Introducci´ on al pensamiento matem´ atico Autoreflexiones
Emmanuel Torres Mar´ın
´ UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ MEXICO D.F. Marzo 2015
1.
Unidad 1 Pruebe mediante una tabla de verdad que ¬q ∧ (p → q) → ¬p es una tautolog´ıa
1.1.
p
q
(¬q
∧
(p → q))
→
¬p
Valor de Verdad(→)
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1.2.
¿D´ onde puedes aplicar la tautologia del ejercicio anterior?, da un ejemplo
Esta tautolog´ıa corresponde a la regla de inferencia Modus Tollens ((p → q) ∧ ¬q, si usamos las propiedades conmutativas), es decir que para un sistema de premisas p → q si se niega q entonces se puede concluir con la negaci´on de p. Un ejemplo de este tipo de razonamiento indirecto se muestra a continuaci´on Si Neo toma la pastilla azul entonces se queda en la Matrix Las proposiciones que conforman el enunciado anterior son: p: Neo toma la pastilla azul q: Neo est´ a en la Matrix De manera que haciendo uso de la tautolog´ıa podemos concluir que Premisa 1:
Si Neo toma la pastilla azul se queda en la Matrix
Premisa 2:
Neo no est´ a en la Matrix
Conclusi´ on:
Si Neo no tom´ o la pastilla azul
Un corolario de esta conclusi´ on es que Neo tom´ o la pastilla roja
1.3.
¿De qu´ e nos sirven las reglas de inferencia?.
En un principio las reglas de inferencia nos permiten realizar demostraciones de argumentos que concidan con la estructura de alguna de ellas, en este sentido podemos usar las reglas 1
de inferencia para la construcci´on de argumentos en una demostraci´on formal. En segunda instancia nos permite establecer la veracidad de una conclusion a partir de las premisas que se tengan.
1.4.
Consideramos β como el conjunto de todos los n´ umeros enteros y como el universo del discurso. Sea x ∈ β y P (x) definido como ”x es multiplo de 2”. Determine el valor de verdad de la proposicion: para todo xP (x).
Sabemos que β = {x | x ∈ Z} y que la proposici´on P establece que ∀x, x = 2m, m ∈ Z, luego entonces la porposici´ on puede expresarse como Todos los n´ umeros enteros son m´ ultiplos de 2. Sin embargo, consideremos el conjunto de los n´ umeros primos P, es claro que P ∈ Z y por lo tanto P ∈ β, sin embargo, por definci´on los n´ umeros primos solo son divisibles entre 1 y si mismos, excluyendo al propio 2, ning´ un n´ umero primo es m´ ultiplo de dos, lo que contradice la proposici´on de que todos los n´ umeros enteros son m´ ultiplos de dos, por lo tanto la proposici´on xP (x) es falsa. De una manera m´ as formal P: x es un n´ umero entero Q : x es un m´ ultiplo de 2 De manera que de acuerdo con la proposici´on (P → Q), para todo x. Pero para x = 3, que definitivamente es un entero, se tiene que ¬Q, luego entonces ((P → Q) ∧ ¬Q) → ¬P y entonces 3 no es un n´ umero entero, lo que claramente es una contradicci´on.
1.5.
¿Qu´ e nos quiere decir la Actividad 4?
La actividad anterior nos indica que los n´ umeros enteros se pueden clasificar en pares (m´ ultiplos de 2) e impares (no son m´ ultiplos de 2)
1.6.
¿Cu´ al crees que es la esencia de la L´ ogica Matem´ atica?.¿ Cu´ al es su objeto?
La esencia de la L´ ogica matem ´atica la constituyen los sistemas formales y los sistemas de demostraci´ on formal, como abstracciones de los procesos racionales. Su objeto es establecer 2
modelos y reglas de interacci´ on que permitan determinar la validez de alg´ un argumento dentro de un sistema formal.
Referencias [1] Mellema, Gregory, ((formal language)) (en ingl´es), The Oxford Companion to Philosophy, Oxford University Press, consultado el 13 de octubre de 2009 [2] Jacinto Choza Armenta (1988). Manual de Antropolog´ıa Filos´ofica. RIALP. ISBN 8432124621.
3