Introducci´ on al pensamiento matem´ atico Autoreflexiones
Emmanuel Torres Mar´ın
´ UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ MEXICO D.F. Marzo 2015
1.
Unidad 3
1.1.
¿A que se debe que la uni´ on en teor´ıa de conjuntos coincida con la disyunci´ on en la l´ ogica proposicional?
En l´ ogica proposicional que establece el valor de verdad entre dos proposiciones como verdadero cuando cualquiera de las dos proposiciones es verdadera, en el caso de conjuntos, Un conjunto es una colecci´ on de objetos que pueden o no tener alguna caracter´ıstica en com´ un, si consideramos esta caracter´sitica como una proposici´on, est´a claro que los elementos del conjunto cumplira´an o no con dicha proposici´on (verdadero o falso). As´ı pues la union de dos conjuntos es la colecci´on de objetos que cumplen con cualquiera de las d´so proposiciones, lo que es un an´alogo de la disyunci´on en l´ogica proposicional.
1.2.
En la p´ agina 5 del PDF U3. Teor´ıa de conjuntos ¿Es cierto que Los √ elementos (todos) de los numeros irracionales son: I = { p donde p es un entero positivo}
√ Es falso, de acuerdo con esto, I = { p | p ∈ Z+ }, sin embargo para el caso x = 4, es claro √ que 4 ∈ Z+ y por lo tanto 4 ∈ I, lo que significa que 2 ∈ I. Sin embargo, la definici´ on de n´ umero irracional nos dice que un n´ umero irracional es todo aquel que no puede ser expresado como una fracci´on 2=
2 1.
m n,
y 2 puede ser expresado como
Luego entonces I contiene un elemento que no es irracional y por ende no representa
al conjunto de los n´ umeros irracionales.
1.3.
Cuales son las diferencias o similitudes de las leyes de conjuntos y las reglas de inferencia
En un principio, ambos conceptos presentan las 3 propiedades b´asicas:
Propiedad Conmutativa. Propiedad Asociativa. Propiedad Distributiva. Elemento neutro aditivo 1
Elemento neutro multiplicativo Doble negaci´ on
As´ı mismo ambas teor´ıas presentan operaciones an´alogas Uni´ on ≡ Disyunci´ on inclusiva Intersecci´ on ≡ Disyunci´ on inclusiva Complemento ≡ Negaci´ on Equivalencia ≡ Bicondicional As´ı mismo en ambos casos se encuentran las Leyes de Morgan. En cuanto a sus diferencias, la teor´ıa de conjuntos presenta la operaci´on de producto caartesiano , subconjuntos y la diferencia de conjuntos, aunque esta u ´ltima peude representarse como una intersecci´ on. Por su parte, las reglas de inferencia presentan varias leyes y proipiedades que no se encuentran en la teor´ıa de conjuntos
Modus ponens Modus tollens Regla de simplificaci´ on Regla de adjunci´ on Ley de silogismo hipot´etico Ley de adici´ on Ley de simplificaci´ on disyuntiva Ley del silogismo disyuntivo Leyes conmutativas Leyes de las proposiciones bicondicinales
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Referencias [1] Mellema, Gregory, ((formal language)) (en ingl´es), The Oxford Companion to Philosophy, Oxford University Press, consultado el 13 de octubre de 2009 [2] Jacinto Choza Armenta (1988). Manual de Antropolog´ıa Filos´ofica. RIALP. ISBN 8432124621.
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