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Introducci´ on al pensamiento matem´ atico Unidad 3.Teor´ıa de Conjuntos Actividad 1. Operaciones con conjuntos

Emmanuel Torres Mar´ın

´ UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ MEXICO D.F. Marzo 2015

1.

Instrucciones

Construye conjuntos que sean resultado de la uni´on, intersecci´on, diferencia, complemento y producto cartesiano de distintos conjuntos.

Sean los conjuntos: A = {x | x es un m´ ultiplo de 2}, B = {y | y es un m´ ultiplo de 4} y C = {z | z es un m´ ultiplo de 6} Determina:

1. A ∪ (B ∪ C) 2. A ∩ (B ∩ C) 3. A–(B ∪ C) 4. A–(B ∩ C) 5. A × (B × C) 6. El complemento de B y de C con respecto al conjunto A (tomando como conjunto universal al conjunto A).

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2.

Ejercicio 1

Antes de comenzar conviene establecer algunas relaciones entre A, B y C. A partir d ela definici´ on de n´ umero par, el conjunto A puede redefinirse como A = {x | x es par} = {x | x = 2m, m ∈ Z+ }, ahora bien, recordando que los productos (y por extensi´on los m´ ultiplos) de cualquier n´ umero par tambi´en son pares, podemos decir que B ⊂ A y C ⊂ A, debido a que 4 y 6 son p´ ares y por consecuencia tambi´en sus m´ ultiplos.

a Figura 1: B y C son subconjuntos de A

Dicho esto se puede definir D =B∪C D = {x | x ∈ B ∧ x ∈ C} D = {x | x es m´ ultiplo de 4 o m´ ultiplo de 6} D = {x | x = 4m ∨ x = 6n; m, n ∈ Z+ }

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Figura 2: B ∪ C

Resulta claro que tambi´en D ⊆ A, debido a que A ∪ D = {x | x = 2l ∨ x = 4m ∨ x = 6n; l, m, n ∈ Z+ } A ∪ D = {x | x = 2m; m ∈ Z+ } Por lo que A = A ∪ D = A. Luego entonces A ∪ (B ∪ C) = A

Figura 3: A ∪ (B ∪ C) = A

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3.

Ejercicio 2

En este caso definimos D =B∩C D = {x | x es m´ ultiplo de 4 y m´ ultiplo de 6} D = {x | x = 4m ∧ x = 6n; m, n ∈ Z+ } D = {x | x = 4m ∧ x = 6n; m, n ∈ Z+ } Un n´ umero que es m´ ultiplo de dos n´ umeros a y b es por fuerza m´ ultiplo del m´ınimo com´ un m´ ultiplo (mcm) de a y b , en el caso de 4 y 6 el mcm es 12, por lo que se puede decir que:

D = {x | x es m´ ultiplo de 12} D = {x | x = 12m; m ∈ Z+ } Y debido a que 12 es n´ umero par entonces D ⊂ A

Figura 4: D = B ∩ C

De tal forma que A ∩ (B ∩ C) puede expresarse como A ∩ (B ∩ C) = {x | x es m´ ultiplo de 12 y es par}

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Por definici´ on 12 es par y tambi´en los son sus m´ ultiplos, por lo que se puede concluir que A ∩ (B ∩ C) = D

Figura 5: A ∩ (B ∩ C) = D

4.

Ejercicio 3

Para este caso, definiendo D = B ∪ C = {x | x es m´ ultiplo de 4 o 6} y recordando lo establecido en la secci´ on 2, se tiene que A − D puede expresarse como: A − D = {x | x ∈ A ∧ x ∈ / D} A − D = {x | x es par, no es m´ ultiplo de 4 y no es m´ ultiplo de 6}

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Figura 6: A − D

5.

Ejercicio 4

Recordando lo definido en la secci´on 3 se puede definir D = B∩C = {x | x es m´ ultiplo de 12}.

A partir de esta definici´ on se puede definir: A − D = {x | x ∈ A ∧ x ∈ / D} A − D = {x | x es par y no es m´ ultiplo de 12}

Figura 7: A − D

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6.

Ejercicio 5

De la definici´ on de producto cartesiano, se puede expresar D =B×C D = {(b, c) | b ∈ B ∧ c ∈ C} D = {(b, c) | b es m´ ultiplo de 4 ∧ c es m´ ultiplo de 6} D = {(b, c) | b = 4m ∧ c = 6n; m, n ∈ Z+ } Y a partir de esta definici´ on se puede establecer que A × D = {(a, b, c) | a = 2l, b = 4m, c = 6n | l, m, n ∈ Z+ }

7.

Ejercicio 6

En este caso el enunciado El complemento de B y de C con respecto al conjunto A (tomando como conjunto universal al conjunto A). est´a compuesto de varias partes, en un principio que el universo sea A quiere decir que B ⊂ A y C ⊂ A, representado como en la figura:

Figura 8: B ⊂ A y C ⊂ A

Lo que es una extensi´ on de lo establecido en la secci´on 2. Ahora bien el complemento de B y C, se puede expresar como: 7

(B ∩ C)c = B c ∪ C c Luego entonces

B c = {x | x no es m´ ultiplo de 4} C c = {x | x no es m´ ultiplo de 6} Y en consecuencia

B c ∪ C c = {x | xno es m´ ultiplo de 4 o ni es m´ ultiplo de 6} El resultado anterior se puede simplificar si recordamos que de la secci´on 3 sabemos que (B∩C) = {x | x m´ ultiplo de 12}, luego entonces (B∩C)c = {x | x no es m´ ultiplo de 12}, recordando que el universo es A, entonces conlcuimos que (B ∩ C)c = {x | x es par y no es m´ ultiplo de 12}

Figura 9: (B ∩ C)c = {x | x es par y no es m´ ultiplo de 12}

Referencias [1] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009.

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