 2 __ 2

1 c) 2 · __ 2

3 __ liter 4

Multiplikation med tal i bråkform

1 tal

a∙c a __ ∙ c = ____ b

12 23

Beräkna 1 2 a) __ · __ 2 5

1 Frans har plockat körsbär. Han äter upp __ av sina körsbär. Han bjuder sina 3 3 kompisar på __ av körsbären som är kvar. Han har då 4 körsbär kvar. 5

5 liter

ArbetsblAd 1:5–1:6

1 tal 1 tal 32

4 1 b) __ · __ 5 2

b) röd

c) 0,5 · 0,4

1 tal 1 tal 43

d) 0,8 · 0,5

Kommentarer till uppgifter

Facit

5 Här kan man med fördel öva resonemangsförmågan. Varför/varför inte hör talen ihop? Be eleverna att motivera sina svar för varandra. Jämför med uppgift 4 sidan 8.

6–8 Det kan underlätta för eleven att arbeta med kopieringsunderlaget 1:1 B och själv färglägga rutorna.

9–11

Att förlänga och förkorta för att göra beräkningar i bråkform bör eleverna kunna. För elever som behöver repetera finns Arbetsblad 1:2.

Extramaterial Arbetsblad 1:1

Tal i bråkform och i decimalform

●●

1:2

Förkorta och förlänga bråk

●●

1:3

Repetition av bråk

●●

1:4

Addition och subtraktion av bråk

●●

Grön kurs Mer om tal i bråk- och decimalform, addition och subtraktion med tal i bråk- och decimalform finns på sidan 8–9.

Repetition 1 finns på sidan 258.

30–31

1 tal

Kommentarer till uppgifter

5 1 a) ____ 0,05 100 15 b) ___ 0,15 10 25 c) ____ 0,25 100 1 2 a) ___ 10 5 c) ___ 10

4 0,1 b) ___ 10

0,4

5 3 a) ____ 0,05 100 11 b) ____ 0,11 100 93 c) ____ 0,93 100 109 d) ____ 1,09 100

5 ___

50 ____ 10 100 25 1 b) 0,25 __ ____ 4 100 2 1 c) __ ___ 0,2 5 10

5 a) 0,5

d) 0,6

b) 0,6

0,8

b) 0,12 d) 0,89

3 1 10 a) __ __ 6 2 5 b) __ 6

Kommentarer till uppgifter 19 Uppgiften kontrollerar om eleverna har förstått 1 __

1 __

2 ∙ . begreppet Ett tal skrivet i mellan 2 och kan det vara lämpligt minsta 1–3 Härskillnaden 2 att lyfta 2

gemensamma nämnare. blandad form är en avvikelse i matematiken, överallt annars så är det multiplikationstecknet som kan

7–9 För vissa elever kan det förenkla om de ritar1en bild.1

uteslutas, här är det additionstecknet; 2 __ = 2 + __.

4 3 7 9 a) __ + __ = __ 8 8 8 2 1 3 b) __ + __ = __ 8 8 8 6 1 5 c) __ – __ = __ 8 8 8 4 3 1 d) __ – __ = __ 8 8 8

2 stöd 2för 10 Att rita en bild till uppgiften kan fungera som förståelsen. Uppgiften kan också medom hjälp Om eleven inte kommer vidarelösas så tipsa att av 24 en ekvation 1där provtiden kan kallas för x. beräkna __ av flaskans innehåll först. 3

13 Den här uppgiften kan lösas med hjälp av en ekvation där antalet körsbär från början kan kallas för x.

Extramaterial

Facit Arbetsblad

() 2 1 c) __ __ 6 3

()

3 1 11 a) ___ __ 12 4

()

b) 0

der upprepad addition kan en individuell genomgång vara nödvändig.

b) 0,8

12 8 a) ____ 100 89 c) ____ 100

0,5

1 8 4 a) ___ 0,1 b) ___ 10 10 10 c) ___ 1 (1,0) 10 12 d) ___ 1,2 10

6 6 a) ___ 10 6 c) ___ 10 4 7 a) __ 5 3 c) __ 5

1 c) ___ 12

4 1 5 5 7 1:5 4 a) __ __ 1 a) __ Multiplikation b) 1 ___ med tal i bråkform b) ___ 12 8 2 16 6 7 1 Multiplikation 1:6 ___ med två tal i bråkform 14 7 19 d) ___ c) c) ___ ___ d) ___ 30 24 24 12 32 1 1 6 3 Aktiviteter 2 a) 1 ___ b) 2 __ e) ___ ___ 12 4 40 20 43 17 Bråkspel___ 1:1 ___ 5 4 2 d) c) b) ___ 5 a) __ __ 20 60 6 3 12 1 3 a) 5 __ 9 5 c) __ 6

42–43

11 b) ___ 40 5 d) __ 9

1 tal

() ( ) ( ) () 8 4 c) 18 ( 9 ) 12 2 e) 30 ( 5 ) ___ __ ___ __

●● ●●

●●

15 5 d) ___ __ 24 8

()

Facit

Mer om multiplikation av och med tal i bråkform finns 1 11 a) Höjning: __ av 350 kr 7 350 = ____ kr = 50 kr 7

1 3 påa)sidan 10–11. 6 4 __ liter b) 1 __ liter 4 4

2 1 1 Repetition 7 1 – __ – __ – ___ = 3 6 10 3 2 1 20 5 2 finns Repetition på sidan 259. 1 – ___ – ___ – ___ = ___ = ___ 30 30 10 30 15

Facit

2 3 8 a) 1 – __ – __ = 5 8 16 15 9 1 – ___ – ___ = ___ 12 a) 440 40 b) 6 40 c) 10 1 1 1 __ – = c) 18 b) 1a)–4__ – __b) 13 6 5 15 2

5 1___ 6 ___ 15 4 ___ 4 22 ___ __ 1 = c)=2___ b) 1 __ 14– a) 1–__ – 30 530

30 5 30

15 5

1 12 __ 11 __ 1 1 4 2 __ 9 15 av ____ = __ ∙ = ___ b) 1 __ = 1 __ 5 a)2 =5 2 10 6

11 2 = 3 ___ på 3 De c) har3 klarat 6 310 dagar. 1 Hela resan tar 30 16 1 __ l dagar. 3 1 __ l 10 17 60 2 minuter 4 Kalla provtiden för x. 2 x x __ 18 10 = __ x – 2__5– kg 3 2 2x x ___ – 10 = __ 3 2 x 2x __ ___ – = 10 3 2 __

3x 4x ___ ___ – = 10 6

6 x __ = 10 6 x = 60

1 Sänkning: __ av 400 kr 8 400 = ____ kr = 50 kr 8 1 b) Höjning: ___ av 350 kr 10

19 =a)35 A kr b) B c) A Nytt pris: 385 kr 20 a) 3 m b) 35 1,5 m 1 ____ ___ Sänkning: c) 4,5 m 385 = 11 3b) 33 1 21 a) 2 12 Sernas del: 1 – __ – ___ – __ 8 10 4 5 2 10 1 22 a) __ = 33 __ 4 =___ 61 __ 3 b) ___ 3= 3 = 1 3– ___ –3 ___ – ___ 16 10 16 16 2 1 20 c) ___ = 3 __ 3= 3 __ Sernas6vinst:6___ av3 16 4 1 12 = 1 __ = 1kr__ d) ___ 8 000 kr 8 = 1 500 8 2 1 1 __ 13 23 Kalla för7x. 6l c) l a) antalet 4 __ l b)körsbär 2 2 När Frans har ätit 1 2x ___ 24 a) 4 dl b) 5 __ dl körsbär. återstår 3 3 3 10 dlhar bjudit på __ Närc)Frans 5 2 2x återstår __ av ___ körsbär. 5 3 5

18 Här kan du först låta eleverna tänka enskilt och sedan x 2 4 2__ 1__ parvis. c) __ = __ __diskutera = = y 3 3 4 2 22 Var uppmärksam på att en del elever kan ha svårt att 15 förkorta med, särskilt 25 förstå vad de ska b) ___ c) ___ när det finns 8 4 fler faktorer i täljaren och nämnaren. 2 5 b) __ c) __ 1 2 3 · = ___ = ___ · = ___ 5 2 10 5 4 5 1 3 ___ ___ ___ 2 10 4 = ____ = ____ = ____ 2 1 2 __ __ __ 5 5 5 5 5 25 5 1 5 __ 3 ___ 15 ___ = ___ · __ = ___ = ___ = __ = · = 2 2 4 10 2 2 4 8

1 4 a) __ 2 a) __ 1 · 5

1 1 x ∙ __ = ___ 5 10

4x ___ =4

1 ___ 1 __ 5 5 1 10 ___ ____ = ∙ = ___ = __ 1 10 1 10 2 __

15 x = 15

Frans hade 15 körsbär från början.

1 tal

32–33

4 2 x = __ och y = __ 315 Till den 3 här uppgiften kan det passa bra att diskutera 8 2 4 4 2 __y =de __ hänger __ = 4 __ =ihop i rutan ochb)hur ∙ __ = __ 2 med bilden. a) x ∙ y = __uttrycken 3 3 9 x 3 3 2

2 ___ 2x __ ∙ =4

a) produkten · y· 8bör ligga 8 x______ 5 1·2 5 ___ ___ ____ b)

2 · = = = ___ 12 35 12 · 35 3 · 7 21 3

y kvoten __ bör ligga x

Vilket tal kan du dividera både täljaren och x nämnaren c) kvoten __ y med?

bör ligga

· 21 25

· 45 13

2 3 En buss har 70 sittplatser. Av dem är __ upptagna. På __ av de upptagna 4 7

I en musikklass spelar __ av eleverna något musikinstrument. ___ av dessa 9 10

Prov och bedömning

1 tal

av stambråken

1 1 1 1 b) __ + __ + ___ + ___ 3 4 10 20

(–5)

Antal pojkar

( )

Antal flickor

Antal elever

20 stämmer !

3 9 Extramaterial

Arbetsblad

Anta att det finns p pojkar. Då är antalet flickor (20 – p).

1:17

Mer om med bråk ● p att (20 multiplicera – p) Då gäller att: __ = _______ 3 2 (20 – p) p __ _______ Läs mer 6 ∙ 3 = 6 ∙ 2 ●● Bentley, C, 2p Bentley = 3 ∙ (20 –P-O. p) (2011). Det beror på hur man

räknar!

1 tal

44–45

önskvärt att eleverna får visa sina kunskaper på olika sätt. Till varje kapitel finns förslag till kapitelprov på E–A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även muntliga prov. Till samtliga prov finns bedömningsmallar.

Aktiviteter För att befästa matematiska begrepp och uppmuntra till samtal och samarbete finns det Aktiviteter kopplade till varje kapitel. I Lärarguiden finns hänvisningar till när det passar med en viss aktivitet.

Efter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är introduktion

(–3)

(–1)

VII

a) Produkt 1: (–2)

Hur ska talen 2, –4, 6 och –8 vara placerade i rutorna så att svaret blir så

(–1)

(

–

Produkt 2:

)

Produkt 3:

b) litet som möjligt

5 3 15 c) På samma sä 3 __ 1 3 2 __ – = __ – __ 4 2 4 4 11 a) Produkterna faktorer, elle b) 102

Sätt ut en parentes i uttrycket så att värdet blir så

( ( (

b) Produkt 100 4 3 – 2 · 4 + __ 2

12 a) 1,5

a) 1 ∙ 2 + 0,25 = b) 2 ∙ 3 + 0,25 = 1 tal

1 1 1 b) ___ c) ___ 19 a) __ 4 12 12 3 1 1 __ b) __ c) ___ 520 a) 9 __ 4 21 5 __ 5 25 2 c) ___ = __ ∙__ 6 = ___ 1 1 221 a) 2 2 1 __ 4 b) ___ __ 5 5 15 5 2 c) __ 5 5 4 2 __ ___ Kalla b) vinkeln för v. Då är den största vinkeln 5v. 16 a)den minsta 1 1 2 5 15 ___ 22 a)att b) ___ Kalla den tredje vinkeln för u. Då gäller 5v. c) ___ 12v ≤ u ≤ 20 15 1 1 __ __ och c) att Vi vet 5v < 90° och att v + u + 5v = 6v + u = 180°. 5 3 23 15 att platser Eftersom u < 90° är 6v > 90°. Det betyder v< 18° och att 1 v17 > 15° eller att v = 16° eller 17°. a) ___ , blå 1 12 24 __ 6 strider mot förutOm v = 16° blir 5v = 80° och u = 84°. Det 2 1 b) ___ __ sättningen att, ugul ≤ 5v. Prövning med25 v =417° ger att 5v = 85° 12 6 fiskar och u = 6 78°,1som stämmer med förutsättningen. Summan av ___ __ c) största , grön de två 12 2 vinklarna är 85° + 78° = 163°.

() () ()

(–4)

1 6 2 __ __ – = ___ –

3 18 __ 5

2 b) __ 5 d) 0,4

1 1 15 a) __ ∙ __ och 0,25 ∙ 0,2 4 5 3 __ 3 2 150,75 ∙ 0,4 4b) __3∙ __5 och b) ___ =4__ ∙5__ = ___ 2 4 2 8 __ 2 1 __ 5c) __ ∙ och 0,5 ∙ 0,4 2 5 163°

3 1 6 12 pojkar d) ___ __ , röd 12 4

mindre” än _

Sätt ut tecken för de fyra räknesätten (+ – · /) mellan de negativa talen så att uträkningen blir 100. Det finns flera lösningar.

a) stort som möjligt

Facit 1 __ 5 c) 0,2

2 __ 1 4 3 __ – = __ – __

b) Börja med a

a) stort som möjligt

b) litet som möjligt

14 a) 1 tal 50

mindre” än _

I en magisk kvadrat bildar varje rad, kolumn och diagonal samma summa. Sätt in talen (–13), (–10), (–7), (–4), 2, 5, 8 och 11 så att kvadraten blir magisk.

(–9) (–8) (–7) (–6)

___ dessutom randiga. Hur många fiskar är både röda och randiga?

Antal par

Vilket tal ska stå i parenteserna (samma tal i båda)?

n · (n + 1) + 0,25 = ( ) · ( )

elever spelar blåsinstrument. Hur stor andel av alla elever i klassen spelar 1 Vilket bråk är närmast __ ? Använd resonemang – inte räknare. blåsinstrument? 2 25 27 29 52 57 3 ___ ___ ___ ___ I Oscars akvarium simmar 56 fiskar. __ av alla fiskar är röda och av dem är 57 79 92 8 4 59

Beräkna summan 1 1 1 a) __ + __ + __ 2 4 8

b) 2 · 3 + 0,25 = ( ) · ( )

I det gamla Egypten skrev man alla bråk med täljaren 1, så kallade stambråk. Ville de till exempel skriva 5/6 skrev de bråket som en summa ArbetsblAd 1:17 5 __ 1 1 __ = + __ 6 2 3

c) Använd svaren i uppgift a och b för att fundera ut vilket uttryck som ska stå i parenteserna.

platserna sitter det barn. På på huren många sitter det En sjättedel av personerna bussplatser är vuxna. Tvåbarn? femtedelar av barnen på bussen är pojkar. Hur 3 är flickor? 5 stor del av personerna på bussen

___ 25 79

a) 1 · 2 + 0,25 = ( ) · ( )

I en klass går det 20 elever. De sitter två och två. Exakt en tredjedel av

a) Beräkna varje produkt. Hittar du något mönster?

10 12

3 5 3 4 1 5 6 14 22 a) __ · __ b) __ · __ · __ c) __ · __ · ___ 15 sitter 12 8 5och 6 exakt hälften 18av7 flickorna 25 pojkarna med en flicka sitter med en

(1 + 11 ) · (1 + 21 ) (1 + 11 ) · (1 + 21 ) · (1 + 31 ) (1 + 11 ) · (1 + 21 ) · (1 + 31 ) · (1 + 41 )

b) Beräkna utifrån mönstret produkt 100.

9 4

· 8 25

Studera produkterna.

Produkt 3

3 4

2 1 1 10 a) __ = __ + __ 3 2 6 Lösningsför 2 1 1 1 a) __ = __ + __ + _ 3 a b c Börja med a

Skriv bråken som en summa av olika stambråk, alltså som en summa av olika bråk med täljaren 1. 2 2 3 a) __ b) __ c) __ 3 5 4

Produkt 1

Bråket kan förkortas med 5 och 4.

Vilket är talet som multiplicerat med Förkorta först och beräkna sedan. 1 på samma bråkstreck. 3 5 1Skriv bråken 2 2 ___ __ __ a) __ blir b) 1__ 3blir __ 3 1 __ 2c) 5 blir 2 __ 4 · 10 b) __5·__ c) ___ · __5

Utöver elevboken och lärarguiden består Matte Direkt av nedladdningsbara filer, Arbetsblad, Prov och Aktiviteter.

För att möta alla elevers behov behöver man ibland ha tillgång till fler övningar inom ett moment än vad boken erbjuder. Till varje kapitel finns det därför Arbetsblad med extra övningar. Ikoner i elevboken hänvisar till arbets bladen. I Lärarguiden finns korta beskrivningar av Arbets bladen och vilken nivå uppgifterna tränar.

Lös uppgiften utan räknare.

Arbetsblad, Prov, Aktiviteter

Arbetsblad

Produkt 2

pojke. Hur många pojkar finns det i klassen?

Kommentarer till uppgifter y

x·y

5·1 5 5 3 5x· 3 ____ = 1 = ___ y a) __ · __ = ____ 6 7 6 · 7 2 · 7 14

Bråket kan förkortas med 3. Dividera 3 och 6 med 3.

Beräkna

18 15 321 7 28 27 och den minsta vinkeln är __ av den största. Vad är summan av de två 5 16 7 9 15 5 ___ 26 __ största__ vinklarna? ___ __ ___

Metoder för att förkorta bråk innan man utför en beräkning är användbara när eleverna kommer till mer avan0 x 1 y 2 cerade uppgifter i algebra. y __ av två b) I genomgångsrutan illustrerar vi multiplikation x tal i bråkform med ett rutmönster som man även brukar kalla chokladkakemetoden. Bilden i genomgångsrutan 0 x 1 y 2 kan behöva förklaras för vissa elever, se också sidan 12 x __ grön y c) kurs. 0

7 1 c) __ och ___ 8 12

1111/101 = 11. Vad är 3333/101 + 6666/303? Exempel 0

Rita av tallinjen och markera var svaret till

19 5a)

3 ___ 6 7 ___ 14 ___ 28 1 ___ ___ Beräkna färg=i rektangeln = och ange vilken = som motsvarar andelen. c) __ =17 8 24 __1 48 242 3 48 __1 __3 1 2 112 a) · __ b) __ · __ c) __ · __ d) · 4 3 3 4 3 4 3 4 2 55 9 3 333 1 111 Ann och Kaleb målar ett plank. De har tillsammans målat ___ av planket. ____18 ____ 10 2 = 3 ∙ 11 = Ann 3 ∙ gjorde 101 101__3 av deras gemensamma arbete. Hur stor del av planket målade hon? ∙ 1 111 __ 6 1 111 6 666 ____ = 6 _________ = ∙ ______ = 2 ∙ 11 13 tal∙ 101 303 3 101 3 a)

Grön kurs

Förkorta bråk

Vilket tal ligger mitt emellan 3 6 1 3 __ man multiplicerar bråk det __ vara enklare och och a) __När b) __kan 3att förkorta 5 bråken innan man 4 multiplicerar. 5

5 20 I en triangel mindre än 90 grader. vinkel är ett heltal 8 4 5 6 är alla vinklar___ 21 9 Varje · __ a) __ · __ b) c) ___ · ___

3 ∙ 11 + 2 ∙ 11 = 55

Här får eleverna möjlighet att tillämpa sina kunskaper om addition och subtraktion av tal i bråkform. MGN, minsta gemensamma nämnare här, vilket en Uppmana eleverna attbehandlas ta hjälp av bildstödet vid 12–14 behov. del elever har stött på tidigare. Att bestämma MGN innebär att man tittar på på respektive multiplaraddiVar observant om elevennämnares använder upprepad 16–17 och hittar den lägsta multipel av talen som gemensam. tion eller multiplikation här. För enär elev som använ-

2 3

c) blå

15 dl

5 liter

5 En av täljarna är3 udda. Därför förlänger 1 vi med 2. c) Vilka två bråk kan multipliceras för att få svaret ___ ?

c) 8 dl

5 liter

___

3 __

Svar: 0,3

2 2 b) Beräkna __ · __

Hur många körsbär hade Frans från början? 24 Theo häller saft i flaskan så att __32 av flaskan är fylld. Hur många deciliter saft finns det i flaskan?

6 dl

0,5 · 0,6 = 0,3

Välj i rutan vilka uttryck som visar andelen som är färgad

a) grön

5 liter

__ · __ = ____ = ___ 2 5 2 · 5 10 3 Svar: ___ 10

Svarta sidorna

om att De svartaMer sidorna är multiplicera avsedda för de elever som är färdiga med bråk och decimaltal med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här Exempel möter eleverna som kan ligga utanför kapitlets 3 1uppgifter Beräkna __ · __ Hälften av 2 5 3 egentliga innehåll. För att underlätta för dig 53som är = lärare Svara i bråkform och i decimalform. 10 1 R Bråkform = 0,3. Decimalform 2 finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter. 1 3 1·3 3

39 17 7 ___ c) ___ 1 a) ___ 1 __ 1 3 __ 2 1 b) 2 __ __ __ 15 · · · __ 40 0,25 · 0,2 0,5 · 0,4 0,75 · 0,4 48 4 5 4 5 2 5 Gör liknämnigt. 1 165a) Hur stor andel 3 av___ 9 utgör den rektangel som består av de figuren a) __ = ___ sex gröna __ = rutorna? 3 15 5 15 6 ___ 24 ___ 48 3 15 30 __ = = b) __ = ___ = ___ 4 20 40 5 20 40

3 d) __ · 4 8

vatten finns det i hinken? 3 1 3 Kalid ska ha __ av vinsten, Sara ___ och Kim __ av vinsten. 8 4 a) b) 16 8 liter c) 10 liter liter Hur mycket 6ska Serna ha om vinsten är 8 000 kr?

Svarta sidorna

Kommentarer och lösningar 14 till uppgifter

1 a) Alma stickar mössor och säljer dem för 350 kr. Hon höjer priset med __ 7 21 Vad ska stå i rutan? av det ursprungliga priset, men då får hon inte sälja så många. Hon 1·5 1 3 1 ·5 __ · 5 = ____ · 5 = _____ b)nya a) __ priset sänker med __ av det 2 4 priset4och då kostar mössorna 350 kr 8

ArbetsblAd 1:2–1:4

1 tal

1 __

3 __ fylld. Hur många liter Therese häller vatten i hinken så att De fyra vännerna Kalid, Sara, Kim och Serna av skahinken dela påären spelvinst.

igen. Visa att priset blir 350 kr efter höjning och sänkning av priset. 22 Beräkna. Svara i blandad form. 1 b) Tänk 1 dig att hon höjer priset 2 med ___ i stället. Hur stor 5 ska a) __ · 5 b) __ · 5 10 c) __ · 4 3 6 sänkningen vara för att priset3ska vara tillbaka till ursprungspriset?

3 __ liter

5 liter

1 __

ocksåseglar räknafrån så här: TosteDu ochkan Annika Portugal till Västindien. Efter tre dagar når de 3 · 2har då__ 6 2 en femtedel 1 3 __ __ Kanarieöarna. De · 2 m = ____ m = klarat m = 1 av m = 1 __ m av halva seglingen. Hur 4 4 4 4 2 många dagar tar det för dem att segla från Portugal till Västindien? Under ett prov säger läraren att en tredjedel av provtiden har gått. 20 Beräkna. hjälp av bilden du”Nu behöver. Efter ytterligareTa10 minuter sägerom hon: har halva provtiden gått. 1 pågick provet? 1 3 ”Hur a) länge __ av 6 m b) __ av 6 m c) __ av 6 m 2 4 4

a) 4

B S

2 a) Felix och Bea klipper var sin del av gräsmattan. Felix har klippt __ och 5 3 Bea har klippt __ av gräsmattan. Hur stor andel av gräsmattan har de 8 kvar att klippa? Hur långt är tre fjärdedelar av repet? 2m b) De tar hjälp av sin 2kusin när de ska klippa en annan gräsmatta. 1 m __ 1= m En fjärdedel1är ______ 4 och 2 kusinen klipper hälften av gräsmattan. Felix klipper __ , Bea 1 1 6 5 __ __ 3 1 1 __ 4 Hur stor andel av är gräsmattan m de = 1kvar m att klippa? 4 Tre fjärdedelar 3 · __ m = __har 2 2 2

När ett bråk adderas med sig själv flera gånger gemensamma kan man skriva additionen Exempel

d) 0,9 – 0,3

1 3 a) __ + __ 5 5 4 8 a) ____ + ____ 100 100

Minsta

Svar: 0,5

Exempel

5 ___

3 5

Beräkna 5 1 a) ___ + ___ 10 10

b) Svara i decimalform.

4 b) röd

Repetition

Hur stor andel av figuren är färgad?

a) Svara i bråkform. 2 ___ 5 3 ___ ___ + = 10 10 10 5 Svar: ___ 10

c) blå

0,15

Exempel

Hur stor andel av kvadraten utgör de olika färgerna? Svara i bråkform och i decimalform. Välj ur rutan.

Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform

Bråkform Decimalform 1 ____ 0,01 100 9 ____ 0,09 100 30 ___ 3 ____ = 0,30 = 0,3 100 10 10 ___ 1 ____ = 0,10 = 0,1 100 10 50 ___ 5 ____ = 0,50 = 0,5 100 10

1 tal

2p = 60 – 3p 5p = 60 p = 12 1 7 __ 2 3 5 __ av publiken är barn. __ av barnen är flickor. 6 5 3 1 5 __ __ ∙ = __ 6 5 2 29 8 ___ 57 I ett bråk som är så nära en halv som möjligt ska nämnaren ha ett värde som ligger så nära som möjligt täljarens dubbla värde. Tre av svarsalternativen kan väljas bort: 25 1 52 5 57 60 2 ___ (nära __); ___ (nära __); ___ (nära ___ = __). 79 3 79 8 92 90 3 27 1 29 29 1 27 ___ : jämför t.ex. med ___ = __ ___ : jämför t.ex. ___ = __ 59 54 2 57 58 2 Skillnaden är minst i detta bråk. 7 11 9 a) __ b) ___ 8 15 1 1 1 4 2 1 7 a) __ + __ + __ = __ = __ + __ = __ 2 4 8 8 8 8 8 1 20 15 6 3 44 11 1 1 1 b) __ + __ + ___ + ___ = ___ + ___ + ___ + ___ = ___ = ___ 3 4 10 20 60 60 60 60 60 15

(–13)

(–7)

(–1)

(–4)

(–

Summan av tal

(–9) då ____ = (–3) e 3 alla tal. Om var kolumner och d magisk kvadra

14 T.ex. (–9) ∙ (–8) + (–7 (–9) ∙ (–8) + (–7

(–9) ∙ (–8) + (–7

15 a) 2 + (–8)((–4) b) 2 + (–8)(6 – (

Det finns 24 tegi är att vä möjligt till fa talet = 2 och

4 16 a) (3 – 2) ∙ 4 + _ 2 4 b) 3 – 2 ∙ (4 + __ 2 Genom att s eller efter m på svaren.

Tal Grundläggande kunskaper om begrepp och metoder är en förutsättning för att eleverna ska kunna ta till sig övrigt centralt innehåll i matematik. Eleverna behöver kunna multiplicera med bråk för att klara av att göra beräkningar i sannolikhetslära och även i algebra finns moment som kräver att de kan hantera bråk på olika sätt. Därför inleder vi med ett kapitel om tal. Här ligger fokus på sambandet mellan tal i bråkform och tal i decimalform. Multiplikation och division med de talformerna är nytt för Matte Direkt 8. Nytt är även negativa tal och att göra beräkningar med negativa tal. Kapitlets innehåll Kapitlet inleds med omvandling mellan tal i bråk- och decimalform och övergår sedan till addition och subtraktion av båda dessa former. På nästa uppslag har vi valt att skilja mellan multiplikation av och med tal i bråkform. Med multiplikation av tal i bråkform menar vi: b 1 a ∙ __     ,  till exempel 4 ∙  __   . Multiplikation med tal i bråkform c 3 a 5 innebär: __      ∙ c, till exempel  __   av 3 meter. b 6 Detta leder oss vidare till multiplikation av två tal i bråkform. För att undvika att eleverna endast lär sig metoder utan förståelse finns här gott om bildstöd, med avsikt att hjälpa eleverna att skapa inre bilder. Att ett tal kan ”bli mindre när man multiplicerar och större när man dividerar”, kan gå emot elevernas intuitiva uppfattning. De har tidigare kanske endast mött multiplikation och division med hela tal. Det kan vara bra att tänka på under arbetet med multiplikation och division med tal i bråk- och decimalform som följer. De negativa talen är sist ut i kapitlet. De presenteras utifrån placering på tallinjen. Vi har undvikit att lägga konkreta tillämpningar på de negativa talen från början. Det finns annars risk för att de leder till ”återvändsgränder”. Blå kurs är parallell med grön kurs och alla moment på grön kurs finns även här, utom det avslutande avsnittet med multiplikation och division med negativa tal. I röd kurs kan eleven fördjupa sina kunskaper om bland annat multiplikation med bråk och decimaltal, förkorta bråk, division med tal i bråkform samt mer om att räkna med negativa tal.

Tal

Mål

Begrepp

Innehåll När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att ●● jämföra tal i bråkform och i decimalform ●● addera, subtrahera, multiplicera och

dividera tal i bråkform och decimalform

●● förklara vad ett negativt tal är ●● räkna med negativa tal

Begrepp andel

bråk

negativt tal

decimalform

blandad form

motsatt tal

bråkform

förlänga

Centralt innehåll I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet: Taluppfattning och tals användning ●● Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. ●● Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer. ●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

Omvandlingstabell för några gamla svenska mått. Tum Fot Aln Famn Tum

1 ___

Fot

Aln

Famn

1 ___ 24 1 __ 2

1 ___ 72 1 __ 6 1 __ 3 1

●● Hur många känner du igen? ●● Hur många aln går det på en famn? ●● Hur stor del av en fot är en tum?

Med nutida mått är 1 fot = 29,69 cm. ●● Hur många mm är 1 tum?

En famn är avståndet mellan fingerspetsarna när man håller armarna rakt ut åt sidorna. Det är ungefär lika långt som personens längd. ●● Testa om det stämmer på dig. 7

Motsvarande centrala innehåll från åk 4–6 är: Taluppfattning och tals användning ●● Rationella tal och deras egenskaper. ●● Positionssystemet för tal i decimalform. ●● Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. ●● Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer. ●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga situationer.

1 Kommentarer och svar Under 1700-talets slut fanns det tusentals olika längd-, vikt- och volymmått i Frankrike. Den franska vetenskapsakademin beslöt att göra ett nytt måttsystem som skulle grunda sig på jordens mått, inte som tidigare på kroppsmått. En meter skulle vara grundenheten för längd och vara lika lång som 1/10 000 000 av sträckan mellan ekvatorn och Nordpolen. Utifrån längdenheten meter fastslog man att en liter skulle vara en tusendel av en kubikmeter, alltså en kubikdecimeter. Vikten av en liter vatten vid 4 grader Celsius är 1 kilogram, vilket är SI-enheten för vikt. En effekt av att metersystemet infördes var även att enheterna byggde på tiosystemet. Tidigare användes bråk för delar av en enhet, nu blev det möjligt att skriva enheterna i decimalform och att använda prefix. Meter systemet infördes i Sverige mellan åren 1879 och 1888. Numer definieras en meter utifrån den sträcka som ljuset färdas under tiden 1/299 792 458 sekund. De flesta länder har infört metersystemet. USA använder dock endast metersystemet i militära och naturvetenskapliga sammanhang. Ett försök gjordes också att dela in tiden med hjälp av tiosystemet. Året skulle då vara 10 månader och en vecka 10 dagar. Dygnet skulle delas in i 10 timmar och en timme i 100 minuter. Det finns klockor som är konstruerade för den decimala tiden, men försöket att införa decimaltid lyckades aldrig. ●● 40 000 km är jordens omkrets.

Svar till frågorna ●● Fråga gärna eleverna om de känner till fler gamla mått. En diskussion kring mått i andra länder kan också vara intressant. I USA till exempel använder man fortfarande miles och inches m.m. 1 __ ●●      aln 3 1 ●● __       12 29,69 cm ●● 1 tum = ________     12 ●● Måttband behövs till den sista uppgiften. Måttet brukar stämma ganska bra på de flesta människor. Var uppmärksam på om det kan vara känsligt för någon elev att mäta sina kroppsmått. I så fall kanske det är bättre att avstå från den här uppgiften.

Tal i bråk- och i decimalform Addition och subtraktion med tal i bråk- och i decimalform G

Grundkurs Tal i bråkform och i decimalform Kvadraten är indelad i hundra rutor. Två av hundra rutor är gula. 2 Andelen gula rutor kan skrivas i bråkform som ____ eller 100 i decimalform som 0,02.

På det här uppslaget har vi lagt fokus på sambandet mellan tal i bråkform och tal i decimalform. Att inte alla tal i bråkform kan skrivas exakt i decimalform är en kunskap eleverna behöver och som de får arbeta med här. Addition och subtraktion med både tal i bråkform och i decimalform har eleverna arbetat med tidigare, så det första uppslaget kan fungera som en mjuk ingång i kapitlet.

En andel kan vara – del av en hel, till exempel två hundradelar av kvadraten är gul. – del av ett antal, till exempel två av hundra rutor är gula.

Exempel

Färg

Hur stor andel av hela kvadraten utgör de olika färgerna?

Gul Blå

Svara i bråkform och i decimalform.

Röd Grön

Lärandemål

Vit

Här ska eleverna lära sig:

●● att jämföra tal skrivna i bråkform och i decimalform

Hur stor andel av kvadraten utgör de olika färgerna? Svara i bråkform och i decimalform. Välj ur rutan.

a) gul

●● att addera och subtrahera tal i bråk- och decimalform

3 Det är viktigt att alla elever förstår att till exempel ____       100

d) grön

e) vit

a) 6 hundradelar

b) 12 hundradelar

c) 98 hundradelar

d) 105 hundradelar

a) 6 tiondelar

b) 9 tiondelar

c) 10 tiondelar

d) 15 tiondelar

och 0,03 har samma värde – tre hundradelar. Mer om detta kan du läsa i artikeln Bråk i kursplanerna och elevers kunskaper om bråk (se Läs mer).

längas till tiondelar, hundradelar eller tusendelar.

c) röd

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

Tänk på

inte kan skrivas exakt i decimalform kan vi inte beräkna 1      kan varken försumman exakt i decimalform. Bråket __ 3

b) blå

4 3 4 1 16 0,4 0,3 0,04 0,1 0,16 ____ ____ ___ ___ ___ 100 100 10 10 10

●● begreppen andel, bråkform, decimalform

För elever som behöver extra stöd kan bilder, som till exempel hundrarutan, vara användbara. Värt att tänka på är att det endast är de bråk med en nämnare som kan förlängas till tiondelar, hundradelar eller tusendelar, som kan uttryckas exakt i decimalform. 1 1      + __ För att beräkna __      kan vi göra bråken liknämniga eller 4 2 1 1      + __ skriva bråken i decimalform. När vi ska beräkna __      3 4 1 kan vi även här göra bråken liknämniga, men eftersom __      3

Bråkform Decimalform 2 ____ 0,02 100 18 ____ 0,18 100 10 ___ 1 ____ = 0,10 = 0,1 100 10 20 ___ 2 __ 1 ____ = = 0,20 = 0,2 100 10 5 50 ___ 5 __ 1 ____ = = 0,50 = 0,5 100 10 2

Vilka av talen i rutan betyder samma andel?

a) 0,4

4 ___ 10

4 ____ 100

2 __

4 __ 5

8 ___ 10

0,4

0,8

ArbetsblAd 1:1 8

1 tal

Start Vilken ska bort?

2 0,2  ___   10

2      ____ 100

1  __   5

1 5 __      0,5 0,2  ___   2

Att addera och subtrahera bråk kräver att man kan förkorta och förlänga. Arbetsblad 1:2 och Matte Direkt 7, kap. 3, kan användas för repetition.

Här kan du som lärare få en bild av elevernas förkunskaper kring sambanden mellan bråk- och decimalform.

Läs mer

Alternativ start

●● Kiselman, C, Uschka-Wehlou, H. (2017). Bråk och språk – vad som är förnuftigt och logiskt. Nämnaren 1, 2017. ●● Petersson, J. (2015). Från brakljud till bråkbegrepp Nämnaren 1, 2015. Lärportalen, åk 7–9, modul Tal och taluppfattning del 3: ●● Kilborn, V. (2017). Bråk i kursplanerna och elevers kunskaper om bråk. ●● McIntosh, A. (2017). Tal i bråkform. ●● Van Bommel, J. (2017). Att få de rätta felsvaren.

1 tal

Visa bilden till uppgift 1. Låt eleverna diskutera parvis hur stor andel av kvadraten de olika färgerna utgör. Be dem svara både i decimal- och bråkform.

Alternativ start Använd bilden till uppgift 1. Be eleverna att teckna en addition för att beräkna summan av de färglagda rutorna i både bråk- och decimalform.

Facit Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform

Exempel Beräkna hur stor andel av figuren som inte är vit.

a) Svara i bråkform.

b) Svara i decimalform.

4 ___ 3 ___ 7 ___ + = 10

4 40 ___ ____ = 100 10

0,4 + 0,3 = 0,7

6 2 a)   ____       100 12 b)   ____     100 98 c)   ____    100 105     d)   ____  100

Beräkna. Svara i bråkform och i decimalform.

a) 0,2 + 0,3

3 6 ___ ___ +

12 15 ____ ____ +

5 0,4 + ___

9 0,83 + ____

a) 0,25 + 0,42

Skriv bråken i decimalform och gör beräkningen. 1 1 a) ___ + __ 10

2 47 b) ____ – ___

100

9 3 c) ___ – __ 10

8 b) ___ = ___ 3

2 c) __ = ___

1 d) ___ = ___ 12 24

1 e) __ = ___ 3 12

5 f) __ = ___ 6 12

68 ____ + 0,23

100

32 2 d) ____ + __ 100

1 1 b) __ + __

2 1 c) __ + __ 3

Beräkna. Svara i bråkform eller i decimalform. Motivera. 1 Kom ihåg att till exempel __ inte kan skrivas exakt i decimalform. 3 1 1 8 3 1 1 a) __ – __ b) ___ – __ c) __ – __ 2 4 10 5 3 4 Lino har två lika stora flaskor med saft. Den ena flaskan är fylld 1 till __ och den andra flaskan är fylld till hälften. Lino häller över 4 all saft till en flaska. Hur stor andel av flaskan är då fylld?

5 3 d) __ + __ 6

8 a) 12 d) 2

0,12 0,98 1,05

(  )

5 1 d) __ + __ 6

ArbetsblAd 1:2–1:4

En utvidgning kan vara att använda kopieringsunderlag 1:1 B och låta eleverna själva färglägga och ange andelen i decimal- och bråkform. De kan även göra uppgifter till varandra och byta.

Här kan man med fördel öva resonemang. Varför/varför inte hör talen ihop? Be eleverna att motivera sina svar för varandra och för sedan en gemensam diskussion. En utvidgning kan vara att eleverna skriver fler tal som betyder samma andel.

5–6

Här handlar det om att se sambandet mellan tal i decimalform och bråkform.

8–9

Eleverna behöver förstå att det går att förkorta och förlänga bråken. De kan ta hjälp av rektangeln.

Syftet är att eleverna ska förstå att inte alla bråk kan skrivas i decimalform utan avrundning.

Tipsa om att rita en bild som hjälp för att komma vidare. Diskutera gärna elevernas resonemang.

1 1      C  __   – __ 3 4

b) 0,27

27  ____  

Slut

6 a) 0,67

67  ____   100 100

5 9 a)  ___   12 11 c)   ___  12

92  ____   100 91  ____   100

7 a) 0,35 c) 0,15

5 1 5 a) 0,5  ___     __       10 2 9 9 b) 0,9   ___     c) 0,9  ___   10 10 7 d) 0,7  ___   10

Kommentarer till uppgifter

2 B 0,63 + ___   10

d) 0,91

4 2 4 a) 0,4 = ___      = __       10 5 4 8      = 0,8 b)  __   = ___ 5 10

1 tal

Beräkna 1 2       A  __   + __ 4 8

0,06

c) 0,92

6 9 3 a)  ___     0,6 b)  ___     0,9 10 10 15 10 d)  ___  1,5 c)  ___     1 10 10

Skriv bråken med samma nämnare och gör beräkningen. Använd dig av figuren i uppgift 8. 3

100

1 a) __ = ___

1 1 a) __ + ___

100

Filippa skuggar hälften av de 24 rutorna. Då ser hon hur många tjugofjärdedelar en halv motsvarar. Gör som Filippa, vad ska stå i de tomma rutorna? 2

100

2 ___ + 0,5

4 1 a) 0,04   ____     100 16 b) 0,16   ____   100 4 3 c) 0,3   ___     d) 0,4  ___   10 10 1 e) 0,1  ___   10

b) 0,27 d) 0,72 b) 1 e) 4

c) 16 f) 10

(  ) (  )

3 1 b)  __     __       6 2 19 7 d)  ___     1 ___        12 12

1 2 1 __      =      eller 10 a)  __   – __ 4 4 4 0,5 – 0,25 = 0,25 Båda är likvärdiga. 6 2 1 8      = ___        __ b)  ___   – ___       eller 10 10 10 5 0,8 – 0,6 = 0,2 Båda är likvärdiga. 3 1 4      = ___      c)  ___   – ___ 12 12 12 1 __    kan inte skrivas 3 exakt i decimalform.

(  )

10 3 ___ 13 1 d)  ___   + ___      =      = 1 ___      12 12 12 12 5 __      kan inte skrivas

6 exakt i decimalform.

3 11 __      4

Gå vidare Blå Mer grundläggande genomgångar och uppgifter med tal i bråk- och decimalform samt addition och subtraktion av dessa finns på sidorna 30–31. Röd Mer om tal i bråkform finns på sidorna 42–43. Repetition Repetition 1 finns på sidan 258.

Extramaterial Arbetsblad 1:1 A

Tal i bråkform och i decimalform

●●

1:1 B

Tal i bråkform och i decimalform – hundrarutan

●●

1:2

Repetition av bråk

●●

1:3

Förkorta och förlänga bråk

●●

1:4

Addition och subtraktion av bråk

●●

Aktivitet 1:1

●●

Bråkspel

1 tal

Uppslaget Begrepp och resonemang

Uppslaget

Vem eller vilka har rätt?

Begrepp och resonemang

Här tränas begrepps- och resonemangsförmågan. Låt gärna eleverna göra övningen enskilt för att sedan diskutera i mindre grupper. Avsluta med att lyfta utvalda resonemang i helklass.

Vem eller vilka har rätt?

A Anna har fel. Att produkten alltid blir större än faktorerna vid multiplikation är en föreställning som många elever kan ha. Det beror ofta på att de har arbetat mycket mer med heltal än med decimaltal.

När man multiplicerar två tal blir produkten alltid större än båda talen.

Anna

När man dividerar två tal blir kvoten alltid mindre än båda talen. Ben

När man multiplicerar två tal kan produkten bli mindre än båda de två talen.

Produkten av två negativa tal är alltid negativ.

B Ben har fel.

Claire

C Claire har fel. Produkten av två negativa tal är alltid positiv. D Dante har rätt.

Dante

Vad blir 12? Man kan skriva uttryck för ett tal på olika sätt. Exempelvis kan talet 12 uttryckas som: 4 = 12 ____ 1 __

0,5 ∙ 24 = 12

(–3) + 15 =12

Gör på samma sätt och skriv talet 12 på flera andra olika sätt. Använd dig av olika räknesätt och tal skrivna i decimalform, bråkform och negativa tal.

Vad blir 12? Låt eleverna arbeta enskilt eller i par och sedan redovisa i helklass eller för varandra. Uppgifterna inbjuder till att öva på resonemang och visar om de har kunskap om begreppen.

Begreppskarta Gör klart begreppskartan genom att fylla i det som saknas.

Talet 4

Begreppskarta Ett bra sätt att repetera de begrepp och metoder som presenteras i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta dem arbeta med begrepps kartor. 26

är motsatt tal med

adderat med (–7) är lika med

dividerat med (–8) är lika med

(–24)

1 tal

Talet 4

är motsatt tal till

adderat med (–7) är lika med

t.ex. multiplicerat med (–6) är lika med

dividerat med (–8) är lika med

(–4

(–3)

(–24)

(–0,5)

Fler begreppskartor finns i materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter.

1 tal

Arbeta tillsammans Luffarschack med tal Låt gärna eleverna inleda kapitlet med att spela det här spelet, som tränar multiplikation med små tal. En utveckling kan vara att eleverna själva gör ett spel genom att välja andra tal som faktorer och skriva produkterna på en spelplan. Uppgiften ger eleverna möjlighet att öva och befästa sina kunskaper kring multiplikation av tal i decimalform. Här övar de dessutom på kommunikation- och metodförmågan.

Sant eller falskt

Uppslaget Arbeta tillsammans

Luffarschack med tal Spelet kan spelas av två spelare eller två lag. Varje spelare eller lag har spelbrickor eller små papperslappar i olika färger. En räknare kan vara bra att ha till hjälp för att kontrollera svaren. ●● Välj två av talen i rutan.

●● Om svaret är sant, hur visar du att påståendet är sant?

0,1 4 6 0,5 3 0,9 0,2 50 12

●● Om svaret är falskt, hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir sant?

●● Multiplicera dem med varandra. ●● Lägg din bricka eller papperslapp på det rätta

svaret på spelplanen.

●● Den som först får fyra i rad vinner. Raden kan vara vågrätt, lodrätt eller diagonal.

Problemlösning

Påståendena behandlar begrepp och metoder. Om övningen genomförs gemensamt så eleverna får diskutera, tränas både resonemangs- och kommunikationsförmågan. Bra frågor att ställa kan vara:

Facit

1 Sant

Sant eller falskt?

2 Falskt

1 __ 1 1 __ + = 0,75

2 3 4

2 4 1 __ kan man skriva i decimalform som 0,17. 7 3 3 2 __ = 2 + __ 5 5 450 ____ är mindre än 450 · 0,93. 0,93

5 Att dividera med 0,1 ger samma

4 Falskt 5 Sant 6 Sant

resultat som att multiplicera med 10.

6 När man räknar ut

3 Sant

12 m _______ får man

7 Falskt

0,25 m reda på hur många gånger man kan dela ett rep som är 12 m i bitar som är 25 cm långa.

8 Sant

7 När det blir kallare stiger temperaturen. 8 På en tallinje ligger –5 och 5 lika långt

9 Falskt

från noll.

9 När man subtraherar ett negativt tal

Läs mer

med ett annat negativt tal, blir svaret alltid negativt.

1 tal

●● Grevholm, Barbro. (2014). Begrepp i kartor eller bubblor. Nämnaren 2, 2014.

Problemlösning Lösningar och kommentarer: 1 4 __ 2 1 __ 7 1 1 __      +      = __      +      + __      =     . Det innebär att de norska A  __   + __ 2 4 8 8 8 8 8 30 mynten utgör den sista åttondelen. Sammanlagt har Danne 30 ∙ 8 = 240 mynt.

B Använd metoden Arbeta baklänges. Om det är 2 1 10 personer kvar efter att  __  gått av, så är __      = 10 3 3 personer. Det gör att det måste det ha varit 30 personer innan de sista gick av. 30 personer är då 3 1 __      eftersom __      gick av vid föregående hållplats. 4 4 1 Då måste det ha varit 40 personer kvar innan __      gick 4 av. Eftersom 5 personer gick på vid första hållplatsen så var det alltså 35 personer från början. Fler problem som kan lösas med metoden Arbeta baklänges finns på sidan 251.

1 tal

1 25 a)  __  , 0,25, ____       4 100 4 2      b) __     , 0,4, ___ 5 10

Tal i bråkform och i decimalform

76 a)  ____   = 0,76 100 68 b)  ____   = 0,68 100 5 c) __   = 1,25 4 11 d) ___  = 0,55 20

Addition och subtraktion av tal i bråkform och i decimalform

12 2 a)  ___     2 __      

Multiplikation av tal i bråkform

36 b) 9   ___       4

Multiplikation med tal i bråkform

1:5

5 c)  ___  

Multiplikation av två tal i bråkform

12, 13

1:6

a) 6 b) 12

Division med tal i bråkform

c) 2 1 d) __  2

Division med tal i bråkform

a) 24,544 b) 304,44 c) 482,38

Multiplikation med tal i decimalform

16, 17

1:8

a) 8 bitar b) 20 bitar

Division med tal i bråkform

14, 15

1:7 A

c) 16 bitar d) 20 bitar

Division med tal i decimalform

18, 19

1:9

37 a)  ___    0,1 59 b)   ____   1,03

Division med tal i decimalform

1:9

a) 48 kr b) 4,80 kr c) 3,20 kr

Multiplikation med tal i decimalform

1:8 1:11

23 °C

Negativa tal

1:14

–12 –3 0,7 4

Negativa tal

1:14

a) (–1) b) (–2) c) 20 d) (–4)

Addition och subtraktion med negativa tal

1:15

e) (–20) f) 18 g) (–6) h) 5

Multiplikation och division med negativa tal

(  5 )

(  )

12 6 3        d)  ___      ___ 10 20

(  )

9 10 11

1 tal

Vilka tal betyder samma andel?

1 __ 4

14 ____ 100

1:1

25 ____

0,25

1:4

4 5

4 ___

100

4 1 d) __ – __

3 b) __ · 12

1 5 c) __ · __

2 3 d) __ · __

3 a) __

3 b) ___

1 __

1 b) __ m

Vilken av kvoterna är

b) 0,43 · 708 = 3 0 4 4 4

c) 54,2 · 8,9 = 4 8 2 3 8

d) 0,2 m

59 ____

37 ___ 0,1

1,03

45 ___

65 ____

0,5

0,98

Ett kilogram päron kostar 16 kr. Hur mycket kostar

b) 0,3 kg

c) 200 g

Hur stor är temperaturskillnaden mellan +15 °C och –8 °C? Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta talet.

–12

–3

0,7

Beräkna

a) 4 + (–5)

b) (–9) + 7

e) 4 · (–5)

1 __

c) 0,25 m

a) 3 kg

1 __

6 d) ___

Alex har ett snöre som är 4 meter långt. Han delar det i bitar. Hur många bitar får han om varje bit ska vara

b) minst

5 4

1 __ 2 ___ 1 __

Sätt ut decimaltecknet på rätt ställe i svaret.

a) störst

2 6

1 __

1:5

4 ____

0,4

3 1 c) __ + __

100

a) 3 · __

1 a) __ m

0,25

98 b) ____ – 0,3

a) 23,6 · 1,04 = 2 4 5 4 4

2 __

Beräkna

0,4

100

Beräkna. Svara både i decimalform och i bråkform. 10

Arbets blad

Avsnitt

Begrepp och metod

7 a) ___ + 0,06

Sida kurs

Facit

Diagnos

Begrepp och metod Sida kurs

Diagnos

f) (–3) · (–6)

c) 8 – (–12) g)

(–30) _____ 5

d) –7 – (–3) (–15) h) _____ (–3)

1 tal

1:7 A 1:7 B

1:16

Resonemang och kommunikation För de elever som behöver träna mer på resonemang och kommunikation kan man förslagsvis arbeta vidare på Uppslagssidorna på grön och blå kurs. Låt även eleverna arbeta med Aktiviteter till respektive avsnitt för att utveckla den muntliga kommunikationen. Lösningar och kommentarer: 2 3 3 2

6 6

     = __      = 1, eftersom täljaren = nämnaren. 12 a)  __   ∙ __ 1 __      2 3 ___      < 1, eftersom täljaren < nämnaren. b)      = __ 1 3 __    

2 1 1 1 __      ∙ __      = __      < 1, eftersom täljaren < nämnaren. 3 2 6 1 2 2 ∙ __      = __      < 1, eftersom täljaren < nämnaren. 3 3

1 __      3 2 ___      > 1, eftersom täljaren > nämnaren. c)      = __ 1 2 __      3

1 3 1 3 ∙ __      = __      = 1 __      > 1. 2 2 2 Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 10–15, blå kurs s. 32–35, arbetsblad 1:5–1:7

Problemlösning Resonemang och kommunikation

Motivera dina svar. Vilket eller vilka av uttrycken är

a) lika med 1 b) mindre än 1

c) större än 1

1 __ 3 ___ 1 __ 2

1 __ 1 __ · 3 2

1 3 · __ 2

1 2 · __ 3

2 __ 3 __ · 3 2

15 I akvariet finns det 24 fiskar.

2 __   av alla fiskar är tetror. Antal svärdbärare är samma

Förklara, utan att utföra beräkningen, varför 4 a) ___ är mindre än 8 0,6

1 __ 2 ___ 1 __

3 b) ____ är lite mer än 6 0,49

Sara handlar mat. Hon köper 6 hg ost, 800 g köttfärs och 1,8 kg äpplen. Vad ska hon betala? Visa dina beräkningar.

som antal guppies, 4 av varje sort. 4 svärdbärare och 1 2 4 guppies motsvarar __      av alla fiskar. __      är 2 ∙ 8 fiskar, 3 3

70 kr/kg

20 kr/kg

vilket är 16 fiskar. Totalt antal: 16 + 8 = 24 fiskar.

50 kr/kg

16 Shirin får 480 kronor av sin morfar.

Problemlösning

Fler problem som kan lösas med strategin Arbeta baklänges finns på sidan 251, alternativt kan eleverna arbeta med problemlösning på Uppslagssidorna.

Shirin har 60 kronor kvar. 3 2 Det är  __   av vad som fanns kvar när hon gett __      till sin 5 5 1 5 __ __ lillebror.    är 20 kr och      är 100 kr. 5 5 Innan hon ger bort pengar till sin lillebror och köper en tröja har hon 260 + 100 = 360 kronor. 3 360 kronor är  __   av pengarna. 4 1 4 __   = 120 kronor då är __      = 480 kronor. 4 4

Bedömningsuppgift a) Skriv uttrycken i storleksordnning med det minsta först. b) Motivera, med ord, varje uttrycks placering. c) Beräkna värdet av varje uttryck. 0,5 ___ 4

4 ___ 0,5

4 __ 5 __ ∙ 5 4

5 __ 4 ___ 4 __

Bedömningsuppgift

(–5) + 4

Lösningar och kommentarer:

1 tal

5 __      4 4 __ 5 0,5 4 ___ ___ __    ·         a) (–5) + 4                ___     4 4 5 4 0,5 __      5

13 a)

4 ___     = 8, om nämnaren ökas så kommer kvoten

b) (–5) + 4 Svaret är ett negativt tal, alltså < 0. 0,5 ___     Om man delar en halv 4 gånger är svaret ett

0,5

4 minska. Därför måste  ___    vara mindre än 8. 0,6

decimaltal som är < 1, men > 0.

3 b)  ___    = 6, om nämnaren minskas så kommer 0,5 3 kvoten öka. Därför måste ____       vara lite mer än 6. 0,49

4 5 __      · __       Här kan man förkorta direkt, svaret är 1. 5 4

5 __    5 4 4 ___      > nämnaren __     , så svaret > 1.      Täljaren __ 4 4 5 __ 

Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 18–19, blå kurs s. 37, arbetsblad: 1:9

5 4 ___         Med innehållsdivision kan man tänka; hur 0,5

14 Sara ska betala 118 kr. 0,6 kg ∙ 70 kr/kg = 42 kr

många gånger kan vi ta ut 0,5 ur 4? Svaret > 1.

0,8 kg ∙ 50 kr = 40 kr 1,8 kg ∙ 20 kr/kg = 36 kr 42 kr + 40 kr + 36 kr = 118 kr Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 16–20, blå kurs s. 38, arbetsblad: 1:8–1:11

4 4 5 0,5 ___   = 2  ___    = 8  __   · __      = 1 4

0,5

5 4

5 __      25 9 4 ___ ___      =      = 1 ___        (–5) + 4 = (–1) 4 16 16 __  5

Kommentar: På sidan 306 finns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift.

1 tal

Blå kurs Tal i bråkform och i decimalform Kvadraten är indelad i hundra rutor.

Addition och subtraktion med tal i bråkform och i decimalform

Färg

Bråkform Decimalform 1 ____ 0,01 100 9 ____ Grön 0,09 100 30 3 Gul ____ = ___ 0,30 = 0,3 100 10 10 1 Blå ____ = ___ 0,10 = 0,1 100 10 50 ___ 5 ____ Vit = 0,50 = 0,5 100 10

●● Andelen röda rutor kan skrivas

1 i bråkform som ____ eller 100 i decimalform som 0,01.

Hur stor andel av figuren är färgad?

a) Svara i bråkform. 2 ___ 5 3 ___ ___ + = 10 10 10 5 ___ Svar: 10

Hur stor andel av kvadraten utgör de olika färgerna? Svara i bråkform och i decimalform. Välj ur rutan.

a) grön

b) röd

0,05

0,25

a) grön

c) blå

0,15

25 ____ 100

b) röd

0,1

0,4

0,5

5 ____ 100

15 ____ 100

Beräkna 5 1 a) ___ + ___ 10 10

3 1 __ __ +

4 8 a) ____ + ____ 100 100

c) blå 1 ___ 10

4 ___ 10

1 4 1 5 1 __ __ + = __ + __ = __ 2

a) 5 hundradelar

b) 11 hundradelar

c) 93 hundradelar

d) 109 hundradelar

a) 1 tiondel

b) 8 tiondelar

c) 10 tiondelar

d) 12 tiondelar

Vilka tal anger samma andel? Välj i rutan.

5 ___ 10

50 ____ 100

1 __

0,25

b) 0,1 + 0,5

3 9 c) ___ – ___ 10 10

d) 0,9 – 0,3

b) 0,2 + 0,6

1 4 __ __ –

d) 0,8 – 0,2

b) 0,08 + 0,04

6 95 c) ____ – ____ 100 100

d) 0,95 – 0,06

Beräkna

0,5

0,3 + 0,2 = 0,5 Svar: 0,5

Exempel

b) Svara i decimalform.

Om bråken har olika nämnare, så måste man först skriva dem med samma nämnare.

5 ___

Skriv talen i bråkform och i decimalform.

Exempel

Röd

●● En av hundra rutor är röd.

1 __ 4

2 __ 5

25 ____ 100

1 __ 5

2 ___ 10

1,5

5 Svar: __ 8

Beräkna. Börja med att skriva bråken som åttondelar. 1 3 1 1 3 1 a) __ + __ b) __ + __ c) __ – __ 2 8 4 8 4 8

1 3 d) __ – __ 2 8

Skriv först bråken med samma nämnare. Beräkna sedan. Ta hjälp av figuren om du vill.

0,2

1 1 a) __ + __ 3 6

2 1 b) __ + __ 3 6

5 1 c) __ – __ 6 2

1 1 a) __ – __ 3 12

2 8 b) __ – __ 3 12

1 2 c) __ – __ 4 12 ArbetsblAd 1:2–1:4

ArbetsblAd 1:1 30

1 tal

Kommentarer till uppgifter 5

Facit

Här kan man med fördel öva resonemangsförmågan. Varför/varför inte hör talen ihop? Be eleverna att motivera sina svar för varandra. Jämför med uppgift 4 sidan 8.

6–8

Det kan underlätta för eleven att arbeta med kopieringsunderlaget 1:1 B och själv färglägga rutorna.

9–11

Att förlänga och förkorta för att göra beräkningar i bråkform bör eleverna kunna. För elever som behöver repetera finns Arbetsblad 1:2.

Extramaterial Arbetsblad 1:1 A–B

Tal i bråkform och i decimalform

●●

1:2

Repetition av bråk

●●

1:3

Förkorta och förlänga bråk

●●

1:4

Addition och subtraktion av bråk

●●

Aktiviteter 1:1

●●

Grön kurs Mer om tal i bråk- och decimalform, addition och subtrak tion med tal i bråk- och decimalform finns på sidorna 8–9. Repetition Repetition 1 finns på sidan 258. 30–31

5 1 a)   ____      0,05 100 15 b)   ___   0,15 10 25 c)   ____    0,25 100 1 4 2 a)  ___    0,1 b)  ___    0,4 10 10 5 c)  ___    0,5 10 5 3 a)   ____      0,05 100 11 b)   ____    0,11 100 93 c)   ____    0,93 100 109    1,09 d)   ____  100 1 8 4 a)  ___    0,1 b)  ___    0,8 10 10 10 c)  ___   1 (1,0) 10 12 d)   ___    1,2 10 5 50  ___   ____      10 100 25 1      b) 0,25 __      ____ 4 100 2 1       0,2 c)  __   ___ 5 10

5 a) 0,5

Bråkspel

1 tal

6 6 a)  ___   10 6 c)  ___   10

b) 0,6 d) 0,6

4 7 a)  __    5 3 __ c)       5

b) 0,8 d) 0,6

12 8 a)  ____   100 89 c)  ____   100

b) 0,12 d) 0,89

4 3 __ 7 9 a)  __   + __      =      8 8 8 3 2 1 __      =      b)   __   + __ 8 8 8 5 6 1 __      =       c)   __   – __ 8 8 8 1 4 3 __      =      d)   __   – __ 8 8 8 3 10 a)  __     6 5 __ b)       6

(  21   ) __

2 c)  __     6

(  31   )

(  )

3 1 11 a)  ___     __       12 4 b) 0

1 c)   ___   12

Multiplikation av tal i bråkform När ett bråk adderas med sig själv flera gånger kan man skriva additionen 1 3 1 1 1 som en multiplikation, till exempel __ + __ + __ = 3 · __ = __ 4 4 4 4 4

Hur långt är tre fjärdedelar av repet?

2 b) 4 · __ 3 2 4·2 8 2 4 · __ = ____ = __ = 2 __ 3 3 3 3 2 Svar: 2 __ 3

b a∙b a ∙ __ = ____ c c

3 9 a) 3 · __ = ___ 4

3 b) 5 · __ = ___ 4 4

3 c) 6 · __ = ___ 4 4

3 a) 2 · __ 5

3 b) 3 · __ 5

3 c) 4 · __ 5

1 a) 2 · __ 6

5 b) 2 · __ 6

5 c) 4 · __ 6

1 __ 4

1 __

a∙c a __ ∙ c = ____ b

3 c) __ av 6 m 4

Vad ska stå i rutan? 3 ·5 b) __ · 5 = _____ 4 4

Beräkna. Svara i blandad form. 1 2 a) __ · 5 b) __ · 5 3 3

5 c) __ · 4 6

3 d) __ · 4 8

3 Therese häller vatten i hinken så att __ av hinken är fylld. Hur många liter 4 vatten finns det i hinken?

6 liter

8 liter

10 liter

Olof och hans 3 kompisar dricker saft. 1 De dricker __ liter saft var. Hur många 3 liter saft dricker de tillsammans?

Beräkna. Ta hjälp av bilden om du behöver. 1 1 a) __ av 6 m b) __ av 6 m 2 4

1·5 1 a) __ · 5 = ____ 2

2 5 · __ = ___

Beräkna. Svara i blandad form om det går.

20 21

Vad ska stå i rutan? 2 3 · __ = ___

1 __ 4

Du kan också räkna så här: 3·2 6 2 1 3 __ · 2 m = ____ m = __ m = 1 __ m = 1 __ m 4 4 4 4 2

Beräkna

2 2 · __ = ___

2m 1 En fjärdedel är ____ = __ m 4 2 3 1 1 Tre fjärdedelar är 3 · __ m = __ m = 1 __ m 2 2 2

Exempel 3 a) 2 · __ 4 3 2·3 6 2 1 2 · __ = ____ = __ = 1 __ = 1 __ 4 4 4 4 2 1 Svar: 1 __ Blandad form 2

Multiplikation med tal i bråkform

3 __ liter 4

Hur många liter saft innehåller flaskorna tillsammans.? 2 En påse nötter väger __ kg. Hur mycket väger 6 påsar nötter? 5

Vilken av bilderna visar

1 b) 2 __ 2

1 c) 2 · __ 2

3 __ liter 4

5 liter

c) 8 dl

5 liter

15 dl

5 liter

ArbetsblAd 1:5–1:6

1 tal

Grön kurs Mer om multiplikation av och med tal i bråkform finns på sidorna 10–11.

12–14

Uppmana eleverna att ta hjälp av bildstödet vid behov.

16–17

Var observant på om eleven använder upprepad addition eller multiplikation här. För en elev som använder upprepad addition kan en individuell genomgång vara nödvändig.

b) 6 dl

Kommentarer till uppgifter

2 Theo häller saft i flaskan så att __ av flaskan är fylld. Hur många deciliter 3 saft finns det i flaskan?

1 1 a) __ + __ 2 2

3 __ liter

Uppgiften kontrollerar om eleverna har förstått 1 1 skillnaden mellan 2 __       och 2 ∙ __      . Ett tal skrivet i 2 2 blandad form är en avvikelse i matematiken, överallt annars så är det multiplikationstecknet som kan 1 1 uteslutas, här är det additionstecknet; 2 __       = 2 + __      . 2 2

Repetition Repetition 2 finns på sidan 259.

Facit 12 a) 4

b) 6

c) 10

19 a) A

13 a) 4

b) 15

c) 18

20 a) 3 m b) 1,5 m c) 4,5 m

4 2 1       c) 2 __      14 a) 1 __       b) 1 __ 5 5 5 2 1 15 a)  __   = __    

Om eleven inte kommer vidare så tipsa om att 1 beräkna __      av flaskans innehåll först. 3

2 4      b) 1  __  = 1 __ 6

1 2      c) 3  __   = 3 __ 6

1 16 1 __      l 3 1 17 2  __   l 4

Extramaterial Arbetsblad 1:5

Multiplikation med tal i bråkform

●●

1:6

Multiplikation med två tal i bråkform

●●

2 18 2  __   kg 5

b) B

21 a) 2

c) A

b) 3

5 2 10 1 22 a)  __  = 1 __       b)  ___  = 3 __      3 3 3 3 2 1 20      = 3 __      c)   ___  = 3 __ 6 6 3 4 1 12      = 1 __      d)   ___  = 1 __ 8 8 2 1 23 a) 4  __   l b) 6 l 2

1 c) 7  __   l 2

1 24 a) 4 dl b) 5  __   dl 3 c) 10 dl

Aktiviteter 1:1

Bråkspel

●●

1 tal

32–33

Röd kurs Mer om tal i bråkform

1 4 Beräkna __ + __ 3 7 4 1 · 7 4 · 3 7 12 19 1 __ __ + = ____ + ____ = ___ + ___ = ___

3·7

7·3

kvar att klippa?

Minsta gemensamma nämnare till 4 1 __ och __ 3 7 är 21.

Exempel

b) De tar hjälp av sin kusin när de ska klippa en annan gräsmatta. 1 1 Felix klipper __ , Bea __ och kusinen klipper hälften av gräsmattan. 6 5 Hur stor andel av gräsmattan har de kvar att klippa?

4 1 Förläng __ med 7 och __ med 3. 3 7

Beräkna. Börja med att skriva bråken med samma nämnare.

1 1 __ __ +

1 1 1 __ __ + + __

1 5 2 a) __ + __ – __ 3 1 9

3 Vilket bråk ska adderas till __ för att summan ska bli 8 7 13 23 31 __ ___ a) b) c) ___ d) ___ 8 16 24 32

2 2

3 3

3 2 __ __ +

3 5 2 __ __ + + __

3 3

1 2 3 b) __ + __ – __ 4 5 8

4 5 __ __ –

3 2 1 __ __ + – __

6 2

2 a) Felix och Bea klipper var sin del av gräsmattan. Felix har klippt __ och 5 3 Bea har klippt __ av gräsmattan. Hur stor andel av gräsmattan har de 8

2 2 5 6 c) __ + __ – __ + ___ 3 5 6 10

5 9 __ __ –

2 1 1 1 __ __ + – __ – __

5 4 1 5 d) __ – __ – __ + __ 6 9 4 12

5 Vilket bråk ska subtraheras från __ för att differensen ska bli 6 1 5 7 5 13 __ ___ a) b) c) ___ d) ___ e) ___ 6 12 18 24 30

1 a) Siri blandar en burk med 3 __ liter färg med två mindre färgburkar 2 3 som innehåller __ liter vardera. Hur mycket färg blir det totalt? 8 1 b) Siri har en annan burk med 2 __ liter färg. Av den färgen använder 2 3 __ hon liter. Hur mycket färg har hon kvar? 4

1 2 På en idrottsdag valde __ av eleverna att åka skridskor, __ att spela ishockey 3 6 1 och ___ valde att åka längdskidor. Resten av eleverna promenerade. 10

Under ett prov säger läraren att en tredjedel av provtiden har gått. Efter ytterligare 10 minuter säger hon: ”Nu har halva provtiden gått. ”Hur länge pågick provet? 1 a) Alma stickar mössor och säljer dem för 350 kr. Hon höjer priset med __ 7 av det ursprungliga priset, men då får hon inte sälja så många. Hon 1 sänker priset med __ av det nya priset och då kostar mössorna 350 kr 8 igen. Visa att priset blir 350 kr efter höjning och sänkning av priset. 1 b) Tänk dig att hon höjer priset med ___ i stället. Hur stor ska 10 sänkningen vara för att priset ska vara tillbaka till ursprungspriset?

21 e) ___ 40

Toste och Annika seglar från Portugal till Västindien. Efter tre dagar når de Kanarieöarna. De har då klarat av en femtedel av halva seglingen. Hur många dagar tar det för dem att segla från Portugal till Västindien?

De fyra vännerna Kalid, Sara, Kim och Serna ska dela på en spelvinst. 3 1 3 Kalid ska ha __ av vinsten, Sara ___ och Kim __ av vinsten. 8 16 4 Hur mycket ska Serna ha om vinsten är 8 000 kr? 1 Frans har plockat körsbär. Han äter upp __ av sina körsbär. Han bjuder sina 3 3 kompisar på __ av körsbären som är kvar. Han har då 4 körsbär kvar. 5 Hur många körsbär hade Frans från början?

Hur stor andel av alla elever promenerade?

1 tal

Här får eleverna möjlighet att tillämpa sina kunskaper om addition och subtraktion av tal i bråkform. MGN, minsta gemensamma nämnare behandlas här, vilket en del elever har stött på tidigare. Att bestämma MGN innebär att man tittar på respektive nämnares multiplar och hittar den lägsta multipel av talen som är gemensam.

Kommentarer till uppgifter 1–3

Här kan det vara lämpligt att lyfta begreppet minsta gemensamma nämnare.

7–9

För vissa elever kan det förenkla om de ritar en bild.

Att rita en bild till uppgiften kan fungera som stöd för förståelsen. Uppgiften kan också lösas med hjälp av en ekvation där provtiden kan kallas för x.

Den här uppgiften kan lösas med hjälp av en ekvation där antalet körsbär från början kan kallas för x.

Facit 5 1 a)  __    6 1 c)  ___   30

5 b) 1 ___      12 7 d)  ___   24

1 2 a) 1 ___      12

1 b) 2 __      4

17 c)  ___  20

43 d)  ___  60

1 3 a) 5 __       9 5 c)  __    6

11 b)  ___  40 5 d)  __   9

42–43

1 tal

(  21   ) 14 7 c)        (       ) 24 12 6 3 e)        (       ) 40 20 4 2 5 a)        (      ) 6 3 8 4 c)        (      ) 18 9 12 2 e)        (      ) 30 5

4 4 a)  __     8

7 b)  ___   16

___  ___

19 d)  ___  32

___  ___  __  __

5 b)  ___   12

___  __

15 5 d)  ___     __       24 8

___  __

(  )

Facit 1 3 6 a) 4  __   liter b) 1 __      liter 4 4 1 2 1 ___      –      = 7 1 – __      – __ 3 6 10 3 2 1 20 5 ___      –      = ___      = ___      1 –  ___   – ___ 30 30 30 30 15 2 3 8 a) 1 –  __   – __      = 5 8 15 9 16      = ___      1 – ___      – ___ 40 40 40 1 1 1 __      –      = b) 1 –  __   – __ 6 5 2 5 6 15 ___ 4 2 1 –  ___   – ___      – ___      =      = ___      30 30 30 30 15 1 1 1 __ 1 1 __ 9      av __      = __      ∙      = ___      5 2 5 2 10 1 De har klarat  ___   på 3 10 dagar. Hela resan tar 30 dagar. 10 60 minuter Kalla provtiden för x. x x      x –  __   – 10 = __ 3 2 2x x  ___  – 10 =  __   3 2 x 2x __ ___   –      = 10 3 2 4x 3x  ___  –  ___  = 10 6 6 x __   = 10 6 x = 60

1 11 a) Höjning: __      av 350 kr 7 350 = ____     kr = 50 kr 7 1 Sänkning: __      av 400 kr 8 400 = ____     kr = 50 kr 8 1 b) Höjning: ___   av 350 kr 10 = 35 kr Nytt pris: 385 kr 35 ___ 1 Sänkning: ____      =      385 11 1 3 3 __      –      12 Sernas del: 1 – __      – ___ 8 16 4 3 4 3 6      – ___      = ___      = 1 – ___      – ___ 16 16 16 16 3 Sernas vinst: ___      av 16 8 000 kr = 1 500 kr 13 Kalla antalet körsbär för x. När Frans har ätit 2x återstår  ___  körsbär. 3 3      När Frans har bjudit på __ 5 2 2x återstår  __   av ___     körsbär. 5 3 2 ___ 2x __    ∙     = 4 5 3 4x ___    = 4 15 x = 15 Frans hade 15 körsbär från början.

Mer om att multiplicera med bråk och decimaltal

När man multiplicerar bråk kan det vara enklare att förkorta bråken innan man multiplicerar.

Exempel

1 3 Beräkna __ · __ 2 5 Svara i bråkform och i decimalform.

Bråkform

Decimalform

3 1·3 3 1 __ __ · = ____ = ___ 2 5 2 · 5 10 3 Svar: ___ 10

Hälften av

Exempel

3 3 __ är ___ = 5

1 __ 2

0,5 · 0,6 = 0,3

10 = 0,3.

Beräkna

5 3 5·3 5·1 5 a) __ · __ = ____ = ____ = ___ 6 7 6 · 7 2 · 7 14

3 __ 5

Bråket kan förkortas med 3. Dividera 3 och 6 med 3.

Svar: 0,3

4 1 b) __ · __ 5 2

Skriv bråken på samma bråkstreck. Förkorta först och beräkna sedan. 1 3 1 3 2 5 a) __ · __ b) __ ·__ c) ___ · __ 3 4 9 4 10 12

5 6 a) __ · __ 18 15

21 8 b) ___ · __ 32 7

9 4 c) ___ · ___ 28 27

15 16 a) __ · ___ 8 25

5 7 b) __ · ___ 21 25

26 9 c) ___ · __ 45 13

3 5 a) __ · __ 15 12

3 4 1 b) __ · __ · __ 8 5 6

5 6 14 c) __ · __ · ___ 18 7 25

2 3 En buss har 70 sittplatser. Av dem är __ upptagna. På __ av de upptagna 4 7 platserna sitter det barn. På hur många platser sitter det barn?

3 5 1 c) Vilka två bråk kan multipliceras för att få svaret ___ ? 15

Beräkna och ange vilken färg i rektangeln som motsvarar andelen. 1 1 2 1 2 3 1 3 a) __ · __ b) __ · __ c) __ · __ d) __ · __ 4 3 3 4 3 4 3 4

3 5 I en musikklass spelar __ av eleverna något musikinstrument. ___ av dessa 9 10 elever spelar blåsinstrument. Hur stor andel av alla elever i klassen spelar blåsinstrument?

4 5

b) röd 3 __ 2 __ · 4 5

1 __ 2 __ · 2 5

c) blå 0,25 · 0,2

0,5 · 0,4

0,75 · 0,4

a) Hur stor andel av figuren utgör den rektangel som består av de sex gröna rutorna?

d) 0,8 · 0,5

1 1 __ __ ·

c) 0,5 · 0,4

Välj i rutan vilka uttryck som visar andelen som är färgad

a) grön

Bråket kan förkortas med 5 och 4.

1 2 a) __ · __ 2 5

5·8 1·2 2 5 8 b) ___ · ___ = ______ = ____ = ___ 12 35 12 · 35 3 · 7 21

Beräkna

2 2 Beräkna __ · __

ArbetsblAd 1:17

1 tal

Metoder för att förkorta bråk innan man utför en beräkning är användbara när eleverna kommer till mer avancerade uppgifter i algebra. I genomgångsrutan illustrerar vi multiplikation av två tal i bråkform med ett rutmönster som man även brukar kalla chokladkakemetoden. Bilden i genomgångsrutan kan behöva förklaras för vissa elever, se också sidan 12 grön kurs.

Kommentarer till uppgifter 15

3 I Oscars akvarium simmar 56 fiskar. __ av alla fiskar är röda och av dem är 8

4 ___ dessutom randiga. Hur många fiskar är både röda och randiga? 21

9 Ann och Kaleb målar ett plank. De har tillsammans målat ___ av planket. 10 2 Ann gjorde __ av deras gemensamma arbete. Hur stor del av planket 3 målade hon?

Vilket tal kan du dividera både täljaren och nämnaren med?

Förkorta bråk

Till den här uppgiften kan det passa bra att diskutera uttrycken i rutan och hur de hänger ihop med bilden.

Här kan du först låta eleverna tänka enskilt och sedan diskutera parvis.

Var uppmärksam på att en del elever kan ha svårt att förstå vad de ska förkorta med, särskilt när det finns fler faktorer i täljaren och nämnaren.

1 tal

Facit 1 14 a)  __    5 c) 0,2

2 b)  __   5 d) 0,4

1 1      och 0,25 ∙ 0,2 15 a)  __   ∙ __ 4 5 2 3      och 0,75 ∙ 0,4 b)  __   ∙ __ 4 5 1 2      och 0,5 ∙ 0,4 c)  __   ∙ __ 2 5 4 2 b)  ___   16 a)  __    5 15 1 1      c)   __   och __ 5 3 1 17 a)  ___   , blå 12 2 1       , gul b)   ___      __ 12 6 6 1 c)  ___      __       , grön 12 2 3 1       , röd d)  ___      __ 12 4

() () ()

3 18 __      5 1 1 1 b)  ___     c)  ___   19 a)  __   4 12 12 3 1 1 b)  __    c)  ___   20 a)  __    9 4 21 6 1 1 21 a)  __     1 __       b)  ___   5 5 15 2 c)  __   5

(  )

1 1 2 22 a)  ___     b)  ___     c)  ___   12 20 15 23 15 platser 1 24 __      6 25 4 fiskar

Extramaterial Arbetsblad 1:17

●

Mer om att multiplicera med bråk

Läs mer ●● Bentley, C, Bentley P-O. (2011). Det beror på hur man räknar!

1 tal

44–45

Svarta sidorna

De svarta sidorna är avsedda för de elever som är färdiga med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.

Kommentarer och lösningar till uppgifter

Vilket tal ligger mitt emellan 3 1 a) __ och __ 3

2 3

6 3 b) __ och __

7 8

x c) kvoten __ bör ligga

Vilket är talet som multiplicerat med 3 2 b) __ blir __

5 2 c) __ blir __

I en triangel är alla vinklar mindre än 90 grader. Varje vinkel är ett heltal 1 och den minsta vinkeln är __ av den största. Vad är summan av de två 5 största vinklarna? I en klass går det 20 elever. De sitter två och två. Exakt en tredjedel av pojkarna sitter med en flicka och exakt hälften av flickorna sitter med en pojke. Hur många pojkar finns det i klassen? En sjättedel av personerna på en buss är vuxna. Två femtedelar av barnen på bussen är pojkar. Hur stor del av personerna på bussen är flickor? 1 Vilket bråk är närmast __ ? Använd resonemang – inte räknare. 2 25 27 29 52 57 ___ ___ ___ ___ ___ 79 59 57 79 92

Beräkna summan av stambråken 1 1 1 a) __ + __ + __ 2

1 1 1 1 b) __ + __ + ___ + ___

2 y __     

1 tal

x  __ 

c) 0

4 2 x = __      och y =  __   3 3

2 4 8 a) x · y =  __   ·   __   =   __   3 3 9

x 2 c)  __   =  __   y 3

2 a) __ 1    · 5

y 4 2 4 b)  __   =  __     __   =   __  = 2 x 3 3 2

4 2 1   __   =   __   =   __   3 4 2

1 4 a)  __  

y b) kvoten __ bör ligga

I det gamla Egypten skrev man alla bråk med täljaren 1, så kallade stambråk. Ville de till exempel skriva 5/6 skrev de bråket som en summa 5 __ 1 1 __ = + __ 6 2 3

x·y

3 a)

Lös uppgiften utan räknare.

6 7 14 ___ 28 1 3 ___      =       ___   = ___      =     c)  __   = ___ 8 24 48 12 24 48 2 55 3 333 1 111 ____ = 3 ·   ____      = 3 · 11 101 101 6 · 1 111 __ 6 1 111 6 666 ____ =   _________   =      ·   ______      = 2 · 11   303 3 · 101 3 101 3 · 11 + 2 · 11 = 55

a) produkten x · y bör ligga

En av täljarna är udda. Därför förlänger vi med 2.

Rita av tallinjen och markera var svaret till

17 c)5  ___  48

1111/101 = 11. Vad är 3333/101 + 6666/303?

1 1 a) __ blir ___

39 7 b)  ___  1 a)  ___   15 40 Gör liknämnigt. 1 5 3 9 a)   __   = ___       __   = ___      3 15 5 15 30 6 24 ___ 48 3 15 ___      =      __   = ___      =     b)  __   = ___ 4 20 40 5 20 40

7 1 c) __ och ___

6 12 pojkar 15 b)  ___ 

1 = ___     

10 1 ___      10 ____ =       1 __    5 5 1      = ___      = __ 10 2

1 tal

5 163° Kalla den minsta vinkeln för v. Då är den största vinkeln 5v. Kalla den tredje vinkeln för u. Då gäller att v ≤ u ≤ 5v. Vi vet att 5v < 90° och att v + u + 5v = 6v + u = 180°. Eftersom u < 90° är 6v > 90°. Det betyder att v< 18° och att v > 15° eller att v = 16° eller 17°. Om v = 16° blir 5v = 80° och u = 84°. Det strider mot förutsättningen att u ≤ 5v. Prövning med v = 17° ger att 5v = 85° och u = 78°, som stämmer med förutsättningen. Summan av de två största vinklarna är 85° + 78° = 163°.

8 b) __ 2      · 5

25 c)5  ___  3 = ___    

4 3 ___      4 ____ =       2 __    5 5 3 ___ 15 = ___      · __      =     2 4 8

4 2 c) __    · 5

5 = ___      2 5 ___      2 ____ =       2 __      5 5 5 ___ 25 = ___      · __      =     2 2 4

Antal par

Antal pojkar

Antal flickor

Antal elever

20 stämmer !

Anta att det finns p pojkar. Då är antalet flickor (20 – p). p (20 – p) Då gäller att: __      =  _______   3 2 p (20 – p) 6 ·  __   = 6 ·  _______   3 2 2p = 3 · (20 – p) 2p = 60 – 3p 5p = 60 p = 12

Skriv bråken som en summa av olika stambråk, alltså som en summa av olika bråk med täljaren 1. 2 a) __

2 b) __

3 c) __

Studera produkterna. Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3

(1 + 11 ) · (1 + 21 ) (1 + 11 ) · (1 + 21 ) · (1 + 31 ) (1 + 11 ) · (1 + 21 ) · (1 + 31 ) · (1 + 41 ) __

a) Beräkna varje produkt. Hittar du något mönster?

b) Börja med att bestämma det stambråk som är ”närmast 1 2     . mindre” än  __  . I detta fall är det __ 5 3 1 6 ___ 5 1 2 __ __    –      = ___      –      = ___      5 3 15 15 15 c) På samma sätt som i a) och b): 3 __ 1 3 __ 2 1 __    –      = __      –      = __      4 2 4 4 4 11 a) Produkterna är 3, 4, 5. Produkten är 1 mer än antal faktorer, eller 2 mer än ”produktnumret”. b) 102

b) Beräkna utifrån mönstret produkt 100.

Vilket tal ska stå i parenteserna (samma tal i båda)?

a) 1 · 2 + 0,25 = ( ) · ( ) b) 2 · 3 + 0,25 = ( ) · ( ) c) Använd svaren i uppgift a och b för att fundera ut vilket uttryck som ska stå i parenteserna. n · (n + 1) + 0,25 = ( ) · ( )

I en magisk kvadrat bildar varje rad, kolumn och diagonal samma summa. Sätt in talen (–13), (–10), (–7), (–4), 2, 5, 8 och 11 så att kvadraten blir magisk.

(–1)

Sätt ut tecken för de fyra räknesätten (+ – · /) mellan de negativa talen så att uträkningen blir 100. Det finns flera lösningar. (–9) (–8) (–7) (–6)

(–5)

(–4)

(–3)

(–2)

Hur ska talen 2, –4, 6 och –8 vara placerade i rutorna så att svaret blir så

2 1 __ 1 2 1 ___ 1 3 1 __ 1 10 a)  __   = __      +       b)   __   = __      +      c)5  __   = __      +      3 2 6 5 3 15 4 2 4 Lösningsförslag: 2 1 __ 1 1 a)   __   = __      +      +  __   +…. Där a > b > c > …. 3 a b c Börja med att bestämma det stambråk som är ”närmast 2 1 mindre” än __     . I detta fall är det __     . 3 2 2 __ 1 4 __ 3 1 __    –      = __      –      = __      3 2 6 6 6

(  ) (  ) 1 1 1 2 3 4 Produkt 2:   ( 1 +        ) ∙   ( 1 +        ) ∙   ( 1 +      ) =      ∙      ∙      = 4 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3 4 5 Produkt 3:   ( 1 +      ) ∙   ( 1 +      ) ∙   ( 1 +      ) ∙   ( 1 +      ) =      ∙      ∙      ∙     = 5 1 2 3 4 1 2 3 4

3 3 1 1 __ 2 3      = 2 ∙ __      ∙ 2 = __      = 3 a) Produkt 1:   1 + __       ∙   1 + __        =      ∙ __ 1 2 1 2 1 1

(–1)

a) stort som möjligt

(

–

)

b) litet som möjligt

Sätt ut en parentes i uttrycket så att värdet blir så

a) stort som möjligt b) litet som möjligt

__  __  __  __

b) Produkt 100 har 101 faktorer. 4 3 – 2 · 4 + __ 2

12 a) 1,5

7 Hälften av alla personer på bussen är flickor. 3 5 __      av barnen är flickor.      av publiken är barn. __ 6 5 1 5 3 __ __      =           · __ 6 5 2 29 8 ___     57 I ett bråk som är så nära en halv som möjligt ska nämnaren ha ett värde som ligger så nära som möjligt täljarens dubbla värde. Tre av svarsalternativen kan väljas bort: 25 1 52 5 57 60 2 ___     ); ___      (nära __     ); ___      (nära ___      = __     ).    (nära __ 79 3 79 8 92 90 3 27 1 ___ 29 29 1 27 ___      = __           : jämför t.ex. ___      = __           : jämför t.ex. med ___ 59 54 2 57 58 2

7 11 9 a)  __   b)  ___  8 15 1 1 4 2 1 7 1      + __      = __      = __      + __      = __      a)  __   + __ 2 4 8 8 8 8 8 1 1 20 ___ 15 6 ___ 3 44 ___ 11 1 1 ___      +      + ___      = ___      +      + ___      +      = ___      =     b)   __   + __ 3 4 10 20 60 60 60 60 60 15

c)5 n + 0,5

a) 1 · 2 + 0,25 = 2,25 = 1,52 = (1 + 0,5)2 b) 2 · 3 + 0,25 = 6,25 = 2,52 = (2 + 0,5)2 1 tal

Skillnaden är minst i detta bråk.

b) 2,5

(–13)

(–7)

(–1)

(–4)

(–10)

Summan av talen är (–9). Summan av talen i varje rad blir (–9) då ____     = (–3) eftersom summan av tre rader blir summan av 3 alla tal. Om varje rad har summan (–3) måste även alla kolumner och diagonaler vara (–3) för att det ska vara en magisk kvadrat. 14 T.ex. (–9) ∙ (–8) + (–7) ∙ (–6) – (–5) ∙ (–4) – (–3) – (–2) – (–1) = 100 (–9) ∙ (–8) + (–7) ∙ (–6) – (–5) ∙ (–4) – (–3) ∙ (–2) ∙ (–1) = 100 (–2) (–9) ∙ (–8) + (–7) ∙ (–6) – (–5) ∙ (–4) – (–3) ∙ ____  = 100   (–1) 15 a) 2 + (–8)((–4) – 6) = 2 + (–8) · (–10) = 2 + 80 = 82 b) 2 + (–8)(6 – (–4)) = 2 + (–8) · 10 = 2 – 80 = (–78) Det finns 24 olika sätt att placera de fyra talen på. En strategi är att välja så stort tal (positivt som negativt) som möjligt till faktorer i produkten. Då är det ”ensamma” talet = 2 och den första faktorn = (–8). 4 16 a) (3 – 2) · 4 +  __  = 1 · 4 + 2 = 6 2 4 __ b) 3 – 2 · (4 +     ) = 3 – 2 · 6 = (–9) 2 Genom att sätta parentesen runt uttrycken antingen före eller efter multiplikationstecknet får man störst skillnad på svaren.

1 tal

Problemlösning

Rita en bild Strategin att rita en bild är viktig eftersom den kan användas i många olika sammanhang och vara en del i andra strategier. En del elever har uppfattningen att strategin inte är en tillräckligt bra lösning. Undervisa därför om att det är en problemlösningsstrategi som är viktig och användbar och i många fall nödvändig för att kunna lösa ett problem.

Problemlösning

Rita en bild Exempel MÅL

START

Helena springer på en löparbana. Först springer hon en banlängd framåt, sedan en halv längd tillbaka och slutligen två tredjedelar av sträckan som är kvar till mål. Då är hon 100 meter från starten. Hur lång är banan?

+1 1 – __ 2 2 1 + __ av __ 3 2

5 __ av banlängden är 100 m 6 1 __ av banlängden är 20 m 6

100 m

20 m

Hela banan är 6 · 20 m = 120 m

100 m ______ = 20 m 5

Svar: Banan är 120 meter lång.

Facit med lösningsförslag

1 80 m Se bild.

Farfar bor på ett äldreboende och där finns det en liten träningsrunda på gården. Han går först ett varv, sedan vänder han och går tillbaka tre fjärdedelar av vägen. Sedan vänder han igen och går ett halvt varv framåt. Då är han 20 meter från starten. Hur lång är träningsrundan? Karin och Benjamin ska jobba åt Gustav. De ska måla ett staket och får lika mycket betalt per timme. Men Karin målar dubbelt så fort som Benjamin.

a) Antingen målar de lika mycket var eller så börjar de måla från var sin ände på staketet och slutar när de möts. Vad blir billigast för Gustav?

Ett varv

20 m

4 Hela banan är 4 ∙ 20 m = 80 m

2 a) Det blir billigast för Gustav om de målar från var sin ände tills de möts. Figur 1) De målar lika mycket.

120

Karin +

= 180

Benjamin 40

Punkten P kan förflyttas längs sidan AB. Var ska P vara om den skuggade delen ska vara

b) fem gånger så stor som den andra delen 250

A P B

problemlösning

A P B

Med P mitt emellan A och B, kan figuren delas i 4 lika stora delar. 3 delar är skuggade och 1 del är inte skuggad. b) På en tredjedel av sträckan AB, räknat från B. A

= 160

2 Karin målar dubbelt så fort, alltså  __   av staketet medan 3 2 1      av 120 min = Benjamin målar __     . Karin behöver __ 3 3 80 min.w Benjamin behöver lika lång tid. Gustav behöver betala för 80 + 80 min = 160 min b) 1 h 20 min 2 Figur 2 visar att Karin målar __      av staketet samtidigt som 3 1 __ Benjamin målar      av staketet. 3 2 2 __      av 120 min = 80 min = 1 h 20 min Karin:      av 2 h = __ 3 3 4 1      h = 1 h 20 min Benjamin: __      av 4 h = __ 3 3

250

3 a) Mitt emellan A och B

Benjamin

Anta att Karin målar halva planket på 60 min. Då målar Benjamin sin halva på 120 min. Gustav måste då betala för 180 min. Figur 2) De börjar från var sin ände.

staketet på 4 timmar. Hur lång tid tar det för dem att måla staketet tillsammans?

a) tre gånger så stor som den andra delen

1 __      av rundan är 20 m

Karin

b) Karin målar hela staketet på 2 timmar, medan Benjamin målar hela

3 __      varv 4 1  __   varv 2

P B

Med P på en tredjedel av sträckan AB, kan figuren delas i 6 lika stora delar. 5 delar är skuggade och 1 del är inte skuggad.

Arbeta baklänges Exempel

Arbeta baklänges

Cissi får sin första lön från sitt sommarjobb. Hon sparar hälften av pengarna, sedan köper hon en väska för 450 kr. För en tredjedel av pengarna som hon har kvar bjuder hon sin kompis på middag och sedan har hon 360 kr kvar. Hur mycket fick Cissi i lön? 2 Cissi har 360 kr kvar. Det är __ av det hon hade före middagen. 3 1 Innan middagen hade hon 360 kr + 180 kr = 540 kr. 180 kr är __ av 540 kr. 3 Innan hon köpte väskan hade hon 540 kr + 450 kr = 990 kr.

Arbeta baklänges är en strategi som är användbar när man vet ett slutresultat och ska ta reda på värdet från början. Här får eleverna övning på att använda motsatta räknesätt, dvs. addition som motsatt till subtraktion och multiplikation som motsatt till division. Den här metoden, kombinerad med att rita en bild, är ofta användbar för att lösa problem som handlar om andelar.

Innan hon sparade hälften av pengarna hade hon 2 · 990 kr = 1 980 kr Svar: Cissi fick 1 980 kr i lön.

4 5

Bea har fått sin första sommarlön. Hon spar 25 % av pengarna och ger sedan en sjättedel av det som är kvar till sin lillasyster. Därefter köper hon ett busskort för 750 kr. Då har hon 560 kr kvar. Hur mycket fick Bea i lön? Ett antal personer åker buss. Vid första busshållplatsen stiger det på 7 personer. Vid nästa hållplats går hälften av personerna av. Nästa gång bussen stannar går tre fjärdedelar av personerna av. Då är det 5 personer kvar. Hur många personer fanns det från början? Ett antal personer åker tåg. Vid station 2 kliver det på 20 personer.

6 220 personer Tåget stannar vid tre stationer. Efter station 4 fanns 40 personer på tåget. 2      av de som fanns på tåget innan station 4. Det motsvarar __ 3 Innan station 4 fanns det 60 personer på tåget (3 ∙ 20 = 60). 3 Vid station 3 gick __      av personerna av och 60 personer blev 4 1 kvar. 60 personer motsvarar __     , vilket betyder att 4 240 personer (4 ∙ 60) fanns på tåget innan station 3.

1 Vid station 3 går tre fjärdedelar av personerna av, och vid station 4 går __ 3

av personerna av. Då finns det 40 personer kvar i tåget. Hur många personer var det i tåget från början?

Torhild har bakat bullar. I den första påsen lägger hon en tredjedel av bullarna. I den andra påsen lägger hon en tredjedel av de som är kvar och i den tredje påsen lägger hon sedan en tredjedel av de som då var kvar. Efter det har hon 8 bullar kvar. Hur många bullar bakade Torhild?

Bengt köper 5 exemplar av sin favoritbok. En till sig själv och de övriga som present till sina vänner. Böckerna är på rea och är 20 % billigare än det ordinarie priset. Han betalar 5 kr per bok för att få presentböckerna inslagna och så köper han en kasse för 3 kr för att kunna bära böckerna. Han betalar 1 019 kr. Vad var det ordinarie priset för en bok?

problemlösning

251

Facit med lösningsförslag 4 2 096 kr Bea har 560 kr kvar. Innan hon köpte busskortet för 750 kr 5 hade hon 560 kr + 750 kr = 1 310 kr. Det motsvarar __      av det 6 5 hon hade innan hon gav bort pengar till sin syster. Om __      6 1 310 1    motsvarar 1 310 kr, så är __      lika med  __  = 262 kr. Det be6 5 6 tyder att hela summan    __       = är lika med 6 ∙ 262 kr = 6 1 572 kr.

()

3 3      av lönen Det motsvarar __      av Beas ursprungliga lön. Om __ 4 4 1 1 572 är 1 572 kr, så är __      lika med  _____     = 393 kr. Det betyder att 4 4 4 hela lönen   __       var 4 ∙ 393 kr = 2 096 kr. 4

(  )

5 33 personer Bussen stannar tre gånger. Efter tredje hållplatsen finns 5 personer kvar. 1 De motsvarar __      av antalet innan hållplatsstoppet. 4 Då fanns det alltså 5 ∙ 4 = 20 personer i bussen. Vid andra hållplatsen gick hälften av. Då måste det ha funnits 40 personer på bussen innan andra hållplatsen. Vid första hållplatsen steg 7 personer på bussen. Innan första hållplatsen fanns det alltså 40 – 7 = 33 personer på bussen.

Vid station 2 klev 20 personer på tåget. Då fanns det 220 personer på tåget innan station 2. 7 27 bullar Torhild lägger bullar i 3 påsar. Efter sista påsen har hon 1 8 bullar över. I påse 3 har hon lagt __      av kvarvarande bullar. 3 2 8 bullar motsvarar __      av de bullar som var kvar. 3 1 Då motsvarar 4 bullar __      och alla bullarna 4 ∙ 3 = 12 bullar. 3 1 I påse 2 har hon lagt __      av de bullar som då var kvar. 3 2 12 bullar motsvarar __      av de bullar som var kvar. 3 1 Då motsvarar 6 bullar __      och alla bullarna 6 ∙ 3 = 18 bullar. 3 2 18 bullar motsvarar __      av alla bullarna. 3 1 Då motsvarar 9 bullar __      och alla bullarna 9 ∙ 3 = 27 bullar. 3 8 249 kr Kostnaden för böckerna är 1 019 – 3 – 4 · 5 kr = 996 kr Priset på böckerna är nedsatt med 20 %, så 996 kr är 80 % av det ordinarie priset. 80 % är 996 kr 996 kr    10 % är ______    = 124,5 kr 8 100 % är 10 ·124,5 kr = 1 245 kr 1 245 kr En bok kostar  ________    = 249 kr.   5

251

Repetition 17

Repetition 18

Repetition 17 kan du göra efter grön kurs sidan 174 eller blå kurs sidan 188.

Repetition 18 kan du göra efter grön kurs sidan 176 eller blå kurs sidan 190.

1 2

Skriv i decimalform.

a) 4 %

b) 40 %

d) 140 %

2 4 3 b) __ · __ 5 8

Skriv i procentform. 17 a) ____ b) 0,36 100

3 c) __ · 4 5

1 c) __ 4

c) 8 m av 400 m

Kenneth gör pallar. De kan ha tre ben eller fyra ben. Han ska göra 17 pallar och ska använda 56 ben. Hur många pallar kan han göra av varje sort?

På en arbetsplats finns 12 män och 48 kvinnor. Hur stor är andelen kvinnor? Svara i procentform.

samma andel vatten.

85 %

Bob: Potatisen innehåller mest vatten.

5 d) ___ 1 __ 2

Kaleb dukar med 6 underlägg som är 25 cm långa och 20 cm breda. Kalebs bord är kvadratiskt med sidan 100 cm. Hur många procent av bordet täcks av underläggen?

Vilket erbjudande är bäst?

1 __ 3

3 __ 4

Ordinarie pris 980 kr Nu 30 % rabatt

Hur många procent billigare blir priset per glasskula om du köper

a) 2 kulor istället för 1 kula 0,3

18 kr

b) 4 kulor istället för 3 kulor 15 kr

Dragan: Andelen vatten beror på hur stora de är. Vem har rätt? Motivera. Av eleverna i en klass är 40 % med i innebandyklubben och 30 % är med i musikklubben. 50 % är inte med i någon av klubbarna. Hur många procent av eleverna är med i båda klubbarna?

Anton vann en höjdhoppstävling med resultatet 1,62 m. Simon hoppade 1,35 m. Hur många procent högre höjd klarade Anton?

12 kr 8 kr

S7uan Förklara vad som menas om man säger att ”sju procent av frukostflingorna är proteiner”.

8 9

Till en souvenirbutik köpte man in 500 muggar för 27 kr/st. 24 av muggarna gick sönder och kunde inte säljas. Butiken tjänade 48 % på muggarna. Vilket pris sålde man muggarna för? Beräkna 3 a) ___ 5 __ 6

274

3 1 c) __ · __ 4 6

Ordinarie pris 899 kr Nu 200 kr rabatt

Claire: Äpplet har störst andel vatten.

2 1 b) __ – __ 3 6

d) 15 m av 300 m

S7uan Anna: Sockerkakan och brödet innehåller

c) 450 kr till 90 kr

d) 0,4

b) 4 m av 5 m

b) 1 500 kr till 500 kr

Beräkna 1 1 a) __ + __ 2 4

8 d) ___ 1 __ 5

Förläng eller förkorta till hundradelar och skriv andelen i procentform.

a) 35 m av 50 m

Hur många procent har priset sänkts om det minskar från

a) 400 kr till 100 kr

Beräkna 5 3 a) __ – __ 6 8

c) 0,4 %

5 __ 6 b) ___ 3

5 __ 6 c) ___ 3 __ 4

Repetition

275

Facit Repetition 17

Repetition 18

1 a) 0,04

b) 0,4

c) 0,004

d) 1,4

1 a) 75 %

11 2 a)  ___      24

3 b)  ___     10

4 c) 2 __       5

d) 40

3 2 a)  __    4

3 a) 17 %

b) 36 %

c) 25 %

d) 40 %

3 30 %

4 a) 70 %

b) 80 %

c) 2 %

d) 5 %

4 Det högra erbjudandet är bäst

5 5 pallar med 4 ben och 12 pallar med 3 ben Kalla antalet pallar med 4 ben för x. Det ger ekvationen 4x + 3(17 – x) = 56 och ger x = 5.

b) 67 % 3 b)  __    6

c) 80 % 1 c)  __    8

d) 10

200   ≈ 0,22 = 22 % rabatt   Det vänstra erbjudandet innebär ____   899

5 a) 25 %

b) 10 %

6 20 % (12 män av totalt 60 personer)

6 20 %

Sjuan Claire har rätt.

Sjuan Av 100 gram flingor är 7 gram proteiner.

Omvandla alla andelar till procentform. Potatisen innehåller 75 % vatten vilket gör att Bob har fel. En procentandel beror inte på hur mycket det hela är. Därför har Dragan fel.

8 20 % Rita en bild:

Totalt inköpspris: 500 ∙ 27 = 13 500 kr Totalt försäljningspris: 1,48 ∙ 13 500 kr = 19 980 kr Antal sålda muggar: 476 19 980    ≈ 42 Pris/mugg:   _______ 476 3

ingen

9 a) 3  __    5

musik bandy 0

100 %

20 %

274–275

8 42 kr/st

repetition

5 b)  ___     18

1 c) 1  __   9

Repetition 19

Repetition 20

Repetition 19 kan du göra efter grön kurs sidan 179 eller blå kurs sidan 193.

Repetition 20 kan du göra efter grön kurs sidan 183 eller blå kurs sidan 194.

Beräkna

a) 50 % av 8 000 kr

d) 20 % av 500 kr

b) 15 av 50

c) 12 av 200

d) 75 av 300

Beräkna och svara i så enkel form som möjligt. 3 3 a) __ + __ 5 4

c) 75 % av 400 kr

Hur många procent är

a) 4 av 100

b) 25 % av 800 kr

1 4 b) __ · __ 2 5

2 5 c) __ · __ 3 6

2 3

1 __ 2 ___ 1 __

58 d) ___ 0,2

b) 5 % av 5 000 st

c) 12 % av 3 500 st

d) 1,5 % av 3 000 st

Hur många procent ökar priset om det ökar från

b) 50 kr till 150 kr

c) 30 kr till 120 kr

d) 40 kr till 100 kr

1 I en idrottstävling gick __ av de tävlande vidare till andra omgången.

6 2 Av de som gick vidare till andra omgången fick __ så bra resultat att de 7 fick delta i finalen.

a) Hur stor andel av de tävlande fick delta i finalen?

Vad får du betala för

b) Hur många var det om 105 personer deltog i tävlingen?

b) jackan

Sveriges minsta fågel, kungsfågeln, väger i genomsnitt 5 gram. Gråsparven, med en medelvikt på 30 g, är bland de vanligaste fåglarna i Sverige. Ungefär hur många procent mer väger en gråsparv jämfört med en kungsfågel?

Johan och Robert fiskade. Johan fick en gädda på 3,65 kg och Robert en som vägde 2,98 kg.

2 190:-

a) Hur många procent mer vägde Johans gädda än Roberts?

699:-

b) Hur många procent mindre vägde Roberts gädda än Johans?

S7uan Förklara med hjälp av ett exempel vad som menas med

En kamera kostar 1 470 kr. Hur har priset förändrats om det nya priset direkt kan beräknas så här:

b) 0,8 · 1 470 kr

c) 1,12 · 1 470 kr

förändringsfaktor.

d) 1,2 · 1 470 kr

S7uan Beskriv två olika metoder för att beräkna delen om du vet

Till sin butik köpte Amir in 100 tröjor för 75 kr/st. Han sålde 30 % av dem för 280 kr/st. Resten av tröjorna måste han sänka priset på och de sålde han för 99 kr/st. Hur många procent tjänade Amir på försäljningen?

Mässing innehåller 70 % koppar och 30 % zink. Hur mycket mässing kan man tillverka av 21 kg koppar och 10 kg zink?

procentsatsen och det hela, till exempel. 3 % av 500 m.

15 c) ___ 0,5

Beräkna

a) 20 kr till 30 kr

Alexander Bell, som uppfann telefonen, levde mellan åren 1847 och 1922. Han emigrerade till Kanada när han var 23 år och levde sedan resten av sitt liv där. Hur stor andel av sitt liv levde Bell i Kanada? Svara i procentform.

a) 0,74 · 1 470 kr

4,2 b) ____ 0,01

a) 7 % av 4 500 st

a) jeansen

Beräkna 2,4 a) ___ 0,1

2 3 En flaska saft har volymen __ liter. Flaskan är fylld till __ . 4 3

a) Hur mycket saft innehåller den? b) Saften späds med 2 liter vatten. Hur stor del av blandningen är saft? Svara i procentform.

276

Repetition

277

Facit Repetition 19

Repetition 20

1 a) 4 000 kr

b) 200 kr

c) 300 kr

d) 100 kr

1 a) 24

b) 420

c) 30

d) 290

2 a) 4 %

b) 30 %

c) 6 %

d) 25 %

2 a) 500 st

b) 250 st

c) 420 st

d) 45 st

7 3 a) 1  ___      20

2 b)  __    5

5 c)  __    9

d) 2

3 a) 50 %

b) 200 %

c) 300 %

d) 150 %

1 4 a)  ___      21

b) 5 st

4 69 % 5 a) 454 kr

5 500 %

b) 1 424 kr

6 a) Sjunkit med 26 % c) Ökat med 12 %

b) Sjunkit med 20 %

6 a) 22 % mer

d) Ökat med 20 %

Sjuan Priset K, på ett par byxor höjs med 12 %. Det nya priset

(  100

)

500 kr    = 5 kr  Sjuan Metod 1: Räkna först ut 1 % av 500 kr.   ______   Multiplicera sedan med 3 (3 ∙ 5 = 15 kr)

Metod 2: Skriv procentsatsen i decimalform och ultiplicera med 500. (0,03 ∙ 500 kr = 15 kr). m 1

8 a)  __   liter 2 3

)

(

2,5 liter

kan skrivas som K + 0,12K = 1,12K. Det nya priset kan beräk nas genom att multiplicera K med förändringsfaktorn 1,12. Om priset istället sänks med 25 % skrivs det nya priset som K – 0,25K = 0,75K. Det nya priset beräknas genom att multi plicera K med förändringsfaktorn 0,75.

8 104 %

b) 20 %

)

1 3 2 __ 1 0,5 liter __    =      = 20 %     __      ∙ __      =          _______

b) 18 % mindre

Inköpspris: 100 ∙ 75 = 7 500 kr Försäljningspris: 30 ∙ 280 + 70 ∙ 99 = 8 400 + 6 930 = 15 330 kr Vinst: 15 330 – 7 500 = 7 830 kr 7 803  ≈ 1,04 = 104 %   Vinst i procent:  _____  7 500

9 Man kan tillverka 30 kg mässing.

21 Använder man all koppar, motsvarar 21 kg koppar ___      = 0,7 30 kg mässing. Då behövs 9 kg zink. Det blir 1 kg zink över. 10 Använder man all zink motsvarar 10 kg zink ___      ≈ 33,3 kg 0,3 mässing. Då behövs 23,3 kg koppar, dvs. det fattas 2,3 kg koppar. Man kan alltså inte använda all zink om man ska ha de angivna procenthalterna.

repetition

276–277

Räkneuppställningar

Verktygslådan Innehåll

sida

Tal

280

Tal i bråkform och decimalform

283

Negativa tal

285

Geometri

286

Algebra

289

Linjära samband

293

Procent

294

Sannolikhet

296

Kombinatorik

297

Addition och subtraktion

64,8 + 3,7 = 68,5

+ I verktygslådan hittar du en sammanställning av begrepp och metoder som du kan ha nytta av i ditt arbete med matematiken.

14,3 – 2,08 = 12,22 Minnessiffra ”8 + 7 är 15” 1 i minne

6 4 , 8 3 , 7 6 8 , 5

Växla en tiondel till 10 hundradelar 10

Decimaltecknen under varandra

Multiplikation

1. 132 · 48 = 6 336

1 3 1 4 · 1 0 5 + 5 2 8 6 3 3

Tal

2 8 6

Fyll ut med noll hundradelar

1 4 , 3 0 – 2 , 0 8 1 2 , 2 2

2. 0,3 · 0,17 = 0,051

”8 gånger 2 är 16” 1 blir första minnessiffra

0 , 1 0 , 0 5 + 0 0 0 0, 0 5

Minnessiffror

1 2 1

Man brukar skriva faktorn med flest siffror överst

Sätt ett steg åt vänster (det är ju 40 · 2)

7 3 1

Två decimaler En decimal

Tre decimaler

Division, kort division

De fyra räknesätten Addition

Subtraktion

2+4=6

6–4=2

term

summa

term

Multiplikation

täljare nämnare

produkt

4 3 2 = 1 4

8 __ =2

57 2. ___ = 11,4 5

4 3 2 = 10 4

4 i 4 går 1 gång

differens

Division

2·4=8 faktor

432 1. ____ = 108 4

4 3 2 = 108 4

4 i 3 går 0 gånger, rest 3

4 i 32 går 8 gånger Lägg till decimaltecken och noll tiondelar 2

5 7 = 1 5

kvot

5 7 = 11 5

5 7, 0 = 11,4 5

5 i 7 går 1 gång, rest 2

5 i 20 går 4 gånger

4,71 3. ____ = 15,7 0,3 1

4, 7 1 ·10 4 7, 1 = 3 0,3 ·10

3 i 4 går 1 gång, rest 1

4 7, 1 = 15,7 3

Förläng bråket så att nämnaren blir ett heltal

280

3 i 17 går 5 gånger, rest 2 Sätt ut decimaltecken 3 i 21 går 7 gånger

verktygslådan

Huvudräkning

Dela upp i faktorer

Multiplikation

Talet 24 kan skrivas som 1 · 24, 4 · 6 eller 3 · 8 eller 2 · 12. Det betyder att 24 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24.

1. Multiplicera med 10 och 100

38 · 10 = 380 38 · 100 = 3 800

0,38 · 10 = 3,8 0,38 · 100 = 38

4 nollor

24 4 2

24 6

3 3

12 · 35 = (10 + 2 ) · 35 = 10 · 35 + 2 · 35 = 350 + 70 = 420

24 = 2 · 2 · 2 · 3

verktygslådan

283

De inringade talen är primtalsfaktorer

3. Dela upp

281

Faktorträd

2. Multiplicera stora tal

50 · 3 000 = 5 · 3 · 10 000 = 150 000

verktygslådan

2 2

24 = 3 · 2 · 2 · 2

24 = 2 · 2 · 2 · 3

12 = 10 + 2

Division

Negativa tal

Dividera med 10 och 100

4,8 ___ = 0,48

480 ____ = 48

10 480 ____ = 4,8 100

10 4,8 ____ = 0,048 100

Ett negativt tal är ett tal som är mindre än noll. negativa tal

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

positiva tal

–4 är motsatt tal till 4

Räkna med negativa tal

1. Addition 12 + (–3) = 12 – 3 = 9 (–12) + (–3) = (–12) – 3 = –15 Att addera med ett negativt tal är detsamma som att subtrahera med det motsatta talet.

147 är delbart med 3 eftersom siffersumman 1 + 4 + 7 = 12 är delbar med 3.

2. Subtraktion 12 – (–3) = 12 + 3 = 15

Delbarhetsregler

(–12) – (–3) = (–12) + 3 = –9

Tal delbara med

Att subtrahera med ett negativt tal är detsamma som att addera med det motsatta talet.

2 är alla jämna tal.

3. Multiplikation 12 · (–3) = –36

3 är alla tal med en siffersumma som är delbar med 3. 5 är alla tal med en sista siffra som är 0 eller 5.

10 är alla tal med en sista siffra som är 0.

(–12) · 3 = –36

Produkten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ.

4. Division 12 ____ = –4 (–3)

(–12) _____ = –4 3

Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ.

282

verktygslådan

280–283

verktygslådan

(–12) · (–3) = 36 Produkten av två negativa tal är positiv.

(–12) _____ =4 (–3)

Kvoten av två negativa tal är positiv.

Tal i bråkform och decimalform

Division med tal i bråkform 3 __ = 12

bråkform

Det går 12 fjärdedelar i 3 hela.

blandad form

5 __

1 1 __ 4

1,25

Metod 1: 2 20 ___ ____ = = 0,2

2 ____ = 0,02 100

100

Metod 2:

Förläng så att nämnarna blir lika.

Förkorta bråk

Förläng bråket med 3.

Förkorta bråket med 3.

1 · 3 ___ 3 1 ____ __ = =

3/3 __ 1 3 _____ ___ = =

4·3

Multiplicera både täljare och nämnare med 3.

12/3

5 4 · __

5 2 · __ 5 2

____

2·5 5·2

___

4 _____ 2 ____ 2 ____ 2 ___ 2 __ = 10 = = = =

6 __ 6 · __ 4 ___ 24 1 _____ 1 4 ___ 4 __ = = =8 3 3 3 __ __ __ 4 4 4

2 5

Förlänga bråk

Det går två fjärdedelar på en halv.

1 4

decimalform

2 __ =2

Kvadraten är indelad i hundra rutor. Andelen gula rutor kan skrivas 2 i bråkform som ____ eller i decimalform som 0,02. 100

10 10

5 Förläng med __ så att nämnaren blir 1. 2

Tre fjärdedelar får plats 8 gånger i 24 fjärdedelar.

Dividera både täljare och nämnare med 3.

Division med tal i decimalform (12 · 10) ____ 120 12 ________ ___ = = = 60 0,2

Addition och subtraktion av bråk 2 5 3 __ __ + = __ 8

5 __ 3 2 __ – = __

(0,2 · 10)

6,57 ___________ (6,57 · 100) ____ 657 ____ = = = 219

0,03

(0,03 · 100)

Förläng först så att nämnaren blir ett heltal.

Nämnarna är lika. Addera eller subtrahera täljarna.

3 1·2 3 2 3 5 1 __ __ + = ____ + __ = __ + __ = __ 2 4 2·2 4 4 4 4

9 5 14 3 __ 1 3·3 1·5 __ + = ____ + ____ = ___ + ___ = ___

1 __ 3 __ + = 0,50 + 0,75 = 1,25 2 4

3 __ 1 __ + ≈ 0,60 + 0,33 = 0,93 5 3

5·3

3·5

Nämnaren är olika. Förläng bråken så nämnarna blir lika.

Avrundning Avrunda till heltal 43,76 ≈ 44 Avrunda till tiotal 3 427 ≈ 3 430

Skriv bråken i decimalform. Ibland blir det ett avrundat värde.

Avrunda till hundratal 5 829 ≈ 5 800 Avrunda till tusental 47 500 ≈ 48 000 Avrunda till två decimaler: 7,264 ≈ 7,26

Multiplikation med tal i bråkform 2 2 (4 · 2) 8 4 · __ = ______ = __ = 2 __ 3 3 3 3

b (a · b) a · __ = _____ c c

2 2 · 5 10 1 __ · 5 = ____ = ___ = 3 __

a·c a __ · c = ____

7 3 · 7 21 3 __ __ · = ____ = ___ 5 8

5·8

c a·c a __ __ · = ____ b d

b·d

Om siffran efter avrundningssiffran är: ●● 0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas talet nedåt. ●● 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas talet uppåt.

Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.

verktygslådan

Geometri

285

En sträcka är endimensionell och har en längd.

Bredd Längd

En yta är tvådimensionell och har en area.

En kropp är tredimensionell och har en volym.

Enheter för längd

Enheter för volym

1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 km = 1 000 m 1 mil = 10 km

1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 1 liter = 1 dm3 1 ml = 1 cm3

Enheter för area

er et

Längd

medelpunkt

Höjd Bredd

Cirkeln

Olika dimensioner

ra d

284

7,265 ≈ 7,27

Avrundningsregler

Omkretsen = π · d � 3,14 · diametern Arean = π · r2 � 3,14 · radien · radien Exempel

Beräkna cirkelns

a) omkrets b) area Cirkelns area är ungefär 3,14 · 4 cm · 4 cm = 50,24 cm2

1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2 1 ar = 100 m2 1 ha = 10 000 m2 1 km2 = 1 000 000 m2

Cirkelbåge

cirkelbåge

Cirkelbågens längd: v _____ · π · 2r 360°

Månghörningar

sida diagonal

8 cm

Cirkelns omkrets är ungefär 3,14 · 8 cm = 25,12 cm

hörn

Cirkelsektorns area: v _____ · π · r2 360°

medelpunktsvinkel

Exempel

a) Beräkna cirkelbågens längd.

Fyrhörningar höjd bas

b) Beräkna cirkelsektorns area. höjd bas

A=b·h

r = 10 cm cirkelsektor 50°

Cirkelns omkrets.

50° Cirkelbågens längd = _____ · π · 2 · 10 cm ≈ 9 cm 360°

Medelpunktsvinkelns andel av ett helt varv.

Trianglar

Arean = basen · höjden

basen · höjden Arean = _____________ 2 b·h ____ A= 2

Cirkelns area.

50° Cirkelsektorns area = _____ · π · 10 cm · 10 cm ≈ 44 cm2 360°

286

verktygslådan

287

284–287

Begreppslista A

Begrepp

Förklaring

andel

Förhållandet mellan en del och en helhet.

area B

Sida Exempel: I en klass på 23 elever finns 11 pojkar. 11 Andelen pojkar i klassen är ___      ≈ 48 %. 23

Storleken av en yta. Man mäter storleken av en yta i en areaenhet, t.ex. kvadratmeter (m2).

balansmetoden basyta

Metod för ekvationslösning där man stegvis förenklar en ekvation genom att utföra samma räkneoperation i båda leden; man ”balanserar” hela tiden leden.

101

Avser ofta den yta som en kropp ”står på” eller den yta i en geometrisk kropp som man valt ut vid volymberäkning. basyta

begränsningsyta

Den yta som begränsar en kropp.

67 beroende händelser

blandad form bråkform C

chans cirkel

Händelser där den ena händelsens sannolikhet påverkas av om den andra händelsen har inträffat eller ej.

Exempel: Du tar ett kort ur en kortlek, noterar det och tar sedan ett nytt kort ur leken utan att lägga tillbaka det första kortet.

Tal sammansatt av ett heltal och ett tal i bråkform som är mindre än 1.

2 Exempel: 3  __   5

Tal skrivet med täljare och nämnare. Ett tal skrivet i bråkform brukar kallas ett bråk.

4 Exempel:  __   7

10 8

Ett annat ord för sannolikhet, ofta använt om man hoppas eller önskar att något ska inträffa. En helt rund och sluten kurva. Varje punkt på kurvan har samma avstånd till en och samma punkt, medelpunkten.

216

210

medelpunkt

58 cirkelbåge

Del av en cirkels omkrets. cirkelbåge

64 cirkelsektor

Ett område som begränsas av en cirkelbåge och två radier.

cirkelsektor

298

begreppslista

Begrepp

Förklaring

cylinder

Vanligtvis en kropp som begränsas av två parallella cirkelytor och en mot dem vinkelrät mantelyta.

Sida

66 D

decimalform

Tal skrivet med hjälp av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 och ett decimaltecken.

decimaltal

Ett tal som innehåller ett decimaltecken.

del

En andel av det hela. Det man jämför med vid procent- eller bråkräkning.

Exempel: 4,15

8 8 Exempel: När vi beräknar 10 % av 750 kr beräknar vi delen.

174

Vid procenträkning det som motsvarar 100 %.

174

diagram

Figur som visar ett statistiskt material.

140

diameter

Sträcka mellan två punkter på en cirkel och som går genom cirkelns medelpunkt.

a di

det hela

er et

58 dimension

Exempel: 2x + 45 = 59

En likhet som innehåller minst ett obekant tal.

experimentell sannolikhet

Ett sätt att bestämma en sannolikhet, t.ex. genom en statistisk undersökning.

faktor

Tal som ingår i en multiplikation.

56 101 238

En ekvation (likhet) som beskriver ett samband mellan variabler.

Exempel: I multiplikationen 7 · 14 = 98 är 7 och 14 faktorer.

130

Exempel: y = 2x + 1

140 218

frekvens

Det antal gånger som ett värde förekommer i en undersökning.

förkorta

Att dividera täljare och nämnare med samma tal.

3/3 __ 1 Exempel:  _____    =      12/3 4

förlänga

Att multiplicera täljare och nämnare med samma tal.

1 · 3 ___ 3 Exempel:  ____    =       4 · 3 12

En faktor som man kan använda för att beräkna en procentuell förändring.

Exempel: En jacka kostar 650 kr. Priset höjs med 15 %. Det nya priset blir 1,15 · 650 kr. Faktorn 1,15 kallas förändringsfaktor.

förändringsfaktor

Exempel: En dimension: en sträcka. Två dimensioner: en yta. Tre dimensioner: en kropp.

ekvation

formel

Antal värden (längd, bredd, höjd) som behövs för att bestämma ett föremåls utsträckning.

graf

En kurva i ett koordinatsystem.

gynnsamt utfall

Det eller de möjliga utfall som man vill uppmärksamma vid ett slumpförsök.

144 Exempel: I en påse finns 2 vita och 3 svarta kulor. Om du slumpvis tar en kula och vill beräkna sannolikheten för att den tagna kulan är vit, så finns det 2 gynnsamma utfall.

hektar

Areaenhet som motsvarar arean av en kvadrat med sidan 100 meter.

händelse

Ett eller flera möjliga utfall vid ett slumpförsök.

klot

178

212 61

Exempel: Du kastar en sexsidig tärning. Sannolikheten för händelsen 1 ”1 eller 2” är  __   . 3

210

En kropp, som begränsas av en yta där varje punkt har samma avstånd till en given punkt, medelpunkten.

begreppslista

299

Bedömnings matriser 1 Tal Förmågor

Högre kvalitet

Problemlösning Hur väl eleven förstår problemet och väljer strategier.

●●Väljer en strategi för att avgöra några uttrycks storlek.

●●Väljer en strategi för att avgöra de flesta uttrycks storlek.

●●Väljer en strategi för att avgöra alla uttrycks storlek.

Begrepp Hur väl eleven visar kunskaper om matematiska begrepp. Hur väl eleven ser samband mellan begrepp.

●●Använder något korrekt begrepp vid resonemang om storleksordning, till exempel negativa tal.

●●Använder flera korrekta begrepp vid resonemang om storleksordning, till exempel negativa tal, täljare, nämnare.

●●Använder korrekta begrepp vid resonemang om storleksordning. Till exempel begrepp som motsatt tal, förlänga, förkorta, negativt tal, täljare, nämnare.

Metod Hur väl eleven använder lämpliga metoder för att göra beräkningar.

●●Beräknar värdet av något uttryck i uppgift C.

●●Beräknar värdet av de flesta uttryck i uppgift C.

●●Beräknar värdet av alla uttryck i uppgift C.

Resonemang Hur väl eleven följer och för matematiska resonemang samt tolkar resultatet och drar slutsatser.

●●För resonemang om storleken för några uttryck.

●●För resonemang om storleken för de flesta uttryck.

●●För resonemang om storleken för alla uttryck.

Kommunikation Hur väl eleven använder matematikens olika uttrycksformer.

●●Redovisningen omfattar en del av uppgiften och eleven använder ett i huvudsak fungerande språk.

●●Redovisningen omfattar större delen av uppgiften och eleven använder ett ändamålsenligt matematiskt språk.

●●Redovisningen omfattar hela uppgiften och eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

Kvalitén på elevens redovisning.

306

Lägre kvalitet

bedömningsmatriser

2 Geometri Förmågor

Lägre kvalitet

Högre kvalitet

Problemlösning Hur väl eleven förstår problemet och väljer strategier.

●●Väljer en strategi för att lösa problemet i A, men kan ha utelämnat cirkeln.

●●Väljer en strategi för att lösa problemen i A och B.

Begrepp Hur väl eleven visar kunskaper om matematiska begrepp. Hur väl eleven ser samband mellan begrepp.

●●Visar grundläggande kunskaper om begreppet area och omkrets och innebörden av de geometriska figurerna genom att rita en korrekt kvadrat, rektangel och triangel.

●●Visar goda kunskaper om begreppet area och omkrets och använder de flesta begrepp korrekt, även för cirkelns radie, diameter och omkrets.

Metod Hur väl eleven använder lämpliga metoder för att göra beräkningar.

●●Väljer i huvudsak fungerande metoder för att beräkna arean korrekt för fyrhörningarna och en triangel.

●●Beräknar arean av samtliga figurer korrekt.

Resonemang Hur väl eleven följer och för matematiska resonemang samt tolkar resultatet och drar slutsatser.

●●För ett enkelt resonemang om något samband mellan figurernas form och areans storlek.

●●För ett utvecklat resonemang om några samband mellan figurernas form och area, cirkeln kan innehålla brister.

●●För ett väl utvecklat resonemang om sambanden mellan figurernas form och area och motiverar även sambanden för cirkeln.

Kommunikation Hur väl eleven använder matematikens olika uttrycksformer.

●●Redovisningen omfattar en del av uppgiften och eleven använder ett i huvudsak fungerande språk.

●●Redovisningen omfattar större delen av uppgiften och eleven använder ett ändamålsenligt matematiskt språk.

●●Redovisningen omfattar hela uppgiften och eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

Kvalitén på elevens redovisning.

●●Visar mycket goda kunskaper om sambandet mellan en figurs sidlängder och dess area och använder med säkerhet relevanta begrepp för samtliga geometriska figurer.

3 Algebra Förmågor

Lägre kvalitet

Högre kvalitet

Problemlösning Hur väl eleven förstår problemet och väljer strategier.

●●Eleven använder en fungerande metod för att beräkna ett värde på omkretsen eller arean.

●●Eleven använder en fungerande metod för att beräkna olika värden på omkretsen eller arean.

Begrepp Hur väl eleven visar kunskaper om matematiska begrepp. Hur väl eleven ser samband mellan begrepp.

●●Visar förståelse för begreppet omkrets eller area genom att skriva något uttryck korrekt.

●●Visar förståelse för begreppen omkrets och area genom att skriva uttryck för både omkrets och area korrekt.

Metod Hur väl eleven använder lämpliga metoder för att göra beräkningar.

●●Skriver ett korrekt uttryck för figurens omkrets eller area.

●●Skriver uttryck för figurens area respektive omkrets korrekt för att beräkna vilka värden omkretsen respektive arean kan ha.

●●Redovisningen omfattar en del av uppgiften och eleven använder ett i huvudsak fungerande språk.

●●Redovisningen omfattar större delen av uppgiften och eleven använder ett ändamålsenligt matematiskt språk.

●●Eleven använder en väl fungerande metod för att beräkna olika värden på omkretsen och arean.

Resonemang Hur väl eleven följer och för matematiska resonemang samt tolkar resultatet och drar slutsatser. Kommunikation Hur väl eleven använder matematikens olika uttrycksformer. Kvalitén på elevens redovisning.

●●Redovisningen omfattar hela uppgiften och eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

bedömningsmatriser

307

Lärarguide

Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med didaktiska kommentarer, tips och inspiration. Här hittar ni bland annat:

●● Presentation av syfte och innehåll till

●● Förslag på start- och slutuppgifter som

varje avsnitt

●● Tydliga lärandemål

ger underlag till ett formativt arbetssätt

●● Hänvisningar till extra material i form av aktiviteter, arbetsblad, litteraturtips

●● Kommentarer till elevuppgifter och förslag på hur de kan utvecklas och användas i klassrummet

●● Vanliga fel och missuppfattningar

●● Repetition – blandade uppgifter på flera nivåer

●● Verktygslådan – en uppslagsdel

Matte Direkt 8 består av:

●● Elevbok ●● Träningshäften ●● Lärarguide ●● Arbetsblad, prov och aktiviteter Matte Direkt 8 finns även som digitalt läromedel för lärare och elever samt som onlinebok.

ISBN 978-91-523-5087-4