Introducci´ on al pensamiento matem´ atico Unidad 2. M´ etodos de demsotraci´ on Act.1. Caracter´ısticas de los m´ etodos de demostraci´ on
Emmanuel Torres Mar´ın
´ UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ MEXICO D.F. Febrero 2015
1.
Instrucciones Investiga las caracter´ısticas que tienen cada uno de los m´etodos de demostraci´ on. Presenta un ejemplo de cada uno de ellos y argumenta las razones por las cu´ales se desarrolla la demostraci´ on por ese m´etodo. Recuerda que debes revisar y comentar las aportaciones de tus compa˜ neros(as).
2.
Introducci´ on
Antes de comenzar con la definici´on de los tipos de demostraciones, convendr´ıa definir en que consiste una demostraci´ on, de acuerdo con [1]
"Una prueba es la demostraci´ on de la validez de alguna proposici´ on matem´ atica precisa "
La necesidad de contar con medios de demostraci´on de las diferentes proposiciones matem´ aticas, permea los inicios de la civilizaci´on, siendo la cultura griega la m´as representativa, sin embargo el paso del tiempo a refinado el proceso,. en este sentido una demostraci´ on t´ıpica consiste en una secuencia de premisas cuyo valor de verdad (verdadero o falso) puede derivarse a partir de las otras, entendiendo por derivar, el uso de reglas l´ogicas basadas en tautolog´ıas, recordemos el caso de Juan [2]. Para estos efectos juegan un papel fundamental algunos conceptos como son: los axiomas (Proposiciones tan claras y evidentes que se admiten sin demostraci´ on [3]) y teoremas (Proposiciones que se pueden demostrar a partir de los axiomas[3]). Los m´etodos cl´ asicos de demostraci´on de acuerdo con [4], son:
Demostraci´ on directa Demostraci´ on por contra ejemplo Demostraci´ on por Contradicci´on o reducci´on al absurdo Demostraci´ on por contraposici´on Demostraci´ on por Inducci´on 1
Vale decir que una misma proposici´on se puede demostrar por varios m´etodos, la elecci´ on de un m´etodo u otro obedece en un principio a la forma can´onica del problema y en otro plano el corpus de conocimientos del demostrador.
3. 3.1.
Demostraci´ on Directa Caracter´ısticas
Constituye la t´ecnica m´ as com´ un, principalmente por su simplicidad. Es una manera simple de demostrar teoremas o proposiciones que tienen la forma de proposiciones condicionales [5]. Esta t´ecnica es u ´til para demostrar proposiciones del tipo P → Q, en un principio se asume que P es verdadera (de la tabla de verdad de la implicaci´on sabemos que no necesitamos preocuparnos porque sea falsa), a partir de esta presunci´on utilizando axiomas u otros teoremas encadenados de manera que se pueda derivar Q a partir de P.
3.2.
Ejemplo
Teorema 3.1. Si n es un n´ umero entero impar, entonces n2 es un entero impar Demostraci´ on. Sea n un entero impar, entonces n = 2k + 1 (definici´on de un n´ umero impar) para alg´ un entero k. Entonces n2 = (2k + 1)2 Resolviendo el binomio cuadrado n2 = 4k 2 + 4k + 1 Factorizando n2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 De lo anterior, n2 = 2m + 1 para el entero m = 2k 2 + 2k, luego entonces por la definici´ on de n´ umero impar, n2 es impar
2
3.3.
Argumentaci´ on
Este m´etodo es el m´ as directo, por ende deber´ıa ser nuestra primera opci´on para la demostraci´ on, pero en este caso en particular, el desarrollo de ecuaciones de tipo
y
= f (x)
(1)
= f (x1 ) .. .
(2) (3)
= f (xn )
(4)
Es equivalente a un encadenamiento de proposiciones del tipo P → P1 . . . → Pn → Q, es decir llegar a Q a partir de una derivaci´on de P.
4.
Demostraci´ on por Contraposici´ on
4.1.
Caracter´ısticas
Es una alternativa a la demostraci´on directa ya que se usa para demostrar proposiciones del tipo P → Q [5], en este sentido la forma del problema es la misma, es decir que cualitativamente no hay diferencia entre un m´etodo y otro, el resultado es el mismo. La diferencia fundamental con la demostraci´on directa radica en la forma que toma P → Q, ya que en la contraposici´ on el mismo problema se debe establecer como ¬Q → ¬P , se puede mostrar que ambas formas son equivalentes si verificamos la tabla de verdad
P
Q
¬P
¬Q
(P → Q)
(¬Q → ¬P )
(P → Q) ⇐⇒ (¬Q → ¬P )
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
De esta equivalencia se sigue que para demostrar que P → Q es verdadera basta demostrar que ¬Q → ¬P , as´ı pues se parte de la suposici´on de que P no es verdadera y se concluye que entonces Q tampoco lo es 3
De manera que dependiendo de la forma de las premisas hay algunas ocasiones en que el uso de esta t´ecnica es m´ as sencillo, para muestra un ejemplo.
4.2.
Ejemplo
Teorema 4.1. si n2 es un n´ umero entero par, entonces n es un entero par Demostraci´ on. Por contraposici´on: si n no es un entero par entonces n2 no es un entero par Lo anterior se puede expresar como : Si n es un n´ umero impar entonces n2 es un n´ umero impar Esta conclusi´ on fue demostrada de forma directa en 3.2
4.3.
Argumentaci´ on
Queda claro que en este caso en particular la demostraci´on por contraposici´on fue mucho m´as r´ apida y sencilla que una demostraci´on directa, sin embargo tuvimos que haber hecho una demostraci´ on directa a priori.
5. 5.1.
Demostraci´ on por Contraejemplo Caracter´ısticas
[6]
5.2.
Ejemplo
Para este ejercicio, primero es necesario recordar la definici´on de un n´ umero irracional, el cual se define como un n´ umero que no puede expresarse como una facci´on
a b
donde m y n
son enteros y n es diferente de 0. Luego entonces, consid´erese la siguiente proposici´on: Teorema 5.1. ∀n ∈ R si n2 ∈ Q entonces n ∈ Q, es decir, para todo n´ umero real n, si n2 es racional, entonces n es racional 4
Demostraci´ on. Consideremos entonces el caso del n´ umero n =
√
2, el cual es un n´ umero
claramente irracional. √ Haciendo n2 = ( 2)2 = 2, tenemos que 2 ∈ Q, es decir es racional. Luego entonces es falso que si n2 es racional entonces n sea racional.
5.3.
6. 6.1.
Argumentaci´ on
Demostraci´ on por Contradicci´ on Caracter´ısticas
Otra alternativa es la demostraci´on por Contradicci´on, tambi´en llamada Demostraci´ on por reducci´ on al absurdo, como su nombre lo indica consiste en demostrar que si la proposici´ on no fuera cierta entonces esto llevar´ıa a una falacia, por lo tanto no se puede decir que la proposici´ on sea falsa; luego entonces la proposici´on debe ser verdadera[5]. As´ı pues la forma de los problemas que se pueden resolver mediante esta t´ecnica no es P → Q, sino que se debe demostrar que ¬P lleva a una contradicci´on
6.2.
Ejemplo
Siguiendo la l´ınea del m´etodo anterior, tenemos Teorema 6.1. n =
√
2 es un n´ umero irracional , es decir , n ∈ R − Q
Demostraci´ on. Negando la conclusi´on , asumimos que n = Por la definici´ on de n´ umero racional n =
√
2 =
a b,
√
2 es un n´ umero racional.
siendo a y b dos n´ umeros positivos
enteros. Se puede asumir, sin p´erdida de generalidad que a y b no tienen factores comunes y son por tanto irreducibles. Luego entonces si elevamos ambos t´erminos de
2= 5
√ 2=
a2 b2
a b
al cuadrado tenemos
Luego entonces si consideramos que 2b2 = a2 a2 es par y de acuerdo con 4.2 podemos concluir que a es par (a = 2k) para alg´ un entero k. Substituyendo a = 2k, tenemos que
2b2 = (2k)2 b2 =
4k 2 2
Lo anterior implica que b2 tambi´en es par y por4.2 entonces b es par. Luego entonces a y b son pares. No obstante estamos frente a una contradicci´on debido a que asumimos que a y b no ten´ıan factores comunes, pero si ambos son paraes claramente tienen un factor com´ un que es 2. Luego entonces
6.3.
√
2 debe ser un n´ umero irracional.
Argumentaci´ on
En este caso el problema no se expresa como P → Q, sino que solo se establece P , esta sitauci´ on lo vuelve un candidato id´oneo para demostrar que a partir de la negacion de P se puede llegar a una contradicci´on.
7. 7.1.
Demostraci´ on por Inducci´ on Caracter´ısticas
Este m´etodo es otro de los m´as usados comunmente en las matem´aticas, de hecho es conocido como Inducci´ on Matem´ atica. [5]. Esta t´ecnica se utiliza cuando es preciso demostrar la veracidad de una serie de proposiciones en secuencia, es decir que se utiliza cuando tenemos un conjunto de proposiciones S1 , S2 , S3 , . . . , §n y debemos demostrar que todas ellas son verdaderas . [5]. 6
El m´etodo consiste en los siguientes pasos
Probar que la primera proposici´on (S1 ) es verdadera (Paso Base) Asumir que la k-´esima proposici´on es verdadera (Sk para k ≥ 1) (Hip´otesis Inductiva) Si Sk es verdadera demostrar que Sk+1 tambi´en lo es. (Paso Inductivo) De lo anterior se sigue que toda Sn debe ser verdadera.
7.2.
Ejemplo
Un ejemplo cl´ asico de este tipo de demostraci´on es la suma de los n primeros n´ umeros positivos, misma que est´ a relacionada con una an´ecdota curiosa del matem´atico Carl Friedrich Gauss[7]. De acuerdo con esta demostraci´on se establece Teorema 7.1. Si n ∈ N , entonces 1+2+3+. . . +n=
Pn
i=1 n=
n(n+1) 2
Demostraci´ on. El primer paso es demostrar que esta propiedad es cierta para n = 1, as´ı pues para n=1, entonces 1(1 + 1) 2 2 P (n) = 2
P (n) =
P (n) = 1 =
1 X
n
i=1
A continuaci´ on se supone que esta propiedad es cierta para k, en este caso la hip´ otesis inductiva es: P (k) =
(k)((k + 1) 2
Luego entonces debe ser cierto para k + 1
P (k + 1) =
(k + 1)((k + 1) + 1) 2
P (k + 1) = 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) 7
O lo que es lo mismo
P (k + 1) = P (k) + (k + 1) Considerando la hip´ otesis inductiva tenemos que
P (k + 1) =
k(k + 1) + (k + 1) 2
Factorizando: k P (k + 1) = (k + 1)( + 1) 2 Desarrollando la fracci´ on tenemos
P (k + 1) = (k + 1)(
(k + 1) + 1 ) 2
Lo que prueba el teorema
7.3.
Argumentaci´ on
En este caso al tratarse de una propiedad de n n´ umeros, estamos ante el problema de demostrar que ´esta se cumple para todos los n lo cual es dif´ıcil si consideramos que n puede ser cualquier n´ umero. As´ı pues, se puede plantear el problema como la demostraci´on de que S1 , S2 , . . . , §n son verdaderos. Por lo tanto la opci´o m´as sencilla es la inducci´on matem´ atica por supuesto.
Referencias [1] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. [2] Evidencia de aprendizaje. Uso de las reglas de inferencia [3] Diccionario de la Real Academia Espa˜ nola 8
[4] ”La demostraci´ on en matem´aticas”. - Universidad de Murcia, Dr. Juan Jacobo Sim´ on Pinero [5] Book Of Proof Richard Hammack - www.people.vcu.edu - Virginia Commonwealth University - May 01 11 [6] Proof by Counterexample L. Sorser http://www.math.toronto.edu/writing/Counterexample.pdf ´ [7] Francisco Armando Carrillo Navarro, EL PR´INCIPE DE LAS MATEMATI´ CAS,APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMATICAS VOL.1, NO. 2, MAYO 2002 http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-3-gauss.pdf
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