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1.
IDENTIFICACION DE LA GUIA DE APRENDIZAJE♦
Código: SEGÚN INSTRUCTIVO CODIFICACION Regional: Norte de Santander Estructura curricular o Programa de Formación MANTENIMIENTO ELECTRONICO E I STRUMENTAL INDUSTRIAL
Fecha: (Día – Mes – Año): 22-05-2010 Centro de formación: C.I.E.S Duración en horas, etapa Lectiva Duración en horas, etapa productiva Total en horas, de la Formación
18 MESES 6 MESE 24 MESES
Módulo de Formación:
Corregir de un bien los sistemas electrónicos e instrumental industrial de acuerdo con sus especificaciones técnicas Unidad de Aprendizaje: NOMBRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE DEL MODULO DE FORMACION
Duración en horas: 960 Duración en horas: 000
Modalidad(es) de formación: PRESENCIAL y/o DESESCOLARIZADA Resultados de Aprendizaje: Ejecutar actividades de recuperación o reparación de sistemas
electrónicos y de instrumental industrial (hardware y software) de acuerdo con la dinámica de la empresa Actividad de Enseñanza – Aprendizaje – Evaluación:
Ejecutar actividades de recuperación o reparación de sistemas electrónicos y de instrumental industrial (hardware y software) de acuerdo con la dinámica de la empresa
Duración en horas: 80
2. INTRODUCCION
LA INTRODUCCION DEBE CONTENER: El primer paso para hallar la respuesta natural del circuito RLC paralelo es derivar la ecuación diferencial que debe satisfacer el voltaje. Recuerde que decidimos escoger primero el voltaje porque es el mismo entonos los componentes. La corriente de una rama se puede determinar después de encontrar el voltaje, utilizando la relación corriente-voltaje del componente de la ♦
Manual de Diseño Curricular para el Desarrollo de Competencias en la Formación Profesional Integral, Versión 2, Agosto 2005. Anexo F: Orientaciones para la elaboración de guías de aprendizaje.
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rama. Obtenemos fácilmente la ecuación diferencial del voltaje sumando las corrientes que salen del nodo superior, donde cada corriente se expresa como una función del voltaje desconocido Durante la clase magistral el instructor demuestra la forma del análisis que se debe tener en cuenta para el desarrollo de una actividad problema como también las aplicaciones y como desarrollar las practicas referente a los circuitos RLC. El aprendiz utilizando la metodología por proyectos debe desarrollar los primeros pasos con el fin de lograr los diseños del proyecto de formación
3. PLANTEAMIENTO DE LAS ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Instructor El primer paso para encontrar la respuesta natural del circuito RL paralelo es calcular las raices de la ecuación característica. Después de determinara las raíces, sabrá de inmediato si la respuesta esta subamortiguada, sobreamortiguada o amortiguada críticamente. Para encontrar las respuestas natural y aun escalón de circuito RLC en serie y en paralelo, es necesario que sepa resolver una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Para encontrar dichas soluciones es fundamental comprenderlos siguientes conceptos. •
La naturaleza de la solución depende de las raíces de la ecuación característica
•
La ecuación característica de los circuitos RLC en serie y en paralelo tiene la forma S² + 2αS+ ωo² = 0
Donde: α=1/2RC Para circuito paralelo α=R/2L Para circuito serie ωo= 1/LC Tanto para los circuitos en serie como en paralelo. •
Las raíces de la ecuación características son: S1,2 = -α ± √ α² - ωo²
•
Lastres formas de la solución se denominan
Sobreamortiguada α² > ωo² Subamortiguada α² < ωo² Amortiguada críticamente α² = ωo² Alumno Teniendo en cuenta lo planteado en los siguientes enunciados desarrolle los cálculos solicitados con el fin de familiarizarnos con el diseño del proyecto de formación.
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a) La resistencia, inductancia y capacidad en un circuito RLC en paralelo son de 1000Ω, 12,5 H Y 2µF, respectivamente. • •
Calcular las raices de la ecuación que describe la respuesta en voltaje del circuito. ¿la respuesta será subamortiguada, sobreamortiguada o amortiguada críticamente.
b) El valor inicial del voltaje v en un circuito RLC en paralelo es cero, y el valor inicial de la corriente en la bobina es de15 mA. La expresión de la corriente en el condensador es Ic(t)= A1е-100t+A2e-40t Cuando R=200Ω. Encuentre. •
El valor numérico de α, ωo, L, C, A1 y A2
•
La expresión de V(t)
•
La expresión de IR
•
La expresión de IL
c) En un circuito RLC paralelo, la energía inicial almacenada es de 11.76 mJ. El voltaje inicial en el condensador es de 56 V y la fuente de corriente continua suministra 7 mA. Los elementos del circuito son R = 100KΩ, L=20H y C=2,5µF. •
Encuentre la solución de IL
•
Encuentre la solución de V(t)
•
Determine el valor máximo de V (t).
d) El voltaje en el condensador de 0,1 µF de un circuito RLC serie se describe de la siguiente manera. Después de que el interruptor ha estado cerrado durante varios segundos, el voltaje permanece constante en 100 V. La primera vez que el voltaje excede los 100V llega aun pico de 163,84V. Esto ocurre (Π/7)ms después de cerrar el interruptor. La segunda vez que el voltaje excede los 100V llega a un pico de 126,02 V. Este segundo pico tiene lugar (3Π/7)ms después de cerrar el interruptor. En el momento de cerrar el interruptor no hay energía almacenada en el condensador ni en el inductor. Encuentre los valores numéricos de R y L. e) La energía inicialmente almacenada en el circuito RLC serie con interruptor es cero. Halle Vo(t) si el la fuente de voltaje es de 60V, L=82,5mh R=250Ω y C=62,5µF.
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4. EVALUACION EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Evidencias de Desempeño
Establecer procedimientos de operación, fabricación o diseño a partir de las causas de falla o avería. Establecer procedimientos de operación, fabricación o diseño a partir de las causas de falla o aver.
CRITERIOS DE EVALUACION
TECNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACION
Analiza las fuentes de energía de los diferentes sistemas tecnológicos que intervienen en el funcionamiento de la máquina tomando las correspondientes mediciones para verificar su correcto funcionamiento
RESPUESTA A PREGUNTAS POR PROYECTO.
5. AMBIENTES DE APRENDIZAJE, MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS
Ambientes TALLER DEL CENTRO CIES Ayudas Didácticas INTERNET, MANUALES, MAQUINARIA Equipos TORNO, FRESADORAS, TALADROS INDUSTRIALES Instrumentos MULTIMETROS, OSCILOSCOPIOS ANALIZADORES DE POTENCIA (LABVOL) Material textual MANUAL DELOS DIFERENTES EQUIPOS. MANUAL DE CIRCUITOS ELECTRICOS.
6. GLOSARIO • •
RESPUESTA NATURAL. CIRCUITO RLC
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• • • •
ESCALON SOBREAMORTIGUADA SUBAMOTIGUADA .AMORTIGUADA CRITICAMENTE.
7. BIBLIOGRAFIA
º CIRCUITOS ELECTRICOS DE JAMES W. NILSSON..
Elaborada por: Ing. HERNANDO GOMEZ PALENCIA
Fecha
Ajustada por:
Fecha
22
05
2010
DESARROLLO a.Como se puede observar en la figura 1, tenemos un circuito RLC, en el cual obtendremos su tipo de respuesta de voltaje, y algunos parámetros.
FIGURA 1. CIRCUITO RLC, EN RESPUESTA NATURAL. Inicialmente procedemos hallar ω0 y α , para determinar que tipo de respuesta de voltaje es:
α=
1 2 RC
ω0 =
1 LC
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α=
1 = 250rad / seg 2 * 1Κ * 2µ
ω0 =
1 2 µ * 12.5
= 200rad / seg
v ( t ) = A1ε S1t + A2 ε S 2t
Como α> ω0, tenemos una respuesta de voltaje sobreamortiguada, hallamos las raices características de esta respuesta:
S 1 = −α + α 2 − ω 0
2
S 2 = −α − α 2 − ω 0
2
Reemplazando ω0 y α en cada una de las ecuaciones anteriores, para S1 y S2, obtenemos:
S 1 = −250 + (250) 2 − (200) 2 = −250 + 150 = −100rad / seg
S 2 = −250 − (250) 2 − (200) 2 = −250 − 150 = −400rad / seg
S1 y S2 son raices reales y distintas como se pudo ver anteriormente. b. Se tiene un circuito RLC, como se muestra en la figura 2, cuyo valor inicial de corriente es (il=15mA), y la ecuación de corriente en el condensador se representa de la siguiente manera: Ic(t)= A1е-100t+A2e-40t (Ec1.)
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FIGURA 2.CIRCUITO RLC CON RESPUESTA NATURAL
Como la corriente en la bobina es de 15mA, y el voltaje en el condensador V0 es de 0V, la corriente que circula por la resistencia es de 0Amp.
Debido a esto, podemos decir que: IC= -IO (Ec 2) De la ecuación 1 y la condición inicial de la corriente en la bobina la reemplazamos en la ecuación 2. A1ε S1t + A2 ε S 2t = − I 0
A1ε ( −100*0) + A2 ε ( −40*0 ) = −15mA A1ε ( 0 ) + A2 ε ( 0 ) = −15mA
A1 + A2 = −15mA (Ec3) Como el voltaje en la bobina es: Vl = l
di dt
Vl di = l dt
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Como el voltaje en el condensador es cero, tenemos que: 0 di = l dt di =0 dt
Derivando la ecuación 1 se tiene que: di = −100 A1ε −100 t − 40 A2 ε − 40t (Ec4) dt
Reemplazando la condición di/dt=0, en la ecuación 4,se obtiene: 0 = −100 A1ε −100*0 − 40 A2 ε −40*0 0 = −100 A1ε 0 − 40 A2 ε 0
0 = −100 A1 − 40 A2 (Ec5) De la ecuación 5, despejo A1, se tiene que:
A1 =
− 40 A2 100
A1 = −
4 A2 (Ec6) 10
De la ecuación 6, reemplazo en la ecuación 3:
−
4 A2 + A2 = −15mA 10
− 4 A2 + 10 A2 = −15mA 10 6 A2 = −15mA * 10
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A2 =
− 150mA 6
A2 = −25m De la ecuación 6 obtenemos A1: 4 A1 = − * (−25mA) 10 A1 = 10m Como la respuesta es sobre amortiguada, por la forma de la ecuación de la corriente, tenemos raíces reales iguales o distintas, se hallan por la siguiente ecuación: S 1 = −α + α 2 − ω 0 (Ec7) 2
S 2 = −α − α 2 − ω 0 (Ec8) 2
De la ecuación 7, despejamos ω0 : S1 + α = + α 2 − ω 0
2
2 ( S1 + α ) 2 = α 2 − ω 0
2
S 1 + 2 S1α + α 2 = α 2 − ω 0 2
2
S 1 + 2 S1α + α 2 − α 2 = −ω 0 2
S 1 + 2 S1α = −ω 0 2
2
2
Multiplico por (-1) a ambos lados de la ecuación: 2 2 − S 1 − 2S 1α = ω 0 (Ec9) De la ecuación 9, la reemplazo en la ecuacion8:
S 2 = −α − α 2 − (− S 1 − 2 S 1 * α ) 2
S 2 = −α − α 2 + S 1 + 2 S1 * α 2
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S 2 = −α − (α + S 1 ) S 2 = −α − α − S 1 S 2 = −2α − S 1 S 2 + S 1 = −2α S 2 + S1 = −α 2 S + S1 − 2 =α 2 − S 2 − S1 =α 2 Como S1=-100 y S2=-40, tenemos que: − (−40) − (−100) =α 2 40 + 100 =α 2 140 =α 2
α = 70rad / seg Frecuencia de nepper Para hallar ω0, reemplazamos α en la ecuación 9 y obtenemos:
− (−100) 2 − (2 * (−100) * 70) = ω 0
4000 = ω 0
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S 2 = −α − (α + S 1 ) 2
− 10000 + 14000 = ω 0
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2
2
2
ω 0 2 = 4000 ω = 4000rad / seg → 63.2455rad / seg Frecuencia de resonancia Como α>ω0, le respuesta de voltaje es sobre amortiguada.
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Para hallar los valores de L y c, se calculan a través de la frecuencia de neper (α) y la frecuencia de resonancia (ω0).
α=
1 2 RC
ω0 =
1 LC
1 2 * 200 * C Despejo C y obtengo el valor del condensador: 70 =
C=
1 2 * 200 * 70
C=
1 28000 Valor del condensador
C = 35.7142µF 1
ω0 = L*
1 28000 2
L* 1 = 1 28000 ω0 L*
1 1 = 2 28000 ω 0
L=
28000 4000
L = 7H
2
Valor de la bobina
Para hallar V (t), es necesario derivar la corriente del condensador, por que según su formula dice: VL = L
di dt
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Según la ecuación 4, Ic tiene una ecuación que la representa en el tiempo, por tanto: di = −100 A1ε −100 t − 40 A2 ε −40t dt
(
V L = 7 * − 100 A1ε −100 t − 40 A2 ε −40 t
)
V L = (700 * 10 m)ε −100 t − ( 280 * −25 m)ε −40 t V L = 7ε −100 t − 7ε −40 t t≥0
Lo que corresponde al voltaje, del circuito RLC para un t≥0 V L = 7ε −100 t − 7ε −40 t Voltaje del circuito RLC
Para hallar IR , aplicamos loa ley de ohm: IR =
V (t )
IR =
R
7ε
− 7ε 200
− 100 t
− 40 t
I R = (35ε −100 t − 35ε −40 t ) mA Corriente de la resistencia
Para hallar il, aplicamos ley de nodos: Il= -IR-IC I l = −(35mε −100 t − 35mε −40t ) − (10mε −100t − 25mε −40t ) I l = −35mε −100t + 35mε −40t − 10mε −100t − (−25m)ε −40t
I l = −35mε −100t + 35mε −40t − 10mε −100t + 25mε −40t I l = (−45ε −100 t + 60ε −40t )mA Corriente de la bobina
C. Inicialmente el circuito se encuentra cerrado el interruptor, como se muestra en la figura 3, por lo que inicialmente no se tiene en cuenta la fuente de corriente.
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FIGURA 3.CIRCUITO RLC CON INTERRUPTOR CERRADO (t=0-)
Cuya energía inicial almacenada W ENERGIA =11.76mj y voltaje inicial en el condensador VC=56v. Para un t=0+ , el interruptor se abre, la fuente de corriente, ya entra a formar parte del análisis, como se ve en la figura 4.
FIGURA 4.CIRCUITO RLC CON INTERRUPTOR ABIERTO (t=0+)
Para conocer, que tipo de respuesta de voltaje presenta este circuito, hallamos la frecuencia de nepper(α) y la frecuencia de resonancia (ω0).
α= α=
1 2 RC
1 2 * 100Κ * 2.5µ
α=
1 0.5
ω0 = ω0 =
ω0 =
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1 LC 1 20 * 2.5µ 1 50 µ
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α = 2rad / seg
ω 0 = 141 .4213 rad / seg
Como ω0>α, la respuesta de voltaje es subamortiguada, cuya respuesta de voltaje y corriente se representa mediante las siguientes ecuaciones:
S1 = −α + j (ω 0 − α 2 ) (Ec1) 2
S 2 = −α − j (ω 0 − α 2 ) (Ec2) 2
Reemplazando los valores α y ω0 en las ecuaciones 1 y 2, tenemos: 1 2 − (2) 2 S1 = −2 + j 50µ
1 − 4 S1 = −2 + j 50µ
S 1 = −2 + j19996 1 2 − (2) 2 S 2 = −2 − j 50µ
1 − 4 S 2 = −2 − j 50µ S 2 = −2 − j 19996
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Además de hallar S1 Y S2 , también se debe calcular la velocidad angular amortiguada (ωd).
ω d = (ω 0 2 − α 2 ) 2
1 − (2) 2 ωd = 50µ
ω d = 20000 − 4
ω d = 19996 → 141.4072rad / seg Como la respuesta de voltaje es: V( t ) = B1ε −αt cos(ω d t ) + B2 ε −αt sen(ω d t ) Como la condición inicial, Vc=56v, entonces: 56 = B1ε −α *0 cos(ω d * 0) + B2 ε −α *0 sen(ω d * 0) 56 = B1ε 0 cos(0) + B2 ε 0 sen(0)
56 = B1 * 1 + B2 * 0 B1 = 56 Para aplicar la segunda condición es necesario conocer los valores de las corrientes de las ramas del circuito RLC. iR =
Vc R
iR =
56 100Κ
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i R = 0.56mA Como la corriente inicial en la bobina es cero y la fuente de corriente continua es de 7mA, la corriente en el condensador se halla de la siguiente manera: I = i R + iC + i L 7 mA = 0.56mA + iC + 0 iC = −0.56mA + 7 mA iC = 6.44mA Como ic = C
dv dt
ic dv = C dt
6.44m dv = 2.5µ dt dv = 2576v / s dt dV = B1 * (ε −αt * −α * cos(ω d t ) + ε −αt * ω d * − sen(ω d t )) + B2 (ε −αt * −α * sen(ω d t ) + ε −αt * ω d * cos(ω d t )) dt dV = B1 * (−α * ε −αt cos(ω d t ) + ω d ε −αt * − sen(ω d t )) + B2 (−αε −αt * sen(ω d t ) + ω d ε −αt * cos(ω d t )) dt
Reemplazando en la segunda condición, tenemos que: 2576 = B1 * ( −α * ε 0 cos(0) + ω d ε 0 * − sen(0)) + B2 ( −αε 0 * sen(0) + ω d ε 0 * cos(0)) 2576 = B1 * ( −α * 1 * 1 + ω d 1 * 0) + B 2 ( −α * 1 * 0 + ω d * 1 * 1) 2576 = B1 * ( −α + 0) + B2 (0 + ω d ) 2576 = B1 * (−α ) + B2 (ω d ) 2576 = −αB1 + ω d B2 (Ec3) Como B1=56, tenemos en la ecuación 3 para hallar B2: 2576 = −2 * 56 + 19996 B2 2576 = −112 + 19996 B2 2576 + 112 = B2 19996
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B2 = 19.00893127 → 19
Como ya se hallaron las constantes B1 Y B2, la ecuación queda escrita de la siguiente manera:
V( t ) = 56ε −2t cos(141.41t ) + 19ε −2t sen(141.41t ) t≥0
Para hallar IL, la calculamos de acuerdo a la respuesta de voltaje: I l = I + B1ε −αt cos(ω d t ) + B2ε −αt sen(ω d t )
0 = 7m + B1ε −α *0 cos(ω d * 0) + B2 ε −α *0 sen(ω d * 0)
0 = 7m + B1 * 1 * 1 + B2 * 1 * 0 0 = 7 m + B1 B1 = −7m dI l = B1 * ( −α * ε −αt cos(ω d t ) + ω d ε −αt * − sen(ω d t )) + B2 ( −αε −αt * sen(ω d t ) + ω d ε −αt * cos(ω d t )) dt
dI l Vl = dt L dI l 56 = dt 20 dI l = 2.8 dt 2.8 = B1 * (−α * ε 0 cos(0) + ω d ε 0 * − sen(0)) + B2 (−αε 0 * sen(0) + ω d ε 0 * cos(0)) 2.8 = B1 * ( −α * 1 * 1 + ω d * 1 * 0) + B2 (−α * 1 * 0 + ω d * 1 * 1) 2.8 = B1 * (α + 0) + B 2 (0 + ω d ) 2.8 = αB1 + ω d B2
2.8 = 2 * −7m + 19996 B2
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2.8 = −0.014 + 19996 B2 2.8 + 0.014 = + 19996 B2 2.814 = B2 19996 B2 = 19.89997492 m → 19.89m
I l = 7m − 7mε −2t cos(141.41t ) + 19.89mε −2t sen(141.41t ) t≥0 El valor máximo en el voltaje se obtiene derivando V(t) y reemplazando para un t=0. dv = −αB1 + ω d B2 dt dv = −2 * 56 + 141.41 * 19.0089 dt
dv = −112 + 2688.048 dt dv = 2576.04V / s dt
e.Como la respuesta es natural y a un escalón de un circuito RLC en serie (ver figura 5), calculamos los valores de α y ω0, para conocer que tipo de respuesta de voltaje:
FIGURA 5.CIRCUITO RLC SERIE CON INTERRUPTOR ABIERTO (t=0-)
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α=
R 2L
ω0 =
1 LC
Como conocemos que: la fuente voltaje=60v, R=250Ω, L=82.5mH y C=62.5µF, podemos hallar los valores de α y ω, para conocer que tipo de respuesta escalón es: Tenemos que:
α=
250 2 * 82.5m
1
ω0 =
−3
(82 .5 * 1 * 10 ) * (62 .5 * 1 * 10 − 6 )
ω 0 = 440 .3855 rad / seg
α = 1.51Κrad / seg
Como α> ω0, tenemos una respuesta de voltaje sobreamortiguada, hallamos las raíces características de esta respuesta:
S 1 = −α + α 2 − ω 0
2
S 2 = −α − α 2 − ω 0
2
Reemplazando ω0 y α en cada una de las ecuaciones anteriores, para S1 y S2, obtenemos:
S1 = −(1.5 * 1 * 10 3 ) + (1.5 *1 *10 3 ) 2 − (440.3855) 2 = −1500 + 1433.897 = −66.102rad / seg
S 2 = −(1.5 *1 *10 3 ) − (1.5 * 1 * 10 3 ) 2 − (440.3855) 2 = −1500 − 1433.897 = −2933.87 rad / seg
S1 y S2 son raíces reales y distintas como se pudo ver anteriormente.
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Fecha: Mayo de 2006
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GUIA DE APRENDIZAJE MEII 280501018 ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE-EVALUACION
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Como ya se conoce que tipo de respuesta de voltaje es podemos hallar la expresión del voltaje Vc (t) para t≥0 V( t ) = V F + A1ε S1t + A2 ε S 2t V( t ) = 60 + A1ε −66.102 t + A2 ε −2933 .87 t
(Ecuación del voltaje)
Como no hay energía almacenada, Vo=0v y Io=0Amp: 0 = 60 + A1ε 0 + A2 ε 0 − 60 = A1 + A2 (Ec 1)
Como
ic = C
dv dt
Como io=0, la corriente es la misma por que esta en serie, ic=0, tenemos: 0 dv = C dt
dv =0 dt
Derivamos la ecuación del voltaje: dV ( t ) dt dV ( t ) dt
= 0 + A1 * ( −66.102 ) * ε − 66.102 t + A2 * ( −2933 .87 ) * ε − 2933 .87 t = ( −66.102 A1 ) * ε − 66.102 t + ( −2933 .87 A2 ) * ε − 2933 .87 t
Como
dv =0 dt
0 = ( −66 .102 A1 ) * ε 0 + ( −2933 .87 A2 ) * ε 0
0 = ( −66.102 A1 ) * 1 + ( −2933 .87 A2 ) * 1 0 = −66.102 A1 − 2933 .87 A2
(EC 2)
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De la ecuación 2 despejo A1: 66 .102 A1 = −2933 .87 A2 − 2933 .87 A1 = A2 66 .102 A1 = −44 .38398233 A2 (EC 3)
Reemplazo la ecuación 3 en la ecuación 1: − 60 = −44.38398233 A2 + A2
− 43.38398233 A2 = −60 A2 =
Fecha: Mayo de 2006
− 60 − 43.38398233
A2 = 1.382998904 De la ecuación 3 hallamos A1: A1 = −44 .38398233 * (1.382998904 ) A1 = −61.3829989
Como ya conocemos A1 y A2 , podemos escribir la ecuación del voltaje: V( t ) = 60 − 61.3829989 ε −66.102 t + 1.382998904 ε −2933 .87 t (V) t≥0
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