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Introducci´ on al pensamiento matem´ atico Unidad 2. M´ etodos de demsotraci´ on Act.1. Caracter´ısticas de los m´ etodos de demostraci´ on

Emmanuel Torres Mar´ın

´ UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ MEXICO D.F. Febrero 2015

1.

Instrucciones Investiga las caracter´ısticas que tienen cada uno de los m´etodos de demostraci´ on.

Presenta un ejemplo de cada uno de ellos y argumenta las razones por las cu´ales se desarrolla la demostraci´ on por ese m´etodo.

Recuerda que debes revisar y comentar las aportaciones de tus compa˜ neros(as).

2.

Introducci´ on

Antes de comenzar con la definici´on de los tipos de demostraciones, convendr´ıa definir en que consiste una demostraci´ on, de acuerdo con [1]

"Una prueba es la demostraci´ on de la validez de alguna proposici´ on matem´ atica precisa "

La necesidad de contar con medios de demostraci´on de las diferentes proposiciones matem´ aticas, permea los inicios de la civilizaci´on, siendo la cultura griega la m´as representativa, sin embargo el paso del tiempo a refinado el proceso,. en este sentido una demostraci´ on t´ıpica consiste en una secuencia de premisas cuyo valor de verdad (verdadero o falso) puede derivarse a partir de las otras, entendiendo por derivar, el uso de reglas l´ogicas basadas en tautolog´ıas, recordemos el caso de Juan [2]. Para estos efectos juegan un papel fundamental algunos conceptos como son: los axiomas (Proposiciones tan claras y evidentes que se admiten sin demostraci´ on [3]) y teoremas (Proposiciones que se pueden demostrar a partir de los axiomas[3]).

Los m´etodos cl´ asicos de demostraci´on de acuerdo con [4], son:

Demostraci´ on directa Demostraci´ on por contra ejemplo Demostraci´ on por Contradicci´on o reducci´on al absurdo Demostraci´ on por contraposici´on Demostraci´ on por Inducci´on 1

Vale decir que una misma proposici´on se puede demostrar por varios m´etodos, la elecci´ on de un m´etodo u otro obedece en un principio a la forma can´onica del problema y en otro plano el corpus de conocimientos del demostrador.

3.

3.1.

Demostraci´ on Directa Caracter´ısticas

Constituye la t´ecnica m´ as com´ un, principalmente por su simplicidad. Es una manera simple de demostrar teoremas o proposiciones que tienen la forma de proposiciones condicionales [5]. Esta t´ecnica es u ´til para demostrar proposiciones del tipo P → Q, en un principio se asume que P es verdadera (de la tabla de verdad de la implicaci´on sabemos que no necesitamos preocuparnos porque sea falsa), a partir de esta presunci´on utilizando axiomas u otros teoremas encadenados de manera que se pueda derivar Q a partir de P.

3.2.

Ejemplo

Teorema 3.1. Si n es un n´ umero entero impar, entonces n2 es un entero impar Demostraci´ on. Sea n un entero impar, entonces n = 2k + 1 (definici´on de un n´ umero impar) para alg´ un entero k. Entonces n2 = (2k + 1)2 Resolviendo el binomio cuadrado n2 = 4k 2 + 4k + 1 Factorizando n2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 De lo anterior, n2 = 2m + 1 para el entero m = 2k 2 + 2k, luego entonces por la definici´ on de n´ umero impar, n2 es impar

2

3.3.

Argumentaci´ on

Este m´etodo es el m´ as directo, por ende deber´ıa ser nuestra primera opci´on para la demostraci´ on, pero en este caso en particular, el desarrollo de ecuaciones de tipo

y

= f (x)

(1)

= f (x1 ) .. .

(2) (3)

= f (xn )

(4)

Es equivalente a un encadenamiento de proposiciones del tipo P → P1 . . . → Pn → Q, es decir llegar a Q a partir de una derivaci´on de P.

4.

Demostraci´ on por Contraposici´ on

4.1.

Caracter´ısticas

Es una alternativa a la demostraci´on directa ya que se usa para demostrar proposiciones del tipo P → Q [5], en este sentido la forma del problema es la misma, es decir que cualitativamente no hay diferencia entre un m´etodo y otro, el resultado es el mismo. La diferencia fundamental con la demostraci´on directa radica en la forma que toma P → Q, ya que en la contraposici´ on el mismo problema se debe establecer como ¬Q → ¬P , se puede mostrar que ambas formas son equivalentes si verificamos la tabla de verdad

P

Q

¬P

¬Q

(P → Q)

(¬Q → ¬P )

(P → Q) ⇐⇒ (¬Q → ¬P )

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

De esta equivalencia se sigue que para demostrar que P → Q es verdadera basta demostrar que ¬Q → ¬P , as´ı pues se parte de la suposici´on de que P no es verdadera y se concluye que entonces Q tampoco lo es 3

De manera que dependiendo de la forma de las premisas hay algunas ocasiones en que el uso de esta t´ecnica es m´ as sencillo, para muestra un ejemplo.

4.2.

Ejemplo

Teorema 4.1. si n2 es un n´ umero entero par, entonces n es un entero par Demostraci´ on. Por contraposici´on: si n no es un entero par entonces n2 no es un entero par Lo anterior se puede expresar como : Si n es un n´ umero impar entonces n2 es un n´ umero impar Esta conclusi´ on fue demostrada de forma directa en 3.2

4.3.

Argumentaci´ on

Queda claro que en este caso en particular la demostraci´on por contraposici´on fue mucho m´as r´ apida y sencilla que una demostraci´on directa, sin embargo tuvimos que haber hecho una demostraci´ on directa a priori.

5.

5.1.

Demostraci´ on por Contraejemplo Caracter´ısticas

[6]

5.2.

Ejemplo

Para este ejercicio, primero es necesario recordar la definici´on de un n´ umero irracional, el cual se define como un n´ umero que no puede expresarse como una facci´on

a b

donde m y n

son enteros y n es diferente de 0. Luego entonces, consid´erese la siguiente proposici´on: Teorema 5.1. ∀n ∈ R si n2 ∈ Q entonces n ∈ Q, es decir, para todo n´ umero real n, si n2 es racional, entonces n es racional 4

Demostraci´ on. Consideremos entonces el caso del n´ umero n =

√

2, el cual es un n´ umero

claramente irracional. √ Haciendo n2 = ( 2)2 = 2, tenemos que 2 ∈ Q, es decir es racional.

Luego entonces es falso que si n2 es racional entonces n sea racional.

5.3.

6.

6.1.

Argumentaci´ on

Demostraci´ on por Contradicci´ on Caracter´ısticas

Otra alternativa es la demostraci´on por Contradicci´on, tambi´en llamada Demostraci´ on por reducci´ on al absurdo, como su nombre lo indica consiste en demostrar que si la proposici´ on no fuera cierta entonces esto llevar´ıa a una falacia, por lo tanto no se puede decir que la proposici´ on sea falsa; luego entonces la proposici´on debe ser verdadera[5]. As´ı pues la forma de los problemas que se pueden resolver mediante esta t´ecnica no es P → Q, sino que se debe demostrar que ¬P lleva a una contradicci´on

6.2.

Ejemplo

Siguiendo la l´ınea del m´etodo anterior, tenemos Teorema 6.1. n =

√

2 es un n´ umero irracional , es decir , n ∈ R − Q

Demostraci´ on. Negando la conclusi´on , asumimos que n = Por la definici´ on de n´ umero racional n =

√

2 =

a b,

√

2 es un n´ umero racional.

siendo a y b dos n´ umeros positivos

enteros.

Se puede asumir, sin p´erdida de generalidad que a y b no tienen factores comunes y son por tanto irreducibles.

Luego entonces si elevamos ambos t´erminos de

2= 5

√ 2=

a2 b2

a b

al cuadrado tenemos

Luego entonces si consideramos que 2b2 = a2 a2 es par y de acuerdo con 4.2 podemos concluir que a es par (a = 2k) para alg´ un entero k.

Substituyendo a = 2k, tenemos que

2b2 = (2k)2 b2 =

4k 2 2

Lo anterior implica que b2 tambi´en es par y por4.2 entonces b es par.

Luego entonces a y b son pares. No obstante estamos frente a una contradicci´on debido a que asumimos que a y b no ten´ıan factores comunes, pero si ambos son paraes claramente tienen un factor com´ un que es 2.

Luego entonces

6.3.

√

2 debe ser un n´ umero irracional.

Argumentaci´ on

En este caso el problema no se expresa como P → Q, sino que solo se establece P , esta sitauci´ on lo vuelve un candidato id´oneo para demostrar que a partir de la negacion de P se puede llegar a una contradicci´on.

7.

7.1.

Demostraci´ on por Inducci´ on Caracter´ısticas

Este m´etodo es otro de los m´as usados comunmente en las matem´aticas, de hecho es conocido como Inducci´ on Matem´ atica. [5].

Esta t´ecnica se utiliza cuando es preciso demostrar la veracidad de una serie de proposiciones en secuencia, es decir que se utiliza cuando tenemos un conjunto de proposiciones S1 , S2 , S3 , . . . , §n y debemos demostrar que todas ellas son verdaderas . [5].

6

El m´etodo consiste en los siguientes pasos

Probar que la primera proposici´on (S1 ) es verdadera (Paso Base) Asumir que la k-´esima proposici´on es verdadera (Sk para k ≥ 1) (Hip´otesis Inductiva) Si Sk es verdadera demostrar que Sk+1 tambi´en lo es. (Paso Inductivo) De lo anterior se sigue que toda Sn debe ser verdadera.

7.2.

Ejemplo

Un ejemplo cl´ asico de este tipo de demostraci´on es la suma de los n primeros n´ umeros positivos, misma que est´ a relacionada con una an´ecdota curiosa del matem´atico Carl Friedrich Gauss[7]. De acuerdo con esta demostraci´on se establece Teorema 7.1. Si n ∈ N , entonces 1+2+3+. . . +n=

Pn

i=1 n=

n(n+1) 2

Demostraci´ on. El primer paso es demostrar que esta propiedad es cierta para n = 1, as´ı pues para n=1, entonces 1(1 + 1) 2 2 P (n) = 2

P (n) =

P (n) = 1 =

1 X

n

i=1

A continuaci´ on se supone que esta propiedad es cierta para k, en este caso la hip´ otesis inductiva es: P (k) =

(k)((k + 1) 2

Luego entonces debe ser cierto para k + 1

P (k + 1) =

(k + 1)((k + 1) + 1) 2

P (k + 1) = 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) 7

O lo que es lo mismo

P (k + 1) = P (k) + (k + 1) Considerando la hip´ otesis inductiva tenemos que

P (k + 1) =

k(k + 1) + (k + 1) 2

Factorizando: k P (k + 1) = (k + 1)( + 1) 2 Desarrollando la fracci´ on tenemos

P (k + 1) = (k + 1)(

(k + 1) + 1 ) 2

Lo que prueba el teorema

7.3.

Argumentaci´ on

En este caso al tratarse de una propiedad de n n´ umeros, estamos ante el problema de demostrar que ´esta se cumple para todos los n lo cual es dif´ıcil si consideramos que n puede ser cualquier n´ umero. As´ı pues, se puede plantear el problema como la demostraci´on de que S1 , S2 , . . . , §n son verdaderos. Por lo tanto la opci´o m´as sencilla es la inducci´on matem´ atica por supuesto.

Referencias [1] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009.

[2] Evidencia de aprendizaje. Uso de las reglas de inferencia [3] Diccionario de la Real Academia Espa˜ nola 8

[4] ”La demostraci´ on en matem´aticas”. - Universidad de Murcia, Dr. Juan Jacobo Sim´ on Pinero [5] Book Of Proof Richard Hammack - www.people.vcu.edu - Virginia Commonwealth University - May 01 11 [6] Proof by Counterexample L. Sorser http://www.math.toronto.edu/writing/Counterexample.pdf ´ [7] Francisco Armando Carrillo Navarro, EL PR´INCIPE DE LAS MATEMATI´ CAS,APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMATICAS VOL.1, NO. 2, MAYO 2002 http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-3-gauss.pdf

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